Practica 4 Demostracion de Los Teoremas Del Algebra de Boole

Escuela Politécnica Nacional Laboratorio de Sistemas Digitales Práctica Nº 4 Demostración de algunos teoremas del algebra de Boole 1. Objetivo  

Comprobar, en forma práctica, algunos teoremas de álgebra de boole y aplicar el principio de dualidad. Aplicar los teoremas del álgebra de Boole en la simplificación de una función lógica.

2. Introducción Un álgebra de boole es un sistema de elementos B={0,1} y los operadores binarios (·) y (+) y (’) efinidos de la siguiente forma a

b

a+b

ab

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

0 0 0 1

a 0 1

a’ 1 0

operador + operador or operador · operador and operador ‘ operador not que cumplen las siguientes propiedades: 1.- propiedad conmutativa: a+b=b+a a·b=b·a 2. propiedad distributiva: a·(b+c) = a·b + a·c a + b·c = (a+b)·(a+c) 3. elementos neutros diferentes a+0=a a·1=a 4. siempre existe el complemento de a, denominado a’ a + a’ = 1 a · a’ = 0  principio de dualidad: cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin mas que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0.  constante: cualquier elemento del conjunto b  variable: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya sea constante o fórmula completa. TEOREMAS DE BOOLE TEOREMA 1: el elemento complemento A’ es único. TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento de B se verifica:

A+1 = 1 A·0 = 0 TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento del otro. 0’=1 1’=0 TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de B, se verifica: A+A=A A·A=A TEOREMA 5 (INVOLUCIÓN): para cada elemento de B, se verifica: (A’)’ = A TEOREMA 6 (ABSORCIÓN): para cada par de elementos de B, se verifica: A+A·B=A A·(A+B)=A TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica: A + A’·B = A + B A · (A’ + B) = A · B TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD): cada uno de los operadores binarios (+) y (·) cumple la propiedad asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C A·(B·C) = (A·B)·C LEYES DE DEMORGAN: para cada par de elementos de B, se verifica: (A+B)’ = A’·B’ (A·B)’ = A’ + B’ 3. Informe Circuito Uno. F = X·Z+Y·Z’+X’·Y·Z = X·Z+Y X 0 0 0 0 1 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

F 0 0 1 1 0 1 1 1

Circuito dos F = X·Z+Y·Z’+X’·Y·Z = X·Z+Y X 0 0 0 0 1 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

F 0 0 1 1 0 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

F 0 0 1 1 0 1 1 1

Circuito Tres F = X·Z+Y·Z’+X’·Y·Z = X·Z+Y X 0 0 0 0 1 1 1 1

4. Cuestionario 4.1. Haga una breve descripción de los teoremas del Álgebra de Boole y su importancia en la solución de los problemas digitales. TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE. TEOREMA 1: el elemento complemento A’ es único. TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento de B se verifica: A+1 = 1 A·0 = 0 TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento del otro. 0’=1 1’=0 TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de B, se verifica: A+A=A A·A=A TEOREMA 5 (INVOLUCIÓN): para cada elemento de B, se verifica: (A’)’ = A TEOREMA 6 (ABSORCIÓN): para cada par de elementos de B, se verifica: A+A·B=A A·(A+B)=A TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica: A + A’·B = A + B A · (A’ + B) = A · B TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD): cada uno de los operadores binarios (+) y (·) cumple la propiedad asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C A·(B·C) = (A·B)·C LEYES DE DEMORGAN: para cada par de elementos de B, se verifica: (A+B)’ = A’·B’ (A·B)’ = A’ + B’ La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas digitales es fuerte debido a que para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas con esto. Algo importante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NAND

4.2. Explique en qué consiste la demostración por inducción completa, y demuestre el teorema de consenso con este método La demostración por inducción consiste en comprobar que el teorema se cumple comprobando que es cierto para todas las posibles combinaciones de valores de las variables implicadas en el mismo.

• Este método normalmente es inviable a la hora de probar teoremas con números enteros o reales, pero es sencillo para hacer lo propio en Álgebra de Boole, ya que ésta maneja sólo dos valores diferentes. • La demostración por inducción perfecta consiste en calcular la tabla de verdad de la expresión booleana del teorema. Teorema del consenso.

a 0 0 0 0 1 1 1 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1

c 0 1 0 1 0 1 0 1

ab 0 0 0 0 0 0 1 1

a’c 0 1 0 1 0 0 0 0

bc 0 0 0 1 0 0 0 1

a 0 0 0 0 1 1 1 1

F 0 1 0 1 0 0 1 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1

c 0 1 0 1 0 1 0 1

ab 0 0 0 0 0 0 1 1

a’c 0 1 0 1 0 0 0 0

F 0 1 0 1 0 0 1 1

a 0 0 0 0 1 1 1 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1

c 0 1 0 1 0 1 0 1

a+b 0 0 1 1 1 1 1 1

a’+c 1 1 1 1 0 1 0 1

Demostrado por Tabla de verdad a 0 0 0 0 1 1 1 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1

c 0 1 0 1 0 1 0 1

a+b 0 0 1 1 1 1 1 1

a’+c 1 1 1 1 0 1 0 1

b+c 0 1 1 1 0 1 1 1

F 1 1 1 1 1 1 1 1

F 1 1 1 1 1 1 1 1

Demostrado por Tabla de verdad. 4.3. Consulte acerca de los MINTÉRMINOS y MAXTÉRMINOS Minterms ●Son funciones que valen 1 para una única combinación de valores de sus variables ●Su expresión algebraica es un producto donde aparecen todas las variables

Maxterms ●Son funciones que valen 0 para una única combinación de valores de sus variables ●Su expresión algebraica es una suma donde aparecen todas las variables

4.4. Consulte acerca de las formas canónicas y normalizadas La tabla de verdad de una función booleana es única. Una función booleana dada tiene múltiples representaciones algebraicas, todas ellas equivalentes entre sí (las obtendríamos aplicando los teoremas del álgebra de Boole). Formas canónicas, formas normales o formas estándares de una función booleana: expresiones booleanas equivalentes de la función que cumplen determinadas características: • Primera forma canónica: función lógica = suma de minitérminos. • Segunda forma canónica: función lógica = producto de maxitérminos. Formas normalizadas Son formas que responden al esquema de suma de productos o producto de sumas  Suelen tener menor número de operaciones que las formas canónicas  Para una función algebraica concreta, es de menos operaciones siguiendo esos mismos esquemas  Pueden existir varias formas normalizadas para una misma función Literal: unidad que se refiere a una variable o su invertida ●Suma de productos:

Es una suma de distintos términos, donde en todos ellos se realiza exclusivamente el producto de distintos literales

●Producto de sumas: Es un producto de distintos términos, donde en cada uno de ellos se realiza exclusivamente la suma de distintos literales

4.5. Dada la función: F = X·Y·Z + X·Y·Z’ + X·Y’·Z Expresarla usando MAXTÉRMINOS

las

definiciones

de

MINTÉRMINOS

y

F expresada como mintérminos quedaría de la misma forma: 𝐹 = 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋𝑌𝑍̅ + 𝑋𝑌̅𝑍 En donde: 𝑋𝑌𝑍 → 111 𝑋𝑌𝑍̅ → 110 𝑋𝑌̅𝑍 → 101 Trasladando esto a la tabla de verdad, y completando con ceros el resto de combinaciones: X 0 0 0 0 1 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

F 0 0 0 0 0 1 1 1

Se tiene entonces que F en Maxtérminos sería: 𝐹 = (𝑋 + 𝑌 + 𝑍)(𝑋 + 𝑌 + 𝑍̅)(𝑋 + 𝑌̅ + 𝑍)(𝑋 + 𝑌̅ + 𝑍̅)(𝑋̅ + 𝑌 + 𝑍)

5. Conclusiones Katherine Quinatoa Ronny De La Bastida  En la práctica correspondiente pudimos comprobar algunos teoremas del algebra de boole que en lo que respecta a sistemas digitales son muy importantes saber y demostrarlos para tener un conocimiento más avanzado sobre ellos y así poder usarlos como ayuda para la construcción de nuestros circuitos digitales así como simplificaciones mediante teoremas de consenso, dualidad, asociación, etc.  Los diferentes teoremas del algebra de boole nos ayudan a simplificar y diseñar los diferentes circuitos mediante compuertas universales o compuertas básicas. Como lo vimos la utilidad del algebra de boole es ayudarnos a demostrar que nuestros circuitos pueden ser construidos con compuertas universales como son la nand y la nor. Esta aplicación es muy útil debido a que usamos menos material, es más barato, ayudamos a simplificar circuitos enormes en términos de expresión y además podemos reducir en tamaño físico nuestros diseños. Alex Satian

6. Bibliografía http://www.uhu.es/rafael.lopezahumada/descargas/tema3_fund_0405.pdf http://dac.escet.urjc.es/docencia/ETC-ITIG_LADE/teoriacuat1/tema5_introduccion_sistemas_digitales.2xcara.pdf http://www.ulpgc.es/hege/almacen/download/7054/7054433/03algebra.pdf