Práctica 3 - Interferà Metros de Michelson y Fabry - Perot (à - Ptica II) - Grupo 3 (H)

 

 

Óptica II

Autores:

 Álvaro Jesús Quero Ballesteros Ballesteros Sergio Mulero Fuentes

Grupo de Prácticas:

Grupo 3 (H)

Fecha de Realización:

08/03/2019

 

 Introducción Interferómetro de Michelson:  

En esta primera parte emplearemos un interferómetro de Michelson para determinar la longitud de onda del láser que utilizamos. Con este fin, producimos variaciones en la distancia de uno de los espejos con respecto de la lámina semitransparente a través de un tornillo micrométrico y de esa forma veíamos como el patrón de interferencia se iba modificando. De esta manera, modificábamos esa distancia en cada medida hasta que veíamos que pasaban 25 máximos por el centro del  patrón de interferencia interferencia para ten tener er suficiente holgura.

Así, condela máximos ayuda deque la ecuación quepor relaciona del espejo (x) con el número han pasado el centroel( desplazamiento m), somos capaces de determinar la longitud de onda del láser:



2=∆



 

Obtendremos esta magnitud a través de una media ponderada de los resultados que obtengamos de aplicar esta ecuación en cada medida y mediante una regresión lineal por el método de los mínimos cuadrados. Con todo esto, compararemos los resultados obtenidos y llegaremos a una conclusión con respecto a la experiencia.

Interferómetro de Fabry - Perot: 

En esta parte, repetiremos el mismo procedimiento que en la primera, pero emplearemos como sistema de estudio un interferómetro de Fabry-Perot en el que la  principal diferencia diferencia es que eestudiam studiamos os una interferenci interferenciaa múltiple. Sin emb embargo, argo, el patrón de interferencia estará formado por anillos brillantes y oscuros, como en el interferómetro de Michelson, por lo que podremos emplear de nuevo la ecuación (1). De esta forma, para cada medida, producíamos una variación en la distancia de separación de una de las láminas con la ayuda de un tornillo micrométrico hasta que veíamos que  pasaban 25 máxim máximos os por el centro del pa patrón trón de interferencia.

 

  Medida del índice de refracción en función de la presión  

Otra manera de variar el patrón de interferencias en el interferómetro de Michelson es variando variando la diferencia de fase de los haces incidentes. Así pues, podemos conseguirlo el índice de refracción del medio que atraviesa unoesto de los haces. Para lograrlo, lo que haremos es variar la presión de dicho medio mediante la extracción de aire del mismo mediante una bomba de vacío. La razón de esto es que a presiones bajas existe una relación lineal entre el índice de refracción y la presión.

=+1

 

Por su parte, es fácilmente demostrable que:

 = 2       Siendo N la variación de longitud de onda en la cámara conforme varía la presión, y experimentalmente lo interpretamos como el número de repeticiones del patrón de interferencias observado. Por último, mediante el uso de la expresión (2), obtenemos que la diferencia de índices de refracción entre dos situaciones es:

   =      Siendo m un coeficiente de proporcionalidad.

 

 Resultados Interferómetro de Michelson:  

Para comenzar, introduciremos introduciremos una tabla t abla con los datos que tomam to mamos os en eell laboratorio:

25

 ± 53

  ±

25

60

68

25

68

76

25

76

84

25

84

92

25

92

99

25

99

107

25

107

115

25

115

123

25

123

130

∆ ±

 

 

 

60

Datos experimentales obtenidos en laboratorio (Interferómetro de Michelson) Tabla 1:  Datos

Ahora bien, para poder posteriormente realizar una regresión lineal que concuerde con la linealidad que vamos buscando y con el fin de minimizar los errores, vamos a tomar como desplazamiento del espejo la diferencia entre la posición final de la medida dada y la  posición inicial de la primera medida medida.. Así, también se irán acumulando acumulando el número de máximos que han pasado por el centro del patrón de interferencia.

Con todo esto y con ayuda de la ecuación (1) hemos llegado a los siguientes resultados:

∆ ±

 ± ±,, 

 

,,  ±,  ±,  ± ,  ±,  ,± ±, ± ± ±

7

 

 

15

 

23 31

 

 

39

 

46

 

54

 

62

 

70

 

77

560±130  600±70 610±50 620±40 620±30 613±23 617±21 620±18 622±16 616±15

Datos obtenidos relativos al  Interferómetro Interferómetro de Michelson Michelson Tabla 2:  Datos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Como vemos, para cada medida hemos encontrado longitudes de onda distintas con errores diferentes. Por lo tanto, para llegar a una conclusión acerca de su valor, realizaremos una media ponderada:

∑   〈〉 = ∑∆1  

 

∆〈〉 =  ∑1 ∆1

Obteniendo Obtenien do que:

〈± 〉

 (nm)

 

Error relativo  

,%

  Resultado final longitud de onda junto a su error relativo relativo (Primer método) Tabla 3: Resultado

Ahora realizaremos una regresión lineal por el método de los mínimos cuadrados para comparar los resultados que se obtienen por ambos métodos.



De esta forma, representaremos el número de máximos que pasan por el origen ( m) frente al desplazamiento del espejo (x). Por lo tanto, utilizando la ecuación (1), vemos que la pendiente será:

 = 2   

 

Los valores que hemos obtenido para la pendiente, ordenada en el origen y coeficiente de regresión han sido:

Pendiente Ordenada en el origen Coeficiente de regresión

 = ,=1, ±,5 ±0,5 − =0,99989    

Datos obtenidos mediante el ajuste por mínimos cuadrados Tabla 4:  Datos

 

 

Con estos resultados podemos encontrar las barras de error de la variable dependiente que estamos representando representando ( m):



∆ ,  ±,  , ,,±,  ±, ,  ±,  ,  ±,  ,  ±,  ,  ±,  ,±,

 ±, ±, 

 

7 15

   

 

 

23 31 39 46 54 62 70 77

 

 

         

Tabla 5: Datos implicados en la regresión

correspondiente correspondiente a la ecuación (1) 

Obteniendo Obtenien do la siguiente representación gráfica: Interferómetro de Michelson 300

250

200

   m150       Δ

100

50

0 0

10

20

30

40

50

60

x (  )

Gráfica 1: Variación del orden m frente a distancia (Interferómetro de Michelson) 

70

80

 

Con todo esto, somos capaces de encontrar la longitud de onda con la ecuación (2):

 ,±,

Error relativo  

 (nm)

,%

 

Resultado final longitud de onda junto a su error error relativo (Segundo método) método) Tabla 6:  Resultado

❖  Discusión

de los resultados

Habitualmente, un láser de He-Ne como el que hemos empleado posee una longitud de onda de unos 633 nm por lo que podemos comparar nuestros resultados con este teórico. En la siguiente tabla se muestra la comparativa:

Media Ponderada Ponderada (nm)   (1,13%) 

±

Regresión Regresión lineal (nm)

623,6±1,8

 (0,29%)

Valor teórico (nm)

633



Tabla 7: Comparación longitud de onda “ ” (Interferómetro de Michelson)

Podemos observar que el valor que más se acerca al teórico es el de la regresión lineal ya que su margen de error abarca hasta los 625,4 nm. Además, vemos que su error relativo es bastante más pequeño que el que hemos hallado con la media ponderada pues su margen de error es muy reducido. Con toda esta información concluimos que la longitud de onda encontrada mediante el ajuste por mínimos cuadrados es más potente por los resultados que nos brinda. Sin embargo, no hemos conseguido que el valor teórico se encuentre dentro del margen de error lo que puede haberse debido a algún error de alineamiento alineamien to o cual cualquier quier otro de origen experimental. Pese a todo esto, podemos concluir que hemos obtenido unos resultados muy buenos y una buena experiencia de esta parte de la práctica.

 

  Interferómetro de Fabry - Perot:  

Los datos que obtuvimos durante la experiencia aparecerán reflejados en la siguiente tabla:

∆ ± 25

 ± 2

  ±

25

10

18

25

18

26

25

26

33

25

33

41

25

41

49

25

49

57

25

57

65

25

65

73

25

73

81

25

81

88

25

88

96

 

 

 

10

Datos experimentales experimentales  obtenidos en laboratorio (Interferómetro de Fabry - Perot) Tabla 8:  Datos

De nuevo, emplearemos un proceso acumulativo para las distancias y el número de máximos que pasan por el centro. Teniendo en cuenta esto y utilizando la ecuación (1) obtenemos obtenem os los siguientes resultados:

 

 

 

,,± ∆ ±,  ±, ± ,  ±,  ,± ±, ± ± ± ± ±

±,

   

 

           

8 16 24 31 39 47 55 63 71 79 86 94

   

 

640±130  640±70 640±50 620±40 620±30 627±23 629±21 630±18 631±16 632±16 625±15 627±14

Datos obtenidos relativos al  Interferómetro Interferómetro de Fabry Fabry - Perot Tabla 9:  Datos

                     

 

 

  Realizando la media ponderada de las longitudes de onda encontradas en cada medida llegamos llegam os a:

 ±

Error relativo

 (nm)

 

,%

 

Tabla 10: Resultado   Resultado final longitud de onda junto a su error error relativo (Primer método)

Ahora realizaremos un ajuste lineal por el método de los mínimos cuadrados, representando ( m) frente al desplazamiento de una de las láminas (x). Así, obtendremos como pendiente lo que vimos reflejando en la fórmula (2):



 = 2

 

Los resultados obtenidos del ajuste son:

Pendiente Ordenada en el origen Coeficiente de regresión

 = 3,=0, 190±0,5 ±0,0064− =0,99994

 

 

 

Datos obtenidos mediante el el ajuste por mínimos cuadrados Tabla 11:  Datos

A través de esto, podemos encontrar las barras de error de la variable dependiente y realizar la gráfica correspondiente: correspondiente:

,,∆ ±,  ±,  ,  ±,  ,  ±,  ,  ±,  ,  ±,  ,  ±,  ,  ±,  ,  ±,  ,  ±,  ,±, ,±,

 ±, ±, 

 

 

     

                 

8 16 24 31 39 47 55 63 71 79 86 94

Tabla 12: Datos implicados en la regresión correspondiente a la ecuación (1)  

 

  De manera que la gráfica buscada es:

Interferómetro de Fabry-Perot 350 300

250

200

   m       Δ150

100

50

0 0

10

20

30

40

50

x ( 

60

70

80

)

Gráfica 2: Variación del orden m frente a distancia (Interferómetro de Fabry - Perot) 

Por lo tanto, a través de (2) se obtiene el siguiente valor para la longitud de onda:

Longitud Longitu d de onda (nm)

,±,

 

Error relativo  

,%

Tabla 13: Resultado  Resultado final longitud de onda junto a su error relativo (Segundo método)

Procedemos ahora con la discusión de los resultados de este apartado:

90

100

 

❖  Discusión

de los resultados

De nuevo, introduciremos una tabla comparativa que nos permita comparar claramente estos resultados con el valor teórico:

Media Ponderada Ponderada (nm)   (0,80%) 

±

Regresión Regresión lineal (nm)

627,0±1,2

 (0,19%)

Valor teórico (nm)

633



Tabla 14: Comparación longitud de onda “ ” (Interferómetro de Fabry - Perot)

En principio, observamos que el resultado que hemos hallado con la media ponderada se acerca en gran medida el valor teórico e incluso ese valor queda comprendido dentro de su margen de error. Pese a esto, el que hemos encontrado con la regresión lineal posee un margen de error más pequeño con un error relativo también menor lo que nos dice que es un resultado con más calidad aunque no entre dentro de su margen de error el valor teórico. Todo esto nos indica que el experimento ha sido completamente satisfactorio ya que hemos conseguido verificar de manera práctica el fenómeno de la interferencia y hemos conseguido demostrar que podemos obtener la longitud de onda de un láser dado con ayuda de estos interferómetros tan potentes.

Medida del índice de refracción en función de la presión  

En primer lugar, comentar que para el interferómetro de Michelson obtuvimos dos y otra mediante media longitudes de onda una mediante regresión r egresión . Por eso, puesto que este apartado está asociado a dicho  ponderada interferómetro, la longitud de onda con la que vamos a trabajar en este apartado será la media ponderada de ambas, que en efecto la calcularemos como:

λ  = 618±8

λ  = 623,6±1,8

∆   ∑  〈〉 = ∑ 1   ; ∆〈〉 = 1 1  ∑ ∆ ∆

 

 

  Obteniendo:

〈〉 ≅ 623,3±1,8 

 

Así pues, una vez aclarado eso, empezamos mostrando una tabla con los datos recogidos en el laboratorio:

   = ,  ±,       ±   ±    

 

 

1

8

14

2

14

24

3

24

34

4

34

42

5

42

52

6

52

62

 

Datos experimentales obtenidos en laboratorio Tabla 15:  Datos

De esta forma, mediante el tratamiento de los datos que aparecen en la tabla anterior,  podemos elaborar elaborar la siguien siguiente te tabla:

  ±    ±      ±   1 2 3 4 5 6

 

 

 

P - 80 P - 140 P - 240 P - 340 P - 420 P - 520

P - 140 P - 240 P - 340 P - 420 P - 520 P - 620

60 160 260 340 440 540

 

  

 

0,0000260 ± 0,0000022 0,000078 ± 0,000005 0,000156 ± 0,000007 0,000260 ± 0,000009 0,000390 ± 0,000011 0,000546 ± 0,000013

Datos obtenidos a través través de los datos de la tabla 15  Tabla 16:  Datos

Donde P es la presión inicial de la válvula antes de conectarla a la cámara de vacío, a la cual se le va restando la presión que vamos extrayendo gracias a la bomba de vacío (P 1 o  se ha obtenido conforme a la expresión P2 según corresponda). Cabe destacar que (3) y que  y  han sido escritos siguiendo un proceso acumulativo, de forma que la representación gráfica de los valores recogidos en la tabla anterior y el posterior ajuste por mínimos cuadrados para calcular “m” se puedan hacer de forma correcta.

     

  

 

Procedemos entonces ahora al cálculo del parámetro m, que mirando la expresión (4)  podemos observar observar que eess la pendien pendiente te (p) de dicha expresión: expresión:

= 

 

De esta forma, realizando la correspondiente regresión de la diferencia de los índices de refracción frente a la diferencia de presiones frente , obtenemos los siguientes siguien tes datos:

   

  

 = (,=9,0·10  ·− ±,− ±4, ·0−·10) −− =0,9833

Pendiente Ordenada en el origen Coeficiente de regresión

 

 

 

Tabla 17:  Datos Datos obtenidos mediante mediante el ajuste por mínimos cuadr cuadrados ados

Con estos resultados podemos encontrar las barras de error de la variable dependiente que estamos represen representando tando :

  

   ±  

 

60   160   260   340   440   540  

  

 

0,00003 ± 0,00005   0,00008 ± 0,00004   0,00016 ± 0,00004   0,00026 ± 0,00004   0,00039 ± 0,00004   0,00055 ± 0,00005  

( 4)  Tabla 18: Datos implicados en la regresión correspondiente a la ecuación (4)

Así pues, si representamos gráficamente los elementos de la tabla anterior obtenemos:

 

Índice de Refracción en función de la presión 0,0007

0,0006

0,0005

0,0004    2

   n   - 0,0003    1    n 0,0002

0,0001

0 0

100

200

300

400

500

-0,0001

P1 - P2 (mmHg)

  Gráfica 3: Cálculo del coeficiente de  proporcionalidad “m” 

Con todo y con esto, de acuerdo a la expresión (5), podemos concluir que:

−  (,  ·− ±,  ·−) m

 

 

Error relativo  

%

  Resultado final parámetro “m” junto a su error relativo Tabla 19: Resultado

❖  Discusión

de los resultados

=+1,

Como podemos observar, obtenemos un valor positivo, y puesto “n” y “P” tienen una

relación directamente proporcional

esto nos indica que, a presiones

 bajas, conforme disminuye “P” también lo hace “n”, lo cual es lo que se encuentra

experimentalmente de acuerdo a la variación en la diferencia de fases de los haces emergentes que se produce. Además, el valor de “m” es bastante pequeño, lo que nos

indica que realmente el índice de refracción varía poco al variar la presión.

600

 

Por último, podemos observar que el error relativo obtenido es del 10%, lo cual no es demasiado elevado. Por lo tanto, podemos concluir que los datos obtenidos en laboratorio, así como los obtenidos tras el tratamiento t ratamiento de los mismos, son en cierta ciert a medida acertados.

 Anexo En este apartado se escribirán los errores de los distintos parámetros calculados a lo largo de la práctica:

➢   Error

acumulativo para el desplazamiento (x):

  ,   ,    ==   +  = √ 22 = √ 2 · 1 = 1,41 ≅ 1,5  ➢   Error

acumulativo para ( m): m):

∆ = ∆ +⋯+∆ = √ ((∆) = √ 

 

➢   Error

para la longitud longi tud de onda de cada medida:

       = ∆∆→ 2 →  = 2∆∆ + ∆2 ∆∆ ➢   Error

para la longitud longi tud de onda de la regresión lineal: li neal:

 = 2 →= 2 ➢   Error

 

para la diferencia de presión entre dos situaciones: sit uaciones:  

∆   = √ 22·∆ ·∆ = √ 22·∆ ·∆

 

 

➢   Error

para la diferencia del índice de refracción entre dos situaciones:  

         ∆  ∆          ∆   =     ∆ +    ∆ =  2  +  2 

Por último, mostramos a continuación las hojas de laboratorio: