Practica 2 Segunda Parte

 

 

Ejercicios de MEDIDA DE DISPERSION (Pg. 92-86) 1. (5) La media media y la desviación desviación están estándar dar de los los sueldo sueldo se N emplea empleados dos de una una fábrica son 500 y 30 respecvamente. A cada uno de los N empleados se les dará un aumento aumento de A% de su sueldo má máss una bonicación de B soles. soles. Halle A y B de tal manera que la media de los sueldos modicados sea 600 y su desviación estándar 33. Solución n

 x=500 ´ =500 i)  x

→

n

 x ∑ =500 = i

∑  x s ₊  x´  = = 2

ᴧ

i 1

2

i

2

 x

i 1

n

n n

∑  x 250900= =

s x=30

2

i

i 1

n   ii)

Y=MX

donde M=

100 + A 100

 

n

 y ∑ =500 = i

 y  y=6 ´ =600   →

i 1

n

∑ ( M   x +2 M x B + B ) s ₊  y´  = 2

ᴧ

2

2

2

i

2

 y

i

i

n

n n

n

2

s y =33

3610=

 M 

 x ∑ = i 1

n

2

i

  +¿

 

2 MB

 x ∑  + B = i

2

i 1

n

n

 My ∑  +B=600 = i

 

i 1

361089=250900 M 2+ 1000MB + B2 … ( β ¿

n 500M + B = 600 … (α )

 

  iii) Elevando (α ) al cuadrado  

250000 M 2+ B 2+ 1000 MB =360000

  B2 + ¿ 1000MB = 360000 −¿ 250000 M 2…( θ )

 

iv) Reemplazando ( θ ) en (  β ¿

  361089 = 250900 M 2+ ¿ 360000 −¿250000 M 2   1089 = 900 M 2 1089

 

√

900  =M

 

 

 M  = 1.1

pero

100 + A 100

 = 1.1

100 + A =110

   

A = 10 ∴ 

 

M=

El aumento es del 10%

Reemplazando M en (α )

v)

 

500(1.1) + B = 600

 

550 + B =600

 

B = 50

 

∴ El

bono es de 50 soles.

2. (8) Los Los sueldos sueldos de 100 100 empleados empleados de una empresa empresa enen enen una una media de 300$ y una desviación estándar de $50. Se proponen dos alternavas de aumento: i) $75 a cada uno, ii) 15% del sueldo más $20 a cada uno. ¿Cuál alternava es más conveniente, a) Si la empresa empresa dispone dispone sólo de $37,000 $37,000 para pagar pagar sueldos? sueldos? b) Si la empresa empresa quiere quiere homogeneiza homogeneizarr los sueldos? sueldos?   i)

Solución n =100 empleados  x  x = ´  = 300

   

 

→ 

s = 50

ii)

 x’  x´ ’ =375 → total a pagar = 375(100) = 37500 s =50

cv =

  50 375

 =0.1333

n=100 empleados

 

 x  x =300 ´  =300

 

s =50

→   y´  =1.15 x +20  x´  +20 →  total a pagar =365(100)= 36500  y´  =365 2 s y  = ( 1.15 )2 ( 50 )2  →  cv =

365

 = 0.1575

s y = 57.5

 

 

57.5

∴ 

a) Conviene la alternava alternava ii) pues si si alcanza, con i) faltaría. faltaría. b) Conviene la alternava i) pues ene un coeciente de variación variación menor.

 

3. (9) Los Los sueldos sueldos de 150 150 trabajad trabajadores ores de una una empresa empresa enes enes un coecie coeciente nte de variación del 15% en el mes de agosto. Para el mes de seembre hay un aumento a cada trabajador del 20% de su sueldo más una bonicación de $60 y el coeciente de variación baja a 4 %. a) Calcule la media y la desviación estándar de los sueldos en el mes de agosto. b) ¿Cuánto dinero adicional necesita la empresa para pagar todos los sueldos del mes de seembre? seembre?  

Solución

a)

i) n=150  

cv x=0.05 →  s x= 0.05 x´  ….. en agosto

 x´  +60 →  s y  = 1.2 s x=0.04 y´ ii)  y´  =1.2 x +60  

s y  = 1.2 s x 

 x´  )= 0.04(1.2 x +60)  x´  +60) 1.2(0.05 x )= ´

´

 

0.06 x  = 0.048 x +2.4  x´  = 2.4 0.012  x =

 

 x   x´   = 200

→ s x  = 10

b )  y´  = 1.2(200) + 60

→  Total a pagar en seembre= seembre= 150(300) = 45000

   y´  = 300

→  Total a pagar en agosto = 150(200) = 30000

 

∴  Necesita

45000−¿ 30000 = 15000$

4. (11) Al Al calcular calcular la media media y la la desviació desviación n estándar estándar de 8 80 0 datos, datos, resulta resultaron ron 30 y 4 respecvamente. Un chequeo mostró mostró que en lugar del valor 1.7 se introdujo 17. Corrija la media y la desviación estándar.  

Solución n

i)

 x ∑  = x´   = i

→ 

i 1

 x1 + x 2 + 17 + x 4 + … … + x80 80

n  

→ 

 = 30

 x 1+ x2 + … … + x80  +17 = 2400 n

 

→ 

 x  = 2400  –  17  17 + 1.7 = 2384.7 = ∑ i

i 1

 

 

→  Obtenemos la verdadera media  x =  x´  =

2384,7 80

 = 29,80875

n

∑  x   –   x´   →  s= =

n

2

 

i

2

ii)

2

i 1

 x   …… (del valor defectuoso) ∑ = 2

( s +  x´ )n = 2

2

i

i 1

n

n

 x ∑ =

→  (16 +900)(80) =

2

i

i 1

n

2

2

73280  –   ( 17 )  + ( 1.7 )  =

 

 x ∑ =

2

i

i 1

n

 

 x   ….. ((valor valor real) ∑ = 2

72993.89 = =

i

i 1

2 s=

 

72993,89 80

  –  ( 29,8087)2

2

s = 23,86502931 S = 4.88

     

∴ La

verdadera media y desviación estándar es 29,808 y 4.88 respecvamente.

5. (13) La La varianza varianza de n, (n>4), (n>4), datos datos de varia variable ble X es 40. Si Si la suma de de los datos datos es 40 y la suma de sus cuadrados c uadrados es 560, calcular el coeciente de variación de los datos después de la transformación: Y = (3X+9)/10.  

Solución n

n

n

 x  x ∑ ∑  –  ¿     = = 2

i) n = ¿?

→  s2=

i

i

i 1

i 1

 

 x  = 40 ∑ = i

i 1

40 =

560

n

→   x   x´   =

n   ¿¿

n n

2 

[  ]

  –  

 40

 x 40 ∑  = 4  = = i

i 1

n

10

2

n

S = √ 40

 

n

 

 x  = 560 ∑ = 2

i

40n2 = 560n  –  ¿

i 1

 

2 s  = 40

2  14n +40 = 0 n  –  14n

 

(n –  (n – 10)( 10)( n –  n – 4) 4) = 0

 

Como n > 4

 

→  n = 10

 

ii) y = (3x + 9)(10)

→   y =  y´  = 0.3 x   x´  + 0.9

ᴧ

s y = 0.3√ 40

 

 y´  = 2.1

 

 

Luego

CV =

s y  y´

 =

s y  = 1.897

1.897 2.1

 = 0.9033

6. (14) El costo de producción producción X de una muestr muestra a de cierto cierto po po de objeto objeto ene ene una desviación estándar de $30. El costo medio de producción es de $250 para el 60% de la muestra y de $200 para el resto. Si su precio de venta en dólares es dado por la relación Y = 1.1X +10, calcule la media y la varianza de la venta de la muestra.  

Solución

s x =30

 x´  = (0.6)(250) + (0.4)(200)

ᴧ

→ 

 x =  x´  = 230  y =  y´  = 1.1 x   x´  

 

 y =  y´  = 1.1(230) +10

ᴧ

2

s y = ( 1.1 )2( 30)2  

 y =  y´  = 263

2

s y = = 1089  

∴ La

2

 y´  = 263$ y la varianza s y = = 1089 $2  media de la nueva muestra es  y =

7. (23) (23) En una empres empresa a donde trabaj trabajan an hombres hombres y mujeres mujeres la media media general general de los sueldos es $250. Si la media y la desviación estándar de los sueldos en el grupo de varones es $270 y $15 y en el grupo de mujeres es $220 y $10, a) Calcule el porcentaje de hombres y mujeres, b) Calcule la desviación estándar de los sueldos de todos los trabajadores de la empresa.  

Solución

a) sea  x´  H = 270 (media de sueldos de hombres) ᴧ

 x´  M = 220 (media de sueldos de mujeres)

 

 H 

 

 x´  H =

 x ∑ = i 1

 H 

i  H 

 

→ 

270H =

 x ∑ = i 1

 H 

 

i H 

 M 

∑  x = =

 x´  M 

i 1

i  M 

 M 

 

→ 

 M  → La media general:

220M =

 x ∑ = i 1

 x´  = 250

 

i M 

ᴧ

s H = 15 s H = 10

 

n

 

 x  x = ´  =

( x ∑ = i 1

i H 

+ x i )  M 

 

→ 

250H + 250N = 270H +220M

 H + M   

30H = 20M

 

 M  2 k     =  H  3 k  →  %H =

3 k  (100) = 60% (100) = 5 k  3 k + 2 k  3 k 

→  %M = 40%

n

∑  x = =

 b) s H  = 15 →  s H +  x´  H  2

2

2

 H 

i 1

 H  n

 

2

s M  = 10

2

H[( 15 ) +( 270 ) ] =

 x ∑ =

2

 H 

i 1

n

 

 x ∑ =

73125H =

2

 H 

i 1 n

M ( s M + x´  M ) = 2

 

2

 x ∑ =

2

 M 

i 1

n

2

2

M[( 10 ) +( 220 ) ] =

 

 x ∑ =

2

 M 

i 1

n

 

48500M =

 x ∑ =

2

 M 

i 1

n

n

 x ∑  x +∑ →  s = = = 2

 

2

2

 H 

 M 

i 1

i 1

–   x´ 2 =   – 

 

 H + M   62500 s = 63275  –  62500

 

2 s = 775

5 k 

2   –  – ( 250 )

2

   

73125 ( 3 k )+ 48500 ( 2 k )

S = 27.84 ∴ 

El porcentaje de hombres es 60% y mujeres 40%, y la d desviación esviación estándar $27.84

8. (26) (26) Los precios precios de un produc producto to en las 50 endas endas del del centro centro de una ciudad ciudad A varían entre 8 y 18 soles. Estos precios se han organizado en una distribución de frecuencia con 5 intervalos de amplitud iguales, resultando que en el 16, 56, 76 y 90 por ciento de estas endas los precios fueron inferiores a 10, 12, 14, y 16 soles , respecvamente. Un estudio similar mostró que en las endas del centro de otra ciudad B, la media de los precios del mismo producto resultó ser 13.5 13. 5 soles soles con una desviaci desviación ón estánd estándar ar de 3 soles. soles. Una enda, enda, que ene ene

 

sucursales en los centros de las ciudades A y B, vende el producto en la ciudad B a 12 soles. Si esta enda, ende a jar sus precios de acuerdo al medio, esme el precio al que vende este producto en la ciudad A.  

Solución Tabla de datos de A Intervalo s [8, 10) [10, 12) [12, 14) [14, 16) [16, 18]

 

8+5A = 18

 

5A = 10

 

A=2

 x i   x i   x i 9 11 13 15 17

8 20 10 7 5

0.16 0.40 0.20 0.14 0.10

n

 

i)  x´  A =

h  x  = 9(0.16) + 11(0.40) + 13(0.20) + 15(0.14) + 17(0.10) ∑ = i

i

i 1

 x´  A= 12.24

  n

 

2

h  x - x´ = (0.16)(81) + (0.4)(121) + (0.2)(169) + (0.14)(225) + ∑ = 2

s A =

i

2

i

i 1

(0.1)(289) –( 12.24 )2 2

 

s A = 5.7424

 

s A  = 2.3963

   

s B = 3

ii)  x´ B= 13.5 ᴧ

→ Aplicamos el método de métodos estandarizados Z; como es para un mismo

 

producto debe tener el mismo rendimiento

 

Z=

 X  A −¿ ´ x s A

 A

¿ =

 X  A −¿ 12,24 2.3963

 X B −¿ x ´

¿ =

B

sB

¿ 

12−13.5 3

 

 X  A  – 12.24 = -1.19815    

 X  A  = 11.04 ∴ 

Se debe vender a $11.04 en la ciudad A.

 

9. (32) (32) La tabla tabla que que se prese presenta nta a con connua nuació ción n corresp correspond onde e a un númer número o de personas que se encontró en una muestra tomada en 4 distritos y que son consumidores de un producto. La tabla muestra la clasicación por distrito y por edad y sexo:

Edad Hombres 20 - 30 30 - 40 40 - 50

Distrito

Edad Mujeres 20 - 30 30 - 40 40 - 50

Lince

15

45

32

22

18

60

Lima

50

32

28

25

44

22

Pueblo libre

15

36

45

32

60

18

Surco

40

24

14

46

45

24

a) Compare la variabilidad variabilidad de las edades edades de los hombres y mujeres mujeres de Lince.  

b) Compare la variabilidad de las edades en Lima y Pueblo Libre.

 

c) Compare la variabilidad de las edades de hombres y mujeres de la muestra.

 

d) Halle la varianza de las edades de toda la muestra.

 

Solución

  a)

Hombres  I i

 

xi

 

f i

[20, 30)

25

15

[30, 40)

35

45

[40, 50]

45

32 N = 92

i)

 

 x  x = ´  =

ii)

s=

∑ f   x  = 36.85 i

i

n

√

∑ f   x  − x´  = 2

i

i

2

n

→ CV  H  =

6.9 s  = 0.187  =  x´ 36.85

Mujeres

 

 I i

 

xi

1405.435 −( 36.85)  = 6.9 √ 1405.435

 

f i

[20, 30) [30, 40)

25 35

22 18

[40, 50]

45

60

2

 

  n = 100  

∑ f   x  = 22 ( 25 )+18 ( 35 ) +60 (45)   = 38.8 i

 x  x = ´  =

i)

i

n  

√

ii)

s=

∑ f   x  − x´   = √ 1537 1537− 1505.44  = 8.219 2

i

i

∴ En

 

2

n

s 8.219  = 0.212  = 38.8  x´

→ CV  M  =

 

 

100

el distrito Lince hay más homogeneidad en los hombres.

b) variabilidad entre Lima y Pueblo Libre

 

Lima

 

 I i

xi

 

f i

[20, 30)

25

85

[30, 40)

35

76

[40, 50]

45

50 n = 211

 

i)

 x  x = ´  =

∑ f   x  = 85 ( 25 ) +76 ( 35) +50(45 )   = 33.34 i

i

211

n

2

   

 

ii)

s=

√

∑ f n  x  − x´   = √ 1172.87−(33.34 )  = 7.83

→ CV  L =

i

i

2

s 7.83  = 0.235  = 33.34  x´

Pueblo Libre

2

 

 I i  

 

 

xi

f i

[20, 30)

25

47

[30, 40)

35

96

[40, 50]

45

63

n = 206  

i)

 x´  PL=

 

ii)

s PL =

√

i

i

206

n

∑ f   x  − x´   = √ 1332.76 1332.76 −( 35.776 )  = 7.269 2

i

i

∴ Hay

 

c)

2

2

n

7.269

→ CV  PL =

 

 

∑ f   x  = 47 ( 25 ) +96 ( 35 )+ 63 (45 )   =35.776

35.776

 = 0.203

más homogeneidad en Lima.

Muestra de Hombres

 

 I i

 

xi

 

f i

[20, 30)

25

120

[30, 40)

35

137

[40, 50]

45

119

n = 376   i)

 

 

ii)

∑ f   x  = 120 ( 25 )+137 ( 35 )+119 ( 45)   =34.973

 x´  H =

i

i

376

n

√

s H  =

∑ f   x  − x´   = √ 1286.7 1286.7 −( 34.973 )  = 7.974 2

i

i

2

2

n

→ CV  H  =

7.974 34.973

 = 0.228

 

Muestra de Mujeres  I i  

 

xi

 

f i

[20, 30)

25

135

[30, 40)

35

167

[40, 50]

45

124

 

 

n = 426

  i)

 x´  M =

∑ f   x  = 135 ( 25 )+167 ( 35 )+124 ( 45)   =34.741

s M  =

∑ f   x  − x´   = √ 1267.7230 1267.7230 −( 34.741)  = 7.796

i

i

426

n

2

 

ii)

√

∴ 

 

i

2

2

n

7.796

→ CV  M  =

 

 

i

34.741

 = 0.224

Hay más homogeneidad en las mujeres que en los hombres.

d)

Toda la Muestra  I i

 

xi

 

f i

[20, 30)

25

255

[30, 40)

35

304

[40, 50]

45

243 n = 802

 

 x´ =

∑ f   x  = 255 (25 )+ 304 ( 35 ) +243 ( 45)   = 34.85 i

i

802

n

∑ f   x  − x´  = 255 (25 ) + 304 (35 ) +243 ( 45)   −( 34.85) s= 2

 

i

2

i

n

2

2

2

2

2

802

 

2 s = 1276.620948 −¿  1214.5225

 

2 s = 62.098