Practica 2 Mat1207

UNIVERSIDAD TECNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA PRÁCTICA N°2 DOCENTE: ING. MORANDO GUZMAN PAMELA MORAMAY MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES AUXILIAR: UNIV. GOMEZ MAMANI DENNIS ANGHELO SIGLA: MAT 1207 F FECHA DE EMISIÓN: 17/10/2023 FECHA DE ENTREGA: 31/10/2023 1.-Encuentre el operador eliminador de las siguientes funciones: a)

𝑥 5 + 6𝑥 4 + 21𝑥 3 + 52𝑥 2 + 9𝑥 + 258

b)

𝑎𝑒 𝑏𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

c)

𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥

d)

𝑒 5𝑥 (𝑥 + 1)3

e)

𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥

f)

(𝑥 − 2)𝟑 𝑐𝑜𝑠𝑥

g)

𝑒 −𝑥 (𝑥 + 3)3 𝑠𝑒𝑛3𝑥

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

2.-Resolver por coeficientes indeterminados: a)

𝑦 ′′ − 7𝑦 ′ = (𝑥 − 1)2

b)

𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑒 𝑥 + 𝑒 −2𝑥

c)

𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

d)

𝑦 ′′ − 𝑦 ′ = 2𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥

e)

𝑦 𝐼𝑉 − 4𝑦 ′′′ + 6𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥

f)

𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 10𝑒 −2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

g)

𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 1 = 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛𝑥

3.-Resolver por métodos abreviados u operador inverso. – a)

𝑦 𝐼𝑉 + 2𝑦 ′′ + 2𝑦 = 𝑒 −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑒 −𝑥

b)

𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = (𝑥 2 + 𝑥)𝑒 3𝑥

c)

𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 5𝑦 = 2𝑥 2 𝑒 𝑥

d)

𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

4.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales. a)

Por variación de parámetros: 𝑦 ′′′ + 𝑦 ′ = 𝑡𝑎𝑛𝑥

b)

Por CAUCHY-EULER (𝑥 + 3)2 𝑦 ′′ − 8(𝑥 + 3)𝑦 ′ + 14 = 0

Si se conoce la solución 𝑦1 = 𝑒 −2𝑥 de la ecuación:

c)

(1 + 2𝑥)𝑦 ′′ + 4𝑥𝑦 ′ − 4𝑦 = 0 𝑒𝑥 ; 𝑥

Si se conoce las soluciones 𝑦1 =

d)

𝑦2 =

𝑒 −𝑥 𝑥

de la ecuación:

4 𝑥

𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 𝑦 = 4𝑒 𝑥 5.- Resolver las siguientes aplicaciones. a)

Un resorte fijo en su extremo superior, soporta un peso en el extremo inferior, que alarga el resorte 15 centímetros. 



b)

Si el peso se baja 7,5 centímetros adicionales de su punto de equilibrio y se suelta, encontrar el periodo de vibración y la ecuación del movimiento del peso. Si el peso se hace descender 7,5 centímetros bajo su posición de equilibrio y se le aplica una velocidad hacia abajo de 30 centímetros por segundo, encontrar la distancia, bajo la posición de equilibrio, del punto más bajo que alcanza el peso; la velocidad máxima y el tiempo que se requiere para que el peso regrese a la posición de equilibrio por primera vez.

Considere un sistema masa-resorte-amortiguador con las constantes siguientes: 𝑁

𝑐 = 5 𝑁 𝑠/𝑚; 𝑚 = 2 𝑘𝑔; 𝑘 = 2 𝑚 ; 𝑥0 = 1 𝑚; 𝑣0 = 0 𝑚/𝑠: Resuelva la ecuación diferencial:

Considere que la fuerza amortiguadora es: 𝐹𝐴 = −𝑐 c)

𝑑𝑥 𝑑𝑡

Un circuito RLC está formado por un resistor 𝑅 = 12 [𝑜ℎ𝑚], un capacitor 𝐶 = 0,1 𝐹 y un inductor 𝐿 = 2 𝐻. Se conecta una fuente de voltaje que suministra 20 cos 5t V. Si inicialmente el capacitor esta descargado y no circula corriente alguna por el circuito, encuentre una expresión para la carga y la corriente en todo tiempo t.

Para resolver considere lo siguiente: 𝑣𝑟 = 𝑅𝐼;

𝑣𝐿 = 𝐿

𝑑2 𝑄 ; 𝑑𝑡 2

𝑣𝑐 =

𝑄 ; 𝑐

𝐼=

𝑑𝑄 𝑑𝑡

Además, la relación de los voltajes está dada por: 𝑣(𝑡) = 𝑣𝑟 + 𝑣𝐿 + 𝑣𝑐 d)

Resuelva el anterior problema considerando 𝑣(𝑡) = 10 𝑉

ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMAN DONCENTE DE CATEDRA

UNIV. DENNIS ANGHELO GOMEZ MAMANI AUXILIAR DE CATEDRA