Practica 12

Características en frecuencia de la DFT Práctica 12 Vargas Baza, David Azaraf; Maldonado Vázquez Miguel Armando Introducción. Para calcular el espectro de una señal continua o discreta en el tiempo, se necesitan los valores de la señal para todos los instantes de tiempo. Sin embargo, en la práctica, sólo nos fijamos en las señales de duración finita. En consecuencia, el espectro de una señal sólo puede aproximarse a partir de un registro de datos finito. El método de “enventanar”, generalmente empieza deseando una respuesta en frecuencia ideal, que puede ser representada como: (

∑

)

Donde, para truncar de manera simple, la ventana es una ventana rectangular: { De la modulación o teorema de enventanado tenemos que: (

)

∫

(

)

Donde ( ) es la convolución periódica de la respuesta en frecuencia deseada, con la transformada de Fourier de la ventada. Entonces, la respuesta en frecuencia ( ) será una versión “parcial o manchada” de la respuesta deseada ( ).

Donde es la respuesta al impulso correspondiente a la secuencia, que puede ser expresada en términos de ( ) como: ∫ El modo más simple de obtener el filtro de es definiendo un nuevo sistema con la respuesta al impulso dada por: { De manera más general, podemos representar como el producto de la respuesta al impulso deseada y una ventana de duración finita :

La elección de la ventana se rige por el deseo de tener tan corto en duración como sea posible, para minimizar los cálculos en la implementación, mientras se aproxima a un impulso, que es lo que se quiere lograr. este

Es decir queremos que altamente concentrado en

la

frecuencia para que la convolución reproduzca lo más fielmente posible la respuesta en frecuencia deseada. Usando una ventana rectangular tenemos conflictos en los requerimientos, donde: (

)

∑

⁄

{

Blackman: ⁄

{

⁄

Desarrollo.

Las ventanas más comúnmente usadas son: Rectangular: {

Bartlett o triangular: ⁄ {

⁄

Hanning:

{

Hamming:

⁄

1. Represente gráficamente las ventanas rectangular, triangular, hanning, hamming y blackman de longitud 32. Utilice las funciones boxcar(N), barlett(N), hanning(N), hamming(N), blackman(N) de MATLAB para calcular muestras de la ventana correspondiente y grafique utilizando plot(). Ventana rectangular (boxcar):

Ventana triangular (barlett):

Ventana Hanning:

Ventana Hamming:

Ventana Blackman:

2. Calcule la de 1024 de las ventanas rectangular, triangular hanning, haming y blackman de longitud 32, 64 y 128. Grafique el espectro de magnitud normalizado en escala lineal y logarítmica de cada ventana en el intervalo ( ). Grafique utilizando la función plot() y fftshift(). Para cada ventana determine y represente en una tabla: a. La altura relativa de lóbulo lateral secundario. b. El ancho de banda de primer nulo. c. La pérdida por muestreo espectral. d. El ancho de banda de ruido equivalente. Ventana rectangular (boxcar) para 32 puntos (función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

Ventana rectangular (boxcar) para 64 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

Ventana rectangular (boxcar) para 128 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

Ventana triangular (barlett) para 32 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

Ventana triangular (barlett) para 64 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

Ventana triangular (barlett) para 128 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

Ventana Hanning para 32 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

frecuencia

Ventana Hanning para 64 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

respectivamente):

Ventana Hamming para 64 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

Ventana Hanning para 128 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

Ventana Hamming para 128 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

Ventana Hamming para 32 puntos(función del tiempo y de la

Ventana Blackman para 32 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

Ventana

Rectangular

Triangular

Hanning

Ventana Blackman para 64 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

Hamming

Blackman

Perdida por Ancho de muestreo Banda de Ancho de banda espectral Ruido 32 0.6369 64 0.6367 128 0.6366 0.03125 32 0.8218 64 0.8161 128 0.8133 0.043056 32 0.8399 64 0.8444 128 0.8466 0.04545 32 0.824 64 0.8207 128 0.8191 0.0435676 32 0.8881 64 0.8847 128 0.8829 0.05570185

Nota: en todas las ventanas, al ser normalizadas, el valor máximo de cada lóbulo es 1. 3. Dada

Ventana Blackman para 128 puntos(función del tiempo y de la frecuencia respectivamente):

la

señal

, represente en el dominio del tiempo y de la frecuencia la señal que se obtiene al aplicar las ventanas rectangular, triangular hanning, hamming y blackman. Utilice ventanas y fft de 32, 64, 128 y 256. Represente gráficamente el espectro de magnitud en escala lineal y logarítmica en el intervalo ( )*. *Nota: en las siguientes figuras, la gráfica inferior izquierda es el espectro de magnitud en escala lineal y la gráfica inferior derecha es el espectro de magnitud en escala logarítmica.

Ventana rectangular 32 puntos:

Ventana triangular 64 puntos:

Ventana rectangular 64 puntos:

Ventana triangular 128 puntos:

Ventana rectangular 128 puntos:

Ventana triangular 256 puntos:

Ventana rectangular 256 puntos:

Ventana Hanning 32 puntos:

Ventana triangular 32 puntos:

Ventana Hanning 64 puntos:

Ventana Hanning128 puntos:

Ventana Hamming 256 puntos:

Ventana Hanning 256 puntos:

Ventana Blackman 32 puntos:

Ventana Hamming 32 puntos:

Ventana Blackman 64 puntos:

Ventana Hamming 64 puntos:

Ventana Blackman 128 puntos:

Ventana Hamming 128 puntos:

Ventana Blackman 256 puntos:

Conclusión. Con la ayuda los parámetros que se calculan en el punto 2, se observó que la ventana que permite un mayor ancho de banda de ruido equivalente (ENBW) es la ventana “blackman” y como se esperaba la que menor ENBW es la ventana rectangular, además de que es la ventana con menor perdida por muestreo en la frecuencia (lo cual es bueno). Se comprueba de que la ventana rectangular es la contiene una menor perdida en magnitud en su espectro, pero tiene una selectividad en frecuencia muy pequeña. Observamos que la ventana rectangular es la única que mantiene de mejor forma la señal en el dominio del tiempo pero su espectro muestra mayor irregularidad en comparación con las demás ventanas. Bibliografía. Digital signal Processing. G Proakis, D.Manolakis, 3ra edición Ed. Prentice Hall. Madrid, 1996. Discrete-Time Signal Processing. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck, 2da edición Ed. Prentice Hall.