PRACTICA 1 - Raz. Matematico

 

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

 “UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN”  CENTRO PREUNIVERSITARIO LÓGICA PROPOSICIONAL

CICLO OTOÑO 2019-II

EJERCICIOS DESARROLLADOS

3.  Dados los siguientes esquemas tautológicos:

1.  De los enunciados siguientes:

I.  I.   △   ↔  ~  ~ →   II.  II.  ~ → ~     Calcule los valores veritativos de p, q y r. A)VVV B)VFF C)FVF D)FVV D)FVV E)FFF

  ¿Llegarás temprano?   Salude al ingreso por favor.   El cuadrado de todo número real es positivo.   El pisco es peruano.









SOLUCIÓN: Tenemos los esquemas tautológicos:



  Estoy en la universidad. ¿Cuántos son proposiciones? proposiciones? A)1

B)2

C)3

D)4

∗  De los esquemas, resolvemos primero (II)

E)5

para reemplazar en (I) De II: ~ → ~    ≡      ~   De I:  △  ↔  ~  ~ →  ≡   △  →     

SOLUCIÓN:   ¿Llegarás temprano? temprano? (No es proposición, proposición, por ser pregunta)   Salude al ingreso por favor. (No es proposición, por ser una orden)   El cuadrado de todo número real es positivo. (Si es proposición)   El pisco es peruano. (Si es proposición)   Estoy en la universidad. (Si es proposición)









Donde:

 ≡    ≡    ≡  

CLAVE: D



∴  3 son son proposiciones

4.  De la falsedad de la proposición: proposición:

CLAVE: C

 → ~  ∨ ∼  → , determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares.  I)  ~ ∧∼ ∧∼ ∨∼    II)  ∼  ∨   ↔ ~  ∨   ∧    III)  →   →  ∨   ∧∼   A)FFF B)FVV C)VVF D)VFV E)VVV

2.  Formalice el siguiente enunciado: Si Juan es músico, entonces Juan es cantante; pero Juan no es músico, por lo tanto es cantante. Igualmente Juan es compositor, además, si Juan no hubiera sido compositor, entonces sería cantante. Indique su expresión equivalente más simple.

SOLUCIÓN:   la falsedad:

A)  Juan es músico y cantante. A)  B)  B)  Juan es cantante y compositor C)   Juan es músico y compositor. C) D)   Juan es cantante o músico. D) E) E)   Juan es compositor compositor o cantante.

Donde:

 → ~   ∨ ∼  →   ≡           

 ≡    ≡    ≡    ≡  

Reemplazando:

SOLUCIÓN:

I) 

~ ∧∼ ∧∼ ∨ ∼  ≡ ∼  ≡   

II) 

∼  ∨    ↔ ~  ∨   ∧  

III) 

∼  ∨   ↔ ~  ∨   ∧    ↔   ∧      ∧       →  →  ∨  ∧∼    →  →  ∨  ∧∼    →  ∧     ∧    

Simbolizando la proposición con: p : Juan es músico q: Juan es cantante r: Juan es compositor Se obtiene:

 →  ∧ ∼  →   ∧  ∧ ∼  →    ~  ∨   ∧  ∨  ∧  ∧  ∨    ∨ ∼  ∧    ∧     ∨ ∼  ∧    ∧     ∨   ∧    ∧  

CLAVE: A

∴ Juan es cantante y compositor CLAVE: B

1

 

  RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Práctica 01

5.  El valor de : ∼ ∼  ∨   ∨  →  ∧ ∼  ∨    →  ∧ ∼   

7.  De la falsedad:  → ~   ∨  ∼  → ~    

es verdadera.

Halle el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares. moleculares.  I.  ~~  ∨ ∼   → ~   II.  ~~  ∧   ↔ ~ → ~    III.   → ~ → ~ →  

Hallar el valor de verdad de p, q y r. A)VFV B)VVF C)FVV D)VFF E)FFV

SOLUCIÓN: Se tiene:

A)VFF

∼ ∼  ∨    ∨  →  ∧ ∼  ∨   →  ∧ ∼    ≡    





∼

B)FVV

C)FFF C)FFF

D)VFV

SOLUCIÓN:   De la falsedad:

   

 → ~   ∨  ∼  → ~   =          

  

E)FVF

 

Donde:

Donde:

 ≡    ≡    ≡    ≡  

Reemplazando:

 ≡    ≡    ≡  

 I) 

~~  ∨ ∼   → ~  ~~  ∨ ∼   → ~  ~  →       II)  ~~  ∧   ↔ ~  → ~    ~~  ∧   ↔ ~  → ~    ~ ↔      III)   → ~ → ~ →     → ~ → ~ →     → ~ → ~    → ~   

CLAVE: A

6.  Si la proposición:  ∧  ∨∼  →  es falsa. Las siguientes proposiciones son:  I.  ∼  ∨   △  ↔ ~   II.  ~ → ~    →  ∧     III. ∼  ∨   ↔ ~ ~ △     A)VVV B)VFV

C)FFV

D)FVV

E)FVF

CLAVE: C

SOLUCIÓN:  ∧  ∨∼  →  ≡   Donde:  ∧    ≡    ≡       ≡    

8.  Simplificar: ~ →  ↔ ~ →   A)p

C) ∧   D) ∨   E)  ↔   

SOLUCIÓN: ~ →  ↔ ~ →    →  ↔  →    →  →  →  ∧  →  →  →   ~~  ∨    ∨ ∼  ∨     ∨ ∼  ∨   ∧ ∼ ∼  ∨   ∧ ∼   ∨ ∼  ∨  ∧  ∧ ∼   ∨ ∼  ∨   ∼  ∨  ∧ ∼  ∨    →  ∧  →    ↔  

Reemplazando:  I) 

B)q

∼  ∨   △  ↔ ~  ∼  ∨    △  ↔    ∼  △  ↔    ↔    

 II)  ~ → ~  →

 ∧    ~ → ~    →  ∧    ~ →  ∧     ∧       III) ∼  ∨   ↔ ~ △    ∨  ↔ ~ ~ △    ↔  △      △     

CLAVE: E Equivalencias:

 ↔  ≡  →   ∧  →    ↔  ≡  ∧  ∨ ∼  ∧ ∼      ↔  ≡ ∼  ↔ ~  

9.  Si  ∗  ≡  → ~  ;  ⋕  ≡ ~  ∗ ∼   CLAVE: B

Reducir:  =  ⋕ ~   ⋕ ~  ∗   ∗   A)p B)~  C)  D) ~  E) ∨  

2

 

  RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Práctica 01

13. Reducir el siguiente circuito:

SOLUCIÓN:  ∗  ≡  → ~  ;  ⋕  ≡ ~  ∗ ∼  ≡ ~  →  

~    

 =  ⋕ ~   ⋕ ~  ∗     ∗    →  ⋕  →  ∗       →  →  ∗    ∗    → ~  

~     

~ 

~  A)p

B)q

C)∽   D)  ∧   E)∽  

SOLUCIÓN: Simbolizando el circuito se obtiene:

 ∼  ∨  ∨   ∧ ∼  ∨  ∨∼ ∨∼  ∧∼  

~  ∨   ∼   CLAVE: B

CLAVE: C

10. Si  ⊡  ≡ ∼  ∧ ; Reduzca:  ⊡ ∼   →  ⊡  ⊡   A)F B)V C)p D)q E) ∼   SOLUCIÓN:  ⊡ ∼   →  ⊡  ⊡   ∼  ∧ ∼   → ∼  ∧   ⊡   ∼  → ∼ ∼  ∧   ∧   ∼  →  ∨ ∼   ∧   ∼  →  ∧    ∨  ∧    

14. Simplificar el circuito:     ~  ~   ~  ~     

 

  ~  ~  ~   ~ ~     ~ ~     A)p B)q

C) ∧   D)  ∨  

E)∽  

SOLUCIÓN: I)  I)  Lado izquierdo del circuito: hacemos cambio de variables

CLAVE: C

11. Simplifique:  ∧  ∨  ∧  ∧   ∨  ∨   =  ∨   ∧  ∨  ∨   A) ∨   B) ∨   C) ∨   D) ∨ ∼   E) ∧ ∼   SOLUCIÓN:

 ∨ ∼    ∧  ∨ ∼   ∨ ∼  ∧    ∨ ∼  ∧     ∧     ∨ ∼  ∨ ∼     ∨ ∼  ≡   II)  II)  lado derecho del circuito

 ∧  ∨  ∧  ∧   ∨  ∨   =  ∨   ∧  ∨  ∨  

 ∨ ∼    ∧  ∨ ∼  ∧    ∨    ∧  ∨  ∨    ∧  ∨  ∨    ∨  

 ∨  ∨    =  ∨  ∧   =  ∨  ∧  ∨  ∨    =  ∨   CLAVE: A

Finalmente, juntando juntando I y III: I:

 ∧   ∨   ≡  ∨  

12. Simplificar la proposición que corresponde corresponde al circuito:

CLAVE: D

~

A

A)p

  B)q



  ~    C)∽   D)  →  

15. Indique la simbolización correcta del siguiente circuito lógico:

  

 B 

~1   ~2  

E)∽  

2  

SOLUCIÓN:   Simbolizando el circuito se obtiene: ∼  ∧   ∧    ∨  ∨ ∼  ∨     ∧  ∨ ∼  ∨       ∧  ∨ ∼  ∨     CLAVE: A

 A)   B)  C)   D)   E) 

3

~3   3 

 ∨   →  ∨   ∧  →     ∨   →  ∨   ∨  →     ∧   →  ∨   ∧  →     ∧   →  ∧   ∧  ∨     ∧   →  ∨   ∧  →   

 

  RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Práctica 01

5.  Si:   ∧ ∼   →    ; es falsa, determinar los

SOLUCIÓN:  

valores de verdad de “p”, “q” y “r”.  

Simbolizando el circuito se obtiene: 

 ∨∼  ∨∼  ∨   ∧ ∼  ∨   ∼  ∨∼  ∨  ∨   ∧ ∼  ∨    ∼  ∧   ∨   ∨   ∧  →     ∧   →   ∨   ∧  →   

A)VVF D)VFV

proposición verdadera. Determine los valores de verdad (V) o falsedad (F) de q, r y s en ese orden.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.  ¿Cuántas de las siguientes expresiones son proposiciones?

A)VVV D)FFV

a)  a) Recoge ese lápiz b)  b) La raíz cuadrada de -1 es un número imaginario. c)  c) x  x +y= 5 d)  d) 2+ 5 = 6 e)  e) Sócrates nació en Atenas f)  f)  ¿7 es número primo? g) g)  El símbolo del oro es Au h) h)  Cristóbal Colón conquistó el Perú i) i)   ¡Hace mucho calor! B)3

C)4

D)5

C) VVV

6.  Si la proposición: [(∼p∨q)→(q↔r)] ∨(q∧s) es falsa, siendo p una

CLAVE: E

A) 2

B) VFF E) FFF

B)VFV E) FFF

C)VFF

7.  Si la proposición ( ~p → q ) ∨ ( r → ~s ) = F Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. proposiciones. I.- ( ~ p ∧ ~q ) ∨ ~q II.- ( ~r ∨ q ) ↔ [ ( ~q ∨ r) ∧ s ] III.- ( p →q ) → [ ( p ∨ q ) ∧ ~q ] A) VVV D) FVV

E)6

B)VVF E)FFF

C)VFF

8.  Si se sabe que  ∧  ≡  y  →  ≡ ,

 

2. Si: :   = 16   :  − 4 = 8   :   − 4 > 5 

Cuales son los valores de verdad de: I.  I.   →  ∧   →  ∨   II.  II.   →   ∧  → ∼     III.  III.  ∧  ∨   ↔  →   

Halle el valor de verdad de: I. I.   {[ {[ ⋀ ] ↔ [ ∨  ]} →   II.  II.  [∧∼  ] ↔   A)FF

B)VF

C)FV

D)VV

A)VVF

B)FVF

C)VVV C)VVV

D)FFV

E)VFV

9.  La proposición compuesta (p∧q) →(q→ r)

E) N.A.

3.  Negar la proposición: “Si Luis estudia o

es falsa, podemos afirmar: I.- p  q es falsa II.- q → r es verdadera  III.- p  ~q es falsa

trabaja, entonces no viaja”.

A. A.   Luís no estudia, no trabaja y no viaja. B. B.   Luís estudia o trabaja, pero viaja. C. C.   Luís estudia o trabaja, pero no viaja. v iaja. D. D.   Luis estudia o no trabaja, pero viaja. E.  Luís no estudia o trabaja, pero no viaja.

A)Solo I C)Solo III

B)Solo II D)I y II

E)Todas

10.  Se define: p #q ≡~(p → q). Además la

4.  Reduzca la siguiente proposición: No es

proposición: ~{ [~p # (~p △ q)] # (r (r V ~q) } es falsa. Hallar Hallar los valores de verdad de: p , q y r.

cierto que, Ricardo sea una persona tranquila y un doctor, entonces Ricardo es maestro o no es una persona tranquila; además Ricardo es maestro.

A) VVF

B) FFF

C) FVF D) FFV E) VVV

11.  Si se cumple que:  ∗  ≡ ∼  ∧    ∇  ≡  ∨  

A) A)   Ricardo es tranquilo. B)  B)  Ricardo es doctor. C) C)   Ricardo es tranquilo y doctor. D) D)   Ricardo es maestro. E)  E)  Ricardo es doctor y maestro.

Reduzca:

∇[( ∼∇~  {∇ [( ∨  ∗ ) ∧ ]} → ~ ∗ ∼ A)p 4

B)pvq

C)~ 

D)q

E) ∼  

 

  RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Práctica 01

12.  Simplifique:

∼  ∧  ∨ ∼  ∨  ∨   →  ∨  ∧  →  ∧  ∧ ∼    A)V B)F C) ∨   D) →   E)    ∧  ∨∼   13. Se define % mediante la tabla: %  p q V

V

F

V F F

F V F

F V F

Halle la conclusión final de:

~% % ∧∼  % ∼   %∼  ∨  %∼  % ∼     A) A)   VVVV D) VFFF

B)FVFF E)FFFF

C)FFVF

14. Simplifique y dé el equivalente del siguiente circuito lógico.

  ~  ~  

    ~ ~    

 

  ~ ~  

 

~   A) 

∼  ∧  

 B) 

 ∨ ∼   C)  ∼  ∧    D)      E)  ∼  

15. Sabiendo que la instalación de cada llave cuesta S/. 20. Cuánto se ahorraría ahorraría si hacemos una instalación mínima; pero equivalente a: ~p

r  ~p

r 

~ r 

 p

A)s/.20 D)s/. 50

B)s/. 30 E)s/. 100

~q

 p

 p

q

C)s/.40

5