Practica 1 Grupo 15

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

ECBTI

COMPONENTE PRÁCTICO #1

CONTROL DIGITAL

ACTIVIDAD PRACTICA #1 FASE 1

PRESENTADO POR:

Carolina Ramírez Oliveros Código: 22.523.527 William Jesús Pulido Código: 2.231.241

GRUPO: 299006_15

Tutor: Freddy Valderrama

Abril 2016

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ECBTI

COMPONENTE PRÁCTICO #1

INTRODUCCION

Luego de analizar la guía se realiza el siguiente informe en el cual se presenta la comprobación de 4 scrip, en el software de Matlab, además de comprobarlos se realiza un análisis en cada uno de los casos, explicando los diferentes comandos. Se realiza la simulación cuando es modificado el polo de Gp1, analizando lo que sucede para cada cambio o caso y representándolo en una tabla de anlaisis. Además encontramos la diferencia que existe entre con pzmap, versus los resultados de rlocus, y una tabla resumen donde se especifica para que sirve algunos comandos encontrados en los scrip propuesto. Por ultimo encontramos la comprobación de los resultados teóricos del ítem a del ejercicio 3. Los resultados se obtienen después de realizar las simulaciones el software y el posterior análisis de los cambios y resultados obtenidos en cada simulación. En este informe se plasman las gráficas obtenidas como resultado en cada ejercicio con el fin de hacerlo más visual y fácil de entender, ya que analizando cada de una de estas podemos obtener nuestras propias conclusiones.

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OBJETIVOS Este trabajo se realiza con el fin de: 

Interiorizar los conceptos de la unidad 1, mediante la solución de ejercicios prácticos desarrollados en la herramienta computacional escogida que fue Matlab.



Adquirir destreza en el uso de las herramientas computacionales

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DESCRIPCIÓN DE LA PRÁCTICA

Procedimiento (Experimento):

1. Seleccionar el software a utilizar durante el desarrollo de las prácticas. 2. Leer tutoriales y observar los videos recomendados en la caja de herramientas de acuerdo al software seleccionado. 3. Pruebe el siguiente script en la ventana de comandos de octave:

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

Dibuje un diagrama de bloques correspondiente al script:

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Responda también las siguientes preguntas: 

Con sus palabras, explique cuál es la utilidad del comando “c2d”

El comando c2d convierte un sistema de tiempo continuo en tiempo discreto, debe ir acompañado del periodo de muestreo y del método de discretización estos métodos son, Zoh, foh, Tustin, prewarp, matchedetc, Foh) 

¿Qué significa zoh en la sexta linea de programación?

Es un método de discretización denominado retenedor de orden cero, un hold, un congelamiento. Este método asume que las entradas de control son por tramos constantes durante el periodo de muestreo Ts.



¿Por qué las señales difieren si en el último comando se elimina la constante 20?

Las señales difieren por que el sistema Gp1d esta amplificado por la constante 20, lo que resulta una amplitud de 38.4. Entonces al eliminar la constante 20, la señal resultante realiza el muestreo exacto de la señal continua.

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Señal con la constante 20:

Señal sin la constante 20:

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

Ahora modifique la ubicación del polo de Gp1 que actualmente está en -3 y coloque sus observaciones en la siguiente tabla:

PRUEBA

1

UBICACIÓN DEL POLO

OBSERVACIONES

-4

= 1.25

2

-5

=2

=

2.5 + 0.8

= 1.96

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3

4

= 1.34

= 2.23

=

= 1.43

= 2.44

=

2.5 + 0.8

= 1.86

-6

-60

2.5 + 0.8

= 1.79

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= 3.94

5

0

6

2

= 7.74

=

2.5 + 0.8

= 1.37

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Si modificamos los polos de -4 a -60, se puede observar en las gráficas arrojadas que el sistema se vuelve sobre amortiguado, es decir que el coeficiente de amortiguamiento

y

la

frecuencia

natural

no

amortiguada

aumentan

considerablemente, reduciendo el tiempo de asentamiento. Al ubicar uno de los polos en 0, el sistema resultante solo tendría un polo en -1, pues el polo en cero está ubicado en la zona neutral. Este polo en 0 hace que el sistema tienda a un valor finito, es decir que el sistema es críticamente estable. No posee una frecuencia natural ni factor de amortiguamiento. Al modificar uno de los polos en 2, queda ubicado en el la zona derecha del plano complejo, lo que significa que el sistema resultante es inestable, el sistema tiende a infinito y la salida del sistema estará sin acotar para cualquier entrada. 4. Pruebe el siguiente script en la ventana de comandos de Matlab:

Describa los resultados en su informe, realice pruebas para al menos 6 valores diferentes de p1 de acuerdo a la siguiente tabla:

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PRUEBA

P1 OBSERVACIONES

1

4

2

5

3

6

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4

0

5

-2

6

-4

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Al modificar los polos de -4 a -6, estos quedan ubicados dentro del circulo unidad del plano complejo z, lo que significa que el sistema LTI es estable. Al modificar el polo en 0, este queda ubicado en la zona critica del circulo unidad del plano complejo z, lo que significa que el sistema LTI es marginalmente estable y su respuesta tiende a un valor finito en el tiempo. Al modificar el polo de 2 a 4, estos quedan ubicados fuera del circulo unidad del plano complejo z, es decir que el sistema LTI es inestable y su respuesta ante cualquier entrada tiende a infinito. 5. Pruebe el siguiente script en la ventana de comandos de Matlab.

Describa los resultados en su informe, realice pruebas para al menos 6 valores diferentes de p1 de acuerdo a la siguiente tabla:

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PRUEBA

P1

1

4

2

5

3

6

OBSERVACIONES

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4

0

5

-2

6

-4

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Al analizar, que al variar la ubicación de los polos, se logra determinar que a medida que P1 sea positivo, el sistema es estable, ya que las trayectorias salen del círculo buscando los ceros, ya sean que estén dentro del mismo círculo o en infinito. Cuando P1 vale cero, el sistema se vuelve críticamente estable, pues uno de los polos esta justo en el borde del círculo unidad, provocando una salida que tiende a un valor finito. Cuando P1 se vuelve negativo, los polos se salen del círculo unidad volviendo al sistema completamente inestable. 

¿Cuál es la diferencia entre los resultados obtenidos con pzmap, versus los resultados de rlocus?

Pzmap tiene como función mostrar solo la ubicación de los polos y ceros de los sistemas analizados en el plano complejo z, y rlocus calcula y grafica las raíces del sistema que sirve para analizar el lazo de realimentación negativa y a su vez muestra las trayectorias de los polos a lazo cerrado cuando la ganancia K varia de 0 a infinito. 6. Pruebe el siguiente script en la ventana de comandos en Matlab:

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

Describa los resultados en su informe.

Al ejecutar el código anterior tenemos como resultado la siguiente gráfica.

La grafica de color azul es la respuesta al impulso en lazo cerrado de la planta digitalizada Gp1d, la cual ha sido muestreada con un periodo de 0.1s y con el método ZOH (retenedor de orden cero). La grafica de color verde es la respuesta al impulso en lazo cerrado de la planta digitalizada Gp1d en serie con el controlador Gc. 

Indique con sus palabras para que sirve cada comando implementado y Realice un diagrama de bloques correspondiente con el script. COMANDO

EXPLICACIÓN

Clc

Limpia la ventana de comandos

Clear all

Quitar elementos de espacio de trabajo, liberando la memoria del sistema

Close all

Borra todas las figuras activas

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s=tf('s')

Crea un modelo de Función de Transferencia utilizando la variable de Laplace, s.

Gp1=8/((s+2.2)…

Crea la variable Gp1, a la cual se le asigna la función de transferencia en el dominio de la frecuencia

z=tf('z',0.1)

Crea un modelo de Función de Transferencia utilizando la variable z como modelo en tiempo discreto con un periodo de muestreo de 0.1s

Gp1d=c2d(Gp1,0.1,'zoh') el comando c2d convierte la variable Gp1 de tiempo continuo a discreto, el 0.1 es el periodo de muestreo y ZOH es el retenedor de orden cero (esto se denomina digitalizar una planta) Gc=(8.5484*z^2...

Crea la variable Gc, a la cual se le asigna la función de transferencia en el dominio de la frecuencia

Glcs=feedback(Gp1d,1)

Crea la variable Glcs, a la cual se le asigna el valor de la función de transferencia de la planta Gp1d en lazo cerrado.

step(Glcs)

Grafica la respuesta al impulso del sistema Glcs (lazo cerrado)

Gla=series(Gp1d,Gc)

Crea la variable Gla, la cual tiene como resultado la conexión de dos sistemas en serie, en este caso Gp1d y Gc, es igual que multiplicar Gp1d*Gc

Glcc=feedback(Gla,1)

Crea la variable Glcc, a la cual se le asigna el valor de la función de transferencia de la planta Gla en lazo cerrado.

Hold

Retiene la gráfica anterior mientras se realiza la siguiente grafica

step(Glcc)

Grafica la respuesta al impulso del sistema Glcc (lazo cerrado)

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

¿Qué diferencia hay entre Glcs y Glcc?

La grafica Glcs es la respuesta al impulso en lazo cerrado de la planta una vez digitalizada con un periodo de T=0.1s. La grafica Glcc es la respuesta al impulso en lazo cerrado de la planta, con un controlador PID implementado con el fin de modificar el tiempo de establecimiento y el sobre impulso máximo. 

Establezca el tiempo de asentamiento y el sobre impulso resultante cuando se aplica el controlador Gc, comparado con el obtenido sin aplicar Gc.

Tiempo de asentamiento y sobre impulso sin Gc:

Como se observa en la gráfica anterior, la respuesta del sistema sin el controlador Gc establece un tiempo de asentamiento de 2.64 seg. Y un sobre impulso de 21.8%

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Tiempo de asentamiento y sobre impulso con Gc:

Como se observa en la gráfica anterior, al aplicar el controlador al sistema anterior el tiempo de asentamiento se redujo a 0.527 seg. Y el sobre impulso paso a solo del 7%



¿Qué ventajas tiene la implementación de Gc?

La ventaja al implementar el controlador Gc, es que mejora la respuesta del sistema, haciendo que tenga un sobre impulso y un tiempo de asentamiento menor, con el fin de hacer el sistema más estable y con menor susceptibilidad a los errores y perturbaciones. 

Procedimiento (Ejercicio práctico):

Teniendo en cuenta los experimentos realizados anteriormente y sus resultados de la parte teórica de la fase 1 del curso, diseñe un script que permita comprobar los resultados teóricos del ítem a del Ejercicio 3 (Anexo 1 de la guía integrada de actividades). Muestre claramente un análisis de los resultados y plasme las gráficas obtenidas en su informe.

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Teniendo en cuenta el mismo esquema de esquema de control de la Figura 1. Diseñe un controlador PID digital (T=0.1s) usando el método de Ziegler Nichols, tal que el tiempo de establecimiento sea menor a 2 segundos y el sobreimpulso sea menor al 20%, para la siguiente planta: ( )=

10 1 + 2 ( + 2)

Solución: Método - Ziegler y Nichols. Se obtiene experimentalmente la respuesta de la planta a una entrada escalón y Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, si la respuesta no tiene oscilaciones y además posee un retardo tal que se forma una “s”, puede obtenerse los parámetros del controlador PID utilizando el primer método.

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Calculamos la respuesta al impulso en lazo abierto y la recta tangente con el siguiente script: clc clear all close all s=tf('s') H=10/((s+1/2)*(s+2)) step(H) hold on dt=0.01 t=0:dt:10 y=step(H,t) dy=diff(y)/dt [m,p]=max(dy) y1=y(p) t1=t(p) plot(t1,y1,'*g') hold on t2=0:1:10

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y2=m*(t2-t1)+y1 hold on plot(t2,y2) plot(y2,t1)

Los valores de L y T son: L=0.2767 T= 3.397-0.2767= 3.1203 T= 3.1203

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Calculo de = .

Calculo de =

= .

Calculo de = .

=

para el controlador PID .

para el controlador PID para el controlador PID

= .

Simulamos en Matlab el controlador PID

Hacemos Tune para cumplir con las condiciones del diseño (tiempo de establecimiento sea menor a 2 segundos y el sobreimpulso sea menor al 20%).

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Nuevos valores de

= 6.0755,

= 2.5635,

= 1.3494 para que cumpla un

tiempo de asentamiento de 1.4seg y una sobre impulso 4% Para encontrar la función del controlador PID usamos: ( ) =

+

( ) = 6.0755 +

+

2.5635

∗

+ 1.3494

Con el siguiente script discretizamos el controlador por el método de Euler hacia atrás, reemplazando clc clear all close all s=tf('s') z=tf('z') Kp=6.0755 Ki=2.5635 Kd=1.3494 F=10 T=1/F Sc=(1-z^-1)/T Gc=Kp+(Ki/Sc)+Kd*Sc

=

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Como resultado obtenemos la función de transferencia del controlador PID discretizado: ( )=

.

− . + . . ( − )

Con el siguiente script vamos a verificar el comportamiento de la planta implementando el controlador Gc clc clear all close all s=tf('s') z=tf('z') Kp=6.0755 Ki=2.5635 Kd=1.3494 F=10 T=1/F Sc=(1-z^-1)/T Gc=Kp+(Ki/Sc)+Kd*Sc Gp1=10/((s+1/2)*(s+2)) Gp1d=c2d(Gp1,T,'zoh') Glcs=feedback(Gp1d,1) step(Glcs) Gla=series(Gp1d,Gc) Glcc=feedback(Gla,1) hold step(Glcc)

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Como resultado se puede apreciar la siguiente respuesta del sistema:

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La implementación del controlador no cumple con su función, pues se debe cumplir la condición de que el periodo de muestreo debe ser mayor a:

>

Para solucionar esto, aumentamos la frecuencia de muestreo a f=30Hz, lo que equivale un periodo de T=0.03 seg, tanto para digitalizar la planta como para discretizar el controlador PID. Al realizar los cálculos nuevamente obtenemos los siguientes resultados. Controlador PID discretizado: ( )=

.

− .0

.

(

+ − )

.

= 0.033

Al ejecutar nuevamente el script con una frecuencia de 30Hz (T=0.033) obtenemos la siguiente respuesta:

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En esta grafica se puede apreciar que la respuesta de la planta al implementar el controlador PID, mejora la respuesta de la salida, se disminuye el tiempo de asentamiento y el sobre impulso máximo.

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CONCLUSIONES



Con el fin de hacer un sistema más estable y con menor susceptibilidad de perturbaciones implementamos un Gc, el cual mejora la respuesta del sistema, haciendo que exista un tiempo de asentamiento menor.



Es muy importante conocer los diferentes métodos de discretización (Zoh, foh, Tustin, prewarp, matchedetc, Foh)



Cuando los polos quedan ubicados fuera del circulo unidad del plano complejo z, el sistema es inestable y su respuesta ante cualquier entrada tiende a infinito.



Cuando los polos quedan dentro del círculo unidad del plano complejo z, el sistema es estable.



Un sistema es críticamente amortiguado cuando se encuentra en el límite de las raíces y cualquier disminución o aumento en sus variables originaria oscilaciones



Si necesitamos solo ubicar los polos y ceros de los sistemas analizados en el plano complejo z utilizamos Pzmap



Si necesitamos calcular y graficar raíces del sistema y así analizar el lazo de realimentación negativa utilizamos rlocus



Una ves realizamos los cálculos de PID de un controlador y lo simulamos en el software podemos hacer un tuning para mejorar la estabilidad del sistema.

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BIBLIOGRAFIA

Palmieri D, (2010), Sistemas muestreados. Argentina, Universidad Nacional de Quilmes, Departamento de Ciencia y Tecnología. http://datateca.unad.edu.co/contenidos/299006/299006/20152/material_de_estudio/CODIES2010_Cap2_Sistemas%20Muestreados.pdf Sacerdoti J, (2006), Transformada Z. Argentina, Universidad de Buenos Aires, Facultad de ingeniería. https://www.scribd.com/embeds/37560028/content?start_page=1&view _mode=scroll&access_key=key2kb7nzaa02q5jyq2joym&show_recommendations=false UNER, (2006), Diseño de sistemas de control en tiempo discreto. Argentina, Universidad nacional de Entre Rios, Departamento de Electrónica, programa de Bioingeniería. http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/materia l/Teorias/CAyA/teora%204%20y%205_2013_control%20digital.pdf