Práctica 1 A M 2

 

PRÁCTICA INTEGRAL DOBLE 1.  Problema de aproximación: En una fábrica de cemento la base de un montón de arena es rrectangular ectangular con dimensiones aproximadas de 20 por 30 metros. Si la base se coloca en el plano XY con un vértice en el origen, las coordenadas de la superficie del montón de arena son: (5, 5, 3), (15, 5, 6), (25, 5, 4), (5, 15, 2), (15, 15, 7), (25, 15, 3). Aproximar el volumen del montón de arena. 2.  Colocar los límites de integración en la integral doble

∬ , ,    

en uno y otro orden, si D es la región plana dada por: a)

:  ≥ , ,  ≥ 11,  ≤ 1 

b)

:  +  ≤ 1 

c)

: || + || ≤ 2 

3.  Grafique los dominios de integración de las integrales dobles e invierta el orden de integración.



 √  ∫ ∫ , ,     



√  − ∫ ∫ ,,    

4.  Calcular las integrales dobles, invirtiendo el orden de integración  

 5. 

   ∫ ∫  +   , > 0



   ∫ ∫     √ 

Problema de aproximación: las secciones transversales horizontales de un bloque de hielo desprendido de un glaciar tienen forma de un cuarto de círculo con radio aproximado de d e 50 pies. La base se divide en 20 subregiones como se muestra en la figura. En el centro de cada subregión, se mide la altura del hielo, dando los puntos siguientes en coordenadas cilíndricas 

5, 16 ,7,15, 16 ,8,25, 16 ,10,35, 16 ,12,45, 16 , 9 (5, 3 ,9),(15, 3 ,10),(25, 3 ,14),(35, 3 ,15),(45, 3 ,10) (5,5 (5, 5 16 ,9),(15,5 ,9),(15, 5 16 ,11),(25,5 ,11),(25, 5 16 ,15),(35,5 ,15),(35, 5 16 ,18),(45,5 ,18),(45, 5 16 ,14) 16 16 16 16 16 7 ,8),(25, 7 ,11),(35, 7 ,16),(45, 7 ,12)  ,5),(15, (5, 7 16 16 16 16 16  

 

 

a) Aproximar el volumen del sólido

b) El hielo pesa aproximadamente 57 libras por pie cúbico. c) Aproximar el número de galones de agua en el sólido si hay 7,48 galones por pie cubico.

 

,,  ∬ , ,   

6.  Transformar cada integral de coordenadas cartesianas



,,.   √    √−  ,      ∬ ∬,, , : 1≤  +  ≤ 4  ∫ ∫ ,,     ∫ ∫− , a coordenadas polares



7.  Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies  

=0, >0, >0.

  +   =   ,  +  =   

 + +   = ,  > 0 .  9.  Calcular el área de la esfera   +   +   =  ,  > 0 .  10.  Calcular el área de la superficie del paraboloide z = 1 +   +   que se encuentra sobre el círculo unitario   +   ≤ 1.

8.  Calcular el volumen de la esfera

11.  Proyecto Diseño industrial: Una empresa produce un objeto esférico de 25 centímetros de radio. Se hace una perforación de 4 centímetros de radio radi o a través del centro del objeto. Calcular a) el volumen del objeto y b)

el área de la superficie exterior del objeto.

12.  Proyecto Diseño industrial: Una empresa produce un objeto sólido de intersección de dos cilindros de 2 pulgadas de diámetro

 +  = 4  y  +   = 4. Calcular

a) el volumen del objeto y b)

el área de la superficie exterior del objeto.

13.  Proyecto Diseño de edificios: Se construye un auditorio sobre una base en forma de un cuarto de círculo con radio de 50pies. Así forma una región R acotada por la gráfica de

 +  = 50 con  ≥

0 y  ≥ 0. Las ecuaciones siguientes son modelos para el suelo y el techo  Suelo:z=  +5   Techo:z=20+    a) Calcular el volumen del auditorio, lo cual se necesita para determinar los requerimientos para la 100 calefacción y el aire acondicionado. b) Calcular el área de la superficie del techo.

14.  Proyecto Esferas Deformadas: calcular el volumen de las esferas deformadas. Estos sólidos se usan como modelos de tumores 

 

 

a) Esfera deformada

=1+0.2sin8sin  0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ 

b) Esfera deformada 

=1+0.2sin8sin4  0 ≤ ≤2 ≤2 , 0≤  ≤  

PARA MAYOR INFORMACIÓN   Para más información sobre estos tipos de esferas, ver el artícu lo “Heat Therapy for Tumors” de Leah Edelstein-Keshet en The UMAP Journal .