Ppt Rajo Abierto i Cono Movil Francisco Rodriguez

UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA PROGRAMA DE CONTINUIDAD DE ESTUDIOS - PCE INGENIERÍA CIVIL EN MINAS SEDE CALAMA

DISEÑO DE PIT FINAL MEDIANTE EL ALGORITMO DE CONO MÓVIL FLOTANTE U OPTIMIZANTE

 Alumno: Profesor: Profesor: Curso rso: Fecha:

Francisco J. Rodríguez Rodríguez Mena Víctor Víctor Rivera Rajo Abierto rto I 26-09-2014

INTRODUCCIÓN Uno de los objetivos mas importantes de la minería a rajo abierto es diseñar el contorno del pit final y de ese modo, determinar la reserva de mineral explotable, el tamaño y la forma al final de su vida. El tamaño y la forma del pit final depende de muchos factores incluido geología, topografía, la tasa de producción, altura del banco, angulos de talud, costos de extracción y procesamiento, porcentage de recuperación de los metales, comercialización y la ley de corte. La forma más básica de una ley de corte es, una calificación que se utiliza para clasificar el material mineralizado como mineral o esteril. Taylor (1972) define la ley de corte como: "Cualquier grado que por alguna razón especifica se utiliza para separar dos líneas de acción”. Considerando las variables que intervienen en el cálculo de la ley de corte, se entiende que es posible diseñar pits anidados que están en función de las variables que determinan la ley de corte. Por lo tanto cada pit es función del precio (P), del metal, la recuperación (R), el tonelaje (T), la ley del metal (L) y los costos (C). La minería al igual que en otros procesos industriales requiere de un análisis profundo de la forma de explotación de los minerales, una de las etapas cruciales que definen la rentabilidad o no de un proyecto minero a cielo abierto corresponde al diseño final óptimo del rajo abierto. La tecnología de procesamiento de información en base a modelos matemáticos de optimización, ha sido desarrollada durante muchos años por los principales centros de investigación de países desarrollados con importante influencia en inversiones mineras de gran magnitud. Es así que podemos recopilar importantes esfuerzos científicos desarrollados en Estados Unidos, Inglaterra, Rusia, Francia, Bélgica, etc. con miras a encontrar la fórmula o el algoritmo matemático mas eficiente y flexible para conseguir un diseño óptimo matemático de una mina a cielo abierto. • • • • • •

Entre los algoritmos mas importantes podemos destacar: Cono Movil o Método de Incrementos (USA)  Algoritmo de Korobov (Ruso) (Ruso) Programación Dinámica (Lerchs y Grossman) (Inglés y USA) Grafos de Lerchs y Grossman (Inglés y USA) Bosque Subcompactado de René Vallet (Belga) Parametrización de Reservas Minables de Matherón (Francia)

Casi todos estos métodos o algorítmos descritos, logran obtener o llegar con bastante aproximación al óptimo matemático (a excepción del Cono Movil), pero la diferencia se encuentra en la flexibilidad para el procesamiento y velocidad para converger en el óptimo matemático, que como se sabe es único.

INTRODUCCIÓN Uno de los objetivos mas importantes de la minería a rajo abierto es diseñar el contorno del pit final y de ese modo, determinar la reserva de mineral explotable, el tamaño y la forma al final de su vida. El tamaño y la forma del pit final depende de muchos factores incluido geología, topografía, la tasa de producción, altura del banco, angulos de talud, costos de extracción y procesamiento, porcentage de recuperación de los metales, comercialización y la ley de corte. La forma más básica de una ley de corte es, una calificación que se utiliza para clasificar el material mineralizado como mineral o esteril. Taylor (1972) define la ley de corte como: "Cualquier grado que por alguna razón especifica se utiliza para separar dos líneas de acción”. Considerando las variables que intervienen en el cálculo de la ley de corte, se entiende que es posible diseñar pits anidados que están en función de las variables que determinan la ley de corte. Por lo tanto cada pit es función del precio (P), del metal, la recuperación (R), el tonelaje (T), la ley del metal (L) y los costos (C). La minería al igual que en otros procesos industriales requiere de un análisis profundo de la forma de explotación de los minerales, una de las etapas cruciales que definen la rentabilidad o no de un proyecto minero a cielo abierto corresponde al diseño final óptimo del rajo abierto. La tecnología de procesamiento de información en base a modelos matemáticos de optimización, ha sido desarrollada durante muchos años por los principales centros de investigación de países desarrollados con importante influencia en inversiones mineras de gran magnitud. Es así que podemos recopilar importantes esfuerzos científicos desarrollados en Estados Unidos, Inglaterra, Rusia, Francia, Bélgica, etc. con miras a encontrar la fórmula o el algoritmo matemático mas eficiente y flexible para conseguir un diseño óptimo matemático de una mina a cielo abierto. • • • • • •

Entre los algoritmos mas importantes podemos destacar: Cono Movil o Método de Incrementos (USA)  Algoritmo de Korobov (Ruso) (Ruso) Programación Dinámica (Lerchs y Grossman) (Inglés y USA) Grafos de Lerchs y Grossman (Inglés y USA) Bosque Subcompactado de René Vallet (Belga) Parametrización de Reservas Minables de Matherón (Francia)

Casi todos estos métodos o algorítmos descritos, logran obtener o llegar con bastante aproximación al óptimo matemático (a excepción del Cono Movil), pero la diferencia se encuentra en la flexibilidad para el procesamiento y velocidad para converger en el óptimo matemático, que como se sabe es único.

EL MODELO El modelo en que se representa el algoritmo de cono móvil flotante u optimizante es el Modelo de Bloques. Es un modelamiento tridimensional que consiste en discretizar virtualmente el yacimiento en bloques. Representa el deposito como una caja grande que abarca todo el yacimiento y luego se subdivide en bloques. En la siguiente figura se muestra un modelo de bloques tridimensional:

Modelo de Bloques Tridimensional Tridimensional

EL MODELO Hay muchos tipos de modelos de bloques, incluyendo el modelo 3D de bloque fijo, modelo de bloque variable 3D, modelo de bloques irregulares 2D y modelo de bloques irregulares 3D (Kim, 1978). Entre estos, el modelo de bloque fijo tridimensional es el más ampliamente utilizado. Este modelo se muestra en la figura a continuación, y se obtiene dividiendo el yacimiento en bloques tridimensionales de tamaño fijo. Cada bloque se identifica en el modelo por su ubicación, coordenadas que comprenden: Norte, Este y Vertical. Las dimensiones de los bloques dependen de las características del deposito; forma del yacimiento, continuidad especial, mineral a explotar, selectividad, tamaño de equipos, topografía y los datos disponibles para la estimación del bloque, por lo que cada bloque podrá guardar información relevante de datos como: - Tipo de Roca (geo mecánica, estructuras y litología). - Leyes (tanto del mineral principal como de sus sub - productos). - Datos económicos (costos de extracción, de proceso, de venta y/o beneficio económico asociado). - Recuperaciones metalúrgicas. Etc.

METODO DEL CONO MÓVIL FLOTANTE U OPTIMIZANTE Consiste en el estudio económico de los bloques mineralizados y estériles que caen dentro de un cono invertido, el cual se mueve sistemáticamente a través de una matriz de bloque, con el vértice del cono ocupando, sucesivamente, los centros de los bloques. La premisa básica de trabajo es que los beneficios netos obtenidos por explotar la mineralización que se encuentra dentro del cono deben superar los gastos de extraer el estéril existente en dicho cono. Los conos, individualmente, pueden no ser económicos, pero, cuando dos o más conos se superponen, existe una parte importante de estéril que es compartida por los diversos conos, lo que genera un cambio en sus estatus económicos.

METODO DEL CONO MÓVIL FLOTANTE U OPTIMIZANTE Se parte de una matriz de bloques en la que las leyes de los bloques, como se ha comentado anteriormente, se han calculado por los métodos oportunos (por ejemplo el krigeaje o inverso de la distancia). A continuación se establece una ley mínima de explotación y, dado un ángulo determinado para la pendiente de la corta; (por ejemplo 45 grados), se coloca el cono en el primer bloque, empezando por arriba y por la izquierda. La viabilidad económica del cono se calcula utilizando la fórmula:

Si el beneficio es positivo, todos los bloques incluidos dentro del cono se marcan y se quitan de la matriz de bloques, con lo que se crea una nueva superficie. Por el contrario, si el beneficio es negativo, la matriz se queda como está y el vértice del cono se traslada al segundo bloque cuyo valor está por encima de la ley mínima de explotación, repitiéndose, a continuación el proceso. El desarrollo iterativo del Algoritmo del C.M.F.O.; en forma de diagrama de flujo, se puede observar en la siguiente figura:

DIAGRAMA DE FLUJO ITERATIVO DEL ALGORITMO DEL CONO MÓVIL FLOTANTE U OPTIMIZANTE Inicio Tomar Tomar el primer nivel

Tomar el primer bloque de mineral

Construir cono

No

¿Es cono positivo? Si Incluir este cono como parte del pit

Si

¿Todos ¿Todos los bloques es tán en este nivel? No Tomar el próximo bloque de mineral

¿Todos ¿Todos los niveles? No Tomar el siguiente nivel

Salida del límite del pit

Si

EVOLUCIÓN DEL ALGORITMO DEL CONO MÓVIL !

En la década de los 60, se conocieron los primeros métodos, basados en el modelo de bloques, para ser usados mediante un programa computacional.

!

Pana (1965), creo el Cono Móvil Positivo (C.M.P.) (C.M.P.)

!

Pana y Carlson(1966), el Cono Móvil Negativo (C.M.N.)

!

El ingeniero Marc Lemieux (1979) fue quien detecto grandes deficiencias y mermas económicas producidas por el método convencional de conos flotantes y publicó el artículo “Moving Cone Optimizing Algorithm”. Esta nueva propuesta fue probada y se obtuvieron excelentes resultados.

!

 Actualmente este método se incluye en Software Computacionales, como por ejemplo: MEDSYSTEM y MINESIGHT (Utilizan el Algoritmo del Cono Móvil Optimizado)

MEJORA DEL ALGORITMO EN EL TIEMPO    0    )    /    '    .    $    %

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%'1$2' 1$ 32'45$0

)26'/#"%' 7'8' 92'")8"$

L cc:

%#8$/)2

)8$@' ) Ley de Corte Critica  (Break–Even) (L CC)

LCC = (CM + CP)/(R*(P – CR))*100 Donde: • • • • • •

CM: Costo mina (US$/T) CP: Costo planta (US$/T) R: Recuperación metalúrgica P: Precio (US$/Lb) CR: Costo refinación y venta (US$/Lb) Observación: 1(Lb)=0,00045359(T)

)8$@' ) Ejemplo: 1º.- Determinar la ley de corte con los siguientes datos: CM= 0,87(US$/T) CP= 3(US$/T) R= 80(%) = 0,80 P= 1323(US$/T); (60cS$/Lb) CR= 200(US$/T); (9cS$/Lb) Formula: LCC = (CM + CP)/(R*(P – CR))*100 Resultado: Lcc = 0,43%

)8$@' ) Ejemplo: 2aº.- Con el resultado anterior; Lcc = 0,43%, determinar los bloques de mineral y estéril de la siguiente matriz.

)8$@' ) Ejemplo: 2bº.- Con el resultado anterior; Lcc = 0,43%, determinar los bloques de mineral y estéril de la siguiente matriz.

)8$@' 3 Para Valorizar  cada bloque, debemos realizarlo por dos vías ya sea estéril o mineral: $0"$/#2

Si la ley del Bloque < L cc: • Debemos aplicar:

UBE = -VB*DABE*Cr  Donde: • UBE: Utilidad del bloque de estéril (US$) • VB: Volumen del bloque (M 3) • D ABE: Densidad aparente del bloque en estéril (T/M 3) • Cr : Costo de remoción (US$/T)

)8$@' 3 Para Valorizar cada bloque, debemos realizarlo por dos vías ya sea estéril o mineral: Si la ley del Bloque > Lcc: • Debemos aplicar: UBM = VB*DABM*(LBM*R*(P - CR) – (CM + CP)) Donde: • • • • • • • • •

UBM: Utilidad del bloque de mineral (US$) VB: Volumen del bloque (M 3) D ABM: Densidad aparente del bloque en mineral (T/M 3) LBM: Ley del bloque con mineral R: Recuperación metalúrgica P: Precio (US$/Lb) CR: Costo refinación y venta (US$/Lb) CM: Costo mina (US$/T) CP: Costo Planta (US$/T)

%#8$/)2

)8$@'3 Ejemplo: 3º.- Valorice la matriz del ejercicio 2b. con los siguientes datos: CM= 0,87(US$/T) CP= 3(US$/T) R= 80(%) = 0,80 P= 1323(US$/T) CR= 200(US$/T) VB= 1000(M3); 10x10x10. D ABM= 2,7(T/M3) D ABE= 2,4(T/M3) Cr = 0,81(US$/T)

)8$@' 3 Ejemplo: 4º.- A través de esta matriz, Obtener el pit final. (US$).

)8$@' 3

Nivel: Superficie Mineral: 0 Estéril: 0 Utilidades: 0

)8$@' 3

Nivel: 1º Mineral: T:U:VW Estéril: 0 Utilidades: T:U:VW

)8$@' 3

Nivel: 2º Mineral: T>UWX= Estéril: YTUVVV Utilidades: 33.357

)8$@' 3

Nivel: 3º Mineral: 30.697 Estéril: -7.776 Utilidades: 22.921

)8$@' 3

Nivel: 4º Mineral: 35.305 Estéril: -11.664 Utilidades: 23.641

)8$@' 3

Nivel: 5º Mineral: 20.532 Estéril: -7.776 Utilidades: 12.756

)8$@' 3

Nivel: 6º Mineral: 28.535 Estéril: -19.440 Utilidades: 9.095

)8$@' 3

Nivel: 7º Mineral: 25.382 Estéril: -23.328 Utilidades: 2.054

)8$@' 3

Nivel: 8º Mineral: 21.522 Estéril: -13.608 Utilidades: 7.914

)8$@' 3

Nivel: 9º Mineral: 15.945 Estéril: -13.608 Utilidades: 2.337

)8$@' 3

Nivel: 10º Mineral: 37.730 Estéril: -29.160 Utilidades: 8.570

)8$@' 3

Nivel: 11º Pit Final Mineral: 26.615 Estéril: -15.552 Utilidades: 11.063

)8$@' 3 Ejemplo: 5º.- Mostrar resultados:

TBE: Tonelaje del bloque de estéril TBM: Tonelaje del bloque de mineral E/M: Estéril / Mineral

)8$@' 3 Ejemplo: 5º.- Mostrar resultados:

ALGORITMO DE LERCHS & GROSSMAN Desarrollado y presentado por Lerchs y Grossman en 1965, en el paper “Optimum design of open pit mines”. Es una programación dinámica precisa para definir el limite del pit en una sección transversal de dos dimensiones, por medio del cual es posible lograr el mayor beneficio posible. El algoritmo se basa en la siguiente expresión:

Pij = Mij + Max(Pi+k , j-1) • • • • •

Donde: K, toma valores de: -1, 0, 1. “j”: corresponde a valores de columna. “i”: corresponde a valores de fila. Mij: corresponde al beneficio obtenido para extraer una sola columna de bloques con el bloque ij en su base. Pij: corresponde al beneficio máximo que puede generar columnas de 1, hasta j dentro de un pit que contiene el bloque ij en su limite.

EJEMPLO DEL ALGORITMO DE LERCHS & GROSSMAN

Visualizar la siguiente matriz de bloques valorizados; V ij, en una sección transversal: Vij 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0

1 2 0 0 -2 -2 -2

3 4 5 0 0 0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -3

6 0 -2 -2 -2 -2 -3 -3

7 8 9 10 11 12 13 0 0 0 0 0 0 0 -2 -2 -2 -2 1 2 3 -2 -2 0 1 2 3 4 -2 0 1 2 3 4 5 -2 1 2 2 3 4 5 2 2 0 3 4 5 2 -3 -2 2 3 5 -2 -2 -3 0 2 0 -2 -2 -3 -3 -1 -3 -3 -3 -3

14 0 4 5 4 2 0 -3 -3

15 0 5 4 3 1 -3 -3

16 0 4 3 1 -2 -3

17 0 2 2 -2 -2

18 0 1 -2 -2

19 20 21 0 0 0 -2 -2 -2

1º Paso: formar la matriz Mij: basicamente, realizando una sumatoria acumulativa descendente en cada columna. Mij 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7

1 2 0 0 -2 -2 -4

3 4 5 0 0 0 -2 -2 -2 -4 -4 -4 -6 -6 -6 -8 -8 -11

6 0 -2 -4 -6 -8 -11 -14

7 0 -2 -4 -6 -8 -6 -9 -12

8 9 10 11 12 13 0 0 0 0 0 0 -2 -2 -2 1 2 3 -4 -2 -1 3 5 7 -4 -1 1 6 9 12 -3 1 3 9 13 17 -1 1 6 13 18 19 -3 3 9 18 16 17 -3 5 9 16 14 14

14 0 4 9 13 15 15 12 9

15 16 17 0 0 0 5 4 2 9 7 4 12 8 2 13 6 0 10 3 7

18 0 1 -1 -3

19 20 21 0 0 0 -2 -2 -4

EJEMPLO DEL ALGORITMO DE LERCHS & GROSSMAN

2º Paso: para formar la matriz Pij, se debe cumplir con la siguiente restricción Z)2'/ optimizante: Pij = Mij + Max(Pi+k , j-1). Mij 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 0 0 -2 -2 -4

P3,10

3 4 5 0 0 0 -2 -2 -2 -4 -4 -4 -6 -6 -6 -8 -8 -11

6 0 -2 -4 -6 -8 -11 -14

1

7 8 9 10 0 0 0 0 -2 -2 -2 -2 -4 -4 -2 -1 -6 -4 -1 1 -8 -3 1 3 -6 -1 1 6 -9 VALOR -3 3 9 -12 -3 5 9 MÁXIMO -6 4 6

%)0 11 12 13 &'0#"#Z' 0 0 0 1 2 3 3 5 7 6 9 12 9 13 17 13 18 19 18 16 17 16-4 14 14 -7 13 11 11

14 0 4 9 13 15 15 12 9

$0 $2 15 [75\2 16 17 18 0 0Z)2'/ 0 0 %\@#%'] 5 4 2 1 9 7 4 -1 12 8 2 -3 13 6 0 10 3 7

-9

19 20 21 0 0 0 -2 -2 -4

-3

 A cada bloque Mij, se le suma un valor máximo; de tres valores de los bloques de columna de la matriz Pij, los cuales son, bloque: superior, medio e inferior. Pij 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0

1 0 -2

2 3 4 0 0 0 -2 -2 -2 -6 -6 -6 -12 -12 -20

5 0 -2 -6 -12 -20 -31

6 0 -2 -6 -12 -20 -31 -45

7 0 -2 -6 -12 -20 -26 -40 -57

8 0 -2 -6 -10 -15 -21 -29 -43

9 0 -2 -4 -7 -9 -14 -18 -24

10 0 -2 -3 -3 -4 -3 -5 -9

11 0 1 1 3 6 10 15 11

12 0 3 8 15 23 33 31 29

13 0 11 22 35 50 52 50 45

14 0 26 44 63 67 67 64 59

15 0 49 72 79 80 77 74

16 0 76 86 88 86 83

17 0 88 92 90 88

18 0 93 91 89

19 20 21 0 0 0 91 89 89

EJEMPLO DEL ALGORITMO DE LERCHS & GROSSMAN

3º Paso: De la matriz Pij. En el primer nivel, identificar el bloque con la valorización mas alta. En este caso corresponde al valor 93. Pij 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0

1 0 -2

2 3 4 0 0 0 -2 -2 -2 -6 -6 -6 -12 -12 -20

5 0 -2 -6 -12 -20 -31

6 0 -2 -6 -12 -20 -31 -45

7 0 -2 -6 -12 -20 -26 -40 -57

8 0 -2 -6 -10 -15 -21 -29 -43 -63

9 0 -2 -4 -7 -9 -14 -18 -24 -39

10 0 -2 -3 -3 -4 -3 -5 -9 -18

11 0 1 1 3 6 10 15 11 4

12 0 3 8 15 23 33 31 29 22

13 0 11 22 35 50 52 50 45 40

14 0 26 44 63 67 67 64 59

15 0 49 72 79 80 77 74

16 0 76 86 88 86 83

17 0 88 92 90 88

18 0 93 91 89

19 20 21 0 0 0 91 89 89

Luego, desde el bloque con valor 93; hacia la izquierda, se encuentran tres bloques: superior, medio e inferior, con valores 0, 88 y 92, por lo tanto, se escoje el siguiente bloque de mayor valor. Así iterando hasta cerrar el pit final óptimo económico. El valor 93, corresponde al valor óptimo económico de explotar todo el contorno formado por este método.

EJEMPLO DEL ALGORITMO DE LERCHS & GROSSMAN

4º Paso: El contorno formado en la matriz Pij, se refleja en la matriz Vij, mostrandose el contorno del pit final óptimo económico. Pij 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0

1 0 -2

Vij 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0

1 2 0 0 -2 -2 -2

2 3 4 0 0 0 -2 -2 -2 -6 -6 -6 -12 -12 -20

5 0 -2 -6 -12 -20 -31

6 0 -2 -6 -12 -20 -31 -45

7 0 -2 -6 -12 -20 -26 -40 -57

8 0 -2 -6 -10 -15 -21 -29 -43 -63

9 0 -2 -4 -7 -9 -14 -18 -24 -39

10 0 -2 -3 -3 -4 -3 -5 -9 -18

11 0 1 1 3 6 10 15 11 4

12 0 3 8 15 23 33 31 29 22

13 0 11 22 35 50 52 50 45 40

14 0 26 44 63 67 67 64 59

15 0 49 72 79 80 77 74

16 0 76 86 88 86 83

17 0 88 92 90 88

18 0 93 91 89

19 20 21 0 0 0 91 89 89

3 4 5 0 0 0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -3

6 0 -2 -2 -2 -2 -3 -3

7 8 9 10 11 12 13 0 0 0 0 0 0 0 -2 -2 -2 -2 1 2 3 -2 -2 0 1 2 3 4 -2 0 1 2 3 4 5 -2 1 2 2 3 4 5 2 2 0 3 4 5 2 -3 -2 2 3 5 -2 -2 -3 0 2 0 -2 -2 -3 -3 -1 -3 -3 -3 -3

14 0 4 5 4 2 0 -3 -3

15 0 5 4 3 1 -3 -3

16 0 4 3 1 -2 -3

17 0 2 2 -2 -2

18 0 1 -2 -2

19 20 21 0 0 0 -2 -2 -2

 Al sumar todos los bloques encerrados dentro de este contorno se obtiene el valor óptimo económico 93, que resulta de su extracción.

EJEMPLO DEL ALGORITMO DE LERCHS & GROSSMAN

Ejemplo de la aplicación de L&G para el ejercicio del algoritmo de CMF: Matriz Vij: 13 0 -1.944 -1.944

14 0 -1.944 -1.944

15 0 -1.944 -1.944

16 0 -1.944 -1.944

17 0 -1.944 -1.944

18 0 -1.944 -1.944

19 0 -1.944 -1.944

20 0 -1.944 -1.944

21 0 2.647 7.498

22 0 7.740 5.557

23 0 9.923 11.135

24 0 9.195 2.405

25 0 1.677 10.650

26 0 -1.944 -1.944

27 0 -1.944 -1.944

28 0 -1.944 -1.944

29 0 -1.944 -1.944

30 0 -1.944 -1.944

31 0 -1.944 -1.944

32 0 -1.944 -1.944

33 0 -1.944 -1.944

34 0 -1.944 -1.944

35 0 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

3.860 7.498 -1.944

1.920 3.617 7.255

5.557 8.710 7.983

8.953 9.195 2.890

10.408 6.285 2.405

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

6.285

7.983

6.770

7.498

-1.944

-1.944

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-1.944

10.893

2.405

8.953

3.132

-1.944

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-1.944

-1.944

-1.944

8.710

9.923

2.890

4.830

4.830

-1.944

-1.944

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-1.944

7.983

1.920

9.195

8.710

7.012

-1.944

-1.944

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-1.944

7.012

9.195

9.923

5.800

-1.944

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-1.944

-1.944

9.680

9.680

7.740

6.042

-1.944

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-1.944

-1.944

7.255

6.042

1.920

1.920

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

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-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

2.405 9.438 10.165 7.740 4.830 4.830 9.195 3.617 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

6.527 4.102 5.072 2.405 10.408 4.345 9.438 3.617 11.135 8.468 6.527 7.740 4.102

11.135 7.255 9.923 2.647 1.920 6.042 7.740 2.890 6.770 2.162 5.557 4.102 3.617

2.647 2.162 11.378 9.195 1.677 5.557 6.770 9.923 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

EJEMPLO DEL ALGORITMO DE LERCHS & GROSSMAN

Ejemplo de la aplicación de L&G para el ejercicio del algoritmo de CMF: Matriz Mij: 13 0 -1.944 -3.888 -5.832 -7.776 -9.720 -11.664 -13.608 -15.552 -17.496 -19.440 -21.384 -23.328 -25.272 -27.216 -29.160 -31.104 -33.048 -34.992 -36.936 -38.880 -40.824 -42.768 -44.712 -46.656 -48.600

14 0 -1.944 -3.888 -5.832 -7.776 -9.720 -11.664 -13.608 -15.552 -17.496 -19.440 -21.384 -23.328 -25.272 -27.216 -29.160 -31.104 -33.048 -34.992 -36.936 -38.880 -40.824 -42.768 -44.712 -46.656 -48.600

15 0 -1.944 -3.888 -5.832 -7.776 -9.720 -11.664 -13.608 -15.552 -17.496 -19.440 -21.384 -23.328 -25.272 -27.216 -29.160 -31.104 -33.048 -34.992 -36.936 -38.880 -40.824 -42.768 -44.712 -46.656 -48.600

16 0 -1.944 -3.888 -5.832 -7.776 -9.720 -11.66 4 -13.608 -15.552 -17.496 -19.440 -21.384 -23.328 -25.272 -27.216 -29.160 -31.104 -33.048 -34.992 -36.936 -38.880 -40.824 -42.768 -44.712 -46.656 -48.600

17 0 -1.944 -3.888 -5.832 -7.776 -9.720 -11.664 -13.608 -15.552 -17.496 -19.440 -21.384 -23.328 -25.272 -27.216 -29.160 -31.104 -33.048 -34.992 -36.936 -38.880 -40.824 -42.768 -44.712 -46.656 -48.600

18 0 -1.944 -3.888 -5.832 -7.776 -9.720 -11.664 -13.608 -15.552 -17.496 -19.440 -21.384 -23.328 -25.272 -27.216 -29.160 -31.104 -33.048 -34.992 -36.936 -38.880 -40.824 -42.768 -44.712 -46.656 -48.600

19 0 -1.944 -3.888 -5.832 -7.776 -9.720 -11.6 64 -13.608 -15.552 -17.496 -19.440 -21.384 -23.328 -25.272 -27.216 -29.160 -31.104 -33.048 -34.992 -36.936 -38.880 -40.824 -42.768 -44.712 -46.656 -48.600

20 0 -1.944 -3.888 -5.832 -7.776 -9.720 -11.664 -13.608 -15.552 -17.496 -19.440 -21.384 -23.328 -25.272 -27.216 -29.160 -31.104 -33.048 -34.992 -36.936 -38.880 -40.824 -42.768 -44.712 -46.656 -48.600

21 0 2.647 10.145 14.004 21.502 19.558 17.614 15.670 13.726 11.782 9.838 7.894 5.950 4.006 2.062 118 -1.826 -3.770 -5.714 -7.658 -9.602 -11.546 -13.490 -15.434 -17.378 -19.322

22 0 7.740 13.297 15.217 18.834 26.089 32.374 43.267 51.977 59.960 58.016 56.072 54.128 52.184 50.240 48.296 46.352 44.408 42.464 40.520 38.576 36.632 34.688 32.744 30.800 28.856

23 0 9.923 21.058 26.615 35.326 43.308 51.291 53.695 63.618 65.538 72.550 82.230 89.485 91.890 101.328 111.493 119.233 124.063 128.892 138.088 141.705 139.761 137.817 135.873 133.929 131.985

24 0 9.195 11.600 20.552 29.748 32.637 39.407 48.360 51.249 60.445 69.640 79.320 85.362 91.890 95.992 101.064 103.469 113.877 118.221 127.659 131.276 142.412 150.879 157.407 165.147 169.249

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.677 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 12.327 -3.888 -3.888 -3.888 -3.888 -3.888 -3.888 -3.888 -3.888 -3.888 -3.888 22.735 -5.832 -5.832 -5.832 -5.832 -5.832 -5.832 -5.832 -5.832 -5.832 -5.832 29.020 -7.776 -7.776 -7.776 -7.776 -7.776 -7.776 -7.776 -7.776 -7.776 -7.776 31.425 -9.720 -9.720 -9.720 -9.720 -9.720 -9.720 -9.720 -9.720 -9.720 -9.720 38. 922 -11.664 -11.664 -11.664 -11.664 -11.664 -11.664 -11.664 -11.664 -11.664 -11.664 42.054 -13.608 -13.608 -13.608 -13.608 -13.608 -13.608 -13.608 -13.608 -13.608 -13.608 46.884 -8.778 -15.552 -15.552 -15.552 -15.552 -15.552 -15.552 -15.552 -15.552 -15.552 55.594 -1.766 -17.496 -17.496 -17.496 -17.496 -17.496 -17.496 -17.496 -17.496 -17.496 65.517 4.034 -19.440 -19.440 -19.440 -19.440 -19.440 -19.440 -19.440 -19.440 -19.440 73.257 10.077 -21.384 -21.384 -21.384 -21.384 -21.384 -21.384 -21.384 -21.384 -21.384 75.177 11.996 -23.328 -23.328 -23.328 -23.328 -23.328 -23.328 -23.328 -23.328 -23.328 86.312 14.643 -25.272 -25.272 -25.272 -25.272 -25.272 -25.272 -25.272 -25.272 -25.272 93.567 16.805 -27.216 -27.216 -27.216 -27.216 -27.216 -27.216 -27.216 -27.216 -27.216 103.490 28.183 -29.160 -29.160 -29.160 -29.160 -29.160 -29.160 -29.160 -29.160 -29.160 106.137 37.378 -31.104 -31.104 -31.104 -31.104 -31.104 -31.104 -31.104 -31.104 -31.104 108.056 39.055 -33.048 -33.048 -33.048 -33.048 -33.048 -33.048 -33.048 -33.048 -33.048 114.099 44.613 -34.992 -34.992 -34.992 -34.992 -34.992 -34.992 -34.992 -34.992 -34.992 121.839 51.383 -36.936 -36.936 -36.936 -36.936 -36.936 -36.936 -36.936 -36.936 -36.936 124.728 61.305 -38.880 -38.880 -38.880 -38.880 -38.880 -38.880 -38.880 -38.880 -38.880 131.498 59.361 -40.824 -40.824 -40.824 -40.824 -40.824 -40.824 -40.824 -40.824 -40.824 133.660 57.417 -42.768 -42.768 -42.768 -42.768 -42.768 -42.768 -42.768 -42.768 -42.768 139.218 55.473 -44.712 -44.712 -44.712 -44.712 -44.712 -44.712 -44.712 -44.712 -44.712 143.320 53.529 -46.656 -46.656 -46.656 -46.656 -46.656 -46.656 -46.656 -46.656 -46.656 146.937 51.585 -48.600 -48.600 -48.600 -48.600 -48.600 -48.600 -48.600 -48.600 -48.600

EJEMPLO DEL ALGORITMO DE LERCHS & GROSSMAN

Ejemplo de la aplicación de L&G para el ejercicio del algoritmo de CMF: Matriz Pij: 13 0 -1.944 -5.832 -11.664 -19.440 -29.160 -40.824 -54.432 -69.984 -87.480 -106.920 -128.304 -151.632 -176.904

14 0 -1.944 -5.832 -11.664 -19.440 -29.160 -40.824 -54.432 -69.984 -87.480 -106.920 -128.304 -151.632 -176.904 -204.120

15 0 -1.944 -5.832 -11.664 -19.440 -29.160 -40.824 -54.432 -69.984 -87.480 -106.920 -128.304 -151.632 -176.904 -204.120 -233.280

16 0 -1.944 -5.832 -11.664 -19.440 -29.160 -40.824 -54.432 -69.984 -87.480 -106.920 -128.304 -151.632 -176.904 -204.120 -233.280 -264.384

17 0 -1.944 -5.832 -11.664 -19.440 -29.160 -40.824 -54.432 -69.984 -87.480 -106.920 -128.304 -151.632 -176.904 -204.120 -233.280 -264.384 -297.432

18 0 -1.944 -5.832 -11.664 -19.440 -29.160 -40.824 -54.432 -69.984 -87.480 -106.920 -128.304 -151.632 -176.904 -204.120 -233.280 -264.384 -297.432 -332.424

19 0 -1.944 -5.832 -11.664 -19.440 -29.160 -40.824 -54.432 -69.984 -87.480 -106.920 -128.304 -151.632 -176.904 -204.120 -233.280 -264.384 -297.432 -332.424 -369.360

20 0 -1.944 -5.832 -11.664 -19.440 -29.160 -40.824 -54.432 -69.984 -87.480 -106.920 -128.304 -151.632 -176.904 -204.120 -233.280 -264.384 -297.432 -332.424 -369.360 -408.240

21 0 2.647 8.201 8.172 9.838 118 -11.546 -25.154 -40.706 -58.202 -77.642 -99.026 -122.354 -147.626 -174.842 -204.002 -235.106 -268.154 -303.146 -340.082 -378.962 -419.786

22 0 15.941 21.498 25.055 28.672 35.927 32.492 31.721 26.823 19.253 -187 -21.571 -44.899 -70.171 -97.387 -126.547 -157.651 -190.699 -225.691 -262.627 -301.507 -342.331 -385.099

23 0 31.421 46.113 55.287 71.253 79.235 87.218 86.187 95.339 92.360 91.803 82.044 67.915 46.991 31.157 14.106 -7.314 -33.588 -61.806 -87.603 -120.922 -161.746 -204.514 -249.226

24 0 55.308 66.887 91.805 108.983 119.855 126.625 143.699 146.588 155.783 162.000 171.123 167.406 159.805 142.983 132.221 117.575 106.563 84.634 65.853 43.673 21.490 -10.866 -47.107 -84.079

25 0 68.564 104.132 131.718 148.875 158.049 182.621 188.642 202.667 217.594 236.640 244.380 246.300 253.718 253.371 246.473 238.358 225.631 220.662 206.472 190.581 175.172 155.150 128.351 96.213 62.858

26 0 102.188 127.830 143.043 150.273 172.901 176.978 189.059 208.816 234.875 248.415 256.377 265.714 268.361 270.523 281.555 283.851 277.413 270.244 272.044 267.778 249.943 232.589 210.624 181.881 147.798

27 0 125.886 139.155 144.441 165.125 167.258 177.395 195.208 219.323 230.919 236.937 244.330 245.033 245.251 254.339 254.691 252.747 250.803 242.421 235.108 233.164 226.954 207.175 187.877 163.968 133.281

28 0 137.211 140.553 159.293 159.482 167.675 183.544 205.715 215.367 219.441 224.890 223.649 221.923 229.067 227.475 225.531 223.587 219.699 215.811 205.485 196.228 192.340 184.186 162.463 141.221 115.368

29 0 138.609 155.405 153.650 159.899 173.824 194.051 201.759 203.889 207.394 205.450 203.506 205.739 203.795 201.851 198.315 194.427 190.539 184.707 178.875 166.605 155.404 149.572 139.474 115.807 92.621

30 0 153.461 151.517 154.067 166.048 184.331 190.095 190.281 191.842 189.898 187.954 184.355 182.411 180.467 176.579 172.691 167.211 161.379 155.547 147.771 139.995 125.781 112.636 104.860 92.818 67.207

31 0 151.517 150.179 160.216 176.555 180.375 178.617 178.234 176.290 174.346 170.458 166.570 161.027 157.139 153.251 147.419 141.587 134.163 126.387 118.611 108.891 99.171 83.013 67.924 58.204 44.218

32 0 149.573 156.328 170.723 172.599 170.655 168.711 165.009 162.682 158.794 154.906 149.074 143.242 135.755 129.923 124.091 116.315 108.539 99.171 89.451 79.731 68.067 56.403 38.301 21.268 9.604

33 0 154.384 166.835 166.767 164.823 162.879 158.991 155.103 149.457 145.186 139.354 133.522 125.746 117.970 108.539 100.763 92.987 83.267 73.547 62.235 50.571 38.907 25.299 11.691 -8.355 -27.332

34 0 164.891 162.947 161.003 158.991 155.103 151.215 145.383 139.551 131.961 125.746 117.970 110.194 100.474 90.754 79.379 69.659 59.939 48.275 36.611 23.355 9.747 -3.861 -19.413 -34.965 -56.955

35 0 162.947 161.003 157.115 153.227 149.271 143.439 137.607 129.831 122.055 112.521 104.362 94.642 84.922 73.258 61.594 48.275 36.611 24.947 11.339 -2.269 -17.469 -33.021 -48.573 -66.069 -83.565

EJEMPLO DEL ALGORITMO DE LERCHS & GROSSMAN

Ejemplo de la aplicación de L&G para el ejercicio del algoritmo de CMF: Matriz Vij: 13 0 -1.944

14 0 -1.944

15 0 -1.944

16 0 -1.944

17 0 -1.944

18 0 -1.944

19 0 -1.944

20 0 -1.944

21 0 2.647

22 0 7.740

23 0 9.923

24 0 9.195

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944 -1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944 -1.944

25 0 1.677

26 0 -1.944

27 0 -1.944

28 0 -1.944

29 0 -1.944

-1.944

-1.944

-1.944

7.498

5.557

11.135

2.405

10.650

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

3.860

1.920

5.557

8.953

10.408

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

7.498

3.617

8.710

9.195

6.285

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

7.255

7.983

2.890

2.405

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

6.285

7.983

6.770

7.498

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

10.893

2.405

8.953

3.132

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

8.710

9.923

2.890

4.830

4.830

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

7.983

1.920

9.195

8.710

7.012

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

7.012

9.195

9.923

5.800

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

9.680

9.680

7.740

6.042

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

7.255

6.042

1.920

1.920

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

2.405

6.527

11.135

2.647

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

9.438 10.165 7.740 4.830 4.830 9.195 3.617 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

4.102 5.072 2.405 10.408 4.345 9.438 3.617 11.135 8.468 6.527 7.740 4.102

7.255 9.923 2.647 1.920 6.042 7.740 2.890 6.770 2.162 5.557 4.102 3.617

2.162 11.378 9.195 1.677 5.557 6.770 9.923 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

-1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944 -1.944

El límite óptimo del ACMF, es el mismo que para el AL&G.

30 0 -1.944

31 0 -1.944

32 0 -1.944

33 0 -1.944

34 0 -1.944