PPS2014C06(PDF)- Series, Sumatorias y Conteo de Figuras

Multiplicando por la razón geométrica denominador y restando la misma

Series 1.

Halla: E = 0,001 + 0,002 +0,003 + ……+ 1

A) 500,8 D) 600,52

B) 500,5

10 S = 1 +

2 3 4 5 + + + + 10 10 2 10 3 10 4

S=

1 2 3 4 + + + + 10 10 2 10 3 10 4

–

C) 500,52 E) 700,2

9S = 1 +

Multiplicando por 1000

∴

2.

1000(1001) 2

Pr

E = 500,5

S = 0,1 + 0,02 + 0,003 + 0,0004 + …. 10 81

D)

4 23

B)

8 71

9S =

1 1 1− 10

9S =

10 9

∴S=

10 81

C)

1 31

E)

2 17

Determina el valor de “x” en la siguiente expresión: 1 + 3 + 5 + .... + x = 2 500 A) 88 D) 150

B) 100

Expresando la serie en función de fracciones 1 2 3 4 + + + + ....∞ 10 10 2 10 3 10 3

C) 50 E) 99

1 + 3 + 5 + .... + x = 2 500 2

Por propiedad

S=

→

CO E of: PACH 3.

Calcula el valor de S.

A)

1 1 1 1 + + + + 10 10 2 10 3 10 4

Aplicando suma límite

1000E = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 1000 1000E =

del

 x +1   = 2 500  2 

x +1 = 50 → x = 99 2

-1-

4.

A) 1 620 D) 3 140

Calcula: S = 2 + 11 + 20 + 29 + .... + 902

A) 48 850 D) 42 850

B) 45 652

C) 46 850 E) 40 850

B) 2 560

C) 3 120 E) 9 300

Aplicando números combinatorios S = 4 + 14 + 30 + 52 + 80 + … 10

S = 2 + 11 + 20 + 29 + .... + 902 9

9

# términos =

Donde

6

9

902 − 2 + 1 = 101 9

15

15

∴ S = 9 300

7.

Halla el valor de “E” en: E = 54 + 18 + 6 + 2 + ....∞

O A) 31 C69 E D) f: PACH

B) 46

C) 98 301 P E) 91r023 o

×2

×

E=

3(215 − 1) 2 −1

∴ S = 98 301

C) 57 E) 81

E = 54 + 18 + 6 + 2 + … …

t (q n − 1) Empleando la fórmula S = 1 q −1

S=

6

S = 60 + 1 050 + 8 190

S = 3 + 6 + 12 + 24 + … ×2

28

 15 × 14   15 × 14 × 13  S = 4(15) + 10   + 6  2 6    

5. Determina la sumatoria de los siguientes 15 términos. S = 3 + 6 + 12 + 24 + ....

×2

6

15

S = 45 652

B) 98 763

22

S = 4 C1 + 10 C 2 + 6 C 3

 2 + 902  Entonces S =   × 101 2  

A) 91 961 D) 98 024

16

8.

1

3

54 1 1− 3

×

1

3

→

×

1

3

E=

162 2

∴ E = 81

Halla la suma de la siguiente sumatoria: 10

∑7

k =3

6. Calcula el valor de la suma de los 15 primeros números de la siguiente serie: S = 4 + 14 + 30 + 52 + 80 + .... -2-

A) 37 D) 63

B) 73

C) 42 E) 56

Efectuando 10

10

2

k =3

k =1

k =1

∑ 7 = ∑ 7 − ∑ 7 = 7(10) − 7(2) = 56

Efectuando

20

20

20

x =1

x =1

x =1

∑ (4 x + 2) = 4 ∑ x + ∑ 2  20(21)  = 4  + 2(20)  2  = 880

9. Según las propiedades de sumatorias, es incorrecto la igualdad:

A)

B)

C)

n

n

i =1

i =1

11.

∑ k Xi = k ∑ Xi n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ (X i + Yi ) = ∑ X i + ∑ Yi n

n

i =1

i =1

A) 12 875 D) 11 115

B) 11 029

C) 11 030 E) 11 325

∑ (X i + k X i ) = (1 + k)∑ X i n

Agregando y quitando la suma de los 20 primeros números consecutivos

n

S = 1 + 2 + 3 + .... + 150 − (1 + +2 + 3 + .... + 20)

 n  n  D) ∑ (X i )(Yi ) =  ∑ X i   ∑ Yi     i =1  i =1   i =1 

E)

Halla la siguiente suma: S = 21 + 22 + 23 + 24 + .... + 150

∑ k = nk

i =1

S=

150(151) 20(21) − 2 2

C∴O S = 11 115 E Analizando las alternativas, observamos noAesCH ofque :P Pr

correcta la D debido a que una sumatoria solo se puede separar en dos o más sumatorias si su término general está compuesto por dos o más sumandos, es decir n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

∑ (X i + Yi + Z i ) = ∑ X i + ∑ Yi + ∑ Z i

10.

Analiza y calcula la siguiente sumatoria: 20

∑ (4 x + 2)

B) 890

Halla el valor de “S”, si: S = 1 + 4 + 9 + 16 + .... + 900

A) 18 910 D) 9 455

B) 19 220

C) 9 760 E) 9 920

S = 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + 30 2 S=

x =1

A) 850 D) 860

12.

30(31)(61) 6

∴ S = 9 455 C) 870 E) 880 -3-

13.

Sumar: La expresión es equivalente a

S = 1 2 + 2 2 + 3 2 + .... + 50 2

A) 44 200 D) 45 650

B) 44 625

S=

C) 42 925 E) 52 960

1 1 1 1 + + + .... + 1× 2 2 × 3 3 × 4 19 × 20

Desdoblando

2

2

2

2

P = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 P=

1 1 1 1 1 1 1 + − + − + ...... + − 2 2 3 3 4 19 20 1 S = 1− 20

S = 1−

2

50(51)(101) 6

S=

∴ P = 42 925

14.

Halla el valor de M: M=

1 1 1 1 + + + .... + 3(6) 6(9) 9(12) 30(33)

A) 10/99 D) 10/33

B) 30/33

C) 29/30 E) 33/47

19 20

16. Sabiendo que: x = 1 + 4 + 9 + .... + 100 Calcula: R = 1 + 3 + 5 + .... + x A) 37 249 D) 37 049

B) 37 492

C) 37 429 E) 37 149

Calculando el valor de x Multiplicando la expresión por 3 3S =

Pr

COx = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + 10 2 E o3 f: PACH 10(11)(21)

3 3 3 + + + .... + 3 × 6 6 × 9 9 × 12 30 × 33

Desdoblando

x=

→

6

R = 1 + 3 + 5 + .... + 385

Reemplazando

1 1 1 1 1 1 1 1 3S = − + − + − + ...... + − 3 6 6 9 9 12 30 33 1 1 3S = − 3 33

3S =

15.

→

S=

B) 19/20

 385 + 1  R=  2  

2

R = 37 249

10 99

Halla la suma de: 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 +…+ 1/380

A) 9/20 D) 17/38 -4-

10 33

x = 385

C) 1/20 E) 1/30

17. Indica la cifra de las decenas en el resultado de 3A+2B; si : A = 37 + 38 + 39 + .... + 120 B = 12 + 2 2 + 3 2 + .... + 9 2

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

∴ M+N =

Analizando por partes •

A = 37 + 38 + 39 + .... + 120 A = 1 + 2 + 3 + .... + 120 − (1 + +2 + .... + 36)

A=

•

120(121) 36(37) − 2 2

→

19.

9(10)(19) 6

A) 53 910 D) 53 330

→

S=

B) 2

C) 1/2 E) P 4/5

•

20.

Halla el valor de “E”: E=

1 1 1 1 + + + .... + 1× 2 2 × 3 3 × 4 19 × 20

A) 1/20 CD)O1/19

B) 19/20

rof: PACHE

1 1 1 1 1 1 1 + − + − + ...... + − 2 2 3 3 4 19 20 1 E =1− 20

E = 1−

M = 1 + 1/3 + 1/9 +1/27+…+ ∞ 1

3

×

1

×

3

1

1

3

→

1 1− 3

C) 20/19 E) 4/50

Desdoblando

Analizando por partes

M=

20 × 21 × 22 × 23 4

S = 53 130

Halla “M + N”. M = 1 + 1/3 + 1/9 +1/27+…+ ∞ N = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…+ ∞

×

C) 53 610 E) 53 310

S = 1× 2× 3 + 2× 3× 4 + 3× 4 × 5 + .... + 20× 21× 22

Por lo tanto, la cifra de las decenas es 5.

•

B) 53 130

B = 285

Luego 3 A + 2B = 20 352

A) 3/2 D) 7/2

Efectuar:

S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ..... + 20 × 21 × 22

A = 6 594

B = 12 + 2 2 + 3 2 + .... + 9 2

B=

18.

3 7 +2= 2 2

M=

3 2

E=

19 20

N = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…+ ∞ ×

N=

1

2

1 1−

1 2

×

1

×

2

→

1

2

×

21.

1

2

N=2

Calcula: S = 1 × 19 + 2 × 18 + 3 × 17 + ..... + 19 × 1

A) 1 330 D) 1 640

B) 1 320

C) 1 430 E) 1 830

-5-

Transformando el segundo factor de cada sumando S = 1(20 − 1) + 2(20 − 2) + 3(20 − 3) + .... + 19(20 − 19)

S = 1(20) −12+ 2(20) − 22+ 3(20) − 32+...+19(20) −192

S = 20(1 + 2 + 3 + ... + 19) − (1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + 19 2 )

 19(20)  19(20)(39) S = 20  − 6  2 

→

B) 1

Multiplicando la expresión por 2 2K =

1 − 2 1 2K = − 2

2K =

S = 1 330

Determina la suma de: 9/16 + 11/16 + 13/16 +…+27/16

A) 121/16 D) 105/16

B) 115/16

C) 95/16 E) 45/4

Pr Factorizando

1 16

S=

1 (9 + 11 + 13 + .... + 27) 16

S=

1 16

S=

→

S=

6 13

Calcula: K +

Si: K =

-6-

→

K=

3 13

23 3 23 = + =2 13 13 13

24. Halla la suma de todos los números que forman este triángulo, sabiendo que contiene 100 filas.

C) 25 025 D) 25 555 E) 25 225

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ... ... ... ... ...

5

45 4

5 5 5 5 5 ... ... ... ...

Efectuando

23.

1 1 1 1 1 1 1 + − + − + ...... + − 4 4 6 6 8 24 26 1 26

O A)C25 255 E of: PACH B) 25 250

 27 + 1  2  7 + 1  2    −   2    2    

1 (180) 16

2 2 2 2 + + + .... + 2⋅4 4 ⋅6 6⋅8 24 ⋅ 26

2K =

∴ K+

22.

C) 2 E) 4

Desdoblando

Agrupando convenientemente

S = 3 800 + 2 470

A) 0 D) 3

23 13

1 1 1 1 + + + .... + 2⋅4 4 ⋅6 6⋅8 24 ⋅ 26

S = 1(5) + 2(5) + 3(5) + .... + 100(5) S = 5 (1 + 2 + 3 + .... + 100)

 100(101)  S = 5  → S = 25 250 2  

25.

Halla el valor de (A+B+C) si: A = 1+2+3+ … +120 B = 1+3+5+ … +169 C = 2+4+6+ … +140

A) 19 455 D) 29 455

B) 16 084

y =8

2

120(121) 2

12

44

x=2

y =8

∑ x 2 + ∑ (2y + 1) = 649 + 1961 = 2 610

∴

→

A = 7 260

2

→

27.

Halla la suma total de: 12 + 22 + 32 + 42 + . . . + 202 22 + 32 + 42 + . . . + 202 32 + 42 + . . . + 202

B = 7 225

192 + 202 202

C = 2 + 4 + 6 + 8 + .... + 140 C = 70(71) C = 4 970 →

A) 10 044 D) 41 400

∴ A + B + C = 19 455

Pr 26.

= 1 961

B = 1 + 3 + 5 + 7 + .... + 169  169 + 1  B=   2 

•

2

A = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 120

A=

•

 89 + 1   15 + 1  =  −   2   2 

C) 23 945 E) 20 505

Analizando por partes •

44

∑ (2y + 1) = 17 + 19 + 21 + .... + 89

•

Calcula:

12

44

x=2

y =8

∑ x 2 + ∑ (2y + 1)

B) 44 100

C) 40 104 E) 4 324

CO E of: PACH 1 2 + 2 2 + 3 2 + ...... + 20 2 2 2 + 3 2 + ...... + 20 2

A) 2 510 D) 2 610

B) 2 810

C) 2 828 E) 2 831

3 2 + ...... + 20 2 

 20 2

Efectuando por partes Efectuando •

12

∑ x 2 = 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + 12 2

x=2

=

12(13)(25) −1 6

= 649

S = 1(1 2 ) + 2(2 2 ) + 3(3 2 ) + ... + 20(20 2 ) S = 13 + 2 3 + 3 3 + ... + 20 3

 20(21)  S=   2 

2

→

S = 44 100

-7-

28.

Halla “n”:

30.

n

∑ 2x = 342

Halla C + D + M + P, si: 7

∑ (2 + 8 + 18 + 32 + .... + 288) = CDMP

x =1

x =1

A) 24 D) 18

B) 21

C) 20 E) 19

A) 8 D) 6

B) 12

C) 15 E) 10

n

∑ 2x = 342

Efectuando

x =1

Por propiedad

7

∑ 2(12 + 2 2 + 3 2 + .... + 12 2 ) = CDMP

n(n + 1) = 342

x =1

n(n + 1) = 18(19) → n = 18

  12(13)(24)(25)  72   = CDMP 6    9100 = CDMP

29.

Calcula: 1 + 2 + 3 + 4 + .... + (x + y)

Si: 2 + 4 + 6 + 8 + .... + x = 650 Además: 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (3 y − 2) = 625 A) 2 140 D) 2 155

B) 2 145

C) 2 150 E) 2 278

x = 25 → 2

x = 50

1 + 3 + 5 + 7 + .... + (3 y − 2) = 625  3y − 2 + 1    2  

2

30 sumandos

B) 14 960

C) 15 000 E) 10 385

Descomponiendo cada sumando tenemos S = 3 + 8 + 15 + 24 + … 5

7 2

67(68) 67 = = 2 278 ∴ S = 1 + 2 + 3 + 4 + .... +  2 x+y

S = 112 + 22 3 + 33 4 + .......... ..  

9 2

= 625

3 y − 1 = 50 → y = 17

-8-

Calcula el valor de la siguiente serie:

A) 14 880 D) 15 100

2 + 4 + 6 + 8 + .... + x = 650

xx   + 1 = 25(26) 22 

•

31.

CO Pr E of: PACH

Analizando por partes •

∴ C + D + M + P = 10

30

30

30

S = 3 C1 + 5 C2 + 2 C3

 30 × 29   30 × 29 × 28  S = 3(30) + 5   + 2  2  6   

S =10 385

32. Un tren salió de su paradero inicial con 7 pasajeros y en cada parada suben dos pasajeros más de los que hay. Si al llegar a su paradero final se contaron 574 pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo a recoger pasajeros?

Efectuando

24(1 + 2 + 3 + .... + x) = 864

x(x + 1) = 36 2 x(x + 1) = 8(9)

Comparando x = 8 A) 5 D) 8

B) 6

C) 7 E) 9 34.

Sea x el número de estaciones 1°est

2°est

3°est



7 + 9 + 18 + 36 + …. = 574 Paradero inicial

×2

×2

7+

Evaluando

M = S1 + S 2 + S 3 + S 4 + ........ + S 20

×2

9(2 x − 1) = 574 2 −1

Si S1 , S 2 , S 3 , ...... , S 20 son la suma de

los 20 primeros términos de una P.A., cuyos primeros términos son iguales a uno y sus razones son 1, 3, 5, 7, … , respectivamente; calcula:

A) 76 400 D) 70 300

B) 80 200

C) 4 200 E) 67 400

9(2 x − 1) = 567 2 x − 1 = 63

S1 = 1 + 2 + 3 + ... =

x=6 S 2 = 1 + 4 + 7 + ... =

Por lo tanto, se detuvo en 6 estaciones.

CO Pr E of: PACH

33. Sobre el piso se ha dibujado un polígono regular de 24 metros de lado, un atleta se para sobre uno de los vértices y recorre todo el polígono; y luego repite el proceso sucesivamente recorriendo en cada día un lado menos. Si ha recorrido en total 864 m, ¿cuántos lados tienen el polígono? A) 5 D) 8

B) 6

C) 7 E) 9

2°día

3°día



último día

20

∑ (3n − 2)

n =1

20

∑ (5n − 4)

n =1

 S 20 = 1 + 40 + 79 + ... =

20

∑ (39n − 38)

n =1

Reemplazando M=

20

∑ [n + (3n − 2) + (5n − 4) + ... + (39n − 38)]

n =1

M=

20

∑ (400n − 380)

n =1

20

1°día

n =1

S 3 = 1 + 6 + 11 + ... =

M = 400 ∑ n −

Sea x el número de lados del polígono

20

∑n

n =1

20

∑ 380

n =1

 20 × 21  M = 400  − 380(20) → 2  

M = 76 400

24 x + 24(x − 1) + 24(x − 2) + .... + 24(1) = 864

-9-

35.

Dado el siguiente arreglo numérico: Agrupando términos convenientemente 2 4

6

8 10 12 14 16 18 20 … … … … … … … … ... .... ...

B) 27 030

C) 23 050 E) 24 050

Analizando los últimos términos de cada fila F1 →

2 8

F3 → F29 →

→ 1× 2

4

F2 →

…

F30 → 872

6

10 …

…

→ 2× 3

12 …

…

×

1

2

×

1

×

2

1

×

2

1

3

×

1

3

×

1

3

Aplicando suma límite

Halla la suma de la fila 30. A) 23 804 D) 23 804

1 1 1 1 1 1     S =  1 + + + + ....  +  1 + + + + ....  2 4 8 3 9 27    

…

← 29× 30

930

1−

1 2

1

+

1−

← 30× 31

→

1 3

S=

7 2

37. Halla la suma de los 40 primeros múltiplos de 5. A) 4 100 D) 4 897

→ 3× 4

870

1

S=

B) 4 200

C) 4 350 E) 4 219

S=5 15 + 20 + .... +10 +    

Piden

40 sumandos

CO Factorizando 5 Pr E H C Se observa que la serie correspondienteoaf :la P fila A

S = 5(1 + 2 + 3 + … + 40)  40(41)  S = 5   2 

30 es aritmética de razón 2, es decir

S = 4 100 S = 872 + 874 + 876 + .... + 930  930 + 872  S = 30 2  

38.

∴ S = 27 030

36.

Calcula: S = 5 + 12 + 21 + ..... + 480

A) 3 658 D) 3 467

B) 3 710

Calculando el número de términos

Halla la suma de: 1 1 1 1 1 1 1 S = 2+ + + + + + + + ..... 2 3 4 9 8 27 16

S = 5 + 12 + 21 + 32 + … … + 480 7

A) 7/2 D) 185 - 10 -

B) 5

C) 3 560 E) 3 740

C) 5/4 E) 7/9

9 2

11 2

Donde

t n = n 2 + 4n

→

480 = n(n + 4)

n = 20

6 ; 15 ; 24 ; 33 ; … 9

Entonces S = 5C

20 +7 1

C

20 +2 2

C

20 3

9

9

→

t n = 9n − 3

t 0 = 6 − 9 = −3

 20 × 19   20 × 19 × 18  S = 5 (20) + 7   + 2  2 6    

Calculando el lugar que ocupa el tercer término que termina en 5 9 n − 3 = ... 5

S = 100 + 1 330 + 2 280

→

9 n = .... 8 ↓ 2 12 22

S = 3 710

39.

Luego el tercer término que termina en 5 es

Calcula:

t 22 = 9(22) − 3

S = 1+ 3 + 2 +2 + 6 + 4 + 3+ 9 + 6 +.......   100 sumandos

A) 3 500 D) 3 600

B) 3 200

C) 3 400 E) 3 800

→

t 22 = 195

Piden calcular S = 6 + 15 + 24 + .... + 195  6 + 195  S=  22 2  

→

S = 2 211

Agrupando convenientemente S = (1+3+2) + (2+6+4) + (3+9+6) + .... + (33+99+66) + 34    33 grupos de 3

Pr

S=6 24 +12 +18 + +.......   + 34 33 sumandos

41.

Calcula el valor de S: S = 1 × 99 + 2 × 98 + 3 × 97 + ..... + 50 × 50

CO E of: PACH A) 79 456

B) 84 575

D) 45 237

C) 67 890 E) 23 469

Factorizando 6 S = 6(1 + 2 + 3 + 4 + .... + 33) + 34

 33(34)  S = 6  + 34  2 

La serie es de la forma →

50

∑ n(100 − n)

n =1

S = 3 400

S=

50

∑ (100n − n 2 )

n =1

50

40. Calcula la suma de los términos de la siguiente sucesión considerada hasta el tercer término que termina en 5. 6 , 15 , 24 , 33 , … A) 2 456 D) 2 211

B) 2 347

C) 3 377 E) 2 112

S = 100 ∑ n − n =1

50

∑ n2

n =1

 50 × 51  50 × 51 × 101 S = 100 − 6  2  S = 84 575

- 11 -

42. Un camionero lleva ladrillos de un depósito a su fábrica y lleva la primera vez 28, pero se le caen 7, entonces decide aumentar 16 ladrillos por viaje con respecto a cada viaje anterior, pero las caídas aumentan de viaje en viaje en 4 ladrillos. Si desea acumular 2700 ladrillos, ¿cuántos viajes debe hacer? A) 20 D) 15

B) 17

Desdoblando cada sumando S = (12 + 1) + (12 + 4) + (12 + 9) + .... + (12 + 625) S = (12 + 12 ) + (12 + 22 ) + (12 + 3 2 ) + .... + (12 + 252 )

Agrupando convenientemente 2 2 2 2 S = 12 + 12 + 12 + .... + 12       + (1 + 2 + 3 + ... + 25 )

C) 16 E) 12

25 veces

S = 25(12) + 1° 2° 3°  28 ; 44 ; 60 ; …

Lleva Se le caen

7

x°

21 + 33 + 45 + ..... = 2700

Del enunciado

S = 300 + 5 525

→

S = 5 825

; 11 ; 15 ; …

21 ; 33 ; 45 ; …

Acumula

25(26)(51) 6

12

12

x

x

21 C1 + 12 C 2 = 2700

44. Calcula el valor de: S = (2009 − 1)(2008 − 2)(2007 − 3)....(1 − 2009) A) 1 D) 0

B) 2 009

C) 2 007 E) 1 006

 x(x − 1)  21x + 12   = 2700  2 P

CO E rof: PACH S = (2009 − 1)(2008 − 2)(2007 − 3)....( 2 − 2008)(1 − 2009) 6 x 2 + 15 x = 2700

2x 2 + 5 x − 900 = 0

Simplificando

Donde

x − 20 = 0

2x

+45

x

− 20

→

x = 20

Por lo tanto, debe hacer 20 viajes.

43.

Calcula: S = 13 + 16 + 21 + 28 + 37 + ...... + 637

A) 5 345 D) 5 673

- 12 -

B) 5 789

C) 5 349 E) 5 825

Se observa que S tiene un número impar de factores, siendo el factor central (1005 − 1005) cuyo resultado es cero; y el producto de un número por cero siempre es cero ∴ S=0

45. Siendo m y n enteros positivos; halla m – n. Si: 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n + 1) = 6 + 8 + 10 + .... + 2m A) 5 D) 1

B) 4

C) 0 E) 2

47.

Indica la suma de cifras del resultado de: S = 9 + 99 + 999 + ........ + 999...99 

1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n + 1) = 6 + 8 + 10 + .... + 2m

40 cifras

2

 2n + 1 + 1    = m(m + 1) − (2 + 4) 2   2

2

(n + 1) = m + m − 6

A) 56 D) 40

B) 55

C) 45 E) 35

(n + 1) 2 = (m − 2)(m + 3)

Sumando y restando 1 a cada término En el segundo miembro se observan 2 factores que se diferencian en 5 cuyo producto es un cuadrado perfecto, es decir 62 = 4 × 9

S = (10 − 1) + (10 2 − 1) + (10 3 − 1) + .... + (10 40 − 1) S = (10 + 10 2 + 10 3 + .... + 10 40 ) + 40(−1)

S = 1111 1110 .....    − 40

(5 + 1)2 = (6 − 2)(6 + 3)

 n=5   m=6

→

∴ m−n =1

41 cifras

S = 1111 1070 .....    41 cifras

∴ Suma de cifras = 38(1) + 7 = 45

46. Víctor observó que su secretaria había hecho 48. Sabiendo que la suma de 20 números 37 llamadas telefónicas hasta el 14 de diciembre. impares consecutivos es 400, halla la suma de los El día 15 hizo 2 llamadas, el 16 hizo 4 llamadas, 20 posteriores a los 20 siguientes números el 17 hizo 6 llamadas y así sucesivamente hasta el O consecutivos, si todos son positivos. impares fin de mes. ¿Cuál es el total de llamadas Pr que hizo HEC la secretaria en el mes de diciembre? of : PAC A) 2 000 B) 800 C) 1 200 D) 2 405 E) 3 300 A) 343 B) 351 C) 365 D) 357

E) 368 Sea la suma 20 sumandos

Del enunciado 14 días

   37

17 días

   15

16

17

+ 2 + 4 + 6 + ......

2 +4 ....) ∴ Total de llamadas = 37 + ( + 6+  17 sumandos

= 37 + 17(18) = 343

 x + (x + 2) + (x + 4) + ..... = 400 2

2

20

20

x C1 + 2 C 2 = 400

 20 × 19  20x + 2   = 400  2  x =1

Es decir la suma se trata de los 20 primeros números impares, entonces - 13 -

lo que piden   1+ 3 + 5 + ....+ 39 + 41 + ....... + 79 + 81 .......... + 119  20 términos    40 términos  60 términos

50.

Halla “K” en: K=

A) 24/25 D) 13/25

1 1 1 1 + + + .... + 2 6 12 600

B) 18/25

C) 17/25 E) 11/25

∴ 

Suma de los 20 posteriore s  2 2  = 60 − 20 = 2 000  a los 20 siguientes números impares 

K=

49. Se contrata un obrero para cavar un pozo de cierta profundidad. El costo de S/. 6 para el primer metro y S/. 4 más para cada metro adicional; si el obrero recaudó 720 soles por cavar el pozo. ¿Cuál es la profundidad del pozo? A) 15 D) 21

B) 17

1 1 1 1 + + + .... + 1× 2 2 × 3 3 × 4 24 × 25

Desdoblando K = 1−

1 1 1 1 1 1 1 + − + − + ...... + − 2 2 3 3 4 24 25

K = 1−

1 25

→

24 25

K=

C) 18 E) 23 Conteo de figuras

Sea x la profundidad del pozo 1°

Costo por metro

Del enunciado

2°

3°

 6 ; 10 ; 14 ; …

x°

51. Halla el número máximo de segmentos de recta en el dibujo

CO E of: PACH A) 30 6 + 10 + 14 + ..... = 720

E

Pr

4

4

6C

x +4 1

C

x = 720 2

N

B) 25 C) 15 D) 26 E) 43

H O R A

2x 2 + 4 x = 720

Simplificando

Donde

x − 18 = 0

x 2 + 2x − 360 = 0

N

x

+20

H

x

−18

O

→

R

x = 18

Por lo tanto, la profundidad del pozo es de 18 metros.

- 14 -

E

A

5

U

B

 x(x − 1)  6x + 4   = 720  2 

N

E

A

5(6) = 15 2

4 3 2 2

1

B

4

3

U

E

5

N

∴ N° de segmentos = 2(15) = 30

A

5(6) = 15 2

52. Determina el número de triángulos de la figura.

54. Indica el máximo número de ángulos agudos en la siguiente figura:

A) 24 B) 16 C) 17 D) 19 E) 21

A) 28 B) 24 C) 20 D) 12 E) 21