PPL Programacion Lineal - Metodo Grafico

Programación Lineal, Uso del Método Gráfico PROFESOR:

FELIPE CASELLI INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL MASTER EN INGENIERÍA DE NEGOCIOS DOCTOR © GESTIÓN AVANZADA DE EMPRESAS EN UNA ECONOMÍA GLOBALIZADA

Programación Lineal • Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales. Variables de Decisión

Encontrar xj para (con j=1, …, n) Maximizar o Minimizar f(x1,….,xn) s.a Restricciones gi(x1,….,xn) ≤ ri i=1,….,m

Función Objetivo

= ≥ ≤ 2

Programación Lineal • Lo anterior quiere decir que el modelo debe cumplir con dos propiedades: – Proporcionalidad: La contribución de cada variable de decisión a la Función Objetivo (FO) y sus requerimientos en las restricciones debe ser directamente proporcional al valor de la variable (ej. Con el descuentos por volumen no se cumple la proporcionalidad) – Aditividad: La contribución total de todas las variables en la FO y sus requerimientos en las restricciones, debe ser la suma directa de las contribuciones o requerimientos individuales de cada variable (si el aporte de una variable depende del valor de otra variable, la aditividad no se cumple)

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Programación Lineal • Como ya se ha definido, un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente: – Un conjunto de variables de decisión – Una función objetivo – Un conjunto de restricciones

• Asimismo, la solución óptima del modelo de PL pertenecerá a un: – Espacio factible: conjunto de soluciones posibles que cumplen con las restricciones dadas por el modelo – Vértice factible: punto de intersección de las rectas que delimitan el espacio factible de soluciones

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Programación Lineal • Un problemas de programación lineal con 2 variables acepta el uso del método gráfico de solución, dado que el espacio factible estará contenido en el plano cartesiano.

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Modelo simple de Producción: Caso Producción Sillas y Mesas • El dueño de un taller de carpintería desea determinar la cantidad de sillas y mesas que debe producir la próxima semana. Para ello cuenta con dos insumos (los más importantes): madera y fierro. Además, dispone de mano de obra especializada, en particular el proceso de barnizado lo puede realizar una persona solamente. La disponibilidad de madera es de 100 m2, la de fierro es de 60 m lineales y el operario que barniza puede trabajar hasta 50 horas por semana. • Para fabricar cada silla se requiere 1m2 de madera, 1m de fierro y 1 hora para barnizado; y para cada mesa se necesita 4m2 de madera, 2m de fierro y 1 hora para barnizado. Se desea decidir la cantidad de muebles que se deben fabricar de modo que el beneficio total sea máximo. • El beneficio es de M$1 para cada silla y de M$3 para cada mesa. 6

MÉTODO GRÁFICO: Caso Producción Mesas y Sillas • Variables de decisión: • x1 = cantidad de sillas que se fabricarán durante la semana • x2 = cantidad de mesas que se fabricarán durante la semana

• Parámetros: – Disponibilidad de los recursos – Requisito de recurso por unidad de producto – Beneficio por unidad de producto

• Restricciones: – Disponibilidad de los recursos:

• Madera: x1 + 4x2 ≤ 100 • Fierro: x1 + 2x2 ≤ 60 • H-H Barnizado: x1 + x2 ≤ 50

– No-negatividad de las variables: • 4 y 5) x1, x2 ≥ 0

• Función Objetivo: –

Max z = x1 + 3x2 7

MÉTODO GRÁFICO: Caso Producción Mesas y Sillas

• En el plano cartesiano graficar cada una de las rectas de restricción – Determinar espacio factible

• Calcular los puntos de intersección de las rectas de restricción que se encuentran dentro del espacio factible – Determinar los vértices factibles

• Determinar el vértice que entrega la mejor solución de la función objetivo 8

MÉTODO GRÁFICO: Caso Producción Mesas y Sillas

Área punteada indica el espacio factible

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MÉTODO GRÁFICO: Caso Producción Mesas y Sillas

REGIÓN INFACTIBLE Restricción Madera:

x1 + 4x2 ≤ 100

REGIÓN FACTIBLE

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MÉTODO GRÁFICO: Caso Producción Mesas y Sillas

Restricción Fierro:

x1 + 2x2 ≤ 60

Restricción Madera:

x1 + 4x2 ≤ 100 REGIÓN FACTIBLE

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MÉTODO GRÁFICO: Caso Producción Mesas y Sillas

Identificar dirección de crecimiento de z Max z = x1 + 3x2 (2) Restricción Fierro:

x1 + 2x2 ≤ 60 (1) Restricción Madera:

x1 + 4x2 ≤ 100 E

A (3) Restricción Barnizado:

REGIÓN FACTIBLE

5 VÉRTICES FACTIBLES

x1 + x2 ≤ 50

B D

C 12

MÉTODO GRÁFICO: Caso Producción Mesas y Sillas

Identificar dirección de crecimiento de z Max z = x1 + 3x2

E

A B REGIÓN FACTIBLE

D

C 13

(2) Restricción Fierro:

x1 + 2x2 ≤ 60

RESTRICCIONES ACTIVAS DEL PROBLEMA

(1) Restricción Madera:

E

x1 + 4x2 ≤ 100

A

(3) Restricción Barnizado:

B D

REGIÓN FACTIBLE

x1 + x2 ≤ 50 C 14

MÉTODO GRÁFICO: Caso Producción Mesas y Sillas • Variables de Holgura del problema permiten identificar la cantidad de recurso que quedará disponible o sin utilizar, la variable de holgura se obtiene de la diferencia entre el lado derecho y el izquierdo de las restricciones. h1 = 100 – x1 – 4x2 h2 = 60 – x1 – 2x2 h3 = 50 – x1 – x2 • ¿qué pasa con las variables de holgura de las restricciones activas? 15

MÉTODO GRÁFICO: Caso Producción Mesas y Sillas

Punto

x1

x2

Z

x3

x4

x5

(sillas)

(mesas)

(beneficio)

(madera)

(fierro)

(h-h)

A

20

20

80

0

0

10

B

40

10

70

20

0

0

C

50

0

50

50

10

0

D

0

0

0

100

60

50

E

0

25

75

0

10

25

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MÉTODO GRÁFICO, ejercicio

• Una compañía de automotores fabrica camiones y automóviles. • Cada uno de los vehículos debe pasar por el taller de pintura y por el de ensamble. • Si el taller de pintura pintara sólo camiones, entonces podría pintar 40 por día. Si pintara sólo automóviles, entonces podría pintar 60 vehículos diarios. • Si el taller de ensamble se destinara sólo a ensamblar automóviles, entonces podría procesar 50 al día, y si sólo produjera camiones, procesaría 50 por día. • Cada camión contribuye con 250 dólares a la utilidad, y cada automóvil contribuye con 200 dólares. • El gerente de Producción le ha encargado a UD que decida la cantidad óptima a producir.

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MÉTODO GRÁFICO, ejercicio: Modelo • Sean: – X1: La cantidad, en unidades, de camiones a producir por día. – X2: La cantidad, en unidades, de automóviles a producir por día.

• FO: Max Z = 2,5x1 + 2x2 S.a. Limitación Taller Pintura:

1 1 x1 + x2 ≤ 1 40 60 Limitación Taller Ensamble: 1 x1 + 1 x 2 ≤ 1 50 50 No negatividad x1, x 2 ≥ 0

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Resultado ejercicio

• De acuerdo a las condiciones del problema el punto óptimo de solución se encuentra en el punto A. • El valor de la FO será de $110.000.

A: (20,30)

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MÉTODO GRÁFICO, ejercicio Modificado • ¿Qué sucedería si cada camión aportara con 300 dólares a la utilidad? (aumento de 50 dólares respecto del enunciado anterior) Manteniendo el aporte que hace cada automóvil (200 dólares) • ¿Cuál será la nueva solución?

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MÉTODO GRÁFICO, ejercicio modificado • Sean: – X1: La cantidad, en unidades, de camiones a producir por día. – X2: La cantidad, en unidades, de automóviles a producir por día.

• FO: Max Z = 3x1 + 2x2 S.a. Limitación Taller Pintura: Limitación Taller Ensamble:

1 1 x1 + x2 ≤ 1 40 60 1 1 x1 + x 2 ≤ 1 50 50 x1, x 2 ≥ 0 21

Resultado • Se mantiene el punto A como punto óptimo de solución • Bajo la nueva condición hay múltiples puntos de solución, donde con todos se obtiene el mismo valor de FO • Tanto el punto A como el B (y todos los intermedios) dan como resultado $120.000

A: (20,30) B: (40,0)

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MÉTODO GRÁFICO, Análisis de Sensibilidad • Estudio de las condiciones de los parámetros para mantener las características de la solución óptima. • Se analiza el rango de variación de los valores de un solo parámetro a la vez, asumiendo que el resto no varía. • Los parámetros que se acostumbra a estudiar en la práctica son los coeficientes de la función objetivo y del “vector lado derecho” (disponibilidad de recursos) 23

MÉTODO GRÁFICO, Análisis de Sensibilidad Sensibilidad coeficientes Función Objetivo • ¿Cuál es el rango de variación del valor de un coeficiente de la función objetivo, de modo que el punto óptimo continúe siendo óptimo? • Geometría: modificación de la pendiente de la recta (o hiperplano) que representa la función objetivo, en torno al punto óptimo. • Por lo tanto, para que no varíe el punto óptimo las restricciones activas no deben dejar de serlo 24

Caso mesas y sillas 1. Madera: x1 + 4x2 ≤ 100 2. Fierro: x1 + 2x2 ≤ 60 3. H-H Barnizado: x1 + x2 ≤ 50 No-negatividad de las variables: 4 y 5) x1, x2 ≥ 0

E A

B

D

C 25

MÉTODO GRÁFICO, Análisis de Sensibilidad •

•

Sensibilidad coeficientes Función Objetivo: z = 1x1 + 3x2 z’ = c1x1 + c2x2 Para que se mantenga el punto como solución Optima, la variación de los coeficientes no debe cambiar las restricciones activas: 1) x1 + 4x2 ≤ 100 →

2)

x1 + 2x2 ≤ 60 →

–

¼ ≤ c1/c2

–

c2/c1 ≤ 4

– –

c1/c2 ≤ ½ 2 ≤ c2/c1

– –

c1/c2 [¼ ; ½] ó c2/c1 [2 ; 4]

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MÉTODO GRÁFICO, Análisis de Sensibilidad Sensibilidad coeficientes vector lado derecho: • ¿Cómo puede variar el valor de un coeficiente del lado derecho de manera que las características del punto óptimo se mantengan? (Restricciones activas sigan siendo activas, lo mismo con las no activas) • Geometría: desplazamiento paralelo de la recta (o hiperplano) asociada a la restricción correspondiente.

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1. Madera: x1 + 4x2 ≤ 100 2. Fierro: x1 + 2x2 ≤ 60 3. H-H Barnizado: x1 + x2 ≤ 50 No-negatividad de las variables: 4 y 5) x1, x2 ≥ 0

E

Caso mesas y sillas

A H B

D

C

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MÉTODO GRÁFICO, Análisis de Sensibilidad Caso Producción Mesas y Sillas • Sensibilidad coeficientes vector lado derecho fierro: – Recta restricción 2 se puede desplazar desde el punto E hasta el punto H para se mantenga activa. x1 + 2x2 ≤ f E(0,25) → 0 + 2*25 ≤ f f ≥ 50 H(100/3 , 50/3) → 100/3 + 2*50/3 ≥ f f ≤ 200/3 f → [50,200/3]

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Dado el siguiente problema de programación lineal que representa la producción de los productos X e Y, con el objeto de minimizar los costos de producción: MIN Z = X + 5Y s.a: [R1] 30X + 120Y >= 380 [R2] - 30X + 90Y C 2 − 90 ≤ = −3 C1 30

•

Dado el punto en el que se encuentra el óptimo, si se quiere el rango permitido para la relación C2/C1, entonces: C2 ∈ {]− ∞,−3] ∪ [4, ∞[} C1 31

¿Cuál es el rango en el que puede variar la cantidad disponible del recurso 3 para que se mantengan las restricciones activas actuales?

• La restricción 3 (R3) podría disminuir hasta quedar paralela a R2-> R3=200 – Si disminuye más el problema no tendrá solución factible (conflicto con R2)

• R3 puede aumentar hasta la intersección de R1 con el origen. – Si disminuye más, éstas pasan a ser las activas

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CASOS ESPECIALES

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Casos de Problemas de Programación Lineal (PPL) • Problema con una única Solución • Problema con múltiples puntos de solución óptima (múltiples soluciones) • Problema Sin Solución Factible • Conjunto de solución factible no acotado

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Casos de PPL: Problema con múltiples puntos de solución óptima

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Casos de PPL: Problema sin solución (no factible)

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Casos de PPL: Problema con conjunto factible no acotado

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