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TA D DE I NGENIERÍA  F  AC UL TAD P ROBABILIDADES ROBABILIDADES Y  E STADÍSTICA 

PAUTA Prueba Parcial 3. 22  DE JUNIO DE  2016 Ing. en BioInformática, Secciones A y B Curicó  C ORREA  B.,   B., I GNACIO  V IDAL  G  G . Profesor: EDUARDO  A LARCÓN  B., J UA N  B AR RE RA  A., G LORIA  C  D . Profesor ayudante: D AR IÁ N  M AR TÍ NE Z  D

Problema 1. Sea  X   una variable aleatoria que representa el tiempo entre vehículos en el flujo de tráfico y que tiene la  siguiente función de densidad:

f X (x) =

 

−

x

xe β β 2

Si  x >  0; β > 0  

0

e.o.c

a) Calcule el Estimador Estimador de máxima verosimilitud verosimilitud de  β .

L(β )

=

l(β )

=

n n  1 i=1 xi − β i=1  x i e 2 n β 

   −

(4pt)

n

ln

xi

2n ln(β )

i=1

0

=

ˆ β 

=



l (β ) = x

2

− nx   β 

(4pt)

 −2n + nx   (3pt) β 

β 2

  (2pt)

 b) Si  n  = 10  observaciones de tiempo entre vehículos son realizadas y se obtienen los siguientes resultados. 3.11 0.64 2.55 2.20 5.44 3.42 10.39 8.93 17.82 1.30

Calcule la estimación de  β  ˆ =  = Como  x  = 5.58  (3pt), entones β 

x

2

=

5.58 = 2.79  (4pt) 2

Problema 2. El porcentaje deseado de  SiO2  en un cierto tipo de cemento aluminoso es de  5.5. Para comprobar si el porcentaje promedio verdadero es de 5.5  en una instalación de producción particular, se analizaron 16  muestras independientemente obtenidas. Suponga que el porcentaje de  S iO2  en una muestra está normalmente distribuido con  σ  = 0.3  y que  x  = 5.25. a) Utilizando α = 0, 01  ¿Indica esto concluyentemente que el porcentaje promedio verdadero difiere de 5.5? Formule las hipótesis correspondientes dando el significado de los parámetros, calcule el   valor −  p  y concluya en el contexto del problema. µ  =  Porcentaje promedio verdadero de  S iO2  en cierto tipo de cemento aluminoso.  (1pt) H 0  :  µ  = 5.5 H 1  :  µ = 5 .5  (2pt)

 

Dadas las carecterísticas del problema, el estadístico de prueba a utilizar está dado por:

− µ √ n = 5.25 − 5.5 √ 16 = −3.3 (2pt) 0.3 σ  Valor  p  = 2 · P (Z > |z |) = 2 · P Z >  3 .3 = 2 · P z  =

x

0









 −3.3

Z<

= 2 (0.000434) = 0.000868 (1pt)

·

Se rechaza  H 0 , así el porcentaje promedio verdadero de  S iO2  en este tipo de cemento difiere de  5 .5 % (2pt)

 b) Si el porcentaje promedio verdadero es  µ = 5.6. Calcule la probabilidad de cometer error tipo II. 

β (5.6)

= = = = = = =

No rechazar  H 0 |µ = 5.6) 

P(

 − − 

·  



5.5 4 < z 0.995 µ = 5.6   (2pt) P 0.3 x 5.5 2.58  < 4  <  2 .58 µ = 5.6 P 0.3 5.6935 5.6 5.3065 5.6 Φ 4 Φ 4 0.3 0.3 Φ(1.25) Φ( 3.91) x

|

−

−



·

|

  · −



−



− − 0.89435 − 0.000046 0.894304   (2pt)

c) ¿Qué valor de n  se requiere para satisfacer  α  = 0.01  y  β (5.6) = 0.01? Como  n  =

(z 1

2 α/2  +  z 1−β ) (µ µ )2

−

−

2

· σ , entonces  n  = (2.580+.12.33) · 0.3 2

Se requiere un  n  de al menos  217  (2pt)  muestras.

2

2

= 216.97 (4pt)

 ·

  (2pt)

Problema 3.  El artículo  The Influence of Corrosion Inhibitor and Surface Abrasión on the Failure of Aluminum-Wired Twist-  on Connections (IEEE Trans. on Components Hybrids, and Manuf. Tech., 1984: 20-25)  reportó los siguientes datos sobre mediciones de caída potencial para una muestra de conectores alambrados con aluminio de aleación (Tipo 1) y otra muestra  con aluminio EC (Tipo 2).

 Tipo

Tamaño muestral

Media muestral

D.E muestral

1

10

17.499

0.55

2

10

16.900

0.49

a) Suponiendo que ambas muestras provienen de una distribución normal con varianzas iguales, ¿sugieren estos datos que la caída de potencial promedio verdadera de conexiones de aleación es más alta que las conexiones EC? Con un nivel de significación del  5 %, formule las hipótesis correspondientes dando el significado de los parámetros, calcule el  valor −  p  y  concluya en el contexto del problema. Sean, µX =  Caida de potencial media de conexiones con aleación (Tipo 1) µY  =  Caida de potencial media de conexiones con EC (Tipo 2)  (1pt) H 0  :  µ X

 ≤  µ

Y 

H 1  :  µ X > µY   (2pt)

Dadas las carecterísticas del problema, el estadístico de prueba a utilizar está dado por:  t  =

x sp

1 0.552 + 0.492 = 0.2713 2 17.499 16.9 0 = 2 .5715  (3pt) Por lo que  t  = 2

sp  =



  −

0.2713 5

y

∆

1 n

1 m

 − −

+

, donde

−

 Valor  p  =  P t(18)  >  2 .5715 <  P t(18) > 2 .552 = 0.01  < α  (3pt) Se rechaza  H 0  y se concluye que la caida de potencial promedio verdadera de conexiones de aleación Tipo 1 es más alta  que las conexiones tipo 2.  (4pt)  b) Al llegar a su conclusión, ¿qué tipo de error podría haber cometido?.  Al rechazar  H 0 , se podría estar cometiendo error tipo I.  (7pt)



 

