poutres_continues.pdf
Short Description
Download poutres_continues.pdf...
Description
Cours de - mécanique -
_______________________________________________
Relations entre les moments de flexion sur appuis, les rotations sur appuis, les déplacements des appuis d’une poutre droite à travée unique. étude des poutres continues par le Théorème des trois moments.
SOMMAIRE 1.
RELATIONS ENTRE LES MOMENTS DE FLEXION SUR APPUIS, LES ROTATIONS SUR APPUIS, LES DEPLACEMENTS DES APPUIS D'UNE POUTRE DROITE A TRAVEE UNIQUE ___________________________________________ 3 1.1. CAS 1 : LES APPUIS I, J SONT FIXES ( LES DÉPLACEMENTS AU NIVEAU DES APPUIS SONT NULS, OU LES TASSEMENTS DIFFÉRENTIELS SONT NULS ) ......................................................3 1.1.1. PRESENTATION 3
(S ) 0
1.1.2. ETUDE DU SYSTEME i 1.1.3. ETUDE DU SYSTEME S 0j
6 7
1.1.4. ETUDE DU SYSTEME S 00
8
( )
( )
ETUDE DU SYSTEME ( S ) 8 1.2. EFFETS DES DENIVELLATIONS AU NIVEAU DES APPUIS I, J (ON ÉTUDIE LA POUTRE POUR UNIQUEMENT DES TASSEMENTS DIFFÉRENTIELS) .....................................................................9
( )
1.2.1. ETUDE DU SYSTEME S d 9 1.3. CAS GENERAL, LES APPUIS I, J SE DEPLACENT (TASSEMENTS DIFFÉRENTIELS NON NULS)10
( ) DEPLACEMENTS DES APPUIS I, J
1.3.1. ETUDE DU SYSTEME ( S ) + S d
2.
10
POUTRES CONTINUES. THEOREME DES 3 MOMENTS. _________________________________________ 12 2.1. DEFINITIONS, NOTATIONS UTILISEES ..........................................................................................12 2.1.1. DÉFINITION 12 2.1.2. SCHÉMA MÉCANIQUE 12 2.2. BILAN STATIQUE..............................................................................................................................13 2.3. CHOIX DES INCONNUES HYPERSTATIQUES ...............................................................................14 2.4. THEOREME DES 3 MOMENTS ........................................................................................................18 2.5. CAS OU IL EXISTE DES DÉNIVELLATIONS AUX APPUIS .............................................................19 2.6. PROCÉDURE DE CALCUL ...............................................................................................................19 2.7. ENCASTREMENT AU NIVEAU D'UN APPUI DE RIVE ....................................................................21 2.8. DEPLACEMENT DES APPUIS..........................................................................................................22 2.9. POUTRES CONTINUES SUR APPUIS ELASTIQUES .....................................................................24 2.10. COEFFICIENTS DE SOUPLESSE DE LA TRAVEE I .......................................................................26 2.11. FOYERS DES POUTRES CONTINUES ...........................................................................................27
1.
RELATIONS ENTRE LES MOMENTS DE FLEXION SUR APPUIS, LES ROTATIONS SUR APPUIS, LES DEPLACEMENTS DES APPUIS D'UNE POUTRE DROITE A TRAVEE UNIQUE R.D.M. 1.1.
CAS 1 : LES APPUIS i, j SONT FIXES ( les déplacements au niveau des appuis sont nuls, ou les tassements différentiels sont nuls )
1.1.1.
PRESENTATION Hypothèses: y
F
M ij z i
p
Mji z
x
j
Les appuis i et j sont fixes, les actions (charges localisées, charges réparties) sont perpendiculaires à la ligne moyenne, les couples peuvent être répartis ou localisés.
lj
EI z = cte le long de la travée j de longueur l j .
(S )
L'exposant 0 indique que la poutre et plus généralement la structure est isostatique.
En utilisant le Principe de superposition et en respectant les consignes, on demande de décomposer le
( ) en 3 systèmes ( S ) , ( S ) , ( S ) . 0 i
0 0
système des actions mécaniques S
0 j
( ) , ( S ) tels que 0
0 j
Pour généraliser les calculs nous considérons les systèmes S i
( S ) : poutre soumise à un couple unité en i 0 i
( S ) : poutre soumise à un couple unité en j 0 j
( ) = ( S ) + ( S ).....+( S ).....
Compléter l'équation liant les différents systèmes. S
0 0
0 i
0 j
Remarque: les couples M ij , M ji respectivement appliqués en i, j doivent être distingués des moments de flexion. Les couples sont des actions du milieu extérieur sur la poutre considérée. Les moments de flexion en i, j s'expriment en fonction de ces couples, on donnera l'expression des moments de flexion en i, j.
M zi = .......
M zj = .......
Complétez les schémas mécaniques ci-dessous.
- Les poutres continues -
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°3/29
y x
i
j
(S )
y
0 i
x
i
j
poutre soumise à un couple unité en i
(S ) 0 j
y
i
- Les poutres continues -
x
poutre soumise à un couple unité en j
j
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°4/29
( ) suivant la description ci-dessous.
Nous pouvons décomposer le système S
y
F
M ij z
p
x
i
Mji z
( S ) système initial, ici la poutre est une structure isostatique soumise au chargement sur la travée ainsi que les couples sur les appuis.
j lj
y
F x
i
( S ) nommé système isostatique associé tel 0 0
p
que les appuis ne sont pas soumis à des couples.
j
(S ) poutre soumise à un couple unité en i 0 i
y
1
i
x
j
x
j
(S )poutre soumise à un couple unité en j 0 j
y
i
1
Le Principe de superposition et de l'indépendance de l'effet des actions permet d'écrire l'équation suivante:
( S ) = ( S ) + ( S ). M + ( S ) . M 0 0
- Les poutres continues -
0 i
ij
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
0 j
ji
Page n°5/29
( )
0 ETUDE DU SYSTEME S i
1.1.2.
0
y
1
x
i
Résolution statique: équation de projection sur l'axe Y:
( Si )
Yi + Y j = 0
j
équation des moments / à l'appui i :
( )
lj
M / i S i0 = 0 = l j .Y j + 1 1 1 Yi = Yj = − lj lj
y
1
x
i
Déterminons les rotations au appuis i, j. en négligeant l'influence de l'effort tranchant
j 1 lj
V y ( x) .
1 lj
(
(M
(i) x
−1
z ( x )) ( i )
z
⎛ x⎞ = −⎜⎜ 1 − ⎟⎟ lj ⎠ ⎝
(
avec M z ( 0)
(U'y (0))(i)= (θ i)(i)= aj
(Uy (x) )(i)
i
( x )) ( i )
Equation du moment de flexion
Diagramme du moment fléchissant .
(Mz(x) )
)( ) = ( M
EI z . U'' y ( x )
)( ) = −1,
( M ( l )) z
i
j
( i)
=0
x
(U'y (lj )(i)= (θj )(i)= -b j
Déformée
(
EI z . U'' y ( x )
(
EI z . U y ( x )
)
)
( i)
( i)
(
= M z ( x)
(
)( ) (
(θ (0))
i
(U (0))
( i)
= U' y (0)
lj
(θ ) ( ) = 3EI i
)
= aj
i
- Les poutres continues -
y
)( )
= U' y ( x )
(
z
i
(
EI z . U' y ( x )
)
( i)
⎛ x2 ⎞ ⎟+A = −⎜⎜ x − 2 l j ⎟⎠ ⎝
⎛ x2 x3 ⎞ ⎟⎟ + Ax + B = −⎜⎜ − ⎝ 2 6l j ⎠
Conditions aux limites:
θ ( x)
)( )
⎛ x⎞ = −⎜⎜ 1 − ⎟⎟ lj ⎠ ⎝
i
( i)
=
=
1 EI z
( i)
y
j
( i)
= 0⇒ A=
lj 3
⎡ ⎛ x2 ⎞ l j ⎤ ⎟+ ⎥ ⎢− ⎜⎜ x − 2 l j ⎟⎠ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝
(θ (l )) = (U' (l ))
lj
j
3EI z
(θ )( ) = − 6EI lj
j
( U ( l ))
= 0⇒ B = 0
i
( i)
y
j
( i)
=−
lj 6EI z
= −b j z
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°6/29
( )
ETUDE DU SYSTEME S 0j
1.1.3.
Résolution statique:
( Sj )
y x
i
équation de projection sur l'axe Y: Yi + Y j = 0
j 1
lj
équation des moments / à l'appui i :
( )
1 1 ,Yi = lj lj
M / i S 0j = 0 = l j .Y j + 1 Y j = − y
i
x
Déterminons les rotations au appuis i, j.
j 1
1 lj
en négligeant l'influence de l'effort tranchant V y ( x ) .
1 lj
(
)( ) = ( M
EI z . U'' y ( x )
+1
(M z (x))(j)
x
(M
(U'y (x))(j) (U'y (0))(j)= (θ i)(j)= -bj
z
( x )) ( j ) =
(
avec M z ( 0)
x
(
EI z . U y ( x )
z
j
)( ) j
(θ ( x))( ) = (U' j
(θ (0)) ( ) = (U'
=
y
(0)) lj
j
cj ≠ aj
- Les poutres continues -
z
j
j
j
si
j
j
)( ) = 2xl
2
j
+A j
( U ( l )) ( ) = 0 ⇒ A = − 6
(U (0))( ) = 0 ⇒ B = 0 y
( j)
lj
y
j
1 EI z
=−
= −b j z
EI z . U' y ( x )
x3 + Ax + B 6l j
( ) = y x ) ( j)
(θ )( ) = − 6EI i
( M ( l )) ( ) = 1
) ( ) = 0,
(
)( ) = ( M ( x))( ) = lx
Conditions aux limites:
j
x lj
(U'y (lj ))(j)= (θj )(j)= c j
EI z . U'' y ( x )
(
( x )) ( j )
z
Équation du moment de flexion
Diagramme du moment fléchissant .
Déformée
j
j
j
⎡x lj ⎤ − ⎥ ⎢ ⎢⎣ 2 l j 6 ⎦⎥ 2
l (θ (l )) ( ) = (U' (l )) ( ) = 3EI
lj
j
j
6EI z
(θ ) ( ) = 3EI lj
j
j
j
y
j
j
z
= cj z
I z varie le long de la poutre.
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°7/29
1.1.4. ETUDE DU SYSTEME ( S 00 )
( S00) y
F
Les sollicitations
V yj0 0 ( x ) ainsi que les
0
( )
déplacements ( translations U yj 0 x
p
notée pour simplifier
x
i
M zj0 0 ( x ) ,
θ 0j 0 ( x )
et rotations
θ zj0 0 ( x )
) ne peuvent être quantifiées
que si l'on connaît quantitativement les valeurs des actions. Par exemple ici en précisant lar position du point d'application de la force ponctuelle F :distance de l'appui i jusqu'au point d'application de la force F = α j . l j .
j
M0zj0 (x)
Quelques précisions sur les notations
( ) 0
L'indice 0 représente le système des actions dans S 0
Diagramme du moment fléchissant . 0
Uyj0(x)
, et l'exposant 0 le fait d'être isostatique
0 θwj0
Déformée
i
x
θ0ei0
L'indice j représente le numéro de la travée.
EI z .U'' yj0 0 ( x ) = M zj0 0 ( x )
x
j
θ 0j 0 ( x ) = U' 0yj 0 ( x ) Au niveau des rotations sur les appuis i, j on adoptera la notation suivante:
θ 0j 0 (l j ) = θ wj0 0
θ 0j 0 (0 ) = θ ei0 0
Pour les rotations, l'indice correspond au numéro de l'appui. e signifie à l'est de l'appui i, w signifie à l'ouest de l'appui j
ETUDE DU SYSTEME ( S )
1.1.5.
( S ) = ( S ) + ( S ). M + ( S ). M 0 0
0 i
0 j
ij
ji
En utilisant la relation précédente, on peut exprimer le moment de flexion dans ( S ) :
(
)
(
)
0 ( x ) + M zj ( x ) (i ) .M ij + M zj ( x ) ( j ) .M ji M zj ( x ) = M zjo
⎛ x⎞ x M zj ( x ) = M zj0 0 ( x ) − ⎜1 − ⎟ .M ij + .M ji ⎜ l ⎟ lj j ⎠ ⎝ En utilisant la relation entre les éléments de réduction, on peut exprimer l'effort tranchant dans ( S ) :
V yj ( x ) = − M' zj ( x ) = −
- Les poutres continues -
dM zj ( x ) dx
⎡ ⎛ M ij + M ji = − ⎢ M' zj0 0 ( x ) + ⎜ ⎜ lj ⎢⎣ ⎝
⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°8/29
⎛ M ij + M ji V yj ( x ) = V yj0 0 ( x ) − ⎜ ⎜ lj ⎝
θi ,θ j
Soit
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
les rotations dans la travée j de ( S ) des appuis i, j; ces rotations sont des angles algébriques
définis par l'axe des x comme origine et pour extrémité la tangente à la ligne moyenne déformée.
θ i = θ ei0 0 + a j .M ij − b j .M ji θ j = θ wj0 0 − b j .M ij + c j .M ji cj = aj =
1.2.
lj
bj =
3 EI z
lj 6 EI z
EFFETS DES DENIVELLATIONS AU NIVEAU DES APPUIS i, j (on étudie la poutre pour uniquement des tassements différentiels)
Les appuis i et j se déplacent lorsque par exemple ces appuis sont constitués de poutres qui se déforment sous l'action de la poutre étudiée.
1.2.1.
ETUDE DU SYSTEME ( S d ) La poutre ne subit pas de déformations, elle se déplace. L'absence de déformations entraîne la nullité des sollicitations ( moments de flexion, effort tranchant).
Effet des dénivellations au niveau des appuis. y
i
x
( Sd ) j
Uyi
i'
j' Ωj
Soit U yj le déplacement du point j.
U yj
Les rotations sont identiques dans toutes les sections droites et en particulier aux appuis i et j.
θi = θ j = Ω j = Ωj
U yj − U yi lj
est appelé rotation d'ensemble de la poutre
( travée j ). Soit U yi le déplacement du point i.
- Les poutres continues -
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°9/29
1.3.
CAS GENERAL, LES APPUIS i, j SE DEPLACENT (tassements différentiels non nuls) ETUDE DU SYSTEME ( S ) + ( S d ) DEPLACEMENTS DES APPUIS I, J
1.3.1.
En i est appliqué un couple M ij .
(S) y
F
p
Mji
M ij z x
i
En j est appliqué un couple M ji .
z
Nous pouvons exprimer les moments de flexion:
j
Plaçons nous en j ( un peu à gauche de j, à une distance infiniment petite de j )
lj
M zj = M ji
Diagramme du moment fléchissant .
M zj (x)
Le moment de flexion en j est égal au couple appliqué en j.
M zj0 (x) Mi Droite d'équation
De la même façon déterminons le moment de flexion en i, ( un peu à droite de i, à une distance infiniment petite de i ).
x
Mj
M zi = − M ij
M i ( 1- x ) + Mj ( x ) lj lj
Le moment de flexion en i est l'opposé du couple appliqué en i.
U yj (x) i
j
j
θj
Uyi Ωj
i' θi
On peut remplacer dans le schéma mécanique, M ji par M zj et M ij par − M zi .
Uy j
0 θ wj0
j Déformée
0 θ ei0
D'après les développements antérieurs, nous pouvons déduire les relations importantes qu'il est souhaitable de connaître:
θ i = Ω j + θ ei0 0 − a j .M zi − b j .M zj θ j = Ω j + θ wj0 0 + b j .M zi + c j .M zj a j , bj , c j
avec
cj = aj =
lj 3EI z
bj =
lj 6EI z
sont les coefficients de souplesse de la travée J.
Ces 2 expressions sont à l'origine de la méthode des déplacements, méthode permettant de résoudre les systèmes hyperstatiques, et utilisées dans l'établissement des algorithmes à partir desquels sont élaborés la plupart des logiciels de calcul des structures.
- Les poutres continues -
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°10/29
Ωj =
U yj − U yi lj
θ ei0 0 θ wj0 0
rotation d'ensemble de la travée j, due à des dénivellations d'appuis.
( ) 0
rotations dans le système S 0 , dans ce système les appuis ne sont pas sollicités par des
couples, les moments de flexion en i, j sont nuls.
( ).
M zi , M zj sont les moments de flexion en i, j dans le système S
θi ,θ j
sont les rotations en i, j.
⎛ x⎞ x M zj ( x ) = M zj0 0 ( x ) + M zi .⎜1 − ⎟ + M zj . ⎜ l ⎟ lj j ⎠ ⎝ ⎛ M zj − M zi ⎞ ⎟ V yj ( x ) = V yj0 0 ( x ) − ⎜ pour ⎟ ⎜ l j ⎠ ⎝
- Les poutres continues -
pour
] [
x ∈ 0,l j
] [
x ∈ 0,l j
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°11/29
2.
POUTRES CONTINUES. THEOREME DES 3 MOMENTS. 2.1.
DEFINITIONS, NOTATIONS UTILISEES
2.1.1.
Définition
Une poutre continue est une poutre droite reposant sur plus de 2 appuis simples et dont un des appuis constitue une articulation. La poutre est supposée horizontale et soumise uniquement à des forces verticales appliquées dans le plan moyen de symétrie. Dans cette hypothèse l'articulation se comporte comme un appui simple, mais la poutre n'apparaît plus alors comme un mécanisme. Si on étudie une poutre soumise à des forces ponctuelles et (ou) réparties non verticales, c'est l'articulation qui transmet toutes les composantes horizontales de ces forces à l'appui 0 (articulation).
2.1.2.
Schéma mécanique
( S) p1
p0
L0
A0
L1
A1
pi
L2
A i-1
pn
p i+1
p2
Li
Ai
L i+1
A i+1
Ln
p n+1
An
L n+1
Travée i Attention! une console n'est pas une travée.
Cette poutre est composée de:
- n travées - 2 consoles (éventuellement une ou pas du tout) - n+1 appuis
Pour la travée de longueur l i :
l'appui de gauche est noté l'appui de droite
Ai-1 Ai
moment quadratique module d'Young moment de flexion sur l'appui de gauche i-1
I zi E M zi −1 M zi Ci
moment de flexion sur l'appui de droite i couple appliqué sur l'appui i soumise à un système d'actions noté
(S):
(S): constitué de forces réparties et ponctuelles verticales, couples appliqués sur la travée à l'exclusion des appuis. A chacune des travées i, un repère de position doit y être attaché d'où 0 ≤ x ≤ Li .
- Les poutres continues -
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°12/29
2.2.
BILAN STATIQUE
Une poutre sur n+1 appuis est hyperstatique d'ordre n-1. Soit A0 l'articulation
r ⎛ X0⎞ R0 ⎜ ⎟ , ⎝ Y0 ⎠
Ai constituent des appuis simples pour i=1, 2, .......n
r ⎛ 0⎞ Ri ⎜ ⎟ ⎝ Yi ⎠
Le principe fondamental de la statique fournit 3 équations algébriques:
r r R/ 0 (S) = 0 r r Mz / 0 (S) = 0
Soit
r ⎛ X ( S )⎞ ⎟ R/ 0 (S) ⎜ ⎝ Y (S) ⎠
⎛ X ( S )⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ Y ( S ) ⎠ ⎝ 0⎠
O étant un point quelconque.
M z / 0 (S) = 0
( S ) l'ensemble des consoles, soit ( S ) la poutre continue limitée par les appuis extrêmes. S'il p
c
existe des consoles, on peut les remplacer par le moment et la force verticale qu'elles induisent sur les appuis extrêmes.
(S ) = (S ) + (S ) c
p0
p
pn+1
2
po.Lo 2
2
pn+1 .Ln+1 2
A0 L0
An pn+1 .Ln+1
po.Lo
Pour déterminer les actions des consoles
(S ) c
sur la poutre continue
L n+1
(S ) p
, il faut appliquer le
théorème des actions mutuelles. Attention! Les moments de flexion sur les appuis Ao et An sont connus.
- Les poutres continues -
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°13/29
2.3.
Choix des inconnues hyperstatiques
( ):
Etude de S
p
Transformons la poutre continue
(S ) p
en une structure isostatique
(S ) 0
associée définie en
disposant n-1 articulations au niveau des appuis centraux à l'exclusion des appuis de rive. L'objectif est de s'appuyer sur ce que nous savons étudier: une structure isostatique. Or pour transformer cette structure hyperstatique en une structure isostatique, il faut "rompre" la continuité de la poutre. Pour cela, nous créons artificiellement des articulations sur les appuis, ce qui a pour effet de rendre nuls les moments fléchissants sur ceux-ci. Pour rétablir la continuité de la poutre au niveau des appuis, il faut appliquer une action, en l'occurrence 2 couples opposés qui sont pour l'instant inconnus, ces couples peuvent s'exprimer en fonction des moments fléchissants sur appuis. Rétablir la continuité de la poutre au niveau des appuis, c'est rétablir la continuité de la rotation de la section droite sur les appuis. Cela se traduit par une tangente unique à la ligne moyenne sur les appuis, la tangente doit avoir même coefficient directeur de chaque coté de l'appui. Cette procédure nommée méthode des coupures sera utilisée dans une théorie plus générale pour l'étude des structures hyperstatiques.
Equivalence entre ces 2 systèmes. Pour que les 2 systèmes soient équivalents, il faut assurer la continuité de rotation sur l'appui i, d'où la forme identique de la ligne moyenne déformée.
Mi z -Mi z p
p i+1
i
p i+1 p
A
i
i
A
Le fait de placer une articulation en Ai, permet de visualiser, de faire apparaître la paire de couples
( M ,− M ) i
i
i
Continuité de la poutre en i.
exprimés en fonction du moment de flexion
sur cet appui, ils constituent des actions extérieures mais cependant inconnues.
Les moments M1 ,..., M i ,... M n −1 constituent les inconnues hyperstatiques.
- Les poutres continues -
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°14/29
Les 2 systèmes ci-dessous sont équivalents.
( Sp ) po.Lo
p1
2
po.Lo 2
A0
L1
A1
pi
pi+1
p2 A i-1
L2
Travée i
Li
Ai
pn+1 .Ln+1
pn
2
pn+1 .Ln+1 2
L i+1
A i+1
Ln
An
( S0 ) po.Lo
pi
p2
p1
pn
pi+1
M 1z -M 1z M i-1z -Mi-1 z
M i z -Mi z
M i+1 z -Mi+ 1z
A0 2
po.Lo z 2
= C0 z
pn+1 .Ln+1
An A1
A i-1
Ai
A i+1
pn+1 .Ln+1 z 2
Cn z
Remarque concernant les couples C 0 , C n Sur l'appui 0 est appliqué un couple C 0 =
p0 . L2 0 p . L2 0 , or le moment de flexion M z0 = −C 0 = − 0 , on peut 2 2
p0 . L2 0 donc remplacer C 0 par − M z0 = . 2 pn+1 . L2 n+1 , or le moment de flexion 2 p . L2 n+1 remplacer Cn par M zn = − n+1 . 2
De même sur l'appui n est appliqué un couple C n = −
M zn = C n = −
pn+1 . L2 n+1 , 2
on
peut
S'il n'existe pas de consoles M z 0 = M zn = 0
- Les poutres continues -
donc
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°15/29
Toute poutre continue devra être décomposée suivant le modèle ci-dessous.
(S ) = (S ) + (S ) p
( Sp )
c
po.Lo
p1
2
(S ) = (S ) + (S ) + (S ) 0 0
p
avec
pi
0 1
0 t .d .
pi+1
p2
pn+1 .Ln+1
pn
2
pn+1 .Ln+1 2
po.Lo 2
A0
L1
A1
p1
( S00 ) A
A1
L2
A i-1 Travée i
Ai
Li
L i+1
pi
Ai
Ln
An
pn
pi+1
p2
A i-1
A i+1
A i+1
An
( S01 ) M 1z -M 1z M i-1z 2
Mi z
-Mi z M i+1 z -Mi+ 1z
A0 0 ( St.d. )
A1
A i-1
Ai
A i+1
A1
(S ) 0 t .d .
Cn z
An pn+1 .Ln+1
po.Lo
A0 Soit
2
pn+1 .Ln+1 z 2
C0 z
po.Lo z 2
•
-M i-1 z
A i-1
Ai
A i+1
An
la poutre isostatique associée contenant les forces ponctuelles appliquées sur les
appuis.. S'il existe des forces ponctuelles au niveau des appuis, celles-ci sont transmises directement aux appuis, elles ne déforment pas la poutre, n'engendrent pas de sollicitations ( moment de flexion ou effort tranchant ) mais par contre induisent des actions de contact aux appuis concernés. Si vous utilisez le diagramme de l'effort tranchant pour déterminer les actions de contact, il faut donc prendre en compte ces transmissions directes.
- Les poutres continues -
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°16/29
( )
•
0
Analyse de S1
Dans ce système nous avons tous les couples sur les appuis. Sur les appuis centraux, ils sont inconnus par contre en rive M z 0 , M zn sont statiquement déterminés, c'est à dire connus. (Ils sont nuls si les travées de rive ne se prolongent pas en console, sinon ils ont été déterminés lors de l'étude des consoles.).Les couples sur les appuis intermédiaires sont exprimés en fonction des moments fléchissants M z1 ,...., M zi ,.... M zn−1 , moments fléchissants inconnus qui constituent les inconnues hyperstatiques et que nous allons déterminer. Nous avons volontairement placés les couples C 0 , C n dans
( S ) au lieu de ( S ) , et ceci pour des raisons 0 1
0 0
pédagogiques relatives à l'application de la formule des 3 moments (formule qui permet de résoudre le plus efficacement les poutres continues et que nous allons démontrer dans le paragraphe suivant).
( )
•
0
Analyse de S 0 : la poutre isostatique associée contenant les actions appliquées sur les travées
à l'exclusion des couples connus ou inconnus appliqués aux appuis.
p
i
Nous constatons que les tangentes de chaque coté de l'appui sont différentes.
p i+1 0
0 θwi0
représente l'angle algébrique décrit par le vecteur
0 θ eio
représente l'angle algébrique décrit par le vecteur
r unitaire x pour coïncider avec la tangente en Ai ∈ la travée i.
θwi0 θ0ei0
0 θ wio
0
r
unitaire x pour coïncider avec la tangente en Ai ∈ la travée i+1.
0
θei0 θwi0
0 0 θ eio − θ wio
Ai
angle de rotation algébrique décrit par les
tangentes au passage de l'appui i.
Ces rotations seront le plus souvent possible déterminées à partir de formulaires. Il faut faire attention aux signes.
( ) peut être considéré comme la juxtaposition de n travées isostatiques. 0
Remarque: S 0
p1
A
pi
A i-1
A1
pn
pi+1
p2
Ai
A i+1
An
0 0
(S ) pi
p1
A
A i-1
A1
pn
Ai
- Les poutres continues -
An
pi+1
p2
A1
A i+1
A i-1
Ai
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
A i+1 Page n°17/29
2.4.
THEOREME DES 3 MOMENTS
Si nous considérons un ensemble de 2 travées adjacentes et si nous écrivons les relations entre les rotations sur appuis et les moments fléchissants nous avons:
pi
pi+1
Ai
Ai-1
Ai+1
Travée i
θ ei −1 = θ
0 ei −1 ,0
li 3EI zi
ci = ai =
− a i .M zi −1 − bi .M zi
θ wi = θ wi0 ,0 + bi .M zi −1 + c i .M zi
bi =
li 6 EI zi
Travée i+1
c i +1 = a i + 1 =
θ ei = θ ei0 ,0 − a i +1 .M zi − bi +1 .M zi +1 θ wi +1 = θ wi0 +1,0 + bi +1 .M zi + c i +1 .M zi +1
La continuité sur l'appui i exige que:
bi +1 =
l i +1 3EI zi +1
l i +1 6 EI zi +1
θ wi = θ ei
ce qui donne l'équation suivante:
θ wi0 ,0 + bi .M zi −1 + c i .M zi = θ ei0 ,0 − a i +1 .M zi − bi +1 .M zi +1
bi .M zi −1 + (c i + a i +1 ).M zi + bi +1 .M zi +1 = θ ei0 ,0 − θ wi0 ,0
avec:
-
θ wi0 ,0
rotation à l'ouest de l'appui i, dans la travée isostatique associée i,
-
θ ei0 ,0
rotation à l'est de l'appui i, dans la travée isostatique associée i+1,
( ) 0
Ces rotations sont déterminées dans le système S 0 , dans ce système les appuis de rive ne sont pas sollicités par des couples, les valeurs des rotations ne dépendent que des actions appliquées sur les travées. Dans le cas ou un couple serait appliqué à un appui j ( j≠ o, j≠ n ), ce couple doit être considéré comme appliqué en j et appartenant soit à la travée j ou bien à la travée j+1 mais pas aux deux simultanément. Ce couple intervient alors dans le calcul des rotations isostatiques.
- Les poutres continues -
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°18/29
- M zi −1 , M zi , M zi +1 sont les moments fléchissants de continuité respectivement sur les appuis i-1, i, i+1, - bi et ci les coefficients de souplesse de la travée i. - ai+1 et bi+1 les coefficients de souplesse de la travée i+1. Cette relation relie les 3 moments de flexion des 2 travées adjacentes i et i+1. C'est une relation de récurrence, l'indice i variant de 1 à n-1.
Si EI zi = cte le long de la poutre
la formule des trois moments se simplifie
(
Li .M zi −1 + 2( Li + Li +1 ).M zi + Li +1 .M zi +1 = 6 EI z θ ei0 ,0 − θ wi0 ,0
2.5.
)
Cas ou il existe des dénivellations aux appuis
θ ei = Ω i + θ ei0 ,0 − a i +1 .M zi − bi +1 .M zi +1 θ wi = Ω i +1 + θ wi0 ,0 + bi .M zi −1 + c i .M zi
Ωi =
U yi − U yi −1
Ω i +1 =
li
rotation d'ensemble de la travée i, due à des dénivellations d'appuis.
U yi +1 − U yi l i +1
"
i+1,
"
.
bi .M zi −1 + (c i + a i +1 ).M zi + bi +1 .M zi +1 = θ ei0 ,0 − θ wi0 ,0 + Ω i +1 − Ω i
2.6.
Procédure de calcul
b1 .M z 0 + (c1 + a 2 ).M z1 + b2 .M z 2 = θ e01,0 − θ w01,0 .................................................. bi .M zi −1 + (c i + a i +1 ).M zi + bi +1 .M zi +1 = θ ei0 ,0 − θ wi0 ,0 .................................................. 0 bn−1 .M zn− 2 + (c n−1 + a n ).M zn−1 + bn .M zn = θ en0 −1,0 − θ wn −1 ,0
M z 0 , M zn sont connus: c'est à dire statiquement déterminés s'il existe des consoles ou des couples appliqués sur les appuis de rive sinon nuls. On dispose de n-1 équations à n-1 inconnues M z1 ,...., M zi ,.... M zn−1 La résolution de ce système donne les moments sur les appuis.
- Les poutres continues -
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°19/29
On peut écrire les équations du moment de flexion et de l'effort tranchant. Pour toute travée, ces équations ont même forme. On dit qu'elles sont intrinsèques par rapport aux différentes travées. L'abscisse x varie de 0 à li.
⎛ x⎞ x M zi ( x ) = M zi0 0 ( x ) + M zi −1 .⎜⎜1 − ⎟⎟ + M zi . li ⎝ li ⎠ ⎛ M − M zi −1 ⎞ ⎟⎟ V yi ( x ) = V yi0 0 ( x ) − ⎜⎜ zi pour li ⎝ ⎠
pour
x ∈ ]0 , l i [
x ∈ ]0 , l i [
Détermination des actions de contact.
Ai Vy,i+1 ( 0 ) Vy,i ( l i )
y
− V yi ( li ) + Yi + V yi +1 (0) = 0
y
Yi = V yi ( li ) − V yi +1 (0)
Yi ⎛ M − M zi −1 ⎞ ⎟⎟ V yi (li ) = V yi0 0 (li ) − ⎜⎜ zi l i ⎝ ⎠ ⎛ M − M zi V yi +1 (0 ) = V yi0 +10 (0 ) − ⎜⎜ zi +1 l i +1 ⎝
y
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ M − M zi Yi = V yi0 0 (li ) − V yi0 +10 (0 ) + ⎜⎜ zi +1 l i +1 ⎝ ⎛ M − M zi Yi = Yi 00 + ⎜⎜ zi +1 l i +1 ⎝
⎞ ⎛ M zi − M zi −1 ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ li ⎠ ⎝ ⎠
⎞ ⎛ M zi − M zi −1 ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ l i ⎠ ⎝ ⎠
Cette relation permet de déterminer les actions de contact dans
( S ) + ( S ) , pour obtenir celles de ( S ) 0 0
0 1
p
il
faut ajouter celles dues aux transmissions directes. Une autre solution consiste à raisonner dans définition des moments de flexion.
- Les poutres continues -
(S)
et à se positionner sur chacun des appuis en appliquant la
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°20/29
2.7.
ENCASTREMENT AU NIVEAU D'UN APPUI DE RIVE
On remplace l'encastrement par une travée de longueur tendant vers 0.
M z1 moment de flexion sur l'appui 1 est opposé au moment d'encastrement en A1.
p3
p4
p2
A1 A2 L2
L3
A3
p3
p4
p2 A0
L1
A1 0
L2
A2
L4
A4
L3
A3
L4
A4
On remplace l'encastrement par une travée fictive de longueur tendant vers 0. ( pour les besoin du calcul, cette travée ne va exister que pendant la phase de détermination du moment de flexion au niveau de cet encastrement ) Sur l'appui de rive le moment M z0 = 0 . La travée 1 n'est pas chargée, de toute façon la longueur tendant vers 0, le chargement de celle-ci n'aurait aucune influence quantitative.
M z1 moment fléchissant sur l'appui 1 correspond au moment fléchissant au niveau de l'encastrement.
- Les poutres continues -
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°21/29
2.8.
DEPLACEMENT DES APPUIS Le point A2 subit un déplacement imposé U y 2 . ( tassement d'appui par exemple, ..) Notons que les propositions suivantes sont équivalentes: A2 s'est déplacé de U y 2 , A1 s'est déplacé de U y1 = −U y 2
On se propose de déterminer les sollicitations dans la poutre uniquement sous l'effet de ce déplacement.
A'2 U y2 y
A1 L2 Considérons la poutre dans sa configuration initiale, les appuis A1 et A2 étant des encastrements , nous utiliserons la démarche proposée dans le paragraphe 7.
A2
A1 L2
A0
L1
A1
A2
L2
0
L3
A3 0
Utilisons la formule des 3 moments du paragraphe 5;
bi .M zi −1 + (c i + a i +1 ).M zi + bi +1 .M zi +1 = θ ei0 ,0 − θ wi0 ,0 + Ω i +1 − Ω i avec
Ωi =
U yi − U yi −1 li
b1 . M z 0 + (c1 + a 2 ). M z1 + b2 . M z 2 = θ 1e,0 − θ 1w,0 + Ω 2 − Ω 1
b2 . M z1 + (c 2 + a 3 ). M z 2 + b3 . M z 3 = θ 2e ,0 − θ 2w,0 + Ω 3 − Ω 2
M z 0 = M z 3 = 0 car 0, 3 sont des appuis de rive.
θ e01,0 = θ w01,0 = θ e02 ,0 = θ w0 2 ,0 = 0 l1 → 0 , - Les poutres continues -
l3 → 0
⇒
pas de charges appliquées sur la travée 2.
b1 = c1 = a3 = b3 = 0 LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°22/29
Ω 3 = 0 l'encastrement étant représenté par la travée 3, déplacer l'encastrement au point A2 revient à déplacer la totalité de la travée 3 . Ω2 =
U y2 l2
,
Ω1 = 0
Après simplifications, le système se réduit à:
a2 . M z1 + b2 . M z 2 = Ω 2 =
U y2 l2
b2 . M z1 + c2 . M z 2 = − Ω 2 = −
∆ = a 2 .c 2 − b2 = 2
U y2 M z1 =
l2
(c
2
∆
(
l2 2
12 EI Gz
)
U y2 l2
2
, ∆ ≥ 0 2 racines réelles ( ayant un sens physique), a2 = c2 = 2 b2 =
+ b2 )
− M z2 =
U y2 l2
(a
2
l2 3EI Gz
+ b2 )
∆ Nous obtenons:
A'2
M z1 =
6 .U y 2 . EI Gz l2
U y2 y M z2 = −
A1
2
6 .U y 2 . EI Gz l2
2
U y 2 > 0 ⇒ M z1 > 0
L2
⇒ M z2 < 0 Le PFS donne:
M1
Y1 + Y2 = 0
− M z1 + M z 2 + l2 .Y2 = 0 Y2 = −Y1 =
M2 Y1
l2
3
y
M2
M1 z Y2
- Les poutres continues -
12 .U y 2 . EI Gz
z
y
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°23/29
2.9.
POUTRES CONTINUES SUR APPUIS ELASTIQUES
pi
p i+1 Ai
A i-1
A i+1
L i+1
Li Y
x
Uyi+1 Y
Uyi Y
Uyi-1 Y
A i+1
Ai
A i-1
On considère une poutre reposant sur des appuis élastiques i-1, i, i+1. Un appui élastique peut représenter une poutre, une structure qui se déforme... On se propose de déterminer une équation traduisant la continuité, entre travées successives, des lignes moyennes déformées; cette équation est appelée "équation des 5 moments".
Ri Ki
U yi
ou
Yi Ki
Ki
raideur, >0
Un appui élastique est souvent représenté par un ressort car son comportement est similaire.
La loi de comportement qui régit l'appui est indiqué ci-dessus. Elle traduit la proportionnalité entre le déplacement du point i et l'action de contact, le coef. K est appelé raideur de l'appui correspondant, il s'exprime en N/m ou KN/mm... La détermination de ce coef. est obtenue lors de l'étude de la structure porteuse adjacente qui est représentée par l'appui élastique soumise au point i à une force unitaire, la valeur absolue du déplacement de ce point i correspond alors à l'inverse de la raideur. L'appui élastique peut aussi être remplacé et représenté par une barre biarticulée. Cette barre fait alors partie de la structure. Sa déformation due à l'effort normal doit y être considéré sinon la barre est comme infiniment rigide, de longueur invariable et le point i est alors fixe. L'appui est alors simple. Par identification on obtient une expression de K.
On assimile le ressort i à une barre biarticulée. Ri Y Yi Y aire A i
Y
Xi X
Li
Yi
Xi Ni Ni
Ri Y Yi Y Li Li Li
- Les poutres continues -
Ni EA i Ni L i EA i
EA i Li
Ri
Yi Ki
Ni EA i Li
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°24/29
On utilise l'équation des 3 moments :
bi .M zi −1 + (c i + a i +1 ).M zi + bi +1 .M zi +1 = θ ei0 ,0 − θ wi0 ,0 + Ω i +1 − Ω i
Ωi =
U yi − U yi −1
U yi = −
li Y yi Ki
,U yi −1 = −
Ω i +1 =
Y yi −1 K i −1
U yi +1 − U yi l i +1
,U yi +1 = −
Y yi +1 K i +1
Y yi = V yi (l i ) − V yi +1 (0 ) ⎛ M − M zi −1 ⎞ ⎟⎟ V yi ( x ) = V yi0 0 ( x ) − ⎜⎜ zi li ⎠ ⎝
x ∈ ]0 , l i [
pour
⎛ M − M zi V yi +1 (0 ) = V yi0 +10 (0 ) − ⎜⎜ zi +1 l i +1 ⎝
⎛ M − M zi −1 ⎞ ⎟⎟ V yi (l i ) = V yi0 0 (l i ) − ⎜⎜ zi li ⎠ ⎝
⎛ M − M zi ⎛ M − M zi −1 ⎞ ⎡ 0 ⎟⎟ − ⎢V yi +10 (0 ) − ⎜⎜ zi +1 Y yi = V yi0 0 (l i ) − ⎜⎜ zi li l i +1 ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎛ M − M zi Y yi = V yi0 0 (l i ) − V yi0 +10 (0 ) + ⎜⎜ zi +1 l i +1 ⎝
[
]
⎛ M − M zi Y yi = Y yi0 0 + ⎜⎜ zi +1 l i +1 ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦
⎞ ⎛ M zi − M zi −1 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜ l i ⎠ ⎠ ⎝
⎞ ⎛ M zi − M zi −1 ⎞ ⎟⎟ avec Y yi0 0 ⎟⎟ − ⎜⎜ l i ⎠ ⎠ ⎝
action de contact dans la structure isostatique
associée.( articulations sur les appuis.) D'après les expressions U yi = −
U yi = −
1 Ki
U yi+1 = −
⎡ 0 ⎛ M zi +1 − M zi ⎢Y yi 0 + ⎜⎜ l i +1 ⎝ ⎣
Y yi Ki
,U yi −1 = −
⎞ ⎛ M zi − M zi −1 ⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎟⎟ − ⎜⎜ l i ⎠⎦ ⎠ ⎝
Y yi −1 K i −1
,U yi +1 = −
U yi −1 = −
Y yi +1 K i +1
,
⎛ M zi − M zi −1 ⎞ ⎛ M zi −1 − M zi −2 ⎞⎤ 1 ⎡ 0 ⎟⎟⎥ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎢Y yi −10 + ⎜⎜ K i −1 ⎣ l l i i − 1 ⎠⎦ ⎠ ⎝ ⎝
⎛ Mzi+2 − Mzi+1 ⎞ ⎛ Mzi+1 − Mzi ⎞⎤ 1 ⎡ 0 ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎢Yyi+10 + ⎜⎜ Ki+1 ⎣ l l i +2 i +1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Si nous portons les valeurs des déplacements exprimés en fonction des moments de flexion, nous obtenons une équation de la forme:
γ i −1 .M zi −2 + β i .M zi −1 + α i .M zi + β i +1 .M zi +1 + γ i +1 .M zi +2 = Λi
- Les poutres continues -
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°25/29
2.10.
COEFFICIENTS DE SOUPLESSE DE LA TRAVEE I
Nous nous plaçons dans le cas ou l'inertie de la poutre n'est pas constante. L'équation des 3 moments est inchangée.
bi .M zi −1 + (c i + a i +1 ).M zi + bi +1 .M zi +1 = θ ei0 ,0 − θ wi0 ,0 + Ω i +1 − Ω i
Ωi =
U yi − U yi −1
Ω i +1 =
li
U yi +1 − U yi l i +1 rotation en valeur absolue en i-1 sous l'action d'un couple unitaire appliqué en i-1.
2
li
ai = ∫
⎡ x⎤ 1− ⎥ 2 li ⎢ 0 li ⎦ M zi −1 ( x ) ⎣ dx = ∫ dx EI Gzi ( x ) EI Gzi ( x ) 0
[
0
]
⎡ x⎤ x ⎢1 − ⎥ . li ⎦ li M (x ) M (x ) dx = ∫ ⎣ dx bi = − ∫ EI Gzi ( x ) EI Gzi ( x ) 0 0 li
[
][
0 zi −1
0 zi
]
li
rotation en valeur absolue en i sous l'action d'un couple unitaire appliqué en i-1.
2
li
ci = ∫ 0
[M ( x )] dx = 2
0 zi
EI Gzi ( x )
li
∫ 0
⎡x⎤ ⎢ ⎥ ⎣ l i ⎦ dx EI Gzi ( x )
rotation en valeur absolue en i sous l'action d'un couple unitaire appliqué en i.
Rotations dans la structure isostatique associée.
θ ei0 ,0 =
l i +1
∫
[M ( x )][M ( x )]dx = − 0 zi +10
EI Gzi +1 ( x )
0
li
θ wi0 ,0 = ∫ 0
- Les poutres continues -
0 zi
[M ( x )][M ( x )]dx = 0 zi 0
0 zi
EI Gzi ( x )
l i +1
∫
[M ( x )]⎡⎢1 − l x ⎤⎥
0
li
∫ 0
0 zi +10
⎣
EI Gzi +1 ( x )
i +1
⎦ dx
[M ( x )]⎡⎢ l x ⎤⎥ 0 zi 0
⎣ i +1 ⎦ EI Gzi ( x )
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°26/29
2.11.
FOYERS DES POUTRES CONTINUES
( S)
pi F i
A0
L1
A 1 A j-1 A j A i-1 Travée iL i Lj
Ai
A i+1 Ak-1 An Ak L i+1 Lk Ln
Mz M0=0
M1
Fj
Mj Fi-1
Mi+1 F'k
F'i+ 1
Mj -1
Mn=0
Mk-1 Mi
Mi-1
Nous nous plaçons dans le cas ou seule la travée i de la poutre est chargée. Les déplacements des appuis sont tous nuls.
(
)
L'équation des 3 moments. bi .M zi −1 + c i + a i +1 .M zi + bi +1 .M zi +1 = θ ei ,0 − θ wi ,0 0
0
M z 0 = M zn = 0 La ligne représentative du moment de flexion à droite et à gauche de la travée i est une suite de segments de droite. Dans une travée quelconque j
( j ≠ i ) , le moment s'annule en un point fixe F
j
ou F' j
appelé foyers. Ces deux points nommés respectivement foyer de gauche et foyer de droite sont indépendants des actions qui s'exercent sur la travée i. Ecrivons les relations déduites de la formule des 3 moments.
Nous disposons de n-1 équations à n-1
(
inconnues M z1 ,..., M zi , ...., M zn −1 Les équations
⎡ / z 0 + (c1 + a 2 ). M z1 + b2 . M z 2 = 0 b1 . M ⎢ b2 . M z1 + (c 2 + a 3 ). M z 2 + b3 . M z 3 = 0 (α )⎢⎢ ......................................... ⎢ ⎢⎣ bi − 2 . M zi − 3 + (c i − 2 + a i −1 ). M zi − 2 + bi −1 . M zi −1 = 0 ⎡ bi −1 .M zi − 2 + (c i −1 + a i ).M zi −1 + bi .M zi = θ ei0 −1,0 (β )⎢ 0 ⎣bi .M zi −1 + (c i + a i +1 ).M zi + bi +1 .M zi +1 = −θ wi ,0 ⎡ bi +1 . M zi + (c i +1 + a i + 2 ). M zi +1 + bi + 2 . M zi + 2 = 0 ......................................... (γ ) ⎢⎢ ⎢ b .M / zn = 0 ⎣ n−1 zn− 2 + (c n−1 + a n ). M zn−1 + bn . M - Les poutres continues -
(α )
)
montrent que les rapports
⎛ M z1 M z 2 M zi − 2 ⎞ ⎜ ⎟ sont constants. , , .., M zi −1 ⎠ ⎝ M z2 M z3 Dans chaque travée j le moment s'annule au droit du point fixe Fj appelé foyer de gauche de la travée j.
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°27/29
Repérons sa position par le paramètre
(
moments M zj −1 , M zj
ψ j appelé
"rapport focal",
ψj =−
M zj −1
ψ2 =
(α )
(
)M
par M z1 c1 + a 2 .
M z1
+ b2 .
z1
M z2 b2 = 0 ⇔ ( c1 + a 2 ) − =0 M z1 ψ2
b2 c1 + a2
(
)
b j . M zj −1 + c j + a j +1 . M zj + b j +1 . M zj +1 = 0 divisons par M zj
soit
bj .
(α ) .
M z0 = 0 ⇔ F1 = A0 M z1
divisons la 1ère expression de
d'où
car les
) sont de signes contraires.
Les rapports focaux de gauche se calculent par récurrence à partir des équations
ψ1 = −
ψj >0
M zj
M zj −1 M zj
(
)
+ c j + a j +1 + b j + 1 .
M zj +1 M zj
(
)
= 0 ⇔ − b j .ψ j + c j + a j +1 −
b j +1
ψ j +1
=0
Nous obtenons une formule de récurrence entre 2 rapports focaux successifs
ψ1 = 0 ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ b2 ψ2 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ c1 + a 2 (1)⎨ ⎬ ...... ⎪ ⎪ b j +1 ⎪− b .ψ + c + a = 0⎪ j j +1 − ⎪⎭ ⎪⎩ j j ψ j +1
(
)
De même les équations
(γ )
montrent qu'à droite de la travée chargée i, dans une travée quelconque k,
les moments s'annulent au droit des points fixes F'k appelés foyers de droite de la travée k indépendant des actions s'exerçant dans la travée i et définis par les rapports focaux suivants
A partir des équations
ψ'n = −
(γ )
ψ'k = −
M zk M zk −1
:
M zn = 0 ⇔ Fn' = An M zn−1
/ zn = 0 divisons par M zn−1 bn−1 . M zn− 2 + (c n−1 + a n ) M zn−1 + bn . M bn−1 .
M zn− 2 bn−1 bn−1 + ( c n −1 + a n ) = 0 ⇔ − + (c n−1 + a n ) = 0 d'où ψ ' n−1 = M zn−1 ψ ' n−1 ( c n −1 + a n )
- Les poutres continues -
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°28/29
bk . M zk −1 + (c k + a k +1 ). M zk + bk +1 . M zk +1 = 0 divisons par M zk bk .
M zk −1 M zk +1 bk + (c k + a k +1 ) + bk +1 . =0⇔− + (c k + a k +1 ) − bk +1 .ψ ' k +1 = 0 M zk M zk ψ'k
Nous obtenons
ψ'n = 0 ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ bn−1 ψ ' n−1 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (c n−1 + a n ) ( 2 )⎨ ⎬ ....... ⎪ ⎪ ⎪− bk + ( c + a ) − b .ψ ' = 0⎪ k k +1 k +1 k +1 ⎪⎭ ⎪⎩ ψ ' k Soit les équations
(β)
⎡ bi −1 .M zi − 2 + (c i −1 + a i ).M zi −1 + bi .M zi = θ ei0 −1,0 0 ⎣bi .M zi −1 + (c i + a i +1 ).M zi + bi +1 .M zi +1 = −θ wi ,0
(β )⎢
M zi − 2 = − ψ i −1 . M zi −1 M zi +1 = − ψ'i +1 . M zi
avec
ψ i −1 , ψ'i +1 obtenus respectivement à partir des équations 1 et 2
⎡− bi −1 .ψ i −1 .M zi −1 + (c i −1 + a i ).M zi −1 + bi .M zi = θ ei0 −1,0 (β )⎢ 0 ⎣ bi .M zi −1 + (c i + a i +1 ).M zi − bi +1 .ψ ' i +1 .M zi = −θ wi ,0
⎡ (c i −1 + a i − bi −1 .ψ i −1 ).M zi −1 + bi .M zi = θ ie−1,0 (β )⎢ w ⎣bi .M zi −1 + (c i + a i +1 − bi +1 .ψ ' i +1 ).M zi = −θ i ,0 ⎡ bi 0 ⎢ ψ .M zi −1 + bi .M zi = θ ei −1,0 (β )⎢ i ⎢b .M + bi .M = −θ 0 zi wi ,0 ⎢⎣ i zi −1 ψ ' i
θ ei0 −1,0 − θ wi0 ,0 M zi −1 =
M zi −1 =
- Les poutres continues -
∆
bi bi ψ'i
⎡
⎤ 1 − 1⎥ ⎣ψ i .ψ ' i ⎦
∆ = bi 2 ⎢
θ + θ wi0 ,0 ψ'i
bi
ψi
0 ei −1 ,0
=
θ ei0 −1,0 + θ wi0 ,0 ψ'i ⎡ 1 ⎤ bi ⎢ − 1⎥ ⎣ψ i .ψ ' i ⎦
⎡ 1 ⎤ bi ⎢ − 1⎥ ⎣ψ i .ψ' i ⎦
M zi =
bi
θ ei0 −1,0 0 − θ we ,0
∆
⎛θ 0 ⎞ − ⎜⎜ wi ,0 + θ ei0 −1,0 ⎟⎟ ψi ⎠ = ⎝ ⎡ 1 ⎤ bi ⎢ − 1⎥ ⎣ψ i .ψ ' i ⎦
⎛θ 0 ⎞ − ⎜⎜ wi ,0 + θ ei0 −1,0 ⎟⎟ ψi ⎠ M zi = ⎝ ⎡ 1 ⎤ bi ⎢ − 1⎥ ⎣ψ i .ψ ' i ⎦
LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY
Page n°29/29
View more...
Comments
