Poussée-Butée _(Cours 1)

Dimensionnement des ouvrages Actions du sol sur un écran

L. Briançon

1

Introduction 1. Equilibres limites de poussée et butée 2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 1. Théorie de Coulomb 2. Méthode de Rankine 3. Méthode de Boussinesq 4. Application 3. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol non pesant 1. Méthode de Rankine 2. Equilibre généralisé de Prandl 4. Calculs pratiques des coefficients de poussée et de butée 5. Cas d’un sol frottant et cohérent – Théorème des états correspondants 6. Choix de l’angle de frottement sol-écran 7. Application 8. Calculs de la poussée butée pour un talus de géométrie quelconque 9. Dispositions particulières de surcharges 10. Cas d’un multicouche - Application 11. Prise en compte des fissures 12. Prise en compte de l’eau - Application L. Briançon

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Introduction Le dimensionnement de tous les ouvrages de soutènement nécessite la détermination des efforts de poussée (action du sol sur l’ouvrage) et de butée (action de l’ouvrage sur le sol). Murs

Ecrans

Mur poids

Mur cantilever

Mur cellulaire

parois moulées parois berlinoises et dérivées rideaux de palplanches L. Briançon

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Introduction Il existe principalement trois types de méthode de calcul des ouvrages de soutènement :

Sans interaction avec la structure, le sol est considéré à l'état d'équilibre limite

Avec interaction avec la paroi et les tirants ou butons : méthodes aux coefficients de réaction (K-Réa)

La méthode des éléments finis permet d'étudier la paroi comme une partie de l'ensemble constitué par le sol, la paroi et les tirants d'ancrage ou les butons (Plaxis) L. Briançon

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1. Equilibres limites de poussée et butée Etat Initial Contrainte sur une facette horizontale en un point M à une profondeur h avec poids volumique du sol γ σv = γh est la contrainte principale majeure σh est la contrainte principale mineure

σ h = Κ oσ v h Si comportement élastique linéaire

τ

z

φ

M

Κo =

c

σ h●

●σ

v

=γ h

σ

ν 1 −ν

Mais trop différent de la réalité

L. Briançon

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1. Equilibres limites de poussée et butée Etat Initial

σ h = Κ oσ v Pour les sols pulvérulents et les sols fins normalement consolidés on pourra utiliser la formule simplifiée de JAKY : Ko = 1 - sinϕ’, si le terre plein est horizontal. S’il existe un talus de pente β, la valeur du coefficient des terres au repos, avec la même définition sera Koβ = Ko(1+ sin β) Par rapport aux sols normalement consolidés la valeur de Κo augmente pour les sols surconsolidés, d’autant plus que le coefficient de surconsolidation Roc est important. On pourra utiliser la relation suivante :

Κ o = (1 − sin ϕ ')Roc2 1

pour un sol moyennement surconsolidé avec Roc = σ’P / σ’vo L. Briançon

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1. Equilibres limites de poussée et butée Mobilisation des équilibres de poussée-butée Mise en place d’un remblai compacté derrière un mur

Excavation devant un écran rigide butonné en tête

Déplacement du mur

Poussée Butée

Poussée Butée

Déplacement de l’écran L. Briançon

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1. Equilibres limites de poussée et butée Mobilisation des équilibres de poussée-butée σv0 Initial

σh0

c

σv0 σh1

σa

σh0

σv0

ϕ

τ c

σv0

σ

ϕ

τ c σ h1

σv0 Rupture

ϕ

τ

σa

σv0

L. Briançon

σ

σ a = Κ aσ v 0 σ 8

1. Equilibres limites de poussée et butée Mobilisation des équilibres de poussée-butée ϕ

τ Initial σv0

c

σh0

σh0

c

c σv0

σh1

σv0

σh1

τ σh2

σ

ϕ

τ

σv0

σv0

σ

ϕ σh2 σv0

L. Briançon

σ 9

1. Equilibres limites de poussée et butée Mobilisation des équilibres de poussée-butée ϕ

τ c σv0

σv0

σh3

σv0

σp

σ

ϕ

τ c

σh3

σv0

σp

σ

σ p = Κ pσ v 0 L. Briançon

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1. Equilibres limites de poussée et butée Mobilisation des équilibres de poussée-butée

Kp Sol passif Sol actif

K0 Ka Butée h/1000

Déplacement

h/100

Poussée

Déplacement

h

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 1. Théorie de Coulomb Charles Augustin Coulomb (1736 - 1806) Avant de devenir le célèbre physicien reconnus par ses travaux sur l’électricité et le magnétisme entre 1785 et 1791, C. A. Coulomb fut un ingénieur du génie militaire.

Entre 1764 et 1772, il participa à la construction du fort Bourbon à la Martinique.

A son retour, il publia à l’Académie des Sciences un important mémoire de mécanique appliquée intitulé : Sur une application des règles de Maximis & Minimis à quelques Problèmes de Statique, relatifs à l’Architecture Il publia parallèlement un second mémoire intitulé : Résultats de plusieurs expériences destinées à déterminer la quantité d'action que les hommes peuvent fournir par leur travail journalier, suivant les différentes manières dont ils emploient leurs forces L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 1. Théorie de Coulomb

Ecran

- Terre plein plat - Sol sans cohésion - Surface de rupture plane et passant par le pied de l’écran - La contrainte de cisaillement τ = σ.tg ϕ est totalement mobilisée le long du plan de rupture

Plan de rupture W

h δa

ϕ

W

P

θ−ϕ θ

O

R

θ−ϕ

R

P δa Dynamique des forces

Le coin de sol « glisse » le long du plan de rupture La réaction R fait une angle ϕ par rapport à la normale au plan de rupture Le principe consiste à écrire l’équilibre des forces et déterminer P en fonction de θ pour la valeur maximale de P = Pa L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 1. Théorie de Coulomb Démonstration dans le cas où δa = 0 W θ−ϕ R W P

P

P =W

ϕ θ

θ−ϕ

R

sin (θ − ϕ )

cos (θ − ϕ )

= W tan (θ − ϕ )

1 1 P = γ h ² cot θ tan (θ − ϕ ) = K a γ h ² 2 2

 tan (θ − ϕ )  dP 1 cot θ = 0 ⇔ γ h²  − + =0 dθ 2 sin ²θ cos ² (θ − ϕ )    sin 2θ − sin 2 (θ − ϕ )  dP 1 = γ h²  =0 dθ 4  sin ²θ cos ² (θ − ϕ ) 

sin 2θ - sin (2θ - ϕ) s’annule pour :

θa = L. Briançon

π 4

+

ϕ 2 14

2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 1. Théorie de Coulomb Démonstration dans le cas où δa = 0 W θ−ϕ R W P

P

Ka = cot θa tan (θa − ϕ )

ϕ θ

θ−ϕ

π ϕ

R

π ϕ  Ka = cot( + ) tan  + − ϕ  4 2 4 2 

π ϕ π ϕ  Ka = cot( + ) tan  −  4 2 4 2 π ϕ  Ka = tan ²  −  4 2

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 1. Théorie de Coulomb

de Pla n

an Ecr

λ

rup t

β

0

l

ure

En 1840, dans un mémoire sur « la stabilité des revêtements et de leur fondation » , le général Poncelet a généralisé la méthode de Coulomb à un écran incliné de λ et à un sol surmonté d’un talus d’angle β

W

ϕ

R

δa

Pa θ

 sin (δ a + ϕ ) cos ( β − λ )  1 θ a = ϕ + a cot  tan (ϕ − λ ) +  cos ϕ − λ sin ϕ − β cos δ + λ ( ) ( ) ( a )  

Ka =

cos ² (ϕ − λ )  sin (ϕ + δ a ) sin (ϕ − β )  cos ( λ + δ a ) 1 +  λ δ β λ cos + cos − ( ) ( )   a

2

avec δa, λ et β positifs dans le sens trigonométrique

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 1. Théorie de Coulomb Les limites de la méthodes de Coulomb

Pas applicable dans le cas de la butée pour laquelle les surfaces de rupture ne peuvent être assimilées à des plans. La méthode de Coulomb donne des résultats acceptables pour le calcul de la poussée : - de sols sans cohésion, - en supposant que le frottement est totalement mobilisé sur le plan de rupture, - pour δ, λ et β positifs.

Par contre elle n’indique pas la répartition des contraintes le long de l’écran.

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine En plus des hypothèses suivantes : • sol semi-infini, homogène, isotrope, • condition de déformation plane, • critère de rupture de MOHR-COULOMB • massif à surface libre plane, RANKINE, professeur de Génie Civil et de Mécanique à l’Université de Glasgow, a publié en 1856 un mémoire sur la stabilité des terres sans cohésion. Dans ce mémoire, il a rajouté l'hypothèse que la présence d'un écran ne modifie pas la répartition des contraintes dans le massif.

Répartition des contraintes de poussée (ou de butée) le long d'un plan représentant l’écran, dans le cas d'un sol pesant pulvérulent (γ’, ϕ’, c’ = 0), non surchargé.

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Rappel : définition du pôle t


OM = f →

Espace physique


f

s

Espace de Mohr M s

t

O pôle

Position du pôle : Une parallèle à la direction de la facette issue du point M recoupe le cercle au niveau du pôle Propriété du pôle : Pour trouver la contrainte sur une facette quelconque on trace la direction réelle de la facette à partir du pôle, elle recoupe le cercle au point représentatif de cette contrainte Grâce au pôle on peut connaitre la direction de la facette pour une contrainte donnée ou l’inverse, trouver la contrainte sur une facette d’inclinaison réelle connue L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Rappel : définition du pôle dans le cas particulier d’un sol à surface horizontale

pôle

contrainte γH, facette horizontale on trace une horizontale

l’intersection de 2 droites donne le pôle contrainte horizontale sur une facette verticale on trace une verticale

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Application de la méthode de Rankine pour un cas simple de poussée : • sol purement frottant (c’ = 0), Dans le cas du sol seulement • écran vertical (λ = 0), frottant (sable, gravier, argile • surface libre horizontale (β = 0), drainée cisaillée dans le domaine • sans frottement entre le sol et l’écran (δ = 0). normalement consolidé) – Contraintes effectives ϕ’ τ’ σ’v0 σ’v0 σ’h0 σ’ σ’h0 σ’ I O v0 σ’a σ’h0

Ka =

σ 'a σ 'v 0

R = OI sin ϕ’ Ka =

1 − sin ϕ ' 1 + sin ϕ '

σ 'v 0 − σ 'a 2

=

(σ 'v 0 + σ 'a ) sin ϕ ' 2

σ 'a =

1 − sin ϕ ' σ 'v 0 1 + sin ϕ '

π ϕ' K a = tan ²  −  4 2 L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Application de la méthode de Rankine pour un cas simple de poussée : • sol purement frottant (c’ = 0), • écran vertical (λ = 0), • surface libre horizontale (β = 0), • sans frottement entre le sol et l’écran (δ = 0). Les facettes sur lesquelles les contraintes de rupture sont atteintes sont toutes inclinées d’un angle de π/4+ϕ’/2 par rapport à l’horizontale dans le cas de l’équilibre de poussée

ϕ’ τ’ Pole σ’a O

π/4+ϕ’/2 π/2−ϕ’ π/4+ϕ’/2

π/2+ϕ’

I

σ’v0

σ’

π/4+ϕ’/2

π/4+ϕ’/2 π/2+ϕ’

On obtient le réseau conjugué par rotation de π/2+ϕ’ L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Application de la méthode de Rankine pour un cas simple de poussée : • sol purement frottant (c ’ = 0), • écran vertical (λ = 0), • surface libre horizontale (β = 0), • sans frottement entre le sol et l’écran (δ = 0).

π/4+ϕ’/2

σ’a = Ka.γ’z

H

Pa = Ka.γ’H²/2 H/3

π/4-ϕ’/2

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Application de la méthode de Rankine pour un cas simple de butée : • sol purement frottant (c’ = 0), • écran vertical (λ = 0), • surface libre horizontale (β = 0), • sans frottement entre le sol et l’écran (δ = 0). τ’ σ’v0 σ’h0

σ 'p Kp = σ 'v 0

σ’v0

ϕ’

ϕ’ σ’v0

σ’h0 O

σ ' p − σ 'v 0 2

Kp =

1 + sin ϕ ' 1 − sin ϕ '

σ’p σ’

I

σ’h0

R = OI sin ϕ’

σ’

σ' ( =

v0

+ σ ' p ) sin ϕ ' 2

σ 'p =

1 + sin ϕ ' σ 'v 0 1 − sin ϕ '

π ϕ' K p = tan ²  +  4 2 L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Application de la méthode de Rankine pour un cas simple de butée : • sol purement frottant (c’ = 0), • écran vertical (λ = 0), • surface libre horizontale (β = 0), • sans frottement entre le sol et l’écran (δ = 0).

τ’

Les facettes sur lesquelles les contraintes de rupture sont atteintes sont toutes inclinées d’un angle de π/4−ϕ’/2 par rapport à l’horizontale dans le cas de l’équilibre de butée

ϕ’ σ’v0

O

π/2−ϕ’ π/2+ϕ’ π/4−ϕ’/2 π/4−ϕ’/2

I

σ’p σ’

π/4−’ϕ/2

π/4−ϕ’/2

Pole

π/2+ϕ’

On obtient le réseau conjugué par rotation de π/2+ϕ’ L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Application de la méthode de Rankine pour un cas simple de butée : • sol purement frottant (c’ = 0), • écran vertical (λ = 0), • surface libre horizontale (β = 0), • sans frottement entre le sol et l’écran (δ = 0).

π/4−ϕ’/2

H

Pp = Kp.γ’H²/2 H/3

π/4+ϕ’/2

σ’p = Kp.γ’z

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Application de la méthode de Rankine pour un cas simple : • sol purement cohérent (ϕ ϕ = 0), • écran vertical (λ = 0), Cas du sol purement cohérent • surface libre horizontale (β = 0), (argile ou limon saturés non • sans frottement entre le sol et l’écran (δ = 0). drainés) à court terme Contraintes totales

τ

CU

σa

σho

σ a = σ v 0 − 2Cu

σV0

σP

σ

σ p = σ v 0 + 2Cu

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Application de la méthode de Rankine pour un cas simple de poussée : • sol frottant et cohérent, sols argileux ou limoneux non • écran vertical (λ = 0), saturés à court terme, ou sol argileux • surface libre horizontale (β = 0), ou limoneux saturés cisaillés dans le • sans frottement entre le sol et l’écran (δ = 0). domaine surconsolidé – Contraintes effectives ϕ’ τ’ τ’ c’ O’

R σ’a O

σ’v0 I

σ’

c’/tanϕ’ R = O'I sin ϕ’

σ 'v 0 − σ 'a 2

 c ' σ 'v 0 + σ 'a = + 2  tgϕ '

π ϕ' π ϕ' −  σ 'v 0 − 2c ' tan  −  4 2  4 2

σ 'a = tan ² 

  sin ϕ ' 

σ 'a =

1 − sin ϕ ' cos ϕ ' σ 'v 0 − 2c ' 1 + sin ϕ ' 1 + sin ϕ ' π ϕ' −  4 2

σ 'a = K aσ 'v 0 − 2c ' tan  L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine En résumé pour des cas simples : • écran vertical (λ = 0), • surface libre horizontale (β = 0), • sans frottement entre le sol et l’écran (δ = 0).

L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Cas général (ou presque): • sol purement frottant (c’ = 0), • écran vertical (λ = 0), • surface libre inclinée(β ≠ 0), • δ est donnée par construction dans le plan de Mohr. Soit [A(M)] le point représentatif de la contrainte

β H

f (a) = γ' H cosβ

M

(b)

(a)

f (a) dans le plan des contraintes (σ ,τ )

Si le sol est en équilibre-limite, le cercle de Mohr au point (M) est tangent à la courbe intrinsèque et passe par le point [A(M)]

τ'

butée

poussée

0

ϕ'

β

σ'

A

L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Cas général (ou presque): • sol purement frottant (c’ = 0), • écran vertical (λ = 0), • surface libre inclinée(β ≠ 0), • δ est donnée par construction dans le plan de Mohr.

τ ' poussée 0

ϕ' β

τ' A (P)

butée (P)

σ'

0

ϕ'

β

A

σ'

On trace le pôle

L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Cas général (ou presque): • sol purement frottant (c’ = 0), • écran vertical (λ = 0), • surface libre inclinée(β ≠ 0), • δ est donnée par construction dans le plan de Mohr.

τ ' poussée 0

ϕ' β

τ' A

σ'

0

butée

ϕ'

β

A

σ'

On en déduit les directions principales L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Cas général (ou presque): • sol purement frottant (c’ = 0), • écran vertical (λ = 0), • surface libre inclinée(β ≠ 0), • δ est donnée par construction dans le plan de Mohr.

τ ' poussée 0

ϕ' β

τ' A

σ'

0

butée

ϕ'

β

A

σ'

On en déduit les directions des plans de rupture L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Cas général (ou presque): • sol purement frottant (c’ = 0), • écran vertical (λ = 0), • surface libre inclinée(β ≠ 0), • δ est donnée par construction dans le plan de Mohr.

τ ' poussée 0

ϕ'

τ' A

δ

β

σ'

butée

0

B

ϕ'

β δ

A

σ' B

On en déduit la contrainte sur la plan vertical Dans le cas d’un plan vertical, δ =β L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Cas général (ou presque): • sol purement frottant (c’ = 0), • écran vertical (λ = 0), • surface libre inclinée(β ≠ 0), • sans frottement entre le sol et l’écran (δ = 0).

β

f (a) (a)

f (b) (b)

Les contraintes (σa) et (σb) ainsi que les facettes (a) et (b) sont conjuguées : π • l’angle que font les 2 facettes entre elles est égal à ( + β ) 2 • les contraintes (fa) et (fb) sont inclinées de l’angle β par rapport à la normale On en déduit que la contrainte sur une facette verticale est parallèle à la pente du terrain Ceci est valable quelque soit la courbe intrinsèque c’est-à-dire quelques soient les valeurs de c’ et ϕ’ L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Cas général (ou presque): • sol purement frottant (c’ = 0), • écran vertical (λ = 0), • surface libre inclinée(β ≠ 0), • sans frottement entre le sol et l’écran (δ = 0).

β H

f (a) = γ' H cosβ

M

(a)

Lorsque le point (M) varie en profondeur, le point (A) représentatif de la contrainte sur une facette verticale, se déplace sur la même droite et la figure reste homothétique par rapport à l’origine (0)

τ' 0

poussée A1

ϕ' β B1

B2

A2

σ'

Les plans principaux auront une inclinaison constante dans tout le massif, de même, la direction des facettes de rupture reste la même.

β

f(b) β

L. Briançon

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2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 2. Méthode de Rankine Cas général : • sol purement frottant (c’ = 0), • écran incliné (λ ≠ 0), • surface libre inclinée(β ≠ 0), • sans frottement entre le sol et l’écran (δ = 0).

tgδ =

sin ϕ 'sin ( 2λ + α − β )

1 − sin ϕ 'cos ( 2λ + α − β )

avec sin α =

indépendant de z

sin β sin ϕ '

β

 cos ( λ − β ) sin α  pa =  1 − sin ϕ 'cos ( 2λ + α − β )   γ × ℓ  cos δ sin (α + β ) 

L'inconvénient de la théorie de RANKINE est que l'angle δ de la contrainte de poussée avec la normale à l'écran dépend des conditions géométriques mais n'a pas la réalité physique d'un angle de frottement sol-écran.

0

Pa = Ka . γ. l²/2 l δ

l/3

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δ

pa = Ka. γ. l n 37

2. Calculs des coefficients de poussée et de butée d’un sol pesant 3. Méthode de Boussinesq BOUSSINESQ , Professeur à la Faculté de Lille, (1882) a amélioré la théorie de RANKINE en prenant l'interaction réelle entre le sol et l'écran, c'est-à-dire en choisissant la valeur de l'angle de frottement δ sol-écran et en considérant que les lignes de ruptures ne sont pas rectilignes. 0

l

t

δ

RA NK IN E

π/4 + ϕ/2

SQ E N D SSI U BO

Conditions limites liées à l’écran

Equilibre de Rankine

Le problème n’a été résolu qu’en 1948 par CAQUOT et KERISEL en résolvant les équations d’équilibre en coordonnées polaires (les calculs étant améliorés par ABSI) Tables de Caquot, Kerisel et Absi Ka et Kp en fonction de (β, λ, δ, ϕ’)

L. Briançon

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