Poussée Et Butée

MECANIQUE DES SOLS

Chapitre I: Poussée et Butée des terres Ouvrages de soutènement 1. Notions physiques 1.1 1.2 1.3 1.4

Généralités Coefficient de pression latérale des terres au repos Approche expérimentale des phénomènes de poussée et de butée Forces de poussée et de butée

2. Théorie de Rankine 2.1 Hypothèses 2.2 Coefficient de poussée et de butée A. Sol pulvérulent à surface horizontale B. Sol à la fois cohérent et frottant à surface horizontale C. Sol purement cohérent D. Sol pulvérulent à surface inclinée

2.3 Calcul des forces de poussée et de butée A. Sol quelconque B. Sol purement cohérent

3. Théorie de Coulomb 3.1

……………………………..

1

Des ouvrages de soutènement

2

3

1.

Notions physiques

1.1 Généralités

Pression active

Pression passive Le massif (remblai) exerce une poussée sur le mur

Le massif exerce une

butée sur l’écran AB Mur de soutènement

Massif d’ancrage d’un pont suspendu

Pression latérale des terres au repos

Déformation ≅ 0

Voiles en sous-sol d’un immeuble

4

1. Notions physiques

1.2 Coefficient de pression latérale des terres au repos Pression latérale des terres au repos

Élasticité linéaire et isotrope: Loi de Hook

 1 −υ −υ  0 0 0 σx  εx       E E E εy   −υ 1 −υ 0 0 0 σy      E E E   ε   −υ −υ 1 0 0 0 σz  z E E E     = 2(1+υ) γ yz  0 0 0 0 0 τyz  E      2(1+υ) τ γ yz  0 0 0 0 0  yz     E γ yz  2(1+υ) τyz  0 0   0 0 0    E 

Déformation ≅ 0

σ σe Pente E

ε

u=0

εH = 0

Chemin oedométrique (u=0)

σ v = γ .H ε r = ε H = 0 εH = σ

H

1 [σ E

=σ

H

− ν (σ

ν v

1−ν

H

Voiles en sous-sol d’un immeuble

Plasticité parfaite

σ ’H

+ σ v )]= 0

K0 =

σ ′H σ v′

σ ’v 5

Essai K0

1. Notions physiques

K0

1.2 Coefficient de pression latérale des terres au repos

σ ′H = σ v′

K0

σH ≠ σv

K0 varie suivant la nature du sol étudié Et pour un sol donné, K est fonction de l’histoire des contraintes subies (compacité)

Sable lâche Sable compact Argile normalement consolidée Argile molle, vase Argile surconsolidée

K0 = 0,45 à 0,50 K0 = 0,40 à 0,45 K0 = 0,50 K0 = 1 K0 variable

Pour les sables, JAKY a proposé la formule empirique suivante

K 0 = 1 − sin φ ′

6

1. Notions physiques Pression passive Pression active

Le massif (remblai) exerce une poussée sur le mur

Le massif exerce une

butée sur l’écran AB Mur de soutènement

Massif d’ancrage d’un pont suspendu

Pression latérale des terres au repos

Déformation ≅ 0 7

Voiles en sous-sol d’un immeuble

1. Notions physiques

1.3 Approche expérimentale des phénomènes de poussée et de butée

Un dispositif de chargement et de mesure de force une caisse parallélépipédique à parois rigides la paroi frontale est vitrée la paroi latérale AB peut se déplacer en restant verticale

τ

σ ′H = K 0 σ v′

1 anneau dynamométrique 3 & 4 comparateurs 2 écran mobile

σ′

φ′ σ ′H

5 vérin

σ v′

H

F0 =

∫ 0

1 K 0 σ v′ dh = K 0 γ ′ H 2 8

2

1. Notions physiques

1.3 Approche expérimentale des phénomènes de poussée et de butée

POUSSEE σ v′

σ H′

σ H′

εH > 0

Expansion latérale

σ v′ constante

σ v′

τ

σ H′

diminue

(σ ′H ) a = K a σ v′ φ′ Coefficient de poussée (Active state)

σ ′H

σ ′H

σ v′

σ′ 9

1. Notions physiques

1.3 Approche expérimentale des phénomènes de poussée et de butée

BUTEE

σ v′

σ v = σ3

σ H′

σ H′ Compression latérale

σ v′

τ

εH < 0 σ v′ constante σ ′H augmente

(σ H′ ) p = K p σ v′ φ′ Coefficient de butée (Passive state)

σ ′H

σ v′

σ′ σ ′H 10

1. Notions physiques

τ

1.3 Approche expérimentale des phénomènes de poussée et de butée

φ′ POUSSEE Équilibre active

BUTEE Équilibre passive

( σ H′ ) a = K a σ v′

(σ H′ ) p = K p σ v′

σ′

σ v′

11

1. Notions physiques

1.4 Force de poussée et force de butée

La force à l ’équilibre H

∫

F0 =

1 K 0 γ ′H 2

K 0 σ v′ dh =

0

2

BUTEE Équilibre passive

(σ ′H ) p = K p σ v′

H

Fp =

POUSSEE

0

Équilibre active α =

π 4

+

φ′ 2

∫ 0

π 4

( σ H′ ) a dh =

1 Ka γ ′ H 2

H 1000

2

5H à 1000

H H à 10 20

−

φ′ 2

1 Kp γ′H 2

(σ ′H ) = K a σ v′

H

Fa =

∫

(σ H′ ) p dh =

α =

12

2

BILAN Poussée et butée sur des ouvrages enterrés

Mur de soutènement

Massif d ’ancrage d’un pont suspendu

Palplanche 13

2. THEORIE DE RANKINE (1860) 2.1 Hypothèses Sol homogène, isotrope La présence de discontinuités (provoquées par des murs ou des écrans à la surface d’un sol) ne modifie pas la répartition des contraintes verticales dans ce sol.

Inconvénient On impose la direction de la contrainte qui s ’exerce sur le mur Donc on ne tient pas compte de la valeur du frottement entre le mur et le sol Dans un sol à surface horizontale et d’un mur à paroi vertical la théorie de Rankine suppose que

le frottement entre le mur et le sol est nul puisque la contrainte est horizontale. 14

2. THEORIE DE RANKINE (1860) 2.1 Coefficient de poussée et de butée

A. Sol pulvérulent à surface horizontal

τ Sinφ φ ’ = IA/OA

En écrivant IA = OA sinφ φ’

σ v′ − (σ H′ ) a 2

=

BUTEE

σ v′ + (σ H′ ) a 2

sin φ ′

POUSSEE

I π

O

On obtient

( σ H′ ) a

1 − sin φ ′ = σ v′ 1 + sin φ ′

(σ H′ ) a = σ v′ tg 2 (

π 4

−

φ′ 2

2

φ′ (σ H′ )a

A

) (σ H′ )a = K a σ v′

De la même manière, on montre que:

π

+φ′

2

−φ′

σ′

σ v′

(σ H′ ) p

d’où K

p

K

= tg

= tg

a

2

(

π 4

+

2

(

π 4

φ ′ 2

−

φ ′

) =15

2

)

1 K a

2. THEORIE DE RANKINE (1860) 2.1 Coefficient de poussée et de butée

B. Sol à la fois cohérent et frottant à surface horizontal

τm

τ POUSSEE Équilibre active

BUTEE Équilibre passive

(σ ′H ) a = K a σ v′ C’

π 2

φ′

(σ ′H ) p = K π

+φ′

2

σ v′

−φ′

σ v′

σ v′ + c ′ cotg φ ' C’ cotgφ φ

p

σ′

(σ H′ ) p + c′ cotgφ '

’

(σ H′ )a + c′ cotgφ '

16

2. THEORIE DE RANKINE (1860) 2.1 Coefficient de poussée et de butée

B. Sol à la fois cohérent et frottant à surface horizontal τm

En remplaçant

(σ ′H ) a

σ v′

par par

τ

(σ H′ ) a + c′ cotgφ '

σ v′ + c′ cotgφ '

C

π

φ′

2

π

+φ′

2

σ v′

C cotgφ φ’

−φ′

σ′

(σ ′H ) p + C cotgφ '

σ ′v + C cotg φ '

(σ ′H ) a + C cotgφ '

On obtient

φ′ (σ H′ ) a + c ′ cotg φ ′ 2 π = tg ( − ) σ v′ + c ′ cotg φ ′ 4 2 ( σ H′ ) a = σ v′ tg 2 (

π 4

−

π φ′   ) + c ′ cot g φ ′  tg 2 ( − ) − 1 2 4 2  

φ′

17

2. THEORIE DE RANKINE (1860) 2.1 Coefficient de poussée et de butée

τm

τ

B. Sol à la fois cohérent et frottant à surface horizontal

C

π

φ′

2

π

+φ′

2

−φ′

σ′

σ v′

C cotgφ φ’

On obtient finalement:

σ ′v + C cotg φ '

(σ ′H ) a + C cotgφ '

[σ h ' ]active = K aσ v '−2c′ K a [σ h ' ] passive = K pσ v '+2c′ K p

[σ h ' ]sol au repos = K 0 σ v '

(σ ′H ) p + C cotgφ '

K

a

= tg

2

K p = tg 2 (

(

π 4

π 4

+

φ′

−

φ′ 2

2

)=

18

)

1 Ka

19

20

21

2. THEORIE DE RANKINE (1860) 2.1 Coefficient de poussée et de butée A. Sol pulvérulent à surface horizontal

(σ H′ )a = K a σ v′

K

a

= tg

2

τ

π φ ′ ( − ) 4 2

BUTEE

POUSSEE

I

(σ H′ )p = K p σ v′

K

p

1 π φ′ ) = = tg 2 ( + 4 2 Ka

τm

π

O

2

φ′

A

(σ H′ )a

π

+φ′

2

−φ′

σ′

σ v′

(σ H′ ) p

τ

B. Sol à la fois cohérent et frottant à surface horizontal

[σ h ' ]active = K aσ v '−2c′ K a

C

φ′

π 2

π

+φ′

2

σ v′

[σ h ' ] passive = K pσ v '+2c′ K p

C cotgφ φ’ (σ H′ )a + C cotgφ '

−φ′

σ′

(σ ′H ) p + C cotgφ '

σ v′ + C cotg φ '

22

1. Notions physiques 1.4 Inclinaison des plans de rupture

POUSSEE: Inclinaison des plans de rupture

τ π

2α =

α =

2

π 4

+

φ′

+ φ ′

σ r &τr

φ ′

B R

2 O

(σ ′H ) a

POUSSEE

2α

α R

C

σ′ σ v′

23

1. Notions physiques 1.4 Inclinaison des plans de rupture

BUTEE: Inclinaison des plans de rupture

τ π

2α =

α =

2

π 4

φ′

− φ ′

−

σr &τr

B

φ ′

R

2

2α

O

σ v′

BUTEE

R

σ′

α C

(σ ′H ) p

24

1. Notions physiques 1.4 Inclinaison des plans de rupture

τ φ′ POUSSEE Équilibre active BUTEE Équilibre passive

(σ H′ ) a = K a σ v′

(σ ′H ) p = K p σ v′ α = α =

π 4

+

φ′ 2

π 4

−

φ′ 2

σ′

σ v′

25

2. THEORIE DE RANKINE (1860) 2.1 Coefficient de poussée et de butée

τ

B. Sol purement cohérent Cu

σv =γ h

(σ H ) a

σ

(σ H ) p

On a immédiatement

(σ H ) a = γ h - 2 Cu

(σ H ) p = γ h + 2 Cu

Rappelez vous ! [σ h ' ]active = K aσ v '−2c′ K a

[σ h ' ] passive = K pσ v '+2c′ K p

K

a

= tg 2 (

26 π 4

−

φ′ 2

)

2. THEORIE DE RANKINE (1860): Calcul des forces de poussée et de butée τ

B. Sol purement cohérent

(σ H ) a = γ h - 2 Cu

Cu

(σ H ) p = γ h + 2 Cu

σ

Au point A, la contrainte verticale est nulle

(σ H ) a = -2 Cu

A

Le sol est en traction jusqu ’à la profondeur z0 (point B)

γ z 0 = 2 Cu

&

z0 =

2 Cu

γ

B

z0

Hc

La profondeur 2z0 (point D), la contrainte a pour valeur 2Cu et la force qui s ’exercerait sur un écran placé suivant AD

Fa =

1 γ h 2 − 2 Cu h = 0 2

D 2z0 Hc =

4 Cu

Donc, pour une courte période, une tranchée à parois verticales, taillée dans un sol 27 purement cohérent, est stable tant que la profondeur est inférieure à la profondeur critique

γ

2. THEORIE DE RANKINE (1860) 2.2 Calcul des forces de poussée et de butée

A. Sol quelconque H

F h′ =

∫ (σ ′

H

) dh

0

H

Fa =

∫

( σ H′ ) a dh =

1 γ′H 2

( σ H′ ) p dh =

1 γ′H 2

0 H

Fp =

∫ 0

2

K a − c′ H

2

K

p

+ c′ H

Ka

K

p

Ft = Fa + F w

Ft = F p + F w

F w Force hydraulique

Ft

Force totale

28

3. THEORIE DE COULOMB (1773) Intérêt: méthode aisément applicable dans bien des cas:

Terre-pleins à surface libre non rectiligne

Surcharges partielles

Remblais limités

Principe & méthode : équilibre statique des forces méthode graphique (construction de Culmann) 29

3. THEORIE DE COULOMB (1773) 3-1 Hypothèses H1

H2

Le sol se rompt suivant une surface de rupture plane La force agissante sur le mur a une direction connue: c.a.d. l’angle de frottement (

δ

)entre le sol et le mur est connu

B

C

B

φ

φ

δ

A

C

A

Mur rugueux

Mur lisse

δ = φ’

δ=0

30

3 THEORIE DE COULOMB (1773) 3-2 Calcul de la force exercée: sol pulvérulent

W F

poids du coin de sol ABC

B

C

W R

θ-φ φ

sin( θ ′ − φ )

F =W

sin(

W poids de sol

π 2

+ φ − θ ′)

F force exercée par le mur

A Mur lisse δ=0

R réaction exercée par le sol sur le plan de rupture

31 Équilibre statique du coin de sol ABC sous l’action des forces qui lui sont appliquées

3 THEORIE DE COULOMB (1773) 3-2 Calcul de la force exercée: sol pulvérulent B

C

C

B B

B

C

β δ

θ A A Cas général φ/3