Pothenot
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MÉTODO DE POTHENOT
Informe Topografía II “Método de Pothenot” Facultad de Ingeniería Universidad Privada del Norte
1 de julio del 2015
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MÉTODO DE POTHENOT
NOMBRE DEL TRABAJO
MÉTODO DE POTHENOT DOCENTE: J!MI""# $UPN%UI JUN &!"#'(
INTEGRANTES CÓDIGO
:
APELLIDOS Y NOMBRES )UI"! M#'&#*#+ J#', !&, -I*+ P##" "#P,* "UN "U&IN#
63305
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MÉTODO DE POTHENOT
"n#i$%: Contenido.
I INTRODUCCIÓN: ___________________ _____________________________ ___________________ __________________ ___________________ _______________4 _____4 II NATALIDAD NATALIDAD _______________ ______________________ ______________ _______________ ________________ _______________ ______________ _______________5 ________5 III MORTALIDAD _____________________ _______________________________ _____________________ _____________________ _____________________ ____________7 _7
________________________ ________________ ________________ _________________ _________________ ________________ ___________9 ___9 I CEN!O!: ________________ _________________ ____________ ___________ ___________ ____________ ____________ ___________ __________ ___________ _________10 ___10 I"I O#je$i%o& ___________ "Modelo& '($e')$i*o& (+li*(#le& ( +o#l(*io,e& -u$u.(& .___________________________16
_______________________________ _______________________ ____________________17 _________17 "I MODELO ARITMETICO" ___________________ ____________________ ______________ ____________ ____________ ______________ _________19 __19 "II MÉTODO /EOMÉTRICO _____________ V.III MODELO EXPONENCIAL______________________ EXPONENCIA L____________________________________________ _________________________21 ___21
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MÉTODO DE POTHENOT 1& RES' ES'MEN MEN&
,l método planimetrico denominado “Intercepci/n Inversa”+ cu0a soluci/n geométrica se 1asa en el conocimiento de la le0 de igualdad de 2ngulos inscritos en arcos iguales+ ha sido estudiado 0 utili3ado por distintos autores a lo largo de la historia+ las soluciones gr2ficas 04o trigonométricas dadas por ellos+ tienen desde e l aspecto did2ctico un valor fundamental( dem2s es interesante destacar la evaluaci/n de su aplicaci/n en o1servaciones astron/micas 0 geodin2micas hasta nuestros días( ,n este artículo+ adem2s de hacer en 1reve recorrido hist/rico del método+ se pondr2 especial hincapié en relacionar cada soluci/n gr2fica con su correspondiente soluci/n trigonométrica+ para terminar aportando la soluci/n topogr2fica dada en cada caso( ,n definitiva+ se va a presentar en este artículo un método 12sicamente geométrico+ geo métrico+ cierta ciertamen mente te cada ve3 m2s olvidado olvidado 0 en pocas pocas ocasion ocasiones es utili3 utili3ado ado++ pero pero con una ri5ue3a did2ctica indiscuti1le(
2& In( In(o# o#)$ )$$i $i*n *n&&
,l Método Planimétrico de Intersecci/n Inversa consiste en la determinaci/n de la
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MÉTODO DE POTHENOT posici/n planimétrica de puntos+ mediante o1servaciones angulares hechas desde éstos 0 dirigidas a otros puntos de coordenadas cono cidas 6vértices geodésicos+ generalmente7( ,s necesario reali3ar al menos tres visuales a puntos de posici/n conocida( "a o1tenci/n de las coordenadas 8 e $ 5ue definan la posici/n planimétrica de los puntos+ puede hacerse por métodos gr2ficos o por métodos analíticos( "os primeros se 1asan en conceptos puramente geométricos 0 los segundos en conceptos matem2ticos 6trigonométricos7( la ve3+ a los métodos analíticos 04o gr2ficos se les puede dar una orientaci/n o resoluci/n topogr2fica+ como veremos( ,l pro1lema planteado es com9nmente denominado Pro1lema de Pothenot+ aun5ue tam1ién se le conoce como Pro1lema del .értice de la Pir2mide+ Pro1lema de los Tres Tres .értices+ Trisecci/n Trisecci/n Inversa o simplemente Intersecci/n Inversa( "a soluci/n geométrica de la Intersecci/n Inversa+ 1asada en el conocimiento de la "e0 de igualdad de los 2ngulos inscritos en arcos iguales+ la dio 0a hace m2s de :(;;; aetivo principal de esta pr2ctica es resolver el pro1lema de los tres puntos o pro1lema de Pothenot mediante el método analítico(
3&2
OBJ BJE ETI+OS SE SEC'NDARI DARIO OS& #1tener los datos de campo suficientes para resolver el
pro1lema de los tres puntos en ga1inete( -eterminar los 2ngulos faltantes( -eterminar el punto o1>etivo(
4& ,'NDA ,'NDAMENT MENTO O TEÓR TEÓRICO ICO&& ,l pro1lema de Pothenot tam1ién conocido como pro1lema de tres puntos se 1asa en la posici/n de puntos referidos a una red de triangulaci/n+ la venta>a de resolver el pro1lema de Pothenot es 5ue 0a se tiene 2ngulos conocidos como ser los lados de la red 0 los 2ngulos internos de dicha red( ,ste procedimiento es aplica1le especialmente cuando el punto por situar est2 mu0 ale>ado de los puntos conocidos o estando cerca las medidas de las distancias a esos
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MÉTODO DE POTHENOT puntos conocidos son difíciles de hacer o resultan imprecisas por o1st2culos en el terreno( 'e entiende por pro1lema de tres puntos o Pothenot a la forma metodol/gica de determinar el posicionamiento de cual5uier punto 5ue este dentro del 2rea circundante del levantamiento topogr2fico reali3ado en 1ase a una triangulaci/n+ con frecuencia se presenta en los tra1a>os topogr2ficos la necesidad de esta1lecer las coordenadas e?actas de un punto en el 2rea de levantamiento+ por ello el pro1lema de Pothenot es 9til en la resoluci/n r2pida 0 e?acta del posicionamiento de cual5uier punto(
E.ITEN DOS METODOS: SOL'CION GRA,ICA& -ada la e?tensa variedad de métodos gr2ficos 5ue e?isten para solucionar este tipo de pro1lemas+ 0 adem2s 5ue no es necesaria la introducci/n en dichos métodos+ no nos referiremos a e ellos(
So!)$i*n ana!/i$a& ,ste método ha sido escogido para la resoluci/n del pro1lema aplicativo+ el material te/rico necesario ha sido 1rindado en li1ros(
5& SOL'C SOL'CION ION DEL DEL PROB PROBLEMA LEMA&&
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MÉTODO DE POTHENOT EJERCICIO DEL PHOTENOT
49 ° 27 ' 38 ' 38 ¿ p ' : 49°
¿ p : 30°13'16 X 12600.4 A 6 13108.5 B 29 13480.8 C 7
Y 20315.8 25 20475.0 99 20342.8 5
'oluci/n@ Calculo del azimut AB
xb :13108.524 xa :12600.460
∆ x :508.069
yb :20475.099 ya :20315.825
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MÉTODO DE POTHENOT ∆ y :159.274
AzAB =tgAB =
∆ x 508.069 = ∆ y 159.274
tgAB =3.189905446 '
AzAB =72° 72 ° 35 39.73
&alculo de la longitud A B m@ AB =
∆x ∆y = senAzAB cosAzAB '
sen72 sen 72 ° 35 39.75} 508.069 AB =m=
¿
AB =m=532.4490
Calculo del azimut BC xc :13480.870
xb :13108.529 ∆ x :372.341
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MÉTODO DE POTHENOT
yc :20342.850 yb :20475.099
∆ y :− 132.249
AzBC =tgBC =
∆ x 372.341 = ∆ y −132.249
tgBC =− =−2.815454181 '
AzBC =109 ° 33 14.9
&alculo de la longitud A& B n@ BC =
∆x ∆y = senAzBC cosAzBc '
sen109 sen 109 ° 33 14.9} 372.341 BC =n =
¿
BC =n =395.130
Calculo del ángulo ABC = M
M °= AzAB− AzBC '
M ° = 72° 72 ° 35 39.73 -109°33'14.9 -109°33'14.9 '
M °= 36° 36 ° 57 35.17
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MÉTODO DE POTHENOT
&alculo de los 2ngulos ? e 0 por el método de la funci/n au?iliar@ '
x + y + M + p + p =180°(n-2) x + y =180 ° ( 4 −2 )− M − p − p '
'
M + p + p ) x + y =360 ° −¿
'
M =36 ° 57 35.14 '
p =49 ° 27 ' 38 ' 38 p=30°13'16 p =30°13'16 '
M + p + p =116°38'29.1
'
116 ° 38 29.1) x + y =360 ° −¿ '
x + y =243 ° 21 30.8
1 1 tg ( x − y ) =tg ( x + y )∗ctg ( 45° 45 ° + L ) 2 2
m. senp enp } over {n.senp'} tgL =¿
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MÉTODO DE POTHENOT k =
1 ( x + y ) 2
R=
1 ( x − y ) 2
Calculo de coo!denada" del #unto #
,l lado AP se puede o1tener de dos formas@ a7
17
BP =
m∗senx senp'
senp } n∗seny
BP =
¿
!eempla3ando 0 promediando las medidas de AP se o1tiene@ AP B C:D(EGDHEC Calculando el azimut de BP
180 ° − y − p ) AzBP = AzBC + ¿ '
+( 180 ° −116 ° 25 12.7-30°13'16 ) AzBP = AzBC +(
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MÉTODO DE POTHENOT '
AzBP =142° 142 ° 54 46.2
Coo!denada" #a!ciale"$ %& e %'$ '
x = BP∗senAzBP=627.4517846∗sen 142 ° 54 46.2 '
y = BP∗conAzBP=627.4517846∗cos142° cos142 ° 54 2 x =378.3718272
y =−500.5302213
!eempla3ando 6G7 en @ '
243 ° 21 30.8) 1 k = ¿ 2 '
k =121° 121 ° 40 45.4…(2)
Hallando L$
tgL =532.4490∗ sen30 sen 30 ° 13 ' 16 ' 16 } over {395.1300*sen49°27'38=0.892499664 '
L= 41° 41 ° 44 56.04 …(3)
!eempla3ando 0 "@
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MÉTODO DE POTHENOT 1 1 tg ( x − y ) =tg ( x + y )∗ctg ( 45° 45 ° + L ) 2 2 '
x + y 121 ° 40 45.4 r!"# ) *c#!(45°$41° {44} {44} % {'} .04
¿
1 1 tg ( x x − y )=tg ¿ 2 2
R=
1 32.69 …(4) …(4) ( x − y ) =−5 ° 15' 32.69 2
&omo@ x =k + R , y = k − R
,l
¿ x =k + R
' 121 ° 40 45.4 $(-5°15'3 $(-5°15'32.69 2.69 ¿ =116° 116 ° 25' 25 ' 12.7 12.7 ¿ x =121°
,l
¿ y =k − R
-(-5°15'32.69 2.69 ¿=126 ° 56 ' 18 ' 18 ¿ y =121 ° 40' 45.4 -(-5°15'3
Coo!denada" totale"$
xp= xb + ∆ x =13108.524 + 378.372=13486.901 yp = yb + ∆ y =20475.099 + (−500.530 )=19974.569
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MÉTODO DE POTHENOT
Por lo tanto@ p ( x x , y )= p ( 13486.901& 13486.901& 19974.569 19974.569)
-& CONC CONCL' L'CI CION ONES ES&& lo largo de los anteriores apartados+ se ha podido compro1ar la versatilidad del método de Intersecci/n Inversa 0 las profundas relaciones 5ue tiene con los conceptos geométricos 12sicos( &on ello 5ueda demostrado c/mo un método de aplicaci/n claramente Topogr2fica+ Topogr2fica+ tiene su fundamento en la )eometría &l2sica+ a la cual a veces no se le concede la importancia 5ue merece( "a comprensi/n 0 asimilaci/n de todos los ra3onamientos 0 desarrollos e?puestos+ m2s 5ue perseguir introducir gran cantidad de formulismos 0 procesos geométricos complicados+ lo 5ue pretende es desarrollar su concepci/n espacial 0 demostrar 5ue los conceptos te/ricos 12sicos 5ue se le inculcan a nosotros los alumnos en materias como el -i1u>o Técnico o la ,?presi/n )r2fica+ tienen siempre una aplicaci/n pr2ctica concreta( ,s interesante destacar la triple forma de resoluci/n de los casos
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MÉTODO DE POTHENOT planteados( Por un lado+ se comprue1a 5ue la resoluci/n gr2fica del método va asociada siempre a una >ustificaci/n gr2fica 12sica( Por o tra parte+ se comprende c/mo toda soluci/n gr2fica tiene una soluci/n analítica( $ por 9ltimo+ se plantea otro método de resoluci/n de los pro1lemas plan teados@ la resoluci/n por ra3onamientos topogr2ficos(
0& BI BIBL BLIO IOGRA GRA,"A ,"A&& http@44es(scri1d(com4doc4GHDCHK4Pro1lemaLdeLPothenotscri1d http@44oc(upm(es4ingenieriaLcartograficaLgeodesicaL0Lfotogrametria4topografiaL cartografiaL0L geodesia4contenidos4P!&TI&'4T!I',&&I#NOIN.,!'4triseccionOinversa(pd f http@44oc(upm(es4ingenieriaLcartograficaLgeodesicaL0Lfotogrametria4topografiaL ii4TeoriaOI'OTemaOD(pdf http@44mundogeo(com41log4:;G;4;H4G:4testeLcomparativoLentreLcoordenadasL calculadasLpeloLpro1lemaLdeLpothenotLeLasLcoordenadasLo1tidasLcomLoLusoLdeLgps4 http@44e0nes(scuole(1o(it4documenti4geometri4topografia4snelliusOpothenot(pdf file@444&@4Users4Usuario4-onloads4-ialnetL Pro1lemas!esueltos-eTopografiaPracticaL:CDCEQ:;6G7(pdf
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