Potencias y raíces cuadradas

POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS CON NUMEROS NATURALES

1- CONCEPTO DE POTENCIA Una potencia es un producto de factores iguales.

6

EXPONENTE: Indica las veces que se repite la base

4

BASE: Es el factor que se repite 3

3

Expresa en forma de producto y calcula el valor de 5
5 = 5 · 5 · 5 = 125

Ejemplo :

Para leer una potencia se nombra primero la base, luego la frase "elevado a" y después se nombra el exponente. 4

Ejemplo :

6 se lee "Seis elevado a cuatro"

Si el exponente es el 2 se puede leer también nombrando la base y luego la frase "al cuadrado". 2

Ejemplo :

5 se puede leer "Cinco elevado a dos" o también "Cinco al cuadrado".

Si el exponente es el 3 se puede leer también nombrando la base y luego la frase "al cubo". 3

Ejemplo :

5 se puede leer "Cinco elevado a tres" o también "Cinco al cubo".

ACTIVIDADES 1) ¿Se pueden escribir las siguientes expresiones como potencias? ¿Por qué? a) 2 · 2 · 3 · 2

b) 5 + 5 + 5

c) 7 · 7 · 7

2) Calcula el valor de las siguientes potencias: 4

a) 2

2

3

b) 3

c) 5

d) 3

5

3

e) 6

6

f) 3

3

4

g) 12 4

3) Escribe como se leen las siguientes potencias: a) 2

3

h) 11 2

b) 6

i) 13 6

c) 2

3

d) 7

2 – POTENCIAS ESPECIALES Toda potencia de base 10 tiene como valor el número que resulta de añadir al 1 tantos ceros como indique el exponente. Ejemplos :

2

10 = 100

3

10 = 1000

Todo número elevado a 1 tiene como valor el mismo número. Ejemplos :

1

2 =2

1

14 = 14

Todo número elevado a 0 tiene como valor 1. Ejemplos :

0

2 =1

0

14 = 1

Si la base es 1 el valor de la potencia siempre es 1. Ejemplos :

3

1 =1

154

1

=1

Si la base es 0 el valor de la potencia siempre es 0. Ejemplos :

3

0 =0

154

0

=0

Potencias y raíces cuadradas con números naturales - 1

Manuel Balcázar Elvira

ACTIVIDADES 4) Calcula el valor de las siguientes potencias: 2

b) 10

a) 7

3

5

c) 4

7

3

d) 2

0

e) 5

f) 5

6

1

g) 1

5

h) 6

4

i) 10

0

j) 7

k) 8

8

l)0

5) Sustituye las interrogaciones por los números que correspondan en las siguientes expresiones: ?

?

a) 3 = 27

?

b) 2 = 64

4

c) 4 = 64

3

d) ? = 10000

?

e) ? = 8

f) 5 = 625

6

h) ? = 1

3 – OPERACIONES CON POTENCIAS El producto de potencias de la misma base se puede expresar como otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican. 4

Ejemplos :

2

Expresa en forma de una sola potencia: 3 · 3 · 3 = 3

4+1+2

7

=3

La división de potencias de la misma base se puede expresar como otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes de las potencias que se dividen. 7

Ejemplo :

4

Expresa en forma de una sola potencia: 8 : 8 = 8

7–4

=8

3

La potencia de una potencia se puede expresar como otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. 4 5

Ejemplo :

4·5

=7

4

7

Expresa en forma de una sola potencia: (7 ) = 7

20

ACTIVIDADES 6) Escribe en forma de potencia las siguientes expresiones: 5

7

8

a) 2 · 2

3

6 3

b) 4 : 4

c) (4 )

9

3

6 7

d) 7 : 7

e) (2 )

f) 5 · 5

12

g) 7

4

:7

7) Sustituye las interrogaciones por los números que correspondan en las siguientes expresiones: ?

7

13

a) 2 · 2 = 2

8

?

3

b) 4 : 4 = 4

6 ?

54

c) (4 ) = 4

?

3

12

d) 7 : 7 = 7

4

?

11

e) 5 · 5 = 5

4 – DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE NUMEROS NATURALES Fíjate en el siguiente ejemplo de descomposición del número 74302: 4

3

2

74302 = 70000 + 4000 + 300 + 2 = 7 · 10000 + 4 · 1000 + 3 · 100 + 2 = 7 · 10 + 4 · 10 + 3 · 10 + 2 A esta forma de descomponer un número se le llama descomposición polinómica. ACTIVIDADES 8) Efectúa la descomposición polinómica de los siguientes números: a) 426

b) 5031

c) 450006

d) 6003402

e) 680702

f) 608702

5 – RAÍZ CUADRADA Se llama raíz cuadrada exacta de un número natural a otro número que elevado al cuadrado da como resultado el primero. Ejemplo :

2

9 = 3 porque 3 = 9

2

25 = 5 porque 5 = 25

RADICAL – Es el símbolo de la operación

25 = 5

RAÍZ – Es el número que elevado al cuadrado da el radicando RADICANDO – Es el número del que vamos a calcular su raíz

Potencias y raíces cuadradas con números naturales - 2

Manuel Balcázar Elvira

Se llama raíz cuadrada entera de un número natural a otro número natural que elevado al cuadrado da como resultado un número cercano al primero sin pasarse; la diferencia entre uno y otro es el resto. Ejemplo :

32 - 25 7

5

Si conocemos la raíz y el resto para calcular el radicando aplicamos la siguiente expresión: 2

2

En el ejemplo anterior sería 5 + 7 = 32

RAÍZ + RESTO = RADICANDO

ACTIVIDADES 9) Calcula las siguientes raíces cuadradas enteras: a)

41

b)

67

c)

22

d)

83

140

e)

f)

200

g)

350

h)

470

i)

893

10) En una raíz cuadrada entera te dicen que la raíz es 27 y el resto es 19. ¿Cuál es el radicando? 11) En una raíz cuadrada entera te dicen que la raíz es 19 y el resto es 27. ¿Cuál es el radicando?

6 – RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO DE VARIAS CIFRAS Para calcular la raíz cuadrada de un número de varias cifras se procede así: 1º
Se divide el número en grupos de dos cifras empezando por la derecha. 2º
Se calcula la raíz cuadrada del primer grupo de cifras de la izquierda y así se obtiene la primera cifra de la raíz, el cuadrado de esta cifra se resta del primer grupo. 3º
A la derecha del resto obtenido se escribe el segundo grupo y se separa la cifra de la derecha. 4º
El número que queda a la izquierda de la cifra separada se divide por el doble de la raíz obtenida. El cociente se escribe a la derecha del divisor y el número queresulta se multiplica por el mismo cociente. Si este producto se puede restar del dividendo seguido de la cifra separada, el cociente es la siguiente cifra de la raíz, si no es así se prueba con una cifra inferior. 5º
Se repiten los pasos 3º y 4º hasta que no quede ningún grupo del radicando por bajar. Ejemplos

:

857 -4 457 -441 16

29 49 x 9

5351 -49 451 -429 22

73 143 x 3

ACTIVIDADES 12) Calcula las siguientes raíces cuadradas enteras, indicando la raíz y el resto: a)

712

b)

1471

c)

367

d)

2683

Potencias y raíces cuadradas con números naturales - 3

e)

300

f)

1632

Manuel Balcázar Elvira

7 – OPERACIONES COMBINADAS Cuando en una misma expresión hay sumas, restas, productos, divisiones, potencias y raíces cuadradas el orden en el que se realizan estas operaciones es: 1º
Paréntesis. 2º
Potencias y raíces. 3º
Productos y divisiones. 4º
Sumas y restas.

3

Ejemplos :

2

2 · 5 = 8 · 25 = 200 4

2

3 – 4 = 81 – 16 = 65 2

2

(9 – 4) = 5 = 25

2 · 9 + 7 = 2 · 3 + 7 = 10

9+7 =

16 = 4

ACTIVIDADES 13) Calcula el valor de las siguientes expresiones: 2

4

a) 3 · 2 4

b) 7 + 5 · 4 0

e) 10 – 2 0

1

f) (10 + 2) 2

i) 3 + 4 + 10 m) 3 ·

81 + 7

6

3

3

3

j) 2 : 4

n) 3 · ( 81 + 19 + 7)

Potencias y raíces cuadradas con números naturales - 4

c) (6 + 1) 2

2

3

g) 9 – 2 2

0

k) 1 - 4 3

ñ) 4 + 196

2

3

d) 8 – 3

h) (6 – 2)

3

l) 3 · (7 – 2) o)

3

36 + 2 · (13 – 7)

Manuel Balcázar Elvira

SOLUCIONES 1) a) No, porque los factores no son iguales b) No, porque no es un producto c) Si, porque es un producto de factores iguales 2) a) 16

b) 9

c) 125

3) a) Dos elevado a cuatro 4) a) 49

b) 1000

5) a) 3

b) 6

12

6) a) 2 7) a) 6

b) 4

c) 4

b) 5

c) 9

d) 128

d) 10

18

e) 2

d) 7

e) 2

d) 15

e) 7

42

f) 4 11

f) 5

g) 1728

f) 1

g) 1

h) 6

2

6

i) 2197

d) Siete al cubo

i) 100000

j) 2401

k) 1

g) 7

8

5

4

4

c) 4·10 + 5·10 + 6 2

5

3

2

e) 6·10 + 8·10 + 7·10 + 2

f) 6·10 + 8·10 + 7·10 + 2

b) Raíz = 8, Resto = 3

c) Raíz = 4, Resto = 6

d) Raíz = 9, Resto = 2

e) Raíz = 11, Resto = 19

f) Raíz = 14, Resto = 4

g) Raíz = 18, Resto = 26

h) Raíz = 21, Resto = 29

i) Raíz = 29, Resto = 52

12) a) Raíz = 26, Resto = 32

b) Raíz = 38, Resto = 27

c) Raíz = 19, Resto = 6

d) Raíz = 51, Resto = 82

e) Raíz = 17, Resto = 11

f) Raíz = 40, Resto = 32

9) a) Raíz = 6, Resto = 5

l) 0

g) 1

b) 5·10 + 3·10 + 1

d) 6·10 + 3·10 + 4·10 + 2

h) 14641

c) Dos elevado a seis

3

8) a) 4·10 + 2·10 + 6 3

f) 729

e) 125

6

2 6

e) 216

b) Seis al cuadrado

c) 1024 c) 3

5

d) 243

10) 748 11) 388

13) a) 144

b) 327

c) 49

d) 37

e) 9999

f) 1728

g) 73

h) 64

i) 105

j) 1

k) 0

l) 375

m) 34

n) 51

ñ) 78

o) 18

Potencias y raíces cuadradas con números naturales - 5

Manuel Balcázar Elvira