Potencias - Cap Ix - Despacho Hidrotermico

IX-DESPACHO HIDROTERMICO

9.1.-Introducción Potencia aprovechable de una central hidroeléctrica:

P  9.8 Q hneta Tipos de centrales según se regulación: - Centrales de Pasada: No tiene regulación. - Centrales de Embalse: * Regulación diaria * Regulación semanal

* Regulación estacional * Regulación interanual Tipo de centrales según el servicio:

-De Base - De Punta

9.1.-Introducción Partes de una Central: - Bocatoma

Tipos de turbina:

- Canal o túnel

- Pelton

- Chimenea de equilibrio

- Francis

- Tubería de presión

- Kaplan

- Casa de máquinas - Canal de evacuación - Subestación

9.2.-Formulación del problema

•Ignorar transitorios hidráulicos, tiempo de traslado del agua, etc. •Asumir almacenamiento anual.

•Basado en estudios estaciónales •Problemas de asignación de recursos * Recreación, irrigación, navegación, agua potable, etc. •Problemas de largo plazo: Planeamiento.

9.2.-Formulación del problema Basado en encuestas hidrológicas, estudios de cauces y pluviometría. Problemas de largo plazo:

Orientado al agua. Restringido: - Tratamiento. - Irrigaciones. - Control de inundaciones. - Recreación. - Pesca. - Navegación. - Agua potable.

9.2.-Formulación del problema

Problema de corto plazo - Operación: - Mínimo costo de la energía importada - Uso de cantidades específicas de agua - Evitar rebose

9.2.-Formulación del problema •ECUACIÓN DE CONTINUIDAD PARA UN RESERVORIO R(t)

R(t) = Caudal de entrada S(t)

q(t) = Caudal de descarga S(t) = Caudal de rebose

V(t) q(t)

V(t) = Volumen en el reservorio Para el intervalo

9.2.-Formulación del problema R(t) S(t)

V(t) q(t)

9.2.-Formulación del problema Objetivo: Usar una cantidad de agua dada a un costo mínimo térmico. Formulación: pJ

J = Intervalo pJ = Caudal de entrada en J VJ

qJ

VJ = Volumen al inicio de J qJ = Descarga durante J

9.2.-Formulación del problema Problema

Sujeto

Otras restricciones: 1)

V1  VS VN 1 

 VE 

Volumen inicial y final fijos

9.2.-Formulación del problema 2)

3)

Retornando al problema

Asumir operación a altura constante.

9.2.-Formulación del problema Lagrangiano es

    Fj Psj    j PHj  PSj  PLj    j

Para un intervalo J=K:

 q P  Q  j

Hj

dFk Psk   0   k Psk dPsk dqk PHk   0   k PHk dPHk

(1) y (2) son las ecuaciones de coordinación de despacho hidrotérmico de Corto Plazo Puede ser resuelto de varias maneras.

T

1 2

9.2.1.-Método iterativo -g

Dimensión de  tal que

9.2.2.-Despacho mediante gradiente •Asumir

Costo Total

FT   Fj Psj  j

•Expandiendo por Taylor y tomando las componentes, de primer orden

FT   F Psj  ' j

•El balance

9.2.2.-Despacho mediante gradiente • Reemplazando

• Luego

9.2.2.-Despacho mediante gradiente J 

Mantener

Valor incremental del agua, da indicación de cómo hacer los movimientos para alcanzar el mínimo costo de combustible o el mejor periodo de descarga.

9.2.3.-Despacho de sistema termoeléctrico

Conocidos los costos de producción ¿Cómo se atiende la demanda? Ordenamiento por costos de producción. 



Imagine 3 plantas  C1 : 0 US$/MWh, 10MWh  C2 : 3 US$/MWh, 30MWh  C3 : 1 US$/MWh, 5MWh Imagine una demanda de 25MWh

El costo Marginal

3US$MWh

C2: 10 MW

10x3 + 5x1

10x0 C3: 5 MW C1: 10 MW

35

9.2.4.-MODELAMIENTO DE PLANTAS HIDROTERMICAS

►

►

►

►

►

►

►

El problema de coordinación hidrotérmica, resuelve simultáneamente el compromiso de unidades y el despacho hídrico La programación hidráulica a largo plazo, abarca la programación a largo plazo de la descarga La programación típica a largo plazo, abarca desde una semana a varios años (Ejemplo: 5 años) La programación a mediano plazo, utiliza representaciones mas detalladas así como las restricciones El problema resultante es de optimización matemática, generalmente no lineal En el despacho a corto plazo, se programa los niveles de los reservorios que deben alcanzar hasta el final del periodo También se calculan, los valores marginales de energía almacenada en cada reservorio. De igual manera se establece el compromiso de unidades

9.2.4.-MODELAMIENTO DE PLANTAS HIDROTERMICAS

ENTRADA

RESERVORIO

9.2.4.-MODELAMIENTO DE PLANTAS HIDROTERMICAS METODO DE FLUJO EN REDES A

AFLUENTE

VOLUMEN VERTIMIENTO

V

S q TRAYECTORIA PLANTA HIDROELECTRICA

ENTRADA

RESERVORIO

A1

A2

1 S1

2 q1

A4

A3 4

S2

q2

q4

q5

3

S5 S3

q3

6 q6

5

9.2.4.-MODELAMIENTO DE PLANTAS HIDROTERMICAS

METODO DE FLUJO EN REDES

RESTRICCIONES DE RESERVORIO   

V1(t+1)=V1(t)+A1-q1(t)-S1(t) V2(t+1)=V2(t)+A2-q2(t)-S2(t) V3(t+1)=V3(t)+A3+q4(t)+q5(t)-q3(t)-S3(t) RESTRICCIONES HIDRICAS • q1(t) + S1(t) = q4(t)

• q2(t) + S2(t) + A4 = q5(t) + S5(t) • q3(t-1) = q6(t) LIMITES DE FLUJO qi t   qi t   qi t ,

i  1,2,3,4,5,6

LIMITES DE RESERVORIO

X i t   X i t   X i t 

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA En la figura se muestra dos fuentes para suministrar una carga, una hidro y la otra de vapor. max PHJ  PLJ   J  1,..., J max

q

S

H

PL

F

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA La energía de la hidro es insuficiente para el suministro de la carga J max

P j 1

HJ

J max

N J   PLJ N J

Donde:

J max

N j 1

j 1

J

 Tmax (Intervalo Total)

N J  # de horas del periodo J

La energía requerida de la planta de vapor es: J max

J max

 j 1

PLJ N J

-

 j 1

PHJ N J =

E

Energía Térmica Energía de la carga

Energía Hidro

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA No se requiere que la unidad de vapor este el intervalo completo de Tmax horas Ns

P j 1

SJ

NJ  E

Donde

Ns :

Numero de periodos que la planta de vapor esta en servicio

Luego El problema de programación se convierte en: Ns

Min FT   F ( PS ) N J J 1

Sujeto a: Ns

P J 1

SJ

NJ  E  0

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA La función de Lagrange es: Ns

Ns

J 1

J 1

f   F ( PS ) N J   ( E   PSJ N J ) Entonces:

F ( PSJ ) f    0 PSJ PSJ

F ( PSJ )  PSJ Esto significa que la planta de vapor, debería operar a costo incremental constante para el periodo que esté en servicio. El valor òptimo del generador de potencia de vapor es Ps*, lo cual es la máxima para todo el intervalo en que la unidad a vapor este en servicio. Este tipo de programación es mostrada en la figura siguiente:

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA

PL (CARGA)

HIDRO

Ps*

VAPOR TIEMPO Ts

Tmax

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA El costo total sobre el intervalo es: Ns

Ns

J 1

J 1

FT   F ( Ps *)N J  F ( Ps *) N J  F ( Ps *)Ts Donde:

Ns

Ts   N J  Tiempo total en servicio de la planta de vapor J 1

Si se expresa el costo de la planta de vapor como:

F ( Ps )  A  BPs  CP

2 s

Entonces:

FT  ( A  BP  CP )Ts * 2

También se nota que:

2* s

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA Entonces:

Luego:

Ahora podemos establecer el valor de Ps* por minimización de FT

P  * s

A C

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA EJEMPLO: Una planta hidroeléctrica y una planta de vapor están para suministrar a una carga constante de 90Mw para una semana (168 horas). Las características de las unidades son:

Planta hidroeléctrica:

q=300+15PH m3/H, → 0 ≤ PH ≤ 100 Mw.

Planta de vapor: Fs=53.25+11.27Ps+0.0213P2s , → 12.5 ≤ Ps ≤ 50 Mw. SOLUCION a) Si la planta hidroeléctrica está limitada para 10000 Mw-H de energía, resolver para T*s el tiempo de servicio de la unidad de vapor

5120Mw.H T   102.4 Horas 50Mw * s

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA b) Suponer que la máxima capacidad es de 250000 m3 de agua, cuanto tiempo la unidad de vapor operará.

q1  300  15(40) m3/H

Q 1 =q1*Ts q 2 =300+15(90) m3/H

Q2 =q 2 *(168-Ts)

Q1 +Q2 =QT  250000 m

3

Resolviendo se obtiene:

Ts  36.27 Horas

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA EL PROBLEMA HIDROTERMICO En un problema de coordinación hidrotérmica se requiere que se use una determinada cantidad de agua, de tal forma que se minimice el costo de operación de unidades térmicas J: intervalo Aj

Psj

Phj

S

H

Sj

AJ: Afluente durante J Vj

VJ: volumen inicial de J qJ: descarga durante J

PLJ

SJ: vertimiento durante J Se asume que la hidro no es suficiente para cubrir las demandas de toda la carga 𝑗𝑚𝑎𝑥 durante un periodo determinado qj

min 𝐹𝑇 =

Restringido a:

𝑁𝑗 𝐹(𝑃𝑠𝑗)

𝑗=1

Agua total a descargar

PLJ  PHJ  PSJ  0

Balance de potencia para J=1,…,Jmax

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA Donde: Jmax

N

J

 Tmax

NJ= Longitud del intervalo J

J=1

Las cargas son constantes en cada intervalo Asumiendo una operación con altura constante y asumiendo disponible una característica Caudal - - Potencia q (m3/H)

PH (Mw)

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA Ahora se tiene un problema similar al problema del TAKE OR PAY de tomar o pagar, la función de Lagrange para este caso es:

 Jmax  f    N J F(PSJ )+J (PLJ -PHJ -PSJ )      N J qJ ( PHJ )  QTOTAL  J=1  J=1  Jmax

Para un intervalo especificado J=K, se tiene:

Las perdidas de la red:

PLJ  PLOSSj  PHJ  PSJ  0

9.2.5.-PROGRAMACION DE ENERGIA Entonces, la función de Lagrange resulta:

 Jmax  f    NJ F(PSJ )+J (PLJ +PLOSSj -PHJ -PSJ )      N J q j ( PHJ )  QTOTAL  J=1  J=1  Jmax

Y las ecuaciones de coordinación resultantes para la hora K es:

PLOSSj dF ( PSK ) NK  K  K dPSK PSK

PLOSSj dq( PHK )  K NK  K  K dPHK PHK

9.3.-COORDINACION HIDROTERMICA A CORTO PLAZO POR RELAJACION LAGRANGIANA

9.3.1. INTRODUCCION. •

•

La coordinación hidrotermica a corto plazo tiene como objetivo principal determinar una estrategia optima de operación que minimice los costos de generación suministrando la demanda y cumpliendo las restricciones técnicas del sistema. Para ello se realiza un modelamiento de las centrales térmicas e hidráulicas usando las técnicas de descomposición Lagrangiana, que sirve para descomponer el problema en subproblemas mucho mas sencillos de resolver.

9.3.1. INTRODUCCION. •

•

El problema de coordinación hidrotermica resuelve simultáneamente el despacho hídrico y el compromiso de unidades. La programación horaria hídrica a corto plazo (un día a una semana) involucra la programación horaria de toda la generación de un sistema para obtener un costo de producción mínima para un periodo de tiempo dado.

9.3.2. DEFINICIONES. •

•

Matemáticamente, el problema puede ser formulado como un problema de optimización no lineal entera-mixta. Para sistemas de tamaño real es un problema de gran escala. Las técnicas de RL (Relajación Lagrangiana) son las mas apropiadas para resolver este tipo de problemas. Las técnicas de programación dinámica requieren discretización de variables continuas y drásticas hipótesis simplificadoras para hacer el problema computacionalmente tratable.

9.3.2. DEFINICIONES. •

•

Usando las técnicas de RL, el problema primal resultante relajado puede ser naturalmente descompuesto en sub-problema para las plantas térmicas y sub-problema para las plantas hídricas. La propiedad de descomposición permite un modelamiento preciso de cada planta de generación tanto como la posibilidad de aplicar a cada sub-problema la mas conveniente técnica de optimización para su estructura.

9.3.2. DEFINICIONES. •

Aparte de todas las ventajas derivadas de la propiedad de descomposición del problema primal relajado, la aplicación de la RL para resolver el problema de coordinación hidrotermica a corto plazo presenta otra importante ventaja. Las variables del problema dual (multiplicadores de Lagrange) tienen un significado económico el cual puede ser muy útil en el marco de mercados eléctricos desregulados, y también en el marco tradicional de sistemas centralizados.

9.3.3. FORMULACION MATEMATICA. •

•

El problema puede ser formulado como un problema de optimización combinatorio y no lineal, en el cual costos totales de operación son minimizados sujeto a satisfacer las restricciones de modelamiento, las limitaciones técnicas de plantas térmicas e hídricas y satisfacer las restricciones de carga. Las restricciones de carga incluyen restricciones de demanda de clientes de energía eléctrica mas restricciones de reserva rotante. Las restricciones de reserva rotante nos dan un nivel de seguridad

9.3.3.1. HORIZONTES DE ESTUDIO.

a) NUMERO DE HORIZONTES. Llamaremos como periodo de estudio a todo el horizonte de la demanda como puede ser 24 horas o una semana. PERIODO U HORIZONTE

20 18 16

POTENCIA MW

14

SUBPERIODO

12 10 8 6 4

2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

HORAS

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Numero de subperiodos del horizonte de estudio

t  1,...,T

(un día, 24 subperiodos)

El horizonte de estudio, viene a ser la suma de todos los subperiodos de estudio. HOREST   t HOREST: Horizonte de estudio dividido en t subperiodos

Un horizonte de 24 horas puede ser suficiente, pero frecuentemente es necesario un horizonte mas largo, como una semana

b) NUMERO DE CENTRALES DISPONIBLES PARA EL ESTUDIO El número de centrales tanto térmicas son aquellas que están entrar en operación y no estén en otra restricción técnica distinta a operativas de las unidades Numero de centrales hídricas

j  1,..., NCH Donde: j: plantas hidráulicas NCH: Numero de centrales hidráulicas

hidráulicas como disponibles para mantenimiento u las restricciones

Numero de centrales térmicas

i  1,..., NCT Donde: i: plantas térmicas o grupos NCT: Numero de centrales térmicas

9.3.3.2. FUNCIONES Y RESTRICCIONES DEL SISTEMA TERMICO. Las restricciones que se tomarán en cuenta son parte de los modelos que se estudiaron, no son tomados todos en cuenta, solamente los más importantes, a mayor número de restricciones mayor será la restricción límite de operación de cada una de las centrales térmicas. a) ESTADOS DE ENCENDIDO APAGADO.

Se tendrán en cuenta variables de estado (ON-OFF) del sub-periodo actual. Una cierta central i esta encendida en el periodo t si Ui(t)=1 y apagada si Ui(t)=0

0  Apagado Ui(t) 1  Encendido

b) ESTADOS DE ENCENDIDO APAGADO CONTINUO El estado de periodos de tiempo consecutivos que la central ha estado encendida o apagada en forma continua desde que se encendió o se apago esta dada por:

 0, apagada Si(t)   0, encendida La función se actualiza recursivamente mediante los valores de Si(t-1) y Ui(t) de acuerdo a la siguiente formula

Si(t - 1) - 1, si Si(t - 1)  0 y Ui(t)  0 - 1 , si Si(t - 1)  0 y Ui(t)  0  Si(t)  , si Si(t - 1)  0 y Ui(t)  1  1 Si(t  1)  1, si Si(t - 1)  0 y Ui(t)  1 Este estado esta asociado al arranque y parada de las centrales

c) LA FUNCION DE COSTO EXPLOTACION Los costos de operación de las centrales térmicas se dividen en costos fijos y costos variables. Los costos variables son básicamente costos de combustible y dependen del tipo de combustible y el rendimiento de la maquina.

El consumo de combustible o calor Hi(Pi) se miden en unidades de calor [Kcal/h] o [Mbtu/h] y la curva de consumo de calor se modela frecuentemente por una función de segundo grado de P. 2   Hi Psi  Ai  Bi Psi  Ci Psi

Donde: Hi(Psi) Curva de consumo de calor en MBtu/h Psi Potencia generada en MW Ai Constante de costo fijo en MBtu/h Bi Constante costo variable MBtu/MWh Ci Constante costo variable MBtu/MW2h

Costo de combustible: Depende del tipo de combustible

Fi ( Psi )  PCi( Ai  Bi Psi  Ci Psi2 ) Donde: PCi Precio del combustible de la unidad i en $/Mbtu Fi(Psi) Funcion de costo de combustible en $/h Esta función objetivo tiene las siguientes características:

• Indica cuanto cuesta producir 1 MWh • Es función no lineal (cuadrática) de la potencia generada por dicha central • Aumenta con la potencia generada de forma cuadrática debido a los costos de los servicios auxiliares. • Esta curva también llamada característica de entrada salida es una curva ideal, continua y convexa

La función de costo de explotación F de la central i al nivel P, es aproximada por una función cuadrática convexa de P. Esta función expresa el costo total de combustible y del mantenimiento asociado a cada nivel posible en el rango de operación de la central. Se considerará que el costo de operación vale 0 si la central esta funcionando en vació. La función objetivo de costo de explotación es igual al costo total de abastecer la carga total, esta función esta expresada en función de los subperíodos del horizonte ,el cual esta dado por:

 Ai  BiPs i t   CiPs i t 2 Fi Psi t    0 

Fi(Psi(t)) i Ai Bi ($/MWh). Ci

si Pi min  Psi t   Pi max otro caso

Costo de generación o producción de la unidad i($/h). Número de unidad generadora del sistema. Parámetros de costo fijo de la unidad i en ($/h). Parámetros de costo variable de la unidad i en Parámetros de costo variable de la unidad i en ($/MW2h).

Los costos de arranque y parada se incluyen a la función objetivo aunque esta no depende de la potencia producida con lo cual no es parte de la optimización de la función objetivo, pero si se toma en cuenta el costo cuando esta entra en operación o sale.

Fi $/h

1 hora Costo variable

Costo fijo

Ai Pmini

Pmaxi

Psi MW

d) COSTO DE ARRANQUE Se incurre en un costo de arranque CAi(t) , cuando el estado de la central i cambia de cero a uno (Si(t-1)0 y Ui(t)=0). En nuestro caso, el costo de parada es un valor fijo e independiente del tiempo que la central ha estado encendida. Las funciones asociados a estos costos en el modelo de actuar o dejar de actuar de estos costos es la siguiente.

si en el subperiodo actual es 1 entonces su valor sera cero Uit  11  Uit  si en el subperiodo actual es 0 entonces su valor sera 1 Si la central en subperíodo actual esta encendida no se afecta con el costo de parada, en cambio si esta parada en el periodo actual y estuvo encendida en el periodo anterior si se afecta con el costo de parada.

f) FUNCION DE COSTO TOTAL DE EXPLOTACION En función de los sub-períodos y el número de centrales con la adición del costo de arranque y de parada. N

T

FC   Uit Fi Psit   Uit 1  Uit  1CAi t   Uit  11  Uit CPi)  i 1 t 1

Donde: FC i N t T

costo total de generación o de producción del sistema($/h). unidades térmicas. número de unidades generadoras del sistema. subperíodo de trabajo. número total de subperíodos llamado horizonte de trabajo.

Fi Psit   Ai  Bi Psit   Ci Psit 

2

Fi(Psi(t)) i Ai Bi Ci CAi(t) CPi Ui(t) en 0/1.

Costo de generación o producción de la unidad i($/h). Número de unidad generadora del sistema. Parámetros de costo fijo de la unidad i en ($/h). Parámetros de costo variable de la unidad i en ($/MWh). Parámetros de costo variable de la unidad i en ($/MW2h). Costo de arranque de la unidad i en el subperíodo t. Costo de parada de la unidad i. Estado de la unidad encendido apagado en el subperíodo t

g) LIMITES DE LAS UNIDADES DE GENERACION.

La potencia generada por una central esta limitada por su potencia máxima nominal y su mínimo técnico.

Ui(t)Psi

min

 Psi(t)  Ui(t)Psi

max

i  1,..., N j  1,...,T

h) MINIMO TIEMPO DE ENCENDIDO Y APAGADO. Arrancar y parar una central con demasiada frecuencia da lugar a costos excesivos, ya sean simplemente costos de arranque/parada o bien costos de mantenimiento debido al estrés térmico. Es muy común especificar restricciones sobre el numero de periodos de tiempo en que una central debe estar encendida (apagada), una vez que arranco (paro). A este valor se denomina mínimo tiempo de encendido (apagado). Denominamos el mínimo tiempo de encendido de una central i como tui y el mínimo tiempo de apagado como tdi en horas.

Las condiciones son que deben cumplirse las inecuaciones para que se cumpla la restricción.

encendido  (Si(t - 1) - tiu )(Ui(t - 1) - Ui(t))  0

t  1,...,T

apagado  (Si(t - 1) - tid )(Ui(t) - Ui(t - 1))  0

t  1,...,T

i) LIMITES DE RAMPAS. La potencia generada por el generador no se puede variar como quisiéramos, debemos respetar su limite de rampa de subida rsi en MW y su limite de bajada rbi en MW

rampa de subida  Psi( t )  Psi( t  1)  ris rampa de bajada  Psi( t )  Psi( t  1)  rib

j) OTRAS RESTRICCIONES.

t  1,...,T t  1,...,T

Se tiene otras restricciones que no serán tomadas en cuenta en la solución del algoritmo tales como: • Limite máximo de producción de energía • Máximo y mínimo de consumo de combustible • Limite de emisión de ciertas partículas

k) FUNCION OBJETIVO DE LAS UNIDADES TERMICAS El problema de programación horaria de centrales térmicas puede ser formulado matemáticamente como sigue:

Fi ( Psi(t ))  Ai  Bi Psi(t )  Ci ( Psi(t ))2 N

T

FC   Ui t Fi Psit   Ui t 1  Ui t  1CAit   Ui t  11  Ui t CPi )

min

i 1 t 1

N

sujeto

a

Uit Psit   P

D

i 1

t 

N

t  1,...,T

 Ui t r Psit   Rt 

t  1,...,T

Ui t Pimin  Psit 

t  1,...,T ; i  1,..., N

Ui t Pimax  Psit 

t  1,...,T ; i  1,..., N

i 1

i

Sit - 1 - t  Uit - 1  Ui t   0 Sit - 1 - t  Uit   Ui t  1  0 u i

t  1,...,T ; i  1,..., N

d i

t  1,...,T ; i  1,..., N

Psit  - Psit - 1  ri s

t  1,...,T ; i  1,..., N

Psit - 1 - Psit   rib

t  1,...,T ; i  1,..., N

Ui0 , Si0 , Psi0  dados

i  1,..., N

9.3.3.3. FUNCIONES Y RESTRICCIONES DEL SISTEMA HIDRAULICO Las restricciones que se tomaran en cuenta son parte de los modelos que se estudiaron, no son tomados todos en cuenta, solamente los mas importantes. a) ESTADOS DE ENCENDIDO APAGADO.

Se tendrán en cuenta variables de estado (ON-OFF) del sub-periodo actual. La variable 0/1 indica la condición en la que se encuentra la central j en el periodo t. Una cierta central j esta encendida en periodo t si Jj(t)=1 y apagada si Jj(t)=0

0  Apagado J j (t) 1  Encendido

b) FUNCION DE POTENCIA PRODUCIDA Diferentes modelos han sido utilizados para modelar la potencia producida de los hidrogeneradores como una función del caudal, altura y otras variables de los muchos modelos se utilizan generalmente simples, los cuales ignoran dependencia de altura y no linealidad

Así se tiene en función del caudal turbinado y la altura neta:

Ph j  f(q j , HN j ) En la cual se toman en cuenta las perdidas por altura, las cuales son una función del caudal turbinado. También es posible expresar como una función de descarga del reservorio y variables de almacenamiento (es decir el nivel superior adyacente y el nivel de reservorio aguas abajo).

Ph j  f(q(t) j ,V j (t),V j (t  1))

La potencia producida en función del caudal turbinado y las constantes propias de cada central asociado a la potencia y al caudal se define:

Donde: Phj Qj Ahj Bhj i

Ph j  Ah j  Bh j * Q j

Potencia generada en MW Caudal turbinado en m3/seg Constante asociado a la central j Constante asociado a la central j Numero de central

c) LIMITE DE POTENCIA DE GENERACION. Los limites de potencia de generación estarán expresados en MW donde la generación mínima es potencia generada mínima técnica (cercana a cero) y la potencia máxima es la potencia efectiva neta de la central min i

Ph

 Phi  Ph

max i

: MW

d) LIMITES DE CAUDALES

Los limites de caudales turbinados son expresados en m3/seg, estos caudales estarán relacionados con la función de producción y los limites min max 3 de potencia.

Qj

 Qj  Qj

: m /seg

e) LIMITES DE ALMACENAMIENTO

Viene a ser los limites del reservorio asociado a la central, si es una central de pasada estos valores son cero, están dados en metros cúbicos. min max 3

Vj

 Vj  Vj

:m

f) INFLUJOS DE CAUDAL

Los influjos de caudal, son los aportes naturales o artificiales al embalse o directamente a la central si es que este es una central de pasada. max q min  q  q j j j

: m3 /seg

g) ALMACENAMIENTO INICIAL Y FINAL (RESTRICCIONES DE HORIZONTE) Son los volúmenes iníciales y finales de la programación del reservorio, estos volúmenes son dados por el despacho hídrico del mediano plazo programado para la programación diaria o semanal.

Vini  V fin h)

: m3

TIEMPO CARACTERISTICO ENTRE (RESTRICIONES DE DEPENDENCIA)

EMBALSES

El tiempo de llegada de agua de una central de embalse a otra central de embalse estará dado en horas

TcE  cte

: h (horas)

9.3.3.4. RESTRICCIONES DEL SISTEMA a) DE BALANCE DE POTENCIA.

La principal restricción en la operación del sistema es que la suma de las potencias generadas sea igual al consumo más las perdidas NCT

NCH

i 1

j 1

  PD t   Ui t Psit    J j t Ph j t   0

t  1,...,T

Considerando las NCT NCH perdidas   PD t   Pp ( t )  Ui t Psit    J j t Ph j t   0 i 1

t  1,...,T

j 1

Donde: PD(t) : Potencia demandada por la carga del sistema en el periodo t. Psi(t) : Potencia generada por la unidad i en el subperíodo t. Phj(t) : Potencia generada por la unidad j en el subperiodo t

b) RESERVA ROTANTE La reserva rotante esta dada por las potencias máximas de las unidades encendidas, la misma que deberá ser mayor a la suma de la demanda y la reserva del sistema que es un porcentaje generalmente 3-5% de la demanda. También deben cumplir con los limites de rampa. N

Uit r Psit   Rt  i

i 1

t  1,...,T

Siendo R(t) es el requerimiento de reserva del sistema en la hora t en MW y



ri Psit   min Psi max  Psit , ri s Nota:

ris  Psi max  Psi t ,



i  1,..., N

ri s : rampa de subida en MW Entonces esta inecuación puede ser escrita como N

max   Ui t Psi  PD t   Rt   i 1

t  1,...T

9.3.4. ALGORITMO DE SOLUCION. 4.3.4.1. DEFINICION DEL PROBLEMA.

El problema consiste en determinar el estado de acoplamiento / desacoplamiento de cada grupo y su producción en cada hora tal que: • Se satisfaga la demanda • Se cumpla las restricciones de seguridad(reserva rotante). • Se satisfaga el resto de restricciones asociadas a las centrales térmicas • Se satisfaga el resto de restricciones asociadas a las centrales hidráulicas • Y el costo de explotación arranque y parada sea mínimo

HORIZONTE DE ESTUDIO O PERIODO • Un día hora a hora (24 horas) • Una semana hora a hora (168 horas) • Una semana sub-periodo a sub-periodo (3 a 5 horas por sub-periodo)

9.3.4.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. Este tipo de problemas de programación horaria es un problema combinatorio. Este problema combinatorio esta sujeto a varias restricciones del sistema y de las centrales térmicas e hidráulicas El problema consiste en:

MINIMIZAR: costos de explotación + costos de arranque costo de parada SUJETO A: -RESTRICCIONES DE CARGA: • Restricciones de demanda • Restricciones de reserva rotante -RESTRICCIONES ASOCIADAS A LAS CENTRALES TERMICAS • Limites de generación • Tiempo mínimo de funcionamiento • Tiempo mínimo de parada • Centrales siempre acopladas • Rampas máximas (de subida, de bajada) -RESTRICCIONES ASOCIADAS A LAS CENTRALES HIDRICAS • Limites de generación • Limites de caudales • Limites de almacenamiento • Limites de dependencias entre centrales (multiembalse) • Limites de volumen inicial y final de horizonte.

+

• La técnica que determina la solución de un problema de optimización general denominado problema primal, mediante la resolución de un problema alternativo de mas fácil solución es denominado problema dual • El problema de la coordinación hidrotérmica en el corto plazo, no es convexo. • Las restricciones de carga, ligan las unidades de los sistemas térmicos con las restricciones que complican la resolución del problema. • La solución óptima del problema dual no coincide con la solución óptima del problema primal, y puede resultar infactible , para el problema primal.

• A las restricciones del sistema(demanda y reserva rotante) se incorporan la función objetivo mediante multiplicadores de Lagrange ( λ y μ respectivamente) para formar la función Lagrangiana, la cual es separable por central. • Basado en la teoría de la dualidad, el método de relajación Lagrangiana busca aquellos valores de los multiplicadores de Lagrange, que maximicen la función objetivo del problema dual. • Si el problema es no convexo, la solución óptima del problema dual no coincide con la solución óptima del problema primal, la diferencia entre ambos se denomina agujero de dualidad. • Si la solución óptima del problema dual no coincide con la solución óptima del problema primal, puede ser in factible para el problema primal.

• La solución del problema dual constituye un buen punto de partida para resolver el problema primal. • El óptimo de la función Lagrangiana, es un limite inferior del valor óptimo de la función objetivo del problema primal, por la relajación de las restricciones. 9.3.4.3. FASES DEL ALGORITMO RELAJACION LAGRANGIANA.

Las fases para la resolución del compromiso de unidades por el método de relajación Lagrangiana son: FASE 1: RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DUAL. FASE 2: BÚSQUEDA DE FACTIBILIDAD DEL PROBLEMA PRIMAL. FASE 3: DESPACHO ECONÓMICO MULTI – PERIODO.

FASE 1: RESOLUCION DEL PROBLEMA DUAL. 1. Inicialización de los multiplicadores. 2. Resolución del problema primal relajado descompuesto (1 subproblema por central) 3. Actualización de los multiplicadores (resolución del problema dual relajado). Método del subgradiente. 4. Si hay convergencia parar, de lo contrario ir al paso 2 PASO 1: PROBLEMA PRIMAL “PP”.

El problema primal es la minimización de la función objetivo sujeto a las restricciones. El problema primal tiene las siguientes características: • Si el problema primal es convexo, la solución del dual y del primal coinciden. • Si el problema primal no es convexo la solución del primal es próxima a la solución del dual a la diferencia se le llama agujero de dualidad, el optimo del dual es una cota inferior del óptimo primal.

PROBLEMA PRIMAL (PP)

Las restricciones de complicación son de demanda y reserva rotante. Este es un problema de déficit de resolución (contiene restricciones de complicación)

PASO 2: FUNCION LAGRANGIANA (FL)

Relajando la función objetivo las restricciones de complicación como la demanda y la reserva rotante.

PROBLEMA DUAL

PROBLEMA PRIMAL RELAJADO (PPR) Es un problema de fácil resolución para λ y μ dado que carece de restricciones de complicación.

Se ha descompuesto en la suma de: Un subproblema por cada central térmica. Un subproblema por cada cuenca hidráulica.  Cada subproblema térmico e hídrico es de pequeña dimensión lo que permite modelar en detalle el funcionamiento de cada

central.  Dado el reducido tamaño de cada subproblema se pueden aplicar con éxito técnicas de programación dinámica o de programación lineal entera- mixta.

SUBPROBLEMA ASOCIADO A LA CENTRAL TÉRMICA i . MÍNIMO DEL PROBLEMA PRIMAL DESCOMPUESTO (MPPD)

Lo cual puede ser expresado como:

• Cada sub-problema térmico es de pequeña dimensión lo que permite modelar en detalle el funcionamiento de cada central. • Dado el reducido tamaño de cada sub-problema se pueden aplicar con éxito técnicas de programación dinámica o de

programación lineal entera mixta o técnicas de programación no lineal. • En nuestro caso por ser variables de cuadráticas, usaremos técnicas del gradiente.

SUBPROBLEMA ASOCIADO A LA CUENCA HIDRAULICA j MÍNIMO DEL PROBLEMA PRIMAL DESCOMPUESTO (MPPD)

• El subproblema asociado a cada cuenca hidráulica presenta estructura de red • Existen técnicas de programación lineal y no lineal que resuelven de forma muy eficiente problemas de este tipo.

• Para resolver problemas de centrales sin estructura de red(sin interconexión hídrica) se puede usar técnicas como programación lineal entera mixta u otros métodos de programación lineal. • Para resolver problemas con centrales de estructura de red(interconexión hídrica o multiembalses) es mejor aplicar técnicas de programación lineal en redes. NOTA: A menudo ocurre que las restricciones de un determinado problema de programación lineal están íntimamente relacionados con una red. Esto es así por ejemplo, cuando se establecen ecuaciones de continuidad del agua en una red hidráulica de embalses destinada entre otros fines a la producción electricidad. Estas restricciones de red hacen que la matriz del problema lineal asociado presente una estructura especial. Esta estructura puede aprovechar ventajosamente, empleando versiones especializadas del algoritmo simplex que permiten reducir el tiempo de cálculo en dos ordenes de magnitud con respecto al tiempo de cálculo requerido, para resolver un problema de programación lineal sin estructura de red.

Sin embargo, muy a menudo la matriz de restricciones no presenta una estructura de red pura. Esto es la mayoría de las restricciones tienen estructura de red pero no todas. En este caso puede ser ventajoso el empleo de técnicas de descomposición como la propuesta por Dantzig y Wolfe.

Descomposición del problema de coordinación hidrotérmica

1. 2. 3.

4. 5.

INTERPRETACION ECONOMICA. Un coordinador, fija precios horarios(uno por hora) para el día que se esta planificando. El precio horario es el precio al que se paga a cada generador , en MWh producido. Cada generador térmico de forma independiente planifica su producción, respetando sus restricciones, para maximizar su beneficio. Las centrales de cada cuenca hidroeléctrica, panifican conjuntamente su producción, respetando las restricciones de la cuenca y de cada central para maximizar su beneficio. El coordinador, determina para cada hora el déficit(costo de falla) o superávit de producción. El coordinador, modifica los precios horarios de forma proporcional al déficit / superávit de producción.

Algoritmo de resolución de la fase 1

FASE 2: BUSQUEDA DE FACTIBILIDAD, EN RESERVA ROTANTE DEL PROBLEMA PRIMAL. 1. Se congelan los multiplicadores asociados a las restricciones de demanda (λ). 2. Se varían, lo mínimo posible, los multiplicadores asociados a las restricciones de reserva rodante (μ) hasta conseguir la factibilidad. 3. Al final de esta fase, las variables de acoplamiento quedan fijadas.

Algoritmo de resolución de la fase 2

FASE 3: DESPACHO ECONOMICO 1. Se deciden las producciones de los grupos generadores. 2. Algoritmo de despacho económico con las variables de acoplamiento obtenidos en la fase 2. 3. Despacho térmico. 4. Despacho térmico (la producción hidráulica es decidida en la fase 2)

9.3.4.4. COORDINACION HIDROTERMICA SIN PERDIDAS. Para la solución de la coordinación hidrotérmica sin considerar las pérdidas, se tendrá un diagrama de flujo en el cual consideren los subperiodos de la demanda horaria y teniendo en cuenta las factibilidades de despacho hídrico y de compromiso de unidades térmicas.

9.3.4.5. COORDINACION HIDROTERMICA CON FLUJO DE POTENCIA.

Para la solución de la coordinación hidrotérmica considerando las pérdidas del sistema, se tendrá en cuenta el flujo de potencia en cada iteración para determinar las pérdidas totales del sistema, el mismo que será añadida a la demanda del sistema como carga.

EJEMPLO DE APLICACIÓN.

El siguiente ejemplo simulará un despacho económico con dos unidades sujetos a restricciones de demanda(igualdad) y restricciones de generación(desigualdad). Sea las dos funciones:

El problema es:

Representación grafica de la función objetivo

Aplicando relajación lagrangiana se relaja la restricción de complicación

PASO 1: Determinación de un valor inicial para el multiplicador. Por ejemplo sea λ= 1.

PASO 2: Resolución del problema primal una vez fijado el valor de λ a 1 esto es:

Este problema se descompone en dos subproblemas:

Reemplazando λ=1

La solución de cada uno de estos subproblemas se hará respectivamente con el método del gradiente:

x=5 y=2 PASO 3: Actualización del multiplicador, esto es usando el método del subgradiente

Puesto que el multiplicador cambia (de 1 a 24), se vuelve al paso 2.

PASO 2: Resolución del problema primal una vez fijado el valor de λ a 24 esto es

Este problema se descompone en dos subproblemas:

Reemplazando λ=24

La solución de cada uno de estos subproblemas se hará respectivamente con el método del gradiente:

PASO 3: Actualización del multiplicador, esto es usando el método del subgradiente:

Puesto que el multiplicador cambia (de 24 a 42), se vuelve al paso 2.

Evolución del algoritmo de Relajación lagrangiana