Potencia

Ejemplos 1. Un estudiante de 800N sube corriendo un tramo de escaleras y asciende 6 m en 8 s. ¿Cuánta es la potencia media que ha desarrollado?

P

Fs Wh (800 N)(6 m)  ; P= r t 8s

P = 600 W 2. Una lancha de carrera debe desarrollar 120 hp para desplazarse a una rapidez constante de 15 ft/s sobre el agua. ¿Cuál es la fuerza media de resistencia que puede atribuirse al agua?

 550 ft lb/s  P  (120 hp)    66,000 ft lb/s; P  Fv  1 hp  P 66, 000 ft lb/s F  v 15 ft/s F = 4400 lb 3. Hallar el peso que puede arrastrar un vehículo de 6 HP de potencia sobre un terreno horizontal a la velocidad de 25 km/h sabiendo que el coeficiente de roce entre el peso y el terreno es igual a 0,2. P = 6 HP = 4.476 W v = 25 km/h = 6,944 m/s μ = 0,2

Como la velocidad del vehículo es constante, entonces la fuerza resultante es nula, esto significa que la fuerza motriz es equivalente a la fricción, por lo tanto

Ese es el peso del vehículo más su carga. 4. Una carreta, que transporta a un hombre de 80 kg, es arrastrada sobre un camino horizontal por una mula que ejerce una fuerza de 245 N. Suponiendo que la velocidad de la carreta es de 3 m/s, calcular: a) la potencia realizada por el peso del hombre, b) la potencia realizada por la fuerza de arrastre de la mula. m = 80 kg F = 245 N v = 3 m/s a) El hombre se mueve junto a la carreta, es decir, en forma horizontal, y su peso es perpendicular al desplazamiento, por lo tanto el trabajo que realiza el peso de la persona es nulo, y – en consecuencia – la potencia del peso de la persona sería también nulo, ya que P = W/t = 0/t = 0 W b) P = Fv = 245 N x 3 m/s = 735 W 5. Sabiendo que la potencia del motor de un automóvil que marcha sobre una carretera horizontal a una velocidad de 50 km/h es de40 HP, calcular la fuerza de resistencia total ejercida por el aire y el rozamiento. v = 50 km/h = 13,89 m/s P = 40 HP = 29.840 W

Si se mueve con velocidad constante, entonces la fuerza ejercida por el motor del automóvil compensa el efecto del roce, entonces:

(Esta fuerza sería negativa debido a que es la de fricción) 6. Calcular el peso de un automóvil de 40 HP de potencia que marcha por una carretera horizontal a una velocidad de 50 km/h, sabiendo que el coeficiente de roce entre el vehículo y la carretera es igual a 0,15. P = 40 HP = 29.840 W v = 50 km/h = 13,89 m/s µ= 0,15 Si se mueve con velocidad constante, entonces la fuerza ejercida por el motor del automóvil compensa el efecto del roce, entonces: P = Fv F = P/v = 29.840 W / 13,89 m/s = 2.148,48 N Y, como esta fuerza de roce f = F es f = µN = µmg, por estar en una carretera horizontal, se tiene que mg = f/µ= 2.148,48 N / 0,15 = 14.332,2 N

7. Un estanque, cuya capacidad es de 2000 litros, está situado a 6 m de altura de un depósito. Una bomba elevadora funcionando durante 20 min llena completamente el estanque. a) ¿Cuál es el peso del agua subido por la bomba?, b) ¿Cuál fue el trabajo realizado por la bomba para elevar el agua hasta el estanque?, c) ¿Qué energía adquiere el agua?, d) ¿Cuál es la potencia desarrollada por el motor de la bomba para realizar el trabajo? 3 V = 2.000 l = 2 m d=6m t = 20 min = 1.200 s 3 ρ= 1.000 kg/m m = ρV 3

3

2

a) mg = ρVg = 1.000 kg/m x 2 m x 9,8 m/s = 19.600 N b) W = Fd = mgd = 19.600 N x 6 m = 117.600 J c) La energía que adquiere es la potencial gravitatoria 6 m de altura, por lo tanto es U = mgh = 19.600 N x 6 m = 117.600 J d) P = W/t = 117.600 J / 1.200 s = 98 W 8. Suponga que un coche compacto tiene un rendimiento de combustible de 35 mi/galón a 60 mi/hora. ¿Cuánta potencia es entregada a las ruedas? Es necesario encontrar el consumo de galones/hora y esto se consigue dividiendo la rapidez del auto entre el rendimiento de la gasolina.

Consumo de gasolina = 1,71 galones/hora 8

Si usamos el hecho de que cada galón es equivalente a 1,34 * 10 Julios. La potencia total empleada es:

Debido a que usa el 18 % de la potencia para impulsar el coche, la potencia entregada a las ruedas es: Potencia entregada = 0,18 * 61904,76 W = 11,142 W 9. Considere un coche de masa m que está acelerando al subir una cuesta, como se ve en la figura. Un ingeniero de automotores mide la magnitud de la fuerza resistiva total, que es: 2 Ft = (218 + 0,7 v ) Newton Donde “v” es la rapidez en metros por segundo. Determine la potencia que el motor debe entregar a las ruedas como función de la rapidez

ΣFx = m a F – Ft – m g sen θ= m a F = m a + m g sen θ+ Ft 2 F = m a + m g sen θ+ (218 + 0,7 v ) Por lo tanto, la potencia necesaria para mover el coche es: P=F*v 2 P = m a + m g sen θ+ (218 + 0,7 v )* v 3 P = m v a + m v g sen θ+ 218 v + 0,7 v m v a = Representa la potencia que el motor debe entregar para acelerar el coche. Si el coche se mueve a velocidad constante, este término es cero. Por lo tanto la potencia total para mover el coche disminuye. mvg senθ = Es la potencia que se requiere suministrar a la fuerza para equilibrar un componente de la fuerza gravitacional, cuando el coche sube por la cuesta. Si el coche se mueve por una superficie horizontal, este término es cero, por que θ = 0. Por lo tanto la potencia total para mover el coche disminuye. 218 v = Es la potencia necesaria para suministrar una fuerza que equilibre la fuerza de rodamiento. 3 0,70 v = Es la potencia necesaria contra la resistencia del aire Datos: m = 1450 kg. v = 27 m/seg 2 a = 1 m/seg θ = 10

Haga los cálculos, para velocidad constante, y una superficie horizontal: Porque la velocidad es contante, entonces la aceleración es cero.

Por lo tanto, la potencia necesaria para mover el coche es:

10. Un coche compacto de 900 kg de masa tiene una eficiencia total del motor del 15 %. (Esto es 15 % de la energía suministrada por combustible se entrega a las ruedas).

8

a) Si consumir un galón de gasolina produce 1,34 * 10 J de energía, encuentre la cantidad de gasolina empleada al acelerar desde el reposo a 55 mi/hora. Aquí se puede hacer caso omiso de los efectos de la resistencia del aire y la fricción de rodamiento. b) ¿Cuántas de estas aceleraciones suministrara un galón? C) El recorrido en millas dado por el coche es 38 mi/galón a 55 mi/hora. ¿Qué potencia es entregada a las ruedas (para superar los efectos de fricción) cuando el coche es conducido a esta rapidez? Solución: La energía necesaria para acelerar el coche desde el reposo a una rapidez v = 55 mi/hora. Es igual a su energía cinética final

8

Si el motor fuera 100 % eficiente, cada galón de gasolina suministraría 1,34 * 10 J de energía.

Esta es la energía que se le entrega a las ruedas cuando el auto consume 1 galón de gasolina. Con este dato hallamos cuanta gasolina se necesita para desplazar el coche.

0,013526 galones de gasolina se necesitan para acelerar el coche desde reposo hasta 24,58 m/seg. b) ¿Cuántas de estas aceleraciones suministrara un galón?

C) El recorrido en millas dado por el coche es 38 mi/galón a 55 mi/hora. ¿Qué potencia es entregada a las ruedas (para superar los efectos de fricción) cuando el coche es conducido a esta rapidez? Es necesario encontrar el consumo de galones/hora y esto se consigue dividiendo la rapidez del auto entre el rendimiento de la gasolina 8

Si usamos el hecho de que cada galón es equivalente a 1,34 * 10 julios La potencia total empleada es:

Debido a que usa el 15 % de la potencia para impulsar el coche, la potencia entregada a las ruedas es: Potencia entregada = 0,15 * 53600 W = 8040 W Potencia entregada = 8,040 kW

11. Hallar la potencia que desarrolla el motor mostrado para que levante al bloque de 20 N con velocidad constante en 2 s una altura de 4 m.

Solución:

12. Hallar la potencia útil que dispone un motor si se le entregan 10 kW de potencia y su eficiencia es de 75%. Solución:

13. El motor de una lancha tiene una potencia de 100 kW; si su eficiencia es el 40% ¿Cuánto es la resistencia del agua?. Si la lancha se mueve con velocidad constante de 18 km/h. Solución: Analizando la eficiencia del motor:

Analizando la potencia útil

Analizando las fuerzas. Como la velocidad de la lancha es constante:

14. Un estanque, cuya capacidad es de 2000 litros, está situado a 6 m de altura de un depósito. Una bomba elevadora funcionando durante 20 min llena completamente el estanque. a)¿Cuál es el peso del agua subido por la bomba?, b) ¿Cuál fue el trabajo realizado por la bomba para elevar el agua hasta el estanque?, c) ¿Qué energía adquiere el agua?, d) ¿Cuál es la potencia desarrollada por el motor de la bomba para realizar el trabajo?

Datos: V = 2.000 l = 2 m3 d=6m t = 20 min = 1.200 s ρ= 1.000 kg/m3 m=ρV

3

3

2

a) mg = _Vg = 1.000 kg/m x 2 m x 9,8 m/s = 19.600 N b) W = Fd = mgd = 19.600 N x 6 m = 117.600 J c) La energía que adquiere es la potencial gravitatoria a 6 m de altura, por lo tanto es: U = mgh = 19.600 N x 6 m = 117.600 J d) P = W/t = 117.600 J / 1.200 s = 98 W

15. Un camión cargado y un pequeño automóvil se mueven con la misma energía cinética. a) La velocidad del automóvil, ¿es mayor, menor o igual a la del camión?, b) El trabajo que debe realizarse para detener el automóvil, ¿es mayor, menor o igual que el que debe hacerse para parar el camión?, c) Si ambos fueran frenados por medio de fuerzas del mismo valor, la distancia recorrida por el automóvil hasta parar, ¿será mayor, menor o igual a la recorrida por el camión?, d) el trabajo necesario para detener los vehículos, ¿dependerá del valor de la fuerza aplicada para frenarlos? a) El automóvil seguramente tiene menor masa que el camión, por lo tanto si ambos tienen la misma energía cinética el automóvil debe tener mayor velocidad que el camión. b) El trabajo para detener al automóvil es el mismo que hay que hacer para detener el camión, debido a que ambos tienen la misma energía cinética. c) Si se frenan con fuerzas del mismo valor, recorren la misma distancia hasta que se detienen ya que el trabajo que se hace para detenerlos es el mismo en cada caso. d) Si no se sabe si recorren la misma distancia para detenerse, es altamente probable que al camión hay que ejercerle una mayor fuerza, con los frenos, para detenerlo debido a su mayor “inercia” (que depende de su masa). 16. Calcular el peso de un automóvil de 40 HP de potencia que marcha por una carretera horizontal a una velocidad de 50 km/h, sabiendo que el coeficiente de roce entre el vehículo y la carretera es igual a 0,15. Datos: P = 40 HP = 29.840 W v = 50 km/h = 13,89 m/s μ = 0,15 Si se mueve con velocidad constante, entonces la fuerza ejercida por el motor del automóvil compensa el efecto del roce, entonces: P = Fv F = P/v = 29.840 W / 13,89 m/s = 2.148,48 N Y, como esta fuerza de roce f = F es f = μN = μmg, por estar en una carretera horizontal, se tiene que mg = f/μ = 2.148,48 N / 0,15 = 14.332,2 N 17. Sabiendo que la potencia del motor de un automóvil que marcha sobre una carretera horizontal a una velocidad de 50 km/h es de 40 HP, calcular la fuerza de resistencia total ejercida por el aire y el rozamiento. Datos: v = 50 km/h = 13,89 m/s P = 40 HP = 29.840 W Si se mueve con velocidad constante, entonces la fuerza ejercida por el motor del automóvil compensa el efecto del roce, entonces: P = Fv F = P/v = 29.840 W / 13,89 m/s = 2.148,48 N (esta fuerza sería negativa debido a que es la de fricción) 18. Una carreta, que transporta a un hombre de 80 kg, es arrastrada sobre un camino horizontal por una mula que ejerce una fuerza de 245 N. Suponiendo que la velocidad de la carreta es de 3 m/s, calcular: a) la potencia realizada por el peso del hombre, b) la potencia realizada por la fuerza de arrastre de la mula. Datos: m = 80 kg F = 245 N v = 3 m/s a) El hombre se mueve junto a la carreta, es decir, en forma horizontal, y su peso es perpendicular al desplazamiento, por lo tanto el trabajo que realiza el peso de la persona es nulo, y – en consecuencia – la potencia del peso de la persona sería también nulo, ya que P = W/t = 0/t = 0 W b) P = Fv = 245 N x 3 m/s = 735 W

19. Calcular la potencia que necesita una máquina para elevar una masa de 500 kg a una altura de 2 m en un minuto. Datos: m = 500 kg d=2m t = 1 min = 60 s P = W/t = Fd/t = mgd/t = 500 kg x 9,8 m/s2 x 2 m / 60 s = 163,33 W 20. Hallar la potencia media necesaria para elevar, por medio de un sistema de poleas cuyo rendimiento es del 75%, una masa de 300 kg a una altura de 6 m en 30 s. Expresar el resultado en caballos de vapor. Datos: m = 300 kg d=6m t = 30 s La potencia efectiva o neta es la que permite elevar el objeto, y esa es: P = W/t = Fd/t = mgd/t = 300 kg x 9,8 m/s2 x 6 m / 30 s = 588 W Pero esa potencia es el 75% de la potencia del sistema, por lo tanto la potencia del sistema es: P = 784 W = 1,065 CV (hay que recordar que 1 CV = 736 W) 21. Hallar la potencia media necesaria para elevar un bidón de 1500 kg a una altura de 15 m en un minuto. Datos: m = 1.500 kg d = 15 m t = 1 min = 60 s F = mg P = W/t = Fd/t = mgd/t P = 1.500 kg x 9,8 m/s2 x 15 m / 60 s = 3.675 W 22. Un ascensor de 2 ton de masa se eleva desde la planta baja y cuando pasa por el cuarto piso, situado a una altura de 20 m, su velocidad es de 3 m/s. Suponiendo que la fuerza de rozamiento es constante e igual a 490 N, calcular el trabajo realizado por el mecanismo de elevación. Datos: m = 2 ton = 2.000 kg d = 20 m v = 3 m/s f = 490 N α = 0º En la figura se observa que la fuerza que ejerce el mecanismo de elevación es F = f + mg, deben ser iguales debido a que el ascensor sube con velocidad constante. F = 490 N + 2.000 kg x 9,8 m/s2 = 20.090 N W = Fd = 20.090 N x 20 m = 401.800 J 23. Hallar la resistencia media de un terreno sabiendo que un martillo de 2 kg, con una velocidad vertical de 6 m/s, introduce un clavo que penetra 30 mm. Datos: m = 2 kg vi = 6 m/s vf = 0 m/s d = 30 mm = 0,03 m hi = 0,03 m W = _K + _U = (Kf – Ki) + (Uf - Ui), como vf = 0 m/s, y suponemos hf = 0 m, se tiene: W = - Ki - Ui Fd = - Ki - Ui

F = (- Ki - Ui)/d F = (-mvi2/2 – mghi) F = (- 2 kg x (6 m/s)2/2 – 2 kg x 9,8 m/s2 x 0,03 m) / 0,03 m = 1.201,96 N 24. Una fuerza horizontal de 10 N impulsa a un cuerpo de 25 kg a lo largo de 30 m sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento cinético igual a 0,1. Hallar los trabajos realizados contra las fuerzas de rozamiento y de la gravedad. Indicar qué clase de energía adquiere el cuerpo. Datos: ma = 10 N m = 25 kg d = 30 m μ = 0,1

Si sobre el cuerpo actúa una fuerza resultante de 10 N, entonces se tiene F – f = ma, en donde F es la fuerza en contra del rozamiento, por lo tanto, su valor es: F = ma + f, y como f = μN, y el cuerpo al estar apoyado en una superficie horizontal, se tiene que N = mg, entonces f = μmg F = ma + μmg = 10 N + 0,1 x 25 kg x 9,8 m/s2 = 34,5 N Entonces, W = Fd = 34,5 N x 30 m = 1.035 J El trabajo contra la gravedad la realiza la fuerza normal, pero ella es perpendicular al desplazamiento, por lo tanto el trabajo que realiza esa fuerza es nulo. Y, como el cuerpo tiene una fuerza resultante mayor a cero, entonces acelera, y con ello aumenta su velocidad, por lo tanto adquiere energía cinética. 25. Un cuerpo de 1kg de masa se eleva a una altura de 5 m. Hallar el trabajo realizado y el aumento de su energía potencial. Datos: m = 1 kg hi = 0 m hf = 5 m d = hf - hi = 5 m F = mg α_ = 0º W = Fd = mgd = 1 kg x 9,8 m/s2 x 5 m = 49 J ΔU = Uf – Ui = mghf – mghi = mg(hf = hi) = 1 kg x 9,8 m/s2 x ( 5 m – 0 m) = 49 J 26. Un cuerpo de 0,5 kg de masa se desplaza con una velocidad de 1,2 ms_1 en la dirección del eje OX. Al pasar por el punto x =0 comienza a actuar sobre él una fuerza que varía con la posición como se indica en la gráfica. Calcula: a) El trabajo realizado por la fuerza entre las posiciones x = 0 y x =3. b) La energía cinética y la velocidad del cuerpo en la posición x = 3. c) El trabajo realizado por la fuerza entre las posiciones x= 0 y x= 6. d) La velocidad del cuerpo para x=6.

a) El trabajo equivale al área encerrada por la gráfica en cada caso:

b) Aplicando el teorema de las “fuerzas vivas” en la posición x = 3:

c) Se procede como en el apartado a):

d) Aplicando el teorema de las “fuerzas vivas” en la posición x = 3:

27. Dos pesas de 0,8 kg y 1,2 kg, inicialmente a la misma altura, penden de una cuerda que pasa por la garganta de una polea de masa despreciable. Calcula, mediante el principio de conservación de la energía, la velocidad de las pesas cuando su diferencia de alturas sea 90 cm. Tomando como origen de las energías potenciales la altura inicial de las pesas, la energía mecánica del sistema de las dos pesas en el instante inicial es:

Energía potencial de las pesas en el instante final:

Esta pesa tiene energía potencial negativa. La energía potencial final del conjunto de las dos pesas es:

La energía cinética final del conjunto de las dos pesas es:

La energía mecánica final del conjunto de ambas pesas es:

Como no se consideran los rozamientos, la energía mecánica se conserva: