Potencia Instantanea

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Circuitos Lineales II Sigla: Potencia en régimen permanente sinusoidal IE0309_Potencia.docx

Elaborado por:

Peter Zeledón Méndez

Revisado por:

3.

Fecha:

IE-0309

2009-04-15

Fecha:

Fuentes:

Hayt, William & Kemmerly, Jack. – “Análisis de circuitos en Ingeniería”, Mc Graw Hill, Sexta edición, 2002.

Lección

17-24

Horas Lectivas

8

Versión

2009-2A

POTENCIA INSTANTANEA

3.1. Potencia instantánea. La potencia instantánea está definida como la potencia entregada a un dispositivo (carga) en cualquier instante de tiempo y se expresa en la forma de la Ley de Watt.

pvi

p  iR   p  L i    v  v dt p  C v    i  i dt

3.2. Potencia promedio y valores efectivos en el cálculo de potencia. El valor promedio de una función debe especificarse en el intervalo sobre el cual se calcula dicho promedio, por lo que se tiene que:

 1 P  t  t  ptdt  y suponemos que la función o señal es periódica, o sea f t ftΤ se tendría que:  1 P  Τ  ptdt Ahora bien, si la señal de excitación es senoidal se tiene que:

vt  V cosωtθ it  I cosωt 1

Donde:

pt  V cosωtθ I cosωt  V I cosωtθ cosωt  V I 12 cosθ  12 cos2ωtθ pt  12 V I cosθ 12 V I cos2ωtθ Sustituyendo la expresión anterior se tiene que:

1 1 P  Τ 2 V I cosθ  12 V I cos2ωtθdt   1 1  Τ 2 V I cosθ t   Τ1 12 V I cosθ Τ  V2I cosθ P  V I cosθ,sean: V  V√ 2 y I  √ I2 3.3. Potencia total o aparente

Es el producto de la corriente y el voltaje, o la suma resultante de los vectores gráficos de la  potencia activa ó real y la potencia reactiva o imaginaria:

S  V I   P Q 3.4. Potencia real o activa

Es la que corresponde a la energía solicitada a la fuente y que desarrolla un trabajo, esta definida como:

P  I Vcosθ  Scosθ 2

3.5. Potencia imaginaria o reactiva

Es aquella que corresponde a la energía solicitada a la fuente y que utiliza para generar o formar los campos eléctricos y magnéticos, o sea, no produce trabajo, entiéndase que no se consume sino que se almacena durante un tiempo y se regresa a la fuente. 3.6. Relación potencia aparente, activa y reactiva

Una forma gráfica de comprender que es potencia aparente, activa y reactiva es con la siguiente analogía:

3

3.6.1. Triángulo de potencias

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3.7. Factor de potencia

Se define factor de potencia de un circuito de corriente alterna, como la de la potencia  promedio (P) respecto a la potencia aparente (S):

F.P PS  V IVcosθ I cosθ O bien como el coseno del ángulo que forman los fasores de la intensidad y el voltaje, designándose en este caso como cosφ, siendo φ el valor de dicho ángulo. El factor de potencia se puede ver como un índice de eficiencia energética, dado que  permite conocer la relación entre la energía solicitada a la fuente y la energía convertida en trabajo. De acuerdo con su definición, el factor de potencia es adimensional y solamente  puede tomar valores entre 0 y 1. Donde por la definición anterior cuanto más cercano sea el valor del factor de potencia a la unidad (1), más eficiente será el sistema. El valor del factor de potencia viene determinado por el tipo de cargas conectadas en una instalación, en el cual se puede observar que si un circuito es sólo resistivo la intensidad y la tensión están en fase (0°) y por lo tanto el factor de potencia la unidad. Por otro lado, en un circuito puramente reactivo, la intensidad y la tensión están en cuadratura (90º) siendo el valor del el factor de potencia igual a cero. En la práctica los circuitos no pueden ser puramente resistivos ni reactivos, observándose desfases, más o menos significativos, entre las formas de onda de la corriente y el voltaje. Así, si el factor de potencia está cercano a la unidad, se dirá que es un circuito fuertemente resistivo por lo que su factor de potencia es alto, mientras que si está cercano a cero que es fuertemente reactivo y su factor de potencia es bajo. Cuando el circuito sea de carácter  inductivo, caso más común, se hablará de un factor de potencia en retraso, mientras que se dice en adelanto cuando lo es de carácter capacitivo. Las cargas inductivas, tales como transformadores, motores de inducción y, en general, cualquier tipo de inductancia (tal como las que acompañan a las lámparas fluorescentes) generan potencia inductiva con la intensidad retrasada respecto a la tensión. Las cargas capacitivas, tales como bancos de condensadores o cables enterrados, generan potencia reactiva con la intensidad adelantada respecto a la tensión. 1

1

Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Factor_de_potencia

5

3.7.1. Cálculo del factor de potencia de una instalación Algunas instalaciones cuentan a la entrada con dos contadores, uno de energía reactiva (KVArh) y otro de energía activa (KWh). Con la lectura de ambos contadores podemos obtener el factor de potencia medio de la instalación, aplicando la siguiente fórmula:

F.PcosarctangkVArh kWh  Comportamiento de los aumentos de las tarifas eléctricas del sector residencial del ICE desde marzo 2001 hasta marzo 2009. (8 años): Tabla #1: Costo de tarifas eléctricas ICE2 FECHA

KWH

PRECIO EN DOLARES

PRECIO

BASE

mar-01

DE 000 A 200

¢ 18,90/KWH

$0,059

100

mar-01

DE 200 A 300

¢ 31,80/KWH

$0,099

100 INCREMENTOS

abr-04

DE 000 A 200

¢26,50/KWH

40,2%

abr-04

DE 200 A 300

¢47,60/KWH

49,7%

 

jul-07

DE 000 A 200

¢42,00/KWH

58,5%

 

jul-07

DE 200 A 300

¢66,55/KWH

39,8%

dic-08

DE 000 A 200

¢56,00/KWH

33,3%

dic-08

DE 200 A 300

¢100,00/KWH

50,2%

ene-09

DE 000 A 200

¢61,00/KWH

$0,108

8,9%

ene-09

DE 200 A 300

¢ 110,00/KWH

$0,196

10%

AUMENTO TOTAL BLOQUE DE 000 A 200 KWH = 222,57% AUMENTO TOTAL BLOQUE DE 200 A 300 KWH = 245,9%

3.7.2. Componentes no senoidales En los circuitos que tienen solamente corrientes y voltajes senoidales, el efecto del factor de   potencia se presenta solamente como la diferencia en fase entre la corriente y el voltaje. Pero el concepto se puede generalizar a una distorsión total, o a un verdadero factor de  potencia donde la potencia aparente incluye todos los componentes armónicos.

2

Tomado de comunicado de Asociación Nacional de Trabajadores y Trabajadoras de Telecomunicaciones, Energía y Afines, ANTTEA.

6

Figura N° 1 Forma de onda de una señal con componentes armónicas

7

Esto es de importancia en los sistemas de energía prácticos que contienen cargas no lineales tales como equipos electrónicos, algunas formas de iluminación eléctrica, hornos de arco voltaico, equipos de soldadura, y otros dispositivos (entre los que se incluyen los transformadores, motores y generadores en los cuales existe distorsión armónica).

Figura N° 2 Forma de onda de voltaje y corriente de entrada rectificador de onda Graetz Agencias de regulación, en todo el mundo, tales como la EC en los Estados Unidos, han establecido límites en los armónicos como un método de mejorar el FP. Disminuir el costo de los componentes ha acelerado la aceptación e implementación de dos métodos diferentes. Normalmente, esto se hace ya sea agregando un inductor en serie, llamado PFC  pasivo (“Power Factor Corrector”) o con la adición de un convertidor elevador que fuerza a una onda sinusoidal, llamado PFC activo. Por ejemplo, los SMPS (“Switched-Mode Power Supply”) con PFC pasivos pueden lograr un factor de potencia entre 0,70 y 0,75, los SMPS con PFC activo pueden lograr hasta 0,99, mientras que los SMPS sin ninguna corrección del factor de potencia tienen valores entre 0,55 y 0,65 solamente. Para cumplir  con el estándar de corriente de los Estados Unidos EN61000-3-2 todas las fuentes conmutadas con potencia de salida mayor de 75W tienen que incluir como mínimo un PFC  pasivo. 3

3

Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Factor_de_potencia

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3.8. Potencia compleja.

P  V I cosθ  V I Ree ReV e I e ReV  I S  V I  V I e  V Icosθ jsenθ  V I cosθ j V I senθ S PjQ Otra forma de expresar la potencia compleja es por medio de la impedancia equivalente dada por el tipo de cargas conectadas en la instalación, la cual se puede deducir de la siguiente forma:

S  V I, y V  Z I Entonces:

 V    V V    I  Z  I   Z   Z  V  V S  V  Z  Z  I Z

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3.8.1. Casos particulares

Resistencia: Inductor: Capacitor:

P V I I R  Q0 P0  Q VI     P0  Q  VI  jωC V  jωC V S P Q I R 0 I R V Vj  0 ωL ωL 0 ωCV jωCV V I R I R  j V X óX X ó X 

R ESISTENCIA I NDUCTOR 

CAPACITOR 

IMPEDANCIA

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3.9. Corrección del factor de potencia y balance de potencia activa y reactiva.

A menudo es posible ajustar el factor de potencia de un sistema a un valor muy próximo a la unidad. Esta práctica es conocida como mejora o corrección del factor de potencia y se realiza mediante la conexión a través de conmutadores, en general automáticos, de bancos de condensadores o de inductores. Por ejemplo, el efecto inductivo de las cargas de motores puede ser corregido localmente mediante la conexión de condensadores. En determinadas ocasiones pueden instalarse motores síncronos con los que se puede inyectar potencia capacitiva o reactiva con sólo variar la corriente de excitación del motor. Las pérdidas de energía en las líneas de transporte de energía eléctrica aumentan con el incremento de la intensidad. Como se ha comprobado, cuanto más bajo sea el factor de   potencia de una carga se requiere más corriente para conseguir la misma cantidad de energía o trabajo útil. Por tanto, como ya se ha comentado, las compañías suministradoras de electricidad, para conseguir una mayor eficiencia de su red, requieren que los usuarios, especialmente aquellos que utilizan grandes cantidades de energía, mantengan los factores de potencia de sus respectivas cargas dentro de límites especificados o estando sujetos de lo contrario, a pagos adicionales. La mejora del factor de potencia debe ser realizada de una forma cuidadosa con objeto de mantenerlo lo más alto posible. Es por ello que en los casos de grandes variaciones en la composición de la carga es preferible que la corrección se realice por medios automáticos.

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Ahora bien para entender como corregir el factor de potencia, veamos el siguiente ejemplo:

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3.10. Teorema de máxima transferencia de potencia aplicado a cargas resistivas

En muchas ocasiones es necesario hacer una conexión entre dos equipos o un equipo y una carga con el propósito de pasar información de uno a otro. Hay dos opciones de acoplamiento: - Para máxima transferencia de potencia - Para una tensión máxima en la señal a transmitir  Para entender el significado de la primera opción, observemos el siguiente circuito equivalente de una fuente de tensión real:

Figura N° 3 Circuito equivalente de fuente ideal y fuente real Es claro observar en el circuito anterior que se cumple que: V = I R in + VL, en el cual si el valor de la resistencia interna en las fuentes de alimentación (R in) es mayor que el valor de la carga (R L), en esta última aparecerá solamente una pequeña parte del voltaje debido a la caída que se produce en la resistencia interna y por el contrario si el valor de la resistencia interna es pequeño respecto al valor de resistencia de la carga, casi todo el voltaje estará en la carga. Pero qué sucede con la potencia que se entrega a la carga. Para responder la  pregunta anterior realicemos en forma sencilla el circuito anterior con el siguiente análisis: Para el siguiente circuito se asignara los valores de R in = 8,0 y V = 24,0 V, entonces: Si R L = 8,0 , se tiene que:

24  24  1,50 A I  R VR  88 16

Por lo que la caída de tensión en R L es:

V

= I R L = 1,5 x 8 = 12 V.

Este dato nos dice que cuando la resistencia interna (R in) y la resistencia de la carga (R L) son iguales, sólo la mitad de la tensión original aparece en la carga (RL). Al calcular la potencia consumida en la carga se tiene que:

P  IR 1,5 8  18 W P  I R 1,5 8  18 W

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Ahora bien, surge la pregunta: ¿Qué sucede si se aumenta y disminuye el valor de la resistencia de carga (R L)? Para contestar la consulta anterior se pueden realizar los mismos cálculos anteriores y obtener los valores de tensión y la potencia entregada a la carga Si R L = 4 :

Si R L = 12 

24  24  2,00 A I  R VR  84 12 P  IR  2 4  16 W 24  24  1,20 A I  R VR  812 20 P  IR 1,22 12  17,28 W

Se puede ver que para ambos casos la potencia consumida en R L fue menor a los 18 W que se obtienen cuando R L = R in. Así se concluye que el teorema de máxima entrega de potencia dice: "La potencia máxima será desarrollada en la carga cuando la resistencia de carga RL sea igual a la resistencia interna de la fuente Rin"

 Nota: Cuando es importante obtener la máxima transferencia de potencia, la resistencia de carga debe adaptarse a la resistencia interna de la fuente.

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3.10.1.1.

Teorema de máxima transferencia de potencia aplicado a impedancias

Veamos el siguiente análisis:

Figura N° 4 Resumen de análisis de teorema de máxima transferencia de potencia Se observa entonces que el teorema de máxima transferencia de potencia se puede extender  al caso de impedancias, esto significaría lograr que la impedancia de salida de la fuente y la impedancia de entrada de la carga sean iguales en magnitud pero desfasadas en 180°, entiéndase:

Z Z

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