Posible Examen

LÍNEAS DE ESPERA 1.- Imagine un supermercado grande con muchas cajas de salida. Suponga que los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación (Nótese que una familia junta, de compras, se trata como un cliente). Si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por

Lq , , Wq , Ls , Ws y U hora. Para una tasa de servicio de 12 clientes por hora, determine:

.

Lq , , Wq , Ls , Ws y U 2.- Encuentre las características de operación ( sistemas:

) para los siguientes

Ls a) A = 5 unidades por hora; S = 10 unidades por hora, calcúlese P ( >1). b) A = 10 unidades por hora; el tiempo de servicio promedio es de 3 minutos por

Ls cliente. Calcúlese P (

>1).

3.- Para el modelo de un servidor y tiempos de servicio exponenciales, use una tasa de servicio de 40 unidades por hora:

Lq , , Wq , Ls , Ws y U a) Calcule

para tasas de llegadas de 10, 20, 30 y 39 por hora.

Ws y U b) En la misma gráfica, dibuje el uso adecuado de los servicios?

. ¿A qué conclusiones se puede llegar sobre

4.- La mayoría de los administradores de supermercados responden al crecimiento excesivo de las colas en las cajas agregando un empacador en la caja. ¿Es esto realmente económico? Suponga que el agregar un empacador eleva la tasa de servicio de 20 a 30 clientes por hora y que la tasa de llegadas es de 15 clientes por hora. Si el empacador gana $ 3 la hora y el tiempo de espera del cliente se evalúa en $ 5 por hora, ¿cuál es la conclusión? (suponga llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales). 5.- Se está estudiando un muelle de carga y descarga de camiones para aprender cómo debe formarse una brigada. El muelle tiene espacio sólo para un camión, así es un sistema de un servidor. Pero el tiempo de carga o descarga puede reducirse aumentando el tamaño de la brigada. Supóngase que puede aplicarse el modelo de un servidor y una cola (llegadas Poisson, tiempos de servicio exponenciales) y que la tasa promedio de servicio es un camión por hora para un cargador. Los cargadores adicionales aumentan la tasa de servicio proporcionalmente. Además, supóngase que los camiones llegan con una tasa de dos por hora en promedio y que el costo de espera es de $ 20 por hora por camión. Si se le paga $ 5 por hora a cada a cada miembro de la brigada, ¿cuál es el mejor tamaño de esta? 6.- La Ace Machining tiene un departamento de herramientas a donde acuden los operarios en busca de alguna herramienta especial. Los operarios solicitan el servicio a una tasa promedio de 20 veces por hora. Se requiere un promedio de 4 minutos para procesar la solicitud de un operario. La paga de los operarios es de $ 8 por hora y la de

los empleados del departamento de herramientas, es de $ 3 por hora. Si aumentando el número de empleados se logra reducir en forma proporcional el tiempo de servicio, ¿cuántos empleados deberían contratarse para el departamento de herramientas? (supónganse llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales). 7.- La Joe’s Plumbing trabaja las 24 horas del día, 7 días a la semana en reparaciones de plomería. Las llamadas de los clientes llegan de manera totalmente aleatoria a lo largo de todo el día con una tasa de 10 por día. Joe piensa que un plomero por turno puede atender un promedio de 12 llamadas diarias; por supuesto los tiempos de servicio varían. Joe se pregunta si debe agregar un ayudante, lo cual elevaría su capacidad a un promedio de 15 llamadas diarias. Su plomero gana $ 10 por hora y tendría que pagar la mitad de esta cantidad al ayudante. Si Joe estima que el tiempo que esperan los clientes hasta que el plomero llega tiene un costo de $ 10 por hora, ¿debe agregar el ayudante? 8.- El supermercado Foodstuff está tratando de evaluar un nuevo sistema de “bandas” para las cajas que aumentaría su tasa de servicio de 12 a 15 clientes por hora. La administración sabe que los clientes llegan con una tasa promedio de 10 clientes por hora. La Foodstuff valúa el tiempo de espera de los clientes en $ 4 la hora. Si la nueva banda agrega $ 5 por hora a los costos de operación, ¿deberá comprarse? 9.- Considérese un restaurante de comida rápida con un menú limitado. El restaurante se está diseñando para que todos los clientes se unan a una sola línea para ser servidos. (Igual que en el supermercado, una orden es una llegada sin importar cuántas personas comparten esa orden). Una persona tomará la orden y la servirá. Con sus limitaciones, la tasa de servicio puede aumentarse agregando más personal para preparar la comida y servir las órdenes. Esto constituye un sistema de un servidor y una línea. Si las llegadas y las salidas son aleatorias, puede aplicarse el modelo de una cola. Supóngase que la administración quiere que el cliente promedio no espere más de dos minutos antes que se tome su orden. Si se sabe que la tasa de llegadas es de 30 órdenes por hora, determine la tasa de servicio que satisface estas condiciones. 10.- La tienda de abarrotes ABC está tratando de determinar la tasa de servicio que se necesita en las horas pico. ¿Qué tasa de servicio es necesaria si se supone una línea, un servidor, llegadas Poisson, tiempos de servicio exponenciales y una tasa promedio de llegadas de 80 clientes por hora y: a) la espera promedio (incluyendo el servicio) no debe exceder 2.4 minutos? b) la espera promedio (en la cola) no debe exceder 2.4 minutos? 11.- El restaurante Greasy Burger está estudiando la instalación de una ventana de servicio a los autos para aumentar sus ventas. Como parte de la planeación, la administración quiere saber qué tasa de servicio se necesitaría durante las horas pico. Se espera que los clientes lleguen cada 15 segundos en promedio y se desea que el tiempo de espera promedio en el sistema no sea de mayor de 1.5 minutos. Si las tasas de llegadas y de servicio se distribuyen siguiendo una Poisson, ¿qué tasa de servicio se necesita? 12.- Imagine un lavado automático de autos con una línea de remolque, de manera que los autos se mueven a través de la instalación de lavado como en una línea de ensamble. Una instalación de este tipo tiene dos tiempos de servicio diferentes: el tiempo entre autos y el tiempo para completar un auto. Desde el punto de vista de la teoría de colas, el tiempo entre autos establece el tiempo de servicio del sistema. Un auto cada cinco minutos da una tasa de servicio de 12 autos por hora. Sin embargo, el

tiempo para procesar un auto es el tiempo que se debe esperar para entregar el auto limpio. La teoría de colas no considera este tiempo. Suponga que un lavado de autos puede aceptar un auto cada cinco minutos y que la tasa promedio de llegadas es de nueve autos por hora (con una distribución Poisson),

Lq , , Wq , Ls , Ws y U determine:

.

13.- Encuentre las características de operación para un modelo de tiempos de servicio constantes si: a) A = 5 unidades por hora y S = 10 unidades por hora. b) A = 9 unidades por hora y S = 10 unidades por hora 14.- Un modelo de un servidor con llegadas Poisson y tiempos de servicio constantes tiene una tasa de llegadas de 30 por hora y una tasa de servicio de 40 por hora. Encuéntrese la longitud de línea y el tiempo de espera promedio tanto en la cola como en el sistema. ¿Cuál es la utilización del sistema? 15.- Si una escalera eléctrica en una tienda de departamentos puede aceptar a 30 personas por minuto, ¿cuál es la tasa de llegadas máxima que se permite para mantener el tiempo promedio de espera abajo de 10 segundos? ¿Cuál sería la longitud de línea promedio para este caso? 16.- La estación de servicio para autos Smokey Joe’s ha estado haciendo buen negocio lavando autos a mano. Pero con la expansión del negocio, Joe está considerando invertir en un lavado automático. Estima que la demanda puede llegar a 100 000 autos por año y que en horas pico puede alcanzar 50 autos por hora. Una desventaja es que tiene poco espacio para que esperen los autos. Si quiere que la longitud de línea promedio en la cola no exceda tres autos, ¿qué capacidad de servicio necesita tener la lavadora automática? 17.- La Omega Corp. Tiene actualmente una pequeña copiadora de oficina que opera una secretaria cuando se necesita. Las copias pueden sacarse con una tasa de cinco por minuto. Por $ 200 anuales adicionales, la firma puede obtener un modelo diferente que trabaja con el doble de velocidad. La secretaria gana $ 4 por hora y se hacen más o menos 80 copias por día de 8 horas de trabajo. Suponiendo que las “llegadas” tienen distribución Poisson, ¿debe la firma adquirir la nueve copiadora? 18.- Considere la biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de decidir cuántas copiadoras debe instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido un equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no deben tener que esperar más de dos minutos en promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por usuario es cinco, el 70% del tiempo de copiado se consume en otras actividades diferentes al copiado, tales como insertar la moneda, cambiar los originales, etc. y que los períodos pico de copiado tienen una tasa de llegadas de 60 estudiantes por hora. ¿Cuántas copiadoras deben instalar? 19.- El Servicio Nacional de Impuestos (SNI) está planeando abrir una oficina sucursal para ayudar a los causantes a llenar sus declaraciones. Se quiere determinar cuánto personal consultor debe haber en la oficina. De la experiencia anterior, el SNI sabe que el tiempo de servicio varía exponencialmente con un promedio de 15 minutos. Se espera que la sucursal reciba un promedio de 10 causantes por hora, aunque esto varía en forma de una distribución Poisson. La oficina tendrá una pequeña sala de espera, en donde las personas esperan a que se desocupe el siguiente consultor. El SNI desea que

no haya más de tres personas en promedio esperando. ¿Cuántos consultores de impuestos se necesitan? 20.- Con la proximidad de la Navidad, la tienda de departamentos Great Buy está tratando de determinar cuántas operadoras de teléfonos extra debe contratar. Una operadora puede atender, en promedio, cinco llamadas por minuto (con distribución Poisson). Se espera recibir llamadas en forma aleatoria con una tasa promedio de 8 por minuto. Se quiere que se contesten en 15 segundos en promedio. ¿Cuántas operadoras adicionales deben contratarse? 21.- El banco ABC está estudinado dos configuraciones para sus ventanillas de autobanco. El plan 1 tendría dos ventanillas separadas cada una con su línea. El plan 2 tendría un carril que lleva a la entrada de ambas ventanillas; el cliente iría en este caso a la primera que se desocupara. Se espera una llegada promedio de 50 clientes por hora, con distribución Poisson. El tiempo de servicio varía exponencialmente con un promedio de dos minutos por cliente. a) ¿Qué plan debe adoptar el banco? ¿Por qué? b) ¿Qué otros factores pueden influir en la decisión?