portico con placas - brazo rigido

ANÁLISIS DE PÓRTICOS CON PLACAS ELEMENTOS VIGA - COLUMNA CON BRAZOS RÍGIDOS La teoría de vigas es en general suficiente para describir el comportamiento de las vigas o de las columnas que constituyen los pórticos, siempre que las dimensiones de las secciones transversales (y por lo tanto las dimensiones de los nudos) sean pequeñas en relación con la longitud de los elementos. Hipótesis tales como que "las secciones planas antes de la deformación siguen siendo planas después de la deformación" no pueden estrictamente aplicarse para las zonas de los nudos, donde se tiene una distribución de esfuerzos más compleja que aquella en las luces libres (es decir, entre caras de apoyo) de los elementos. Si las dimensiones de los nudos son pequeñas en comparación con la luz, no se comete mucho error al suponer que la teoría de vigas es aplicable a todo lo largo. Sin embargo, cuando los elementos transversales son de gran tamaño, si es necesario modificar las expresiones habituales.

Fig. 1

Una aproximación frecuente consiste en suponer que las regiones de los nudos tienen infinita rigidez. Los elementos se modelan entonces como compuestos por tres partes, dos brazos laterales infinitamente rígidos y una porción central flexible, como se muestra en la figura 2. Esto tampoco es lo exacto, pero permite obtener fácilmente la matriz de rigidez de los elementos. Más adelante se mencionan algunas correcciones que pueden hacerse para tener en cuenta la (pequeña) flexibilidad de los nudos.

Fig. 2

En lo que sigue, se denomina L a la longitud de la porción central flexible (es decir, a la distancia entre caras de apoyo), mientras que a y b son las longitudes de los brazos rígidos (es decir, las distancias entre las caras de apoyo y los correspondientes ejes de los elementos verticales). La longitud total del elemento es a+L+b. En las figuras 3a y 3b se muestran las componentes de desplazamiento y de fuerza a las que se hace referencia en el análisis siguiente: Desplazamientos: Fig. 3a

Fuerzas:

Fig. 3b

Para la porción central flexible pueden establecerse las siguientes relaciones entre fuerzas y desplazamientos:

 12 EI   (1 + φ ) L3   6 EI   V1   2  M   (1 + φ ) L  1  =  V2   − 12 EI M 2   (1 + φ ) L3   6 EI   (1 + φ ) L2  

donde φ =

6 EI (1 + φ ) L2

−

12 EI (1 + φ ) L3

 4 + φ  EI    1+φ  L

−

6 EI (1 + φ ) L2

−

6 EI

(1 + φ ) L2

 2 − φ  EI    1+φ  L

12 EI

(1 + φ ) L3 −

6 EI (1 + φ ) L2

 6 EI  2 (1 + φ ) L     2 − φ  EI     v1   1 + φ  L   θ1    6 EI v 2  − (1 + φ ) L2 θ 2     4 + φ  EI     1 + φ  L  

(1)

12 EI GAs L2

O más sucintamente: K u = f Los desplazamientos en los extremos de la porción central, flexible, pueden escribirse en función de aquellos de los extremos. Llamando a y b a las distancias entre las caras de apoyo y los ejes de las placas a cada lado y refiriéndose a las componentes de desplazamiento indicadas en la figura 3a:

 v1   1 θ   0  1   = v 2   0 θ 2   0

0  v i    1 0 0 θ i    0 1 − b  v j   0 0 1 θ j  a 0

(2a)

En forma más concisa:

u = H u (e)

(2b)

De otro lado, pueden relacionarse las fuerzas por las condiciones de equilibrio (figura 3b):

 Vi   1 M    i  a   =  Vj   0 M j   0  

0 0 1 0 0 1 0 −b

0  V1   0  M 1    0  V2   1 M 2 

(3a)

es decir:

f (e) = H T f

(3b)

Las fuerzas y desplazamiento en los extremos de la porción flexible pueden relacionarse mediante las ecuaciones (1). Sustituyendo (2) en (1), multiplicando por H T y reemplazando (3) se obtiene:

( H T KH ) u ( e ) = f ( e )

(4)

es decir, la matriz de rigidez de la viga con brazos rígidos (figura 2) resulta:

K ( viga ) = H T KH más explícitamente:

(5a)

K ( viga )

 S1   S2 = −S  1  S  3

S2

− S1

S4 − S2

− S2 S1

S5

− S3

S3   S5  − S3   S 6 

(5b)

donde:

S1 = S 2= S 3=

12 EI

(1 + φ) L3 6 EI

(1 + φ) L

2

6 EI

(1 + φ) L

2

+

+

12 EI

(1 + φ) L3 12 EI

(1 + φ) L3

a

b

 4 + φ  EI 6 EI 12 EI  S 4= + ( 2a)+ a2 2 3 1 + φ L ( 1 + φ ) L ( 1 + φ ) L  

(5c)

 2-φ  EI 6 EI 12 EI  S 5= + (a+b)+ ab 2 (1 + φ) L3  1 + φ  L (1 + φ) L  4 + φ  EI 6 EI 12 EI  S 6 =  + ( 2b)+ b2 2 3 1 + φ L (1 + φ) L (1 + φ) L  

En estas expresiones L es la longitud del tramo central, flexible, a y b son las longitudes de los brazos rígidos. Los mismos resultados se obtienen con el argumento que los coeficientes de la columna j de la matriz de rigidez son las fuerzas requeridas para obtener un desplazamiento unitario en correspondencia al grado de libertad j, mientras que se mantienen los desplazamientos para los restantes grados de libertad iguales a cero.

PÓRTICO SOMETIDO A FUERZA LATERAL Sección transversal de los elementos: Viga 0.30 m x 0.60 m Placa 0.30 m x 2.00 m Columna 0.30 m x 0.60 m Materiales: E = 2.5x106 t/m2 G = 0.4 E Placa:

I placa = 121 bt 3 = 0.2m 4 A placa = bt = 0.6m 2 As placa = 56 bt = 0.5m 2 Φ=

12 EI 4 = 2 3 GAs h

c x = 0, c y = 1

K

( placa )

 12 EI   (1 + φ )L3   0   6 EI −  (1 + φ )L2 = 12 EI − 3  (1 + φ )L   0   6 EI  − 2  (1 + φ )L

K ( placa )

0 EA L 0 0 −

EA L 0

−

6 EI

(1 + φ )L2

−

0  4 + φ  EI    1+φ  L 6 EI (1 + φ )L2

12 EI

0

(1 + φ )L3 0 6 EI

(1 + φ )L2 12 EI

(1 + φ )L3

0

0

 2 − φ  EI    1+φ  L

(1 + φ )L2

6 EI

−

EA L 0 0

EA L 0

−

6 EI

    2 − φ  EI      1+φ  L   6 EI  2 (1 + φ )L    0   4 + φ  EI      1+φ  L  0

0 - 142857 - 95238 0 - 142857   95238   0 500000 0 0 - 500000 0    - 142857 0 380952 142857 0 47619   = 0 142857 95238 0 142857   - 95238   0 - 500000 0 0 500000 0    - 142857  0 47619 142857 0 380952  

Viga (modelo con brazos rígidos, 70% de la inercia de la sección bruta):

a =1 m b = 0.30 m

⇒ ⇒

a = a − h 4 = 0.85 m b = b − h 4 = 0.15 m

L = 3m − a − b = 2m I viga = 0.70 x 121 bt 3 = 3.78 ⋅10 −3 m 4 As viga = 56 bt = 0.15m 2 Φ=

12 EI = 0.189 GAs L2

 

(1 + φ )L2 

S1 =

12 EI

(1 + φ )L3

6 EI 12 EI a + 2 (1 + φ )L (1 + φ )L3 6 EI 12 EI b S3 = + 2 (1 + φ )L (1 + φ )L3 S2 =

 4 + φ  EI 6 EI 12 EI 2  S 4 =  a ( 2a ) + + 2 1 φ L + ( ) ( 1 φ L 1 + + φ )L3    2 − φ  EI 6 EI 12 EI  S5 =  ab ( a + b) + + 2 1 φ L + ( ) ( 1 φ L 1 + + φ )L3    4 + φ  EI 6 EI 12 EI 2  b S6 =  + (2b) + 2 1 φ L + ( ) ( 1 + φ L 1 + φ )L3  

K ( viga )

 S1   S2 = −S  1  S  3

S2

− S1

S4 − S2

− S2 S1

S5

− S3

S 3   11922 22055 - 11922 13710     S 5   22055 45527 - 22055 20639  = − S 3   - 11922 - 22055 11922 - 13710     S 6   13710 20639 - 13710 20492 

Columna:

I columna = 121 bt 3 = 5.4 ⋅10 −3 m 4 Acolumna = bt = 0.18m 2 As columna = 56 bt = 0.15m 2 Φ=

12 EI 3 = 2 25 GAs h

K (columna )

0 - 8036 - 5357 0 - 8036   5357   150000 0 0 - 150000 0   0  - 8036 0 16554 8036 0 7554   = 0 8036 5357 0 8036   - 5357   - 150000 0 0 150000 0   0  - 8036 0 7554 8036 0 16554  

Ecuaciones de equilibrio para la estructura: Ku = f 0  v B   0   511922 22055 - 11922 13710       22055 426480 - 22055 20639 142857 θ B   0       - 11922 - 22055 161922 - 13710 0 v C  =  0    8036 θ C   0   13710 20639 - 13710 37045      142857 0 8036 100595  u  10  0

 0.282542 x 10 -5   -4  - 0.642943 x 10   Desplazamientos: u = - 0.941805 x 10 -5     0.102583 x 10 - 4     0.191533 x 10 -3 

Fuerzas en los extremos de placa y de columna:

f ( placa )

0  − 9.056    − 1.413   0     0   24.30  ( placa )  =K  0.191533 x 10 -3  =  9.056       0.282542 x 10 -5   1.413     -4  - 0.642943 x 10   2.869 

f ( columna )

0   − 0.944     0    1.413  0    1.369  = K (columna )  = -3  0.944   0.191533 x 10    - 0.941805 x 10 -5   - 1.413       0.102583 x 10 -4   1.462 

Desplazamientos en las caras de apoyo de la viga: v B '  v B θ    B'    =  v C '  v C θ C '  

+ a θ B  − 0.614689 x 10 - 4    θ B   -0.642943 x 10 - 4  =  − b θ C   − 0.124955 x 10 - 4  θ C   0.102583 x 10 - 4 

Fuerzas en las caras de apoyo de la viga:  4 + φ  EI  2 − φ  EI 6 EI  θ 1 +   θ 2 − (v − v ) = −2.143 M 12 =  (1 + φ ) L2 2 1 1+φ  L  1+φ  L  2 − φ  EI  4 + φ  EI 6 EI  θ 1 +   θ 2 − (v − v ) = −1.542 M 21 =  (1 + φ ) L2 2 1 1+φ  L  1+φ  L M + M 21 = −2.168 V1 = −V 2 = 12 L

ANÁLISIS DE PORTICO CON PLACA - comparación de resultados obtenidos con distintas hipótesis Brazos Rígidos Deformación axial columna Deformación de corte placa Deformación de corte otros

-h/4 SI SI SI

100% SI SI SI

100% SI SI NO

100% NO SI SI

100% NO SI NO

NO SI SI NO

NO NO SI NO

0.1915 -6.43 x 10-5 1.02 x 10-5

0.1793 -5.686 x 10-5 9.939 x 10-6

0.1726 -5.327 x 10-5 1.540 x 10-5

0.1762 -5.496 x 10-5 1.699 x 10-5

0.1685 -5.093 x 10-5 2.375 x 10-5

0.2042 -7.251 x 10-5 -3.491 x 10-5

0.2035 -7.211 x 10-5 -3.283 x 10-5

Corte en la placa (t) Corte en la columna (t)

9.056 0.944

8.959 1.041

8.826 1.174

8.92 1.08

8.775 1.225

9.089 0.911

9.075 0.925

Momentos flectores (t m) A (base de la placa) B (extremo superior de placa) B (nudo izquierdo en viga) B' (cara de apoyo izq en viga) C' (cara de apoyo der en viga) C (nudo derecho en viga) C (extremo superior columna) D (base de columna)

24.30 2.869 2.869 2.143 -1.542 -1.462 1.462 1.369

22.92 3.963 3.963 2.107 -1.049 -1.606 1.606 1.516

22.12 4.361 4.361 2.297 -1.210 -1.830 1.830 1.692

22.54 4.219 4.219 2.247 -1.105 -1.696 1.696 1.543

21.65 4.675 4.675 2.469 -1.282 -1.944 1.944 1.730

25.72 1.548 1.548 0.629 -0.934 -1.209 1.209 1.524

25.63 1.594 1.594 0.649 -0.957 -1.240 1.240 1.536

0.0206 -1.65 x 10-5 3.03 x 10-5

0.0222 -1.747 x 10-5 3.234 x 10-5

0.0221 -1.753 x 10-5 2.946 x 10-5

0.0205 -1.648 x 10-5 3.616 x 10-5

0.0202 -1.642 x 10-5 3.346 x 10-5

0.0000 -3.492 x 10-6 5.560 x 10-5

0.0154 -2.679 x 10-6 5.981 x 10-5

2.153 -3.340 -4.840 -0.515 -0.048 -0.865 0.730 0.458

2.344 -3.481 -4.981 -0.604 -0.047 -0.849 0.714 0.423

2.325 -3.518 -5.018 -0.633 -0.063 -0.863 0.729 0.464

2.146 -3.347 -4.847 -0.527 -0.077 -0.898 0.763 0.438

2.103 -3.371 -4.871 -0.549 -0.099 -0.919 0.784 0.483

-0.169 -1.332 -2.832 0.733 -0.090 -1.136 1.001 0.500

-0.347 -1.240 -2.740 0.774 -0.137 -1.198 1.063 0.524

Resultados del análisis para fuerza lateral de 10 t Desplazamiento lateral (mm) Giro en nudo B (rad) Giro en nudo C (rad)

Resultados del análisis para fuerza vertical de 3 t/m Desplazamiento lateral (mm) Giro en nudo B (rad) Giro en nudo C (rad) Momentos flectores (t m) A (base de la placa) B (extremo superior de placa) B (nudo izquierdo en viga) B' (cara de apoyo izq en viga) C' (cara de apoyo der en viga) C (nudo derecho en viga) C (extremo superior columna) D (base de columna)

Propiedades Efectivas de Secciones de Concreto Armado (según norma de concreto armado de Nueva Zelandia, 1995)

Tipo de Elemento

Estado Límite Último (Resistencia)

Estado Límite de Servicio (Desplazamientos) µ = 125 .

µ=3

µ=6

Vigas • rectangulares

0.40 I g

Ig

0.70 I g

0.40 I g

• TóL

0.35 I g

Ig

0.60 I g

0.35 I g

• vigas cortas entre placas, con refuerzo tradicional

0.40 I g

Ig

0.70 I g

0.40 I g

• vigas cortas entre placas, con refuerzo diagonal

 h 1+ 8    L

2

 h 1+ 5   L

0.40 I g  h 17 . + 2.7    L

2

 h 1+ 8    L

Ig 2

 h 17 . + 13 .    L

2

 h 1+ 8    L

0.70 I g 2

 h 17 . + 2.7    L

2

0.40 I g 2

 h 17 . + 2.7    L

2

Columnas •

Pu f c′ A g > 0.5

0.80 I g

Ig

0.90 I g

0.80 I g

•

Pu f c′ Ag = 0.2

0.60 I g

Ig

0.80 I g

0.60 I g

•

Pu f c′ A g = −0.05

0.40 I g

Ig

0.70 I g

0.40 I g

Muros •

Pu f c′ A g = 0.2

0.45 I g , 0.80 A g

I g , Ag

0.70 I g , 0.90 A g

0.45 I g , 0.80 A g

•

Pu f c′ Ag = 0

0.25 I g , 050 . Ag

I g , Ag

050 . I g , 0.75 A g

0.25 I g , 050 . Ag

•

Pu f c′ A g = −01 .

015 . I g , 0.30 A g

I g , Ag

0.40 I g , 0.65 A g

015 . I g , 0.30 A g

Notación Pu

fuerza axial correspondiente a estado límite último

Ag

área de la sección bruta

Ig

momento de segundo orden (de inercia) de la sección bruta

h L

peralte de la viga luz libre de viga de conexión

CONDENSACIÓN ESTÁTICA Eliminación de GDL usando una o más ecuaciones de equilibrio estático, como son las ecuaciones K u = f

ANÁLISIS DE UNA VIGA CONTINUA CON CARGAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS:

K (e )

2 EI   L  4 EI   L 

 4 EI  L =  2 EI   L

f o( e )

 wL2    =  12 2  − wL   12 

K ( AB ) =

2 EI 1 L1

2  1

1  2 

f o( AB ) =

w1 L12 12

1   − 1

K ( BC ) =

2 EI 2 L2

2  1

1  2 

f o( BC ) =

w2 L22 12

1   − 1

Ecuaciones de equilibrio:

 4 EI 1   L1  2 EI 1   L  1

2     θ A   − w1 L1      12 =      2 2 4 EI 1 4 EI 2    w1 L1 w2 L2   θ + − L1 L2   B   12 12 

2 EI 1 L1

Equilibrio de momentos en A:

4 EI 1 2 EI 1 w L2 θA + θB = − 1 1 12 L1 L1

Equilibrio de momentos en B:

 4 EI 1 4 EI 2 2 EI 1 θ A +  + L1 L2  L1

 w L2 w L2  θ B = 1 1 − 2 2 12 12 

Despejando θ A de la primera ecuación y remplazando en la segunda:

w L3 1 θ A = − θB − 1 1 2 48 EI 1 2 EI 1 L1

 1 w L3   4 EI 1 4 EI 2 − θB − 1 1  +  +  2 48 EI 1   L1 L2  ⇓

 3EI 1 4 EI 2  + L2  L1

 w L2 w L2  θ B = 1 1 − 2 2 8 12 

 w L2 w L2  θ B = 1 1 − 2 2 12 12 

Este es un caso particular de condensación estática: se ha utilizado la ecuación de equilibrio de momentos en A para eliminar el correspondiente grado de libertad. (e)

La condensación estática en el ámbito de un elemento, empleando f ( e ) = f 0

+ K ( e ) u ( e ) , sólo es factible si alguna

de las fuerzas f ( e ) es conocida. Por ejemplo, para el elemento AB:

f ( AB ) = f 0( AB ) + K ( AB ) u ( AB )

M AB  2   w1 L1  = 12 M   BA 

1   2 EI 1  + L1 − 1  

1  θ A      2  θ B 

2   1 

se conoce M AB = 0. Por lo tanto, de la primera ecuación: 0 =

w1 L12 4 EI 1 2 EI 1 + θA + θ B se puede despejar L1 L1 12

w1 L13 1 θ A = − θB − y al sustituir ésta en la segunda expresión se obtiene: 2 48 EI 1 M BA = −

w1 L12 3 EI 1 + θB L1 8 (e)

Esta expresión es también de la forma f ( e ) = f 0 giro en B.

+ K ( e ) u ( e ) , pero involucra un solo grado de libertad, asociado al

Gracias a esta condensación estática, sólo se requiere considerar un grado de libertad para el análisis de la estructura. Puede así obtenerse directamente:

 3EI 1 4 EI 2  + L2  L1

 w L2 w L2  θ B = 1 1 − 2 2 8 12 

EXPRESIÓN MÁS GENERAL Al escribir las ecuaciones de la forma K u = f los grados de libertad pueden ordenarse de modo que se tenga en un primer grupo aquellos a eliminarse, a los que corresponden los desplazamientos v y las fuerzas g (típicamente 0 ), y en un segundo grupo aquellos que se requiere conservar. En lo que sigue se denominan u y f los desplazamientos y las fuerzas, respectivamente, asociados a estos últimos GDL. Partiendo en forma consistente la matriz de rigidez se tiene:

 A   BT 

B   v  g   =  C  u  f 

o bien

A v + Bu = g BT v + C u = f

Del primer grupo de ecuaciones se tiene: v = A −1 (g − B u ) Y sustituyendo en el segundo grupo: B T A −1 (g − B u ) + C u = f Es decir:

(C − B

K c = C − B T A −1B respectivamente.

T

) {

}

A −1B u = f − B T A −1g y

f c = f − B T A −1g se denominan matrices condensadas, de rigidez y de fuerzas,

VIGA CON ARTICULACIÓN EN UN EXTREMO f ( e ) = f 0( e ) + K ( e ) u ( e )  12 EI  Vi   Vi0   3      L       0  M i0   6 EI   L2     = +  V   V 0   − 12 EI  j  j   L3      M   0   6 EI  j  M j    L2

6 EI 2

L 4 EI L −

3

−

L 6 EI

L2 12 EI

6 EI

L2 2 EI L

−

L3 6 EI L2

Restando de la primera fila la segunda multiplicada por

 Vi  V 0    i     0       = V    j     M    j  

3   3 EI M i0   3  L 2L     6 EI M i0   L2 +   − 12 EI 0 Vj   L3     6 EI M 0j   L2

6 EI   v i  L2    2 EI     θi L     6 EI    vj − 2 L     4 EI     θj L  

12 EI

−

3 : 2L

0

−

4 EI L

−

−

−

3   3 EI M i0   3  L 2L     6 EI M i0   L2 + 3 EI 3 0 + M i   − 3 L 2L     6 EI M 0j   2  L −

6 EI

L2 2 EI L

−

−

4 EI L

−

3    3 EI  Vi  Vi0 − M i0   3 2L L          6 EI   0   M i0   2      L  = +  V  V 0 + 3 M 0   − 3 EI  j   j 2 L i   L3      M   0 1 0   3 EI  j  M j − Mi   2 2    L

0 4 EI L 0 0

L3 6 EI L2

3 EI 3

L 6 EI

L2 3 EI

0

Restando de la cuarta fila la segunda multiplicada por

L 6 EI

3 EI   v i  L2   2 EI    θi L     6 EI   vj − 2 L     4 EI    θj L  

3 : 2L

0

2 EI L

3

L2 12 EI

Restando de la tercera fila la segunda multiplicada por −

 Vi  V 0    i     0       = V   0  j  V j    M    j  

3 EI

−

L3 6 EI L2

3 EI   v i  L2    2 EI     θi L     3 EI    vj − 2 L     4 EI     θj L  

1 : 2 3 EI 3

−

L 6 EI

L2 3 EI

−

L3 3 EI L2

3 EI   v i  L2    2 EI     θi L     3 EI − 2  v j  L     3 EI     θj L  

Ignorando la segunda fila, ya utilizada:

3   3 EI   Vi  Vi0 − M i0   3 2L      L      3 EI 3   0 M i0  +  − 3  V j  = V j + 2L   L       0 1 0   3 EI M j   M j − M i   2 2   L 

−

3 EI 3

L 3 EI

−

L3 3 EI L2

3 EI   v i  L2     3 EI    − 2 v j  L    3 EI   θ j  L  

Incluyendo los efectos de las deformaciones de corte:

  6  EI  Vi  Vi0 − M i0   3 (4 + φ) L      L     6   12   EI    0   − 3 M i0  +   V j  = V j + ( ) L 4 4 + φ + φ  L          0 2−φ 0   EI  M i  M j   M j −  2    L 4+ φ

−

EI L3

EI L3 −

EI L2

EI   v i  L2     EI   − 2 v j  L    EI    θ j  L  

Caso de rótula en el nudo j:

3   3 EI   Vi  Vi0 − M 0j   3 2L      L    1 0   3 EI   0 = − M M j + 2 M  i  i 2   L      3 EI    0 3 M 0j   − 3  V j  V j + 2L   L 

3 EI 2

L 3 EI L −

3 EI L2

3 EI   v i  L3     3 EI   − 2 θ i  L    3 EI   v j  L3   −

Fuerzas de empotramiento. Carga uniformemente repartida:

 Vi0   wL     2      2 M i0   wL     12   =   V 0   wL   j   2      2  0   wL  M j  − 12 

 wL 3  0 0 M − V i i   2 −  2L      wL  0 3 M i0  =  + V j + 2L   2   0 1 0   wL2  M j − M i  − 2   12 

3  wL2    3    wL    2 L  12   8   2   3  wL    5    =  wL    2 L  12    8  1  wL2   wL2    − −   2  12   8 

(para otros casos puede procederse en forma similar)

RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO PLANO ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

Pórtico simétrico, de un piso y de un vano Columnas empotradas en la base Ignorando efectos de deformaciones axiales Ignorando efectos de deformaciones de corte Sin considerar brazos rígidos

Matrices de rigidez de los elementos: Rigidez relativa: γ =

EI v L EI c h

 12 EI c 6 EI c  h3 h2 ( columna ) =  K 6 EI c 4 EI c  2 h  h  4 EI v 2 EI v    L L  ( viga )  K = =  2 EI 4 EI v  v   L   L

  12   2  = EI c  h  h  6    h 

 4γ EI c   h   2γ

6  h  4 

2γ    4γ 

Para la estructura con los 3 GDL indicados:

  4 + 4γ  EI c   2γ h    6  h

2γ 4 + 4γ 6 h

6   θ B   0  h     6       θ C  =  0  h      24        u   H  h2 

Condensación estática:

 4 + 4γ EI c   h   2γ

 6 EI c  2  h

6 2 γ  θ B  0    EI c  h     +  u =   h 6 0 4 + 4 γ  θ C     h 

θ B  6 EI c    24 EI c u=H  + h2    h3 θ C 

Rigidez lateral del pórtico:

KL =

12 EI c  6 γ + 1    h 3  3γ + 2 

Casos extremos: Viga infinitamente rígida:

Lim K L = γ →∞

Viga infinitamente flexible:

Lim K L = γ →0

24 EI c h3

6 EI c h3

⇒

⇒

θ B  1   − 3u h    =  θ  2 + 3γ 1   C

12 EI c  6 γ + 1   u = H h 3  3γ + 2 

RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO PLANO ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

Pórtico simétrico, de un piso y de un vano Columnas articuladas en la base Ignorando efectos de deformaciones axiales Ignorando efectos de deformaciones de corte Sin considerar brazos rígidos

Matrices de rigidez de los elementos: Rigidez relativa: γ =

EI v L EI c h

3  3 EI c 3 EI c   3  3   2  2 h h h  EI c  h  ( columna ) = = K  h  3 3 EI c 3 EI c      3 h   h   h2  4 EI v 2 EI v   4γ 2γ     L L  EI c  ( viga )  K = =    2 EI h  4 EI v   v   2 4 γ γ   L   L Para la estructura con los 3 GDL indicados:

  3 + 4γ  EI c   2γ h    3  h

2γ 3 + 4γ 3 h

3   θ B   0  h     3       θ C  =  0  h      6       u   H  h2 

Condensación estática:

 3 + 4γ EI c   h   2γ  3 EI c  2  h

3 2 γ  θ B  0    EI c  h     +  u =   h 3 0 3 + 4 γ  θ C     h 

θ B  3 EI c    6 EI c  + 3 u=H h2    h θ C 

Rigidez lateral del pórtico:

KL =

12 EI c  γ    h 3  1 + 2 γ 

Casos extremos: Viga infinitamente rígida:

Lim K L =

6 EI c

γ →∞

Viga infinitamente flexible:

Lim K L = 0 γ →0

h3

⇒

⇒

θ B  1   −u h    =  θ  1 + 2 γ 1   C

12 EI c  γ   u = H h 3  1 + 2 γ 