Portico con metodo de rigidez.pdf
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SOLUCION. Primero se realiza la numeración de los nudos y nomenclatura de los elementos. El resultado de esto se muestra en la figura 1.
Figura 1: Nomenclatura de elementos y numeración de nudos para la cercha.
Se uso un sistema coordenado global y un sistema coordenado local que se muestra en la siguiente figura. No se muestran coordenadas nodales, pues ningún apoyo es inclinado, y por esto e l sistema nodal es igual al global.
Figura 2: Sistema de coordenadas usadas en la solución.
Con las dimensiones de las columnas y de las vigas se calcula la inercia y el área de cada elemento, datos necesarios para la solución del pórtico. Los datos calculados se muestran a continuación:
Tabla 1: Datos iniciales.
columna
Viga
E [kN/m^2]
20000000
K [kN/m]
1000
A [m^2]
0,16000
0,12000
I [m^4]
0,00213
0,00160
Una vez hecho esto se empieza con la solución numérica del pórtico.
1) OBTENCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE CADA ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES. Para llevar a cabo este paso se debe determinar primero que con qué tipo de e lementos se cuenta, es decir, si se tienen elementos tipo pórtico plano, cercha plana y/o viga plana. Elemento
Tipo de elemento
A
Cercha plana
B
Prtico plano
C
Prtico plano
D
Prtico plano
E
Prtico plano
Justificacion El elemento esta compuesto por un re sorte que actua solo a fuerza axial. Puede estar sometido a momentos flectores, fuerza cortante y fuerza axial por las conecciones que tiene con otros elementos. Esta sometido a momentos flectores, fuerza cortante y fuerza axial debido a que el nodo 3 e sta empotrado. Esta sometido a momentos flectores, fuerza cortante y fuerza axial porlas conecciones en el nodo 4 con o tros elementos. Esta sometido a, fuerza cortante y fuerza axial bebido al tipo de apoyo en el nodo 6.
Se realiza el sistema de ecuaciones para cada elemento dependiendo del tipo de elemento. Para elementos tipo viga plana se tiene que:
Para elementos de tipo pórtico plano:
•
Elemento A
Debido a que el elemento A está compuesto por un resorte se reemplaza en la matriz de rigidez el termino
•
por la constante del resorte = 1000
Elemento B
El elemento B tiene una carga distribuida, por lo tanto, es necesario el c álculo de las fuerzas de empotramiento debido a esta.
Para calcular las fuerzas de empotramiento de esta carga, por la forma triangular que tiene es necesario seguir el siguiente procedimiento:
Se sabe que para el triángulo que se va usar para el c alculo queda que:
= 30
y
= 1
. Con esto nos
30∗2∗(10+3∗1) = 9 = 30∗2 2 20 30∗2 ∗ (5 +2 ∗1) 30∗2 = 12 = 4 . 60 30∗2∗(10+7∗1) = 21 = 30∗2 2 20 30∗2 ∗ (5 +3∗1) 30∗2 = 12 = 6 . 60 Ya con estas fuerzas calculadas se tiene el sistema de ecuaciones.
•
Elemento C
Se calcula primero las fuerzas de empotramiento debidas a la fuerza distribuida que actúa en el elemento para esto se halla primero y .
0 = 30 = 1 + 0 = = 15 = 301 + 1 = 1+ 2 =
Con esto se calculan las fuerzas de empotramiento
= 30∗ 3∗ (10+3∗0,5) = 38,5 20 ∗ (5+2∗0,5) 3 0∗3 = = 18 . 60 = 30∗ 3∗(1020+7 ∗0,5) = 29,25 ∗ (5 +3∗0,5) 30∗3 = = 15,75 . 60 Una vez calculado esto se hace el sistema de ecuaciones para el elemento C.
•
Elemento D
El elemento D tiene una carga puntual para la cual se calculan las fuerzas de empotramiento a continuación.
∗ (3∗3+1) 1 80∗1 = = 28,125 4 1 80∗ 3∗1 = 4 = 33,75 . = 180∗3 ∗ 43+3∗1 = 151,875 ∗ 1 1 80∗3 = = 101,25 .
4
Una vez calculados los momentos de empotramiento se hace el sistema de ecuaciones para el elemento.
Se puede notar que en el planteamiento del sistema de ecuaciones se tuvo en cuenta de manera especial el momento en nodo 5 y el giro en este mismo nodo. Esto se hace bebido a que en este nodo hay una articulación que hace que el momento y el giro en el elemento D sea diferente al del elemento E. •
Elemento E
El elemento B tiene una fuerza distribuida rectangular para la cual se calcula las fuerzas de empotramiento a continuación.
= 30∗5 2 = 75 = 30∗5 12 = 62,5 . = 30∗5 2 = 75 30∗5 = 12 = 62,5 .
Una vez calculadas estas fuerzas se re aliza el sistema de ecuaciones para el e lemento.
2) FORMULACION DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE CADA ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES.
Para la formulación de los sistemas de ecuaciones se usa la siguiente matriz de transformación para Elementos tipo cercha plana.
Para Elementos tipo pórtico plano se usa la siguiente matr iz de transformación.
•
Elemento A
Para este elemento
= 90°
= [][][]∆
•
Elemento B.
= 0°
Como para el elemento B la matriz de transformación es igual a la identidad, por lo tanto, no hay cambios en la matriz de r igidez ni en el vector de fuerzas de empotramiento.
•
Elemento C
Para el elemento C
= 90°
, por lo tanto, la matriz de transformación es:
= [ ][′][]∆ + []
•
Elemento D
= 0°
En este elemento , por lo tanto, al igual que en el elemento B la matriz de transformación es la identidad, quedando el sistema de ecuaciones en coordenadas globales de la siguiente manera:
•
Elemento E
= 0°
Para el elemento E de la siguiente manera.
, por lo tanto, el sistema de ecuaciones en coordenadas globales queda
3) OBTENCIÓN DE DESPLAZAMIENTOS NODALES DESCONOCIDOS Para llevar a cabo este paso es necesario hacer el ensamblaje de la matriz de rigidez con el sistema de ecuaciones de todos los elementos.
Se plantean además las condiciones fronteras para el pórtico planteado.
Tabla 2: Situaciones frontera de los desplazamientos.
Nudo Desplazamiento en X 1 2 3 4 5 6
Desplazamiento Y
Rotación alrededor de Z
= 0 = 0 = 0 = = = 0 = 0 = 0 = = = = = , = = 0 = 0 =
Se sabe también que:
== = = == == = = =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Como se sabe el valor de estas fuerzas, estas se igualan en el sistema de ecuaciones a los desplazamientos desconocidos mencionados en la tabla 3, quedando como resultado:
∆ = []−{} Tabla 3: Resultados de cálculo de desplazamientos desconocidos.
U2 [m]
1,50,E-03
V2[m]
2,51,E-02
θ2[rad]
=
-1,21,E-02
U4[m]
1,50,E-03
V4[m]
-2,91,E-04
θ4[rad]
-1,40,E-02
U5[m]
8,32,E-04
V5[m]
-1,82,E-01
θD5 [rad]
-5,81,E-02
Θe5 [rad]
3,16,E-02
θ6[m]
4,13,E-02
4) OBTENCION DE LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA. Para calcular las reacciones desconocidas se saca del sistema de ecuaciones, las ecuaciones que relacionan estas variables con los desplazamientos encontrados en el punto anterior.
Realizando la operación se obtiene como resultado que: Tabla 4: Resultados de cálculo d e reacciones desconocidas.
FX1[kN]
0
FY1[kN]
-25,12
FX3[kN]
331,66
FY3[kN]
=
310,12
M3[kN.m]
-337,72
FX6[kN]
-399,16
FY6[kN]
75,00
Como se puede ver en la tabla 4 la fuerza en X en el nodo 1 es cero, esto se debe a que es en este punto que esta empotrado el resorte, y como se sabe este solo transmite fuerza axial, por lo tanto, crea reacción en Y pero no en X. A continuación, se muestra una figura con las reacciones en el pórtico.
Figura 3: Reacciones en la estructura.
5) REVISION DE RESULTADOS. Para esto se realiza un chequeo del equilibro de la estructura:
33∗15 ∑ = 0 = + + 3∗15+ 3∗15 = 331, 6 399, 1 6+ 2 2
∑ = 0 = + + 30∗2 2 180 30∗5 = 25,12+ 310,12+ 75 30∗2 2 180 30∗5 2 3∗3∗15 ∗ 3∗(30+ 2∗15) 337,7 180∗3 (30∗5 ∗6,5) ∑ = 0 = 25,12∗2 + 30∗2 ∗ 2 3 2 3∗ 30+ 15 + 75∗9 +399,16∗3 6) FUERZAS INTERAS EN LOS EXTREMOS DE LOS ELEMENTOS.
∆ = []∆ = []∆+ •
Elemento A.
•
Elemento B.
•
Elemento C.
•
Elemento D.
•
Elemento E.
7) CALCULO DE FUERZAS INTERNAS. Elemento A. •
= 25,12 = 0 = 0 •
Elemento B.
= 0 15∗ = 25,12+ 2 5 = 25,12 2 •
Elemento C.
= 310,12 = 3455 2 399,16 605 3 = 769,76+399,163 6
•
Elemento D.
= 399,16 0 ≤ ≤ 3 = 255 3 ≤ ≤ 4 = 75 0 ≤ ≤ 3 = 255 840 3 ≤ ≤ 4 = 75 75 •
Elemento E.
= 399,16 = 30 75 30 = 75 2
Figura 4: Diagrama de fuerzas axiales (positivo-azul, negativo-rojo)
Figura 5:Diagrama de fuerzas cortantes (positivo-azul, negativo-rojo)
Figura 6:Diagrama de fuerza momento flector (positivo-azul, n egativo-rojo)
8) CAMPOS DE DESPLAZAMIENTO
+ = + + 3 2+3 + 2 + 2 + = + + 3 2+3 + 2 + 2 •
Elemento B
= 2,51.10− 1,21.10− + 6,2.10− 1,14.10− = 1,5.10− 1,21.10− + 1,91.10− 6,53.10− Tabla 5: Resumen de desplazamientos para el elemento B
0
0,02512081
0,00149684
0,4
0,02027147
-0,0007097
0,8
0,01537388
0,00069478
1,2
0,01035981
0,00320253
1,6
0,00516102
0,0043058
2
•
Elemento C
-0,00029074
0,00149684
= ,2.10− 1,05 = 4,57.10− 1,53.10− Tabla 6: Resumen de desplazamientos para el elemento C.
0,6
0,00118857
0,001314
1,2
0,00350582
0,00393037
1,8
0,00507912
0,00586067
2,4
0,00403578
0,00511645
0
3
•
0
0
-0,00149684 -0,00029074
Elemento D
= 2,91.10− 1,40.10− 61,3.10− +4,84 = 1,5.10− 1,40.10− + 2,14.10− 4,48.10− Tabla 7: Resumen de desplazamientos para el elemento D.
-0,00029074 0,00149684
0,8
-0,01895022
0,0016907
1,6
-0,0501047
0,01549419
2,4
-0,09012418 0,02913423
3,2
-0,13537866 0,02883772
4
-0,18223814 0,00083158
0
•
Elemento E
= 1,82.10− +3,16.10− + 9,8.10− = 8,32.10− + 3,16.10− 2,10.10− 2,93.10−
Tabla 8: Resumen de desplazamientos para el elemento E.
0
-0,18223814
0,00083158
1
-0,14969676
0,01433371
2
-0,11520226
0,00342692
3
-0,07875463 -0,01431409
4
-0,04035388 -0,02131463
5
0
0
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