PORTAFOLIO MATEMATICA FINANCIERA

ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y MARKETING

PORTAFOLIO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Integrantes:

Docente:

Marzo - Agosto 2014

GENERALIDADES MATEMÁTICAS FINANCIERA 1.1 Porcentajes 1.2 Depreciación 1.3 Progresiones 1.4 Ecuaciones 𝐶 = 3000 𝒕 = 4% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 4% / 12 = 0.3% 𝒕 = 0.3% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 PRINCIPIOS 

Todo capital genera capital



Todo capital con el tiempo pierde valor



El valor del dinero en el tiempo

Invertir: Ahorrar esto se llama tasa de interés. Consumo: Lo que hay. Activo fijo: Todos los bienes que no están disponibles a la venta. Ahorrar: Tiene plata liquida. Clasificar cuentas: Por la capacidad o la flexibilidad. Invertir: Es abstenerse del consumo presente. Consumo presente: Es sacrificar algo para tomar otra decisión. Precio del dinero: Se llama la tasa de interés Capital: El valor con el que inicia un negocio o el dinero líquido que tenemos. Matemática Financiera: -Es una herramienta que nos lleva a tomar decisiones para adquirir una inversión. Prestatario: Es la persona que adquiere y debe pagar el dinero. Dinero: Es el intercambio que me sirve para satisfacer lo básico.

Tasa de interés: Es que mide el precio del dinero que se invierte en un negocio. Inversión: No son de consumo final si no para un nuevo bien. Tasa Activa: La persona que cobra la captación del dinero. Arancel: Es lo que se graba a los bienes que importan en el Ecuador. Tasa pasiva: lo que paga la captación de dinero. Porcentaje: Es la proporcionalidad que se establece cada 100 unidades. Ejercicios: 

$100 al 12 porciento 100 * 1.12 = 112



$200 con un descuento de 5% 200 * 0.95 = 1900



$500 con un descuento del 70% 500 * 0.3 = 150



$800 con un descuento del 8% 800 * 0.92 = 736



$15000 con un descuento de 15% 15000 * 0.85 = 12750 -

Transformar de porcentaje a decimal

        

50% 10% 30% 1.5% 200% 300% 1000% 500% 0.03%

= = = = = = = = =

0.5 0.1 0.015 0.005 2 3 10 5 0.0003

Problemas:  Si queremos calcular el valor de la factura de una cocina el precio de $ 350 sobre el cual se ofrece el 12% de descuento de venta al contando. 12

350 × 0.12 = 42

350 × 100 = 42

350 – 42 = 308

350 − 42 = 308

DEPRECIACIÓN Es la pérdida de valor de un bien o activo (maquinaria, edificio, equipos, etc.), que sufren debido al uso, desgaste u otros factores. La depreciación es el proceso por el cual un activo disminuye su valor y utilidad con el uso y/o con el tiempo. Para reemplazar el activo al fin de su vida útil, se establece un fondo, separando periódicamente cierta cantidad que debe ser igual al costo del reemplazo. Elementos: 1. Vida útil.- es la duración probable de un bien o activo; se estima con base en la experiencia e informes de expertos o fabricantes.

2. Costo inicial.- valor del bien o activo en la fecha de compra.

3. Valor de salvamento o valor Residual.- valor que conserva el bien cuando ha dejado de ser útil.

4. Cargo por depreciación.- depósitos periódicos que se realizan en el fondo para depreciación.

MÉTODO DE DEPRECIACIÓN EN LÍNEA RECTA

Este método consiste en tomar cada año, para el activo considerado, un valor de depreciación constante. -

Ésta fórmula se utiliza en el caso de que la depreciación esté dada en función del número de años.

𝑪𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 (𝑪𝑫) = -

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝐶𝐼) − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑆𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑉𝑆) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 (𝑁)

Cuando la depreciación se calcula en función de las horas de operación, puede utilizarse la fórmula:

𝑪𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 (𝑪𝑫) = -

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝐶𝐼) − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑆𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑉𝑆) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 (𝑁)

Cuando la depreciación se calcula en función del número de unidades producidas, se puede utilizar la siguiente fórmula:

𝑪𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 (𝑪𝑫) =

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝐶𝐼) − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑆𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑉𝑆) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 (𝑁)

Es decir, que únicamente cambia el denominador (N), según la depreciación esté dada en función de los años, el número de horas o las unidades producidas.

DEPRECIACIÓN LINEAL En la depreciación lineal el valor de depreciación es constante Ejercicio: Determinar el cargo por depreciación de 10 computadoras cuyo costo total es de 55.000 para lo cual se estima un valor de salvamento 33% de su valor original. Armar la tabla donde se expresen los valores de depreciación según los libros contables.

𝑉. 𝑆 = (55000)(0,33) = 18150 𝐶. 𝐷 =

55000 − 18150 = 12283,33 3

Tiempo

Cargo por depreciación

Fondo por depreciación.

Valor en libros 55000

1

12.283,33

12.283,33

42.716,67

2

12.283,33

24.566,66

30.433,34

3

12.283,33

36.849,99

18.150,01

Calcular el valor de depreciación de una nave industrial cuya adquisición representa un 1’000.000 de dólares considere además un valor de salvamento del 5% de su valor original. Elabórela tabla de depreciación correspondiente. 𝑉. 𝑆 = (1´000000)(5) = 50000 𝐶. 𝐷 =

1′ 000000 − 50000 = 47.500 20

Tiempo

Cargo por Depreciación

Fondo por Depreciación

Valor en Libros

1´000.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500 47.500

47.500 95.000 142.500 190.000 237.500 285.000 332.500 380.000 427.500 475.000 522.500 570.000 617.500 665.000 712.500 760.000 807.500 855.000 902.500 950.000

952.500 905.000 857.500 810.000 762.500 715.000 667.500 620.000 572.500 525.500 477.500 430.000 382.500 335.000 287.500 240.000 195.000 145.000 97.500 50.000

3.-Arme la tabla de depreciación del vehículo de la gerencia de la empresa ABC cuyo precio de compra fue$ 85000 considere un valor de salvamento igual al 20% del valor inicial y elabore la tabla de depreciación. Datos 𝐶𝐼 = 85000 𝑉. 𝑈. = 5 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑉. 𝑆 = 20% 𝐶𝐷 =?

Tiempo

Cargo por depreciación

Fondo por depreciación.

Valor en libros 85000

1

13.600

13.600

71.400

2

13.600

27.200

57.800

3

13.600

40.800

44.200

4

13.600

54.400

30.600

5

13.600

68.000

17.000

TABLA DE DEPRECIACIÓN DE ACTIVOS FIJOS

BIENES Inmuebles (excepto terrenos), naves, aeronaves, barcazas y similares. Instalaciones, maquinarias, equipos y muebles. Vehículo, equipo de transporte y equipo camionero móvil. Equipos de cómputo y software.

PORCENTAJE 5%

AÑO 20

10% 20% 33%

10 5 3

Ejemplo Calcule el cargo de depreciación anual de un equipo cuyo costo de compra es de 45000, su vida útil es 12 años y su valor de salvamento el 10% del valor de compra.

𝑪𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏(𝑪𝑫) =

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(𝐶𝐼) − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜(𝑉𝑆) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙(𝑁)

𝑉𝐶 = 45000𝑋10% = 4500 (𝐶𝐷) =

45000 − 4500 12

(𝐶𝐷) = 3375

TIEMPO

CARGO DEPRECIACIÒN

FONDO DEPRECIACIÓN

VALOR LIBROS 45000,00

1

3375,00

3375,00

41625,00

2

3375,00

6750,00

38250,00

3

3375,00

10125,00

34875,00

4

3375,00

13500,00

31500,00

5

3375,00

16875,00

28125,00

6

3375,00

20250,00

24750,00

7

3375,00

23625,00

21375,00

8

3375,00

27000,00

18000,00

9

3375,00

30375,00

14625,00

10

3375,00

33750,00

11250,00

11

3375,00

37125,00

7875,00

12

3375,00

40500,00

4500,00

EJERCICIO 1 Calcular el cargo de depreciación anual de un escritorio que fue adquirido en 2500 y elabore la tabla de depreciación. 𝑉𝐶 = 2500𝑋10% = 250

(𝐶𝐷) =

2500 − 250 10

(𝐶𝐷) = 225

TIEMPO

CARGO DEPRECIACIÒN

FONDO DEPRECIACIÓN

VALOR LIBROS 2500,00

1

225,00

225,00

2275,00

2

225,00

450,00

2050,00

3

225,00

675,00

1825,00

4

225,00

900,00

1600,00

5

225,00

1125,00

1375,00

6

225,00

1350,00

1150,00

7

225,00

1575,00

925,00

8

225,00

1800,00

700,00

9

225,00

2025,00

475,00

10

225,00

2250,00

250,00

DEPRECIACIÓN POR UNIDADES Ejemplo Una máquina industrial tuvo un costo de 1’400.000 y el valor de salvamento se calcula en 200.000 después de producir 6’000.000 de unidades se quiere calcular el cargo por depreciación anual y elaborar la tabla de depreciación, si la producción se estima en 750.000. 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛(𝐶𝐷) = (𝐶𝐷) =

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(𝐶𝐼) − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜(𝑉𝑆) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙(𝑁) 1′ 400.000 − 200.000 6′ 000.000

(𝐶𝐷) = 0,20 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 (0.20)(750.000) = $150.000 𝐴ñ𝑜𝑠 =

TIEMPO

UNIDADES PRODUCIDAS

6′ 000.000 =8 750.000

CARGO DEPRECIACIÒN

FONDO DEPRECIACIÓN

VALOR LIBROS 1400000,00

1

750000,00

150000,00

150000,00

1250000,00

2

750000,00

150000,00

300000,00

1100000,00

3

750000,00

150000,00

450000,00

950000,00

4

750000,00

150000,00

600000,00

800000,00

5

750000,00

150000,00

750000,00

650000,00

6

750000,00

150000,00

900000,00

500000,00

7

750000,00

150000,00

1050000,00

350000,00

8

750000,00

150000,00

1200000,00

200000,00

EJERCICIO 1 Una máquina industrial tiene un costo inicial de 36.000 y valor estimado de rescate de 2.000, después de producir 1’700.000 unidades, se estima en 170.000.

Calcular: a) Cargo de depreciación por unidad.

(𝐶𝐷) =

36.000 − 2.000 1′ 700.000

(𝐶𝐷) = 0,02

b) Cargo por depreciación anual.

𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 (0,02)(170.000) = 3.400 c) Elaborar la tabla de depreciación.

TIEMPO

UNIDADES PRODUCIDAS

CARGO DEPRECIACIÒN

FONDO DEPRECIACIÓN

1

170000,00

3400,00

3400,00

32600,00

2

170000,00

3400,00

6800,00

29200,00

3

170000,00

3400,00

10200,00

25800,00

4

170000,00

3400,00

13600,00

22400,00

5

170000,00

3400,00

17000,00

19000,00

6

170000,00

3400,00

20400,00

15600,00

7

170000,00

3400,00

23800,00

12200,00

8

170000,00

3400,00

27200,00

8800,00

9

170000,00

3400,00

30600,00

5400,00

10

170000,00

3400,00

34000,00

2000,00

VALOR LIBROS 36000,00

EJERCICIO 2 Una máquina industrial tuvo un costo inicial de 200.000 y el valor de salvamento se calcula en 150.000 después de producir 500.000 de unidades. Se requiere calcular el cargo por depreciación anual y elaborar la tabla de depreciación, si la producción estima en 50.000.

(𝐶𝐷) =

200.000 − 150.000 500.000

(𝐶𝐷) = 0,1 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 (0,1)(350.000) = 35.000

TIEMPO

UNIDADES PRODUCIDAS

CARGO DEPRECIACIÒN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

50000,00 50000,00 50000,00 50000,00 50000,00 50000,00 50000,00 50000,00 50000,00 50000,00

35000,00 35000,00 35000,00 35000,00 35000,00 35000,00 35000,00 35000,00 35000,00 35000,00

FONDO VALOR LIBROS DEPRECIACIÓN 500000,00 35000,00 465000,00 70000,00 430000,00 105000,00 395000,00 140000,00 360000,00 175000,00 325000,00 210000,00 290000,00 245000,00 255000,00 280000,00 220000,00 315000,00 185000,00 350000,00 150000,00

DEPRECIACIÓN TRABAJADA POR NÚMERO DE HORAS

EJEMPLO Calcular el cargo por depreciación y la tabla de depreciación de una máquina que costó 240.000 y que se estima un valor de salvamento de 20.000, luego de que han transcurrido 50.000 horas de depreciación.

𝐶𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛(𝐶𝐷) =

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(𝐶𝐼) − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜(𝑉𝑆) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙(𝑁)

(𝐶𝐷) =

240.000 − 20.000 50.000

(𝐶𝐷) = $4,4 𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑎 TIEMPO

HORAS DE OPERACIÓN

CARGO DEPRECIACIÒN

FONDO DEPRECIACIÓN

VALOR LIBROS 240000,00

1

5000,00

22000,00

22000,00

218000,00

2

4000,00

17600,00

39600,00

196000,00

3

6000,00

26400,00

66000,00

174000,00

4

5000,00

22000,00

88000,00

152000,00

5

3000,00

13200,00

101200,00

130000,00

6

5000,00

22000,00

123200,00

108000,00

7

6000,00

26400,00

149600,00

86000,00

8

5000,00

22000,00

171600,00

64000,00

9

6000,00

26400,00

198000,00

42000,00

10

5000,00

22000,00

220000,00

20000,00

Interés Simple AÑOS 1 2 3 4 5 6

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

MESES 12 24 36 48 60 72

31 28 31 30 31 30

DÍAS 365 730 1095 1460 1825 2190

Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

31 31 30 31 30 31

Ejercicios:  Supongo que una operación inicial el 15 de marzo y termina el 15 de agosto del 2014. Determine el tiempo que ha transcurrido en la operación financiera considerando el año calendario o el año comercio.

Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto

31 30 31 30 31 31

Tiempo Exacto n

Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto

30 30 30 30 30 30

Tiempo Aproximado n

16 30 31 30 31 15

153

15 30 30 30 30 15

150

 Si pacta una operación financiera el 2 de febrero 2014 y termino el 18 de abril del 2016. Calcule el tiempo exacto y aproximado tomando en cuenta que el año 2015 es bisiesto. Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril

28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 31 28 31 30

Tiempo Exacto n

26 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 31 28 31 18 806

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

Tiempo Aproximado n

28 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 18 796

INTERÉS SIMPLE  Interés (I).- Precio que se paga por un dinero.  Interés va en dólares.  Tasa de interés (i): Es el valor porcentual por el uso del dinero que ayuda a determinar el interés. Interés Monetario $ 80

Tasa de Interés Porcentual %

 Tiempo (t).- Se lo determina en Años, Días, Meses.  Capital (C).- Es la cantidad de dinero con lo que inicia un negocio.  Monto (M).- Es la cantidad al término de la operación financiera.

𝐹Ó𝑅𝑀𝑈𝐿𝐴: 𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖

Calcular el interés simple que gana un capital de 5000 USD al 12 % anual si la operación dura del 15 de marzo al 15 de agosto del mismo año para tal fin trabaje con el tiempo exacto y con el tiempo aproximado.

𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖    

𝐶 = 5000 𝑛𝐸 = 153 𝑛4 = 150 𝑖 = 12% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

Tiempo Exacto

Tiempo Aproximado

𝐼𝑠 = (5000)(153)(0,12)

𝐼𝑠 = (5000)(150)(0,12)

𝐼𝑠 = 91800

𝐼𝑠 = 90000

Interés Simple 153 𝐼𝑠 = (5000) ( 𝑑í𝑎𝑠) (0,12 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 365 𝐼𝑠 = (5000)(0.419178082)(0,12 ) 𝐼𝑠 = (5000)(0.050301369) 𝐼𝑠 = 251.51

Ejercicios: Una operación financiera que duró del 08 de enero al 18 de marzo con un capital de $30000 sometido a una tasa de interés del 1405% anual. ¿Cuánto generó de intereses?  IS. Tiempo exacto / Año Comercial  IS. Tiempo aproximado / Año Comercial  IS. Tiempo exacto/Año Calendario  IS. Tiempo aproximado / Año Calendario 1.- Tiempo exacto – Año Comercial. IS. = (30000) (69/360) (0.145) IS = 833.75 2.- Tiempo aproximado – Año Comercial IS. = (30000) (70/360) (0.145) IS = 845.83 3.- Tiempo exacto – Año Comercial IS. = (30000) (69/365) (0.145) IS = 822.33 4.-Tiempo aproximado – Año Calendario IS. = (30000) (70/365) (0.145) IS = 834.25 Capital 5000 del 15 de marzo al 15 de agosto con una tasa de interés del 12. 5 %anual 1.- Tiempo exacto – Año Comercial. IS. = (5000) (153/360) (0.12) IS = 250

2.- Tiempo aproximado – Año Comercial IS. = (5000) (153/365) (0.145) IS = 845.83 3.- Tiempo exacto – Año Comercial IS. = (30000) (69/365) (0.12) IS = 251.51 4.-Tiempo aproximado – Año Calendario IS. = (30000) (150/365) (0.12) IS = 246.58 MONTO Una operación financiera que duró del 08 de enero al 18 de marzo con un capital de $30000 sometido a una tasa de interés del 1405% anual. Calcular el monto Gráfica

C=30000

n e =69

n a=70 días

M=

---------------------anual---------------------------Fórmula 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 × 𝑖 ) Monto unitario 69 𝑀1 = {30000 1 + ( ) (0.145)} = (1.027791667) = 30833.75 360 70 𝑀2 = {30000 1 + ( ) (0.145)} = (1.028194444) = 30845.83 360

69 𝑀3 = {30000 1 + ( ) (0.145)} = (1.027410959) = 30822.33 365 70 𝑀4 = {30000 1 + ( ) (0.145)} = (1.027808219) = 30834.25 365 El monto unitario se relaciona a cuanto se ganó por cada dólar invertido al final de la operación financiera. 

Calcule el interés simple y el monto por tiempo exacto y año comercial en cada uno de los siguientes casos:

A) $ 1500 al 18% días de plazo. B) $ 280 al 1.7% mensual a 120 días plazo. C) $ 50000 al 9 % anual del 15 marzo al 31 agosto del mismo año. D) $ 85.00 al 14.4% anual desde el 10 de agosto hasta el 15 de diciembre del mismo año. E) $ 4500 al 1.7% mensual del 10 de abril al 22 de octubre del mismo año. F) $ 2500 al 1.5% mensual desde el 12 de mayo al 15 de septiembre del mismo año. G) $ 3000 al 15% diario del 15 de marzo al 14 de abril del mismo año. a) 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖

𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 × 𝑖)

180 𝐼𝑠 = ((1500) ( ) (0.18)) 360

𝑀 = 1500(1 + (180/360) (0.18)

𝐼𝑠 = 135.00

𝑀 = 1635

b) 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖

𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)

120 𝐼𝑠 = ((280) ( ) (0.17)) 30

𝑀 = 280(1 + (120/300) (0.17)

𝐼𝑠 = 19.04

𝑀 = 299.04

c) 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 169

𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)

𝐼𝑠 = ((50) (360) (0.18))

𝑀 = 1500(1 + (180/360) (0.18)

𝐼𝑠 = 135.00

𝑀 = 52.1125

d) 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖

𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 × 𝑖)

𝐼𝑠 = ((85) (

127 ) (0.144)) 360

𝑀 = 85 (1 + (127/360) (0.09)

𝐼𝑠 = 4.318

𝑀 = 89.32

e) 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖

𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 × 𝑖)

195 𝐼𝑠 = ((4500) ( ) (0.017)) 30

𝑀 = 4500(1 + (195/30) (0.017)

𝐼𝑠 = 497.25

𝑀 = 4997.25

f) 𝐼𝑆 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖

𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 × 𝑖)

126 𝐼𝑠 = ((2500) ( ) (0.015)) 30

𝑀 = 1500(1 + (180/360) (0.18)

𝐼𝑠 = 157.50

𝑀 = 2657.50

g) 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖

𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 × 𝑖)

30 𝐼𝑠 = ((3000) ( ) (0.0015)) 1

𝑀 = 3000(1 + (30/1) (0.0015))

𝐼𝑠 = 135.00

𝑀 = 3135

Ejercicio: 1

 ¿En qué tiempo se incrementara en 205 un capital de 50000 colocado al 4 % anual? Datos 𝐼 =𝐶×𝑛×𝑖 𝑛=

𝐼 𝐶×𝑖

𝑛=

205 (50000)(0.1025 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙)

𝑛 = 0.04𝑎ñ𝑜𝑠 ∗ 360𝑑𝑖𝑎𝑠 = 14.4 𝑑𝑖𝑎𝑠 14.4𝑑𝑖𝑎𝑠 ∗ 12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 0.48𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 

¿A qué tiempo se obtiene un monto de 54500 con un capital de 5000, colocado en una tasa del 1.50 mensual?

Datos 𝑛 =? 𝑀 = 54500 𝐶 = 50000 𝑖 = 1.5% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑀 =𝐶+𝐼 54500 = 50000 + 4500 𝑛=

𝐼 4500 = 𝐶 × 𝑖 (50000)(0.015𝑚𝑒𝑠)

𝑛 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑛 = 6 × 30 𝑑í𝑎𝑠 = 180 𝑑í𝑎𝑠



¿En qué tiempo se convierte un monto de 80000 un capital de 55000 a una tasa del 1% diario?

Datos 𝑛 =? 𝑀 = 80000 𝐶 = 55000 𝑖 = 1% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 Solución 𝑛=

𝐼 25000 = 𝐶 ∗ 𝑖 (55000)(0.01)

𝑛 = 45.45 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑛=

45.45 = 1.515 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 30

𝑛=

45.45 = 1.12625 𝑎ñ𝑜𝑠 360

𝑀 =𝐶+𝐼 80000 = 55000 + 25000



¿En qué tiempo expresado en mese, días, años, un capital de 18000 se convirtió en 20000 una tasa de 6% anual?

Datos 𝑛 =? 𝑀 = 20000 𝐶 = 18000 𝑖 = 6% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑀 =𝐶+𝐼 20000 = 18000 + 2000

Solución 𝑛=

𝐼 2000 = 𝐶 ∗ 𝑖 (18000)(0.06)

𝑛 = 1.85 1.85 ∗ 180 = 333𝑚𝑒𝑠 1.85 ∗ 6 = 11.1 𝑑𝑖𝑎𝑠  ¿En qué tiempo un capital de 150000 se convirtió en 180000 con una tasa de 13% anual? Datos 𝑛 =? 𝑀 = 180000 𝐶 = 150000 𝑖 = 13% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝐼 = 30.000 Solución 𝑛=

𝐼 30000 = = 1.54 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝐶 ∗ 𝑖 (15000)(0.13)

𝑛 = 1.54 ∗ 360 = 554.5 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑛 = 1.54 ∗ 30 = 46.2 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑛 = 1.54 ∗ 12 = 18.48 𝑑𝑖𝑎𝑠

 ¿A qué tasa de interés anual se coloca un capital de 4000 para que se convierta en 4315 en 120 días? Datos 𝑛 = 210 𝑀 = 4000 𝐶 = 4315 𝑖 =?

Solución 𝐶×𝑛×𝑖 𝑖 =𝐶×𝑛 𝐼 315 = = (0.135)(100) = 13.5 𝐶 × 𝑛 4000(210) 360

𝑖=

13.5 = 1.125% 12 13.5 = 0.0375% 13602



¿A qué tasa de interés mensual un capital 1850 se incrementa un cuarta parte más en 310?

Datos 𝑛 = 310 𝑀 = 4000 𝑖 =? 𝑖=

462.5 = 0.01 𝑑𝑖𝑎𝑠 300 1850( 12 )

𝑀 = 2312.5 𝐷𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 = (0.01)(30) = 0.3% 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙 = (0.01)(360) = 3.6% EJERCICIOS Datos 𝑪 = 1 300 𝑴 = 16 300 𝒏 = 228 𝑑í𝑎𝑠

𝒊=

𝐼 𝐶×𝑛

=

1300 228 ) 30

(15000)(

= 0,0114 × 100 = 1,14% Mensual

𝒊=

𝐼 𝐶×𝑛

=

1300 228 ) 360

(15000)(

= 0,136 × 100 = 13,68% Anual.

Datos 𝒊 =? 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑪 = 2 800 𝑴 = 3 100 𝒕 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑎ñ𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑒𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑰 = 𝑀 − 𝐶 𝑰 = 3 100 – 2 800 = 300 Solución

𝒊= 𝒊= 

𝐼 𝐶×𝑛 𝐼 𝐶×𝑛

=

300 3 12

(2800)( )

= 0,4285 × 100 = 42,86% Anual

300

= (2800)(3) = 0.0357 × 100 = 3,57% Mensual

¿Cuál es la tasa de interés diaria si se tiene un capital de $1000,00 para que se convierta en 2200 en un semestre?

Datos 𝑪 = 1 000 𝑴 = 2 200 𝑷𝑪 = 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑰 = 2 200 – 1 000 = 1 200

𝒊=

𝐼 𝐶×𝑛

1200

= (1000)(6) = 0.2 × 100 = 20% Mensual

20 ÷ 30 = 0.66666% Diario. 

De una tasa del 28% anual. Determinar la tasa equivalente de esta expresada en tasa semestral, cuatrimestral, trimestral, bimensual, mensual, diaria y hora.

Semestral

Cuatrimestral

Trimestral

28 ÷ 2 = 14%

28 ÷ 3 = 9,33%

28 ÷ 4 = 7%

Bimensual

Mensual

Diaria

28 ÷ 6 = 4,666%

28 ÷ 12 = 2,33%

28 ÷ 360 = 0,07777%

Hora 28 ÷ 8640 = 0,00324% 

Determine las tasas equivalentes expresadas en día, mes, bimestral, trimestral, cuatrimestral, semestral y anual de una tasa diaria de 0,00324% horaria.

0,00324 × 24 = 0,07776

Diaria

0,00324 × 720 = 2,3328

Mensual

0,00324 × 1440 = 4,6656 Bimestral 0,00324 × 2880 = 9,33

Cuatrimestral

0,00324 × 2160 = 6,99

Trimestral

0,00324 × 4320 = 13,99

Semestral



¿Cuál es la tasa de interés trimestral que generó un interés de 15% $500 sobre un capital de $45 000 invertido en una política de acumulación durante 15 días?

Datos 𝑰 = 500 𝑪 = 45 000 𝒏 = 15 𝑑í𝑎𝑠

𝒊= 

𝐼 𝐶×𝑛

500

= (45000)(15) = 0,0007407 = 0,074% Diario

¿Cuál es el interés bimensual que generó un interés de $1500 durante un semestre con un capital de $ 25 000?

𝒊=

𝐼 𝐶×𝑛

1500

= (25000)(1) = 0,06 = 6% Semestral

6 ÷ 3 = 2% Bimensual 

¿Cuál es la tasa de interés anual que generó un interés de $800 sobre un capital de $800 durante 2 trimestres? 800

(800)(2)

= 0,5 = 50% Trimestral

50 × 4 = 200% Anual 

¿Cuál es el capital que cobrado a una tasa de interés del 9% anual durante 180 días generó un interés de $1125? 𝐶=



1125 = 25000 180 (0,09) (360)

¿Qué capital colocado a una tasa del 15% semestral durante 5 meses produjo un interés de $800 luego de haber sido entregado de préstamo? 𝐶=

800 = 6400 0,15 ( 6 ) (5)

VALOR ACTUAL Es el valor del dinero sometido a una operación financiera con vencimiento anterior a la fecha pactada. Sirve para renegociar créditos, deudas contraídas venta de documentos, venta de bienes adquiridos.

Caso 1.- Valor Actual en función del monto Caso 2.- Valor Actual en función del capital

FORMULA DEL MONTO

Caso 1.- C=

M (1+n*i)

Caso 2.- M= C (1+n*i)

C´=

M (1+n*i)

C= M(1 + n ∗ i)

−1

FUNCION DEL MOMTO Solo tasa a un tiempo Función del capital.- la que vale es la tasa mayor es el que va el valor actual dos tasa y dos tiempos Cuando no esta dada que tasa trabajamos con la misma

EJERCICIOS

Calcular el valor actual de una deuda renegociada cuyo valor de vencimiento es de $ 2300 a 5 meses a una tasa de 10% anual ¿cuánto se paga por el documento? DATOS

M= 2300 i= 10% anual n= 5 meses C´= C´=

𝑀 (1+𝑛∗𝑖) 2300 (1+

5𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 ∗0.10 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

C´= 2208 C= 𝑀(1 + 𝑛 ∗ 𝑖)−1 C´=2300(1+

5𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

∗ 0.10)−1

C= 2300(0.96) C= 2208 Un funcionario publico realiza un bono del estado recibe un capital de $60000 por el cual el estado le paga una tasa del 8% anual al plazo de un año. Pero al mes tercero de la emisión el empleado público necesita liquides para comprarse un vehículo así que se Acerca al Banco de Guayaquil a vender su documento a dicha institución. En cuanto debe vender el documento.

DATOS

C= 60000 i= 8% anual

n1= 1 año n2= 9 meses

M=C (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)−1 M=60000(1+ 1año*0.08) M= 64800 C´=M (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)−1 9𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 C´=64800(1+ ∗ 0.08)−1 12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

C’= 64800(0.9433962264) C´= 61132.07 DATOS C= 60000 I1= 10% anual n1= 1 año i2= 6% anual C´=M (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)−1 C´=64800(1+

9𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

∗ 0.10)−1

C´= 60279.07 C´=M (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)−1 C´=64800(1+

9𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

∗ 0.06)−1

C´= 62009.57 Valor Unitario.- Cantidad de $ por cada dólar que hace la renegociación La tasa de renegociación es > que la que se pactada al inicio.

Yo compre un vehículo hace 2 años por un valor de $ 38500 por el cual imbauto le cobro una tasa 18% anual durante 5 años. Considere que entrego el 30% en efectivo y acabo de los 2 años transcurrido yo deseo vender el vehículo a una tercera persona quien asumirá la deuda con el banco ¿Cuánto venderá el vehículo? DATOS

C= 38500 I1= 18% anual i2= 18% anual n1= 5 años n2= 3 años

M=C (1+n*i) M=38500(1+ 5año*0.18) M= 38500(1.9) M= 73150

CORRECCIÓN DEL DEBER Ejercicio: Datos: C= 540 n= 270 i= 12% anual a) Cuál es el valor actual M = C (1+n*i) M = 540(1+270/360*0.12) M = 540 (1.09) M = 588.6 

Dentro de 240 días

C´= M (1+N*I)−¹ C´= 588.6(1+270/360*0.12) −¹ C´=588.6 (0.9174311927) C´= 540

C´= M (1+N*I)−¹ C´= 588.6(1+240/360*0.12) −¹ C´=588.6 (0.9259259259) C´= 545 

Dentro de 90 días

C´= M (1+N*I)−¹ C´= 588.6(1+180/360*0.12) −¹ C´= 588.6 (0.9433962264) C´= 555.28 ECUACIONES DE VALOR (INTERÉS SIMPLE) Concepto.- es una igualdad matemática que me permite sustituir un conjunto de operaciones financieras por otras obligaciones. Utilidad.- es hacer renegociación de deudas antiguas por deudas nuevas. Características:  El elemento más importante es la fecha focal (es la fecha a la cual serán llevadas todas las obligaciones financieras y los pagos).  Si la fecha focal es posterior al vencimiento de la operación financiera, trabajamos con la fórmula del monto.  Si la fecha focal es anterior al vencimiento de la operación financiera, trabajamos con la fórmula del valor actual.  La tasa de renegociación generalmente será mayor a la tasa vigente del mercado.  Cuando la fecha focal no esté explícita se entenderá como tal a la fecha del último pago.  Debe existir un deudor –acreedor.

Gráfica

 Calcular el valor de un pago único a un año a una tasa del 14% correspondiente a un grupo de 3 obligaciones financieras que se adeudan al Banco de Guayaquil. La primera deuda es equivalente a $9000 pactada a 9 meses de plazo, la segunda deuda es equivalente a $2500 pactada a 5 meses, la tercera equivale a $1200 y fue pactada a 3 meses. Datos D1= 1000 (3meses) D2= 2500 (5meses) D3= 3000 (9 meses) P.U= 1año i= 14% anual

𝐷𝑒𝑢𝑑𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙¨ = 1200 + 2500 + 3000 = $6700

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑛 ∗ 𝑖) 9 7 3 1200 (1 + ∗ 0.14) + 2500 (1 + ∗ 0.14) + 3000 (1 + ∗ 0.14) = 𝑥 12 12 12 1200(1.105) + 2500(1.081666667) + 3000(1.035) = 𝑥 1326 + 2704.17 + 3105 = 𝑥 7135.17 = 𝑥

Deuda nueva= $7135.17 Ganancia extra= $435.17 El banco sustituye el pago de tres deudas, por una deuda pactada 12 meses obteniendo una ganancia extra de $437.17 y obteniendo un pago único de $7135.17.

 El señor Juan Pérez desea renegociar cuatro deudas con el Banco del Pichincha la primera deuda es de $ 5000 a 1 mes, segunda deuda $ 10000 a 5 meses, tercera deuda $10000 a 180 días, cuarta deuda $ 18000 a 4 meses. El señor desea hacer un sol pago a 8 meses a una tasa de interés que el banco le cobra equivalente al 18% anual. ¿a cuánto equivale el valor del pago único en dichas condiciones? Datos D1=5000(1mes) D2=10000(5 meses) D3=10000(180 días) D4=18000(9 meses) P.U= 8 meses i= 18%

5.000 (1 +

7 3 2 ∗ 0.18) + 10.000 (1 + ∗ 0.18) + 10.000 (1 + ∗ 0.18) 12 12 12 −1 1 + 18.000 (1 + ∗ 0.18) = 𝑥 2

5.000(1.105) + 10.000(1.045) + 10.000(1.03) + 18.000(0.985221674) = 𝑥 5.525 + 10.450 + 10.300 + 1.733,99 = 𝑥 44.008,99 = 𝑥 Deuda original= $43.000 Deuda nueva= $44.008,99 Ganancia extra= $1.008,99 El pago sustituye el pago de 4 deudas por una deuda pactada a 8 meses, obteniendo un pago único de $44.008,99 y una ganancia extra de $1.008,99.

 Partiendo de las deudas originales del Señor Juan Pérez él desea hacer dos pagos para sustituir sus cuatro deudas, el primero pago desea hacerlo a los cuatro meses y el segundo a los ocho meses ¿A Cuánto equivale cada uno de los pagos? Datos D1= 5.000(1m) D2=10.000(5m) D3=10.000(6m) D4=18.000(9m) P1=8meses P2=4 meses i=18% anual

5.000 (1 + (7⁄12)(0,18)) + 10.000 (1 + (3⁄12)(0,18)) + 10.000 (1 + (2⁄12)(0,18)) + 18.000 (1 + (1⁄2)(0,18))

−1

= 𝑥 (1 + (4⁄12)(0,18)) + 𝑥

5.525 + 10.450 + 10.300 + 17.733,99 = 𝑥(1.06) + 𝑥 44.008,99 = 1,06𝑥 + 𝑥 44.008,99 = 2,06𝑥 𝑥=

44.008,99 2,06

𝑥 = 21.363,59 El valor de cada uno de los pagos es de 21.363,59

 La empresa XYZ tiene las siguientes deudas D1= 5.000(1año) D2= 8.000(8 meses) D3=10.000(7 meses)

Se reestructuran las deudas a una tasa del 15% anual para encontrar el valor de dos pagos iguales a 7 y 12 meses respectivamente. Calcular a cuanto equivalen dichos pagos

10.000 (1 + (5⁄12)(0,15)) + 8.000 (1 + (4⁄12)(0,15)) + 5.000 = 𝑥 (1 + (5⁄12)(0,15)) + 𝑥 10.000(1,0625) + 8.000(1,05) + 5.000 = 𝑥(1,0625) + 𝑥 10.625 + 8.400 + 5.000 = 1,0625𝑥 + 𝑥 24.025 = 2,0625𝑥

𝑥=

24.025 2,0625

𝑥 = 11.648,48

CALCULO DEL INTERÉS SIMPLE FINANCIERAS Y CASAS COMERCIALES

POR

LAS

INSTITUCIONES

MÉTODO LAGARTO  Calcular el valor de las cuotas periódicas de un capital de 6.000 prestado a una tasa de interés del 1% mensual durante 12 meses. Datos C=6.000 i=1% n=12 meses

𝑀 = 𝑐(1 + 𝑛 ∗ 𝑖)

𝐼 =𝑀−𝐶

𝑀 = 6.000(1 + (12)(0,01))

𝐼 = 6.720 − 6.000

𝑀 = 6.000(1,12)

𝐼 = 720

𝑀 = 6.720

𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 =

6.000 = 500$ 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 12

𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒆𝒔 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 =

720 = 60$ 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 12

Periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Capital 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000

Inveteres 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 720

Capital Pagado 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 6.000

Cuota 1 𝐼1 = 𝑐 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼1 = 6.000 ∗ 1 ∗ 0,01 𝐼1 = 60 Corrección del Deber Datos D1=7000(90 días) (1% mensual) D2=12000(150 días) (sin intereses) D3=15000(210 días) (2% mensual) D4=20000(300 días) (sin intereses) P=180 días I= 18% anual

Renta 560 560 560 560 560 560 560 560 560 560 560 560 6.720

Gráfico

𝑪´ = 𝑴(𝟏 + 𝑵 ∗ 𝑰)

F.F

90

120

150

D1

D2

M = 7000 (1 +

180

210

240

270

D3

300 D4

90 ∗ 0,01) = $7210 30

M = 15000(1 +210/30* 0,02) = $17100

90𝑚

30𝑚

30𝑚

7210 (1 + 360𝑚 ∗ 0,18) + 12000 (1 + 360𝑚 ∗ 0,18) + 17000 (1 + 360𝑚 ∗ 0,18)120𝑚

+20000 (1 + 360𝑚 ∗ 0,18) -1 = 𝑥

1

7534,45 + 12180 + 16847,29 + 18867,92 = 𝑥 $55429,66 = 𝑥

DO= 54.000 DN=55.429,66 Análisis: La empresa sustituye las cuatro deudas por un pago único de $ 55.429,66; pagando un extra de $1.429,66 por la extensión de las deudas. 

Calcular el valor de dos pagos iguales a 180 días y a 210 días que reemplazaran a tres deudas concebidas a 6, 8 y 12 meses equivalentes a

8000, 12000 y 15000 dólares considere una tasa del 18% anual para la sustitución de las obligaciones pendientes. Datos D1= 8000

n1= 6m

D2= 12000 n2= 8m D3=15000

n3=12m

P1= 180 días n=6m P2=210 días n=7m I=18% anual Gráfica

F.F P1

P2

6m

7m

D1=8000

1𝑚

8m

12m

D2=12000

1𝑚

D3= 10000

5𝑚

8000 (1 + 12𝑚 ∗ 0,18) + 12000 (1 + 12𝑚 ∗ 0,18)−1 + 15000 (1 + 12𝑚 ∗ 0,18)-1 1𝑚

= 𝑥 (1 + 12𝑚 ∗ 0,18) + 𝑥 8000(1,015) + 12000(0,985221674) + 15000(0,930232558) = 𝑥(1,015) + 𝑥 8120 + 11822,66 + 13953,49 = 2,015𝑥 𝑥 = 16.821,91 DO= 30000

DN=33.643,82 Análisis El banco sustituye las tres deudas por dos pagos de 33.643,82 cobrando un extra de 3.642,82 por la extensión de las deudas pactadas.

Las empresas Alfa tiene las siguientes deudas D1= 17.000 a 3 meses D2=15.000 a 8 meses D3= 1000 a 12 meses. Se reestructuran estas deudas al 15% anual. Para calcular el valor de tres pagos a los 4 meses, 6 meses, 10 meses respectivamente tomando como fecha focal a los 6 meses. DATOS

GRÁFICA

D1= 17.000

3 meses

D2= 15.000 8meses D3= 1000 12 meses P1= 4 meses P2= 6 meses P3= 10 meses

Calculo

17.000 (1 + 2

3 12

∗ 0,15) + 1.500 (1 +

2 12

∗ 0,15)-1+ 1000 (1 +

6 12

∗ 0,15)-1

4

= 𝑥 (1 + 12 ∗ 0,15) + 𝑥 + 𝑥 (1 + 12 ∗ 0,15)-1 17.637,50 + 14.634,15 + 4.333,33 = 1,025𝑥 + 𝑥 + 0,952380952𝑥 36.604,98 = 2,977380952𝑥

𝑥 = $12. 294,36

DO=33.000 DN=24.588,72 AHORRO=8.411,28

Análisis La empresa Alfa sustituye sus tres deudas pactados por tres pagos de $12.294,36 con un ahorro de$ 8.411,28 Ejercicio Datos D1= 5000 D2= 3000 D3=2000 D4= 1000 P1= 4m P2= 9m P3= 12m Solución 𝑀 = 5.000(1 + 3𝑚 ∗ 0,02)

𝑀 = 3.000(1 + 5𝑚 ∗ 0,01)

𝑀 = 2.000(1 + 8𝑚 ∗

0,02) 𝑀 = 5300

𝑀 = 3.150

𝑀 = 2.320

10𝑚

𝑀 = 1.000 (1 + 12𝑚 ∗ 0,18) 𝑀 = 1.150 6𝑚

4𝑚

1𝑚

5.300 (1 + 12𝑚 ∗ 0,18) + 3.150 (1 + 12𝑚 ∗ 0,18) + 2.320 (1 + 12𝑚 ∗ 0,18) + 1𝑚

5𝑚

3𝑚

1.150 (1 + 12𝑚 ∗ 0,18)-1 = 𝑥 (1 + 12𝑚 ∗ 0,18) + 𝑥 + (1 + 12𝑚 ∗ 0,18)-1 5.777 + 3.339 + 2.354,80 + 1133 = 1,075𝑥 + 𝑥 + 0,956937799 12.603,80 = 3,031937799𝑥 4.157,01 = 𝑥 DO= 11000 DN=12.471

MÉTODO DE SALDOS DEUDORES Período

Capital

Interés

insoluto

Capital

Renta/cuota

pagado

1

6.000

60

500

560

2

5.500

55

500

555

3

5.000

50

500

550

4

4.500

45

500

545

5

4.000

40

500

540

6

3.500

35

500

535

7

3.000

30

500

530

8

2.500

25

500

525

9

2.000

20

500

520

10

1.500

15

500

515

11

1.000

10

500

510

12

500

5

500

505

390

6000

6.390

𝐼𝑠 = 𝑐 + 𝑛 + 𝑖 𝐼𝑠 = 6000(1)(0,01) = 60 𝑀 = 𝑐(1 + 𝑛 + 𝑖) = 6000(1 + 1 ∗ 0,01) = 6.060 6000 12

= 500

6000 − 500 = 5500

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝐼𝑠 = 5.500(1)(0,01) = 55

𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 6000(1 + 1 ∗ 0,01) = 6.060 6000 12

= 500

6000 − 500 = 5500

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝐼𝑠 = 5.500(1)(0,01) = 55

𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 5.500 ∗ 1 ∗ 0,01 = 55 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 5.500(1 + 1 ∗ 0,01) = 5.555 5500 − 500 = 5000 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 5.000 ∗ 1 ∗ 0,01 = 50 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 5.000(1 + 1 ∗ 0,01) = 5.050 5.000 − 500 = 4500 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 4500 ∗ 1 ∗ 0,01 = 45 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 4500(1 + 1 ∗ 0,01) = 4.545

4500 − 500 = 4000 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 4000 ∗ 1 ∗ 0,01 = 40 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 4000(1 + 1 ∗ 0,01) = 4.040 4000 − 500 = 3500

𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 3500 ∗ 1 ∗ 0,01 = 35 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 3500(1 + 1 ∗ 0,01) = 3535 3500 − 500 = 3000 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 3000 ∗ 1 ∗ 0,01 = 30 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 3000(1 + 1 ∗ 0,01) = 3030 3000 − 500 = 2500 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 2500 ∗ 1 ∗ 0,01 = 25 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 2500(1 + 1 ∗ 0,01) = 2525 2500 − 500 = 2000 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 2000 ∗ 1 ∗ 0,01 = 20 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 2000(1 + 1 ∗ 0,01) = 2020 2000 − 500 = 1500

𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 1500 ∗ 1 ∗ 0,01 = 15 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 1500(1 + 1 ∗ 0,01) = 1515 1500 − 500 = 1000

𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 1000 ∗ 1 ∗ 0,01 = 10 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 1000(1 + 1 ∗ 0,01) = 1010 1000 − 500 = 500 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 500 ∗ 1 ∗ 0,01 = 5 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 500(1 + 1 ∗ 0,01) = 505

Calcular por los dos métodos la tabla de amortización completa, si se tiene un capital de $ 6000, a un año plazo con cuotas mensuales sometidas a una tasa de interés del 15% anual. Armar las tablas de amortización usando los dos métodos. 𝐼 =𝐶×𝑛×𝑖 = 6000 × 1 × 0,15 = 900 Método Lagarto  Interés Mensual = Interés Total÷12 meses = 900 ÷ 12 = 75,00  Capital mensual = Capital Total÷12 mese = 6000 ÷ 12 = 500

Tabla por el Método Lagarto

Periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Capital 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000

Periodo

Capital 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Interés 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 I= 900

Interés 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500

75,00 68,75 62,50 56,25 50,00 43,75 37,50 31,25 25,00 18,75 12,50 6,25 487,50 Interés total

Capital Pagado 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 C=6000

Capital Pagado 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00 C=6000 Capital

Cálculo por periodos 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝑖=

0.15 = 0,125 12

Periodo 1: 𝐼𝑠 = 6000 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 75 Periodo 2: 𝐼𝑠 = 5500 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 568,75 Periodo 3: 𝐼𝑠 = 5000 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 562,50 Periodo 4: 𝐼𝑠 = 4500 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 556,25 Periodo 5: 𝐼𝑠 = 4000 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 550

Renta Cuota 575 575 575 575 575 575 575 575 575 575 575 575 Monto= 6900

Renta Cuota 575,00 568,75 562,50 556,25 550,00 543,75 537,50 531,25 525,00 518,75 512,50 506,25 6.487,50 Monto

Periodo 6: 𝐼𝑠 = 3500 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 543,75 Periodo 7: 𝐼𝑠 = 3000 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 537,50 Periodo 8: 𝐼𝑠 = 2500 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 531,25 Periodo 9: 𝐼𝑠 = 2000 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 525 Periodo 10: 𝐼𝑠 = 1500 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 518,75 Periodo 11: 𝐼𝑠 = 1000 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 512,50 Periodo 12: 𝐼𝑠 = 500 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 506,26 Interés por Mora  I es mayor a la tasa inicial  P: 1/2 /3/4/5/6/7/8/9 Ejercicio Retraso 1 mes, 17% anual



Método Lagarto FALTA TABLA YOP

𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝐼𝑠 = 575 ×

30 × 0,17 360

𝐼𝑠 = 8,15 𝑈𝑆𝐷

Retraso 2 mes, 17% anual 

Método Lagarto

𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝐼𝑠 = 575 ×

60 × 0,17 360

𝐼𝑠 = 16,29 𝑈𝑆𝐷

Retraso 3 mes, 17% anual 

Método Lagarto

𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 ×i 𝐼𝑠 = 575 ×

90 × 0,17 360

𝐼𝑠 = 24,44 𝑈𝑆𝐷

PAGO DE INTERESES EN CUENTAS DE AHORRO METODOS 1.- En las transacciones. 2.- En los saldos.

1.- EN LAS TRANSACCIONES Una persona propietaria de una cuenta de ahorros registra las siguientes transacciones: 1.- 15 de Enero deposito 1000 USD para abrir cuenta. 2.- 10 de Febrero deposita 500 USD. 3.- 02 de Marzo retira 600 USD. 4.- 03 de Abril retira 200 USD. 5.- 30 de Abril deposito 1100 USD. 6.- 01 de Junio retiro 300 USD. Si la cuenta gana a una tasa del 14 % anual calcular el saldo de la cuenta y los intereses ganados al 30 de Junio del 2014.

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Días

15 Enero 10 Febrero 1 2 16 0 28 18 31 31 30 30 31 31 30 30 166 140

2 Marzo 3 0 0 29 30 31 30 120

3 Abril 4

30 Abril 5 0 0 0 27 31 30 88

0 0 0 0 31 30 61

01 Junio 6 0 0 0 0 0 29 29

Fecha de los movimientos

DEPÓSITOS

RETIROS

SALDO

15 Enero 10 Febrero 2 Marzo 3 Abril 30 Abril 01 Junio Interés a favor + en contra Interés Saldo 30 de Junio

1000 500 1100 -

600 200 300

1000 1500 900 700 1800 1500

Calculo del interés: 𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 166 𝐼𝑠 = (1000) ( 𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 360 𝐼𝑠 = 64.55

𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (500) (

140 𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 360

𝐼𝑠 = 27.22

𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (600) (

120 𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 360

𝐼𝑠 = 28

𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (200) ( 𝐼𝑠 = 6.84

88 𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 360

1579,64

INTERES + 64,56 27,22 26,09 117,87 79,64

28 6,84 3,38 38,23

2.- EN LOS SALDOS FECHA DE LOS MOVIMIENTOS

DEPOSITOS

RETIROS

SALDO

INTERES +

1000 500 ----1100 ---

----600 200 --300

1000 1500 900 700 1800 1500

10,11 11,67 11,20 7,35 22,40 16,92 79,65

15 Enero 10 Febrero 02 Marzo 03 Abril 30 Abril 01Junio

Calculo del interés: 𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 26 𝐼𝑠 = (1000) ( 𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 360 𝐼𝑠 = 10.11

𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 20 𝐼𝑠 = (1500) ( 𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 360 𝐼𝑠 = 11.67

𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (900) (

32 𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 360

𝐼𝑠 = 11.20

𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (700) ( 𝐼𝑠 = 7.35

27 𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 360

Al Sr Álvaro Trujillo poseedor de la Cuenta de Ahorros Banco Del Austro tiene un saldo en su cuenta de ahorros 4000 USD al 30 de Junio en el segundo semestre del mismo año.   

1 Retiro de 250 USD 25 Agosto 1 Deposito 300 USD 18 septiembre 1 Retiro 600 USD 04 Noviembre

 Tasa de interés 7 % anual cuánto gana al 31 de Diciembre

30-06 1 Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Días

30 31 31 30 31 30 31 214

25-08 2

0 31 31 30 31 30 31 184

0 0 6 30 31 30 31 128

18-09 3

04-11 4

0 0 0 12 31 30 31 104

0 0 0 0 0 26 31 57

FECHA DE DEPOSITOS RETIROS SALDO INTERES MOVIMIENTO + 30 Junio 25 Agosto 18 Setiembre 04 Noviembre

4000 __ 300 __

__ 250 __ 600

--

4000 143.11 3750 7.73 4050 7.89 3450 13.88 ________________ 151.00 21.61

Fecha de los movimientos

DEPÓSITOS

RETIROS

SALDO

INTERES

30 Junio 25 Agosto 18 Septiembre 4 Noviembre

4000 300 -

250 600

400 3750 4050 3450

43,56 1,17 2,74 6,65 54,11

INTERÉS COMPUESTO: DEFINICION: Es el valor de dinero generado por un capital el cual se capitaliza por varias ocasiones durante la operación financiera. CAPITALIZACION: Es el proceso en que el interés se suma al capital para formar uno nuevo. PERIODO DE CPITALIZACION: Es el tiempo durante el cual se va a realizar la capitalización del dinero. ELEMENTOS: 𝑪 = Capital M = Monto i = Tasa de interés por periodos de capitalización j = Tasa de interes anual n = Tiempo de la operación m = frecuencia de capitalización N₀P = N₀ de veces que C + I se capitalizan

FORMULA: 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑖𝑎𝑑 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐶 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙. 1 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛 = 𝑁₀ 𝑑𝑒 𝑃𝐶

EJEMPLO: Calcular el interés compuesto de una operación financiera que se realiza por un capital de 1000 aplicando una tasa del 15% anual. Durante 3 años con una capitalización trimestral. Datos:

𝑪 = 1000 j = 15% 𝑛 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠 ≅ 12 𝑚 = 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑗 15 = = 3,75% 𝑝𝑐 4

𝑀 = 1000(1 + 0.0375)12 𝑀 = 1000(1.555454331) 𝑀 = 1555,45 Periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Capital 1000 1037,50 1076,41 1116,78 1158,66 1202,11 1247,19 1293,96 1342,82 1392,82 1445,05 1499,24

Interés 37,50 38,91 40,37 41,88 43,45 45,08 46,77 48,52 50,34 52,23 54,19 56,22

Capitalización 1037,50 1076,41 1116,78 1158,66 1202,11 1247,19 1293,96 1342,82 1392,82 1445,05 1499,24 1555,46

Calcular el interés compuesto de un capital de 4000000 a una tasa del 10% capitalizable semestralmente durante 3 años. Datos: 𝑪 = 4000000 j = 10% 𝑛 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠 ≅ 6 𝑚=6 𝑗 10 = = 5% 𝑝𝑐 2 𝑀 = 4000000(1 + 0.05)6 𝑀 = 4000000(1.340095641)

𝑀 = 5360382,56

Calcular el Interés y el Monto a pagar Katty E. a una fecha de vencimiento un crédito que solicito a la Coop. Tulcán, en las siguientes condiciones: Datos n

= 12 años

m

= trimestral

j

= 12% anual

C

= 5000

La mama de Katty le sugiere que analice otra alternativa de crédito como en el Banco del Austro les prestan los mismos 5000 con las siguientes condiciones: C

= 5000

n

= 12 años

j

= 12% anual

m

= semestral

¿Cuál será la alternativa más correcta que debe seleccionar Katty? Coop. Tulcán Datos n

= 12 años

m

= trimestral

j

= 12% anual

C

= 5000

𝑗 12 = = 3% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 0.03% 𝑚 4 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 5000(1 + 0.03)4∗8 𝑀−𝐶 =𝐼 20661.26 − 5000 = 𝟏𝟓𝟔𝟔𝟏. 𝟐𝟔 Banco del Austro

𝑗 12 = = 6% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 0.06% 𝑚 2 𝑀 = 5000(1 + 0.06)24 = 20244.67 𝑀−𝐶 =𝐼

20244.67 − 5000 = 𝟏𝟓𝟐𝟒𝟒. 𝟔𝟕 Análisis La opción B es la más indicada por qué tiene que cancelar menos dinero. ¿Calcular el interés compuesto de una deuda de 5000 capitalizable durante 2 años bimensualmente a una tasa del 8%? Datos n

= 2 años

m

= bimensual

j

= 8% anual

C

= 5000

𝑗 8 = = 1.33% = 0.0133 𝑚 6 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 5000(1 + 0.0133)12 = 5859.04 𝐼 =𝑀−𝐶 𝐼 = 5859,04 − 5000 = 859,04

EQUIVALENCIA ENTRE TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA No pocas veces nos vemos en la necesidad de convertir una tasa efectiva a una tasa nominal, proceso que no es tan fácil como aplicar una división simple. En este sentido y para mayor claridad al respecto conviene resaltar que una tasa efectiva anual nunca se puede dividir por ningún denominador, por cuanto se trata de una función exponencial, mientras que las tasas nominales por tratarse de una función lineal, si admiten ser divididas en (m) períodos a fin de obtener la tasa nominal periódica”.

Periodo de capitalización menor a un año, aparece una equivalencia entre: TASA NOMINAL: Tasa de nombre o de captación de la operación financiera. TASA EFECTIVA: Tasa real de costo de la operación financiera. La tasa efectiva es mayor (>) que la tasa nominal. FORMULA: 𝑗 𝑚

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛

𝑖=

Monto monetario

n =n*m

Ecuación de montos unitarios (1 + 𝑗)𝑛 = (1 +

𝑗 𝑛∗𝑚 ) 𝑚

Dónde: 𝑖 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑗 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 TASA EFECTIVA 𝑗 𝑚 𝑖 = (1 + ) − 1 𝑚 𝑗 𝑛∗𝑚 𝑗 = (1 + 𝑗) = (1 + ) 𝑚 𝑛

𝑗 𝑚 (1 + 𝑖) = (1 + ) 𝑚 𝑚

√1 + 𝑖 = (1 +

𝑚

𝑗 ) 𝑚

√(1 + 𝑖) − 1 =

𝑗 𝑚

TASA NOMINAL

𝑚

[ √(1 + 𝑗) − 1] 𝑚 = 𝑗 𝑚

𝑗 = [ √(1 + 𝑖) − 1] 𝑚 Ejercicios ¿Cuál es la tasa nominal equivalente al 20% de una tasa efectiva? Datos I = 20% anual j =? m= semestral (2 veces) 𝑚

𝑗 = [ √(1 + 𝑖) − 1] 𝑚 2

𝑗 = [ √(1 + 0,20) − 1] 2 𝑗 = 0,19 ∗ 100% 𝑗 = 19% Determinar la tasa nominal a la que estuvo sometido un capital que generó un rendimiento efectivo de 32.25% si los periodos de capitalización son bimestrales. Datos i = 32.25% anual j =? m= bimestral (6 veces) 𝑚

𝑗 = [ √(1 + 𝑖) − 1] 𝑚 6

𝑗 = [ √(1 + 0,3225) − 1] 6 𝑗 = (0,04768955317)6 𝑗 = 28,88% = 29%

CÁLCULO DEL INTERÉS COMPUESTO CON TIEMPOS MIXTOS Tiempo mixto 4 años; 3 meses 2 años; 7 meses 4 años; 7 meses 1 mes a años 2 meses a años 3 meses a años

3 4+ = 4 + 0,25 12 7 2+ = 2 + 0,58 12 7 4+ = 4 + 0,58 12 1 12 2 12 3 12

Conversión = 4,25 años = 2,58 años = 4,58 años = 0,0833 años = 0,166 años = 0,25 años

INTERÉS COMPUESTO CON PERIODOS CAPITALIZACIÓN MIXTA Los periodos de capitalización inexactos Ejercicio (1 año, 8 meses) capitalización es semestralmente 3semestre + 2 meses Capitalización mixta 33.3333 semestre 2años, 7 meses 7

2 + 12 = 2+0,58=2.58 años 1.- MÉTODO MATEMÁTICO.- Racional (Exacto)(menos utilizado) 2.- MÉTODO BANCARIO.- (Menos exacto)(mas utilizado)

Formula

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑗/𝑚)𝑛.𝑚

Parte (PC. Enteros)

Interés Simple M= C(1+n*i) Fraccionario 𝑗 𝑛𝑚

𝑀 = 𝐶 (1 + ) 𝑚

(1 + 𝑛 ∗ 𝑖)

EJERCICIOS

1.- Calcular el Impuesto con un capital de $ 6000 a una tasa de 12% anual por un periodo de 3años 8meses con una capitalización semestralmente. MÉTODO RACIONAL DATOS

IC=?

i= j/m

C= 6000

i=

12 2

=6

n= n*m n= 3.67años*2

i= 12%/2

n= 7.33

semestre n= 3años8m=3.67años PC= semestral m=

12 6

=2

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 6000(1 + 0.06)7.33 M = 6000(1.532822944) M = 9196.94 IC= 3196.94 METODO ANCARIO M = 6000(1 + 0.06)7 1 +

2 12

∗ 0.12

M = 6000(1.5036)(1.02) M = 9021.78(1.02) M = 9202.22 Calcular por los dos métodos el interés compuesto dado un capital de 8700 a una tasa del 15% capitalizada cada 4 meses en un tiempo de 3 años 10 meses.

MÉTODO RACIONAL DATOS

IC=?

i= j/m

C= 8700

i=

i= 15%

15 3

=0.05

n= n*m n= 3.83años*3 n= 11.49

n= 3años10m=3.83años PC= trimestral m= 3 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 8700(1 + 0.05)11.49 M = 8700(1.751721443) M = 15239.98 IC= 6539.98 METODO ANCARIO M = 8700(1 + 0.15/3)11 (1 +

2 12

∗ 0.15)

M = 8700(1.710339358)(1.025) M = (14879.95)(1.025) M = 15351.95 IC= 6551.95 Valor actual del interés compuesto

𝐶 =𝑀 (1+𝐼)ᴖ  Cuál será el valor actual de un pagare cuyo valor al vencimiento al final de 4 años es de 3500 dólares considerando una tasa de interés del 12% anual capitalizable semestralmente. Datos: M = 3500 j= 12% n= 4 años

Pc= semestral 𝐶 =𝑀 (1+𝐼)ᴖ 3500 𝐶 =(1+0.12)8 3500 𝐶 =(0.627412371)

C= 2195.94  Calcular el valor actual de 35.000$ sometido a una tasa del 18,5% capitalizable trimestralmente durante 3 años 6 meses, el cual es renegociado dos periodos de capitalización antes del vencimiento a una tasa de 2 puntos superiores a la tasa inicial pactada. Datos C=35.000 j=18,5% n=3años, 6meses Pc=trimestral m=4

𝑛 = 𝑛∗𝑚 𝑛 = 3,5 𝑎ñ𝑜𝑠 ∗ 4 𝑛 = 14𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 1) 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛

2) 𝐶 ′ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛

𝑀 = 35.000(1 + (0,185⁄4))14

𝐶 ′ = 65.912,02(1 + (0,205⁄4))−2

𝑀 = 35.000(1,883200644) 𝑀 = 65.912,02

𝐶 ′ = 65.912,02(0,904873734) 𝐶 ′ = 59.642,06

 Calcular el valor al que Pepito debería vender su bono de jubilación que le emitió el estado por 50.000$ que se le adeudado por los 35 años que laboro en la entidad pública Ministerio del Interior ejerciendo el cargo de contador. Pepito podrá cobrar su dinero al cabo de 20 años a una tasa de 15% capitalizable semestralmente, acercándose al banco central hacer efectivo su dinero (después de transcurridos los 29 años) después de 2 años necesita de urgencia su dinero líquido para la cual se acerca al banco Internacional a vender su documento para salvar su necesidad urgente. El banco acepta comprarle el documento y le ofrece aplicarle una tasa del 17% capitalizable semestralmente ¿Cuánto va a recibir Pepito por la venta del documento? Datos C=50.000 j=15% Pc= semestral m=2 n=20 años j=17%

𝑛∗𝑚

𝑗 1) 𝑀 = 50.000 (1 + ( ⁄𝑚))

2) 𝐶′ = 902.211,95 (1 +

−36

(0,17⁄2)) 𝑀 = 50.000 (1 +

0.15 40

)

2 40

𝑀 = 50.000(0,075) 𝑀 = 50.000(18,04423897) 𝑀 = 902.211,95

𝐶 ′ = 902.211,95(0,05303030952) 𝐶 ′ = 47.845,16

1. Luego de 3 años y 3 meses de la fecha de suscripción se renegocia un documento inscrito el día de hoy por $2800 a 6 años y meses con una tasa de

interés del 12% capitalizable semestralmente. Calculemos el valor a actual a dicha fecha considerando una tasa de interés del 11 ¼% efectiva. Datos

Grafica

C=2800 j=12% n= 6 años 9 meses m=2 j=11 ¼% Calculo 𝑀 = 𝑐(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 2800(1 + 0,06)135 𝑀 = 6 148,76

Método matemático 𝐶′ = 𝑀(𝑖 + 𝑖)−𝑛 𝑐 ′ = 6 148,761 + 0,05625)−7 𝑐 ′ = 6 148,761(0,681762244) 𝑐´ = 4 191,99 𝑀 = 𝑐(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 2800(1 + 0,06)13 (1 + 𝑀 = (5.972,20)(1,03) 𝑀 = 6 .157,37 Método bancario

3 ∗ 0,12) 12

𝐶´ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛 (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)−1 𝐶´ = 6 157,37(1 + 0,1125)−3 (1 +

6 ∗ 0,1125 )−1 12

𝐶´ = 6 157,37(0,72627307)(0,946745562) 𝐶 ′ = 4 224,66

Análisis El valor actual mediante el método bancario es menor que el valor actual hallado mediante el método matemático. 2. Juan Pérez contrae una deuda con el banco Pichincha para comparar su cas por un valor de $65.000 a los cuales se les aplica una tasa del 8,5% anual capitalizable cuatrimestralmente durante 15 años. Sucede que transcurridos 10 años 2 meses Juan Pérez se gana la lotería y decide liquidar su deuda para la cual se acerca al banco a renegociar su deuda. El banco acepta la renegociación en las siguientes condiciones la tasa de renegociación será del 9,5% y se mantendrá el periodo de capitalización. Aplicando el método matemático y bancario para el cálculo del valor actual. ¿Cuánto debe pagar Juan Pérez por su casa? Datos C =65000 i =8,5% anual Pc= cuatrimestral n= 15*3= 45 n1=10 años 2 meses i2 = 9,5% Calculo

Grafica

𝑀 = 𝑐(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 65.000(1 +

0,085 45 ) 3

𝑀 = 65.000(3,515815805) 𝑀 = 2.285,28 Método Matemático 𝐶′ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛 𝐶 ′ = 22.8528,03(1 +

0,095 −14,5 ) 3

𝐶 ′ = 2. 8528,03(0,6363246097) 𝐶 ′ = 145.418,01 Método bancario 𝐶´ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛 (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)−1 𝐶´ = 228 .528,03(1 +

0,095 −14 2 ) (1 + ∗ 0,095)−1 3 12

𝐶´ = 145.400,34

Análisis Le conviene a Juan Pérez que le apliquen el método bancario pagara menos dinero por su casa. 3. Pedro Rosero contrae una deuda con el Banco de Guayaquil para iniciar un negocio por el valor de $ 40.000 las cuales se les aplica un tasa de 10,5% anual capitalizable semestralmente

durante 10 años 3 meses sucede que

transcurrido 5 años 4 meses desea liquidar su deuda por circunstancias que debe salir del país indefinidamente por el cual renegocia a una tasa del 11,5% capitalizable semestralmente. ¿Cuánto debe pagar Pedro Rosero por el préstamo cancelado antes de tiempo?

Datos C= 40.000 i=10,5% PC= semestralmente n1= 10 años 3 meses n2= 5 años 4 meses i=11,5%

Grafica

C=40 000

5años 4 meses 0

1

2

3

4años 11 meses 4

10 años 3 meses

Calculo 𝑀 = 𝑐(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 40.000(1 +

0,105 20,5 ) 2

𝑀 = 40.000(2,854651802) 𝑀 = 114.186,07

5

6

7

8

9

10

Método Matemático 𝐶′ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛 𝐶 ′ = 114.186,07(1 +

0,115 −9,83 ) 2

𝐶 ′ = 114.186,07(0,766775475) 𝐶 ′ = 87.555,08 Método Bancario 𝐶´ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛 (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)−1 𝐶´ = 114.186,07(1 +

0,115 −9 1 ) (1 + ∗ 0.115)−1 2 12

𝐶´ = 114.186,07(0,604611795)(0,990507635) 𝐶´ =68.382,91 Análisis Le conviene a Pedro Rosero que le apliquen el método bancario pagara menos dinero por su deuda con el banco.

VALOR REAL DE LOS BIENES ADQUIRIDOS A CRÉDITO

Valor real: (Precio al contado) No esta incrementado por las tasas de interés. EJEMPLO Un automóvil se compra en las siguientes condiciones:     

Pago 1 Pago 3 Pago 4 Pago 2 J=18%

20% Del valor total Contado 30% Del valor total (50.000) 30% Del valor total (50.000) Diferencia del valor total ?

1. ¿Cuál es el valor total del bien?

? (8 meses) (12 meses) (6 meses)

100.000 x

60% 20%

=33.333,33

Valor total del bien= 33.333,33+33.333,33+50.000+50.000 Valor total del bien=106.666,67 VALOR ACTUAL≈ 𝑪′ = 𝑴(𝟏 + 𝒊)−𝒏 Gráfica

0,18 −2 0,18 −3 𝑽𝑹 = 33.333,33 + 33.333,33 ( 1 + ) + 50.000 ( 1 + ) 4 4 0,18 −4 + 50.000 ( 1 + ) 4 𝑽𝑹 = 33.333,33 + 33.333,33(0,915729951) + 50.000(0,876296604) + 50.000(0,838561343) 𝑽𝑹 = 33.333,33 + 30.524,33 + 43.814,03 + 41.828,07 𝑽𝑹 = 𝟏𝟒𝟗. 𝟔𝟎𝟎, 𝟓𝟔 EJERCICIO María Pérez desea comprar una casa y tiene cuatro opciones. 1) Ángela Imbaquingo le desea vender su casa en las siguientes condiciones, que pague de contado 50.000, una cuota a 10 meses de 10.000, una tercera cuota a 16 meses de 25.000 y el último pago a 20 meses por un valor de 10.000. en las cuotas a crédito Ángela recargo una cuota de interés de 8.5% de capitalización bimestral.

2) Madelaine Tuz también decide vender su casa en las siguientes condiciones: 30.000 de contado, 20.000 pagados a 9 meses y 35.000 pagados a un año, para estos dos últimos pagos se aplicó una tasa del 9% con capitalización trimestral. 3) Álvaro Trujillo también decide vender su casa en las siguientes condiciones: 40.000 en efectivo, 10.000 a 3 meses 15.000 a 9 meses y 25000 a 15 meses, en los últimos pagos se aplicó una tasa de 8.5% con capitalización trimestral.

Finalmente Jessica Melo le ofrece venderle su casa de contado en 90.000. ¿Cuál de las ofertas le conviene a María Pérez aceptar y por qué? OPCIÓN 1 Datos P1

Contado

(50.000)

P2

(10 meses)

(10.000)

P3

(16 meses)

(25.000)

P4

(20 meses)

(10.000)

PC= Bimestral m=6 j=8.5% Gráfica

0,085 −5 0,085 −8 𝑽𝑹 = 50.000 + 10.000 ( 1 + ) + 25.000 ( 1 + ) 6 6 0,085 −10 + 50.000 ( 1 + ) 6

𝑽𝑹 = 50.000 + 10.000(0,932080321) + 25.000(0,893563339) + 10.000(0,868773725) 𝑽𝑹 = 50.000 + 9320,80 + 22.339,08 + 8.687,74 𝑽𝑹 = 𝟗𝟎. 𝟑𝟒𝟕, 𝟔𝟐

OPCIÓN 2 Datos P1

Contado

(30.000)

P2

(6 meses)

(20.000)

P3

(12 meses)

(35.000)

PC=Trimestral m=4 j=9%

Gráfica

𝑽𝑹 = 30.000 + 20.000 ( 1 +

0,09 −2 0,09 −4 ) + 35.000 ( 1 + ) 4 4

𝑽𝑹 = 30.000 + 20.000(0,950474435) + 35.000(0,9148433451) 𝑽𝑹 = 50.000 + 19.129,49 + 32.01952 𝑽𝑹 = 𝟖𝟏. 𝟏𝟒𝟗, 𝟎𝟏

OPCIÓN 3 Datos P1

Contado

(40.000)

P2

(3 meses)

(10.000)

P3

(9 meses)

(15.000)

P4

(15 meses)

(25.000)

PC=Trimestral m=4 j=8,5%

Gráfica

𝑽𝑹 = 40.000 + 10.000 ( 1 +

0,085 −1 0,085 −3 0,085 −5 ) + 15.000 ( 1 + ) 25.000 ( 1 + ) 4 4 4

𝑽𝑹 = 30.000 + 10.000(0,979192166) + 15.000(0,938866388) + 25.000(0,900201334) 𝑽𝑹 = 50.000 + 9791,92 + 14.083 + 22.505,03 𝑽𝑹 = 𝟗𝟔. 𝟑𝟕𝟗, 𝟗𝟓

OPCIÓN 4 90.000

INTERPRETACIÓN: A la señora María Pérez le conviene aceptar la segunda opción, ya que este es el valor más bajo de todas las ofertas.

ECUACIONES DE VALOR DEL INTERÉS COMPUESTO 1. Grupo de Deudas/Obligaciones Conocidas 2. Grupo de Pagos/Obligaciones Nuevas- Deudas

FÓRMULA

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 𝐶′ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛 Ejercicio Álvaro Trujillo tiene tres obligaciones en la Cooperativa Tulcán: Deuda 1 de $5000 pagada a 18 meses, deuda 2 de $10000 a 24 meses y deuda 3 25000 a 36 meses. Él desea sustituir estas deudas por un pago único que las reemplace en 9 meses y con una tasa de interés de 18.5% capitalizable semestralmente.

24 − 9 =

15 = 5𝑃𝐶 3

36 − 9 =

27 = 9PC 3

5000(1 + 1,185/4)−3 + 10000(1 + 0185/4)−5 + 25000(1 + 0,185/)−9 = 𝑥 5000(0,873159507) + 10000(0,797668872) + 25000(0,665703378) = 𝑥 = 𝑥 4365,80 + 7976,69 + 16642,58 = 𝑥 𝑥 = 28.985,07 Deuda Anterior: 5000 + 10000 + 25000 = 40000 − 28985,07 = 11014,93 Deuda Nueva:

28985,07 Ahorro: 40000 − 28985,07 = 11014,93

La empresa ABC, mantiene 4 deudas paralelas en Corporación Financiera Nacional por los siguientes montos: Deuda1. $25000, 00 se debe pagar en dos años; deuda2. $80000,00 pagaderos a cinco años; $ 10000,00pagaderos a cinco años ½; la deuda 4 de $ 300000,00 a pagar en 10 años. La empresa desea trasferir esas deudas para realizar 2 pagos iguales a 6 años el pago 1 y en 8 años el pago 2. ¿Calcular el valor de esos 2 pagos si se aplica una taza de 14.5% anual con capitalizaciones cuatrimestral? Datos D1= 25000(2años) D2=80000(5 años) D3=100000(9,6) D4=300000(10 años) P1=6 años P2=8 años j= 14,5% PC=cuatrimestral

0,145 18 0,145 9 0,145 7,5 ⇒ (1 + ) + 80000 (1 + ) + 100000 + (1 + ) + 300000 3 3 3 0,145 −6 0,145 6 (1 + ) = 𝑋 (1 + ) +𝑋 3 3 ⇒ 25000 (1,048333333)18 + 80000 (1,048333333)9 + 100000(1,048333333)7,5 + 300000(1,048333333)−6 = 𝑋 (1,048333333)6 + 𝑋 ⇒ 25000 (2,338778599) + 80000 (1,529306574) + 100000(1,424772296) + 300000(0,75336186) = 𝑋 (1,327383362) + 𝑋 ⇒ 58469,46496 + 122344,5256 + 142477,2296 + 226008,56 = 1,317383362𝑋 + 𝑋 ⇒ 549299,7782 = 2,327383362𝑋 ⇒

549299,7782 =𝑋 2,327383362

⇒ 236016,03 = 𝑋 ⇒ 𝑋 = 236016,03 Deudas Anteriores: 25000 + 80000 + 100000 + 300000 = 505000 Deuda Nueva: 236016,03 × 2𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 = 472032,06 Ahorro:

505000 − 472032,06 = 39267,94 EJERCICIO: Calcular el valor de dos pagos iguales a 15 y 21 meses, respectivamente sabiendo que existe un pago de $4000 a 9 meses de plazo para sustituir las deudas de la Industria Lechera Carchi de $5000, $8000 y $10000 a 1: 1.5 y 2 años respectivamente, para los pagos aplica una tasa del 16% convertible trimestralmente. Datos:

Gráfica

       

𝐷1 = 5000 (1𝑎ñ𝑜) 𝐷2 = 8000 (16 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) 𝐷3 = 10000 (24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) 𝑃 = 4000 (9 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) 𝑃1 = 15 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑃2 = 21 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑗 = 16% 𝑃𝐶 = 𝑇𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

50000 (1 +

0.16 3 ) 4

+ 8000(1 +

0.16 1 ) 4

+ 10000 (1 +

(𝑥(1 +

0.16 2 ) 4

0.16 −1 -1 ) = 4

4000(1 +

0.16 4 ) 4

+

+𝑥

5000(1,124804) + 8000(1.04) + 10000(0961538461) = 4000(1,16985856) + 𝑋(1.0816) + 𝑋 5624.32 + 8320 + 9615.38 − 4679.43 = 2,0816𝑋 18880.27 = 0.816𝑋 𝑋 = 9070.08 𝐷𝐴 = 23000 𝐷𝑅 = 22140.16

ANUALIDADES Son pagos periódicos que se realizan para acumular fondos, capitales o amortizar deudas. Se usan para:  Cancelar deudas.  Acumular pensiones de jubilación.  Formar capitales (ahorro). Elementos:     

𝑖: 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝐶 = 𝐴 ≈ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑛 = 𝑝 ∗ 𝐴 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑛 = 𝑝 ∗ 𝑅 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑅 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠

𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠: 𝑆=𝑅∗

Monto de la Anualidad: Valor Actual de la Anualidad:

𝐴=𝑅∗

(1+𝑖)𝑛 −1 𝑖

1−(1+𝑖)−𝑛 𝑖

TIPOS DE ANUALIDADES 1.- Anualidades simples: Ciertas o comunes (conocen todos los elementos) 2.- Anualidades de contingencia o eventuales: (no conocen todos los elementos) 3.- Anualidades anticipadas: (Periodos de gracia). El señor Ordoñez trabajo durante 30 años en la empresa Industria Lechera Carchi y realizó aportaciones mensuales al IESS de $ 200 al cabo de los 30 años el señor Ordoñez desea retirar su fondo de liquidación. ¿Cuánto debería entregarles el IESS si le aplica una tasa nominal del 18%.

𝑆=𝑅∗

(1+𝑖)𝑛 −1 𝑖

𝑆 = 200 ∗ 𝑆 = 200 ∗

(1+

0.18 360 ) −1 4 0.18 12

(212.7037809 − 1) 0.015

𝑆 = 300(14113.38339) 𝑆 = 2822717.079

Calcular el valor que tendrá al final del tiempo de la anualidad y los interes ganados en la operación. Si el señor Andrés Romo realiza depósitos trimestrales de $300 cada uno durante 2 años por lo cual el bando del pichincha le reconoce un 18% de interés. 𝑆=𝑅∗

(1+𝑖)𝑛 −1 𝑖

𝑆 = 300 ∗ 𝑆 = 300 ∗

(1+

0.18 8 ) −1 4 0.18 4

(1.422100613 − 1) 0.045

𝑆 = 300(9.380013618) 𝑆 = 2814.00

Calcular el valor de un terreno al inicio de la adquisición por el cual Álvaro hizo pagos trimestrales de $5000 cada uno durante 2 años si se ha aplicado una tasa del 14% de recargo por intereses determinar dicho valor al inicio de la anualidad. 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴=𝑅∗ 𝑖 0.14 −8 1 − (1 + 4 ) 𝐴 = 500 ∗ 0.14 4 𝐴 = 5000 ∗

1 − (0.759411556) 0.035

𝐴 = 5000(6.87395537) 𝐴 = 34369.78 CALCULO DEL PAGO PERIODICO ® ANUALIDADES En función del monto de la anualidad

𝑅 = 𝑆.

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

En función del valor actual de la anualidad 𝑅 = 𝐴.

𝑖 1 − (1 + 𝑖)−𝑛

Calcular el valor del pago periódico que debe realizar una empresa que desea acumular un fondo de 50.000 mediante pagos trimestrales durante 2 años y medio a una tasa del 14%. Datos D: 50.000

Pagos: Trimestrales N: 2 años y medio I: 14% 𝑅 = 50. 000

0.14 ( 4 ) 0.14 10 (1 + ) −1 4

𝑅 = 50.000

(0.035) 1.41059876 − 1

𝑅 = 50.000

(0.035) 0.41059876

𝑅 = 50.000 ∗ 0.085241367 𝑅 = 4.262.07

Se crea una empresa y se establece que su capital social se constituirá en el plazo de 2 años con pagos trimestrales hechos en el Banco del Pichincha a una tasa del 12%. Si el capital social es de 40.000. Determine el valor del pago periódico. D.S: 40.000 I: 12% N: 2 años PC: trimestral

𝑅 = 𝑆.

𝑅 = 40. 000

𝑅 = 40.000

𝑅 = 40.000

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 0.12 ( 4 ) 0.12 (1 + 4 )8 − 1 (0.03) 1.266770081 − 1

(0.03) 0.266770081

𝑅 = 40.000 ∗ 0.112456388

𝑅 = 4.498,26

En la compra de una vivienda cuyo valor es de 80.000 se cancela el 30% de contado el saldo en pagos cuatrimestrales con un recargo del 15% durante 2 años 8 meses. Hallar el valor de la cuota. Datos D: 56.000 Pagos: Cuatrimestrales N: 2 años 8 meses I: 15% 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑅 = 𝑆.

𝑅 = 56. 000

𝑅 = 56.000

0.15 ( 3 ) 0.15 8 (1 + ) −1 43 (0.05) 1.477455444 − 1

𝑅 = 50.000 ∗ 10.104721813 𝑅 = 5864.42

En la adquisición de un local cuyo valor es de 60.000 se realizó 12 pagos bimensuales con una tasa de interés del 18% determinar el valor de cada pago si adicionalmente se efectúa un depósito de 8000 al cabo de un año.

= 8000(1 +

0.18 −6 ) 6

= 8000 ∗ 0.837484256 = 6699.87 = 60.000 − 6699.87 = 53300.13

𝑅 = 𝑆.

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

0.18 ( 6 ) 𝑅 = 53300.13 0.18 12 (1 + ) −1 6 𝑅 = 53300.13

𝑅 = 53300.13

(0.03) 1.425760887 − 1

(0.03) 0.425760887

𝑅 = 53300.13 ∗ 0.070462085 𝑅 = 3.755,64

29 de julio mire

TALLER

1. ¿Cuál es la fórmula para calcular el interés simple? 𝐼 = 𝐶×𝑛×𝑖 2. ¿Calcule el interés simple que genera un capital de $ 3.000 colocado a una tasa de interés del 30% anual durante 90 días? Datos 𝑪 = 3000 𝒊 = 30% 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙 𝒏 = 90 𝑑í𝑎𝑠 𝑰 =? Solución 𝐼 = 𝐶. 𝑛. 𝑖 𝐼 = 3000 (0,30)

90 360

𝐼 = 3000(0,075) 𝐼 = 225 3. ¿De cuantas maneras puede calcularse el interés simple cuando la tasa de interés es anual y se da el tiempo exacto y aproximado entre dos fechas? Tiempo exacto Año calendario

Tiempo Aproximado Año calendario

Tiempo exacto

Año comercial

Tiempo Aproximado Año comercial

4. ¿Cuál es la fórmula para calcular el monto a interés simple? 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑛 𝑥 𝑖)

5. ¿Calcule el interés simple que producirá un capital de 20.000 colocado a una tasa de interés del 9% anual durante el tiempo comprendido entre el 5 de mayo y el 5 de noviembre del mismo año, mediante las cuatro formas de cálculo?

𝐶 = 20.000

𝐼𝑠 =

20.000.180.0,09 360

𝑖=9 𝑛 = 184 𝑑í𝑎𝑠 𝑖 = 180 𝑦 184 𝐼 =?

𝐼𝑠 = 20.000. 0,045

𝐼𝑠 = 900 𝐼𝑠 =

20.000. 1.84. 0,09 360 𝐼𝑠 = 20.000 . 0,046

𝐼𝑠 = 920

𝐼𝑠 = 20.000 .

180 . 0,09 365

𝐼𝑠 = 20.000 . 0,044 𝐼𝑠 = 887,67

𝐼𝑠 = 20.000 .

184 . 0,09 365

𝐼𝑠 = 20.000 . 0,046. 0,09 𝐼𝑠 = 920

6. Calcule el monto en los ejercicios 2 y 5 𝟐) 𝑀 =? 𝐶 = 3000 𝐼 = 225 5) 𝑀 =? 𝐶 = 20.000 𝐼 = 900

𝑀 = 20.000 + 900 = 20.900

𝑀 =? 𝐶 = 20.000

𝑀 = 20.000 + 920

𝑖 = 920

𝑀 = 20.920

𝑀 =? 𝐶 = 20.000

𝑀 = 20.000 + 920

𝑖 = 920

= 20.920

𝑀 =? 𝐶 = 20.000

𝑀 = 20.000 + 887,67

𝑖 = 887,67

𝑀 = 20.887,67

7. Determine la fórmula para calcular tasa de interés, tiempo, y capital inicial.

Tasa Interés

𝑖=

𝐼 c.n

I= M-C

BLOQUE B

1. Calcule el interés que gana un capital a una tasa de interés del 12% anual durante 180 días?

𝐼=

𝐼 = 7500. 0,12.

180 360

𝐶 = 7500 𝑖 = 0,1𝐿 𝑛 = 180 𝑑𝑖𝑎𝑠

𝐼 = 7.500. 0,06 𝐼 = 450

2. Calcule el interés que gana un capital de 20.500 a una tasa de interés del 15% anual, desde el 1 de marzo del mismo año siguiendo los cuatro métodos? 𝐼 =? 𝐶 = 20.500 𝑖 = 0,15 𝑛 = 184 𝑦 180 𝐼 = 20.500.

180 . 0,15 360

𝐼 = 20.500. 0,075 = 1537,50 𝐼 = 20,500.

184 . 0,15 3670

𝐼 = 20.500. 0,07666 = 1571,66 𝐼 = 20.500.

180 , 0,18 365

𝐼 = 20.500. 0,07397. = 1516,43

𝐼 = 20.500.

184 . 0,15 365

𝐼 = 20.500. 0,0756 = 1550.13

3. En qué tiempo se incrementara un capital de 20,500 un capital de 50.000 colocado a una tasa de interés de 10 ¼ anual

𝑛=

𝑖 c.i

205 50.000 x 0,1025

𝑛=

𝑛 = 0,04 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 0,04 𝑥 360 = 14,4 𝑑𝑖𝑎𝑠.

4. A que tasa de interés anual se colocó un capital de 4000 para se convierta en 4315 en 210. 𝑖= 𝐼 𝑖=

315 4000. 210

𝑖 = 0,000375 𝑥 10 𝑖 = 0,0375 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑥 360 = 13,5