Portafolio de Evidencia

 

 

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS INGENIERÍA MECÁNICA MATERIA: CALCULO VECTORIAL Portafolio de evidencias DOCENTE: ING. CLAUDIA RODRÍGUEZ SANTIAGO   UNIDAD: II ALUMNO: OLARTE HERNÁNDEZ GABRIEL CASTILLEJOS CABRERA HÉCTOR No DE CONTROL: 16080712 16080635

GRADO: 3 COATZACOALCOS, VER.

GRUPO: B 03/octubre/2017 

NOTAS  _______________________________________________________  ___________________________ ____________________________  _______________________________________________________  ___________________________ ______________________________________________  __________________   _______________________________________________________  ___________________________ ______________________________________________  __________________   _________________

 

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS Departamento: Ingeniería Mecánica Materia: Calculo Vectorial Docente: Rodríguez Santiago Claudia 

  Nombre  Alumno: Unidad:

Castillejos Cabrera Hector Olarte Hernández Gabriel III

Grado y Grupo:

3BM  Actividad:

4

Fecha:

28/11/2017

ÍNDICE INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………..3  ENCUADRE…………………………………………………… ENCUADRE………………………… …………………………………………………….. …………………………..4

ACTIVIDAD 1………………………………………………………… 1……………………………………………………………………………..6 …………………..6  ACTIVIDAD 2……………………………………………………………………………..7  ACTIVIDAD 3…….………………………………………………………………………8   ACTIVIDAD 4…………...……………………………………………………………….10  ACTIVIDAD 5…………..……….………………………………………………………..14  ACTIVIDAD 6……………………………………………………………………………..15  ACTIVIDAD 7……………………………………………………………………………..19  ACTIVIDAD 8…………………………………………....………………………………..20  CONCLUSIÓN…………………..……………………………………………………..….2211 BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………….. 22 2

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4

Fecha:

28/11/2017

Introducción Las funciones con las que se ha trabajado hasta el momento son funciones reales de una variable real (su rango es un subconjunto de los reales). Se estudiarán en este capítulo funciones de una variable real pero cuyo rango es un conjunto de vectores. Este tipo de funciones son las que se utilizan para describir la trayectoria de un objeto. Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad

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ENCUADRE Actividades

1.  Investigar diferentes tipos de curvas en el espacio en el entorno y elaborar un reporte. 2.  Elaborar un modelo físico que contenga curvas en el espacio y elaborar un reporte. 3.  Establecer las ecuaciones paramétricas correspondientes a un conjunto de curvas en el espacio. 4.  Leer la bibliografía recomendada para los diferentes subtemas y participar en las discusiones grupales para establecer conclusiones. 5.  Utilizar TIC´s para graficar rectas tangentes a diferentes curvas, así como la identificación de los vectores tangentes, normas y binomial en algún punto de la misma también se calculará la longitud de la curva para un cierto intervalo. 6.  Resolver ejercicios que permitan al estudiante el dominio procedimental asociado a los contenidos de este tema. 7.  Utilizar TIC´s para graficar diferentes tipos de superficies en el espacio y con estas graficas se estudiará su continuidad y el valor de los límites utilizando diferentes trayectorias, para discutir la existencia de un límite. 8.  Utilizar TIC´s para aplicar las propiedades de las operaciones con funciones vectoriales. 4

 

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4

Fechas.   Actividad 1…28/NOV/2017 



  Actividad 2…28/NOV/2017 



  Actividad 3…27/NOV/2017



  Actividad 4…28/NOV/2017 



  Actividad 5…28/NOV/2017 



  Actividad 6…22/NOV/2017



  Actividad 7…28/NOV/2017 



  Actividad 8…28/NOV/2017 



  Examen…28/NOV/2017 



  Portafolio…28/NOV/2017 



  Antología…28/NOV/2017 



5

Fecha:

28/11/2017

 

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Actividad 1.- Investigar ejemplos de curvas de nivel y mapas de contorno que representen presiones, temperaturas y altitudes. Analizar en clase.

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Actividad 2.- Elaborar un modelo físico que contenga curvas en el espacio y elaborar un reporte.

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Actividad 3.- Investigar el uso del gradiente en problemas de optimización en el área de la ingeniería correspondiente.

Para comenzar a hablar del gradiente y los multiplicadores de Lagrange es bueno tomar en cuenta algunas consideraciones previas, como lo son algo de historia y lo referente al operador diferencial nabla.

∇ la letra delta invertida, que se llamó “atled”. En 1871 Maxwell escribió “la cantidad ∇P es un El gradiente fue denotado Δ por Hamilton en 1846, hacia 1870 se denoto

vector”. El nombre de “pendiente” como se conocía en un principio pasó de uso y se

reemplazó por la de “gradiente”; se refiere a la palabra grado, el peralte de un camino o una superficie. El nombre de (nabla apareció impreso por vez primera en 1901 en Vector Analysis, un libro para uso de estudiantes de matemáticas y física. Uno de los modelos físicos más útiles de campo vectorial se presenta al considerar el movimiento de un fluido. A cada punto x (o partícula del fluido) atribuimos un vector V(x) que representa la velocidad de aquella partícula. Naturalmente el campo puede o no cambiar con el tiempo

El flujo estacionario V(x) esta completamente determinado por x y no depende del tiempo. En problemas físicos que incluyan campos vectoriales es importante conocer no solamente el vector V(x) en cada punto x, sino también como varia dicho vector al pasar de 8

 

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un punto a otro. Para estudiar este cambio disponemos del mecanismo de la diferenciación  parcial que puede aplicarse a los componentes de V

Para el caso de R3, se tiene una interesante interpretación. Sea c una constante y consideremos el conjunto de superficies en donde ϕ(x)=c si alguna de estas superficies tiene un plano tangente en a= (a1, a2, a3) la ecuación de dicho plano esta dada por esto

∇

significa que ϕ  (a) es normal al plano en el punto a. Por tanto el plano tangente existe

∇

siempre que ϕ (a)≠ . 

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Actividad 4.- Leer la bibliografía recomendada para los diferentes subtemas y participar en las discusiones grupales para establecer conclusiones.

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 1. Funciones vectoriales 1.1. D Deefinición fi nición Una  función vectorial   de una variable real   en el espacio es una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores del espacio, es decir, es una función del tipo r : I   R  V 3

t 



r (t )

  f  (t )

i  g (t )  j  h (t ) k  ( f  (t ) , g (t ), h (t ) )

 

  y h  son funciones reales de variable real t   , llamadas  funciones componentes   donde  f  , g 

de r .  Nota: Si la función vectorial r

(t )  



(  f  (t  ) , g (t ), h (t ) )  señala

r

  describe el movimiento de una partícula, el vector

su posición en el instante t   , en estos casos t   representa la

variable tiempo.  Ejemplo 1: r : R  V 3 / r (t )



/   r (t ) 



 Ejemplo 2:

r : R  V 3 

( 2  3 t  ) i   2 t   j  (1  t  ) k  

( t  2  , se  sen n t , cos cos 3 t )  

1.2 Dominio de una función vectorial

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4

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Esta dado por la intersección de los dominios de sus funciones componentes, es decir, si r (t )  



(  f  (t  ) , g (t ), h (t ) ) entonces  I   Dom     (r )  Dom   (  f  )  Dom ( g )  Dom (h) 

 Ejemplo: Si

r (t )



 



2

1 t   ,

t 

 



, ln t  el dominio de

r

 será



 I    t    R  / t  



0

 

1.3 L í mi te y co conti ntinui nuid dad de una fun funci ción ón ve vector ctor i al Sea la función vectorial

r

: I  

  3 R  V

/

r (t ) 

(  f    (t ) , g (t ), h (t ) ) se define

 

lim lim

r

t  a

 

(t )   lim  f  (t ) ,  lim  g (t ) , lim h ( t )   

 t  a

 

t  a

t  a

siempre que existan los límites de las funciones componentes.  Ejemplo: Si

lim lim   r (t ) t   0

Si

a

r

(t )



1



  2 3 t  ,  sen t  , t   

e

2 t 



 entonces

      2 2 t    )   (1, 0,  1)     lim (1  3 t ) , lim  sen t  , lim (t   e t 0 t   0 0 t      

  I 

 se dice que r  es continua en a  si

li lim m

r

(t   )

  r 

(a )  

t   a

Teniendo en cuenta las definiciones de límite y continuidad resulta: “La función vectorial

r

(t )  



(  f  (t  ) , g (t ), h (t ) ) es

continua en

  y h  son continuas en a ”  componentes  f  , g 

1.4 Representación gráfica de una función vectorial 

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a

 si y solo si sus funciones

 

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Sea la función vectorial Para cada

t    I 

r

: I  

R  V   3

  se obtiene un vector

 P (  f  (t ) , g    (t ), h (t ) ) .

r

Fecha:

4

/

r (t ) 

(t ) ,

(  f    (t ) , g (t ), h (t ) )  

que es el vector posición del punto

Si la función vectorial es continua en

componentes f , g   yy h son continuas en

 I 

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 I 

, es decir sus funciones

 , define una curva C  en  en el espacio formada por los

extremos del vector r (t ) donde t  varía  varía de a a b.    z

 P • 

t

t

C   

r(t )

r

 y

 x

Entonces la curva C es el conjunto de todos los puntos

 P ( x,  y   , z )

  del espacio tal

que   x   f  ( t )    y  g ( t ) con t    I    , a estas ecuaciones se las llama ecuaciones paramétricas de la   z  h ( t ) 

curva C  y  y t   es el parámetro. Cuando se grafica una curva descrita por una función vectorial la misma (extremo del vector

r

( t  ) )

r

( t ) ,

cada punto de

queda determinado por un valor elegido para el

 parámetro t . Al trazar los puntos resultantes de valores crecientes de t , la curva se va

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trazando en una dirección específica, en este caso se dice que la curva está orientada  positivamente.

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Actividad 5.-Utilizar TIC´s para graficar rectas tangentes a diferentes curvas, así como la identificación de los vectores tangentes, normas y binomial en algún punto de la misma también se calculará la longitud de la curva para un cierto intervalo

 

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Actividad 6.- Resolver ejercicios que permitan al estudiante el dominio procedimental asociado a los contenidos de este tema.

1.  El lector está familiarizado con la diferenciación de funciones de una variable,  f ( x  x) evaluadas con números reales. En específico tenemos:

Aquí extenderemos esta definición a funciones de una variable evaluadas con vectores.

2.  Sea S una superfi cie cerrada tal que cualquier recta paralela a los ejes coordenados corta a S en, maximo, dos puntos.

Suponga que las ecuaciones de las partes inferior y superior, S 1 y S 2, 2, sean  z 5 f 11(( x,  x, y ) y 2( x,  z 5 f 2(  x, y), respectivamente.

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Se denota con  R la proyeccion de la superfi cie en el plano  xy (vea la fi gura 6-10). Considere que:

3.  Suponga que F=

3 + 5 y sea C  la la curva  = 2 en el plano  xy. Evalue la

integral de línea 

∫  ∗  = ∫   (3 + 5) ∗ ( + ) = ∫   (3 + 5)  

Primer método. Sea  x= t en son x = t y

 = 2. Entonces, las ecuaciones paramétricas de C

 = 2 Los puntos (0, 0) y (1, 2) corresponden a t = 0 y t = 1, respectivamente.

Por tanto: 

1 1   ∫  ∗  = ∫−  (3  + 5(2 ) = ∫−  (3 + 40) = (  + 8 ) = 7  

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  directamente, donde x va de 0 a 1. Queda;  

Segundo método. Se sustituye

 = 2 1 ∫  ∗  = ∫−  (3 + 5(2)(2)  1 = ∫−  (3 + 40) = ( + 8 ) = 7  4.  .- Suponga que un campo de fuerzas está dado por  

F=(2x-y+z)i+(x+y-

) + (3  2 + 4) 

Calcule el trabajo realizado cuando se mueve una partícula alrededor de un círculo C en el plano xy con centro en el origen y radio igual a 3.  

En el plano z = 0, F = (2x 2 y)i + (x + y)j + (3x - 2y)k y dr = dxi + dyj, por lo que el trabajo realizado es 

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5.  Un fl uido cuya densidad es r ( x, y, z , t ) se mueve con velocidad v( x, y, z , t )).. Si no existen fuentes ni sumideros, demuestre que :

donde J=5 r v.

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Actividad 7.- Utilizar TIC´s para graficar diferentes tipos de superficies en el espacio y con estas graficas se estudiará su continuidad y el valor de los límites utilizando diferentes trayectorias, para discutir la existencia de un límite.

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Actividad 8.- Utilizar TIC´s para aplicar las propiedades de las operaciones con funciones vectoriales.

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Conclusion.

Luego de haber visto todas las funciones vectoriales presentadas a lo largo de esta unidad, podemos darnos cuenta que hay muchas figuras que se forman; que pueden ser identificadas y reconocidas por un nombre propio que las hace particulares.

El conocer las tendencias que una función determinada tiene en las variables es una gran ayuda previa que nos facilitará la graficación de las mismas.

Aunque en la actualidad se cuenta con importantes programas de computación que hacen las gráficas con la simple acción de introducir la función que necesitamos, es totalmente necesario que como estudiantes de Ingeniería conozcamos cómo se forman y de dónde nacen matemáticamente cada una de estas figuras.

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Bibliografía

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, and Dennis Spellman, (2009),  Análisis vectorial , (The McGraw-Hill Companies)

Charles h. lehmann,(1980), Geometría analítica, Recuperado de http://www.cimat.mx /~gerardo/GeoA/tareas/Lehmann.pdf

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