Portafolio de Cálculo Diferencial Bladimir Zares Márquez

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS

TABLA DE CONTENIDO 1

PRONTUARIO DEL CURSO

2

CARTA DE PRESENTACIÒN

3

DIARIO METACOGNITIVO

4

AUTORETRATO

5

ARTÌCULOS DE REVISTA PROFESIONALES

6

TRABAJO DE EJECUCIÒN

7

MATERIALES RELACIONADOS

8

SECCION ABIERTA

9

RESUMEN DE CIERRE

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10

EVALUACIÒN DEL PORTAFOLIO

11

ANEXO 1

12

ANEXO 2

13

GESTIÓN DEL ESTUDIANTE

Visión: Formar profesionales eficientes e innovadores en el campo de las ciencias informáticas, que con honestidad, equidad y solidaridad, den respuestas a las necesidades de la sociedad elevando su nivel de vida.

Misión: Ser una unidad con alto prestigio académico, con eficiencia, transparencia y calidad en la educación, organizada en sus actividades, protagonistas del progreso regional y nacional.

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PRONTUARIO DEL CURSO SYLLABUS DEL CURSO Asignatura: Cálculo Diferencial 1. CÓDIGO Y NÚMERO DE CRÉDITOS Código: OF-280 N° de Créditos: 4 2. DESCRIPCION DEL CURSO La ciencia Matemáticas es un área del conocimiento que colabora al desarrollo de otras ciencias, marcando su importancia para la solución de problemas dentro de un nivel científico. Estas son las razones por la que la carrera incorpora el Cálculo Diferencial a la malla curricular. El propósito de la asignatura en sus cuatro capítulos, es conceptualizar lineamiento teóricos metodológicos al estudiante, en el análisis de las funciones y hace énfasis en sus gráficas, la forma de combinarlas y clasificarlas de acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de límites y su continuidad permiten describir el comportamiento de una función con propiedades específicas, se hace énfasis en desarrollar destrezas para calcular límites por métodos algebraicos o trigonométricos y mediante reglas básicas, la noción de la derivada en esta unidad el estudiante aprenderá a calcular la derivada inicialmente con su definición, y luego hace énfasis con modelos matemáticos que surgen de las Reglas Básicas de Derivación, las Aplicaciones de las derivadas, hace énfasis en determinar los Valores Máximos y Mínimos de una función que se requieren en la práctica en problemas de Optimización donde se pide determinar el modo óptimo de llevar a cabo un determinado proceso. Así mismo proporciona al estudiante información adicional y precisa para el Trazo de Curvas. La programación de la asignatura concluye con la introducción de Diferenciales para aplicarlas en la Integral indefinida, teniendo como apoyo el software matemático Matlab y Derive-6, para incentivarlos en la construcción de pequeños Software. 3. PRERREQUISITOS Y CORREQUISITOS Pre-requisitos: OF-180 Co-requisitos: ninguno 4. TEXTOS Y OTRAS REFERENCIAS REQUERIDAS PARA EL DICTADO DEL CURSO BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA  SILVA Juan Manuel, LAZO Adriana, Análisis Matemático. 2006. Limusa Noriega.  LARSON-HOSTETLER EDWARDS, Cálculo con Geometría Analítica. Tomo 1, octava edición. Mc Graww Hill 2006.  SMITH Robert-MINTON Roland, Càlculo. Tomo 1, primera edición, Mc Graw-Hill. Interamericana. 2000.

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BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA  LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla. México.  STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International Thomson Editores. México.  THOMAS, George y FINNEY, Ross. (1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. EUA.  GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral.  LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de Matemáticas de la Universidad Central. Ecuador.  PRADO Carlos, AGUILAR Gerardo, PULIDO Javier. QUEZADA Lourdes, ZUÑIGA Leopoldo, GÓMEZ JOSÉ LUÍS, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO Rubén Darío. Calculo Diferencial para ingeniería.  PÉREZ LÓPEZ CÉSAR. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería.  www.matemáticas.com 5.

OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO. (RESULTADOS DE APRENDIZAJE DEL CURSO)

 Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico: Aplicación)  Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua(Nivel Taxonómico: Aplicación)  Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)  Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente(Nivel Taxonómico: Aplicación)  Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos (Nivel Taxonómico: Aplicación) 6.

TOPICOS O TEMAS CUBIERTOS (NÚMEROS DE HORAS POR TEMA)

 Análisis de funciones (16 horas)  Aproximación a la idea de límites (12 horas)  Cálculo diferencial pendiente de la recta tangente (12 horas)  Aplicación de la derivada (18 horas)  Introducción al cálculo integral: Integrales indefinidas (6 horas) 7. HORARIO DE CLASE / LABORATORIO Cuatro horas de clases teóricas en dos sesiones de dos horas de clase a la semana 8.

CONTRIBUCION DEL CURSO CON LA FORMACION DEL INGENIERO

Desarrollar en los estudiantes habilidades de reconocer funciones, obtención de dominio e imagen, expresar modelo matemáticos donde se involucre el concepto de función, demostrar límites de funciones aplicando la definición, determinar la continuidad de una función Interpretar, enunciar y aplicar los teoremas de la derivada, analizar el estudio de la variación de una función, aplicar el flujo de información en la fabricación de pequeños software, para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde la perspectiva del Cálculo, facilitándoles en el futuro la asimilación de aprendizajes más complejos en el área de las matemáticas, promoviendo la investigación científico-técnica para la ciencias informáticas.

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RELACION DEL CURSO EL CRITERIO 3 DE ACREDITACIÓN ABET:

RESULTADOS O LOGROS DEL APRENDIZAJE

CONTRIBUCIÓN (ALTA, MEDIO, BAJO)

EL ESTUDIANTE DEBE:

MEDIA

Aplicar con capacidad las Matemáticas en el diseño y desarrollo de Sistemas Informáticos como producto de su aprendizaje continuo y experiencia adquirida en el manejo de lenguajes de programación de software matemático en su etapa de formación.

(b) Capacidad de diseñar y conducir experimentos, así como para analizar e interpretar los datos

*******

*******

(c) Capacidad de diseñar un sistema, componente o proceso para satisfacer las necesidades deseadas dentro de las limitaciones realistas, económicos, ambientales, sociales, políticas, éticas, de salud y seguridad, de fabricación, y la sostenibilidad (d) Capacidad de funcionar en equipos multidisciplinarios

*******

*******

MEDIA

Interactuar en los equipos de trabajo, cooperando con valores éticos, responsabilidad, respeto a opiniones y contribuyendo con conocimiento y estrategias informáticas efectivas en la consecución de los objetivos de un proyecto.

(e) la capacidad de identificar, formular y resolver problemas de ingeniería

*******

*******

(f) Comprensión de la responsabilidad profesional y ética

*******

*******

MEDIA

Elaborar informes escritos aplicando los lineamientos y normas para elaborar un proyecto de investigación y expresarse con un lenguaje matemático efectivo en las exposiciones, usando las TIC´S y software matemáticos.

(h) Educación amplia necesaria para comprender el impacto de las soluciones de ingeniería en un contexto económico global, contexto ambiental y social. (i) Reconocimiento de la necesidad y la capacidad de participar en el aprendizaje permanente. (j) Conocimiento de los temas de actualidad

*******

*******

*******

*******

*******

*******

(k) Capacidad de utilizar las técnicas, habilidades y herramientas modernas de ingeniería necesarias para la práctica la ingeniería.

MEDIA

Utilizar el Matlab (u otro software matemático) como herramienta informática para modelar situaciones de la realidad en la solución de problemas informáticos del entorno.

(a) Capacidad de aplicar conocimientos matemáticas, ciencias e ingeniería.

de

(g) Capacidad de comunicarse de manera efectiva

10. EVALUACION DEL CURSO 11. DESCRIPCIÓN Exámenes Pruebas Escritas Participaciones en Pizarra Actividades Tareas varias Compromisos Éticos y Disciplinarios Informes Defensa Oral Investigación (Comunicación matemática efectiva ) TOTAL

MEDIO CLCLO 15% 5%

FIN DE CICLO 15% 5%

TOTALES 30% 10%

5%

5%

10%

5%

5%

10%

5%

5%

10%

10%

45%

10% 20%

20%

55%

100%

12. RESPONSABLE DE LA ELABORACION DEL SYLLABUS Y FECHA DE ELABORACION Elaborado por: Fecha:

Ing. José Cevallos S. 20 de Diciembre del 2011

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SYLLABUS DEL CURSO PLANIFICACIÓN DEL CURSO 1.- Datos Generales Unidad Académica: Facultad de Ciencias Informáticas Carrera: Ingeniería en Sistemas Informáticos Ciclo Académico: Abril 2012 - Agosto 2012 Nivel o Semestre: 2do. Semestre Área de Curricular: Matemáticas Tipo de Asignatura: Obligatoria de Facultad Código: OF-280 Requisito para: Cálculo Integral-OF-380 Pre-requisito: Matemáticas Básicas II-OF-180 Co-requisito: Ninguno No de Créditos: 4 No de Horas: 64 Docente Responsable: Ing. José Antonio Cevallos Salazar Correo Electrónico: [email protected], [email protected].

2. Objetivo general de la asignatura Desarrollar en los estudiantes habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde la perspectiva del Cálculo, facilitándoles en el futuro la asimilación de aprendizajes más complejos en el área de las matemáticas, promoviendo la investigación científico-técnica para la ciencias informáticas. 3. Contribución del curso con el perfil del graduado Objetivos Educacionales de la Facultad de Ciencias Informáticas Carrera de Ingeniería de Sistemas Informáticos 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Aplica las ciencias básicas y las matemáticas en la solución de problemas del entorno Toma decisiones que ayudan a desarrollar organizaciones proactivas que contribuyen al buen vivir Construye soluciones informáticas de calidad que mejoren la eficiencia y eficacia de una organización haciendo uso correcto de la tecnología. Demuestra compromiso de aprendizaje continuo y trabajo en equipo multidisciplinario con ética profesional Capacidad para realizar estudios de posgrado con exigencia internacional en áreas afines. Es emprendedor, innovador y utiliza los últimos avances tecnológicos en el desempeño de su profesión 1 x

2

3

4 x

5

6

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5. Resultados del aprendizaje RESULTADOS APRENDIZAJE

DEL

Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso.

RESULTADOS APRENDIZAJE

METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE NIVELES

DEL

APLICACIÓN

Ejercicios escritos, orales, talleres y en los Software Matemático: Derie-6 y Matlab.

CRITERIOS

Aplicación de 4 técnicas para dominio Aplicación de 4 técnicas para rango Aplicación de 4 técnicas para graficar las funciones.

NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE Determinará el dominio con la aplicaciónde 4 técnicas, el rango con 4 técnicas y graficará las funciones con 4 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Derive-6 y Matlab.

NIVELMEDIO 71-85

Determinará el dominio, con la aplicación. de 1 técnica, el rango con 1 técnicas y graficará las funciones con 1 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en un software Matemático: Matlab

NIVEL BÁSICO 70

APLICACIÓN

METODO DE EVALUACIÓN

CRITERIOS

10 ejercicios escritos, orales y en talleres, individual y en equipo.

Participación activa, e interés en el aprendizaje. Aplicación de los tres criterios de continuidad de función. Conclusión final si no es continúa la función

NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de 10 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones. Participación activa, e interés en el aprendizaje. Conclusión final si no es continúa la función. Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los resales por medio gráfico a través de 7 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones. no

Conclusión final si continúa la función.

Determinar

86-100

NIVELMEDIO 71-85

NIVEL BÁSICO 70

es

METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE NIVELES

al

no

PONDERACIÓN NIVEL ALTO:

es

Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los resales por medio gráfico a través de 5 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones.

DEL

86-100

Determinará el dominio, con la aplicación. de 2 técnicas, el rango con 2 técnicas y graficará las funciones con 2 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en un software Matemático: Matlab

Conclusión final si continúa la función.

RESULTADOS APRENDIZAJE

PONDERACIÓN NIVEL ALTO:

METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE NIVELES

Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua.

METODO DE EVALUACIÓN

APLICACIÓN

METODO DE EVALUACIÓN

CRITERIOS

NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE

PONDERACIÓN

Determinará al procesar los

NIVEL ALTO:

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas

10 ejercicios escritos, orales, talleres y en los Software Matemáticos: Derive-6 y Matlab.

Aplicación de los teoremas de límites. Aplicación de las reglas básicas de límites infinitos. Aplicación de las reglas básicas de límites al infinito. Aplicación de límites en las asíntotas verticales y asíntotas horizontales.

límites de funciones en los reales con la aplicación de los teoremas de límites, Con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito y aplicación de límites en las asíntotas verticales y horizontales, en 10 ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Derive-6 y Matlab Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de los teoremas de límites, Con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito en 7 ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Matlab.

86-100

NIVELMEDIO 71-85

NIVEL BÁSICO

70

Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito en 5 ejercicios manuales y en el software Matemático: Derive-6

RESULTADOS APRENDIZAJE

DEL

Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente.

METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE NIVELES

METODO DE EVALUACIÓN

APLICACIÓN Ejercicios escritos, orales, talleres y en el Software Matemáticos: Matlab y Derive-6.

CRITERIOS Aplicación de los teoremas de derivación. Aplicación de la regla de derivación implícita. Aplicación de la regla de la cadena abierta. Aplicación de la regla de derivación orden superior.

NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, con la aplicación de la regla de la derivación implícita, con la aplicación de la regla de la cadena abierta, con la aplicación de la regla de la derivación de la derivada de orden superior en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemáticos: Derive-6y Matlab. Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, con la aplicación de la regla de la derivación implícita, con la aplicación de la regla de la derivación de la derivada de orden superior en ejercicios escritos, orsles, talleres y en el software matemático: Matlab. Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemáticos: Matlab.

PONDERACIÓN NIVEL ALTO:

86-100

NIVELMEDIO 71.85

NIVEL BÁSICO 70

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RESULTADOS APRENDIZAJE

DEL

METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE NIVELES

Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos.

ANÁLISIS

METODO DE EVALUACIÓN

CRITERIOS

Ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemático: Matlab.

Aplicación del primer criterio para puntos críticos. Aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión. Aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas. Aplicación del segundo criterio para problemas de optimización.

NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos, con la aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión, con la aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas, y con la aplicación del segundo criterio para problemas de optimización en ejercicios escritos, orales, talleres y en software matemático: Matlab Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos,Aplicación del segundo criterio para problemas de optimización. En ejercicios escritos, orales, talleresy en software matemático: Matlab Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos, con la aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión, Aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas,en ejercicios escritos, orales y talleres.

1.1

PONDERACIÓN NIVEL ALTO: 86-100

NIVELMEDIO 71-85

NIVEL BÁSICO 70

Resultados de aprendizaje de la carrera específicos a los que apunta la materia (ABET). Resultados de aprendizaje de la carrera de Ingeniería de Sistemas Informáticos a. b. c.

d.

e. f.

Capacidad de realizar análisis, síntesis y aplicación de las matemáticas y ciencias básicas en la solución de problemas de ingeniería en sistemas informáticos. Capacidad de planificar, diseñar, conducir e interpretar resultados de experimentos orientados a la informática. La capacidad de diseñar sistemas, procesos, modelos y componentes informáticos que cumplan los estándares nacionales o internacionales, tomando en cuenta las limitaciones económicas, ambientales, sociales, políticas, de salud y seguridad del entorno, y cumpliendo satisfactoriamente con las especificaciones y restricciones existentes o indicadas por los interesados o por los criterios de sostenibilidad. Capacidad para funcionar como parte de un equipo de profesionales de distintas áreas del conocimiento, demostrando una efectiva cooperación, comunicación, con habilidades para resolver conflictos y contribuyendo proactivamente en la propuesta de líneas estratégicas desde el punto de vista informático, para la solución de problemas. Capacidad para identificar, formular, evaluar y resolver técnicamente problemas de ingeniería planteados de acuerdo a las necesidades del medio. Capacidad para comprender, reconocer y aplicar valores y códigos de ética profesional, que le permitan desenvolverse sin perjudicar a sus clientes y contribuyendo al desarrollo de la

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS g.

h. i. j. k.

ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS sociedad. Habilidad para presentar efectivamente, ideas, proyectos, informes de investigaciones, documentos de trabajo de manera escrita, oral y digital, utilizando las herramientas de las nuevas tecnologías de la información. Habilidad y capacidad para comprender el impacto de las soluciones informáticas a la realidad local, nacional e internacional en un contexto económico global, ambiental y social. Habilidad y aptitud para ser un profesional con el compromiso del aprendizaje continuo, con capacidad para reconocer las oportunidades para mejorar en su campo profesional. Habilidad para identificar temas y problemas de actualidad con respecto al entorno local, regional y global, con el fin de relacionarlos con propuestas de soluciones creativas y eficientes. Capacidad y destreza para utilizar técnicas, habilidades y herramientas en el desarrollo de software y hardware para implementar soluciones a problemas de su profesión. Contribución de la materia a los resultados de aprendizaje de la carrera: A: Alta M: Medio B: Baja

a M

b

c

d M

E

F

g M

h

i

j

k M

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6. Programación 1. Resultados del Aprendizaje No 1: Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso. Fechas

No de

Temas

Estrategias

horas Sept. 13

TOTAL 16

Oct.

2

6

1. Bibliografías-

ANÁLISIS DE FUNCIONES

y

Interactivas, 2.

PREFACIO.

documentación,

ANÁLISIS DE FUNCIONES.

presentación

PRODUCTO CARTESIANO.

temas

los

clase

y

lectura

de

Pizarra

de

tiza líquida, 3. de Computación,

Definición, Dominio y Recorrido de una

tema, técnica lluvia de

4. Proyector,

Relación.

ideas,

5.

para

interactuar

entre los receptores.

Definición, Notación



Dominio y recorrido.

Observación



Variable dependiente e independiente.

diagrama de secuencia



Representación gráfica. Criterio de Línea

del tema con ejemplos

Vertical.

específicos

Situaciones objetivas donde se involucra el

interactuar

concepto de función.

problemática

de

Función en los Reales: inyectiva, sobreyectiva

interrogantes

del

y biyectiva Representación gráfica. Criterio de

problema,

Línea horizontal.

inductivo-deductivo,

2 

derive-6, Matlab del

con

la

método

Definir

los

importantes



Función de potencia: Identidad, cuadrática,

conocimiento

cúbica, hipérbola, equilátera y función raíz.

interactuando



Funciones Polinomiales

estudiantes



Funciones Racionales

expresen



Funciones Seccionadas

conocimientos del tema



Funciones Algebraicas.

tratado,



Funciones Trigonométricas.

Técnica



Funciones Exponenciales.

Memoria Técnica



Funciones Inversas



Funciones

Logarítmicas:

definición

y

919. LAZO PAG. 920-973 LAZO PAG. 994-999-1015

luego

Funciones trigonométricas inversas.

tareas

Técnica de grafica rápida de funciones.

COMBINACIÓN DE FUNCIONES: Algebra de funciones: Definición de suma, resta, producto y cociente de funciones. Composición de funciones: definición de función compuesta

del

a

los

para

que sus

aplicando Activa

la

de

la

Talleres intra-clase, para

propiedades.

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES:



LAZO PAG. 857-874, 891-

puntos

Función Constante



LARSON PAG. 4, 25-37-46.

para





CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA. TOMO I LARSON-HOSTETLEREDWARDS.EDISION OCTAVA EDICIÓN. MC GRAWW HILL 2006

Proyecto de Investigación.

TIPOS DE FUNCIONES:



Marcadores

6. Software de



LAZO PAG. 124-128-142

Laboratorio





2

de

objetivos,

Definición: Representación gráfica.

2. de

motivación y video del



2

socialización,

RELACIONES:

FUNCIONES:

2

ANÁLISIS MATEMÁTICO. JUAN MANUEL SILVA, ADRIANA LAZO. 2006. LIMUSA NORIEGA.

Dinámica de integración

2

2

Bibliografía

UNIDAD I



2

Recursos

metodológicas

reforzarlas

con

extractase

y

aplicar la información en software para el área con el flujo de información.

CALCULO. TOMO 1, PRIMERA EDICIÓN, ROBERT SMITH-ROLAND MINTON, MC GRAW-HILL. INTERAMERICANA. 2000. MC GRAW HILL. SMITH PAG. 13-14 SMITH PAG. 23-33-41-51 SMITH PAG. 454

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS 6. Programación 2. Resultados del Aprendizaje No 2:Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico, aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continúa. 3. Resultados del Aprendizaje No 3:Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas. Fechas

No de

Temas

Estrategias

horas Oct. 11 Nov. 8

Recursos

TOTAL12

UNIDAD II

Dinámica de integración

1.Bibliografías-

2

APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.

y

Interactivas

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

documentación,

  2

socialización,

Concepto de límite. Propiedades

presentación

de límites.

temas

Limites Indeterminados

objetivos,

LÍMITES UNILATERALES

de

2. de

los

clase

y

lectura

de

2

2

de

tiza líquida. 3.

Laboratorio

motivación y video del

Computación.

tema, técnica lluvia de

4.Proyector



Limite Lateral izquierdo.

ideas, para interactuar

5.Marcadores



Limite Bilateral.

entre los receptores.

6.Software

Definiciones

Observación



Teoremas.

diagrama de secuencia

LÍMITES AL INFINITO

LAZO PÁG. 1041

LAZO PÁG 1090 LARSON PÁG. 48

del SMITH PÁG. 95

del tema con ejemplos



Definiciones. Teoremas.

específicos



Limites infinitos y al infinito.

interactuar

ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y OBLICUAS.

para con

problemática

la de



Asíntota Horizontal: Definición.

interrogantes



Asíntota Vertical: Definición.

problema,



Asíntota Oblicua: Definición.

inductivo-deductivo,

Límite

Trigonométrico

Definir

del

los

fundamental.

importantes

Teoremas.

conocimiento

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO. 

Definiciones.



Criterios de Continuidad.



Discontinuidad

LAZO PÁG. 1082 LARSON PÁG. 48

Esencial.

puntos del

interactuando estudiantes

Removible

a

los

para

que

expresen y

sus

conocimientos del tema tratado,

aplicando

la

Técnica

Activa

la

de

Memoria Técnica

Tareas intra-clase, para luego

reforzarlas

tareas

extractase

con y

aplicar la información en software para el área con

LAZO PÁG 1102 SMITH PÁG. 97

método

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS.



LAZO PÁG. 1090

de

derive-6, Matlab



LAZO PÁG. 1029 LAZO PÁG. 1069 SMITH PÁG. 68 LARSON PÁG. 46

de

Limite Lateral derecho



2

Pizarra



LÍMITES INFINITOS

2

Bibliografía

metodológicas

el

información.

flujo

de

LAZ0 PÁG. 1109

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS

6. Programación 4. Resultado del aprendizaje No 4:Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente. Fechas

No de

Temas

horas Nov. 10 Dic. 6

Estrategias

Recursos

Bibliografía

metodológicas

TOTAL12

UNIDAD III

Dinámica de integración

1.Bibliografías-

2

CALCULO DIFERENCIAL PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE DEFINICIONES. DERIVADAS.  Definición de la derivada en un punto.  Interpretación geométrica de la derivada.  La derivada de una función.  Gráfica de la derivada de una función.  Diferenciabilidad y Continuidad.

y

Interactivas

socialización,

documentación, presentación temas

de

de

objetivos,

2. los

clase

y

lectura

de

Pizarra

de

tiza líquida. 3.

Laboratorio

de

motivación y video del

Computación.

tema, técnica lluvia de

4.Proyector

ideas, para interactuar

5.Marcadores

entre los receptores.

6.Software

LAZO PÁG. 1125 SMITH PÁG. 126 LARSON PÁG. 106 SMITH PÁG. 135 SMITH PÁG. 139 LARSON PÁG. 112

de

derive-6, Matlab 2

2

2

2

CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE TIPO ALGEBRAICA.  Derivada de la función Constante.  Derivada de la función Idéntica.  Derivada de la potencia.  Derivada de una constante por la función.  Derivada de la suma o resta de las funciones.  Derivada del producto de funciones.  Derivada del cociente de dos funciones. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.  Regla de la Cadena.  Regla de potencias combinadas con la Regla de la Cadena. DERIVADA DE LA FUNCION POTENCIA PARA EXPONENTES RACIONALES. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. DERIVADA IMPLICITA. Método de diferenciación Implícita. DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Derivada de:  Funciones exponenciales.  Derivada de funciones exponenciales de base e.  Derivada de las funciones logarítmicas.  Derivada de la función logaritmo natural.  Diferenciación logarítmica.

Observación

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS. DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.  Notaciones comunes para derivadas de orden superior.

LAZO PÁG. 1137 SMITH PÁG. 145 LARSON PÁG. 118

del tema con ejemplos específicos

para

interactuar

con

problemática

la de

interrogantes

del

problema,

método

inductivo-deductivo,

Definir

los

puntos

importantes

interactuando estudiantes

LAZO PÁG 1155 SMTH 176 LARSON PÁG. 141

del

conocimiento a

los

para

que

expresen

sus

conocimientos del tema tratado,

aplicando

la

Técnica

Activa

la

de

LAZO PÁG. 1139 SMITH PÁG. 145 LAZO PÁG. 1149 SMITH PÁG. 162 LARSON PÁG. 135 LAZO PÁG. 1163 SMITH PÁG. 182 LARSON PÁG. 152 SMITH PÁG. 170 LARSON PÁG. 360

Memoria Técnica

Tareas intra-clase, para luego

reforzarlas

tareas

extractase

con y

aplicar la información en software para el área con

2

del

diagrama de secuencia

el

flujo

de

SMITH PÁG. 459 LARSON 432

información. LAZO PÁG. 1163 SMITH PÁG. 149

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6. Programación 5. Resultado del Aprendizaje No 5: Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos. Fechas

No de

Temas

Estrategias

horas Dic. 8 Febr. 12

Recursos

TOTAL24

UNIDAD IV

Dinámica de integración

1.Bibliografías-

2

APLICACIÓN DE LA DERIVADA.

y

Interactivas

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA

documentación,

NORMAL A LA CURVA EN UN PUNTO.

presentación

VALORES MÁXIMOS Y MINIMOS.

temas

2



de

los

clase

y

lectura

4.Proyector

una función.

ideas,

5.Marcadores



Teorema del Valor Extremo.

entre los receptores.



Puntos Críticos: Definición.

interactuar

DERIVADA.

diagrama de secuencia y

función

específicos



Funciones monótonas.

interactuar



Prueba de la primera derivada

problemática

para extremos Locales.

interrogantes

CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXIÓN.

del

para con

arriba

hacia

y

del método

inductivo-deductivo,

Definición.

Definir

Prueba de concavidades.

importantes



Punto de inflexión: Definición.

conocimiento



Prueba de la 2da. Derivada para

interactuando

extremo locales.

estudiantes

TRAZOS DE CURVAS.

2

los

puntos del

a

los

para

que

el

tratado,

aplicando

la

trazado de la curva: Dominio,

Técnica

Activa

la

coordenadas al origen, punto de

Memoria Técnica

Información

requerida

para

Información

Tareas intra-clase, para de

1ra.

Y

2da.

Derivada

2

de

y

asíntotas

2

sus

conocimientos del tema

corte con los ejes, simetría 

LAZO PÁG. 1184 SMITH PÁG. 232

abajo:





la de

problema,

hacia

LAZO PÁG. 1179 SMITH PÁG. 225 LARSON 176

del tema con ejemplos

Decreciente: Definición.

Concavidades

de

derive-6, Matlab Observación

creciente

de

6.Software

FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA.

Función

LAZO PÁG. 1173 LAZO PÁG. 1178 SMITH PÁG. 216 LARSON 176

Laboratorio

Computación.

expresen

2

3.

tema, técnica lluvia de

concavidades

2

tiza líquida.

motivación y video del



2

de

Máximos y Mínimos Locales de

para

de

Pizarra

una función.

2

2

de

2.

objetivos,



2

socialización,

Máximos y Mínimos Absolutos de



2

Bibliografía

metodológicas

luego tareas

reforzarlas

con

extractase

y

PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN.

aplicar la información en

PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS.

software para el área con

INTRODUCCION DE CONOCIMIENTOS

el flujo de información.



Diferenciales. Definición.



Integral Indefinida. Definición.

SUSTENTACION DE PROYECTOS DE INVESTIGACION

LAZO PÁG. 1191 SMITH PÁG. 249 LARSON 236

LAZO PÁG. 1209 SMITH PÁG. 475 LARSON PÁG. 280

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8. Parámetros para la Evaluación de los Aprendizajes. DESCRIPCIÓN Exámenes Pruebas Escritas Participaciones en Pizarra Actividades Tareas varias Compromisos Éticos y Disciplinarios Informes Defensa Oral Investigación (Comunicación matemática efectiva ) TOTAL

MEDIO CLCLO 15% 5%

FIN DE CICLO 15% 5%

TOTALES 30% 10%

5%

5%

10%

5%

5%

10%

5%

5%

10%

10%

45%

10% 20%

20%

55%

100%

9.TEXTOS Y OTRAS REFERENCIAS REQUERIDAS PARA EL DICTADO DEL CURSO BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA  SILVA Juan Manuel, LAZO Adriana, Análisis Matemático. 2006. Limusa Noriega.  LARSON-HOSTETLER EDWARDS, Cálculo con Geometría Analítica. Tomo 1, octava edición. Mc Graww Hill 2006.  SMITH Robert-MINTON Roland, Càlculo. Tomo 1, primera edición, Mc Graw-Hill. Interamericana. 2000. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA  LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla. México.  STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International Thomson Editores. México.  THOMAS, George y FINNEY, Ross. (1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. EUA.  GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral.  LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de Matemáticas de la Universidad Central. Ecuador.  PRADO Carlos, AGUILAR Gerardo, PULIDO Javier. QUEZADA Lourdes, ZUÑIGA Leopoldo, GÓMEZ JOSÉ LUÍS, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO Rubén Darío. Calculo Diferencial para ingeniería.  PÉREZ LÓPEZ CÉSAR. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería.  www.matemáticas.com

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DIRECTOR(A) DE CARRERA

PRESIDENTE(A) DE COMISIÓN

Ing. José Cevallos Salazar.

ACADÉMICA

Firma:

Firma:

Firma:

________________________________

_____________________________

___________________________________

Fecha:

Fecha:

Fecha:

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AUTORRETRATO

Mi nombre es Bladimir Alexander Zares Márquez soy estudiante de la asignatura de CÁLCULO DIFERENCIAL, actualmente curso el segundo semestre en la facultad de Ciencias Informáticas de la Universidad Técnica de Manabí. Soy una persona responsable, organizada y me gusta trabajar en equipo.

Mis metas son convertirme en profesional como ingeniero en Sistemas Informáticos y seguirme preparando hasta llegar a la excelencia como humano y profesional y de esa manera contribuir para el estado y la sociedad en general siendo en mi quien se apoyó mi familia

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ MISIÓN Formar académicos, científicos y profesionales responsables, humanistas, éticos y solidarios, comprometidos con los objetivos del desarrollo nacional, que contribuyan a la solución de los problemas del país como universidad de docencia con investigación, capaces de generar y aplicar nuevos conocimientos, fomentando la promoción y difusión de los saberes y las culturas, previstos en la Constitución de la República del Ecuador. VISIÓN Ser institución universitaria, líder y referente de la educación superior en el Ecuador, promoviendo la creación, desarrollo, transmisión y difusión de la ciencia, la técnica y la cultura, con reconocimiento social y proyección regional y mundial.

FACULTAD DE CIENCIAS INFORMATICAS MISIÓN Ser una unidad con alto prestigio académico, con eficiencia, transparencia y calidad en la educación, organizada en sus actividades, protagonistas del progreso regional y nacional. VISIÓN Formar profesionales eficientes e innovadores en el campo de las ciencias informáticas, que con honestidad, equidad y solidaridad, den respuestas a las necesidades de la sociedad elevando su nivel de vida.

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DIARIO METACOGNITIVO Clase No 1: 10 de Abril del 2012. PERIODO:

Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012

TIEMPO:

4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS

FECHA:

Martes, 17 de abril-jueves, 19 de Abril del 2012.

DOCENTE GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

TEMA DISCUTIDO:

UNIDAD I: ANÁLISIS DE FUNCIONES

DEFINICIÓN, NOTACIÓN     

Dominio, recorrido o rango de una función, Silva Laso, 857. Smith, 13, Larson, 25 Variables: dependiente e independiente Constante. Representación gráfica de una función, Silva Laso, 891, Larson, 4 Criterio de recta vertical.

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:   

Definir y reconocer: producto cartesiano, relaciones y funciones. Definir y reconocer: dominio e imagen de una función. Definir y graficar funciones, identificación de las mismas aplicando criterios.

COMPETENCIA GENERAL: Definiciones, identificaciones y trazos de gráficas.

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DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY: ACTIVIDADES 

Reflexión “ORACIÓN A MÍ MISMO” Mi reflexión ante esta diapositiva titulada “oración a mí mismo” es que nosotros somos los oídos y ojos de Dios el creador nunca tenemos que sentirnos solos porque el todo poderoso siempre está junto a nosotros cuidándonos y llenándonos de bendiciones por ello en cada amanecer tenemos que dar gracias al señor por un día nuevo de vida y asi en el transcurrir de nuestras vidas dar una oración al señor es darnos una “ORACIÓN A MÍ MISMO”



Explicación del portafolio



Participación del estudiante ante la reflexión



Modelo de portafolio semestre anterior



Políticas del curso y de clases



Presentación del docente



Parámetros del portafolio a presentar



Análisis de funciones



Estructura del portafolio



Entrega de material lógico de apoyo al estudiante



Notas a evaluar en el semestre

DESCRIPTORES ANALIZADOS 

Función



Relación



Grafo



Dominio



Codominio



Conjunto



Imagen



Recorrido



Conjunto de llegada



Variables independientes y dependientes



Constantes



Productos cartesianos



Función implícita y explicita



Función creciente



Función decreciente

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DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY: 

PRODUCTO CARTESIANO

Dados los conjuntos A y B definimos un conjunto definimos un producto cartesiano de A con B. Los elementos de A Y B son parejas ordenadas donde el primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo elemento al conjunto B.



RELACIONES

Cualquier subconjunto R de (A X B) se le llamara una relación de A en B Dominio de la imagen 

IMAGEN: cada relación

se llamaría dominio de la relación al conjunto: es la relación es llamada la imagen de a respecto a la relación R

Definición: cada relación

se llamara imagen o dominio de la imagen o rango de

la relación R al conjunto



FUNCION

Una función es un conjunto de parejas ordenadas (x,y) en el cual no hay dos ordenadas distintas que tengan el mismo primer elemento.



DOMINIO DE FUNCIONES

El dominio de una función puede describirse explícitamente, o bien implícitamente la ecuación empleada para definir la función. El dominio implícito es un conjunto de todos los números reales para los que está definida la ecuación, mientras que un dominio está definido explícitamente es el que se da junto con la función. Por ejemplo, la función dada por que tiene el dominio definido explícitamente como _= f(x2)



FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función es decreciente solo si para cualquier elección de (x1 , x2 ) es x1 > x2.

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REFLEXIONES ¿QUÉ COSAS FUERON DIFÍCILES?, Al principio se me hizo difícil el criterio para reconocer funciones pero luego fue solucionado este pequeño inconveniente

¿CUÁLES FUERON FÁCILES?, 

Análisis numérico



Producto cartesiano



Método reflexivo

¿QUÉ APRENDÍ HOY? Hoy aprendí lo siguiente: 

Método reflexivo



Análisis numérico



Análisis grafico

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DIARIO METACOGNITIVO Clase No 2: PERIODO:

Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012

TIEMPO:

4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS

FECHA:

Martes, 24 de abril-jueves, 26 de Abril del 2012.

DOCENTE GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

CONTENIDOS: FUNCIONES 

Situaciones objetivas donde se involucra el concepto de función, Silva Laso, 867



Función en los Reales: función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, Silva laso, 142, 874



Gráficas, criterio de recta horizontal, Silva Laso, 876

TIPOS DE FUNCIONES: 

Función Constante, Silva Laso, 891, Smith, 14



Función de Potencia: función de Identidad, cuadrática, cúbica, hipérbola, equilátera y función raíz, Silva Laso, 919, Larson,37

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO: 

Definir modelos matemáticos donde se involucra el concepto de función



Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones

COMPETENCIA GENERAL: 

Definición de modelos matemáticos, trazar graficas de diferentes tipos de funciones

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DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES 

Explicación de estructura del portafolio



Reflexión ( que le pasa a la juventud) Mi reflexión ante esta diapositiva creada por los problemas psicosociales de los estudiantes, este fue compartido de una forma personal enfocada en la realidad de cada uno de ellos en su día a día por las cosas buenas y malas que cada uno asimila ante las circunstancias que pasan, mi reflexión personal trato aquello de aprovechar las enseñanzas de las pequeñas cosas asimilando los problemas como razones de la vida para superar … eso es lo que le pasa a la juventud que no enfrentan los problemas y buscan refugio en vicios que contribuyen al deterioro de la personalidad.



Participación cada estudiante creando la reflexión del tema



Introducción al tema



Analizamos descriptores



Participación por cada estudiante en la pizarra y por grupos

DESCRIPTORES ANALIZADOS 

CRITERIO ; OBSERVACION



COCIENTE ; TABULAR



DESPEJE



PROBLEMAS



OBJETIVOS



DIBUJO



DATOS



AREA



PERIMETRO



LAZO



ANCHO

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FUNCIONES

OBTENICION DEL DOMINIO E IMAGEN

COCIENTE; TABULAR

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DESPEJE

PROBLEMAS EXPRESAR EL AREA DE UN CUADRADO EN FUNCION DE SU PERIMETRO 1)

PROBLEMAS

Y

X

2) IDENTIFICADORES DE LAS VARIABLES Y=Y=lados A=área P=perímetro

3) PREGUNTA A (p)=?

4) PLANTEAMIENTO 4.1) Ecuación Primaria A=x^2

LADO AL CUADRADO

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS A=(x)=x^2

4.2) Ecuación Secundaria P=  P= 4XA (P) = (P/4) ^2 P/4= X X=P/4

LADOS

A(x)=x^2 A (P) =P^2/16

FUNCION INYECTIVA

NOTA: Es decir una función no es inyectiva si un elemento de su imagen esta relacionado con dos elementos de su dominio

FUNCION SOBREYECTIVA

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EJEMPLO

FUNCION BIYECTIVA

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REFLEXIONES ¿QUÉ COSAS FUERON DIFÍCILES? Es un poco complicado entender el despeje cuando tratamos diferentes funciones y cuando el resultado del dominador no puede ser cero obtenemos valores que no son igual a la incógnita entonces tenemos que utilizar el despeje adecuado y con ello encontrar su dominio e imagen.

¿QUÉ COSAS FUERON FACILES? Muy adecuado, exacto y fácil se me hizo entender el método grafico para identificar las funciones inyectivas, sobreyectivas inyectivas.

¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY? Hoy aprendí a reconocer las funciones y que tiene que cumplirse para ser una función sobreyectiva como lo muestra el ejemplo.

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DIARIO METACOGNITIVO Clase No 3: PERIODO:

Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012

TIEMPO:

2 HORAS

FECHA:

Jueves, 3 de mayo del 2012.

DOCENTE GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

CONTENIDOS: TIPOS DE FUNCIONES: 

Función polinomial, Silva Laso, 920, Larson, 37



Función racional, Silva Laso, 949, Smith, 23



Funciones seccionadas, Silva Laso, 953



Función algebraica.



Funciones trigonométricas. Silva Laso, 598, 964, Smith, 33



Función exponencial, Silva Laso, 618, Smith, 41



Función inversa, Silva Laso, 1015



Función logarítmica: definición y propiedades, Silva laso, 618



Funciones trigonométricas inversa, J. Lara, 207, Smith, 454



Transformación de funciones: técnica de graficación rápida de funciones, Silva Laso, 973, Smith, 52

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO: 

Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.

COMPETENCIA GENERAL: 

Trazar graficas de diferentes tipos de funciones

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DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES 

Introducción al tema



Reflexión ( carta en el 2070) Mi aportación ante la reflexión en la diapositiva titulada carta en el 2070 es que hay que aprovechar las cosas que ahora tenemos y no mal utilizarla porque luego se ven los daños irremediables en este caso como ejemplo el agua , que ahora mientras la utilizamos para lavar carros o regar en la calle para que no se levante el polvo pues en años venideros sera tan difícil obtener el liquido vital a tal punto que existirán empresas que separen el agua de la sal y el sueldo de los empleados sera a cambios de litros de agua



Participación cada estudiante creando la reflexión del tema



Revisión de los portafolios



Aclaración de varios aspectos inconclusos del portafolio



Planteamiento de problemas (tipos de funciones)



Participación por cada estudiante en la pizarra y por grupos

CONTENIDOS 

Función Polinomial, Silva Laso, 920, Larson, 37

Una expresión de la forma

Donde n es un entero positivo, polinomial de grado n

EJEMPLO DE FUNCIONES POLINOMIALES ( ) ( )

son números reales , es llamda función

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FUNCION LINEAL Una función polinomial tiene una forma ( )

y su grafica es una lineal recta tal que:

m=es la pendiente o razón de cambio de y con respecto de x b= es la intersección de la recta con el eje de las y o el valor de las y o el valor de y cuando el valor de x es cero.

m=?

( ) P(x,y) ; m Punto pendiente (y-y`)=m(x-x`) Función creciente Función decreciente Función lineal sirve por ejemplo para un análisis económico

-m

+m

m=0 ( )

Las funciones de identidad pasan por el origen

m=1, b=0 f(x)=x

b

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FUNCIÓN CUADRATICA Sea a, b y c números reales con a0

Es una función cuadrática y su grafica es una parábola

c)

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FUNCION CUBICA Sean a, b,c y d números reales con a0

LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN CUBICA PUEDE TENER UNA DE LAS SIGUIENTES FORMAS:

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Tenemos que tener en claro las siguientes observaciones. a)

Si el coeficiente de x^3 es positivo entonces los valores de y empezaran desde menos infinito , o si el coeficiente x^3 de es negativo los valores de y empezaran desde mas infinito b) Intersección con el eje de las y, o valor al origen cuando x=0. Son los puntos de la función cubica donde se cruza el eje de las y, es decir, son aquellos valores de y es decir, son aquellos valores de y cuando x=0

GRAFICAS DE TRASLACIONES

(

)

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FUNCION ALGEBRAICAS PARTE DE LAS CONICAS Graficas funciones que son parte de una parábola horizontal, si consideramos que la ecuación Si a>0, esta ecuación representa una parábola que se abre hacia la derecha con vértice el punto (b/a, 0)

En la cual podemos observar que no es una función, ya que para cada valor de x permisible, se tienen dos valores de la variable y. Sin embargo en esta grafica consideramos solo los valores de y positivos tendremos una función cuya ecuación es: √

√

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FUNCIONES QUE SON PARTE DE UNA CIRCUNFERENCIA Si consideramos la ecuación

que representa una circunferencia con su centro en el origen y

radio a.

Si en esta grafica consideramos solamente los valores de y positivos tendremos una función cuya ecuación es

√

Si consideramos los valores de y negativos tendremos una función cuya ecuación es

√

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GRAFCICAS QUE SON PARTE DE UNA HIPERBOLA Si consideramos la ecuación de la hipérbola

sabemos que es una hipérbola horizontal con

centro en el origen y vértices V(A, 0) y V (-a, 0).

Sin embargo, si en este grafica consideramos solo los valores de y positivos, tendremos una función cuya ecuación es

√

cuya ecuación es

, y si consideramos los valores de y negativos también tendremos una función √

.

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FUNCION RACIONAL La grafica de una función racional será la de su simplificación (considerando que se puede simplificar), eliminando aquellos valores de x donde la función racional no está definida Ejemplo

FUNCIONES SECCIONADAS Son funciones que se grafican en un mismo plano

El dominio se a dividido en tres subconjuntos

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Y en cada sección tenemos una función distinta, cuyas graficas son rectas al eje de las x.

FUNCION SECCIONADA VALOR ABSOLUTO La función valor absoluto expresada por y=|x, se define por

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FUNCION ESCALON UNITARIO

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DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY (FECHA: 15-05-2012) ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES ACTIVIDADES 

Reflexión (aquí estoy yo)



Estudio y análisis del tema: funciones algebraicas

CONTENIDO FUNCION SIGNO La función signo de x denotada por sgn(x) está definida por:

SU GRAFICA ES:

FUNCION ENTERO MAYOR La expresión f [|x|] se define como el mayor entero que es menor o igual a x.

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS P= periodo = menor conjunto L=

amplitud = el valor que toma la imagen

0 ≤ x ≤ 2pi

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FUNCION TRIGONOMETRICA INVERSA f(x)=arcSen (x) f(x) =

x

FUNCION INVERSA ( ) 1.1

(

)

(

)

( ) (

)

(

)

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VERIFICACION POR IDENTIDAD a) b)

( ( )) ( ( ))

( ( ))

a) b)

( ( ))

c)

(

( ))

(

.

(

)

/

.

/

(

)

.

/

=

FUNCION LOGARITMICA EXPONENCIAL ( )

FUNCION COMPUESTA Sea una función cuyo dominio e imagen son, respectivamente, son, respectivamente . La FUNCION COMPUESTA de f con g, denotada por fog, se define por: (fog)(x)=f(g(x)) Que se lee f compuesta con g.

una función cuyo dominio e imagen

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REFLEXIONES QUE COSAS FUERON FACILES Durante esta clase en general se hacen fácil de entender las diferentes funciones sean de cualquier tipo ante la visualización gráficamente denotando a cuál de ellas pertenece podría ser por sus características de signos(+,-) para ver hacia que cuadrante del plano cartesiano corren y también los símbolos que para cada uno de las funciones se utilizan en ello podemos tener las de valor absoluto en donde tenemos (|x|) o las de función unitarias representadas por una U, o cuando tenemos las funciones que son de traslación que se puede representar dos en la misma grafica(±).

QUE COSAS FUERON DIFICILES Cosas difíciles de entender las cuales no tengo claras son las funciones racionales y compuestas por su complejidad en la parte analítica numérica y su representación grafica. 

Función racional, Silva Laso, 949, Smith, 23



Funciones seccionadas, Silva Laso, 953



Función algebraica.



Funciones trigonométricas. Silva Laso, 598, 964, Smith, 33



Función exponencial, Silva Laso, 618, Smith, 41



Función inversa, Silva Laso, 1015



Función logarítmica: definición y propiedades, Silva laso, 618



Funciones trigonométricas inversa, J. Lara, 207, Smith, 454



Transformación de funciones: técnica de graficación rápida de funciones, Silva Laso, 973, Smith, 52

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¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY? Hoy aprendí de forma general la “Función entero mayor” a continuación voy a mostrar un ejercicio para demostrar la Función de entero mayor.



La expresión f [|x|] se define como el mayor entero que es menor o igual a x.

Como podremos observar aquí está planteado el ejercicio y tiene su respectiva gráfica.

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DIARIO METACOGNITIVO Clase Nº 4 PERIODO:

Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012

TIEMPO:

4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS

FECHA: DOCENTE GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

CONTENIDOS: COMBINACIÓN DE FUNCIONES:  

Algebra de funciones: Definición de suma, resta, producto y cociente de funciones, Silva Laso, 994 Composición de funciones: definición de función compuesta, Silva Laso, 999

APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE. LIMITE DE UNA FUNCIÓN  

Concepto de límite: Propiedades de límites, Silva Laso, 1029, 1069, Smith, 68, Larson, 46 Límites indeterminados, Silva Laso, 1090

LIMITES UNILATERALES   

Límite lateral derecho, Silva Laso, 1041 Límite lateral izquierdo Límite bilateral

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  

Definir operaciones con funciones. Definir y calcular límites.

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COMPETENCIA GENERAL: 

Definición de operaciones y cálculo de límite de funciones.

DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES 

Introducción al tema



Reflexión ( nadie te ama como yo ) Mi reflexión ante esta diapositiva “nadie te ama como yo” trata del amor que Dios nos entrega a diario en cada instante sin importar las circunstancias por la que estemos pasando en el siempre está junto a nosotros y nadie nos ama como el por su vida que entrego por nuestros pecados.



Participación del líder del grupo en conclusión del curso sobre la reflexión



Revisión de los portafolios



Planteamiento de problemas

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CONTENIDOS 

ALGEBRA DE FUNCIONES

Para cada función encontrar f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x), f(x)/g(x) y además dar Df,Dg,Df+Dg,Df-Dg,Dfg,Df/g. f(x)=3x-5

g(x)= 2x+7

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

( ) ( )

(

)(

)

( ) ( )

*

+

*

+

=



FUNCION COMPUESTA

Sea una función cuyo dominio e imagen son, respectivamente, son, respectivamente

.

La FUNCION COMPUESTA de f con g , denotada por fog, se define por : (fog)(x)=f(g(x)) Que se lee f compuesta con g.

una función cuyo dominio e imagen

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TEOREMA DE UNICIDAD Es función cuando toca un punto cerrado si toca dos puntos no existe limite pero por el criterio de unicidad si la hay.

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REFLEXIONES

QUE COSAS FUERON FÀCILES En el siguiente tema ya visto se habla todo sobre límites y sus teoremas que tiene, como ya sabemos es una parte muy especial y fundamental para Cálculo Diferencial y para el desarrollo de uno mismo para llegar hacer un buen profesional gracias al apoyo del docente y el esfuerzo de uno mismo hacia el tema prestado.

QUE COSAS FUERON DIFÌCILES Una de las cosas en especial que tuve conflicto en aprender o captar fue cuando el ejercicio pide salir de la indeterminación lo cual fue complicado al principio pero aplicando el respectivo ((MM) Modelo Matemático) fue más fácil su resolución y comprensión del mismo.

¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY? Hoy aprendí aresolver algebra de funciones y encontrar todas las soluciones que podrían ser propuestas en un ejercicio como el que vamos a observar a continuación: 

Para cada función encontrar f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x), f(x)/g(x) y además dar Df,Dg,Df+Dg,DfDg,Dfg,Df/g.

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DIARIO METACOGNITIVO Clase Nº 5 PERIODO:

Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012

TIEMPO:

4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS

FECHA: DOCENTE GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

CONTENIDOS: LIMITE INFINITO: 

Definición, teoremas, Silva Laso, 1090, Larson, 48

LIMTE AL INFINITO: 

Definición, teoremas.



Limite infinito y al infinito, Smith, 95

ASÍNTOTAS: 

Asíntotas verticales, definición, gráficas, Silva Laso, 1102, Smith, 97



Asíntotas horizontales, definición, gráficas.



Asíntotas oblicuas, definición, gráficas.

OBJETIVO DE DESEMPEÑO 

Definir y calcular límite infinito, al infinito e infinito y al infinito.



Definir y graficar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

COMPETENCIA GENERAL: 

Definición y cálculo de límites, trazado de asíntotas.

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CONTENIDO: APLICACIONES DEL LÍMITE ASÍNTOTAS Donde se observa cómo F(x) tiende a cero cuando x aumenta o disminuye indefinidamente + (x → +∞ ► F(x) → 0 y x → -∞ ► F(x) → 0 ). A la recta horizontal (de ecuación y = k) con: k = lim F(x) con k є R x→ ± ∞ Se le llama asíntota horizontal. El valor (número Real) al que tiende F(x) al crecer (o decrecer) indefinidamente la x. En la ecuación es y = 0 (el eje de las x, abscisa) Cómo calcular este límite es el problema. El método a utilizar dependerá de la función y del tipo de indeterminación que dé cuando x tiende a valores cada vez mayores (o menores). Indeterminación quiere decir, por ejemplo, que cuando dividimos dos funciones, que ambas tienden a crecer indefinidamente (o a hacerse cada vez más pequeñas → 0±), la división no nos da un número, es decir, no sabemos el valor del cociente entre dos términos que crecen indefinidamente o que tienden a anularse simultáneamente. En el caso de cocientes de polinomios no es difícil intuir la solución al problema de la indeterminación. De todos los sumandos que componen un polinomio, el de mayor grado, marcará la tendencia de crecimiento frente a otro polinomio ya que los demás sumandos se podrán despreciar comparándolos con él. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el primero crecerá más rápido que el segundo y el cociente tenderá a crecer indefinidamente, no teniendo asíntota. Si ocurre lo contrario, que el grado del numerador sea menor que el del denominador.

Entonces el primero tenderá a hacerse pequeño Comparado son el segundo, tendiendo a cero el cociente. Se dice que tiene asíntota horizontal en y = 0. Por último, si ambos grados son iguales, el cociente de sus coeficientes nos dará k, el valor del límite (y = k). 3

2

3

2x +3x +1 2+(3/x)+(1/x ) 2 k = Lim ————— = Lim ——————— = —— 3 2 3 x→ ± ∞ 3x +x-1 x→ ± ∞ 3+(1/x )-(1/x ) 3

n

Todos los términos a/x , con x creciendo, tienden a cero. Lo que hemos hecho es dividir el numerador y 3 denominador por el monomio de mayor grado (x ).

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS Hay otro caso peliagudo cuando intentamos calcular la diferencia de dos funciones divergentes (→ ± ∞). En este caso se suele multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión. Por ejemplo:

F(x) =

Lim x→ + ∞

_____ 2 √ 4x -x - 2x =

Lim x→ + ∞

____ _____ 2 2 (√ 4x -x - 2x)(√ 4x -x + 2x = ———————————— _____ 2 √ 4x -x + 2x

2

2

(4x - x - 4x )

-x

Lim ———————— = Lim ——————— = x→ + ∞ x→ + ∞ _____ _____ 2 2 √ 4x -x + 2x √ 4x -x + 2x

-1 Lim ———————— = x→ + ∞ ______ √ 4-(1/x) + 2

-1/4

Este valor se ha obtenido después de multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión y, posteriormente, dividiendo el numerador y denominador por x. Verá cómo la función es divergente para x→ - ∞ ya que F(x) → + ∞. Su dominio de definición es: (-∞,0+U*(1/4),+∞+.

Observe cómo puede ocurrir, imagen vista arriba, que para x→ +∞ y = k = 1 y para x→ -∞ y = k´ = 0 teniendo dos asíntotas diferentes.

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UN BREVE EJEMPLO: a - El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto x = 1, ya que este valor de x cero hace que el denominador. b - La x intercepte se encuentra por la solución de f (x) = 0 ó x +1 = 0. x La intersección está en el punto (-1, 0). La intersección está en el punto (0, f (0)) = (0, -1). c - La asíntota vertical está dada por el cero en el denominador x = 1. El grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 1. Son iguales y de acuerdo con el teorema anterior, la asíntota horizontal es la recta y = 1 / 1 = 1 e - Aunque las partes a, b y c dan información importante sobre la gráfica de f, todavía tenemos que construir una tabla de señal para la función f con el fin de ser capaz de dibujar con facilidad. El signo de f (x) los cambios en los ceros del numerador y el denominador. Para encontrar la tabla de signo, se procede como en la solución de las desigualdades racionales. Los ceros del numerador y el denominador que son -1 y 1 dividen la línea número real en 3 intervalos: (- Infinito, -1), (-1, 1), (1, + infinito). Hemos seleccionado un valor de prueba dentro de cada intervalo y encontrar el signo de f (x). En (- infinito, -1), -2 seleccionar y encontrar f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0. En (-1, 1), 0 seleccionar y encontrar f (0) = -1 0. Vamos a poner toda la información acerca de f en una tabla. x f (x)

- Inf

-1 0 +

xintercepta

1 --

AV

+ Inf +

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En el cuadro anterior significa VA asíntota vertical. Para dibujar la gráfica de f, se comienza por esbozar el X e intercepta y y las asíntotas verticales y horizontales en las líneas rotas. Véase el croquis.

Ahora empezar a dibujar la gráfica de f a partir de la izquierda. En el intervalo de inf (-, -1) f (x) es positiva por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Comenzando desde la izquierda dibujo, que f teniendo en cuenta el hecho de que y = 1 es una asíntota horizontal: la gráfica de f está cerca de la línea de la izquierda. Véase el croquis.

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Entre -1 y 1, f (x) es negativa, por lo tanto, la gráfica de f está por debajo del eje x. (0, -1 intersección) es ay y x = 1 es una asíntota vertical: cuando x se aproxima a 1 de izquierda f (x) Difuntos sin límite porque f (x) 1, f (x)> 0 por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, la gráfica de f aumenta sin límite (f (x)> 0). También a medida que aumenta x, la gráfica de f enfoques y = 1, la asíntota horizontal. Véase el croquis.

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Ahora ponemos todas las "piezas" de la gráfica de f en conjunto para obtener la gráfica de f.

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REFLEXIONES

¿QUE COSAS FUERON FÀCILES? Aquí en esta reflexión se trata sobre límites en el cual se aplica una variedad de teoremas como hemos visto en casos anteriores en el cual se ve cuando el límite de x tiende al +∞ y en otro caso es cuando el límite de x tiende al -∞ en estos casos en cuando entran los teoremas adecuados para resolución de dicho ejercicio o problema planteado y asi desarrollar más nuestras destrezas adquiridas y ponerlas en práctica cuando sea necesario como en este caso muy necesario.

¿QUE COSAS FUERON DIFÌCILES? Al principio el tema en general fue un poco complicado pero después con la ayuda de nuestro docente el cual nos enseña hacer cada día mejor fue de mucho apoyo para el entendimiento de este tema.

¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY? Hoy aprendí a reconocer las asíntotas en una manera gráfica representada en sus principales funcionescomo podemos observar se presenta Asíntota Horizontal, Asíntota Vertical, Asíntota Oblicua en forma gráfica la cual las vamos a observar a continuación:

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DIARIO METACOGNITIVO Clase Nº6 PERIODO:

Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012

TIEMPO:

4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS

FECHA:

Martes, 22 de mayo-jueves, 24 de mayo del 2012.

DOCENTE GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

LÍMITES TRIGONOMETRICOS:  

Límite trigonométrico fundamental, Silva Laso, 1082, Larson, 48 Teoremas.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO:   

Definición, Silva Laso, 1109 Criterios de continuidad. Discontinuidad removible y esencial.

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  

Definir y calcular límites trigonométricos. Definir y demostrar la continuidad o discontinuidad de una función.

COMPETENCIA GENERAL: 

Definición y cálculo de límites trigonométricos, demostración de continuidad y discontinuidad de funciones aplicando criterios.

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REFLEXIONES

¿QUÉ COSAS FUERON FÁCILES? En este periodo de límites eh tenido una buena abstracción con la mayoría de temas propuestos en este periodo lo cual ah sido posible con el esfuerzo del docente al estudiante y por supuesto con la entrega del estudiante a la clase. Todo lo tratado aquí es de desarrollo personal y profesional para el estudiante lo cual lo instruye cada día hacer mejor.

¿QUÉ COSAS FUERON DIFÍCILES? Al principio la definición y el cálculo de limites trigonométricos fue un poco complicado y también demostrar la continuidad y discontinuidad de cada una de las funciones pero fue un logro superado con el transcurso de la clase.

¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY? Hoy aprendí a trabajar en límites de un radical como lo explico en el ejemplo:

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DIARIO METACOGNITIVO Clase Nº7 PERIODO:

Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012

TIEMPO:

4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS

FECHA: DOCENTE GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

CONTENIDOS: CALCULO DIFERENCIAL. PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE: 

Definiciones, Silva laso, 1125, Smith, 126, Larson, 106

DERIVADA:     

Definición de la derivada en un punto, Smith, 135 Interpretación geométrica de la derivada. La derivada de una función. Gráfica de la derivada de una función, Smith, 139 Diferenciabilidad y continuidad. Larson, 112

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  

Definir y demostrar la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva. Definir la derivada de una función.

COMPETENCIA GENERAL: 

Aplicación de la definición de la pendiente de la recta tangente y derivada en diferentes tipos de funciones.

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CONTENIDOS PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE La pendiente de la recta tangente en el punto de la curva f(x) lo representamos asi:

(

)

( )

(

( )

)

( )

(

( )

La derivada definición

)

( )

MODELOS MATEMÀTICOS ( )

1) y 2) y 3) y

; ( )

;

4) y 5)

(

; ;

6) y 7) y 8) y √ 9) y

⁄ √

,√ -

)

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MODELOS MATEMÀTICOS – FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS

10) y 11) y 12) y 13) y 14) y 15) y TEOREMAS (

)

( ) ( )

(

)

(

)

( )

( )

( )  ( ) ( )

( ) (

(

) )(

(

)

)

MODELOS PARA LA DERIVADA DE UN COCIENTE Para la derivada de un cociente existen 3 modelos que los observamos a continuación:

a)

(

)

b)

(

)

c)

( )

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 A CONTINUACIÓN EL USO DEL MODELO (b) DE LA DERIVADA DE UN COCIENTE:

)

(

)

( ⁄ )

. /

(

)

,

-

 A CONTINUACIÓN EL USO DE UN MODELO MATEMÀTICO:

( )

 A CONTINUACIÓN EL USO DEL MODELO (c) DE LA DERIVADA DE UN COCIENTE:

)

( ) . / (

)

(

)

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 A CONTINUACIÓN EL USO DEL MODELO (c) DE LA DERIVADA DE UN COCIENTE:

a)

(

)

√

( )

(√ )

√

( ( )

) (

√

)

√

(

) (√ )

( )

 ( )

√

(

)

( ) ,

(

)

(

)-,

(

)-

( )

(

)

(

)(

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

APLICAMOS: ( )

(

)

( )

(

)

(

)

)

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REFLEXIONES ¿QUÉ COSAS FUERON FÁCILES?

En este periodo de la recta tangente ah sido de mucha ayuda para el entendimiento mejorado de los teoremas y modelos matemáticos aplicados en cada ejercicio. Todo lo tratado aquí es de desarrollo personal y profesional para el estudiante lo cual lo instruye cada día hacer mejor.

¿QUÉ COSAS FUERON DIFÍCILES? Por una parte fue complicado las funciones trigonométricas por su aplicación pero esas dudas y complicaciones fueron resueltas de forma eficaz gracias al docente que siempre esta hay pendiente de nuestra comprensión y abstracción y es un tema muy interesante.

¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY? Hoy aprendí a utilizar el segundo de la derivada de un cociente a continuación le presento en un ejercicio el uso del modelo (b) de la derivada de un cociente:

)

(

)

( ⁄ )

. /

(

)

,

-

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ARTÍCULOS DE REVISTAS PROFESIONALES

Es la primera revista electrónica de carácter regional sobre el tema. En el marco del Segundo Encuentro Internacional de Rectores de Universidad, fue presentada el día de hoy la Revista Iberoamericana de Educación Superior (RIES), publicación académica cuatrimestral coeditada por Universidad y por el Instituto de Investigaciones sobre la Universidad y la Educación (IISUE), de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) La presentación fue hecha por Jaume Pagés, Consejero Delegado de Universidad. En el presídium estuvieron también José Narro, rector de la Universidad Nacional Autónoma de México y presidente del Comité Internacional del Encuentro de Rectores, Federico Gutiérrez Solana, presidente de la CRUE, entre otras personalidades. Jaume Pagès dijo que la RIES es un excelente espacio para dar continuidad a las líneas de debate que surgieran del Encuentro Internacional de Rectores e invitó a todos los asistentes a colaborar en ella. Destacó que la revista está respaldada por el prestigio académico del IISUE y de la UNAM. La RIES es una revista científica que publicará investigaciones sobre educación superior de Iberoamérica, con dictamen doble ciego. Busca impulsar el debate académico, desarrollar nuevas perspectivas de análisis sobre la educación superior y ofrecer un espacio académico para que los investigadores publiquen resultados de sus investigaciones. Abordará temas como políticas educativas, cobertura, formación profesional, vinculación, financiamiento, evaluación, acreditación, calidad, gobernanza y gobernabilidad, y otros temas presentes en el debate contemporáneo de la educación superior. En su primer número, la RIES incluye artículos de personalidades como Luis Enrique Orozco Silva, José GinésMora, Frida Díaz-Barriga Arceo y Carlos Tünnermann Bernheim, entre otros.

http://www.iesalc.unesco.org.ve/index.php?option=com_content&view=article&id=1304%3Aconvocatoriade-trabajos-de-investigacion-para-la-revista-iberoamericana-de-educacion-superior&catid=11%3Aiesalc&Itemid=466&lang=es

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REFLEXIÓN

En el artículo presente aquí engloba un tema muy importante que se trata sobre un presente análisis del contenido y la naturaleza de las concepciones sobre la enseñanza y aprendizaje de los docentes universitarios. También trata sobre un tema importante lo cual es la motivación y las habilidades computacionales de los futuros docentes en el uso de las TIC, es un estudio presentado por Thierry Karsenti y María Lourdes Lira Gonzales, que se centra en comprender el impacto de las actitudes y las habilidades tecnológicas en el uso de las tecnologías de información y comunicación (TIC) por los estudiantes de Educación en sus prácticas pre profesionales. La revista contiene seis secciones:      

Territorios: incluye artículos y ensayos innovadores que amplíen el panorama de la investigación sobre la educación superior. Genealogías: con artículos y ensayos especializados en investigaciones históricas sobre la educación superior. Contornos: publica investigaciones emergentes que van tomando forma y dando luz a nuevos avances, desarrollos o metodologías. Resonancias: espacio de comunicación y diálogo entre la RIES y el quehacer académico iberoamericano. Visiones: se publicarán reseñas y revisiones bibliográficas de obras significativas. Archivos: documentos, declaraciones, acuerdos y otros textos, que contienen información de interés primordial para la educación superior.

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TRABAJO DE EJECUCIÓN TALLER Nº 1 TALLER No 1 UNIDAD I Y II RESULTADO DE APRENDIZAJE: A. Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico: Aplicación) B.

Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua(Nivel Taxonómico: Aplicación)

C.

Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)

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TALLER N”2 UNIDAD I Y II RESULTADO DE APRENDIZAJE: A. Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico: Aplicación) B. Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua(Nivel Taxonómico: Aplicación) C. Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)

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TALLER Nº 3 RESULTADO DE APRENDIZAJE:

A. Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico: Aplicación) B.

Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua(Nivel Taxonómico: Aplicación)

C.

Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)

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TALLER No 4 UNIDAD I Y II

RESULTADO DE APRENDIZAJE: A. Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico: Aplicación) B. Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua(Nivel Taxonómico: Aplicación) C. Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)

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TALLER Nº5 UNIDAD I Y II

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TALLER Nº 6 UNIDAD I Y II

RESULTADO DE APRENDIZAJE: A. Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico: Aplicación) B. Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua(Nivel Taxonómico: Aplicación) C. Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)

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TALLER Nº2 UNIDAD III Y IV RESULTADO DE APRENDIZAJE A. Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente(Nivel Taxonómico: Aplicación) B.

Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos (Nivel Taxonómico: Aplicación)

COMPETENCIA: Fortalecer el aprendizaje de los teoremas de derivación interactuando en equipos con ética y responsabilidad para poder ser aplicadas posteriormente en problemas máximo y mínimos.

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TALLER Nº2 UNIDAD III Y IV

RESULTADO DE APRENDIZAJE C.

Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente(Nivel Taxonómico: Aplicación) D. Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos (Nivel Taxonómico: Aplicación) COMPETENCIA: Fortalecer el aprendizaje de los teoremas de derivación interactuando en equipos con ética y responsabilidad para poder ser aplicadas posteriormente en problemas máximo y mínimos.

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TAREA Nº 1

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SECCIÓN ABIERTA

Hoy miércoles 09-mayo-2012 me encuentro en mi departamento fortaleciendo mi diseño y estructura del portafolio de cálculo diferencial, para lo cual tuve que hacer uso de los conocimientos del docente en el cual me fue de mucha ayuda para aclarar mis ideas y así poder plasmar mi criterio fundamentado en mi alto conocimiento expresado en este portafolio de Cálculo Diferencial de la Facultad de Ciencias Informáticas gracias a mi facilitador el docente Ing. José Cevallos Salazar.

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RESUMEN DE CIERRE

Durante este trimestre de cálculo diferencial eh podido adquirir destrezas en temas generalas como: 

Destrezas de rápida graficación entrando en sistema de análisis critico



Destrezas para reconocer cuando una grafica es una función o relación



Destrezas en resolver múltiples tipos de funciones



Aplicando todas estas destrezas eh podido ya tener bases para entrar al cálculo en su principal tema que son los limites



Eh enriquecido mas mi conocimiento en la aplicación de modelos matemáticos



Destreza en la aplicación de teoremas para resolver las derivadas que creciendo su complejidad a corto plazo eh podido entender los procesos para llegar un resultado.

Estas destrezas y conocimientos adquiridos durante este trimestre sirven de mucho para mi desempeño como un estudiante aceptable de promedio y asi poder cursar sin dificultades o falencias en el mismo. De los trabajos asignados en el curso, las presentaciones orales en la que se han trabajado en la pizarra y más aun utilizando software informático como material de apoyo y desenvolvimiento mental y académico fueron de gran ayuda para mejorar en forma continua la comunicación efectiva frente a los otros equipos.

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EVALUACION DE PORTAFOLIO

CALIFICACION FINAL:

ITEMS A EVALUAR CONTENIDO COMPLETOS DEL MITAD DE CICLO: CLASES UNIDAD I. ANALISIS DE FUNCIONES UNIDAD II. APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITES UNIDAD III.CÁLCULO DIFERENCIAL, PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE CONTENIDO COMPLETOS DE FIN DE CICLO: CLASES UNIDAD IV.APLICACIÓN DE LA DERIVADA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTEGRAL: INTEGRALES INDEFINIDAS CONSULTAS:MITAD DE CICLO, FINAL DE CICLO PREGUNTAS Y RESPUESTAS GENERADAS POR EL ESTUDIANTE TAREAS: MITAD DE CICLO, FINAL DE CICLO EXAMENES DE MITAD DE CICLO Y FINAL DE CICLO CONCLUSIONES Y REOMENDACIONES DEL PROCESO DEL PORTAFOLIO ARCHIVO LOGICO DE LOS DOCUMENTOS DE APOYO PREPARACIÓN DEL INFORME MATERIAL PRESENTADO COMO INTERESANTE UTILIZACIÓN DE AYUDA VISUALES CON EFICACIA MOSTRAR EL MATERIAL AL PÚBLICO DIJO LA PRESENTACIÓN HABLO DESPACION Y CONTROLADO SE ESCUCHO

1

2

3

4

5

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ANEXO Nº1 LECCION Nº 1

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DEBER Nº1

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ENSAYO Nº1

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 ARGUMENTACIÓN 1.1.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y análisis matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

1.2.

Si

TEOREMA DE UNICIDAD ( )

( )

Entonces L1=L2. Observaciones: a) El teorema de unicidad de limite garantiza que si el límite de ( ) existe este debe ser u único valor. b) El concepto del límite nos indica el valor al que se aproxima la función ( ), cuando x se aproxima a “a” y este valor en algunas ocasiones coincide con el valor de ( ), es decir, el límite de ( ) cuando se aproxima a “a” no tiene que ser necesariamente ( ).

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1.3.

LIMITES UNILATERALES

Sea una función que esta definida en todos los números de algún intervalo abierto (a,c). Entonces el LÍMITE DE ( ) CUANDO x SE APROXIMA A a POR LA DERECHA es L y se denota por:

Si para todo ϵ > 0, existe δ > 0 tal que: ‫) ( ׀‬

‫׀‬

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2. TEOREMAS DE LÍMITES. 2.1. Si ( )

Teorema 1. , c es una constante, entonces:

Ejemplo:

2.2. Si ( )

Teorema 2. .

( ) Ejemplo:

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2.3 TEOREMA 3. Si m y b son constantes: (

)

Ejemplo:

2.4 TEOREMA 4. Si

( )

y c es una constante, entonces:

( ) Observación:

( )

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2.5 TEOREMA 5. Si ƒ y g son dos funciones tales que

( )

( )

y

Entonces:

,( )

2.6 Si

Entonces:

( )

( )-

TEOREMA 6. ( )

y

( )

( )

L+M

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2.7

TEOREMA 7. ( )

Si

( )

( )

Entonces:

2.8

TEOREMA 8.

Si ƒ(x)=g(x) para todos los valores de x, excepto en x=a y si

( )

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3.

LÍMITES ESPECIALES

Sobre límites especiales se estudiaran los siguientes casos:  EL LIMITE ES INDETERMINADO CUANDO X SE APROXIMA A “A”

 EL LIMITE ES L CUANDO X SE APROXIMA A ±

 EL LIMITE ES ±  CUANDO SE X APROXIMA A ± 

 LIMITES INFINITOS Definición.

Sea f una función definida en todo punto de algún intervalo abierto que contenga un valor “a” excepto posiblemente a “a”, diremos que f(x) crece sin limites a medida que x se aproxima hacia “a”. En otras palabras, mientras mas tiende x a un valor “a”, más se proyecta f(x) al infinito. Es lo que se observa y se sintetiza a continuación:

lim f ( x)  

x a 

lim f ( x)   x a

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Básicamente los limites infinitos son aquellos que dan como resultado el infinito cuando x tiende a un valor “a”, indicando de esta forma la existencia de una asintota vertical en dicho punto “a”. O también cuando x tiende hacia “a” por la derecha, podemos decir que:

lim f ( x)  

x a 

, si se cumple que a cada numero M (tan grande como se quiera),

corresponde otro numero positivo

 , (que depende de M), tal que f ( x)  M siempre que

0 xa  . Ejemplo:

f ( x) 

1 x  2 , considérese los valores de f(x), cuando x

Consideremos la función definida como tiende hacia 2 por la izquierda (2- ) y por la derecha (2+).

X

1.5

1.75

1.9

1.99

1.999

……..2

F (x)

-2

-4

-10

-100

1000

……..-∞



Cuando x por la izquierda, toma valores cada vez más cercanos a 2 pero siempre menores a 2, el valor f (x) que se genera se proyectara al -∞.

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

Cuando x por la derecha, toma valores cada vez mas cercanos a 2 pero nunca iguales a 2, el valor f (x) que se genera se proyectara al +∞.

X

3

2.5

2.1

2.01

2.001

……..2

F (x)

1

2

10

100

1000

……..+∞

La representación grafica la podemos ver a continuación.

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lim

Así tenemos que: x 2

1   x2

y

lim

x 2

1   x2 .

f ( x)   Cuando la función es negativa como

lim

x 2

1   x2

1 x2

tenemos que el límite varia, así:

y

 LIMITES QUE TIENDEN AL INFINITO Definición.

Sea f una función definida en todo punto de algún intervalo abierto que contenga un valor “a” excepto posiblemente a “a”, diremos que f(x) se acerca a un valor “L” a medida que x crece sin límites hacia el infinito. En otras palabras, mientras más tiende x al ±∞, más se acerca f (x) a un valor real “L”. Es lo que se observa y se sintetiza a continuación

lim f ( x)  L lim f ( x)  L

x 

x 

Los limites que tienden al infinito, están muy relacionados a las asíntotas horizontales de una función, de hecho, cuando en una función “f”, x tiende al infinito y f(x) se aproxima a un valor real “L”, dicho valor “L” corresponde a la asíntota horizontal de la función.

Cabe recalcar que este tipo de límites solo es aplicable en funciones racionales. Otra definición más representativa de este tipo de límites, lo podemos hacer tomando como ejemplo el caso en que en una función “F”, con dominio “K”, tal que para cualquier numero “C” existen elementos de “K” en el intervalo *C, +∞+. El límite de F(x) cuando x tiende al más infinito es

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lim f ( x)  L

L, que se representa como x 

f ( x)  L  

, si para cada

 > 0 existe un numero M tal que

para toda x  K y x > M.

Ejemplo:

f ( x) 

1 x  2 , considérese los valores de f(x), cuando x

Consideremos la función definida como tiende hacia el menos infinito y hacia el más infinito. 

X

Cuando x tiende al + infinito, es decir que toma valores cada vez más grandes, el valor f (x) que se genera se acercara cada vez más a cero, este comportamiento se observa a continuación. 2.01 2.5 10 100 1000 ……+∞

F (x)

100

2

0.125

0.010

0.0001

……..0

Gráficamente:



Cuando x tiende al – infinito, es decir que toma valores cada vez más pequeños, el valor f (x) que se genera se acercara cada vez más a cero. X 1.99 1.5 -10 -100 -1000 ……-∞ F (x)

100

-2

-0.08

0.0098

0.0001

……..0

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Gráficamente:

Por ello se usa este método para hallar asíntotas horizontales. Básicamente los límites que tienden al infinito son aquellos que nos da como resultado un valor real, para calcular este tipo de límites, no podemos hacerlo directamente, debemos ciertos criterios, como: 1. Si la expresión no es racional como f ( x)  mx  b , llevarla a la forma requerida

f ( x) 

h( x ) g ( x) , aplicando el conocimiento del álgebra.

2. Dividir cada término que conforma la expresión, por la variable de mayor exponente. 3. Si la variable está afectada por un radical, hacer la división por dicha variable, conservando el signo radical. 4. Si la variable está afectada por un radical de índice par y x tiende al menos infinito (-∞), considérese lo siguiente:

n

 x, si  x  0 xn    siendo" n" par.  x , si  x  0  5. Reemplazar el termino infinito (∞) en toda variable “x” y resolver las operaciones considerando el cuadro de límites que se incluyen en el anexo.

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 Limite Infinitos que tienden al Infinito. Definición. En una función f, diremos que f(x) crece o decrece sin límites a medida que x tiende al más o menos infinito, si para valores cada vez mayores o menores de x corresponden valores cada mayores o menores de la imagen f(x), lo que se traduce en el lenguaje matemático así:

lim f ( x)  

x 

A diferencia de los casos anteriores, este tipo de límites si se aplica a las funciones no racionales, para observar su comportamiento cuando crece o decrece. Ejemplo: Consideremos como ejemplo grafico a la función f(x) = x + 5; a medida que x tome valores cada vez más grandes, es decir, cuando tienda al más infinito, f(x) también crecerá hacia el más infinito, lo

lim x  5  

que se denota así: x 

, y es lo que se ve en el cuadro siguiente.

X

0

2

4

8

16

…….+∞

F (x)

5

7

9

13

21

…….+∞

Gráficamente:

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De igual forma, cuando x tome valores cada vez más pequeños, f(x) tomara también valores cada

lim f ( x)  

vez menores, lo que se escribe como: x siguiente.

, y lo podemos ver en el cuadro

X

0

-2

-4

-8

-16

…….-∞

F (x)

5

3

1

-3

-11

…….-∞

Gráficamente:

Si consideramos la misma función con signo negativo f ( x)  ( x  5) , tendremos que:

lim f ( x)  

x 

lim f ( x)  

Y

x 

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4. CONTINUIDAD 4.1.

FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO

Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si: a. Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a. b. Existe el

.

c. Ambos valores coinciden, es decir

.

Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición equivalente:

Diremos que y = f(x) es continua en el (a, b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a, b). Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a sí Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a sí

. .

Diremos que y = f(x) es continua en el [a, b] si: a. y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a, b). b. y = f(x) es continua por la derecha en x=a. c. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b. TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el . (La demostración es inmediata) Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO. Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 que losvalores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).

existe un entorno de x=a en el

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Demostración: Supongamos que Tomemos

f(a)>0

(si

fuese

negativo,

se

razonaría

de

modo

similar).

. Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:

Es decir:

Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar)

TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN

Si y = f(x) es continua en x = a

y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x = a.

Demostración: Tomemos

. Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:

De modo que entorno

es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en el de x=a.

4.2. Operaciones con funciones continuas. Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que: a. b.

es continua en x=a. es continua en x=a.

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c.

es continua en x=a sí

d.

.

es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).

TEOREMA:Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a)

es continua en

x=a. Demostración:

De

lo

4.2.

dicho

anteriormente

resulta

que:

Discontinuidad.

Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad. TIPOS DE DISCONTINUIDADES A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a). B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden. C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la función en x=a al

. Dicho valor es el que convierte a la función en continua.

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Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en x=a al valor . Estudiar, como aplicación de lo anterior, la continuidad y discontinuidades de las funciones elementales vistas en el capítulo anterior y de las funciones definidas a trozos. Ejemplo:

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EJERCICIOS PROPUESTOS

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 ANÁLISIS CRÍTICO  El hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.



Funciones de variable realSi la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.

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ENSAYO Nº2

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 APLICACIONES DEL LÍMITE ASÍNTOTAS Donde se observa cómo F(x) tiende a cero cuando x aumenta o disminuye indefinidamente (x → +∞ ► F(x) → 0y x→+ ∞ ► F(x) → 0 ). A la recta horizontal (de ecuación y

k = lim F(x)

= k) con: con k є R

x→ ± ∞

Se le llama asíntota horizontal. El valor (número Real) al que tiende F(x) al crecer (o decrecer) indefinidamente la x. En la ecuación es y = 0 (el eje de las x, abscisa) Cómo calcular este límite es el problema. El método a utilizar dependerá de la función y del tipo de indeterminación que dé cuando x tiende a valores cada vez mayores (o menores). Indeterminación quiere decir, por ejemplo, que cuando dividimos dos funciones, que ambas tienden a crecer indefinidamente (o a hacerse cada vez más pequeñas → 0±), la división no nos da un número, es decir, no sabemos el valor del cociente entre dos términos que crecen indefinidamente o que tienden a anularse simultáneamente. En el caso de cocientes de polinomios no es difícil intuir la solución al problema de la indeterminación. De todos los sumandos que componen un polinomio, el de mayor grado, marcará la tendencia de crecimiento frente a otro polinomio ya que los demás sumandos se podrán despreciar comparándolos con él. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el primero crecerá más rápido que el segundo y el cociente tenderá a crecer indefinidamente, no teniendo asíntota. Si ocurre lo contrario, que el grado del numerador sea menor que el del denominador, entonces el primero tenderá a hacerse pequeño comparado son el segundo, tendiendo a cero el cociente. Se dice que tiene asíntota horizontal en y = 0.

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Por último, si ambos grados son iguales, el cociente de sus coeficientes nos dará k, el valor del límite (y = k). 2x3+3x2+1 2+(3/x)+(1/x3) 2 k = Lim ————— = Lim ——————— = —— 3 x→ ± ∞ 3x +x-1 x→ ± ∞ 3+(1/x2)-(1/x3) 3

Todos los términos a/xn, con x creciendo, tienden a cero. Lo que hemos hecho es dividir el numerador y denominador por el monomio de mayor grado (x3). Hay otro caso peliagudo cuando intentamos calcular la diferencia de dos funciones divergentes (→ ± ∞). En este caso se suele multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión. Por ejemplo:

F(x) =

Lim x→ + ∞

_____ √ 4x2-x - 2x =

Lim x→ + ∞

____ _____ 2 (√ 4x -x - 2x)(√ 4x2-x + 2x ———————————— _____ √ 4x2-x + 2x

(4x2 - x - 4x2) Lim

———————— =

x→ + ∞

-x Lim

——————— =

x→ + ∞

_____ √ 4x2-x + 2x

_____ √ 4x2-x + 2x

=

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-1 Lim

———————— = -1/4

x→ + ∞

______ √ 4-(1/x) + 2 Este valor se ha obtenido después de multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión y, posteriormente, dividiendo el numerador y denominador por x. Verá cómo la función es divergente para x→ - ∞ ya que F(x) → + ∞. Su dominio de definición es : (-∞,0]U[(1/4),+∞].

Observe cómo puede ocurrir, imagen vista arriba, que para x→ +∞ y = k =1 y para x→ -∞ y = k´ = 0 teniendo dos asíntotas diferentes.

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Un breve ejemplo: a - El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto x = 1, ya que este valor de x cero hace que el denominador. b - La x intercepte se encuentra por la solución de f (x) = 0 ó x +1 = 0. x La intersección está en el punto (-1, 0). La intersección está en el punto (0, f (0)) = (0, -1). c - La asíntota vertical está dada por el cero en el denominador x = 1. El grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 1. Son iguales y de acuerdo con el teorema anterior, la asíntota horizontal es la recta y = 1 / 1 = 1 e - Aunque las partes a, b y c dan información importante sobre la gráfica de f, todavía tenemos que construir una tabla de señal para la función f con el fin de ser capaz de dibujar con facilidad. El signo de f (x) los cambios en los ceros del numerador y el denominador. Para encontrar la tabla de signo, se procede como en la solución de las desigualdades racionales. Los ceros del numerador y el denominador que son -1 y 1 divide la línea número real en 3 intervalos: (- Infinito, -1), (-1, 1), (1, + infinito). Hemos seleccionado un valor de prueba dentro de cada intervalo y encontrar el signo de f (x). En (- infinito, -1), -2 seleccionar y encontrar f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0. En (-1, 1), 0 seleccionar y encontrar f (0) = -1 0. Vamos a poner toda la información acerca de f en una tabla. x f (x)

- Inf

-1 0

+

xintercepta

1

--

AV

+ Inf

+

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En el cuadro anterior significa VA asíntota vertical. Para dibujar la gráfica de f, se comienza por esbozar el X e intercepta y y las asíntotas verticales y horizontales en las líneas rotas. Véase el croquis.

Ahora empezar a dibujar la gráfica de f a partir de la izquierda. En el intervalo de inf (-, -1) f (x) es positiva por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Comenzando desde la izquierda dibujo, que f teniendo en cuenta el hecho de que y = 1 es una asíntota horizontal: la gráfica de f está cerca de la línea de la izquierda. Véase el croquis.

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Entre -1 y 1, f (x) es negativa, por lo tanto, la gráfica de f está por debajo del eje x. (0, -1 intersección) es ay y x = 1 es una asíntota vertical: cuando x se aproxima a 1 de izquierda f (x) Difuntos sin límite porque f (x) 1, f (x)> 0 por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, la gráfica de f aumenta sin límite (f (x)> 0). También a medida que aumenta x, la gráfica de f enfoques y = 1, la asíntota horizontal. Véase el croquis.

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Ahora ponemos todas las "piezas" de la gráfica de f en conjunto para obtener la gráfica de f.

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 TECNICAS PARA GRAFICAR ASINTOTAS Calcular las asíntotas de las siguientes funciones:

Lo primero debemos calcular el dominio de la función para saber el posible valor de para poder calcular las asíntotas verticales a=1 Al calcular el límite en 1 nos da una indeterminación del tipo , que eso es siempre igual a infinito. Lo que nos queda por determinar es el signo del infinito. El numerador nunca nos da problemas pues como es un número distinto de cero será o positivo o negativo. Para saber el signo del denominador tenemos en cuenta:

Asíntotas verticales:



en el primer caso como x se acerca a 1 por la derecha, entonces es mayor que 1, si le quitamos 1 nos da positivo, por lo tanto el denominador es positivo



en el segundo caso se procede de forman análoga obteniendo que es negativo. Como alguno de los límites, en este caso, los dos valen infinito, entonces la función tiene una asíntota vertical en x=1.

Asíntotas horizontales:

Para las asíntotas horizontales hemos obtenido que alguno de los límites nos da un número real, por lo tanto la función tiene una asíntota horizontal en la recta y=0. Como la función tiene asíntota horizontal entonces no tiene asíntota oblicua.

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a=1 Asíntotas verticales:

Asíntota vertical en x=1.

Asíntotas horizontales:

No existen asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas:

Así tenemos una asíntota oblicua en la recta y=x+1.

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 ANÁLISIS CRÍTICO Al llegar a un análisis crítico de los límites y su aplicación en las asíntotas, y técnicas para graficar asíntotas:  Lo primero debemos calcular el dominio de la función para saber el posible valor de para poder calcular las asíntotas verticales  Para las asíntotas horizontales hemos obtenido que alguno de los límites nos da un número real, por lo tanto la función tiene una asíntota horizontal en la recta y=0.Como la función tiene asíntota horizontal entonces no tiene asíntota oblicua.

 Cuando x se aproxima a 3 de la izquierda o por valores inferiores a 3, f (x) decrece sin límite.  Cuando x se aproxima a 3 de la derecha o por valores superiores a 3, f (x) crece sin límite.  Decimos que la recta x = 3, línea quebrada, es la asíntota vertical de la gráfica de f.

 BIBLIOGRAFIA  http://www.elmundocalculo.ec/asintotas-verticales.htm  http://www.calculodiferencial.com.ec/tecnicas/graficar/asintotas.htm

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DEBER Nº2 FECHA: 22-05-2012 MATERIA: Calculo Diferencial DOCENTE: Ing. José Cevallos S. ESTUDIANTE: Bladimir Alexander Zares Márquez. UTILIZANDO EL APOYO AL ESTUDIANTE REALIZAR 2 EJERCICIOS DE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES DEL LIBRO DE SILVA LASSO:   

ALGEBRA DE FUNCIONES FUNCION COMPUESTA FUNCION INVERSA

 ALGEBRA DE FUNCIONES Para cada función encontrar f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x), f(x)/g(x) y además dar Df,Dg,Df+Dg,DfDg,Dfg,Df/g.

( )

( )

√

√

( )

( )

√

√

( ) ( ) ( ) ( )

(

√

( )

√

,

-

( )

√

√ √

- ,

)

, ( )

-

√

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( )

( )

( )

( ) =

( )

(

)( ) )( )

(

)( ) )( )

(

( ) =

(

( ) ( ) ( ) ( )

* =

+

*

+

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 FUNCION COMPUESTA Para cada par de funciones, encontrar (fog) (x), (gof) (x), (fof) (x), (gog) (x).

( ( ))

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 FUNCI0N INVERSA

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DEBER Nº3

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BIBLIOGRAFIA CALCULO DIFERENCIAL BIBLIOGRAFIA DADA. SILVA Juan Manuel, LAZO Adriana, Análisis Matemático. 2006. Limusa Noriega. LARSON-HOSTETLER EDWARDS, Cálculo con Geometría Analítica. Tomo 1, octava edición. Mc Graww Hill 2006. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA. 

LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de Matemáticas de la Universidad Central. Ecuador.



PRADOCarlos,AGUILARGerardo,

PULIDO

Javier.

QUEZADA

Lourdes,

ZUÑIGA Leopoldo, GÓMEZ JOSÉ LUÍS, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO Rubén Darío. Calculo Diferencial para ingeniería. 

PÉREZ LÓPEZ CÉSAR. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería.

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www.matemáticas.com

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CD. Interactivo. portafolio

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LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla. México.

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STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International Thomson Editores. México.



THOMAS, George y FINNEY, Ross.(1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. EUA.

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GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral.