Portafolio Ci 2021-2022 Cálculo Integral

 

 

PORTAFOLIO CI 2021 -2022 

ALUMNO: CORDERO PROFESOR: FLORES

HUERTA JEREMY ALEJANDRO  

ZHAMUNGUI MILTON NAPOLEON 

ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL FACULTAD: INGENIERÍA INDUSTRIAL  CARRERA: SISTEMA DE INFORMACIÓN  FECHA: 03/09/21

 

  Integración por fracciones parciales

Las fracciones parciales es un método de integración que permite resolver integrales de ciertas funciones racionales que no se pueden resolver por los otros métodos m étodos (formula directa,  por partes, cambio de de variable, etc.). Algunas Algunas propiedades de integración a considerar: considerar:   Si f(x) y g(x) son polinomios, entonces a la expresión f(x)/g(x) se le denomina fracción



racional.

  Si el grado de f(x) es menor que el grado de g(x), entonces a la fracción se le llama



 propia. Es impropia Cuando Cuando el grado del numerador es de de igual o mayor mayor grado que el denominador. Cuando se requiere desarrollar por el método en mención hay que tomar cierto ciertoss aspectos importante para una correcta resolución.



 P ( x )   dx Q ( x)

Pueden expresarse como la suma de fracciones simples o  fracciones parciales cuyos denominadores son los factores de la fracción dada y los numeradores no son conocidos y solo bastaría investigar cual es el numerador numerador de cada una de ellas. (CALCULO (CA LCULOUMG, UMG, 2016) Ejemplo.



2

5 

 x  1  

x 

2

Cuando se combinan por medio de un denominador común, se obtiene la expresión racional:

2( x  2)  5( x  1) ( x  1)( x  2)

  x

7 x  1 2

  x  2 

dx

 (

7 x  1

  x

2  x  1

2



  x 

5  x  2

2 ln  x  1   5 ln    x  2

c

2 )dx

 

  Método de doble integración

(CIVILARQ, 2011). Consiste en la aplicación de la ecuación diferencial de la elástica, el cual expresa que la 2da derivada de la elástica es igual a la curvatura del momento afectada por su módulo de flexión, siendo entonces la 1era integral de la curvatura del momento igual al ángulo de rotación de la elástica y la 2da integral de la curvatura del momento de la ecuación de la elástica.

Es importante destacar que al aplicar la l a ecuación diferencial de la elástica aparecerán las que son las constantes de integración, la cual encontraremos sus valores, al aplicar lo que se conoce como condiciones de bordes o fronteras del elemento. Ejemplo.

 

 

Integrales triples

Una integral triple es un tipo de integral definida defi nida aplicada a funciones de tres de una variable real. El diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función con respecto a cambios en la variable independiente. Hay que tener cuenta de que por cada símbolo de integral debe existir un diferencial con respecto a una variable que se deba utilizar, es importante en la aplicación de las integrales triples sabes muy bien la posición de los diferenciales es completamente diferente trabajarlos al azar. Límites de Integración 

Para definir los límites l ímites de integración tenemos que ya tener en cuenta que ya es una Integral Definida en un intervalo dado, ese caso se utiliza el tteorema eorema fundamental fundamental del cálculo para resolver este tipo de integral. Ejemplo. 

 

 

Ejemplo 1.1

El límite de integración i ntegración toma valor no finito, Así pues, según el caso, tenemos:

Calculamos primero la integral definida con límite de integración superior igual a t:

Por último, calculamos el límite cuando t tiende a más infinito de esta función:



Por tanto, I es convergente y su valores I=  // 

 

Solidos de revolución

El sólido de revolución es la figura tridimensional que se genera mediante rotación de una superficie plana alrededor del eje axial o eje de revolución. (Westreicher, 2020)

Otro ejemplo muy fácil de visualizar consiste en generar un cilindro circular recto, haciendo rotar un rectángulo de altura o largo h y radio r, alrededor del eje x positivo. Para encontrar su volumen existe una fórmula muy conocida:  = á á               Métodos para calcular el volumen de un sólido de revolución

En cálculo integral son frecuentes estos dos métodos:   Discos y arandelas



  Cascarones



Método de los discos o las arandelas

Un sólido de revolución la sección transversal transversal puede ser un disco, si el sólido es macizo o  puede ser una especie de arandela arandela (un disco disco con un agujero agujero en medio), si se se trata de un un sólido hueco. (Ingeniería Integrales, 2018)

 

La altura del rectángulo está comprendida entre la curva más externa R(x) y la más interna r(x). Ellas corresponden al radio externo y radio interno respectivamente. Al hacer esta rotación se genera una arandela de volumen ΔV, dado por:  

ΔV = Volumen completo –  volumen  volumen del agujero (si lo hay) Recordando que el volumen de un cilindro circular recto es π. radi o2 x altura, tenemos:

ΔV = π [R2(x) –  r2  r2(x)] Δx  El sólido se puede dividir en multitud de pequeñas porcion porciones es de volumen ΔV. Si las sumamos todas, tendremos el volumen completo. Para ello hacemos tender a 0 el volumen ΔV, con lo cual Δx también se hace muy pequeño,  pasando a ser ser un diferencial dx. Así tenemos una integral: V = ∫ab π [R2(x) –  r2(x)] dx

 

Método de la capa

este método consiste en suponer que el sólido se compone de capas de espesor diferencial. La capa es un tubo delgado que se origina por el giro de un rectángulo paralelamente al eje de rotación. (Calculoiisite, 2016)

Tenemos las siguientes dimensiones di mensiones::   La altura del rectángulo w 



  Su longitud h 



  La distancia del centro del rectángulo al eje de rotación p 



Sabiendo que el volumen de la capa es volumen exterior  –  volumen  volumen interior :  w/2)2h Al desarrollar los productos notables y simplificar, se obtiene: π (p + w/2)2h –  π (p –  w/2)2h

Volumen de la capa = 2π p w h En resumen, el método de capas se basa en esbozar la región pl plana ana que va a ser girada, hallando los puntos de intersección de las curvas que la l a limitan sobre el dibujo hallando un rectángulo paralelo al eje de revolución. Teniendo en cuenta como base el boceto, escribir el volumen de la capa para así integrar entre los límites apropiados.

 

Ejemplo. Hallar el volumen generado por la rotación de la región plana comprendida entre las curvas:

 y = x2; y=0; x=2

Lo primero que debemos hacer es graficar la región que va a generar el sólido de revolución y señalar el eje de giro.

Ahora se buscan las intersecciones entre entre la curva y = x2 y la recta x = 2. Por su parte la recta y = 0 no es otro que el eje x. De la gráfica es fácil advertir que la parábola y la recta se intersectan i ntersectan en el punto (2,4), lo cual se corrobora sustituyendo sustituyendo x = 2 en y = x2. -Seguidamente se escoge uno de los métodos para calcular el volumen, por ejemplo, el método de capas con eje de revolución vertical: V = ∫ab 2π p(x)h(x)dx Se dibuja el rectángulo:

 

Procedemos a determinar p(x) que La altura del rectángulo está determinada por la parábola x2. Establecemos y resolvemos la integral de volumen La variable de integración es x, la cual varía entre 0 y 2, con esto tenemos los límites de integración. Sustituyendo Sustituyendo las expresiones para p(x) y h(x h(x))

Referencias  Método de capas.

Calculoiisite. (2016).  Wordpress. CALCULOUMG. (2016). Integración por fracciones parciales. CALCULO II. CALCULOUMG. CIVILARQ. (2011). Método de doble integración. CIvilarq.com. Ingeniería Integrales. (2018).  Método Arandelas. Wordpress. Westreicher, G. (2020). Sólido de revolución . Economipedia.com. Economipedia.com.