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ETUDE DE LA DALLE PAR LA METHODE GUYON- MASSONNET PRINCIPE GENERAL DE LA METHODE: La méthode GUYON- MASSONNET est l’une des multiples méthodes pratiques utilisées pour calculer les structures composées de : - DALLES PLEINES - GRILLAGE DE POUTRES POUTRES MULTIPLES SOUS CHAUSSEE ETC...

1°/ Dans le sens Longitudinal a) Calcul des moments fléchissant permanentes G sur une bande égale à L/2 =6.5m  b) Calcul des moments fléchissant dus aux surcharges roulantes par le théorème de BARRE en utilisant les lignes d’influence « Longitudinales Longitudinales » c) Calcul des coefficients coefficients de Répartition transversal pour les charges roulantes: - K α moy en ce qui concerne le moment fléchissant Mx.

2°/ Dans le sens Transversal. a) Calcul des coefficients de répartition µα b) Convertir les charges charges réelles en fonctions sinusoïdales (Voir les détails de chaque type de charge)

DETERMINATION DES EFFETS DANS LE SENS LONGITUDINAL: 1,50

3,50

3,50

x

1,50

x 70

30 20 20

1 2 3

20

90

20

-b -3b/4 -b/2

20

-b/4

0

+b/4 b/2 +3b/4

90

20

+b

-

Poids propre de la dalle: charge permanente la surface de la dalle est ;

-

S

S

= (1000 – 2 x 20) x 70 – 2 x ( S1+ S2+ S3) 20 x90 20 x30 2 ) = 59400 cm + 90 x30 = (1000 – 2 x 20) x 70 – 2 x ( 2 2

Dal le en B. A : G0 = S x 2.5 = 5.94 x 2.5 =

14.85 t/m ⇒ CP = 14. 85 t/ml

Complément des charges permanente 1. 2. 3. 4.

Revêtement : = 1.23 t/ml Trottoirs : = 2 x 1 = 2 t/ml Gardes corps ; = 2 x 0.1 = 0.2 t/ml Corniches : = 2x 0.5 = 1t/ml

⇒ CC p = 4.43 t/ml

G =19.28 t/ml Détermination des moments MAX dans le sens longitudinal Calcul du moment fléchissant du aux charges permanentes: 2 G × L 19 . 28 x13 2 M= =  = 407.29 t.m 8

Pour X= 0.5 L :

8

M/section = 407,29 / 8= 50,911 tm Application des surcharges routières: Il s’agit d’un pont de classe1, les surcharges applicables sont A (L) et Bc Evaluation de A (L) = a1 x a2 x A(Lo): a1= 1 a2 = Vo/V= 3.5/3.5 =1 36000 36000 2 A (lo)=230 + = 230 + = 1670 kg/m2 = 1.67t/m  L + 12 13 + 12 1 voie chargée 2 voies chargée A(l) =1.0 x 1.0 x7.00 x 1.67 = 11.69 t/ml

A(l) =1.0 x 1.0 x3.5 x 1.67 = 5.845 t/ml M=

 A( L) × L 8

2

= 123.475 t.m

M=

 A( L) × L 8

Calcul le moment MAX de la surcharge BC

12t

R

2

= 246.95t.m

: par théorème de barré

12t

6t

6t a a

1.625m

4.5

1.5

4.5

0.875

S

X= 0.5 L = 6.50

 x =

∑ pixXi ---/ x = 12 x4.5 + 12 x6 + 6 x10.5 = 5,25m 36 ∑ Pi

On trouve 2a = 5.25 - 4.5 ⇒ a = 0.375 m le moment est max ou point s M s = 76.89 tm M = M s x δ x b --- Le nombre maximal d’essieux à mettre sur le tablier est 5,

Soit s =12 + 12 + 6 + 12 +12 = 54 t

b c =1.1 (2 files) b c =1.2 (1 file )

S = 2 x 54 x 1.1 =118.8 t Calcul du coefficient de majoration dynamique: 0.4 0 .6 0.4 0.6 + = 1+ + δ  = 1 + G 19.28 1 + 0.2 L 1 + 0.2 × 13 1+ 4× 1+ 4× S  118.8

1voie chargée M = 76.89 x 1.2 x 1.47 = 135.65 t.m

 = 1 ,47

2voies chargées M = 76.89 x 2 x 1.1 x 1.47  = 248.66 t.m

Répartition longitudinale des surcharges: Suivant la ligne d’influence Mx a mi porté (X= 0.5L) Système Bc ; A (l); trottoir

P2 = 12t p3 = 12t  p1= 6t

p4= 6t

Bc A(L) Trottoir 1.00

3..25

2.5

0.25

Ω2

Ω1 X= 0.5l = 6,5

6 ,5 m

Ligne d’influence du Moment a mi porté ; X =0.5l o

Surcharge Bc

M=

∑ Pi x Yi

M (x =L /2) = 6x 1+ 12 x 3.25 + 12 x 2.5 + 6 x 0.25 = 1 VOIE chargée

2 voies chargées

M = 76.5 x 1.47 x 1.2 = 134.94 t.m

o

Surcharge A (L)

M = q x l  x

76.5t.m

M=76.5 x 2 x 1.1 x 1.47 = 247.40 t.m

∑ Ω i , q = intensité de la charge par unité de surface. Ω i = Aire de la ligne d’influence. l 

1 voie chargée M = 1.67 x 3.5 x 21.125 = 123.475 t.m

= Largeur de la voie chargée. 2 voies chargées M = 1.67 x 7 x 21.125 = 246.95 t.m

o

M= qxlx

Surcharge du trottoir)

1 trottoir chargé

∑ Ωi

2 trottoirs chargés M= 0.15 x 2 x 1.5 X 21.125 = 9.5 tm

M = 0.15 x 1.5 x (10.5625+10.5625) = 4.75 tm

CALCUL DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE PAR LA METHODE DE GUYONMASSONNET

DEFINITIONS GENERALES: La méthode de GUYON- MASONNET permet d’étudier la répartition des charges sur un ouvrage en tenant compte de sa déformabilité traversable et, dans le cas le plus général, de sa rigidité torsionelle. Soient: L - la portée de l’ouvrage. 2 b  - sa largeur. I p - le moment d’inertie des poutres. I e - le moment d’inertie des entretoises.

 ρ 

- la rigidité flexionnelle par unité de longueur des poutres.

 ρ 

- la rigidité flexionnelle par unité de longueur des entretoises.

 P 

 E 

Dons les ponts dalles

α =1

Paramètre de torsion

On désigne par: θ

= b/L x

4

 ρ   ρ 

 P 

le paramètre d’entretoisement .

 E 

On notera que pour une dalle pleine

 ρ 

 P 

= ρ  et  E 

4

 ρ   ρ 

 P 

= 1.

 E 

Calcul de la largeur équivalente

- Le moment d’inertie de la section (1) IX =

90 × 203

- - Le moment d’inertie de la section (2) IX =

- Le moment d’inertie de la section (3) IX =

Le moment d’inertie de la dalle est IX =

+ 1.662 ×

36 20 × 303

36 90 × 203 12

+ 252 ×

20 × 90 2 20 × 30 2

4

= 22500 cm

4

= 202500 cm 4

+ 202 × 30 × 90 = 1282500 cm

(1000 − 2 x 20) × 703

 - 2 x (22500+202500+1282500)

12

4

= 27440000 – 3015000 = ,24425000 cm 3 Le moment d’inertie de la dalle équivalente est IE X = (2b) × 70 12

( 2 b ) × 70 12

3

 = 24425000 ⇒ 2b = 8, 545 m ⇒  b = 4, 27m

donc : θ = b/L ; L = 13m θ = 0, 3286 d’ où : La largeur 2b de l’ouvrage à prendre en compte dans les calculs sera pour un pont Dalle égal à la largeur réelle de la dalle.

En fonction de ces deux paramètres on peut lire sur les tableaux de GUYON- MASSONET les valeurs des coefficients K; µ. Etc. qui servent à dessiner les lignes d’influence des différents moments. Pour le projet et par mesures simplificatrices on s’intéresse au: 1°/ Moment fléchissant longitudinal Mx 2°/ Moment fléchissant Transversal

My

Etant donné que le paramètre de torsion α =1 ; seuls les tableaux de K 1 ; µ1 Seront considérés. K α = Ko + (K1 - Ko) α  → K α = K 1

Les valeurs moyennes des coefficients de répartition transversale seront obtenues à travers l’exploitation des courbes des lignes d’influence (voir ci-après).

TABLEAU DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE K1 POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES) θ = 0, 30 : Y

e

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.9664

0.984

1.0018

1.0173

1.0244

1.0173

1.0018

0.984

0.9664

b/4

0.8776

0.9104

0.9453

0.982

1.0173

1.0451

1.0591

1.0652

1.0689

b/2

0.8012

0.8453

0.8929

0.9453

1.0018

1.0591

1.1108

1.1508

1.1849

0.7345

0.7876

0.8453

0.9104

0.984

1.0652

1.1508

1.2351

1.3126

0.6733

0.7345

0.8012

0.8776

0.9664

1.0689

1.1849

1.3126

1.4474

3b/4 b

TABLEAU DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE K1 POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES) θ = 0, 35 : Y

e

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0.9466

0.9741

1.0025

1.0279

1.0399

1.0279

1.0025

0.9741

0.9466

0.834

0.8781

0.9261

0.9777

1.0279

1.0659

1.0807

1.0824

1.0808

0.7408

0.7958

0.8568

0.9261

1.0021

1.0807

1.1496

1.1983

1.2369

3b/4

0.6624

0.7255

0.7958

0.8781

0.9741

1.0824

1.1983

1.3115

1.4123

b

0.5926

0.6624

0.7408

0.834

0.9466

1.0808

1.2369

1.4123

1.6001

0 b/4 b/2

Et par l’interpolation ; K1 (θ=0, 3286) = K1 (θ=0, 30) + 0,572 x

K1 (θ=0, 35)- K1 (θ=0, 30)

TABLEAU DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE K1 POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES) θ = 0, 3286 : Y

e

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0.9551

0.9783

1.0022

1.0234

1.0333

1.0234

1.0020

0.9783

0.9551

0.8527

0.8919

0.9343

0.9795

1.0234

1.0570

1.0714

1.0750

1.0757

0.7667

0.8170

0.8723

0.9343

1.0020

1.0714

1.1330

1.1780

1.2146

3b/4

0.6933

0.7521

0.8170

0.8919

0.9783

1.0750

1.1780

1.2788

1.3696

b

0.6271

0.6933

0.7667

0.8527

0.9551

1.0757

1.2146

1.3696

1.5347

0 b/4 b/2

TABLEAU des Moments M0 de chaque surcharge Surcharge

CAS de surcharge

Moment TOTAL

Moment / section

M0 =MT/8 A(L)

1 voie

123.475

15.434

Bc

2 voies 1 file 2 files

246.95 135.65 t.m 248.66 t.m

30,869 16.956 31.082

Trottoir

1 Trottoir

4.75

0.593

2 Trottoirs 9.5 1.187 TABLEAU des coefficients de répartition transversale et des moments pour chaque section K1moy -- M xt = M0 x K 1 moy Position de Position de Position de Position de Position de Surch section 0b section b/4 section b/2 section 3b/4 section b M 0 -arge K1 K1 K 1 K1 K 1 Mxt Mxt Mxt Mxt Mxt moy

1A(L) 2 A(L) 1BC 2BC 1trttoir 2trttoirs

15.434

moy

moy

moy

moy

1.021 15.757

1.049

16.189

1.095

16.900

1.142

17.625

1.180

18.211

1.012 31,300

1

30.867

1

30.868

1

30.867

1.00

30.869

1.017 17.244

1.067

18.09

1.136

19.259

1.20

19.258

1.24

21.023

1.155 35,900

1.038

32.262

1.061

32.977

1.03

32.014

1.08

33.568

0.955

0566

1.076

0.637

1.215

0,640

1.37

0.812

1.53

0.907

1.187 1,016

1,206

1.144

1.215

1.442

0.987

1.171

1.082

1.285

30,869 16.956 31.082 0.593

0.964

Les sections

TABLEAU DES MOMENTS MAX DE chaque section Charge Moment final Surcharge Surcharge Surcharge permanente MCP+1,2 [A(L)+MT] bc De A (L) ou trottoir

Section - 1 Y=0b

50,911

30.929

35,900

1,206

MCP+1,2[bc +MT] 50,911+1.2[35,9 +1.206]

= 95,438

Section2y = b/4 Section3y =b/2 Section 4Y =3b/4 Section -4Y =3b/4

50,911 50,911

30.867

32.262

1.144

50,911+1.2[32.262+1.144]

= 90.998 30.868

32.977

1.442

50,911+1.2[32.977+1.442]

= 92.205 50,911

30.867

32.014

1.171

50,911+1.2[32.014+1.171 ]

90.7205 50,911

30.867

33.568

1.285

50,911+1.2[33.568+1.285]

= 92.723

LES SECTIONS LES PLUS sollicités est ; Section – 1 - « Y =0b »

Détermination des moments MAX dans le sens TRANSVERSALE Les moment fléchissant My , est en règle générale maximum sur l’axe longitudinal De l’ouvrage. (e = 0b) On a à mi-portée : X = L/2 Dans la pratique on se contente d’étudier les moments dans le sens transversal au Centre du pont. On disposera les convois sur les lignes d’influence des « µ » pour déterminer :

µ max > 0 µ max < 0

d’ ou d’ou

My max > 0 My max < 0

θ = 0, 30 : TABLEAU DES µ1 x 10-4 POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)

y e 0 b/4 b/2

3b/4 b

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

1401.34 787.36 -102.5 734.1 1820.55 734.1 102.5 1265.04 871.88 432.67 106.16 810.65 1764.97 532.19 -993.38 766.73 513.06 200.19 212.24 776.33 1560.43 -580.08 -480.7 369.19 230.77 -46.46 208.53 567.03 0

0

0

0

0

0

0

3b/4

b

108.57

1401.34 1389.52 1195.94

1072.76

-762.34

0

0

-787.36 -480.51

TABLEAU DES µ1 x 10-4 θ = 0, 40 : POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES) y e

-b

0

-3b/4

1016.48 616.52 -884.18 660.13 -678.82 568.18 -393.82 353.78

b/4 b/2

3b/4 b

0

-b/2

-b/4

0

b/2

b/4

3b/4

131.42 546.21 1563.32 546.21 -131.42 386.57 1.69 596.48 1530.71 416.12 -431.7 233.31 79.66 584.96 1397.86 303.53 227.65 -102.61 107.16 455.09

0

0

0

0

0

b

-390.73

1016.48 1059.01

106.2

-967.12

1021.08

-658.96

0

0

-616.52

0

Et par l’interpolation : µ1 (θ=0, 3286) = µ1(θ=0, 30) + 0,286x µ1(θ=0, 40)- µ1(θ =0, 30) θ = 0, 3286: TABLEAU DES µ1 x 10-4 POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)

y e 0 b/4 b/2

3b/4 b



-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

-1291.27 -738.50 -110.77 680.36

1746.98

680.36

+ 35.60

-738.50

-1291.27

-1156.11 -811.32 -419.48

749.40

1697.97

+ 499.00

-454.83

-1294.99

76.28

-903.42

-709.94 -489.79 -209.66

174.32

721.60

+1513.95

107.89

-1130.50

-526.81

-444.40 -350.41 -229.88

-62.52

179.54

+535.02

1058.00

-732.77

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Rappel des formules Charge répartie uniformément sur L. q

L 

les charges concentrées

My = µ x 4q

b π 

  sin

π  x  L

My = µ x Z Z =4q b   sin π  x π 

 L

- Convoi de charges P1

P2

P3

Pn

My = µ x 2b  L

Z = 2b

d1 d2

 L

d3 dn

n

∑

P sin π di  . Sin π  X   L

 I =1

n

∑  I =1

 L

P sin π di . Sin π  X   L

My = µ x Z

 L

L

Définition des paramètres qui figuraient dans les deux formules précédentes: L: Longueur du pont.  b: ½ Largeur équivalente du pont.  p: Charge concentrée. q: Charge linéaire par mètre linéaire. µ : Coefficient de répartition transversal déterminé à partir des lignes d’influence de µ x : Position de l’entretoise dans le sens longitudinal par rapport à l’appui. d : Position du point d’application de la charge par rapport à l’appui.

Remarques: Pour déterminer les valeurs maximales des moments fléchissant transversaux, il faut chercher la position la plus efficace du chargement (pour avoir  µ  max) dans le sens transversal en se basant

∑

sur les lignes d’influence et dans le sens longitudinal se placer au droit d’une des charges.

APPLICATION NUMERIQUE Détermination de « Z » à mi-portée (X= L/2 ) b = 4 ,27m

a) surcharges uniformément réparties A(l) = 1.67 t/m² ; X= 6,5 m 4 x1 .67 π  6 .5 = 9.08  Z  =  x 4 .27 x sin π  13

Trottoirs : q = 0,15 t/m² ; X = 6,5 m

.  Z  =

4 x0,15 π 6.5 =  x 4,27 x sin π  13

0,816 =

Le système Bc:

x = 6,5 m P2=6 p3=6t

p4=3t

P1=3t

d1=2.00m d2=6.5m d3 = 8m d4=12,5m 2b = 13 m

P1 = 3.0 t d1 = 2,0m

P2 = 6.0 t P3 = 6.0 t P4 = 3,0 t d2 = 6.5 m d3 = 8.0 m d4 = 12.5 m

2 4,27 2π  6.5π  8π  12.5π  Z =  x  x 3 sin +3 sin + 6 sin + 6 sin 13 13 13 13 13

x sin

6.5π  = 13

8,78 t.m/ml

+b

∫ µ .dy = 0

 N .B : Le poids propre n’intervient pas dans le My. Puisque

−b

TABLEAU RECAPITULATIF DES My TABLEAU de M y = £ .Z.µ /ml

SECTION y = « 0.b »

∑ µ  £

∑ µ 

Z

∑ µ 

>0 -4

x10 A (L) 1 voie

a1 x a2 = 1 A(L) 2 voies 1 1Bc (une file)

1.47x1.2

2Bc (deux files)

1.47x1.1

My = £ . 0

9.08

M max 1 trottoirs

∑ µ   x Z

0

- 921,62

0

-0.0753

0

- 1843,25

0

- 0.150

+ 3,488

- 0.600

M Y = 1,2 x (M max +M max trottoir)

SECTION y = « b/4 »

∑ µ  £

Z

∑ µ 

>0 -4

x10 A(L) 1 voie

a1 x a2 = 1 A(l) 2 voies 1 1Bc (une file)

1.47x1.2

2Bc (deux files)

1.47x1.1

My = £x

∑ µ  x10

0

My < 0

9.08

+ 3587,96

- 1268 ,30

+ 3,258

- 1,151

9.08

+ 1448,64 + 1550,58 + 2025,60

0 -880,70 0

+ 1,315 + 2,402 + 2,876 +3,258

0 - 1,364 0 - 1,364

0

-777 ,55

0

-0.0633

0

- 1504 ,25

0

- 0.123

+3,91

- 1,784

8,78

M max 1 trottoirs

∑ µ   x Z

0.816 0.816

M Y = 1,2 x (M max +M max trottoir)

SECTION y = « b/2 »

∑ µ  £

∑ µ 

Z

∑ µ 

>0 -4

A(l) 2 voies 1 1Bc(une file) 2Bc(deux files)

x10

∑ µ   x Z

My > 0

My < 0

9.08

+ 2785,60

- 1169.4

+ 2,529

-1.062

9.08

+ 1257,16

0

+ 1,141

0

- 975,55 0

+ 2.693 + 1.527 + 2,693

- 1.511 0 -1.062

0

- 617 ,75

0

- 0.05

0

-1133,548

0

-0.0923

+ 3,232

- 1,385

a1 x a2 = 1

+ 1738 ,95 +1075 ,85 M max

1.47x1.2 1.47x1.1

8,78

1

0.816 0.816

1 trottoirs 2 trottoirs

0 -4

A(L) 1 voie

a1 x a2 = 1 A(L) 2 voies 1 1Bc (une file) 2Bc (deux files)

1.47x1.2 1.47x1.1

My = £x ∑ µ   x Z

∑ µ 

0

My < 0

- 975,85

+ 1,344

-0.886

0 - 720,30 - 695 ,40

+ 0,468 + 1.937 + 1.492

0 -1.115 -0.987

+ 1.937

-1.115

-4

x 10

x 10

9.08

+ 1480,20

9.08

+ 515,42 + 1250,70 + 1050,60

8,78

M max 1 trottoir 2 trottoirs

1

0.816 0.816

0

- 374,30

0

-0.03

0

- 529,82

0

- 0.0433

+ 2.324

- 0,088

M Y = 1,2 x (M max +M max trottoir)

Pour la SECTION y = « + b» le moment est nulle Les sections les plus sollicités sont :- - SECTION y = « b/4 » -- M max = +3,91t.m/ml --

SECTION y = « b/4» ---M max

=-

1,784.m/ml