Poly_mms_2012

MINES ParisTech 1ère année

MÉCANIQUE DES MATÉRIAUX SOLIDES

Notes de cours

G. CAILLETAUD Responsables de PC et de projets S. CANTOURNET, L. CORTE, J.L. DEQUIEDT S. FOREST, A. GAUBERT, S. JOANNES, M. MAZIERE H. PROUDHON, D. RYCKELYNCK, M. TIJANI

Mars 2012

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Table des matières I

COURS

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Introduction 1.1 Généralités sur les propriétés des matériaux . . 1.2 Domaines d’utilisation des modèles . . . . . . 1.3 Les types de modèles de matériaux . . . . . . . 1.4 Les essais mécaniques . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Différents types d’essais . . . . . . . . 1.4.2 Moyens de mesure, ordres de grandeur 1.5 Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Rhéologie 2.1 Les différents types de «déformation» . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Les sources de «déformation» . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Dilatation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les briques de base du comportement non linéaire . . . . . . . . . . 2.3 Plasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Modèle élastique–parfaitement plastique . . . . . . . . . . 2.3.2 Modèle de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Écriture générale des équations de l’élastoplasticité uniaxiale 2.4 Viscoélasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Un exemple de modèle rhéologique . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Étude d’un modèle composé . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Viscoplasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Un exemple de modèle rhéologique . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Quelques modèles classiques en viscoplasticité . . . . . . . 2.6 Influence de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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11 11 11 12 12 13 13 14 15 16 16 17 18 18 20 21

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23 23 25 25 25 25 26 26 27 28 28 29

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Critères 3.1 Les outils disponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Critères ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique 3.2.1 Critère de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Critère de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Comparaison des critères de Tresca et von Mises . 3.3 Critères faisant intervenir la pression hydrostatique . . . . 3.3.1 Critère de Drucker–Prager . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Le critère de Mohr–Coulomb . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Critère de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Critères «fermés» . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Critères anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

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TABLE DES MATIÈRES Plasticité et viscoplasticité 3D 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Décomposition de la déformation . . . . . . . 4.1.2 Critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Lois d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Formulation des lois de comportement viscoplastiques 4.2.1 Écriture générale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 De la viscoplasticité à la plasticité . . . . . . . 4.3 Formulation des lois de comportement plastique . . . . 4.3.1 Principe du travail maximal . . . . . . . . . . 4.3.2 Interprétation géométrique du principe de Hill . 4.4 Directions d’écoulement associées aux critères courants 4.4.1 Critère de von Mises . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Critère de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Critère de Drucker–Prager . . . . . . . . . . . 4.5 Comportement parfaitement plastique . . . . . . . . . 4.6 Viscoplasticité/plasticité non associée . . . . . . . . .

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33 33 33 34 34 34 34 35 35 36 36 37 38 38 39 39 39 40

Variables d’écrouissage 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Matériaux standards généralisés . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Une brève présentation du formalisme . . . . . . . . 5.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Expression de quelques lois particulières en plasticité . . . . 5.3.1 Loi de Prandtl–Reuss . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Loi de Hencky–Mises . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Loi de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Écoulement à vitesse de déformation totale imposée 5.4 Viscoplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Eléments de théorie des poutres planes 6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Modélisation géométrique . . . . . . . . 6.1.2 Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . 6.1.3 Modélisation des actions mécaniques . . 6.2 Solution de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Déplacements . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Approche par le principe des travaux virtuels . . 6.3.1 Rappel : le principe des travaux virtuels . 6.3.2 Cinématique de la poutre de Timoshenko 6.3.3 Traitement des équations . . . . . . . . . 6.3.4 Caractérisation de l’équilibre . . . . . . . 6.3.5 Lois de comportement . . . . . . . . . . 6.3.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Poutre sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Evaluation des efforts intérieurs . . . . . 6.4.2 Forme générale . . . . . . . . . . . . . .

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51 51 51 52 53 54 54 55 56 57 57 58 58 60 60 62 63 63 64

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TABLE DES MATIÈRES 6.5

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Flambement . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Forme générale . . . . . . . . 6.5.2 Poutre simplement supportée . 6.5.3 Autres conditions aux limites

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Matériaux composites, stratifiés 7.1 Généralités sur les matériaux composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Rappel : milieux élastiques anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Notation de Voigt pour les relations de comportement . . . . . . . . 7.2.2 Respect des symétries matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Composites unidirectionnels à fibres longues . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Loi de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Constantes élastiques dans un repère quelconque . . . . . . . . . . 7.3.3 Théorie des stratifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Définition d’une plaque stratifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les composants élémentaires des matériaux composites . . . . . . . . . . . 7.4.1 Renforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Tissus et mats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Critère de rupture des stratifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5 Quelques modèles d’ingénieurs de «fonctionnement» du composite 7.4.6 Ordres de grandeur des modules et contraintes à rupture . . . . . .

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69 69 70 70 70 72 72 73 74 74 76 76 77 78 78 79 80

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83 83 83 85 87 87 88 90 91 92

Plaques 8.1 Plaque de Reissner–Mindlin . . . . . . . . 8.1.1 Cinématique . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Travail virtuel des efforts intérieurs 8.1.3 Travail virtuel des efforts extérieurs 8.1.4 Equilibre et conditions aux limites . 8.1.5 Loi de comportement . . . . . . . . 8.2 Plaque de Kirchhoff–Love . . . . . . . . . 8.2.1 Cinématique et équilibre . . . . . . 8.2.2 Lois de comportement . . . . . . .

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Introduction à la mécanique des matériaux hétérogènes 9.1 Moyennes de volume, moyennes de surface . . . . . . . . . . . . 9.2 Volume élémentaire représentatif, propriétés effectives . . . . . . 9.3 Propriétés élastiques effectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Potentiel élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Théorème de l’énergie potentielle : borne supérieure de Voigt . . . 9.6 Thèorème de l’énergie complémentaire : borne inférieure de Reuss 9.7 Application à l’élasticité isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Éléments de Mécanique de la rupture 10.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Taux de restitution d’énergie . . . . . . 10.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Cas d’une charge ponctuelle . . 10.2.3 Quelques valeurs critiques de G 10.3 Facteur d’intensité de contrainte . . . . 10.3.1 Solution de Muskhelishvili . . .

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TABLE DES MATIÈRES 10.3.2 Solution asymptotique de Westergaard . . . . . . . . . 10.3.3 Différents modes de sollicitation . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Analyse de l’état de contrainte tridimensionnel . . . . . . . . 10.5 Propagation de fissure en fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1 Amorçage–propagation dans les matériaux métalliques 10.5.2 Loi de Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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APPLICATIONS

11 Prolongements du cours 11.1 Contraintes thermomécaniques 11.2 Rhéologie . . . . . . . . . . . 11.3 Critères . . . . . . . . . . . . 11.4 Plasticité . . . . . . . . . . . . 11.5 Poutres . . . . . . . . . . . . 11.6 Plaques stratifiées . . . . . . . 11.7 Homogénéisation . . . . . . . 11.8 Mécanique de la rupture . . .

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12 Exercice 12.1 Etude de contraintes thermiques dans un barrage . . . . . . . . . . 12.2 Flexion d’une poutre de section rectangulaire . . . . . . . . . . . 12.3 Critères de plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Comparaison des critères de von Mises et Tresca . . . . . 12.3.2 Plasticité cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.3 Plastification d’un tube mince . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.4 Critère de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Comportement parfaitement plastique en traction–cisaillement . . 12.5 Enveloppe sphérique soumise à une pression intérieure . . . . . . 12.6 Tunnel dans du sable sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Cavité sphérique dans un massif infini élastoviscoplastique . . . . 12.8 Chargement non proportionnel en plasticité . . . . . . . . . . . . 12.9 Flexion sur appui simple : poutre homogène et poutre sandwich . 12.9.1 Poutre homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9.2 Poutre sandwich sur deux appuis simples . . . . . . . . . 12.10Evaluation de la charge de flambement d’une poutre droite . . . . 12.11Etude d’une tuyauterie en verre époxy sous pression interne . . . . 12.11.1 Etude de la loi de comportement du pli . . . . . . . . . . 12.11.2 Etude d’une tuyauterie en stratifié . . . . . . . . . . . . . 12.12 Composites à fibres longues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.12.1 Réservoir sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.12.2 Coefficient de dilation d’un composite à fibres longues . . 12.12.3 Assemblage collé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.13Etude de la flexion d’un bilame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.14Propriétés élastiques effectives des composites . . . . . . . . . . . 12.14.1 Propriétés élastiques effectives d’un polycristal de cuivre . 12.14.2 Propriétés élastiques d’un composite à matrice métallique 12.15Réservoir sous pression – Fuite avant rupture . . . . . . . . . . .

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131 131 134 138 138 139 140 142 142 144 151 154 159 162 163 164 165 170 170 170 171 171 173 175 178 182 182 186 192

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TABLE DES MATIÈRES 13 Annales 13.1 23 juin 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Ecoulement viscoplastique en déformations planes . . . . . . . . . . . . 13.1.2 Cylindre en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 12 juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Etude de la localisation dans une plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Description du phénomène d’endommagement en fluage . . . . . . . . . 13.3 15 juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Plasticité biaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Estimation de la zone plastique en pointe de fissure . . . . . . . . . . . . 13.4 19 juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Zone plastique et effet de retard en propagation de fissure . . . . . . . . . 13.4.2 Contraintes développées lors de l’oxydation . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 24 juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.1 Fissuration d’un rail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Contraintes thermiques en plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.3 Etude d’une plaque composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 26 mai 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6.1 Traction sur une fibre entourée d’un cylindre de matrice . . . . . . . . . 13.6.2 Critères de Tresca et von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7 14 juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7.1 Flexion de poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7.2 Problème : Cylindre en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8 6 juin 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8.1 Problème mécanique d’un fil pesant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8.2 Allongement mécanique et thermique d’un fil . . . . . . . . . . . . . . . 13.8.3 Allongement de transformation de phase d’un fil . . . . . . . . . . . . . 13.8.4 Conséquences mécaniques des transformations de phase . . . . . . . . . 13.9 9 juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.9.1 Homogénéisation en élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.9.2 Viscoplasticité cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.104 juin 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.10.1 Etude de modèles de fatigue à grand nombre de cycles . . . . . . . . . . 13.10.2 Poutre soumise à son propre poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.10.3 Etude de l’écrouissage latent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.119 juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.11.1 Optimisation du chemin de déformation pour le planage d’une tôle . . . . 13.11.2 Etat limite en viscoplasticité confinée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.11.3 Optimisation d’une poutre en traction/compression et en flexion 3 points 13.1225 mai 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.1 A. Etude d’un cylindre élastoplastique en cisaillement . . . . . . . . . . 13.12.2 B. Poutre viscoélastique en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.3 C. Comportement équivalent d’un treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.137 juin 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.1 A. Etude d’une plaque trouée en pression interne et en chargement biaxial 13.13.2 B. Etude de divers modèles rhéologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.3 C. Etude d’une poutre sur appuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1430 mai 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.14.1 A. Etude du comportement d’une couche mince . . . . . . . . . . . . . . 13.14.2 B. Etude des vibrations d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

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195 195 195 198 202 202 204 208 208 213 215 215 219 223 223 224 227 231 231 233 236 236 240 241 241 242 245 246 247 247 249 253 253 256 258 262 262 265 268 272 272 275 278 283 283 288 292 293 293 297

viii

TABLE DES MATIÈRES 13.14.3 Propagation d’une fissure de fatigue dans un disque mince non alésé en rotation . 298

III

ANNEXES

14 Mini-formulaire d’élasticité linéaire 14.1 Cinématique et statique en petites déformations . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Déplacement déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.2 Signification géométrique des termes du tenseur de déformation 14.1.3 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.4 Signification physique des termes du tenseur de contrainte . . . 14.2 Efforts internes/externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Travail des efforts intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Travail des efforts extérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Potentiel élastique, élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Potentiel élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2 Elasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.3 Elasticité isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.4 Relations entre les coefficients d’élasticité . . . . . . . . . . . . 14.4 Etats de contrainte particuliers, solutions particulières . . . . . . . . . . 14.4.1 Traction simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.2 Cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.3 Flexion circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.4 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.5 Torsion, section circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.6 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.7 Cylindre sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.8 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.9 Sphère sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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305 305 305 305 306 306 306 306 307 307 307 307 308 308 308 308 309 309 309 310 310 310 311 311

15 Notations 313 15.1 Glossaire des notations les plus courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 15.2 Quelques tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Préambule La mécanique des matériaux solides représente, au sein de la mécanique, une branche aux ramifications multiples, dont les modèles sont mis à l’épreuve dans des contextes parfois inattendus, pour expliquer des phénomènes naturels, ou encore concevoir des ouvrages, des véhicules, des composants. Elle est omniprésente, à toutes les échelles, elle s’applique sur des matériaux aussi différents que le magma terrestre, le béton, les alliages métalliques, les composites à fibre ou les monocristaux de silicium. Il serait donc vain de tenter d’être exhaustif dans le cadre d’une vingtaine de séances. Le but de ce cours est plutôt de donner un certain nombre d’éclairages sur le domaine et les méthodes utilisées, tout en offrant des points d’entrée en vue d’études plus approfondies. Le fait de suivre un tel axe de découverte fait courir le risque d’être parfois trop lapidaire. On cherchera donc, dans le temps imparti, à trouver un juste équilibre dans l’exposé. On espère ainsi montrer que la mécanique des matériaux est un carrefour, où se croisent mathématiciens et ingénieurs, industriels et universitaires, théoriciens et expérimentateurs. Il faut également trouver un équilibre entre l’élément de volume et la structure. Cette discussion, qui renvoie au cours de Mécanique des Milieux Continus, amène à considérer dans un premier temps les lois de comportement qui régissent les relations entre les contraintes et les déformations, puis à envisager leur insertion dans une théorie portant sur l’équilibre d’un domaine. Le plan du cours découle donc de ces choix. Une première partie permet d’aller au-delà de la théorie de l’élasticité déjà acquise, en considérant de nouveaux phénomènes physiques conduisant à la dilatation ou la déformation du matériau. On mentionnera ainsi les dilatations thermiques ou de changement de phase (séance 1), puis les déformations plastiques ou vicoplastiques. C’est une présentation progressive qui est adoptée pour celles-ci : on considérera successivement les modèles sous chargement uniaxial (séance 2), puis les critères multiaxiaux (séance 3), avant de combiner les deux dans l’écriture du formalisme sous chargement tridimensionnel (séances 4 et 5). Le cours lui-même peut être prolongé par les exercices corrigés qui sont disponibles et par les applications du site web http ://mms2.ensmp.fr, dont certaines sont interactives. Cet entrainement est nécessaire à une bonne assimilation du cours. Un prolongement naturel, qui sort du cadre du cours, serait une étude systématique des structures inélastiques, qui se soucie de l’existence et de l’unicité des solutions. Afin de rester à un niveau de complexité raisonnable, on revient en élasticité linéaire pour les séances 7 à 10. Il est parfois difficile de distinguer le niveau de l’élément de volume et celui de la structure. D’ailleurs, une tendance actuelle de la recherche consiste à étudier les matériaux comme des structures, en caractérisant leurs propriétés macroscopiques par l’analyse mécanique de leurs microstructures. C’est dans cet esprit qu’on entreprend le traitement des poutres et des plaques, en mettant en avant des cas simples, mais qui permettent de présenter un cadre général, et de faire comprendre les idées directrices. On laisse au lecteur concerné le soin de prendre connaissance de deux autres domaines en plein développement, celui des méthodes d’homogénéisation (chapitre 9) et celui de la mécanique de la rupture (chapitre 10).

ix

x

Première partie

COURS

xi

Chapitre 1

Introduction 1.1

Généralités sur les propriétés des matériaux

Il est de coutume de dire que chaque secteur industriel a les performances de ses matériaux. Cela est particulièrement marquant dans le cas de l’informatique, pour laquelle les progrès sont directement liés à la densité des circuits, c’est encore le cas dans l’aéronautique, où les performances des réacteurs dépendent de la température maximale que supportent les matériaux dans les zones les plus chaudes. Les exemples de ce type peuvent être aisément multipliés, il suffit de penser aux chemins de fer (développement des aciers à rail à la fin du 19ème siècle), à la construction civile (mise au point des bétons de fumée de silice), à la navette spatiale (composites, tuiles en carbone-carbone). Mais en fait, il serait plus précis de dire que les performances obtenues dépendent aussi des connaissances sur le matériau utilisé. Ainsi, dans le plan d’exploitation d’une mine souterraine en chambres et piliers, où il n’est bien entendu pas envisageable de choisir son matériau, il est possible de diminuer la taille des piliers si les propriétés de la roche sont bien connues. Le fait de concevoir ainsi au plus juste les structures, est la marque d’une démarche qui, outre son élégance, présente deux aspects importants : – il y a une amélioration de la sécurité, dans la mesure où il est préférable d’avoir une bonne connaissance des phénomènes physiques plutôt que d’appliquer un large coefficient de sécurité, qui s’apparente souvent à un coefficient d’ignorance ; par ailleurs, dans certains cas, l’utilisation de plus grandes quantités de matière peut devenir préjudiciable (ainsi, augmenter l’épaisseur d’une enceinte sous pression peut certes diminuer les contraintes, mais aussi être néfaste s’il y a des gradients thermiques dans la paroi). – le résultat est une meilleure performance sur le plan écologique, ainsi le gain de quelques dizièmes de grammes sur chaque boîte-boisson conduit à des économies de matière première importantes, si l’on songe aux quelques milliards qui sont fabriquées chaque année ; de même, la diminution de poids permet de réduire la consommation des automobiles ou des avions. Il faut distinguer plusieurs types de propriétés des matériaux. Dans le cas du développement des ordinateurs, ce sont essentiellement les propriétés physiques qui sont en cause, encore que les échauffements résultant de la concentration des circuits amènent maintenant à se préoccuper également de la tenue mécanique. Dans le cas du développement des moteurs d’avions, ce sont les propriétés mécaniques et les propriétés chimiques (résistance à l’environnement) qui sont déterminantes. Les principales propriétés des matériaux se regroupent donc en : – Propriétés mécaniques : (i) modules d’élasticité, (ii) limite d’élasticité, écrouissage, ductilité, (iii) viscosité, vitesse de fluage, amortissement (iv) charge à la rupture, résistance à la fatigue, à l’usure, ... – Propriétés physiques : (i) conductibilité électrique, aimantation, (ii) conductibilité thermique, chaleur spécifique, (iii) température et chaleur latente de transformation, (iv) énergie de surface, de liaison, (v) transparence, . . . 1

2

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

– Propriétés chimiques : (i) résistance à la corrosion, à l’oxydation, (ii) stabilité, diagrammes d’équilibre, . . . En général, le choix d’un matériau pour une application donnée est la conséquence de propriétés adaptées dans un ou plusieurs des domaines indiqués (par exemple l’aluminium est parfois utilisé dans les culasses automobiles malgré sa faible température de fusion, en raison de son faible poids et de sa bonne conductibilité thermique). Il est aussi orienté par d’autres considérations, ce sont les performances du matériau, au rang desquelles vont se classer des éléments technologiques et économiques, en même temps que des caractéristiques moins facilement mesurables comme l’aspect (fondamental dans le bâtiment pour les éléments de façade, pour les carosseries automobiles, ...) : – disponibilité, reproductibilité, fiabilité, – usinabilité, aptitude à la mise en forme, soudabilité, – absence de nocivité, possibilité de recyclage, – coût, – aspect, – bonne caractérisation.

1.2

Domaines d’utilisation des modèles

La bonne connaissance des matériaux et leur bonne utilisation font donc intervenir trois domaines d’activité. 1. Le développement du matériau lui-même (ce secteur étant absent dans le cas des géomatériaux). Là se jouent l’évolution du matériau, la découverte de nouvelles microstructures, qui concourent à l’amélioration des performances intrinsèques. 2. La caractérisation des propriétés d’emploi. Ce point a pour but d’apporter une meilleure connaissance d’un matériau existant, (mécanismes physiques qui provoquent ou accompagnent la déformation, effets mécaniques macroscopiques), donc de réduire les incertitudes et d’augmenter la fiabilité des modèles utilisés. 3. Le travail sur les modèles numériques permet d’améliorer la représentation des pièces, structures ou domaines calculés (par amélioration des algorithmes, qui autorisent le traitement de modèles numériques plus importants, par exemple 3D au lieu de 2D). Le cours de Mécanique des Matériaux Solides est consacré essentiellement à l’étude des propriétés mécaniques des matériaux (point (2)). Le point (1) est le domaine des métallurgistes et des chimistes. Le point (3) celui de la mécanique des structures. La figure 1.1 schématise les types d’opérations pour lesquelles il est fait appel aux propriétés des matériaux. La phase de conception (fig.1.1a) met en œuvre une approche synthétique du problème, qui est en fait résolu par méthode inverse, soit : «quelle forme donner à la pièce, en quel matériau la construire pour qu’elle réponde au cahier des charges». Dans la mesure où les éléments extérieurs sont nombreux, et parfois non scientifiques, il n’y a en général pas d’autre solution que de choisir des descriptions simples des matériaux, et d’appliquer des codes, ou règles simplifiées. Dans la plupart des cas, cette approche est suffisante. Il peut subsister parfois des cas litigieux (pièces de haute sécurité, . . .) qui nécessitent la mise en place d’une procédure de justification (fig.1.1b). Au contraire de la précédente, la démarche est analytique, puisque la géométrie, les charges, le matériau, etc... sont figés, et qu’il s’agit simplement, par un calcul direct, de caractériser la bonne tenue. Cette procédure peut être employée à la construction, ou encore longtemps après la mise en route d’une installation, afin d’obtenir une requalification qui prolonge la durée de vie : on cherche ainsi actuellement à justifier une prolongation de la durée de vie garantie des centrales nucléaires. Ayant été conçues à l’aide de méthodes de dimensionnement simplifiées, elles peuvent sans doute voir la prévision de leur espérance de vie prolongée à l’aide de méthodes plus précises.

1.3. LES TYPES DE MODÈLES DE MATÉRIAUX Température

3

Aspect

Comportement du matériau

Température Règles simplifiées

Efforts Prix

Forme

Efforts

Forme

Type de matériau

Type de matériau

Disponibilité Durée de vie souhaitée

Durée de vie prévue

Elaboration

a. Conception

Température

Elaboration

b. Justification

Comportement du matériau

Oui

Efforts

Non

Objectif OK ?

Forme Raisons de l’échec Durée de vie

Forme Type de matériau Elaboration

Type de matériau Elaboration

Efforts Comportement du matériau

c. Expertise

Température

d. Optimisation

F IG . 1.1 – Opérations industrielles où intervient le comportement des matériaux Il faut encore avoir recours à des modèles plus précis dans le cas de l’expertise (fig.1.1c) puisqu’une telle opération intervient après qu’un problème, grave ou non, soit apparu. Le point important ici est d’être capable de mettre en regard les modèles utilisés et les phénomènes physiques qui se sont produits. L’optimisation (fig.1.1d) va tendre à se généraliser, grâce à l’arrivée de calculateurs suffisamment puissants pour qu’il soit envisageable d’effectuer plusieurs dizaines de fois le calcul de la structure à étudier.

1.3

Les types de modèles de matériaux

Ce cours va s’efforcer de faire référence à une grande variété de matériaux solides. Les modèles qui seront considérés s’appliquent aux métaux, aux céramiques, aux polymères, aux composites, au bois, au béton, aux sols (sables et roches), aux biomatériaux (os, tissus). Il y a deux grandes voies permettant d’avoir accès aux propriétés mécaniques de ces matériaux : 1. Une approche déductive, qui cherche à prendre en compte la microstructure du matériau en vue de déterminer ses propriétés macroscopiques. Ainsi un métal sera considéré comme un polycristal, agrégat de grains d’orientations cristallographiques différentes, et au comportement individuel parfaitement caractérisé, un composite se verra représenté par sa matrice et ses fibres, un béton par la matrice et les granulats... Cette approche choisit donc de modéliser l’hétérogénéité des matériaux, en vue de mieux prévoir le comportement moyen global (par exemple si les proportions

4

CHAPITRE 1. INTRODUCTION Matériau Métaux Polymères Céramiques Bois Béton Argiles

Type d’hétérogénéité cristal, 10–100 µm molécules, 10–50 µm grains, 1–10 µm fibres, 0,1–1 mm granulats, 1 cm grains, 1–10 mm

Taille de l’EVR 1 mm 1 mm 0,1 mm 10 mm 10 cm 1 mm

TAB . 1.1 – Exemples de volumes élémentaires représentatifs (la taille de l’EVR désigne la dimension du côté du cube élémentaire considéré). des constituants changent). Elle est donc relativement riche, de par son principe même, mais elle est également lourde à mettre en œuvre, si bien que son utilisation est encore limitée à la prévision du comportement des matériaux, dans l’optique de mieux comprendre leur «fonctionnement» et d’améliorer leurs propriétés mécaniques. 2. Une approche inductive, de nature phénoménologique, qui, à l’inverse, cherchera simplement à caractériser le comportement d’un élément de volume représentatif (EVR). Faisant alors abstraction de la structure fine du matériau. Cette méthode de travail consiste à déterminer les relations de cause à effet qui existent entre les variables constituant les entrées et les sorties du processus étudié. C’est par excellence l’approche de l’ingénieur dans ses travaux de conception. Elle trouve une justification dans le fait que des phénomènes de l’échelle microscopique très divers peuvent conduire, après des effets de moyenne, à des réponses globales de même nature. Par contre, leur emploi aveugle peut être dangereux s’il s’agit d’appliquer le modèle hors de son domaine de détermination initial. Il reste que cette méthode est, dans bien des cas, la seule applicable dans un cadre industriel. Le choix de l’élément de volume représentatif est bien entendu fondamental : celui-ci doit être suffisamment grand par rapport aux hétérogénéités du matériau, et rester petit par rapport aux gradients de contraintes et de déformations dans la structure. Il faut par exemple une trentaine de grains dans la partie utile d’une éprouvette de traction, qui sert à déterminer les propriétés d’un métal. Le tableau 1.1 donne des exemples de tailles raisonnables pour quelques matériaux courants.

1.4

Les essais mécaniques

Il y a une grande variété de comportements présentant des non-linéarités liées à la déformation ou au temps, en relation avec l’environnement. Il est donc indispensable de les caractériser expérimentalement. Les essais mécaniques sur de petits spécimens, ou éprouvettes sont donc à la base de toutes les études. Ils vont donc être brièvement caractérisés ici. L’observation des caractéristiques expérimentales va permettre d’identifier les types de comportement fondamentaux qu’il importera de simuler. Il existe de nombreux essais qui permettent de caractériser les propriétés mécaniques des matériaux. Certains sont normalisés (AFNOR, Association Française de NORmalisation ; ISO, International Standardisation Organisation ; ASTM, American Society for Testing and Materials) ; il s’agit d’essais simples à réaliser, reproductibles, servant à donner des informations sur les seuils de charge qui produisent des déformations irréversibles, ou encore la rupture. Ils sont utilisés par les ingénieurs en contrôle et caractérisation. En revanche, et pour caractériser plus finement les matériaux, les chercheurs ont recours à des moyens d’essais plus complexes, mettant en œuvre des chargements multiaxiaux ou anisothermes. La présentation qui est donnée ici est très succincte. Des essais spécifiques d’un matériau ou d’un domaine industriel seront détaillés au cours des différentes séances. On trouve maintenant des sites internet qui contiennent des bases de données matériau. Quelques adresses sont signalées sur le site

1.4. LES ESSAIS MÉCANIQUES

5

http ://mms2.ensmp.fr. Il faut bien retenir par ailleurs que l’obtention de ces données et les méthodes de calcul associées sont souvent considérées comme stratégiques par les entreprises, et qu’elles sont gardées confidentielles.

1.4.1

Différents types d’essais

Essai de traction simple : Un essai de traction (σ > 0) ou de compression (σ < 0) réalisé à vitesse de déformation constante ε˙ sur un matériau réel donne des résultats en termes d’efforts et de déplacement, que l’on cherche ensuite à convertir en une courbe contrainte-déformation (σ en fonction de ε). Dans le cas des alliages métalliques et des polymères, on cherche à se ramener à un état de contrainte simple, uniaxial. Les éprouvettes sont des cylindres munis en général de têtes d’amarrage filetées. Pour des raisons de représentativité, on est amené à utiliser de plaques pour le cas des materiaux composites, ou encore des poutres pour les matériaux céramiques, qui cassent de façon fragile en traction. C’est pour la même raison que l’on teste les géomateriaux en utilisant des cyclindres en compression, avec parfois un confinement latéral. Pour le cas de la compression simple, il faut porter une grande attention aux conditions aux limites, en autorisant le meilleur glissement possible sur les appuis, faute de quoi se développent dans l’éprouvette des champs de contrainte et de déformation complexes (mise en tonneau de l’échantillon). Les courbes obtenues à l’aide de cet essai ont typiquement l’allure indiquée en figure 1.2 lorsque le comportement du matériau observé est indépendant de la vitesse (comportement de plasticité indépendante du temps). Le comportement fait apparaître une partie linéaire (élasticité) suivie d’une partie non linéaire, au cours de laquelle la pente diminue dans le diagramme déformation–contrainte, au point de devenir éventuellement négative.

– Re désigne la limite d’élasticité «vraie», ou limite de proportionnalité, – R0,2 désigne la limite d’élasticité conventionnelle, qui correspond à une déformation inélastique de 0,2%, – Rm désigne la résistance à la traction, – Ah désigne l’allongement correspondant à la contrainte maximale, – Ar désigne l’allongement à la rupture.

σ =F/S Rm R 0,2 Re

0,2%

Ah

Ar

∆ l/l 0

F IG . 1.2 – Schéma d’un essai de traction simple Quoique d’apparence simple, il s’agit en fait d’un essai dont l’interprétation peut devenir délicate, puisque la diminution de pente observée peut recouvrir des phénomènes physiques très différents, et surtout que le passage à des pentes négatives est en géneral lié au fait que le champ de déformation n’est plus uniforme. En traction sur un métal, ceci correspond à des phénomènes qui peuvent être d’origine métallurgique (bandes de Lüders) ou géométrique, lorsque les déformations sont trop importantes striction au centre de l’éprouvette. Une approche élémentaire due à Considère indique que l’apparition de la striction se produit lorsque l’égalité dσ/dε = σ est vérifiée. Dans le cas des roches, l’adoucissement est en général lié à des phénomènes d’endommagement, qui introduisent des désordres dans le matériau étudié.

6

CHAPITRE 1. INTRODUCTION Tension curve, aluminium alloy 600

725◦C

500

100 ×

×

×

×

+

+

⊕

⊕

90 stress (MPa)

400

80 70

300

σ

× + ⊕

(MPa) 50 40

200

× +

× + ⊕

60

⊕

×

×

× +

+

+

+

+

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

30

ε˙ = 2.4 10−4 s−1 ε˙ = 8.0 10−5 s−1 ε˙ = 1.6 10−5 s−1

20

100

10 × + 0⊕ 0

0 0

0.005

0.01

0.015

0.02 0.025 strain (mm/mm)

0.03

0.035

0.04

0.045

0.01

0.02

0.03

(a)

0.04

0.05

ε

0.06

0.07

0.08

× + ⊕ 0.09

0.1

(b)

F IG . 1.3 – (a) Traction simple sur une éprouvette en alliage d’aluminium ; (b) Traction simple sur un acier austénitique à 725◦ C

La figure 1.3a montre le début d’une courbe de traction d’un alliage d’aluminium à température ambiante. Lorsqu’on élève la température au dessus du tiers de la température de fusion, le comportement devient sensible à la vitesse de déformation. C’est le cas de la figure 1.3b, qui montre l’allure des courbes obtenues pour un acier austénitique à 725◦ C . A très grande vitesse, on obtiendrait une certaine saturation de l’effet de vitesse. A faible vitesse, on tend également vers une limite correspondant à la courbe de traction à vitesse nulle, qui n’est liée qu’à l’écrouissage. Essai de fluage : Lorsqu’une éprouvette est soumise à une traction simple (essai monodimensionnel sous une contrainte σ et une déformation ε), si, à partir d’un certain état, la contrainte est maintenue constante, la déformation restera constante (absence de déformations différées dans le temps) s’il n’y a aucune viscosité. Lorsqu’on dépasse le tiers de la température de fusion dans les alliages métalliques, on observe au contraire des déformations liées au caractère visqueux du comportement. On distingue classiquement 3 stades dans un essai de fluage, comme indiqué sur la figure 1.4a, le fluage primaire (I), au cours duquel le matériau se durcit le fluage secondaire (II) pendant lequel la vitesse est constante, et le fluage tertiaire (III) au cours duquel l’endommagement devient significatif, ce qui conduit à une augmentation de la vitesse menant à la rupture. La figure 1.4b montre quant à elle le résultat obtenu pour différents niveaux de chargement sur une fonte à 800◦ C . 0.03

ε

+

⊕

p

III II I

t

+

0.025 ⊕ 0.02

εp

×

+

σ=12MPa σ=16MPa σ=20MPa σ=25MPa

 + ⊕ ×

+

⊕

+ ⊕ + ⊕ + ⊕ + × ⊕ + 0.01 ⊕ + + ⊕ × ⊕ ++ 0.005 × ⊕ + ⊕++ ×+ ⊕  + × + ⊕  +  × ⊕ +   ⊕ ×  0⊕ 0 200 400 600 800 1000 0.015

t (s)

F IG . 1.4 – (a) Les trois étapes d’un essai de fluage ; (b) Fluage d’une fonte à 800◦ C

En fait, dans le cas d’un matériau réel (conçu par l’homme ou existant déjà dans la nature), des déformations différées (phénomène de viscosité) seront alors observées de façon à peu près systématique, à tel point qu’il faut admettre que tous les matériaux réels présentent ce phénomène de viscosité, pourvu qu’une période de temps suffisamment grande soit considérée. Ainsi, si une éprouvette cylindrique d’une roche saline (Nacl : sel gemme, Kcl : potasse) d’une dizaine de centimètres est soumise à une

1.4. LES ESSAIS MÉCANIQUES

7

σ

σ E

σv

σs

ε

p

t

F IG . 1.5 – Représentation d’un essai de relaxation

pression axiale d’une dizaine de MPa, pression maintenue constante, et que sa hauteur est mesurée au bout d’une journée, puis une journée plus tard avec une précision absolue de 1mm, alors, à température ambiante, aucune variation de longueur ne sera détectée. Il ne faut pas en déduire que les roches salines à température ambiante ne présentent pas de viscosité, car, en augmentant la précision de la mesure ou en attendant plus longtemps (un mois de fluage par exemple), il est possible d’observer des déformations différées. Essai de relaxation : Une autre manière de caractériser la viscosité d’un matériau est de le soumettre à un essai de relaxation, dans lequel la déformation de l’éprouvette est maintenue constante après une prédéformation intitiale. Plus le comportement du matériau présente une composante visqueuse importante, et plus la contrainte chute rapidement, pour atteindre éventuellement une valeur nulle. Cet essai est essentiellement réalisé sur les métaux et les polymères. Essai triaxial : Comme indiqué précédemment, certains matériaux ne peuvent pas être testés simplement en traction, en raison de leur très faible résistance, ou de leur forte sensibilité aux décentrages des lignes d’amarrage (béton, céramique). Ils sont alors testés en compression, ou en flexion. La compression uniaxiale sur des cylindres a déjà été décrite, mais il est parfois nécessaire d’avoir recours à un mode de sollicitation où les bords latéraux sont contenus (essai triaxial) : l’échantillon est soumis latéralement à une pression hydrostatique qui assure son maintien, ce qui permet par exemple de tester des matériaux pulvérulents (argiles, sables). Essai de flexion : Il est réalisé sur des barrettes, avec 3 ou 4 points d’appuis, ce dernier cas permettant de bénéficier d’une zone centrale dans laquelle le «moment de flexion» est uniforme. Il est essentiellement utilisé avec des matériaux fragiles, dont le comportement sera élastique. La plastification, associée au fait que le comportement en traction et en compression peut être différent, conduit à des redistributions de contraintes complexes dans l’éprouvette, si bien que le dépouillement de l’essai luimême peut nécessiter un calcul de structure. Dans un même ordre d’idée, il existe également des essais de flexion rotative, dans lesquels une éprouvette en rotation, encastrée à une extrémité, subit un effort perpendiculaire à son axe, si bien que les points de la surface extérieure voient leur état de contrainte passer alternativement de la traction à la compression. Ces essais sont utilisés pour déterminer la «limite de fatigue», sollicitation en dessous de laquelle le matériau résistera à un chargement répété. Essai de torsion : Réalisé sur éprouvette pleine, cet essai est essentiellement utilisé à haute température pour connaître l’aptitude à la mise en forme des métaux. L’avantage de ce type d’essai est d’éviter la striction. Par contre, il est d’interprétation difficile, dans la mesure où l’état de contrainte et déformation n’est pas uniforme. Il est possible de remédier à ce dernier inconvénient, en adoptant comme éprouvettes des tubes minces, qui peuvent être instrumentés localement, à l’aide de jauges ou

8

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

d’extensomètres. Essai de dureté : Largement employé comme moyen de contrôle, il mesure la résistance à la pénétration d’indenteurs de diverses formes, par exemple une bille d’acier de gros diamètre (10 mm) dans le cas de l’essai Brinel, ou une pyramide diamant à base carrée, l’angle entre les faces opposées étant de 136◦ pour l’essai Vickers. Une relation empirique indique que, dans les aciers doux, la dureté Vickers (force/dimension de l’empreinte) est de l’ordre de 3 fois la résistance à la traction. Essai Charpy : Il permet de caractériser sur un barreau entaillé le passage d’un mode de rupture ductile, accompagné de déformation inélastique, donc à forte énergie, à un mode de rupture fragile, présent à plus basse température, qui ne met en jeu que des énergies faibles. Cette étude se fait en rompant l’éprouvette sous impact à l’aide d’un mouton-pendule, et en mesurant l’énergie absorbée lors de l’impact : le résultat s’exprime en joules par centimètre carré de section résiduelle, et est dénommé résilience. Essais complexes : Outre les essais de traction-torsion sur tube, il existe d’autres moyens de générer des états de contraintes multiaxiales contrôlés dans des éprouvettes. C’est le cas d’essais de tractionpression interne sur tube, ou encore d’essais sur des éprouvettes cruciformes.

1.4.2

Moyens de mesure, ordres de grandeur

La bonne connaissance de la précision des mesures effectuées est fondamentale pour pouvoir considérer d’un œil critique les résultats obtenus dans un essai mécanique. – Les forces ou les contraintes sont généralement mesurées avec des dynamomètres, dont la précision relative est de l’ordre de 10−3 . – Les déplacements fournissent une information moyenne sur ce qui se passe dans une zone de l’éprouvette. Les capteurs doivent donc être fixés si possible dans une zone où les déformations sont homogènes, faute de quoi des hypothèses, ou un calcul de structure seront nécessaires pour analyser les résultats de l’essai. Les capteurs classiques, inductifs ou à jauges de déformation, assurent une précision absolue de l’ordre de 1µm. Des développements spécifiques, ou l’utilisation d’extensomètres optiques peuvent permettre d’abaisser cette limite à 0,2µm. Dans tous les cas, il est préférable d’effectuer une mesure locale de la déformation, ce qui permet de faire abstraction des phénomènes complexes prenant naissance hors de la partie utile, de section constante. – L’information locale sur la déformation donnée par une jauge de déformation (fil résistant collé sur une éprouvette, qui se déforme avec elle, si bien que la résistance électrique change) est en général plus précise que la précédente, puisqu’il est possible de mesurer des déformations de l’ordre de 10−7 . Néanmoins les jauges ne fonctionnent pas à haute température, et sont susceptibles de se décoller en cours d’essai. – La température est une des grandeurs les plus difficiles à maîtriser. Les thermocouples (utilisant l’effet Peltier) fournissent en général une précision théorique inférieure au degré. Par contre, il peut être très délicat de venir positionner un thermocouple sur l’éprouvette, sans générer de résistance thermique de contact, et sans que la mesure ne perturbe le milieu environnant. – La méthode électrique s’avère être un complément utile des méthodes citées ci-dessus, lorsqu’il s’agit de mettre en évidence l’endommagement ou la rupture d’une éprouvette conductrice. Elle consiste à faire circuler un courant continu de forte intensité dans l’éprouvette, et à mesurer la variation de potentiel sur deux prises de potentiels situées au voisinage de la partie utile. Les étalonnages peuvent s’effectuer sur des configurations de référence (fissures calibrées), ou par le calcul. Il est possible d’accéder à des variations de potentiel de l’ordre de 1mV, ce qui correspond en général à des fissures de l’ordre de quelques dizièmes de millimètres.

1.5. MISE EN ŒUVRE

1.5

9

Mise en œuvre

La manière dont sont stockées et utilisées les connaissances en matériau et en mécanique a considérablement évolué au cours des vingt dernières années. Le recours à l’informatique est général, avec le développement de bases de données, de sites internet proposant leurs services, et les codes de calcul de structures notamment. Cette floraison ne dispense pas de développer une compréhension profonde des modèles utilisés en simulation. Sans les capacités de juger de la bonne tenue de ses résultats, un ingénieur ou un chercheur peut en effet se laisser porter par l’apparente facilité d’utilisation qu’apportent des interfaces-utilisateurs de plus en plus conviviales, et fournir des résultats, en couleur, tout à fait aberrants. Cette conséquence est d’autant plus probable que le modèle est complexe, et le comportement non linéaire est une source inépuisable de résultats erronés. Pour tâcher d’éviter cet écueil, il faut en passer par un apprentissage manuel des ordres de grandeurs et des méthodologies de calcul. On sera ainsi mieux armé pour aborder l’indispensable outil numérique.

10

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Chapitre 2

Rhéologie La construction des modèles de comportement non linéaire des matériaux comporte deux volets : l’étude des propriétés rhéologiques et la définition de la forme des équations pour un chargement tridimensionnel. La rhéologie, étude des écoulements, permet de relier les contraintes, les déformations, et leurs dérivées, et caractérise la nature des comportements. La caractérisation expérimentale a été évoquée en introduction. Certains comportements fondamentaux ont été identifiés. Chacun va se caractériser ici par une brique élémentaire. Les comportements les plus complexes se batissent ensuite à partir de celles-ci en formant des assemblages qui sont décrits dans ce chapitre. La conception d’un modèle complet nécessite enfin le choix d’une généralisation qui permette de passer de l’étude sous chargement uniaxial à celle des chargements multiaxiaux. Ce sera l’objet du chapitre suivant, qui décrira les différents critères qui autorisent cette généralisation. On commence l’examen des différentes classes de modèle par quelques remarques sur les types de déformation que peut subir la matière.

2.1 2.1.1

Les différents types de «déformation» Les sources de «déformation»

Pour les lois de comportement les plus simples (élasticité, viscosité pure) un seul tenseur de déformation permet de caractériser les changements de forme de l’élément de volume. De nombreuses situations pratiques font au contraire intervenir d’autres types de déformations. Avant d’aborder cette description, on fait le bilan des éléments nécessaires à la construction d’une loi de comportement. Un cadre devenu classique, et qui est présenté dans le cours de MMC (Forest et al., 2010) (chapitre 5) suppose que l’on définisse un certain nombre de variables d’état qui représentent à l’instant t le résultat de toute l’histoire du matériau. La déformation élastique est l’exemple d’une telle variable. Il faut ensuite introduire des coefficients, ou paramètres matériau, qui vont porter sur ces variables et définir les grandeurs associées (l’approche thermodynamique parle de «forces» thermodynamiques) qu’elles génèrent. Ainsi, le tenseur des modules d’élasticité permet-il de calculer le tenseur des contraintes. Un matériau est également soumis à l’action de paramètres extérieurs, qui vont créer en son sein des distorsions ou des variations de volume. Le fait de solliciter le matériau dans des conditions extrêmes (fortes charges par exemple) fait apparaître des irréversibilités dans le processus de déformation, qui devront être caractérisées par de nouvelles variables d’état. On entamera au paragraphe suivant l’étude de ce type de déformation. Il faut auparavant citer le cas des déformations paramétriques. On regroupe derrière cette dénomination les modes de déformations additionnels, qui sont pilotés par des paramètres extérieurs. En toute rigueur les distorsions et dilatations produites ne conduisent pas à un tenseur de déformation, parce qu’elles ne vérifient pas forcément les équations de compatibilité. L’usage a néanmoins consacré l’abus de notation, et on utilise par exemple ∼εth pour désigner la dilatation thermique ; on accepte même parfois de parler de déformation thermique. Parmi les autres paramètres extérieurs qui fournissent des déformations 11

12

CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE

additionnelles, on peut citer par exemple : – l’irradiation d’un matériau, qui provoque dans certaines gammes de température la germination et la croissance de cavités, ce qui produit un changement de volume ; – le changement de phase ; les métaux et alliages, mais aussi les roches, peuvent changer de réseau cristallin en fonction de la température et de la pression. Ces phénomènes doivent bien entendu être décrits à l’aide de variables d’état, mais, dans la mesure où une quantité donnée d’atomes n’occupera pas le même volume en fonction de sa phase cristallographique (cubique, hexagonale,. . .), un changement de volume spécifique accompagnera de façon systématique le changement de phase.

2.1.2

Dilatation thermique

La dilatation thermique est proportionnelle à la variation de température pour une petite variation de celle-ci autour d’un point de fonctionnement considéré. Ceci permet donc d’introduire un tenseur de dilatation thermique. Sur une large gamme de température, l’expérience montre que les termes de ce tenseur dépendent de la température. Comme par ailleurs on peut choisir la température à laquelle on prend la dilatation thermique nulle, il faut introduire deux températures particulières dans la définition, T0 température à laquelle ∼εth est nul, et Tr , température de référence à partir de laquelle est mesuré α . La ∼ forme complète est alors : – pour le cas anisotrope εth = α (T )(T − Tr ) − α (T0 )(T0 − Tr ) (2.1) ∼ ∼ ∼ – pour le cas isotrope εth = α(T )(T − Tr )I∼ − α(T0 )(T0 − Tr )I∼

(2.2)

εth i j = α(T )(T − Tr )δi j − α(T0 )(T0 − Tr )δi j

(2.3)

∼

soit Dans une telle définition, α(T ) (dépendant de la température) est le coefficient de dilatation sécant. C’est lui qui est ordinairement tabulé dans les bases de données. La déformation totale s’écrit comme une somme de la part élastique et de la part thermique : ε = ∼εe + ∼εth

∼

Lorsque le champ de température dans une pièce n’est pas uniforme, la dilatation varie d’un point à l’autre. Si le champ appliqué permet de vérifier les conditions de compatibilité, et s’il peut se développer une dilatation libre, il n’y a pas de contrainte ; dans le cas contraire (champ de température trop complexe ou restrictions cinématiques), ceci conduit au développement de contraintes thermomécaniques.

2.2

Les briques de base du comportement non linéaire

L’allure qualitative de la réponse des matériaux à quelques essais simples permet de les ranger dans des classes bien définies. Ces comportements «de base», qui peuvent être représentés par des systèmes mécaniques élémentaires, sont l’élasticité, la plasticité et la viscosité. Les éléments les plus courants sont reportés en figure 2.1, où le point au-dessus d’une variable désigne la dérivée temporelle : 1. Le ressort, qui symbolise l’élasticité linéaire parfaite, pour laquelle la déformation est entièrement réversible lors d’une décharge, et où il existe une relation biunivoque entre les paramètres de charge et de déformation (figure 2.1a). 2. L’amortisseur, qui schématise la viscosité, linéaire (figure 2.1b) ou non–linéaire (figure 2.1c). La viscosité est dite pure s’il existe une relation biunivoque entre la charge et la vitesse de chargement. Si cette relation est linéaire, le modèle correspond à la loi de Newton.

2.3. PLASTICITÉ UNIAXIALE

13

3. Le patin, qui modélise l’apparition de déformations permanentes lorsque la charge est suffisante (figure 2.1d). Si le seuil d’apparition de la déformation permanente n’évolue pas avec le chargement, le comportement est dit plastique parfait. Si, de plus, la déformation avant écoulement est négligée, le modèle est rigide–parfaitement plastique.

σ = Eε

a.

σ = η ε˙

b.

σ = η ε˙ 1/N

c.

−σy ≤ σ ≤ σy d. F IG . 2.1 – Les « briques de base » pour la représentation des comportements Ces éléments peuvent être combinés entre eux pour former des modèles rhéologiques. Ceux-ci représentent des systèmes mécaniques qui servent de support dans la définition des modèles. Il ne faut en aucun cas leur accorder un trop grand crédit pour ce qui concerne la représentation des phénomènes physiques qui sont à la base des déformations. Ils sont néanmoins brièvement présentés ici, car ils permettent de comprendre la nature des relations à introduire pour chaque type de comportement, en pratiquant par exemple l’exercice qui consiste à combiner deux à deux les modèles élémentaires. C’est aussi l’occasion d’introduire l’ensemble du vocabulaire qui sera utile dans le cas général des chargements tridimensionnels. En fonction du type de chargement imposé, la réponse de ces systèmes peut être jugée dans 3 plans différents : – plan déformation–contrainte, ε-σ, pour l’essai de traction simple, ou d’écrouissage, augmentation monotone de la charge ou de la déformation ; – plan temps–déformation, t-ε, pour l’essai de fluage, sous charge constante ; – plan temps–contrainte, t-σ, pour l’essais de relaxation, sous déformation constante.

2.3 2.3.1

Plasticité uniaxiale Modèle élastique–parfaitement plastique

L’association d’un ressort et d’un patin en série (figure 2.2 a) produit un comportement élastique parfaitement plastique, modélisé en figure 2.2 c. Le système ne peut pas supporter une contrainte dont la valeur absolue est plus grande que σy . Pour caractériser ce modèle, il faut considérer une fonction de charge f dépendant de la seule variable σ, et définie par : f (σ) = |σ| − σy

(2.4)

Le domaine d’élasticité correspond aux valeurs négatives de f , et le comportement du système se résume

14

CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE (H) (E)

(σy )

(σy ) a. σ

b. σ

σy

σy H

εp −σy

εp

c.

d.

F IG . 2.2 – Associations en série ou parallèle de patin et ressort

alors aux équations suivantes : − domaine d’élasticité si :

f< 0

− décharge élastique si

f= 0

:

− écoulement plastique si :

f= 0

et f˙< 0 et f˙= 0

˙ (ε˙ = ε˙ e = σ/E) e ˙ (ε˙ = ε˙ = σ/E) ˙p

(ε˙ = ε )

(2.5) (2.6) (2.7)

En régime élastique, la vitesse de déformation plastique est bien entendu nulle, la vitesse de déformation élastique devenant à son tour nulle pendant l’écoulement plastique. Ceci implique que l’expression de la vitesse de déformation plastique ne peut pas se faire à l’aide de la contrainte. C’est au contraire la vitesse de déformation qui doit être choisie comme pilote. Le modèle est sans écrouissage, puisque le niveau de contrainte ne varie plus au sortir du domaine d’élasticité. Il n’y a pas d’énergie stockée au cours de la déformation, et la dissipation en chaleur est égale à la puissance plastique. Le modèle est susceptible d’atteindre des déformations infinies sous charge constante, conduisant à la ruine du système par déformation excessive.

2.3.2

Modèle de Prager

L’association en parallèle de la figure 2.2b correspond au comportement illustré en figure 2.2d. Dans ce cas, le modèle présente de l’écrouissage. Il est dit cinématique linéaire (Prager, 1955), car dépendant linéairement de la valeur actuelle de la déformation plastique. Sous cette forme, le modèle est rigide– plastique. Il devient élasto–plastique si l’on rajoute un ressort en série. La forme de la courbe dans le plan σ − ε p est due au fait que, lors de l’écoulement plastique, la contrainte qui s’établit dans le ressort vaut X = Hε p . Par ailleurs, cet écoulement ne se produit que si la valeur absolue de la contrainte dans le patin, soit |σ − Hε p |, est égale à σy . Pour une déformation donnée, cette contrainte X est une contrainte interne qui caractérise le nouvel état neutre du matériau. Ce deuxième exemple offre l’occasion d’écrire un modèle plus complet que précédemment. La fonction de charge dépend maintenant de la contrainte appliquée et de la contrainte interne. Elle s’écrit : f (σ, X) = |σ − X| − σy

(2.8)

Il n’y aura présence d’écoulement plastique que si on vérifie à la fois f = 0 et f˙ = 0. Ceci conduit à la

2.3. PLASTICITÉ UNIAXIALE

15

condition suivante :

∂f ∂f ˙ X =0 σ˙ − ∂σ ∂X

(2.9)

D’où : ˙ signe(σ − X) σ+signe(σ − X) X˙ = 0 p ˙ et finalement : ε˙ = σ/H ˙ σ˙ = X,

(2.10) (2.11)

Dans ce cas, la contrainte augmente au cours de l’écoulement plastique, si bien qu’elle peut servir de variable de contrôle. Mais il est aussi toujours possible d’exprimer la vitesse d’écoulement plastique en fonction de la vitesse de déformation totale, en utilisant la décomposition de la déformation combinée avec l’expression de la vitesse de déformation plastique, le cas où H = 0 redonnant bien entendu le cas du matériau parfaitement plastique : E ε˙ p = ε˙ (2.12) E +H Il est remarquable de noter que le calcul de l’énergie dissipée au cours d’un cycle produit exactement le même résultat que pour le premier montage, ce qui indique que, pour ce type de comportement, une partie de l’énergie est temporairement stockée dans le matériau (ici, dans le ressort), et entièrement restituée à la décharge. Ceci donne une illustration physique de la notion d’écrouissage renversable, alors que d’autres règles d’écrouissage cinématique, non–linéaire, qui ne seront pas considérées dans le cadre de ce cours, sont accompagnées d’une dissipation d’énergie.

2.3.3

Écriture générale des équations de l’élastoplasticité uniaxiale

Dans le cas général, les conditions de «charge–décharge» s’expriment donc : − domaine d’élasticité si :

f (σ, Ai )< 0

− décharge élastique si

:

f (σ, Ai )= 0

− écoulement plastique si :

f (σ, Ai )= 0

˙ (ε˙ = σ/E) ˙ ˙ et f (σ, Ai )< 0 (ε˙ = σ/E) ˙ ˙ + ε˙ p ) et f (σ, Ai )= 0 (ε˙ = σ/E

(2.13) (2.14) (2.15)

Dans le cas général, le module H dépend de la déformation et/ou des variables d’écrouissage. La valeur du module plastique au point (σ, Ai ) s’obtient en écrivant que le point représentatif du chargement reste sur la limite du domaine d’élasticité au cours de l’écoulement. L’équation qui en découle s’appelle la condition de cohérence : f˙(σ, Ai ) = 0 (2.16) Ce formalisme peut paraître un peu lourd dans le cadre d’un chargement uniaxial, mais il est utile de le mettre en place, car ce sont les mêmes outils qui seront ensuite utilisés dans le cas plus complexe des chargements multiaxiaux. Dans les deux exemples qui ont été décrits, le domaine d’élasticité est soit fixe, soit mobile, sa taille étant conservée. Le premier cas ne nécessite bien entendu aucune variable d’écrouissage, le second fait intervenir une variable X qui dépend de la valeur actuelle de la déformation plastique. Cette variable deviendra tensorielle dans le cas général. Comme indiqué plus haut le type d’écrouissage correspondant s’appelle écrouissage cinématique (figure 2.3b). Une autre évolution élémentaire que peut subir le domaine d’élasticité est l’expansion. Cet autre cas (figure 2.3a) correspond à un matériau dont le domaine d’élasticité voit sa taille augmenter, mais qui reste centré sur l’origine : il s’agit d’un écrouissage isotrope (Taylor and Quinney, 1931). La variable d’écrouissage qui intervient dans f est la dimension du domaine d’élasticité, notée R : f (σ, R) = |σ| − R − σy

(2.17)

L’évolution de cette variable est la même quel que soit le signe de la vitesse de déformation plastique. Elle s’exprimera donc en fonction de la déformation plastique cumulée, p, variable dont la dérivée est

16

CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE

égale à la valeur absolue de la vitesse de la déformation plastique : p˙ = |ε˙ p |. Bien entendu, il n’y a pas de différence entre p et ε p tant que le chargement est monotone croissant. Dans ce cas, vérifier la condition de cohérence revient tout simplement à exprimer que la valeur actuelle de la contrainte est sur la frontière du domaine d’élasticité. Pour l’écrouissage cinématique, cela s’écrit σ = X + σy , et pour l’écrouissage isotrope σ = R + σy . Cela signifie donc que c’est la loi d’évolution de la variable d’écrouissage qui détermine exactement la forme de la courbe de traction. Les deux modèles rhéologiques invoqués donnent des courbes linéaires, avec des modules plastiques nul ou constant. Il est souvent plus réaliste de considérer une courbe qui se sature en fonction de la déformation, soit par exemple une fonction puissance (loi de Ramberg–Osgood, avec deux coefficients matériaux K et m) ou une exponentielle, cette dernière formulation offrant l’avantage d’introduire une contrainte ultime σu supportable par le matériau (deux coefficients matériau, σu et b en plus de σy ) : σ = σy + K (ε p )m

(2.18) p

σ = σu + (σy − σu ) exp(−b ε )

(2.19)

Dans bien des cas, les utilisateurs ne prennent pas la peine de définir une forme explicite de la loi de comportement, et décrivent la courbe de traction point par point. Cela revient implicitement à considérer un écrouissage isotrope. Ce type d’écrouissage est prédominant pour les déformations importantes (au-delà de 10%). Cependant, l’écrouissage cinématique continue de jouer un rôle important lors de décharges, même pour les grandes déformations, et c’est lui qui est prépondérant pour les faibles déformations et les chargements cycliques. Il permet en particulier de simuler correctement l’effet Bauschinger, c’est-à-dire le fait que la contrainte d’élasticité en compression décroît par rapport à la contrainte initiale à la suite d’un préécrouissage en traction. Il est néanmoins moins souvent utilisé que l’écrouissage isotrope, car son traitement numérique est plus délicat. σ σ σy

R + σy

σy

σy X

εp

σy ε p

R + σy

a. Isotrope

b. Cin´ematique

F IG . 2.3 – Illustration des deux principaux types d’écrouissage

2.4 2.4.1

Viscoélasticité uniaxiale Un exemple de modèle rhéologique

Le modèle de Maxwell regroupe un amortisseur et un ressort en série (figure 2.4a), celui de Voigt un amortisseur et un ressort en parallèle (figure 2.4b). Leurs équations respectives sont : −Maxwell : −Voigt :

˙ 0 + σ/η ε˙ = σ/E σ = Hε + ηε˙ , ou encore : ε˙ = (σ − H ε)/η

(2.20) (2.21)

La particularité du modèle de Voigt est de ne pas présenter d’élasticité instantanée. Ceci entraîne que sa fonction de relaxation n’est pas continue et dérivable par morceaux, avec un saut fini à l’origine :

2.4. VISCOÉLASTICITÉ UNIAXIALE

17 (H) (E0 )

(η)

(η) b. Voigt

a. Maxwell σ

ε Maxwell

σ0 /E0

E0 ε 0

σ0 /H Voigt

t c. Fluage

Maxwell

t

d. Relaxation

F IG . 2.4 – Fonctionnement des modèles de Maxwell et Voigt l’application d’un saut de déformation en t = 0 produit une contrainte infinie. Ce modèle n’est donc pas utilisable en relaxation, sauf si la mise en charge est progressive, et sera pour cette raison associé à un ressort en série pour effectuer des calculs de structure (modèle de Kelvin–Voigt du paragraphe suivant). Sous l’effet d’une contrainte σ0 constante en fonction du temps, la déformation tend vers la valeur asymptotique σ0 /H, le fluage est donc limité (figure 2.4c). Par ailleurs, si, après une mise en charge lente, la déformation est fixée à une valeur ε0 , la contrainte asymptotique sera H ε0 . Il n’y a donc pas dans ce dernier cas disparition complète de la contrainte. Au contraire, dans le cas du modèle de Maxwell, la vitesse de fluage est constante (figure 2.4c), et la disparition de contrainte au cours d’une expérience de relaxation est totale (figure 2.4d). Dans le cas de modèles et de chargement aussi simples, la réponse est obtenue instantanément par intégration directe des équations différentielles. Les formules obtenues sont respectivement, pour le modèle de Maxwell : −fluage sous une contrainte σ0 :

ε = σ0 /E0 + σ0 t / η

−relaxation à la déformation ε0 : σ = E0 ε0 exp[−t/τ]

(2.22) (2.23)

et pour le modèle de Voigt : −fluage sous une contrainte σ0 : ε = (σ0 / H)(1 − exp[−t/τ0 ])

(2.24)

Les constantes τ = η/E0 et τ0 = η/H sont homogènes à un temps, τ désignant le temps de relaxation du modèle de Maxwell.

2.4.2

Étude d’un modèle composé

Le modèle de Kelvin–Voigt (figure 2.5a) présente respectivement les réponses suivantes, pour t > 0, en fluage sous une contrainte σ0 , en posant τ f = η/H, et en relaxation pour une déformation ε0 , en posant τr = η/(H + E0 ) :   1 1 + (1 − exp[−t/τ f ]) σ0 (2.25) ε(t) = C(t) σ0 = E0 H   H E0 σ(t) = E(t) ε0 = + exp[−t/τr ] E0 ε0 (2.26) H + E0 H + E0

18

CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE (E1 )

(H) (E0 ) (η)

(η)

(E2 )

a. Kelvin–Voigt

b. Zener

F IG . 2.5 – Exemple de modèles composés

Le temps caractéristique en relaxation, τr , est plus court que le temps correspondant en fluage, τ f . Le matériau évolue donc plus vite vers son état asymptotique en relaxation qu’en fluage. Le modèle de Zener (figure 2.5b) peut se ramener au modèle de Kelvin–Voigt, à l’aide du double changement de variable 1/E1 = 1/E0 + 1/H, et E2 = E0 + H, ce qui prouve que les deux modèles sont en fait identiques. La même observation peut être faite en fluage. Ce modèle correspond au comportement du béton frais. Les modèles indiqués peuvent être encore améliorés : – le modèle de Kelvin–Voigt généralisé est obtenu en ajoutant en série d’autres modules amortisseurressort (H, η) dans le cas du premier modèle ; ce modèle représente en général correctement le comportement des polymères fortement réticulés ; – le modèle de Maxwell généralisé est obtenu en ajoutant en parallèle d’autres modules amortisseurressort (E2 , η) au second modèle ; ce modèle représente qualitativement le comportement des polymères thermoplastiques.

2.5 2.5.1

Viscoplasticité uniaxiale Un exemple de modèle rhéologique σ

(H) (E)

(η)

ε˙ σy

(σy )

εvp b. Comportement en traction

a. Sch´ema du mod`ele

F IG . 2.6 – Modèle de Bingham généralisé

La figure 2.6a indique comment, en rajoutant un simple amortisseur, il est possible de passer très simplement d’un modèle ayant un comportement plastique indépendant du temps à un modèle viscoplastique : le modèle obtenu est le modèle de Bingham généralisé. On retrouverait l’original de ce modèle en enlevant le ressort en série (E → ∞, pas d’élasticité instantanée, on obtient alors un modèle rigide viscoplastique), et en supprimant le ressort en parallèle, (H = 0, pas d’écrouissage). La déformation élastique se lit aux bornes du ressort de caractéristique E, la déformation viscoplastique, que l’on nommera εvp , aux bornes de l’assemblage en parallèle. La détermination des équations de ce modèle s’effectue en considérant les équations de comportement individuelles de chacun des éléments : X = Hεvp

σv = η ε˙ vp

σ p 6 σy

(2.27)

2.5. VISCOPLASTICITÉ UNIAXIALE

19

où X, σv et σ p sont respectivement les contraintes dans le ressort de caractéristique H, dans l’amortisseur et dans le patin, et : σ = X + σv + σ p (2.28) Il y a donc comme pour le modèle plastique un domaine d’élasticité, dont la frontière est atteinte lorsque |σ p | = σy . On distingue alors trois régimes de fonctionnement, selon que la vitesse de déformation viscoplastique est nulle, positive ou négative : (a) ε˙ vp = 0 (b) ε˙ vp > 0 ˙ vp

(c) ε < 0

|σ p | = |σ − Hεvp | vp

˙ vp

σ p = σ − Hε − η ε σ p = σ − Hεvp − η ε˙ vp

6 σy

(2.29)

= σy

(2.30)

= − σy

(2.31)

Le cas (a) correspond à l’intérieur du domaine d’élasticité (|σ p | < σy ) ou à un état de décharge élastique (|σ p | = σy et |σ˙ p | ≤ 0), les deux autres cas à de l’écoulement (|σ p | = σy et |σ˙ p | = 0 ). En posant < x >= max(x, 0), les trois cas peuvent se résumer par une seule expression : η ε˙ vp = h|σ − X| − σy i signe(σ − X) ou encore : ε˙ vp =

signe(σ − X) η

(2.32)

f (σ, X) = |σ − X| − σy

avec

(2.33)

La nature du modèle a maintenant complètement changé, puisque le point représentatif de l’état de contrainte courant peut se trouver dans la zone f > 0, et que la vitesse d’écoulement est maintenant régie par le temps : elle peut être non nulle sans qu’il y ait d’incrément de contrainte ou de déformation. Ceci explique qu’en figure 2.6b la courbe de traction ne soit plus unique (plus la vitesse est grande, plus la contrainte visqueuse σv sera élevée, et plus la courbe de traction sera haute), et que, lors d’une décharge, le point de fonctionnement ne pénètre pas immédiatement dans le domaine d’élasticité (on peut donc avoir un écoulement positif à contrainte décroissante). Par ailleurs, il est possible de simuler des expériences de fluage ou de relaxation. En fluage (figure 2.7), en supposant qu’on applique un échelon de contrainte (de 0 à σo > σy ) à partir d’un état de référence où toutes les déformations sont nulles, le modèle prévoit que la déformation viscoplastique est une exponentielle en fonction du temps t, avec un temps caractéristique τ f = η/H (figure 2.7a) :    σo − σy t vp ε = 1 − exp − (2.34) H τf La figure 2.7b montre, dans le plan contrainte–déformation viscoplastique, les évolutions respectives de la contrainte interne X et du seuil X + σy . Lorsque ce dernier rejoint la contrainte appliquée σo , la vitesse de déformation viscoplastique s’annule. σ σ0

εvp σ0 − σ y H

σy

σy X

εvp

t a.

b.

F IG . 2.7 – Fluage avec le modèle de Bingham

20

CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE

En relaxation, la réponse à un échelon de déformation (de 0 à εo tel que Eεo > σy ) fait cette fois intervenir un temps caractéristique de relaxation τr = η/(E + H) :       t Eεo t E 1 − exp − + H + E exp − (2.35) σ = σy E +H τr E +H τr La figure 2.8a montre le trajet parcouru par le point représentatif de l’état de contrainte au cours ˙ de la relaxation (pente −E puisque ε˙ vp + σ/E = 0). La figure 2.8b représente quant à elle le trajet caractéristique au cours d’une expérience d’effacement , ou encore de recouvrance. En fonction du niveau de chargement initial, on peut rencontrer après décharge une vitesse d’écoulement négative ou nulle, mais en aucun cas on ne pourra ramener la déformation viscoplastique à zéro, sauf dans le cas particulier où la contrainte σy est nulle. Il n’y a alors plus de seuil initial, et on conçoit bien qu’il n’est plus nécessaire dans ce cas de définir une décomposition de la déformation : on retrouve d’ailleurs le modèle de Kelvin–Voigt, donc une approche viscoélastique. σ σ A −E OA : transitoire AB : relaxation B H BC : d´echarge CD : effacement σy σy incomplet

εvp

O

εvp

D C a. b. F IG . 2.8 – Fonctionnement du modèle de Bingham à déformation imposée

2.5.2

Quelques modèles classiques en viscoplasticité

Dans l’exemple précédent, la vitesse de déformation viscoplastique est proportionnelle à une certaine contrainte efficace, différence entre la contrainte appliquée et le seuil, qui représente la distance entre le point de fonctionnement actuel et la frontière du domaine d’élasticité, qui n’est rien d’autre que la valeur de la fonction f au point de fonctionnement courant. La relation linéaire peut être remplacée par une forme plus générale, en introduisant une fonction de viscosité, φ, qui fournit alors en traction simple : ε˙ vp = φ( f )

(2.36)

Pour un modèle qui comporterait à la fois de l’écrouissage isotrope et cinématique, cette relation s’inverse sous la forme suivante, toujours en traction simple : σ = σy + X + R + φ−1 (ε˙ vp ) = σy + X + R + σv

(2.37)

La courbe de traction est déterminée par l’évolution du seuil, exactement comme dans le cas d’un modèle de plasticité (au travers de X et R), mais également par la fonction de viscosité, qui pilote la valeur de la contrainte visqueuse σv . Pour des raisons physiques évidentes, on considère que φ(0) = 0, et on suppose également que φ est une fonction monotone croissante. Dans le cas où σv s’annule, le modèle reproduit un comportement plastique indépendant du temps. Par ailleurs, plus la vitesse de sollicitation augmente, et plus la contrainte atteinte pour une déformation donnée sera élevée. Dans le cadre d’un modèle viscoplastique, il y a donc deux possibilités pour introduire de l’écrouissage. On conserve les possibilités d’action sur des variables de type X et R, et on peut également

2.6. INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE

21

jouer sur la forme de la contrainte visqueuse. On appelle classiquement modèles à écrouissage additif ceux qui jouent sur les variables de type plasticité et modèles à écrouissage multiplicatif ceux qui jouent sur la contrainte visqueuse, une approche où les deux mécanismes sont présents étant bien entendu également envisageable. Par ailleurs, contrairement au cas de la plasticité, on peut ici considérer un modèle dans lequel le domaine d’élasticité se réduit à l’origine (σ = 0), et qui ne possède pas d’écrouissage. Ainsi le modèle le plus courant est–il le modèle de Norton (avec deux coefficients matériau K et n) :  n |σ| ˙εvp = signe(σ) (2.38) K On peut le généraliser pour en faire un modèle à seuil sans écrouissage, ou réintroduire X et R aux côtés de σy , ce qui conduit à un modèle à écrouissage additif.   |σ| − σy n vp signe(σ) (2.39) ε˙ = K   |σ − X| − R − σy n vp signe(σ − X) (2.40) ε˙ = K Il y a également une grande liberté pour choisir d’autres formes que la fonction puissance, ainsi un sinus hyperbolique dans le modèle de Sellars et Teggart (loi sans écrouissage, coefficients A et K) :   |σ| vp signe(σ) (2.41) ε˙ = A sinh K Pour obtenir des lois à écrouissage multiplicatif, il faut admettre que la fonction φ ne dépend pas uniquement de f , ainsi la loi de Lemaitre (coefficients matériau K, m et n positifs) :  n |σ| ˙εvp = p−n/m signe(σ) avec p˙ = |ε˙ vp | (2.42) K

2.6

Influence de la température

Tous les coefficients caractéristiques qui ont été définis ci–dessus sont susceptibles de dépendre de la température. Les dépendances se définissent en général par des tables, après examen du comportement isotherme. Dans certains cas, lorsque les mécanismes physiques sont bien définis, il est possible de préciser explicitement l’influence de la température. La loi la plus couramment utilisée pour cela est la loi d’Arrhenius. Elle est valide en fluage. Elle introduit une énergie d’activation thermique Q, et R, constante des gaz parfaits (le rapport Q/R est homogène à une température), et indique que plus la température est élevée pour une charge donnée, plus la vitesse de déformation est grande : ε˙ vp = ε˙ o exp(−Q/RT )

(2.43)

Ceci permet de construire des équivalences temps–température, et, en menant en laboratoire des essais à température plus élevée que la température de fonctionnement visée dans les applications, d’obtenir en un temps limité des informations sur le comportement à long terme. Cette approche doit bien entendu être manipulée avec précaution dans le cas de matériaux vieillissants, et elle ne peut être étendue à de trop grandes plages de température.

22

CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE

Résumé Les équations très générales qui ont été écrites pour le moment mettent en évidence la nature des modèles de viscoélasticité, de plasticité et de viscoplasticité. Ces deux derniers ont en commun l’existence d’un domaine d’élasticité (éventuellement réduit à l’origine pour le modèle viscoplastique) et de variables d’écrouissage. Par contre, il faut aussi retenir que l’écoulement plastique est instantané, alors que l’écoulement viscoplastique est retardé : dε p = g(σ, . . . )dσ

dεvp = g(σ, . . . )dt

(2.44)

Ceci aura des conséquences importantes pour l’écriture du comportement élasto-(visco)-plastique tangent, qui est la caractéristique utilisée par les codes de calcul de structures. On ne considère dans ce cours que des formes très naïves d’écrouissage, dans la mesure où l’objectif est avant tout de mettre en place les structures des théories. La description de formes plus réalistes nécessiterait bien plus de temps. On retiendra pour mémoire les effets des chargements cycliques, des trajets de chargement multiaxiaux non proportionnels, des changements de phase, le vieillissement, les interactions avec l’environnement, etc. . . La plupart de ces effets sont maintenant bien documentés, et font l’objet de modélisations spécifiques. En l’absence de déformations paramétriques, les principales équations sont donc les suivantes (en adoptant à partir de maintenant la même notation, ε p , pour la déformation viscoplastique comme pour la déformation plastique) : – Viscoélasticité : le modèle est une combinaison des déformations, des contraintes, et de leurs vitesses : −Maxwell : −Voigt :

˙ 0 + σ/η ε˙ = σ/E σ = Hε + ηε˙ , ou encore : ε˙ = (σ − H ε)/η

– Plasticité et viscoplasticité : ε˙ = ε˙ e + ε˙ p – Plasticité : − domaine d’élasticité si :

f (σ, Ai )< 0

− décharge élastique si

:

f (σ, Ai )= 0

− écoulement plastique si :

f (σ, Ai )= 0

˙ (ε˙ = σ/E) ˙ et f˙(σ, Ai )< 0 (ε˙ = σ/E) ˙ + ε˙ p ) et f˙(σ, Ai )= 0 (ε˙ = σ/E

En traction à contrainte imposée : ε˙ p =

σ˙ H

En traction à déformation imposée : ε˙ p =

ε˙ E +H

– Viscoplasticité : − domaine d’élasticité si : − écoulement plastique si :

˙ f (σ, Ai )6 0 (ε˙ = σ/E) ˙ + ε˙ p ) f (σ, Ai )> 0 (ε˙ = σ/E

En traction à contrainte et à déformation imposée, une forme possible est :   σ − σy n p ε˙ = K

Chapitre 3

Critères La description des modèles à utiliser sous chargement uniaxial qui a été faite dans le chapitre précédent a mis en évidence un domaine d’élasticité, dans l’espace des contraintes et des variables d’écrouissage, pour lequel il n’y a pas d’écoulement plastique ou viscoplastique. La trace de ce domaine sur l’axe de la contrainte se limite à un segment de droite, qui peut subir une translation ou une expansion (il peut même parfois se limiter à un point). Par ailleurs certains modèles sont capables de représenter une contrainte maximale supportable par le matériau. Afin de pouvoir aborder l’étude des chargements multiaxiaux, il est nécessaire de se donner les moyens de définir de telles limites en tridimensionnel. On passe donc en revue les outils disponibles pour écrire ces modèles dans le cas de milieux continus, enfin on montre les principales classes de critères. De même que pour les lois d’écoulement qui ont été citées précédemment, le choix de tel ou tel critère va dépendre du matériau étudié.

3.1

Les outils disponibles

Le cas du chargement uniaxial étudié jusqu’à présent fait apparaître un domaine d’élasticité au travers de deux valeurs de contrainte, l’une en traction, l’autre en compression, pour lesquelles se produit l’écoulement plastique. Ainsi dans le cas du modèle de Prager, le domaine d’élasticité initial est le segment [−σy , σy ], et sa position pour une déformation plastique ε p est [−σy + X, σy + X], avec X = Hε p . Il est décrit par la fonction de charge (définie de R2 dans R), f : (σ, X) → f (σ, X). Pour définir ce même domaine en présence de chargements multiaxiaux, la fonction f devient une fonction du tenseur de contrainte, σ et du tenseur X∼ = Hε∼ p , (de R12 dans R) telle que si f (σ , X ) < 0, l’état de ∼ ∼ ∼ contraintes est élastique, si f (σ , X ) = 0, le point de fonctionnement est sur la frontière, la condition ∼ ∼ f (σ , X ) > 0 définissant l’extérieur du domaine. Dans le cas général, l’ensemble de départ contiendra les ∼ ∼ contraintes et toutes les variables d’écrouissage, scalaires ou tensorielles, il faut donc définir f (σ , Ai ). ∼ On va dans un premier temps limiter la présentation à la définition du domaine d’élasticité initial, pour lequel on supposera que les variables Ai sont nulles, si bien qu’on se contentera d’écrire les restrictions des fonctions f dans l’espace des contraintes. L’expérience montre que, pour la plupart des matériaux, le domaine d’élasticité initial est convexe (c’est en particulier vrai pour les métaux qui se déforment par glissement cristallographique). La fonction de charge doit donc elle–même être convexe en σ , ce qui implique, pour tout réel λ compris entre 0 et 1, ∼ , σ ) quelconque de la frontière : et pour un couple (σ ∼1 ∼2 ) + (1 − λ) f (σ ) f (λ σ + (1 − λ) σ ) 6 λ f (σ ∼1 ∼2 ∼1 ∼2

(3.1)

Comme dans le cas de l’étude du tenseur d’élasticité, il faut ici encore respecter les symétries matérielles. Ceci implique en particulier dans le cas d’un matériau isotrope que f soit une fonction symétrique des seules contraintes principales, ou bien encore, ce qui est équivalent, des invariants du 23

24

CHAPITRE 3. CRITÈRES

tenseur des contraintes dont la définition provient du polynôme caractéristique : I1 = trace(σ ) ∼

= σii

(3.2)

2

I2 = (1/2) trace(σ ) = (1/2) σi j σ ji ∼

(3.3)

3 I3 = (1/3) trace(σ ) = (1/3) σi j σ jk σki ∼

(3.4)

L’expérience montre que la déformation plastique d’un grand nombre de matériaux est indépendante de la pression hydrostatique. Ceci amène à considérer comme variable critique à faire figurer dans la définition du critère non plus le tenseur de contraintes lui-même, mais son déviateur ∼s , défini en enlevant àσ la pression hydrostatique, et ses invariants : ∼ s =σ − (I1 /3) ∼I ∼

(3.5)

∼

J1 = trace(s∼ )

=0

(3.6)

J2 = (1/2) trace(s∼ 2 ) = (1/2) si j s ji

(3.7)

3

J3 = (1/3) trace(s∼ ) = (1/3) si j s jk ski

(3.8) (3.9)

Il est commode, en vue de réaliser les comparaisons avec les résultats expérimentaux, de disposer d’expressions des critères dans lesquelles les valeurs de f sont homogènes à des contraintes, c’est ce qui amène par exemple à utiliser à la place de J2 l’invariant J, qui peut également s’exprimer en fonction des contraintes principales σ1 , σ2 , σ3 , ou de la contrainte σ dans le cas d’un état de traction simple : J = ((3/2)si j s ji )1/2 = (1/2) (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2



1/2

= |σ|

(3.10)

La valeur précédente est à rapprocher de celle de la contrainte de cisaillement octaédral. Les plans octaédraux sont ceux dont le vecteur normal est de type {1, 1, 1} dans l’espace des contraintes principales. Il est aisé de montrer que le vecteur contrainte évalué sur le plan (1,1,1) à partir des valeurs de σ1 , σ2 , σ3 a pour composantes normale σoct et tangentielle τoct : √ σoct = (1/3) I1 τoct = ( 2/3) J (3.11) La valeur de J définit donc le cisaillement dans les plans octaédraux. Les remarques précédentes indiquent que le plan de normale (1,1,1) va être un plan privilégié pour la représentation des critères. En effet, tous les points représentant des états de contrainte qui ne diffèrent que par un tenseur sphérique (donc qui sont équivalents vis–à–vis d’un critère qui ne fait pas intervenir la pression hydrostatique) s’y projettent sur le même point. La figure 3.1 montre ce plan, dans lequel les projections des axes principaux déterminent des angles de 2π/3, et qui a comme équation σ1 + σ2 + σ3 = −I1 /3. Pour traiter le comportement des sols (les argiles par exemple) ou des matériaux pulvérulents artificiels, on est amené à utiliser le troisième invariant. On introduit alors : S = (9/2)si j s jk ski


1/3

= ((9/2)(s∼ .s∼ ) : ∼s )1/3

(3.12)

On note que S vaut σ en traction comme en compression simple (tenseur uniaxial avec comme seule composante non nulle σ), qu’il vaut 0 en cisaillement simple, et −σ pour une expansion équibiaxiale (σ1 = σ2 = σ, les autres composantes nulles). Cela permet donc de représenter des différences de comportement en traction et en compression. Par ailleurs, sa combinaison avec J permet de définir l’angle de Lode, θ, qui intervient dans la définition de certains critères :  3 1 S θ = arcsin 3 J

(3.13)

3.2. CRITÈRES NE FAISANT PAS INTERVENIR LA PRESSION HYDROSTATIQUE

25

σ3

σ1

d´esigne les points qui peuvent se ramener a` de la traction simple, ceux qui peuvent se ramener a` la compression simple (par exemple un chargement biaxial, car un e´ tat o`u les seules contraintes non nulles sont σ1 =σ2 =σ est e´ quivalent a` σ3 = -σ), est un e´ tat de cisaillement

σ2

F IG . 3.1 – Etats de contraintes caractéristiques dans le plan déviateur

3.2 3.2.1

Critères ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique Critère de von Mises

Dans la mesure où la trace du tenseur des contraintes n’intervient pas, le critère le plus simple est celui qui n’utilise que le second invariant du déviateur des contraintes, ou encore J (von Mises, 1928). Ceci correspond à un ellipsoïde dans l’espace des tenseurs ∼s symétriques (expression quadratique des composantes si j , qui sont toutes équivalentes), soit, si σy est la limite d’élasticité en traction : f (σ ) = J − σy ∼

3.2.2

(3.14)

Critère de Tresca

L’expression du critère de von Mises fait intervenir les cisaillements maximaux dans chaque plan principal, représentés par les quantités (σi − σ j ). La spécificité du critère de Tresca est de ne retenir que le plus grand d’entre eux. Le fait de rajouter une pression à chaque terme de la diagonale ne modifie pas, comme prévu, la valeur du critère. Contrairement au cas précédent, cette expression ne définit en général pas une surface régulière (discontinuité de la normale, points anguleux) : f (σ ) = max |σi − σ j | − σy ∼

(3.15)

i, j

On peut également exprimer le critère en fonction de l’angle de Lode : 2J f (σ ) = √ cos(θ) − σy ∼ 3

3.2.3

(3.16)

Comparaison des critères de Tresca et von Mises

Comme il n’est bien entendu pas question de se placer dans l’espace des 6 (ou 9) composantes du tenseur des contraintes, il faut se résoudre à ne visualiser les frontières du domaine d’élasticité que dans des sous–espaces à deux ou trois dimensions. Les représentations les plus courantes s’effectuent : – dans le plan traction–cisaillement (figure 3.2a), lorsque seules les composantes σ = σ11 et τ = σ12 sont non nulles ; les expressions des critères se réduisent alors à : − von Mises : − Tresca :

f (σ, τ) = σ2 + 3τ2


1/2

− σy
1/2 f (σ, τ) = σ2 + 4τ2 − σy

(3.17) (3.18)

26

CHAPITRE 3. CRITÈRES – dans le plan des contraintes principales (σ1 , σ2 ) (figure 3.2b), lorsque la troisième contrainte principale σ3 est nulle :
1/2

− von Mises :

f (σ1 , σ2 ) = σ21 + σ22 − σ1 σ2

− Tresca :

f (σ1 , σ2 ) =

σ2 − σy

si

0 6 σ1 6 σ2

(3.20)

f (σ1 , σ2 ) =

σ1 − σy

si

0 6 σ2 6 σ1

(3.21)

f (σ1 , σ2 ) =

σ1 − σ2 − σy

si

σ2 6 0 6 σ1

(3.22)

− σy

(3.19)

(symétrie par rapport à l’axe σ1 = σ2 )

(3.23)

– dans le plan déviateur (figure 3.1), le critère de von Mises est représenté par un cercle, ce qui est cohérent avec son interprétation par le cisaillement octaédral, le critère de Tresca par un hexagone ; – dans l’espace des contraintes principales, chacun de ces critères est représenté par un cylindre de génératrice (1,1,1), qui s’appuie sur les courbes définies dans le plan déviateur. σ2 σy

σ12 τm τt σ11 σy

−σy

−σy

σy

a.

σ1

b. −σy

F IG . 3.2 – Comparaison des critères de Tresca (en pointillés) et de von Mises (traits pleins), (a) En √ traction-cisaillement (von Mises : τm = σy / 3, Tresca : τt = σy /2), (b) En traction biaxiale

3.3

Critères faisant intervenir la pression hydrostatique

Ces critères sont nécessaires pour représenter la déformation plastique des matériaux pulvérulents, des sols ou en présence d’endommagement du matériau. Ils expriment le fait qu’une contrainte hydrostatique de compression rend plus difficile la déformation plastique. Une des conséquences de leur formulation est qu’ils introduisent une dissymétrie traction–compression.

3.3.1

Critère de Drucker–Prager

C’est une extension du critère de von Mises, combinaison linéaire du deuxième invariant du déviateur et de la trace du tenseur des contraintes. C’est toujours un cercle dans le plan déviateur, mais qui dépend de l’«altitude» sur la trissectrice des axes σ1 , σ2 , σ3 de contraintes principales (figure 3.3a) : f (σ ) = (1 − α) J + αI1 − σy ∼

(3.24)

La limite d’élasticité en traction reste σy , et la limite d’élasticité en compression est −σy /(1 − 2 α). Le coefficient α dépend du matériau, il est bien entendu compris entre 0 et 1/2, et on retrouve le critère de von Mises pour α = 0 (figure 3.3b). Une expression plus complexe de ce même critère fait intervenir une forme plus compliquée de la contribution déviatorique, prenant en compte le troisième invariant. En reprenant l’expression 3.12 qui

3.3. CRITÈRES FAISANT INTERVENIR LA PRESSION HYDROSTATIQUE

σ3

27

J

σy /α

σy /1 − α

σ2

f 0) : r  σ eq D˙ = A(1 − D) Déterminer en fonction de la valeur choisie pour k les valeurs des contraintes qui produisent le même endommagement qu’une contrainte σ0 en traction simple, dans le cas de : a. cisaillement pur σ12 = τ ; b. compression simple σ11 = σc < 0. Les valeurs précédentes ne sont pas indépendantes. En se limitant à J et I1 , on obtient les valeurs équivalentes suivantes : √ √ √ – en torsion pure (I1 =0 ; J = τ 3 ; σeq = τ 3, donc la valeur de τ cherchée vaut : τ = σ0 / 3 – en compression simple (I1 = σ ; J = |σ| = −σ, σeq = −σ(1 − 2k), d’où : σc = −σ0 /(1 − 2k) 6. On effectue un chargement de fluage cyclique uniaxial, au cours duquel la contrainte passe en un temps négligeable de la valeur σ0 à la valeur −σ0 . Indiquer ce qui se passe qualitativement au cours des cycles successifs. Comparer l’expression de l’évolution de la déformation viscoplastique pendant un temps t0 à σ0 et pendant le même temps à −σ0 pour un état initial identique, et en tirer une valeur approchée de l’évolution de la déformation viscoplastique au cours de l’essai. Quelle la valeur du temps à rupture ? On introduit la notion de cycle, période de temps T = 2t0 correspondant au chargement défini cidessus. En négligeant l’évolution de l’endommagement au cours du cycle, on peut facilement évaluer l’évolution de la déformation viscoplastique au cours d’un cycle, pour une valeur D = DN , en ajoutant la contribution (positive) du temps t0 passé à σ0 et celle (négative) du temps t0 passé à −σ0 :   σ0 p ∆εN = t0 )n (1 − (1 − 2k)n ) K(1 − DN ) Il est par ailleurs possible d’évaluer la valeur de DN au cycle N à partir de la valeur DN−1 atteinte au cycle N − 1 en cumulant, au cours d’un cycle, les contributions de chaque période de chargement. L’endommagement évolue alors entre DN−1 et DN , selon la formule suivante, dans laquelle on a introduit tt , temps à rupture en fluage pur sous la contrainte σ0 , et tc , temps à rupture en fluage pur sous la contrainte −σ0 . On a : t0 t0 (1 − DN−1 )r+1 − (1 − DN )r+1 = + tt tc

208

CHAPITRE 13. ANNALES En sommant maintenant le résultat de tous les cycles précédant le cycle N, il vient : (1 − DN )r+1 = 1 −

Nt0 tr

avec

1 1 1 = + tr tt tc

L’incrément de déformation plastique par cycle varie donc en fonction du nombre de cycles, en suivant l’expression :    σ n ∆εNp Nt0 −n/(r+1) 0 n = t0 (1 − (1 − 2k) ) 1 − ∆N K tr Après intégration en termes de cycles, on trouve une formule tout à fait semblable à la formule obtenue sous charge constante : εNp

= tr

 σ n 0

K



Nt0 (1 − (1 − 2k) ) 1 − tr n

1−n/(r+1)

Il y a donc une dérive vers les déformations positives dès lors que le coefficient k est positif (il doit aussi rester inférieur à 0.5). Étude en relaxation uniaxiale

En relaxation, on complète les équations qui définissent le modèle par la relation de décomposition de la déformation : σ ε= + εp E(1 − D) et l’on écrit que la déformation totale est maintenue constante à une valeur ε0 , avec comme conditions initiales σ = σ0 = Eε0 , D = 0 et ε0p = 0. 7. Quelle est l’évolution de la déformation plastique pendant la relaxation ? Quelle est la valeur limite ? Même question pour la contrainte. Pendant la relaxation, la déformation plastique augmente et la contrainte diminue. Comme il n’y a pas de seuil dans la loi de comportement, la valeur asymptotique de la contrainte est 0, et celle de la déformation viscoplastique ε0 . 8. Caractériser l’évolution de l’endommagement. La rupture peut-elle se produire pendant la relaxation ? Discuter.

13.3 13.3.1

15 juin 1999 Plasticité biaxiale

On étudie l’influence du trajet de chargement sur la déformation d’une plaque, dont le plan est normal à l’axe 3. La plaque est constituée d’un matériau élastique-parfaitement plastique, de limite d’élasticité σy , et de caractéristiques élastiques E (module de Young) et ν (coefficient de Poisson). Le critère de plasticité est celui de von Mises, défini par la fonction de charge f (σ ) = J(σ ) − σy , avec J(σ ) = (1.5 ∼s : ∼ ∼ ∼ s∼ )0.5 , ∼s désignant le déviateur de σ . Dans un premier temps, on appliquera une traction simple dans la ∼ direction 1, puis, à partir de l’état obtenu, on appliquera une traction biaxiale, à la fois en direction 1 et 2. Le résultat obtenu sera comparé avec le résultat d’un chargement qui amène directement au même état final. Dans l’ensemble du problème, tous les cisaillements sont supposés nuls, de même que la contrainte σ33 . On notera simplement σ1 et σ2 les contraintes principales en direction 1 et 2, ε1 et ε2 les

13.3. 15 JUIN 1999

209

déformations correspondantes. Pour les applications numériques, on choisira les valeurs suivantes : E = 100000 MPa

;

ν = 0, 3

σy = 500 MPa

;

1. On effectue d’abord une traction simple à déformation imposée dans la direction 1, la déformation ε1 variant de 0 à 0.02. On suppose que la contrainte σ2 reste nulle. Tracer dans ce cas : - la courbe de traction donnant σ1 fonction de ε1 ; - la courbe définissant ε2 en fonction de ε1 , en distinguant bien la partie élastique et la partie plastique ; quelle est la valeur de ε2 en fin de traction ? - la forme de la surface de charge dans le plan σ1 − σ2 , en positionnant le point représentatif du régime plastique observé en traction simple. La courbe de traction donnant σ1 fonction de ε1 : 600 500

contrainte

400 300 200 100 sig11

0 0

0.005

0.01 deformation

0.015

0.02

La courbe définissant ε2 en fonction de ε1 : 0

e22

-0.001

deformation e22

-0.002 -0.003 -0.004 -0.005 -0.006 -0.007 -0.008 -0.009 -0.01 0

0.005

0.01 deformation e11

0.015

A la plasticité commençante, on a : εe11 =

σ11 500 = = 0.005 E 100000

εe22 = −νε11 = −0.0015 Tenseur déviatorique : 

 2 0 0 σ s =  0 −1 0  ∼ 3 0 0 −1 Tenseur de direction d’écoulement : 

 2 0 0 1 n∼ =  0 −1 0  2 0 0 −1

0.02

210

CHAPITRE 13. ANNALES

On trouve ainsi :

1 p p ε22 = − ε11 = −0.0075 2

En fin de traction, on a donc : ε22 = −0.0015 − 0.0075 = −0.009 Dans le plan σ1 − σ2 , la surface de charge du critère von Mises se représente :

σ2 σy −σy

σy

σ1

−σy

Dont le point représentatif du régime plastique observé en traction simple est (σy , 0). 2. A partir de l’état de fin de traction simple, on effectue maintenant un trajet de chargement dans lequel les deux déformations ε1 et ε2 sont imposées, la contrainte σ3 restant nulle. On suppose dans les questions suivantes que l’écoulement plastique n’est pas stoppé lors du changement de trajet de chargement. Ecrire alors le déviateur de contraintes, puis les composantes n1 et n2 de la normale à la surface de charge, définie par n∼ = ∂ f /∂σ . ∼ Tenseur de contrainte :

 σ11 0 0 σ =  0 σ22 0  ∼ 0 0 0 

Déviateur de contraintes :  2σ11 − σ22 0 0 1  0 2σ22 − σ11 0 s=  ∼ 3 0 0 −σ11 − σ22 q J(σ) = σ211 + σ222 − σ11 σ22 = σy 

2σ11 − σ22 2σ11 − σ22 n1 = q = 2σy 2 σ211 + σ222 − σ11 σ22 2σ22 − σ11 2σ22 − σ11 n2 = q = 2σy 2 σ211 + σ222 − σ11 σ22 3. Ecrire la vitesse de déformation élastique. Exprimer alors la vitesse de déformation totale en ˙ fonction des vitesses de contraintes, de n1 et n2 , et du multiplicateur plastique λ. Vitesse de déformation élastique : ε˙ e11 =

σ˙ 11 ν − σ˙ 22 E E

13.3. 15 JUIN 1999

211 ε˙ e22 =

Vitesse de déformation totale :

σ˙ 22 ν − σ˙ 11 E E

σ˙ 11 ν ˙ − σ˙ 22 + n1 λ E E σ˙ 22 ν ˙ − σ˙ 11 + n2 λ ε˙ 22 = E E ε˙ 11 =

4 Ecrire la condition de cohérence, montrer qu’elle impose la direction de la vitesse de contrainte. Comparer les orientations de la vitesse de contrainte et de la vitesse de déformation plastique, commenter. Condition de cohérence f˙ = 0 s’écrit : 2σ˙ 11 σ11 + 2σ˙ 22 σ22 − σ˙ 11 σ22 − σ˙ 22 σ11 = 0 Cette dernière équation nous donne : σ˙ 11 2σ11 − σ22 = σ˙ 22 2σ22 − σ11 ou :

p σ˙ 11 ε˙ 11 = p σ˙ 22 ε˙ 22

5. On choisit d’appliquer la même vitesse de déformation sur les deux composantes 1 et 2 : ε˙ 1 = ε˙ 2 = ε˙ . Montrer en combinant les équations en déformation totale de la question 3 que l’on peut faire apparaître deux équations faisant intervenir respectivement le multiplicateur plastique, la somme et la différence des contraintes σ1 et σ2 et de leurs dérivées. En combinant les équations en déformation totale de la question 3, on obtient : ˙ 1+ν 3λ (σ˙ 11 − σ˙ 22 ) + (σ11 − σ22 ) = 0 E 2σy ˙ 1−ν λ (σ˙ 11 + σ˙ 22 ) + (σ11 + σ22 ) = 2ε˙ E σy 6. Montrer que l’on peut exprimer les contraintes admissibles au cours de l’écoulement sous forme paramétrique, en introduisant l’angle φ, tel que : √ σ1 + σ2 = 2σy cos φ ; σ2 − σ1 = (2/ 3) σy sin φ A quels états de contrainte particuliers correspondent les points obtenus respectivement pour φ = −π/3, φ = −π/6, φ = 0 ? On a le critère de von Mises : q σ211 + σ222 − σ11 σ22 = σy Où l’on peut réécrire sous forme : (σ11 + σ22 )2 3(σ11 − σ22 )2 + =1 4σ2y 4σ2y Il est donc possible de paramétrer l’écoulement en introduisant l’angle φ, tel que : sin φ =

σ22 − σ11 √ (2/ 3)σy

212

CHAPITRE 13. ANNALES cos φ =

σ11 + σ22 2σy

Pour φ = π/3, on obtient : σ22 = σy , σ11 = 0, √ c’est le cas traction simple dans la direction 2. Pour φ = π/6, on obtient : σ22 = 2σ11 = 2/ 3σy , c’est le cas de cisaillement pur. Pour φ = 0, on obtient : σ22 = σ11 = σy , c’est le cas traction biaxiale. 7. Ecrire l’équation différentielle reliant φ et le multiplicateur plastique (on utilisera les résultats de I.6). En utilisant le fait que le multiplicateur plastique est égal à la vitesse de déformation plastique cumulée, exprimer l’évolution de cette dernière sur le trajet de chargement ε˙ 1 = ε˙ 2 = ε˙ . Trouver la valeur de φ lorsque la déformation cumulée est égale à 0.01. En déduire que le point représentatif du chargement devient rapidement stationaire. Où se situe ce point dans le plan des contraintes σ1 − σ2 ? Nous avons : √ σ2 − σ1 = (2/ 3) σy sin φ √ σ˙ 2 − σ˙ 1 = (2/ 3)σy cos φ φ˙ ˙ = p, En les remplaçant dans la première équation de la question 5 et en utilisant le fait que λ ˙ on obtient : p˙ = −

2(1 + ν)σy cos φ ˙ φ 3E sin φ

2(1 + ν)σy sin φ ln| | 3E sin(π/3) En appliquant les valeurs numériques, on obtient : p=−

φ = 0.086 Ce dernier nous donne : sin φ = 0.086 et cos φ = 0.996 Et : σ22 − σ11 = 0.099σy σ22 + σ11 = 1.992σy On obtient donc : σ22 = 1.045σy = 522.5 et σ11 = 0.947σy = 473.5 Le point représentatif du chargement devient rapidement stable au point (σy , σy ), ce qui corresponde à φ = 0. 8. En utilisant le point précédent, qui définit donc l’état de contrainte, donner l’expression des composantes 1 et 2 du tenseur de déformation plastique en fonction de la déformation courante au cours du trajet de chargement biaxial. Quelle est la valeur obtenue pour ε1 = 0, 029 ; ε2 = 0 (ce résultat n’est qu’approché car l’état de contrainte utilisé n’est en fait atteint qu’asymptotiquement) ? On a approximativement : σ1 = σ2 = σy et : νσy E σy ε2p + 0.0075 = ε2 + 0.009 − E Pour ε1 = 0, 029 ; ε2 = 0, on obtient : ε1p = 0.0255 ε1p − 0.015 = ε1 − 0.02 +

ε2p = −0.0035 9. On s’intéresse maintenant à l’état final obtenu dans un trajet de chargement «direct», à déformation imposée, la valeur finale étant ε1 = 0.029 ; ε2 = 0, en conservant toujours σ3 = 0. Quel est le point représentatif sur la surface de charge ? En déduire la valeur des déformations plastiques atteintes en fin de chargement (la question I.9 peut être traitée indépendamment du reste du problème, même remarque qu’en I.8).

13.3. 15 JUIN 1999

213

13.3.2 Estimation de la zone plastique en pointe de fissure Le champ de contrainte calculé en élasticité présente une singularité en pointe de fissure, caractérisée par exemple par les équations de Westergaard. Il est donc vraisemblable que le matériau à proximité de la pointe se plastifie. On étudie ici quelques cas très simples, qui pemettent de se faire une idée de la forme des zones plastiques qui se développent. On utilisera les équations correspondant au mode I (voir le paragraphe10.3) . On suppose par ailleurs que le matériau est élastique-parfaitement plastique, et qu’il obéit au critère de Tresca. II.1 Exprimer les valeurs de σ11 , σ22 et σ12 pour des angles θ de 0 et π/2. Les équations pour le mode I sont les suivantes :   θ 3θ θ KI 1 − sin sin cos σ11 = √ 2 2 2 2πr   θ 3θ KI θ 1 + sin sin σ22 = √ cos 2 2 2 2πr KI 3θ θ θ σ12 = √ cos sin cos 2 2 2 2πr Les valeurs de σ11 , σ22 et σ12 pour les angles θ = 0 et θ = π/2 sont : KI KI θ = 0 −→ σ11 = √ , σ22 = √ , σ12 = 0 2πr 2πr θ=

π KI 3 KI KI −→ σ11 = √ , σ22 = √ , σ12 = − √ 2 4 πr 4 πr 4 πr

II.2 Pour un chargement extérieur donné, caractérisé par KI , définir la distance r(θ) pour laquelle la valeur de la limite d’élasticité est atteinte, pour les deux valeurs de la question précédente, dans le cas où l’on est en contrainte plane. Cela donne une approximation de la forme de la zone plastique. Pourquoi cette méthode n’est elle qu’approchée ? La taille de la zone plastique est souvent approchée par la condition : σ22 = σY , donc, dans le cas où θ=0: K √ I = σY 2πr si bien que : 1 ρT = r = 2π



KI σY

2

Pour θ = π/2 il vient alors : 3 KI 9 √ = σY =⇒ ρT = 4 πr 16π



KI σY

2

Cette approche souffre d’un double défaut. Avant tout, on écrit une condition de plasticité unidimensionnelle alors que l’état de contrainte est multiaxial. En second lieu, en présence d’un comportement parfaitement plastique, il faut prendre en compte la majoration de la contrainte par σy dans la zone plastique, qui rend la solution élastique caduque. Une redistribution de contrainte est alors nécessaire pour préserver l’équilibre dans la section.

214

CHAPITRE 13. ANNALES σ

ρT

σY

ρT

ρI

L’hypothèse choisie pour effectuer la redistribution consiste simplement à translater selon X la courbe de σ22 déterminée en élasticité. ZρT  0

ρZ T +X   Z∞ KI KI √ σY − √ − σY dx = dx + 2πx 2πx ρT

ρT

KI KI p −√ 2πx 2π(x + X)

! dx

On obtient successivement : 1 X= 2π



KI σY

2



KI σY

= ρT

et le rayon de la zone plastique : 1 ρI = π

2

II.3 Dans le cas où la structure est en déformation plane selon la direction 3, donner la forme de la contrainte σ33 en fonction de σ11 et σ22 . En déduire les valeurs r(θ) pour les deux angles précédents. Expliquer qualitativement pourquoi il est normal de trouver une taille de zone plastique plus petite dans ce dernier cas. Dans un chargement de type déformation plane, la composante σ33 peut être déterminée par : σ33 = ν(σ11 + σ22 ) √ KI σ33 (0) = ν 2 √ πr

;

σ33

π 2

KI = ν√ πr

II.4 En se replaçant maintenant en contrainte plane, on imagine qu’après avoir chargé jusqu’à une valeur KI , on relâche le chargement jusqu’en 0. Montrer que dans ce cas il existe une zone plastique de recompression au voisinage de la pointe, dont la taille est environ le quart de la zone plastique de traction. Lors du déchargement, on applique un champ élastique tel que la force résultante finale corresponde au nouveau chargement. Après une phase purement élastique, on observe de l’écoulement plastique de compression dans une petite zone au voisinage de la pointe de fissure.

215

Stress

13.4. 19 JUIN 2000

A’

Yeald stress

B’

A

B

0

E

D

Displacement

C

Cet écoulement plastique en compression est présent dans la zone pour laquelle la décharge dépasse −2σy . On peut l’évaluer à partir des valeurs respectives des facteurs d’intensité de contrainte min et max. Dans le cas présent, la contrainte min est nulle, si bien que ∆σ = σM . La taille de la zone plastique est obtenue par : K √ I = 2σY σ22 = 2σy 2πr d’où : 1 r= 8π



KI σY

2 = ρcomp

ρcomp =

ρT 4

13.4

19 juin 2000

13.4.1

Zone plastique et effet de retard en propagation de fissure 

 






  

On considère une fissure de longueur 2a située en −a ≤ x1 ≤ a sur l’axe x1 dans une plaque carrée comprise entre ±b en x1 et x2 , avec a  b. On applique une contrainte normale σM √ en x2 = ±b. Dans ces conditions, le facteur d’intensité de contrainte de la fissure (mode I) est KI = σM πa. La structure étant symétrique par rapport aux axes, on étudiera la pointe de fissure située en x1 = a.

216

CHAPITRE 13. ANNALES

1. On rappelle √ que dans ce cas, le champ de contrainte σ22 au voisinage de la pointe de fissure est équivalent à KI / 2πr, r étant la distance à la pointe. Commenter. L’analyse du champ de contrainte en pointe de fissure conduit à l’écriture d’un champ biaxial comportant trois composantes σ11 , σ22 , σ12 dans le cas d’une plaque, que l’on supposera donc chargée en contraintes planes. On traitera le problème de la zone plastique en réduisant le problème à un problème unidimensionnel sur la composante σ22 , sur l’axe x2 . Dans ce cas, l’expression générale   θ 3θ KI θ 1 + sin sin σ22 = √ cos 2 2 2 2πr devient (θ = 0) : KI σ22 = √ 2πr 2. Une pratique classique pour évaluer la taille de la zone plastique en pointe consiste à comparer l’expression précédente à σY , en supposant le matériau élastique–parfaitement plastique. Quelle valeur obtient-on pour ρT , rayon de zone plastique pour une contrainte appliquée σM ? Dans le cas d’un modèle parfaitement plastique, il vient : σ22 = σY avec :

KI σ22 = √ 2πr

si bien que : r = ρT =

1 2π



KI σY

2

3. Si on ramène le chargement extérieur à zéro, il se développe au voisinage de la pointe une zone où l’on replastifie en compression. Indiquer en suivant toujours la même approche simplifiée la dimension ρC de cette zone en fonction de ρT .

Stress

Lors du déchargement, on suit le trajet indiqué sur la figure ci-dessous, et on atteint la plasticité en compression lorsque la variation de la contrainte locale est de 2σy .

Yeald stress

A’

A

B

0

D

B’

E

C

Displacement

13.4. 19 JUIN 2000

217

La zone plastique correspondante est donc définie par : √

KI = 2σY 2πρC

soit : 1 r= 8π



KI σY

2

et : ρC =

= ρcomp ρT 4

4. La méthode précédente ne conserve pas la résultante selon x2 . La véritable zone plastique en traction a donc une taille ρI plus grande que ρT . On reprend donc la question 2, en utilisant maintenant un autre modèle approché (Irwin), qui consiste à compenser la troncature de la distribution élastique en supposant que le niveau de contrainte entre ρT et ρI est encore σY , et que le champ élastique est reporté au-delà de ρI (figure ci-dessous). Montrer que l’on trouve alors :   1 KI 2 ρI = π σY





    !"$#%'&()*!"




En plus de ne considérer que l’aspect unixial, la méthode précédente détruit l’équilibre, au sens où elle se contente de tronquer un champ obtenu en élasticité. Il est posible d’améliorer l’évaluation en distribuant la force ainsi négligée en avant de la pointe de la fissure. Cette force correspond à la partie de σ22 qui dépasse σy pour x 6 ρT . La construction d’Irwin consiste à former alors un profil de contrainte modifié, suivant la figure ci-dessus, dans lequel la taille de la zone plastique est maintenant ρI . On suppose alors que la distribution élastique de σ22 est translaté d’une quantité X selon x1 , et que l’aire au dessus de σy est compensée par celle qui sépare le nouveau profil de la courbe originale. On écrit donc : ZρT  0

ρZ T +X   Z∞ KI KI √ − σY dx = dx + σY − √ 2πx 2πx ρT

ρT

D’où : 1 X= 2π



KI σY

2 = ρT

KI KI p −√ 2πx 2π(x + X)

! dx

218

CHAPITRE 13. ANNALES

La nouvelle évaluation de la zone plastique est donc : 1 ρI = π



KI σY

2

5. Indiquer les faiblesses des méthodes précédentes. Comme indiqué précédemment, la faiblesse principale est le traitement uniaxial du problème. 6. On veut maintenant étudier la propagation de fissure en fatigue, avec un chargement extérieur appliqué entre 0 et σM . On suppose que la loi de propagation définit la vitesse d’avancée de fissure par cycle par : da = C (KI − KS )η dN √ √ où KI = σM πa, KS = kσY πρ (0 < k < 1) et où ρ est la taille actuelle de la zone plastique (définition de Irwin). Simplifier l’expression précédente en introduisant a, σM et σY . L’expression de la vitesse de propagation en chargement cyclique est : da = C (KI − KS )η dN √ √ En tenant compte du fait que KI = σM πa, KS = kσY πρ et ρ = s KS = kσY

1 π π



KI σY

1 π



KI σY

2

, il vient :

2 = kKI


η √ da = C (KI (1 − k))η = C σM πa(1 − k) dN 7. Pour une longueur de fissure telle que x1 = a1 , on effectue une surcharge à σ∗M , avec σM < σ∗M < σY . Donner la nouvelle valeur de la zone plastique en a1 , que l’on notera ρ∗ . Pour une longueur de fissure a1 et une contrainte appliquée de σ∗M , le nouveau facteur d’intensité de contrainte est KI∗ et la nouvelle taille de zone plastique ρ∗ , tels que : √ KI∗ = σ∗M πa1 1 ρ = π ∗



KI∗ σY

2

8. On reprend ensuite le chargement initial entre 0 et σM . Montrer que, si la surcharge a été suffisamment élevée, la fissure ne progresse plus. La nouvelle loi de propagation fait intervenir un nouveau seuil KS∗ calculé à partir de ρ∗ : da = C (KI − KS∗ )η dN avec : Ks∗ = kσy

p √ πρ∗ = kσ∗M a1

Il n’y a pas de propagation de fissure en a = a1 si KI 6 KS∗ , soit : √ √ KI = σM πa1 6 KS∗ = kσ∗M a1

13.4. 19 JUIN 2000

219

soit : σM 6 kσ∗M 9. Indiquer pourquoi la propagation est ralentie dans tous les autres cas. Indiquer la longueur de fissure a2 pour laquelle la fissure retrouvera sa vitesse initiale, et la loi de propagation entre a1 et a2 . Dessiner l’allure de la courbe a(N). La vitesse de progression de fissure est définie par : √ √
da = C σM πa − kσ∗M πa1 dN Elle est donc plus faible que la vitesse de référence pour une longueur a > a1 donnée. Un modèle raisonnable consiste à supposer que la zone plastique reste à la dimension créée par la surcharge, tant que la zone plastique «normale» attachée au chargement courant n’a pas atteint cette valeur. La fissure traverse donc à petite vitesse la zone plastique élargie. On retrouve la vitesse de progression normale pour une longueur de fissure a2 telle que : √ √ √ σM πa2 − kσ∗M πa1 = σM (1 − k) πa2 soit : a2 = a1

13.4.2

σ∗M σM

Contraintes développées lors de l’oxydation x3

x2 oxyde naissant

x1 nickel

On cherche à caractériser l’état de contrainte qui se développe dans une couche d’oxyde de nickel (NiO) en formation sur un substrat de nickel (Ni). Cette couche se forme par diffusion de nickel, l’oxyde se formant sur la surface extérieure. L’oxyde apparaît sous forme d’îlots, qui se rassemblent ensuite pour former une couche de plus en plus compacte. On choisit pour modéliser ce système très complexe une représentation très simplifiée constituée de 2 couches indépendantes sans contact en direction x3 . S , εS , εvS les tenseurs des La couche S (substrat) est élastoviscoplastique, on note respectivement σ ∼ ∼ ∼ contraintes, des déformations et des déformations viscoplastiques. La couche naissante N est constituée de vide et de NiO. On considérera son comportement homogénéisé, caractérisé par une fraction volumique z de NiO, qui permettra de définir les propriétés mécaniques (élasticité, viscoplasticité). N , εN , εvN les tenseurs des contraintes, des déformations et des On y note respectivement σ ∼ ∼ ∼ déformations viscoplastiques.

220

CHAPITRE 13. ANNALES

Par ailleurs, lors de la transformation de nickel en oxyde, il apparaît un changement de volume, représenté par un tenseur ∼εcp dans la couche N. L’élasticité est supposée isotrope dans chaque couche, les modules de Young et coefficients de Poisson valant respectivement (E S , νS ), et (E N , νN ). Les lois viscoplastiques s’écrivent :   J(σ∼I ) − σY I nI ∂J(σ∼I ) vI ε˙ = ∼ KI ∂σ∼I en introduisant les six coefficients dépendant du matériau σY I , KI , nI , avec I = N, S, J(σ∼I ) étant formé à p I , suivant : J(σI ) = (3/2)s∼ I : ∼s I . On définit par ailleurs la forme de ∼εcp par partir du déviateur ∼s I de σ ∼ ∼ la diagonale (zεt , zεt , zεz ).

1. On suppose que les tenseurs ∼εS et ∼εN sont diagonaux, que leurs composantes 11 et 22 sont égales, et que leurs composantes 33 sont libres. Justifier ce choix, et montrer alors que le tenseur de contrainte est biaxial dans chaque matériau. Ecrire dans chaque couche l’expression de la composante 11 de la déformation en fonction des contraintes, de la déformation viscoplastique et de la dilatation de changement de phase dans la couche N. Le problème est symétrique dans les sens 11 et 22, donc ses composantes sont égales. Les termes 12 n’interviennent pas car il n’y a pas de cisaillement entre ces deux directions. La couche d’oxydation est très mince, il est donc raisonnable d’enlever les composantes de cisaillement 13 et 23. Tenseur de déformation de la couche N :   N ε11 0 0 εN =  0 εN11 0  ∼ 0 0 εN33 Tenseur de contrainte de la couche N :  σN11 0 0 N σ =  0 σN11 0  ∼ 0 0 0 

εN11 =

1−ν N σ + zεt + εvN 11 E N 11

ou : ε˙ N11 =

1−ν N σ˙ + ε˙ vN 11 E N 11

2. L’épaisseur de la couche N, eN , est très inférieure à celle du substrat, eS (par exemple eN /eS < 10−4 ). Montrer que, dans ce cas, le niveau de contrainte dans le substrat va rester très faible, et que les déformations latérales ε11 et ε22 sont également négligeables. Dans le cas où la couche de dépôt est très mince par rapport à celle de substrat, la couche de substrat devient très «rigide». Les déformations latérales sont donc considérées négligeables. ε11 = ε22 = 0

3. On s’intéresse maintenant à la couche N. On note respectivement par (Eo , νo ) et (Ko , no σo ) les coefficients élastiques et viscoplastiques du matériau massif (z = 1). On suppose que la couche se met en place instantanément. Evaluer le niveau de contrainte résultant en appliquant la déformation de transformation εt dans le plan (x1 , x2 ).

13.4. 19 JUIN 2000

221

Dans ce cas la déformation viscoplastique est négligée car la couche N se met en place instantanément. On a : 1−ν εN11 = N σN11 + zεt = 0 E EN EN σN11 = σs = −zεt = −εt 1−ν 1−ν 4. Le développement de la déformation viscoplastique permet ensuite la relaxation des contraintes. Donner l’expression de l’évolution obtenue en fonction du temps, et préciser la valeur asymptotique. En prenant la déformation viscoplastique, on a : 1−ν N σ˙ + ε˙ vN 11 E N 11

ε˙ N11 = Tenseur de contrainte de la couche N :

 σN11 0 0 N σ =  0 σN11 0  ∼ 0 0 0 

On a donc σ1 = σN11 , σ2 = σN11 , σ3 = 0, et : |σN11 | √ J(σ ) = ∼ 2     1 0 0 1 0 0 N N signe(σ11 )  σ ∂J(σ ) 3s∼ ∼ √ 0 1 0  = √ 11N  0 1 0  = = ∂σ 2J(σ ) 2|σ11 | 2| ∼ ∼ 0 0 −2 0 0 −2 Donc :

  ε˙ vN 11 =

Nous avons donc :

|σN | √11 2



1−ν N  σ˙ + EN 11 si n = 1 :

√ (1 − ν)KN 2 EN |σ11 | = |σ11 | =

si n > 1 :

− σyN

KN |σN | √11 2

nN  signe(σN11 )

− σyN

KN

nN  signe(σN11 ) = 0

! √ √ |σ11 | − 2σy |σs | − 2σy ln| √ | − ln| √ | =t 2KN 2KN

√ √ 2σy + (|σs | − 2σy )exp(

−tEN √ ) (1 − ν)KN 2

√ √ EN −tEN √ ) 2σy + (|εt | − 2σy )exp( 1−ν (1 − ν)KN 2

 √  (1 − ν)KN 2  1 1 =t √ √ − − |σ11 |− 2σy n−1 |σs |− 2σy n−1 EN (n − 1) √ √ ( ) ( ) 2KN

√ √ |σ11 | = 2σy + 2KN (

2KN

1 !− n−1 √ 2KN E (n − 1) N √ √ )n−1 − t |σs | − 2σy (1 − ν) 2KN

222

CHAPITRE 13. ANNALES

La valeur asymtotique obtenue quand t → ∞, on a donc : |σ11 | =

√ 2σy

Dans ce cas les paramètres sont constants : EN = Eo , KN = Ko . 5. Les états de contraintes résultant de l’approche précédente n’étant pas réalistes, on cherche maintenant à représenter plus finement les phénomènes, en suivant l’évolution des contraintes au cours de la construction de la couche. On suppose pour cela que les différents coefficients varient de la manière suivante : 1 2 1 Si z ≥ 2 Si z <

:

EN = 0

, KN = 0

:

E N = Eo (2z − 1) , K N = Ko (2z − 1)

(contrainte nulle)

Dont z est une fonction du temps t : z = z(t). On considérera par ailleurs que le coefficient de Poisson vaut toujours νo , et que σY est nul. Ecrire dans ce cas les expressions définissant l’évolution de la contrainte pendant le développement de la couche. Caractériser la valeur maximale atteinte et la valeur asymptotique. Dans ce cas, on examine pour z > 1/2. On a donc : 

|σN | √11 2

− σyN

nN

1−ν  signe(σN11 ) = 0 σ˙ N +  Eo (2z − 1) 11 Ko (2z − 1) . Si n = 1, on obtient le résultat : |σ11 | =

√ √ 2σy − 2σy exp(

−tEo √ ) (1 − ν)Ko 2

√ La contrainte augmente à la valeur asymtotique |σ11 | = 2σy . Si n > 1 :  N nN |σ11 | √ − σyN 1−ν N 1  2  signe(σN11 ) = 0 σ˙ + Eo 11 (2z − 1)nN −1 Ko  √  Z 1 1 dt (1 − ν)Ko 2  = √ − − √ |σ |− 2σy n−1 − 2σ Eo (n − 1) (2z(t) − 1)nN −1 ( 11√ ) ( √ y )n−1 2Ko

2Ko

1 !− n−1 √ Z √ √ 2Ko n−1 Eo (n − 1) dt √ ) − |σ11 | = 2σy + 2Ko ( √ − 2σy (1 − ν) 2Ko (2z(t) − 1)nN −1

13.5. 24 JUIN 2002

13.5

24 juin 2002

13.5.1

Fissuration d’un rail

223

Une fissure de surface de profondeur 3 mm a été détectée (au niveau du point sur la coupe ci–jointe) dans un rail de chemin de fer, de hauteur totale 20 cm. Elle s’est amorcée sous l’action de la corrosion, et croît lentement par fatigue sous l’effet des chargements cycliques provoqués par le passage des trains. Les calculs indiquent que le passage d’une roue produit une charge dans l’axe du rail, donc normale à la fissure, variant entre -20 MPa et +107 MPa. Des spécimens de laboratoire sont chargés entre Kmin = 0 et Kmax . Les vitesses de propagation sont √ respectivement de 10−3 mm/cycle et 10−2 mm/cycle pour des valeurs de Kmax de 20 et 35 MPa m. La √ rupture brutale intervient pour une valeur Kmax =45 MPa m. 1. Trouver les valeurs des coefficients C et m de la loi de Paris. La loi de Paris s’écrit :

da = C(∆K)m dN

avec ∆K = Kmax − Kmin Les données précédentes permettent donc d’écrire :  C × 20m = 10−6 C × 35m = 10−5 ce qui donne (unités : m, MPa) : m ≈ 4.11

,

C ≈ 4.510−12

2. On néglige le caractère tridimensionnel de la fissure, ce qui permet de supposer que le facteur d’intensité de contrainte en mode I est √ donné en fonction de la profondeur de fissure a et de la contrainte axiale dans le rail σ par K = 1.12σ πa. Donner la vitesse de propagation pour la longueur de fissure initiale, et la longueur de fissure qui provoque la rupture brutale. On évalue la vitesse de propagation de fissure à partir du facteur d’intensité de contrainte √ ∆K = 1.12∆σ πa

224

CHAPITRE 13. ANNALES

avec : ∆σ = σmax − σmin = 107 − (−20) = 127 MPa , et a = a0 = 0.003 m En remplaçant les paramètres m et C de la loi de Paris par leur valeur : da = C(∆K)m ≈ 0.22 · 10−6 m/cycle dN La rupture brutale est obtenue en comparant le facteur d’intensité de contrainte critique au facteur d’intensité de contrainte obtenue avec la contrainte maximale (et non ∆σ) :  2 1 Kcrit acrit = ≈ 44.88 mm π 1.12σmax 3. Ecrire l’équation qui détermine la courbe (nombre de cycles–longueur de fissure) entre la valeur initiale a0 = 3mm et une valeur courante a. Ce résultat provient directement de l’application de la loi de Paris : √ da = C(Y ∆σ πa)m dN avec Y=1.12, ce qui correspond au cas d’une demi-plaque infinie portant une fissure perpendiculaire à la surface extérieure. La relation entre le nombre de cycles (N) et la longueur de fissure (a) est alors : m

m m/2

ZN

CY (∆σ) π

Za

dN = a0

0

d’où :

2 N= (m − 2)CY m (∆σ)m πm/2



da am/2

1 (a0 )(m−2)/2

−

1



a(m−2)/2

4. Indiquer le nombre de passages de trains pour lequel on aura une rupture brutale. On indiquera clairement les hypothèses ou approximations qui sont faites pour arriver à cette prévision. On calcule alors un nombre de cycles de N f = 12281. Si on prend l’exemple d’un TGV 8 voitures (plus deux motrices), il faut compter 40 cycles par passage. Ceci ramène donc le nombre de passages à environ 300 !

13.5.2 Contraintes thermiques en plasticité On considère un prisme d’axe x1 dont le déplacement axial est bloqué. Ses faces latérales sont libres, et on étudie le comportement dans une section courante, en négligeant l’effet des encastrements. L’état de contrainte est donc supposé uniaxial en direction x1 . Le chargement extérieur appliqué est dû uniquement à la température, la déformation totale restant nulle. On notera respectivement σ, ε, εe , ε p , εth , la contrainte, la déformation totale, la déformation élastique, la déformation plastique et la dilatation thermique. On notera par T la variation de température par rapport à l’état de référence à contrainte et déformation nulles. En introduisant le coefficient de dilatation thermique linéaire α, on a donc εth = αT . Ecrouissage isotrope On suppose que le matériau est élastoplastique, et qu’il obéit à une règle d’écrouissage isotrope linéaire. Le module de Young, E, le module plastique, Hi (on suppose que H < E), et la limite d’élasticité initiale σy sont supposés indépendants de la température. R dépend donc uniquement de la déformation plastique cumulée, p, nulle à l’origine, et définie par p˙ = |ε˙ p | : σ = Eεe

13.5. 24 JUIN 2002

225 f (σ, R) = |σ| − σy − R

R(p) = H p

1. Définir l’augmentation de température Te pour laquelle on atteint la limite d’élasticité du matériau. La déformation totale reste nulle durant la variation de température : σ + αT = 0 E ce qui fournit la valeur de température demandée, pour σ = σy : Te =

σy Eα

2. On suppose que T passe de 0 à Tm (avec Tm > Te ). Exprimer le fait que le critère de plasticité f reste nul pendant l’écoulement plastique, et définir les valeurs de contrainte σm et de déformation plastique εmp à la fin de la montée en température. La déformation totale comporte maintenant un terme de déformation plastique, si bien que : σ + ε p + αT = 0 E Comme l’écoulement plastique s’effectue en compression, on a ε p = −p, si bien que le fait que le critère reste nul s’écrit : σ = −σy + Hε p La résolution de ce petit système fournit alors : εmp = − σm = −

Eα(Tm − Te ) H +E

EH (σy + HαTm ) H +E

3. On ramène maintenant T à zéro. Exprimer la condition correspondante en déformation. En supposant dans un premier temps que le matériau reste élastique pendant la décharge, indiquer quelle sont alors les valeurs de la déformation plastique et de la contrainte lors du retour à T = 0 ? Indiquer à quelle condition le matériau reste effectivement élastique en fin de refroidissement. Il faut simplement annuler la déformation thermique. Si le matériau reste élastique, la déformation plastique est inchangée, et la contrainte en fin de refroidissement est σr est telle que εmp + σr /E = 0. La comparaison avec l’expression de la question précédente donne immédiatement : σr = σm + EαTm =

EH E 2α (EαTm − σy ) = (Tm − Te ) H +E H +E

Cette expression sera valide tant que la contrainte obtenue reste inférieure à la limite d’élasticité actuelle, qui, après le premier chargement, vaut −σm ; il faut donc assurer : EH EH (EαTm − σy ) < (σy + HαTm ) H +E H +E Cette condition sera vérifiée si la temperature ne dépasse pas un certain seuil lors du premier chauffage : Tm <

2σy α(E − H)

226

CHAPITRE 13. ANNALES

4. Calculer la déformation plastique et la contrainte à T = 0 pour le cas où il y a replastification à la décharge. Si le seuil précédent est dépassé, on repart de εmp en déformation plastique, avec un seuil actuel à −σm , et le matériau subit un incrément de déformation δ p positif tel que : pr = −εmp + δε p

εrp = εmp + δε p

A la fin du refroidissement, il faut vérifier les deux égalités suivantes, correspondant respectivement à la loi de comportement (déformation nulle, déformation thermique nulle) et à la condition de plasticité : σ = −Eεmp − Eδε p σ = σy − Hεmp + Hδε p On trouve : ((E − H)αTm − 2σy ) E (E + H)2 2EHαTm + (E − H)σy εrp = − (E + H)2

δε p =

La contrainte vient ensuite simplement : σr = −Eεrp =

E (2EHαTm + (E − H)σy ) (E + H)2

5. En supposant que l’on applique un grand nombre de cycles de température entre 0 et Tm , décrire qualitativement l’évolution de l’écoulement plastique et définir l’état final du matériau, en se plaçant dans le plan (déformation mécanique–contrainte). La déformation mécanique que subit le prisme varie entre 0 et −αTm au cours des cycles. Les deux courbes limites sur lesquelles se retrouvent les points représentatifs au chauffage et au refroidissement sont donc respectivement σ = −Eε p − EαTm et σ = −Eε p . Au cours des cycles, la limite d’élasticité augmente peu à peu. L’état limite correspond au moment où la taille du domaine d’élasticité (deux fois la limite élastique) sera égale à 2EαTm . Une illustration de cette évolution est donnée sur la simulation cidessous, réalisée avec E = 10000 MPa, α = 10−5 , Tm = 1000◦ C . On vérifie bien qu’à l’état asymptotique la taille du domaine élastique est de 2000 MPa. σ  Eε p  EαTm σ  Eε p




!"

 

σ



 
  


 

 

 

εp

 



13.5. 24 JUIN 2002

227

6. En faisant H = 0 dans les équations précédentes, commenter le cas d’un comportement élastique parfaitement plastique. Le raisonnement de la question précédente ne tient plus si H = 0. Dans ce cas, il n’u a pas d’évolution de la taille du domaine d’élasticité, et l’état asymptotique, atteint dès le deuxième cycle, est caractérisé par des contraintes variant entre ±σy . Le cycle reste ouvert au lieu qu’il soit réduit à une ligne comme dans le cas précédent. Ecrouissage cinématique Reprendre les questions 3, 4, 5 de la section précédente en supposant maintenant que le matériau obéit à une règle d’écrouissage cinématique linéaire : f (σ, X) = |σ − X| − σy

X = Hε p

...

13.5.3

Etude d’une plaque composite























 

































 

































 









 





















 x 

































 










  

































 


  b  

 


 


 





 


 
 
 

  
  







 


 


 

 
 
  


   
x 1

a/2

a/2

2

Une plaque composite est formée des matériaux A et B. Le plan de la plaque est parallèle à (x1 , x2 ). L’intérieur de la plaque est constitué par le matériau B (épaisseur b selon x3 ), qui est enserré par deux plaques du matériau A, chacune d’épaisseur a/2. On suppose que les dimensions de la plaque dans le plan (x1 , x2 ) sont grandes devant l’épaisseur. Les fractions volumiques de A et B sont respectivement CA et CB (avec CA + CB = 1). Dans l’ensemble du problème, on supposera que les champs de contrainte et de déformation sont uniformes dans chaque matériau. On notera respectivement σ et σ le tenseur des ∼A ∼B contraintes dans A et B, et ∼εA et ∼εB les tenseurs de déformation. Comportement élastique On cherche, à caractériser, pour certaines sollicitations particulières, le comportement homogène équivalent qu’il faudrait affecter à un matériau unique pour qu’il reproduise le comportement global de la plaque. On suppose que les deux matériaux ont un comportement élastique isotrope, caractérisé par les modules de compressibilité (resp. KA et KB ) et les modules de cisaillement (resp. µA et µB ). 1. Indiquer ce que sont les bornes de Voigt et de Reuss, et écrire les valeurs extrêmes correspondantes que peuvent prendre le module de compressibilité (resp. KV et KR ) et le module de cisaillement (resp. µV et µR ) du matériau homogène équivalent, en fonction des coefficients KA , KB , µA et µB . Les bornes de Voigt et Reuss sont : ∀E ∼

E : (C − < ∼c >) : E 60 ∼ ∼ ∼

∀Σ ∼

Σ : (S≈ − < ≈s >) : Σ 6 0

228

CHAPITRE 13. ANNALES

Dans le cas de l’élasticité isotrope, les équations précédentes deviennent simplement : CA CB 1 = + KR KA KB

KV = CA KA +CB KB

1 CA CB = + µR µA µB

µV = CA µn +CB µB

2. On suppose que les matériaux A et B ont même coefficient de Poisson, ν, et que leurs modules de Young sont respectivement EA et EB . Donner dans ces conditions un encadrement du module de Young du matériau homogène équivalent (resp. EV et ER ). On rappelle que : E = 2µ(1 + ν) = 3K(1 − 2ν)

1 1 3 = + E µ 3K

Indiquer, sans faire le calcul, ce que deviendrait ce résultat si les coefficients de Poisson étaient différents dans chaque matériau. La relation linéaire entre E et K permet d’appliquer à E la relation concernant la loi de Reuss connue pour K. Celle qui existe entre les inverses de E, K et µ permet d’appliquer à E celles qui concernent la loi de Voigt. Il vient donc : ER =

EA EB CA EB +CB EA

EV = CA EA +CB EB

3. On effectue une traction équibiaxiale à déplacement imposé dans le plan (x1 , x2 ) sur un carré de matière (ε11 = ε22 = ε). On suppose que les seules composantes non nulles du tenseur de contrainte sont 11 et 22. Justifier. Ecrire la loi de Hooke dans chaque matériau. Exprimer la valeur de la contrainte moyenne σ = CA σA11 +CB σB11 = CA σB22 +CB σB22 en fonction de ε, et en déduire la valeur du module de Young apparent du matériau homogène équivalent selon les composantes 11 et 22. Les composantes σ13 , σ23 , σ33 sont nulles sur la surface libre de direction x3 . En raison de la symétrie du chargement, il n’y a pas non plus de cisaillement σ12 . Le tenseur de contrainte s’écrit donc :   σ11 0 0 σ =  0 σ22 0 0 0 0 L’application de la loi de Hooke, pour les materiaux A et B donne successivement : EA ε = σA11 − νσA22

EA ε = σA22 − νσA11

EB ε = σB11 − νσB22

EB ε = σB22 − νσB11

D’où : εEA εEB et σB11 = σB22 = 1−ν 1−ν La valeur moyenne de la contrainte dans la plaque composite s’écrit ainsi : σA11 = σA22 =

σ=

CA EA ε CB εEB ε CA EA +CB EB + = ε 1−ν 1−ν 1−ν

d’où : E hom = CA EA +CB EB

13.5. 24 JUIN 2002

229

4. En suivant une procédure identique, donner la valeur du module de Young équivalent pour une traction selon l’axe x3 . La déformation de la plaque selon la composante 33 est la moyenne des valeurs obtenues dans chaque matériau. Par ailleurs, la contrainte de traction σ est la même dans les deux matériaux, si bien que : ε33 = CA

σ σ +CB EA EB

1

CA CB + EA EB

La moyenne E hom est alors telle que : E hom

=

5. Effectuer la même détermination en cisaillement : - dans le cas d’un cisaillement 12 ; - dans le cas d’un cisaillement 13. - Pour le cas du cisaillement 12, dans le plan de la plaque, ce sont les déformations qui sont égales dans chaque matériau. On obtient : µ = CA µA +CB µB - Pour le cas du cisaillement 13, ce sont les contraintes qui sont égales dans chaque matériau. On retrouve le cas de la question 4 : 1 1 1 = µA + µB µ CA CB 6. Comparer les résultats obtenus avec les bornes des questions 1 et 2. Commenter. Selon la direction considérée, les valeurs obtenues avec nos solutions approchées réalisent l’une ou l’autre borne. Comportement viscoélastique On suppose maintenant que le matériau B est viscoélastique. La vitesse de déformation peut se décomposer en une partie élastique (idem section précédente) et une partie purement visqueuse, dépendante du déviateur de contrainte, ∼s , où s’introduit le coefficient de viscosité η : ε˙ = ∼ε˙ e + ∼ε˙ v avec ∼ε˙ v = ∼

3 ∼s 2η

7. On étudie d’abord le matériau B isolé. On suppose que l’on applique très rapidement un chargement équibiaxial à contrainte imposée sur ce matériau (σ11 = σ22 = σ0 ). Donner l’expression de la réponse, supposée élastique, à la mise en charge, et celle de la déformation différée en fluage biaxial à la contrainte σ0 , en fonction du temps depuis la mise en charge, t. Le critère de von Mises pour le chargement biaxial indiqué vaut σO . On a vu précédemment les relations en elasticité. L’expression de la vitesse de déformation totale et de la déformation totale en fluage sont donc respectivement : 1−ν σ ε˙ = σ˙ + E 2η et : 1−ν σ0 ε= σ0 + t E 2η 8. On considère maintenant de nouveau le cas de la plaque, et on suppose que l’on applique le même chargement biaxial à contrainte moyenne imposée, les déformations ε11 et ε22 restant identiques dans chaque matériau. Définir l’état de contrainte dans chaque couche à la fin de la mise en charge élastique.

230

CHAPITRE 13. ANNALES

Ecrire les relations de comportement dans chaque couche (on posera ε = ε11 = ε22 , identique pour les deux matériaux, σA = σA11 = σA22 dans le matériau A et σB = σB11 = σB22 dans le matériau B, avec σ0 = CA σA +CB σB ). A la fin de la mise en charge, supposée très rapide, on a : σA =

EA 1 − ν EA ε= σ0 1−ν 1−ν E

Soit :

EA EB σ0 σB = σ0 E E La loi de comportement n’est pas la même dans chaque matériau : σA =

ε˙ A =

1−ν σ˙ A EA

ε˙ B =

1−ν σB σ˙ B + EB 2η

9. Donner sans calcul les valeurs asymptotiques de σA , σB . Intégrer les équations différentielles et donner les évolutions de σA , σB , et ε. Quel module élastique équivalent voit-on apparaître dans la constante de temps du fluage ? A quel modèle rhéologique se retrouve-t-on ramené dans cette configuration ? Dans le matériau viscoélastique, la contrainte va chuter au cours de la déformation, pour atteindre 0 à l’état stabilisé, car il n’y a pas de seuil d’écoulement. A ce moment, l’effort extérieur sera tout entier supporté par le matériau élastique. On trouve donc : σA =

σ0 CA

σB = 0

En remplaçant σA par son expression en fonction de σ et de σB dans sa loi de comportement, on peut exprimer la vitesse de déformation totale de deux manières : 1−ν (σ˙ −CB σ˙ B ) EACA 1−ν σB ε˙ = ε˙ B = σ˙ B + EB 2η

ε˙ = ε˙ A =

L’évolution de σB est donc gouvernée par l’équation : CA EA EB

σB + (1 − ν)(EACA + EBCB )σ˙ B = (1 − ν)EB σ˙ 2η

En fluage, il faut faire σ˙ = 0 dans l’équation précédente, ce qui conduit après intégration à :   EB 1 1 σB = σ0 exp(−t/τ) avec τ = 2η(1 − ν)CB + E EACA EBCB Les caractéristiques du présent système sont celles d’un modèle de Kelvin-Voigt. Etude de la rupture différée 10. Le critère de rupture du matériau A prévoit que le matériau se rompt lorsque la contrainte normale principale atteint une valeur limite σu . Décrire les différents régimes de «fonctionnement» possibles de la plaque composite, en indiquant dans quels cas elle peut (i) se rompre à la mise en charge, (ii) présenter une rupture différée, (iii) résister à la charge appliquée. On distingue les cas suivants :

13.6. 26 MAI 2003

231

– Il y a rupture à la mise en charge si la contrainte atteinte en élasticité dans le matériau A dépasse la limite de rupture ; – le matériau resistera à la charge si la contrainte asymptotique dans A reste inférieure à la contrainte à rupture ; – dans le cas intermédiaire, la contrainte dans le matériau A augmente au cours du fluage, et le matériau rompt lorsque σA atteint la limite de rupture. On établit alors le tableau suivant : CA EA +CB EB EA σ0 < σuCA CA EA +CB EB σuCA < σ0 < σu EA σ0 < σu

:

pas de rupture à la mise en charge

:

pas de rupture

:

rupture différée

Le temps pour lequel on a une rupture différée est tel que σB = (σ0 −CA σA )/CB = σu .

13.6

26 mai 2003

13.6.1

Traction sur une fibre entourée d’un cylindre de matrice

On cherche à caractériser le comportement équivalent en traction simple d’un composite à fibres longues. On considère pour cela une cellule élémentaire cylindrique, d’axe z. En coordonnées cylindriques, la fibre, de section circulaire (diamètre 2a), occupe l’espace r < a, et la matrice l’espace a < r < b. Le cylindre est «suffisamment» allongé en direction z (longueur h) ; on suppose donc que la déformation axiale est uniforme, et que les composantes en rr et θθ des tenseurs de contraintes et déformations sont indépendantes de z. La fraction volumique de fibre est f = (a/b)2 . Le déplacement est libre dans le plan r-θ sur les sections extrêmes du cylindre. On bloque en direction z la section inférieure (en z=0), et on applique un déplacement Uz uniforme sur la surface supérieure (en z = h). La surface latérale du cylindre est une surface libre. Géométrie et sollicitations extérieures étant axisymétriques, les relations déformation–déplacement se réduisent à εrr = ur,r , εθθ = ur /r et εzz = uz,z . On admettra le résultat classique définissant la forme des champs de déplacement radial et de déplacement axial : ur = Ar +

B r

uz = Cz

Les constantes A et B sont bien entendu différentes dans la fibre et dans la matrice, elles dépendent des conditions aux limites. Dans la suite de l’exercice, on évalue ces constantes, ainsi que l’expression des contraintes, pour en déduire l’expression de Ez , module de Young équivalent en direction z et de νzr , coefficient de Poisson. 1. En considérant l’expression générale du déplacement, calculer les composantes du tenseur de déformation. εrr = A −

B r2

εθθ = A +

B r2

εzz = C

232

CHAPITRE 13. ANNALES

Eν E . Montrer que les composantes du tenseur de , et 2µ = 1 + ν (1 + ν)(1 − 2ν) contrainte se mettent sous la forme :     B B σθθ = H A + νC + (1 − 2ν) 2 σrr = H A + νC − (1 − 2ν) 2 r r 2. On rappelle que λ =

σzz = H (2νA + (1 − ν)C)

avec H =

E (1 + ν)(1 − 2ν)

. Ceci provient de l’application directe des équations de Hooke, valides en coordonnées cylindriques, dans lesquelles la trace du tenseur de contrainte σll vaut simplement (2A + C), et où i et j prennent successivement les valeurs r, θ, et z : σi j = λσll + 2µσi j On note que le repère (r, θ, z) est le repère principal. Tous les cisaillements sont donc nuls. 3. Justifier le fait que C est le même dans la fibre et dans la matrice. Quelle est l’expression de C en fonction de la déformation axiale ε ? La déformation axiale est supposée uniforme. On a bien ε = εzz = C. 4. Justifier le fait que B est nul pour la fibre. Quelle particularité peut-on en déduire pour les champs de contrainte et de déformation dans la fibre ? On posera dans la suite : fibre : ur = A f r

matrice : ur = Am r +

Bm r

On appellera respectivement E f et Em les modules de Young de la fibre et de la matrice, ν f et νm les coefficients de Poisson. Si le paramètre B n’était pas nul dans la fibre, les déformations et les contraintes seraient infinies sur l’axe, en r = 0. On est donc amené à prendre B = 0 dans la fibre, ce qui implique alors que les déformations radiales et circonférentielles sont uniformes. Comme la déformation axiale est uniforme, les contraintes le sont également : εrr = εθθ = A

σrr = σθθ = H(A + νC)

5. Ecrire les deux conditions de continuité à l’interface fibre–matrice (en r = a). Il doit y avoir continuité de la composante radiale du déplacement, et de la composante rr de la contrainte, ce qui fournit respectivement les deux conditions suivantes : A f a = Am a +  H f (A f + ν f C) = Hm

Bm a

Bm Am + νmC − (1 − 2νm ) 2 a

6. Ecrire la condition à la frontière r = b. En r = b, on a une surface libre, la contrainte σrr est donc nulle. Am + νmC − (1 − 2νm )

Bm =0 b2

7. En utilisant les trois conditions précédentes, trouver A f , Am , Bm .



13.6. 26 MAI 2003

233

Après quelques manipulations, il vient : (1 − 2νm )(H f ν f − Hm νm ) + (Hm νm (1 − 2νm ) + H f ) Am = − (1 − 2νm )(H f − Hm ) + (Hm (1 − 2νm ) + H f )

b2 a2

b2 a2

On en tire également A f et Bm . 8. Calculer la résultante des efforts F sur la surface supérieure du cylindre, en introduisant la fraction volumique de fibre, et en déduire Ez , module de Young équivalent en direction z. La composante axiale du tenseur de contrainte est uniforme par morceau. On note S = πb2 la section de la cellule élémentaire. On obtient tout simplement F en sommant les contributions dans la fibre f 2 2 (contrainte σzz , section πa2 ) et dans la matrice (contrainte σm zz , section π(b − a )) :

F = πa2 H f (2ν f A f + (1 − ν f )C) + π(b2 − a2 )Hm (2νm Am + (1 − νm )C) Le module d’Young apparent E de l’ensemble est tel que σ = Eε, avec σ = F /S et ε = C. On peut ainsi calculer E. 9. Evaluer également le coefficient de Poisson apparent νzr pour une traction selon z. Le déplacement en r = b définit la contraction radiale associée à une traction selon z. On obtient alors le coefficient de Poisson demandé à partir de νrz = −Eεθθ /σ, avec εθθ (b) = ur (b)/b :   E ur (b) 1 Bm νrz = − =− Am + 2 σ b C b 10. Comparer les valeurs obtenues avec celles que fournit une évaluation de type «groupement» parallèle, ne tenant pas compte des champs triaxiaux : Ez = f E f + (1 − f )Em

νzr = f ν f + (1 − f )νm

Commenter.

13.6.2

Critères de Tresca et von Mises

On considère un matériau isotrope dont la limité d’élasticité en traction est σy . 1. Indiquer les valeurs de la limité d’élasticité en cisaillement pur, (i) si le matériau vérifie le critère de von Mises, (ii) si le matériau vérifie le critère de Tresca. √ La limite d’élasticité en cisaillement pur est donnée par τm = σy / 3 si le matériau vérifie le critère de von Mises, et par τt = σy /2 s’il obéit au critère de Tresca. 2. Tracer la frontière du domaine d’élasticité, pour Tresca et von Mises, dans le plan (σ11 –σ12 ), en supposant que toutes les autres composantes du tenseur de contrainte sont nulles. σ12

τm τt σy

σ11 σy

Les équations des ellipses sont respectivement : σ211 + 3σ212 = σ2y (von Mises) (Tresca) σ211 + 4σ212 = σ2y

234

CHAPITRE 13. ANNALES

3. Quelle est la frontière du domaine d’élasticité pour le critère de von Mises dans le plan (σ11 –σ23 ), en supposant que toutes les autres composantes du tenseur de contrainte sont nulles ? Pour le critère de von Mises, tous les cisaillements jouent le même rôle vis-à-vis de chaque contrainte axiale. La frontière du domaine d’élasticité est donc la même que sur la figure précédente ; l’équation de l’ellipse correspondante est : σ211 + 4σ223 = σ2y 4. On suppose que les seules composantes non nulles du tenseur de contrainte sont σ11 et σ23 , et que le matériau vérifie le critère de Tresca. Trouver les 3 contraintes normales principales. Indiquer les différentes expressions du critère en fonction de σ11 et σ23 dans le premier quadrant du plan (σ11 –σ23 ), en fonction des valeurs relatives de σ11 et σ23 . Conclure sur la forme du domaine d’élasticité dans le plan (σ11 –σ23 ). Les trois contraintes normales principales sont −σ23 , σ23 ,σ11 . Dans le premier quadrant, au-dessous de la première bissectrice, elles se rangent dans l’ordre −σ23 6 σ23 6 σ11 , l’expression du critère est donc : f (σ ) = σ11 + σ23 − σy ∼ Au-dessus de la première bissectrice, la composante σ11 est comprise entre −σ23 et σ23 , si bien que le critère s’écrit maintenant : f (σ ) = 2σ23 − σy ∼ La forme du critère dans le plan (σ11 –σ23 ) s’obtient ensuite par symétrie par rapport aux axes σ11 et σ23 . On obtient la courbe continue de la planche ci-dessous, sur laquelle on a également reporté, pour référence, la courbe obtenue en question 2. Contrairement au critère de von Mises, celui de Tresca fait une différence entre les divers cisaillements. σ23 τt σ11 σy

σy

5. On suppose que le matériau vérifie le critère de von Mises. On charge en traction simple jusqu’au point σ11 = σy . Indiquer si l’on est ensuite en élasticité ou en plasticité, si toutes les composantes de la vitesse de contrainte sont nulles sauf σ˙ 22 , avec (i) σ˙ 22 > 0, (ii) σ˙ 22 < 0. Lequel des deux cas n’est pas plastiquement admissible si le matériau est parfaitement plastique ? σ22 σy

σy

σ˙ 22


σ11

0

σy

σ˙ 22

σy



0

13.6. 26 MAI 2003

235

A partir du point σ11 = σy , situé sur la frontière du domaine d’élasticité : - une augmentation de la contrainte σ22 diminue la valeur du critère, et fait donc entrer dans le domaine d’élasticité. - une diminution de la contrainte σ22 augmente la valeur du critère, ce qui n’est pas plastiquement admissible si le matériau est parfaitement plastique. 6. On suppose√que le matériau √ vérifie le critère de von Mises. On charge en traction biaxiale jusqu’au point σ11 = 2σy / 3. σ22 = σy / 3. Vérifier que l’on est toujours en élasticité. Indiquer si l’on est ensuite en élasticité ou en plasticité, si toutes les composantes de la vitesse de contrainte sont nulles sauf σ˙ 22 , avec (i) σ˙ 22 > 0, (ii) σ˙ 22 < 0. σ22 σy

σ˙ 22 σ˙ 22

σy

σy

0


0

σ11 

σy

Le point de fonctionnement indiqué est l’intersection de la demi-droite d’équation σ11 = 2σ22 et de l’ellipse définissant la frontière du domaine d’élasticité, d’équation : σ211 + σ222 − σ11 σ22 = σ2y Il correspond par exemple au chargement que subit un cylindre sous pression avec «effet de fond». La pente de la tangente à cette courbe se définit comme : dσ22 2σ11 − σ22 =− dσ11 2σ22 − σ11 On a une tangente verticale au point σ11 = 2σ22 . Les deux cas (i) et (ii) produisent donc de l’écoulement plastique. 7. Le matériau vérifie le critère de Tresca. On effectue un chargement en déformation imposée depuis l’origine jusqu’à ε11 = σy /E et ε22 = −νσy /E en conservant σ33 = 0, de même que les composantes de cisaillement. En conservant le même type de pilotage, on veut réaugmenter la valeur de ε22 . Quelles sont les valeurs limites du rapport ε˙ 22 /ε˙ 11 pour le chargement soit toujours élastique ? σ22 σy

ε22

ε11

σy

(0)

(2)

(0)

(1)

(1)

σy

(a)

(2)

σy

(b)

σ11

236

CHAPITRE 13. ANNALES

Le point indiqué correspond à un état de traction simple. Il est à la limite du domaine d’élasticité. En supposant que le comportement reste élastique à partir de ce point, les composantes 11 et 22 des contraintes et des déformations doivent vérifier les équations : E ε˙ 11 = σ˙ 11 − νσ˙ 22 E ε˙ 22 = σ˙ 22 − νσ˙ 11 Il vient : σ˙ 11 =

E (νε˙ 11 + ε˙ 22 1 − ν2

σ˙ 22 =

E (νε˙ 22 + ε˙ 11 1 − ν2

Soit, en posant k = ε˙ 22 /ε˙ 11 : σ˙ 22 k+ν = σ˙ 11 kν + 1 Le domaine pour lequel le comportement est effectivement élastique correspond à un rapport σ˙ 22 /σ˙ 11 compris entre 1 et −∞ (respectivement directions (1) et (2) dans le plan des contraintes (σ11 –σ22 )), avec les signes adéquats pour chaque composante. L’examen de ces conditions conduit à la détermination du domaine dans le plan des déformations (ε11 –ε22 ) : le cas (1) fournit une pente 1, le cas (2) une pente −1/ν, tandis que, naturellement, un simple retour en compression uniaxiale redonne la pente −ν. 8. Même question que précédemment avec le critère de von Mises. La pente dσ22 /dσ22 à l’ellipse de von Mises vaut 2 au point σ11 = σy en traction simple. Les points admissibles correspondent au demi-espace supérieur. La limite admissible pour k est alors : 2−ν 1 − 2ν Les limites (1) et (2), similaires au cas précédent, sont reportées sur la figure ci-dessous. k=

σ22 σy

ε22

ε11 (0)

σy

(0)

(2)

(2) σ11

σy (1)

(1)

σy

(a)

13.7

14 juin 2004

13.7.1

Flexion de poutres

x3

(b)

2l x1

a.

13.7. 14 JUIN 2004

237 b

x3

b

e

x3

e

x2

h−e

x2

h−e

bo

bo

h

e

e

b. c. Figure 1 : Vue de la poutre, (a) de profil, (b) en section. (c) Poutre renforcée. Une poutre de longueur 2l (figure 1a) présente une section en I, comme indiqué sur la figure 1b. Elle sera sollicitée en traction, cisaillement et flexion dans le plan (x1 ,x3 ). On suppose dans un premier temps qu’elle est constituée d’un matériau homogène, de module de Young E, et de module de cisaillement µ. 1. Calculer la rigidité en flexion autour de x2 , EI. Justifier le fait que l’on retienne souvent uniquement la contribution des deux parties de largeur b. Donner la valeur approchée de EI dans ce cas, en supposant que e est suffisamment petit devant h. Le moment quadratique I par rapport à l’axe x2 se calcule selon la formule : Z Z

I=

x32 dS = 2b0

Z (h−e)/2 0

x32 dx3 + 2b

Z (h+e)/2 (h−e)/2

x32 dx3

Ceci donne donc une rigidité : EI =


Eb0 Eb (h − e)3 + (h + e)3 − (h − e)3 12 12

On constate que le terme dominant correspond à la contribution des deux parties de largeur b. Lorsque e est petit devant h, cette rigidité est approchée par la quantité Ebeh2 /2. 2. On cherche la forme que prend la poutre lorsqu’elle est simplement posée à ses deux extrémités (moment nul aux extrémités), et soumise uniquement à son propre poids. On notera p la charge correspondante par unité de longueur. On applique la théorie de Timoshenko. Rappeler les hypothèses cinématiques attachées à cette approche. L’hypothèse de base porte sur la schématisation du champ de déplacement à l’intérieur du solide : le solide est assimilé à un milieu curviligne, le champ de déplacement du milieu continu étant ensuite évalué à partir de la solution trouvée en supposant qu’une section droite initialement plane et perpendiculaire à la «ligne moyenne» ainsi définie reste plane. 3. Donner la valeur des réactions sur les supports, ainsi que la variation de l’effort tranchant T en fonction de x1 . Le poids total est égal à 2ql ; il est uniformément réparti sur toute la longueur de la poutre. Il donne naissance à deux réactions de valeur −ql sur chaque support. On obtient simplement l’effort tranchant : dT = −q dx1

T = q(l − x1 )

4. En intégrant T , et en tenant compte des conditions aux limites aux extrémités de la poutre, évaluer l’évolution du moment M en fonction de x1 . Le moment M doit être nul à chaque extrémité de la poutre. On obtient dans ces conditions :   dM x12 =T M = q lx1 − dx1 2

238

CHAPITRE 13. ANNALES 5. Calculer l’angle θ caractérisant la rotation d’une section de la poutre.

L’angle θ caractérisant la rotation d’une section de la poutre s’obtient en intégrant la quantité M/EI par rapport à x1 et en tenant compte du fait que, pour des raisons de symétrie, l’angle est nul au milieu de la poutre, soit pour x1 = l. On obtient ainsi :   M q lx12 x13 l 3 dθ = θ= − − dx1 EI EI 2 6 3 On vérifie bien que les angles obtenus en x1 = 0 et en x1 = 2l sont opposés, de valeur ±

ql 3 . 3EI

6. Trouver finalement l’expression de la flèche, en identifiant la contribution de l’effort tranchant et celle du moment de flexion. Dans quelle condition cette dernière est-elle largement prépondérante ? Donner la valeur de la flèche maximale, au centre de la poutre (point x1 = l). La flèche V s’obtient au travers de l’équation dV T = −θ + dx1 µS L’intégration de −θ fournit donc le terme V f lié au moment de flexion : Vf =

q EI

  lx3 x4 l 3 x1 − 1+ 1+ 6 24 3

Le terme provenant de l’effort tranchant est quant à lui égal à : qx1  x1  l− Vt = µS 2 Ces expressions s’annulent bien en x1 = 0 et en x1 = 2l. La flèche est maximale en x1 = l, et vaut : Vmax =

5ql 4 ql 2 + 24EI 2µS

7. Quelle est l’expression de la contrainte σ11 ? Il n’y a pas d’effort normal ; la contrainte se calcule donc simplement en fonction du moment de flexion : Mx3 qx1 x3 σ11 = = (2l − x1 ) EI 2I 8. Proposer une application numérique réaliste. On suppose que la poutre est en acier (E=210 MPa, µ=80 GPa, masse volumique ρ=7800 kg/m3 ) et que la section a pour dimensions h=80 mm, b=45 mm, b0 =3 mm, e=6 mm. La surface S de la section vaut S = 2be + b0 (h − e) = 762 mm2 La charge répartie par unité de longueur de poutre q est donnée par le produit ρgS. On peut tout exprimer en N et mm (1 MPa = 1 N/mm2 ), et on calcule successivement la charge linéique q et le moment quadratique I : – q = 7800 × 9, 81 × 762 × 10−6 = 58,306 N/m = 0,058306 N/mm, – I = 501716 mm4 . Le tableau ci-dessous donne les valeurs de V f et Vt pour différentes valeurs de l :

13.7. 14 JUIN 2004

239 l (m) 1 2 4

V f (mm) 0,012 1,937 30,990

Vt (mm) 0.00047 0.00190 0.00761

La contribution de l’effort tranchant est donc toujours négligeable, ce qui est normal dans le cas d’une poutre élancée. La flèche est sensible pour une poutre de longueur 4 m (l = 2 m), et tout à fait impressionnante pour une portée entre appuis de 8 m. 9. On suppose maintenant que la poutre est en béton. Ce matériau ne supportant pas les contraintes de traction, on le met en compression (technique du béton précontraint) en insérant dans la partie inférieure de la poutre des cables en acier que l’on met en tension (figure 1.c). On veut évaluer les modifications apportées à l’état de contrainte. Pour cela, on ne considère plus l’effet du poids propre de la poutre, que l’on pourra rajouter par superposition, mais seulement celui de la force F appliquée par le cable, au point x3 = −h de la section. On néglige la variation de section du béton liée au passage des cables. Donner la nouvelle expression du profil de contrainte dans la section. A quelle condition le béton est-il totalement en compression ? Dans ces conditions, l’effort normal est égal à −F et le moment de flexion autour de x2 est égal à Fh. La contrainte σ11 est alors obtenue en combinant l’effet de l’effort normal et du moment de flexion : F Fhx3 + S I La plus grande valeur est obtenue en surface, soit pour x3 = h, en négligeant e devant h. Le béton est totalement en compression pour une valeur de h telle que :  1/2 F Fh2 I − + 2), la variation de la contrainte dans le fil est négligeable. Si le fil subit une déformation ε, la longueur du fil est : L0 = L(1 + ε) La contrainte dans le fil est donc : σe = Avec L/lo =

√ 2 et ε = 0.02, on trouve : ∆σe =

PL(1 + ε) p 2S L2 (1 + ε)2 − lo2

PL(1 + ε) PL p − p 2 2 2 2S L (1 + ε) − lo 2S L2 − lo2

∆σe = −0.0188 σe On peut donc considérer la contrainte constante. √ 3. On considère que L/lo > 2. Ecrire la loi de comportement. Calculer la déformation totale puis l’allongement du fil à la fin du chargement de To à Tmax . Dans la première étape, il n’y a pas de déformation plastique. On a : ε˙ = ε˙ e + ε˙ th + ε˙ cp De To à As : ε˙ = ε˙ th = αT˙ PL p εAs = + α(As − To ) 2ES L2 − lo2 De As à A f : ε˙ = ε˙ th + ε˙ cp = αT˙ + δ˙z∼I εA f =

PL PL p + α(A f − To ) + δ(A f − As ) p 2 2 2ES L − lo 2S L2 − lo2

De A f à Tmax : εs =

PL PL p + α(Tmax − To ) + δ(A f − As ) p 2ES L2 − lo2 2S L2 − lo2

13.8. 6 JUIN 2005

245

L’allongement du fil est donc : ∆L = L(

PL PL p + α(Tmax − To ) + δ(A f − As ) p ) 2 2 2ES L − lo 2S L2 − lo2

4. Calculer la déformation totale puis déduire l’allongement du fil à la fin de la maintenance de T = Tmax . Dans cette deuxième étape, on a seulement la déformation plastique : ε˙ = ε˙ p Z t2  n σ dt ε f − εs = K t1  e n σ ε f = εs + (t2 − t1 ) K 5. Calculer la déformation totale puis déduire l’allongement du fil à la fin de la décharge de Tmax à To .

13.8.3

Allongement de transformation de phase d’un fil

On considère le même système et les résultats des questions 1 et 2 de l’exercice précédent. A la fin du refroidissement, le matériau subit un changement de phase. On suppose que la transformation produit une déformation de transformation telle que : 3 ε˙ pt = β(1 − z)˙z∼s 2 et une déformation de changement de phase : ε˙ cp = δ˙z∼I dont la variable z est en fonction du temps t, telle que : z = zmax (1 − exp (−(t ∗ /τ)n ))

z z max

O

t

On note par εtot la déformation totale finale de l’exercice précédent. On rappelle que : I = traceσ .1 ∼ ∼ ∼ 1 − traceσ s=σ .1 ∼ ∼ ∼ ∼ 3 Ecrire la loi de comportement qui représente la vitesse de déformation totale selon vitesse de déformation de changement de phase et vitesse de déformation de transformation. Calculer la déformation du fil en fonction du temps.

246

CHAPITRE 13. ANNALES On a : ε˙ = ε˙ pt + ε˙ cp ε˙ = (δ + β(1 − z))˙zσ tot

ε=ε

Z z(t)

+

σ(δ + β(1 − z))dz

zmax

ε = εtot + σ(δz + βz − β

z2 z(t) )|z 2 max

L’allongement final est donc : ∆L = Lo ε

13.8.4

Conséquences mécaniques des transformations de phase

On a réalisé la simulation numérique de quatre essais de traction pendant lesquels se produit un changement de phase. Dans la mesure où vous avez peu de temps pour résoudre cet exercice, on a supposé que le comportement est simplement élastique, ce qui n’est pas très réaliste d’un point de vue physique, mais pragmatique pour l’examen. On suppose que la transformation obéit à une loi de Johnson–Mehl–Avrami. Le but est d’expliquer quantitativement les phénomènes observés. Elasticity with phase transformation 1600

35s 50s 100s 200s

1400 1200 1000

sig11

800 600 400 200 0 -200 -400

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

eto11

Les essais sont réalisés en vitesse de déformation imposée, et en isotherme, de façon à atteindre une déformation de 1% en un temps t f , qui prend respectivement les valeurs 35, 50, 100 et 200s. Le modèle de la transformation comporte une première partie, de germination, pendant laquelle il n’y a aucun effet apparent au niveau macroscopique, et qui, à une température T dure un temps τg (T ). Le changement de phase lui-même débute donc lorsque cette période est achevée ; l’apparition de la nouvelle phase est quantifiée par une variable z, variant de 0 à zmax , selon l’équation suivante, pour une température donnée (t est le temps depuis le début de l’expérience, et t ∗ = t − τg ) : z = zmax (1 − exp (−(t ∗ /τ)n )) L’effet mécanique est réduit à une augmentation de volume, proportionnelle à z, de composantes δz sur la diagonale du tenseur de dilatation. Les calculs ont été effectués avec les valeurs suivantes des coefficients matériau (où E désigne le module de Young) :

E 200000

δ 0.0033

τg 20

n 2

τ 10

zmax 1

13.9. 9 JUIN 2006

247

1. Dire quelles sont les unités des différents coefficients E est en MPa, τ et τg sont en secondes, les autres coefficients sont sans unité. 2. On note respectivement σ et ε la contrainte et la déformation totale dans la direction de traction. Ecrire la loi de comportement qui relie σ, ε et z. Caractériser le décalage entre les deux droites de la figure précédente. La déformation totale est la somme de la dilatation de changement de phase et de la déformation élastique, soit ε = δz + σ/E. Les deux droites de la figure sont décalées horizontalement d’une quantité δ. 3. Exprimer la vitesse de changement de phase z˙ pendant la période de croissance (t > τg ). La dérivation de l’expression de z fournit :   (n−1)/n n z z˙ = (zm − z) −ln 1 − τ zm 4. Quelle est la condition sur t f pour que l’effet de la transformation soit invisible pendant l’essai ? Il suffit bien entendu que l’essai soit terminé avant la fin de la germination, soit t f < τg 5. Quelle est la condition sur t f pour que la courbe de traction soit toujours croissante ? Il faut s’assurer que la vitesse de contrainte reste toujours positive. Pour cela, il suffit que, pour tout ˙ z, ε − δ˙z > 0. L’expression de la dérivée de z est donnée en question 2 ; la vitesse de déformation totale est égale à 0, 01/t f . 6. Quelle est la condition sur t f pour que la contrainte passe par des valeurs négatives au cours de l’essai ? Il faut vérifier que, lorsque la vitesse de contrainte s’annule, la contrainte est exactement égale à 0. Ceci fournit une borne supérieure pour t f .

13.9

9 juin 2006

13.9.1

Homogénéisation en élasticité linéaire

Les relations de l’élasticité linéaire isotrope peuvent s’écrirent comme deux relations de proportionnalité, respectivement entre les parties sphériques et les déviateurs des tenseurs des contraintes et de déformations. σll = 3κεll si j = 2µei j (ou ∼s = 2µe∼ ) (13.1) 1. Exprimer le tenseur d’élasticité Λ (tel que σ =Λ : ∼ε en fonction de κ et µ, et des tenseurs K et J≈ ∼ ≈ ≈ ≈ tels que K : ∼ε = ≈

1 εll I 3 ∼

J≈ : ∼ε = ∼e

où ∼I est le tenseur unité du second ordre. Les composantes du tenseur des contraintes s’écrivent : 1 σi j = si j + σll δi j = 2µei j + κεll δi j 3

(13.2)

248

CHAPITRE 13. ANNALES

Par conséquent : σ = (2µJ≈ + 3κK ) : ∼ε ∼ ≈

2. Donner les expressions des composantes des tenseurs K et J≈ , notées respectivement Ki jkl et Ji jkl . ≈ Les composantes des tenseurs K et J≈ sont : ≈ Ki jkl = Ji jkl

=

1 3 δi j δkl 1 2 (δik δ jl

+ δil δ jk ) − 31 δi j δkl = Ii jkl − Ki jkl

3. Donner les valeurs numériques des invariants Kii j j , Ki ji j , Jii j j , Ji ji j Les relations de la question précédente permettent d’établir : Kii j j = 3

Ki ji j = 1

Ji ji j = 5

Jii j j = 0

On veut maintenant utiliser les résultats de la partie précédente pour trouver les propriétés homogènes équivalentes d’un matériau constitué de fibres orientées de façon aléatoire, la probabilité de présence étant uniforme pour toutes les directions de l’espace. Chaque fibre est définie par sa direction n f et son module d’élasticité E f . On suppose que le comportement de ces fibres est uniaxial, si bien que, pour une f et de déformation, ε f s’expriment simplement : fibre de direction n f , les tenseurs de contraintes, σ ∼ ∼ f σ = σf nf ⊗nf ∼

εf = εf nf ⊗nf

∼

(13.3)

avec σ f = E f ε f . f On note Λ le tenseur d’élasticité de la fibre f : ≈ f f σ =Λ : εf ∼ ≈

(13.4)

La fraction volumique de fibres est f. On applique sur l’assemblage une déformation homogène aux frontières, représentée par le tenseur ∼ε. On se propose d’évaluer le tenseur du milieu homogène équivalent Λ . ≈ f f 4. Montrer que Λ se met sous la forme Λ = Ef nf ⊗nf ⊗nf ⊗nf . ≈ ≈ f On va vérifier que la forme suggérée pour le tenseur Λ convient. Sous forme indicielle, on a : ≈ f

f

f

f

σi j = E f ni n j nk nl εkl f f f f f f = E f ni n j nk nl ε f nk nl f f = σ f ni n j qui correspond à la forme du tenseur donné. 5. Justifier l’expression suivante, dans laquelle < . > représente l’opération de moyenne : f Λ = f ≈ ≈

On effectue l’opération de moyenne sur le volume des fibres. Le terme multiplicatif f vient ensuite du rapport entre le volume de matière et celui de l’élément de volume total.

13.9. 9 JUIN 2006

249

f > si on connait < n f ⊗ n f ⊗ n f ⊗ n f >. Comme la distribution des 6. On obtiendra facilement < Λ ≈

orientations est aléatoire, ce dernier tenseur est nécessairement un tenseur isotrope, que l’on pourra identifier à celui qui a été trouvé à la question 1, avec des valeurs de µ et κ à identifier. Déterminer ces deux valeurs en calculant les deux invariants < ni ni n j n j > et < ni n j ni n j >. On calcule les invariants Λii j j et Λi ji j : Λii j j = 2µJii j j + 3κKii j j = 9κ = Λi ji j = 2µJi ji j + 3κKi ji j = 10µ + 3κ = On en déduit : κ=

f Ef 9

µ=

f < ni ni n j n j > = f < ni ni n j n j > =

f f

f Ef 15

8. Calculer enfin le module de Young et le coefficient de Poisson du milieu homogène équivalent en utilisant les expressions : 1 1 1 3k − 2µ = + ν= (13.5) E 3µ 9k 6k + 2µ Le module de Young vaut donc E = f E f /6. Le coefficient de Poisson est indépendant de f et de E f , il vaut 0,25.

13.9.2

Viscoplasticité cristalline

En plasticité cristalline, le glissement cristallographique est un mécanisme élémentaire produisant de la déformation plastique par translation de réseau atomique selon certains plans, dits plan de glissement, selon certaines directions, les directions de glissement. Un système de glissement s est ainsi caractérisé par le couple (ns , ms ), le premier vecteur déterminant le plan de glissement, le second la direction de glissement. On va dans un premier temps étudier la forme de la déformation plastique ou viscoplastique attachée à un système de glissement, puis on cherchera à caractériser le fluage d’un monocristal de glace. Dans l’un et l’autre cas, on se place dans le formalisme des petites perturbations. 1. On suppose qu’un système de glissement s reste dans son domaine élastique si la valeur absolue de la cission τs sur ce système reste inférieure à une certaine valeur critique τc : f s (τs ) = |τs | − τc

(13.6)

s et ms = 1 (ns ms + ns ms ). avec τs = σ :m ij j i 2 i j ∼ ∼ Comparer τs avec le cisaillement en direction ms dans la facette de normale ns .

La cission τs correspond au cisaillement en direction ms dans la facette de normale ns . 2. En reprenant le formalisme développé dans le cours de plasticité indépendante du temps classique, indiquer quelles sont maintenant les conditions correspondant au domaine d’élasticité, à la décharge élastique et à l’écoulement plastique. Donner l’expression géométrique de ∼ε˙ p en introduisant un multiplicateur plastique. Le domaine élastique est caractérisé par f s < 0, la décharge élastique par f s = 0 et f˙s < 0, l’écoulement plastique par f s = 0 et f˙s = 0. L’expression de ∼ε˙ p est donnée par s

˙s ∂f ε˙ p = λ ∼ ∂σ ∼ ˙ s est un multiplicateur plastique. où λ

250

CHAPITRE 13. ANNALES

3. Dans toute la suite, on travaillera en viscoplasticité, en postulant l’expression suivante pour le potentiel viscoplastique du système s :  s n+1 K f s Ω(τ ) = n+1 K où K et n sont des paramètres matériau caractérisant la viscosité et où < . > désigne la partie positive : < x >= max(x, 0). A quelle condition a-t-on de l’écoulement viscoplastique, et quelle est l’expression de celui-ci ? L’écoulement viscoplastique a lieu lorsque f s > 0. L’expression de l’écoulement est obtenue en utilisant la relation ∂Ω/∂σ . On obtient ainsi : ∼  s n s ∂Ω ∂ f s f ∂f ∂Ω p = s = ε˙ = ∼ ∂σ ∂ f ∂σ K ∂σ ∼ ∼ ∼ Comme s f s = |τs | − τc = |m :σ | − τc ∼ ∼

Il vient : p

ε˙ =

∼



fs K

n

s m signe(τs ) ∼

4. Montrer que le mécanisme étudié représente bien un écoulement plastique ou viscoplastique sans variation de volume. s) = Le mécanisme étudié s’effectue bien sans variation de volume puisque trace(˙∼ε p ) = 0, car trace(m ∼ 0 5. On définit un système de glissement dans le repère du cristal (X1 , X2 , X3 ) par :     0 1 0 0    0 0  m = n = 1 0 0 dans le même repère. Calculer τ0 pour un tenseur appliqué σ. Calculer l’expression du tenseur m ∼ ∼ 0 se calcule grâce à la relation ms = 1 (ns ms + ns ms ). On obtient : Le tenseur m ij j i 2 i j ∼   0 0 1/2 0  0 0 0  m = ∼ 1/2 0 0

La cission τ0 se déduit de la relation τ0 = σ :m et est égal à σ13 . ∼ ∼ 6. Tracer la forme de la surface de charge dans le plan (σ13 − σ23 ), le tenseur des contraintes étant exprimé dans le repère (X1 , X2 , X3 ). La surface de charge s’écrit f s (τs ) = |σ13 | − τc . Par conséquent, sa forme dans le plan (σ13 − σ23 ) est constituée par deux droites d’équations σ13 = ±τc . 7. La glace est un matériau de structure hexagonale compacte qui glisse selon trois systèmes dans le plan (X1 , X2 ), appelé plan de base. Outre le système s0 présenté en question 5, on observe les systèmes s1 et s2 tels que :     1/2 −1/2 √ √ n1 = n2 = n0 m1 =  3/2  m2 =  3/2  0 0

13.9. 9 JUIN 2006

251

Les directions de glissement font un angle (s.π/3) avec le premier axe cristallographique X1 (s=0,1,2). Calculer m et m dans le repère cristallographique. ∼2 ∼3 Dans le repère cristallographique, on a :  0 0 1/4 √ 1 3/4  m =  0 √0 ∼ 1/4 3/4 0 

 0 0 −1/4 √ 2 3/4  m = 0 ∼ √0 −1/4 3/4 0 

8. Donner la forme de la surface de charge, formée par les 3 systèmes, dans le plan (σ13 − σ23 ). La surface de charge est définine par les trois fonctions de charges f s , définies pour s = 0, 1, 2 : f 0 (τs ) = |σ13 | − τc √ f 1 (τs ) = |σ13 /2 + 3σ23 /2| − τc √ f 2 (τs ) = | − σ13 /2 + 3σ23 /2| − τc Par conséquent, la forme de la surface de charge susceptible d’activer les 3 systèmes est la suivante : σ 23 2 τc / 3

−2τ c

−τ c

τc

τc

σ 13

Surface de charge pour les trois systèmes

9. On fabrique un cylindre de glace de section circulaire de rayon R, formé d’un seul monocristal, l’axe du cylindre étant confondu avec X3 , et le repère de charge étant confondu avec le repère cristallographique. On soumet ce cylindre à une torsion autour de X3 . On admet que l’état de contraintes est indépendant de X3 . On repère un point M de la section circulaire en coordonnées polaires, par un couple (r, ϕ), l’angle ϕ étant nul sur l’axe X1 . Dans ce cas, les seuls termes non nuls du tenseur des contraintes sont : σ13 = σ31 = −T sin ϕ

σ23 = σ32 = T cos ϕ

où T désigne l’intensité du cisaillement, qui est proportionnelle à r et à l’angle de torsion en élasticité. On considère alors les écoulements viscoplastiques à la sortie du domaine d’élasticité, en négligeant les éventuelles redistributions de contraintes liées à l’écoulement viscoplastique. En traitant par exemple le cas du système s0 , dire quels sont les endroits de la section où commence le glissement lorsqu’on augmente progressivement T ? Exprimer T en fonction de τc à cet instant. On considère le cas du système s0 . Le critère ne fait intervenir que la composante σ31 du tenseur, et le seuil est atteint lorsque τc = |T sin ϕ|. Les points les plus critiques sont donc ceux pour lesquels le sinus vaut ±1. Par conséquent, le glissement apparaît au niveau du rayon extérieur du cylindre, au point G tel que ϕ = −π/2 et au point diamétralement opposé. Par raison de symétrie, on trouve finalement que l’écoulement viscoplastique apparaît en six points de la circonférence, qui sont distribués tous les 60 degrés, comme l’indique la figure suivante. Le seuil est atteint dès que T = τc .

252

CHAPITRE 13. ANNALES X2








3 X 2 

G



1



1

Structure de la glace : les 3 systèmes de glissement

10. Si on utilise une valeur T0 de T plus grande que la valeur de la question précédente, calculer en fonction de T et de τc l’élargissement de la zone plastique. La taille de la zone plastique est caractérisée par un angle β, tel que la cission critique τc soit atteinte en bord de zone. En considérant par exemple le système de glissement s0 , la condition s’écrit :   τc T0 sin(β) = τc soit β = arcsin T0 L’étendue de la zone plastique est donnée par l’angle α =

π − β. 2

11. En déduire les conditions sur T pour qu’il y ait, en chaque point de la circonférence du cylindre : – au moins un système actif – deux systèmes actifs. Pour qu’un système soit actif, il suffit que les zones plastiques se rejoignent, ce qui est réalisé lorsque √ l’angle α est égal à π/6, soit β = π/3. Ceci correspond à une valeur du cisaillement T1 de T1 = 2τc / 3. Pour obtenir partout deux systèmes actifs, l’angle α doit être égal à π/3, soit β = π/6, ce qui correspond à une valeur T2 = 2τc . 12. En considérant l’état de contrainte au point caractérisé par ϕ : 

 0 0 −T sin ϕ  0 0 T cos ϕ  −T sin ϕ T cos ϕ 0 Calculer successivement, pour chaque système s0 , s1 , s2 : – les cissions τ0 , τ1 , τ2 – les vitesses de glissement v˙0 , v˙1 , v˙2 p p – les composantes des vitesses de déformations viscoplastiques ε˙ 13 , ε˙ 23 p 2 p 2 1/2 – l’expression de la norme de la vitesse de déformation plastique k∼ε˙ p k = 43 ((ε˙ 13 ) + (ε˙ 23 ) ) s (s = 0, 1, 2). Les vitesses de glissement Les cissions sont calculées à partir de la relation τs = σ :m ∼ ∼ n vs sont déterminées par la relation h f s /Ki signe(τs − τc ). Enfin, les composantes des vitesses de déformations viscoplastiques se calculent à l’aide de la formule ∼ε˙ p = ∼ε˙ 0p + ∼ε˙ 1p + ∼ε˙ 2p . On obtient les résultats suivants :   π π τ0 = T sin ϕ τ1 = T sin ϕ − τ2 = T sin ϕ + 3 3  s n τ − τc v˙s = avec s = 0, 1, 2 K

13.10. 4 JUIN 2007

253  n  n  n 1 |τ0 | − τc 1 |τ1 | − τc 1 |τ2 | − τc = + − 2 K 4 K 4 K √  1 n √  2 n 3 |τ | − τc 3 |τ | − τc p + ε˙ 23 = 4 K 4 K

p ε˙ 13

13.10

4 juin 2007

13.10.1

Etude de modèles de fatigue à grand nombre de cycles

Un élément de volume de matière est sollicité en régime de fatigue à grand nombre de cycles (High Cycle Fatigue, ou HCF) lorsqu’on lui applique un chargement cyclique de faible amplitude, en général nettement en dessous de la limite d’élasticité. Dans ces conditions, des microfissures peuvent se développer en son sein. Si le chargement est suffisamment faible, ces petites fissures, dont la taille est comparable à celle de la microstructure environnante (fibres pour les matériaux composites, grains pour les matériaux métalliques), vont voir leur progression stoppée après quelques dizaines de micromètres au plus. On peut donc appliquer un très grand nombre de cycles, de l’ordre de 107 , sans rompre l’élément de volume. Au contraire, si l’une des fissures s’échappe et devient géométriquement significative, elle conduit à la rupture de l’élément de volume. La frontière entre les deux cas correspond à la limite de fatigue, qui est une donnée fondamentale dans la plupart des opérations de conception des pièces mécaniques. Dans la mesure où les sollicitations appliquées sont en général complexes, il faut être capable de définir cette limite de fatigue sous conditions de chargement multiaxial, donc définir un critère de fatigue. Cet exercice se propose d’étudier deux critères de fatigue, formulés respectivement par Sines (en 1955) et Crossland (en 1956). Les deux modèles définissent une valeur de critère, fs pour le critère de Sines, fc pour le critère de Crossland, fonctions à valeur scalaire qui dépendent de l’historique du tenseur de contraintes sur un cycle. La limite de fatigue est atteinte dès que cette valeur dépasse zéro. On pose : 1 fs (σ ) = ∆J + bs Imoy − σl ∼ 2 1 ) = (1 − bc )∆J + bc Imax − σl fc (σ ∼ 2

Dans ces formules, ∆J/2 est une amplitude de cisaillement octaédrique, calculée en prenant le maximum de la variation de l’invariant de von Mises pour tous les couples d’instants du cycle (ti , t j ), Imax le maximum de la trace du tenseur des contraintes au cours du cycle, Imoy la moyenne arithmétique de la trace du même tenseur. On a donc : ∆J =Maxti ,t j J(σ (t ) − σ (t j )) ∼ i ∼  1/2 3 J(σ )= s:s (avec ∼s déviateur de σ ) ∼ ∼ 2∼ ∼ et : Imax =Maxti I(σ (t )) ∼ i
1 (t )) + Mint j I(σ (t j )) Imoy = Maxti I(σ ∼ i ∼ 2 Les paramètres bs , bc et σl , dépendent du matériau considéré, et doivent être identifiés en utilisant des résultats expérimentaux.

254

CHAPITRE 13. ANNALES

1. On désigne : – par A un chargement alterné à contrainte imposée en traction-compression : seul le terme σ11 du tenseur de contraintes est non nul ; le chargement varie entre −σmax et σmax ; – par B un chargement répété à contrainte imposée en traction-compression : seul le terme σ11 du tenseur de contraintes est non nul ; le chargement varie entre 0 et σ0max ; – par C un chargement alterné à contrainte imposée en cisaillement : seuls les termes σ12 = σ21 du tenseur de contraintes sont non nuls ; le chargement varie entre −τmax et τmax . Pour chacun de ces chargements, donner dans un tableau les valeurs de ∆J/2, Imoy , Imax en fonction des caractéristiques du chargement, et en déduire les expressions de fs et fc . ∆J/2

Imoy

Imax

fs

fc

A

σmax

0

σmax

σmax − σl

σmax − σl

B

σ0max /2

σ0max /2

σ0max

C

√ τmax 3

0

0

1 + bs − σl 2 √ τmax 3 − σl

σ0max

1 + bc − σl 2 √ (1 − bc )τmax 3 − σl σ0max

2. Expliquer pourquoi on ne peut pas identifier le critère de Sines avec des essais de type A et C uniquement, alors que l’opération est possible avec le critère de Crossland. Préciser le sens physique du paramètre σl . Les expressions du critère de Sines en traction alternée et en cisaillement alterné ne font pas intervenir le paramètre bs . Celui-ci ne peut donc pas être déterminé si on ne dispose que d’essais de type A et C . L’autre conséquence de cette particularité est que le rapport des limites de fatigue prévues par le critère √ pour A et C est fixe, et égale à 3. Si cette propriété n’est pas vérifiée par le matériau que l’on considère, le critère de Sines ne pourra pas approcher la donnée expérimentale. Au contraire, le paramètre bc est présent dans l’expression du critère de Crossland pour C , ce qui permet d’étalonner totalement le critère. Les deux critères ont la même expression dans le cas A : le paramètre σl correspond à la limite de fatigue en traction/compression alternée lorsque le rapport R = σmax /σmin vaut −1. 3. On réalise des essais de type A et B , qui permettent d’obtenir expérimentalement les valeurs des contraintes maximales σl et σ0l caractérisant respectivement la limite de fatigue dans chaque cas. Exprimer les paramètres bs et bc en fonction de σl et σ0l . On vient de voir que chacun des critères est étalonné pour redonner directement σl pour le cas A . L’utilisation de la donnée expérimentale obtenue dans le cas B permet d’obtenir la valeur des paramètres bs et bc , qui ont la même expression. On trouve ainsi pour bs : σ0l

1 + bs − σl =0 2

si bien que : bs =

2σl − σ0l σ0l

Les critères s’expriment donc finalement : ∆J + (2σl − σ0l )Imoy − σl σ0l 2 ∆J fc =2(σ0l − σl ) + (2σl − σ0l )Imax − σl σ0l 2 fs =σ0l i

13.10. 4 JUIN 2007

255

On retrouve le fait que les deux critères sont équivalents lorsque 2σl = σ0l , puisqu’il n’y a pas d’influence de la contrainte moyenne dans ce cas. 4. Calculer en fonction de σl et σ0l la limite de fatigue en cisaillement alterné prévue par chacun des critères. On a déjà vu que la valeur τls prévue par le critère de Sines est : √ τls 3 = σl Pour le critère de Sines, la valeur est reliée à la fois à σl et à σ0l : √ τlc 3 =

σl σ0l 2(σ0l − σl )

5. On suppose que σl =130 MPa, et σ0l =200 MPa. Tracer la frontière du critère de Sines dans un plan où l’on portera respectivement en abscisse et en ordonnée Imoy et ∆J/2. Placer sur cette frontière les points représentatifs des chargements de type A , B et C . Les valeurs précédentes conduisent à : fs =

∆J + 0, 3Imoy − 130 2

La courbe représentative dans le plan (Imoy , ∆J/2) est donc une droite de pente −0, 3 et d’ordonnée à l’origine 130 MPa, la zone «dangereuse» se situant au-dessus de cette courbe.

140

∆J/2 (MPa)

A, C 120

B

100

80 0

50

Imoy (MPa)

100

150

6. Reprendre la question précédente pour le critère de Crossland, dans le plan Imax –∆J/2. Les valeurs précédentes conduisent à : fs = 0.7

∆J + 0.3Imax − 130 2

Dans le plan (Imax , ∆J/2), la courbe de fonctionnement est donc la droite d’équation : ∆J = 185.7 − 0.4286Imax 2

256

CHAPITRE 13. ANNALES

200

C

160

∆J/2

A

120

B 80 0

40

80

Imax

120

160

200

7. Quelles valeurs de τ0l en cisaillement répété (entre 0 et τmax ) prévoient chacun des critères ? Aucun des deux critères ne prévoit d’influence du cisaillement moyen sur la limite de fatigue, ce qui correspond d’ailleurs aux observations expérimentales. En conséquence, l’amplitude de contrainte de cisaillement acceptable en chargement de cisaillement répété est la même que celle qui est acceptable en chargement alterné : τ0l = 2τl 8. Quelles valeurs de limite de fatigue prévoient chacun des critères en traction biaxiale, pour des chargements alternés (Σl ), et pour des chargements répétés (Σ0l ) (les contraintes σ11 = σ22 variant respectivement entre −σmax et σmax , ou entre 0 et σ0max ) ? On calcule les valeurs de ∆J/2, Imoy et Imax et on les substitue dans les expressions des critères déduites en A.3 : ∆J/2

Imoy

Imax

Sines

Crossland

Σl

σmax

0

2σmax

σl

σ0l /2

Σ0l

σ0max /2

σ0max

2σ0max

2σl σ0l 4σl − σ0l

σl σ0l 3σl − σ0l

L’application numérique donne alors : – Sines : Σl = 130 MPa, Σ0l =162.50 MPa ; – Crossland : Σl = 100 MPa, Σ0l =136.84 MPa.

13.10.2

Poutre soumise à son propre poids

On considère une poutre dont la section S, située dans le plan x2 x3 , est symétrique par rapport aux axes x2 et x3 ; elle a pour longueur 2L, et sa ligne neutre est confondue avec l’axe x1 (−L 6 x1 6 L). Elle est soumise à son propre poids — on note ρ la masse volumique et −ge3 l’accélération de la pesanteur, si e3 est le vecteur unitaire de l’axe 3 — et simplement posée sur deux appuis simples, situés respectivement en −l et +l (avec l < L). On note par I le moment quadratique principal autour de x2 et par E le module d’Young. 1. Caractériser l’effort extérieur réparti sur la poutre, que l’on notera p. Quelle est son unité ?

13.10. 4 JUIN 2007

257

L’effort réparti sur la poutre n’est dû qu’à son poids et s’exprime en N/m. Son intensité est donnée par : p = ρgS 2. Ecrire les équations qui permettent de trouver successivement l’effort tranchant T , le moment de flexion M, l’angle de rotation des sections de la poutre θ et la flèche v, dans le cadre de la théorie de Timoshenko. Dans la cadre de la théorie de Timoshenko, on a les relations suivantes : T,1 + p =0 M θ,1 = EI

M,1 − T =0 T v,1 = − θ µS

3. Définir l’ensemble des conditions aux limites, en indiquant en particulier à quels endroits T , M, θ et V sont nuls. La poutre étant en appui simple, l’effort tranchant T est nul à ses extrémités (en x1 = ±L). Le moment de flexion M est lui aussi nul aux extrémités (M(−L) = M(L) = 0) et devra être continu au niveau des appuis. L’angle de rotation θ s’annule au milieu de la poutre, au niveau de la flèche maximale θ(L) = 0 et sera continu au niveau des appuis. Enfin, la flèche V sera nulle au niveau des appuis (V (±l) = 0). 4. Résoudre le système d’équations et donner la valeur de la flèche au centre de la poutre. Comment celle-ci varie-t-elle en fonction du rapport l/L ? Il suffit de calculer une demi-poutre pour évaluer la flèche, de x1 = −L à x1 = 0. Le calcul de l’effort tranchant donne : x1 ∈ [−L, −l] : T (x1 ) = −p(x1 + L) x1 ∈ [−l, 0] : T (x1 ) = −px1

Où l’on vérifie qu’en x1 = −l il y a une discontinuité d’amplitude pL correspondant à la réaction de l’appui. On en déduit le moment fléchissant : x12 L2 + Lx1 ) − p 2 2 x12 L2 x1 ∈ [−l, 0] : M(x1 ) = −p + p(lL − ) 2 2

x1 ∈ [−L, −l] : M(x1 ) = −p(

On peut ensuite intégrer l’angle de rotation θ – il suffira de l’intégrer pour x1 ∈ [−l, 0] pour calculer la flèche maximale :   x13 1 L2 x1 ∈ [−l, 0] : θ(x1 ) = −p + px1 (lL − ) EI 6 2 On dispose enfin de tous les éléments pour évaluer la flèche. On trouve alors : (l 2 − x12 ) p x1 ∈ [−l, 0] : V1 (x1 ) = p + 2µS EI



 x14 − l 4 (l 2 − x12 ) L2 − (lL − ) 24 2 2

258

CHAPITRE 13. ANNALES

La constante d’intégration de cette dernière équation donne l’expression de la flèche maximum pour x1 = 0, à savoir :  4  pl 2 p l2 L2 l Vmax = + − + (lL − ) 2µS EI 24 2 2 Selon la valeur de l, la déformée de la poutre change de convexité et donc la flèche de signe. Le point d’équilibre –flèche nulle– est obtenu pour une valeur l0 de l solution de 0=

l2 Ll L2 1 − + − 2µS 24EI 2EI 4EI

Si on néglige la contribution de l’effort tranchant (terme 1/2µS), on trouve plus simplement : √ l0 = 6 − 30 ≈ 0.523 L Lorsque les appuis sont rapprochés (rapport l/Ls inférieur à la valeur ci-dessus), le mouvement du milieu de la poutre est dans la direction opposée à celle définie par la pesanteur.

13.10.3

Etude de l’écrouissage latent x2 x’2

x2

x’1

x’2 x1

x’1

x1

a. Précisaillement b. Traction x10 c. Traction x20 Figure 1 : Les différents chargements imposés, (a) préchargement en cisaillement sur la plaque ; (b), (c) traction sur spécimens redécoupés suivant x10 ou x20 Au cours des procédés de mise en forme, les matériaux peuvent être sollicités suivant des trajets de chargement complexes. On étudie ici l’exemple d’une procédure expérimentale où interviennent des chargements en cisaillement et traction, et qui permet de caractériser l’écrouissage latent, ou écrouissage produit dans un mode de chargement par un chargement antérieur. Dans le cas étudié, le chargement initial est un cisaillement, réalisé sur un montage de double cisaillement, au moyen duquel deux plaques sont sollicitées en déformation imposée monotone selon la composante 12 jusqu’à ε12 = γm /2 (fig.1a), dans le repère (x1 x2 ) de vecteurs directeurs e1 et e2 . Dans ce repère, on suppose que 12 et 21 sont les seules composantes non nulles des tenseurs de déformation et de contrainte. On redécoupe ensuite de petits spécimens, respectivement selon les directions x10 et x20 , dont les vecteurs directeurs e01 et e02 sont tels que (e1 ,e01 )=π/4, et (e2 ,e02 )=π/4. Le but du problème est de comprendre les réponses au cours des étapes (b) et (c) du chargement, et leurs différences éventuelles. Dans l’ensemble du problème, on se place dans une hypothèse de contrainte plane, si bien que les composantes 13, 23 et 33 du tenseur de contraintes sont nulles. Le comportement élastique est isotrope, caractérisé par le module d’Young E, le coefficient de Poisson ν, ou le module de cisaillement µ = E/(2(1 + ν)). Le comportement plastique sera considéré successivement comme : – isotrope linéaire, avec un critère dépendant de la variable scalaire R telle que : f (σ , R) = J(σ ) − R − σy ∼ ∼

13.10. 4 JUIN 2007

259

dans lequel σy désigne la limite d’élasticité initiale, et où R dépend linéairement de la déformation plastique cumulée p au travers du module d’écrouissage H :  R(p) = H p

avec

p˙ =

2 p p ε˙ : ε˙ 3∼ ∼

1/2

– cinématique linéaire, avec un critère dépendant de la variable tensorielle X∼ telle que : f (σ , X ) = J(σ − X∼ ) − σy ∼ ∼ ∼ dans lequel σy désigne la limite d’élasticité initiale, et où X∼ dépend linéairement de la déformation plastique ∼ε p au travers du module d’écrouissage H : 2 X∼ = Hε∼ p 3 Dans chaque cas, la vitesse de déformation plastique est portée par la normale au domaine d’élasticité, ˙ par : n∼ = ∂ f /∂σ , et s’exprime en fonction du multiplicateur plastique λ ∼ ˙ ε˙ p = λn ∼

∼

avec

˙ ˙ = n∼ : σ ∼ λ H

Intégration du modèle dans le repère (x1 x2 ) 1. On se place dans le repère (x1 x2 ), et on considère le comportement plastique isotrope linéaire. Donner successivement les expressions du déviateur ∼s , de p l’invariant de von Mises J, de la normale n∼ et de la composante ε˙ 12 du tenseur vitesse de déformation plastique. On utilisera la notation σ12 = τ. On a ici :   0 τ 0 s=σ =  τ 0 0 ∼ ∼ 0 0 0 √ J = 3τ √ 3 s n∼ = 2τ ∼ √ ˙ = 3 τ˙ λ H 3˙ τ p ε˙ 12 = 2H

√ 2. Intégrer l’expression précédente jusqu’à la valeur τm de τ (on suppose que τm 3 > σy ) et donner la valeur de déformation plastique atteinte. La déformation plastique démarre lorsque f (σ ) = 0, c’est-à-dire ici quand τ = ∼ p ε12

3 = 2H



σy τm − √ 3

σ √y . 3

Il vient alors :



3. Calculer à ce point la valeur de la déformation élastique, et en déduire la relation entre τm et γm .

260

CHAPITRE 13. ANNALES La déformation élastique pour un corps isotrope est donnée par : ∼εe =

ici :

ν 1+ν σ − trσ I . On a donc E ∼ E ∼∼

1+ν τm E La déformation totale γm est la somme des contributions élastique et plastique. Il vient alors :   σy 2(1 + ν) 3 γm = τm + τm − √ E H 3 εe12 =

4. Refaire le travail en considérant maintenant le cas de l’écrouissage cinématique linéaire. Que remarque-t-on en ce qui concerne la relation contrainte–déformation ? On a :

 p 0 τ − 2Hε12 /3 0 p 0 0 σ − X∼ = τ − 2Hε21 /3 ∼ 0 0 0 

d’où : J(σ − X∼ ) = ∼

√

p 2Hε12 3 τ− 3





La composante 12 du tenseur normal s’écrit : √ n12 =

3 2

Le multiplicateur plastique s’écrit :

√ ˙ = 3˙τ λ H d’où l’on déduit la composante 12 du tenseur de vitesse de déformation plastique : p ε˙ 12 =

3˙τ 2H

La relation contrainte déformation est la même que dans le cas de l’écrouissage isotrope. Intégration du modèle dans le repère (x10 x20 ) Comme les trajets du deuxième niveau s’expriment de façon simple dans le repère (x10 x20 ), on va maintenant se placer dans ce même repère pour représenter le chargement de précisaillement du premier niveau. On continuera d’appeler σi j les composantes du tenseur de contraintes. Ainsi σ11 est maintenant la contrainte normale sur la facette de normale e01 . De même, εi j et εipj sont respectivement les composantes des tenseurs de déformation et de déformation plastique. 5. Donner dans (x10 x20 ) les valeurs de σi j correspondant au cisaillement τ dans (x1 x2 ). On cherchera pour cela les contraintes normales principales du tenseur de contraintes, et les directions principales associées. Les contraintes normales principales de σ sont τ et −τ, respectivement associées aux directions ∼ principales (1, 1, 0) et (1, −1, 0). Dans (x10 , x20 ) le tenseur des contraintes s’écrit donc :   τ 0 0 0 −τ 0 0 0 0

13.10. 4 JUIN 2007

261

6. Ecrire la relation entre σ11 et ε11 lorsque l’on est encore en régime élastique. En régime élastique on a : 1+ν ε11 = σ11 E 7. Refaire dans le repère (x10 x20 ) les calculs de la question C.1 pour le cas de l’écrouissage isotrope linéaire. On retrouve les mêmes résultats que précédemment, à savoir : √ J = 3τ √ 3 s n∼ = 2τ ∼ √ ˙ = 3 τ˙ λ H 3˙τ p ε˙ 11 = 2H

p 8. Intégrer la relation de comportement plastique et calculer ε11 en fonction de σ11 . Exprimer les valeurs maximales des contraintes et des déformations plastiques en fonction de τm . √ 3 p τ˙ , la plastification commençant pour f = 0, c’est-à-dire τ = σy / 3, on trouve : On a : ε˙ 11 = 2H   σy 3 pm τm − √ ε11 = 2H 3 p C.10. Tracer dans le plan (ε11 –σ11 ) la courbe représentative du premier niveau de chargement, et la comparer avec la courbe qui serait obtenue en traction simple. Dans le cas du cisaillement pur, on a donc :

σ11 =

σy 2H p ε11 + √ 3 3

Et dans le cas de la traction simple : p σ11 = Hε11 + σy

σ11

Traction σy

0

0

Cisaillement

ε11

262

CHAPITRE 13. ANNALES

11. Caractériser la position du domaine d’élasticité après le préchargement de cisaillement. En déduire, sans faire les calculs, la forme des courbes caractérisant les chargements de traction selon les directions x10 ou x20 . Si on oublie l’histoire lors du redécoupage des petits spécimens dans la grande plaque (donc qu’on remet à zéro la déformation plastique dans le modèle), y a-t-il une différence entre les tractions selon x10 et x20 ? Après le préchargement, le domaine d’élasticité (de rayon initial σy ) s’est dilaté dans toutes les directions et son nouveau rayon vaut H p + σy . Le tenseur de déformation plastique n’a que deux termes p p non nuls, ε11 et ε22 , avec :   σy 3 p p ε11 = −ε22 = τm − √ 2H 3 La déformation cumulée pm en fin de préchargement vaut donc : √   σy 2 p 3 pm = √ ε11 = τm − √ H 3 3 Les courbes de traction suivant les directions x10 et x20 auront la même allure : tout d’abord une déformation purement élastique jusqu’à σ = σy + H pm puis un régime élasto-plastique de pente H+E HE dans le repère (ε11 , σ11 ). Si on oublie l’histoire du matériau, celui-ci étant isotrope, la traction suivant les directions x10 et x20 sont équivalentes. 12. Que devient l’ensemble des conclusions précédentes si l’on considère maintenant le comportement cinématique linéaire ? Dans le cas du comportement cinématique linéaire, le rayon du domaine d’élasticité ne varie pas, ni sa forme, mais son centre subit une translation suivant les directions de sollicitation, proportionnelle au tenseur de déformation plastique. Dans le cas présent, cela résultera en une augmentation de la limite élastique dans la direction x10 et une diminution dans la direction x20 .

13.11

9 juin 2008

13.11.1

Optimisation du chemin de déformation pour le planage d’une tôle

Pour planer une tôle métallique mince isotrope située dans le plan (x1 , x2 ), on souhaite exercer un état de contrainte uniaxial A tel que σ11 = σo , qui dépasse la limite d’élasticité initiale du métal, σy . Pour atteindre cet état de contrainte, deux trajets sont techniquement envisageables. Le premier consiste à cisailler la tôle pour atteindre l’état B, tel que σ11 = σo /2, σ22 = −σo /2, σ12 = 0, puis à rejoindre l’état A. Le second consiste à atteindre l’état C, tel que σ11 = σo , σ22 = σo /2, σ12 = 0, puis à rejoindre l’état A. Tous les trajets sont rectilignes dans l’espace des contraintes. Le comportement du matériau est élasto-plastique indépendant du temps, avec une élasticité isotrope caractérisée par le module de Young E et le coefficient de Poisson ν, et un comportement plastique à écrouissage isotrope associé à un critère de Tresca. La fonction de charge f s’écrit donc, en fonction des contraintes normales principales (en supposant σ3 6 σ2 6 σ1 ) : f (σ , R) = σ1 − σ3 − σy − R ∼ L’écrouissage est supposé linéaire, de module plastique H ; il s’exprime en fonction de la déformation plastique cumulée p par R = H p. L’objectif de cet exercice est de sélectionner le trajet qui minimise la variation d’épaisseur de la tôle après décharge.

1. Tracer la frontière du domaine d’élasticité initial dans le plan σ11 –σ22 , en supposant que toutes les autres composantes sont nulles.

13.11. 9 JUIN 2008

263

La frontière du domaine d’élasticité initial correspondant au critère de Tresca dans le plan σ11 –σ22 , toutes autres composantes du tenseur des contraintes étant nulles, est reportée en figure 13.1a. 2. Donner la position du domaine d’élasticité final pour chacun des trajets OBA et OCA, ainsi que les trajets de chargement correspondants. Les trajets de chargement sont constitués chacun de deux segments de droite. L’écrouissage étant de nature isotrope, le domaine d’élasticité va se dilater sans translation de son centre jusqu’au point le plus extrême du trajet de chargement, vis-à-vis du critère, comme le montre la figure 13.1a. 3. Déterminer toutes les composantes du tenseur de déformation plastique au cours du trajet OBA. Sur le trajet OBA, le segment OB0 correspond à un comportement purement élastique ; en B0 , on a σ11 = −σ22 = σy /2. Le long du segment B0 B, le comportement est élasto-plastique. Sur ce tronçon, on a: σ3 = σ22 < σ2 = σ33 = 0 < σ1 = σ11 Les contraintes actives dans le critère de Tresca sont σ1 = σ11 et σ3 = σ22 , où σ1 et σ3 sont les contraintes principales maximale et minimale, si bien que f (σ , R) = σ11 − σ22 − σy − H p et que la ∼ direction d’écoulement est :   1 0 0 ∂f  = 0 −1 0 n∼ = ∂σ ∼ 0 0 0 La dérivée temporelle du tenseur de contraintes s’écrit en fonction de σ11 : σ ˙ = σ˙ 11 n∼ ∼ L’application de la condition de cohérence f˙ = 0 fournit : p˙ =

σ ˙ : n∼ 2σ˙ 11 ∼ = H H

En posant la définition habituelle de la déformation plastique cumulée, on trouve :   2 p p 1/2 2 ˙ p˙ = ε˙ : ∼ε˙ =√ λ ∼ 3 3 ˙ , il vient alors : En utilisant la définition de la vitesse de déformation plastique, ∼ε˙ p = λn ∼ √ p p ˙ = 3σ˙ 11 ε˙ 11 = −ε˙ 22 =λ H L’intégration sur σ11 a pour bornes σy /2 et σo /2 : p ε11 (B)

=

p −ε22 (B)

=

Z σo /2 √ 3dσ11 σy /2

H

√ 3 σo − σy = 2 H

La composante 33 du tenseur de déformation plastique est nulle. ˙ : n = 0. On Le long du trajet BA, le comportement est purement élastique parce que sur ce tronçon on a σ ∼ ∼ p a donc ∼ε p (A) = ∼ε p (B) Dans ce cas, la variation d’épaisseur, donnée par ε33 (A), est nulle. 4. Déterminer toutes les composantes du tenseur de déformation plastique au cours du trajet OCA. En suivant le trajet OCA, le tronçon OC0 correspond à un comportement purement élastique ; en C0 , on a σ11 = 2σ22 = σy . Le long du tronçon C0C, le comportement est élasto-plastique. Sur ce tronçon, on a: σ3 = σ33 = 0 < σ2 = σ22 < σ1 = σ11

264

CHAPITRE 13. ANNALES

Les contraintes actives dans le critère de Tresca sont σ1 = σ11 et σ3 = σ33 , où σ1 et σ3 sont les contraintes principales maximale et minimale, si bien que f (σ , R) = σ11 − σ33 − σy − H p et que la ∼ direction d’écoulement est :   1 0 0 ∂f  = 0 0 0 n∼ = ∂σ ∼ 0 0 −1 La dérivée temporelle du tenseur de contraintes s’écrit en fonction de σ11 :   1 0 0 ˙ = σ˙ 11 0 1/2 0 σ ∼ 0 0 0 L’application de la condition de cohérence f˙ = 0 fournit : p˙ =

σ ˙ : n∼ σ˙ 11 ∼ = H H

˙ est la même qu’à la question précédente. On en déduit donc : La relation entre p˙ et λ √ √ 3˙ 3σ˙ 11 p p λ= ε˙ 11 = 2ε˙ 33 = 2 2H L’intégration sur σ11 a pour bornes σy et σo : p ε11 (C)

=

p 2ε33 (C)

=

Z σo √ 3dσ11 σy

2H

√ =

3 σo − σy 2 H

Cette fois-ci, c’est la composante 22 du tenseur de déformation plastique qui est nulle, mais pas la composante 33. ˙ = σ˙ : n = 0 et donc ε p (A) = ε p (C). Le long du trajet CA, le comportement est purement élastique car λ ∼ ∼ ∼ ∼ 5. Quel est le trajet qui minimise la variation d’épaisseur de la tôle après décharge, donc retour au point O après chacun des deux trajets. Sur le trajet OCA, la variation relative d’épaisseur est non nulle. L’amincissement est donné par : √ e − e0 3 σ0 − σy p p =− ε33 (A) = ε33 (C) = e0 4 H Le trajet qui minimise la variation d’épaisseur est donc le trajet OBA, qui s’effectue sans variation p d’épaisseur, puisque ε33 (A) = 0. 6. Afin d’évaluer les changements qui seraient apportés au problème précédent par application du critère de von Mises, on demande maintenant de tracer la frontière du domaine d’élasticité initial et du domaine d’élasticité final dans le cas du critère de von Mises. Les différentes étapes du chargement sont reportées en figure 13.1b. On remarque que, comme pour le critère de Tresca, les deux points B et C sont équivalents du point de vue du critère de von Mises. La différence entre les deux critères vient du fait que, aux points B et C, le critère de Tresca a déjà atteint la valeur σo , qui est justement la valeur finale. Il n’y a donc pas d’écoulement au cours √ de la seconde étape du chargement. Par contre, la valeur atteinte par le critère de von Mises n’est que ( 3/2)σo . Il faut donc un écoulement plastique pour atteindre la valeur finale σo . 7. Indiquer sans refaire les calculs les principales différences entre les solutions obtenues par le critère de Tresca et celui de von Mises pour chacun des trajets OBAO et OCAO.

13.11. 9 JUIN 2008

265

Dans le cas du critère de von Mises, d’une part, la plasticité ne commencera pas au même point : elle débutera en fait un peu plus tard comme on le voit sur la figure 13.1b. De plus, le comportement le long des deux tronçons BA et CA qui étaient purement élastiques avec le critère de Tresca ne le sont pas avec le critère de von Mises. L’intégration nécessaire pour trouver l’évolution de la déformation plastique sur ces segments n’est pas analytique. La difficulté provient du fait que l’orientation de la direction d’écoulement varie entre B et A comme entre C et A. 450 270

450 Init Final

360

σ22 (MPa)

270

C

180

C0

90

O

0 -90

A B0

-180

C

90 0

A

90 180

B

-270

Init Inter Final

180 σ22 (MPa)

360

B

270

-360

360

-450 -450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360 450 σ11 (MPa)

450 450 360 270 180 90 0 90 180 270 360 450 σ11 (MPa)

(a)

(b)

F IG . 13.1 – Surfaces obtenues avec les valeurs numériques suivantes : H= 1000 MPa, σy = 270 MPa, σo = 360 MPa. (a) Critère de Tresca, surfaces initiale et finale (b) Critère de von Mises, surfaces initiale, intermédiaire et finale.

13.11.2

Etat limite en viscoplasticité confinée

Le but de cet exercice est de vérifier le fait que l’état de contrainte à l’intérieur d’un matériau visqueux soumis à un chargement de type gravité tend de façon asymptotique vers un état hydrostatique. On suppose que le matériau est élasto-viscoplastique, avec une élasticité isotrope caractérisée par le module de Young E et le coefficient de Poisson ν, et un comportement de type Norton associé à un critère de von Mises, dont l’expression uniaxiale fait intervenir les deux paramètres K et n :  n |σ| p ε˙ = signe(σ) K

1. Ecrire l’expression de cette loi en tridimensionnel, en utilisant l’invariant de von Mises, noté J, et sa dérivée par rapport à σ , notée n∼ , dont on donnera l’expression en fonction des composantes du ∼ déviateur du tenseur de contraintes.  n J 3 ∼s ε∼˙ = n∼ avec n∼ = K 2J p

2. On modélise une portion de sous-sol par un cylindre d’axe x3 , de base carrée, dont les côtés, de longueur a, sont parallèles aux axes x1 et x2 . La base supérieure située dans le plan (x3 = 0) est libre, et la hauteur du cylindre vaut h. Les déplacements latéraux u1 et u2 restent nuls en permanence. A l’instant t = 0, on applique brutalement un chargement volumique de type gravité sur l’ensemble du cylindre, dont la seule composante non nulle est f3d = −ρg, ρ désignant la masse volumique du matériau et g

266

CHAPITRE 13. ANNALES

l’intensité de l’accélération due à la pesanteur. Donner en justifiant votre choix la forme du tenseur de contraintes. Calculer ensuite l’expression de σ33 en utilisant les équations d’équilibre et les conditions aux limites. Cette contrainte va-t-elle évoluer avec le temps ? Justifier. Par raison de symétrie sur le chargement et la géométrie, (x1 , x2 , x3 ) est le repère principal. On se trouve en déformations planes à la fois dans les directions x1 et x2 , si bien que les champs de contraintes et de déformations ne dépendent pas de x1 et x2 . La seule équation d’équilibre non triviale est : σ33,3 − ρg = 0 Comme cette contrainte est nulle en x3 = 0, on trouve simplement : σ33 = ρgx3 Il s’agit d’une condition statique, indépendante de la loi de comportement, qui reste donc toujours vérifiée. 3. En utilisant les équations de Hooke, trouver la valeur de σ11 et σ22 lors de la réponse élastique du système à l’instant t = 0+ . Il s’agit de la réponse en élasticité. Les deux contraintes σ11 et σ22 sont égales. En écrivant le fait que la déformation ε22 est nulle, on trouve : σ11 = σ22 =

ν σ33 1−ν

Les trois contraintes sont en compression, et, initialement σ33 < σ11 = σ22 < 0, puisque, si 0 < ν < 1/2. On supposera que l’ordre reste le même au cours de l’écoulement, hypothèse qui devra être confirmée en fin de calcul. 4. Donner l’expression des vitesses de déformation viscoplastique pour t > 0. On trouve respectivement pour le déviateur et l’invariant J :   −1/3 0 0 −1/3 0  s = (σ33 − σ11 )  0 ∼ 0 0 2/3

J = σ11 − σ33

si bien que la normale n∼ prend la forme d’une matrice diagonale (1/2 ; 1/2 ; -1), ce qui fournit les composantes du tenseur de vitesse de déformation viscoplastique :  n 1 p J p p p ε˙ 33 = − ε˙ 11 = ε˙ 22 = − ε˙ 33 K 2 5. En tenant compte du fait que le déplacement latéral est bloqué, intégrer l’équation différentielle qui définit l’évolution de σ11 et en déduire la forme de l’état de contrainte asymptotique. La vitesse de déformation totale ε˙ 11 est nulle, donc :   1−ν 1−ν 1 σ11 − σ33 n p ˙ ˙ ˙ 0= σ11 + ε11 = σ11 + E E 2 K L’équation différentielle à résoudre est donc de la forme : dσ11 dt =− n (σ11 − σ33 ) τ

avec τ =

2(1 − ν)K n E

13.11. 9 JUIN 2008

267

où σ33 = ρgx3 dépend de l’espace, mais pas du temps. En considérant la condition initiale en σ11 trouvée en question 3, on obtient :  n−1  n−1 1 1−ν t − = (n − 1) σ11 − σ33 (2ν − 1)σ33 τ Soit encore :

  !1/(1−n) (2ν − 1)σ33 1−n t σ11 = σ33 + (n − 1) + τ 1−ν

Cette équation ne s’applique pas en surface, où, trivialement, les trois contraintes restent toujours nulles. On observe par ailleurs que la contrainte σ11 tend vers σ33 en chaque point du milieu. L’état asymptotique est un état de compression hydrostatique σ11 = σ22 = σ33 . On vérifie que le système n’évolue pas si l’élasticité est isochore. Dans ce cas, les déformations élastoviscoplastiques se font sans changement de volume, et le blocage des directions x1 et x2 élimine toute possibilité de déplacement vertical. 6. Montrer que la déformation viscoplastique est bornée, et trouver directement sa valeur asymptotique. On a vu que la contrainte σ33 ne change pas en fonction du temps, une fois le champ de gravité établi. Le champ de contrainte asymptotique est donc parfaitement défini. Il suffit d’utiliser ces valeurs p p∞ , valeur asymtotique de ε11 : dans l’expression de ε11 pour trouver ε11 ε11 = 0 =

1 − 2ν p∞ σ33 + ε11 E

La composante 33 de la déformation plastique vaut donc : p∞ p∞ =2 = −2ε11 ε33

1 − 2ν 1 − 2ν σ33 = 2ρgx3 E E

7. Indiquer comment on peut trouver le déplacement du haut du cylindre en fonction du temps, en supposant que le déplacement est nul en x3 = −h ? Comme on est en double déformation plane, trace(ε∼ ) = ε33 . Comme cette trace est égale à celle du tenseur de déformation élastique, on peut simplement exprimer ε33 à chaque instant : ε33 =

1 − 2ν (σ33 + 2σ11 ) E

Donc, en remplaçant σ11 par son expression :     !1/(1−n) (1 − 2ν)  t (2ν − 1)σ33 1−n  ε33 = 3σ33 + 2 (n − 1) + E τ 1−ν La valeur asymptotique de ε33 est donc : ε33 =

3(1 − 2ν) σ33 E

Les deux tiers de cette valeur sont à attribuer à la déformation plastique, et le tiers restant à la déformation élastique. On trouve le déplacement vertical à un instant quelconque en intégrant ε33 par rapport à x3 . Z 0

U3 (x3 = 0) = Cette intégration n’est pas analytique.

−h

ε33 dx3

268

CHAPITRE 13. ANNALES

13.11.3 Optimisation d’une poutre en traction/compression et en flexion 3 points On considère les déformations dans le plan (x1 ,x3 ) d’une poutre plane de longueur 2L, d’axe x1 , dont la ligne moyenne est représentée par le segment AB (le point A est en x1 = 0, le point B est en x1 = 2L) constituée d’un matériau élastique isotrope de module de Young E, et de masse volumique ρ. Les deux composantes du déplacement en direction 1 et 3 sont bloquées au point A, et le déplacement en direction 3 est bloqué au point B. Les rotations sont libres à chacun de ces extrémités. On considérera successivement l’effet d’un chargement de traction/compression, puis celui d’un chargement de flexion 3 points, enfin la combinaison des deux chargements. Le problème posé est celui d’une conception optimale minimisant la masse, vis-à-vis de critères de flèche maximale et de charge de ruine. 1. On applique une force axiale de valeur absolue F en B. La condition visée pour la conception de la poutre est que la valeur absolue du déplacement axial reste inférieure à une valeur δ1 . On suppose que la section de la poutre est un carré de côté a. Calculer la valeur minimale amin qu’il faut choisir pour a pour vérifier la condition précédente. Calculer ensuite la masse de la poutre. En remplaçant a par amin dans cette expression trouver la masse minimale que doit avoir la poutre pour vérifier la condition de conception. Dans cette nouvelle expression coexistent les paramètres de conception, F, L et δ1 , et les paramètres qui dépendent du matériau, E et ρ. On cherche maintenant à minimiser la masse de la poutre. Quelle combinaison de E et de ρ doit-on minimiser pour cela ? Le déplacement axial de la poutre, U, se calcule en multipliant la déformation axiale, qui est uniforme, par la longueur de la poutre. La déformation axiale s’exprime en divisant la contrainte axiale, F/S, par le module de Young. Il vient donc : U=

2LF 2LF = ES Ea2

D’où :  amin =

2LF Eδ1

1/2

La masse s’exprime simplement comme m = 2La2 ρ. En éliminant a entre les expressions de U et m, il vient : ρ 4FL2 m= E δ1 La poutre optimale est donc celle qui présente le rapport ρ/E minimum. 2. Recommencer la même question dans le cas d’une poutre de section rectangulaire, de hauteur 2h (−h 6 x3 6 h) et de largeur b. Comparer avec la conclusion précédente. On retrouve le même résultat que précédemment, puisque U et m dépendent en fait chacun de la section S 2LF U= m = 2LSρ ES et que S se simplifie entre les deux équations. 3. On reprend la poutre de section carrée de la question 1, subissant encore un chargement axial de traction de valeur F. On souhaite maintenant que la contrainte de traction dans la poutre reste inférieure à une valeur limite σu (pour éviter la ruine par charge limite). Calculer la valeur de la contrainte axiale σ11 sous l’effet de la force F. Trouver la valeur minimale a0min de a pour que la condition précédente soit vérifiée. En reportant cette valeur dans l’expression de la masse, trouver la valeur minimale de la masse pour que la condition de conception soit vérifiée. En déduire la combinaison de σu et de ρ qu’il faut minimiser pour obtenir la masse minimale.

13.11. 9 JUIN 2008

269

On cherche à limiter la valeur de la contrainte axiale, F/S, par la valeur σu . On trouve donc : a0min

 =

F σu

1/2

En reportant dans l’expression de la masse, il vient : m = 2Laρ = 2LF

ρ σu

Il faut minimiser le rapport ρ/σu . 4. Recommencer la question 3 dans le cas d’une poutre de section rectangulaire, de hauteur 2h (−h 6 x3 6 h) et de largeur b. Comparer avec la conclusion précédente. C’est encore une fois la section qui apparaît dans l’expression de la contrainte et de la masse, si bien qu’on retrouve le même résultat qu’à la question précédente. 5. On considère maintenant un chargement de flexion 3 points, généré par une force ponctuelle P de direction x3 qui s’applique au centre de la poutre (en x1 = L). Le condition visée pour la conception est que la valeur absolue de la flèche maximale reste inférieure à une valeur δ3 . En supposant que la poutre a une section carrée de côté a, trouver la valeur minimale que doit prendre a pour vérifier la condition. En suivant la démarche des questions précédentes, donner la combinaison de E et de ρ qu’il importe de minimiser pour obtenir la masse minimale. Le moment quadratique I vaut dans ce cas a4 /12. La flèche maximale est obtenue au centre de la poutre, elle vaut : PL3 2PL3 = V= 6EI Ea4 On doit donc avoir :  1/4 2PL3 a > amin = Eδ3 En éliminant a dans l’expression de la masse, il vient : m>

2La2min ρ

2PL3 = 2L Eδ3 

1/2 ρ

La combinaison à minimiser est donc le rapport ρ/E 1/2 . 6. Recommencer la même question dans le cas d’une poutre de section rectangulaire, de hauteur 2h (−h 6 x3 6 h) et de largeur b. On décide d’effectuer l’optimisation sur h, pour une valeur fixée de b. Quelle combinaison de E et de ρ doit-on maintenant minimiser pour minimiser la masse ? Le moment quadratique I vaut dans ce cas (2/3)bh3 . La flèche maximale est obtenue au centre de la poutre : PL3 V= 4Ebh3 Si bien que l’on peut exprimer la valeur de la masse : PL3 m = 4Lbhρ > 4Lb 4bEδ3 

Il faut donc cette fois-ci minimiser le rapport ρ/E 1/3 .

1/3 ρ

270

CHAPITRE 13. ANNALES

7. On revient de nouveau à la poutre de section carrée, chargée en flexion 3 points, et on souhaite que la contrainte maximale relevée reste inférieure à σu . Donner successivement l’expression de la contrainte σ11 en fonction du moment de flexion, puis l’expression du moment de flexion. En quel point de la poutre la contrainte est-elle maximale ? Trouver la valeur minimale de a pour laquelle la valeur maximale de σ11 reste inférieure à σu . En déduire la combinaison de σu et ρ qu’il importe de minimiser pour obtenir la masse minimale. La contrainte σ11 a un profil linéaire en fonction de x3 ; elle s’écrit, en fonction du moment de flexion M et du moment quadratique I : σ11 = Mx3 /I. Le moment de flexion est maximal au centre de la poutre, où il vaut PL/2. En utilisant le fait que I = a4 /12, on trouve la valeur maximale de la contrainte, au point x3 = a/2 : 3PL σ11 = 3 < σu a La masse s’exprime donc :   3PL 2/3 2 m = 2La ρ > 2L ρ σu 2/3

Il faut minimiser le rapport ρ/σu . 8. Recommencer la même question dans le cas d’une poutre de section rectangulaire, de hauteur 2h (−h 6 x3 6 h) et de largeur b. On décide d’effectuer l’optimisation sur h, pour une valeur fixée de b. Quelle combinaison de σu et de ρ doit-on maintenant minimiser pour minimiser la masse ? On obtient la contrainte maximale au centre de la poutre, en x3 = h. Avec I = (2/3)bh3 , on obtient maintenant : 3PL σ11 = < σu 4bh2 En reportant dans l’expression de la masse   3PL 1/2 m = 4Lbhρ > 4Lb ρ 4bσu 1/2

on trouve qu’il faut minimiser le rapport ρ/σu . 9. On considère maintenant la poutre de section rectangulaire, soumise au chargement de flexion 3 points. On cherche encore la masse minimale pour une poutre qui doit à la fois vérifier la condition en flèche maximale et en contrainte maximale. On décide de libérer b, qui peut donc prendre maintenant des valeurs quelconques. Tracer, dans le plan log(b)–log(h) les droites de conception correspondant à la condition de flèche maximale et à la condition de contrainte maximale. Positionner également la droite correspondant à la masse minimale. En déduire les différentes conceptions possibles, et montrer que l’on peut obtenir une masse aussi petite qu’on le souhaite en diminuant la valeur de b. En repartant de l’expression de la flèche, on observe que la condition à vérifier s’exprime en fonction de la valeur limite δ3 comme : PL3 0 et f2 > 0. La flèche est inversement proportionnelle au produit bh3 , la contrainte maximale au produit bh2 . Les droites correspondantes ont donc respectivement des pentes −1/3 et −1/2. Dans le même plan, la droite (∆0 ) qui représente la masse a pour équation : log b + log h + log

4Lρ =0 m

La pente de la droite correspondante est donc −1. Pour une masse donnée, on peut donc se déplacer sur cette droite vers les b décroissants, et les h croissants, ce qui permet d’atteindre le domaine admissible pour n’importe quelle la configuration de chargement, quelle que soit la longueur de la poutre, et pour un matériau quelconque, comme l’indique la figure 2.

10. A quel risque s’expose-t-on si on diminue trop la valeur de b ? Donner la valeur minimale qu’il faut respecter pour b si on veut éviter la rupture par instabilité. Tracer la droite de conception dans le plan log(b)–log(h), et en déduire que le problème est bien posé si on tient compte de cette nouvelle condition. La force critique de flambement est donnée par : Fc = π

EI 4L2

Il est raisonnable que la charge critique reste nettement inférieure à une charge susceptible d’être appliquée en bout de poutre, que l’on caractérise par une fraction de la charge P, soit kP. La condition supplémentaire à vérifier dans ce cas est donc :

I>

4kPL2 πE

Pour une valeur trop faible de I, on s’expose à une instabilité élastique par flambement de la poutre : en diminuant b, on augmente certes le moment quadratique de la section pour une flexion autour de l’axe x2 , mais on le diminue pour une flexion autour de l’axe x3 . Or il faut bien considérer toutes les directions possibles dans le plan (x2 ,x3 ) pour juger de l’apparition éventuelle du phénomène. Les directions x2 et x3 étant des directions principales, les valeurs obtenues autour ce chacun de ces axes sont des valeurs extrêmes. Lorsque b diminue, le cas le plus défavorable correspond donc à la flexion autour de x3 ; la section a dans ce cas une largeur 2h et une hauteur b. Au lieu de (2/3)bh3 , on trouve maintenant pour le moment quadratique la valeur I = hb3 /6. La condition supplémentaire à vérifier dans ce cas est donc : πEhb3 >1 24kPL2 C’est maintenant le produit hb3 qui est critique, et qui donnera dans le plan de l’étude une droite (∆3 ) : f3 (log b, log h) = 3 log b + log h + log

πE =0 24kPL2

Le domaine admissible est défini par f3 > 0. Dans la mesure où la pente est maintenant −3, l’intersection avec la droite (∆0 ) fournit une valeur de b minimale.

272

CHAPITRE 13. ANNALES

log (h)

(∆3 )

(∆2 ) (∆1 )

(∆0 )

log (b)

Fig.2 : Les différentes droites de conception définissant le domaine admissible pour la conception avec comme critère la flèche maximale (droite (∆1 ) la contrainte maximale (droite (∆3 ) le flambement (droite (∆3 )

13.12

25 mai 2009

13.12.1

A. Etude d’un cylindre élastoplastique en cisaillement

On considère un cylindre d’axe z, que l’on étudiera dans un repère cylindrique (r, θ, z), dans lequel un point M sera caractérisé par OM = rer + zez . Il a une section annulaire, de rayon intérieur a et de rayon extérieur b, et une hauteur L. Il est réalisé en alliage d’aluminium, de module de Young E. Pour simplifier les calculs, on supposera que le coefficient de Poisson est nul. La surface extérieure (r = b) est encastrée, les surfaces inférieure (z = 0) et supérieure (z = L) sont libres. Le cylindre est sollicité sur sa surface intérieure (r = a) par un déplacement tangentiel imposé, U d = δez . Les forces de volume sont négligées. Pour les applications numériques, on utilisera les valeurs suivantes : a=20 mm ; b=30 mm ; L=100 mm ; E=65 GPa. Etude préliminaire en élasticité A.1. Poser, sans chercher à les résoudre pour le moment, l’ensemble des équations qui permettent de déterminer les champs de déplacement U(M), et de contrainte, σ (M). ∼ Les conditions statiques comportent les équations d’équilibre et les conditions aux limites. En coordonnées cylindriques, et en l’absence de forces de volume, les premières s’expriment : 1 σrr − σθθ σrr,r + σθr,θ + σzr,z + =0 (13.7) r r 1 σrθ σrθ,r + σθθ,θ + σzθ,z + 2 =0 (13.8) r r 1 σrz σrz,r + σθz,θ + σzz,z + =0 (13.9) r r Seules les sections supérieure et inférieure ont des conditions aux limites imposées en effort, qui conduisent à : σ .ez = 0 en z = 0 et en z = L (13.10) ∼ Les équations cinématiques définissent les relations déformation–déplacement (ici en petites déformations) et les conditions aux limites en déplacement. Le tenseur déformation est égal à la partie symétrique du gradient de déplacement qui s’écrit :   Ur,r 1r (Ur,θ −Uθ ) Ur,z
∇U = Uθ,r 1r (Ur −Uθ,θ ) Uθ,z  (13.11) 1 Uz,r Uz,z r Uz,θ

13.12. 25 MAI 2009

273

On a de plus : U(r = a) = δez

U(r = b) = 0

(13.12)

Les relations de comportement s’écrivent simplement, en tenant compte du fait que le coefficient de Poisson est nul : 1 − 2ν σii σii = E E si j si j d - partie déviatorique : εi j = = 2µ E εii =

- partie sphérique :

(13.13) (13.14)

A.2. Pour résoudre le problème, on utilise une approche en déplacement. Le caractère axisymétrique du problème conduit à adopter la forme U(M) = w(r)ez , où w(r) est une fonction inconnue. Calculer, en fonction de w(r), le champ de déformation dans le cylindre. La seule composante non nulle du vecteur déplacement est uz . Comme elle ne dépend que de r, le seul terme du tenseur de déformation qui est non nul est : 1 εrz = εzr = w,r 2

(13.15)

A.3. En déduire, via la loi de Hooke, le champ de contrainte en fonction de E et de w. Expliciter pour ce champ de contrainte l’équation d’équilibre dans le cylindre. En déduire qu’un champ de déplacement de la forme w(r) = A + B ln(r), où A et B sont des constantes, est admissible. Déterminer les constantes en utilisant les conditions aux limites en déplacement. Pourquoi la solution construite n’est-elle pas exacte ? La trace du tenseur de déformation est nulle, donc celle du tenseur de contrainte l’est également. On trouve donc simplement : E σrz = σzr = w,r (13.16) 2 La seule équation d’équilibre non trivialement vérifiée est 13.9, qui s’écrit rσrz,r + σrz = 0, si bien que : rw,zz + w,r = 0

(13.17)

Le champ w(r) = A + B ln(r) vérifie bien l’équation précédente. Pour qu’il vérifie les conditions en déplacement, il faut que : - en r = a : A + B ln(a) = δ

(13.18)

- en r = b : A + B ln(b) = 0

(13.19)

ce qui donne : ln(r/b) ln(a/b)

(13.20)

Eδ 2r ln(a/b)

(13.21)

w(r) = et : σrz =

Si on calcule le vecteur contrainte sur les sections supérieure et inférieures, on trouve un cisaillement σrz , si bien que la condition aux limites 13.10 n’est pas satisfaite. A.4. Calculer la valeur maximale de l’invariant de la contrainte équivalente de von Mises, J(σ ), ∼ pour δ=20 µm.

274

CHAPITRE 13. ANNALES

La valeur maximale de la contrainte est obtenue pour r = a dans l’équation 13.21. On en déduit la valeur maximale du critère de von Mises : √ √ E 3δ (13.22) J(σ ) = 3|σrz | = ∼ 2a ln(b/a) L’application numérique fournit J(σ )=138,8 MPa. ∼ Etude en élastoplasticité On suppose que le comportement plastique du matériau peut être décrit par un modèle combinant le critère de von Mises, un écrouissage isotrope (variable R, dépendant de la déformation plastique cumulée p) et la règle de normalité. La fonction de charge introduit la limite d’élasticité initiale σy et le module plastique H : f (σ , R) = J(σ ) − σy − R avec R = H p ∼ ∼ A.5. Quelles sont les équations qui sont modifiées par rapport à la question A.1 ? Seules les équations de comportement sont modifiées. A.6. Indiquer le point du solide qui entrera le premier en régime plastique, et la valeur δe du déplacement imposé correspondant, en fonction de σy . Effectuer une application numérique avec σy =130 MPa. On était déjà dans le domaine plastique pour δ=20 µm. √ En fait, la plasticité prend naissance en r = a, lorsque l’invariant de von Mises y atteint σy . La condition 3σrz (r = a) = σy fournit la valeur de δ : √ Eδe 3 = σy 2a ln(a/b)

soit δe =

2aσy ln(a/b) √ E 3

(13.23)

L’application numérique fournit δe =18,72 µm. A.7. On utilise maintenant une approche en contrainte, en se plaçant suffisamment loin des sections extrêmes du solide où l’on rencontre des conditions aux limites non satisfaites en contrainte. Lorsque la valeur du déplacement imposé dépasse δe , il se développe une zone plastique dont la frontière est située en r = c (avec a 6 c 6 b). Ecrire la solution en contrainte dans la zone élastique. La solution est obtenue en reprenant la solution élastique développée dans les sections précédentes. La partie du cylindre qui reste en élasticité subit en r = c un déplacement égal à δe , puisque la plasticité commence tout juste. On obtient donc la formule en remplaçant a par c dans les expressions précédentes. Il vient : Eδe c σy = √ (13.24) 2r ln(c/b) r 3 A.8. Ecrire toutes les équations que doit vérifier la composante σrz de la contrainte. En déduire les expressions analytiques de σrz et de p en fonction de r dans la zone plastique. La composante σrz doit vérifier à la fois l’équation d’équilibre et la relation de comportement plastique, soit respectivement : rσrz,r + σrz = 0 √ σrz 3 = σy + H p

(13.25) (13.26)

13.12. 25 MAI 2009

275

L’intégration de l’équation d’équilibre montre que σrz est de la forme σrz = K/r. La constante d’intégration peut être déterminée en reportant l’expression dans l’équation de comportement, en utilisant √ le fait que la déformation cumulée p est nulle en r = c. Il vient alors K = cσy / 3, soit : σy c σrz = √ (13.27) 3r p A.9. Calculer la composante εrz de la partie plastique de la déformation dans la zone plastique. En déduire l’expression du champ de déplacement. Comment peut-on déterminer la valeur de c qui définit la frontière de la zone plastique ? Effectuer l’application numérique avec δ=40 µm et H=1300 MPa. En reportant l’expression de la contrainte trouvée à la question précédente dans la loi de comportement, on trouve, pour tout point de la zone plastique (a 6 r 6 c) : √  σrz 3 − σy σy  c = −1 (13.28) p= H H r √ p La seule composante non nulle du tenseur de déformation plastique est εrz = εzr , qui vaut p 3/2. La composante εrz de déformation totale vaut donc : √ √  σ  σy c 3σy  c 3σy  c rz p e −1 + = −1 + √ (13.29) εrz = εzr + εzr = 2H r E 2H r 3E r

soit encore :

√    1 3 2 c 1 εrz = σy + − (13.30) 2 H 3E r H On trouve le déplacement à partir de l’équation 13.15 en remplaçant εrz par l’expression précédente. La constante d’intégration est déterminée en identifiant la valeur trouvée à δe en r = c.   √ c  r  2c  r  c − r w(r) = 3σy ln + ln + (13.31) H c 3E b H On détermine pour finir la valeur de c en identifiant le déplacement trouvé au déplacement imposé en r = a.   √ c  a  2c  a  c − a δ = 3σy ln + ln + (13.32) H c 3E b H

13.12.2

B. Poutre viscoélastique en flexion

On étudie l’effet d’un chargement de flexion pure au niveau de la section courante d’une poutre droite d’axe x1 , située dans le plan (x1 , x3 ). Cette section est rectangulaire, de hauteur 2h (−h 6 x3 6 h) et de largeur b (−b/2 6 x2 6 b/2). Le matériau présente un comportement viscoélastique. Le chargement est défini par un moment M autour de x2 (voir figure 1). On effectue une mise en charge rapide, au cours de laquelle le moment de flexion passe de 0 à M0 , puis on maintient le moment à sa valeur (expérience de fluage). x3 Epaisseur b M

x2

x

x1

2h

Figure 1 : Géométrie et chargement de la poutre

M

276

CHAPITRE 13. ANNALES

B.1. On approche la réponse du système à la mise en charge par la solution élastique. Indiquer dans ce cas quelle est la forme du champ de déformation en fonction de la courbure ω = −θ,1 = V,11 . Donner également la forme du champ de contrainte et la relation entre M0 et ω0 , valeur de la courbure à la fin du chargement. La flexion pure s’effectue à moment constant. La déformation est directement proportionnelle à la courbure, de même que la contrainte et le moment : ε11 = ωx3

σ11 = Eωx3

M = EIω

(13.33)

où E est le module de Young, et I le moment quadratique de flexion autour de x2 . B.2. On suppose que le matériau a un comportement viscoélastique dont la forme uniaxiale, définie par un modèle rhéologique ressort–amortisseur, est telle que : σ˙ σ + E η

ε˙ =

On fera l’hypothèse (que l’on justifiera) que la cinématique est conservée au cours de la phase de fluage. En remplaçant alors ε˙ par son expression de la question précédente, puis en intégrant chaque membre de la relation de comportement sur la section de la poutre, établir l’équation différentielle qui relie ˙ Résoudre cette équation avec le moment M et sa dérivée temporelle M˙ avec celle de la courbure, ω. les conditions initiales adaptées pour obtenir l’évolution de la courbure en fonction du temps pendant l’expérience de fluage. L’hypothèse portant sur la cinématique n’est pas dépendante de la loi de comportement. Elle se réfère à la forme que prend la poutre au cours de la déformation. La vitesse de déformation totale va s’exprimer ˙ 3 . En multipliant chaque membre de la loi en fonction de la dérivée temporelle de la courbure par ε˙ = ωx de comportement par x3 et en intégrant sur la hauteur de la poutre, il vient : Z h −h

˙ 32 dx3 ωx

=

Z h σ˙

E

−h

Z h σ 2 x3 dx3 + x3 dx3 −h

η

(13.34)

On a posé σ = σ11 . En réintroduisant le moment de flexion M et sa dérivée temporelle M˙ : ˙= Iω

M˙ M + E η

(13.35)

Dans le chargement particulier qui est considéré ici, M˙ = 0, si bien que, en utilisant la condition initiale ω(0) = ω0 , l’intégration fournit de façon élémentaire : ω=

M t + ω0 ηI

(13.36)

La courbure augmente de façon linéaire en fonction du temps. Cette solution n’est bien entendu valable qu’en petites perturbations. B.3. Que deviennent les résultats de la question précédente si on suppose maintenant que le comportement est de la forme : ε˙ =

σ˙ σ − Hε p + E η

avec ε =

σ + εp E

13.12. 25 MAI 2009

277

On réalise la même opération que précédemment. Il y a cependant une intégrale supplémentaire à traiter, provenant du terme en déformation plastique. On réexprime celle-ci comme la différence entre déformation totale et déformation élastique : Z h    Z Z h H h p H H M σ 2 ε x3 dx3 = x3 dx3 = ωI − (13.37) x3 ωdx3 − η −h η η E −h −h E En prenant maintenant en compte les termes déjà transformés au cours de la question précédente, on établit ainsi une équation différentielle qui relie le moment, la courbure et leurs dérivées premières :   M˙ HI H M ˙+ ω = + 1+ (13.38) Iω η E E η Comme M n’évolue pas au cours de l’essai de fluage, l’équation différentielle s’exprime finalement : η M ˙ +ω = ω H Et I

avec

1 1 1 = + Et H E

(13.39)

Après intégration, en prenant en compte la condition initiale ω(0) = M0 /EI, il vient : ω=

 t  M0 M0  + 1 − exp − EI HI τ

avec τ =

η H

(13.40)

Contrairement au cas précédent, la rotation de la section est limitée en raison de l’écrouissage. Sa valeur maximale est de M0 /Et I.

278

CHAPITRE 13. ANNALES

13.12.3

C. Comportement équivalent d’un treillis

Le but de cet exercice est d’établir le comportement global d’un treillis, et d’illustrer ainsi le comportement homogène équivalent d’un milieu architecturé bidimensionnel, en termes de rigidité, de limite d’élasticité et de limite à rupture. Le treillis est constitué de trois barres. Le comportement équivalent est établi, soit en utilisant une méthode dite par éléments finis, soit de façon directe. Le comportement considéré pour chaque barre sera ensuite successivement élastique puis élastoplastique. L’ensemble de l’étude utilise une hypothèse de petites déformations et petits déplacements. Il y a deux «pistes» indépendantes pour être en mesure de traiter les questions C.10 à C.17, les questions C.6 et C.9 débouchant (normalement !) sur les mêmes résultats. On peut donc passer par les questions C.1 à C.6, ou commencer directement en C.7, et résoudre les questions C.7 à C.9. Construction d’un «élément fini» C.1. Le principe des travaux virtuels a permis d’établir les équations d’équilibre et les conditions aux limites qui régissent le comportement d’une poutre droite soumise à des efforts axiaux, de cisaillement, et à un moment de flexion. On appelle barre un modèle de poutre réduit aux efforts axiaux, et chargé uniquement à ses extrémités. On considère une barre de section S et de longueur L, constituée d’un matériau élastique de module de Young E, qui occupe le segment AB de l’axe ξ, dans un repère plan (ξ, η). Les abscisses de A et B sont respectivement ξ = 0 et ξ = L. A l’intérieur de la barre, la résultante axiale des efforts intérieurs est notée N(ξ), le déplacement axial U(ξ). On note U(0) = UAξ et U(L) = UBξ les déplacements aux extrémités de la barre. On désigne par FAξ et FBξ les forces extérieures axiales en A et B. Ecrire les équations (très simples !) qui régissent l’équilibre et le comportement. de la barre. On utilisera la notation R = ES/L. Parmi les trois équations qui régissent l’équilibre d’une poutre, il ne subsiste que celle qui concerne l’effort axial, qui, en l’absence de force répartie le long de la barre, s’exprime par N,1 = 0 : l’effort normal est uniforme dans la barre. Pour une barre isolée, on aura N = −FAξ = FBξ . Il ne subsiste également qu’une équation pour le comportement, N = U,1 ES, soit : dU N = dξ ES

et, après intégration N = R(U(L) −U(0))

(13.41)

C.2. En utilisant le fait que U est linéaire en ξ, écrire l’expression reliant FAξ , FBξ , UAξ et UBξ . Exprimer la matrice [k]ξ,η telle que : 

FAξ FBξ



  UAξ = [k]ξ,η UBξ

et la matrice [K]ξ,η telle que : 

   FAξ UAξ FAη      = [K]ξ,η UAη   FBξ  UBξ  FBη UBη en tenant compte du fait que les déplacements perpendiculaires à l’axe de la barre ne génèrent pas d’effort (hypothèse des petites perturbations). Les expressions de la question précédente s’écrivent sous forme matricielle :      FAξ 1 −1 UAξ = FBξ −1 1 UBξ

13.12. 25 MAI 2009

279

si bien que : 

  FAξ 1 FAη   0  =  FBξ  −1 FBη 0

  0 −1 0 UAξ   0 0 0  UAη    0 1 0 UBξ  0 0 0 UBη

(13.42)

C.3. On veut maintenant exprimer le comportement de la barre dans un repère (x, y) tel que α=angle(x,ξ). Donner la forme de la matrice de passage à appliquer sur [K]ξ,η , et en déduire l’expression de la relation entre les composantes des vecteurs force et déplacement en A et B dans le repère (x, y) :     UAx FAx UAy  FAy    = [K]x,y   UBx  FBx  UBy FBy [K]x,y est la matrice de rigidité de l’élément «barre» AB. On utilisera les notations c = cos α et s = sin α.   c −s La matrice est . En appliquant la rotation indiquée, il vient : s c    2   c −cs −c2 cs FAx UAx 2  U  FAy  −cs s2 cs −s  =   Ay  FBx  −c2 cs c2 −cs UBx  FBy UBy cs −s2 −cs s2

(13.43)

Application à un système de trois barres On considère le système de la figure 2, constitué de trois barres de longueur L, respectivement désignées par les numéros cerclés (i=1,2,3). L’origine de leur repère local (points Ai ) est confondue avec l’origine 0 du repère (x, y) qui va maintenant être utilisé pour la résolution du problème. Elles font respectivement un angle 0, α et −α avec l’axe x de ce repère. Les résultantes axiales des efforts intérieurs i et F i et par F i et F i les composantes de sont notées N 1 , N 2 et N 3 . On désigne respectivement par FAx Bx By Ay l’effort extérieur aux points A et B qui peuvent être équilibrées par la barre i lorsque les déplacements i , U i , U i et U i . aux points Ai et Bi sont UAx Bx By Ay On supposera que les composantes du déplacement sont nulles pour les points Bi (i=1,2,3), et on appliquera à l’origine une force telle que F0x = Fx = F cos φ et F0y = Fy = F sin φ. Le déplacement résultant est alors caractérisé par U0x = Ux = U cos ψ et U0y = Uy = U sin ψ. 2

y 00 11 11 00 00000 11111 00 11 00000 11111 00000 11111

00000 11111 00000 11111 Β 211111 00000 00000 11111 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 11111 00000 00000 11111 00000 11111

00000 2 11111 00000 11111 00000 11111

11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 21 1 11 0 0 00000 11111 0 1 0 1 00000 11111 11111111111111111 00000000000000000 0 1 0 1 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 3 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 3 00000 11111 11 00 00000 11111 11 00

α

Α

0

1

Α

Α

Β

1

x

−α

3

Β

3

Figure 2 : Schéma du système de trois barres

C.4. Dans chaque barre, les déplacements et les forces extérieures à chaque extrémité sont reliées par la matrice de rigidité élémentaire qui a été définie à la question C.3. Il s’agit pour le moment de

280

CHAPITRE 13. ANNALES

construire la matrice de rigidité globale du système, [K], permettant d’obtenir la réponse vis-à-vis de n’importe quel type de sollicitation. Dans ce but, il faut réaliser l’opération d’assemblage, qui relie les composantes des efforts et des déplacements en numérotation globale (points 1 , 2 , 3 , 0 ). On nomme respectivement Fix et Fiy les composantes de ces forces en x et en y au point i . Décrire les opérations à réaliser pour effectuer l’assemblage, et exprimer [K] telle que :     F1x U1x F1y  U1y      F2x  U2x      F2y      = [K] U2y  F3x  U3x      F3y  U3y      F0x  U0x  F0y

U0y

Il y a continuité des déplacements ; il faut donc égaler les déplacements locaux avec le déplacement global sur chaque nœud. Par ailleurs, il faut sommer les contributions de chaque barre, ce qui revient à ajouter les composantes de la matrice de rigidité. En fait, cette sommation ne s’effectue que sur le seul nœud global 0 . Pour le reste, les opérations à effectuer ne sont qu’une simple «translation d’adresse». Il vient :     1 1 F1x = F2x U1x = U2x 1 1     F1y = F2y U1y = U2y         2 2 F2x = F2x U2x = U2x         2 2 F2y = F2y U2y = U2y     (13.44)   = [K]   3 3 F3x = F2x U3x = U2x         3 3     F3y = F2y U3y = U2y    1 2 3 1 2 = U3  F0x = F1x + F1x + F1x  U0x = U1x = U1x  1x 1 2 3 1 2 3 F0y = F1y + F1y + F1y U0y = U1y = U1y = U1y et : 

1 0  −  − [K] =  −  −  −1 0

 0 − − − − −1 0 0 − − − − 0 0   − c2 −cs − − −c2 cs   − cs s2 − − cs −s2   − − − c2 cs −c2 −cs  − − − cs s2 −cs −s2   0 −c2 cs −c2 −cs 1 + 2c2 0  0 cs −s2 −cs −s2 0 2s2

(13.45)

C.5. Calculer les composantes Ux et Uy du déplacement résultant de l’application de la force de composantes (Fx , Fy ). Ayant en main la matrice de rigidité globale du système, on peut résoudre de façon immédiate n’importe quel problème bien posé, pour lequel on impose sur chaque composante une condition en force ou une condition en déplacement. Dans le cas présent, les 6 premières composantes de déplacement sont nulles (Uix et Uiy , i = 1..3), et les deux dernières composantes en force sont connues. On en déduit les relations suivantes : Fx /R0 = (1 + 2c2 )Ux

(13.46)

Fy /R0 = 2s2Uy

(13.47)

13.12. 25 MAI 2009

Ni

281

i et F i (i=1,2,3), ainsi que les valeurs de l’effort normal C.6. Donner les valeurs des composantes FBx By dans chaque barre en fonction de Fx et Fy .

Les valeurs demandées se calculent directement à partir de Ux et Uy : F1x /R0 = −Ux

F1y /R0 = 0

F2x /R0 = −c2Ux + csUy

F2y /R0 = csUx − s2Uy

2

F3x /R0 = −c Ux − csUy

(13.48) 2

F3y /R0 = −csUx − s Uy

(13.49) (13.50)

On en déduit directement les valeurs des effort normaux dans chaque barre : Fx 1 + 2c2 sFy cFx N 2 /R0 = −cUx − sUy = − − 2 2 1 + 2c 2s sFy cF x + 2 N 3 /R0 = −cUx + sUy = − 2 1 + 2c 2s N 1 /R0 = −Ux

=

(13.51) (13.52) (13.53) (13.54)

Calcul direct du système de trois barres On se propose maintenant de retrouver par une approche directe les résultats précédents. Les conditions de chargement sont les mêmes que sur le système de la figure 2. On se reportera à sa description, juste avant la question C.4, pour prendre connaissance des différentes notations. Les déplacements sont bloqués aux points 1 , 2 , 3 . On cherche les relations entre le déplacement de l’origine (de composantes Ux et Uy ) et la force appliquée (de composantes Fx et Fy ) en ce point. C.7. Etablir la variation de longueur associée au déplacement Ux de l’origine pour une barre i faisant un angle α avec l’axe x. En déduire l’effort normal dans celle-ci. Calculer les composantes Fx et Fy correspondantes. La variation de longueur vaut simplement |Ux cos α|, soit |cUx |. L’effort normal N α vaut alors N α = R0 cUx , et les composantes : Fxi /R0 = c2Ux Fyi /R0 = csUx (13.55) C.8. Faire le même travail pour le déplacement Uy . On trouve respectivement une variation de longueur de |Uy sin α|, soit |sUy |, un effort normal N α = R0 sUy , et : Fxi /R0 = csUy Fyi /R0 = c2Uy (13.56) C.9. En assemblant les différentes contributions au point 0 pour les barres 1, 2, 3 (angles 0, α et −α), établir la relation entre Fx , Fy , Ux et Uy . En déduire les valeurs de l’effort normal N i dans chaque barre en fonction de Fx et Fy . En combinant les trois barres (faisant un angle O, α, −α), il vient :

On a ensuite :

Fxi /R0 = (1 + 2c2 )Ux

(13.57)

Fyi /R0 = 2s2Uy

(13.58)

Nα Fx c s Fy = cUx + sUy = + 2 2 R0 1 + 2c R0 2s R0

(13.59)

282

CHAPITRE 13. ANNALES Etude de la rigidité du système

C.10. Pour un angle α donné, on définit la raideur équivalente du système par le scalaire Rα = F/U. Montrer que cette raideur apparente dépend de l’orientation de la force appliquée. Tracer sa valeur dans un diagramme polaire en fonction de φ. Les deux méthodes précédentes nous ont permis d’obtenir les relations entre les composantes de la force au point 0 et les déplacements en ce point (eq.(13.47) ou eq.(13.58)). On évalue donc facilement le déplacement :   cos2 (φ) sin2 (φ) F 2 2 2 Ux +Uy = + (13.60) (1 + 2c2 )2 4s4 R20 La raideur cherchée est donc :  R(φ) = R0

sin2 (φ) cos2 (φ) + (1 + 2c2 )2 4s4

−1/2 (13.61)

La raideur du système est tracée ci-dessous pour deux valeurs particulières de l’angle α, π/2 et 2π/3. On note que la raideur est nulle si α = 0, puisqu’il n’y a dans ce cas aucune résistance à une composante de la force en direction y. 3 alpha=pi/2 alpha=2 pi/3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Figure 3 : Courbe polaire de la raideur du système pour deux valeurs particulière de l’angle α

C.11. Observer qu’en général l’angle ψ n’est pas égal à φ, ce qui signifie que le déplacement du point d’application de la force n’est pas colinéaire à celle-ci. Montrer qu’il existe une valeur α∗ de α pour laquelle on retrouve cette colinéarité. L’angle ψ est défini par le rapport des composantes du déplacement, soit : Uy 1 + 2c2 Fy = = tan ψ Ux 2s2 Fx

(13.62)

Pour retrouver la linéarité, il suffit que le terme qui multiplie √ le rapport des composantes de la force soit égale à 1. Cette condition est réalisée si |c| = 1/2 et |s| = 3/2, soit α = π/3, α = 2π/3 et les valeurs opposées. C.12. Calculer R∗ , valeur de la rigidité du système pour la valeur α∗ trouvée précédemment. Quelle est la propriété remarquable du système dans ce cas ? En utilisant les valeurs de c et s précédentes, on trouve R = 3R0 /2, constante quel que soit l’angle de sollicitation. Cette propriété est illustrée par la courbe polaire de la raideur tracée ci-dessus, qui est un cercle. Ceci montre que trois barres formant entre elles un angle de 120◦ forme un motif constitutif d’un matériau dont les propriétés élastiques sont isotropes dans le plan.

13.13. 7 JUIN 2010

283

Définition du domaine d’élasticité On suppose que la limite d’élasticité du matériau qui constitue les barres est égale à σy . C.13. En choisissant α = 2π/3, trouver les 6 inéquations qui déterminent la forme du «domaine d’élasticité», défini comme la zone du plan (Fx , Fy ) pour laquelle chaque barre reste en élasticité. Tracer ce domaine dans le plan (Fx , Fy ), en indiquant sur chaque segment de la frontière la poutre qui se plastifie et le type de plastification (traction ou compression). C.14. Même question avec α = π/2. Etude de la charge de ruine On suppose que le matériau a un comportement élastique parfaitement plastique, donc que σy est la contrainte maximale que peut supporter la barre. On cherche maintenant à établir la frontière du domaine correspondant à la ruine du système, supposée être obtenue par charge limite ou par flambement. C.15. Caractériser la frontière du domaine admissible vis-à-vis de la charge limite pour le cas α = π/2. C.16. En considérant maintenant le cas α = 2π/3, justifier le fait que la ruine du système est atteinte si deux barres atteignent simultanément la limite d’élasticité. Calculer la valeur limite admissible de la force Fx , en supposant que Fy = 0. Tracer la frontière du domaine définissant la charge limite dans le plan (Fx , Fy ). C.17. Indiquer, en fonction du moment quadratique I de la section, la valeur de la force axiale de compression qui provoque le flambement de la barre. Calculer, dans le cas d’une section circulaire de rayon a (où I = πa4 /4) la valeur du rapport a/L à partir de laquelle la barre flambe en compression avant de se plastifier. Quelles sont les modifications à apporter aux figures représentant le domaine d’élasticité et le domaine de charge limite pour tenir compte de ce nouveau mode de ruine ? Effectuer les applications pour α = π/2 et α = 2π/3.

13.13

7 juin 2010

13.13.1

A. Etude d’une plaque trouée en pression interne et en chargement biaxial

On considère un anneau limité par deux cercles concentriques, de centre O et de rayons a et b (avec a < b). On l’étudie dans le repère cylindrique centré en O, qui est le repère principal, l’axe z étant perpendiculaire au plan de l’anneau. On note par σr , σθ , σz les trois contraintes principales et par εr , εθ , εz les trois déformations principales. On utilisera le fait que les contraintes radiales et orthoradiales sont respectivement de la forme B B σr = A − 2 σθ = A + 2 r r tant que le comportement est élastique. On étudiera successivement le cas des contraintes planes (CP), pour lequel σz = 0, et celui des déformations planes (DP) où εz = 0. Cette dernière condition permet d’exprimer σz , à partir de la condition εz = 0. On suppose que le matériau est élastique isotrope (de module E, et de coefficient de Poisson ν = 1/2) parfaitement plastique (limite l’élasticité σy ).

284

CHAPITRE 13. ANNALES

Limite d’élasticité en pression interne A.1 L’anneau est soumis à une pression p (p > 0) sur la surface intérieure, qui se traduit par (σr (r = a) = −p) alors que la surface extérieure (en r = b) est libre. Trouver l’expression de A et B. En écrivant que la contrainte radiale est égale à −p pour r = a et à zéro pour r = b, on trouve :     p a2 b2 p a2 b2 σr = 2 1 − σ = 1 + (13.63) θ b − a2 r2 b2 − a2 r2

A.2 Classer les composantes du tenseur des contraintes par ordre croissant, et calculer le critère de Tresca dans le cas CP et DP. En CP comme en DP, on a σr 6 σz 6 σθ , la contrainte σz étant nulle en CP, et égale à la demi-somme de σr et σθ en DP. Dans les deux cas, on a donc : σTresca = σθ − σr =

2p a2 b2 (b2 − a2 ) r2

(13.64)

A.3 Calculer le critère de von Mises dans le cas CP et DP. On calcule le critère de von Mises en CP en utilisant son expression en fonction des contraintes
1/2 normales principales, J = σ2r + σ2θ − σr σθ . Il vient : p a2 J= 2 b − a2

 1/2   3b4 1 3 1/2 p a2 b2 1+ 4 + = 2 r b − a2 b4 r 4

(13.65)

Pour le cas des DP, on calcule le déviateur du tenseur de contrainte en soustrayant le tenseur sphérique (σr + σθ )I∼ (I∼ est le tenseur identité). Le déviateur se réduit à la diagonale (σr − σθ )/2; 0; (σθ − σr )/2, qui est un état de cisaillement pur. Le critère de von Mises vaut alors : √ √ 3 3p a2 b2 (σθ − σr ) = 2 (13.66) J= 2 (b − a2 ) r2 1 2

A.4 Indiquer à quel endroit les critères prennent leur valeur maximale dans les quatre cas précédents, et en déduire les valeurs de pression pe correspondant à la plasticité commençante. Le maximum des expressions précédentes se rencontre en r = a. On trouve respectivement : σTresca, CP/DP =

2p b2 b2 − a2

p b2 σMises, CP = 2 b − a2 √ 3pb2 σMises, DP = 2 b − a2

(13.67) 

a4 3+ 4 b

1/2 (13.68) (13.69)

Ce qui fournit la valeur de la contrainte pe dans chaque cas, en égalant les expressions précédentes à σy . A.5 Calculer le rapport σr /σθ . En déduire la forme du tenseur des vitesses de déformation plastique lorsqu’on est à plasticité commençante si on utilise le critère de Tresca.

13.13. 7 JUIN 2010

285

Le rapport demandé est : b2 − r2 σr =− 2 σθ b + r2

(13.70)

Ce rapport est toujours négatif. Il est minimum pour r = a et maximum (et égal à zéro) pour r = b : −

b2 − a2 σr 6 60 2 2 b +a σθ

(13.71)

Dans toute la zone où le rapport est strictement négatif (donc, partout sauf en r = b), le tenseur de déformation plastique n’a que deux composantes non nulles, correspondants aux contraintes extrêmes qui interviennent dans le critère de Tresca : ε˙ rp = −ε˙ θp

ε˙ zp = 0

(13.72)

A.6 Que deviennent les résultats précédents (composantes du tenseur de contraintes, critères, valeur max, vitesses de déformation plastique) lorsque b tend vers l’infini ? Lorsque b → ∞, le rapport σr /σθ prend sa valeur minimale, -1. On retrouve le cas d’un massif infini ; on est en cisaillement pur. Les contraintes radiale et orthoradiale valent respectivement : σθ = −σr =

pa2 r2

(13.73)

Pour chaque critère, les valeurs obtenues en CP et en DP sont identiques. La valeur obtenue avec le √ critère de von Mises est √ 2σθ , celle fournie par le critère de Tresca est 3σθ . En r = a, on trouve donc respectivement 2p et 3p. Limite d’élasticité en traction biaxiale A.7 On suppose maintenant que la surface intérieure (en r = a) est libre, et que la surface extérieure est soumise à une tension (σr (r = b) = p). Trouver les valeurs de A et B pour ce nouvel état de contraintes. Quelle est la valeur de la concentration de contrainte créée par le trou (c’est-à-dire la valeur du rapport entre la plus grande composante de contrainte dans l’anneau et celle qui est appliquée au loin) ? La contrainte radiale est nulle en r = a et vaut p en r = b. On en déduit :     a2 p b2 a2 p b2 σr = 2 1− 2 σθ = 2 1+ 2 b − a2 r b − a2 r

(13.74)

En r = a, la concentration de contrainte, σθ /p, vaut 2b2 /(b2 − a2 ). Lorsque b → ∞, elle tend vers 2. A.8 Trouver, en faisant le moins de calcul possible, les valeurs des critères de Tresca et von Mises pour les cas CP et DP. Il suffit de changer a en b au numérateur dans les questions A2 et A3 pour trouver les valeurs cherchées. L’expression du critère de Tresca est donc inchangée. Il en est de même pour le critère de von Mises en DP. Le critère de von Mises en CP donne :  1/2   p b2 3a4 p a2 b2 1 3 1/2 J= 2 1+ 4 = 2 + (13.75) b − a2 r b − a2 a4 r4

286

CHAPITRE 13. ANNALES

A.9 Indiquer à quel endroit les critères prennent leur valeur maximale dans les quatre cas précédents, et en déduire les valeurs de pression pe correspondant à la plasticité commençante. Dans chacun des quatre cas, le maximum est obtenu pour r = a. Le critère de Tresca donne le même résultat que celui de von Mises en CP (ce qui est normal, car on a un état de contrainte uniaxial en r = a). On obtient : 2p b2 b2 − a2 2p b2 σMises, CP = 2 b − a2 √ 3pb2 σMises, DP = 2 b − a2

σTresca, CP/DP =

(13.76) (13.77) (13.78)

A.10 Calculer le rapport σr /σθ . En déduire la forme du tenseur des vitesses de déformation plastique lorsqu’on est à plasticité commençante si on utilise le critère de Tresca. Le rapport des contraintes radiale et orthoradiale est toujours positif : σr r 2 − a2 = 2 σθ r + a2

(13.79)

Il est minimum (et égal à zéro) pour r = a et maximum pour r = b : 06

b2 − a2 σr 6 2 σθ b + a2

(13.80)

Dans toute la zone où le rapport est strictement positif (donc, partout sauf en r = a), le tenseur de déformation plastique n’a que deux composantes non nulles, correspondants aux contraintes extrêmes qui interviennent dans le critère de Tresca : ε˙ zp = −ε˙ θp

ε˙ rp = 0

(13.81)

A.11 Que deviennent les résultats précédents (composantes du tenseur de contraintes, critères, valeur max, vitesses de déformation plastique) lorsque b tend vers l’infini ? Lorsque b → ∞, on trouve : a2 σr = p 1 − 2 r 



  a2 σθ = p 1 + 2 r

2p a2 r2  1/2 3a4 σMises, CP =p 1 + 4 r √ 3pa2 σMises, DP = r2

σTresca, CP/DP =

(13.82)

(13.83) (13.84) (13.85)

Pour le critère de Tresca (CP et DP), et pour le critère √ de von Mises en CP, la contrainte équivalente tend vers 2p, pour le critère de von Mises en DP vers 3p.

13.13. 7 JUIN 2010

287

Etude en pression interne, en plasticité A.12 On considère le cas DP, et on suppose que le matériau obéit au critère de Tresca. Si on continue à augmenter la pression au-delà de pe , deux zones coexistent dans l’anneau, une zone plastique et une zone élastique, la frontière se situant au rayon r = c (avec a 6 c 6 b). Situer la zone élastique et donner sans calcul l’expression du tenseur de contrainte dans celle-ci. Pour le critère de Tresca, en DP, ob obtient la plastification lorsque :   σy 2pb2 a2 σy = 2 soit : pe = 1− 2 (13.86) b − a2 2 b En régime élasto-plastique, la zone élastique se situe dans la zone r > c, et on obtient l’expression des contraintes dans cette zone en appliquant une pression p = pe (b, c) en r = c :     σy c2 c2 b2 1− 2 1− 2 (13.87) σr = 2 b b2 − c2 r   σy b2 c2 σr = 1− 2 (13.88) 2 r b2   σy b2 c2 1+ 2 (13.89) σθ = 2 r b2 A.13. En utilisant l’expression de la seule équation d’équilibre non triviale σr,r +

σr − σθ =0 r

et le fait que le critère de Tresca est vérifié dans la zone plastique, trouver la forme de σr dans la zone plastique. Utiliser la condition sur σr en r = c pour exprimer σr en fonction de r et c. Dans l’équation d’équilibre, on remplace σθ − σr par σy , on a donc à intégrer l’équation σr,r = σy /r, ce qui donne donc σr = σy Ln(r) + K. On trouve la constante K en égalant les valeurs de la contrainte radiale exprimée dans la zone élastique et dans la zone plastique en r = c : K + σy Ln(c) =

σy c2 − b2 2 b2

(13.90)

L’expression finale est donc : σy c2 − b2 σy r σr = σy Ln( ) + =− 2 c 2 b 2



c2 2Ln +1− 2 a b c

 (13.91)

A.14. En utilisant la condition à la limite en r = a, donner la relation entre la pression appliquée p et la valeur de c. En déduire la valeur de la pression maximale que peut supporter l’anneau. En utilisant le fait que la contrainte radiale en r = a vaut −p, il vient :   c σy c2 p=− 2Ln +1− 2 (13.92) 2 a b La pression maximale p∞ que peut subir le système est obtenue lorsque c atteint b :   b p∞ = σy Ln a

(13.93)

288

CHAPITRE 13. ANNALES

13.13.2

B. Etude de divers modèles rhéologiques

On représente par des modèles rhéologiques des matériaux au comportement visqueux et des matériaux plastiques fragiles. L’assemblage de ces différents modèles peut conduire à des déplacements locaux non monotones sous un chargement extérieur monotone. Modèles viscoélastiques (ηa )

(Ea )

Fig.1 : Modèle de Maxwell

B.1. On considère un modèle viscoélastique de Maxwell, composé par l’assemblage en série d’un amortisseur de viscosité ηa et d’un ressort de module Ea (Fig.1). Donner l’équation différentielle qui caractérise le comportement de ce modèle. En déduire la réponse du modèle sous chargement monotone croissant à vitesse de déformation imposée, ε˙ ∗ . On désigne ce modèle par MAa . L’équation qui gouverne le modèle s’écrit : ε˙ =

σ σ˙ + ηa Ea

(13.94)

On pose τa = ηa /Ea . La solution sans second membre s’écrit σ = K exp(−t/τa ), et la solution particulière (obtenue pour σ˙ = 0) σ = Ea τa ε˙ ∗ = ηa ε˙ ∗ . L’évoluiton de la contrainte pour une traction à vitesse de déformation imposée ε˙ ∗ est donc :    t ∗ ˙ (13.95) σ = ηa ε 1 − exp − τa (Ha ) (Ea ) (ηa )

Fig.2 : Modèle de Kelvin–Voigt

B.2. On considère un modèle viscoélastique de Kelvin-Voigt, construit à partir du précédent en ajoutant un ressort de module Ha en parallèle de l’amortisseur (Fig.2). On désigne ce modèle par KVa . Donner l’équation différentielle qui caractérise son comportement visqueux, et sa réponse sous chargement monotone croissant à vitesse de déformation imposée, ε˙ ∗ . Chaque partie de l’assemblage fournit une équation. On a donc, en appelant εa la déformation de l’amortisseur : σ = Ha εa + ηa ε˙ a

(13.96)

σ = Ea (ε − εa )

(13.97)

Ce qui donne : (Ha + Ea )εa + ηa ε˙ a = Ea ε

(13.98)

13.13. 7 JUIN 2010

289

En posant τ0a = ηa /(Ha + Ea ), il vient : εa Ea Ea ε˙ ∗ t ˙ + ε = ε = a τ0a ηa Ea + Ha τ0a

(13.99)

La solution de l’équation sans second membre est εa = K exp(−t/τ0a ). On applique la méthode de "variation de la constante" pour trouver finalement :    t Ea ε˙ ∗ 0 t + τa exp − 0 − 1 (13.100) εa = Ea + Ha τa On peut alors exprimer l’évolution de la contrainte :    Ea ε˙ ∗ t 0 σa = Ea (ε − εa ) = Hat + Ea τa 1 − exp − 0 Ea + Ha τa

(13.101)

Modèle élastique-plastique-fragile (EPF) (σy , εr )

(E)

Fig.3 : Modèle élastique-plastique-fragile EPF1 B.3. On considère par ailleurs un modèle élastique-parfaitement plastique-fragile, composé d’un assemblage en série d’un ressort de module E, et d’un patin qui se déclenche pour une valeur absolue de la contrainte égale à σy , et qui se rompt lorsqu’il a subi un glissement cumulé égal à εr (Fig.3). Tracer la courbe de traction que l’on obtient avec ce modèle (EPF1 ), lors d’une traction à déformation imposée. La contrainte est limitée à σy . Elle revient à zéro à rupture, lorsque le glissement du patin atteint εr . σ σy

(E)

O

σy /E

εr + σy /E

ε

B.4. On assemble maintenant en parallèle (Fig.4) deux modèles de type EPF1 , formant ainsi un modèle EPF2 , à deux branches, notées [0] et [1]. Le ressort de la branche [0] a un module de E/(1 + k), alors que celui de la branche [1] a un module de kE/(1 + k), avec 0 < k < 1. La contrainte limite vaut σy /2 pour chacune des deux branches, et le glissement qui conduit à la rupture vaut εr pour chaque patin. On réalise une traction à déformation imposée sur le système. Indiquer la valeur de la pente de la courbe contrainte-déformation dans le domaine d’élasticité et la valeur de la limite d’élasticité. [0] (σy /2,εr )

(E/(1 + k))

(σy /2,εr )

(kE/(1 + k))

[1]

Fig.4 : Modèle élastique-plastique-fragile EPF2

290

CHAPITRE 13. ANNALES

Tant qu’on reste en élasticité, les contraintes dans chaque branche sont proportionnelles au module de Young. La résultante est toujours telle que σ = Eε (la pente est donc E). Elle se décompose en : σ0 =

Eε 1+k

σ1 =

kEε 1+k

(13.102)

C’est donc la branche [O] qui se plastifie la première. La contrainte correspondante est telle que σ0 = σy /2, soit : 1+k σ= σy (13.103) 2 B.5. Pour ce même modèle EPF2 , donner la pente à la courbe de traction au début du régime élastoplastique. Cette branche du comportement prend fin soit avec la rupture de la branche qui s’est plastifiée, soit avec la plastification de la deuxième branche. Donner la condition caractéristique de la transition entre ces deux situations. Lorsque la branche [O] est en régime plastique, la contrainte qu’elle supporte reste constante (de valeur σy /2). La pente est donc définie par la branche [1] : dσ dσ1 kE = = dε dε 1+k

(13.104)

Le point critique définissant de façon qualitative le comportement correspond à la situation où la branche [O] (déjà plastifiée) se casse exactement au moment où la branche [1] entre en régime plastique. L’équation suivante exprime cette égalité, avec, au premier membre, la rupture de la branche [O], et au second membre la plastification de la branche [1] : (1 + k)σy (1 + k)σy + εr = 2E 2Ek

(13.105)

On trouve donc la relation suivante entre E, σy , εr et k : εr =

1 − k2 σy k 2E

(13.106)

B.6. Tracer la réponse complète lors de l’expérience de traction à déformation imposée lorsque les deux branches se plastifient avant que la rupture ne se produise. σ σy

σy 2

(E) [0]

εr

[1] εr O

σy /E

ε

B.7. Tracer la réponse complète lors de l’expérience de traction à déformation imposée lorsque la rupture de la première branche se produit avant plastification totale.

13.13. 7 JUIN 2010

291 σ

σy 2

[0] (E) [1] εr

O

εr

σy /E

ε

Un système élasto-visco-plastique-fragile σ σ0

R (kE)

(E)

T S εc

O

ε

Fig.5 : Réponse du modèle élastique-plastique-fragile simplifié

B.8. On place en série un modèle KVa et un modèle EPF simplifié. On désigne par εa la déformation du modèle KVa et par ε f celle du modèle EPF. La réponse en traction du modèle EPF est représentée en Fig.5 (chemin ORST). On suppose que le module initial du système vaut E, et qu’il se produit une rupture au point R (εc ,σO ), à la suite de quoi (segment ST) la réponse du modèle obéit à la relation σ = kEε f (avec 0 < k < 1). Dans quelles conditions un modèle EPF2 se réduit-il à celui-ci ? Calculer la réponse du système à un chargement à vitesse de déformation imposée ε˙ ∗ lorsque le modèle EPF est dans sa phase élastique (segment OR). On obtient la réponse indiquée lorsque εr = 0. On retrouve donc : σ0 =

1+k σy 2

εc =

σy 2(1 + k)E

(13.107)

En phase élastique, le modèle EPF se comporte comme un ressort de caractéristique (E). Il vient : σ = Ha εa + ηε˙ a

ε = ε f + εa +

σ Ea

(13.108)

En tenant compte du fait que ε f = Eσ , on a : σ=

Ea E (ε − εa ) Ea + E

On retrouve donc les mêmes équations qu’en B2, en remplaçant Ea par

(13.109) Ea E . Ea + E

292

CHAPITRE 13. ANNALES

B.9. Que se passe-t-il respectivement dans KVa et dans EPF au moment de la rupture ? Décrire l’évolution instantanée de la contrainte et des déformations εa et ε f . Caractériser l’évolution ultérieure de εa . Est-elle toujours monotone ? Au moment de la rupture, on a : ε = ε f + εa +

σ Ea

(13.110)

Instantanément, on passe de σ à σy /2 et de E à kE/(1 + k). Le nouveau chargement s’effectue à partir de [εa (tR ); σ(tR ) − σy /2]s avec la même équation différentielle qu’avant, dans lesquelles on utilisera le module Ea00 et la constante de temps τ00 : Ea00 =

(1 + k)Ea + kE kEEa

τ00 =

ηa Ea00

(13.111)

On montre que εa peut diminuer avant de réaugmenter.

13.13.3

C. Etude d’une poutre sur appuis

On se propose d’étudier la poutre droite AC de longueur 2L et d’axe Ox1 , posée sur trois appuis simples et soumise à un chargement réparti. Les extrémités A et C ont respectivement pour abscisse : x1A = −L et x1C = L. L’appui intermédiaire en B a pour abscisse x1B = αL (avec 0 6 α < 1). La section transversale de la poutre est constante et admet le plan Ox1 x3 comme plan de symétrie. La poutre est −−→ soumise à une densité linéique uniforme de force : q(x) = −qOx3 , avec q > 0 constant. Les appuis en A, B et C sont simples, unilatéraux, n’exerçant donc en ces points sur la poutre AC que des réactions −−→ − −−→ − −−→ − → → → que l’on notera RA = RA Ox3 , RB = RB Ox3 , RC = RC Ox3 avec les conditions de liaison : RA > 0, RB > 0, RC > 0. C.1 Déterminer, en fonction de RB et q, les valeurs des réactions des appuis lorsque la structure est en équilibre sous le chargement défini par q. Compte tenu de la forme des données, on se place dans le cadre de la théorie des poutres droites à plan moyen chargées dans leur plan. En appliquant le principe fondamental de la statique, on obtient : RA = qL − RB

(1 − α) 2

RC = qL − RB

(1 + α) 2

13.14. 30 MAI 2011

293

C.2 Préciser et expliquer le domaine de variation permis pour l’inconnue hyperstatique RB par les conditions de liaison réelles du problème. Ces formules ne sont à conserver que si elles sont compatibles avec les conditions réelles de liaison aux appuis. D’où, en écrivant que RA > 0, RB > 0 et RC > 0 : 2qL 0 6 RB 6 1+α (1 − α) (1 + α) RA = qL − RB RC = qL − RB 2 2 2qL La valeur de l’inconnue hyperstatique RB ne peut sortir du domaine 0 6 RB 6 ; en effet la 1+α 2qL borne RB = 0 est imposée par l’appui unilatéral en B, et la borne RB = ne peut être franchie car, 1+α dès que la liaison unilatérale en C est rompue, le problème est isostatique, BB est déterminée et égale à 2qL . 1+α C.3 Donner, en fonction de RB et q, l’expression de toutes les distributions de torseurs d’efforts intérieurs (effort normal N, effort tranchant T et moment de flexion M). On a dans tous les cas N(x1 ) = 0. Pour l’effort tranchant et le moment, l’expression des efforts intérieurs dépend de la travée considérée : – lorsque −L 6 x1 < αL : T (x1 ) = qx1 + RB M(x1 ) = q

(1 − α) 2

1−α L2 − x12 − RB (L + x1 ) 2 2

(13.112) (13.113)

– lorsque αL < x1 6 L : T (x1 ) = qx1 − RB M(x1 ) = q où 0 6 RB 6

(1 + α) 2

L2 − x12 1+α − RB (L − x1 ) 2 2

(13.114) (13.115)

2qL . 1+α

13.14

30 mai 2011

13.14.1

A. Etude du comportement d’une couche mince

Une pièce cylindrique de section circulaire est soumise à un chargement de traction simple dans la direction de son axe. Le matériau qui la compose sera considéré comme élastique isotrope dans tout le problème, les constantes élastiques étant E ? et ν? . On effectue sur cette pièce le dépôt d’un second matériau, sous forme d’une couche très mince. Ce second matériau a un comportement élastique parfaitement plastique, caractérisé par des constantes élastiques E et ν différentes de celles du matériau qui constitue le support, et par une limite d’élasticité σy . On utilisera selon la question le critère de von Mises ou le critère de Tresca. On suppose que le procédé ne crée pas de contrainte, si bien que dans son état initial le système présente des champs de contraintes et de déformation uniformément nuls. On admet dans la suite que la couche est suffisamment mince pour ne pas influencer le comportement du support : la couche va donc subir un chargement en déformation imposée dans son plan. On résoudra le problème en coordonnées cylindriques (rθz). On notera les composantes axiales de la déformation dans la couche mince par εr , εθ ,εz ; celles de la déformation plastique par εrp , εθp , εzp ; celles de la contrainte par σr , σθ , σz .

294

CHAPITRE 13. ANNALES

Calcul en élasticité A.1 On admet que l’état de contrainte dans la couche est uniforme. Justifier le fait que les axes du repère sont les directions principales et que le chargement imposé à la couche est mixte, en contrainte et déformation. Quelle est la valeur de la composante de contrainte qui est imposée et celles des composantes de la déformation qui sont imposées ? On utilisera le module de Young E, le coefficient de Poisson ν? et la déformation axiale imposée sur la pièce cylindrique, ε, que l’on supposera nulle dans les conditions initiales, puis monotone croissante. La couche superficielle est en état de containte plane dans le plan (θz). Tous les termes non diagonaux des tenseurs de contrainte et de déformation sont nuls. La composante radiale σr est nulle. Pour ce qui est des déformations, on a : εz = ε εθ = −ν? ε A.2 Ecrire la loi de comportement élastique dans la couche qui permet de trouver les trois inconnues du problème, εr , σθ , σz . En remplaçant σr , εθ et εz par leur valeur, il vient : Eεr = −ν(σθ + σz ) ?

−Eν ε = σθ − νσz Eε = −νσθ + σz

(13.116) (13.117) (13.118)

A.3 Calculer σθ et σz en fonction de E, ν et ν? . Discuter le signe de σθ en fonction des valeurs relatives de ν et ν? . En résolvant le système linéaire formé par les deux dernières équations du système 13.118, il vient : Eε (ν − ν? ) (13.119) σθ = 1 − ν2 Eε σz = (1 − νν? ) (13.120) 1 − ν2 Si ν? est plus grand que ν, le support se rétracte dans la direction orthoradiale («effet Poisson») plus que ne le ferait le film mince s’il était libre, mettant donc celui-ci en compression. On a bien entendu l’effet opposé si ν? est plus petit que ν. A.4 Calculer εr et préciser son signe. Comment le film se déforme-t-il ? Un calcul élémentaire montre que εr est toujours négatif, ce qui indique que l’épaisseur du film diminue ; 1 − ν? (13.121) 1−ν Le film s’allonge en direction axiale, et se raccourcit ou s’allonge en direction orthoradiale, en fonction des valeurs relatives de ν et ν? . Eεr = −Eεν

Etude en plasticité A.5 Calculer la déformation εT R pour laquelle on atteint la limite d’élasticité en appliquant le critère de Tresca, en fonction des valeurs respectives de ν et ν? . Quel est le cas le plus défavorable ? On vérifie que σz est toujours supérieur à σθ : 1 + ν? (13.122) 1+ν La valeur du critère de Tresca fT R (σ ) étant égale à la différence entre les deux contraintes principales ∼ extrêmes, on doit distinguer deux cas pour son évaluation : σz − σθ == Eε

13.14. 30 MAI 2011

295

–Si ν > ν? : alors 0 = σr 6 σθ < σz , et : fT R (σ ) = σz − σy = Eε ∼

1 − νν? − σy 1 − ν2

(13.123)

La valeur de la déformation pour laquelle la couche mince entre en plasticité est donc : εT R =

1 − ν2 σy 1 − νν? E

(13.124)

– Si ν 6 ν? : alors σθ 6 0 = σr < σz , et : f (σ ) = σz − σθ − σy = Eε ∼

1 + ν? − σy 1+ν

(13.125)

La valeur de la déformation pour laquelle la couche mince entre en plasticité est donc : εT R =

1 + ν σy 1 + ν? E

(13.126)

A.6 Caractériser également la déformation limite εV M pour le critère de von Mises. Calculer pour ce point le rapport σθ /σz . Pour évaluer le critère de von Mises, on utilise l’expression de l’invariant de von Mises J en fonction des contraintes normales principales :  fV M = J − σy = En posant N =

1 2


1/2 1 2 σz + σ2θ − σz σθ 2

(13.127)



1/2 (1 − νν? )2 + (ν − ν? )2 − (ν − ν? )(1 − νν? ) , il vient : εV M =

1 − ν2 σy N E

(13.128)

A.7 Ecrire le système provenant de la décomposition de la déformation totale en une partie élastique et une partie plastique, qui relie donc εr , εθ ,εz , εrp , εθp , εzp , σr , σθ , σz , et les paramètres E, ν et ν? . Eεr = −ν(σθ + σz ) + Eεrp ?

−Eν ε = Eε =

(13.129)

σθ − νσz + Eεθp

(13.130)

−νσθ + σz + Eεzp

(13.131)

On ne cherche à traiter que le problème des composantes axiale et orthoradiale, ce qui limite le nombre d’inconnues à 4 (εθp , εzp , σθ , σz ) et le nombre d’équations à 2. A.8 Ecrire dans la couche mince le tenseur de contrainte, son déviateur, et définir la direction de l’écoulement plastique selon les directions axiale et orthoradiale, nz et nθ si le critère retenu est celui de von Mises.

296

CHAPITRE 13. ANNALES

Le tenseur de contrainte s’exprime dans (rθz) par la diagonale (0; σθ ; σz ), le déviateur par la diagonale (1/3 (−(σθ + σz ); 2σθ − σz ; 2σz − σθ ). La normale s’exprime en fonction du déviateur ∼s et de J comme (3/2)s∼ /J, si bien que : nθ =

2σθ − σz 2J

nz =

2σz − σθ 2J

(13.132)

A.9 Exprimer ε˙ θp et ε˙ zp en fonction de p, ˙ nz et nθ et en déduire qu’il ne reste que trois inconnues au problème. Ecrire les équations définissant les vitesses de déformation axiale et orthoradiale. On a ε˙ θp = pn ˙ θ et ε˙ zp = pn ˙ z , si bien que les composantes s’écrivent : −Eν? ε˙ = σ˙ θ − νσ˙ z + Enθ p˙ E ε˙ = −νσ˙ θ + σ˙ z + Enz p˙

(13.133) (13.134)

A.10 Trouver l’equation manquante en exprimant la condition de cohérence. L’intégration du système n’est pas analytique. La condition de cohérence f˙V M = 0 se réduit à J˙ = 0, soit encore : nθ σ˙ θ + nz σ˙ z = 0

(13.135)

A.11 Au cours de l’écoulement plastique, l’état de contrainte reste sur la surface de charge. Montrer que lorque la déformation ε augmente, les composantes σθ et σz tendent vers une limite, dont on donnera la valeur. On comparera ensuite le rapport σθ , σz dans l’état asymptotique avec celui obtenu en sortie du domaine d’élasticité. On aura atteint un état asymptotique en contrainte si les dérivées de σθ et σz sont nulles. Dans ce le système 13.134, cette condition conduit à : −Eν? ε = Enθ p˙

(13.136)

Eε = Enz p˙

(13.137)

Le rapport nθ /nz est donc égal à −ν? , ce qui conduit finalement à : σθ 1 − 2ν? = σz 2 − ν?

(13.138)

Résultat d’une simulation numérique dans le plan σz –σθ avec ν = 0.2 et ν? = 0.4. Les demi-droites (E) et (P) ont respectivement les pentes données par les solutions élastique (question 3) et plastique (quesiton 11).

13.14. 30 MAI 2011

13.14.2

297

B. Etude des vibrations d’une poutre

Avec cet exercice, on propose d’étudier le phénomène de résonance d’une poutre soumise à des vibrations forcées. En général, les propriétés d’amortissement des matériaux sont trop faibles pour dissiper l’énergie accumulée par un système mécanique qui entre en résonance. Il est donc nécessaire d’éviter de soumettre le système aux sollicitations qui conduisent à ce phénomène. L’exercice commence par une analyse quasi statique de l’effet d’une masse concentrée. Puis nous considérons les effets de l’inertie de cette masse en mouvement dans deux situations. La première situation correspond à l’étude des vibrations libres pour toute les conditions initiales possibles. La seconde correspond à l’étude des vibrations forcées, en régime stationnaire, c’est à dire sans tenir compte de conditions initiales. A ce stade de l’exercice, les sollicitations à éviter auront été identifiées. Pour les plus courageux, cet exercice se termine par une modélisation de l’amortissement par une loi de type Kelvin-Voight. x3 A x1

B

C m

Poutre sur deux appuis simples liée à une masse m à une des extrémités. Hypothèses : Pour l’étude des vibrations du système mécanique, un modèle de poutre de NavierBernoulli suffit. Seule la masse m concentrée au point C est significative, l’effet mécanique de la masse volumique de la poutre est négligeable. La poutre est élastique sauf dans la dernière partie de l’exercice. La masse est ponctuelle et indéformable. Seuls les déplacements transverses seront considérés, les déplacements longitudinaux étant nuls. QUESTIONS : B1. Considérons le problème quasi statique (en négligeant les effets d’inertie) de la poutre chargée par le poids de la masse m. L’action de la masse sur la poutre sera noté P. Est-il possible de déterminer les réactions des appuis sans connaître le torseur des efforts intérieurs ? Quelle est la propriété du système mécanique étudié ? B2. Dans le cas quasi statique introduit à la première question, donner l’expression de l’effort tranchant et du moment fléchissant dans les différents tronçons de la poutre. B3. Dans le cas quasi statique introduit à la première question, donner l’expression du déplacement transverse. B4. Etudions maintenant la dynamique du système en considérant les effets de l’inertie de la masse m animée d’un mouvement transverse w(t). Quelle est l’expression de P en supposant que la masse est toujours accrochée à la poutre en C quel que soit le niveau des vibrations ? B5. Quelle est l’équation différentielle en temps qui permet de prévoir le mouvement du système mécanique ? B6. L’équation précédente régit le mouvement de vibration libre, il n’y a pas d’action extérieure imposée au système constitué de la masse et de la poutre. Quelles sont les solutions de cette équation. On distinguera la forme du champ de déplacement qui par définition correspond à un mode propre. Pour faciliter le déroulement des calculs, il est préférable d’écrire une équation différentielle ordinaire sur w, puis d’utiliser la liaison cinématique entre w et le déplacement transverse de la poutre en C.

298

CHAPITRE 13. ANNALES

B7. En considérant une action imposée supplémentaire F(t) = Fm sin(ω t) s’ajoutant à l’action P calculée à la question 4, nous obtenons le problème de vibration forcée. Donner l’équation différentielle en temps décrivant l’évolution de w. En recherchant la solution particulière de cette équation, montrer que l’amplitude de w est infinie pour une pulsation d’excitation ω correspondant à une pulsation caractéristique du système appelée pulsation propre. B8. Quel type de sollicitation faut-il éviter ? B9. Que devient la réponse aux vibrations forcées en introduisant le modèle de comportement de type Kelvin-Voight ci-dessous, reliant le moment fléchissant à la dérivée seconde en espace du déplacement transverse ? ∂3V ∂2V M = EI 2 + ηI 2 ∂ x1 ∂ x1 ∂t où η est le coefficient de viscosité du matériau.

13.14.3

Propagation d’une fissure de fatigue dans un disque mince non alésé en rotation

On propose dans cet exercice d’étudier la propagation par fatigue d’une fissure dans un disque mince non alésé. Comme schématisé dans le figure 1, on considère une fissure partant du bord extérieur du disque et se propageant de manière radiale vers le centre. La longueur de la fissure est notée a sur la figure. Le fait de considérer un disque mince permet d’utiliser certains résultats de la littérature concernant l’étude des disques de section rectangulaire en contrainte plane. Le texte est divisé en quatre parties. Dans la première on évalue la vitesse limite de plastification du disque sain afin de déterminer les condition normale d’utilisation d’un tel disque. Dans la deuxième on étudie la rupture brutale du disque fissuré par perte de ténacité à partir du calcul du facteur d’intensité des contrainte. Dans la troisième partie, on évalue les coefficients de la loi de Paris du matériau. Dans la dernière partie, on défini la loi de propagation de la fissure, puis l’on calcule un nombre de cycle à la rupture pour une longueur initiale donnée.

fissure

w

w

a

R

R

Disque sain

Disque fissuré

Figure 1 : Représentations schématique d’un disque sain (non-fissuré) et d’un disque fissuré.

Vitesse critique d’apparition de la plasticité dans un disque sain Le champ de contrainte dans un disque mince non fissuré soumis à une vitesse de rotation w est de la forme suivante en coordonnées cylindriques pour un point du disque donné de rayon r : 

 0 0 σrr (r) σθθ (r) 0  σ (r) =  0 ∼ 0 0 0 avec

(13.139)

13.14. 30 MAI 2011

299

σrr (r) =

ρw2 (3 + ν) 2 (R − r2 ) 8

(13.140)

σθθ (r) =

ρw2 2 [R (3 + ν) − r2 (1 + 3ν)] 8

(13.141)

où R désigne le rayon extérieur du disque et ρ la masse volumique du matériau utilisé. En utilisant un critère de von Mises, déterminer la vitesse d’apparition de la plasticité dans le disque w p en fonction de la limite élastique σ0 du matériau. Où cette plasticité apparaît elle en premier ? La plasticité apparaît d’abord au centre du disque où les contraintes sont maximales. On a σeq (r = 0) = et donc

s wp =

ρw2 R2 (3 + ν) 8

8σ0 ρR2 (3 + ν)

(13.142)

(13.143)

Les disques étudiés ici (rayon R = 50 cm) sont réalisés en Inconel 718, un super alliage à base de Nickel. Ses propriétés sont les suivantes : ρ = 8000 Kg.m−3 , σ0 = 1000 MPa, ν = 0.3 Calculer w p en rpm (tours par minute) w p = 1100 Rad.s−1 = 10513 rpm

Perte de ténacité en présence d’une fissure de taille a0 Le facteur d’intensité des contraintes en mode I est donné pour un disque mince non alésé en rotation (hypothèse de contraintes planes) en fonction de la profondeur de fissure a0 et de la vitesse de rotation du disque : √ KI = F1 (a0 /R)σw πa0 σw = F1 (x) =

ρw2 R2 (3 + ν) 8 αx + β

(13.144) (13.145) (13.146)

avec α = 1.2 et β = 0.37. Exprimer KI en fonction de ρ, ν, w, R et du rapport a0 /R.  a  r a   ρw2 R2 (3 + ν)  √
0 0 KI = α + β πR R R 8 La rupture brutale intervient pour une valeur critique du facteur d’intensité des contraintes noté KIc . Pour l’Inconel 718 sa valeur est KIc = 50 MPa.m1/2 . Donner l’expression de la vitesse limite wr correspondant à une rupture brutale en fonction de KIc et du rapport a0 /R. Calculer la valeur de cette vitesse limite en rpm pour une fissure initiale de taille a0 = 5 mm. Comparer avec la vitesse d’apparition de la plasticité w p calculée plus haut.

300

CHAPITRE 13. ANNALES

v u 8KIc u r  wr = u   √ t a0 a0 ρR2 (3 + ν) πR α +β R R Pour a0 = 5 mm, wr = 1125 Rad.s−1 = 10744 rpm. Cette taille de défaut entraine une rupture après la plastification de l’intérieur du disque. En fonctionnement normal les disques tournent à une vitesse wn correspondant à 80% de la vitesse w p calculée précedament. L’évolution du facteur d’intensité des contrainte en fonction du rapport a0 /R pour cette vitesse de rotation wn est tracé sur la figure suivante : 140 120

K1 (MPa.m1/2 )

100 80 60 40 20 0 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

a0 /R

Figure 2 : Evolution du facteur d’intensité des contrainte KI en fonction du rapport a0 /R pour une vitesse de rotation wn = 0.8w p .

Estimer à partir de cette figure la taille de fissure initiale critique ac0 menant à une rupture brutale en condition normale de fonctionnement. ac0 = 12 mm

Evaluation des coefficients de la loi de Paris Des spécimens de laboratoire sont chargés entre Kmin = 0 et Kmax . Les vitesses de propagation sont respectivement de 10−3 mm/cycle et 4 10−3 mm/cycle pour des valeurs de Kmax de 20 et 40 MPa.m1/2 . Trouver les valeurs des coefficients C et n de la loi de Paris en unité SI (m et Pa). da La loi de Paris s’écrit : = C(∆K)M On aura donc : dN C(20 106 )M =

10−6

6 M

C(40 10 ) = 4

10−6

(13.147) (13.148)

Et donc M = 2, C = 2.5 10−21 Pa−2 (C en Pa−2 car n=2).

Propagation de la fissure sous chargement cyclique Ecrire sous forme d’intégrales l’équation qui détermine la courbe (nombre de cycles N - longueur de fissure a) entre une valeur initiale a0 = 5 mm et une valeur courante a. On considère que le disque subit des cycles de chargement entre w = 0 et wn .

13.14. 30 MAI 2011

301

da = dN

C [K(wn ) − K(0)]M = C [K(wn )]M   r a   ρw2 R2 (3 + ν)  √
M a n = C α +β πR R R 8

(13.149) (13.150)

Et donc C R



 M Z N Z a/R ρw2n R2 (3 + ν) √  d(a/R) πR dN =   r a M 8 0 a0 /R a α +β R R

(13.151)

On donne la solution de l’intégrale suivante : Z

   1 β x dx = + ln x(αx + β)2 β2 αx + β αx + β

(13.152)

Déterminer explicitement l’expression du nombre de cycle N entraînant une propagation de la fissure depuis sa valeur initiale a0 jusqu’à une valeur courante a. a a/R R β + ln  aR  N=  2 2 M  a   √ ρw R (3 + ν) + β α α +β Cβ2 πR R R a0 /R 8 



(13.153)

La figure suivante décrit le nombre de cycles en fonction de la longueur de fissure à partir de la réponse à la question précédente : 50000 40000

N

30000 20000 10000 0 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

a0 /R

Figure 3 : Courbe nombre de cycle - longueur de fissure pour une longueur initiale a0 = 5 mm et un chargement compris entre w = 0 et wn . Utiliser cette figure pour estimer le nombre de cycle N c entraînant une rupture brutale du disque. N c ≈ 20000 cycles.

302

CHAPITRE 13. ANNALES

Troisième partie

ANNEXES

303

Chapitre 14

Mini-formulaire d’élasticité linéaire 14.1

Cinématique et statique en petites déformations

14.1.1

Déplacement déformation

– Le tenseur de déformation est la partie symétrique du gradient de déplacement 1 εi j = (ui, j + u j,i ) 2
1 uT ∇ u+∇ ∼ ∼ 2 d – Champ cinématiquement admissible : u = u sur ∂Ωu – Equations de compatibilité (ex : 6 composantes de déformation dérivent de 3 composantes de déplacement en coordonnées cartésiennes en 3D) ε=

∼

ε11,22 + ε22,11 − 2ε12,12 = 0 ε11,23 + ε23,11 − ε12,13 − ε13,12 = 0 . . .et permutations circulaires, soit : εinm εl jk εi j,km = 0 avec εi jk = 0 εi jk = 1

14.1.2

si 2 indices sont égaux si permutation paire, =-1 si permutation impaire

Signification géométrique des termes du tenseur de déformation ∆V V

= Tr ∼ε = εii

γ = 2ε12

(1+ ε11) dx 1

dx 1

γ dx 2

(1+ ε22) dx 2

dx 2

dx 1

Les termes diagonaux désignent les allongements unitaires dans la direction des axes

Les termes hors diagonale caractérisent les rotations relatives des axes

305

306

CHAPITRE 14. MINI-FORMULAIRE D’ÉLASTICITÉ LINÉAIRE – Allongement unitaire dans la direction définie par n δ(n) = n.ε∼ .n = εi j ni n j

14.1.3

Contrainte

– Forces de volume : f d dans le volume Ω – Forces de surface : F d sur la surface ∂ΩF – Champ statiquement admissible : – dans Ω + fd = 0 divσ ∼

σi j, j + fid = 0

– sur ∂ΩF σ .n = F d ∼

σi j n j = Fid

– Partie sphérique du tenseur de contrainte : 1 S∼ = trace(σ )I ∼ ∼ 3

Si j =

σll δi j 3

– Déviateur associé au tenseur de contrainte : s=σ − S∼ ∼

si j = σi j −

∼

14.1.4

x2

σll δi j 3

trace(s∼ ) = sll = 0

Signification physique des termes du tenseur de contrainte

σ22

σ12

σ21

– Les termes diagonaux caractérisent les efforts normaux aux facettes – Les termes hors diagonale caractérisent les efforts de cisaillement

σ11 x1

– Vecteur contrainte pour une facette de direction n T (n) = σ .n ∼

Ti = σi j n j

– Contrainte normale sur la facette de direction n Tn (n) = n.T = n.σ .n = σi j ni n j ∼ – Cisaillement dans une facette de direction n T t (n) = T − Tn n

14.2

Efforts internes/externes

14.2.1

Travail des efforts intérieurs

Tt =

q

T 2 − Tn2

– Théorème de Stokes pour une fonction scalaire f intégrée sur un volume Ω, n étant la normale à ∂Ω Z Z f, j dV = f n j dS Ω

∂Ω

14.3. POTENTIEL ÉLASTIQUE, ÉLASTICITÉ LINÉAIRE

307

– Travail des efforts intérieurs (champ de contraintes réel, champ ∼ε0 cinématiquement admissible) −Wi =

Z

σi j ε0i j dV =

ZΩ

=

Z

σi j u0i, j dV

Ω

(σi j u0i ), j − σi j, j u0i




Z

dV =

Ω

14.2.2

σi j u0i n j dS −

Z

∂Ω

σi j, j u0i dV

Ω

Travail des efforts extérieurs

– Travail des efforts extérieurs

Z

We =

fid u0i dS +

Z

Ω

Fid u0i dS

∂Ω

– avec Wi +We = 0, il vient : dans Ω : σi j, j + fid = 0

sur ∂ΩF : σi j n j = Fid

– Ces relations sont indépendantes du matériau – On introduit une loi de comportement en posant des relations entre contraintes et déformations

14.3

Potentiel élastique, élasticité linéaire

14.3.1

Potentiel élastique

Le comportement, éventuellement non linéaire, est gouverné par un potentiel, qui sera défini par sa densité volumique, dont la forme dépend de la variable choisie ∗ = σ, et ε0 = dε, le potentiel d’élasticité W (ε) – Evolution entre deux états d’équilibre, avec σ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ s’exprime, en élasticité linéaire :

1 ∂W : ∼ε σ = =C : ∼ε W (ε∼ ) = ∼ε : C ∼ ≈ ≈ 2 ∂ε ∗ = dσ, le potentiel d’élasticité – Evolution entre deux états d’équilibre, avec ∼ε0 = ∼ε, et σ ∼ ∼ ∗ complémentaire W (σ ) s’exprime, en élasticité linéaire : ∼ 1 W ∗ (σ )= σ :S:σ ∼ 2∼ ≈ ∼ – W et W ∗ convexes et dW + dW ∗ = d(σi j εi j ) ∂σi j ∂2W ∂σkl – Et : = = Ci jkl = = Ckli j ∂εi j ∂εkl ∂εkl ∂εi j

14.3.2

ε= ∼

∂W ∗ = S≈ : σ ∼ ∂σ

Elasticité linéaire

– Elasticité linéaire (rigidité et souplesse) : σ =C :ε ∼ ≈

σi j = Ci jkl εkl

ε = S≈ : σ

εi j = Si jkl σkl

∼

– Relations de symétrie : Ci jkl = Ci jlk = C jikl

Si jkl = Si jlk = S jikl

– Relations «énergétiques» : Ci jkl = Ckli j

Si jkl = Skli j

– Anisotropie générale = 21 coeff ; orthotropie = 9 coeff ; symétrie cubique = 3 coeff ; matériau isotrope = 2 coefficients – Matériau isotrope : s = 2µε∼ dev σll = 3κεll ∼

308

CHAPITRE 14. MINI-FORMULAIRE D’ÉLASTICITÉ LINÉAIRE

14.3.3

Elasticité isotrope

– Module de cisaillement µ tel que τ = µγ ∆V 1 – Module de compressibilité κ tel que p = σll = κ 3 V – Module de Young E tel que σ = E ε en traction simple – Coefficient de Poisson ν tel que εT = −νεL en traction simple (εT , déformation transverse, εL , déformation longitudinale) – Contrainte en fonction des déformations σ = λTr ∼ε ∼I + 2µε∼ ∼

σi j = λεll δi j + 2µεi j

– Déformations en fonction des contraintes ε=

∼

14.3.4

1+ν ν σ − Tr σ I ∼ E E ∼∼

1+ν ν σi j − σll δi j E E

εi j =

Relations entre les coefficients d’élasticité

– Expressions de λ, µ et κ λ=

Eν (1 + ν)(1 − 2ν)

2µ =

E 1+ν

3κ =

E = 3λ + 2µ 1 − 2ν

– Expressions de E et ν E=

µ(3λ + 2µ) λ+µ

ν=

λ 2(λ + µ)

– Typiquement : ν ≈ 1/3

2µ ≈ 3E/4

κ≈E

– Caoutchouc : ν ≈ 1/2

µ ≈ E/3

κE

14.4

Etats de contrainte particuliers, solutions particulières

14.4.1

Traction simple

– Etat de contrainte uniaxial, de manière générale σ = σ0 n ⊗ n ; par exemple dans un prisme d’axe ∼ x1 , x1 étant la direction de traction, et les faces latérales étant libres :   σ0 0 0 σ :=  0 0 0 ∼ 0 0 0 – Si la section vaut S0 , la force en direction x1 est : F = σ0 S0 – Dans le repère x1 x2 x3 , le tenseur de déformation s’écrit :   σ0 /E 0 0 0  −νσ0 /E ε :=  0 ∼ 0 0 −νσ0 /E – Si la longueur est L0 , l’allongement en direction x1 est : ∆L = εL0 – La raideur du prisme vaut R = F/∆L = ES0 /L0

14.4. ETATS DE CONTRAINTE PARTICULIERS, SOLUTIONS PARTICULIÈRES

14.4.2

309

Cisaillement simple

τ τ

−τ

τ

– Chargement purement déviatorique – Exemple du cisaillement pur dans le plan x1 x2   0 τ 0 σ :=  τ 0 0 ∼ 0 0 0 – Rotation de π/4 

 τ 0 0 σ := 0 −τ 0 ∼ 0 0 0 τ = σ12 = 2µε12

14.4.3

Flexion circulaire

– Une seule composante au tenseur de contrainte, mais non uniforme dans l’espace :   σ11 (x2 ) 0 0 0 0 σ :=  0 ∼ 0 0 0 Mx2 , où M est le moment de flexion autour de x3 , et I = x22 dS est le moment I S d’inertie de la section droite par rapport à x3 – Un prisme d’axe x1 qui subit ce chargement présente une rotation relative des sections caractérisée M par un angle θ tel que θ,1 = EI bh3 – Pour une section rectangulaire de hauteur h selon x2 et de largeur b selon x3 : I = 12 Z

– Par exemple : σ11 =

14.4.4

Torsion x3

– Déplacements u1 = −αx3 x2

β

γ

u2 = αx3 x1

u3 = αφ(x1 , x2 )

– Contrainte σ13 = µα(φ,1 − x2 ) =µαθ,2

(14.1)

σ23 = µα(φ,2 + x1 )= −µαθ,1

(14.2)

avec ∆φ = 0 ∆θ + 2 = 0

θ = 0 sur Γ

– Moment de torsion : Z

M= S

– Γ contour de la section – Une génératrice devient une hélice

(x1 σ23 − x2 σ13 )dS

– Module de rigidité à la torsion : Z

D = 2µ S

θdx1 dx2 = M/α

310

14.4.5

CHAPITRE 14. MINI-FORMULAIRE D’ÉLASTICITÉ LINÉAIRE

Torsion, section circulaire

– Pour un prisme circulaire de longueur L, et de rayon extérieur Re : β = αL – En surface extérieure γ = 2εθz = αR – Contrainte de cisaillement τ = µαr 1 – θ s’exprime simplement : θ = (R2 − x12 − x22 ) 2 – Une section perpendiculaire à x3 reste plane : φ = 0 π(R4e − R4i ) – Tube de rayon int Ri et de rayon ext Re : D = µ 2 – Tube mince de rayon R et d’épaisseur e : D = 2µ πeR3 = M/α donc M M τ = , et τ = α= µR 2πµeR3 2eπR2

14.4.6

Coordonnées cylindriques

On se restreint aux exemples classiques pour lesquels : - les déplacements sont portés par er , u = ur er - la seule force de volume éventuellement non nulle est fr er . – Equilibre σrr − σθθ + fr = 0 σrr,r + r – Déformation εrr = ur,r

εθθ =

ur r

soit : rεθθ ,r = εrr − εθθ – Forces de volume nulles, rayon intérieur a, rayon extérieur b σrr = A −

B r2

σθθ = A +

B r2

ur = Cr + D/r

14.4.7

Cylindre sous pression

– Tube sous pression, pression intérieure pi , pression extérieure pe pi a2 − pe b2 b2 − a2

A=

B=

(pi − pe )a2 b2 b2 − a2

– Cylindre plein (pi = 0, a = 0, pe = p), σrr = σθθ = p – Pression interne (pi = p, a, b), a2 σrr = 2 b − a2

  b2 1− 2 p r

a2 σθθ = 2 b − a2

– Tube mince sous pression interne p, rayon R, épaisseur e, σrr négligeable

σθθ = pR/e



b2 1+ 2 r

 p

14.4. ETATS DE CONTRAINTE PARTICULIERS, SOLUTIONS PARTICULIÈRES

14.4.8

Coordonnées sphériques

On se restreint aux exemples classiques pour lesquels : - les déplacements sont portés par er , u = ur er - la seule force de volume éventuellement non nulle est fr er . – Equilibre σrr − σθθ + fr = 0 σrr,r + 2 r – Déformation ur εrr = ur,r εθθ = r soit : rεθθ ,r = εrr − εθθ – Forces de volume nulles, rayon intérieur a, rayon extérieur b σrr = A −

2B r3

B r3

σθθ = σφφ = A +

ur = Cr + D/r2

14.4.9

Sphère sous pression

– Sphère sous pression, pression intérieure pi , pression extérieure pe A=

pi a3 − pe b3 b3 − a3

B=

(pi − pe )a3 b3 2(b3 − a3 )

– Sphère pleine (pi = 0, a = 0, pe = p), σrr = σθθ = σφφ = p – Pression interne (pi = p, a, b), a3 σrr = 3 b − a3



b3 1− 3 r

 p

a3 σθθ = 3 b − a3



– Tube mince sous pression interne p, rayon R, épaisseur e, σrr négligeable

σθθ = pR/2e

b3 1+ 3 2r

 p

311

312

CHAPITRE 14. MINI-FORMULAIRE D’ÉLASTICITÉ LINÉAIRE

Chapitre 15

Notations 15.1

Glossaire des notations les plus courantes

ε, εe εth ∼ p ε , ∼εvp ∼ σ ∼ f , n∼ I1 , I2 , I3 J1 , J2 , J3 J Ai , α ∼i R, X∼ σy H W, W∗ Ω Σ ∼ E ∼ ∼ ∼

15.2

Tenseur de déformations (petites perturbations), déformation élastique Tenseur de dilatation thermique Tenseur de déformation plastique, viscoplastique Tenseur de contrainte de Cauchy Fonction de charge ; dérivée par rapport aux contraintes ∂ f /∂σ ∼ Invariants du tenseur de contrainte Invariants du déviateur de contrainte Second invariant du déviateur des contraintes Variables d’écrouissage Variables d’écrouissage isotrope, cinématique Limite d’élasticité initiale Module plastique Potentiels élastiques Potentiel viscoplastique Tenseur de contraintes moyennes (chapitre homogénéisation uniquement) Tenseur de déformations moyennes (chapitre homogénéisation uniquement)

Quelques tenseurs particuliers

Les tenseurs d’ordre 4 J≈ et K permettent respectivement d’obtenir le déviateur ∼s et le tenseur ≈ sphérique S∼ associés à un tenseur symétrique du second ordre σ . ∼ On a : s = J≈ : σ S∼ = K :σ ∼ ∼ ∼ ≈

(15.1)

On introduit également le tenseur unité d’ordre 4, ≈I . On peut facilement vérifier que : I tel que Ii jkl =

≈

1 K = ∼I ⊗ ∼I ≈ 3 J≈ = ≈I − K ≈

1 (δik δ jl + δil δ jk ) 2 1 Ki jkl = δi j δkl 3
1 1 = δik δ jl + δil δ jk − δi j δkl 2 3

ou encore

ou encore

Ji jkl

(15.2) (15.3) (15.4)

Propriétés remarquables : J≈ : J≈ = J≈

K :K =K ≈ ≈ ≈ 313

J≈ : K =K : J≈ = 0 ≈ ≈

(15.5)

314 Donc, bien sûr : J≈ : S∼ = 0

K : ∼s = 0 ≈

(15.6)

En élasticité isotrope, le tenseur d’élasticité Λ et son inverse S≈ s’expriment : ≈ Λ = 3κK + 2µJ≈ ≈ ≈

S≈ =

K ≈ 3κ

+

J≈ 2µ

(15.7)

Si bien que : J≈ : Λ = 2µJ≈ ≈

K :Λ = 3κK ≈ ≈ ≈

(15.8)

En plasticité, J≈ est utile pour évaluer la direction d’écoulement. Ainsi, dans le cas du critère de von Mises : n∼ =

∂J ∂s∼ 3s 3s 3s ∂J = = ∼ : J≈ = ∼ : ≈I = ∼ : ∂σ ∂s∼ ∂σ 2J 2J 2J ∼ ∼

(15.9)

Références citées dans le texte Argon A.S. (1975). Constitutive Equations in Plasticity. MIT Press. Ashby M.F. and Jones D.R.H. (1980). Engineering materials, vol.1 : An Introduction to their Properties and Applications. Pergamon Press. Ashby M.F. and Jones D.R.H. (1988). Engineering materials, vol.2 : An Introduction to Microstructures. Pergamon Press. Berthelot J.-M. (1993). Matériaux composites – Comportement mécanique et analyse des structures. Masson. Besson J., Cailletaud G., Chaboche J.-L., and Forest S. (2001). Mécanique non–linéaire des matériaux. Hermès. Bui H.D. (1978). Mécanique de la rupture fragile. Masson. C.A. Coulomb (1776). Essai sur une application des règles de maxims et minims à quelques problèmes de statique, relatifs à l’architecture. Mémoires de l’AcadéRoyale, pp 343–382. Coussy O. (1991). Mécanique des milieux poreux. Technip. Darve F. (1987). Manuel de rhéologie des géomatériaux. Presses des Ponts et Chaussées. Doghri I. (2000). Mechanics of Deformable Solids. Linear and Nonlinear, Analytical and Computational Aspects. Springer Verlag. Forest S., Amestoy M., Cantournet S., Damamme G., Kruch S., Maurel V., Mazière M., and Ryckelynck D. (2010). Mécanique des milieux continus. Cours 1ère année, Ecole des Mines de Paris. François D., Pineau A., and Zaoui A. (1991). Comportement mécanique des matériaux. Volume 1 : élasticité et élastoplasticité. Hermès. François D., Pineau A., and Zaoui A. (1993). Comportement mécanique des matériaux. Volume 2 : endommagement, mécanique de la rupture, mécanique du contact. Hermès. Garrigues Jean (1999). Cours de statique des poutres. marseille.fr/poutre.html.

http ://jean.garrigues.perso.centrale-

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316

RÉFÉRENCES CITÉES DANS LE TEXTE

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Zeitschrift für

Références d’intérêt général Argon A.S. (1975). Constitutive Equations in Plasticity. MIT Press. Ashby M.F. and Jones D.R.H. (1980). Engineering materials, vol.1 : An Introduction to their Properties and Applications. Pergamon Press. Ashby M.F. and Jones D.R.H. (1988). Engineering materials, vol.2 : An Introduction to Microstructures. Pergamon Press. Berthelot J.-M. (1993). Matériaux composites – Comportement mécanique et analyse des structures. Masson. Besson J., Cailletaud G., Chaboche J.-L., and Forest S. (2001). Mécanique non–linéaire des matériaux. Hermès. Bui H.D. (1978). Mécanique de la rupture fragile. Masson. Coussy O. (1991). Mécanique des milieux poreux. Technip. Doghri I. (2000). Mechanics of Deformable Solids. Linear and Nonlinear, Analytical and Computational Aspects. Springer Verlag. François D., Pineau A., and Zaoui A. (1991). Comportement mécanique des matériaux. Volume 1 : élasticité et élastoplasticité. Hermès. François D., Pineau A., and Zaoui A. (1993). Comportement mécanique des matériaux. Volume 2 : endommagement, mécanique de la rupture, mécanique du contact. Hermès. Gay D. (1991). Matériaux composites. Hermès. Germain P. (1973). Mécanique des milieux continus. Masson. Hill R. (1998). The Mathematical Theory of Plasticity (1st ed, 1950). Oxford Classic Texts in the Physical Sciences. Jirásek M. and Ba˘zant Z.P. (2002). Inelastic Analysis of Structures. Wiley. Labbens R. (1980). Introduction à la mécanique de la rupture. Pluralis. Lemaitre J. and Chaboche J.-L. (1985). Mécanique des matériaux solides. Dunod, Paris. Lubliner J. (1990). Plasticity Theory. Mc Millan. Mandel J. (1966). Cours de mécanique des milieux continus – Tomes I et II. Gauthier–Villars / réédition 1994, J. Gabay. Simo J.C. and Hughes T.R.J. (1997). Computational Inelasticity. Springer Verlag.

317

Index A380, 127 Anisotropie, 29 Assemblage collé, 175 Aube de turbine, 124 Beltrami, 54 Bilame, 178 Bille de verre, 123 Bingham modèle de viscoplasticité, 18, 155 Cam-clay critère, 28 Champ cinématiquement admissible, 57 statiquement admissible, 57 Changement de phase acier, 122 Charge limite, 136, 146, 192 Chargement complexe, 159 Chargement triaxial essai, 7 Charpy essai, 8 Cinématique écrouissage, 15 plaque de Kirchhof–Love, 91 poutre, 58 stratifié, 75 Cisaillement octaédral, 24 plaque, 84 Clausius–Duhem, 44 Coefficient de dilatation thermique composite, 173 Cohésion, 27 Comportement standard généralisé, 43 Composite à fibres, 128 fibres longues, 171 matériau, 69 matrice métallique, 186

modules élastiques d’un polycristal, 182 structure, 69 vaisseau spatial, 128 Condition de cohérence, 15, 36, 39, 46 Contrainte interne, 14 visqueuse, 20 Contraintes auto-équilibrées, 136 généralisées, 44 résiduelles, 136 thermomécaniques, 121 Contraintes résiduelles, 149 Convergence–confinement, 154 Convexité, 38 Coulomb critère, 151 Couplage traction–flambage (poutre), 169 traction–flexion (poutre), 64 Couple de torsion, 53 Courbe caractéristique, 154 Courbure, 84 Critère anisotrope, 29 Cam-clay, 28 Coulomb, 151 Drucker–Prager, 26 elliptique, 28 Gurson, 28 Hill, 29 Mohr–Coulomb, 27 Rankine, 28 Tresca, 25, 142 Tsaï, 30 von Mises, 25 Critères, 23 Déformation, 11 de membrane, 84 paramétrique, 11 318

INDEX plane, 132 plane généralisée, 132 plastique cumulée, 15, 45 progressive, 126 Déformations généralisées, 44 Déplacement axial poutre, 62 Dilatation changement de phase, 12 irradiation, 12 thermique, 12 Direction d’écoulement Drucker–Prager, 39 Tresca, 39 von Mises, 38 Direction d’écoulement plastique, 38 Dissipation intrinsèque, 44 Drucker–Prager critère, 26 Dureté essai, 8 Ecoulement plastique déformation imposée, 48 plasticité parfaite, 142 Ecrouissage, 44 additif, 21 cinématique, 15 cinématique linéaire, 14 isotrope, 15, 159 multiplicatif, 21 Ramberg–Osgood, 16 variables, 43 Effacement essai, 20 Effet de fond, 141 Effort tranchant, 53 Elasticité orthotrope, 71 Energie d’activation, 21 libre, 45 Equilibre plaque de Kirchhof–Love, 91 plaque de Reissner–Mindlin, 87 poutre, 60 stratifié, 75 Essai chargement triaxial, 7

319 Charpy, 8 dureté, 8 effacement, 20 flexion, 7 fluage, 6 relaxation, 7 torsion, 7 traction, 6 Euler charge critique, 66, 167 Extensomètre, 8 Facteur d’intensité de contrainte, 110 mode I, II, III, 112 Fatigue fissuration, 114, 192 Fissuration bateau, 129 Fissuration critique, 192 Flèche poutre, 62 Flambage poutre en traction, 167 Flambement, 165 Flexion essai, 7 poutre, 162 Fluage, 16 essai, 6 fil de brasure, 123 sel gemme, 123 Fonction de charge, 46 Fuite avant rupture, 193 Gauchissement, 63 Griffith, 107 Gurson critère, 28 Hashin–Shtrikman bornes, 188 Hencky–Mises, 46 Hill critère, 29 fuseau de, 187 principe, 36 Hill–Tsaï, 78 Homogénéisation périodique, 188 Invariants, 24 Isotrope

320

INDEX écrouissage, 15 élasticité, 72

Jauge de déformation, 8 Kelvin–Voigt modèle de viscoélasticité, 17 Kirchhoff–Love théorie de plaque, 90 Kitagawa diagramme, 114 Limite de fatigue, 115 Lode angle, 24 Loi de comportement plaque de Kirchhoff–Love, 92 plaque de Reissner–Mindlin, 88 poutre, 60 poutre sandwich, 65 stratifié, 76 Loi de mélange, 72 Manic5 barrage, 122 Matériau composite, 69 Matériaux hétérogènes, 95 Maxwell modèle de viscoélasticité, 16 Mise en forme, 125 Modèle de Prager, 14 Modèle rhéologique, 12 Modèles associé, 35 standard, 35 Mohr–Coulomb critère, 27 Moment de flexion, 53 Moment quadratique, 52 Moteur automobile, 125 Multiplicateur plastique, 36, 37, 46, 48 écrouissage cinématique, 47 écrouissage isotrope, 46 plasticité parfaite, 40 Muskhelishvili, 110 Navier–Bernoulli poutre, 58, 63 Normalité généralisée, 45

Norton modèle de viscoplasticité, 21 Paris, 114 Plaque de Kirchhoff–Love loi de comportement, 92 Plaque de Reissner–Mindlin équilibre, 87 loi de comportement, 88 Plaque stratifiée, 74 Plaques, 83 Plasticité parfaite, 13 uniaxiale, 13 Plasticité 3D, 33 non associée, 40, 151 parfaite, 39, 142 Potentiel élastique, 100 Potentiel viscoplastique, 35 Poussée, 27 Poutre équilibre, 60 de Navier–Bernoulli, 58 de Timoshenko, 58 lois de comportement, 60 sandwich, 63, 126, 162 Poutre sandwich lois de comportement, 65 Prager expression tridimensionnelle, 47 expression uniaxiale, 14 Prandtl–Reuss, 46 Principe de Hill, 36 Principe des travaux virtuels, 57 Résilience, 107 Règle de normalité, 36, 37 Ramberg–Osgood modèle d’écrouissage, 16 Rankine critère, 28 Recouvrance, 20 Reissner–Mindlin théorie de plaque, 83 Relaxation, 16 essai, 7 temps caractéristique, 18 Retour élastique, 123 Reuss borne, 187

INDEX borne inférieure, 103 Rhéologie, 11 Rochet, 126 Rotation relative poutre, 62 Rotule plastique, 136 Saint-Venant principe, 52 problème, 51 solution, 54 sandwich, 64 Sphère cavité élastoviscoplastique, 154 Sphère sous pression, 144 Stratifiés, 69, 74 Structure composite, 69 Taux de restitution d’énergie, 108 Température influence sur le comportement, 21 Température de transition, 107 Temps caractéristique relaxation, 18 Tenseur élastoplastique, 48 déformation de membrane, 84 de courbure, 84 Théorème de l’énergie complémentaire, 103 Théorème de l’énergie potentielle, 102 Thermocouple, 8 Timbrage, 149 Timoshenko poutre, 58 Torsion essai, 7 Traction essai, 6 Travail maximal, 36 Tresca comparaison avec von Mises, 138 critère, 25, 142 Tsaï critère, 30 Tube composite sous pression, 170 Tube sous pression, 140, 171 fissuration, 192 Viscoélasticité, 16

321 Viscoplasticité uniaxiale, 18 Viscoplasticité 3D, 33 non associée, 40 Vissage, 126 Voigt borne, 187 borne supérieure, 102 modèle de viscoélasticité, 16 notation de, 70 Volume élémentaire représentatif, 97 Von Mises critère, 25 von Mises comparaison avec Tresca, 138 Wafer, 127 Westergaard, 110 Zener modèle de viscoélasticité, 18 Zone plastique, 135, 148