PolyMaths

MATHEMATIQUES MAT 3001

INTRODUCTION A LA THEORIE DE L'INTEGRATION ET ELEMENTS D'ANALYSE

Randal Dou

Table des matières

1 Introdu tion

7

2 Notations

9

2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Convergen e des séries de fon tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Théorie de la mesure

3.1 Espa es mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Dénition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Propriétés Immédiates : Monotonie, Sous additivité et ontinuité 3.2.3 Deux outils importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Points essentiels du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Intégrale de Lebesgue

4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Fon tions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Intégrale de fon tions mesurables positives . . . . . . . 4.3 Fon tions intégrables et propriétés . . . . . . . . . . . 4.3.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Interversion du signe intégral . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Interversion série/intégrale . . . . . . . . . . . 4.4.2 Continuité et dérivation sous le signe intégrale 4.5 Points essentiels du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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A Constru tion de l'intégrale de Lebesgue

9 9

11

11 11 14 14 15 16 18 18 19

21

21 22 24 26 26 27 28 28 28 29 29

31

A.1 Intégrale pour des fon tions étagées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Fon tions de variables omplexes

5.1 Fon tions holomorphes et analytiques . . . . . 5.2 Intégration urviligne . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Homotopie des la ets orientés . . . . . . 5.3.2 Théorème de Cau hy homotopiques . . 5.4 Fon tions logarithmique et puissan es . . . . . 5.5 Indi e d'un point par rapport à un la et orienté 3

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35

36 42 43 43 44 45 47

5.6 Théorème des résidus . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Séries de Laurent . . . . . . . . . . 5.6.2 Singularité . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Théorème des résidus et lemmes de 5.7 Points essentiels du hapitre . . . . . . . . 5.8 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . Jordan . . . . . . . . . .

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7.1 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Transformée de Fourier d'une fon tion de L1 . 7.1.2 Propriétés de la transformée de Fourier . . . 7.1.3 Transformée de Fourier d'une fon tion de L2 . 7.1.4 Transformée de Fourier et onvolution . . . . 7.2 Points essentiels du hapitre . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8.1 Espa e D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Dénition de l'espa e D . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Propriétés de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Convergen e dans D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Distribution. Espa e D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Opération sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Dérivée d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Multipli ation des distributions . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Changement de variables ane . . . . . . . . . . . . 8.3.4 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Support d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Convergen e dans D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Approximation de δ par des distributions régulières . 8.6 Distributions à support ompa t . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Distributions à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1 Espa e S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.2 Les distributions tempérées. Espa e S ′ . . . . . . . . 8.9 Produit tensoriel des distributions . . . . . . . . . . . . . . 8.9.1 Dérivée du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . .

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6 Espa e de Hilbert

6.1 Dénition et premières propriétés . . 6.1.1 Espa e de Bana h . . . . . . 6.1.2 Espa e de Hilbert . . . . . . 6.1.3 Convergen e faible . . . . . . 6.2 Espa es fon tionnels lassiques . . . 6.2.1 Support d'une fon tion . . . 6.2.2 Espa es de fon tions bornées 6.2.3 L'espa e L1 . . . . . . . . . . 6.2.4 L'espa e L2 . . . . . . . . . . 6.2.5 L'espa e L∞ . . . . . . . . . . 6.2.6 Espa e L∞ (A) . . . . . . . . 6.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . 6.4 Points essentiels du hapitre . . . . . 6.5 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . .

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7 Transformation de Fourier des fon tions

8 Les distributions

4

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48 48 49 49 51 51

53

54 54 54 58 58 58 59 59 60 60 61 61 62 62

65 66 66 69 71 73 74 74

77

78 78 79 79 80 83 83 85 85 86 86 86 87 87 88 88 89 90 92 93

5 8.10 Produit de onvolution des distributions . . . . . . . . . . 8.10.1 Convolution des fon tions . . . . . . . . . . . . . . 8.10.2 Convolution des distributions . . . . . . . . . . . . 8.11 Transformation de Fourier des distributions tempérées . . 8.11.1 Propriétés de la transformation de Fourier dans S ′ 8.12 Points essentiels du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9.1 Dénition et sommabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Sommabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Propriétés de la transformée . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Propriétés élémentaires et exemples de transformées de Lapla e 9.3.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Dérivation et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Points essentiels du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9 Transformation de Lapla e

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93 93 94 95 96 98 98

101

101 102 102 104 104 105 105 106 107 107 107

6

Chapitre 1 Introdu tion

Ce ours vise essentiellement à fournir des outils mathématiques liés à la théorie de l'intégration et des distributions qui ont des appli ations dans de nombreux domaines aussi bien l'aléatoire (la théorie de la mesure et de l'intégration est extrêmement utilisée en probabilités et statistiques) que le traitement du signal, les ommuni ations numériques ou la physique mathématique... Il a été bâti à partir des divers ours existants et nous iterons simplement les ontributions les plus importantes : les parties 3 et 4 ont été onçus à partir des ours d'André Le Breton, Ja ques Neveu et François Le Drappier, la partie 5 s'inspire des notes de Fran is Maisonneuve, Mi hèle Audin, la partie 6, de l'ex ellent poly opié de Jean Mi hel Bony, les parties 7 et 9 sont issues du livre de Walter Appel et enn, la partie Distribution, la partie 8 est dire tement issue du ours de Bayen-Margaria qui a servi de référen e à e ours pendant de nombreuses années à Tele om Sud Paris.

Ressour es, méthodes, travail, organisation. Pour le ours de MAT3001, vous avez à votre disposition 1. Le poly opié de ours- Disponible en version papier ou sous forme éle tronique ( hier pdf) sur Moodle. 2. Le poly opié d'exer i es- Disponible en version papier ou sous forme éle tronique ( hier pdf) sur Moodle. 3. Les transparents du ours- Disponible sous forme éle tronique ( hier pdf) sur Moodle. 4. Une foire aux questions- Disponible sous forme éle tronique ( hier pdf) sur Moodle. 5. Les annales des années pré édentes- Disponible en version papier ou sous forme éle tronique ( hier pdf) sur Moodle. La orre tion de la plupart des examens est télé hargeable sur Moodle. 6. Les mots lés- : au début de haque hapitre. 7. Les points essentiels- : en n de haque hapitre. 8. Les noti es bibliographiques- : en n de haque hapitre, quelques biographies de mathémati iens. Pour que e ours vous soit vraiment protable, il est onseiller d'opérer de la fa on suivante : ◮ Avant haque amphi : faire un premier survol du ours en faisant un va et vient entre les transparents télé hargeables sur Moodle et le poly opié (inutile dans e premier survol de regarder les preuves mais seulement on entrez vous à exhiber les théorèmes importants et à repérer les ommentaires sur l'utilisation pratique de es théorèmes) ◮ Après haque amphi : voir sur le poly opié les points du hapitre qui né essitent plus d'eort (on peut alors lire les preuves de ertains théorèmes). ◮ Avant haque séan e de TD : ne pas hésiter à refaire les exer i es déjà vus pour bien se xer les preuves. 7

8 ◮

CHAPITRE 1.

INTRODUCTION

Après haque séan e de TD : Commen er dès à présent à faire ertains exer i es des annales ( eux qui sont en rapport dire t ave là où on en est dans le ours).

Chapitre 2 Notations

Nous donnons i i quelques notations usuelles qui seront utilisées tout au long de e ours.

1x∈A = 1(x ∈ A) 1A

i.e. P(Ω) Ac limn an limn an A⊃B A\B ¯ R ¯+ R a+ a− iR

(

si x ∈ A, sinon. Fon tion ω 7→ 1A (ω) = 1(ω ∈ A) id. est. ( 'est à dire) Ensemble des parties de Ω. Ω \ A, omplémentaire de A dans Ω limite sup : limn→∞ supp≥n ap limite inf : limn→∞ inf p≥n ap A ontient B ou B est in lus dans A =

1 0

{x ∈ A; x ∈ / B} R ∪ {−∞, ∞} [0, ∞] max{a, 0} max{−a, 0} {iy, y ∈ R} ensemble des imaginaires purs

Et on remarquera les relations a = a+ − a− et |a| = a+ + a−

2.1 Rappels Dénition 2.1.1

On se pla e dans un espa e ve toriel normé (de norme |·|). On dit que f est diérentiable en a ssi pour tout h dans un voisinnage de a, f (a + h) = f (a) + dfa (h) + r(h)

où dfa est une forme linéaire et limh→0 |r(h)|/|h| = 0. On note en ore f (a + h) = f (a) + dfa (h) + o(h).

2.1.1 Convergen e des séries de fon tions Dénition 2.1.2

Soient uneP suite de fon tions (fn ) de Ω à valeurs dans un espa e ve toriel normé (de norme | · |). La série de fon tion n≥0 fn onverge P i) simplement ssi la série n≥0 fn (x) onverge pour tout x de Ω. 9

10

CHAPITRE 2.

P

NOTATIONS

ii) absolument ssi la série n≥0 |fn (x)| onverge pour tout x de Ω. P iii) uniformément ssi elle onverge simplement et supx | n≥p fn (x)| onverge vers 0 lorsque p → ∞.

Chapitre 3 Théorie de la mesure

Sommaire

3.1 Espa es mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilité par réunion dénombrable Tribu engendrée . . . . . . . . . . Tribu produit . . . . . . . . . . . .

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11 12 12 14

3.2.1 Dénition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Propriétés Immédiates : Monotonie, Sous additivité et ontinuité 3.2.3 Deux outils importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egalité de deux mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extension d'une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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14 15 16 17 17 18

3.2 Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Points essentiels du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.4 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Paul Dira (1902-1984).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Sour e : wikipedia

Mots lés 3.1 tribus, tribus engendrées, tribu produit, tribu borélienne, mesure, mesure produit, mesure de Lebesgue, existen e de mesures, égalité de deux mesures.

3.1 Espa es mesurables 3.1.1 Tribu On onsidère un ensemble de quantités d'intérêt Ω. Cela peut être un ensemble ni, un ensemble dénombrable (N par exemple), ou même indénombrable (R ou Rd ) ou même un ensemble de fon tions. En théorie des probabilités, et ensemble sera typiquement l'espa e des réalisations, mais dans le adre de e ours, nous n'avons pas besoin de l'identier de ette manière. Sur Ω, on va s'intéresser à une famille de sous ensembles qui vont satisfaire un ertain nombre de propriétés de stabilité :

Dénition 3.1.1

Soit F une famille de parties d'un ensemble Ω. On dit que F est une tribu sur Ω ssi i) L'ensemble vide ∅ ∈ F ,

ii) Si A ∈ F alors le omplémentaire Ac def = Ω \ A ∈ F, (◮Stabilité par omplémentation) iii) Si pour tout i ∈ N, Ai ∈ F alors ∩i∈N Ai ∈ F . (◮Stabilité par interse tion dénombrable) 11

12

CHAPITRE 3.

THÉORIE DE LA MESURE

On dit alors que le ouple (Ω, F ) est un espa e mesurable. La tribu la plus petite possible F = {∅, Ω} sera appelée tribu triviale. On fera bien attention d'une part que les singletons ne sont pas né essairement dans la tribu et d'autre part que la notion de stabilité par interse tion est donnée pour une interse tion dénombrable. Par ontre, l'ensemble Ω est né essairement dans F puisque Ω = (∅)c . def

Remarque 3.1.1 On peut d'ailleurs trouver aussi dans la littérature d'autres dénitions équivalentes de la tribu, omme la suivante : Soit F une famille de parties d'un ensemble Ω. On dit que F est une tribu sur Ω ssi i) Ω ∈ F ,

ii) Si A ∈ F alors le omplémentaire Ac def = Ω \ A ∈ F, (◮Stabilité par omplémentation) iii) Si pour tout i ∈ N, Ai ∈ F alors ∪i∈N Ai ∈ F . (◮Stabilité par union dénombrable) Cette dénition ne sera pas utilisée dans e ours ; on utilisera plutt la dénition 3.1.1 ; par ontre, on verra dans la suite que la stabilité par union dénombrable est une onséquen e de la dénition 3.1.1.

La stabilité par interse tion dénombrable implique notamment la stabilité par interse tion nie. En eet, donnons nous une famille nie d'ensembles de F , (Ai )1≤i≤n . Alors en posant Ak = Ω pour tout k > n, il vient ∩i∈N Ai = ∩1≤i≤n Ai ∈ F du fait de la propriété iii) de la Dénition 3.1.1.

Stabilité par réunion dénombrable Une propriété quasi immédiate issue de la dénition de la tribu est la stabilité par réunion dénombrable. Notons en eet qu'un point qui n'appartient pas à la réunion de tous les Ai n'appartient à au un

des Ai et don appartient à l'interse tion de leur omplémentaire. Ce i peut se traduire mathématiquement par c ∞ c ∞ c c (∪∞ ou en ore ∪∞ i=1 Ai ) = ∩i=1 (Ai ) i=1 Ai = (∩i=1 (Ai ) )

Ce qui onduit en utilisant ii) et iii) de la dénition 3.1.1 :

Lemme 3.1.2. Stabilité Ai ∈ F alors ∪∞ i=1 Ai ∈ F .

- Si F est une tribu et si pour tout i ∈ N,

par réunion dénombrable

Comme pour l'interse tion, la stabilité par réunion dénombrable implique notamment la stabilité par réunion nie. Soit don une famille nie d'ensembles de F , (Ai )1≤i≤n . Il sut ette fois- i de poser

Ak = ∅ pour tout k > n et il vient que ∪i∈N Ai = ∪1≤i≤n Ai ∈ F par le Lemme 3.1.2.

Tribu engendrée Voyons d'abord deux exemples de tribus expli ites. La lasse P(Ω) de toutes les parties de Ω est

lairement une tribu. De plus, si (Ai )i∈I est une partition de Ω ave I ni ou dénombrable (i.e. les Ai sont deux-à-deux disjoints et leur réunion est Ω) alors on peut vérier simplement que l'ensemble {∪i∈J Ai , où J ⊂ I} est une tribu où l'on a utilisé la onvention ∪i∈J Ai = ∅ si J = ∅. Néanmoins, à part es deux exemples, il n'y a pas d'é riture proprement expli ite des éléments de la tribu à l'aide des symboles de réunion ∪, d'interse tion ∩ ou du passage au omplémentaire. En fait, la plupart des tribus que nous manipulerons seront obtenus par le pro édé (non expli ite) issu de la proposition suivante.

Proposition 3.1.3. Pour tout C , famille de parties de Ω, il existe une tribu σ(C) sur Ω vériant : i) C ⊂ σ(C). ii) Pour toute tribu T , on a (C ⊂ T ⇒ σ(C) ⊂ T ). σ(C) est don la "plus petite" tribu ontenant C . Cette tribu sera notée dans toute la suite σ(C) et on l'appellera tribu engendrée par C .

En d'autres termes, si on a à notre disposition une famille de parties quel onques C , on peut toujours l'in lure dans une tribu et même hoisir la plus petite tribu qui la ontienne, notée σ(C). Nous donnons maintenant un ritère simple d'égalité entre deux tribus engendrées par des familles de parties diérentes.

3.1.

13

ESPACES MESURABLES

C

in lus dans

σ(D)

⇒ D Fig.

in lus dans

σ(C) = σ(D)

σ(C)

3.1  Egalité de deux tribus engendrées : Proposition 3.1.4

Proposition 3.1.4. Deux lasses (ou familles de parties) σ(D)) si elles vérient la double in lusion : C ⊂ σ(D)

C

et D engendrent la même tribu (σ(C) =

et D ⊂ σ(C)

Une façon d'utiliser de théorème onsistera à é rire tout élément de C en terme de réunion, d'interse tion ou de passage au omplémentaire d'éléments de D puis à faire la même hose pour tout élément de D en fon tion des éléments de C , e qui permettra alors d'identier les tribus engendrées en vertu de

ette proposition. Démonstration. (des Propositions 3.1.3 et 3.1.4) Soit A def = {T ; T tribu de Ω et C ⊂ T }, l'ensemble des tribus ontenant C . On a lairement que A est non vide puisqu'il ontient au moins P(Ω) (P(Ω) est une tribu

ontenant C ). Alors, on montre fa ilement que ∩T ∈A T est une tribu ontenant C . De plus, par onstru tion, toute tribu ontenant C est né essairement dans A et don ontient né essairement ∩T ∈A T , e qui a hève la preuve de la proposition 3.1.3. La preuve de la proposition 3.1.4 vient dire tement de l'in lusion C ⊂ σ(D) entraîne σ(C) ⊂ σ(D). 

Exemple 3.1.1

La tribu engendrée par l'ensemble A est

{∅, A, Ac , Ω}.

Exemple 3.1.2

La tribu engendrée par la partition (Ai )i∈I ave I ni ou dénombrable est {∪i∈J Ai , où J ⊂ I},

ave la onvention ∪i∈J Ai = ∅ si J = ∅.

Les tribus qui nous intéresserons par la suite seront essentiellement onstruites omme ela. Une famille C de parties nous intéresse et de façon à pouvoir utiliser ertains outils qui ne sont onstruits que sur les tribus ( omme les mesures par exemple), nous les in luons dans une tribu en vertu de la Proposition 3.1.3. Le fait qu'il est impossible de donner une des ription expli ite de tous les éléments d'une tribu engendrée n'est pas un in onvénient, ni du point de vue théorique (l'objet "tribu engendrée" existe et sert prin ipalement à assurer un onfort mathématique) ni du point de vue pratique (les éléments qu'il importe de dé rire en pratique sont des éléments parti uliers et don pour es éléments parti uliers, on pourra savoir s'ils sont dans la tribu en les é rivant (ou non) omme interse tion et réunion dénombrable d'éléments de la tribu). Une lasse d'ensembles parti ulièrement importante est elle des ouverts de Rk . Ce n'est pas une tribu puisque le omplémentaire d'un ouvert n'est pas un ouvert, par ontre on peut l'in lure dans une tribu en vertu de la Proposition 3.1.3 et même la plus petite tribu possible. La plus petite tribu ontenant les ouverts sera appelée tribu borélienne de Rk . On la notera dans toute la suite Bk . Un borélien sera un élément de la tribu borélienne. On montre que les ouverts, les fermés, les intervalles nis ou innis, (ou les pavés qui sont l'extension des intervalles en dimension supérieure à 1) sont des boréliens. Exer i e

3.1

Montrer que la tribu borélienne sur R orrespond à la tribu engendrée par {]∞, a], a ∈ R}.

14

CHAPITRE 3.

THÉORIE DE LA MESURE

Tribu produit Dénition 3.1.5

Soient (Ω, F ) et (Ω′ , F ′ ) deux espa es mesurables. On appelle tribu produit de F et F ′ et on note F ⊗F , la tribu sur Ω×Ω′ engendrée par la famille des pavés mesurables {A×A′ ; A ∈ F, A′ ∈ F ′ }. L'espa e mesurable (Ω × Ω′ , F ⊗ F ′ ) est appelé espa e mesurable produit de (Ω, F ) et (Ω′ , F ′ ). ′

Exer i e

3.2

Montrer que la tribu borélienne de R2 orrespond ave la tribu produit B1 ⊗ B1 .

3.2 Mesure 3.2.1 Dénition et exemples Une tribu est don une famille de sous ensembles de Ω. Un élément de la tribu est alors un sous ensemble de Ω. Une fois la notion de tribu dénie, on va her her à asso ier à une partie d'un ensemble (i.e. un élément de la tribu) un nombre réel positif. La mesure sera une sorte d'extension de la "taille" ou bien de la "surfa e" ou du "volume". Pour omprendre le lien entre la théorie de la mesure et elle des probabilités, onsidérons une expérien e aléatoire dont Ω est l'ensemble des tous les résultats possibles. Dénir une (loi de) probabilité, 'est se donner une fon tion qui à un événement (partie de Ω) asso ie un nombre (dans [0, 1]) traduisant les han es qu'il a de se réaliser. D'où la notion de mesure. Néanmoins dans e ours, les mesures seront onsidérées dans leur sens général et nous ne nous restreindrons don pas aux mesures de probabilités. Plaçons nous maintenant dans un adre plus mathématique :

Dénition 3.2.1 Soit (Ω, F ) un espa e mesurable. On dit que ν : F → R ∪ {∞} est une mesure positive ssi i) 0 ≤ ν(A) ≤ ∞ pour tout A ∈ F . ii) Si Ai ∈ F pour tout i ∈ N et si les (Ai ) sont disjoints (i.e, Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j ) alors ν (∪i∈N Ai ) =

X

ν(Ai )

(◮σ -additivité)

i∈N

Si de plus, ν(Ω) < ∞ on dira que ν est une mesure nie. Si ν(Ω) = 1, on dira que ν une mesure de probabilité. A part pour la mesure innie (i.e. ν(A) = ∞ pour tout A ∈ F ), la relation ii) implique que ν(∅) = 0. En eet, prenons A tel que ν(A) < ∞ alors omme A ∩ ∅ = ∅, il vient par la propriété de σ-additivité, ν(A) = ν (A ∪ ∅) = ν(A) + ν(∅) d'où ν(∅) = 0. On souligne qu'une mesure positive est à valeurs dans R+ ∪ {∞} et peut don prendre des valeurs innies. Ainsi la propriété de σ-additivité tiendra ompte des relations usuelles : ∞ + ∞ = ∞ et ∞ + a = ∞ pour tout a ∈ R. On appellera dans toute la suite espa e mesuré le triplet (Ω, F , ν). Nous présentons d'emblée quelques exemples très importants pour les appli ations :

Exemple 3.2.1

-. Notons

Mesure de omptage

ν(A) =

(

nombre d'éléments de A si A est ni ∞ sinon.

Alors ν est une mesure sur (Ω, F ) appelé mesure de omptage.

Exemple 3.2.2

Mesure de dira -. Si x ∈ Ω, alors δx déni par δx (A) = 1(x ∈ A) pour tout A ∈ F est une mesure sur (Ω, F ) appelé mesure de dira en x.

Exemple 3.2.3

-. Si (xi ) ∈ ΩN et (ωi ) ∈ RN alors la mesure utilisée en Traitement du signal et sera appelée peigne de Dira . Peigne de dira

P∞

i=1

ωi δxi est extrêmement

Exemple 3.2.4 Mesure de Lebesgue-. On admettra l'existen e et l'uni ité d'une mesure λ sur (R, B) telle que λ([a, b]) = b − a pour tout intervalle ni [a, b], −∞ < a < b < ∞. Cette mesure sera appelée mesure de Lebesgue sur R ; elle orrespond intuitivement à la notion de "longueur de l'ensemble".

3.2.

15

MESURE

La mesure de Lebesgue sera extrêmement utilisée par la suite. Contrairement à la mesure de omptage, la mesure de Lebesgue ne harge pas les singletons, i.e. λ({a}) = 0 pour tout a ∈ R. C'est l'objet de l'exer i e suivant. Exer i e d'appli ation

a ∈ R.

3.1

Montrer que pour la mesure de Lebesgue λ, on a λ({a}) = 0 pour tout

Indi ation : On pourra d'abord montrer que si a < b, λ([a, b]) = λ(]a, b]).

Enn, nous terminerons par une propriété très simple que le le teur pourra montrer à titre d'exer i e.

Lemme 3.2.2. Pour tout A, B ∈ F , ν(A ∪ B) + ν(A ∩ B) = ν(A) + ν(B)

A

A∩B

B

A∪B

Fig.

3.2  ν(A ∪ B) + ν(A ∩ B) = ν(A) + ν(B)

3.2.2 Propriétés Immédiates : Monotonie, Sous additivité et ontinuité De la dénition, nous pouvons extraire quelques propriétés relativement immédiates extrêmement utilisées dans la pratique :

Proposition 3.2.3. Soit (Ω, F , ν) un espa e mesuré. i) Si A ⊂ B alors ν(A) ≤ ν(B). P∞ ii) Pour toute suite A1 , A2 , . . . , on a ν (∪∞ i=1 Ai ) ≤ i=1 ν(Ai ) iii) Pour toute suite emboîtée, A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , on a

(◮Monotonie) (◮

n ν(∪∞ i=1 Ai ) = lim ν(∪i=1 Ai ) = lim ν(An ) n→∞

n→∞

Sous additivité)

(◮

Continuité)

(◮

Continuité)

iv) Pour toute suite A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ave ν(A1 ) < ∞,

n ν(∩∞ i=1 Ai ) = lim ν(∩i=1 Ai ) = lim ν(An ) n→∞

n→∞

. L'ingrédient essentiel des diérentes preuves est d'utiliser la σ -additivité et pour ela, de se ramener à des ensembles disjoints. i) Il sut de remarquer que A et B \ A sont disjoints et B = A ∪ (B \ A). Par σ -additivité, il vient ν(B) = ν(A) + ν(B \ A) ≥ ν(A) par positivité de la mesure ν . ii) Les (Ai ) étant quel onques, ils ne sont pas a priori deux à deux disjoints. Un travail de réé riture est d'abord ∞ né essaire : é rivons don ∪∞ i=1 Ai = ∪i=1 Bi ave

Démonstration

Bi =

(

Ai \ ∪i−1 j=1 Aj A1




si i ≥ 2 sinon.

(3.1)

Et on voit lairement que les Bi sont deux à deux disjoints et de plus, par propriété de monotoni ité, On peut enn appliquer la σ -additivité de la mesure, il vient

ν(Bi ) ≤ ν(Ai ).

ν(∪∞ Ai ) = | i=1 {z } ∪∞ i=1 Bi

∞ X i=1

ν(Bi ) ≤

∞ X i=1

ν(Ai )

16

CHAPITRE 3.

THÉORIE DE LA MESURE

iii) Soient A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , en reprenant la dénition de Bi donnée en (3.1), il vient par σ -additivité sur les (Bi ), ν(∪∞ Ai ) = | i=1 {z } ∪∞ i=1 Bi

∞ X

ν(Bi ) = lim

i=1

n→∞

n X

ν(Bi ) = lim ν(∪n i=1 Bi ) = lim ν(An )

i=1

n→∞

n→∞

où la dernière égalité vient dire tement du fait que les (Ai ) étant emboîtés, ∪ni=1 Bi = An . La preuve est a hevée en notant que An = ∪ni=1 Ai par "emboîtement" des Ai . iv) La dernière propriété pour des ensembles A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ave ν(A1 ) < ∞ est laissée au le teur à titre d'exer i e. 

Montrer que la ondition ν(A1 ) < ∞ dans la Proposition 3.2.3 iv) est né essaire. Inν la mesure de omptage, et An = {m ∈ N; m ≥ n} puis montrer su

essivement que ν(An ) = ∞ et ν(∩∞ n=1 An ) = ν(∅) = 0 6= limn→∞ ν(An ). Exer i e

3.3

di ation : On pourra hoisir pour

Il est fa ile en utilisant la sous-additivité (Prop 3.2.3, ii) de montrer que

Lemme 3.2.4. Si pour tout i, ν(Ai ) = 0 alors ν (∪∞ i=1 Ai ) = 0. Puis par omplémentation, si ν est une mesure de probabilité (i.e. ν est une mesure positive et ν(Ω) = 1)et si pour tout i ∈ N, ν(Bi ) = 1 alors ν (∩∞ i=1 Bi ) = 1. Ce lemme nous apprend que si on a une olle tion d'ensembles de mesure nulle, même si on prend leur réunion (don un ensemble plus grand que n'importe lequel d'entre eux), on restera ave un ensemble de mesure nulle. Et par omplémentation, si on a une olle tion d'ensembles de probabilité 1, et si on

onsidère leur interse tion, (don un ensemble plus petit que n'importe lequel d'entre eux), on reste malgré tout ave un ensemble de mesure 1. 3.2 Montrer que pour si A ∈ B est un ensemble dénombrable. Alors, la mesure de Lebesgue ne harge pas A, i.e. Exer i e d'appli ation

λ(A) = 0

Par exemple, Q a beau être un ensemble dense dans R, il est dénombrable et don par le lemme pré édent, Q est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue. Nous terminons par une notion fortement utilisée en probabilité lorsqu'on veut parler d'événement qui se réalise "presque toujours" dans le sens l'événement omplémentaire est de probabilité nulle. Dans le adre général de la théorie de la mesure,

e type de notion se traduit par les deux dénitions suivantes :

Dénition 3.2.5

Soit (Ω, F , ν) un espa e mesuré.

i) On dira que A est ν -négligeable pour ν s'il existe un ensemble N ∈ F telle que A ⊂ N et ν(N ) = 0. ii) On dira que A est vraie ν -presque partout (ou ν − p.p.) si le omplémentaire de A est négligeable.

Par exemple, quand on prend un réel quel onque x ∈ R, la propriété "x est un irrationnel" est une propriété vraie presque partout par rapport à la mesure de Lebesgue, λ ; en eet soit A = {irrationnels}, on a Ac = Q et on vient de voir que λ(Q) = 0.

3.2.3 Deux outils importants Deux notions vont nous intéresser parti ulièrement pour les mesures : la première va permettre de vérier simplement si deux mesures sont les mêmes (elle pourra être utilisée notamment lorsque l'on veut montrer l'uni ité d'une ertaine mesure vériant telle ou telle propriété). La deuxième permettra d'étendre une "mesure" dénie sur une ertaine famille de parties (qui n'est pas une tribu) à une "vraie" mesure dénie sur la tribu engendrée par ette famille de parties (elle pourra par exemple être utilisée pour montrer l'existen e d'une mesure vériant telle ou telle propriété).

3.2.

17

MESURE

Egalité de deux mesures Dénition 3.2.6 On appelle π-système une famille d'ensembles C stable par interse tion nie i.e. ∀A, B ∈ C,

A∩B ∈C

Une tribu est don un π-système mais la ré iproque n'est pas vraie. Nous admettrons le théorème suivant :

Théorème 3.2.7. Soient µ et ν deux mesures dénies sur (Ω, F ) et soit C ⊂ F un π-système. On suppose que pour tout C ∈ C , µ(C) = ν(C) et µ(Ω) = ν(Ω). Alors µ(A) = ν(A) pour tout A ∈ σ(C). En d'autres termes, deux mesures qui oin ident sur un π-système et sur Ω oin ident don sur la tribu engendrée par le π-système. Pour bien visualiser l'intérêt de e théorème, nous vous proposons de montrer que la mesure de Lebesgue est l'unique mesure λ sur (R, B) telle que pour tout a ≤ b, λ([a, b]) = b − a. Si en eet deux mesures λ1 et λ2 vériaient ette propriété, alors elles oïn ideraient sur l'ensemble des segments {[a, b]; a ≤ b} qui forme un π -système. De plus, les deux mesures rendent la même valeur sur tout l'espa e : λ1 (R) = ∞ = λ2 (R). En eet, en remarquant que la réunion des segments disjoints ∪∞ n=1 [n, n + 1/2] est in lus dans R, on a par σ-additivité que pour i = 1 ou 2, λi (R) ≥

λi (∪∞ n=1 [n, n

+ 1/2]) =

∞ X

λi ([n, n + 1/2]) =

n=1

∞ X

n=1

1/2 = ∞.

On peut alors appliquer le théorème et on en tire que les deux mesures λ1 et λ2 oin ident sur la tribu engendrée par les segments, i.e. sur la tribu des boréliens. L'uni ité est prouvée.

Extension d'une mesure Dénition 3.2.8 On appelle algèbre sur suivantes : i) ∅ ∈ E0 . ii) F ∈ E0 ⇒ F c ∈ E0 . iii) F, G ∈ E0 ⇒ F ∩ G ∈ E0 .

Ω une famille de parties de Ω vériant les trois propriétés

Une algèbre a don presque toutes les propriétés d'une tribu sauf que la stabilité est par interse tion

nie. Une tribu est don une algèbre mais la ré iproque n'est pas vraie. Pour résumer, {π-systèmes} ⊃ {algèbres} ⊃ {tribus} sans que les in lusions en sens inverses soient vériées en général.

Dénition 3.2.9

Une fon tion d'ensemble ν dénie sur E0 est dite σ-additive ssi pour toute réunion dénombrable d'éléments Fi ∈ E0 , disjointes deux à deux (Fi ∩ Fj = ∅ pour i 6= j ) et ∪i∈N Fi ∈ E0 , on a ν(∪i∈N Fi ) =

∞ X

ν(Fi ).

i=1

Une mesure est don simplement une fon tion d'ensemble positive σ-additive sur une tribu. Nous admettrons le théorème d'extension (ou de prolongement) suivant :

Théorème 3.2.10. Théorème d'extension de Carathéodory- Soit Ω un ensemble et E0 une algèbre sur Ω. Soit ν0 une fon tion d'ensemble σ-additive positive telle que ν0 (Ω) < ∞. Alors, il existe une unique mesure ν sur σ(E0 ) telle que ν = ν0 sur E0 . En d'autres termes, une fon tion d'ensemble positive vériant la σ-additivité sur une algèbre peut s'étendre en une mesure sur la tribu engendrée par l'algèbre.

18

CHAPITRE 3.

THÉORIE DE LA MESURE

De nouveau, e théorème peut montrer l'existen e de la mesure de Lebesgue sur [0, 1]. Donnons seulement les étapes sans les détailler. On montre que l'ensemble I des réunions nies d'intervalles dont les bornes sont in luses ou non in luses forme une algèbre. On dénit la fon tion d'ensemble λ sur I par λ(]a, b[) = λ([a, b[) = λ(]a, b]) = λ([a, b]) = b − a

pour 0 ≤ a ≤ b ≤ 1

ave les onventions usuelles (∞ − a = ∞ ou ∞ + ∞ = ∞). On vérie alors fa ilement la σ-additivité de ette fon tion d'ensemble et on applique enn le théorème. L'existen e de la mesure de Lebesgue sur [0, 1] est alors assurée.

3.2.4 Mesure produit Nous terminons e hapitre par les mesures produits. Disons le tout de suite, il existe beau oup de mesures sur l'espa e produit diérentes des mesures produits ! Il s'agira i i seulement d'une mesure parti ulière sur l'espa e produit. Nous avions vu omment onstruire la tribu produit F ⊗ F ′ en partant de deux espa e mesurables : (Ω, F ) et (Ω′ , F ′ ). Si maintenant on munit ha un de es deux espa es d'une mesure ν et ν ′ alors on peut onstruire une mesure sur l'espa e produit par la proposition suivante :

Proposition 3.2.11. mesure produit- Soient (Ω, F , ν) et (Ω′ , F ′ , ν ′ ) deux espa es mesurées. Il existe une unique mesure sur (Ω × Ω′ , F ⊗ F ′ ) notée ν ⊗ ν ′ telle que pour tout A ∈ F et B ∈ F ′ on a ν ⊗ ν ′ (A × B) = ν(A)ν ′ (B)

La mesure ν ⊗ ν ′ est aussi appelée produit tensoriel des mesures ν et ν ′ . La démonstration s'appuie de nouveau sur le théorème d'extension de Carathéodory mais nous ne pouvons pas l'appliquer dire tement

ar la lasse des pavés {A × B, A ∈ F, B ∈ F ′ } ne forme pas une algèbre, (il sut pour le voir de prendre le omplémentaire d'un pavé et de se rendre ompte qu'il ne peut s'é rire omme un pavé mais

omme la réunion de deux pavés). Il faut don être un peu plus pré is. Dans le adre de e ours, ette proposition sera seulement admise. Avant de revenir sur les points essentiels du hapitre, nous attirons l'attention que e hapitre ne présente pas de te hni ité parti ulière. La seule di ulté peut être vient de e que les éléments que nous manipulons sont des ensembles ou même parfois des ensembles d'ensembles (ou ensembles de parties), il faudra don bien faire attention à savoir e que nous utilisons : on veillera par exemple, à bien distinguer le symbole ∈ du symbole ⊂... Si A est un ensemble de Ω et F une tribu sur Ω, alors A ∈ F a bien un sens mais pas A ⊂ F ; par ontre A ⊂ B a bien un sens lorsque A et B sont deux ensembles de Ω.

3.3 Points essentiels du hapitre a) Les deux notions importantes du hapitre sont les tribus et les mesures. b) Pour " onstruire" ou "étendre" des tribus, on peut utiliser deux outils : les tribus engendrées et les tribus produit.

) Les tribus ne sont pas en général expli itables mais en général, on onsidérera la tribu engendrée par ertains ensembles d'intérêt. d) Des exemples de mesures on ernent aussi bien des mesures dis rètes (mesure de Dira ) que des mesures " ontinues" (mesure de Lebesgue). e) On a vu trois propriétés fondamentales des mesures : monotonie, sous additivité, ontinuité. f) On a vu deux outils importants pour les mesures : omment vérier que deux mesures sont égales en vériant leur oin iden e sur des π-systèmes, omment étendre des fon tions d'ensembles déni sur ertaines lasses de parties en une "vraie" mesure sur une ertaine tribu.

3.4.

19

UN PEU D'HISTOIRE

3.4 Un peu d'histoire Paul Dira (1902-1984). Sour e : wikipedia. Paul Adrien Mauri e Dira est un physi ien et mathémati ien britannique né le 8 août 1902 à Bristol et mort le 20 o tobre 1984 à Tallahassee, Floride (États-Unis). Il est l'un des pères de la mé anique quantique et reste élèbre pour avoir prévu l'existen e de l'antimatière (positron). Son père, Charles Dira , est originaire de Suisse, dans le anton du Valais. Il s'établit à Bristol et se marie ave Floren e Holten ave qui il aura trois enfants, Paul étant le

adet. Sa famille paternelle est issue de la ville de Dira en Charente. Il étudie les mathématiques à l'université de sa ville natale et entre à partir de 1923 à l'université de Cambridge. En 1925, il ren ontre Niels Bohr, puis Werner Heisenberg. Il publie son premier arti le ette année là sur le formalisme de la physique lassique et quantique. En 1926, il démontre l'équivalen e physique de la mé anique ondulatoire d'Erwin S hrödinger et le modèle d'Heisenberg. Il soutient sa thèse ette même année et part travailler ave Bohr à Copenhague. Il rejoint Göttingen en 1927. En septembre, il est invité au inquième ongrès Solvay où il ren ontre Albert Einstein. En 1928, il déduit du travail de Pauli sur un système de spins non-relativiste une équation relativiste dé rivant l'éle tron, et ontenant en soi le spin. Elle est appelée aujourd'hui équation de Dira . Cela permet à Dira de prédire en 1931 l'existen e d'une parti ule appelée positron, l'antiparti ule de l'éle tron. Il faudra attendre 1932 pour qu'Anderson et Bla kett observent enn ette parti ule. Dans son arti le "Les prin ipes de la mé anique quantique", publié en 1930, il utilise l'algèbre des opérateurs linéaires omme une généralisation des théories d'Heisenberg et de S hrödinger. Il introduit ainsi la notation bra-ket, pour laquelle |ψi est un ve teur d'état dans l'espa e des états du système, et hψ| un ve teur de l'espa e dual orrespondant. Il partage le prix Nobel de physique en 1933 ave Erwin S hrödinger pour  la dé ouverte de formes nouvelles et produ tives de la théorie atomique . Il se marie une année plus tard ave Margit Wigner ave qui il aura deux lles. Dira fut  Professeur Lu asien  à l'université de Cambridge de 1932 à 1969, et professeur de premier

y le à l'université de Bristol. Il est lauréat de la Royal Medal en 1939 et de la médaille Copley en 1952. En 1970, il rejoint l'université de Floride et s'installe à Tallahassee où il meurt 14 années plus tard. Pour les besoins du formalisme quantique, Dira a introduit un objet singulier, qu'on appelle aujourd'hui impulsion de Dira ou masse de Dira , notée δ(t). Cette impulsion représente un signal de durée théoriquement nulle et d'énergie nie, et doit vérier la ondition : Z

δ(t) dt = 1.

Ce on ept d'impulsion n'avait pas de fondement mathématique pré is : en parti ulier, il ne pouvait pas s'agir d'une fon tion ordinaire, ar une fon tion qui est nulle presque partout possède une intégrale identiquement nulle, d'après la théorie de l'intégration de Lebesgue. Le mathémati ien Laurent S hwartz a inventé l'outillage adéquat pour dé rire rigoureusement e genre d'objets, la théorie des distributions. Communément, on dit d'une mesure qu'elle est de Dira si toute la densité est on entrée en un point unique. Son la onisme et le puritanisme de son omportement marquèrent toute sa vie.

20

CHAPITRE 3.

THÉORIE DE LA MESURE

Chapitre 4 Intégrale de Lebesgue

Sommaire

4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.1 Fon tions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Intégrale de fon tions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Lien entre les propriétés sur les intégrales de fon tions (Proposition 4.2.3) et les propriétés sur les mesures (Proposition 3.2.3) . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Fon tions intégrables et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Interversion du signe intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.4.1 Interversion série/intégrale . . . . . . . . . . . 4.4.2 Continuité et dérivation sous le signe intégrale Continuité sous le signe intégrale . . . . . . . . Dérivation sous le signe intégrale . . . . . . . .

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28 28 28 29

4.5 Points essentiels du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.6 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Henri Lebesgue (1875-1941).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Sour e : bibmath

Mots lés 4.1

Fon tions mesurables, Intégrale de Lebesgue, théorème de onvergen e monotone, théorème de onvergen e dominée, lemme de Fatou.

4.1 Motivation Dans le hapitre pré édent, nous avons déni la notion d'espa e mesuré (Ω, F , ν). Nous allons maintenant nous intéresser à l'intégrale de Lebesgue qui lui est asso iée. Plus spé iquement, nous dénirons la notion d'intégrale au sens de Lebesgue d'une appli ation f de Ω dans R par rapport à une ertaine mesure ν donnée et nous en étudierons quelques propriétés utiles. Pour omprendre un peu la démar he, onsidérons le problème de l'évaluation de l'aire S sous le graphe d'une appli ation f de [a, b] dans R+ par al ul d'une intégrale de f sur [a, b]. Pour déterminer une valeur appro hée de S (puis, sous ertaines onditions de régularité, envisager par un passage à la limite approprié une dénition de l'intégrale de f sur [a, b] don de S ) on peut pro éder selon deux méthodes : 21

22

CHAPITRE 4.

Méthode de Riemman

INTÉGRALE DE LEBESGUE

Méthode de Lebesgue

J2 J1 hi

b

a

b

li

b

a

b

b

de mesure de Lebesgue égal à µ1

i)

Méthode de Riemann- elle onsiste à dé ouper [a, b] en sous intervalles, à appro her f par une P

onstante sur ha un d'eux et à proposer omme approximation S ≃ i li hi où li est la longueur du i-ème sous intervalle Ii et hi la valeur appro hée de f sur Ii . ii) Méthode de Lebesgue- elle onsiste à dé ouper l'ensemble des valeurs prises par f en sousintervalles, à obtenir par "retour en arrière" (i.e. par appli ationP de la fon tion ré iproque f −1 ) un dé oupage de [a, b] puis à proposer omme approximation S ≃ j µj kj où µj est la "longueur" (mesure de Lebesgue !) de l'image ré iproque Dj du j -ème intervalle Jj et kj une valeur appartenant à l'intervalle Jj . Nous verrons que la démar he de Lebesgue est plus fé onde que elle de Riemann en e sens que

haque fois que Riemann donne un sens au on ept "intégrale de f sur [a, b]" et obtient une valeur S , alors Lebesgue donne aussi un sens à e on ept et obtient la même valeur alors que l'inverse n'est pas vraie (i.e. si f = 1Q , [a, b] = [0, 1], Lebesgue réussit et donne omme valeur 0 à l'intégrale de f sur [a, b] alors que Riemann ne parvient pas à rendre de valeur).

4.1.1 Fon tions mesurables Soit f une appli ation de Ω dans E. Pour tout F ⊂ E et pour toute famille de parties E ∈ P(E), nous poserons def def [f ∈ F ] = f −1 (F ) = {ω ∈ Ω; f (ω) ∈ F } et f −1 (E) = {[f ∈ F ], F ∈ E}

Nous allons maintenant dé rire une lasse de fon tions auxquelles s'adresse la notion d'intégrale de Lebesgue, e sont les fon tions mesurables.

Dénition 4.1.1

Soient (Ω, F ) et (E, E) deux espa es mesurables et f une fon tion de Ω dans E. La fon tion f est mesurable relativement aux tribus F et E (on dit aussi F /E -mesurable) ssi f −1 (E) ⊂ F,

i.e.

∀A ∈ E,

[f ∈ A] ∈ F.

(4.1)

Nous avions vu qu'il est souvent di ile de dé rire tout élément d'une tribu. Dans es onditions, vérier la ondition (4.1) pour tout ensemble A de la tribu E est di ile. La proposition suivante permet alors de ne vérier (4.1) que sur une famille de parties engendrant la tribu E asso iée à l'espa e d'arrivée. Ce qui a des onséquen es pratiques intéressantes pour montrer qu'une fon tion est mesurable.

Proposition 4.1.2. Soit C ⊂ P(E) telle que E = σ(C). Une appli ation f de Ω dans E est F /E -mesurable ssi f −1 (C) ⊂ F .

4.1.

23

MOTIVATION

Une manière plus visuelle de se représenter la proposition est la suivante  f : (Ω, F ) → (E, E)  E = σ(C) ⇒ f −1 (E) ⊂ F  −1 f (C) ⊂ F

. La ondition est évidemment né essaire puisque f −1 (C) ⊂ f −1 (E ). Inversement, si f −1 (C) ⊂ F , on a aussi σ(f −1 (C)) ⊂ F et omme σ(f −1 (C)) = f −1 (σ(C)) (le vérier) et par hypothèse E = σ(C), il s'en suit que f −1 (E ) ⊂ F .  Démonstration

Remarque 4.1.1

Comme E est une tribu, f −1 (E) l'est aussi (le démontrer). f −1 (E) est don la plus petite tribu A telle que f soit A/E -mesurable. f −1 (E) sera appelée dans toute la suite tribu engendrée par f et notée σ(f ). Pour mémo, nous avons don maintenant vu les tribus engendrées par des familles de parties ( hapitre pré édent) et les tribus engendrées par des fon tions (i i !). Dans le as où F et E sont des tribus boréliennes, on dira que la fon tion f est borélienne. Pour voir l'utilité de la Proposition 4.1.2, nous allons présenter maintenant deux exemples lassiques de fon tions mesurables :

Exemple 4.1.1

Les fon tions ontinues de (Rk , Bk ) vers (Rℓ , Bℓ ) sont boréliennes. En eet, Bℓ est engendrée par les ouverts don si f est ontinue de Rk dans Rℓ , alors l'image ré iproque par f de tout ouvert de Rℓ est un ouvert don un élément de Bk , e qui montre bien la mesurabilité de la fon tion.

Exemple 4.1.2

Les fon tions indi atri es d'ensemble, x 7→ f (x) = 1A (x) ave A élément de F sont mesurables de (Ω, F ) vers ({0, 1}, P({0, 1})). Comme P({0, 1}) = {∅ ∪ {0, 1} ∪ {0} ∪ {1}} est engendré par le singleton {1}, il sut de onsidérer f −1 ({1}) = {ω, 1A(ω) = 1} = A qui est dans F et en appliquant la Proposition 4.1.2, on a don que la fon tion x 7→ f (x) = 1A (x) est mesurable.

Les propriétés suivantes sont immédiates et seront laissées au le teur à titre d'exer i e. Elles montrent que la notion de mesurabilité se onserve à travers un ertain nombre d'opérations usuelles et de passage à la limite.

Propriétés :

i) Si f et g sont deux appli ations réelles mesurables dénies sur le même espa e mesurable (Ω, F ) alors f +g λf , λ réel fg sup(f, g) inf(f, g)

def

f + = sup(f, 0)

def

f − = − inf(f, 0)

|f | = f + + f −

sont des fon tions mesurables. ii) Si {fn , n ≥ 1} est une suite d'appli ations réelles mesurables dénies sur (Ω, F ) alors supn fn

inf n fn

limn fn

limn fn

sont mesurables. En parti ulier, si {fn , n ≥ 1} onverge simplement vers f alors f est mesurable. Faisons le point sur les diérents résultats obtenus et voyons omment montrer d'un point de vue pratique qu'une fon tion est mesurable. Plusieurs hoix s'orent à nous : i) Soit 'est une fon tion ontinue et les tribus de l'espa e de départ et d'arrivée sont les tribus boréliennes. ii) Soit 'est une fon tion indi atri e d'un ensemble appartenant à la tribu de l'espa e de départ. iii) Soit 'est une somme, multipli ation (ou autres opérations vu i dessus) de fon tions dont on sait qu'elles sont mesurables (par exemple ombinaisons linéaires et produits de fon tions ontinues ou fon tions indi atri es d'ensemble) iv) Soit on revient à la Proposition 4.1.2 ou même à la Dénition des fon tions mesurables ( 'est le dernier re ours...)

24

CHAPITRE 4.

INTÉGRALE DE LEBESGUE

4.2 Intégrale de fon tions mesurables positives Les fon tions mesurables étant onstruites, passons maintenant aux hoses sérieuses : la onstru tion de l'intégrale asso iée à une mesure donnée. ¯ + ), l'ensemble des appli ations On se donne don (Ω, F , ν) un espa e mesuré et on notera M(F , R mesurables positives réelles. L'objet de ette se tion onsistera à dé rire l'intégrale de Lebesgue asso iée à ν pour des fon tions mesurables positives, le as général des fon tions f mesurable non bornées sera quant à lui traité dans la se tion suivante. L'appro he sera progressive. La première étape de la onstru tion de l'intégrale onsistera à la dénir pour des fon tions "simples" : les fon tions étagées. On dit qu'une appli ation mesurable f sur et ¯ + ) qui ne peut espa e est étagée positive ssi f est une appli ation réelle positive (i.e. à valeurs dans R prendre qu'un nombre ni de valeurs possibles, i.e. f (Ω) est ni. Soit f une fon tion étagée, alors f (Ω) = {α1 , . . . , αk } et f peut don s'é rire aussi f=

k X

αi 1[f =αi ]

i=1

Cela ressemble don à une fon tion en es alier sauf qu'i i f est onstante sur des ensembles de la forme [f = αi ] = {ω ∈ Ω; f (ω) = αi }, ensembles qui ne ressemblent pas né essairement à des intervalles ( omme 'est le as pour des fon tions en es alier). Par exemple, f = 1Q est une fon tion étagée mais pas en es alier. P

Dénition 4.2.1

Soit f = ki=1 αi 1[f =αi ] une appli ation étagée positive sur (Ω, F , ν). On appelle intégrale de f sur Ω par rapport à ν la quantité (éventuellement égale à ∞) Z

f dν =

k X

αi ν([f = αi ])

i=1

R

Si A ∈ F alors, en appliquant ette dénition, on a 1A dν = ν(A) de façon laire. L'extension de ette dénition de l'intégrale à des fon tions mesurables positives (et pas seulement des fon tions étagées) est donnée par le résultat suivant.

Théorème et Dénition 4.2.2

Soit (Ω, F , ν) un espa e mesuré. Toute fon tion mesurable positive f : Ω → [0, ∞] possède une intégrale, appelée intégrale de Lebesgue de f et notée Z Z f (ω)ν(dω) ou f dν Ω

dénie par

Z

f dν = sup

Z

gdν, g mesurable, étagée et g ≤ f



qui est un nombre réel positif (pouvant éventuellement valoir +∞) satisfaisant les propriétés suivantes : Pour ¯ + ), tout A ∈ F , α, β ∈ R+ et f, g ∈ M(Ω, R R i) 1A dν = ν(A). R R R ii) (αf + βg)dν = α f dν + β gdν (◮linéarité). iii) De plus, pour toute suite roissante fn de fon tions étagées mesurables onvergeant vers f , on a Z

f dν = lim

Z

fn dν

On verra apparaître souvent des limites roissantes dans e hapitre. Ce n'est pas étonnant, la propriété essentielle des mesures est la σ-additivité, qui donne ν(∪n An ) =

X n

ν(An )

4.2.

25

INTÉGRALE DE FONCTIONS MESURABLES POSITIVES

dès que la ondition Ai ∩ Aj = ∅ est vériée pour tout i 6= j . Cette propriété est une propriété de limite

roissante puisque X

ν(An ) = lim N

n

N X

ν(An ) = lim ν(∪N n=1 An ) N

n=1

et la suite (∪N n=1 An )N est une suite emboîtée d'ensembles ! Les propriétés de l'intégrale qui seront

onstamment utilisées par la suite sont résumées dans la proposition suivante et nous invitons don le le teur à y porter une attention toute parti ulière :

Proposition 4.2.3. Soient f, g ∈ M(F , R¯ + ) et {fn , n ≥ 0} ⊂ M(F , R¯ + ). Alors
R R (◮Monotonie). i) (f ≤ g) ⇒ f dν ≤ gdν . R R ii) ((fn ) suite roissante) ⇒ (limn→∞ fn dν = (limn→∞ fn )dν). (◮Convergen e monotone). RP

P R

iii) fk dν . k fk dν = R Rk iv) limn fn dν ≥ (limn fn )dν .

(◮Additivité

pour des séries positives)

(◮Lemme

.

.

de Fatou)

Remarque 4.2.1 Nous attirons l'attention sur le fait que dans la proposition 4.2.3 i), que f ≤ g est une inégalité entre deux fon tions, e qui en d'autres termes signie : pour tout ω ∈ Ω, f (ω) ≤ g(ω). Nous soulignons aussi que l'hypothèse du ii) on erne des suites roissantes de fon tions (i.e. fn (ω) ≤ fn+1 (ω) pour tout n ∈ N et tout ω ∈ Ω) et non pas des suites de fon tions roissantes.

Les preuves du Théorème et Dénition 4.2.2 et de la Proposition 4.2.3 résultent de la onstru tion de l'intégrale de Lebesgue qui est reportée à la se tion Constru tion de l'intégrale de Lebesgue dans l'Appendi e A. Ces preuves ne sont don pas à onnaître et peuvent don être é artées dans une première le ture. Néanmoins, elles permettent dans une se onde le ture de bien omprendre d'où viennent les propriétés spé iques de l'intégrale de Lebesgue et nous en ourageons le le teur urieux à les onsulter. Nous nous ontenterons pour le moment de prouver les parties iii) et iv) de la proposition 4.2.3. Pn Démonstration. (de la Proposition 4.2.3 iii et iv). iii) Posons gn = k=1 fk . Les fon tions (fk ) étant toutes positives, les fon tions (gn ) forment une suite roissante de fon tions, et par la onvergen e monotone, ii) pour les fon tions (gn ), il vient : Z X k

fk dν =

Z

lim gn dν = lim

n→∞

n→∞

R

Z

gn dν = lim

n→∞

R

n Z X

fk dν =

k=1

R

XZ

fk dν.

k

R

Pour iv), posons gn = inf j≥n fj et hn = inf j≥n fj dν . Alors gn dν ≤ fj dν pour tout j ≥ n don gn dν ≤ hn . Remarquons que {gn , n ≥ 0} est une suite roissante, et par (ii) (théorème de onvergen e monotone) pour {gn , n ≥ 0}, il vient alors Z

(limn fn )dν =

Z

(lim gn )dν = lim n

n

Z

gn dν ≤ lim hn = limn n

Z

fn dν 

ExempleP4.2.1 Intégration par rapport à une mesure dis rète- Soit (Ω, F , ν) un espa e mesuré où ν = ∞ n=1 an δωn est la mesure dis rète dénie par les masses an ≥ 0 aux points ωn , n ≥ 1. Alors pour ¯ + ), tout f ∈ M(F , R Z f dν =

X

f (ωn )an

n≥1

Lien entre les propriétés sur les intégrales de fon tions (Proposition 4.2.3) et les propriétés sur les mesures (Proposition 3.2.3) Il faut bien omprendre la Proposition 4.2.3 omme une onséquen e de propriétés déjà onstatées dans le hapitre pré édent pour les mesures. Notamment, les propriétés de monotonie et ontinuité de la

26

CHAPITRE 4.

INTÉGRALE DE LEBESGUE

Proposition 3.2.3 du Chapitre 3 entraînent sur l'intégrale de Lebesgue les propriétés de monotonie et de

onvergen e monotone de la Proposition 4.2.3. Ré iproquement, si on voulait prouver la monotonie et la ontinuité de la Proposition 3.2.3 à partir de nos onnaissan es sur l'intégrale de Lebesgue, alors 'est possible, omme le montre l'exer i e orrigé suivant. Un intérêt annexe à et exer i e est de traduire aisément les relations ∪, ⊂ en terme d'inégalité ou limite de fon tions ara téristiques 1A . Exer i e Corrigé

4.1

En utilisant la Proposition 4.2.3, montrer la Proposition 3.2.3 i) et iii).

. R R a) Si A ⊂ B alors 1A ≤ 1B 1 don par la propriété de monotonie de l'intégrale de Lebesgue, 1A dν ≤ 1B dν

e qui est équivalent à é rire ν(A) ≤ ν(B). b) On a immédiatement Démonstration

∀ω ∈ ∪∞ k=1 Ak , ∀ω ∈

lim 1∪nk=1 Ak (ω) = 1,

n→∞

c (∪∞ k=1 Ak ) ,

lim 1∪nk=1 Ak (ω) = 0,

n→∞

e qui implique que 1∪∞ A = limn→∞ 1∪n A . Comme les fon tions (1∪n A ) sont roissantes, on a par k=1 k k=1 k k=1 k la propriété de onvergen e monotone, ν(∪∞ k=1 Ak ) =

Z

1∪n An dν =

Z

lim 1∪nk=1 Ak dν = lim

n→∞

n→∞

Z

1∪nk=1 Ak dν

Ainsi, si A1 ⊂ A2 ⊂ . . . alors, 1An = 1∪nk=1 Ak et l'égalité pré édente s'é rit ν(∪∞ k=1 Ak ) = lim

n→∞

Z

1An dν = lim ν(An ). n→∞



Chaque fois qu'une fon tion est intégrable au sens de Riemann, elle va l'être aussi au sens de Lebesgue. Ce résultat "rassurant" sera présenté i i sous forme d'exer i e ave indi ation. 4.2 Soit f une appli ation de R dans R+ bornée et intégrable au sens de Riemann sur [a,b℄. Montrer que l'intégrale de f sur [a, b] au sens de Riemann et au sens de Lebesgue oin ident. Indi ation : On remarquera que l'intégrale de Riemann sur [a, b] s'é rit Exer i e

Z

a

b

f dν = lim

n→∞

n 2X −1

ak,n

k=0

b−a 2n

ave

ak,n = inf f (x) x∈Ik,n

et

  b−a b−a Ik,n = a + k n , a + (k + 1) n , 2 2

Et on montrera que ette limite est aussi elle de l'intégrale des fon tions fn =

n 2X −1

ak,n 1Ik,n

k=0

et on montrera que (fn ) est une suite roissante de fon tions étagées onvergeant simplement vers f .

4.3 Fon tions intégrables et propriétés 4.3.1 Dénition ¯ , ensemble des appli ations Venons-en à la dénition de l'intégrale pour des éléments de M(F , R) réelles mesurables, de signe quel onque ette fois- i. 1 inégalité très simple mais souvent utilisée

4.3.

27

FONCTIONS INTÉGRABLES ET PROPRIÉTÉS

Dénition 4.3.1 ν -sommable) ssi Z

¯ est dite intégrable par rapport à ν (ou ν -intégrable ou Une appli ation f ∈ M(F , R) f + dν < ∞ et

Z

Le nombre réel

 f − dν < ∞ Z

Z

def

f dν =

R

ou, de façon équivalente, |f |dν < ∞ f + dν −

Z

f − dν

est appelé intégrale de f (sur Ω) par rapport à ν . Pour A ∈ F , le nombre intégrale de f sur A. R

R

A f dν

def

=

R

f 1A dν est appelé

Une fon tion f est i i intégrable si |f |dν < ∞. Dans d'autres hapitres, nous aurons aussi à

onsidérer des intégrales impropres, i.e. obtenues omme limites d'intégrales de type lim

N →∞

Z

N

f (x)λ(dx)

−N

La valeur de ette limite quand elle existe est appelée valeur prin ipale de f mais nous y reviendrons plus tard (au moment du Chapitre 8). On note aussi que si ν est la mesure de Lebesgue λ, la notation sous l'intégrale λ(dx) est souvent rempla ée par simplement dx. Et par abus de notation (ou par lassitude), lorsqu'on dit qu'une fon tion est intégrable sans pré iser par rapport à quelle mesure, on veut simplement dire qu'elle est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue. R Enn, on dira que f est lo alement ν -intégrable ou lo alement ν -sommable ssi K |f (x)|ν(dx) < ∞ pour tout ompa t K ⊂ R.

4.3.2 Propriétés On a immédiatement les propriétés suivantes dont la démonstration est laissée en exer i e. R

R

R

Proposition 4.3.2. i) αf + βgdν = α f dν + β gdν pour tout α, β ∈ R et f, g intégrables. R R ii) Si f est mesurable, g ν -intégrable et |f | ≤ g alors f est ν -intégrable et |f |dν ≤ gdν . R R iii) Si f est ν -intégrable alors | f dν| ≤ |f |dν . iv) Si f est ν -intégrable, alors ν([|f | = ∞]) = 0 L'un des résultats prin ipaux de la théorie de l'intégration au sens de Lebesgue est le suivant :

Théorème 4.3.3. Lebesgue- Soient intervalle ni ou inni. Supposons que (

alors limn

R

I

fn dν =

R

I

(fn )

et f et g sont des fon tions réelles mesurables. Soit I un

∀n ≥ 1, |fn | ≤ g, ν − p.p. limn fn = f, ν − p.p.

limn fn dν =

R

I

f dν

sur I ave

(◮Lebesgue

R

I

|g|dν < ∞

ou Convergen e dominée)

R

. On ne démontrera que pour I = R dans e as, on é rira simplement au lieu de Rappelons que lim et lim sont dénies dans le Chapitre 2. Montrons d'abord R R i) limn fn dν ≤ limn fn dν R R ii) limn fn dν ≥ (limn fn )dν En eet, en appliquant Fatou (Proposition 4.2.3 iv) à la suite de fon tions positives (g − fn ), il vient : Démonstration

limn

Z

(g − fn )dν ≥

Z

limn (g − fn )dν

R

R

.

28

CHAPITRE 4.

soit

Z

gdν − limn

Z

fn dν ≥

Z

gdν −

INTÉGRALE DE LEBESGUE

Z

limn fn dν

Z

fn dν

e qui a hève la preuve de i). (ii) est immédiat en appliquant le résultat i) à (−fn ). Passons maintenant à la preuve du théorème de onvergen e dominée. On a f = limn fn = limfn , e qui implique d'après i) et ii) limn R

Z

fn dν ≥ R

Z

f dν ≥ limn

Et omme on a toujours limn fn dν ≤ limn fn dν , la preuve est a hevée.



4.4 Interversion du signe intégral 4.4.1 Interversion série/intégrale Nous avons vu à travers le théorème de onvergen e monotone et dans le théorème de Lebesgue (aussi appelé théorème de onvergen e dominé ) qu'il était possible, sous ertaines onditions, de permuter R R intégrale et limite : limn fn dν P = limn fn dν . Pour les séries de fon tions fn , nous avons vu par P l'additivité desR séries R P positives qu'on avait né essairement la permutation entre intégrale et somme : n fn dν = n fn dν à partir du moment où haque fon tion fn est une fon tion positive. Qu'en est il maintenant si au une hypothèse sur le signe de fn n'est faite ? Des résultats de permutation existent P et sont essentiellement issus de la onvergen e dominée pour la suite des sommes partielles SN = N 0 fn . Enonçons don le résultat avant de le démontrer.

Proposition 4.4.1. permutation série/intégrale- Si pour presque tout x, l'une ou l'autre des deux onditions suivantes est réalisée : R P i) | N gdν < ∞ n=0 fn (x)| < g(x) p.p. ave RP P R ii) n |fn |dν = |fn |dν < ∞ R Pn P R Alors, n fn dν = n fn dν .

P

fn (x)

onverge et si

Remarque 4.4.1 Comme indiqué en préambule si la série est à termes positifs, on a RP P R de e théorème, né essairement (voir Proposition 4.2.3 (iii)) n fn dν = n fn dν sans avoir à utiliser e théorème. P R

Remarque 4.4.2 P

RP

Dans la ondition ii), l'égalité n |fn |dν = n |fn |dν est assurée puisque la série |f | est une série de fon tions positives. Ainsi, pour vérier la

ondition ii), on her hera seulement à n n RP P R vérier l'une des deux onditions équivalente n |fn |dν < ∞ ou |f |dν < ∞. n n

. On remarquera que la se onde ondition est un as parti ulier de la première P∞ (en lair : (ii) implique (i)) puisqu'en notant g(x) la somme de la série des valeurs absolues g(x) = 0 |fn (x)| alors R P PN | N f (x)| ≤ |f (x)| ≤ g(x) et gdν < ∞ par l'hypothèse ii). Il nous sut don seulement de prouver n n n=1 n=1 la proposition 4.4.1 sous la

ondition i). Plaçons nous don sous la

ondition i), et posons S la somme partielle, N R P SN =R N gdν < ∞, on applique alors le théorème de onvergen e dominé : 0 fn . On a SRN (x) ≤ g(x) p.p. et limN SN (x)ν(dx) = limN SN (x)ν(dx) e qui est exa tement équivalent à Démonstration

XZ n

La preuve est a hevée.

fn dν =

Z X

fn dν

n



4.4.2 Continuité et dérivation sous le signe intégrale Continuité sous le signe intégrale Nous sommes maintenant en mesure de donner des onditions assurant la ontinuité et la dérivabilité R des intégrales dépendant d'un paramètre, i.e. de la fon tion x 7→ f (x, ω)dν(ω). Nous admettrons

4.5.

29

POINTS ESSENTIELS DU CHAPITRE

les deux théorèmes suivants. Leurs démonstrations ne sont pas di iles et résultent toutes deux du théorème de onvergen e dominée en posant pour fn (ω) = f (un , ω) (pour le Théorème 4.4.2) et fn (ω) = f (un ,ω)−f (x0 ,ω) (pour le Théorème 4.4.3) où (un ) est une suite quel onque de points de Ω onvergeant vers un −x0 x0 . Nous les laissons au le teur intéressé et nous on entrons uniquement sur l'énon é et l'appli ation de es théorèmes.

Théorème 4.4.2. Soit x0 ∈ [a, b]. On suppose que pour presque tout ω ∈ R, x 7→ f (x, ω) est ontinue en x0 . S'il existe une fon tion g : R → R ν -intégrable telle que, pour tout x dans un voisinage de x0 , on ait alors

|f (x, ω)| ≤ g(ω) pour presque tout ω ∈ R R R limx→x0 R f (x, ω)ν(dω) = limx→x0 f (x, ω)ν(dω). En d'autres termes, x 7→

Z

la fon tion

f (x, ω)ν(dω) R

est ontinue en x0 .

Dérivation sous le signe intégrale Théorème 4.4.3. Soit x0 ∈ [a, b]. On suppose que, dans un voisinage V de x0 , la fon tion x 7→ f (x, ω) est dérivable pour presque tout ω ∈ R et que, de plus, la fon tion dérivée est dominée, 'est à dire qu'il existe g : R → R ν -intégrable telle que

Alors la fon tion

∂f (x, ω) ≤ g(ω) ∂x R x 7→ R f (x, ω)ν(dω) est d dx

Z

R

pour tout x ∈ V et presque tout ω ∈ R. dérivable en x0 et

 f (x, ω)ν(dω)

= x=x0

Z

R

∂f (x0 , ω)ν(dω) ∂x

4.5 Points essentiels du hapitre a) Les notions importantes sont les fon tions mesurables et l'intégrale au sens de Lebesgue. b) L'intégrale d'une fon tion positive f est obtenue omme limite des intégrales d'une suite

roissante de fon tions étagées onvergeant simplement vers f .

) Les trois théorèmes importants sont le théorème de onvergen e monotone, le lemme de Fatou et le théorème de onvergen e dominé. d) Ce hapitre a aussi permis de permuter limite et intégration, série et intégration, ontinuité et intégration, dérivation et intégration. e) On notera qu'i i à partir d'une mesure quel onque ν (pas né essairement la mesure de R Lebesgue), on onstruit l'intégrale f dν qui est appelée intégrale de Lebesgue. On veillera don à ne pas onfondre, mesure de Lebesgue et intégrale de Lebesgue.

4.6 Un peu d'histoire Henri Lebesgue (1875-1941). Sour e : bibmath.

30

CHAPITRE 4.

INTÉGRALE DE LEBESGUE

Henri Léon Lebesgue est né le 28 juin 1875 à Beauvais. Son père, d'origine humble, était ouvrier typographe. Mais il dé ède, ainsi que les deux soeurs ainées d'Henri, de la tuber olose, peu de temps après la naissan e de son ls. Ce dernier aura lui-même des séquelles de ette maladie toute sa vie, et sa santé demeurera toujours fragile. La mère de Lebesgue fut une travailleuse infatigable. Elle ne re hignera jamais à e que son ls poursuive ses études et Henri restera ee tivement longtemps à sa harge. Ainsi Lebesgue, brillant dès l'é ole primaire, fut porté de bourse en bourse, au ly ée puis en lasse préparatoire au Ly ée Louis-Le-Grand, et enn à l'E ole Normale Supérieure. Il épousera la soeur d'un amarade de ollège. Ensemble, ils auront deux enfants, Suzanne et Ja ques. Après sa réussite à L'Agrégation en 1897, il enseigne quelques années en lasses préparatoires à Nan y, et simultanément prépare sa thèse. Il la soutient en 1902, sous le titre Intégrale, longueur, aire. Dans

ette thèse, Lebesgue présente la théorie d'une nouvelle intégrale, appelée depuis intégrale de Lebesgue, qui va onsidérément simplier et amplier l'étude des séries trigonométriques, et plus généralement toute l'analyse de Fourier. L'intégrale de Riemann avait montré ses limites, d'abord sur le hamp des fon tions intégrables (assez restreint), et surtout sur les permutations de limites et d'intégrales. Lebesgue s'appuie sur les travaux de Jordan, Borel et Baire pour présenter une théorie des fon tions mesurables, qui peuvent être très dis ontinues. Dans la foulée, il dénit une nouvelle méthode de sommation. Dans la théorie de Lebesgue, les théorèmes de permutation limite et intégrale ont un énon é très simple, et sont très puissants ! En outre, par sa nature même, l'intégrale de Lebesgue est aussi bien adaptée aux fon tions d'une seule variable que de plusieurs. Le revers de la médaille est que sa présentation ré lame de longs préliminaires théoriques. C'est toujours un problème, dans l'enseignement a tuel, d'essayer d'introduire le plus tt possible l'intégrale de Lebesgue, de façon à mettre e formidable outil à la disposition des physi iens. Si Lebesgue n'a pas été le hef d'une é ole de her heurs, ses qualités pédagogiques étaient re onnues. Dans ses ours à la Sorbonne, au Collège de Fran e ou à l'E ole Normale Supérieure de jeunes lles, il faisait preuve d'originalité dans l'exposition. Etonnament peut-être, Lebesgue n'enseigna jamais sa propre théorie. C'est qu'il raignait la généralisation à outran e ("Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans ontenu" dit-il). Les su

ès qu'ont retiré les analystes de l'intégrale de Lebesgue ont depuis démenti es faits.

Annexe A Constru tion de l'intégrale de Lebesgue

La démar he générale onsistera à dénir l'intégrale pour une lasse de fon tions mesurables positives parti ulières, très simples, les fon tions étagées puis, en montrant que es fon tions étagées peuvent appro her toute fon tion mesurable positive, nous étendrons par passage à la limite la notion d'intégrale de Lebesgue aux fon tions mesurables positives. Commençons par un peu de terminologie. Terminologie : Rappelons que M(F , R¯ + ) désigne l'ensemble des appli ations mesurables positives réelles et qu'une appli ation mesurable f sur et espa e est étagée positive ssi f est une appli ation réelle ¯ + ) qui ne peut prendre qu'un nombre ni de valeurs possibles, i.e. f (Ω) positive (i.e. à valeurs dans R ¯ + ). est ni. L'ensemble des appli ations étagées sera noté E(F , R

A.1 Intégrale pour des fon tions étagées La première étape de la onstru tion de l'intégrale onsistera à la dénir pour les fon tions étagées. Soit f une fon tion mesurable étagée, alors f (Ω) = {α1 , . . . , αk } et f peut don s'é rire aussi f=

k X

αi 1[f =αi ]

i=1

Dénition A.1.1

P

Soit f = ki=1 αi 1[f =αi ] une appli ation étagée positive sur (Ω, F , ν). On appelle intégrale de f sur Ω par rapport à ν la quantité (éventuellement égale à ∞) Z

f dν =

k X

αi ν([f = αi ])

i=1

Ave ette dénition de l'intégrale de f , on peut aussi montrer que si f peut s'é rire f = alors, Z

f dν =

k X

Pk

i=1

αi 1Ai

αi ν(Ai ).

i=1

Lemme A.1.2. Soit f, g ∈ E(F , R¯ + ) et α, β ∈ R¯ + . Alors R R R i) (αf + βg)dν = α f dν + β gdν . R R
ii) (f ≤ g) ⇒ f dν ≤ gdν

(◮

) (◮monotoni ité). linéarité

. R R R R R i) Il sut de montrer que αf dν = α f dν puis que (f + g)dν = f dν + gdν . La première égalité est évidente par la dénition de l'intégrale. Maintenant soient f (Ω) = {α1 , . . . , αk } et g(Ω) = {β1 , . . . , βℓ }. L'ensemble Ω peut être partitionné de deux façons

Démonstration

Ω = ∪i [f = αi ] = ∪j [g = βj ].

31

32

ANNEXE A.

CONSTRUCTION DE L'INTÉGRALE DE LEBESGUE

e qui permet de partionner [f = αi ] et [g = βj ] en (

[f = αi ] = ∪j ([f = αi ] ∩ [g = βj ]) [g = βj ] = ∪i ([g = βj ] ∩ [f = αi ])

Nous avons maintenant des é ritures de f et g qui les rendent onstantes sur les mêmes ensembles : f=

X

αi 1[f =αi ]∩[g=βj ]

et g =

i,j

X

βj 1[f =αi ]∩[g=βj ]

i,j

P

R

e qui permet d'é rire aisément f + g = i,j (αi + βj )1[f =αi ]∩[g=βj ] et l'égalité souhaitée (f + g)dν = R R f dν + gdν devient alors immédiate par la dénition même de l'intégrale pour des fon tions étagées. ii) Les représentations de f et g dans la preuve de i) montrent immédiatement ette propriété. 

Dénition A.1.3

¯ + ). Soit (Ω, F , ν) un espa e mesuré et f une appli ation mesurable positive de M(F , R Alors, l'intégrale de Lebesgue asso iée à f par rapport à la mesure ν est dénie par la quantité Z

def

f dν = sup

Z

gdν, g mesurable, étagée et g ≤ f

qui prend don une valeur positive ou innie.



Par passage au sup, on a immédiatement la propriété de monotonie, en utilisant la monotonie sur les fon tions étagées : Z Z ¯ + ), ∀f, g ∈ M(F , R

(f ≤ g) ⇒

f dν ≤

gdν

La linéarité par ontre ne s'étend pas de façon immédiate et nous aurons d'abord à prouver une propriété de onvergen e monotone qui va être parti ulièrement utile pour la suite.

Proposition A.1.4. de M(F , R¯ + ), alors,

-. Soit {fn, n ≥ 0} une suite roissante d'appli ations

Convergen e monotone

lim

n→∞

Z

fn dν =

Z

lim fn dν

n→∞

R

. La fon tion f def = limn fn est mesurable, positive et majore les fon tions fn et don f dν ≥ R R def fn dν pour tout n. Si β dénote la limite roissante β = limn fn dν , il vient alors f dν ≥ β . Au vu de la g mesurable, étagée telle dénition de l'intégrale de Lebesgue, il nous reste à prouver que pour toute fon tion R R que g ≤ f alors gdν ≤ β et e i en eet impliquerait par passage au sup que f dν ≤ β e qui a hèverait la preuve. Soit don g mesurable étagée telle que g ≤ f et notons g(Ω) = {α1 , . . . , αk }. Pour tout 0 < c < 1, onsidérons Démonstration

R

An = {ω; fn (ω) ≥ cg(ω)}

et remarquons que 1An (ω)g(ω) =

k X i=1

αi 1An ∩[g=αi ]

d'où

Z

1An gdν =

k X i=1

αi ν(An ∩ [g = αi ])

De plus, la suite (An ) est roissante pour l'in lusion (A1 ⊂ A2 ⊂ . . .) et ∪∞ n=1 An = Ω et nous pouvons é rire alors en utilisant fn ≥ 1An fn ≥ c1An g , β≥

Z

1An fn dν ≥ c

Z

1An gdν = c

k X i=1

αi ν(An ∩ [g = αi ]) →n→∞ c

k X i=1

αi ν([g = αi ]) = c

Z

gdν

(A.1)

où le passage à la limite vient de la propriété de ontinuité (Proposition 3.2.3) ave les ensembles emboîtés def B1 ⊂ B2 ⊂ . . . ave Bn = An ∩ [g = αi ] et en remarquant que ∪∞ n=1 Bn = [g = αi ]. R  On a don β ≥ c gdν et en faisant tendre c vers 1, on obtient l'inégalité souhaitée. Un orollaire immédiat de la onvergen e monotone est le suivant :

A.1.

INTÉGRALE POUR DES FONCTIONS ÉTAGÉES

33

Corollaire A.1.5. Soit f ∈ M(F , R¯ + ) et {fn, n ≥ 1} ⊂ E(F , R¯ + ) une suite roissante de fon tions mesurables étagées telle que limn fn = f . L' intégrale de f sur Ω par rapport à la mesure ν est la quantité (éventuellement ∞) Z Z f dν = lim n

fn dν,

ette limite ne dépendant pas de la suite roissante de fon tions mesurables étagées, minorant f . On peut montrer que (ϕn [f ]) déni par ϕn [f ] =

X

0≤k/2n ≤n



k 2n



1[k/2n n]

est une suite roissante de fon tions mesurables étagées onvergeant R vers f . On a déjaRvu que la Rpropriété de monotonie est immédiate au vu de la dénition. La linéarité (αf + βg)dν = α f dν + β gdν est maintenant immédiate à partir du Corollaire A.1.5 et de la propriété de linéarité pour les fon tions étagées. On obtient alors la proposition suivante :

Proposition A.1.6. Soient f, g ∈ M(F , R¯ + ), soient α, β ∈ R¯ + . Soient {fn, n ≥ 0} ⊂ M(F , R¯ +). Alors R R R (◮linéarité). i) (αf + βg)dν = α f dν + β gdν R R
ii) (f ≤ g) ⇒ f dν ≤ gdν (◮monotoni ie).

34

ANNEXE A.

CONSTRUCTION DE L'INTÉGRALE DE LEBESGUE

Chapitre 5 Fon tions de variables omplexes

Sommaire

5.1 Fon tions holomorphes et analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Fon tions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Fon tions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Lien entre fon tions analytiques et fon tions holomorphes . . . . . . . . . . . . 38

5.2 Intégration urviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3.1 Homotopie des la ets orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3.2 Théorème de Cau hy homotopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4 Fon tions logarithmique et puissan es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Fon tion logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Fon tion puissan e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.5 Indi e d'un point par rapport à un la et orienté . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.6 Théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.6.1 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Singularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Théorème des résidus et lemmes de Jordan Cal ul pratique des résidus . . . . . . . . .

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48 49 49 50

5.7 Points essentiels du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.8 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Cau hy (1789-1857).

Sour e : bibmath

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Mots lés 5.1

Fon tions analytiques, fon tions holomorphes, la ets, homotopie, ouvert simplement onnexe, Théorème de Cau hy, Théorème des résidus, lemme de Jordan. Dans le hapitre pré édent, nous avions onstruit à partir d'une mesure ν donnée, l'intégrale de Lebesgue dont on a vu qu'elle rend des valeurs plus intéressantes que l'intégrale de Riemann pour des fon tions mesurables à valeurs réelles. Maintenant si f (x) = g(x) + ih(x) où g , h sont des fon tions mesurables à valeurs réelles, alors on peut dénir fa ilement l'intégrale d'une fon tion omplexe f par : Z

def

f (x)ν(dx) =

Z

g(x)ν(dx) + i

Z

h(x)ν(dx).

On dénit ainsi les intégrales de fon tions mesurables à valeurs omplexes, ertaines propriétés ( omme le théorème de Lebesgue par exemple) se généralisant aisément à e type d'intégrale. Malgré tout, le 35

36

CHAPITRE 5.

FONCTIONS DE VARIABLES COMPLEXES

terme d'intégration ν(dx) reste "réel". D'autre part, il arrivera souvent que nous aurons à al uler des quantités de la forme Z [f ◦ γ(x)] γ ′ (x)ν(dx)

où f et γ sont à valeurs omplexes. On a envie de faire une sorte de " hangement de variable", i.e. de poser z = γ(x). Ce n'est pas un hangement de variable au sens lassique puisqu'i i x est réel tandis que z est omplexe. On tirerait alors de z = γ(x) que dz = γ ′ (x)dx et l'intégrale s'é rirait alors Z

′

[f ◦ γ(x)] γ (x)ν(dx) =

Z

f (z)dz

Γ

où Γ l'image dans C de la fon tion γ . Ce faisant, le terme d'intégration dz à droite de l'égalité on erne des valeurs de z omplexes et à e niveau là du ours, nous ne savons pas en ore intégrer sur des

omplexes. L'objet de e hapitre permettra de dénir proprement e type d'intégrale appelé "intégrale

urviligne". Nous verrons i i un ertain nombre de théorèmes qui permettront de al uler aisément e type d'intégrale. Le domaine traitant des intégrales urviligne s'appelle l'analyse omplexe. Dans tout e hapitre, Ω désignera un ouvert de C et f une appli ation de Ω dans C. On identie

ouramment C, muni du module, à R2 , muni de la norme eu lidienne, au moyen de l'isométrie anonique R2 (x, y)

→ C 7 → z = x + iy

On é rit alors par abus f (z) = P (x, y) + iQ(x, y) où P = Re f (resp. Q = Im f ) désigne la partie réelle (resp. imaginaire) de f .

5.1 Fon tions holomorphes et analytiques Fon tions holomorphes Dénition 5.1.1

Soit a ∈ Ω. La fon tion f est dite holomorphe en a ssi f est C-dérivable en a, i.e. lim

h→0,h∈C∗

f (a + h) − f (a) h

existe.

Cette limite est alors appelée dérivée de f en a et on la notera f ′ (a). La fon tion f est dite holomorphe sur Ω ssi elle est holomorphe en tout point de Ω. Enn, on désignera par H(Ω) l'ensemble des fon tions holomorphes sur Ω. (a) Nous soulignons que dans ette dénition, la quantité f (a+h)−f doit tendre vers la même limite h quelle que soit la manière dont h s'appro he de 0. De e i vont dé ouler un ertain nombre de résultats, dont les " onditions de Cau hy" que nous voyons à présent. Choisissons de faire tendre h vers 0 suivant l'axe des abs isses en posant h = u ∈ R puis, suivant l'axe des imaginaires en posant h = iv ∈ iR. h = iv ∈ iR

b

a+h

a

h=u∈R

tend vers a de toutes les façons possibles !

5.1.

37

FONCTIONS HOLOMORPHES ET ANALYTIQUES

Nous avons alors : f ′ (a) =

lim

u→0,u∈R∗

f (a + u) − f (a) f (a + iv) − f (a) = lim ∗ v→0,v∈R u iv

Posons a = a1 + ia2 , alors a + u est une "perturbation" de a sur sa valeur réelle et a + iv est une "perturbation" de a sur sa valeur imaginaire. L'égalité pré édente s'é rit alors 1 ∂ ∂ f (x + iy) = f (x + iy) ∂x i ∂y (x,y)=(a1 ,a2 ) (x,y)=(a1 ,a2 )

e qui donne en posant f (z) = P (x, y) + iQ(x, y)

∂ 1 ∂ [P (x, y) + iQ(x, y)] = [P (x, y) + iQ(x, y)] ∂x i ∂y (x,y)=(a1 ,a2 ) (x,y)=(a1 ,a2 )

et en identiant les parties réelles et imaginaires, on obtient les onditions dites de Cau hy ∂P (x, y) ∂Q(x, y) = ∂x ∂y

et

∂P (x, y) ∂Q(x, y) =− , ∂y ∂x

es deux égalités ayant lieu au point (x, y) = (a1 , a2 ). Ré iproquement, si es deux onditions sont vériées alors, en utilisant la R-diérentiabilité de la fon tion de deux variables : (x, y) 7→ (P (x, y), Q(x, y)), on peut montrer que f est C-dérivable en a et par onséquent que f est holomorphe en a. Résumons

ela dans la proposition suivante :

Proposition 5.1.2. La fon tion f est holomorphe en a = a1 + ia2 ∈ Ω ssi i) P et Q sont diérentiables en (a1 , a2 ) ii) P et Q vérient les onditions de Cau hy : 

∂P ∂Q = ∂x ∂y

et

∂P ∂Q =− ∂y ∂x



au point (x, y) = (a1 , a2 ). (◮Conditions

de Cau hy)

Il existe aussi des formules de Cau hy asso iées à la dé omposition suivant les oordonnées polaires (et non artésiennes), e qui sera vu en séan es de travaux dirigées. Cette proposition permet don de vérier fa ilement le ara tère holomorphe de fon tions dont on peut extraire simplement les parties réelles et imaginaires, P et Q, exprimés en tant que fon tions des oordonnées artésiennes x et y . Néanmoins dans des situations ourantes, es parties réelles et imaginaires en tant que fon tions de x et y ne sont pas si fa iles à identier et nous devons passer par d'autres appro hes. Avant de dé rire

ertaines propriétés de stabilité, montrons une utilisation simple des onditions de Cau hy à travers un exemple.

Exemple 5.1.1

Si f est la fon tion transpose : f (z) = z¯ = x−iy , on voit que P (x, y) = x et Q(x, y) = −y , (x,y)

e qui montre que ∂P∂x = 1 6= −1 = ∂Q(x,y) . Les onditions de Cau hy ne sont pas vériées et la fon tion ∂y transpose n'est don pas holomorphe. Nous terminons ette se tion par quelques propriétés élémentaires de stabilité : Pour toutes fon tions

f, g ∈ H(Ω) et pour tous omplexes α, β ∈ C, i) αf + βg ∈ H(Ω) et (αf + βg)′ = αf ′ + βg ′ . ii) f g ∈ H(Ω) et (f g)′ = f ′ g + f g ′ .  ′ ′ iii) Si f ne s'annule pas sur Ω, f1 ∈ H(Ω) et f1 = − ff2 .

De plus, si f est holomorphe sur un ouvert Ω à valeurs sur un ouvert Ω′ et g holomorphe sur Ω′ alors la

omposée g ◦ f est holomorphe sur Ω ave (g ◦ f )′ = (g ′ ◦ f ) × f ′ . Ce qui en lair signie : "la omposée de deux fon tions holomorphes reste holomorphe". On aura aussi à utiliser la propriété suivante : si f est une fon tion R-dérivable, dénie sur un intervalle ouvert I de R, f : I → Ω′ et g holomorphe sur l'ouvert Ω′ alors la fon tion g ◦ f est dérivable sur I de dérivée (g ◦ f )′ = (g ′ ◦ f ) × f ′ . Ce qui en lair signie : "la omposée d'une fon tion holomorphe et d'une fon tion dérivable est dérivable".

38

CHAPITRE 5.

FONCTIONS DE VARIABLES COMPLEXES

Fon tions analytiques Dans toute la suite, on désigne par ( def ¯+ B(a, r) = {z ∈ C; |z − a| < r}, le disque ouvert de entre a ∈ C et de rayon r ∈ R def ¯ r) = {z ∈ C; |z − a| ≤ r}, le disque fermé. B(a,

On notera qu'on a alors B(a, 0) = ∅ et B(a, +∞) = C. On rappelle qu'étant donné une suite (cn )n∈N de nombres omplexes, il existe un unique élément r ∈ R+ , appelé rayon de onvergen e, tel que : la série entière

∞ X

n=0

cn z n

(

onverge pour |z| < r i.e. pour z ∈ B(0, r) diverge pour |z| > r

De plus, la onvergen e de la série entière est absolue dans le disque ouvert de onvergen e B(0, r) et uniforme sur tout sous-ensemble ompa t in lus dans B(0, r). Par ontre, pour |z| = r, tout peut se passer ; pour ertaines séries, il y aura onvergen e pour ertaines valeurs de z sur le disque de rayon r, pour d'autres, il y aura divergen e pour tous les |z| = r. On ne sait pas et 'est à déterminer au as par

as... Venons en à la dénition des fon tions analytiques :

Dénition 5.1.3

La fon tion f est dite analytique en z0 ∈ Ω (on rappelle que Ω est un ouvert de C) ssi il existe un réel r > 0 tel que ¯ 0 , r) ⊂ Ω. i) B(z P ii) Pour tout z ∈ B(z0 , r), f (z) = n≥0 cn (z − z0 )n où (cn ) sont les oe ients d'une série entière de rayon de onvergen e ≥ r. On dit que f est analytique sur Ω si elle est analytique en tout point de Ω.

En mots simples, une fon tion est analytique sur un ouvert ssi elle est développable en série entière dans un voisinage de ha un des points de l'ouvert. Voyons maintenant un exemple très simple de fon tion analytique :

Exemple 5.1.2

Un polynme P (z) à oe ients omplexes admet un développement de Taylor exa t (puisqu'en dérivant le polynme susamment de fois, on obtient la fon tion nulle) qui s'é rit : P (z) =

n X P (k) (a)

k=0

k!

(z − a)k

et on en tire lairement que P est analytique sur C.

A priori, les notions d'holomorphie et d'analyti ité d'une fon tion sont bien distin tes, du moins dans leur dénition. Pour autant, e n'est pas le as. Il s'avère et 'est remarquable, que sur un ouvert, une fon tion holomorphe est analytique, et ré iproquement ! ! Ce i est obtenu par le théorème de Cau hy (ou plutt un des nombreux théorèmes de Cau hy) que nous voyons dans le paragraphe suivant.

Lien entre fon tions analytiques et fon tions holomorphes Le sens le plus simple à on evoir est elle allant de l'analyti ité vers l'holomorphie : toute fon tion analytique est né essairement holomorphe. Ce résultat n'est pas surprenant mais la preuve bien que

simple, né essite quelques résultats te hniques sur les séries entières qui risquent d'alourdir l'exposé. Nous admettrons don le théorème et laissons sa démonstration en exer i e. P

Théorème 5.1.4 (analytique → holomorphe). Soit ( n≥0 cn z n )n∈N une série entière de rayon de

onvergen e ≥ r. Alors, P n i) La somme de la série entière f (z) = ∞ n=0 cn z est holomorphe sur B(0, r), de fon tion dérivée P ∞ f ′ (z) = n=1 ncn z n−1 .

5.1.

39

FONCTIONS HOLOMORPHES ET ANALYTIQUES

P

n ii) La somme f (z) = ∞ n=0 cn (z−a) est indéniment C-dérivable sur son disque ouvert de onvergen e B(a, r), ses dérivées su

essives s'obtenant par dérivation terme à terme. (p) iii) ∀p ∈ N, cp = f p!(a) . 'est-à-dire qu'une série entière est la série de Taylor de sa somme.

Le passage de i) à ii) est obtenu par ré urren e et translation de −a. Passons maintenant au sens le plus remarquable, à savoir : une fon tion holomorphe est né essairement analytique. Ce résultat est appelé Théorème de Cau hy. On voit don que supposer la C-dérivabilité, implique énormément de

hoses, notamment une dérivabilité à tous ordres et une é riture de f en série entière autour de haque point de Ω.

Théorème 5.1.5. De Cau hy-. [holomorphe→analytique℄. Soit f une fon tion holomorphe sur Ω alors ¯ 0 , r) ⊂ Ω, f est analytique sur Ω. De plus, si B(z f (z) =

X

n≥0

ave cn =

cn (z − z0 )n

1 2πrn

Z

2π

pour tout z ∈ B(z0 , r)

(◮Expression

f (z0 + reit )e−int dt

(◮Expression

de

de

cn

f

en fon tion de

en fon tion de

cn )

f)

0

On remarquera que dans la dénition de cn le terme r semble intervenir mais en réalité par uni ité ¯ 0 , r) ⊂ Ω soit du développement en série entière, cn ne dépend pas de r pourvu que la ondition B(z vériée.

Ω

z0 b

r

Fig.

5.1  f (z) =

1 2π

R 2π 0

f (z0 +reit ) it z0 +reit −z re dt

dans le Corollaire 5.1.6

Corollaire 5.1.6. Sous les hypothèses du Théorème 5.1.5, on a : si z ∈ B(z0 , r), Z f (z) =

1 2π

2π

0

f (z0 + reit ) it re dt z0 + reit − z

(◮Formule

¯ 0 , r) ⊂ Ω B(z

alors pour tout

de Cau hy)

. (Théorème 5.1.5 et Corollaire 5.1.6-) On peut se ramener par translation à z0 = 0 e que nous supposerons dans toute la suite. Soit |z| < r. Posons

Démonstration

g(α) =

Z

2π 0

f (αreit + (1 − α)z) it re dt reit − z

pour α ∈ [0, 1].

On va dériver g (par rapport à α) sous le signe intégral et se rendre ompte que l'expression obtenue sous l'intégrale est expli itement intégrable (par rapport à t). Voyons ela de façon plus pré ise. La fon tion f étant holomorphe, g est dérivable et on a par dérivation sous le signe intégral (il faut être sûr de pouvoir dériver sous le signe intégral, et ça, on a un théorème qui permet de le faire à la n du hapitre pré édent, 'est le théorème 4.4.3 et nous invitons le le teur à vérier qu'il peut s'appliquer i i) : ∀α > 0, g ′ (α) =

Z

2π 0

f ′ (αreit +(1−α)z)reit dt =

Z

2π 0

   t=2π ∂ f (αreit + (1 − α)z) f (αreit + (1 − α)z) dt = =0 ∂t iα iα t=0

40

CHAPITRE 5.

FONCTIONS DE VARIABLES COMPLEXES

où la dernière égalité vient de e que t 7→ eit est de période 2π . Ainsi, g ′ (α) = 0 sur ]0, 1]. Don g est une fon tion

onstante sur [0, 1]. En é rivant maintenant g(0) = g(1) il vient Z

soit en ore f (z)

2π

f (z) reit dt = reit − z

0

Z

2π 0

1 dt = 1 − z/reit

ou en ore en utilisant que |z/reit | = |z|/r < 1 f (z)

Z

0

Z

2π 0 2π

f (reit ) it re dt reit − z

1 f (reit )dt 1 − z/reit

0

Z 2π X ∞   z n z n dt = f (reit )dt it it re re 0 n=0 n=0

∞ 2π X

R

Z

(5.1)

P

Il nous reste à permuter les symboles et dans les deux membres de l'égalité. Mais ça, on sait faire depuis la n du hapitre pré édent. Il sut de vérier par exemple que la somme des modules est intégrable sur l'intervalle [0, 2π] (Voir Proposition 4.4.1), et ee tivement, 'est le as : Z

De même,

Z

0

0

Z 2π X ∞  z  n |z|n 2π dt ≤ dt = 0. On a pour tout N ,

(v − vk |w) =

N ! X v − vk wn en + 1

P∞

∞ ! X v − vk wn en N+1

Le se ond terme est majoré en module par 2M k N+1 wn en k que l'on peut rendre inférieur à ǫ/2 en hoisissant N susamment grand. Cet entier N étant xé, le premier terme du membre de droite tend vers 0 ave k et est ≤ ǫ/2 pour k assez grand. On a don montré que (v − vk |w) → 0 pour tout w ∈ H , e qui est le résultat voulu. 

On prendra garde au fait que la norme et le produit s alaire ne passent pas à la limite faible. Par exemple, si (en ) est une base hilbertienne, la suite (en ) elle-même tend faiblement vers 0 alors que ken k reste égal à 1.

6.2 Espa es fon tionnels lassiques 6.2.1 Support d'une fon tion Soit f une fon tion à valeurs omplexes dénie sur R. Le support de f notée supp f est l'adhéren e de l'ensemble des x ∈ R tels que f (x) 6= 0 : supp f = {x ∈ R : f (x) 6= 0}

Le support de f est don un ensemble fermé en dehors duquel f est nulle. En outre, 'est le plus petit ayant ette propriété.

Exemple 6.2.1 Le support de la fon tion 1[0,1[ est [0, 1]. De même, le support de la fon tion ara téristique des rationnels 1Q est R.

6.2.

59

ESPACES FONCTIONNELS CLASSIQUES

6.2.2 Espa es de fon tions bornées Si X est un ensemble, l'ensemble Fb (X, C) des appli ations bornées de X dans C est un espa e de def Bana h lorsqu'on le munit de la norme de la onvergen e uniforme kf k∞ = supx∈X |f (x)|. De même pour l'espa e Cb (X, C) des fon tions ontinues bornées à valeurs dans C.

6.2.3 L'espa e L1 Si on onsidère l'espa e, provisoirement appelé L1 (R) des fon tions intégrables au sens de Lebesgue, on peut se demander si on peut le munir de la norme def

kf k =

Z

|f (t)|dt

La réponse est "non". En eet, si f et g sont deux fon tions intégrables, égales presque partout alors kf − gk = 0 bien que f 6= g ; ela signie que f 7→ kf k n'est pas une norme. Pour pallier e problème, on identie les fon tions égales presque partout. L'ensemble des fon tions presque partout égales à f est appelée lasse d'équivalen e de f . On note alors L1 (R) ou bien simplement L1 l'ensemble des lasses d'équivalen e des fon tions intégrables. Ainsi lorsqu'on parle d'une fon tion f ∈ L1 , on parle en fait de n'importe laquelle des fon tions d'une même lasse d'équivalen e. Par exemple la fon tion nulle et la fon tion qui vaut 1 sur les rationnels et qui est nulle partout ailleurs sont dans la même lasse d'équivalen e que l'on note 0. On dira alors pour simplier qu'elles sont toutes deux "égales à la fon tion nulle". R Dans l'espa e L1 , la fon tion f 7→ |f (x)|dx est bien une norme e que nous voyons dans le théorème suivant :

Théorème et Dénition 6.2.1

L'espa e L1 (Rn ) est l'espa e des lasses de fon tions (à valeurs réelles) sommables pour la relation d'équivalen e f = g, p.p. i) Fisher-Riesz- Muni de la norme Z kf k1 = |f (x)|dx (6.6) Rn

L1 est un espa e de Bana h.

ii) L'espa e C0 (Rn ) des fon tions ontinues à support ompa t est partout dense dans L1 (Rn ). . Le membre de droite de l'Equation (6.6) a bien un sens qui ne dépend que de l'élément

Démonstration

f ∈ L1 . Si kf k1 = 0, un représentant quel onque de f doit être nul presque partout e qui signie pré isément que f = 0. Montrons la omplétude, d'après la proposition 6.1.2, il sut de montrer P que toute série normalement

onvergente pour la norme asso iée L1 est P

onvergente. On se donne une série n un normalement onvergente. P∞ Posons h(x) = n=0 |un (x)| alors la série |un (x)| étant une série à termes positifs, on a Z Z X XZ X h(x)dx = |un (x)|dx = |un (x)|dx = kun k1 < ∞ n

n

n

Don la fon tion h est intégrable don elle est nie presque partout, don la série numérique

onvergente presque partout par rapport à x. On pose SN (x) =

N X

n=0

On a ainsi

(

un (x)

et S(x) =

∞ X

Z

n

un (x)

est

un (x).

n=0

limN |SN (x) − S(x)| = 0 presque partout pour x P |SN (x) − S(x)| = | n>N un (x)| ≤ h(x) qui est une

Alors par onvergen e dominée :

P

|SN (x) − S(x)|dx → 0

fon tion intégrable

e qui pré isément signie que la série de terme général un onverge vers S dans L1 e qui a hève la preuve. 

60

CHAPITRE 6.

Corollaire 6.2.2. Si une suite fj onverge vers presque partout vers f .

f

ESPACE DE HILBERT

dans L1 , on peut en extraire une suite qui onverge

On peut en eet extraire une sous suite de fj qu'on notera gj telle que kgj − f k1 ≤ 2−j e qui montre que kgk+1 − gk k1 ≤ kgk+1 − f k1 + kf − gk k1 ≤ 2−k−1 + 2−k = 3(2−k−1 )

P

la série gk+1 − gk est don normalement onvergente et la démonstration pré édente montre qu'elle

onverge presque partout.

6.2.4 L'espa e L2 Théorème et Dénition 6.2.3

L'espa e L2 (Rn ) est l'espa e des lasses de fon tions (à valeurs réelles) de arré sommable pour la relation d'équivalen e f = g , p.p. i) Muni du produit s alaire Z (f |g) =

f (x)g(x)dx

Rn

L2 est un espa e de Hilbert séparable.

ii) L'espa e C0 (Rn ) des fon tions ontinues à support ompa t est partout dense dans L2 (Rn ). . Pour montrer la omplétude, nous reprenons pour L2 la même démar he que pour L1 . Nous dans L2 . Soit don une série allons montrer que toute série normalement onvergente dans L2 est onvergente P P∞ n un normalement onvergente pour la norme k·k2 . En posant h(x) = 0 |un (x)|, on a par le théorème de

onvergen e monotone et l'inégalité triangulaire que Démonstration

Z

2

h(x) dx =

Z

lim N

N X 0

!2

|un (x)|

dx = lim N

Z

N X 0

!2

|un (x)|

N

!2

X

dx = lim |un | N

0 2 ! !2 2 N ∞ X X ≤ lim kun k2 = kun k2 < ∞. N

0

0

Don h2Pest intégrable e qui implique que h est nie presque partout. En tout point x où h est nie, la série numérique un (x) est absolument onvergente don onvergente, notons S sa limite et SN la somme partielle asso iée, i.e. on pose SN (x) =

N X

un (x)

et S(x) =

n=0

On a ainsi

(

limN |SN (x) − S(x)|2 = 0 presque partout P |SN (x) − S(x)|2 = | n>N un (x)|2 ≤ h(x)2

Alors par onvergen e dominée :

e qui pré isément signie que la série

P

Z

n

un

∞ X

un (x).

n=0

pour x qui est une fon tion intégrable

|SN (x) − S(x)|2 dx → 0

onverge vers S dans L2 e qui a hève la preuve. 

6.2.5 L'espa e L∞ On va travailler maintenant sur la lasse des fon tions bornées. Le problème qui se pose immédiatement est que si f est une fon tion bornée et g = f, p.p. alors g n'est pas né essairement bornée ! Par exemple, f est la fon tion nulle et g(x) = x × 1Q (x) alors f = g presque partout mais g n'est pas bornée. Nous aurons besoin d'une dénition de la bornitude qui soit valable quelle que soit le représentant de la

lasse hoisie.

6.3.

61

SÉRIES DE FOURIER

Dénition 6.2.4

Le sup-essentiel d'une fon tion f est déni par le réel ( Z sup ess f = inf a; def

)

dx = 0 .

{f (x)>a}

En d'autres termes, le sup-essentiel d'une fon tion f est le plus petit a pour lequel l'ensemble {x; f (x) > a} est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue. En reprenant l'exemple pré édent, on se rend ompte maintenant que {x; g(x) > 0} = Q+ \ {0} qui est don de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue. Et nalement sup ess g = 0 (alors que sup g = ∞). Pour alléger les notations, on é rira souvent sup au lieu de sup ess (dans les hapitres suivants).

Théorème et Dénition 6.2.5

L'espa e L∞ (Rn ) est l'espa e des lasses de fon tions essentiellement bornées pour la relation d'équivalen e f = g , p.p. Muni de la norme kf k∞ = sup ess |f |, L∞ est un espa e de Bana h.

Nous ne prouverons pas la omplétude de L∞ , nous nous ontenterons de donner l'idée de la preuve. Il sut en fait de prendre une suite de Cau hy fj pour la norme innie k·k∞ . On montre alors que la suite numérique fj (x) est de Cau hy presque partout pour x. Enn, on utilise la omplétude de R pour assurer l'existen e d'une limite pour fj (x) qu'on notera f (x) presque partout pour x. Enn, on montre que la lasse d'équivalen e de ette fon tion f est bien la limite des fon tions fj pour la norme k·k∞ .

6.2.6 Espa e L∞ (A) Nous terminons enn par deux propositions s'adressant à des fon tions f de A dans R telle que A est de mesure nie pour ν . La démonstration de es propositions est laissée en exer i e.

Proposition 6.2.6. Soit A un sous-ensemble de Rn vériant ν(A) < ∞. On a alors L∞ (A) ⊂ L2 (A) ⊂ L1 (A)

Proposition 6.2.7. Pour tout sous-ensemble A (de mesure > 0) de Rn vériant ν(A) < ∞, on a L∞ (A) ∩ L1 (A) ⊂ L2 (A)

6.3 Séries de Fourier On se donne dans ette se tion un nombre T > 0 et on pose ω = 2π/T . Si f est une fon tion dénie sur R et vériant f (t − T ) = f (t), p.p., il en est de même de toute fon tion presque partout égale à f . On dit qu'une lasse de fon tions est T -périodique si l'un quel onque de ses réprésentants vérie la propriété i-dessus. On dénit l'espa e L2T omme étant l'espa e des ( lasses de) fon tions T -périodiques lo alement de R

arré sommable, i.e. f ∈ LT2 ssi f est T -périodique et pour tout ompa t K , K |f (t)|2 dt < ∞. Nous munirons l'espa e L2T du produit s alaire suivant (f |g) =

1 T

Z

T

f (t)g(t)dt.

0

C'est un espa e de Hilbert. Nous admettrons les deux théorèmes suivant.

Théorème 6.3.1. Les fon tions ep (t) = eipωt , p ∈ Z forment une base hilbertienne de L2T .

62

CHAPITRE 6.

ESPACE DE HILBERT

Théorème 6.3.2. i) Tout élément f ∈ L2T peut se dé omposer de façon unique sous la forme f=

X

cp (f )eipωt ,

p∈Z

la série onvergeant en moyenne quadratique ( 'est-à-dire pour la norme de L2T ). Les omposantes cp (f ) sont données par cp (f ) = (f |ep ) =

et vérient

Z

0

T

|f (t)|2 dt/T =

X p∈Z

Z

T

f (t)e−ipωt dt/T,

0

|cp (f )|2

(◮Bessel P

Parseval).

ii) Ré iproquement, étant donné des s alaires γp vériant p∈Z |γp |2 < ∞, la série en moyenne quadratique vers une fon tion f ∈ L2T telle que l'on ait cp (f ) = γp .

P

γp eipωt

onverge

Ce théorème ara térise omplètement les fon tions de arré sommable en termes de leur série de Fourier. Il ne fournit toutefois que la onvergen e en moyenne quadratique et ne dit rien sur la onvergen e pon tuelle. Une théorème onsidérablement plus di ile dû à Carleson, 1965 assure que les sommes partielles symétriques de la série de Fourier d'une fon tion f ∈ L2T onvergent presque partout vers f .

6.4 Points essentiels du hapitre a) Proje tion sur un onvexe fermé, théorème de Riesz, dé omposition sur une base, Théorème de Parseval. b) La notion de onvergen e faible.

) L'espa e L2 est de Hilbert, L1 et L∞ sont de Bana h. d) Les fon tions ontinues à support ompa t sont denses dans L1 , L2 .

6.5 Un peu d'histoire Hilbert (1862-1943). Sour e : bibmath. David Hilbert est unanimement re onnu omme la gure emblématique des mathématiques du XXème siè le. Son oeuvre est immense, omparable à elle de Poin aré. Surtout, Hilbert a donné l'impulsion de nombreuses re her hes mathématiques du XXème siè le et a réé une é ole allemande qui domina trente années durant. Hilbert est né le 23 janvier 1862 à Königsberg, d'une famille bourgeoise. Il fait sa thèse à l'université de la même ville, sous la dire tion de Lindemann, le mathémati ien auquel on doit la première preuve de la trans endan e de π. C'est à ette époque qu'il se lie ave Minkowski, qui restera son ami toute sa vie. Les premiers travaux de Hilbert portent sur la théorie des invariants, qu'il aborde d'une façon radi alement nouvelle. Alors que ses prédé esseurs avaient obtenu des résultats partiels au prix de al uls lourds, il parvient à un résultat général - son fameux Nullstellensatz (en français théorème des zéros de Hilbert) - à l'aide de raisonnements abstraits. Ce sont là, les premières pierres de la géométrie algébrique abstraite, une thématique majeure du XXè s. C'est en 1895 que Hilbert rejoint l'université de Göttingen, qu'il ne quittera plus malgré de nombreuses propositions. Il t de ette université le entre nerveux des mathématiques du début du XXè s. Il aura pour élèves Hermann Weyl, ainsi que le hampion d'é he s Lasker. Il se onsa re alors à faire le point, ave son ami Minkowski, sur la théorie algébrique des nombres, et dans son ouvrage Zahlberi ht, il réalise

6.5.

UN PEU D'HISTOIRE

63

une brillante synthèse d'idées de Kummer, Krone ker, Dedekind, et des ses propres travaux. Il publie aussi Grundlagen der Geometrie, où il inaugure la méthode axiomatique en donnant une formulation rigoureuse de la géométrie eu lidienne. Le 8 août 1900, au Se ond Congrès International des Mathémati iens réuni à Paris, David Hilbert a profondément hangé la fa e des mathématiques. Et pourtant, e jour-là, il n'a annon é au un théorème nouveau, au un résultat. Rien de tout ela. Au ontraire même, e jour-là, Hilbert a posé 23 problèmes à la ommunauté des mathémati iens. Ces problèmes ont été le moteur de nombreuses re her hes tout au long du siè le dernier. Dans une onféren e restée un mor eau d'anthologie (Hermite dira : "On n'entendra plus dans les ongrès de onféren es pareilles"), Hilbert essaie de deviner le futur d'une s ien e. La plupart des 23 problèmes furent ee tivement au oeur de nombreuses re her hes depuis lors, même s'il en reste 3 ouverts à l'heure a tuelle. Le nom de Hilbert est ependant onnu des étudiants surtout pour ses élèbres espa es de Hilbert, qu'il est amené à introduire vers 1909, au ours de son travail sur des équations intégrales. Ensuite, Hilbert se

onsa re surtout au développement de l'é ole de pensée dite formaliste, par opposition à l'é ole intuitionniste de Poin aré et Brouwer. Les intuitionnistes ne re onnaissaient que les preuves d'existen e de nature

onstru tive, et refusaient les méthodes axiomatiques de Hilbert. Si es mathématiques intuitionnistes gardent un grand intérêt, 'est la pensée axiomatique d'Hilbert qui peu à peu va devenir dominante, jusqu'à son inuen e sans doute ex essive dans l'enseignement des "mathématiques modernes". La légendaire distra tion des mathémati iens ne se dément pas ave Hilbert. On rapporte qu'un jour, les Hilbert re evant des invités à diner, Mme Hilbert demanda à son mari de hanger de hemise. Le temps passa, les invités arrivèrent, mais Hilbert ne des endait pas. L'expli ation ? En enlevant sa

hemise, il avait ommen é une séquen e de gestes qui l'avait amené droit au lit et dans un sommeil profond ! Hilbert dé ède le 14 février 1943 à Göttingen.

64

CHAPITRE 6.

ESPACE DE HILBERT

Chapitre 7 Transformation de Fourier des fon tions

Sommaire

7.1 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7.1.1 Transformée de Fourier d'une fon tion de L1 . . . . Denition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extension de la formule d'inversion . . . . . . . . . 7.1.2 Propriétés de la transformée de Fourier . . . . . . Transposition, translation et hangement d'é helle Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fon tions à dé roissan e rapide . . . . . . . . . . . 7.1.3 Transformée de Fourier d'une fon tion de L2 . . . . Espa e S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformée de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . 7.1.4 Transformée de Fourier et onvolution . . . . . . . Formule de onvolution . . . . . . . . . . . . . . . Limitations de la formule de onvolution . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . .

66 66 66 67 69 69 69 69 70 71 71 72 73 73 74

7.2 Points essentiels du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.3 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Fourier (1768-1830).

.

Sour e : Bibmath

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Mots lés 7.1

transformée de Fourier, Lemme de Riemann-Lebesgue, transformée de Fourier onjuguée, formules d'inversion, fon tions à dé roissan e rapide, espa e de S hwartz, onvolution. Nous introduisons dans e hapitre une transformation intégrale appelée "transformation de Fourier" qui généralise au as des fon tions dénies sur l'axe réel R tout entier l'analyse de Fourier des fon tions périodiques. Les oe ients de Fourier établissaient une orrespondan e entre les fon tions périodiques et une suite de oe ients (les oe ients de Fourier). I i, la fon tion n'a plus la ontrainte de périodi ité et on aura alors une orrespondan e non pas ave une suite de oe ients mais ave une véritable fon tion qu'on appellera transformée de Fourier. On ommen e par introduire la transformée de Fourier pour les fon tions intégrables au sens de Lebesgue (éléments de L1 ). Un des in onvénients de la transformée de Fourier ainsi dénie est qu'elle ne laisse pas L1 stable. On étendra don ette dénition aux fon tions de arré sommable (éléments de L2 ), qui possèdent une interprétation énergétique en physique. L'espa e L2 étant stable, toute fon tion arré sommable possèdera une transformée de Fourier de arré sommable. 65

66

CHAPITRE 7.

TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS

7.1 Transformée de Fourier 7.1.1 Transformée de Fourier d'une fon tion de L1 Denition et exemples Dénition 7.1.1 Soit f une fon tion à valeurs réelles ou omplexes d'une variable réelle. On appelle transformée de Fourier (ou spe tre) de f , si elle existe, la fon tion omplexe de la variable réelle ν : def f˜(ν) =

On é rira alors symboliquement :

Z

∞ −∞

f (x)e−2iπνx dx pour tout ν ∈ R

f˜ = F[f ]

ou f˜(ν) = F[f (x)]

def F¯[f ] (ν) =

Z

De même, on dénira la transformée de Fourier onjuguée d'une fon tion f par ∞

f (x)e2iπνx dx

−∞

La transformée de Fourier n'existe pas toujours. Cela peut signier que f˜ n'existe pas, ou bien que ˜ f (ν) n'est pas dénie pour toutes les valeurs de ν . Une ondition susante mais non né essaire pour que f˜ existe est que f soit intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue (on dit aussi Lebesgue-intégrable).

Propriétés élémentaires Théorème

7.1.2. Soit f ∈ bornée et

f˜

≤ kf k1 .

L1 (R)

une fon tion intégrable. Alors f˜ est une fon tion ontinue sur R,

∞

Théorème 7.1.3. La fon tion transformée de Fourier F

ontinue, i.e. : i) pour tous f, g ∈ L1 (R) et tous α, β ∈ C, on a :

: L1 (R) → L∞ (R)

F[αf +βg] = αF[f ] + βF[g]

(◮Linéarité)

est un opérateur linéaire et

ii) Si la suite fn tend vers 0 au sens L1 , alors la suite f˜ tend vers 0 au sens L∞ , i.e. : 

lim

n→∞

Z

|fn (x)|dx = 0



⇒



lim sup |f˜n (ν)| = 0

n→∞ ν∈R



(◮Continuité)

−2iπνx Démonstration. des Théorèmes 7.1.2 et 7.1.3- On a ∀x ∈ R, |f (x)e | ≤ |f (x)| et on peut appliquer le théorème de ontinuité sous le signe intégral pour monter que f˜ est ontinue. De plus, on a pour tout ν ∈ R,

e qui montre que

Z Z −2iπνx ˜ |f (ν)| = f (x)e dx ≤ |f (x)|dx = kf k1 ,



˜

f

∞

= sup |f˜(ν)| ≤ kf k1 ν∈R

La transformation de Fourier étant lairement linéaire, ela sut pour prouver sa ontinuité.

Exemple 7.1.1

La fon tion Porte

- On introduit la fon tion Porte :

( 0 Π(x) = 1 def

pour |x| > 1/2, pour |x| ≤ 1/2.



7.1.

67

TRANSFORMÉE DE FOURIER

1

−1 Fig.

1

7.1  La fon tion Porte

Alors sa transformée de Fourier est un sinus ardinal : ˜ Π(ν) =

Z

1/2

e

−2iπνt

def

dt = sinc(πν) =

−1/2

(

sin πν πν

1

si ν = 6 0, si ν = 0.

De même si l'on prend la fon tion indi atri e 1[a,b] , sa transformée de Fourier est ˜ [a,b] = 1

Exemple 7.1.2

(

sin(π(b−a)ν) −iπ(a+b)ν e πν

b−a

si ν 6= 0, si ν = 0.

On a vu dans l'exemple 5.1.3 dans le Chapitre 5 que si on onsidère f : x 7→ e−αx alors 2

F[f ] (ν) =

Z

2

e−αx e−2iανx dx =

√ −αν 2 πe

Le fait que la transformée de Fourier soit une appli ation ontinue est ru ial. Cela signie que si l'on a une suite (fn ) de fon tions intégrables qui tend vers f ∈ L1 au sens de la norme L1 à savoir Z

|fn (t) − f (t)|dt →n→∞ 0

alors on aura onvergen e au sens de la norme L∞ , 'est à dire onvergen e uniforme de la suite (f˜n ) : sup |f˜n (ν) − f˜(ν)| →n→∞ 0 ν∈R

L'exemple de la transformée de la fon tion Porte montre que la transformée de Fourier d'une fon tion de L1 n'est elle même pas obligatoirement intégrable au sens de Lebesgue. L'opération "transformée de Fourier" ne nous laisse don pas dans L1 . En revan he, dans les exemples vus dans Exemples 7.1.1 et 7.1.2, ha une des transformées de Fourier a la propriété de tendre vers 0 en l'inni. Cette propriété est en fait générale omme l'indique le lemme suivant que nous admettrons :

Théorème 7.1.4. Lemme de Riemann-Lebesgue- Soit fon tion f˜ tend vers 0 en l'inni :

f ∈ L1 (R)

une fon tion intégrable. Alors la

lim f˜(ν) = 0

|ν|→∞

Inversion

Peut-on inverser la transformée de Fourier ? La réponse est oui dans ertains as, et de plus la transformée inverse (ou ré iproque) n'est autre que la transformée onjuguée. Nous venons de voir que si f est dans L1 , sa transformée de Fourier f˜ ne l'est pas for ément. Par

ontre dans le as parti ulier où f˜ est ee tivement intégrable alors on a le résultat d'inversion suivant :

Théorème 7.1.5. Inversion dans L1 (R)- Soit f ∈ L1 (R) une fon tion intégrable admettant une transformée de fourier f˜ elle-même intégrable (f˜ ∈ L1 (R)). Alors, F¯[f˜] (x) = f (x)

en tout point x où f est ontinue

En parti ulier, si f est de plus ontinue, alors F¯[f˜] = f .

68

CHAPITRE 7.

TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS

. La démonstration omporte plusieurs étapes. On ommen e par montrer le résultat suivant :

Démonstration

Lemme 7.1.6.

Soient

f, g ∈ L1 (R).

Démonstration. Lemme Fubini, on a de plus :

Z

f (t)˜ g (t)dt =

7.1.6

Z

Alors,

Z

f˜ · g

et

f · g˜

sont intégrables et

f˜(t)g(t)dt =

Z

f (t)˜ g (t)dt

- La fon tion f˜ étant bornée, et g étant intégrable, f˜ · g est don intégrable. Par

f (t)

Z

 Z  Z Z g(s)e−2iπtsds dt = g(s) f (t)e−2iπts dt ds = f˜(t)g(t)dt

e qui est l'égalité souhaitée.  Introduisons la suite de fon tions hn dénie par hn (x) def = exp(−π 2 x2 /n2 ). C'est une suite de gaussiennes de plus en plus "larges" qui onverge simplement vers la fon tion onstante 1. Puisque f˜ est intégrable et que |f˜(x)hn (x)e2iπxt | ≤ |f˜(x)|

pour tout x ∈ R, le théorème de onvergen e dominée de Lebesgue nous permet d'é rire que Z

f˜(x)hn (x)e2iπxt dx →n→∞

Z

f˜(x)e2iπxt dx = F¯[f˜] (t).

Z

˜ n (x − t)dx. f (x)h

(7.1)

De plus, la transformée de Fourier de x 7→ hn (x)e2iπxt est, omme on peut le vérier par al ul dire t, x 7→ ˜ n (x − t) et le lemme 7.1.6 permet d'é rire que h On va maintenant prouver que

Z

f˜(x)hn (x)e2iπxt dx = Z

(7.2)

˜ n (x − t)dx →n→∞ f (t). f (x)h

La démonstration générale ave f ∈ L1 étant un peu te hnique, nous restreindrons à prouver ette limite pour ˜ n (x) = f ∈ L1 et borné. Par al ul dire t, on peut se onvain re que la transformée de Fourier de hn s'é rit h √ √ √ 2 2 −x2 /2 √n e−n x = 2nh( 2nx) ave h(x) = e / 2π . Maintenant si t est un point de ontinuité de f alors, pour π R tout ǫ > 0, il existe α > 0 tel que |f (u) − f (t)| < ǫ dès que |u − t| < α. En remarquant que h(u)du = 1, on a R ˜ n (u)du = 1 par hangement de variable et il vient : h Z Z Z ˜ n (x − t)dx − f (t) = | (f (x) − f (t))h ˜ n (x − t)dx| ≤ ǫ + f (x)h

|x−t|>α

˜ n (x − t)dx (|f (x)| + |f (t)|)h

≤ ǫ + 2 sup |f (t)| t

Z |

√ |u|> 2nα u=

Don , en prenant n susamment grand, le terme à droite de l'inégalité sera inférieur à 2ǫ. Ainsi Z

˜ n (x − t)dx →n→∞ f (t) f (x)h

Z

f˜(x)e2iπxt dx = F¯[f˜] (t) = f (t),

√

{z

h(u)du

2n(x−t)

}

(7.3)

En ombinant (7.1), (7.2) et (7.3) et par identi ation des limites, on obtient en tous point de ontinuité de f ,

e qui est le résultat voulu.  Comme la transformée de Fourier onjuguée d'une fon tion intégrable est ontinue, on en déduit que si f admet une dis ontinuité alors né essairement sa transformée de Fourier n'est pas intégrable. Pour pouvoir utiliser la formule d'inversion donnée par le Théorème 7.1.5, il nous faut non seulement des informations sur f mais également sur f˜ (qui doit être intégrable), e qui peut se révéler fort peu pratique. Dans la proposition suivante, une onnaissan e plus pré ise de f (sans onnaissan e sur f˜) nous permet d'utiliser la formule d'inversion. Nous admettrons ette proposition.

7.1.

69

TRANSFORMÉE DE FOURIER

Proposition 7.1.7. Si f est de lasse C 2 et si f , f ′ et f ” sont toutes intégrables alors f˜ est également intégrable. L'inversion de la transformée de Fourier devient possible et on a f = F¯[f˜]

Extension de la formule d'inversion Qu'en est il maintenant si on n'a pas d'information sur la dérivée se onde f ” ? Le théorème suivant qui sera aussi admis nous permet de répondre (en partie) à la question :

Théorème 7.1.8. Soit f que f ′ ∈ L1 (R), alors

∈ L1 (R), lim

R→∞

de lasse C 1 sauf en un nombre ni de points de dis ontinuités, telle

Z

R

 1 f˜(ν)e2iπνx dν = f (x− ) + f (x+ ) . 2 −R

(7.4)

Par abus, on notera en ore ette limite F¯[f˜] (x).

En d'autres termes, la formule d'inversion prise au sens d'une limite d'intégrale (appelée valeur

prin ipale ) nous donne la régularisée de f .

En parti ulier, si f est ontinue et si f et f ′ sont sommables, alors la formule d'inversion (7.4) redonne bien la fon tion originale f .

7.1.2 Propriétés de la transformée de Fourier Transposition, translation et hangement d'é helle On peut démontrer simplement les résultats élémentaires suivants :

Théorème 7.1.9. Si f est une fon tion intégrable et si a ∈ R, alors F[f (x)] = f˜(−ν),

F[f (−x)] = F¯[f (x)] = f˜(−ν), F[f (x)e2iπν0 x ] = f˜(ν − ν0 )

F[f (x−a)] = e−2iπνa f˜(ν),

De plus, pour tout a ∈ R∗ ,

F[f (ax)] =

1 ˜ ν  f |a| a

Corollaire 7.1.10. Les propriétés suivantes évoluent ainsi lors d'une transformation de Fourier f˜

f

paire paire impaire impaire réelle hermitienne imaginaire antihermitienne où l'on rappelle que g est une fon tion

(

hermitienne antihermitienne

ssi pour tout x,

(

g(−x) = g¯(x) g(−x) = −¯ g (x)

.

Dérivation On a la relation très importante suivante entre Transformée de Fourier et dérivation :

Théorème 7.1.11. Soit dérivable et on a

f

tel que la fon tion xk f ∈ L1 pour tout k = 0, . . . , n. Alors, f˜ est n−fois F[(−2iπx)k f (x)] = f˜(k) (x)

pour k = 1, . . . , n.

70

CHAPITRE 7.

TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS

Inversement, si f ∈ L1 , si f est de lasse C n et si de plus, les dérivées su

essives f (k) sont intégrables pour tout k = 1, . . . , n alors on a F[f (m) (x)] = (2iπν)m f˜(ν)

pour m = 1, . . . , n.

Notamment, on retiendra que F[f ′ (x)] = 2iπν f˜

et

F[−2iπxf (x)] =

d ˜ f dν

. Pour tout x ∈ R, la fon tion ν 7→ f (x)e−2iπνx est de lasse C ∞ , de dérivée k-ième bornée en module par |(2πx)k f (x)| qui est intégrable. On applique alors le théorème de dérivation sous le signe intégral, qui nous donne : Z Z h i Démonstration

d ˜ f˜′ (ν) = f (ν) = dν

d f (x)e−2iπνx dx = dν

(−2iπx)f (x)e−2iπνx dx

puis par une ré urren e immédiate, nous obtenons la première Rformule. R On rappelle que pour toute fon tion intégrable ϕ, on a ϕ(x)dx = limR→∞ RR ϕ(x)dx. Puisque f ′ est intégrable, on a don en intégrant par parties : F[f ′ ] (ν) = lim

R→∞

Z

R

f ′ (x) e|−2iπνx lim {z } dx = R→∞ −R | {z } v

u′

h

f (x)e−2iπνx

iR

−R

+

Z

R −R

 (2iπν)f (x)e−2iπνx dx .

Comme f est sommable ainsi que sa dérivée, f admet une limite nulle en ±∞. En eet, il sut de remarquer R que f (x) − f (0) = 0x f ′ (u)du qui a une limite quand x → ±∞ par intégrabilité de f ′ puis la limite de f (x) en ±∞ ne peut être que nulle par intégrabilité de f . La formule pré édente nous montre alors, en faisant tendre R vers l'inni que Z Z f ′ (x)e−2iπνx dx =

(2iπν)f (x)e−2iπνx dx,

e qui montre la deuxième formule du théorème ave k = 1. Une ré urren e sur k permet alors de on lure.  En notant que si f est intégrable et à support borné alors x 7→ xk f (x) est intégrable pour tout k, on a alors lairement le orollaire suivant :

Corollaire 7.1.12. Si de lasse C ∞ .

f ∈ L1

est une fon tion à support borné, alors sa transformée de Fourier f˜ est

Les formules du Théorème 7.1.11 nous onduisent d'ailleurs à un résultat très important :

Corollaire 7.1.13. Soit f une fon tion et soient p, q ∈ N. On suppose que la dérivée p-ième est dans L1 et que x 7→ xq f (x) est dans L1 . Alors, pout tout ν ∈ R, |f˜(ν)| ≤ |2πν|−p

Z

|f

(p)

(x)|dx

et

|f˜(q) (ν)| ≤

Z

|2πx|q |f (x)|dx

Ces formules nous fournissent des majorations fortes : par exemple, si f est dérivable 5 fois et si f (5) est sommable, alors f˜ dé roît au moins en 1/ν 5 . Il existe don un lien entre la régularité de f et la rapidité de la dé roissan e de f˜ ; de même entre la dé roissan e de f et la régularité de f˜. Nous voyons dans la partie suivante es diérents liens pour des fon tions à dé roissan e rapide.

Fon tions à dé roissan e rapide Dénition 7.1.14 On dit qu'une fon tion f est à dé roissan e rapide ssi pour tout k ≥ 0, lim xk f (x) = 0

|x|→∞

Autrement dit, une fon tion à dé roissan e rapide dé roît plus vite que tout polynme.

7.1.

71

TRANSFORMÉE DE FOURIER

Exemple 7.1.3

Les fon tions x 7→ e−x et x 7→ x5 (lnx)e−x sont à dé roissan e rapide. 2

Cette notion est utile ar si f est à dé roissan e rapide et si elle est lo alement sommable, alors xk f (x) est sommable pour tout k ∈ N. Du théorème de dérivation 7.1.11, on déduit :

Théorème 7.1.15. Si f est une fon tion à dé roissan e rapide, alors sa transformée de Fourier f˜ est de lasse C ∞ . Toujours en utilisant le théorème de dérivation 7.1.11, on peut montrer (exer i e) que :

Théorème 7.1.16. Soit f une fon tion de lasse C ∞ . Si pour tout k ∈ N, la fon tion f (k) est dans L1 alors f˜ est à dé roissan e rapide.

7.1.3 Transformée de Fourier d'une fon tion de L2 Il existe des fon tions qui ne sont pas for ément intégrables mais dont le arré l'est. Ainsi la fon tion "sinus ardinal" : def

x 7→ sinc(x) =

sin x , x

prolongée par ontinuité en 0 en posant sinc(0) = 1, appartient à L2 et non à L1 . Or les fon tions de

arré intégrable se ren ontrent fréquemment en physique et il est souhaitable d'étendre la dénition de la transformée de Fourier à la lasse des fon tions de arré intégrable. Pour ela, on introduit l'espa e de S hwartz, astu e te hnique qui nous permettra à terme d'arriver à nos ns.

Espa e S Dénition 7.1.17

On appelle espa e de S hwartz qu'on note S l'espa e des fon tions de lasse C ∞ qui sont à dé roissan e rapide ainsi que toutes leurs dérivées.

Exemple 7.1.4

Soit f de lasse C ∞ à support ompa t. Alors f˜ ∈ S .

En eet, f est à support borné don d'après le Corollaire 7.1.12, f˜ est de lasse C ∞ . De plus, f est dérivable p fois est f (p) est sommable pour tout p ∈ N et le Corollaire 7.1.13 permet alors d'armer que f˜ dé roît au moins omme 1/ν p pour tout p ∈ N. Don f˜ ∈ S . Le résultat le plus important sur les fon tions de S est le suivant :

Théorème 7.1.18. La transformée de Fourier est un opérateur linéaire et ontinu de S dans S . En d'autres termes, si f ∈ S alors f˜ ∈ S et si la suite fn tend vers 0 dans S alors la suite f˜n tend également vers 0 dans S .

. S - Montrons dans un premier temps que si f ∈ S alors f˜ ∈ S . La fon tion f est à dé roissan e rapide, don sa transformée de Fourier f˜ est de lasse C ∞ . Pour tout k ∈ N, la fon tion f (k) est également à dé roissan e rapide (et intégrable). On en déduit d'après le Théorème de dérivation 7.1.11 que f˜ est à dé roissan e rapide. Il ne reste qu'à prouver que les dérivées de f˜ sont également à dé roissan e rapide. Or, les dérivées de tous ordres de f sont à dé roissan e rapide, don x 7→ xk f (n) est intégrable pour tout k, n ∈ N ; ainsi, en utilisant le théorème de Riemann-Lebesgue 7.1.4, on a lim|x|→∞ |xk f (n) (x)| = 0 e que l'on voulait démontrer.  Pour parler de la ontinuité de la transformation de Fourier F[·] dans S , il faut d'abord pré iser la notion de onvergen e dans S . Démonstration de la stabilité de

Dénition 7.1.19

On dit que la suite fn d'éléments de S onverge dans S ssi pour tous p, q ∈ N, lim sup |xp fn(q) (x)| = 0

n→∞ x∈R

Cette notion de onvergen e dans S est très forte ; notamment, elle implique la onvergen e uniforme sur R de (fn )n∈N ainsi que toutes les dérivées (fn(k) )n∈N .

72

CHAPITRE 7.

TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS

Enn pour terminer le tour des propriétés importantes pour la transformée de Fourier sur l'espa e S , on va se demander e qu'il advient de la formule d'inversion. On sait que si f ∈ S , alors elle admet une transformée de Fourier f˜ ∈ S et puisque f˜ est intégrable et ontinue, on aura bien grâ e au Théorème d'inversion 7.1.5 la relation F¯[F[f ] ] = f . On aura même un peu plus :

Théorème 7.1.20. La transformation de Fourier est une appli ation linéaire et bije tive et bi- ontinue, i.e. ontinue ainsi que sa ré iproque, de S dans S . Son inverse est F −1 [·] = F¯[·] .

Transformée de Fourier dans

L2

Pour dénir la transformée de Fourier sur L2 des fon tions de arré intégrable, on va utiliser les résultats pré édents sur la transformée de Fourier dans S ainsi que le lemme suivant qui est i i admis dans le adre de e ours :

Lemme 7.1.21.

L2 (R).

Densité de

S

L2 -

dans

L'espa e S est un sous espa e ve toriel dense de l'espa e

On montre ensuite que si f et g sont deux fon tions de S : Z

∞

f (x)g(x)dx =

−∞

Z

∞

f˜(ν)˜ g (ν)dν

−∞

C'est une simple onséquen e du théorème de Fubini et de quelques manipulations de onjugaison omplexe. On utilise ensuite les propriétés suivantes  S est dense dans L2 ,  L2 est omplet, pour montrer que la transformée de Fourier sur S se prolonge en un opérateur sur L2 qui reste linéaire et ontinu. On obtient alors un opérateur "transformation de Fourier" déni pour toute fon tion f ∈ L2 qui vérie le théorème suivant :

Théorème 7.1.22. Parseval-Plan herel- La transformation de Fourier L2 : si f et g sont deux fon tions de L2 alors f˜ et g˜ le sont aussi et on a Z

∞

f (x)g(x)dx =

−∞

Z

∞

F[·]

est une isométrie sur

f˜(ν)˜ g (ν)dν

−∞

De plus, pour tout f ∈ L2 , on a F¯[F[f ] ] = F[F¯[f ] ] = f presque partout. La transformée de Fourier inverse est don donnée par F −1 [·] = F¯[·] . Remarque 7.1.1 On prendra garde dans le théorème pré édent que la notion d'inverse de la transformée de Fourier pour des fon tions L2 est F¯[F[f ] ] = F[F¯[f ] ] = f presque partout. Si par ontre, on sait que la fon tion f est dans S alors par le théorème 7.1.20, on aura F¯[F[f ] ] = F[F¯[f ] ] = f partout et non plus presque partout.

Enn, la proposition suivante montre que la dénition de la transformée de Fourier sur L1 et L2

oin ident sur L1 ∩ L2 .

Proposition 7.1.23. La transformée de Fourier sur L1 et elle sur L2 oin ident sur L1 ∩ L2 .

En d'autres termes si f est une fon tion de arré intégrable et si elle est de plus, intégrable elle-même alors sa transformée de Fourier dénie dans e paragraphe vaut bien : F[f ] : ν 7→

Z

f (x)e−2iπνx dx.

Mais alors, omment é rit-on la transformée de Fourier d'une fon tion de arré sommable mais qui ne serait pas sommable elle-même ? En fait, on peut montrer que si f est dans L2 , sa transformée de fourier f˜ dans L2 peut être obtenue omme la limite suivante : f˜(ν) = lim

R→∞

Z

R

−R

f (x)e−2iπνx dx

pour tout ν ∈ R

7.1.

73

TRANSFORMÉE DE FOURIER

7.1.4 Transformée de Fourier et onvolution On rappelle la dénition du produit de onvolution de deux fon tions :

Formule de onvolution Dénition 7.1.24 Si f et

g sont deux fon tions lo alement sommables, leur produit de onvolution, lorsqu'il existe est h = f ∗ g ave : Z def

f (t)g(x − t)dt

h(x) =

Le théorème de Fubini permet de démontrer le résultat fondamental suivant :

Théorème 7.1.25. Soient f et g deux fon tions admettant des transformées de Fourier et telle que leur produit de onvolution existe et est dans L1 . Alors F[f ∗g] = F[f ] · F[g]

ou en ore f] ∗ g(ν) = f˜(ν) · g˜(ν)

F[f ·g] = F[f ] ∗ F[g]

· g(ν) = f˜(ν) ∗ g˜(ν) ou en ore fg

De même, lorsque es expressions sont dénies, on a

En d'autres termes, la transformée de Fourier "é hange" produit de onvolution en produit de fon tions et ré iproquement. −2iπνx Démonstration. On pose ϕ(x, t) = f (t)g(x − t)e . Alors, F[f ∗g] (ν) =

Z Z

  Z Z f (t)g(x − t)dt e−2iπνx dx = ϕ(x, t)dt dx.

Or, d'après le théorème de Fubini, ϕ est sommable sur R2 et F[f ∗g] (ν)

= = =

Z Z

  Z Z ϕ(x, t) dt = f (t)g(x − t)e−2iπνx dx dt Z  Z −2iπν(x−t) f (t) g(x − t)e dx e−2iπνt dt Z f (t)˜ g (ν)e−2iπνt dt = f˜(ν)˜ g(ν)

La deuxième formule est plus déli ate à démontrer, aussi nous l'admettrons.

Exemple 7.1.5



Nous voulons al uler la transformée de Fourier de la fon tion Λ dénie par : 1

−2

−1

  1 + x Λ(x) = 1 − x   0

Λ 1

pour −1 ≤ x ≤ 0 pour 0 ≤ x ≤ 1 pour |x| ≥ 1.

On ommen e par montrer que Λ(x) = [Π ∗ Π] (x) et on en déduit que : F[Λ(x)] = la formule de Parseval-Plan herel nous donne

e qui est le résultat attendu.

Z

Λ(x)dx =

Z

Π(x)dx ×

Z

Π(x)dx = 1


sin πν 2 πν

. On note que

74

CHAPITRE 7.

TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS

Limitations de la formule de onvolution On peut démontrer les résultats suivants sans hypothèse supplémentaire. i) si f, g ∈ L1 alors f] ∗ g(ν) = f˜ · g˜(ν) pour tout ν ∈ R ;

ii) si f, g ∈ L1 et que leurs transformées de Fourier sont également dans L1 alors fg · g(ν) = f˜ ∗ g˜(ν) pour tout ν ∈ R ; iii) si f, g ∈ L2 , on peut prendre la transformée inverse de la première formule et é rire f ∗g(t) = F¯[f˜·˜g] (t) pour tout t ∈ R e qui est un bon moyen de al uler f ∗ g ; de plus, le se onde formule reste valable : fg · g(ν) = f˜ ∗ g˜ pour tout ν ∈ R ; iv) si f ∈ L1 mais que g ∈ L2 alors f ∗ g(t) = F¯[f˜·˜g] (t) pour presque tout t ∈ R.

7.2 Points essentiels du hapitre a) Transformée de Fourier dans L1 , Lemme de Riemann-Lebesgue. b) Diérents théorèmes permettant d'inverser la transformée de Fourier.

) Diérentes propriétés sur la transformée de Fourier, notamment lien entre rapidité de dé roissan e de f (resp. f˜) et régularité de f˜ (resp. f ). d) Espa e de S hwartz S : la transformée de Fourier envoie S dans S puis omme S est dense dans L2 , ela permet de dénir la transformée de Fourier dans L2 en utilisant une ertaine isométrie. e) Formule de la transformée de Fourier d'une fon tion dans L2 et pas dans L1 . f) La transformée de Fourier é hange produit de onvolution et produit de fon tions.

7.3 Un peu d'histoire Fourier (1768-1830). Sour e : Bibmath. Jean-Baptiste Fourier (qu'on onnaît aussi sous le nom de Joseph Fourier) est né le 21 mars 1768 à Auxerre. Il est le douzième des quinze enfants de son père. Alors qu'il n'a que 10 ans, il perd ses parents et est pla é à l'é ole militaire d'Auxerre. Il réalise des études prometteuses en Français et en latin, mais son intérêt se porte sur les mathématiques. Il lit notamment les 6 tomes du Cours de mathématiques de Bezout. Il rentre ensuite au séminaire, mais n'a pas vraiment la vo ation et il retourne en 1789 enseigner à son an ienne é ole à Auxerre. Fourier se montre un révolutionnaire a tif, animateur du omité lo al révolutionnaire d'Auxerre. Un in ident l'oppose à une fa tion rivale à Orléans en 1793. Il est emprisonné, et en es temps de Terreur, son hemin le menait droit à la guillotine. Mais la hute de Robespierre provoque des hangements politiques en Fran e, et Fourier est libéré. En 1794, il est de la première promotion de l'E ole Normale Supérieure, où ses professeurs ont pour nom Lagrange, Lapla e et Monge. Elève le plus brillant, il prote de et ex ellent entourage pour s'investir beau oup dans la re her he mathématique. En 1797, il rempla e Lagrange à la haire d'analyse et de mé anique de l'E ole Polyte hnique, bien qu'il n'ait pas en ore à son a tif de dé ouverte majeure. En 1798, il rejoint les expéditions napoléoniennes en Egypte en 1798, où de nombreux her heurs français mènent d'ambitieuses re her hes - qui se feront, hélas, au détriment des ri hesses lo ales pillées. Napoléon ren ontre alors de nombreux su

ès (Malte, Alexandrie). Mais après la destru tion de la otte napoléonienne par elle de Nelson dans la bataille du détroit du Nil en août 1798, Napoléon et son armée se voient onner dans les pays qu'ils viennent de onquérir. Fourier devient alors se rétaire de l'Institut

7.3.

UN PEU D'HISTOIRE

75

d'Egypte mis en pla e par Monge, et il se révèle très ompétent à e poste. Par la suite, de nombreuses missions diplomatiques lui seront onées. En même temps, il s'intéresse à l'art et à l'égyptologie. Quand Fourier regagne la Fran e en 1801, Napoléon n'a pas oublié ses ex ellents états de servi e, et le nomme préfet de l'Isère, sans que l'on sa he si Fourier lui-même désirait e poste. Il reste que Fourier fut un ex ellent préfet, qui mena à bien plusieurs projets d'importan e. C'est à Grenoble que Fourier réalise l'essentiel de es travaux les plus importants. Son obsession est le problème de la haleur,

'est-à-dire l'étude de l'évolution de la température d'un orps au ours du temps. De 1802 à 1807, il trouve l'équation de la propagation de la haleur dans les orps solides, puis trouve une méthode pour la résoudre, e qui est maintenant l'analyse de Fourier. Fourier dé ompose une fon tion mathématique unique, mais di ile à dé rire mathématiquement, en une somme innie de fon tions en sinus et en

osinus. Il est alors plus fa ile de dé rire au ours du temps l'évolution de ha une de es fon tions, et de retrouver la température au temps t en refaisant la somme. Cette hypothèse auda ieuse est ontestée par ses ontemporains Lapla e, Poisson et Lagrange ; e dernier se lève même en pleine séan e de l'Institut des s ien es et dé lare qu'il tient pour fausse la théorie de Fourier. Il faut dire que, même pour les ritères de rigueur de l'époque, les on lusions de Fourier étaient hardies. Par exemple, dans un langage moderne, Fourier ne s'intéresse jamais à la

onvergen e de ses séries. Pour les an iens, e qui les tra assait était plutt le phénomène inverse : il leur semblait impossible qu'une superposition, même innie, de fon tions ontinues, puisse donner une fon tion dis ontinue. Malgré es réserves, Fourier est primé par l'Institut pour son mémoire en 1812. En 1815 Napoléon s'é happe de l'ile de l'Elbe, et revient ave toute une armée vers la Fran e. Fourier est toujours préfet de l'Isère, et Grenoble est sur la route de Napoléon. Fourier obéit aux injon tions du roi, et ordonne qu'on s'oppose à Napoléon. Il parvient toutefois à manoeuvrer assez habilement pour que Napoléon ne lui en veuille pas, et le nomme préfet du Rhne quand il reprend le pouvoir. Les événements politiques font que Fourier n'o

upera jamais e poste. Au ontraire, en 1817, il est élu à l'A adémie des s ien es réhabilitée. En 1822, il devient se rétaire de la se tion mathématique. A e poste, il aidera beau oup de jeunes mathémati iens prometteurs, dont Diri hlet, Sturm ou Ostrogradsky. Pendant la n de sa vie, il onsa re beau oup de temps à pré iser ses arguments, et à débattre ave ses ontemporains, notamment Biot et Poisson, qui lui ontestent la priorité des dé ouvertes !

76

CHAPITRE 7.

TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS

Chapitre 8 Les distributions

Sommaire

8.1 Espa e

D.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.1.1 Dénition de l'espa e D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.1.2 Propriétés de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.1.3 Convergen e dans D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.2 Distribution. Espa e

D′

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Vérier qu'une forme linéaire sur D est une distribution. . . . . . . . . . . . . . 81

8.3 Opération sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.3.1 Dérivée d'une distribution . . . 8.3.2 Multipli ation des distributions 8.3.3 Changement de variables ane Translation . . . . . . . . . . . Homothétie . . . . . . . . . . . 8.3.4 Parité . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

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. . . . . .

. . . . . .

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83 85 85 85 85 86

8.4 Support d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.5 Convergen e dans D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.5.1

Approximation de δ par des distributions régulières . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.6 Distributions à support ompa t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.7 Distributions à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.8 Distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.8.1 Espa e S . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés de S . . . . . . . . . . . . . . Topologie de S . . . . . . . . . . . . . . 8.8.2 Les distributions tempérées. Espa e S ′ . Cara térisation de S ′ . . . . . . . . . . . Multipli ation dans S ′ . . . . . . . . . . Convergen e dans S ′ . . . . . . . . . . .

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89 89 89 90 91 92 92

8.9 Produit tensoriel des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.9.1 Dérivée du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.10 Produit de onvolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.10.1 Convolution des fon tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.10.2 Convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.11 Transformation de Fourier des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . 95 8.11.1 Propriétés de la transformation de Fourier dans S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

77

78

CHAPITRE 8.

LES DISTRIBUTIONS

Transformée de Fourier de δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.12 Points essentiels du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.13 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Laurent S hwartz (1915-2002). Sour e : les-mathematiques.net. . L'enfan e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les études supérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un houleux début de arrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La guerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L'é ole polyte hnique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L'engagement politique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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98 98 98 99 99 99 100 100

Mots lés 8.1

Espa es D, D′ , espa es E , E ′ , espa es S , S ′ , distributions tempérées, transformée de Fourier des distributions tempérées. La théorie des distributions a été introduite par Laurent S hwartz en 1950. Dans son livre "Théorie des distributions", il explique que " ette théorie n'est pas absolument une "nouveauté révolutionnaire" mais elle englobe de façon à la fois simple et orre te des pro édés hétérogènes et souvent in orre ts utilisés dans des domaines très divers ; 'est une synthèse et une simpli ation". Si f : Ω → R est une fon tion dénie sur un ouvert de Rn , l'évaluation de ette fon tion en un point x a un sens théorique mais n'a que peu de sens en pratique. Si par exemple Ω est la piè e dans laquelle on se trouve et f est la fon tion qui à un point de ette piè e asso ie la température en e point, la valeur pré ise de ette valeur n'est physiquement pas mesurable. Si on pla e un thermomètre en e point, on obtiendra la température du thermomètre en question (qui o

upe matériellement plus de pla e qu'un simple point...), qui orrespond à la valeur moyenne R des points qui onstituent e thermomètre. En pratique, on n'obtiendra don pas f (x) mais plutt Rn f (u)ϕ(u)du où ϕ(u) sera une fon tion dont le support sera très pro he du point x (le support de ϕ orrespond à l'espa e physiquement o

upé par le thermomètre dans notre exemple) qui orrespond à la valeur moyenne de f prise dans le support de ϕ ave la densité ϕ. En parti ulier, plus le thermomètre sera pré is, plus le support de ϕ sera pro he du R point x et plus l'intégrale de ϕ sera pro he de 1. L'idéal est bien-sûr d'avoir supp ϕ = {x} et Rn ϕ(u)du = 1 e qui n'est pas possible puisque l'intégrale d'une fon tion nulle presque partout vaut 0. L'idée don est de ne pas onsidérer les valeurs de la fon tion f (x) mais plutt de onsidérer les valeurs R de l'appli ation qui à une fon tion ϕ ontinue à support ompa t asso ie Rn f (u)ϕ(u)du. La théorie des distributions permet de onstruire proprement ette orrespondan e. Nous ommen erons par dénir l'espa e des fon tions ϕ sur lequel nous allons travailler.

8.1 Espa e D

8.1.1 Dénition de l'espa e D Dénition 8.1.1

borné.

D est l'espa e des fon tions omplexes dénies sur R indéniment dérivables, à support

Le support étant fermé par dénition, on peut rempla er dans la dénition support borné par R soit ompa t, il faut et il sut qu'il soit fermé borné. Trouver une fon tion ϕ ∈ D n'est pas tout à fait évident. On vériera par exemple que pour tout entier n ≥ 0, la fon tion fn (x) = (1 − x2 )n 1[−1,1] (x) n'est pas une fon tion de D.

support ompa t. En eet pour qu'un sous-ensemble de

Exemple 8.1.1

- Soit ϕ : R → R dénie par

Fondamental

ϕ(x) =

(

n o 1 exp − a2 −x si |x| < a 2 0

si |x| ≥ a

8.1.

ESPACE

79

D

ave a > 0. Alors ϕ ∈ D. Exemple fondamental 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 −2

Fig.

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

8.1  Toutes les dérivées sont nulles en −1 et 1 (i i a = 1)

8.1 Vérier s rupuleusement ette assertion. On notera que ϕ est paire et on montrera que pour tout n ≥ 0, ϕ(n) (a) existe et est nulle. Exer i e

On notera que pour la fon tion ϕ dénie dans l'exemple fondamental, la série de Taylor au point

x=a

∞ X ϕ(n) (a) (x − a)n n! n=0

est onvergente puisque tous les termes de la somme sont nuls. Par ontre sa somme vaut don toujours 0 et n'est don pas égale à ϕ.

8.1.2 Propriétés de D

On peut montrer que D est un espa e ve toriel de dimension innie. Par ailleurs, on a fa ilement les deux propriétés suivantes : i) Si ϕ ∈ D, alors sa dérivée ϕ′ ∈ D. ii) Si ϕ ∈ D, et α : R → C est indéniment dérivable, alors αϕ ∈ D. En eet, αϕ est indéniment dérivable et supp (αϕ) ⊂ supp (ϕ).

8.1.3 Convergen e dans D

Nous dénissons maintenant la notion de onvergen e dans D.

Dénition 8.1.2

Une suite (ϕn )n≥0 de fon tions de D onverge vers une fon tion ϕ ∈ D (et on note ϕn → ϕ) lorsque n → ∞ ssi i) Il existe un ensemble borné B de R tel que pour tout n ∈ N, supp ϕn ⊂ B . D

ii) Pour tout entier k ≥ 0, la suite des dérivées ϕ(k) n onverge uniformément sur R pour n → ∞ vers la dérivée orrespondante ϕ(k) . Ce qui s'é rit aussi : pour tout k ≥ 0, (k) sup |ϕ(k) (t)| →n→∞ 0 n (t) − ϕ t∈R

On pourra noter que la onvergen e uniforme est exigée pour haque k (et non pour tous les k à la fois) et que ette onvergen e est en fait uniforme sur B (puisque ϕ = 0 sur B c , on tire ϕ(k) = 0 sur B c pour tout k ≥ 0). Exer i e

8.2

D Vérier que si ϕn → ϕ quand n → ∞ alors

80

CHAPITRE 8.

LES DISTRIBUTIONS

D i) ϕ′n → ϕ′ quand n → ∞,

D ii) αϕn → αϕ quand n → ∞ où α est C ∞ .

Finalement, D est l'espa e ve toriel des fon tions C ∞ à support ompa t muni de la notion de

onvergen e pré édente.

8.2 Distribution. Espa e D′ Dénition 8.2.1

Une distribution est une forme linéaire ontinue sur l'espa e ve toriel D.

Soit T une distribution. Pour tout ϕ ∈ D, on notera T (ϕ) ou < T, ϕ > (la notation est appelée

ro het de dualité), l'image de ϕ par T . Pour bien omprendre la dénition, nous allons revenir sur la linéarité et la ontinuité. La linéarité de la dénition signie simplement que pour tous α, β ∈ C, pour tous ϕ, ψ ∈ D, alors < T, αϕ + βψ >= α < T, ϕ > +β < T, ψ >

La ontinuité de la forme linéaire T s'exprime de la façon suivante. Soient (ϕn )n≥0 une suite d'éléments de D et ϕ ∈ D, si pour n → ∞, la suite ϕn onverge vers ϕ (au sens de la dénition 8.1.2), alors la suite de nombres omplexes < T, ϕn > onverge vers < T, ϕ >. Par linéarité de T , on peut se ramener à vérier la ontinuité en 0. La onséquen e pratique est la remarque suivante extrêmement utile pour vérier qu'une forme linéaire sur D est une distribution. Remarque 8.2.1 Comment montrer qu'une forme linéaire sur D est une distribuD tion ? Si T est une forme linéaire sur D. Alors T est une distribution ssi pour toute suite ϕn → 0 (au sens de la dénition 8.1.2) alors < T, ϕn >→ 0. Cette ondition peut s'é rire plus détaillée sous la forme suivante : si l'on suppose que ϕn est une suite de fon tion de D telle que i) supp ϕn ⊂ B où B est un ertain ensemble borné. ii) Pour tout k ≥ 0, sup |ϕ(k) n (t)| →n→∞ 0 t∈R

alors < T, ϕn >→ 0. Cette remarque fondamentale sera illustrée dans le paragraphe suivant. L'ensemble des distributions est noté D′ . C'est un espa e ve toriel au sens où pour tous α, β ∈ C et tous S, T ∈ D′ , αS + βT est la distribution dénie par < αS + βT, ϕ >= α < S, ϕ > +β < T, ϕ >

(ϕ ∈ D)

Exemple 8.2.1

Soit f : R → C une fon tion lo alement intégrable, i.e. pour tous a < b ∈ R, ∞. A la fon tion f est asso iée une distribution qu'on notera Tf dénie par : < Tf , ϕ >=

Z

f (t)ϕ(t)dt

R

Rb a

|f (t)|dt <

(ϕ ∈ D)

Cette intégrale ayant bien un sens puisque ϕ est nulle en dehors d'un ensemble borné. La distribution Tf est aussi appelée distribution régulière.

Exemple 8.2.2 La distribution de Dira δ est dénie par < δ, ϕ >= ϕ(0) et la distribution de Dira au point a, δ(a) est dénie par < δ(a) , ϕ >= ϕ(a) Ainsi, on aura la relation δ(0) = δ . Exemple 8.2.3

La distribution vp 1t (lire valeur prin ipale) est dénie par 1 < vp , ϕ >= lim ǫ→0,ǫ>0 t

Z

|t|>ǫ

ϕ(t)

dt = lim ǫ→0,ǫ>0 t

Z

−ǫ

−∞

ϕ(t) dt + t

Z

ǫ

∞

ϕ(t) dt t



8.2.

DISTRIBUTION. ESPACE

81

D′

Cette limite existe ar si supp ϕ ⊂ [−R, R], alors Z

|t|>ǫ

ϕ(t) dt = t

Z

−ǫ −R

ϕ(t) − ϕ(0) dt + t

Z

R

ǫ

ϕ(t) − ϕ(0) dt. t

D'où, en remarquant que limt→0 (ϕ(t) − ϕ(0))/t = ϕ′ (0), 1 < vp , ϕ >= t

Z

R

−R

ϕ(t) − ϕ(0) dt. t

Cette distribution est la valeur prin ipale de Cau hy. On remarquera que l'existen e de la limite est due à la

ompensation des deux intégrales divergentes.

Exemple 8.2.4

La orrespondan e ϕ 7→< S, ϕ >=

ZZ

e−x

2

−y 2

ϕ(sin(xy))dxdy

R2

dénit une distribution.

Vérier qu'une forme linéaire sur

D

est une distribution.

Nous allons utiliser la remarque 8.2.1 pour montrer que les formes linéaires dans les 4 exemples D pré édents sont bien des distributions. Pour ela nous allons onsidérer une suite ϕn → 0 et nous allons D montrer que < T, ϕn >→ 0. Dire que ϕn → 0 signie simplement que ϕn ∈ D et i) supp ϕn ⊂ B où B est un ertain ensemble borné. ii) Pour tout k ≥ 0, sup |ϕ(k) n (t)| →n→∞ 0 t∈R

Nous allons utiliser es deux propriétés sur ϕn pour montrer que < T, ϕn > onverge bien vers 0 lorsque T est l'une des 4 formes linéaires dans les exemples pré édents.

Exemple 8.2.5 Z Z Z Z    | < Tf , ϕn > | = f (t)ϕn (t)dt = f (t)ϕn (t)dt ≤ |f (t)||ϕn (t)|dt ≤ |f (t)|dt × sup |ϕn (t)| t∈B B

R

B

B

D et omme ϕn → 0 on tire que supt∈R |ϕn (t)| → 0 e qui montre que < Tf , ϕn >→ 0. Don Tf est une distribution.

Exemple 8.2.6 Exemple 8.2.7

| < δ(a) , ϕn > | = |ϕn (a)| ≤ supt∈R |ϕn (t)| → 0. Don δ(a) est une distribution.

Soit R tel que B ⊂ [−R, R]. Le théorème des a

roissements nis permet d'é rire ϕn (t) − ϕn (0) = tRe ϕ′n (θ1 t) + iIm ϕ′n (θ2 t)

où 0 < θ1 , θ2 < 1. D'où, ϕn (t) − ϕn (0) ≤ |Re ϕ′n (θ1 t)| + |Im ϕ′n (θ2 t)| ≤ 2 sup |ϕ′n (t)| = 2 sup |ϕ′n (u)| t u∈B t∈R

Et en revenant à l'expression de la valeur prin ipale, nous obtenons :

Z R < vp 1 , ϕn > ≤ 2 sup |ϕ′n (u)|dt = (4R) sup |ϕ′n (u)| → 0. t u∈B −R u∈B

82

CHAPITRE 8.

LES DISTRIBUTIONS

don vp 1t est bien une distribution.

Exemple 8.2.8

Puisque supp ϕn ⊂ B , on a pour tous x, y ∈ R, |ϕn (sin(xy))| ≤ sup |ϕn (t)| = sup |ϕn (t)| t∈R

Don , | < S, ϕn > | ≤

don S est bien une distribution.

Z Z

e−x

t∈B

2

−y 2

 dxdy sup |ϕn (t)| → 0 t∈B

R2

Nous terminons par un dernier exemple de distribution.

Exemple 8.2.9

La orrespondan e qui à tout ϕ ∈ D asso ie

H < Pf , ϕ > = t =

Z

 Z 1  Z ∞ ϕ(t) ϕ(t) − ϕ(0) ϕ(t) lim dt + ϕ(0) log ǫ = lim dt + dt ǫ→0 ǫ→0 t t t ǫ ǫ 1 Z 1 Z ∞ ϕ(t) − ϕ(0) ϕ(t) dt + dt t t 1 0 ∞

dénit une distribution appelée partie nie de H/t. Pour le voir, notons déjà que la linéarité est laire. D Puis, supposons que ϕn → 0 et montrons < T, ϕn >→ 0. Choisissons R assez grand (R ≥ 1) pour que supp ϕn ⊂ [−R, R]. On a vu dans l'Exemple 8.2.7 que |(ϕ(t) − ϕ(0))/t| ≤ 2 supt∈R |ϕ′ (t)|. D'où : H | < Pf , ϕ > | ≤ 2 sup |ϕ′n (t)| + t t∈R

Z

1

R

|ϕn (t)| dt ≤ 2 sup |ϕ′n (t)| + sup |ϕn (t)| log R. t t∈R t∈[−R,R]

D D'où immédiatement, limn→∞ < Pf Ht , ϕn >= 0 sous l'hypothèse que la suite ϕn → 0 e qui prouve bien la

ontinuité de Pf Ht .

Nous nissons ette partie par une propriété utile pour les distributions régulières.

Théorème 8.2.2. Deux fon tions lo alement intégrables f et g dénissent la même distribution régulière ssi elles sont égales presque partout. i.e. Tf = Tg ⇐⇒ f = g

p.p.

Nous admettrons e théorème dont la démonstration est assez te hnique. Elle repose sur le lemme suivant que nous démontrerons

Lemme 8.2.3. Si f et g sont deux fon tions ontinues, telles que Tf

= Tg

alors f = g .

. Par diéren e, il sut de prouver que si f est ontinue et si Tf = 0 alors f = 0. Supposons Tf = 0 et f 6= 0. Il existe alors un point γ tel que f (γ) 6= 0. Supposons par exemple que Re f (γ) 6= 0, le as Im f (γ) 6= 0 se traitant de la même manière. En vertu de la ontinuité, il existe un intervalle [α, β], ontenant γ tel que Re f (t) 6= 0 pout tout t ∈ [α, β]. La fon tion ontinue Re f a don un signe onstant sur [α, β]. Dans

et intervalle, elle est minorée en module par un nombre positif m : Démonstration

0 < m ≤ |Re f (t)|

pour tout t ∈ [α, β].

Considérons maintenant une fon tion ϕ ∈ D, non identiquement nulle, positive et telle que supp ϕ ⊂ [α, β]. C'est toujours possible (pour le voir, il sut de translater l'exemple fondamental en prenant a susamment petit). Nous obtenons alors puisque Tf = 0, Z 0 = |Re < Tf , ϕ > | = Re

e qui est impossible puisque

Rβ α

β α

Z ϕ(t)f (t)dt =

ϕ(t)dt > 0.

β α

Z (Re f (t))ϕ(t)dt =

β α

|Re f (t)|ϕ(t)dt ≥ m

Z

β

ϕ(t)dt α



8.3.

83

OPÉRATION SUR LES DISTRIBUTIONS

Exer i e Corrigé

8.3

La distribution de Dira δ n'est pas une distribution régulière.

. Supposons le

ontraire : il existe f lo alement intégrable telle que Tf = δ . Alors pour tout ϕ ∈ D, < Tf , ϕ >= R f (t)ϕ(t)dt = ϕ(0). Construisons maintenant pour tout quadruplet 0 < a < b < c < d, une fon tion ϕ ∈ D vériant : i) supp ϕ ⊂ [a, d]. ii) ϕ(t) = 1 si t ∈ [b, c]. iii) 0 ≤ ϕ(t) ≤ 1 pour tout t ∈ R. Démonstration

ϕ 1

a

c

b

d

Pour obtenir une telle fon tion, on hoisit ϕ1 , ϕ2 ∈ D telles que supp ϕ1 ⊂ [a, b],

Z

supp ϕ2 ⊂ [c, d],

R

ϕ1 (t)dt =

Z

ϕ2 (t)dt = 1.

t et on posera ϕ(t) = −∞ [ϕ1 (s) − ϕ2 (s)]ds. Pour une telle fon tion ϕ, nous obtenons Fixons b, c et faisons tendre a vers b et d vers c. Nous avons alors i) lima→b, d→c f (t)ϕ(t) = f (t)1[b,c] (t) pour tout t ∈ R. ii) Pour tout a ≥ b/2, tout d ≤ 2c, et tout t ∈ R,

R

f (t)ϕ(t)dt = ϕ(0) = 0.

|f (t)ϕ(t)| ≤ |f (t)|1[b/2,2c] (t)

pouvons alors appliquer le théorème de onvergen e dominée et nous obtenons pour tous 0 < b < c, RNous c f (t)dt = 0. La théorie de l'intégration permet alors de on lure que f est nulle presque partout sur ]0, ∞[. b Le même raisonnement peut s'appliquer sur l'intervalle ] − ∞, 0[. La fon tion sera don nulle presque partout sur R. Et dans e as, Tf = 0, e qui est absurde puisque Tf = δ . 

8.3 Opération sur les distributions La démar he de ette partie sera la suivante : nous envisagerons diérentes opérations sur la distribution parti ulière Tf . Cela nous amènera à poser l'opération orrespondante pour ette fois- i n'importe quelle distribution T (et pas seulement les distributions de la forme Tf .)

8.3.1 Dérivée d'une distribution Soit f : R → C de lasse C 1 (f ′ est ontinue). Il est fa ile de vérier que pour tout ϕ ∈ D par intégration par parties < Tf ′ , ϕ >=

Z

R

f ′ (t)ϕ(t)dt = −

Z

R

f (t)ϕ′ (t)dt = − < Tf , ϕ′ >

Ce i onduit à dénir la dérivée d'une distribution quel onque T par

Dénition 8.3.1

dérivée de T par

Pour toute distribution T , on dénit la distribution T ′ et on l'appelera distribution < T ′ , ϕ >= − < T, ϕ′ >

pour tout ϕ ∈ D.

84

CHAPITRE 8.

D

LES DISTRIBUTIONS

D

Notons que ϕ 7→ − < T, ϕ′ > est bien ontinue ( ar ϕn → ϕ implique ϕ′n → ϕ′ et on utilise que T est une distribution don une forme linéaire ontinue). Par ré urren e, on dénit la dérivée k-ième de T par T (k) = (T (k−1) )′

et on remarquera que pout tout k ∈ N et ϕ ∈ D, < T (k) , ϕ >= (−1)k < T, ϕ(k) >

Toute distribution est don inniment dérivable.

Exemple 8.3.1

On a immédiatement (k)

< δ(a) >= (−1)k ϕ(k) (a)

Exemple 8.3.2

- Soit f : R → C, de lasse C 1 dans ] − ∞, a[ et ]a, ∞[ mais présentant une limite à gau he et à droite en t = a, i.e. les limites : f (a+ ) = limt→a,t>a f (t) et f (a− ) = limt→a,t= ϕ(a)[f (a ) − f (a )] +

Ainsi

Z

R

f ′ (t)ϕ(t)dt = σ(f, a) < δ(a) , ϕ > + < Tf ′ , ϕ >,

−R

(8.1)

(Tf )′ = Tf ′ + σ(f, a)δ(a)

Si maintenant f a plusieurs sauts aux points a1 , . . . , ap , ( 'est à dire f de lasse C sur R \ {a1 , . . . , ap } telle que f a des limites à gau he et à droite aux points de dis ontinuité) nous aurons 1

(Tf )′ = Tf ′ +

p X

(8.2)

σ(f, ak )δ(ak )

k=1

Cette formule est onnue sous le nom formule de dérivation en fon tion des sauts. Dans le as d'un seul point de dis ontinuité, nous pouvons dériver plusieurs fois par partie et nous avons pour tout f ∈ C n , (Tf )(n) = Tf (n) +

n−1 X

(n−1−j)

σ(f (j) , a)δ(a)

(8.3)

.

j=0

Exemple 8.3.3

H ′ = δ où H est la fon tion de Heaviside : H(x) =

(

1 0

1

Fig.

8.2  La fon tion de Heaviside, H .

si x ≥ 0 si x < 0

8.3.

85

OPÉRATION SUR LES DISTRIBUTIONS

8.3.2 Multipli ation des distributions On ne peut pas en général multiplier des distributions entre elles. Néanmoins si α est une fon tion indéniment dérivable et si ϕ ∈ D, on dénira la distribution αT par (8.4)

< αT, ϕ >=< T, αϕ >

On verie aisément que ette dénition est valide, dans le sens où ϕ 7→< T, αϕ > est bien une forme linéaire ontinue. Une propriété simple à vérier est que αTf = Tαf . Exer i e

8.4

Montrer que (αT )′ = α′ T + αT ′ .

Exer i e

8.5

Vérier que αδ(a) = α(a)δ(a) .

Proposition 8.3.2. Pour qu'une distribution proportionnelle à δ .

T ∈ D

vérie xT = 0 il faut et il sut que T soit

. La ondition est lairement susante. De plus, si xT = 0, alors pour tout ϕ ∈ D,

Démonstration

< xT, ϕ >=< T, xϕ >= 0. T annule don toute fon tion de la forme xϕ. Une telle fon tion est nulle en 0. Ré iproquement si ψ ∈ D R vérie ψ(0) = 0 alors ψ = xϕ où ϕ ∈ D. En eet, pour tout x ∈ R (y ompris x = 0), 01 ψ ′ (xs)ds = ψ(x) . x Le membre de gau he est indéniment dérivable et le membre de droite est à support

ompa t. La fon tion ( ψ(x) si x 6= 0, x ϕ(x) = appartient à D et pour tout x ∈ R, ψ(x) = xϕ(x). ϕ(0) = ψ ′ (0) si x = 0 Soit maintenant χ ∈ D xée telle que χ(0) = 1. Pour tout ϕ ∈ D, on peut é rire en posant ψ = ϕ − ϕ(0)χ : ϕ = ϕ(0)χ + ψ

< T, ϕ >=< T, ϕ(0)χ > + < T, ψ >

Or la fon tion ψ vériant par onstru tion ψ(0) = 0 est telle que < T, ψ >= 0. En posant C =< T, χ >, nous avons obtenu pour tout ϕ ∈ D : < T, ϕ >= Cϕ(0) =< Cδ, ϕ > .



8.3.3 Changement de variables ane Translation

R

R

Si f : R → C est lo alement intégrable et ϕ ∈ D alors f (x − a)ϕ(x)dx = f (x)ϕ(x + a)dx pour tout a ∈ R. De plus la fon tion : x 7→ ϕ(x + a), translatée de −a de ϕ appartient à D. Ainsi, nous dénirons la translatée d'une distribution T de la manière suivante :

Dénition 8.3.3

Soit T ∈ D′ . On dénit la translatée de T qu'on notera τa T par ∀ϕ ∈ D

< τa T, ϕ >=< T, τ−a ϕ >

où l'on a utilisé la notation (τb ϕ)(x) = ϕ(x − b) (x ∈ R).

Homothétie Soit λ ∈ R∗ et f lo alement intégrable, on a pour tout ϕ ∈ D : Z

f (λx)ϕ(x)dx =

Z

f (x)ϕ

 x  dx λ |λ|

Ce i nous onduit à poser la dénition suivante pour l'homothétique d'une distribution T .

86

CHAPITRE 8.

Dénition 8.3.4

LES DISTRIBUTIONS

Soit T ∈ D′ . On dénit l'homothétique de T de fa teur λ ∈ R∗ qu'on notera Tλ par ∀ϕ ∈ D,

< Tλ , ϕ >=

où l'on a utilisé la notation (ϕβ )(x) = ϕ(βx) (x ∈ R).

1 < T, ϕ1/λ > |λ|

Exemple 8.3.4

δλ = |λ|−1 δ . En eet pour tout ϕ ∈ D, < δλ , ϕ >= |λ|−1 < δ, ϕ1/λ >= |λ|−1 ϕ(0) = |λ| < δ, ϕ >. On veillera à ne pas onfondre l'homothétie de la distribution de Dira , δλ et la distribution de Dira au point λ, δ(λ) . −1

8.3.4 Parité Dénition 8.3.5

Soit T ∈ D′ . On dit que T est paire ssi T−1 = T , impaire ssi T−1 = −T .

8.4 Support d'une distribution Soit Ω ⊂ R. On dit qu'une distribution T est nulle dans Ω si pour tout ϕ ∈ D, ayant son support dans Ω, < T, ϕ >= 0. Par exemple, on voit fa ilement que δ est nulle sur R∗ . En eet, si supp ϕ ⊂ R∗ , alors 0 ∈ / supp ϕ et il vient < δ, ϕ >= ϕ(0) = 0. Nous admettrons que si une distribution T est nulle dans haque ouvert Ωi d'une famille d'ouverts (Ωi )i∈I , elle est nulle dans leur réunion. Une réunion arbitraire d'ouverts est un ouvert. Don la réunion de tous les ouverts où T est nulle est un ouvert où T est nulle. C'est le plus grand ouvert possédant ette propriété. Le omplémentaire de

et ouvert est appelé support de T . C'est don un ensemble fermé. Il est noté omme pour les fon tions supp T . On peut dire que le support d'une distribution T est le plus petit fermé telle que T est nulle sur son omplémentaire.

Exemple 8.4.1 Exemple 8.4.2

supp δ(a) = {a}, supp H = [0, ∞], supp vp x1 = R.

Si f : R → C ontinue sauf un nombre ni de points de dis ontinuité de première espè e alors, supp f = supp Tf . Autrement dit, son support en tant que fon tion est identique à son support en tant que distribution.

8.5 Convergen e dans D′

Dénition 8.5.1

Une suite de distributions Tn ∈ D′ onverge vers une distribution T ∈ D lorsque D′ n → ∞ (et on note Tn → T ) ssi pour tout ϕ ∈ D, lim < Tn , ϕ >=< T, ϕ >

n→∞

Exemple 8.5.1

′

D Si (αn )n≥0 est une suite de réels onvergeant vers a, alors δ(αn ) → δ(a) .

On peut montrer fa ilement la proposition suivante que nous laisserons en exer i e. ′

D Proposition 8.5.2. Si Tn → T alors ′ D ′ i) Tn → T quand n → ∞. D ii) Pour toute fon tion α de lasse C ∞ , αTn → αT quand n → ∞. D iii) Pour tout a ∈ R, τa Tn → τa T quand n → ∞. ′

′

′

Cette dénition de la onvergen e d'une suite de distribution pose le problème suivant. Soit (Tn )n≥0 une suite de distribution telle que pour tout ϕ ∈ D, limn→∞ < Tn , ϕ > existe. Dans e as, l'appli ation ϕ 7→ limn→∞ < Tn , ϕ > est évidemment linéaire mais est elle ontinue (i.e. est elle une distribution) ? Nous admettrons que la réponse est oui, la démonstration étant di ile.

8.6.

87

DISTRIBUTIONS À SUPPORT COMPACT

Théorème 8.5.3. Si pour tout ϕ ∈ D, limn→∞ < Tn, ϕ > existe alors l'appli ation dénie sur D, ϕ 7→ lim < Tn , ϕ > n→∞

′

D dénit une distribution et on notera < T, ϕ >def = limn→∞ < Tn , ϕ >. De plus, Tn → T quand n → ∞.

On peut se onvain re simplement que la limite si elle existe d'une suite de distributions est né essairement unique.

8.5.1 Approximation de δ par des distributions régulières Dans la pratique, il est souvent né essaire de savoir appro her δ par des fon tions. Il existe de nombreux théorèmes permettant d'armer qu'une suite de fon tions (fn )n≥0 lo alement intégrables

onverge vers δ dans D′ . Nous en itons un :

Théorème 8.5.4. Soit (fn )n≥0 une suite de fon tions vériant les deux propriétés suivantes i) Il existe une fon tion g ≥ 0 telle que presque partout pour x, on a |fn (x)| ≤ ng(nx). R ii) limn→∞ fn(x)dx = 1. ′

D δ. alors Tfn →

Ce théorème s'applique notamment lorsque fn (x) = nf (nx) où f est intégrable positive et Démonstration. Il sut de montrer que pour tout ϕ ∈ D , lim

n→∞

R

Z

R

f (x)dx = 1.

fn (x)(ϕ(x) − ϕ(0))dx = 0 R









1 t t Or par hangement de variable, fn (x)(ϕ(x) − ϕ(0))dx = Fn (t)dt ave Fn (t) = n fn n ϕ n − ϕ(0) . De
la dénition de Fn , on tire |Fn (t)| ≤ g(t) ϕ nt − ϕ(0) presque partout par rapport à t. D'où l'on tire que Fn (t) → 0 presque partout quand n → ∞ et de plus, |Fn (t)| ≤ 2g(t) supx∈R |ϕ(x)| partout pour tout n. La preuve est a hevée par appli ation du théorème de Lebesgue. 

8.6 Distributions à support ompa t Nous avons vu que la orrespondan e entre une distribution et les fon tions de lasse C ∞ à support

ompa t. Nous allons maintenant voir que les distributions à support ompa t sont asso iées l'ensemble des fon tions de lasse C ∞ (on ne suppose plus que es fon tions soient à support ompa t.) Voyons le maintenant de façons plus pré ise. Soit T une distribution dont le support est borné don ompa t. On va montrer que T peut être prolongée à l'espa e E = C ∞ (R) de toutes les fon tions omplexes, dénies sur R et indéniment dérivables. On a vu dans l'exer i e orrigé 8.3 que l'on pouvait onstruire des fon tions appartenant à D et égales à 1 sur un intervalle [b, c]. Soit K le support de T . Il existe b, c ∈ R tels que K ⊂]b, c[. L'intervalle ouvert ]b, c[ est un voisinage de K . Soit α ∈ D et égale à 1 sur [b, c]. Pour tout ϕ ∈ E , αϕ ∈ D e qui permet de bien dénir le nombre < T, αϕ >. Ce nombre ne dépend pas du hoix de α ; si en eet β ∈ D est une fon tion égale à 1 sur un voisinage de K , la fon tion (α − β)ϕ ∈ D et a un support dans le

omplémentaire de K d'où < T, (α − β)ϕ >= 0 soit < T, αϕ >=< T, βϕ >

La orrespondan e ϕ ∈ E →< T, αϕ >∈ C est linéaire. Nous poserons don < T, ϕ >=< T, αϕ >,

Exemple 8.6.1 (m)

ϕ ∈ E.

(m) Pour tout a ∈ R et tout entier m ≥ 0, δ(a) est à support ompa t, {a}. Pour tout ϕ ∈ E ,

(m)

< δ(a) , ϕ >=< δ(a) , αϕ >= (−1)m (αϕ)(m) (a) = (−1)m ϕ(m) (a)

88

CHAPITRE 8.

LES DISTRIBUTIONS

Une distribution à support ompa t est don une forme linéaire ontinue sur E , 'est don un élément du dual de E . L'ensemble des distributions à support ompa t est noté E ′ . On peut dénir la onvergen e dans l'espa e E au sens de la topologie suivante : une suite de fon tion E (ϕn )n≥0 de E onverge vers ϕ ∈ E et on notera ϕn → ϕ si pour tout ompa t C de R et tout entier k ≥ 0, (k) ϕ(k) quand n → ∞ n → ϕ uniformément sur C . On peut naturellement se poser la question suivante : l'ensemble des distributions à support ompa t dé rit il toutes les formes linéaires sur E ? La réponse est oui mais nous admettrons la démonstration : formulons simplement le théorème.

Théorème 8.6.1. L'ensemble des distributions à support ompa t formes linéaires ontinues sur E .

E′

est identique à l'ensemble des

8.7 Distributions à plusieurs variables L'espa e ve toriel D = D(Rm ) est onstitué par l'ensemble des fon tions indéniment dérivables de R à valeurs dans C qui sont à support ompa t. L'exemple fondamental devient i i la fon tion ϕ dénie par m

ϕ(x) = def

(

0 e

1 − a2 −kxk 2

si kxk ≥ a si kxk < a

p

ave a > 0 et kxk = x21 + . . . + x2m , et x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm . La notion de onvergen e sur D(Rm ) sera dénie omme dans la dénition 8.1.2, la ondition ii) sera rempla ée par ii) Pour tout multi-indi e α ∈ Nm , la suite Dα ϕn onverge uniformément sur Rm pour n → ∞ vers Dα ϕ où on a posé i i α = (α1 , . . . , αm ) ∈ Nm et Dα ϕ =

∂ α1 +...+αm ϕ . · · · ∂ αm xm

∂ α1 x1

Une distribution à m variables est une forme linéaire et ontinue sur D(Rm ). L'ensemble des distributions à m variables est noté D′ = D′ (Rm ).

Exemple 8.7.1

Soit f : Rm → C lo alement intégrable. La distribution Tf est dénie par < Tf , ϕ >=

Z

Rm

Exemple 8.7.2

f (x1 , . . . , xm )ϕ(x1 , . . . , xm )dx1 · · · dxm

(ϕ ∈ D)

La distribution de Dira sera < δ(a) , ϕ >= ϕ(a)

8.8 Distributions tempérées Nous avons déjà déni l'ensemble de S hwartz S dans le hapitre 7. Rappelons le sous la forme suivante :

8.8.

89

DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

8.8.1 Espa e S Dénition 8.8.1

Une fon tion ϕ : R → C appartient à S ssi i) ϕ est indéniment dérivable, ii) Pour tout entier k ≥ 0, et tout entier h ≥ 0, la fon tion x → xk ϕ(h) (x) est bornée.

Autrement dit, la fon tion ϕ et toutes ses dérivées dé roissent plus vite en ∞ que toute puissan e de 1/x. S est aussi appelée l'espa e ve toriel des fon tions indéniment dérivables dont toutes les dérivées

sont à dé roissan e rapide.

Exemple 8.8.1

Les fon tions e−x , e−x , 2

4

1 ch(x)

Exemple 8.8.2

sont des fon tions de S

Les fon tions e−|x| , 1/(x2 + 1) ne sont pas des fon tions de S . La première n'est pas C ∞ et la se onde n'est pas à dé roissan e rapide. Il est évident que D ⊂ S ⊂ E et que es in lusions sont stri tes.

Propriétés de

S

i) Pour tous ϕ, ψ ∈ S et α, β ∈ C, on a αϕ + βψ ∈ S et ϕψ ∈ S . ii) Soient ϕ ∈ S , P un polynme et R une fra tion rationnelle sans ple sur R, alors P ϕ ∈ S et Rϕ ∈ S . iii) Plus généralement, si l'on dénit l'espa e ve toriel OM des fon tions indéniment dérivables à

roissan e lente par : on dit qu'une fon tion α : R → C est dans OM ssi pour tout k, la dérivée k -ième de α qu'on notera α(k) est majorée par un polynme (dont le degré peut dépendre de k ). Alors, si α ∈ OM et ϕ ∈ S alors αϕ ∈ S . iv) S est stable par dérivation et translation : si ϕ ∈ S alors ϕ′ ∈ S et τa ϕ ∈ S pour tout a ∈ R.

Exemple 8.8.3

Les fon tions suivantes appartiennent à OM : sin x, cos x,

p x2 + 1, log(x2 + 1), thx, R(x) sin S(x) . . .

où R et S sont des fra tions rationnelles sans ples sur R. La fon tion e−x n'appartient pas à OM .

Topologie de S

Pour tout n ≥ 0, posons kϕkn = max

k+h≤n

On a par exemple

(

  sup |xk ϕ(h) (x)| x∈R

kϕk0 = supx∈R |ϕ(x)| kϕk1 = max (kϕk0 , supx∈R |ϕ′ (x)|, supx∈R |xϕ(x)|)

Pour tout n, k · kn est une norme sur S . Par ontre, on dénira la topologie à l'aide de l'ensemble de es normes et non à partir d'une seule de es normes. Remarquons d'abord la relation d'ordre : pour tout ϕ ∈ S , kϕkn ≤ kϕkn+1 . Nous aurons besoin du lemme suivant, général à tout espa e normé, que nous admettrons. kϕk Lemme 8.8.2. Soit (E, k · k) un espa e ve toriel normé. Pour tout ϕ ∈ E , posons δ(ϕ) = 1+kϕk . Alors l'appli ation δ(ϕ, ψ) = δ(ϕ − ψ) dénie pour (ϕ, ψ) ∈ S × S dénit une distan e sur S , invariante par translation et la topologie sur E dénie par la distan e δ est identique à elle dénie par la norme k · kde E.

Ce lemme permet de onstruire une distan e sur l'espa e S . Posons pour tout n ≥ 0, δn (ϕ) =

kϕkn 1 + kϕkn

(ϕ ∈ S),

(8.5)

90

CHAPITRE 8.

LES DISTRIBUTIONS

et pour tout ouple (ϕ, ψ) ∈ S × S , d(ϕ, ψ) =

∞ X 1 δn (ϕ − ψ). 2n n=0

(8.6)

Il est lair que ette série onverge et que la fon tion ainsi dénie est une distan e sur S qui est

invariante par translation.

Théorème 8.8.3.

S

munie de la distan e d est un espa e métrique omplet.

. Soit (ϕr )r>0 ⊂ S une suite de Cau hy pour la distan e d et ǫ xé tel que 0 < ǫ < 1. Alors, pour tout entier n ≥ 0, il existe N tel que pour tous r, s ≥ N Démonstration

d(ϕr , ϕs ) ≤

ǫ 2n+1

D'où δn (ϕr − ϕs ) ≤ ǫ/2 et kϕr − ϕs kn ≤ ǫ. Pour tout r, s ≥ N et tout entier 0 ≤ h ≤ n, nous avons don : (h) sup ϕ(h) r (x) − ϕs (x) ≤ ǫ x∈R

Il existe don une fon tion ϕ : R → C, n-fois ontinûment dérivable et telle que pour tout x ∈ R, limr→∞ ϕr (x) = Si maintenant k + h ≤ n et r, s ≥ N , on a

ϕ(x).

  (h) sup xk ϕ(h) r (x) − ϕs (x) ≤ ǫ. x∈R

Et en passant à la limite s → ∞, il vient : pour tout r ≥ N ,

  sup xk ϕ(h) (x) − ϕ(h) r (x) ≤ ǫ. x∈R

et en prenant r = N ,

  (h) (h) sup xk ϕ(h) (x) ≤ sup xk ϕ(h) (x) − ϕN (x) + sup xk ϕN (x) ≤ ǫ + kϕN kn . x∈R

x∈R

x∈R

L'entier n est arbitraire don ϕ est indéniment dérivable et l'inégalité pré édente permet de on lure que ϕ ∈ S . Pour a hever la démonstration, montrons que quand P r → ∞, d(ϕ, ϕr ) → 0. 1 Donnons nous 0 < ǫ ≤ 1. Il existe n0 > 0 tel que ∞ n=n0 +1 2n ≤ ǫ/2. Alors, pour tout r ≥ 0, n0

d(ϕ, ϕr ) ≤

n0

n0

X 1 X 1 X 1 ǫ ǫ ǫ ǫ + δn (ϕ − ϕr ) ≤ + kϕ − ϕr kn ≤ + kϕ − ϕr kn0 ≤ + 2kϕ − ϕr kn0 n n 2 n=0 2 2 n=0 2 2 n=0 2n 2

L'entier n0 étant xé, nous avons vu qu'il existait N tel que kϕr − ϕs kn0 ≤ 4ǫ pour tous r, s ≥ N (il sut de rempla er n au debut de ette démonstration par n0 et le réel ǫ par ǫ/4). En faisant tendre s → ∞, nous en déduisons que kϕr − ϕkn0 ≤ 4ǫ pour tout r ≥ N . Finalement, nous avons don obtenu : pour tout r ≥ N , d(ϕr , ϕ) ≤ ǫ et la suite ϕn onverge don vers ϕ au sens de la distan e d. La preuve est a hevée.  Il est alors évident qu'une suite (ϕr ) de S onverge vers 0 au sens de la distan e d ssi quels que soient les entiers k, h ≥ 0, la suite xk ϕ(h) r (x) onverge uniformément sur R vers 0. Dans toute la suite, si une S suite ϕn de S onverge vers ϕ ∈ S au sens de la distan e d alors on notera : ϕn → ϕ.

8.8.2 Les distributions tempérées. Espa e S ′ .

Dénition 8.8.4 Une distribution tempérée T est une forme linéaire et ontinue sur S . L'ensemble des distributions tempérées sera notée S ′ . Proposition 8.8.5. On a S ′ ⊂ D′ et l'in lusion est stri te.

8.8.

91

DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

D S . En eet, si (ϕn )n≥0 ⊂ D et ϕn → 0 alors ϕn → 0 quand n → ∞ : i.e. pour tout k, h ≥ 0, la

onverge uniformément sur R vers 0. Don si T ∈ S ′ ,

Démonstration (h) xk ϕr (x)

suite

lim < T, ϕn >= 0

n→∞

et T est ontinue sur D. Dans la pratique, la plupart des distributions que nous ren ontrerons seront tempérées.

Exemple 8.8.4



′ δ(a) , δ(a) , vp x1 sont des distributions tempérées.

Exemple 8.8.5

Si f est lo alement sommable, Tf n'est pas en général tempérée : si f (x) = ex et si ϕ(x) = 1/chx alors Z x < Tf , ϕ >=

e dx = ∞ chx

La proposition suivante donne une ondition susante pour que Tf soit tempérée :

Proposition 8.8.6. Soit f : R → C, une fon tion lo alement intégrable. On suppose qu'il existe p ≥ 0 tel que Z alors Tf ∈ S ′ .

|f (x)| dx < ∞, 1 + |x|p

. Si ette ondition est remplie alors

Démonstration

Z Z | < Tf , ϕ > | = f (x)ϕ(x)dx ≤

ave A = 2

R

|f (x)| dx 1+|x|p

|f (x)| (1 + |x|p )|ϕ(x)|dx ≤ 1 + |x|p

Z

|f (x)| dx (kϕk0 + kϕkp ) ≤ Akϕkp 1 + |x|p

. La forme linéaire Tf est don dénie sur S et l'inégalité | < Tf , ϕ > | ≤ Akϕkp

pour tout ϕ ∈ S prouve qu'elle est ontinue. La preuve est a hevée.  En parti ulier, si f est à roissan e lente, 'est à dire majorée sur R par un polynme disons de degré q , alors la ondition pré édente sera vériée (en prenant p = q + 2).

Cara térisation de S ′

Le théorème suivant permet de s'assurer qu'une distribution T est tempérée. Il est beau oup plus simple à formuler que dans le as D′ .

Théorème 8.8.7. Pour qu'une forme linéaire T dénie sur S appartienne à S ′ , il faut et il sut qu'il existe un nombre A > 0 et un entier p ≥ 0 tels que pour tout ϕ ∈ S , on ait | < T, ϕ > | ≤ Akϕkp

(8.7)

S . Si la ondition est satisfaite et si ϕn → 0 quand n → ∞ alors kϕn kp → 0. Don < T, ϕn >→ 0 quand n → ∞ et T est ontinue. Ré iproquement, supposons que T soit ontinue, et telle qu'il n'existe pas deux nombres A et p assurant l'inégalité 8.7 pour tout ϕ ∈ S . Pour tout entier k > 0, on peut don trouver ϕk ∈ S tel que

Démonstration

Posons alors θk = k ≥ n,

√

ϕk kkϕk kk

| < T, ϕk > | ≥ kkϕkk .

S . La suite (θk )k≥0 ⊂ S et θk → 0 quand k → ∞. En eet pour tout n ≥ 0 xé et tout

kϕk kn 1 kθk kn = √ ≤ √ kkϕk kk k

Don pour tout h, m ≥ 0 la suite xh θk(m) onverge uniformément vers 0 sur R tout entier. Or, | < T, θk > | = √

e qui est absurde.

√ 1 | < T, ϕk > | ≥ k kkϕk kk



92

CHAPITRE 8.

Multipli ation dans S ′ Dénition 8.8.8 Si α ∈ OM et T

LES DISTRIBUTIONS

∈ S ′ alors αT dénie par (ϕ ∈ S)

< αT, ϕ >=< T, αϕ >

est une distribution appelée distribution produit de T par α.

Convergen e dans

S′

Dénition 8.8.9

S Une suite Tn de S ′ onverge vers T ∈ S ′ et on note Tn → T ssi

′

(ϕ ∈ S)

lim < Tn , ϕ >=< T, ϕ >

n→∞ S′

S′

S′

On montre fa ilement que Tn → T implique Tn′ → T ′ et αTn → αT pour tout α ∈ OM . On notera enn que si T est une distribution à support ompa t, i.e. T ∈ E ′ alors T ∈ S ′ . En eet,

omme S ⊂ E don ϕ ∈ S 7→< T, ϕ > est bien une forme linéaire sur S . Il reste à montrer que 'est S E une forme linéaire ontinue. Soit don une suite ϕn → 0, alors ϕn → 0 (la onvergen e uniforme sur R entraîne la onvergen e uniforme sur tout ompa t de R). Don < T, ϕn >→ 0, d'où l'on tire T ∈ S ′ . Pour résumer, D ⊂ S ⊂ OM ⊂ E E ′ ⊂ S ′ ⊂ D′

8.9 Produit tensoriel des distributions Ce paragraphe prépare le suivant sur les distributions. Il sera bref et les résultats seront admis.

Dénition 8.9.1

Soient ϕ ∈ D(Rm ) et ψ ∈ D(Rn ) alors la fon tion ϕ ⊗ ψ dénie par (x, y) ∈ Rm+n 7→ ϕ(x)ψ(y)

est indéniment dérivable et à support ompa t. Elle est appelée produit tensoriel des fon tions ϕ et ψ . De plus, supp ϕ ⊗ ψ = supp ϕ × supp ψ .

Dans toute la suite S ∈ D′ (Rm ) et T ∈ D′ (Rn ). Pour éviter les onfusions entre es deux distributions qui sont asso iées à des espa es de dimensions diérentes, nous noterons dans la suite S = Sx , T = Ty .

Théorème 8.9.2. Il existe une unique distribution ψ ∈ D(Rn ), En outre si θ ∈ D(R

m+n

U ∈ D′ (Rm+n )

telle que pour tout ϕ ∈ D(Rm ) et

< U, ϕ ⊗ ψ >=< S, ϕ >< T, ψ >

)

arbitraire, on a

< U, θ >=< Sx , < Ty , θ(x, y) >>=< Tx , < Sy , θ(x, y) >>

La distribution U sera appelée produit tensoriel des distributions S et T et notée U = S ⊗ T . Exemple 8.9.1

Soient m = n = 1 et a, b ∈ R. Posons c = (a, b) et don c ∈ R2 . Alors δ(a) ⊗ δ(b) = δ(c) .

Exemple 8.9.2

Soient m = n = 1. Alors < Hx ⊗ Hy , θ >=

Z

0

∞

Z

0

∞

θ(x, y)dxdy.

8.10.

PRODUIT DE CONVOLUTION DES DISTRIBUTIONS

93

8.9.1 Dérivée du produit tensoriel Les notations étant in hangées, on a pour 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n, on a ∂ ∂Sx (Sx ⊗ Ty ) = ⊗ Ty ∂xi ∂xi

Exemple 8.9.3

∂ ∂Ty (Sx ⊗ Ty ) = Sx ⊗ ∂yi ∂yi

On montre sans di ulté que ∂2 Hx ⊗ Hy = δ(0,0) ∂x∂y

Remarque 8.9.1

Tf ⊗g = Tf ⊗ Tg .

Soient f : Rm → C et g : Rn → C, deux fon tions lo alement intégrables. Il est lair que

8.10 Produit de onvolution des distributions 8.10.1 Convolution des fon tions Rappelons d'abord le produit de onvolution de deux fon tions. Soient f et g deux fon tions à valeurs

omplexes et dénies sur R. Le produit de onvolution de f et g est déni quand il existe par def

(f ∗ g)(x) =

Z

f (t)g(x − t)dt

I i, x ∈ R et la fon tion f ∗ g est appelée onvoluée de f et de g . On montre simplement par hangement de variable t → x − t que le produit de onvolution est

ommutatif, i.e.

Exemple 8.10.1

f ∗g =g∗f

Le produit de onvolution de la fon tion de Heaviside par elle même est H ∗ H(x) =

Z

H(t)H(x − t)dt = xH(x) p

En revan he le produit de onvolution de H par x 7→ 1/ |x| n'est pas déni.

Proposition 8.10.1. On a les trois propriétés suivantes : i) Si f, g ∈ L1 (R), alors f ∗g(x) existe pour tout x et f ∗g appartient à L1 (R). De plus, si f, g, h ∈ L1 (R) alors, kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 et (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) ii) Si f, g ∈ L2 (R), alors f ∗ g(x) existe pour tout x et f ∗ g est une fon tion bornée. iii) Si f, g sont deux fon tions ontinues par mor eaux, dont les supports sont limités à gau he, (i.e. ∃a ∈ R tel que f (x) = g(x) = 0 pour tout x < a) alors f ∗ g(x) existe pour tout x et f ∗ g a son support limité à gau he. De plus, on a omme dans le as i), (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) pour des fon tions f, g, h ayant le support limité à gau he. . R R i) En eet pour tout t ∈ R, on a |g(x − t)|dx = |g(x)|dx < ∞ et don

Démonstration

Z

RR

dt

Z

|f (t)g(x − t)|dx =

Z

|f (t)|dt

Z

|g(x)|dx = kf k1 kgk1 < ∞.

L'intégrale double f (t)g(x R − t)dtdx est don absolument onvergente. Le théorème de Fubini permet alors de on lure que l'intégrale f (t)g(x − t)dt = f ∗ g(x) existe pour presque tout x ∈ R et que f ∗ g est une fon tion intégrable. De plus, kf ∗ gk1 =

Z

|f ∗ g(x)|dx =

 Z Z Z Z f (t)g(x − t)dt dx ≤ |f (t)g(x − t)|dt dx = kf k1 kgk1 .

Enn, nous laisserons le le teur démontrer l'asso iativité du produit de onvolution (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) en faisant les hangements de variables appropriés.

94

CHAPITRE 8.

LES DISTRIBUTIONS

R

ii) Pour tout x ∈ R, la fon tion Gx (t) = g(x−t) est de arré intégrable et don f ∗g(x) = Gx (t)f (t)dt = (Gx , f ) ave (·, ·) le produit s alaire usuel sur L2 (voir le Théorème et Dénition ??). Ce i prouve l'existen e de f ∗ g(x) pour tout x. L'inégalité de S hwartz nous donne alors

|f ∗ g(x)| ≤ Gx 2 kf k2 = kgk2 kf k2

e qui prouve la bornitude de f ∗ g . iii) La fon tion f (t)g(x − t) ne peut être non nulle que si les deux onditions t ≥ a et x − t ≥ b sont vériées,

'est à dire si t ≥ a et t ≤ x − b. Par suite, si x − b < a (ou en ore x < a + b), alors f ∗ g(x) = 0. De plus, si x ≥ a + b, Z x−b

f ∗ g(x) =

a

f (t)g(x − t)dt

et don supp f ⊂ [a, ∞[, supp g ⊂ [b, ∞[ implique que supp (f ∗ g) ⊂ [a + b, ∞[.

 Exer i e

8.6

Exer i e

8.7

Montrer que si f ∈ L1 et g ∈ L∞ alors f ∗ g(x) est dénie pour tout x ∈ R. Soient α, β > 0. Cal uler le produit de onvolution h = 1[−α,α] ∗ 1[β,β].

8.10.2 Convolution des distributions Selon la même démar he vue pré édemment, avant de dénir la onvolution de deux distributions, nous allons d'abord onsidérer les distributions régulières Tf . Soient f, g deux fon tions de L1 , alors pour tout ϕ ∈ D, < Tf ∗g , ϕ >=

Z

(f ∗ g)(t)ϕ(t)dt =

Z

ϕ(t) =

Z ZZ

 f (s)g(t − s)ds dt

f (x)g(y)ϕ(x + y)dxdy =< Tf ⊗ Tg (x, y), ϕ(x + y) >

où l'on a fait le hangement de variable : x = s, y = t − s. Le problème est que, sauf pour la fon tion nulle, (x, y) 7→ ϕ(x + y) n'est pas support ompa t et n'est don pas dans D. De plus, la notation < Tf ⊗ Tg , ϕ(· + ·) > signie simplement qu'on a d'abord onsidéré pour tout x, < Tg , ϕ(x + ·) > e qui permet de dénir une fon tion h : x 7→< Tg , ϕ(x + ·) > puis on a onsidéré < Tf , h >. On voit bien que d'une façon générale, il n'y pas de raison que h reste dans D. Ee tivement la onvolution de deux distributions n'existe pas toujours ! Pour pallier à au fait que (x, y) 7→ ϕ(x + y) n'est pas à support ompa t, on va le multiplier par des fon tions à support ompa t, ayant des bonnes propriétés de régularité (pour que la multipli ation ave ϕ reste régulière) et si possible tendant vers 1. Commençons par la dénition de e type de suite de fon tions :

Dénition 8.10.2

Une suite de fon tions ηn ∈ D(R2 ) onverge vers 1, ssi i) Pour tout ompa t K ⊂ R2 , il existe N tel que pour tout (x, y) ∈ K et n ≥ N , ηn (x, y) = 1.

ii) Pour tout k, la suite des des fon tions dérivées k-ième (ηn(k) )n≥0 est uniformément bornée sur R2 : ∀k,

sup |ηn(k) | < ∞ n

On peut fa ilement onstruire e type de fon tions : soit ϕ ∈ D(R) égale à 1 dans un voisinage de 0 alors la suite de fon tion ηn dénie par η(x, y) = ϕ

onverge ee tivement vers 1.

x y  ϕ n n

8.11.

95

TRANSFORMATION DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

Dénition 8.10.3

Si pour tout ϕ ∈ D(R) et toute suite ηn ∈ D(R2 ) onvergeant vers 1, lim < Sx , Ty , ηn (x + y)ϕ(x + y) > n

existe et est indépendant du hoix de ηn alors, le produit de onvolution de S par T est la distribution dénie par < S ∗ T, ϕ >= lim < Sx ⊗ Ty , ηn (x, y)ϕ(x + y) > n→∞

(ϕ ∈ D(R))

On admettra le résultat suivant :

Proposition 8.10.4. Si le produit de onvolution S ∗ T existe alors T ∗ S existe et S ∗ T

= T ∗ S.

En fait, les onditions générales d'existen e du produit de onvolution de deux distributions sont di iles à é rire. On retiendra néanmoins que omme pour le produit de onvolution des fon tions, nous avons le résultat suivant :

Théorème 8.10.5. Les distributions à support limité à gau he (resp. limité à droite) peuvent être

onvoluées entre elles. Une distribution à support borné peut être onvoluée ave n'importe quelle autre distribution. Exer i e

S ∗ δ = S.

8.8

Montrer que pour toute distribution S , on a S ∗ δ(a) = τ(a) S et en parti ulier, δ ∗ S =

On peut montrer les propriétés suivantes :

Proposition 8.10.6. Soient S, T deux distributions. 1. Dérivation-Si S ∗ T existe, alors S ′ ∗ T et S ∗ T ′ existent. De plus, (S ∗ T ) = S ′ ∗ T = S ∗ T ′ .

En d'autres termes, pour dériver un produit de onvolution, on dérive l'un des fa teurs au hoix. 2. Translation- Si S ∗ T existe, alors pour tout a ∈ R, τa (S ∗ T ) = (τa S) ∗ T = S ∗ (τa T )

8.11 Transformation de Fourier des distributions tempérées On sait que si f ∈ L1 , la fon tion f permet de dénir une distribution tempérée notée Tf : < Tf , ϕ >=

Z

f (x)ϕ(x)dx

(ϕ ∈ S)

Par ailleurs, si f ∈ L1 , sa transformée de Fourier F[f ] est une fon tion ontinue et bornée, elle dénit don une distribution tempérée TF[f ] : < TF[f ] , ϕ >=

Z

f˜(x)ϕ(x)dx

(ϕ ∈ S)

Si on her he à dénir la transformation de Fourier dans S ′ , on adoptera bien sûr une dénition telle que F[Tf ] = TF[f ] .

Or, on onstate que pour tout f ∈ L1 (R) et tout ϕ ∈ S , on a : Z

f˜(x)ϕ(x)dx =

Z

f (x)ϕ(x)dx. ˜

(8.8)

96

CHAPITRE 8.

LES DISTRIBUTIONS

En eet, le membre de droite s'é rit : Z

f (x)

Z

 e−2iπxt ϕ(t)dt dx

et puisque la fon tion (x, t) 7→ e−2iπxt f (x)ϕ(t) appartient à L1 (R2 ), l'intégrale double s'é rit : Z

ϕ(t)

Z

f (x)e

−2iπxt

 Z dx dt = ϕ(t)f˜(t)dt.

L'égalité 8.8 peut alors s'é rire : < TF[f ] , ϕ >=< Tf , F[ϕ] >. Par onséquent, si on pose F[Tf ] = TF[f ] , on obtient < F[Tf ] , ϕ >=< Tf , F[f ] >

(ϕ ∈ S)

Ce i permet de dénir de manière ohérente la transformée de Fourier dans S . Si ϕ ∈ S , on a vu que F[ϕ] ∈ S . Si T ∈ S et ϕ ∈ S , le ro het < T, F[ϕ] > a don un sens. L'appli ation ϕ ∈ S 7→< T, F[ϕ] >∈ C S

est linéaire. Elle est de plus ontinue ; en eet, si ϕn → 0 alors il en est de même de F[ϕn ] et don puisque le distribution T ∈ S ′ est ontinue, lim < T, F[ϕn ] >= 0

n→∞

Nous sommes alors en mesure de poser la dénition suivante

Dénition 8.11.1

(◮Transformée

de Fourier d'une distribution tempérée)

distribution tempérée, sa transformée de Fourier F[T ] est dénie par : < F[T ] , ϕ >=< T, F[ϕ] >

Si T est une

(ϕ ∈ S).

La fon tionnelle ainsi dénie sur S est ontinue, i.e. est un élément de S ′ : Si T ∈ S ′ alors F[T ] ∈ S ′

Remarque 8.11.1

Dans es onditions, on obtient si f ∈ L1 , < F[Tf ] , ϕ >=< Tf , F[ϕ] >=< TF[f ] , ϕ >

pour tout ϕ ∈ S et don F[Tf ] = TF[f ] , e que l'on voulait.

Pour exa tement les mêmes raisons, on dénira la transformée de Fourier onjuguée de la distribution tempérée T (et on la notera F¯[T ] ) par la formule : < F¯[T ] , ϕ >=< T, F¯[ϕ] >

8.11.1 Propriétés de la transformation de Fourier dans S ′

Proposition 8.11.2. i) F et F¯ sont linéaires dans S ′ . ii) F et F¯ sont deux bije tions ré iproques, l'une de l'autre de S ′ dans lui même. iii) F et F¯ sont ontinues dans S ′ . En résumé, la transformation de Fourier F dans S ′ est un homéomorphisme linéaire de lui-même dont l'inverse est F¯ .

Démonstration

i) Evident.

S′

dans

8.11.

97

TRANSFORMATION DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

ii) En eet, pour tout T ∈ S ′ et tout ϕ ∈ S , < F¯[F

¯ ] , ϕ >=< F[T ] , F[ϕ] >=< T, F[F¯[ϕ] ] >=< T, ϕ > < F[F¯ ] , ϕ >=< F¯[T ] , F[ϕ] >=< T, F¯[F ] >=< T, ϕ > [T ] [ϕ] [T ]

où l'on a utilisé les égalités : F[F¯[ϕ] ] = F¯[F[ϕ] ] qui sont vraies pour tout ϕ ∈ S . ′

S iii) Soient (Tn )n≥0 une suite de distributions tempérées, T une distribution tempérée. Si Tn → T quand n → ∞ alors S′ S′ F[Tn ] → F[T ] et F¯[Tn ] → F¯[T ] On sait en eet que la onvergen e dans S ′ est dénie par : lim < Tn , ϕ >=< T, ϕ > pour tout ϕ ∈ S et don pour tout ϕ ∈ S ,

lim < F[Tn ] , ϕ >= lim < Tn , F[ϕ] >=< T, F[ϕ] >=< F[T ] , ϕ >

n→∞

n→∞

et de même pour F¯. 

Dérivation Proposition 8.11.3. Pour tout T

∈ S′,

on a F[T ′ ] = 2iπxF[T ]

(F[T ] )′ = F[−2iπtT ]

et plus généralement, F[T (m) ] = (2iπx)m F[T ] (F[T ] )(m) = F[(−2iπt)m T ]

Autrement dit, on a des formules identiques à elles déjà obtenues pour les fon tions et au fa teur

2π près, la transformation de Fourier é hange la dérivation en la multipli ation par la variable.

Démonstration. Nous démontrons la première formule en laissant le soin au le teur de prouver la se onde. Pour tout ϕ ∈ S , on a

< F[T ′ ] , ϕ >=< T ′ , F[ϕ] >= − < T, F[ϕ]

Translation Proposition 8.11.4. Pour tout T

∈ S′


′

>= − < T, F[−2iπxϕ] >=< F[T ] , 2iπxϕ >=< 2iπxF[T ] , ϕ > 

et tout a ∈ R, τa F[T ] = F[e2iπat T ]

F[τa T ] = e−2iπax F[T ]

. Rappelons que l'opérateur de translation τa est déni sur les fon tions par τa ϕ(x) = ϕ(x − a) et sur les distributions par l'égalité < τa T, ϕ >=< T, τ−a ϕ >. Prouvons la première égalité : si ϕ ∈ S , on peut é rire : Démonstration

< τa F[T ] , ϕ >=< F[T ] , τ−a ϕ >=< T, F[τ−a ϕ] >=< T, e2iπat F[ϕ] >=< e2iπat T, F[ϕ] >=< F[e2iπat T ] , ϕ >

où l'on a i i utilisé dans l'avant dernière égalité que < αT, ϕ >=< T, αϕ > pour T ∈ S ′ , ϕ ∈ S et α ∈ OM .



98

CHAPITRE 8.

LES DISTRIBUTIONS

Transformée de Fourier de δ Proposition 8.11.5. Nous avons les deux propriétés suivantes : i) F[δ] = F¯[δ] = 1 et F[1] = F¯[1] = δ . ii) Pour tout m ≥ 0, F[δ ] = (2iπx)m et F¯[δ ] = (−2iπx)m . (m)

(m)

. i) Il sut de montrer la première égalité, la deuxième se déduisant aisément de la première par appli ation de F ou F¯ . Par dénition

Démonstration

< F[δ] , ϕ >=< δ, F[ϕ] >= F[ϕ] (0) =

Z

ϕ(t)dt =< 1, ϕ >

(ϕ ∈ S)

L'égalité F¯[δ] = 1 se démontre de la même manière. ii) Se démontre aisément à partir des formules de dérivation des distributions tempérées. 

8.12 Points essentiels du hapitre a) Bien omprendre les orrespondan es, D et D′ , E et E ′ , S et S ′ . b) Bien identier les diérents types de onvergen e asso iés aux divers espa es.

) Diverses opérations sur les distributions notamment les produits tensoriels de distributions et le produit de onvolution des distributions. d) Transformée de Fourier des distributions tempérées.

8.13 Un peu d'histoire Laurent S hwartz (1915-2002). Sour e : les-mathematiques.net. L'enfan e Laurent S hwartz est né en le 5 mars 1915 à Paris. Son père est hirurgien. Son enfan e est en parti ulier marquée par des séjours à Autouillet, ommune située à une quarantaine de kilomètres de Paris , qui lui permettent de développer un goût parti ulier pour la nature qui ne devra jamais le quitter. Sa maman, passionnée par les s ien es naturelles lui transmet son goût pour l'entomologie. Il ultivera ette passion toute sa vie. A l'é ole Laurent S hwartz ex elle en Latin, en Gre et en Mathématiques. Son professeur de 5ème disait à ses parents : "Méez vous, on dira que votre ls est doué pour les langues alors qu'il ne s'intéresse qu'à l'aspe t s ientique et mathématique des langues : il faut qu'il devienne mathémati ien." Ce n'est ependant qu'arrivé en terminale que naît son intérêt pour les mathématiques. Le dé len heur est son ex ellent professeur qui lui enseigne les beautés de la géométrie : la droite de Simpson, les er les d'Euler, les oniques. S hwartz ra onte : "En quinze jours, j'ai bas ulé dans ma nouvelle vo ation. J'ai fait énormément de problèmes et lu quantité de livres de mathématiques". Son on le, J. Hadamard aura aussi un rle dans la naissan e de ette vo ation.

Les études supérieures Lors de la préparation au on ours d'entrée à l'é ole normale supérieure, il tombe amoureux de MarieHélène Lévy, la lle du fameux mathémati ien Paul Lévy qui était alors professeur à l'é ole polyte hnique. Ils se lièrent en avril 1935 alors qu'ils étaient tous deux élèves de l'ENS et dé idèrent de se marier en dé embre 1935. Mais en o tobre de ette année, Marie-Hélène ontra ta une infe tion pulmonaire et dû

8.13.

UN PEU D'HISTOIRE

99

partir se soigner au sanatorium de Passy en Haute-Savoie. 18 mois de séparation s'ensuivirent durant lesquels ils restèrent en onta t grâ e à leur orrespondan e. Ils se marièrent nalement en mai 1938. Ils eurent 2 enfants Mar André, un poète et é rivain qui mourut brutalement en 1971 et Claudine qui se maria ave Raoul Norbert. Tous les deux sont professeurs de Mathématiques à Grenoble. Les années passées à l'ENS ne furent pas seulement dé isives pour la arrière s ientique de Laurent S hwartz mais aussi pour son engagement politique. Il était anti- olonialiste et internationaliste. Il étudia en profondeur la géo-é onomie. La littérature politique laissa en lui la onvi tion que la politique de "non-intervention" (1936-38) pratiquée en Fran e par le gouvernement de Léon Blum fa e à la montée en puissan e du nazisme, aux purges staliniennes, à la guerre ivile en Espagne était totalement ine a e sinon extrêmement dangereuse. Il ne voyait par ailleurs dans le olonialisme rien d'autre que l'exploitation et l'oppression des peuples. Il her he des solutions à es problèmes dans les théories Trotskistes. Il rut en es idées jusqu'à e qu'il réalise que Trotsky avait divor é de la réalité. Il devint alors indépendant de tout parti (sauf pour quelques années dans les années soixante).

Un houleux début de arrière Après avoir quitté l'ENS ave de très bons résultats, il part a

omplir son servi e militaire (deux ans 1937-39) omme o ier. Ce servi e est prolongé d'un servi e a tif d'un an pendant la guerre (193940). Il devint ensuite o ier de réserve. Démobilisé en août 1940, S hwartz se rend à Toulouse où ses parents habitent. Son père, qui est alors olonel de réserve du servi e médi ale des armées, travaille

omme hirurgien à l'hpital. S hwartz devient à ette époque membre de la aisse nationale des s ien es (l'an ien CNRS). Une bourse fondée par Mi helin lui permet de vivre de 1943 jusqu'à la n de la guerre. La han e intervient alors pour le sauver du désert s ientique dans lequel il vit à Toulouse : Henri Cartan vient à Toulouse pour faire passer des oraux d'entrée à l'ENS. Marie Hélène qui avait traduit quelques années plutt des travaux de Cartan, prend l'initiative de le ren ontrer. Ce dernier les invite fortement à déménager pour la fa ulté de Clermont Ferrand, qui est alors jumelée ave elle de Strasbourg. Le

hangement fut très bénéque. Ce fut à Clermont qu'il ren ontra André Weil et le olle tif Bourbaki. Ces derniers le stimulèrent susamment pour qu'il nisse sa thèse de do torat en deux ans.

La guerre Pendant que ses re her hes progressaient, la guerre battait son plein. Sa santé fragile l'empê he de joindre la résistan e. L'ine a ité du mouvement trotskiste le rempli de frustration. Deux étudiants nissent leur thèse en même temps que S hwartz à Clermont : Felbau, un étudiant d'Ehresmann et Gorny, un réfugié politique qui travaillait ave Mandelbrojt. Feldau fut déporté à Aus hwitz en novembre 1943 et Gorny à Dran y. On ne les revit jamais. S hwartz risqua aussi la déportation à ause de ses origines juives et omme Trotskiste. Le ouple dut adopter une fausse identité (à onsonan e protestante : LaurentMarie Sélimartin à la pla e de Laurent-Moïse S hwartz et Marie-Hélène Lengé) et durent se a her susamment pour é happer à la déte tion par les nazis. Il est absolument in royable qu 'après avoir vé u de tels problèmes de survie, S hwartz pu faire naître l'idée des distributions (en 1944-45, juste avant la n de la guerre).

Les distributions Cette théorie allait é lairer les mystères de la fon tion de Heaviside ainsi que eux de la fon tion Delta de Dira . Elle allait ouvrir les portes de la théorie des transformées de Fourier et devenir d'une importan e apitale pour l'étude des équations aux dérivées partielles. Les idées de S hwartz ont la simpli ité et l'éviden e des travaux de grande lasse. Le manus rit sur l' "invention des distributions" est un exemple d'extraordinaire habileté à présenter les mathématiques. C'est un modèle de ompréhension et de synthèse des travaux antérieurs de tout ses prédé esseurs dans e hamps des mathématiques. S hwartz ra onte qu'il a dé ouvert les prin ipaux théorèmes sur les distributions en une seule nuit, qui fut, ave une autre ou il aptura 450 papillons intéressants une des deux plus belles de sa vie. "L'invention des distributions eut lieu à Paris, au début de novembre 1944. La dé ouverte, subite, se produisit en

100

CHAPITRE 8.

LES DISTRIBUTIONS

une seule nuit. C'est là un phénomène assez fréquent, que j'ai vé u plusieurs fois dans ma vie. L'image de la dé ouverte est bien diérente de elle que le grand publi se représente : selon lui, on progresse du début à la n par des raisonnements rigoureux, parfaitement linéaires, dans un ordre bien déterminé et unique qui orrespond à la logique parfaite. Les zigzags lui sont in onnus. C'est dommage. Cela rend les mathématiques (et toutes les s ien es) trop rigides, moins humaines, plus ina

essibles, puisqu'elles ne donnent pas le droit à l'hésitation et à l'erreur." Harald Bohr a présenté Laurent S hwartz pour la médaille Fields au ongrès international de Harvard le 30 août 1950 pour e travail sur les distributions.

L'é ole polyte hnique Après une année à Grenoble (1944), S hwartz rejoint l'université de Nan y (1945) sur l'initiative de Delsarte et de Dieudonné. IL restera pendant 7 très proliques années sur e poste. Prolique à la fois au niveau de la re her he mais aussi au niveau des ours. Les ours de Laurent S hwartz attirent ainsi de brillants étudiants omme B.Malgrange, J.P. Lions, F.Bruhat et A.Grothendie k. Sur l'initiative de Denjoy, il passe de Nan y à la Sorbonne en 1952 puis devient en 1958 professeur à l'é ole polyte hnique. Il modernise les programmes de l'é ole il onçoit un orissant entre de re her he mathématique.

L'engagement politique Laurent S hwartz a eu une forte a tivité politique tout au long de sa vie, au point même que pendant la guerre d'Algérie il doit sa rier la re her he. Il lutte en parti ulier ontre la torture systématique pendant ette période. Il est le fondateur du omité "Mauri e Audin". Mauri e Audin, ommuniste et alors en troisième année de son do torat de Mathématiques est arrêté par la poli e et meurt dans des

ir onstan es étranges lors d'un interrogatoire. Le omité demande la lari ation de la mort du jeune mathémati ien. Laurent S hwartz é rivit un arti le élèbre dans l'Express sur "la révolte des universités

ontre la pratique de la torture par le gouvernement". Sa photo apparaît sur la ouverture et l'arti le gagna l'attention du grand publi . Cependant S hwartz dit : "j'ai fait beau oup de politique par devoir,

ar la politique ne m'intéresse pas : mes trois passions sont la re her he, l'enseignement et l'entomologie ; sur une île déserte, je m'y adonnerais en ore."

Chapitre 9 Transformation de Lapla e

Sommaire

9.1 Dénition et sommabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.1.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 9.1.2 Sommabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 9.1.3 Propriétés de la transformée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.2 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9.3 Propriétés élémentaires et exemples de transformées de Lapla e . . . . . . 105 9.3.1 Propriétés . . . . . . . . . Translation . . . . . . . . Convolution . . . . . . . . 9.3.2 Dérivation et intégration . 9.3.3 Exemples . . . . . . . . .

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105 105 105 106 107

9.4 Points essentiels du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.5 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Marquis Pierre Simon de Lapla e (1749-1827).

. . . . . . . . . 107

Sour e : Bibmath

Mots lés 9.1

Fon tion ausale, transformée de Lapla e unilatérale, bilatérale, original-image, abs isse de sommabilité, ontour de Bromwi h. Dans e dernier hapitre, nous présentons la transformée de Lapla e qui est une extension de la transformée de Fourier. La plupart des propriétés de la transformée de Lapla e seront dire tement issues des propriétés orrespondantes pour la transformée de Fourier. Certains résultats seront obtenus grâ e à l'analyse omplexe, telle qu'elle est dé rite dans le Chapitre 5. On fera attention à a quérir une

ertaine terminologie asso iée aux notions de transformées de Lapla e. Nous n'envisagerons i i que les transformations de Lapla e des fon tions et non elle des distributions.

9.1 Dénition et sommabilité Dénition 9.1.1

son argument :

On appelle fon tion ausale toute fon tion t 7→ f (t) nulle pour les valeurs négatives de ∀t < 0,

f (t) = 0

Au une ondition de ontinuité en 0 n'est exigée dans la dénition. 101

102

CHAPITRE 9.

TRANSFORMATION DE LAPLACE

9.1.1 Dénition Dénition 9.1.2 Si f est une fon tion réelle ou omplexe, lo alement sommable de la variable réelle t, on appelle transformée de Lapla e (unilatérale) de f la fon tion omplexe notée fˆ(p) de variable omplexe p dénie par Z ∞

def fˆ(p) =

f (t)e−pt dt.

0

Dénition 9.1.3 est la fon tion

Soit f une fon tion lo alement sommable. La transformée de Lapla e bilatérale de f p 7→

Z

∞

f (t)e−pt dt.

−∞

La transformée de Lapla e bilatérale de H(t)f (t) est simplement la transformée de Lapla e unilatérale de la fon tion f (t). Dans la suite, seule la transformée unilatérale nous intéressera.

Remarque 9.1.1 a la relation

Si f est une fon tion nulle pour t < 0 et admettant une transformée de Fourier alors on ω fˆ(iω) = f˜ 2π

La transformation de Lapla e est une extension de la notion de transformation de Fourier. Plus pré isément, fˆ(x + iω) est au hangement de variable ω = 2πν près, la transformée de Fourier de t 7→ f (t)e−xt en ω/2π .

Dénition 9.1.4 Original, Image- On appelle original toute fon tion f de la variable réelle, lo alement sommable, à valeurs réelles ou omplexes et telle que i) f est ausale (f (t) = 0 pour tout t < 0) ii) |f (t)| ne roît pas plus vite qu'une exponentielle, 'est à dire qu'il existe deux onstantes M > 0 et s ∈ R telles que |f (t)| ≤ M est pour tout t ∈ R La transformée de Lapla e d'un original s'appelle image de l'original.

On utilisera les notations suivantes : si f (t) est un original, on notera fˆ(p) sa transformée de Lapla e.

Le symbole = est également répandu, que l'on utilise ainsi f (t) = F (p).

9.1.2 Sommabilité Dans toute la suite, on pose p = x + iω . Soit f une fon tion lo alement sommable, her hons le domaine de dénition de sa transformée de Lapla e fˆ. On note en premier lieu que l'intégrabilité de t 7→ f (t)e−pt est équivalente à l'intégrabilité de t 7→ f (t)e−xt . On note ensuite que s'il y a sommabilité pour un ertain x0 , il y a sommabilité pour tous les x > x0 , puisque |f (t)e−xt | = |f (t)e−x0 t |e−(x−x0 )t ≤ |f (t)e−x0 t |.

En onséquen e de quoi, le domaine de dénition de t 7→ f (t)e−pt est un demi plan omplexe inni à droite ou bien le plan C tout entier ou bien l'ensemble vide.

Dénition 9.1.5

On appelle abs isse de sommabilité de la fon tion originale f la borne inférieure de tous les x pour lesquels il y a sommabilité :  α = inf x ∈ R; t 7→ |f (t)|e−xt est intégrable

Le raisonnement pré édent montre que l'on a le résultat suivant :

Proposition 9.1.6. Soient f (t) un original et α son abs isse de sommabilité. On pose p = x + iω ; alors i) pour x < α, la fon tion t 7→ f (t)e−pt n'est pas intégrable ; ii) pour x > α, ette fon tion est intégrable ;

9.1.

103

DÉFINITION ET SOMMABILITÉ

iii) pour x = α, elle peut être, ou ne pas être, intégrable au sens de Lebesgue. Si elle n'est pas Lebesgueintégrable, l'intégrale impropre Z

∞

f (t)e−pt dt =

lim′

R→∞,R →−∞

−∞

Z

R

f (t)e−pt dt

R′

peut ependant onverger pour ertaines valeurs de p = α+iω , e qui permet d'étendre la transformée de Lapla e de f à es valeurs de p. Dans e hapitre, nous utiliserons souvent la fon tion de Heaviside H dont nous rappelons la déni( 1 si x ≥ 0 tion : H(x) = . 0 si x < 0

Exemple 9.1.1

La transformée de Lapla e de la fon tion de Heaviside H s'é rit ˆ H(p) =

Z

∞

1  −pt ∞ e , 0 p

H(t)e−pt dt =

0

e qui montre que l'abs isse de sommabilité de H vaut 0 et que pour tout p ∈ C tel que Re (p) > 0, ˆ ˆ est don un demi-plan ouvert. H(p) = 1/p. Le domaine de dénition de H On remarquera que si l'on étend la fon tion Hˆ à l'axe imaginaire en posant pour tout ω non nul, H(iω) = 1/iω , on a une fon tion "pro he" de la transformée de Fourier de H , qui vaut δ 1 ˜ H(ν) = vp + 2iπν 2

et qui est égale à vp(1/2iπν) sur R∗ .

Exemple 9.1.2

On pose f (t) = 1/(1 + t2 ). Alors fˆ(p) =

Z

∞

0

e−pt dt 1 + t2

est dénie pour tout p ∈ C tel que Re (p) ≥ 0. Le domaine de dénition de fˆ est don un demi plan fermé.

Exemple 9.1.3 t 7→ H(t)eat .

Soit a ∈ C un nombre omplexe quel onque et her hons la transformée de Lapla e de H(t)eat =

Z

∞

eat e−pt dt =

0

Z

∞

e−(p−a)t dt,

0

e qui montre que l'abs isse de sommabilité est α = Re (a) et que pour tout p ∈ C tel que Re (p) > Re (a), la transformée de Lapla e de H(t)eat est 1/(p − a).

Théorème 9.1.7. Dans le demi plan ouvert de sommabilité, la transformée de Lapla e fˆ est holomorphe don analytique. . Soit x ∈ R, x > α. Alors, pour tout m ∈ N, la fon tion t 7→ tm f (t)e−pt est intégrable. En eet, puisque x > α, le réel y = (x + α)/2 vérie α < y < x ; de plus, t 7→ f (t)e−yt est intégrable et l'on peut é rire

Démonstration

où le premier terme est intégrable sous le signe intégral et vaut fˆ étant

tm |f (t)|e−xt = |f (t)|e−yt × tm e−(x−a)t/2 , et le se ond borné. La dérivée de fˆ se al ule dfˆ = fˆ′ (p) = dp

Z

∞

grâ e au théorème de dérivation

(−t)f (t)e−pt dt.

0

dérivable en tout point du demi-plan ouvert {p ∈ C; Re (p) > α}, elle est analytique. On note que l'abs isse de sommabilité de t 7→ tf (t) est la même que elle de f . On montre enn par une R  ré urren e immédiate que fˆ(n) (p) = 0∞ (−tn )f (t)e−pt dt. On admet le résultat suivant :

104

CHAPITRE 9.

TRANSFORMATION DE LAPLACE

Proposition 9.1.8. Soit f un original. i) Si la fon tion f (t) est à support borné à droite, alors α = −∞. ii) Si f (t) est à dé roissan e rapide à droite, alors −∞ ≤ α < 0 et fˆ(p) est holomorphe dans un demi-plan omportant l'axe imaginaire pur (notamment la transformée de Fourier existe). iii) Si f (t) est tempérée (au sens des distributions), alors α = 0, et sa transformée de Fourier n'existe pas for ément au sens des fon tions ; en revan he, elle existe au sens des distributions. iv) Enn, si f (t) est à dé roissan e rapide, 0 < α ≤ ∞ alors fˆ est holomorphe sur un demi-plan ne

ontenant pas l'axe imaginaire pur et la transformée de Fourier de f n'existe pas. Exemple 9.1.4 La fon tion "porte" a pour abs isse de sommabilité −∞ et Z

ˆ Π(p) =

1/2

e−pt dt =

0

1 − e−p/2 , p

ˆ admet le développement en série qui est analytique sur C ; la singularité en 0 est en eet fa ti e, puisque Π entière :  ∞  n+1 X (−1) (n + 1)!2n+1

ˆ Π(p) =

n=0

pn .

Toute fon tion polynmiale et toute fra tion rationnelle a pour abs isse de sommabilité 0.

9.1.3 Propriétés de la transformée Proposition 9.1.9. Soient f (t) une fon tion originale et fˆ(p) son image par la transformation de Lapla e. Si x > α, alors fˆ(x + iω) tend vers 0 pour ω → ±∞. . C'est une simple onséquen e du Lemme de Riemann-Lebesgue 7.1.4 :

Démonstration

lim

ω→±∞

Z

∞



0

 f (t)e−xt e−iωt dt = 0



On sait qu'à droite de l'abs isse de sommabilité, la transformée de Lapla e est holomorphe. Qu'en est il ailleurs ? On pose par exemple, f (t) = e3t . L'abs isse de sommabilité est α = 3. Sa transformée de Lapla e est fˆ(p) = 1/(p − 3) qui est holomorphe partout sauf en p = 3. Plus exa tement, fˆ est dénie dans le demi-plan de sommabilité {z ∈ C; Re (z) > 3} mais on peut la prolonger analytiquement sur le plan pointé C \ {3}.

9.2 Inversion On peut trouver une formule d'inversion de la transformation de Lapla e grâ e à nos onnaissan es sur l'inversion de la transformée de Fourier. En eet, si f (t) admet pour transformée de Lapla e la fon tion fˆ(p), on a, pour tout x > α, fˆ(x + 2iπν) =

Z

∞

H(t)f (t)e−xt e−2iπνt dt,

−∞

e qui montre que à x xé, la fon tion ν 7→ fˆ(x + 2iπν) est la transformée de Fourier de H(t)f (t)e−xt . La formule d'inversion de Fourier nous onduit don , lorsque t est un point de ontinuité de H(t)f (t), à Z −xt H(t)e f (t) = F (x + 2iπν)e2iπνt dν soit H(t)f (t) =

R

F (x + 2iπν)ext e2iπνt dν = def

1 2iπ

Dx = {x + iω; ω ∈ R}

R

Dx

fˆ(p)ept dp, où l'on a noté p = x + 2iπν et Dx la droite

(◮Contour

de Bromwi h)

9.3.

PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES ET EXEMPLES DE TRANSFORMÉES DE LAPLACE

105

Remarque 9.2.1 Il est à noter que la formule obtenue nous donne l'original en fon tion de la valeur de la fon tion image et e i pour x > α quel onque. Le résultat de l'intégrale est en eet indépendant du domaine d'intégration, puisque, fˆ étant analytique sur le demi plan de sommabilité, le théorème de Cau hy nous garantit la nullité de la diéren e entre les intégrales sur Dx et sur Dx′ (en utilisant de plus le fait que limω→±∞ F (p) = 0 onformément à la Proposition 9.1.9).

Théorème 9.2.1. Inversion de la transformée de Lapla e- Soient f un original et fˆ sa transformée de Lapla e. Si l'on note α son abs isse de sommabilité, on a la formule d'inversion, valable en tout point de ontinuité de f : Z f (t) =

ave x0 > α quel onque.

1 2iπ

x0 +i∞

fˆ(p)ept dp

x0 −i∞

9.3 Propriétés élémentaires et exemples de transformées de Lapla e 9.3.1 Propriétés La plupart des propriétés des transformées de Fourier se retrouvent pour les transformées de Lapla e.

Translation Il existe un théorème de translation semblable à elui onnu pour la transformation de Fourier mais qui demande i i une pré aution supplémentaire : puisqu'on s'intéresse i i à la transformée de Lapla e unilatérale, on va é rire expli itement la fon tion H(t)f (t) et non simplement f (t). Alors, en notant,

omme d'habitude, p = x + iω , et α l'indi e de sommabilité pour la fon tion f , on a si H(t)f (t) = F (p) pour α < x alors H(t)f (t)e−at = F (p + a) pour α − Re (a) < x. De même,

si H(t)f (t) = F (p) pour α < x alors H(t)f (t − τ ) = F (p)e−τ p pour α − τ < x.

Attention don à bien prendre H(t − τ )f (t − τ ), 'est-à-dire la fon tion qui s'annule pour t < τ . Il n'y a, a priori, au un lien entre la transformée de Lapla e de la fon tion H(t)f (t − τ ) et elle de H(t)f (t).

Convolution De même qu'ave la transformée de Fourier, on a un théorème de onvolution dont la preuve est admise.

Théorème 9.3.1. Soient f et g des originaux d'abs isse de sommabilité α et α′ . Si f (t) = F (p) pour α < x et g(t) = G(p) pour α′ < x alors [Hf ∗ Hg](t) = F (p)G(p) pour max(α, α′ ) < x.

où ∗ est le symbole de onvolution déni dans le paragraphe 8.10.1. De même, on a : Si et

alors

f (t) = F (p) g(t) = G(p) R x0 +i∞ 1 f (t)g(t) = 2iπ x0 −i∞ F (s)G(p − s)ds

pour α < x ′ pour α ( 0 par la représentation intégrale : def

Γ(z) =

Z

∞

e−x xz−1 dx.

0

En parti ulier, on a les relations suivantes : H(t)eiωt =

1 p − iω

etH(t)e−iωt =

1 p + iω

ave 0 < Re (p).

On en déduit, par la linéarité de la transformation de Lapla e, H(t) cos(ωt) =

p p2 + ω 2

et H(t) sin(ωt) =

H(t)ch(ωt) =

p p2 − ω 2

et H(t)sh(ωt) =

De même,

ω p2 + ω 2

ω p2 − ω 2

ave 0 < Re (p). ave 0 < Re (p).

9.4 Points essentiels du hapitre a) Dénitions diverses : fon tions ausales, transformée de Lapla e, original-image, abs isse de sommabilité. b) Faire attention à la forme parti ulière du domaine de sommabilité.

) Expression de la transformée de Lapla e inverse, ontour de Bromwi h. d) Propriétés de transformée de Lapla e. Notamment, onvolution, dérivation et intégration.

9.5 Un peu d'histoire Marquis Pierre Simon de Lapla e (1749-1827). Sour e : Bibmath. Né à Beaumont-en-Auge, ls de ultivateur, Lapla e s'initia aux mathématiques à l'É ole militaire de ette petite ville. Il y ommença son enseignement. Il doit ette édu ation à ses voisins aisés qui avait déte té son intelligen e ex eptionnelle. A 18 ans, il arrive à Paris ave une lettre de re ommandation pour ren ontrer le mathémati ien d'Alembert, mais e dernier refuse de ren ontrer l'in onnu. Mais Lapla e insiste : il envoie à d'Alembert un arti le qu'il a é rit sur la mé anique lassique. D'Alembert en est si impressionné qu'il est tout heureux de patronner Lapla e. Il lui obtient un poste d'enseignement en mathématique. En 1783, il devint examinateur du orps de l'artillerie et fut élu, en 1785, à l'A adémie des S ien es. A la Révolution, il parti ipa à l'organisation de

108

CHAPITRE 9.

TRANSFORMATION DE LAPLACE

l'É ole Normale et de l'E ole Polyte hnique, et fut membre de l'Institut, dès sa réation. Bonaparte lui

ona le ministère de l'Intérieur, mais seulement pour 6 mois. L'oeuvre la plus importante de Lapla e on erne le al ul des probabilités et la mé anique éleste. Il établit aussi, grâ e à ses travaux ave Lavoisier entre 1782 et 1784 la formule des transformations adiabatiques d'un gaz, ainsi que deux lois fondamentales de l'éle tromagnétisme. En mé anique, ave le mathémati ien Joseph-Louis de Lagrange, Lapla e résume ses travaux et réunit eux de Newton, Halley, Clairaut, d'Alembert et Euler, on ernant la gravitation universelle, dans les inq volumes de sa "Mé anique éleste" (1798-1825). On rapporte que feuilletant la "Mé anique éleste", Napoléon t remarquer à Lapla e qu'il n'y était nulle part fait mention de Dieu. "Je n'ai pas eu besoin de ette hypothèse", rétorqua le savant.

Bibliographie

Appel, W.

(2002). Mathématiques pour la physique. H & K éditions.

Bayen F. and Margaria, C. Bony J.M. Neveu J.

Mathématiques appliquées. Poly opié de ours, INT.

Cours d'analyse. Poly opié de ours, E ole Polyte hnique.

Probabilités. Poly opié de ours, E ole Polyte hnique.

109

Index C0 (Rn ), 59 H , 84 L2T , 61 OM , 89 Tf , 80 F¯[T ] , 96 F¯[f ] , 66 F[T ] , 96 F[f ] , 66 D, 78 D′ , 80 E , 87 E ′ , 88 Fb (X, C), 59 H, 36 S , 89 S ′ , 90 ∗, 73, 93, 105 δ , 80 δλ , 86 δ(a) , 80 fˆ(p), 102 L∞ , 60 L1 , 59 L2 , 60 ⊗, 18, 92 Pf , 82 π -système, 17 p.p., 16 S , 71 =, 102 τa T , 85 τb , 85 vp, 80 d(ϕ, ψ), 90

Algèbre, 17 Analytique, fon tion, 38 Antihermitienne, 69 , 54 Bilatérale, transformée de Lapla e, 102 Borélien, 13 Bromwi h, Contour de, 104 Bana h

Carathéodory

, théorème de, 17

Cau hy

Conditions de, 37 Théorème de, 39 Théorème homotopique, 44 Causale, fon tion, 101 Chemin, 42 Complet, espa e, 54 Conjuguée, transformée de Fourier, 66, 96 Convolution, 73 Croissan e lente, fon tion à, 89 Curviligne, Intégrale, 42 Dé roissan e rapide, fon tion, 70 Détermination ontinue, 45 Dira

Distribution de, 80 Mesure de, 14 Peigne de, 14 Dominée, théorème de onvergen e, 27 Faible, Convergen e, 58 Fatou, lemme de, 25 Fisher-Riesz, 59 Fourier

Série de, 62 Transformée de, 66, 96

Gaussienne Fon tion ara téristique, 41 , fon tion de, 84 Hermitienne, 69 Hilbert, 54 Hilbertienne, base, 56 holomorphe, fon tion, 36 Homothopie, 43 Heaviside

Image, 102 Indi e, 47 Inversion de la transformée de Lapla e, 105 , lemme de, 50

Jordan

La et, 42 110

111

INDEX

, transformée de, 102 , Série de, 49

Lapla e

Laurent

Lebesgue

Mesure de, 14 Intégrale de, 22, 27 Théorème de, 27 Lo alement intégrable, 27 Mesurable, fon tion, 22 Mesure, 14 de omptage, 14 produit, 18 Monotone, théorème de onvergen e, 25 Original, 102 , 57

Parseval

, 72 Partie nie, 82 Porte, fon tion, 66 Presque partout, 16 Produit de onvolution de fon tions, 73, 93 des distributions, 94 Produit tensoriel de distributions, 92 de fon tions, 92 des mesures, 18 Parseval-Plan herel

Régulière, distribution, 80 Régularisée, 69 Résidus, théorème des, 49 Riemann, Intégrale de, 22 Riemann-Lebesgue, Lemme de, 67 Riesz, Théorème de, 56 Séparable, 56 Saut, formule des, 84 S hwartz Espa e de, 71 Simplement onnexe, 43 Sin , 67 Singularité, 49 essentielle, 49 fa ti e, 49 isolée, 49 Sommabilité, abs isse de, 102 Support d'une fon tion, 58 Tempérée, distribution, 90 Théorème de proje tion sur un onvexe fermé, 54 de prolongement analytique, 41

Total, Ensemble, 56 Tribu, 11 engendrée, 12 produit, 14 Unilatérale, transformée de Lapla e, 102 Valeur prin ipale, 27, 69, 80