Poly Tec 105

Ministère De L’Enseignement supérieur et de la recherche scientifique Cours d’hydraulique générale Centre Universitaire de Bechar

Cours d’hydraulique générale

Réalisé par Mr ABDELAZIZ Redha

Année Universitaire 2005-2006

Cours d’hydraulique générale

Avant propos

Ce cours est destiné aux étudiants de graduation spécialisés en génie civil du centre universitaire de Bechar et qui a pour objectif de donner un aspect général sur l’hydraulique qui est une science qui étudie tous les phénomènes et lois qui s’intéresse à l’eau. L’hydraulique est une branche de la mécanique des fluides dont lequel la majorité des lois et équations rencontrées s’inspirent de cette discipline. Généralement on troue l’hydraulique dans plusieurs domaines de l’ingénieur telle que : L’alimentation en eau potable, l’assainissement, l’irrigation, le drainage, le traitement des eaux, l’épuration des eaux et les ouvrages hydrauliques…etc. L’importance de l’étude de l’hydraulique devient de plus en plus grande à cause des problèmes rencontrés dans la pratique comme : le coups de bélier dans les conduites, les ondes de crue, les inondations, la remonté et pollution des nappes souterraines…etc. Cet ouvrage est composé de dix chapitres et qui donne une vision générale sur l’hydraulique et qui touche la majorité des points critiques que l’ingénieur à besoin.

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Table de matière

Introduction générale Introduction Historique de l’hydraulique

1 1

Chapitre I : Caractéristique physique et propriétés des fluides I-1. Définition d’un fluide I-2. Masse volumique I-3. Poids spécifique I-4. Compressibilité volumétrique des liquides I-5. Module d’élasticité I-6. Viscosité I-7. Viscosité cinématique I-8. Tension superficielle Exercices

3 3 3 4 4 4 5 5 5

Chapitre II : Hydrostatique II-1. Introduction II-2. Pression en un point II-3. Propriétés de la pression hydrostatique II-4. Equation fondamentale de l’hydrostatique II-5. Surface d’égale pression II-6. Différents types de pression II-7. Appareils de mesure de la pression II-8. Loi des vases communicants II-9. Représentation graphique de la pression II-10. Forces de pressions sur les parois II-11. Flottement des corps dans un liquide II-12. Caractéristiques d’un corps flottant II-13. Stabilité des corps flottants Exercices

7 7 7 8 11 12 13 13 14 14 19 20 21 22

Chapitre III : Cinématique des liquides III-1. Introduction III-2. Mouvement d’un liquide III-3. Equation de continuité III-4. Fonction de courant III-5. Interprétation physique d’une fonction de courant III-6. Ecoulement irrotationnel III-7. Potentiel des vitesses III-8. Ecoulement potentiel plan Exercices

26 26 28 30 30 31 32 33 34

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Chapitre IV : Hydrodynamique des liquides IV-1. Introduction IV-2. Hydrodynamique des liquides parfaits IV-3. Hydrodynamique des liquides réels Exercices

36 36 40 45

Chapitre V : Les régimes d’écoulement V-1. Introduction V-2. Expérience de Reynolds V-3. Répartition des vitesses en écoulement laminaire V-4. Répartition des vitesses en écoulement turbulent Exercices

48 48 49 50 51

Chapitre VI : Le courant liquide VI-1. Introduction VI-2. Quantité de mouvement VI-3. Energie cinétique VI-4. Couche limite VI-5. Quantité de mouvement dans le cas d’un courant liquide VI-6. Perte de charge totale Exercices

52 52 53 54 57 58 60

Chapitre VII : Ecoulement par les orifices, ajutages et déversoirs VII-1. Introduction VII-2. Orifice en mince paroi non noyé VII-3. Orifice en mince paroi noyé VII-4. Ecoulement par les ajutages VII-5. Ecoulement en charge variable VII-6. Ecoulement par les déversoirs Exercices

62 63 64 65 67 69 71

Chapitre VIII : Les réseaux de distribution VIII-1. Réseaux maillés VIII-2. Réseaux ramifiés Exercices

73 76 76

Chapitre IX : Ecoulement à surface libre IX-1. Introduction IX-2. Régime uniforme IX-3. Régime non uniforme Exercices

79 79 81 92

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Chapitre X : Ressaut hydraulique X-1. Introduction X-2. Types de ressaut X-3. Equation fondamentale du ressaut parfait X-4. Fonction du ressaut hydraulique X-5. Détermination des profondeurs conjuguées du ressaut X-6. Pertes de charges dues au ressaut X-7. Longueur du ressaut Exercices

95 95 96 98 99 100 101 101

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INTRODUCTION A L’HYDRAULIQUE

Introduction Aussi ancien que la civilisation, humaines, l’hydraulique est une science qui commande et dirige toute utilisation de l’eau. L’hydraulique traite les lois de l’équilibre et du mouvement des liquides et établit des modes d’applications de ces lois à la résolution des problèmes pratiques. Cette activité est utilisée dans de nombreux domaines, parmi lesquels on cite : Les aménagements hydroélectriques, l’hydraulique fluvial, l’hydraulique maritime, l’hydraulique urbaine, l’hydraulique agricole, l’hydraulique souterraine et les commandes hydraulique. Historique de l’hydraulique Dés l’antiquité et 4000 ans avant l’ère chrétienne, de nombreux témoignages de l’existence d’ouvrage hydraulique notamment : En Egypte o⎤ on été découverts des ouvrages d’irrigation et des canaux d’assainissement de la vallée du nil. En Mésopotamie, la région arrosé par le tigre et l’Euphrate se prêtait également à l’utilisation des eaux pour l’irrigation. En Inde et au Pakistan, des fouilles on révélée l’existence de bains alimentés par des tuyaux et se déversant dans des canalisations souterraines. En Iran et au moyen orient, des galeries souterraines de captage des nappes de faible profondeur pour les besoins d’irrigation. En Afrique du nord, les foggaras des oasis saharienne. En définitive l’hydraulique de l’antiquité reste un art sans aucune Base scientifique, en dehors du principe d’approximations successives vers le but cherché. Le développement ultérieur de l’hydraulique repose essentiellement sur l’amélioration des outils mathématiques et sur les notions de la mécanique. On considère que le premier ouvrage scientifique consacré aux problèmes de l’hydraulique et le traité des corps flottants par Archimède (287-212 av. J-C). Léonard de Vinci , savant universellement connus (1452-1519) écrivit un ouvrage intitulé ‘’ Sur le mouvement et la mesure de l’eau ‘’. G.Galillée (1564-1642) examina les lois principales sur la chute des corps. Evangélista Torricelli (1508-1647) élève de G.Galillée, applique les lois du maître au mouvement des liquides. Blaise Pascal (1623-1662) apporta ainsi une très importante contribution à l’hydraulique en donnant la forme définitive de l’hydrostatique. Newton (1642-1727), formula en 1668 l’hypothèse sur le frottement interne dans le liquide. Cependant l’apparition de l’hydraulique en tant que science avec une base théorique solide n’est devenu possible qu’après les ouvrages de : Daniel Bernoulli (1700-1782), qui publia en 1738 son ouvrage ‘’Hydrodynamique’’ dans lequel il exposa une équation appelée l’équation de Bernoulli. Léonard Euler (1707-1783), qui fonda définitivement la science de l’hydrodynamique et les équations qui régissent l’écoulement d’un fluide non visqueux. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) qui développa largement les travaux d’Euler.

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Pierre-Simon Laplace (1749-1827) contemporain de Lagrange développa surtout la mécanique céleste. Ces travaux donnant une poussée au développement rapide de l’hydraulique. Il faut souligner les mérites des savants : Antoine Chézy (1718-1798) qui étudia le mouvement uniforme des liquides. Adhémar Barré de Saint Venant (1797-1886) qui étudia l’écoulement non permanent. Henri-Emile Bazin (1829-1917) qui étudia le mouvement uniforme et l’écoulement par les déversoirs. Osborne Reynolds (1842-1912) dont l’apport dans l’apport dans l’étude du mouvement laminaire et turbulent. Cette science maintenant étant ses frontières au delà de son domaine traditionnel. La recherche hydraulique se développe très largement dans les laboratoires industriels et universitaires. Aux outils traditionnels tels que les essais sur modèles réduits, sont venues s’ajouter les techniques de simulation numérique sur ordinateur.

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CHAPITRE I CARACTERISTIQUE PHYSIQUES ET PROPRIETE DES FLUIDES

I-1. Définition d’un fluide Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. On distingue les fluides aqueux comme l’eau, le pétrole, l’essence, le mercure, etc. et les fluides gazeux comme les gaz. Les fluides aqueux n’occupent pas tout l’espace d’une capacité comme le fond les gaz. Ils peuvent avoir une surface libre en contact avec un milieu gazeux (le plus souvent c’est l’atmosphère). Ils sont peu compressible et sont volume change peu à la température et de la pression, alors que le volume des fluides gazeux change d’une façon notable en fonction de la température et de la pression. Le fluide aqueux est mobile, il est caractérisé par une fluidité et adopte le forme du récipient ou il est versé. Dans ce cours, nous allons examiner seulement les fluides aqueux, en les appelant simplement liquides et en premier chef l’eau. I-2. La masse volumique ρ C’est le rapport de la masse du liquide (M) à son volume (W).

ρ=

M W

Le liquide est considéré comme homogène si sa masse volumique est égales en tous les points. Les différents liquides ont les différentes valeurs de la masse volumique. La masse volumique de l’eau ordinaire pure ne diffère pratiquement pas de celle de l’eau distillée et elle est prise pour les calculs hydrauliques égale à 1000 kg / m 3 . Au chauffage, la masse volumique de l’eau dont la valeur maximale est observée à 4°c diminue d’une façon insignifiante. Au chauffage de l’eau jusqu’à 30°c, ρ diminue de 0,47 %, c’est pourquoi dans les calculs pratiques la masse volumique de l’eau peut être considérée constante. I-3. Le poids spécifique γ On appelle poids spécifique d’un liquide homogène le rapport de la force due à la masse du liquide à son volume :

γ=

G W

le poids spécifique et la masse volumique sont liés de la façon suivante :

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γ = G W = M .g W ⇒ γ = ρ .g Dans ces expressions, g est l’accélération de la pesanteur. Le poids spécifique de l’eau change peu en fonction de la température, comme d’ailleurs la masse volumique, et dans les calculs on le prend constant. I-4. La compressibilité volumétrique du liquide β C Elle est égal à la variation relative du volume survenue à la variation de la pression d’une unité autrement dit :

βC = −

dW W 1 dW =− . dp dp W

ou W : est le volume initial du liquide à la pression atmosphérique. dW : est la diminution du volume du liquide à l’augmentation de la pression de dp. I-4. Le module d’élasticité K C’est la grandeur inverse du coefficient de compressibilité volumétrique. I-5. La viscosité Les liquides ont les propriétés de résister aux efforts tangentiels qui tendent à faire déplacer les couches du liquide les unes par rapport aux autres. Cette propriété s’appelle viscosité. La viscosité se manifeste par le fait qu’au déplacement des couches du liquide voisines naissent des forces de frottement interne entre les couches. Par suite du frottement, la couche la plus rapide entraîne la couche de liquide plus lente et vice versa. Newton proposa une hypothèse conformément à laquelle la force de frottement interne T dans un liquide ne dépend pas de la pression mais proportionnelle à la surface de contact des couches, à la vitesse relative du mouvement des couches et des fonction de la nature du liquide. La véracité de l’hypothèse de Newton fut démonté par N.Pétrov, qui avait proposé la formule suivante pour la contrainte tangentielle lors d’un écoulement laminaire :

τ =T

S = + µ.

du dy

ou τ : c’est la contrainte tangentielle. T : c’est la force de frottement interne. S : c’est la surface de contact de deux couches voisines. µ : c’est la viscosité dynamique du liquide. du : c’est la différence de vitesses de deux couches en contact. dy : c’est la distance entre ces deux couches suivant la normale par rapport au sens de l’écoulement. du : c’est le gradient de vitesse. dy

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I-6. La viscosité cinématique ν C’est le rapport de la viscosité dynamique à la masse volumique du liquide :

ν=

µ ρ

La viscosité cinématique de l’eau à la pression atmosphérique peut être calculée à l’aide de la formule empirique de Poiseuille (en stokes) :

ν=

0,0178 1 + 0,0337.t + 0,000221.t 2

ou t :c’est la température en °C.

I-7. La tension superficielle Les particules du liquides se trouvant à sa surface libre en contact avec un milieu gazeux sont soumises à l’action des forces d’attraction. C’est pourquoi toute la surface libre du liquide se trouve en état d’une tension superficielle uniforme qui dépend de la températures et en diminuant avec son accroissement. Exercice N° 01 Un fluide de viscosité dynamique égale à 4.88 x 10−3 kg.s / m2 et une densité de 0.913, se trouve entre deux plaques superposées dont la plaque inférieure est fixe et la plaque supérieure se trouve en mouvement avec une vitesse de 1.125 m/s (Fig.1-1). - Calculer le poids spécifique de ce liquide ? - Calculer le gradient de vitesse dans les A et B et la contrainte tangentielle ?

Y

V=1.125 m/s A V

75 mm

B

Fig.1-1

Solution

γ liq ⇒ γ liq = d.γ eau γ eau γ liq = 0.913 x 9810 = 8956.53 kg /m3

- La densité d =

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- Puisque la variation des vitesses est linéaire donc le gradient des vitesses dv/dy est toujours constant et est égale a : v/y = 1.125/0.075 = 15 s −1 . -La contrainte tangentielle τ = µ .dv/ dy =4.88 x 10−3 x15=0.0732 kg /m2 Exercice N° 02 Un cylindre de 12 cm de rayon tourne à l’intérieur d’un cylindre fixe de même axe et de 12.6 cm de rayon. La longueur des deux cylindre est de 30 cm (Fig.1-2). - Déterminer la viscosité du liquide qui remplit l’espace entre les deux cylindres s’il est nécessaire d’appliquer un couple de 9.0 cm.kg pour maintenir la vitesse angulaire à 60 tr/min.

Solution : -La vitesse tangentielle du cylindre intérieur égale à r.w = 0.12 x 2 x π =0.755 m/s. puisque la distance entre les deux cylindres est petite, on peut admettre que le gradient des vitesses est rectiligne, donc : dv/dy = 0.755/(0.126-0.12) =125.83 s −1 et d’une autre part en a le couple appliqué = le couple résistant 0.09 = τ.s.L 0.09 = τ.(2π.rmoy.0,30).0,123 τ = 3,15 kg / m2 et on aura la viscosité dynamique : µ = τ . dy/dv = 0.025 kg.s / m2

Exercice N° 3 Un réservoir cylindrique vertical d’une hauteur h = 10 m , et d’un diamètre d = 3 m. Déterminer la masse du mazoute de masse volumique ρ 0 = 920 kg / m3 qui peut être déverser dans ce réservoir a une température t = 15 °, si la température augmente jusqu'à 40°, le coefficient thermique du liquide β t = 0.00081/c0 et l’élargissement des paroi est négligeable.

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CHAPITRE II HYDROSTATIQUE

II-1. Introduction L’hydrostatique c’est l’étude de l’équilibre du liquide et son interaction avec les corps solides. On notera que dans ce cas il n’y a pas de manifestation de la viscosité. II-2. Pression en un point Examinons un corps liquide de volume limité au repos, (il n’existe pas de forces tangentielles) et divisons-le en deux parties par un plan. Rejetons une partie et remplaçons son action par la force F (Fig. II-1). S F

Fig. II-1

La pression moyenne pmoy exercée par la force F sur une unité de surface S est définie par l’expression suivante : pmoy = F (II–1) S La limite de ce rapport à la diminution de la surface S jusqu’à zéro exprime la pression au point donné : (II–2) p = lim F S S 0 II-3. Propriétés de la pression hydrostatique a) La pression est toujours dirigée suivant la normale intérieure vers la surface d’action. b) Dans un liquide au repos, la pression est indépendante de la direction. Pour démontrer cette propriété, on considère un petit élément du liquide en forme de tétraèdre élémentaire (Fig.II-2).

z Fy B Fn

dz

Fx

dx dy

C

A y

Fz

Fig. II-2

x

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Le tétraèdre est soumis à l’action des forces superficielles Fx , Fy , Fz et Fn . En plus des ces forces il y’a aussi l’action des forces de masse ( pesanteur et forces d’inertie). En désignant le rapport de la résultante des forces de masse à la masse du liquide (accélération des forces de masse) par N et tenant compte du volume du tétraèdre W : W = 1 dx.dy.dz 6 On peut définir la résultante comme N ρ W Faisant la projection de toutes les forces sur l’axe Ox on obtient l’équation de l’équilibre sous la forme suivante : (II-3) Fx − Fn cos(n, x) + N x ρ W = 0 Ici, ( n,x ) est l’angle entre la surface ABC et l’axe Ox. En désignant la surface OBA par Sx et en divisant l’équation (II-3) par Sx , on obtient : Fx Fn cos(n, x) W = - Nx ρ (II-4) Sx Sx Sx et comme S x = Sn cos(n, x) et S x = 1 .dy.dz , l’équation (II-4) prend la forme suivante : 2 Fx = Fn − 1 N x.ρ.dx (II-5) S x Sn 3 De la même façon, on obtient les équations correspondant aux axes Oy et Oz. En passant à la limite à dx 0, dy 0 , dz 0 et en tenant compte de l’équation (II–2), on trouve : px = p y = pz = pn (II-6) par conséquent, la pression hydrostatique en un point est égale dans toutes les directions. c) La pression hydrostatique dans un point donné dépend des coordonnées (position) du point dans le volume du liquide et de la masse volumique, c’est-à-dire : p = f (x, y, z,ρ ) (II-7) II-4. Equation fondamentale de l’hydrostatique Soient Ox,Oy,Oz, trois axes de coordonnées rectangulaires auxquels nous rapporterons les points de la masse liquide (fig.II-3).

z C B

p.dy.dz

E

∂p ⎞ ⎛ − ⎜ p + ⎟.dy.dz ∂x ⎠ ⎝

D

A

G

x

O y

F

Fig.II-3

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Considérons dans cette masse liquide, un parallélépipède rectangulaire infiniment petit. Les surfaces des faces du parallélépipède sont respectivement égales à : S x = dy.dz S y = dx.dz S z = dx.dy Le parallélépipède à volume W = dx.dy.dz se trouve en équilibre sous l’action des forces de masse et des forces de pression. Les projections de la résultante des forces de masse sur les axes Ox,Oy,Oz sont respectivement : N x ρ.dx.dy.dz N y ρ.dx.dy.dz N z ρ.dx.dy.dz Les forces de pressions sur les six faces sont parallèles aux axes, on peut donc en faire immédiatement les sommes suivant les trois directions Ox,Oy,Oz. La somme suivant Ox est égale à la somme des forces de pression s’exerçant sur les faces ABCD et EFGH. La somme algébrique de ces deux forces de pression suivant l’axe Ox est : ∂p p.dy.dz - ( p.dy.dz + .dy.dz ).dx ∂x ∂p = − .dx.dy.dz ∂x On trouverait de même : Suivant Oy : ∂p − .dx.dy.dz ∂y Suivant Oz : ∂p − .dx.dy.dz ∂z L’équation d’équilibre sur Ox, s’écrit donc : ∂p N x.ρ.dx.dy.dz - .dx.dy.dz = 0 ∂x ou : ∂p N x .ρ = ∂x En projetons également sur les deux autres axes, on obtiendra en définitive : 1 ∂p = N x ρ ∂x 1 ∂p = N y (II-8) ρ ∂y 1 ∂p = N z ρ ∂z ou, en notations vectorielles : r r N = 1 grad p (II-9)

ρ

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Le système (II-8) peut s’écrire également : 1 ∂p dx = N x.dx

ρ ∂x

1 ∂p dy = N y.dy (II-10) ρ ∂y 1 ∂p dz = N z .dz ρ ∂z Additionnons les trois équations du système (II-10) nous obtenons : 1 .dp = N x dx+ N y dy+ N z dz (II-11)

ρ

C’est l’équation différentielle de la statique des liquides. Dans le cas du repos d’un liquide homogène par rapport à la terre (Fig.II-4) , seule la force de gravité agit parmi les forces de masse, et on obtient : N x =0 , N y =0 et N z =−g Remplaçons dans l’équation (II-11) on obtient : 1 .dp = − g dz

ρ

p2

z

dz

z2 dy

dx

z1

p1

x

y

Fig.II-4

En désignant la pression sur la face inférieure de coordonnée z1 par p1 et sur la face supérieure de coordonnée z2 par p2 , on peut donc écrire que, p2

z2

p1

z1

1 dp = − g dz ∫ ∫

ρ ou z1 +

p1 p = z2 + 2 = const ρ .g ρ .g

C’est l’équation fondamentale de la statique des liquides.

(II-12)

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II-5. Surface d’égale pression On appelle une surface d’égale pression la surface dont tous les points sont soumis à la même pression. La surface du liquide en contact avec un milieu gazeux est appelée surface libre, tous ses points sont soumis à la même pression extérieure p 0 . La surface libre représente la surface d’égale pression (fig. II-5).

p0

h1

p0+ gh1

h p0+ gh1

Fig. II-5

Dans le cas de repos par rapport au récipient qui se déplace avec une accélération a, la pesanteurs et les forces d’inertie sont dirigées dans le sens opposé au déplacement (Fig.II-6). Chaque particule de masse m se trouvant en équilibre est soumise à l’action de la pesanteur gm et les forces d’inertie am. La résultante R n’est pas verticale et doit être perpendiculaire à la surface libre parce que cette dernière est une surface de pression égale. Par conséquent, la surface libre est un plan incliné par rapport à l’horizontale avec un angle ( α ) , autrement dit tg α = a g .

a am R

gm

Fig.II-6

En cas du repos relatif du liquide dans un récipient qui tourne avec une vitesse angulaire ω autour d’un axe vertical OZ, cherchons l’équation de l’équilibre relatif de la masse liquide par rapport au récipient (Fig. II-7). Soit M un point de la masse liquide dans le plan XOZ. Les forces extérieurs qui agissent sur le point M par unité de masse sont le poids –g et la force centrifuge ω 2.x .

En appliquant l’équation générale (II-11) on trouve : dp = ρ (ω 2 xdx− gdz)

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Dans le plan XOZ Les surfaces de niveau dp = 0 et les courbes sont représentées par l’équation différentielle :

ω 2 xdx− gdz = 0 dont l’intégrale générale s’écrit :

ω2

x2 - gz = cte 2

(II-13)

Z

r

x -g O

Fig.II-7

R X

La surface de pression égale, dans chaque point étant normale à la résultante R de ces forces est un paraboloïde de révolution. II-6. Différents type de pression II-6-1. La pression absolue ( p) Dans un point du liquide au repos la pression hydrostatique absolue est déterminée par la formule suivante : p = p0 + ρ.g.h (II-14) ou : p0 : c’est une pression extérieure est souvent égale à la pression atmosphérique patm qui est généralement prise dans les calculs technique égale à 98100 pa. h : la profondeur d’immersion du point considéré. II-6-2. La pression manométrique ( pm ) Elle est définie comme la différence entre la pression absolue et atmosphérique. pm = p − patm ou pm = p0 + ρ.g.h − patm (II-15) Si p0 = patm , la pression manométrique est déterminée à l’aide de l’expression suivante : pm = ρ.g.h (II-16) II-6-3. La pression du vide ( pv ) Si la pression hydrostatique absolue est inférieure à la pression atmosphérique, le manque de la pression absolue par rapport à celle atmosphérique est appelé pression du vide : pm = patm − p (II-17)

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II-7. Appareils de mesure de la pression Il existe différents sortes d’instruments mesurant la pression ou la différence de pression tel que : Le manomètre : c’est un qui tube transparent en forme de U qui contient généralement deux liquides différents et qui mesure la différence de pression absolue et atmosphérique (surpression par rapport à la pression atmosphérique) au moyen d’un liquide (Fig. II-8 ). P0

mercure A h

eau

Fig.II-8

Le vacuomètre : qui mesure la différence de pression atmosphérique et absolue (manque de pression jusqu’à celle atmosphérique). Le piézomètre : c’est un tube mince transparent de diamètre intérieur de 10 à 15mm branché sur un récipient qui contient un liquide (Fig. II-9 ).

po

h

Piézomètre

Fig II-9

Le manomètre incliné : ce type de manomètre est utilisé pour augmenter la précision dans la mesure des faibles pressions.

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II-8. Loi des vases communicants Examinons deux vases remplies de liquides différents de masse volumique ρ 1 et ρ 2 . La surface libre des deux vases est soumis à la pression ( p0 ) (Fig. II-10). P0

P0 h1

h2

O

O

Fig. II-10

L’équation d’équilibre par rapport au plan O-O s’écrit sous la forme suivante : p0 + ρ 1.g.h1 = p0 + ρ2.g.h 2 D’ou h1 ρ 2 (II-18) = h2 ρ1 par conséquent si les pressions sur la surface libre sont égales, les hauteurs de deux liquides différents au-dessus du plan de séparation sont inversement proportionnelles à leurs masses volumiques. II-9. Représentation graphique de la pression D’après l’équation fondamentale de l’hydrostatique, la pression le long d’une paroi verticale varie suivant une loi linéaire : p = p0 + ρ .g.h

la pression du liquide est toujours dirigée suivant la normale intérieure vers le palier d’action. L’ épure de la pression manométrique se présente sous la forme d’un triangle et l’épure de la pression absolue se présente sous la forme d’un trapèze puisque la pression absolue est supérieure à celle manométrique d’une valeur p0 (Fig. II-11). p0

h

p0

Fig II-11

II-10. Forces de pressions sur les parois

g h

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II-10-1. Paroi plane horizontale Considérons une paroi de largeur unitaire et de surface S immergée horizontalement à une profondeur h (Fig.II-12).

Fig.II.12 h

F

S

La force de la pression hydrostatique sur la paroi horizontale S est la suivante : F = p.S = ( p0 + ρ.g.h ).S Dans la pratique l’intérêt est porté à la force de pression manométrique du liquide, et dans la majorité des cas la pression extérieure est égale à la pression atmosphérique p0 = patm donc la formule de calcul de la force de pression est donnée par la forme simplifié suivante :

F = ρ.g.h.S

(II-19)

C’est-à-dire la force de pression sur une paroi horizontale correspond au poids de la colonne de liquide de hauteur h. Suivant la formule (II-19), quelle que soit la forme des réservoirs (Fig.II-13), s’ils sont remplies du même liquide, la même hauteur h et de même surface du fond sont soumis à la même force de pression, ceci s’appelle le paradoxe hydrostatique.

h

S

S

S

S

S

Fig.II-13

II-10-2. Paroi plane en position inclinée Considérons une paroi de surface S et de centre de gravité C , immergée dans un liquide et inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontale (Fig. II-14).

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hp hc

y

h dF

yc

yp x

C

F P

S dS

x0 C

x xc

P

Fig. II-14

xp y0

y

Découpons de la paroi S un élément suffisamment petit l’élément ds est déterminée à l’aide de la formule suivante :

ds , la force de pression sur

dF = p.ds =ρ.g.h.ds =ρ.g.y.sinα.ds l’intensité de la force de pression agissent sur la surface S est : F =∫dF = ρ.g∫h.ds = ρ.g∫ ysinα.ds S

S

S

Cet intégral représente le moment statique qui est défini comme suit :

∫h.ds = h .S = y .sinα.S C

C

S

ou h C et yC représente respectivement la hauteur d’eau et la coordonnée le long de l’axe y du centre de gravité de la surface immergée. D’ou l’équation s’écrit : (II-20) F = ρ.g.hC.S Donc, la force de pression sur une surface plane à orientation arbitraire est égale au produit de la surface de la paroi par la pression que subit sont centre de gravité, et est dirigée suivant la normale intérieure par rapport au palier d’action. Centre de pression Le point d’application de la force F, est appelé centre de pression P=(x p, y p) . Pour déterminer la coordonnée y p du centre de pression on prend le moment de la force par rapport à l’axe x et on écrit ainsi :

∫ ydF = ρg∫ y.y.sinα.dS = ρg.sinα ∫ y .dS 2

S

S

et d’une autre part en a :

S

Cours d’hydraulique générale

∫ ydF =

y p ∫ dF = y p ρg ∫ ysinαdS S

S

S

∫ ydF = y ρg sinα ∫ ydS p

S

S

donc : y p ρg sinα ∫ ydS = ρg.sinα ∫ y 2.dS S

S

on obtient :

∫ y .dS = ∫ ydS 2

yp

S

S

l’intégrale du numérateur est le moment d’inertie par rapport à x, tandis que l’intégrale du dénominateur est le moment statique, d’ou : y p = Ix yc.S Dans les calculs, il est plus commode de remplacer le moment d’inertie Ix par le moment d’inertie Ixo par rapport à l’axe parallèle à celui-ci qui passe par le centre de gravité de la paroi en utilisant , à cet effet, l’équation suivante : Ix= Ix0 + yc2.S on obtient définitivement : y p = yc +

Ix0 yc.S

(II-21)

II-10-3. Paroi plane verticale Considérons une paroi (A-B) de largeur unitaire et de surface S et de centre de gravité C, immergée verticalement (Fig.II-15).

h1 A

h2

S C F

P B

Fig. II-15

Cours d’hydraulique générale

La variation de la pression entre les points A et B est linéaire. Les pressions manométriques aux points A et B sont respectivement : p A = ρ.g.h1 , p B = ρ.g.h 2 La force de pression sur la paroi AB est appliquée dans son centre de gravité est : F = p.S = ρ.g.h c.S

(II-22)

ou h c c’est la profondeur jusqu’au centre de gravité. h c = h1 + ( h 2 - h1 ) / 2 = ( h1 + h 2 ) /2 Donc l’équation devient : F = 1 .ρ.g.(h1 + h 2 ).S 2

(II-23)

La position du point d’application est donnée par l’équation (II-21). II-10- 4. Paroi courbé Les paroi des ouvrages hydrotechnique qui subissent une pression hydrostatique peuvent être non seulement planes, mais également courbes, par exemples , les vannes secteurs, les parois des réservoirs d’eau en charge, etc. La force hydrostatique qui s’appliquent sur une surface courbé peut être obtenue par le calcul des composantes horizontales et verticale (Fig.II-16).

Fy

hc Fx

F

Fig.II-16

L’intensité de la force F est obtenue ainsi : F = F x2 + F y2

(II-24)

La composante horizontale de la force F x est définie comme suit : F x = ρ.g.hc .S x

(II-25)

Ici Sx est la surface de la projection d’une surface courbe sur un plan perpendiculaire à l’axe horizontal. hc c’est la profondeur d’immersion du centre de gravité de cette projection. La composante verticale est égale à :

Cours d’hydraulique générale

F y = ρ.g.Wp ou Wp est le volume de corps de pression.

(II-26)

Corps de pression Le corps limité par une surface courbé, sa projection sur la surface libre et les plans de projection verticaux est appelé corps de pression. La figure (II-17) présente quelques exemples sur la détermination de la surface transversale du corps de pression.

Fy

Fy

Fy

Fig.II-17

La position de la composante Fx est définie comme pour les surfaces planes. La composante verticale Fy passe par le centre de gravité du corps de pression. La force de pression résultante s’appliquent normalement à la surface. II-11. Flottement des corps dans un liquide II- 11-1. Principe d’Archimède Soit une surface fermée formant un corps solide de masse volumique ρ s et de volume W immergé dans un liquide de masse volumique ρ (Fig. II-18). p2 dS

z dS

W

dz z2 y

z1

p1 dS x

Fig.II-18

Les forces verticales qui agissent sur l’élément du volume sont dues aux pressions hydrostatiques. La résultante de ces forces est : dFz = −(p2 − p1 )dS = ρg(z2 − z1 )dS = ρgdzdS avec dz.dS = dW, dW c’est un volume élémentaire. après intégration sur le volume W, du corps immergé on obtient : Fz = ρ.g ∫ dW = ρ.g.W W

Cours d’hydraulique générale

Par conséquent, un corps immergé dans un liquide est soumis à l’action de la poussée verticale opposée en direction et égale au poids du liquide déplacé par le corps :

F = ρ.g.W

(II-27)

La force F s’appelle la poussé vertical. Remarque Si le poids du corps G est supérieure à la poussé vertical F, le corps se noie (Fig.II-19.a). Si G = F le corps flotte en état immergé (Fig.II-19.b) (Dans ce cas le flottement est en plongé et il est en surface à l’immersion partielle). Si G < F le corps émerge (Fig.II-19.c). F

F

c)

G

F b) a)

G

G

Fig.II-19

Donc la condition essentielle du flottement est exprimée par : G = F = ρ.g.W (II-28) II-12. Caractéristique d’un corps flottant Soit un corps symétrique qui se trouve dans les conditions d’un flottement en surface (Fig.II20).

Axe de flottement

Plan de flottement C D y

Fig.II-20

Le plan de la surface libre traversant le corps s’appel plan de flottement.

Cours d’hydraulique générale

La profondeur d’enfoncement du point inférieur de la surface mouillée d’un corps y) est appelée tirant d’eau. Le volume du liquide déplacé par le corps est appelé volume de carène. II-13. Stabilité des corps flottants La stabilité est une aptitude d’un corps flottant déséquilibré de revenir en position initiale après que les forces provoquant l’inclinaison cessent d’agir. Examinons la stabilité statique d’un corps solide partiellement ou complètement immergé. La poussée verticale F, est égale au poids du corps G ; de plus, le centre de gravité C et le centre de poussé D, sont sur la même verticale. Selon les positions relatives de ces deux centres, trois positions d’équilibre sont possible : 1. Le centre de gravité C du corps se trouve au-dessous du centre de carène D , le couple de forces F et G tend à diminuer l’inclinaison, par conséquent la position du corps est stable (fig.II-21. a). 2. Le centre de gravité C du corps se trouve au-dessus du centre de carène D , le couple de forces F et G tend à augmenter l’inclinaison par conséquent la position du corps n’est pas stable (fig.II-21. b). 3. Si les centres C et D coïncident le corps incliné se trouve en équilibre et ne revient pas en position initiale, c’est à dire, il est également instable.

F

G

D

C

C

D

G

F

F

G

D C

C D

G

F

Equilibre stable

Equilibre instable

a)

b)

Fig.II-21

Cours d’hydraulique générale

Examinons maintenant un cas d’un flottement de surface pour cela on considère un corps solide (bateau) flottant dans un liquide (Fig. II-22).Le centre de gravité C est au-dessus du centre de carène D , le corps est donc en équilibre.

C

Position D’équilibre

D

M

C

C D

Position stable

M D

Position instable

Fig. II-22

On incline légèrement ce corps d’un angle α , le point C reste dans la même position , par contre le point D s’est déplacé au point D’ . la ligne d’action de la force d’Archimède, F passant par D’ coupe la ligne centrale de section du corps solide au point M appelé métacentre. On distingue deux cas : 1. Si l’inclinaison (α ) est faible, le point M se situe au-dessus du point C. Cette position est stable et le corps solide revient à sa position d’équilibre initiale. 2. l’inclinaison (α ) est importante le point M se situe au-dessous du Si point C. Cette position est instable et le corps solide se renverse.

Exercice N° 01 Calculer la pression manométrique dans Le point A dans un manomètre qui contient de l’eau et de mercure ( Fig. -01- ). Patm = 98.1 Kpa ρ mercure = 13.6 t / m 3

Cours d’hydraulique générale

Pat Eau 0.8 m

A 0.6 m

C

D Mercure

Fig. -01-

Solution La pression manométrique en C est : PC = ρm.g.0,8 et d’une autre part PC = PD= PA+ ρ.g.0,6 = ρm.g.0,8 donc en peut écrire que : PA+ ρ.g.0,6 = ρm.g.0,8 PA= ρm.g.0,8− ρ.g.0,6 PA=13,6.103.9,81.0,8−1000.9,81.0,6

PA=100846,8 N / m²

Exercice N° 02: On considère un récipient qui contient de l’huile sous pression égale a PA = 135 Kpa. Calculer la hauteur du niveau d’huile dans le piézomètre ( Fig. -02- ). Patm = 98.1 Kpa ρ huile = 830 kg / m 3 Patm

PA=135 kpa

A 2m

C huile

Solution

PC=PA+ ρ.g.2 PC =135.103 +830.9,81.2

Fig. -02-

D

Cours d’hydraulique générale

PC =151284,6 N / m² et PD = Patm+ ρh.g.h= PC donc on aura : h= PD− Patm ρh.g 151284,6−98100 h= 830.9,81 h=6,53 m Exercice N° 03: Calculer la force de pression sur la vanne (A-B), de largeur b = 5 m ( Fig. -03- ). P atm =0.

A

R

=2 R

=2

5m

B 2m

Eau

Fig. -03-

Solution La force de pression exercée sur la vanne A-B c’est la résultante des forces de pressions selon l’axe x et y , elle est égale à : P= Px2 + Py2 La force de pression selon l’axe x est : Px= ρ.g.hC.S hC =1+ 2 =2m 2 S =2.5=10m2 donc Px=1000.9,81.2.10 Px =196200 N La force de pression selon l’axe y est :

Cours d’hydraulique générale

Py=ρ.g.W ou W c’est le volume du corps de pression ⎡π.D 2 ⎤ + R.1⎥.b W =⎢ ⎣ 4.4 ⎦ ⎡π.42 ⎤ +2.1⎥.5 W =⎢ ⎣ 4.4 ⎦ 3 W =25.708 m

Py=1000.9,81.25,708 Py=252195,48 N et enfin la résultante : P=319526,212 N

Exercice N° 04 : Calculer les forces de pressions et les Points d’applications dues à l’action de l’eau sur la vanne rectangulaire (A-B) et la vanne triangulaire (C-D), Si la largeur b=3 m, Patm =0 (Fig.04-).

45 °

A

3 m

C D

B

Vanne A-B

Vanne C D

6m

7 m

3m

3m

Fig. -04 -

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE III CINEMATIQUE DES LIQUIDES III-1. Introduction La cinématique des liquides c’est l’étude du mouvement des liquides sans tenir compte des forces qui lui donnent naissance. On considère donc seulement les relations entre les positions des particules liquides dans le temps. III-2.Mouvement d’un liquide Pour étudier le mouvement d’un liquide, deux méthodes sont employées : III-2-1. Méthode de Lagrange Cette méthode consiste à suivre une particule liquide dans son mouvement. Pour cela , on considère a un instant initial, t0 , une particule liquide M de coordonnées, M t 0 (x0, y0, z0 ) et on la suit dans son mouvement (Fig.III-1). x trajectoire

Mt(x, y,z) Mt0(x0, y0,z0)

z

y

Fig.III-1

La position de cette particule dans le temps t, M t (x , y , z ) est définit à partir des variables indépendantes, x0, y0, z0 et t par les fonction suivantes : x = f1 (x0, y0, z0,t) y = f 2 (x0, y0, z0,t) z = f3 (x0, y0, z0,t)

(III-1)

se sont les variable de Lagrange. La voie parcourue par cette particule, est appelée trajectoire. Les vitesses et les accélérations correspondantes sont déterminées par les relations suivante :

∂y , w = ∂z u = ∂x , v = dt dt dt

(III-2)

Cours d’hydraulique générale

ax =

∂ 2x ∂ 2y ∂ 2z = = a a , , z y dt 2 dt 2 dt 2

(III-3)

III-2-2. Méthode d’Euler Cette méthode consiste à fixer un point dans l’espace et d’étudier, en fonction du temps, ce qui ce passe en ce point. Pour ce faire, on considère un point M ( x , y , z ) situé à l’intérieur d’une masse liquide en mouvement (Fig.II-2).

x V(u,v,w)

Ligne de courant

M(x, y,z)

z

y

Fig.III-2

r La vitesse V(u,v,w) d’une particule liquide à chaque instant t peut être obtenue à partir des variables indépendantes, x,y,z par les fonctions suivantes : u = f 1 (x, y, z,t) v = f 2 (x, y, z,t) w = f 3 (x, y, z,t)

se sont les variable d’Euler. La variation totale de la vitesse selon l’axe x est donnée par :

du = ∂u dt + ∂u dx + ∂u dy + ∂u dz (III-5) ∂t ∂x ∂y ∂z et l’accélération selon l’axe x est alors obtenue de la façon suivante :

du = ∂u + u ∂u dx + v ∂u dy + w ∂u dz dt ∂t ∂x ∂y ∂z

(III-6)

Cours d’hydraulique générale

donc l’accélération totale est égale à la somme de l’accélération locale et l’accélération convective. D’une façon générale, la méthode d’Euler est plus simple que la méthode de Lagrange, pour cela nous considérons seulement les variables d’Euler. III-2-3. Lignes de courant Se sont des lignes tangente en chacun de ses points, au vecteur vitesse (Fig.III-2) et qui change d’un instant à l’autre sauf dans le cas d’un écoulement permanent, elles coïncident avec les trajectoires. Les lignes de courant satisfont les équations différentielles suivantes :

dx = dy = dz u v w

(III-7)

si on a lieu a des lignes de courant limitées par un contour fermé c’est un tube de courant. III-3. Equation de continuité L’équation de continuité c’est une équation fondamentale de la mécanique des fluides, elle exprime le principe de conservation de la masse. Pour établir cette équation, considérons un parallélépipède élémentaire de liquide de volume dx,dy,dz (Fig.III-3). z dz B

C

F E dy

A

dx

∂ρ u dx) dydzdt ∂x

G

D

ρ udydzdt

(ρ u +

H

O x y

Fig. III-3

Pendant le temps dt, la masse liquide qui entre par la face ABCD est égale à :

ρ udydzdt et la masse qui sort par la face EFGH est égale à : ∂ρ u (ρ u + dx) dydzdt ∂x d’autre par, la différence des masses entrant et sortant et donnée par :

Cours d’hydraulique générale

−

∂ρ u dx dydzdt ∂x

Cette expression représente l’accroissement de masse des parallélépipède à travers les deux faces envisagées. De la même manière on obtient l’accroissement sur les autre faces, de sorte que l’accroissement total de la masse liquide dans le parallélépipède pendant le temps dt est : −(

∂ρ u ∂ρ v ∂ρ w + + ) dxdydzdt ∂x ∂y ∂z

Puisque la masse du parallélépipède est constante pendant le temps dt, cet accroissement de masse est égale à l’accroissement de masse volumique multiplié par le volume, soit :

∂ρ dtdxdydz ∂t d’ou l’égalité : ∂ρ u ∂ρ v ∂ρ w ∂ρ =-( + + ) ∂t ∂x ∂y ∂z que l’on écrit généralement sous la forme : ∂ρ ∂ρ u ∂ρ v ∂ρ w + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z

(III-8)

C’est l’équation de continuité pour un liquide parfait. Pour un liquide incompressible ( ρ =cte). L’équation de continuité devient :

∂u + ∂v + ∂ w =0 ∂x ∂y ∂z r div V = 0

(III-9) ou

multiplions l’équation de continuité par un volume élémentaire dW et intégrons par rapport au volume on obtient : r div V ∫ dW = ∫ V p dS = 0

W

(III-10)

S

ou Vp est la composante de la vitesse qui est perpendiculaire à la surface du volume. L’équation (III-10) signifie que les débits entrant et sortant à travers une surface quelconque fermée doivent être égaux. Par définition, le débit total, Q, traversant une surface est donné par :

Cours d’hydraulique générale

∫V

p

dS = U .S = Q

(III-11)

S

ou U est la vitesse moyenne sur cette surface, S III-4. Fonction de courant D’prés l’équation (III-7), l’équation des lignes de courant pour un écoulement plan, permanent et incompressible est : − wdx + udz = 0

(III-12)

Supposons qu’il existe une fonction ψ (x, z) , telle que :

∂ψ ∂ψ et w =− (III-13) ∂z ∂x La fonction ψ , ainsi définie est appelée fonction de courant. u=

Remplaçons les équations (III-13) dans l’équation des lignes de courant on obtient :

∂ψ ∂ψ dx + dz = dψ = 0 ∂z ∂x

(III-14)

Puisque la différentielle totale dψ est nulle donc ψ = cte le long d’une ligne de courant. III-5. Interprétation physique de ψ On considère suivant l’axe Ox deux lignes de courant, ψ et ψ + ∆ψ , voisines et séparées l’une de l’autre par une distance dn (Fig.III-4). z

ψ + ∆ψ u

dn

ψ

Z2 Z1

O

x

Fig.III-4

Le débit unitaire, q, entre ces deux lignes de courant est obtenu par z2

q = ∫udz = ∫ z1

et puisque

∂ψ dz ∂z

Cours d’hydraulique générale

∂ψ dz = dψ ∂z d’ou ψ2

q = ∫ dψ = ψ 2 −ψ 1 =∆ψ

(III-15)

ψ1

Donc on peut conclure que le débit unitaire entre deux ligne de courant, ψ 1 et ψ 2 est constant et égal à ∆ψ . III-6. Ecoulement irrotationnel III-6-1. Rotation Soit un écoulement d’un élément liquide de section dx dz dans le plan xz qui subit une rotation pendant un temps dt (Fig.III-5). z

u + ( ∂u / ∂z )dz dy w

w + ( ∂w/∂xy)dx

u

dx

x

z

∂ u dzdt ∂z x y

− ∂ w dxdt ∂x

Fig.III-5

Le taux de rotation de cet élément fluide, dx dz, autour d’un axe y, en considérant le sens positif le sens des aiguilles d’une montre est : Suivant dx :

− ( w + ( ∂w/∂x )dx−w ) = − ∂w dx ∂x Suivant dz :

( u + ( ∂u /∂z )dz−u ) ∂u = dz ∂z

Cours d’hydraulique générale

Le taux net de rotation représente la moyenne de rotation des faces dx et dz ; on le définit alors ainsi :

(

ω y = 1 ∂u − ∂w 2 ∂z ∂x

)

faisons de même pour les deux autres sections dx dy et dy dz on obtient :

ω x = 1 ⎛⎜ ∂w − ∂v ⎞⎟ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠

ω z = 1 ⎛⎜ ∂v − ∂u ⎞⎟ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠

ou

r r Ω (ω x,ω y,ω z ) = 1 rot V 2

(III-16)

r Ω (ω x,ω y,ω z ) s’appel le vecteur tourbillon ou vorticité du champs de vitesse qui est égale à la moitié du vecteur rotationnel. Ceci correspond à un mouvement de rotation en bloc, à r vitesse angulaire Ω de l’élément liquide. III-6-2. Irrotationalité Si le vecteur tourbillon est nul en tout point donc r r Ω = 1 rot V = 0. 2 Ses écoulements sont appelés écoulements irrotationnels. Pour un écoulement plan en xz :

(

)

ω y = 1 ∂u − ∂w = 0 2 ∂z ∂x

Ce qui donne

∂u = ∂w ∂z ∂x

(III-17)

III-7. Potentiel des vitesses r Dans un écoulement irrotationnel, la vitesse V Peut être exprimée par la fonction φ appelée potentiel des vitesses telle que :

r r V = grad φ

(III-18)

dont les trois composantes sont :

u=

∂φ ∂x

Cours d’hydraulique générale

∂φ (III-19) ∂y ∂φ w= ∂z Un tel écoulement est dit écoulement à potentiel des vitesses ou plus brièvement, écoulement potentiel. v=

Les lignes équipotentielles sont telles que la fonction φ , conserve la même valeur en tout point de chacune d’elles et qui sont données par :

φ = (x, y, z) = cte. Remplaçons la fonction φ dans l’équation de continuité pour un liquide parfait, incompressible et conservatif on obtient :

∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + = ∇2φ = 0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ou

(III-20)

r div( gradφ ) = 0

Par conséquent, un tel écoulement irrotationnel satisfait l’équation de Laplace ∇2φ = 0 ; la fonction φ est donc harmonique.

III-8. Ecoulement potentiels, plans III-8-1. Réseau des lignes φ et ψ Dans un écoulement plan en xz, incompressible et irrotationnel, les composantes de la vitesse peuvent être exprimées en fonction de φ et ψ De la manière suivante :

∂φ ∂φ , w= ∂x ∂z ∂ψ ∂ψ u= , w =− ∂z ∂x u=

D’après ses égalités on constate les relations suivantes entre les fonctions φ et ψ . ∂ψ ∂φ = ∂x ∂z (II-21) ∂φ ∂ψ =− ∂z ∂x Ces conditions représentent les conditions de Cauchey-Riemann. Tenant compte de la condition d’irrotationalité dans le plan x z donnée par : − ∂w + ∂u = 0 ∂x ∂z

Cours d’hydraulique générale

on obtient :

∂ 2ψ ∂ 2ψ + = ∆2 ψ = 0 ∂x2 ∂z 2

(II-22)

Donc la fonction de courant ψ , satisfait l’équation de Laplace. Elle est par conséquent aussi harmonique. Par conséquent les lignes de courants et les lignes équipotentielles forment donc un réseau orthogonal (Fig.III-6). z

ψ +∆ψ φ +∆φ

ψφ o

x

Fig.III-6

Exercice N°01 r Un écoulement est définie en variable d’Euler par les relations suivantes : v(t ) ⎧⎨ Ux =a ⎫⎬ ⎩Uy =b+ kt ⎭ a,b,k étant des constantes. - Quelle est la nature du mouvement ? - Déterminer les lignes de courant ? - Déterminer les trajectoires ?

Solution - Puisque la vitesse est une fonction du temps donc l’écoulement est non permanent. - L’équation des lignes de courant à l’instant t0 est : dx = dy Ux Uy dx = dy a b+kt 1 dx = 1 dy ∫ b+kt0 a∫ 1 x = 1 .y + c 1 a b+ kt0 y = x −c1 ..(b+ kt0 )= Ax + B −C c’est une équation d’une droite. a

( )

Cours d’hydraulique générale

-L’équation de la trajectoire est : dx = dy =dt Ux Uy dx =dt ⇒ x=at +c ⇒t = x −c2 2 a a 2 2 kt dy ⎛ x−c2 ⎞ k ⎛ x−c2 ⎞ =dt ⇒ y =bt + +c2 ⇒ y =b⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ +c3 c’est une équation d’une parabole. b+ kt 2 ⎝ a ⎠ 2⎝ a ⎠

Exercice N°02 La fonction potentielle des vitesses d’un écoulement est donnée par : φ =axy - Déterminer l’équation de continuité ? - Calculer la fonction du courant ψ ? Solution

∂U -L’équation de continuité est ∂U x + y ∂x ∂y ∂φ ∂φ U x = =ay , U y = =ax ∂x ∂y ∂U x =0 , ∂U y =0 ∂x ∂y ∂U donc ∂U x + y =0 ∂x ∂y ∂ψ ∂ψ - dψ = dx+ dy ∂x ∂y ∂ψ ∂φ =− =−U y =−ax ∂x ∂y ∂ψ ∂φ =− =−U x =ay ∂y ∂x ∂ψ =−axdx+aydy on obtient finalement : ψ = a (y 2 − x 2 ) 2 Exercice N°03 L’écoulement d’un fluide est définie on coordonnées de Lagrange par : ⎧ x = x0.ekt ⎨ y = y .e−kt 0 ⎩ ou k c’est une constante. -Déterminer la trajectoire de la particule du fluide ? -Déterminer les composantes de vitesses ?

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE IV HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES IV-1. Introduction L’hydrodynamique des liquides est l’étude du mouvement des liquides en tenant compte des forces qui lui donnent naissance. En hydrodynamique, les forces de viscosité n’interviennent que pour les liquides réels. Cette remarque nous conduit donc à étudier successivement : ƒ L’ hydrodynamique des liquides parfait. ƒ L’ hydrodynamique des liquides réels. IV-2. Hydrodynamique des liquides parfait IV-2-1. Equation générale du mouvement En hydrostatique, nous avons établi les équations d’équilibre d’un parallélépipède élémentaire pris dans une masse liquide au repos. r En considérant la force extérieure N de composantes N x , N y, N z , agissant sur l’unité de masse du liquide, l’équation d’équilibre hydrostatique s’écrit :

r 1 grad pr = N

ρ

En hydrodynamique il suffit donc d’ajouter, au second membre, la force d’inertie par unité de r masse, c’est-à-dire au signe prés, l’accélération absolue, soit −a , ce qui conduit à l’équation fondamentale suivante :

r 1 grad pr = N −ar

ρ

(IV-1)

Cette équation vectorielle projetée sur les axes (x,y,z) fournit les trois équations suivantes : 1 .∂p = N x − u ∂u − v ∂u − w ∂u − ∂u ∂z ∂t ∂y ∂x 1 .∂p = N y − u ∂v − v ∂v − w ∂v − ∂v ρ ∂y ∂z ∂t ∂y ∂x 1 .∂p = N z − u ∂w − v ∂w − w ∂w − ∂w ρ ∂z ∂z ∂t ∂y ∂x

ρ ∂x

ou sous la forme suivante :

d 2x 1 ∂p . = Nx − ρ ∂x dt 2 d2y 1 ∂p . = Ny − ρ ∂y dt 2

Cours d’hydraulique générale

d 2z 1 ∂p . = Nz − ρ ∂z dt 2 Se sont les équations générales du mouvement appelées équations d’Euler. Multiplions la première équation du système précédent par dx , la seconde par dy, la troisième par dz et additionnons, on obtient en définitive : 1 (dp − ∂p dt)= N x dx+ N y dy + N z dz −Vdv ∂t ρ Si le mouvement est permanent ,

∂p = 0 et on aura : ∂t

1 dp = N x dx+ N y dy+ N z dz −Vdv

ρ

(IV-2)

Généralement un liquide en mouvement est supposé soumis à la seule action de pesanteur Nx,N y = 0 N z = -g Remplaçons dans l’équation (IV-2) on trouve :

1 dp = − gdz−Vdv

ρ

(IV-3)

après l’intégration l’équation (IV-3), s’écrit ainsi : p V2 + = Cte ρ g 2g La constante est donc homogène à une hauteur H . On a donc, tout le long de la trajectoire d’une molécule liquide : z+

z+

V2 p + = H = Cte ρ g 2g

(IV-4)

C’est l’équation de Daniel Bernoulli dans le cas d’un liquide parfait. Il découle de l’équation de Bernoulli que l’énergie mécanique totale est constante en toute la longueur de l’écoulement. L’équation de Bernoulli peut être écrite entre les deux section (1-1) et (2-2) (Fig.IV-1) de la façon suivante : z1 +

ou z : hauteur de position

p1 V12 p V2 + = z2 + 2 + 2 = H ρ g 2g ρ g 2g

Cours d’hydraulique générale

p

ρg z +

: hauteur piezométrique p

ρg

: charge hydrostatique

V2 : hauteur du à la vitesse ou pression cinétique. 2g H : l’énergie mécanique totale. Tous les termes de l’équation de Bernoulli peuvent être représentés graphiquement (Fig.IV-1). Pour un liquide non visqueux la ligne qui horizontale qui tracée avec l’ordonné H s’appelle la ligne de charge . p La liaison entre les extrémités des tronçons des tronçons z + donne la ligne ρg piezométrique. Plan de charge V 12 /2g

Ligne piezométrique

V 22 /2g

p1/ ρg H

p2/ ρg z1

z2

1

2

Fig.IV-1

On appelle pente piezométrique le rapport : Ip =

( z1 + p1 ρ g)−( z2 + p2 ρ g) l

ou l est la distance entre deux sections. Tube de Pito Si l’on immerge dans un courant liquide un tube (Fig.IV-2-a), l’eau monte dans le tube audessus de la surface libre d’une hauteur : h=

V2 2g

Ce tube s’appelle tube de Pito. Pour déterminer les vitesses locales dans le courant on utilise un piézomètre ordinaire indiquant la hauteur piézométrique et un tube de Pitot (Fig.IV-2-b). La différence de niveau h dans les deux tubes est la hauteur due à la vitesse

V2 . 2g

Cours d’hydraulique générale

Les vitesse locales sont déterminées à l’aide du tube de Pitot suivant la formule suivante : V =k 2gh

ou k est un coefficient de correction déterminé pour chaque tube par expérience. h=V 2 /2g

h= V 2 /2g

u

u a)

b)

Fig.IV-2

Tube de venturi Le tube de venturi a pour but de mesurer le débit à partir de la détermination de la différence de pression. Ce dispositif consiste à faire passer un écoulement par une contraction pour qu’il y’aura une diminution de pression (Fig.IV-3).

S1

S2 1

2

Fig.IV-3

L’équation de Bernoulli entre les section (1-1) et (2-2) pour un liquide parfait est : z1 +

p1 V12 p V2 + = z2 + 2 + 2 ρ g 2g ρ g 2g

d’une autre part l’équation de continuité s’ écrit : V1 S1 =V2 S2 d’ou

Cours d’hydraulique générale

2 (p − p ) 1 2

1 1−(S2 / S1 )2

V2 =

ρ

Le débit total, Q traversant cette conduite est :

Q=V2 S2 =

1 1−(S2 / S1 )2

2 (p − p ) 1 2

ρ

(IV-5)

IV-3. Hydrodynamique des liquides réels Dans cette partie le liquide est considéré comme réel, donc il y’a un effet des forces de frottement. Cela va nous amener à définir la viscosité du liquide qui est associée à la résistance au mouvement de glissement d’une couche de particules liquide par rapport à une autre. IV-3-1. Expérience de Couette Cette expérience met en évidence la viscosité et permet également de la mesurer, elle est décrite ci-dessous. On considère deux cylindres coaxiaux, de rayon peu différents, dont l’espace intermédiaire et rempli d’un liquide (Fig.IV-4). Cp

e

h

r

ω Fig.IV-4

En entraînant le cylindre extérieur avec une vitesse angulaire constante ω , on constate que le cylindre intérieur a tendance à tourner dans le même sens. Pour le maintenir fixe, il faut lui appliquer un couple Cp dans le sens opposé. La distance e entre les deux cylindres étant petite devant le rayon r, on peut schématiser l’expérience en considérant un plan fixe et un plan mobile se déplaçant parallèlement au plan fixe de surface S = 2π r h et de vitesse V =ω r (Fig.IV-5). Plan mobile

V= ωr u

e Plan fixe

Fig.IV-5

Cours d’hydraulique générale

L’ expérience montre l’existence de tension tangentielles au contact des couches successives de fluide et par conséquent, la force de frottement reste proportionnelle à SV/e Soit : F =µ S V e

µ : est un coefficient qui exprime la viscosité dynamique du fluide, il dépend de la température et du type de fluide. On peut définir la force de frottement, par unité de surface de la manière suivante :

τ =µ V

e

ou V c’est le gradient de vitesse du entre les deux plans et on aura dy e

τ =µ du

dy l’ expérience de Couette permet de calculer la viscosité dynamique du fluide µ , ce qui justifie l’appellation de Viscosimètre de Couette. L’unité de µ est N.s / m2 . On définit également le coefficient de viscosité cinématique : ν =

µ ρ

L’unité de ν est m2 / s . IV-3-2. Equations dynamiques des liquides réels Dans le cas d’un liquide réel, il existe des forces internes ou tension visqueuses qui vont intervenir dans les équation générales du mouvement. Nous nous proposons donc, en premier lieu, de préciser l’expression analytique de ces tensions et comment il est possible de les faire intervenir dans les équations générales du mouvement. IV-3-3.Détermination des tension visqueuses Considérons en un point M(x,y,z) du liquide un parallélépipède infiniment petit dont les arêtes dx, dy, dz sont parallèle aux axes. r Soient u,v,w les composantes de la vitesse V , des liquides au point M.(Fig.IV-6). Désignons respectivement par σ i et par τ i les composantes normales et tangentielle agissant sur le parallélépipède (Fig.IV-6). τ2 Z

τ

σ A

3

1

σ

F

D

3

C

2 O

G

H

σ X

τ

B

E

τ

1

τ

Y

3

2

Fig.IV-6

τ

1

Cours d’hydraulique générale

Si les vitesses de déformation angulaire sont : Sur l’axe ox est : 1 ⎛⎜ ∂w + ∂v ⎞⎟ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ Sur l’axe oy est : 1 ∂u + ∂w 2 ∂z ∂x Sur l’axe oz est : 1 ⎛⎜ ∂v + ∂u ⎞⎟ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠

(

)

Et d’après les hypothèses de Stokes et Newton analogues à celle de Hooke dans la théorie d’élasticité on a : ƒ

Les contraintes tangentielles τ i sont proportionnelles aux vitesses de déformation angulaire, soit : τ1 = − µ ⎛⎜ ∂w + ∂v ⎞⎟ ⎝ ∂y ∂z ⎠ τ 2 = − µ ∂u + ∂w ∂z ∂x τ 3 = − µ ⎛⎜ ∂v + ∂u ⎞⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠ Les contraintes normales σ i sont des fonctions linéaires des vitesses de déformation linéaire, soit :

(

ƒ

)

σ 1 = −2µ ∂u −λθ

∂x σ 2 = −2µ ∂v −λθ ∂y σ 3 = −2µ ∂w −λθ ∂z

ici, λ et θ sont des grandeurs caractéristique du fluide θ c’est la dilatation cubique. r θ = div V r Si le liquide est incompressible l’équation de continuité impose que θ = div V = 0 Les équations (IV-) devient : σ 1 = −2µ ∂u ∂x σ 2 = −2µ ∂v ∂y

Cours d’hydraulique générale

σ 3 = −2µ ∂w

∂z Pour trouver les équations dynamiques des liquides réels, on doit ajouter les forces de viscosité par unité de masse. Pour cela, considérons les projections sur l’axe ox.

a) la composante σ1 Sur la face ABCD : σ1 dydz

⎛ ⎞ ∂σ Sur la face EFGH : −⎜σ1 + 1 dx ⎟ dydz ∂x ⎠ ⎝ ∂σ La résultante : − 1 dxdydz ∂x b) la composante τ 2 Sur la face CGHD : τ 2 dxdy

⎛ ⎞ ∂τ Sur la face ABFE : −⎜τ 2 + 2 dz ⎟ dxdy z ∂ ⎝ ⎠ ∂τ La résultante : − 2 dzdxdy ∂z c) la composante τ 3 Sur la face ADHE : τ 3 dxdz

⎞ ⎛ ∂τ Sur la face BCGF : −⎜τ 3 + 3 dy ⎟ dxdz ∂y ⎠ ⎝ ∂τ − 3 dydxdz La résultante : ∂y Les autres composantes sont perpendiculaire à ox et leur projection est donc nulle.

En définitive, la résultante des forces de viscosité sur l’axe ox a pour expression :

⎛ ∂σ ∂τ ∂τ ⎞ −⎜ 1 + 3 + 2 ⎟ dxdydz ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Remplaçons σ1 ,τ 3 et τ 2 par leurs expressions on trouve : ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ µ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ dxdydz ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ou

µ ∆u dxdydz

ramenant cette équation à l’unité de masse :

µ ∆u = υ ∆u ρ

Ajoutons ce terme aux équations d’Euler pour les liquides parfait, on obtient en définitive : 1 ∂p = N x − du + υ∆u ρ ∂x dt

Cours d’hydraulique générale

1 ∂p = N y − dv + υ∆v ρ ∂y dt 1 ∂p = N z − dw + υ∆w ρ ∂z dt

(IV-6)

ou sous la forme vectorielle :

r r r 1 grad p = F −ar +υ∆V

ρ

(IV-7)

ou : r 1 grad p :force de pression ρ r F :force extérieur r −a :force d’inertie résultant du mouvement r υ∆V : force de viscosité Les équations (IV-6) à été présenté en 1822 par Navier, elle sont généralement appelées les équations de Navier-Stokes. Donc le long de la trajectoire d’une molécule liquide en régime permanent et en tenant compte des forces de viscosité on peut écrire :

1 dp = N x dx+ N y dy+ N z dz −Vdv

ρ

+υ (∆u dx+∆v dy+∆w dz) Appliquons cette équation à une particule d’un liquide incompressible soumise à la seule action de la pesanteur (N x = N y =0, N z =−g) , il vient : 1 dp+ gdz+Vdv−υ (∆udx+∆vdy+∆wdz) = 0

ρ

l’intégrale le long de la trajectoire donne : p v2 υ z+ + − (∆udx + ∆vdy + ∆wdz ) = Cte = H ρ g 2g g ∫ Le terme − υ ∫(∆udx+∆vdy+∆wdz ) a les dimensions d’une longueur, il représente la perte de g charge et on le désigne par j. L’équation s’écrit alors : V2 p (IV-8) z+ + + j = H = Cte ρ g 2g C’est le théorème de Daniel Bernoulli dans le cas d’un liquide réel (fluidité non parfaite) et qui exprime qu’on tout point en mouvement permanent, la cote, la hauteur représentative de la pression, la hauteur représentative de la vitesse et la perte de charge forment une somme constante. L’équation de Bernoulli dans le cas d’un liquide réel peut être écrite entre les deux section (11) et (2-2) (Fig.IV-7) de la façon suivante : p p V2 V2 z1 + 1 + 1 = z2 + 2 + 2 + j ρ g 2g ρ g 2g

Cours d’hydraulique générale

Plan de charge j

V 12 /2g Ligne piezométrique

V 22 /2g

p1/ ρg H

p2/ ρg

z1 z2

La pente hydraulique : c’est le rapport des pertes de 1 2 charges j et la longueur à laquelle ces pertes on lieu : Fig.IV-7 j I= l Exercice N°011 : Dans le tube de venturi représenté dans la figure ci-dessous, la dénivellation du mercure du manomètre différentiel et 36 cm, la densité du mercure égale à 13,6. -Calculer le débit d’eau à travers l’appareil si aucune énergie n’est perdue entre A et B.

15 cm B. 75 cm A. 30 cm

Z 36 cm

Solution : Appliquons l’équation de Bernoulli entre les point A et B : VA2 VB 2 ZA+ PA + = ZB + PB + ρ.g 2.g ρ.g 2.g VB 2 VA2 − +0,75 d’ou PA − PB = ρ.g ρ.g 2.g 2.g π.0,32 π.0,12 =VB. ⇒ VA= 1 .VB et puisque VA.SA=VB.SB ⇒ VA. 4 4 9 d’une autre part en a PR= PL donc PB + ρ.g(0,75+ Z )+ ρ m.g.0,36 = PA+ (Z + 0,36 ) PA − PB =5,286m ρ .g ρ .g et on obtient l’égalité suivante :

Cours d’hydraulique générale

92.VA2 VA2 5,286= +0,75 ⇒VA=1,054m/ s 2.g 2.g - le débit Q=VA.SA =0,074 m3 / s Exercice N°02 De l’eau circule du T vers le point W. Si la charge consommée par la turbine C-R est de 50 m et la pression en T est de 4 bars, le diamètre de la conduite T-C=25 cm et de la conduite RW=60 cm, les pertes de charges totales dans les conduites sont les suivantes : Entre les points T et C = 2.VTC2 / 2.g 2 / 2 .g Entre les points W et R = 3.VWR - Calculer le débit qui circule dans le système et les hauteurs de pression dans les points C ,R ? Cote=75m T Cote=40m

C

R

Solution - Calcul de débit En appliquant l’équations de Bernoulli entre T et W VT 2 VW 2 2.VT 2 3.VR 2 ZT + PT + = ZW + PW + +50+ + ρ.g 2.g ρ.g 2.g 2.g 2.g PT =4bars=4.105 N / m2 remplaçons dans la première équation en trouve : VT 2 VR 2 25,774= +3. 2.g 2.g DT 2 DR 2 .VT =π. .VR et puisque Q =π. 4 4 ⇒VR=0,1736.VT VT 2 3 2 ( + 0,1736) .VT 2 et on peu écrire 25,774= 2.g 2.g ⇒VT = 21 .535 m / s et VR=3,738m / s donc le débit Q = π .0,25 2.21,535 =1,057 m 3 / s 4 - Calcul des hauteurs de pression dans les points C et R L’équation de Bernoulli entre T et C VT2 VC 2 2.VC 2 ZT + PT + = ZC + PC + + 2 .g ρ .g 2 .g ρ .g 2 .g

W

Cours d’hydraulique générale

21,5352 PC = 75+40,77-30g ρ.g PC =38,496m ρ. g et l’équation de Bernoulli entre T et R VT2 VR 2 2.VT 2 = ZR + PR + + ZT + PT + ρ .g 2 .g ρ .g 2 .g 2 .g 75+40,77-30-23,637-50= PR ρ.g PR =12,133 m ρ .g Exercice N° 03

De l’eau circule du réservoir vers le point C qui se trouve dans l’atmosphère, si les pertes de charges sont : V602 V302 De A-B = 9. et de B-C = 6. 2. g 2. g Calculer le debit ? Calculer la pression dans le point B et tracer la ligne de charge total ? Patm =0

Patm ZA=40 m

A

D1=60 cm

B D2=30 cm

ZB=30 m

C Fig. -05 -

ZC=20 m

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE V LES REGIMES D’ ECOULEMENTS

V-1. Introduction Depuis longtemps les hydrauliciens avaient constaté l’existence de ces différents régimes, mais c’est à Osborne Reynolds qu ‘il appartenait de les mettre expérimentalement en évidence et de dégager le critère permettant de les différencier. V-2. Expérience de Reynolds L’expérience de Reynolds (Fig.V-1), consiste à injecter un liquide coloré dans une masse liquide en mouvement à l’intérieure d’un tube en verre. Liquide coloré Vanne Vanne Tube en verre

Réservoir d’alimentation

Fig.V-1

Si on ouvre légèrement le robinet de vidange, le liquide coloré commence à passer lentement dans le tube en verre et ne se mélange pas avec les autres couches du liquide (Fig.V-2), les lignes de courant dans le tube sont toujours rectiligne de telle sorte que la coloration reste uniforme. Ce régime s’appelle Régime laminaire.

Fig.V-2

Cours d’hydraulique générale

Si on augmente l’ouverture du robinet, la vitesse d’écoulement s’accroît et on remarque des oscillations dans le tube. L’augmentation ultérieur de la vitesse entraînent le mélange du liquide coloré avec les autres couches du liquide dont laquelle chaque particule est projetée dans toutes les direction d’une manière irrégulière et désordonnée (Fig.V-3). Ce régime s’appelle Régime turbulent.

Fig.V-3

Si on désigne par U la vitesse moyenne dans le tube, D le diamètre du tube et par υ le coefficient de viscosité cinématique du liquide en mouvement, le nombre adimensionnel appelé nombre de Reynolds est : R = UD

υ

Le nombre de Reynolds peut servir à caractériser le régime d’écoulement. Si R< 2320 Si R> 2320

le régime est laminaire le régime est turbulent

V-3. Répartition des vitesse en écoulement laminaire Dans le cas d’un écoulement laminaire, les vitesses d’écoulement ne subissent pas des oscillations et ne varient pas dans le temps. D’après les expériences, la vitesse dans une section d’écoulement est égale a zéro sur les parois et elle est maximale dans le centre de la conduite (Fig.V-4). y r

Vmax r0

Fig.V-4

Cours d’hydraulique générale

Donc les vitesses de l’écoulement laminaire on une forme d’une parabole conformément à l’expression théorique suivante : gI ⎞ 2 2 V =⎛⎜ ⎟ (r0 −r ) 4 ⎝ υ⎠

ou g : l’accélération de la pesanteur I : la pente hydraulique υ : la viscosité dynamique r0 : le rayon de la conduite r : la distance entre l’axe de la conduite et le point dans lequel on veut déterminer la vitesse. Si r=0 on obtient la valeur maximale de la vitesse qui est : gI ⎞ 2 Vmax =⎛⎜ ⎟ (r0 ) ⎝ 4υ ⎠

Les expériences montrent que dans le cas d’un régime laminaire, la vitesse moyenne U dans une conduite circulaire égale à la moitié de la vitesse maximales. U = 0.5Vmax V-4. Répartition des vitesse en écoulement turbulent Les vitesses dans un écoulement turbulent sont soumises à des variations (pulsations) plus ou moins rapides dans le temps. Les mesures indiquent que les pulsations se font autour d’une certaine valeur moyenne de la vitesse désigné par U qui est indépendante de temps (Fig.V-5). u(t) U

t (s)

Fig.V-5

La vitesse en chaque moment donné du temps au point donnée est appelée vitesse instantané et on la désigne par u . La différence entre la vitesse instantanée et la vitesse moyenne U s’appelle la vitesse de pulsation u' . Donc on peut écrire que : u = U + u'

La vitesse moyenne du courant turbulent est égale à : T

U = 1 ∫u dt T 0

Cours d’hydraulique générale

Exercice N°01 De l’eau s’écoule dans une conduite de diamètre d = 4cm, le débit Q = 70 cm3 / s , la viscosité cinématique γ =0,0124 cm3 / s . Déterminer le régime d’écoulement et décrire le caractère du mouvement d’un liquide coloré introduit au centre de la section de la conduite ? Quel est le débit qu’on doit transiter par la conduite pour changer le régime d’écoulement ?

Solution - La vitesse d’écoulement est : Q 4Q v = = 2 = 4.70 2 =5,6cm / s S π.d 3,14.4 5,6.4 =1806 0,0124 puisque Re = 1806 3 a et l 2 > 3 b la contraction est parfaite. Si l 1 < 3 a et l 2 < 3 b la contraction est imparfaite. VII-2. Orifice en mince paroi non noyé

Examinons un cas générale (Fig.VII-1) d’un liquide qui s’écoule d’un réservoir de charge H et une pression extérieur p 0 par un orifice en mince paroi. Etablissons l’équation de Bernoulli entre les section A-A et la section contracté C-C H+

p 0 V0 2 p V2 + =0+ C + C + j ρ g 2g ρ g 2g

les pertes de charges totales sont égales aux pertes de charges locales et sont données par la formule suivante : V2 j = ∑ξ C 2g si on désigne H 0 par l’expression :

H0 = H +

p 0 − p V0 2 + 2g ρg

donc

H0 =

VC2 ( 1+∑ ξ ) 2g

par conséquent la vitesse dans la section contracté est :

Cours d’hydraulique générale

VC =

1 1+ ∑ξ

2gH 0

posons que 1 =ϕ 1+∑ξ

ou ϕ : est appelé coefficient de vitesse. Alors VC = ϕ 2 g H 0 d’ou le débit dans la section contracté est :

Q = SC VC = ε S ϕ 2gH 0 En introduisons le coefficient de débit µ qui est égale a : µ =ϕ ε Donc le débit du liquide dans le cas d’un orifice non noyé est :

Q = µ S 2gH 0 Remarques Dans la pratique la pression p0 est la pression atmosphérique. Lorsque le nombre de Reynolds dépasse 100000, les coefficient de vitesse et de débit sont constants et égaux aux valeurs suivantes : µ = 0.60 à 0.62 , ϕ = 0.97 . VII-3. Orifice en mince paroi noyé

Examinons un écoulement par un orifice en mince paroi qui se fait dans le liquide, dans ce cas les niveaux du liquide de deux cotés ne varient pas, et les pressions sur les surfaces libres sont égales à la pression atmosphérique patm (Fig.VII-3). A

Patm

A z Patm

B z1 O

C C

B

z2 O

Fig.VII-3

Etablissons l’équation de Bernoulli entre les sections A-A et B-B par rapport au plan O-O qui passe par le centre de l’orifice on obtient : z1 = z2 + j

Cours d’hydraulique générale

Dans ce cas la perte de charge totale j est égale à la somme de la perte de charge dans l’orifice en mince paroi et de la perte de charge due à l’élargissement brusque. Donc

j = ∑ξ

VC2 VC2 + 2g 2g

la vitesse du liquide dans la section contracté est : VC =

1 1+ ∑ξ

2g z

comme dans le cas précédent on obtient : VC = ϕ

2g z et Q = µ S 2g z

pour des grandes valeurs du nombre de Reynolds ϕ = 0.97 , µ = 0.5 à 0.62 . VII-4. Ecoulement par les ajutages On appelle ajutage un tube court raccordé d’une façon serrée à l’orifice en mince paroi si l’entrée de l’ajutage a un bord vif, le jet du liquide remplit totalement la section transversale de l’ajutage si la longueur de l’ajutage est : l = (3 à 5)d.

ou d : diamètre de l’ajutage. Pour calculer la vitesse et le débit dans le cas d’un ajutage, on considère un écoulement par un ajutage (Fig.VII-4) et appliquons l’équation de Bernoulli entre les sections A-A et B-B par apport au plan O-O : H+

patm V0 2 p V2 + = 0 + atm + 2 + j ρ g 2g ρ g 2g

avec: V0 : c’est la vitesse dans le plan A-A V2 : c’est la vitesse dans le plan B-B Dans ce cas la perte de charge totale j se réduit pratiquement à la perte de charge due au rétrécissement brusque :

j = jS = 0.5 H0 =

V2 2 2g

V2 2 V2 V2 + 0.5 2 = 1.5 2 2g 2g 2g

donc on obtient

V2 = ϕ avec

2 g H0

Cours d’hydraulique générale

ϕ=

1 1 .5

le débit qui traverse l’ajutage est déterminé par la formule suivante :

Q =µ S

2g H 0

dans ce cas ε = 1 pour ce type d’ajutage les coefficients ϕ et µ ne dépendent pas du Reynolds et si Re >10000 sont égaux à:

µ = ϕ = 0.82 Ainsi l’ajutage cylindrique extérieur de longueur (3 à 4) d possède un rendement supérieur à celui d’un petit orifice en mince paroi de 32% environ, donc s’il faut augmenter le débit, il suffit de raccorder à l’orifice un ajutage cylindrique extérieur. Patm A

A

H

C B O

O C

B

Fig.VII-4

Remarque Le jet arrivant dans l’ajutage subit tout d’abord une contraction (Fig.VII-5), dans cette section il se crée un vide et la pression diminue ce qui provoque l’augmentation de la vitesse . Afin d’assurer le bon fonctionnement, la charge de l’écoulement par un ajutage cylindrique extérieur ne doit pas dépasser 11.0 m. Dans le cas d’un écoulement par un ajutage noyé ϕ = µ =0.82 , comme en écoulement dans l’atmosphère. VII-4-1. Ajutage cylindrique rentrant

Ce type d’ajutage est appelé aussi ajutage de Borda qui est placé à l’intérieur du réservoir . Si l = (3 à 4)d le jet s’écoule par l’ajutage en section totale (Fig.VII-5.a) et on a :

µ = ϕ = 0.71 ; ε = 1 ; ξ = 1 Si l < 3d le jet ne s’écoule pas sur la section totale de l’ajutage (Fig.VII-5.b) et on a :

µ = 0.51 ; ϕ = 0.97 ; ε = 0.53 ; ξ = 0.06 Patm

Patm A

A

l=(3-4)d

H d

A

A

l 0 le débit du déversoir noyé en mince paroi est déterminé avec la formule (IX-2 ) ou le coefficient σ n dans ce cas est calculé par la formule de Bazin : ⎛ ⎝

σ n = 1.05 ⎜1 + 0.2

∆ ⎞3 z ⎟. hd ⎠ H

z H hd1

∆ V0

hd2

haval

Fig.VII-9

VII-6-6. Déversoir rectangulaire droit dénoyé à seuil épais

Cours d’hydraulique générale

Pour ce type de déversoir (Fig.VII-10), le débit est calculé par la formule suivante : Q = ϕ .b.h 2.g ( H 0 − h )

ou ϕ: coefficient de vitesse b : largeur du déversoir H 0 : la charge totale en amont h : est calculé d’après la formule de Belanger

H

(VII-3)

V0

hd1

haval l

h= 2 H 0 3

hd2

Fig.VII-10

Exercice N°01 Dans le corps d’un barrage en béton, on projète une vidange de forme circulaire d’une longueur l = 5 m, la charge au dessus de la vidange d’un écoulement dénoyé est de H1 = 6,5m, la différence des cotes entre le bief amont et aval H2 = 15 m, la vitesse d’approche de l’eau v = 0,5 m/s. - Déterminer le diamètre d de la vidange si le débit Q = 12000 l/s ? - Si le niveau d’eau dans le bief aval augmente de 10 m, quelle sera la capacité de cette vidange ?

V

H1

H2

Solution - On peu considérer cette vidange un ajutage, d’ou on peu appliquer les même formules. - Calcul du diamètre puisque le débit égale Q = µ.S. 2.g.H Q 12 ⇒ S= = =1,3m2 µ. 2.g.H 0,82. 2.9,81.6,5 donc le diamètre est : d = 4.S =1,29m π - Si le niveau dans le bief aval augmente de 10m la vidange fonctionnera comme un ajutage noyée et la charge devient : z =15−10 =5m Q1 = µ.S. 2.g.z =0,82.1,3. 2.9,81.5 =10,55m3/s Exercice N°02

Au fond d’un réservoir d’une section S=2,4m2 , il est réaliser un orifice de diamètre d = 6 cm. Déterminer le temps t nécessaire pour que le réservoir se vidange à la moitié ? si la hauteur de remplissage au moment de l’ouverture de l’orifice est de h = 2 m. Solution

- Calcul du temps de vidange : dans ce cas H1 = 2 m et H2 = H1/2=1 m

Cours d’hydraulique générale

le temps de vidange est donné par la formule suivante : t = 2.S H1− H2 µ .s . 2 .g

(

)

La section de l’orifice est s =

π.d 2 3,14.0,062

=0,0028m2 4 2.2,4 2 − 1 =258s Le temps de vidange sera t = 0,62.0,0028. 2.9,81 4

=

(

)

Exercice N°03

Déterminer la largeur d’un déversoir rectangulaire à mince paroi, si le débit Q = 520 l/s , P1=P2=0,4 m , H=0,35 m et la largeur du canal B = 2,4 m.

H

P1

P2

Solution En supposant que le déversoir est sans contraction et on détermine le coefficient du débit par la formule de Bazin 2 0,0027 ⎞ ⎛ ⎞ m0 =⎛⎜ 0,405+ 1+0,55 H ⎟ ⎜ ⎟ + H H P 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 0,0027 ⎞ ⎛⎜ ⎛ 0,35 ⎞ ⎞⎟=0,46 m0 =⎛⎜ 0,405+ + 1 0,55 ⎟ ⎜ ⎟ 0,35 ⎠ ⎜⎝ ⎝ ⎝ 0,35+0,4 ⎠ ⎟⎠ - Calcul de la largeur du déversoir : Q 0,52 b= = 3 / 2 =1,23m 3 / 2 m0. 2.g H 0,462. 2.9,81.0,35

(

)

puisque B>b donc il existe une contraction latéral qui peut être déterminée par la formule de Hulg : 2 2 0,0027 ⎞ H mC =⎛⎜ 0,405+ −0,03 B −b ⎞⎟ ⎛⎜1+0,55 b ⎟ H B B H P 1 + ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 2 0,0027 2,4−1,23 ⎞ ⎛⎜ ⎛ 1,23 ⎞ ⎛ 0,35 ⎞ ⎞⎟=0,41 mC =⎛⎜ 0,405+ −0,03 + 1 0,55 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ H 2,4 ⎠ ⎜⎝ ⎝ ⎝ 2,4 ⎠ ⎝ 0,35+0,4 ⎠ ⎟⎠ de la même manière on calcul b avec mc Q 0,52 b= = 3 / 2 =1,38m 3 / 2 mC. 2.g H 0,410. 2.9,81.0,35

( )(

)

on remplace b dans la formule de Hulg une deuxième fois on obtient mc=0,412 et b =

0,52 0,412. 2.9,81.0,35

3/ 2

=1,38m c’est la valeur définitive de b.

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE VIII LES RESEAUX DE DISTRIBUTION

réseau de distribution est un ensemble de conduites raccordées d’une façon serré et elle permet l’acheminement de l’eau a des endroits bien précis. D’une manière générale les réseaux de distribution peuvent être classées en deux grandes familles : Les réseaux maillés et les réseaux ramifiés. VIII-1. Réseaux maillés VIII-1-1. Définition Un réseau maillé est un ensemble de conduite qui forment des boucles fermées dites mailles. L’avantage de ce type de réseau c’est qu’il permette l’alimentation en retour en cas de panne dans une conduite et cela après isolation du tronçon défectueux. Comme dans le cas des réseaux ramifiés, le problème consiste à déterminer les débits dans tous les tronçons qui, une fois connues, permettrons de calculer les charges en chaque point du réseau. VIII-1-2.Méthode de Hardy Cross Cette méthode repose sur l’approximation successive et elle se base sur les deux lois suivantes : a) Première loi En un nœud quelconque des conduites, la somme des débits qui entrent à ce nœud est égale à la somme des débits qui en sortent. (Fig.VIII-1).

QA = QB + QD QC = QB + QD

QA

QB

B

A

QB

QD C

QC

D

QD

Fig.VIII-1

Cette loi est évidente et est approchée de la loi de Kirchhoff en électricité. b) Deuxième loi Le long d’un parcours orienté et fermé, la somme algébrique des pertes de charges est nulle ∑ j = 0 (Fig.VIII-2). QA

QB B Q2

J2 C

QC

J1 Q1 J3

QF

J6 A

F Q6

+ J4

Q5

J5 E

Cours d’hydraulique générale

Cette loi appliquée au contour ABCDEF , ou l’orientation positive est donnée par le sens du déplacement des aiguilles d’une montre, donné pour le sens d’écoulement de l’eau indiqué par les flèches.

j6 + j5 − j 4 − j3 − j 2 − j1 = 0 La méthode de Hardy cross consiste tout d’abord à se fixer dans chaque maille une répartition arbitraire des débits ainsi qu’un sens supposé d’écoulement. Ensuite un diamètre arbitraire est choisi (optimal) et l’on calcul les pertes de charges correspondante. Soit la maille suivante : QA Q1

A

D

J1

Q2

Q1

+

B

J2 Q2

C QC

Fig.VIII-3

Supposons que l’on décompose arbitrairement le débit Q A en Q1 et Q2 tels que :

Q A = Q1 + Q2 = QC - les pertes de charges totales entre A et B et C sont j 2 . - les pertes de charges totales entre A et D et C sont j1 . Choisissons donc le diamètre avec les débits Q1 et Q2 qui engendreront les pertes de charges j1 sur ADC et j 2 Sur ABC.

Cours d’hydraulique générale

On doit alors vérifier, d’après la deuxième loi et compte tenu de l’orientation d’une maille :

j1 − j 2 = 0

(VIII-1)

Ordinairement, cette égalité n’est pas vérifies du premier coups et il est nécessaire de modifier la répartition initiale supposée des débit Q1 et Q2 afin de rectifier en conséquence la valeur de j1 et j 2 . Soit ∆Q1 la valeur dont il est nécessaire de modifier le débit. Pour arriver à ce but, si on ajoute ∆Q1 à Q1 par exemple il faudra la déduire de Q2 afin que la somme Q A reste la même. Par ailleurs on a : j1 = R1 .Q12 et j 2 = R2 .Q22 Ou R1 , R 2 représentes les résistances des conduites. Remplaçons dans l’équation (VIII-1) . R1 (Q1 + ∆Q1 ) 2 − R2 (Q2 + ∆Q1 ) 2 = 0 En négligeant les termes en ∆Q12 on trouve : ∆Q1 =

− R1 Q12 + R2 Q22 2( R1 Q1 + R2 Q2 )

Et puisque

R1 =

j1 j , R2 = 22 2 Q1 Q2

On obtient : ∆Q1 = −

j1 − j 2 j j 2( 1 + 2 ) Q1 Q2

Puisque j1 − j 2 c’est la somme des pertes de charges, en tenant compte du signe. ⎛ j j ⎞ j Et 2⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ = ∑ Q ⎝ Q1 Q2 ⎠

On aura définitivement : ∆Q1 = −

∑j ⎛ j⎞ 2∑ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝Q⎠

En conséquence, dans une première approximation les nouveaux débits deviennent dans l’exemple choisis : Q1 + ∆Q1 et Q2 − ∆Q1 Si dans ces cas ces condition, la deuxième loi n’est pas encore satisfaite, il faudra de nouveau corriger les débits d’une valeur de ∆Q2 calculée de la façon que nous venons de voir.

Cours d’hydraulique générale

VIII-1-3. Cas de deux mailles Dans le cas de deux mailles (Fig.VIII-4) le tronçon EF est commun entre les deux mailles, dans le calcul de la première maille (I) QF1 a un signe positif et dans le calcul de la deuxième maille QF1 est négatif. QA A QD

QE

+I D

E QF1

QF2

F

QB

B QC2

+II C

QC1

QC

Fig.VIII-4

VIII-2. Réseaux ramifiés VIII-2-1. Définition Se sont des réseaux ou, les conduites ne comporte aucune alimentation en retour. Ils présentent l’avantage d’être économique, mais il manque de sécurité et de souplesse en cas de rupture car un accidents sur la conduite principale prive d’eau toutes la partie qui se trouve en aval (Fig.VIII-5).

Source

Fig.VIII-5 VIII-2-2. Calcul d’un réseau ramifié Le calcul d’un réseau ramifié s’effectue a partir des données de départ et qui sont : les longueurs des tronçons du réseau, les débits en chaque tronçon, et les données topographiques. Durant le calcul en doit assurer des pressions suffisantes et des vitesses optimales dans tout le réseau. Exercice

Soit le réseau maillé représenté dans la figure ci-dessous, calculer les diamètres des canalisation en utilisant des itération à partir d’une répartition arbitraire ( méthode de HardyCross). Débit nodal

Réservoir

12

7.3

21

Q=65 l/s

2

1

8,9

Cours d’hydraulique générale

Solution On donne une répartition arbitraire des débits et on choisis des diamètres approximatif qui vérifient des vitesses entre 0,5-1,5 m/s en déduit les pertes de charges d’après les abaques de Colebrook White. -Proposons la répartition arbitraire suivante :

Débit nodal

Réservoir

12

7.3

21

35

8,9

3

Q=65 l/s

2

1 19

2

1,6

1

4,1

6 10,1 4

8,9

5

4,2

10

5,8

La première approximation Première maille Maille 1 1 1 1

Maille tronçon Q voisine L/s 1-2 -34 2 2-5 -4,1 1-6 19 6-5 10,1

D mm 200 100 150 125

V M/s 1,10 0,55 1,10 0,85

L J J.L J.L/Q m M/m M S/m2 98 -0,0113 -1,1074 0,03257 102 -0,0068 -0,6987 0,17041 85 0,01649 1,40165 0,07377 105 0,01246 1,3083 0,12953

CPM

CPMA

-1,112 -1,112 -1,112 -1,112

-1,112 -0,7229 -1,8349 -1,112 -1,112

∑=0,90385 ∑=0,40628

CT

∆Q=−1,112

Débit corrigé -35,112 -5,9349 17,888 8,988

Deuxième maille Maille 2 2

Maille tronçon Q voisine 2-3 -8,9 3-4 -1,6

D

V

L

125 40

0,75 1,30

91 75

J

J.L

J.L/Q

-0,0097 -0,8827 0,09918 -0,1475 -11,069 6,91781

CPM

CPMA

CT

0,7229 0,7229

-

0,7229 0,7229

Débit corrigé -8,1771 -0,8771

Cours d’hydraulique générale

2 2

2 -

2-5 5-4

4,1 4,2

100 100

0,55 0,55

102 0,00685 89 0,00718

0,6987 0,6397

0,17044 0,1523

0,7229 0,7229

1,112 -

1,8349 0,7229

5,9349 4,9229

∆Q=0,7229

∑=−10,6128 ∑=7,3397

La deuxième approximation Première maille M

M.V

tronç

Q

D

V

L

J

J.L

J.L/Q

CPM

CPMA

CT

1 1 1 1

2 -

1-2 2-5 1-6 6-5

-35,112 -5,9349 17,888 8,988

200 100 150 125

1,15 0,80 1,05 0,75

98 102 85 105

-0,012327 -0,01419 0,0146 0,00989

-1,208046 -1,44738 1,24372 1,303866

0,03440 0,2440 0,0695 0,11556

0,40245 0,40245 0,40245 0,40245

0,2031 -

0,40245 0,19935 0,40245 0,40245

∑ = −0,37304 ∑ = 0 ,46346

∆Q=0,40245

Débit corrigé -34,709 -5,7318 18,290 9,390

Deuxième maille M 2 2 2 2

Maille voisine 1 -

tronço n 2-3 3-4 2-5 5-4

Q

D

V

-8,1771 -0,8771 5,9349 4,9229

125 40 100 100

0,70 0,70 0,80 0,65

L

J

J.L

J.L/Q

91 -0,0082 -0,7462 0,09125 75 -0,0444 -3,33 3,7966 102 0,01422 1,45 0,24431 89 0,00983 0,87487 0,17771

CPM

CPMA

0,2031 0,2031 0,2031 0,2031

0,2031 0,2031 -0,4025 -0,1993 0,2031

∑ = −1,7513 ∑ = 4,30987

CT

Débit corrigé -7,974 -0,674 5,7356 5,126

∆Q=0,2031

La troisième approximation Première maille M

M.V

tronç

Q

D

V

L

1 1 1 1

2 -

1-2 2-5 1-6 6-5

-34,709 -5,7318 18,290 9,390

200 100 150 125

1,15 0,75 1,05 0,80

98 102 85 105

J

J.L

-0,0792 -1,155616 -0,013279 -1,354458 0,015286 1,29931 0,010785 1,132425

J.L/Q

CPM

CPMA

CT

0,033294 0,236305 0,071039 0,120599

0,0849 0,0849 0,0849 0,0849

-0,05578 -

0,0849 0,02912 0,0849 0,0849

∑ = −0,07833 ∑ = 0,461237

∆Q=0,0849

Débit corrigé -34,624 -5,7026 18,374 9,4749

Deuxième maille

M

MV

2 2 2 2

1 -

tronç on 2-3 3-4 2-5 5-4

Q

D

V

L

-7,974 -0,674 5,7356 5,126

125 40 100 100

0,65 0,55 0,75 0,70

91 75 102 89

J

J.L

J.L/Q

CPMA

-0,007798 -0,709618 0,088991 0,05578 -0,026367 -1,97752 2,9340 0,05578 0,0133 1,3566 0,236522 0,05578 -0,0849 0,010632 0,946248 0,184597 0,05578 ∑ = − 0,38 ∑ =3,44

c’est la répartition final des débit.

CPM

∆Q=0,055

CT 0,05578 0,05578 -0,02912 0,05578

Débit corrigé -7,9182 -0,61822 5,70648 5,18178

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE IX ECOULEMENT A SURFACE LIBRE IX-1. Introduction

Les écoulements à surface libre sont écoulements qui comportent une surface libre en contact avec l’air, généralement soumise à la pression atmosphérique. Cet écoulement peut se faire soit dans des canaux naturels tels que les (rivières, ruisseaux,….etc. ) ou dans des canaux artificiels qui sont réalisés par l’homme tels que les canaux de drainage et d’évacuation. Remarque Si la largeur du fond du canal ne change pas en longueur le canal est dit prismatique, si non le canal est dit non prismatique.

Les écoulements à surface libre en régime permanent peuvent se présenter deux aspects : ƒ

Si la pente longitudinale (dans le sens d’écoulement) et la section transversale sont constante tout le long de la masse liquide, le régime est uniforme. ƒ Dans le cas contraire, le régime est non uniforme. Nous examinons, successivement ces deux cas : IX-2. Régime uniforme Dans le cas d’un écoulement en régime uniforme, il s’établit une pression constante, en général, celle atmosphérique. C’est pourquoi, pour ces courant la pente piezométrique égale à la pente de la surface et égale à la pente hydraulique (Fig.IX-1). I = I p = I lib

V2 2g

p ρg

I

J

Ip V V2 2g

Q i

Fig.IX-1

α

p

ρg

Cours d’hydraulique générale

Donc on peut dire qu’un écoulement uniforme est possible si les conditions suivantes sont assurer : ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

Le débit du canal est constant ( Q = const ). Le canal est prismatique. La profondeur du courant ( h ) est constante en toute sa longueur. La pente du fond ( i ) est constante. La rugosité du fond et des parois du canal est constante en longueur (n=const). Les résistances locales sont absentes.

Il découle de ces conditions que l’écoulement uniforme doit remplis les égalités suivantes :

S = Cte, χ = Cte, R =

S

χ

= Cte, I lib = i

avec S : c’est la section transversale. χ : c’est le périmètre mouillé. R : c’est le rayon hydraulique. I lib : la pente de la surface libre. I : la pente du fond du canal.

IX-2-1. Calcul de l’écoulement uniforme La formule de calcul principale pour un écoulement uniforme de l’eau est la formule de Chézy :

v = C R.i

(IX-1)

ou v : c’est la vitesse d’écoulement. C : c’est le coefficient de Chézy. R : c’est le rayon hydraulique. i : c’est la pente du fond du canal. En utilisant le rapport connu Q = v.S et multipliant l’équation (IX-1) par S, on obtient :

Q = S .C R.i

(IX-2)

souvent, la formule (IX-2) est écrite dans les39calcul hydrauliques sous la forme suivante :

Q = K. i ou K = S .C . R

est la caractéristique de débit du lit.

(IX-3)

Cours d’hydraulique générale

Pour le calcul du coefficient de Chézy, plusieurs formules permettent de le déterminer parmi lesquels : ƒ

La formule d’Agroskine

C=

ƒ

1 + 17,72. log R n

La formule de Manning

1 C = .R1 / 6 n ou n : c’est la rugosité de la paroi. Remarque ƒ Les conditions de l’écoulement uniforme de l’eau déjà établies sont remplies dans le cas des canaux artificiels. ƒ Les sections transversales les plus utilisées sont :la forme trapézoïdale, rectangulaire, triangulaire et parabolique. ƒ Si la section du canal donnée assure une valeur minimale de χ et possède un débit maximale cette section s’appelle « la section hydrauliquement la plus avantageuse ».

IX-3. Régime non uniforme On appelle écoulement non uniforme, un tel écoulement dont les aires des sections et les vitesse varient en longueur du courant mais le débit reste constant. Il existe deux types d’écoulement non uniforme : ƒ L’écoulement graduellement varier pour lequel les variations des paramètres hydrauliques sont lentes et progressives. ƒ L’écoulement brusquement varier pour lequel les variations des paramètres hydrauliques est rapides. Les causes de l’écoulement non uniforme sont : ƒ La présence des ouvrages hydrauliques tel que les barrages ce qui provoque la variation des paramètres hydrauliques et on obtient des courbes de remous d’exhaussement (Fig.IX-2).

h

Fig.IX-2

ƒ

La présence des chutes, déversoirs et coursiers, ce qui provoque des courbes de remous d’abaissement (Fig.IX-3).

h

Fig.IX-3

Cours d’hydraulique générale

ƒ ƒ ƒ

Une brusque variation de la rugosité du lit du canal en longueur. Un brusque changement de pente. i ≠ Ip ≠ I

IX-3-1. Notions principales de l’écoulement non uniforme a) Classification des lits des canaux ƒ ƒ ƒ

Lit à pente positive i > 0 Lit à pente horizontale i = 0 Lit à pente négative i < 0

b) Profondeur normale La profondeur du courant correspondant à l’écoulement uniforme est appelée profondeur normal (h0) c) Débit fictif C ‘est le débit qui correspond à la hauteur (h) de l’écoulement non uniforme. Ou

Q'= C.S R.I d) Energie spécifique de la section Examinons une certaine section d’un canal (IX-4). Cette section est parcourue par le débit (Q) à la profondeur de remplissage ( h ).

v2 2. g

p ρ .g z

Fig.IX-4

L’énergie spécifique est :

B

Es = h +

v2 2. g

Cours d’hydraulique générale

Es = h +

v2 2.g

= h+

Q2

(IX-4)

2.g.S 2

e) Profondeur critique Supposons que dans l’expression (IX-4) le débit (Q) est une constante et la profondeur (h) est une variable. Autrement dit, on suppose que le débit (Q) donné parcourt la section transversale à des profondeurs de remplissages différentes, donc on peut écrire :

E s = f (h) = E1 + E 2 avec

E1 = h et E 2 =

Q2 2.g.S 2

construisons la courbe de variation de E1 , E 2 et E s en fonction de h (Fig.IX-5). Si h → 0, S → 0, E 2 → ∞ Si h → ∞, E 2 → ∞

E E1

Emin

E2 h

hcr

Fig.IX.5

Es = h +

Q2 2.g.S 2

2 dE s dh d ⎛⎜ Q ⎞⎟ = + dh dh dh ⎜⎝ 2.g .S 2 ⎟⎠ Q2 dE s ds = 1+ .d ( S − 2 ). 2.g dh dh

Q2 dE s ds = 1+ .(−2)(S −3 ). 2.g dh dh Q2B dE s = 1− dh g.S 3 et puisque hcr correspond à l’énergie spécifique minimal ,donc :

Cours d’hydraulique générale

Q2B dE s =1 =0 ⇒ dh g.S 3

(IX-5)

cette expression est nécessaire pour déterminer hcr . L’équation (IX-5) peut être écrite sous la forme suivante :

Q2 g

=

B S3

Détermination de hcr 1 ) Section rectangulaire S cr = B.hcr

Q2

S cr3 = g B

⇒ hcr = 3

Q2 g.B 2

2) Section triangulaire S cr =

1 .b.hcr 2

⇒ hcr = 5

2.Q 2 g.m 2

3) Section trapézoïdale on utilise la formule d’Agroskine : Zr hcr = (1 − + 0,105.Zr 2 ).hcr1 3 ou m.hcr1 Zr = B hcr1 : c’est la hauteur critique pour une section rectangulaire. En comparent la hauteur de l’écoulement non uniforme (h) avec la hauteur critique on déduit les types d’écoulement suivant :

Si h > hcr ⇒ l’écoulement est fluvial. Si h = hcr ⇒ l’écoulement est critique. Si h < hcr ⇒ l’écoulement est torrentiel.

Cours d’hydraulique générale

f) Paramètre cinétique Q2B Le terme s’appelle le paramètre cinétique, il est désigné par Fr 2 et il s’appel le nombre g .S 3

de Froude. A partie du nombre de Froude on peut aussi déduire le type d’écoulement :

Si Fr < 1 ⇒ l’écoulement est fluvial. Si Fr=< 1 ⇒ l’écoulement est critique Si Fr> 1 ⇒ l’écoulement est torrentiel. . IX-3-2. Equation de l’écoulement non uniforme graduellement varié (canal prismatique ) Le but principal du calcul hydraulique en cas d’un écoulement non uniforme et de trouver la relation entre les profondeurs du courant dans les différentes sections. Autrement dit, on doit établir la liaison entre les grandeurs h et l. Découpons dans un courant non uniforme par les sections (1-1) et (2-2) un tronçon suffisamment court dl (Fig.IX-6) et établissons l’équation de Bernoulli : 1

2

V12 2g

h

I

J = I.dl

V1

V22 2g

V2 h+dh i.dl

i dl

Fig.IX-6

i.dl + h +

2 1

2 2

v v = h + dh + + I .dl 2. g 2. g

i.dl = dh + Idl + i.dl = dh + Idl +

v 22 v2 − 1 2. g 2. g d (v 2 ) 2. g

2 d ⎛⎜ Q dh +I+ i= dl ⎜⎝ 2.g .S 2 dl

et puisque :

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(IX - 6)

α

Cours d’hydraulique générale

2 d ⎛⎜ Q dl ⎜⎝ 2.g.S 2

⎞ Q 2 ds ⎟=− . 3 ⎟ dl g S 2 . . ⎠

et on a dS dh ∂s dB ∂S = . + . dl dl ∂h dl ∂B et comme le canal est prismatique, ceci implique que

∂S dB = 0 et =B dl ∂h

dh dS = B. dl dl 2 Q 2 .B dh d ⎛ Q ⎞⎟ = − . ⇒ ⎜ dl ⎜⎝ 2.g.S 2 ⎟⎠ g.S 3 dl

d’ou

et l’équation (IX-6) devient : ⎛ Q 2 .B ⎞ dh dh ⎟. + I −⎜ i= ⎜ g .S 3 ⎟ dl dl ⎝ ⎠ dh i= (1 - Fr ) + I dl d' ou

dh i-I = dl 1 - Fr

(IX-7)

c’est l’équation fondamentale de l’écoulement non uniforme graduellement varié dans le cas d’un canal prismatique. La solution de cette équation nous donne la relation entre h et l (ou la forme de la courbe de remous). Admettons que la valeur de la pente hydraulique I en écoulement non uniforme dans le cas d’un tronçon court (dl) peut être déterminée à l’aide de la formule de Chézy : I=

v2 C 2 .R

=

Q2 S 2 .C 2 .R

=

Q2 ( S .C. R ) 2

et supposons que : ƒ

Q 2 = K 0 .i

ou K 0 : c’est la caractéristique du débit correspond à la hauteur normal de l’écoulement uniforme. I : c’est la pente du fond du canal.

Cours d’hydraulique générale

ƒ

( S .C. R ) 2 = K 2

ou K : c’est la caractéristique du débit qui correspond à la profondeur de l’écoulement non uniforme. ƒ

Fr =

Q2

g

3

B

S

=

Ncr N

ou Ncr : c’est le niveau critique. N : c’est le niveau normal. L’équation (IX-7) devient :

⎛K ⎞ 1 − ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝ K ⎠ dh =i Ncr dl 1− N

2

(IX-8)

En étudions l’équation (IX-8) on peut savoir quelle peut prendre la surface du plan d’eau dans des différentes conditions. IX-3-3. Forme des courbes de remous Pour étudier la forme des courbes de remous, on utilise le graphique suivant(Fig.IX-7) : h K = f1 ( h ) N = f2 ( h )

h0 hcr N = S3 / B

K = CS R Ncr

Généralement trois cas sont distingués:

K0

Fig.IX-7

a) i < icr on considère la figure (Fig.IX-8) ou on reporte la ligne (N-N) qui correspond à la profondeur normal et la ligne critique (K-K) qui correspond à la profondeur critique, ces deux lignes sont parallèles. A N N

B

K C

K h0 i < icr

Fig.IX-8

hcr

Cours d’hydraulique générale

D’après la figure on a trois zones : ƒ Zone A h > h0 > hcr

⎛K K > K 0 ⇒ 1 − ⎜⎜ 0 ⎝ K

2

⎞ ⎟ >0 ⎟ ⎠ ⇒

dh >0 dl

⎛ Ncr ⎞ N > Ncr ⇒ 1 − ⎜ ⎟ >0 ⎝ N ⎠ La profondeur du courant augmente dans le sens d’écoulement et on aura une courbe de remous d’exhaussement avec h = 1,02.h0 Dans ce cas la profondeur de l’écoulement se raccorde asymptotiquement à l’amont et tend vers l’horizontale à l’aval. ƒ Zone B h0 > h > hcr ⎛K K < K 0 ⇒ 1 − ⎜⎜ 0 ⎝ K

2

⎞ ⎟ 0 ⎝ N ⎠

dans ce cas la profondeur du courant diminue dans le sens d’écoulement et on obtient une courbe de remous d’abaissement avec h = 0,98.h0 ƒ Zone C h < hcr < h0 ⎛K K < K 0 ⇒ 1 − ⎜⎜ 0 ⎝ K

2

⎞ ⎟ hcr > h0 ⎛K K > K 0 ⇒ 1 − ⎜⎜ 0 ⎝ K

2

⎞ ⎟ >0 ⎟ ⎠ ⇒

dh >0 dl

⎛ Ncr ⎞ N > Ncr ⇒ 1 − ⎜ ⎟ >0 ⎝ N ⎠

dans ce cas on aura une courbe de remous d’exhaussement qui est tangente à la verticale en amont et possède une asymptote à la ligne horizontale en aval. ƒ Zone B2 hcr > h > h0 ⎛K K > K 0 ⇒ 1 − ⎜⎜ 0 ⎝ K

2

⎞ ⎟ >0 ⎟ ⎠ ⇒

dh Ncr ⇒ 1 − ⎜ ⎟ K 0 ⇒ 1 − ⎜⎜ 0 ⎝ K

2

⎞ ⎟ 0 dl

⎛ Ncr ⎞ N > Ncr ⇒ 1 − ⎜ ⎟ K0 ⇒

dh >0 dl

⇒

dh >0 dl

N > Ncr

ƒ

h2 > h0

K > K0

N > Ncr

donc la courbe de remous est de type exhaussement. K ,N K ,N h1

hcr = h0

h2

i = icr

Fig.IX-10

d) i = 0 (canal horizontale) (Fig.IX-11) ƒ

si le régime est fluvial h > hcr on a une courbe de remous d’abaissement.

ƒ

si le régime est torrentiel h < hcr on a une courbe de remous d’exhaussement

K

K h

hcr i=0

Fig.IX-10

Cours d’hydraulique générale

E) Canal ascendant (Fig.IX-11) ƒ Si h > hcr on a une courbe de remous d’abaissement. ƒ

Si h < hcr on a une courbe de remous d’exhaussement. K hcr h

K

Fig.IX-11 non uniforme IX-3-4. Equation de calcul de l’écoulement Méthode des différences finies Cette méthode est une application directe du théorème de Bernoulli. D’après la figure (Fig.IX-12) on peut écrire :

i.dl + h1 +

v12 v2 = h2 + 2 + J 2. g 2.g

J = I m .dl ( h2 +

v 22 v2 ) − ( h1 + 1 ) = (i − I m ).dl 2.g 2.g

⇒ E 2 − E1 = ( i − I m ).dl

avec v m2 Im = 2 C m .Rm d’ou on obtient l’équation suivante : dl =

E 2 − E1 i − Im

c’est une autre forme de l’équation de l’écoulement non uniforme et qui permet de calculer facilement la longueur de la courbe de remous si on connaît les profondeur de l’écoulement non uniforme. 1

2

V12 2g

h1

I

J

V1

V22 2g

V2 i.dl

h2 i dl

α

Cours d’hydraulique générale

Exercice N° 01 : Déterminer le débit et la vitesse dans un canal trapézoïdal, si la rugosité n=0.025, la pente du fond du lit i=0.0002, la pente des berges m=1.25, la hauteur d’eau h=3.5m. Solution -Calcul du rayon hydraulique R : R= S

χ S =b.h+m.h2 =10.3,5+1,25.3,52 =50,3m2

χ =b+2.h. 1+m2 =10.3,5. 1+1,252 =21.2m 50,3 =2,37m 21,2 -Calcul du coefficient de Chézy C : d’après la formule d’Agroskine : C = 1 +17,72.log R n C = 1 +17,72.log2,37=46,5 0,025 -Calcul du débit Q : Q=S.C. R.i R=

Q=50,3.46,5. 2,37.0.0002 =50,9m3 / s -Calcul de la vitesse v : Q 50,9 v= = =1,01m/ s S 50,3 Exercice N° 02 : Déterminer la largeur b du fond d’un canal trapézoïdal et la vitesse moyenne v de l’eau, si le débit Q=5,2m3 / s , la pente du fond i=0,0006, la rugosité n=0,025, la pente des berges m=1,0 et

la hauteur d’eau h=1,2 m. Solution :

Cours d’hydraulique générale

-Calcul de la caractéristique de débit K : Q 5,2 K= = =213m3 / s i 0,0006 Ensuite en prenant une série de valeurs de b et on calcul S,χ,R,C respectivement selon le tableau suivant : b

S

X

R

C

K

0 0.5 1 2 2.5 3 3.5 4

1.44 2.04 2.64 3.84 4.44 5.04 5.64 6.24

3.39 3.89 4.39 5.39 5.89 6.39 6.89 7.39

0.425 0.524 0.577 0.711 0.754 0.789 0.818 0.843

33.42 35.05 35.77 37.38 37.84 38.20 38.46 38.69

31.4 51.8 74.6 121.0 146.0 171.0 197.0 220.0

Ensuite en trace le graphique K=f (b) K=f(b) 250

K (m3/s)

200 150 Série1 100 50 0 0

1

2

3

4

5

b (m)

Du graphique on déduit que b=3,85m. -Calcul de la section S : S =b.h+m.h2

S =3,85.1,2+1.1,22 =6,06m2 -Calcul de la vitesse v : Q 5,2 v= = =0,86m/ s S 6,06 Exercice N° 03 Un canal trapézoïdal de largeur b=20 m, la pente des berges m=1,25, la rugosité n=0,020, la pente du fond du lit i=0.001, évacue un débit Q=60m3 / s , la hauteur d’eau de l’écoulement

uniforme h0=1,45m . A la fin de ce canal , il existe un déversoir qui provoque l’élévation du niveau d’eau en aval de 1,7 m à 2,0 m et la formation d’une courbe de remous.

Cours d’hydraulique générale

-Déterminer le type de la courbe de remous, ainsi que sa longueur ? Solution

-Calcul de la hauteur critique hcr : pour un canal trapézoïdal, la hauteur critique est calculée par la formule d’Agroskine de la manière suivante : hcr = 1− Zr +0,105 .Zr 2 .hcr(rect) 3 ou hcr(rect) c’est la hauteur critique pour un canal rectangulaire.

)

(

hcr(rect)=3

Q2 g.b 2

hcr(rect)=3

602 =0,97m 9.81.202

-calcul du paramètre Zr : m.hcr(rect) Zr = b 1,25.0,97 Zr = =0,060 20 remplaçant dans l’équation d’Agroskine on trouve : hcr=0,951m donc en a h > h0> hcr ⇒ en a une courbe de remous d’exhaussement. -Calcul de la longueur de la courbe de remous dl : dl = E2− E1 i−I m -Calcul des paramètres hydrauliques pour les deux sections : h S X R 1,7 37,6 25,45 1,48 2 45 26,4 1,7 d’après le tableau on calcul les paramètres moyens : la vitesse moyenne : vm=1,463m/ s le coefficient de Chézy moyen : Cm=53,99 le rayon hydraulique moyen : Rm=1,59m -Calcul de la pente moyenne : vm2 Im = 2 Cm .Rm

Im =

1,4632 =0,00046 53,992.1,59

v12 2.g 1,516 2 E1=1,7+ =1,83m 2.9,81

E1=h1+

C 53,37 54,62

v 1,596 1,333

Cours d’hydraulique générale

v22 2.g 1,3332 E2 = 2+ =2,09m 9,81.g la longueur de la courbe de remous est : dl = E2− E1 i−I m 2,09−1,83 dl = =481,48m 0,001−0,00046 E2=h2+

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE X RESSAUT HYDRAULIQUE

X-1. Introduction Le ressaut hydraulique est une surélévation brusque de la surface libre d’un écoulement permanent, qui se produit sur un court tronçon lors du passage du régime torrentiel au régime fluvial et occupe une position fixe. Ce phénomène est accompagné d’une agitation plus ou moins marquée et de grandes pertes d’énergie. Le ressaut hydraulique est observé dans plusieurs ouvrages hydrotechniques, en particulier dans les biefs avals des déversoirs, des vannes,…. etc. v02 2.g

H

1

v12 2.g

v0

2

v22 2.g h2,v2

h1,v1

Fig.X-1

Les profondeurs h1 et h2 dans les sections (1-1) et (2-2) limitant le ressaut s’appellent profondeurs conjugées. Les problèmes qui se présentent au sujet du ressaut sont essentiellement les suivant : ƒ Etant donné une profondeur h1, on détermine la profondeur h2 ou vice-versa. ƒ Calculer la perte de charge. ƒ Déterminer la longueur du ressaut. ƒ Fixer l’emplacement du ressaut. X-2. Types de ressaut

On distingue les types suivants de ressaut : a) Ressaut parfait Le ressaut s’observe dans le lit à pente uniforme et à rugosité ordinaire (Fig.X-1). Dans ce cas la hauteur du ressaut est :

a = (h2 − h1 ) > h1 b) Ressaut ondulé

Cours d’hydraulique générale

Ce type de ressaut à hauteur a < h1 ne contient pas de rouleau superficiel, il se présente sous forme d’une série d’ondes progressivement amorties ( Fig.X-2). Ce ressaut se produit lorsque les profondeurs conjuguées sont voisines à la profondeur critique hcr . h2

hcr

h1

Fig.X-3

c) Ressaut à remous Ce type de ressaut surgit dans un lit qui une paroi ou un gradin qui influe sur le ressaut. Il est observé dans un bassin de dissipation ou devant les parois d’amortissement.

Fig.X-4

d) Ressaut noyé Il surgit en écoulement par dessous les vannes et il a une zone superficielle développée (Fig.X-5).

Fig.X-5

e) Ressaut superficiel Ce type de ressaut à un rouleau de fond développé. Il est observé lorsque l’eau s’écoule d’un barrage muni d’un gradin superficiel (Fig.X-6).

Fig.X-6

X-3. Equation fondamentale du ressaut parfait Ici le théorème de Bernoulli n’est pas applicable à cause de l’importance de la perte de charge (Fig.X-7) pour cela on utilise le théorème d’Euler . 1

2

h2 P1

G h1

Ff

1

P2 2

Fig.X-7

Cours d’hydraulique générale

théorème d’Euler : la projection de l’accroissement de la quantité de mouvement d’une masse liquide par unité de temps en une direction quelconque est égale à la somme des forces extérieures agissant sur la masse liquide. Nous allons projeté la quantité de mouvement et toutes les forces extérieurs dans la direction du mouvement en supposant que : ƒ ƒ

ƒ

Le fond du canal est horizontal ou très faiblement incliné de sorte que la projection du poids sur un axe parallèle au fond Gx est nulle ou négligeable. Les frottements sur les parois et le fond du canal le long de la faible distance séparant les sections (1) et (2) sont négligeables par rapports à la perte de charge crée par le ressaut, autrement dit F f ≈ 0 . Les vitesses des différentes filets liquides dans chacune des sections sont parallèles.

La quantité de mouvement de la masse (dM) est : v.dM = v.ρ .dW = v.ρ .dQ.dt = ρ .v 2 .dS .dt

donc la quantité de mouvement du système examiné par unité de temps est le suivant :

∫ ρ .v

S1

2

.dS = ρ ∫ v 2 .dS = ρ .v 2 .S S1

l’accroissement de la quantité de mouvement du système examiné par unité de temps :

ρ .v 22 .S 2 − ρ .v12 .S1 = ρ .Q.(v 2 − v1 ) ou v1 , v 2 , S1 , S 2 sont les vitesses et les aires respectivement dans les sections (1-1) et (2-2). Conformément au théorème de la variation de la quantité de mouvement : ∆QM = ∑ Fe

ρ .Q.v 2 − ρ .Q.v1 = P1 − P2

(X-1)

puisque dans les sections (1-1) et (2-2) le mouvement est graduellement varié, donc on peut appliquer la loi hydrostatique de répartition de la pression :

P1 = ρ .g.hC1 .S1 et P2 = ρ.g.hC 2 .S 2 ou hC1 et hC 2 sont les profondeurs d’immersion à partir du centre de gravité des aires : S1 , S 2 . Substituons les valeurs de P1 et P2 dans la relation (X-1), on trouve :

Cours d’hydraulique générale

ρ .Q.v2 − ρ.Q.v1 = ρ.g.hC1 .S1 − ρ .g.hC 2 .S 2 et compte tenu que : v1 .S1 = v 2 .S 2 = Q on obtient : Q2 g .S1

+ hC1 .S1 =

Q2 g .S 2

+ hC 2 .S 2

(X-2)

Cette dernière équation est appelée équation fondamentale du ressaut parfait. Cette équation permet de déterminer une profondeur conjuguée du ressaut lorsqu’on connaît l’autre profondeur. X-4. Fonction du ressaut hydraulique

La relation (X-2) démontre que la fonction F (h) =

Q2 g.S

+ hC .S conserve la même valeur de

part et d’autre de ressaut. Le premier nombre de l’équation (X-2) dépend de la profondeur h1 et le deuxième en fonction de h2 . Analysons la fonction du ressaut F(h) si Q=cte Si

h → 0,

Q2 g.S

Si h → ∞,

→ ∞, hC .S → 0 et F (h) → ∞ Q2

→ 0, hC .S → ∞ et F (h) → ∞ g.S Ainsi la fonction du ressaut F(h) croit tant à la diminution qu’à l’augmentation des profondeurs. Donc à une certaine profondeur h, F(h) doit avoir un minimum. 2 dF (h) Q d ⎛ 1 ⎞ d (hC .S ) = ⎜ ⎟+ dh g dh ⎝ S ⎠ dh ∆(hC .S ) Q dS . =− + lim 2 ∆h g.S dh

∆h → ∞ ou ∆(hC .S ) est l’accroissement du moment statique hC .S de la section mouillé par rapport à la surface libre pour un accroissement ∆h de la profondeur. D’après la figure (X-8) : B

∆h

∆S C

.

hc

Cours d’hydraulique générale

∆h ⎞ ⎛ ∆ (hC .S ) = ⎜ S (hC + ∆h) + B.∆h. ⎟ − hC .S 2 ⎠ ⎝ 2 ( ∆h ) = S .∆h + B 2 ∆ (hC .S ) d (hC .S ) ∆h = lim(S + B ) = S = lim 2 ∆h dh ∆h → 0 ∆h → 0 donc : Q 2 .B dF (h) =− +S =0 dh g .S 3 ou

Q 2 .B g .S 3

=1

(X - 3)

par conséquent F(h) aura un minimum lorsque Fr = 1 et h=hc la fonction F(h) peut être représentée graphiquement (Fig.X-9). F(h)

F(h) Es h1 hcr h2

h

Fig.X-9

Cette courbe montre qu’il existe deux profondeurs correspondant à F(h) et qui sont h1 et h2. h1 < hc c’est la position amont du ressaut est l’écoulement est torrentielles. h 2 > hc c’est la position d’aval du ressaut et l’écoulement est fluvial.

X-5 Détermination des profondeurs conjuguées du ressaut A l’aide de la courbe de la fonction du ressaut (Fig.X-9) , on peut déterminer une des profondeurs conjuguées du ressaut si l’autre est connue dans le lit à toute forme donnée de la section transversale.

Cours d’hydraulique générale

Pour les lit à section rectangulaire l’équation (X-2) s’écrit de la manière suivante : Q2 Q2 h1 h + .b.h1 = + 2 .b.h2 2 2 g .b.h1 g .b.h2 Q2

2

g .b 2 .h1 hcr 3 h1

+

+

Q h12 h22 = + 2 2 g .b 2 .h2

3 h12 hcr h2 = + 2 2 2 h2

⎛ 1 1 h12 − h22 = 2.hcr3 ⎜⎜ − ⎝ h2 h1 2.hcr3 h1 + h2 − =0 h1 .h2

⎞ h − h2 ⎟⎟ = 2.hcr3 . 1 h1 .h2 ⎠

2.hcr3 h + h1 .h2 − =0 h1 2 2

en résolvant cette équation par rapport à h2 on trouve :

⎛h h 1 h2 = − 1 + h1 1 + 8⎜⎜ cr 2 2 ⎝ h1

⎞ ⎟⎟ ⎠

3

ou

h h2 = 1 2

⎛ ⎞ q2 ⎜ . 1+ 8 - 1⎟ 3 ⎜ g.h1 ⎟ ⎝ ⎠

et tenant compte que :

q2 g.h13

=

Q2. g.h13 .B 2

Q 2 .B

=

g.S13

= Fr1

donc on peut écrire que :

( (

) )

h2 . 1+8Fr2 -1 2 h h2 = 1 . 1+8Fr1 -1 2

h1 =

X-6. Pertes de charges dues au ressaut La perte de charge dues au ressaut hydraulique est beaucoup supérieure à celle de l’écoulement graduellement varié et elle est exprimée par la différence entre les énergies totales entre le début et la fin du ressaut selon la formule suivante :

Cours d’hydraulique générale

j=

(h2−h1)3 4.h1.h2

X-7. Longueur du ressaut

La longueur du ressaut est la distance entre les sections (1) et (2) (Fig.X-1), caractérisées par les profondeurs conjuguées h1 et h2. Plusieurs formules permettent de calculer la longueur du ressaut et qui sont basés sur les expérimentations. La longueur du ressaut dans le cas d’un canal rectangulaire est déterminées à l’aide des formules suivantes : Si Fr >10 Formule de Pavlovski : l =2,5.(1,9.h2−h1) Formule de Pikalov : l =4.h1. 1+2.Fr Plusieurs autres formules empiriques donnent la longueur de ressaut dans un canal rectangulaire parmi lesquelles : l=5.h2 l =6.(h2−h1) Pour un canal trapézoïdal : l =5.h2.⎛⎜1+ 4. B2− B1 ⎞⎟ B1 ⎠ ⎝ ou B1 et B2 sont les largeurs en surface respectivement en amont et aval du ressaut.

Exercice N°01 Dans un canal rectangulaire d’une largeur b = 10m, qui évacue un débit Q = 50000 l/s, il surgit un ressaut. Déterminer la deuxième profondeur conjuguée h2 si la première profondeur conjuguée h1=0,5m ? Déterminer la hauteur et la longueur du ressaut ? Déterminer la perte de charge dans le ressaut ? Solution - Détermination du nombre de Froude Q2..b 502..10 Fr = = =20,38 g.S 3 9,81.(10.0,5)3 - Donc la deuxième profondeur conjuguée sera égale à :

(

) (

)

h1 0 ,5 . 1+8Fr1 -1 = . 1+8.20,38 -1 =2,95m 2 2 - La hauteur du ressaut : a=(h2 −h1 )=2,95−0,5=2,45m h2 =

a>h1 en déduit que le ressaut est parfait. - Longueur du ressaut : en utilisant la formule de Pavlovski : l =2,5.(1,9.h2− h1)= 2,5.(1,9.2,45−0,5)=10 ,387 m - Calcul de la perte de charge :

Cours d’hydraulique générale

Pour un canal rectangulaire la perte de charge du au ressaut est donné par la formule (h2−h1)3 (2,95−0,5)3 suivante : hpc = = =2,492m 4.h1.h2 4.2,95.0,5 Exercice N°02

Dans un canal trapézoïdal se produit un ressaut pour Q=16000 l/s, b=7m, m=1,5. Déterminer graphiquement la deuxième profondeur conjuguée h2 si h1=0,5 m ? Calculer la longueur du ressaut et les pertes de charge dues au ressaut ? Solution

-Calcul de h2 en a la fonction du ressaut est : F (h) =

Q2

+ hC .S

g.S

- Pour un trapèze hc = h .3.b+ 2mh et S =bh+mh2 6 b+ mh on donne une série de hi et on calcul Si, hci et F(hi) ensuite en trace la fonction du ressaut h(m) 0,2 0,5 1,0 1,2 1,5 2,0

S(m²) 1,46 3,875 8,5 10,56 13,875 20,0

hc 0,098 0,242 0,470 0,559 0,689 0,90

hc.S 0,1431 0,9377 3,9950 5,903 9,5599 18,0

Représentation de la fonction du ressaut 25

F(h)

20 15

Série1

10 5 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

h

à partir du graphique en déduit que h2=1,125 m. - La longueur du ressaut pour un canal trapézoïdal égale à : lres =5.h2.⎛⎜1+ 4. B2− B1 ⎞⎟=5.h2.⎛⎜1+ 4. b+ 2.m.h2−b−2.m.h1 ⎞⎟ B1 ⎠ b+ 2mh1 ⎝ ⎝ ⎠ ⎛ 2.1,5.(1,125.0,5) ⎞ ⎟ =16,20 m lres =5.1,125.⎜⎜1+ 4. 7+ 2.1,5.0,5 ⎟⎠ ⎝ - Calcul des pertes de charges dues au ressaut :

F(h) 18,02 7,67 7,06 8,37 11,44 19,30

Cours d’hydraulique générale

v12 v22 − 2.g 2.g Q2 Q2 =0,1074 m hpc =h1−h2+ − 2 .g .S 1 2 .g .S 2 hpc=h1−h2+