Poly Oa Enit Tome 2 2012

Chapitre 3

CALCUL DES POUTRES PRINICPALES

3-1- Préliminaire 3-2- Coefficient de répartition transversale (CRT) 3-3- Détermination des sollicitations dans les poutres principales 3-4- Sollicitations dues à la charge permanente 3-5- Sollicitations dues à la charge AL. 3-6- Sollicitations dues à la charge du trottoir. 3-7- Sollicitations dues à la charge Bc. 3-8- Sollicitations dues à la charge militaire. 3-9- Sollicitations de calcul. 3-10- Particularité du ferraillage des poutres principales.

p 36 p 36 p 39 p 39 p 42 p 44 p 45 p 48 p 50 p 51

3-1- Préliminaire Les tabliers des ponts à poutres sont des structures tri-dimensionnelles pour lesquelles de nombreuses méthodes de calcul classique ont été proposées. En général, l'étude du tablier est subdivisée en une étude dans le sens transversal et une étude d'une poutre dans le sens longitudinal. La première étude donne un Coefficient de Répartition Transversale (CRT), dont on le multipliera avec les sollicitations (globales) retrouvées dans le sens longitudinal pour obtenir les sollicitations (moyennes) d'une poutre. Ainsi, on obtient le principe suivant: Sollicitation moyenne = CRT x Sollicitation globale Par sollicitation, on se réfère à un moment fléchissant ou à un effort tranchant. Pour déterminer les sollicitations globales, on fait souvent appel aux lignes d'influences puisqu'on peut avoir des charges mobiles. C'est le sujet traité dans le premier chapitre. Dans le prochain paragraphe et en annexe, on présente l’étude de la répartition transversale dans un pont à poutres, puis on termine avec le calcul des sollicitations globales et moyennes.

3-2- Coefficient de Répartition Transversale (CRT) 3-2-1- Introduction Le rôle principale des entretoises est de répartir les efforts entre les poutres principales. Dans l'absence des entretoises, c'est le hourdis qui joue le rôle d'entretoisement. Ainsi, pour déterminer les efforts dans une poutre, on doit tenir compte de la répartition transversale des surcharges et ceci à travers un coefficient correctif appelé Coefficient de Répartition Transversale "CRT". Celui-ci montre la portion des surcharges transmise sur la poutre considérée. ____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 36

Les tabliers des ponts à poutres sont des structures tri-dimensionnelles pour lesquelles de nombreuses méthodes de calcul ont été proposées. Ces méthodes sont classées en deux familles, selon que la section transversale peut être considéré comme étant indéformable (Figure 1) ou déformable (Figure 2). P

Entretoise intermédiaire Section rigide indéformable

Figure 1 : Principe de répartition transversale pour un pont à poutre avec entretoises intermédiaires ĺ méthode de Courbon.

P hourdis

Section souple deformable

Figure 2 : Principe de répartition transversale pour un pont à poutre sans entretoises intermédiaires ĺ méthode de Guyon-Massonnet. Le cas d’une section transversale indéormable est adapté aux tabliers dotés d'entretoises suffisamment rigides (avec entretoises intermédiaires nombreux et rapprochées). Dans ce cas on utilise: -la méthode des entretoises rigides, connue sous le nom de la méthode de Courbon, appliquée aux ponts en béton armé (ponts à poutres, pont à caisson), 1940.[1-3] -la méthode de torsion uniforme (voir Calgaro et Virlogeux) [4], appliquée surtout pour les ponts métalliques ou mixtes. Lorsque le tablier ne comporte pas d'entretoises rigides (sans entretoises intermédiaires ou avec entretoises d'espacement large), la section transversale est considérée comme étant déformable (Figure 2). Dans ce cas, le comportement mécanique de tels tabliers s'écarte de celui résultant de l'application de la méthode classique de la résistance des matériaux. On utilise, alors, l'une des méthodes suivantes: -Méthode de Guyon-Massonnet [5-8], basée sur un modèle de grillage de poutres, appliquée aussi bien pour les ponts à poutres multiples sous-chaussées que pour les ponts dalles. -Méthode de Cart-Fauchart [4,9], appelée aussi méthode de matrice-transfert de flexion transversale, basée sur des sections entre nervures et hourdis, appliquée aux tabliers à nervures. -Méthode de Lacroix [10], basée sur la théorie des poutres croisées. ____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 37

-Méthode des coupures (de Abdunnur) [11], basé sur une coupure au milieu du hourdis. -Méthode de Eugène [10] des ponts à poutres élastiquements liées, basée aussi sur une coupure dans le sens longitudinal du pont et au centre du hourdis. -Méthodes des ossatures plissées [4] (voir Calgaro et Virlogeux), basée sur la schématisation du tablier par plusieurs voiles. La liste des méthodes citées n'est pas exhaustive. Mais en pratique, dans le cas de tablier rigide, on utilise la méthode de Courbon. Dans le cas contraire, c'est la méthode de Guyon-Massonnet qui est la plus utilisée. 3-2-2- Méthode de Courbon Cette méthode suppose que les déformations des entretoises sont négligeables vis-àvis des déformations des poutres, c.à.d., les entretoises présentent une rigidité infinie. Ceci peut être obtenue lorsque: -les entretoises sont suffisamment nombreux (•3) et rapprochées (a § 4m) -La largeur du pont est très inférieure à sa longueur (Lr/Lc ” 0,5). -Les entretoises ont une hauteur comparable à celle des poutres. Notons que dans le cas de pont à poutres avec entretoises intermédiaires, ces conditions sont généralement réalisées en pratique.

3-2-3- Méthode de Guyon-Massonnet Lorsque la rigidité torsionnelle des éléments d'un pont ne peut être négligée, la section transversale du pont est considérée comme étant déformable; c'est alors qu'on utilise la méthode de Guyon-Massonnet (développée originalement par Guyon [5] en 1946 et mise sous forme de tableaux numériques par Massonnet [6-8] en 1954). Cette méthode est une méthode de calcul des dalles ou de réseaux de poutres. Voici les deux principes fondamentaux de la méthode: - Le premier principe fondamental est de substituer au pont réel un pont à structure continue qui a même rigidités moyennes à la flexion et à la torsion que l'ouvrage réel. - Le deuxième principe est d'analyser de façon approchée l'effet de la répartition transversale des charges en admettant que cette répartition est la même que si la distribution des charges selon l'axe du pont était sinusoïdale et de la forme: §Sx· p' = p sin¨ L ¸ © ¹ p: constante; L: portée du pont. Les calculs peuvent être affinés en développant la charge en série de Fourier, en fonction de l'abscisse longitudinale. Comme, de nos jours les ponts à poutres ne sont pas dotés d’entretoises intermédiaires, nous présentons Les détails de calcul d'après cette méthode dans l'annexe 1 avec les tables correspondantes de Guyon-Massonnet présentées dans l'annexe 2. Le CRT est déterminée pour la poutre de rive et pour la poutre intermédiaire. Ensuite, en comparant les valeurs des CRT, y compris les différentes paramètres (a1, LAL, bc), nous retenons les valeurs des CRT les plus grandes. Ça sera une poutre modèle avec un les valeurs maximales des CRT. Ainsi, nous calculons une seule poutre et tous les poutres auront le même ferraillage pour éviter le risque d’erreurs lors de la mise ne œuvre. ____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 38

3-3- Détermination des sollicitations dans les poutres principales Les poutres principales sont soumises à la charge permanente et aux surcharges (voir règles de chargement dans le chapitre 2). En ce qui concerne les charges à caractères normales, la charge Bc est en général la plus défavorable du système B. Il reste à comparer les effets de la charge Al et Bc, ensuite les cumuler à la charge du trottoir s'il en existe. Le résultat est à comparer avec les charges à caractères particuliers s'ils sont données. le principe est toujours le même, c.à.d., M = Mper + Sup M Al  M tr , M Bc  M tr , M Mc  M tr , M Ex On effectue l'évaluation des sollicitations aux sections critiques et à d'autres sections intermédiaires à l'ELU et à l'ELS. Cette reconnaissance de la répartition des sollicitations nous permet de faire l'arrêt des barres pour les moments fléchissants et de changer l'espacement des étriers pour l'effort tranchant. Pour cela on détermine couramment les sollicitations aux sections suivantes: x=Lc/2; x=Lc/4; x=Lc/6; x=Lc/8; et x=0. En pratique, un espacement d’un pas régulier est choisi (L/10 ou 1 m ou 2 m par exemple). Si l'étude transversale est effectuée d'après Courbon-bras de levier, Il suffit de calculer les moments fléchissants dans la poutre de rive et les efforts tranchants dans la poutre de rive et de sa poutre adjacente. Si l'étude transversale est effectuée d'après Guyon-Massonnet, on calcule les moments fléchissants et les efforts tranchants dans la poutre de rive (transversalement de rive) et la poutre centrale . Longitudinalement, le schéma statique de ces poutres est le même, la seule différence réside dans le coefficient de répartition transversale.





3-4- Sollicitations dues à la charge permanente.

hp

hd

3-4-1- Valeur de la charge permanente On évalue la charge permanente, gper, par m.l. de la poutre principale. En général, cette charge est composée de la somme des poids propres des éléments suivants: gper=gp+gd+gst. ¾ La poutre elle-même, gp: gp = bp (hp - hd) ȖBA. ȖBA: poids volumique du Béton Armé = 2,5 t/m3 = 25 kN/m3.

bp

Figure 3 : Section transversale d’une poutre. ¾ Le hourdis, gd: gd = hd . b0 .ȖBA.

hd

b0

b0

b0

Figure 4 : Section transversale du hourdis. ____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 39

¾ La superstructure ou équipements, gst (étanchéité, couche de roulement, trottoir, garde-corps, corniches, etc): gst = gétch + gcroul+ gtr + gg.c.+ gcor + … L’étanchéité est généralement prise à 3 cm d’épaisseur ( Ȗet= 22 kN/m3). La couche de roulement d’épaisseur généralement de 7 cm d’épaisseur (Ȗrl= 22 kN/m3). Le poids du trottoir est estimé à travers sa surface et sa masse volumique (remplie de béton à 25 kN/m3). Les gardes corps sont évalués selon le modèle. Les plus courants de type S8 est de poids linéaire de 0,3 kN/ml alors que le type BN4 (barrière employé comme garde corps) est de poids linéaire de 0,65 kN/ml. Pour les autres éléments en BA tel que la corniche, il est suffit de déterminer le volume de l’élément considéré et d’utiliser la masse volumique du BA (ȖBA= 25 kN/m3). Les charges de la superstructure sont majorées pour des incertitudes de leur poids (Gmax). Ainsi, l’étanchéité est majorée par 1,2 ; la couche de roulement de 1,4 et pour les autres éléments (trottoirs, corniches, bordures, …) de 1,05. ¾ En total, on évalue la charge permanente gper= gp+gd + gst. Alors que la charge d’entretoise sur appui n’intervient qu’aux appuis de la poutre de manière concentrée Ge. Elle n’est pas considérée pour le calcul des moments fléchissants et n’est considérée que pour les efforts tranchants sur les appuis (réactions d’appui). Ge = be . (b0 - bp). (he – hd). ȖBA.

en t ou en kN.

b0

bp

b0

he

hd

Transv.

b0

Long. be

Figure 5 : Section considérée pour l’entretoise 9 Coefficient de pondération des charges JG J = 1,35 Suivant le dernier chapitre à l'ELU et JG = 1,00 G

à l'ELS.

9 Répartition transversale La charge permanente est répartie de manière égale. Donc le CRT est Kper = 1. 3-4-2- Moments fléchissants La charge permanente est une charge répartie sur toute la poutre. Pour déterminer les sollicitations dues à cette charge, on n'a pas besoin d'utiliser le principe des lignes d'influence. Le problème se réduit à déterminer les sollicitations d'une charge répartie sur toute une poutre sur appui simple. ____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 40

g A

B

Lc/2 Lc

"M"

g Lc2/8

. Figure 6: Diagramme des moments fléchissants sous l'effet de la charge permanente per

Mx

n x = JG . gper. 2 (Lc- x) 2

n per M Lc/ 2 =JG . gper . Lc 8 per M Lc/ 4 per M Lc / 6 per

M Lc /8

per

= M0,5. 2

n 3. Lc =JG . gper . 4 .8

3 per = 4 M0,5.

2 5 per n 5 . Lc J = G . gper. = 9 M0,5. 9 .8 7 n per =JG . gper. = 16 M0,5.

3-4-3- Efforts tranchants De même pour les efforts tranchants, on utilise le diagramme des efforts tranchants d'une charge répartie sur une poutre simple.

g

GE

A

B

Lc/2 Lc GE g . Lc/2

"T" g.Lc/2

Figure 7: Distribution des efforts tranchants sous l'effet de gper. per

n

= JG . gper ( Lc  x) x0 2 per n x = 0 Tap = JG . gper Lc + GE 2 n per 3 . Lc T Lc/8 = JG . gper 8 n per T Lc/ 4 = JG . gper Lc 4 Tx

per

T Lc/ 2 = 0. ____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 41

3-5- Sollicitations dues à la charge Al. 3-5-1 Rappels:

a) valeur de la charge On rappelles quelques règlements de AL (chapitre 2) 360 AL = 2,3 + L + 12

en kN/m2.

L : Longueur chargée longitudinalement; en m. On multiplie cette quantité par deux coefficient a1 et a2. a1 dépend de nombre de voies chargées et de la classe du pont (voir tableau 1 dans la page 12 du chapitre 2). V0 = 3,5/3,0/2,75 pour les ponts du 1ère/2ème/3ème classe. a2 = V0/V V : Largeur d'une voie. A2 = a1 .a2 . A L. La charge devient par m.l. en multipliant par, LAL, la largeur de chargement déterminée transversalement, c.à.d., qAL = A2 . LAL = a1 .a2 . AL . LAL b) Coefficient de pondération des charges JQ1 Selon le chapitre 2

J = 1,60 Q1 J = 1,20 Q1

à l'ELU à l'ELS

c) Coefficient de répartition transversale. La RDM nous apprend que les moments fléchissants Mi et les efforts tranchants Ti sont proportionnels à la réaction de la poutre Ri. Donc, on doit multiplier ces sollicitations par le CRT. Celui-ci, KAl, est déterminée d'après la méthode de Courbon (et bras de levier) si la section transversale est considérée comme indéformable ( cas des ponts avec entretoises intermédiaires). Par contre, pour les sections transversales déformable (ponts sans entretoises intermédiaires), le CRT KAl est déterminée d'après la méthode de Guyon-Massonnet. Ici, on ne traitera que le cas où le CRT est déterminée par la méthode de Guyon-Massonnet (c.à.d.) le cas où il n'y a que des entretoises à l'extrémité des poutres principales. Ce coefficient est présenté dans l’annexe de ce chapitre. 3-5-2- Moments fléchissants

Dans ce cas, aussi, l'utilisation de la ligne d'influence peut être remplacer par le diagramme des moments, puisque le cas le plus défavorable revient à charger toute la longueur de la poutre Lc.

____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 42

qAL A

B

Lc/2 Lc

"M"

qAL . Lc2/8

Figure 8: Distribution des moments fléchissants sous l'effet de la charge AL.

qAL = A2 . LAL = a1 .a2 . Al . LAL x Al Mx = JQ1 . KAl . qAl . 2 (Lc- x)

Ici, L = Lc dans l'expression de AL. 2

Al Lc MLc/2 = JQ1 . KAl . qAl . 8 . Al 3.Lc MLc/4 = JQ1 . KAl . qAl . 32 . Al 7.Lc2 MLc/8 = JQ1 . KAl . qAl . 128 .

x=Lc/2 x=Lc/4 x=Lc/8

3-5-3- Efforts tranchants

Les efforts tranchants se calculent à l'aide de leur ligne d'influence en tenant compte de la longueur chargée LAL .

A

Lc - x

x

B

Lc

qAL 1- x

Lc

Li "Tx"

Z’AL Figure 9: Effort tranchant dans la section x sous l'effet de la charge Al.

360 § · = a1 . a2 .¨2,3 + (Lc -x) + 12¸ . LAL © ¹ 1 x (Lc x)2 Z’Al = 2 . (1 - Lc) . (Lc- x) = 2 . Lc Al AL T = J . KAL . q .ZAL . Al

qx

x

Q1

en kN/m.

x

En particulier, 360 · AL Al Lc Al § Tap = JQ1 . KAl . qx . 2 . avec qx = a1 . a2 .¨2,3 + ( Lc+ 12)¸ . LAL © ¹ 360 Lc AL Al Lc Al § · pour x= 2 TLc/2 = JQ1 . KAl . qx . 8 . avec qx = a1 . a2 .¨2,3 + ( 0,5 Lc + 12)¸ . LAL © ¹ pour x=0

____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 43

3-6- Sollicitations dues à la charge du trottoir 3-6-1- Rappels

a)Valeur de la charge. On utilise la charge générale de valeur constante (chapitre 2 ): qtr = 0,15 t/m2. = 1,5 kN/m2. Cette valeur est à multiplier par la largeur de chargement, qui est la largeur du trottoir Ltr. qtr = 0,15 . Ltr en t/m. ou qtr = 1,5 Ltr en kN/m. b) Coefficient de pondération des charges JQ1 J = 1,60 Suivant le chapitre. 2 à l'ELU Q1 J = 1,00 à l'ELS Q1 c) Coefficient de répartition transversale. Le CRT est déterminée d'après Guyon-Massonnet décrite en annexe. 3-6-2- Moments fléchissants

Le calcul se fait de manière analogue à celui de AL x tr Mx = JQ1 . Ktr . qtr . 2 (Lc - x) 3-6-3- Efforts tranchants

Les efforts tranchants se calculent à l'aide de leur ligne d'influence. La charge qtr est constante. Elle est placée de manière la plus défavorable. A

(Lc – x)

x

B

Lc

q tr 1- x

Lc

Li "Tx"

Ztr Figure 10: Effort tranchant sous l'effet de la charge qtr dans le cas où le CRT est donnée par la méthode de Guyon-Massonnet.

1 x (Lc x)2 Ztr = 2 . (1 - Lc) . (Lc - x) = 2 . Lc tr Tx = JQ1 . Ktr . qtr .Ztr .

En particulier, pour x = 0

Lc tr Tap = JQ1 . Ktr . qtr . 2 .

____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 44

3-7- Sollicitations dues à la charge Bc 3-7-1 Rappel

a) Valeur de la charge P 1,5

P

P/2 4,5 m

4,5 m

P 1,5

P

P/2 4,5 m

P = 12 t = 120 kN

Figure 11: Schéma de calcul de la charge Bc dans le sens longitudinal

b) Coefficient bc On doit multiplier la valeur de la charge par le coefficient bc qui dépend du nombre de file et de la classe du pont (d’après le CRT). c) Coefficient de majoration dynamique įB. 0,4 įB = 1 + 1 + 0,2 L +

0,6

G 1+ 4 S L: longueur de la travée = Lc. G: Poids total de cette travée. S: Poids total le plus élevé du système B placé sur la travée (en tenant compte du bc et bt). d) Coefficient de pondération des charges JQ1 J = 1,60 Suivant le chap. 2 à l'ELU Q1 J = 1,20 à l'ELS Q1 e) Coefficient de répartition transversale. Le CRT KBc est déterminée d'après Guyon-Massonnet. 3-7-2- Moments fléchissants

(xLc/2) ; Dans ce cas, les moments sont calculés à l'aide de leur lignes d'influence (Li) dans la section considérée en plaçant la charge Bc dans le sens longitudinal de manière la plus défavorable. La Li des moments est une ligne brisée formée de segments de droites. Il en résulte que la position la plus défavorable du convoi comporte probablement la présence d'un essieu au droit de la section considérée. Les essieux arrières sont les plus chargées et les plus rapprochés. Nous avons intérêt dans le but de trouver le cas le plus défavorable à mettre ces essieux à côté de l’ordonnée maximale de la ligne d’influence. Pour cela deux positions sont possibles : soit le dernier essieux sur l’ordonnée maximale soit l’avant dernier essieu. On essaye ces deux positions en déterminant la somme des produits de ¦ Pi . yi .pour chaque position. 1ère disposition : ____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 45

A

B

Lc - x

x Lc

P

P/2

P

P

P Li "Mx"

yi

x

(Lc  x) Lc

Figure 12 : Détermination des moments fléchissants sous l’effet de la charge Bc pour la première disposition. 2ème disposition :

A

B

Lc - x

x Lc

P/2

P P

P P Li "Mx"

yi x

(Lc  x) Lc

Figure 13 : Détermination des moments fléchissants sous l’effet de la charge Bc pour la deuxième disposition.

Pour ces deux dispositions, nous déterminons les yi sur les lignes d’influences tel expliqué dans le chapitre1. Ensuite, nous cherchons le cas le plus défavorable entre les deux dispositions. ¦ Pi yi = Sup [(¦ Pi yi)1ère disp, (¦ Pi yi)2ème disp] Ainsi, on peut déterminer le moment maximum. Bc M = J . KBc . GB . bc . ¦ Pi . yi x

Q1

*Cas particulier: section au milieu de la travée (x=Lc/2) Avec exactitude suffisante pour la pratique, on admet que le moment maximum absolu agit au milieu de la travée. Mais en vérité sa position réelle est donnée par le théorème de barré.

Théorème de Barré: "Le moment fléchissant est maximum au droit d'un essieu lorsque cet essieu et la résultante générale du convoi se trouvent dans des sections symétriques par rapport au milieu de la poutre." ____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 46

Une étude, basée sur ce théorème, a été faite pour le convoi réglementaire Bc [1,12]. Les dispositions les plus défavorable des essieux pour différentes longueurs de travées et les expressions des moments maximaux correspondants sont données dans le tableau N°1 pour le cas de travée indépendante [1,12].

Portées ( Lc en m)

Dispositions des essieux

G (m) Moments maximaux (Mmax)

P

0 < Lc < 2,56 m

0 P G

P

2,56 < Lc < 9,19

PP

9,19 < Lc < 11,75

P/2

17,44 < Lc < 18,38

P/2

18,38 < Lc

P/2

0,375

0,281 M= P (0,50 Lc + Lc 0,75)

0,15

0,056 M= P (0,625 Lc + Lc 1,875)

0,375

0,422 M = P (0,75 Lc + Lc 3,375)

0,844

2,848 M= P (Lc + Lc - 7,875)

G

P G

11,75 < Lc < 17,44

M= 0,25 P Lc

P P G

P P G

P/2

P

P/2

P/2

P

P/2

PP

1,725 M = P(1,25 Lc + 13,125)

14,878 Lc -

Tableau N°1: Expression du moment maximale sous l'effet du convoi Bc dans une poutre à travée indépendante [1,12]. Pour une approximation assez suffisante pour la pratique on suppose que ces moments sont obtenus pour la mi-travée, c.à.d., à x= Lc /2. Ainsi, on a: Bc M Lc /2 = JQ1 . KBc . GB . bc .Mmax. 14,878 Exp: Lc = 19 m; L= Lc > 18,38m Mmax = P (1,25 Lc + Lc - 13,125) Bc 14,878 M Lc /2 = JQ1 . KBc . GB . bc .P (12,5 Lc + Lc - 13,125) avec P = 12t 3-7-3- Efforts tranchants

La position la plus défavorable est évidente (2 essieux arrière sur le maximum de la ligne d’influence, Li).

____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 47

A

B

(Lc-x)

x Lc

P 1- x

Lc

P/2

P

P

P

yi

Li "Tx"

Figure 14: Détermination des efforts tranchants sous l'effet de Bc Bc Tx = JQ1 . KBc . GB . bc . ¦ Pi yi

3-8- Sollicitations dues aux charges militaires 3-8-1- Rappel

Nous étudions les charges Mc80 ou les charges Mc120 selon les cahiers des charges de maître d’œuvre (selon l’importance de l’itinéraire ). La plupart des ponts actuels sont plutôt calculé pour la charge de Mc 120. a) Valeur de la charge • Mc80 q = 147 kN/m

q

30,5 m

4,9 m

4,9 m

Figure 15a : Représentation longitudinale de la charge Mc80.

• Mc120 q = 180 kN/m

q

30,5 m

6,1 m

6,1 m

Figure 15b : Représentation longitudinale de la charge Mc120.

b) Coefficient de majoration dynamique GMc. 0,4 GMc = 1 + 1 + 0,2 L +

0,6

G 1+ 4 S L: longueur de la travée = Lc. G: Poids total de cette travée. S: Surcharge maximale de Mc correspondant placé sur la travée. c) Coefficient de pondération des charges JQ1 ____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 48

J = 1,35 à l'ELU Q1 J  1 à l'ELS Q1 d) Coefficient de répartition transversale. Le CRT KMc est déterminée soit d'après la méthode de Guyon-Massonnet.

Suivant le chapitre 2

3-8-2- Moments fléchissants

Les charges militaires étant une charge répartie. En utilisant les lignes d'influences, on détermine les sollicitations en multipliant la charge par l'aire correspondante. Mais la question qui reste à étudier est la suivante: Où placer la charge pour avoir l'effet le plus défavorable? Ce qui revient à rechercher l'aire maximale de la ligne d'influence placée sous la charge. En ce qui concerne les moments fléchissants, et pour une longueur modérée (ne faisant pas intervenir un deuxième char) la charge est placée à une distante t de l'appui gauche (voir figure 16). Ainsi, on doit rechercher la valeur de t pour avoir l'aire Z maximale. Ceci est obtenu bien entendu- en dérivant la fonction Z par rapport à t et en égalisant la dérivée à zéro (dZ/dt = 0). C'est ainsi qu'on obtient la valeur suivante de t : pour la charge de Mc80: pour la charge de Mc120:

x t = Lc (Lc - 4,9) x t = Lc (Lc – 6,1)

en m. en m.

A x

(Lc-x)

B

Lc

t

4,9 m

q Li "Mx"

Z x (Lc  x) Lc Figure 16: Détermination des moments fléchissants sous l'effet de la charge Mc 80 (le char est placé à une distance t de l'appui gauche de manière à produire l'effet le plus défavorable).

Les moments fléchissants dans la section x sous l'effet de Mc80 est: Mc M = J . KMc . GMc . q . Z x

Q1

KMc: CRT sous l'effet du Mc 80 Z : aire de la Li correspondante à la charge de Mc 80. Cet aire est déterminée en trouvant les ordonnées de ces extrémités par le principe de Thalès et en connaissant la valeur maximale de la ligne d’influence. Sous l'effet de Mc120, les moments fléchissants sont déterminés de manière analogue (t change).

____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 49

3-8-3- Efforts tranchants

La recherche du cas le plus défavorable pour les efforts tranchants est plus simplifiée car il suffit de positionner un char adjacent au sommet de la ligne d'influence (Fig. 17). Éventuellement, on peut placer un deuxième char à 30,5 m. A x

B

(Lc – x) Lc

4,9 m

q

1 x Lc Li "Tx"

Z’ Figure 17: Détermination des efforts tranchants sous l'effet de Mc80 Les efforts tranchants dans la section x sous l'effet de Mc80 est: Mc T = J . KMc . GMc . q . Z’ x

Q1

Sous l'effet de Mc120, les efforts tranchants sont déterminés de manière analogue. Remarque: Pour les ponts de longueur importante (> 35 m), il y a lieu de prendre en compte l'effet du 2ème char. (surtout pour les efforts tranchants près de l'appui).

3-9- Sollicitations de calcul On établira un tableau de ces sollicitations à l'ELU et un tableau de l'ELS, dans les sections courantes. La combinaison des actions pour les moments fléchissants et les efforts tranchants est: Mx = Mper + Sup M Al  M tr , M Bc  M tr , M Mc  M tr







Tx = Tper + Sup T Al  T tr , T Bc  T tr , T Mc  T tr

Section Mx Tx

0 (appui)

Lc/8

Lc /4

Lc /2

Tableau N°2: Tableau des sollicitations de calcul à préparer.

Ce tableau est à obtenir à l’ELU et à l’ELS.

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3-10- Particularité du ferraillage des poutres principales Pour les ponts à poutres en béton Armé, la section de la poutre en T ou avec talon est calculée à la flexion simple. Pour le béton, on prend un fc28 = 30 MPa. Le calcul du BA ce fait d'après le règlement BAEL 91. Nous procédons aux arrêts de barres. Cet arrêt est déterminé suivant le diagramme enveloppe en le décalant de 0,8 hp. On détermine le moment résistant du groupe de barres pour le quel on veut effectuer l’arrêt. Ce moment doit être supérieur au moment due au charges appliquées (calculés). On ajoute une longueur de scellement. La condition de fissuration est très préjudiciable si l'ouvrage est sur site très agressif (sur mer ou en zone industrielle) sinon la fissuration est considérée comme préjudiciable. Ainsi, les conditions d'enrobage sont: • 3 cm dans le cas de fissuration préjudiciable • 5 cm dans le cas de fissuration très préjudiciable. Dans la plus part des tabliers des ponts, la fissuration est considérée comme préjudiciable, c’est ainsi que les calculs se font uniquement en ELS.

Il est à noter qu'on laisse en attente les armature de la face supérieure (étrier) pour constituer un mariage avec le hourdis. Les armatures longitudinales des poutres sont ainsi introduites lors du ferraillage du hourdis. Les poutres préfabriquées en Béton Armé posé par une grue sont dotées de crochets nécessaire pour leur manutention lors du levage. Ainsi, la poutre doit être calculé aussi à ce mode d'exécution. Le calcul se fait en considérant la poutre inversée appuyée sur les points d'accrochage et soumise à l'effet de la charge permanente de la poutre elle-même (Fig. 18).

Inverser

gp Figure 18: Schéma de principe de calcul d’une poutre au moment de son levage.

Si le leavge est procédé aux extrémités des poutres (par les trous de réservations de l’acier inférieurs des entretoises), ce calcul n’est pas nécessaire. ____________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 3, page 51

Bibliographie relatif au Chapitre 1

[1] J. Courbon, "Application de la RDM au Calcul des Ponts", Dunod, Paris, 1950. [2] J. Courbon, " la Résistance Des Matériaux ", Tome 1, 2è ed., Dunod, Paris, 1964. [3] J. Courbon, "Calcul des Ponts à Poutres Multiples Solidarisées par des Entretoises", Annales des Ponts et Chaussées, Nov-Déc 1940. [4] J.A. Calgaro et M. Virlogeux, "Projet et Construction des Ponts: Analyse des Tabliers des Ponts", Presses de l'ENPC, Paris, 1988. [5] Y. Guyon, "Calcul des Ponts Larges à Poutres Multiples Solidarisées par des Entretoises", Annales des Ponts et Chaussées de France, 1946. pp553-612. [6] Ch. Massonnet, "Contribution au Calcul des Ponts à Poutres Multiples", Annales des Travuax Publiques de Belgique. Juin, Oct et Déc 1950, pp374-424, 749-800, 927-964. [7] Ch. Massonnet, "Compléments à la Méthode de Calcul des Ponts à Poutres Multiples", Annales de l'ITBTP, N°169, Jan 1962, pp1-36. [8] R. Bares et Ch. Massonnet, "le Calcul des Grillages de Poutres et Dalles Orthotropes", Dunod, Paris 1966. [9] J. Fauchart, "Exemples d'Etudes de Tabliers des Ponts Courants en Béton Précontraint, Coulés sur Cintre", Annales de l'ITBTP, Mai 1968, pp 765-786. [10] B. Archambeaud et F. Durand, " Ponts à Deux Poutres Reliées par un Hourdis: Calcul Eugène, Ponts à Poutres Elastiquement Liées", Travail de Fin d'Etudes, ENPC/SETRA, 1979. [11] C. Abdunur, "Influence des Entretoises sur le Comportement d'un Pont à Poutres", Bulletin de Liaison des Laboratoires des Ponts et Chaussées, N°95, Mai-Juin 1978, pp33-50. [12] Réunions des Ingénieurs, "Cours de Ponts", Collection des cours de l'Ecole chez soi, Ed. Eyrolles, 1977.

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