Poly Mécanique Générale PDF

 

MECANIQUE GENERALE 1ère  année Génie Civil & Génie Hydraulique et Environnement

 Joseph Louis Louis Lagr Lagrange ange (1 (1736-18 736-1813) 13)

Hédi HASSIS - Lamia GUELLOUZ - Malek ABDELKARIM

Année universitaire 2012 – 2013 0

 

Pont-levis  (Saint-Jean, photo Patrice Marcotte, 30 juin 2002, http://www.iro.umontreal.ca/) 

1

 

SOMMAIRE

CHAPITRE I:

…………………………….………………….….  3  PARAMETRAGE ET LIAISONS …………………………….………………….…. 1.1 Paramétrage ………………………………………………………………..……….….  ………………………………………………………………..……….….  3 1.2 Liaisons …………………………………………………………………………………..… 4 …………………………………………………………………………………..… 4 

1.3 Paramétrage strict ou surabondant…………………………………………… 6  1.4 Champs d'action - Energie – Travail …………….…………………………...  …………….…………………………...  6  1.5 Classification des actions mécaniques……………………………………..… ……………………………………..… 7  7 Série d’exercice N°1……………………………………………………………………...…… ……………………………………………………………………...……8 8

CHAPITRE II:

PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS  APPLICATION AUX SOLIDES SOLIDES RIGIDES…………………………. 9  2.1 Mouvement Virtuel……………………………………………………………..…… ……………………………………………………………..……   9 2.2 Déplacement virtuel licite………………………………………………..……….. ………………………………………………..………..   13  2.3 Travail Virtuel…………………………………………………………………………….  …………………………………………………………………………….  14  2.4 Principe des travaux virtuels……………………………………………………… virtuels………………………………………………………   17 2.5 Equivalence P.F.D - P.T.V …………………………………………………………. ………………………………………………………….   19 2.6 Liaisons parfaites – liaisons élastiques ……………………………………... ……………………………………... 21  2.7 Potentiel - Fonction de forces  …………………………………………… …………………………………………………... ……... 22  22  2.8 Théorème de l'Energie cinétique……….…………….……………………..…  ……….…………….……………………..…  23  2.9 Système conservatif … ………………………………………….……………………..…  23 3 ……………………………………….……………………..… 2 Série d’exercice N°2………………………………………………………………………..… 25

CHAPITRE III:

LES MULTIPLICATEURS MULTIPLICATEURS ET LES EQUATIONS DE LAGRANGE…. 

27 

3.1 Les multiplicateurs de de Lagrange (système à liaisons parfaites) parfaites) … 27  3.2 Les formules de Lagrange…………………………………………….………….… 30  3.3 Les équations de Lagrange……………………………………………………….…31 ……………………………………………………….… 31  Série d’exercice N°3……………………………………………………………….….…….…34 ……………………………………………………………….….…….… 34

CHAPITRE IV:

ANALYSE DYNAMIQUE ET INSTABILITES DES SYSTEMES DISCRETS………………………………………………...  37 

4.1 Définition…………………………………………………………………….………….… 37  4.2 Exemple introductif : formes énergétiques de l’oscillateur à 2 ddl……………….… 37  4.3 Méthode modale………………………………………………………….………….… ………………………………………………………….………….…38 38  4.4. Application à l’oscillateur à 2ddl soumis à un déplacement imposé………..… 40  Série d’exercice N°4…………………………………………………………………..…….…44 …………………………………………………………………..…….… 44 

2

 

CHAPITRE I

PARAMETRAGE ET LIAISONS 1.1 Paramétrage Dans l'étude du mouvement d'un système de solides rigides, il est nécessaire, en tout premier lieu, de savoir caractériser ses positions, c'est à dire, de le paramétrer. Le paramétrage est une étape essentielle qui est directement liée à la modélisation géométrique du système. Définition: Ayant choisi un repère, paramétrer un systèm système e de solides, c'est associer à tout toute e position du système une famille de scalaires notée (qi), i = 1 ...n, telle qu'à deux positions différentes du système doivent correspondre deux familles différentes. Les (qi (qi) sont appelés paramètres. La position de toute particule P du système ∑, paramétrée par (qi), est déterminée de manière unique par : OP = OP (qi ) 

qi sont les paramètres ou les coordonnées généralisées

L'étude du mouvement consiste donc à déterminer l'évolution de (qi) en fonction du temps. La vitesse est donnée par : i V(P) = d OP dt  (q ) 

V(P) =

∂ OP ∂qi

 qi   avec qi  =

dqi  : vitesse généralisé dt

 

(Ceci sous-entend le symbole de sommation pour l'indice muet "i" convention d'Einstein). Rappels : • un solide dans le plan est paramétré par 3 paramètres. • un solide dans l'espace est paramétré par 6 paramètres. 3

 

Exemple : pendule O  j

i

Soit une barre rigide AB articulée en A et libre

y A

en B. Le point A est mobile suivant l'axe

A

horizontal. Le système est paramétré par : q 1 =

L

yA ; q2  = θ.  P

θ

La position d'une particule P située à une

B

distance L de A est donnée par :

x

 

OP = L cos θ  i + (yA + L sin θ ) j 

La vitesse d'un point P est donnée par :  OP ∂OP on a :

∂θ 

V(P) =

= - L sinθ  i + L cosθ 

 

∂ OP OP ∂ yA 

yA +

∂ OP OP

θ 

∂θ 

⇒

∂ OP OP

= - L sinθ  θ i + (y (yA + L cosθ  θ )

= 1

∂ yA 

1.2 Liaisons Définition : Une liaison entre deux solides est une entrave aux possibilités du mouvement relatif entre eux. Elle résulte du contact entre solides et est caractérisée par la nature géométrique et physique de ce contact. D'une manière générale, une liaison se traduit par des relations de dépendance entre les paramètres, les vitesses généralisées et le temps. Une liaison peut donner lieu à une ou plusieurs relations scalaires entre paramètres du type général suivant : f (q, q&  , t ) ≥ 0  

(équation scalaire)

Classification des liaisons -Unilatérale

f (q, q&  , t ) ≥ 0  

il y a possibilité de décollement.

-Bilatérale

f (q, q&  , t ) = 0  

le contact est assuré 4

 

*Dépendante du temps

f (q, q&  , t ) ≥ 0  

*Indépendante du temps

f (q , q& ) ≥ 0  

-Holonôme

Si les solides qui sont en contact ne sont astreints qu'à

f (q,  t ) ≥ 0  

des conditions géométriques de contact alors l'équation de liaison ne fait pas intervenir les vitesses q& . &

f (q, q  , t ) ≥ 0  

-Non holonôme Si les solides qui sont en contact sont astreints à des conditions géométriques et cinématiques l'équation de liaison fait intervenir q& . Remarque: Une liaison non holonôme nécessite l'écriture d'une liaison holonôme traduisant l'aspect géométrique du contact. Exemple :

* Contact roue d'une voiture -sol La position de la roue est paramétrée par :

M

θ

y R

(xc , yc, θ).

c

x

 

Le contact contact est assuré si: yc - R = 0 Il y a décollement si : yc - R > 0

Dans ce cours, on se limitera aux liaisons bilatérales

* Si la roue roule sans glisser et sans décoller, l’écriture de la C.R.S.G. (Condition de Roulement Sans Glissement) en annulant la vitesse de glissement donne :

         0   C’est une équation de liaison non holonôme qu’on peut intégrer pour obtenir une équation de liaison holonôme :

xc + R θ = Cte

Dans ce cas on dit que l’équation de liaison est semi-holonôme Définition :  On appelle obstacle un solide dont le mouvement est a priori connu. L'obstacle est généralement considéré comme un solide extérieur au système. Selon que les obstacles avec lesquels le système est en contact sont fixes ou mobiles, les 5

 

relations qui traduisent les liaisons correspondantes ne dépendent pas explicitement du temps ou en dépendent. Exemple : Sphère sur un plan mobile.

1.3 Paramétrage strict ou surabondant Proposition : Lorsqu'un système ne possède que des liaisons holonômes indépendantes du temps, on peut réduire le paramétrage initial en un paramétrage strict à l'aide des équations de liaison. Le paramétrage est considéré surabondant s'il existe au moins une équation de liaison non utilisée. Attention : • Dans certains cas, lorsque les équations traduisant des liaisons holonômes sont d'expression complexe, il n'est pas souhaitable de réduire le paramétrage initial (voir multiplicateurs de Lagrange). • Il ne faut jamais réduire un paramétrage à l’aide d’équations non holonômes. Car dans ce cas les positions dépendraient de vitesses, ce qui est à éviter dans ce cours (voir établissement de la formule de Lagrange).

1.4 Champs d'action - Energie - Travail  Définition: Une énergie mécanique (ou travail) est une énergie mise en jeu dans les mouvements des particules d'un système. Une énergie est un scalaire homogène à 2

2

ML T- . Ayant défini ou mis en évidence (par l’expérience) une énergie, on définit à partir de celle-ci un champ d'action comme étant «quelque chose qui travaille dans le mouvement des particules». Plus précisément :

6

 

Définition : à toute sollicitation mettant en jeu l'énergie mécanique W dans l'évolution d'un système ∑ entre les instants t1  et t2, on peut associer, à tout instant t, un champ de r

vecteur φ( t )  défini sur ∑ tel que : t2 W= t1

Σ

φ. V dΣ  dt

r

  r

r

φ  est appelé champ d'action. W est le travail de φ  dans le mouvement de vitesse V ,

entre t1 et t2  r

φ(t).V(t) dΣ

P=

Σ

 

est la puissance du champ d’action φ  à l’instant t

1.5 Classification des actions mécaniques • En Mécanique des Milieux Continus :

- 

Actions extérieures  : c'est l'interaction du système avec les particules extérieures. On note We le travail de ces actions.

- 

Actions intérieures :  c'est l'interaction entre particules du système. On note W i  l'énergie correspondante. Wi  est l'énergie que l'on doit vaincre pour déformer le système. Dans un mouvement sans déformation : W i=0.

- 

Actions d'inertie : c'est le travail du champ d'action − ργ . On le note W j.

 r

• En Mécanique des Solides Rigides :

- 

Actions données  : ce sont les actions données (non inconnues du problème). On note leur travail Wd.

- 

Actions de liaison : pour un système de solides rigides, ce sont les actions entre les solides du système ou entre le système et les appuis. Retenons en fait qu'il s'agit d'inconnues. On note leur travail Wl.

- 

Actions d'inertie : ce sont les mêmes que celles de la M.M.C

Remarque : On a évidement Wd + Wl  = We + Wi 

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Série d’exercice N°1 T.D de révision Exercice 1 Un cadre (figure 1) est composé de quatre barres non pesantes parfaitement articulées entre elles. Entre A et B est placé un ressort de raideur K. Calculer les réactions d'appui, les tensions dans les barres et dans le ressort.

Exercice 2 On considère le système bielle manivelle de la figure 2, on néglige le poids des barres et les articulations sont supposées parfaites. Un couple Γ   est appliqué en A et une force horizontale en C. Calculer les réactions des appuis et la position d'équilibre.

B a

a

A

B a

l

L

a

F Figure 1

A

C F

Γ Figure 2

 

Exercice 3 On considère une barre non pesante soumise à un chargement dont les éléments du torseur équivalent en O sont : R et M . Cette barre repose sur une répartition uniforme de ressorts de rigidité k (Voir figure 3). a – Déterminer l’expression des réactions des ressorts à l'équilibre. b - Calculer l'énergie potentielle des ressorts.

Figure 3

8

 

CHAPITRE II

PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS  APPLICATION AUX SOLIDES SOLIDES RIGIDES 2.1. Mouvement Virtuel Ce cours de Mécanique Générale est basé sur une approche énergétique, l'idée de base est: "la détermination des champs d'action à partir des énergies mises en jeu" Il s'agit donc de déterminer, par exemple, l’effet d’une force F = (F1 , F 2 , F 3 ) à partir du travail (ou bien de la puissance) qu'elle fournie. La puissance P = V . F  (où V est la vitesse dans le mouvement réel) est une égalité scalaire. Connaissant P, il est impossible de déterminer F  (3 inconnus) et par conséquent le mouvement réel ne suffit pas pour déterminer F. Pour lever, cette indétermination, on est conduit à considérer des mouvements non réels, dits virtuels, ainsi que les travaux virtuels associés. Définition : Soit ∑ un système quelconque (déformable ou non). Un mouvement VIRTUEL à l'instant t0 est défini par une application (ou une famille d'applications): r

(P,u) → OP (u) = P ( u )  

P étant un point de Σ  et u est un paramètre du mouvement virtuel. OP (u)  est la position R + tel

u ∈ 

de que

P

dans

∀  p ∈Σ ∈Σ  OP  (u=0) =

P

l'espace, lors OP  (t=t0) ; voir figure.

δP

Q

du

mouvement

virtuel.

P(u)

δQ Q(u)

t = to u=0

t = to u=u

  9

 

Remarques : • On ne se soucie pas de la faisabilité d’un mouvement virtuel. • Le temps est fixé à t0. On insiste sur le caractère intemporel du mouvement virtuel. • On se limitera dans ce cours aux mouvements qui respectent les corps rigides, cependant les définitions sont valables pour tout système. Définition : On appelle taux de déplacement virtuel  à l'instant to, le champ de vecteurs tangents au mouvement virtuel en u = 0 ; on le note : δP = lim u→0

P(u) - P(u=0 P(u=0))   ∂P  = u   u=0 ∂u

 

Remarques • taux signifie un accroissement par rapport à un paramètre. On dit parfois vitesse virtuelle (incommode car vitesse sous-entend un accroissement par rapport au temps). Par abus de langage on dira "déplacement virtuel", le taux étant entendu. Exemples : • Translation.

X

  P (u) = P (0) (0 ) + u X ⇒ δP = X ∀ P 

10

 

• Glissement simple d'un rectangle δM

e2 e1

 

P(u) = (x + u y) e1  + y e2 ⇒ δP = y e1  

Définition : Un déplacement virtuel est dit rigidifiant s'il respecte l'indéformabilité du système. Donc c'est un torseur. Preuve :

Le déplacement est rigidifiant si: Q(u)P (u)  = constante   on dérive par rapport à u: OP(u) OP (u) - OQ(u) OQ(u)

dOP(u) dOQ(u)   = 0 du du

pour u = 0, OP - OQ δP - δQ = 0

 

⇒ δM est équiprojectif.

Ainsi il existe un vecteur qu'on notera δΩ tel que : δ M =  δ O +  δΩ  δ Ω ∧ OM ∀  O, M ∈ Σ  rigide  

Ceci est vrai pour un solide. so lide. Dans ce cours, on traitera le cas d’un système de solid solides es rigides. Dans lle e but de définir un mouvement virtuel qui respecte l'indéformabilité de chacun des solides, il suffit d'utiliser le paramétrage du système, qui par construction respecte l'indéformabilité souhaitée. Définition: Soient: • ∑ un système de sol solides ides rigides paramétré paramétré par (qi) i

• (q0 ) est la configuration de ∑ à t0. Un mouvement virtuel est défini par la donnée de l'application: 11

 

∀  i = 1...n

u → qi (u) telle queq queqi  (0) = qi0  

On appellera (taux de) déplacement virtuel à t0  le vecteur δq de composante δqi définie par : i

δq = lim

q i ( u ) − q i (0) u

∂q i ∀i = ∂u u = 0  

u→0

Remarque: • Le vecteur OM  est une fonction de q. Donc on peut écrire : ∂ OM i ∂ OM ∂q i ∂ OM(u ) δq   = =  i δM = i = u=0 u 0 ∂ ∂u u ∂q ∂q r

• Au lieu de parler de mouvement virtuel à t 0 on dit parfois autour de t 0, ou de la i position q 0  Exemple: bi-pendule. A

O

Y

L

θ B

L

ϕ

C

X

 

Si on choisit le paramétrage surabondant: XA, YA, θ, ϕ, alors le déplacement virtuel sera défini par : (δXA, δYA, δθ, δϕ).  Si on choisit le paramétrage strict (YA, θ, ϕ) ,  alors le déplacement virtuel sera défini par : (δYA, δθ, δϕ).  δC = δOC =

- L sinθ  δθ  - L sin ϕ δϕ 

δ YA + L cosθ  δθ  + L cos ϕ δϕ 

12

 

δB =

- L sinθ  δθ  

δ YA + L cos θ  δθ  

• Autres Mouvements virtuels:   rotation

de BC, AB reste fixe

r r   − L sin ϕδϕ r r δX A = 0; δYA = 0 δθ = 0; δϕ ≠ 0  ⇒ δA = δB = 0; δC = L cos ϕδϕ     rotation

de AB, BC reste fixe

r r r  − L sin θδθ r δX A = 0; δYA = 0 δθ ≠ 0; δϕ = 0  ⇒ δA = 0; δB = δC = L cos θδθ     translation selon y, pas de rotation des barres

δYA ⇒ δA = δB = δC =

0   δYA

  r r r 0 δX = 0; δY ≠ 0  A A A B C δ = δ = δ = δθ = 0; δφ = 0 ⇒ δYA    

Exercice : Soit un autre param paramétrage étrage (XG, YG, θ, ϕ) où G est le milieu de la barre AB. Définir un mouvement virtuel.

2.2 Déplacement virtuel licite  Définition: Un mouvement virtuel est dit licite pour une liaison s'il respecte cette liaison telle qu'elle existe à t0. Le déplacement déplacement virtuel associé est dit llicite icite pour cette li liaison. aison. Un déplacement virtuel est dit licite s'il respecte toutes les liaisons. Remarque : • Si on a tenu compte de la liaison et on a réduit le paramétrage donc l’espace

des paramètres est inclus dans l’espace des paramètres respectant cette liaison. Ainsi si le paramétrage est strict, le mouvement virtuel associé est licite. 13

 

• Si au contraire on n’a pas réduit le paramétrage, on est donc forcement en

paramétrage surabondant et on suppose qu'il existe k équations de liaisons (qu'on veut respecter) de type : f k (qi , t) = 0 Lors d’un mouvement virtuel licite, il faudrait respecter ces k équations ∀ u et à t0. ⇒ f k (qi(u) , to) = 0

∀u

soit en dérivant par rapport à u (et en prenant sa valeur en u = 0), on obtient: ∂f k  q i (0), t 0 ∂q

i

k

δq i = 0 ⇔ δqi licite à t0 pour f  .

Donc si le mouvement virtuel est licite les δqi  doivent vérifier l’équation de liaison virtualisée. •

Pour une liaison non holonôme qui s’écrit dans le cas d’une C.R.S.G.

 ,    0 , un mouvement virtuel licite vérifie  ,     0    ,     (le terme b(q,t) provient d’un obstacle mobile or dans un mouvement virtuel le

  ). temps est figé et donc les obstacles sont figés, et d’un autre côté      

2.3 Travail Virtuel Définition : Le travail d'un champ d'action φ dans un mouvement virtuel à l'instant t0 entre u1 et u2  est : u2



r

r

∂M  dΣdu   ∂u 

W = ∫u  ∫ φ( t 0 )   1

Σ

14

 

Définition : Le (taux de) travail virtuel à l'instant t0  du champ d'action φ dans le déplacement r

r

∂M δM = ∂u

virtuel

u =0

est : 

δ W =   φ(t0) δM dΣ Σ ∂W δW = ∂u

 

u =0

 

Remarques : • ceci fige φ à to;  • le déplacement à considérer est celui de la particule sur laquelle agit φ et non le déplacement du point géométrique. géo métrique.

2.3.1 cas d'un solide rigide Le déplacement virtuel est un torseur déterminé par ses éléments de réduction en un point δM (δA, δΩ) de telle sorte que :

quelconque du solide:

δM = δA + δΩ ∧ AM ∀  A, M ∈  Σ  

le travail virtuel devient : δ W =   φ(M,t0 ) δM dΣ   =   φ(M,t0 ) δA dΣ  +   φ(M,t0 ) δΩ ∧ AM dΣ Σ Σ Σ =   φ(M,t0 ) dΣ δA +   φ(M,t0 )   ∧ MA dΣ δΩ

Σ

Σ

 = Rφ. δA + Mφ(A). δΩ  (Co-moment (Co-momen t de deux torseurs) r

où

 

r

R φ  est la résultante de φ sur Σ et M φ (A ) est le moment résultant de φ  par rapport à A.

15

 

Remarques : • Si φ est le champ des efforts extérieurs φext, alors on a: δ We = Rext . δA + Mext (A).δΩ 

• Si φ = - ργ  les  les actions d'inertie : δ W j  = - m γ G. δA + δ(A). δΩ  

• un champ d'action équ équivalent ivalent à zéro ne fournit aucu aucun n travail.

Exemple: Action concentrée • Force concentrée: soit une force Fi  concentrée en Ai, son torseur est Fi, Fi ∧Ai A , alors le travail virtuel virtuel (lors d'un mouvem mouvement ent virtuel) est: δ W = F i . δA + F i ∧Ai A . δΩ  = F i . δA +δΩ∧AAi  = F i . δAi  (évident !)

 

• Couple: soit un couple C , son torseur est (O, C ), alors le travail virtuel (lors d'un mouvement virtuel) est: δ W = 0. δA + C. δΩ = C. δΩ (évident !  

2.3.2 Cas d'un système de solides rigides  Soit un système ∑ paramétré par (qi). Le déplacement virtuel d'un point M est donné par : r

∂M δM =   i δq i   ∂q

Le travail virtuel δW est donné par: r r r ∂ OM δW = ∫Σ φ(M, t 0  )δMdΣ = ∫Σ φ(M, t 0 )   i δqi dΣ ∂q

 r r ∂ OM  i i d q A ( ). q Σ =  ∫Σ φ(M, t 0 ) δ = φ δ  i i q ∂  

 

16

 

On appellera Ai les actions généralisées dues à φ relatives à qi. Notations : on note

• le travail virtuel des actions données δWd=Q i δqi  • le travail virtuel des actions de liaisons δWℓ=Li δqi  • le travail virtuel des actions d’inertie δW j=Ji δqi  • Les Q i  sont les actions gén généralisées éralisées dues aux effort effortss donnés et relatives à qi  généralisées isées dues aux efforts de liaison et relatives à qi  • Les Li  sont les actions général • Les Ji  sont les actions générali généralisées sées dues aux efforts d’inertie d’inertie et relatives à qi  2.4 Principe des travaux virtuels Principe: Il existe au moins un repère d'espace et une mesure de temps constituant un référentiel Galiléen, dans lequel à tout instant, et pour tout déplacement virtuel d'un système  quelconque, la somme des travaux virtuels de toutes les

Σ actions s'exerçant sur Σ est nulle. δWe + δWi  + δW j  = 0 (M.M.C) ∀δM δWd + δWl + δW j = 0 (M.S.R) ∀δM 

Dans le cas d'un système paramétré par (q i), on note: δ Wd = Qi  δ q i δ W l  = Li  δ q i   ⇒  P.T.V : δ W j  = J i  δ q i

Qi  + Li  + J i  δ qi   = 0 ∀  le mouvement virtuel

 

Remarque: • si les δqi sont indépendants, on obtient n équations de type: Q i + Li + Ji  = 0 • si les δqi sont liés, on ne peut pas tout de suite conclure (voir multiplicateur de Lagrange).

17

 

Exemple: pendule pesant. O j Y

i

G *

L

mg

θ

X

 

à l'instant t0 on a: θ = θ0, x0 = 0, y0 = 0. Les forces sont: - le poids : mg en G

(action donnée)

- la réaction R0 en 0

(action de liaison)

- le champ - ργ  (M,to)

(action d'inertie)

Le torseur dynamique (à to) est défini par : 2

DS, t0 =

2

mΓ G = mL - cosθ  θ  - sinθ  θ  i + - sinθ  θ  + cos θ  θ  j

δ/     = J θJθ k    k  δ /O

• Soit θ le paramétrage: OG =

L cos θ

  ⇒  δG =

- Lsin θ  δθ  L cos θ  δθ  

L sin θ

δWd = mg. δG = - mgL sinθ  δθ   δWl  = R. δO = 0 δW j  = -mΓ G(to). δO+ -J θ (to) (to)k k . δθ k =-J θ (to). δθ  

• Soit (xo, yo, θ) le paramétrage δG =

δx0  - L sinθ  δθ   δy0  + L cos θ  δθ

 et δO =

δx0   δy0  

18

 

δWd = mg. δG = mgδx0  - mgL sinθ  δθ   y δWl  = R. δO = Rx0  δx0  + R0  δy0   δW j  = -mΓ G(to). δO+ -Jθ (t (to) o)k k . δθ k 2

= mL cos cos θ  θ +sin θ  θ δ x0  + 2

mL sin sin θ  θ - cosθ  θ δy0 -Jθ δθ

 

• Si le mouvement virtuel utilise θ comme paramétrage, l'application du principe des travaux virtuels donne: - mgL sinθ  - Jθ  δθ  = 0 ∀δθ  ⇒ - mgL sinθ  - Jθ  = 0 

ceci est vrai quelque soit t0  choisi et donc nous avons obtenu l'équation du mouvement. • Si le mouvem mouvement ent virtuel utilise (X0,Y0, θ) comme paramétrage, on obtient: 2

x

- mg mg + R0  + mL mL cos cos θ θ +sin θ θ δx0 + 2

y R0  +

mL m L sin sin θ θ - cosθ θ δy0  + - mgL sinθ   - Jθ δθ  = 0 ∀ δ x0 ,  δ y0 ,  δθ

 

Puisque le paramétrage est strict, on peut écrire 2

Rx0   = - mg - mL cos θ  θ +sin θ  θ   y

2

R0   = - mL sin θ  θ  - cosθ  θ   mgL sinθ  + J θ   = 0

Conclusion : Plus le paramétrage comporte de paramètres plus l’on obtiendra d’information sur les champs d’actions.

2.5 Equivalence P.F.D - P.T.V  Cette équivalence sera établie, dans ce cours, uniquement pour le cas de système de solides rigides.

2.5.1 P.T.V  P.F.D Idée de la démonstration : on applique le P.T.V à l'aide de déplacements virtuels rigides ne faisant pas intervenir les actions intérieures. 19

 

Démonstration : Soient : • ∑ un système quelconque soumis aux champs : Fe et - ργ   • δM = δO + δΩ ∧ OM un déplacement virtuel rigide quelconque. L’application du PTV impl implique ique : δWe + δWj = 0 δWe =

Fe. δM dΣ  =

F e. δO dΣ  +

Σ

δW j  =

Σ

Σ

- ργ . δM dΣ  = Σ

δWe + δW j  =

- ργ . δO dΣ  + Σ

- ργ∧MO δΩdΣ   Σ

F e- ργ  . δO dΣ  + Σ

⇒ 

F e∧MO δΩdΣ  

OM∧ F e- ργ   δΩdΣ  = 0 ∀  δM rigide Σ

Fe  dΣ  =

ργ   dΣ   et

Σ

Σ

OM∧Fe dΣ  = Σ

OM∧ργ  d  dΣ Σ

 

D’où le P.F.D

2.5.2 P.F.D  P.T.V Cas d'un solide unique Soit un mouvement virtuel rigide: δWi  = 0 le P.F.D donne: Fe  dΣ  =

• Σ

ργ   dΣ   Σ

Fe∧MO dΣ  -

• Σ

ργ  ∧MO MOd dΣ  = 0 Σ

  On multiplie la première équation par un vecteur δO quelconque et la seconde équation par un vecteur δΩ quelconque. On obtient par addition des deux équations résultats: Fe- ργ . δO dΣ  + Σ

OM∧ Fe- ργ  δΩdΣ  = 0 ∀ (δO, δΩ) Σ

 

d'où le résultat.

20

 

Cas d'un système de solides rigides Soit un système ∑ formé de deux solides ∑1  et ∑2 (on en prend 2 pour simplifier l'écriture). ∑ = ∑1 ∪ ∑2  1 1 • Le P.F.D appliqué à ∑ 1 ⇒  δWe  + δWe2/1  + δW j   = 0 (un solide unique)

⇒ δW2e  + δWe1/2  + δW j2   = 0  (un solide unique) • Le P.F.D appliqué à ∑ 2    • Le P.F.D appliqué à ∑ δWΣe  = δW1e  + δW2e  δW jΣ = δW j1  + δW j2  δWΣi  = δW1i  + δW2i  

⇒ δWΣe  + δW jΣ + δWΣi  = 0 ∀δM rigidifiant rigidifiant chacun des solide 

2.6 Liaisons parfaites – Liaisons élastiques Définition: Une liaison entre deux solides à t0 est dite parfaite si dans tout déplacement virtuel licite pour cette liaison, le travail virtuel des actions de liaisons est nul. Exemple : Pour une liaison pivot δθ est licite d’où δWℓ=0.

θ

Définition: Une liaison entre deux solides à t 0  est dite élastique, s’il existe un potentiel Ep  ne dépendant que des positions mutuelles des deux solides et tel que pour tout mouvement virtuel licite pour cette liaison, le travail virtuel des actions de liaisons est δWℓ = - δEp . Exemples : ressort linéai linéaire re – ressort spiral.

21

 

2.7 Potentiel - Fonction de forces  Définition: Soient un système Σ  et un champ d'action φ appliqué à Σ. S'il existe une fonction U(M,t) telle que pour tout déplacement virtuel du système, le travail virtuel δW du champ φ est égal à (-δU), on dit alors que φ dérive du potentiel U. On a: φ = - grad(U) 

U est défini à une constante prés qu'on impose en choisissant une position de référence où U est nul. Exemples: • La pesanteur: soit une masse ponctuelle m placée en G. on a: δW  m g  δG   mgδz  δmgz  constante  δU

 U  mgz  constante  • Liaison ressort: soit un ressort, de rigidité k et de longueur initiale Lo, limité par deux points A et B. Par définition, définition, l'action du ressort sur les points points A et B est: A

B

*

*  

x

k FR/B  = - k(L - Lo) AB   ; FR/A = - k(L - Lo) BA AB AB  

δWl  =  F R/A. δA + F R/B . δB = F R/A.  δ A - δB

Par projection sur l'axe du ressort, noté X, on o n a: δWl  = k(xB  - xA - Lo) (δxA - δxB) = - dδ 1  k xB  - xA - Lo 2   = - −δ dUEp  2   ⇒ Ep   U = 1  k xB  - xA - Lo 2 2

 

• Force concentrée constante dont le point d'application est A ; son travail virtuel est: δW = F . δA = - δd(- F . OA + constante) = - δdU ⇒ U = - F . OA + constant   22

 

2.8 Théorème de l'énergie cinétique Théorème: Si on applique le principe des travaux virtuels au mouvement réel, on obtient: o btient:

δWi = Pi   δWe = Pe   ⇒  Pi   +  Pe   =  dT dt δW j = - dT dt

 

où T est l'énergie cinétique du système. Démonstration: Pour δM = V on a: φi . V dΣ  = Pi  

φe. V dΣ  = Pe  ;  δWi  =

δWe =

Σ

Σ

δW j  =

- ργ . V dΣ  = Σ

Σ

= -d dt

- ρ dV. V dΣ  = dt

2

Σ

- d .( V ) dm  dt 2

2

Σ

(V ) dm = - d  (T) 2 dt

 

2.9 Système conservatif   Définition: Un système soumis à des forces extérieures, est dit conservatif s'il existe une fonction scalaire U(q) indépendante du temps appelée énergie potentielle totale qui vérifie ∀  δq licite δWl  +δWd = - δU ⇔  système conservatif 

 

Remarques: • Lorsque les liaisons sont parfaites et le déplacement virtuel est licite, on a: δWl   = 0. 23

 

Donc un système, avec des liaisons parfaites élastiques, soumis à des actions extérieures dérivant d'un potentiel, est un système conservatif. • Si δWe = - δV   ⇒δWe + δWl  = - δ(V+Ep ) = - δU δWl  = - δEp  

• En statique δW j   = 0 , on a: δWd + δWl = −δ U =

∂U ∂q

i

δqi = 0  

Théorème: Pour un système conservatif, l'énergie mécanique totale se conserve dans le mouvement réel: U + T = constante Démonstration: Dans le mouvement réel, on a: - δU = - dU   = Pi   +  Pe   =  δWi  + δWe =  dT   ⇒  d   (U + T )  =  0 dt   dt dt

24

 

Série d’exercice N°2 Principe des Travaux Virtuels EXERCICE 1 On considère le système bielle

B l

manivelle défini par la figure 1. Γ 

On néglige le poids des barres et

les

articulations

sont

β

r

 

L

α

A

C

Figure 1 

supposées parfaites. Un couple

Γ   est appliqué en A et une force horizontale en C. Calculer les réactions des appuis et la position d'équilibre.

EXERCICE 2  Déterminer la position d'équilibre d'équilibre du bipendule de la figure 2 et l'action de liaison en A EXERCICE 3  La plateforme OA est de longueur L et de masse M. Le point C est astreint à se mouvoir sur une droite horizontale par l'intermédiaire d'une roue (voir figure 3). Calculer la masse du contrepoids B pour que la plate-forme soit à l’équilibre quelle que soit son inclinaison.

b

B O

Y

C

α

L, M

g a

A L, M

β

a>H

H y L, M

B F O

X

A

x

  Figure 2

Figure 3 25

 

EXERCICE 4 Calcul Cal culer er lla a te tensi nsion on de la b barr arr indiquée dans la structure de la figure 4. T utes les barres extérieures sont de même longueur L et pesantes.  Fig re 4

EXERCICE 5 barres iin ndéformables de de long eur L et de masse m Un flotteu flotteurr est schém schématisé atisé pa deux ba chacune. Elles sont reliées par un ressort spiral de raideur c sché atisant l’élasticité en néai aire re de rai raide deur ur k sch ché ématis atise e les forces de rappel de l’eau flexion de la poutre. Le ressort liné sur le flotteur. On paramètre le système par les angles θ et ϕ. rtss et on supp suppos oser era a qu qu’i ’ils ls sont sont da dans ns l ur état naturel quand On né négligera lla am ma asse d de es rre ess rt

θ = ϕ = 0. La liaison au point O st supposée parfaite.

1. Da Dans ns le but but d de ed dét éter erm min iner er l s équations d’équilibre par le P.T.V., définir un mouvement virtuel. ique ue du sy syst stèm ème ee ett e en nd déd édui uire re le travail virtuel des actions 2. Déterminer le potentiel élas iq de liaisons. 3. Déterminer le travail virtuel es actions données. 4. Déterminer le travail virtuel es actions d’inertie. 5. A Ap ppliquer lle e P.T.V. et et déterminer les équations d’équilibre.

26  

 

CHAPITRE III

LES MULTIPLIC MULTIPLICATEURS ATEURS ET LES EQUATIONS DE LAGRANGE 3. 1 Les multiplicateurs de Lagrange (système à liaisons parfaites)  3.1.1 Théorème des multiplicateurs de Lagrange Soit un système ∑ paramétré par (qi) avec: • p liaisons holonomes :

f k (q,t) = 0 ; k = 1..p  

• p' liaisons non holonomes

aik' (q,t) qi  + b k' (q,t)= 0 ; k' = 1..p'  

Soit un déplacement virtuel licite ( δqi). L'application L'application du P.T.V donne donne:: • δWd = Q i  δqi  • δW j = Ji δqi  • δWl = 0

(liaisons parfaites avec déplacement licite). (Q i + Ji) δqi  = 0

∀  δqi  vérifiant les équations virtual virtualisées isées :

∂f k (q 0 , t 0 ) i δq = 0   ∂q i

k=1..p

k ' i a i (q 0 , t 0 )δq = 0  

k’=1..p’

Notations: • l : la forme linéaire de composantes: k

li = Q i + Ji ∂f k  = i  ∂q

• l  : les p formes linéaires de composantes :

lik 

• l'k': les p' formes linéaires de composantes:

l' ik'  = aik'  

On peut réécrire les équations de liaisons sous la forme: l(δq) = 0 ; lk(δq) = 0 ; l'k'(δq) = 0. Ces équations expriment que le vecteur δq solution appartient aux noyaux des formes linéaires l, lk et l' k' . Autrement dit, l'équation du PTV est satisfaite lorsque les équations de liaisons le sont.

27

 

Théorème des multiplicateurs de Lagrange

Soit En  un espace espace vectoriel d de e dimensi dimension on finie (n) Soient l, l1,..., lr  (r+1) formes linéaires sur En, les deux propositions suivantes sont équivalentes : • ∩ Kerli ⊂ Ker l i ≤r

• ∃ (λ) = (λ 1 ,...,   λr ) ∈ Rr  tel que l + λi li  = 0 

Applications : Il découle du théorème qu'il existe λ k   scalaires (k = 1,...p) et λ' k'  (k' = 1,...,p') tels que: p

l+

p'

∑ λ  l + ∑ λ' k 

k ' l'

k 

k =1

k '

= 0 

k ' =1

Ce qui pour notre problème s'écrira : p

Qi + J i +

∑ λ 

∂f k  k 

k =1

∂q

i

p'

+∑   λ 'k ' a i = 0   k '

∀i = 1...n  

k ' =1

Les scalaires λk  et λ ' k'   sont des inconnues, leur nombre est p+p'. Sans multiplicateurs de Lagrange, nous avions:

(Qi + J i )   δqi = 0  

1 équation

∂f k (q 0 , t 0 ) i δq = 0   ∂q i

p équations

a ik ' (q 0 , t 0 ) δqi = 0  

p’ équations

Soit (1 + p + p') équations pour n (qi) inconnues. A l'aide des multiplicateurs de Lagrange, on passe à: p

∂f k  p ' k ' Qi + J i + ∑ λ  k    i + ∑ λ 'k ' a i = 0   ∂q k '=1 k =1

n équations

f k (q 0 , t 0 ) = 0  

p équations

a ik ' (q 0 , t 0 )q& i (q 0 , t 0 ) + b k ' (q 0 , t 0 ) = 0  

p’ équations

(α)

Soit (n+p+p') équations pour n (qi), p(λk) et p'(λ’k’) inconnues. On a donc « compliqué » le problème pour le résoudre. La résolution passe par le calcul des λ  multiplicateurs de Lagrange.

28

 

3.1.2 Interprétation des multiplicateurs de Lagrange Reprenons le système ∑ avec le paramétrage qi et considérons un mouvement virtuel qui ne respecte aucune des liaisons, de sorte qu'il n'existe aucune équation de liaisons entre les qi. Cette fois, le travail virtuel des actions de liaisons est non nul et s'écrit δWl = Li δqi. L'application du PTV donne: (Qi + Li + Ji) δqi = 0 (∀ δqi indépendants)⇒  Q i + Li + Ji  = 0

∀ i = 1...n

(ß)

Les qi sont les mêmes, donc Q i  et Li le sont. L'interprétation des multiplicateurs, vient en comparant les équations (α) et (ß): ∂f k (q 0 , t 0 ) L i = λ k    i + λ 'k ' a ik ' (q 0 , t 0 )   ∂q

Les multiplicateurs multiplicateurs de Lagrange sont liés aux actions de liaison.

3.1.3 Applications du théorème des multiplicateurs de Lagrange Exemple : bielle - manivelle: On se propose de déterminer la relation entre le couple Γ  ,  , la force F et l'angle à l'équilibre

θ.

y

A

Γ 

ϕ

L

l

θ

O

B

F x

 

Le paramétrage considéré est : (θ,ϕ). Le déplacement virtuel est caractérisé par (δθ,δϕ). L'équation de liaison est définie par:

OB.j = L sinθ  + l sin ϕ = 0 

L'équation de liaison virtualisée s'écrit donc: L cosθ  δθ + l cos ϕ δϕ= 0  Le travail virtuel des efforts s'écrit comme suit:

29

 

• δWd = Γδθ  + F δxB  = Γδθ  - F L sin sin θ  δθ + l sin ϕ δϕ  = 0   = Γ - FL sin θ  δθ  - Fl sin ϕ δϕ = 0 • δWl  = 0 • δW j  = 0

L'application du principe des travaux virtuels donne: Γ - FL sin θ  δθ  - Fl sin ϕ δϕ = 0 ∀(δθ  , δϕ) vérifiant: L cosθ  δθ + l cos ϕ δϕ= 0

 

On introduit un multiplicateur de Lagrange λ, on obtient alors: • Γ - FL sin θ  + λ  L cosθ  = 0 • - Fl sin ϕ + λ  l cos ϕ = 0 • L sinθ  + l sin ϕ = 0

La solution de ce problème est: • λ = F tgϕ  • Γ  =  = FL cos θ  [ tg θ  - tg ϕ ]

Ici λ est égale à l'action l'action verticale d de e l'appui en B, action q qu'il u'il faut exercer pour garder le déplacement vertical de B nul.

3.2 Formules de Lagrange Pour la résolution d'un problème de mécanique de solides so lides rigides, le calcul du travail virtuel des efforts d'inertie, ou encore du torseur dynamique, reste un point délicat et "difficile". Les formules de Lagrange permettent de calculer les actions généralisées d'inertie Ji à partir de l'expression de l'énergie cinétique. Proposition 1 Soit Σ un système paramétré par (q), alors on a: r

∀ M ∈ Σ 

∂O M ∂q i

r

=

∂V (M ) ∂q& i

 

Démonstration de la proposition 1 On a :

r

V ( M ) = 

r

r

∂O M ∂O M i q&   + ∂t ∂q i r i

En dérivant cette expression par rapport à q , il vient:

∂V ( M) ∂q&  j

r

= 

∂O M ∂q i

r

δ ji =

∂O M ∂q j

 

30

 

Proposition 2 Soient Σ un système et T son énergie cinétique, alors:

Ji = −

d   ∂T  

+



dt  ∂q& i  

∂T

 

∂q i

Remarque La démonstration de cette proposition utilise le fait que le vecteur position ne dépend pas de q& i . Ceci ne serait plus possible si une réduction de paramétrage a été faite avec une liaison non-holonome. Démonstration de la proposition 2

On a r

r

∂M δW j = ∫ − ργ δMdΣ = ∫  − ργ   i δq i dΣ = J i δq i   Σ   Σ ∂q r

r

r

∂M ⇒ J i = ∫Σ − ργ   ∂qi dΣ   r

D'autre part, on a:

r r ∂M

r

r

r

r

dV ∂M d   r ∂M  r d  ∂M  γ  i =    i =    V i  − V  i    dt ∂q dt   ∂q   dt  ∂q   ∂q r

d   r ∂M  d  =    V i  dt   ∂q   dt r

r

r

  r ∂V   d ∂  V 2        V  ∂q& i  =  dt   ∂q& i   2           

r

r

r

r

d  ∂M  r   ∂ 2 M ∂  V 2   ∂ 2 M  j   r ∂V   &  V  i  = V  ∂t∂q i +  ∂q j∂q i q  = V  ∂q i =  ∂q i  2    dt  ∂q           r

r

r

d ∂  V 2   ∂M ∂ i J d   d ⇒ = ∫Σ − ργ ∂q i Σ = ∫Σ ρ  dt ∂q& i  2  Σ + ∫Σ ρ ∂q i     r

⇒ J i = − 

d   ∂T  

r

 V 2    2  dΣ      

∂T

 i  + i   dt  ∂q&   ∂q

3.3 Equations de Lagrange 3.3.1 Système conservatif Par définition, pour un système conservatif, on a: δWd + δWl  = - δU

où U est l'énergie potentielle totale. En dynamique:

31

 

d   ∂T   ∂T avec J i = −   i  + i   dt  ∂q&   ∂q

δW j =  J i δq i  

L'application du principe des travaux virtuels pour le système Σ paramétré par (q) donne:  d   ∂T   ∂T ∂U  i −   i  + i − i  δ  q = 0  dt  ∂q&   ∂q ∂q 

 ∀ δq  

C’est l’équation de Lagrange (1788) 

Remarque Si le paramétrage est strict, alors on a:

− 

d   ∂T  

∂T

∂U

 i  + i − i  = 0 dt   ∂q&   ∂q ∂q

  ∀i  

3.3.2 Système non conservatif Définition Il y a frottement linéairement visqueux entre deux solides lorsque la force de frottement exercée par Σ2 sur Σ1 est proportionnelle à la vitesse de glissement. r

r

F2 / 1 = −l Vg2/1  ; l  est le coefficient visqueux, l  est positif.

On montre dans ce cas, que le travail des actions de liaison entre les deux solides peut s'obtenir à partir d'un potentiel D qui dépend des vitesses. D est appelé potentiel de dissipation. Proposition Si V2/1  est la vitesse de glissement à l'instant t entre deux solides et si le frottement est linéairement visqueux, alors on a: δWl = − 

∂D ∂q& i

δq i  

avec

D=

1 r2 lV2 / 1   2

Si on note: • F 2/1  l'action de Σ2 sur Σ1  • F 1/2  l'action de Σ1 sur Σ2. 32

 

• P1 et P2 les deux points de contact entre les deux solides (ils correspondent au même point géométrique) alors on a: r

r

r

r

δWl =  F2 / 1 δP1 + F1 / 2 δP2   r

r

r

r

= −l Vg2/1 δP1 − l Vg1/2 δP2   r

r

r

= −l Vg2/1  (δP1 − δP2 )   r

= −l Vg2/1 

r

∂ ∂q&

i

r

r

r

i i δP = ∂OP i δq  =  ∂V(P) i δq   & ∂q ∂q

or

r

r

(V(P1) − V(P2 ))δq i  

= −l 

∂  V 2 g2/1  

δq i    ∂q&   2   i

Le principe de travaux virtuels donne dans ce cas:  d   ∂T   ∂T ∂U ∂D  −  dt  ∂q& i  +  ∂qi −  ∂qi −  ∂q& i δqi =0  

 ∀ δq  

3.3.3 Applications des équations de Lagrange Exemple: chariots avec amortisseur Le système est paramétré par x1  et x2  le déplacement respectif du centre de gravité des chariots 1 et 2. Alors on a: m1

m2

F1

F2

l

x x1

x x2

 

• U = 1  k(x1 -x2 )2  - F 2x2  - F1x1 2 • D = 1  l(x1 -x2 )2   2 • T = 1  m1 x21  + 1  m2 x22  2 2

d'où les équations du mouvement: mx1  + l(x1 -x2 ) + k(x1 -x2 ) = F1 mx2  + l(x2 -x1 ) + k(x2 -x1 ) = F2  

33

 

Série d’exercice N°3 P.T.V en dynamique - Les multiplicateurs de Lagrange.   EXERCICE 1  Déterminer l'équation l'équation du mouvement du pendule de la figure 1.

EXERCICE 2  Déterminer la position d'équilibre du système de la figure 2. Etudier le cas particulier y=x.

k 

A 

F(t) 

o 

y  y 

(l,m)  P 

y = f(x) 

A  (l,m)  B 

x  x 

Figure 1.

Figure 2 

EXERCICE 3  La figure 3 représente la position d'équilibre d'une barre pesante AB de longueur 2l et de masse M, suspendue par deux fils inextensibles de longueur L dont les extrémités sont attachées aux points C(0,-l,L) et D(0,l,L). On étudie le mouvement mouvement de la barre AB tel que les fils restent tendus tendus et le point G reste sur oz. 1.  Donner la relation de liaison entre les paramètres zG, côte de G et θ  l'angle de rotation, rotation autour de z, à partir de la position d'équilibre. 2.  Quel couple Γ   doit - on exercer sur la barre pour la maintenir dans la position d'équilibre . 3.  En vue, d'interpréter les multiplicateurs de Lagrange, calculer la tension dans chaque 34

 

fil. 4.  On suppose que la barre est lâchée sans vitesse à partir d'une position initiale. Donner les équations du mouvement.

EXERCICE 4  On considère le système plan suivant : (voir figure 4 ) Deux disques (D1) et (D2) de rayon R, de masses respectives M1 et M2, sont reliés par une barre homogène, de longueur 2L, de masse nulle, articulée au point A lié à (D1) et au point B lié à (D2). Les disques (D1) et (D2) roulent sans glisser sur l'axe horizontal ox. Le système est soumis à l'action de la pesanteur, les liaisons sont supposées parfaites. 1.  Paramétrer le système. 2.  Déterminer les équations de liaison du système. 3.  Ecrire les équations du mouvement. 4.  Donner une expression des réactions horizontales aux deux points de contact des disques avec le plan, et de la tension dans la barre AB en fonction des paramètres de leurs dérivées.

z y C

O1A = O2B = a

D

A

A

G o

Figure 3

2L

° O1

B ° O2

x

B Figure 4

 

35

 

EXERCICE 5  La plate-forme OA d’un pont mobile est de longueur L et de masse M. Le système de levage du pont est constitué par la barre AB où le point C est astreint à se mouvoir sur une droite horizontale par l'intermédiaire d'une roue (voir figure 5 ci-dessous). En B est placé un contrepoids de masse MB. 1. Donner un paramétrage du système et préciser l’équation de liaison. 2.   En utilisant le théorème des multiplicateurs de Lagrange, déterminer la masse du contrepoids MB pour que la plate-forme soit à l’équilibre quelle que soit son inclinaison. 3.  Calculer la réaction en C et donner une interprétation du multiplicateur de Lagrange.

b

B C

a H y L, M

O

a>H

A

x

Figure 5

36

 

CHAPITRE IV

 ANALYSE DYNAMIQUE DYNAMIQUE ET INSTABILITES DES SYSTEMES DISCRETS

4.1. Définition Un système discret est un ensemble de masses concentrées en des points de l’espace. Le mouvement de ces masses est repéré par un ensemble de fonctions du temps que l’on appelle variables de déplacement. On étudie les déplacements autour d’une position d’équilibre ou autour d’un mouvement permanent. Les variables de déplacement indépendantes sont appelées degrés de liberté (ddl) du système 4.2. Exemple introductif : formes énergétiques de l’oscillateur à 2 ddl Soit le système représenté sur la figure ci-dessous. Il est composé de deux masses ponctuelles m1 et m2 se déplaçant suivant l’axe horizontal. Elles sont reliées à trois ressorts. k1 

O

k2  G1 

k3 

r

G2 

f 1 ( t )  

k1 = k2 = k3 = k

r

f 2 ( t ) r

r

Le système est soumis aux forces f 1 ( t )  et f 2 ( t )  et il est paramétré par x1 et x2 : r

x1= OG1 ⋅   i -  x10  :

déplacement de m1 par rapport à la position initiale x10 .

r

x2= OG 2 ⋅   i -  x 02  : déplacement de m2 par rapport à la position initiale x 02 . Ce système est un oscillateur à deux ddl : x1 et x2. r r Le potentiel associé aux forces f 1 ( t )  et f 2 ( t )   et aux forces de rappel des ressorts s’écrit :  

U=

1

(kx 2

2 1

+ k (x 2 − x 1 ) +  kx 22 ) −  f 1 (x 1 + x 10 ) − f 2 (x 2 + x 02 )  

L’énergie cinétique du système s’écrit :

2

T=

1 2

m x& 12  +

1 2

m x& 22  

Les équations de Lagrange pour un système conservatif s’écrivent :   d   ∂T   ∂T ∂U  i  −  i  + i −  i δq = 0         dt  ∂q&   ∂q ∂q  

i

quels que soit δq  ; i=1,n

37

 

En les appliquant à notre cas, nous obtenons le système d’équations suivant : m &x&1 + 2k x1 − k x 2 = f 1    & & + − = m x 2 k  x k  x f  2 2 1 2 

que l’on peut écrire sous une forme for me matricielle : m 0   &x&1  +  2k  − k   x1  =  f 1     0 m &x& 2  − k  2k   x 2  f 2 

et l’on note :

&& + [ K ]  [Q] = [F( t )]   [M ]   Q

(1)

[M] est la matrice de masse, elle est toujours symétrique définie positive (signification physique : pas de mouvement sans énergie). [K] est la matrice de rigidité, elle est symétrique mais pas nécessairement définie positive :  

si la matrice de rigidité n’est pas définie positive ⇒ le système possède un mécanisme

local ou global ce qui n’est pas conseillé en Génie Civil ;  

si la matrice de rigidité est définie positive ⇒ le système est stable.

La résolution du système (1) peut être analytique pour les systèmes simples ou bien numérique en utilisant des approximations en temps (voir cours d’Analyse Numérique). Mais ces algorithmes numériques peuvent être coûteux en temps de calcul. La méthode la plus utilisée en dynamique est la méthode modale. Elle est basée sur la projection de la solution sur un ensemble de vecteurs (dits modes) correspondants aux vecteurs propres d’un système linéaire.

4.3. Méthode modale On veut résoudre le système le système (1). Soit [qI] l’ensemble des vecteurs solutions du système suivant : 2

[K] [qI] –ω  [M] [qI] = 0

(2)

[K] et [M] sont de dimension (n x n). On montre (voir cours d’Analyse Numérique) qu’il existe n vecteurs distincts et n scalaires ω  (pouvant être confondus) solutions du système (2) : vecteurs et valeurs propres.

38

 

Le problème (2) est appelé problème aux valeurs propres généralisé par comparaison au problème classique de valeurs propres AX = λ X. On classe les vecteurs par ordre croissant du ω correspondant.

ω1  ω2  ω3  ωn  ω  0 Les vecteurs propres sont appelés « modes propres » et les valeurs propres sont appelées « pulsations ». 

ωi  est la pulsation numéro i

et

qIi 

est le mode numéro i.

On montre que les modes propres forment une base complète et orthogonale :  

m j   si  i =  j [qIi]T [M] [qI  jj] =    ≠ 0   si   i  j 

base orthogonale signifie :

m j : masse modale du mode j k  j   si  i =  j T [qIi]  [K] [qI  jj] =    k j : rigidité modale du mode j 0   si   i ≠  j  base complète : signifie que la solution de (1) peut s’écrire comme une combinaison

De même

 

n

linéaire des vecteurs de cette base : [q] =

∑α

i

 [qIi] 

i =1

Dans la pratique et pour les systèmes à grand nombre de paramètres (ddl), on montre qu’il est numériquement difficile de calculer un grand nombre de vecteurs propres sans commettre trop d’erreurs et qu’un nombre réduit de modes propres, pro pres, formant une base dite tronquée est « suffisant » pour décrire le mouvement. Soit n c le nombre de vecteurs de la base tronquée, il est choisi tel que

nc

∑ m   = 75%  de la masse totale du système. i

i =1

Le système (1) s’écrit : [K]

nc

∑α

i

 [qIi] + [M]

nc

∑α

i

 [qIi] = [F(t)]

(3)

i =1

i =1

T

On multiplie (3) par[qI  jj] , on obtient :  j

T

 j &&  = [qI  jj]  [F(t)] k j α  + m j  α

(sans sommation sur j) 

(4)

39

 

On obtient donc nc  équations indépendantes qui peuvent être résolues une à une. La résolution de ces équations indépendantes peut être faite en utilisant les algorithmes appropriés de l’analyse numérique. Pour l’ingénieur, la réponse instantanée du système q(t), n’est pas importante en soit, mais par contre, les maxima du déplacement, contraintes forces etc. sont importants. On peut déterminer ces maxima par le passage de l’espace temps à l’espace de Fourier. ~ (f ) = F(α) = α & ( t ))  = i ωF(α ( t ))   avec F( α

où

+∞ α( t ) e 2 π i f  t dt   -∞

∫

  2π   ω = 2π f  = T

f est la fréquence

et

T la période.

La Transformée de Fourier de l’équation (4) donne : ~ j - ω2 m α ~ j = [q ]T [ ~ k j  α F]  j I  jj

~  j = d’où α

avec ω j 2 =

k  j m j

[q I j ]T  [F] k  j − ω2 m j

=

[q I j ]T  [F]

(

2

m j ω j − ω 2

)

 

et

α j ( t )  

 

4.4. Application à l’oscillateur à 2ddl soumis à un déplacement imposé Soit le système représenté sur la figure ci-dessous. Il est composé de deux masses ponctuelles m1 et m2 se déplaçant suivant l’axe horizontal. Elles sont reliées à trois ressorts. k2 

k1 

k3  k1 = k2 = k3 = k

x0(t)

Soient :

x1 

x2 

x0(t)

x1 : déplacement de m1 par rapport à la position initiale. x2 : déplacement de m2 par rapport à la position initiale. x0(t) : déplacement imposé aux extrémités (séisme). 40

 

Ecrivons les équations du mouvement sous forme matricielle :

L’énergie cinétique du système a pour valeur : T=

1 2

m1 x&  12  +

X1 = x1 − x 0   m 2 x& 22   en effectuant le changement de variables :  = − X x x 2 2 0  2

1

on obtient :

T=

1

1 2 2 & +x & +x &   & m1 (X ) m ( X ) +   1 0 2 2 0

2

2

L’énergie potentielle est donnée par : U =

1 2

(kX

2 1

+ k    (X 2 − X 1 ) + kX 22 )   2

Les équations de Lagrange pour un système conservatif s’écrivent :   d   ∂T   ∂T ∂U   i −   q 0    dt  ∂q& i  + ∂q i −  ∂q i δ =        

quelque soit δq  

En les appliquant à notre cas, nous obtenons le système d’équations suivant (m1=m2=m): && + 2kX − kX = −m&x& mX 1 1 2 0    && mX 2 + 2kX 2 − kX1 = −m&x& 0

que l’on peut écrire sous forme matricielle : &&   2k  − k   X  m 0   X m 0  1 1 1 = − +  0 m   &&  − k  2k  X   0 m 1 &x& 0   X   2    2    

Que l’on note :

&& + KX =   − M U &x& 0   MX

(5)

U dépend de la direction du séisme.

41

 

Déterminons la réponse du système au séisme

Dans le cas des petites oscillations libres le système ci-dessus, s’écrit : && +  KX = 0   MX

Cherchons une solution particulière dans laquelle toutes les coordonnées généralisées suivent à un facteur près la même loi temporelle X =  x  Φ ( t )   && + Φ MxΦ   Kx = 0  

d’où :

Pour un système à position d’équilibre stable, K et M sont non singulières, on écrit le système : Kx = −

&& Φ Mx   Φ

si on note λ = −

&& Φ   Φ

K x = λ M x

on aura

λ est une constante par rapport au temps, c’est un réel positif donc on pose : ω 2 = − 2

K x - ω  M x = 0

D’où

&& Φ   Φ

(6)

On obtient un problème de valeurs et vecteurs propres généralisé. Il existe N vecteurs et 2

valeurs propres

X / n , ω n

(

).

(X/ 1 , X/ 2 , X/  3 ,......X/ n )  forment une base complète et orthogonale, c’est à dire :   Tout

vecteur X(t) peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la

base : N

 ∑ α

X( t ) =

n

(t)   X / n 

n =1

  Les vecteurs de la base orthogonale vérifient v érifient :

K   si  n = m X / nK X / m = 0 n sinon   

M  si  n = m X / n MX / m = 0 n sinon   

On appelle : Mn masse modale et Kn rigidité modale. En reprenant l’équation (5), en utilisant (6) et en multipliant toute l’équation par le vecteur X / m  nous obtenons :

..

    N n       N n        &x& 0    ( t )   X M ( t )   X MU = − + α / α / ∑   ∑ n n         n =1      n =1  

X / m  K 

42

 

et puisque X/ m  et X/ n  sont orthogonaux, on obtient m équations indépendantes : m && = −X  / m  M U &x& 0 = −q m &x& 0   K mα m + Mmα

(7)

En appliquant la transformée de Fourrier à l’équation (7), nous obtenons o btenons : ~ m − ω2 M ~ m = q ω2  ~   mα K mα x0   m

~ α

d’où

m

=

q m ω2 ~ x0 2

Km − ω Mm

 

Fourrier

α m (t)  

De même pour le vecteur propre : Fourrier ~ X(f ) =

N

∑

N

~ mX α /m 

X( t ) =

m =1

∑α

m

/m  ( t )X

m =1

Déterminons les pulsations et les modes propres du système

Reprenons l’équation (6): K − ω2 M X / = 0 

d’où det( K − ω 2 M) = 0  

et donc les deux pulsations propres sont :

ω12   =

k 

ω 22   =

  et

m

3 k 

 

m

Les deux modes propres sont :

1 X /1 =   1 1   − 1  

X /2 =

vibration en phase

vibration en opposition de phase

Remarque : Un séisme peut être assimilé à une force impulsionnelle appliquée à un

système sur une très courte durée. Cette force est assimilée à un Dirac en temps : 1    si t = t 0

δ( t − t 0 ) = 

0 sinon

 

43

 

Série d’exercice N°4 Dynamique des systèmes discrets  r

EXERCICE 1 : Instabilité d’un poteau

F  C

Un poteau articulé en pied, sur appui simple en tête, est schématisé par trois barres identiques de longueur l , de masse m, reliées par deux ressorts spiraux de rigidité c. Au milieu I de ce poteau on ajoute un contreventement assimilable

A

à un ressort horizontal de raideur K. Ce ressort a un allongement nul lorsque les 3 barres sont verticales. r

I K α O

On applique en tête de ce poteau une force verticale F . Les déplacements sont supposés petits et la pesanteur est négligée. 1.  En utilisant le paramétrage (α, β, γ ) du système (les angles sont comptés positifs dans le sens trigonométrique), préciser l’équation de liaison. 2.  Déterminer l’énergie potentielle de déformation du système. 3.  Sachant que l’énergie cinétique du système est : T=

ml 2 6

(2α& 2  + 2β& 2 − α& β& ) 

et en utilisant les équations de Lagrange, déterminer les équations dynamiques du système. Les écrire sous forme matricielle. 4.  Déterminer l’intensité de la force critique qui fera flamber le poteau. 5.  Quelle serait l’intensité de cette force critique s’il n’y avait pas de contreventement. 6.  Conclure.

44

 

EXERCICE 2 : Etude d’un pont roulant y  Pour schématiser un pont roulant on considère la structure suivante : c

F(t)

k

c

B

C

α

(M,I)

(M,I

x0(t)

)

β

L

x0(t) A

D

•  Les barres (AB) et (CD) sont rigides et comportent des ressorts spiraux en A, B et C, D, de raideur c. Les barres (AB) et (CD) sont caractérisées par une longueur L, une masse M et r

une inertie I par rapport à k .

•  La barre (BC) est déformable, elle est donc modélisée par un ressort linéaire de raideur k. Ce système est soumis à un mouvement horizontal x 0(t) (séisme) en A et D et à une force horizontale F(t) appliquée en B. On paramètre le système par les angles α et β que font, respectivement, les barres (AB) et (CD) avec la verticale. 1.  Ecrire l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de déformation du système. 2.  En utilisant les équations de Lagrange, déterminer les équations dynamiques du système. Les écrire sous forme for me matricielle. 3.  Déterminer les pulsations propres ainsi que les modes propres du système. 4.  Ecrire les équations dynamiques projetées sur la base des modes propres. 5.  En utilisant la transformée de Fourier, déterminer les transformées de Fourier de α et β. 6.  Déterminer la transformée de Fourier de la force dans le ressort (BC).

45