Poly Dyn Vib

 

Exercices de dynamique et vibration mécanique David Dureisseix

To cite this version: David Dureisseix. Exercices de dynamique et vibration mécanique. Master. Dynamique des solides Vibrations des systèmes mécaniques, mécaniques, Montpellier, France. France. 2010. cel-02047369v2 cel-02047369v2

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´ Exercices de dynamique et vibration mecanique

´ Auteur de la ressource pedagogique :

Dureisseix David

´ IUP GMP – Licence STPI – Master M ecanique ´ Creation : 2002-2010 ´ Publication : Decembre 2018 ` mise  a` jour : novembre 2021 Derniere

 

´ Exercices de dynamique et vibration mecanique David Dureisseix ´ ´ Departement Mecanique M´ ecanique, , Univers Universit ite´ Montpellier 2 ` assez originaux quant   a` leur Ce polycopie´ est principalement un recueil d’exercices, que j’espere ´ ´ suite  a` l’enseignement de dynamique du solide et celui de vibration en support d’applicati d’application, on, realis es ´  a` l’Universite´ Montpellier 2, aujourd’hui Universite´ IUP GMP puis en Licence Licence STPI et Master M´ Mecanique ecanique  ´ ici sont issus d’exercices et de contr oles ˆ de Montpellier, entre 2002 et 2010. Les exercices propos es de connaissances, et ce document vise  a` les proposer comme exercices d’entraˆ d’entraˆınement ınement personnel personnel ; il ne contient contie nt par contre pas de cours de dynamique ni de vibration.. vibration.... ` Ces exercices sont aussi le fruit de discussions avec les coll egues en seignants, enseigna nts, dont Franc¸oise Kra´ Certains exercices sont certainement inspires ´ par des sujets propos es ´ suckii ; qu’ils en soient remerci´ suck remercies. ´   a` l’ENS de Cachan, aujourd’hui ENS Paris-Saclay... Je suis donc   a` la recherche des anterieurement ´ es ´ par un asterisque ´ sources pour pouvoir les citer... Les sujets que je crois les plus originaux sont rep er ´ ˆ a` la fin de leur titre ; en tout cas, ils auront maintenant maintenant au moins le merite d’etre disponibles.

2

 

` Table des matieres 1 Int Introd roduct uction ion

 

4

Exercices cices d’appl d’applicatio ication n de dynamiqu dynamique e du solide solide 2 Exer Centrifugeuse   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Cycliste*  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Roul Ro ulem emen entt ha haut ute e vi vite tess sse* e*   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 6 7   8   9 10 11

Effet “ retro ´ ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ ´ Recup eration d’energie sur bus urbain   . . . . . . . . . . . . Emb mbrrayag age e ce cent ntri rifu fuge ge   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Equilibrage dynamique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ Etude du deploiement des bras d’un satellite   . . . . . . . . ´ par basculement*   . . . . . . . . Des estr truc ucti tion on de ch chem emin in´ees ` ´ ´ ´ Prin Pr inci cipe pe d’ d’un un sy syst st`eme de recup eration d’energie : le yoyo*   ´ eration ´ Fre reiina nage ge et ac acc cel d’une motocyclette*   . . . . . . . .

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  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´ 3 Exer Exercices cices d’appl d’applicatio ication n de vibrati vibration on m´ mecanique     ´ ´ erom ´ ` 12 Etude d’un accel etre*  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ ` ´ Micro-accelerometre MEMS resonnant*  . . . . . . . . . . . . . 13 ´ 14   Etude d’une corde vibrante*  vibrante*   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vibr Vi brat atio ions ns lo long ngit itud udin inal ales es   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 Amort Am ortis isse seur ur pa pass ssif if ac acco cord rd´e´ de vibrations*   . . . . . . . . . . . . ´ ´  . . Vibrat Vib ration ions s tra transv nsvers ersale ales s – Cal Calcul cul par methodes approchees ees  17 18 Susp Su spen ensi sion on au auto tomo mobi bile le : le sy syst st`eme eme skyhook  `  skyhook *   . . . . . . . . . ´ Pot vibrant  electrodynamique*   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 VAL*   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 21 Vite Vi tess sse e cri criti tiqu que e d’ d’ar arbre bre en rot rotat atio ion n . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 22 La machine  a` laver simplifiee*   . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ elastique ´ 23 Couplage aero du pont de Tacoma*   . . . . . . . . . . Osci Os cill llat atio ions ns de des s gr grat atte te-c -cie iel* l*   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ` 25 Vibr Vi brop opho hore re et en endu dura ranc nce e de pi pi`eces de faible raideur*  raideur*   . . . . . . ` Vibrati rations ons des sys systtemes discrets  a` 1 degre´ de liberte´ – formulaire 4 Vib

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6 7 8 9 10 11 13 15 17 19 24 26

28 29 31 34 36 37 38 39 42 45 47 48 49 53 56 59

´ ements ´ El de corrige´   61 5   El´ ´ par basculement*   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 9. Destruction de cheminees ´ ´ erom ´ ` 12.  Etude d’un accel etre*   ........................................................... 63 ´ erom ´ ` ´ 13. Micro-accel etre MEMS resonnant*   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 18. Suspension automobile : le systeme eme skyhook  `  skyhook *   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 20. VAL*   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8 ´ elastique ´ 23. Couplage aero du pont de Tacoma*   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 24. Oscillations des gratte-ciel*   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0 ` Vibrophore et endura 25. Vibrophore endurance nce de pi pi`eces de faible raideur*   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

3

 

1

Intr Introd oduc uctio tion n

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

4

 

` propos du principe fondamental de la dynamique (PFD)... A ´ e´ de princeps ,  premier ). Da Principe.   Du la lati tin n principium ,  commencement ,  origine  (deriv Dans ns ` posee ´ au fondement d’un raisonnement ou d’une d emonstration. ´ les sciences, proposition premiere ´ ´ pour l’esprit humain, de remonPour Aristote, le souci de tout demontrer se heurte   a` l’impossibilite, ´ ´ ter   a` l’infini l’infini dans la chaˆııne ne des deductions. Il faut donc adopter, comme point de depart de toute ´ ´ demonstration, un ou plusieurs principes qui ne sont d eduits d’aucune autre proposition et qui sont ˆ ´ eux-memes indemontrables. Dictionnaire de la philosophie, Serge Le Strat (2002)

Et pour un petit aperc¸u historique, comparer :

Se dit aussi de toutes les causes naturelles par lesquelles les corps agissent & se meuvent. Principe de mouvement. Les animaux ont le principe du mouvement en eux-mesmes, & les corps inanimez ne se meuvent que par un principe qui leur est estranger. ´ Dictionnaire de l’Academie franc¸ aise (1694)

` Se dit aussi de toutes les causes naturelles, et particuli erement de celles par lesquelles les corps agissent et se meuvent. Le principe de la chaleur. Le principe du mouvement. On dit que les animaux ˆ ´ ne se meuvent que par un ont le principe du mouvement en eux-memes, et que les corps inanim es ´ principe princip e qui leur est  est  etranger. Dictionnaire de l’Academie ´ franc¸ aise (1835)

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

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2

Exerc Exercices ices d’applicat d’application ion de dynamiqu dynamique e du solide solide

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

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Exercice 1. Centrifugeuse ` uniquement le sousconsidere Le plan de situation de la centrifugeus centrifugeuse e est donn´ donne´ sur la figure 1 figure  1.. On consid ˆ   R  autour d’un axe vertical ensemble 1, qui est donc un solide   S , en liaison pivot avec le massif-b ati (O, z  ) . Le point  A   de   S  est   est situe´ au centre de la nacelle, sur son articulation avec  S . Sa position est ´ ee ´ de la fac¸on suivante : OA ` lie´  a`  S , et  θ  est l’angle reper OA   =   h z   + a e  r   ou`  ( e  r , e  θ , z  )  est un repere entre x   et e  r .

−→

 −→  −→

→ − −→

−→

−→

−→

−→

−→ −→ −→

−→

1°)   Calculer V  (A/S   ( A/S ), V  (A/R  ( A/R)), V  (A,S/R  ( A,S/R)).

−→

2°)   Calculer Γ (A/R A/R)). 3°)   Quelle est la trajectoire trajectoire de A  dans S  ? Quelle est celle de  A  dans  R ?

F IGURE  1 – Centrifugeuse (pour l’entraˆınement ınement des humains, pas pour les jus de fruits...)

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

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Exercice 2. Cycliste* ´ parfaite` la modelisa ´ ´ de la figure 2 On considere elisation tion du velo figure  2..  Les deux roues 1 et 2 sont supposees ˆ ` ment rigides et de meme diametre D, en liaison pivot avec le cadre 3 aux points O1  et O2 . Le mouvement est suppose´ plan. Les roues sont en contact avec le sol aux points   I 1   et   I 2 . Le cadre avance avec la vitesse v x , les roues roulent sans glisser sur le sol.

−→

1°)   Quel est est le mouvement mouvement du du cadre 3 par par rapport rapport au sol 0 ? est le mouvement mouvement de de la roue 1 par par rappo rapport rt au cadre 3? 3? 2°)   Quel est

3°)   Que signifie le le roulement sans glissement au point I 1 ? 4°)   Lier la vitesse vitesse de rotation rotation des roues par rappo rapport rt au cadre,  cadre,  a`  v . ´ 5°)   Quel Quel est le mouve mouvemen mentt de la rou roue e 1 par rapport rapport   a` la roue 2? Pour repondre, vous calculerez le ´ torseur cinematique ((1/ 1/2)  par composition des vitesses.

V 

3

1

0

2

O1

O2

 y 

 x  

 I 1

 

 I 2

` du velo ´ envisage´ (ce n’est qu’un mod ele ` simplifie, ´ bien sˆur...) F IGURE  2 – Modele

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

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Exercice 3. Roulement haute vitesse* ´  a` un roulement ` On s’interesse eresse  roulement  `a bille haute vitesse (application typique : les roulements de broche de ´ ement, ´ ` une bille en acier  S  (de centre  O , de rayon  a ), on considere machine-outil), figure 3 figure  3.. Plus precis ´ ´ en contact en  I  avec la bague exterieure  R , et en contact en  J  avec la bague int erieure  S 1 . La position ´ ee ´ par AO `  ( e  r , e  θ , z  )  est un repere ` lie´  a` la cage du roulement, de la bille est reper AO =  =  b e  r ; le repere ´ ´ ici. Il tourne par rapport  a`  R  a` une vites non represent ee vitesse se de rotati rotation on ω c z  . ´ ´ La bague exterieure est fixe, la bague interieure tourne autour de  (A,  (A, z  )  avec une vitesse de rotation ω z  .

−→

−→

−→ −→ −→

−→ −→

−→

La bille roule sans glisser en  I   et  J . On suppose le mouvement plan. Le torseur cinematique ematiq ´ ue de  S  par rapport  rapport  a`  R  est alors note´ : Ωz (S/R S/R)) = v e  θ O

 −→−→ 

V 

´ Pour les applications numeriques, on prendra  a =  a  = 5mm,  b =  b  = 50mm,  ω  = 15 000 tr/min tr/min.

1°)   Ou` est le centre de masse  G  de  S  ? ´ ´ 2°) a)   Preliminaire : si on suppose connue la vitesse  v  de  O  par rapport  a`  R , en deduire l’expression de  ω c . ´ −   ab )ω  et  v =  v  =   12 (b − a)ω . Application numerique. ´ ´ 3°)   Calculer l’operateur d’inertie I (G, S ). Application numerique. −→σ (G, ´ ´ 4°)   Calculer le moment moment cin´ cinetique  (G, S/ S/R R). Application numerique. −→ (G,S/R)). Application numerique. ´ 5°)   Calculer le moment moment dynamique dynamique δ  (G,S/R

2°) b)   Montrer que  Ω =   12 (1

´ ´ 6°)   Quelle est la resultante des actions mecaniques agissant sur cette bille? Quelles sont leur origines ´ possibles ? Application numerique. e r  

S 

 R

 I  

O

S 1

 J   

 A

` du roulem ´ F IGURE  3 – Modele roulement ent (l a` aussi, c’est simplifie...)

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

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´ Exercice 4. Effet “ retro ” ` important pour les joueurs de billard est l’effet r etro ´ 1 .   Pour l’illustre l’illustrer, r, figure figure   4, on Un effet tres ` le mouvement considere mouvement suppos´ suppose´ plan d’une boule de billard  S , de centre  A , de rayon  a , sur son tapis ´ R   avec lequel elle est en contact au point   I . Par rapport   a`   R  suppose´ galileen, le point   A  est anime´ d’une vitesse horizontale  V  x , la boule tourne avec une vitesse de rotation ω z   (voir figure ci-dessous). Le coefficient de frottement entre le tapis et la boule est note´  µ . ` l’instant initial, la boule est lanc ee ´ av A avec ec adresse adresse  a` une vitesse  V ( =   ω0 .  V 0  V  (t  = 0) =  =   V 0 ,  ω (t  = 0) =  ˆ et  ω 0  sont tous deux positifs! L’objectif ’objectif est de regarder regarder si et quand la boule est suscepti susceptible ble de s’arr s’arrˆeter,

−→

−→

voire de rebrousser chemin.

1°)   Donner l’expression de la vitesse de glissement au point I   : v g (S/R S/R)). ´ 2°)   Donner les expressions des torseurs cin cinetique et dynamique du mouvement de  S  par   par rapport  rapport  a`  R . ´ eration ´ ´ 3°)   La pesant pesanteur eur  a` une accel  g  qu’on ne negligera pas. Donner l’allure du torseur des actions ´ ´  a`  S  agissant sur  S . mecaniques exterieures ´ 4°)   Tant que la vitesse vitesse de glissement est non nulle nulle,, donner les expressions expressions des des  evolutions en temps de  V   V ((t)  et  ω(  ω (t). ` quelle condition   V  s’annule-t-elle alors que la boule continue  a` glisser?  A ` quel instant ceci se 5°)   A ` vous, quel sera le mouvement de la boule apres ` cet produit-il? Que vaut   ω   a` cet instant? D’apres instant? ´ edente ´ ´ ee, ´  `a quel instant la vitesse de glissement 6°)   Si la condition prec n’est pas verifi ee, ` glissement s’annule-t-elle ? ` vous, quel sera le mouvement ` cet instant Que valent alors  V   et  ω ? D’apres mouvement de la boule apr apr`es instant? ?  

S 

 A

 y 

 x 

 I 

 R

` de boule sur le tapis du billard (pas si simplifi e´ que F IGURE  4 – Modele q ue c¸ a.. a...) .)

1. Voir par exemple Jean Marty Marty,,Le billard par l’image , Imp. Desseaux, 1967

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´ ´ ´ Exercice 5. R´ Recup eration d’energ energie ie sur bus urbain ´ ´ ˆ des bus urbain La frequence de demarr emarrage age et d’arr d’arrˆet urbains s s’acc s’accroˆ roˆııtt av avec ec la circu circulation lation.. Le co coˆut ˆ de ˆ ´ ´ ´ ´ ´ lors d’un freinage pour fonctionnement de ces bus peut   etre reduit en recup erant l’energie dissipee ´ ´ la reutiliser au demarrage suivant. On peut envisager plusieurs solutions de stockage temporaire de 2 ´ ´ ´ ´ . cette  energie; cette nous allons nous interesser ici  a` un stockage sous forme d’energie cinetique ` ´ ´ ´ ´ e´ mis au point par la societ ´ e´ Volvo, voir Un des premiers systemes de recup eration d’energie a   et ´ ´ par  6..  Il utilise utilise un volant volant d’inertie pour stoc stocker ker l’energie. La transmission classique est remplacee figure 6 figure ´ par microprocesseur (non  etudi ´ ´ ici). un ensemble volant d’inertie et transmission hydrostatique pilotee ee Dans cette  etude, ´ on se propose de d eterminer ´ quelques conditions conditions  a` respecter lors de l’installation ´ ´  a` ce volant. du volant d’inertie dans le bus pour r eduire les effets secondaires li es es  Cahier des charges :  — vitesse de rotation maximale du volant :  Ω max  = 8000 8000 tr/min,   `  — moment d’iner tie du volant par rapport a son axe :  C   C  =  = 15kg · m2 ,  — masse du volant d’inertie d’iner tie :  m  m =  = 330kg, ´  — masse totale du vehicule (bus + volant) :  M   M  =  = 12 12 t. ` ´ Le repere ( O, x g , y  g , z  g )  li e´  a` la route est suppose´ galileen. g   = (O, ´ On va s’interesser au bus lors d’un virage, en supposant la suspension infiniment rigide (pour sim` lie´ au bus est b   = plifier) : le mouvement du bus   b   est alors une rotation suivant z   g . Le repere ´ ee ´ par l’angle  α  (figure  (figure 5  5)). (B, x b , y  b , z   g )  et la position du bus par rapport  a` la route est rep er ` ´ au volant   v , dont   G   est le centre de masse.   (G, z  v )   est Le repere v   = (G, x v , y  v , z  v )  est lie ´ ee ´ de l’axe de la liaison pivot entre le volant et le bus. La position du volant par rapport au bus est rep er ´ erale ´  5)). Les angles  ψ  et  θ  sont constants, fac fac¸on gen par trois angles (dits angles d’Euler) ψ,θ,φ  (figure  (figure 5 ´ et caracterisent la position de l’axe du volant volant par rapport rapport au bus.

R

−→ −→ −→  R

−→ → − −→

 −→

 R −→

−→ −→ −→

` partir des donnees ´ prec ´ edentes, ´ 1°)   A proposez des valeurs d’encombrement pour le volant d’inertie. ´ ´ ˆ ´ dans le volant d’inertie. Si toute cette 2°)   Calculer l’energie cinetique maximale qui peut  etre maximale stockee ´ ´ ˆ ´ en   energie ´ ´ energie cinetique peut   etre transformee cinetique de translation du bus, quelle serait la vitesse vitess e du bus obtenue ?

−→ R

−→ Rg ) en projection

3°)   Donner l’expression de Ω (b/ g ). On note Ω n , Ωw ,  Ωz  les composantes de Ω (v/ sur n , w   et z   v . Donner leur expression.

−→ −→ −→

Dans toute la suite, on se place dans le cas particuli particulier er suivant : le bus tourne tourne  a` vitesse constante   ˙ α˙  =  = ω  ω , le volant volant d’inertie aussi φ  = Ω  et sa vitesse est grande devant celle du bus  Ω  Ω >>  >> ω . ´ des expressions prec ´ edentes. ´ 4°)   Donner alors les versions versions simplifi´ simplifiees

5°)   On appelle appelle  M n   et  M w  les composantes du moment en  G  des actions du bus sur le volant dans la ´ du probleme, ` liaison pivot. Donner leur expression en fonction de  Ωn , Ωw , Ωz , et des donnees en limitant au maximum les calculs. ´ ´ e, ´ que faut-il choisir d’apres ` vous comme position de l’axe du volant dans 6°)   Pour le scenario consider le bus? ´ e´ place´ transversalement (ψ  = π 7°)   Si cet axe avait  avait  et  =  π//2,  θ =  θ  = 0), estimez la vitesse de rotation du bus, puis les moments dans la liaison entre le bus et le volant.

2. voir par exemple M. Hedlund al, Flywheel Energy Storage for Automotive Applications, Applications, Energies   Energies    8 :10636-10663, 2015. doi:10.3390/en81010636

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

11

 

 yg 

 yb 

 xb 

α

 xg 

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 z g

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 



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ϕ

θ

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n  xv

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





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

k 



 z v

w

 

F IGURE  5 – Figures de calcul

F IGURE   6 – Volvo KERS system  Flywheel hybrid systems  http://www.racecar-engineering.com/ ` : 12/11/ 12/11/2021) 2021) articles/f1/flywheel-hybrid-systems-kers/ (dernier acces

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Exercice 6. Embrayage centrifuge ´  7 repr  represente un embrayage centrifuge. L’objectif est de synchroniser l’arbre Le dispositif dispositif de la figure figure 7 ´ (3) et l’arbre de sortie (4) en pilotant l’embrayage constitue´ du plateau de (4) et du disque d’entree d’embrayage (2) par la vitesse de rotation. ´ est muni de 3 masses (1) en liaison glissiere ` avec lui. Celle qui est Pour cela, l’arbre d’entree ´ ´ sur la figure a pour centre de masse  G 1 , la liaison glissiere ` est de direction e  r represent ee

−→

−−−→ →e  r O1 G1  =  r 1 − ´ de faible dimension (masses ponctuelles). Ces masses sont supposees Ces masses sont en appui sur la partie conique du disque (2) suivant une liaison ponctuelle de ´ n . Le disque (2) est en liaison glissi ere ` par rapport  ´ d’axe x . Il a une normale inclinee rapport  a` l’arbre d’entree, masse  M 2 , un centre de masse  O2 , un moment d’inertie  I 2  par rapport  a` l’axe  (O  ( O2 , x ).

−→

−→

−→

−−−→ →x O1 O2  =  a− Le disque (2) est suppose´ toujours en contac contactt av avec ec le plateau plateau de l’arbr l’arbre e (4) (av (avec ec un effo effort rt presseur presseur ´ variable...) dont on neglige l’inertie. ´ ´ Dans toute la suite, on n egligera les effets de la pesanteur. Toutes les liaisons sont supposees ´ par rapport au bati ˆ (liaison parfaites (sauf le contact entre (2) et (4)). La position de l’arbre d’entr ee ˆ (liaison pivot) ´ ee ´ par un angle  θ 3 . La position de l’arbre de sortie (4) par rapport au b ati pivot) est reper ´ ee ´ par un angle  θ 4 . Le bati ˆ est suppose´ galileen. ´ est reper e r 

α



n

1

G1 3 O2

 x  

O1

2

4

F IGURE  7 – Principe de fonctionnement

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

13

 

´ par rapport au bati, ˆ et ω 4  celle de l’arbre de 1°)   On appelle ω 3  la vitesse de rotation de l’arbre d’entree ´ ´ ´ sortie. Donner l’expression de l’energie cinetique de l’ensemble  etudi e´ 1,2,3,4 .

{

}

2°)   En isolant une masse (1), donner l’express l’expression ion de l’effort de contact N   exerce´ par (1) sur (2).

−→

´ 3°)   Donner alors l’expression l’expression de l’effort l’effort presseur dans l’embrayage l’embrayage  P   (resultante en projection sur x de l’action de (2) sur (4)). ´ ´ edemment, ´ Independa ependamment mment de ce que vous auriez pu trouver trouver pr ec on suppose que les actions mecaniques ´ de (2) sur (4) sont de la forme

T (2 → 4) =

 −→−→ P  x C  x

O2

avec C   C    = kω  k ω32   ou`  k  est une constante. ` l’arbre de sortie (4), on lie un r ecepteur ´ ´ A (5)  a` forte inertie (5)  inertie.. Ses caract caracteristiques sont les suivantes :  — centre de masse G  sur l’axe : O1 G  = b  =  b x ,  — masse M  I 5   0 0 ´  — operateur d’inertie en  G  : ((5, 5, G) = 0   J    0 0 0   J  (→ −x ,→ −y ,→ −z ) Dans toute la suite, suite, on suppose suppose que  ω 3  est constante.

−−→

 I 

−→

 

 

isolant (4) et le r´ recepteur, ´ donner l’expression de son accel ´ eration ´ angulaire  ω˙ 4 . 4°)   En isolant ` quel instant aura-t-on fini de demarrer ´ ´ ` 5°)   A le recepteur (c’est-a-dire quand aura-t-on  ω 4  =  ω 3 ) ?

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

14

 

´ Exercice 7.  Equilibrage dynamique ´ ´ ´ sur les documents de la figure   9   est une machine   a`   equilibrer les roues La machine represent ee ´ ´ eralement, ´ de vehicules automobiles, ou plus gen les solides pour lesquels la vitesse de rotation est ´ ee ´ pour qu’on ne puisse ´ suffisamment  elev suffisamment puisse pas tol erer d’avoir un “balourd” trop grand. L’objectif est donc de pouvoir corriger ce balourd. ´ ˆ  R . Il est On va  etudier le cas d’une roue ou d’un solide  S  en liaison pivot d’axe  (0,  (0 , x )  avec un bati ` sa position entraˆˆın entra ıne´ en rotation  a` l’aide d’un moteur qui exerce sur lui un couple  C  x   en  O . On repere ´ constante). avec un angle  θ  et on note  ω =  ω  =  θ˙  sa vitesse de rotation (pas forcement

−→

−→

 

S 

G

O  x 

` de balourd F IGURE  8 – Modele ` ´ ´ On ne considerera pas d’autres actions mecaniques exterieures (par exemple : pas de pesanteur, pas de tension tension dans la poulie). ` Ce solide  S  possede un “balourd”. “balourd”. En particulier particulier,, son centre centre de masse  G  n’est pas sur l’axe : OG OG =  = `  ( x , y  1 , z   1 )  est lie´  a`  S , il tourne donc par rapport au rep` `  ( x , y , z  )  lie´ au bati. ˆ λ x   + e y  1 . Le repere repere Sa matrice d’inertie est quant   a` elle quelconque (a priori, aucun des coefficients   A,B,C,D,E,F 

−→ −→

−→ −→ −→

n’est nul) :

 I (O, S ) =  −→

−→ −→ −→

  −  −  −−   −   −  A F E 

F  B D

E  D C  (→ −x ,→ −y ,→ −z  1

 1

−−→

)

´ ´ par le bati ˆ   R  sur le solide   S   dans la liaison pivot. 1°)   On note note R   la resultante des efforts exerces Donner l’expression de R .

 −→

−→

´ par le bati ˆ  R  sur le solide  S   en  O  dans la liaison pivot. 2°)   On note M  le moment des efforts exerces Donner l’expression de M  et   et de  C .

−→

 −→

´ 3°)   On souhaite souhaiterai raitt ne plus plus avoi avoirr de resultante R   dans cette liaison, quelle que soit la vitesse de rotation. Quelle condition faut-il faut-il respecter ? fois la conditio condition n prec ´ edente ´ satisfaite, on souhaiterait ne plus avoir non plus de moment M  4°)   Une fois M . Quelle condition faut-il faut-il respecter ?

 −→

´ edente ´ ´ ee, ´ on voudrait alors  ´ Si aucune des conditions pr ec n’est verifi alors  equilibrer le solide  S  en   en rotation autour de l’axe de rotation. Une solution consiste   a` ajouter une ou des masses ponctuelles (ou a les enlever par usinage) au solide  S .

 −−−→

−→

−→

−→

´   m1   en position OM 1   =   λ1 x   +  a 1 y  1   +  b 1 z  1 . Il faut donc 5°)   Essayons Essayons avec avec une masse ajoutee ` ire n’a choisir (m1 , λ1 , a1 , b1 ). Pourraourra-t-o t-on n arri arrive verr  `a  ´equilibrer equilibrer dynami dynamiqueme quement nt S , c’es c’estt-`a-d a-dire n’avo voir ir plu plus s d’a d’acti ction on ´ mecaniq ecanique ue dans la liaison liaison pivot? pivot ?

−−−→

−→

−→

−→

´  m 2  en position OM 2   =  λ 2 x   + a2 y  1  +  + b  b2 z   1 . Pourra6°)   Essayons avec une seconde masse masse ajout´ ajoutee ´ ` ´ t-on arriver arriver  a`  equilibrer dynamiquement  S , c’est-a-dire n’avoir plus d’action mecanique dans la liaison ˆ ` pivott ? Y arrivera-t pivo arrivera-t-on -on en plac¸ ant les deux masses dans le meme plan, c’est-a-dire avec   λ1   =   λ2 ? Donner les conditions  a` verifier ´ pour  pour  equilibrer ´ dynamiquement  S .

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

15

 

F IGURE  9 – Machine d’ equilibrage ´ dynamique

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

16

 

´ ´ Exercice 8.  Etude du deploiement des bras d’un satellite ´ ´ ´ au controle ˆ de l’auto Afin d’etudier le deploiement des bras d’un satellite, bras destin es l’auto-rotat -rotation, ion, on ` experimental ´ ´ emploie au laboratoire le modele defini sur la figure 10 figure  10.. ´ erentiel ´ ´ Le ref lie´ au laboratoire est 0   = (O1 , X 0 , Y   0 , Z 0 ) ; il est suppose´ galileen, Z 0  est vertical ascendant. ` Le corps du satellite  S 1  est en liaison pivot parfaite d’axe  (O  (O1 , Z 0 )  avec 0 . On lui assoc associe ie un rep ere 1   = (O1 , X 1 , Y   1 , Z 0 ).   G1   est le centre de masse de   S 1   , O1 G1   =   h Z 0 . Sa masse est   M 1 . Son ´ operateur d’inertie est A1   0 0 (O1 , S 1 ) = 0   B1   0 − → − → − 0 0   I 1 → X , Y  , Z 

−→ −→ −→

 R

−→  −−−→

−→ −→ −→

R





 I 

 −→

1

−→ −→ −→  

 1

→ −R

0

 

´ ee ´ par rapport  a` 0  par l’angle  Ψ = ( X 0 , X 1 ). Sa position est reper satellite est en liaison pivot d’axe (O Le bras  S 2  du satellite  ( O2 , Y   1 )  avec  S 1 , O1 O2   =  a 2 X 1 . On lui associe un ` repere  = b  b 2 Z 2 . Sa masse est  M 2 . Son 2  = (O2 , X 2 , Y   1 , Z 2 ).  G2  est le centre de masse de S 2  , O2 G2  = ´ operateur d’inertie est A2   0 0 (O2 , S 2 ) = 0   B2   0 − → − → − 0 0   C 2 → X , Y  , Z 

R

→ − −→ −→

R

 

 

 I 

 

2

−−−→ −→ −−−→ −→

 1

2

−→ −→

 

´ ee ´ par rapport  a` 1  par l’angle  θ 2   = ( Z 1 , Z 2 ). Entre  S 1  et  S 2 , on place un moteur Sa position est reper ´ un couple  C M Y   1 . 2  d elivrant Le bras  S 3  du satellite est en liaison pivot d’axe  (O  ( O3 , Y   1 )  avec  S 1 , O1 O3   = a3 X 1 . On lui associe un repere ` Z 3 . Sa masse est  M 3 . X 3 , Y  Y   1 , Z  Z 3 ).  G 3  est le centre de masse de  S 3  , O3 G3   =  b 3 Z  3   = (O3 , X  ´ Son operateur d’inertie est A3   0 0 (O3 , S 3 ) = 0   B3   0 − → − → − 0 0   C 3 → X , Y  , Z 

M

2

R

R

−→

−→  −−−→ −−−→  −−→

−→

−→ −→ −→

 

 

 I 

3

 1

3

−→ −→ ´ ee ´ par rapport  a` R1  par l’angle  θ 3   = ( Z 1 , Z 3 ). Entre  S 1  et  S 3 , on place un moteur Sa position est reper −→ ´ M3  d elivrant un couple  C M Y   1 .  

 

3

` partie Premiere ´ On s’interesse pour l’instant au cas o`u le corps du satellite est fixe par rapport au laboratoire :   ˙ Ψ = 0, Ψ = 0 . ´ ´ Quels ´ donnes. 1°)   On souhaite souhaite avoir avoir les  les   equations du mouvement de   S 2 , les couples moteurs  etant sont les systemes  emes `  a` isoler et quelle quelles s  equations ´ du principe fondamental faut-il  ecrire? ´ ´ ´ 2°)   Etablir ces  equations ces  de mouvement.

` Deuxieme partie Maintenant, le satellite peut aussi tourner par rapport au laboratoire.

3°)   Si les bras S 2  et  S 3  sont fixes par rapport au corps  S 1 , quelle est l’inertie en rotation de l’ensemble  ( O1 , Z 0 ) ? S 1 , S 2 , S 3 autour de l’axe  (O

{

−→

}

4°)   Ces Ces br bras as pe peuv uven entt main mainte tena nant nt auss aussii tourn tourner er par par rapp rapport ort au corps corps S 1 . On souh souhai aite te avoi avoirr les les  ´equations equations ´ ´ Combien ` donnes. du mouvement du systeme S 1 , S 2 , S 3  par rapport  a` 0 , les couples moteurs  etant ´ de liberte´ dans ce mouvement `   a` isoler et quelles y a-t-il de degres mouvement ? Quels sont les (sous)-syst (sous)-syst`emes ´ ´ equations du principe fondamental faut-il  ecrire?

 {

}

 R

´ 5°)   Etablir ces  ´equations ces ´ equations de mouvement, dans le cas particulier (simplificateur) ou`  G2  =  = O  O 1  = O  O 2  et  G1  = (donc  b 2  =  b 3  = 0). Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

17

 

` du mecani ´ ´ F IGURE  10 – Modele ecanisme sme de deploiement

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

18

 

´ Exercice 9. Destruction de cheminees par basculement*

´ ´ principale de la fonderie Noranda  a` Murdochville (Quebec), ´ F IGURE  11 – Demoli emolition tion de la cheminee le 13 octobre 2003 (photographie Jacques Gratton,   http://www.jac http://www.jacquesgratton.com quesgratton.com)

` partie : la cheminee ´ Noranda Premiere

´ e´ en 2003, pour des raisons de securit ´ ´ de demolir ´ ´ La compagnie Noranda a decid e, la cheminee ´ ´ principale de son ancienne fonderie de cuivre de Murdochville, qui s’est  eteinte avec la fin des activites ` au printemps 2002. Cette chemin ee ´ de plus de 30 metres ` ´ e´ pendant cinquante ans un de la miniere a  et a  ´ e´  a` Murdochville. symbole symbol e de prosperit ´ de fac¸ on  a` la faire tomber La technique de basculement consiste  `a dynamiter la base de la chemin ee comme s’il n’y avait plus qu’une articulation  a` la base. ´ ´ : Question 1 :   Pour la modelisation, on a plusieurs possibilites ´ ´ comme un cylindre creux S , homogene, ` - on peut modeliser la cheminee d’axe (G,  (G, y  1 ),  `a base circulaire ´ ´ de rayon exterieur  R e , de rayon interieur  R i . Sa longueur est   2L, sa masse  m  et  G  est son centre de   ` masse (Figure 12(a) (Figure  12(a) a gauche). ´ ´ comme une barre homogene, ` ˆ - on peut aussi modeliser la cheminee d’axe  (G, longueur  ( G, y  1 ), de meme ˆ ˆ  12(a)  a` droite). 2L, de meme masse  m  et de meme centre de masse G  (Figure  (Figure 12(a) ´ ˆ ´ ees ´ comme  equivalentes ´ Sous quelles conditions ces deux modelisations peuvent  etre peuvent  consider pour la dynamique?

−→

−→

` Question 2 :   Dans le le cas de la la barre homog homog`ene, rappeler l’ex rappeler l’expressi pression on de son moment d’inertie en  G autour de z   (attention : z   et pas y  1 ! ! ) que l’on notera notera I .

−→

−→

−→

` de la barre homog ene. ` ´  a` la phase dans Dans toute la suite, suite, on utilisera utilisera le mod ele On s’interesse eresse  laquelle la cheminee ´ ne se brise pas au cours de la chute.

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

19

 

 y1  Re

S 

 y1

 Ri

 y

 y1 S  θ

2 L

2 L

G

 z

G

G

 z

 x 1

 x 1

 x 1

θ

 

O

x 

´ (b) Basculement de la cheminee

´ ´ (a) Mod Mod´elisation de la chemin ee

´ Noranda F IGURE  12 – Cheminee

´ ´ e´ ´ Noranda.   Ayant modelis Question 3 :  Equation du mouvement de basculement de la cheminee ´ par la barre  S  pr ´ edente, ´ la cheminee  pr ec on suppose cette fois-ci que la destruction de la base  a` l’explosif ´ et le sol (Figure   12(b)) conduit   a` avoir une liaison pivot parfaite d’axe   (O, z  )   entre la cheminee 12(b)). On ´ eration ´ ` la position de   S   par rapport au appelle   g   l’accel de la pesanteur, et   θ   est l’angle qui repere ´ erentiel ´ ´ ref lie´ au sol = (O, ( O, x , y , z  )  suppose´ galileen.

−→

R

−→ −→ −→

3a)   Donner Donner l’expressio l’expression n de la vitesse de G  par rapport  a` .

R

´ eratio ´ , puis de l’accel eration n de  G  par rapport  a`

R

3b)   Donner l’expression l’expression du moment dynamique de  S  par rapport  a`

R au point O .

´ 3c)   Quelles sont les actions ext ext´erieures agissant sur  S ? ´ 3d)   Ecrire le principe fondamental de la dynamique applique´  a`   S  par   par rapport  a` , en moment en   O ´ ´ en projection sur z  . En deduire que l’equation du mouvement de   S   par rapport   a`  est de la forme L sin θ  =  = α  α θ¨ o u`  α  est une constante dont on demande l’expression. g

 R  R

 −→

´ ´ Dans toute la suite, on suppose qu’on a pu r esoudre cette  equation cette  de mouvement, au moins ´ ´ graphiquement sur la figure 13 numerique eriquement, ment, et en cas de besoin besoin,, la soluti solution on est donn´ donnee figure  13.. Sur ´ sur les axes ont  et ´ e´ adimensionnees ´ (par exemple, on a en cette figure, les valeurs port ees g

abscisse t

L,

 

et les angles sont donnes ´ en radia radian). n).

` partir des resultats ´ pour la cheminee ´ ´ ´ 13,,   qui sont donnes Question 4 :   A numeriques de la figure   13 ´ ´ ´ Noranda, donner une methode pour determiner la valeur numerique de la constante  α , puis la vale valeur ur de ` cette derniere. on prendra prendra  L =  L  = 30 m.

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

20

 

F IGURE  13 – Mouvement solution

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

21

 

` ´ de Marcoule Deuxi`eme Deuxi partie : la cheminee

´ G1 de Marcoule (Gard), le 19 juillet 2003   a` 7h05 (http: F IGURE  14 – Basculement de la chemin ee //www.cea.fr/fr/thema/centres/valrho.htm) ´ ´ de l’ancien reacteur ´ ´ e´ abattue Symbole historique du site nucl eaire de Marcoule, la chemin ee G1 a  a  et ´ ` ´ avec 30 kilogrammes d’explosifs, pour cet  edifice de 100 metres de haut, pesant 2200 tonnes de beton ´ avait cesse´ de fonctionner en 2000 et des  etudes ´ ´ e´ engagees ´ pour la et d’acier. La cheminee avaient  et avaient  ´ detruire puisque les conditions de sa construction (en 1956) ne correspondaient plus aux normes les ´ ´ plus recente ecentes s de tenue aux vents violents violents et aux s eismes. ´ ´ prec ´ edemme ´ Independamment de la valeur trouvee edemment, nt, et pour toute la suite suite,, on prendr prendra a comme ´ de Marcoule, et qui est  α = valeur de  α  celle correspondant  correspondant  a` la cheminee  α  = 1.33. ´ edent, ´ ` que la cheminee ´ s’est brisee ´ en deux lors de sa chute. Contrairement au cas prec il s’avere ´ ´ Il est bien  evident que pouvoir prevoir ce genre de comportement est important du point de vue de la ´ ´ ´ ´ en dynamique des securit e´ du chantier de d emolition. On aimerait savoir si une mod elisation simplifiee ´ solides peut l’expliquer. Pour cela, on va cherche  a` connaˆıtre ıtre les efforts interieu erieurs rs s’exerc¸ ant en entre tre lles es ´ briques de la chemin cheminee. ´ ´ consiste  a` considerer ´ ´ comme un assemblage de 2 Question 5 :   La demarche proposee la cheminee ´ entre elles par une liaison encastrement, et  a` d eterminer ´ barres  S 1  et  S 2  li ees les efforts dans la liaison. ´  On propose donc d’isoler la seule barre  S 1 , de longueur  2h  2 h, (figure 15 (figure  15))  dont le mouvement est est impos   impos ´  e  ´ (c’est celui de la figure  13  13))  et on cherche les actions de  S 2   sur  S 1  : une resultante  N  y  1  +  + T   T  x 1  et un moment en  A z  . On appelle  τ  le rapport de longueur  τ    τ   =  h/L .

−→ M

−→

−−→

−→

−→

5a)   G1  est le centre de masse de  S 1  : OG1  =  L 1 y  1 . Donner l’expression de  L 1  en fonction de  L  et  τ .

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

22

 

 y

 y1 S 1

2h

θ

G1  A

 x 1

2 L

θ

O

 x 

´ ´ F IGURE  15 – Modelisation de la partie haute de la cheminee ´ et de 5b)   Donner l’expression l’expression de la masse m 1  de  S 1  en fonction fonction de la masse total totale e m  de la cheminee τ . ´ eration ´ rapport  a` 5c)   Donner l’expression l’expression de l’acc´ l’accel de  G 1  par rapport 

R en fonction de L, τ   et θ .

´ ´ ´ 5d)   Donner Donner l’expressi l’expression on de la r´ resultante des efforts exterieurs qui agissent sur  S 1 , puis  ecrire le prin´ ´ En deduire l’expression de l’effort trancipe fondamental de la dynamique applique´  a`  S 1  en resultante. chant  T  en fonction, entre autres, de  m ,  L  et  τ . ´ ´ 5e)   Decrivez, sans faire les calculs, la methode qui permettrait de trouver le moment encastrement.

M dans la liaison

5f)   Pour la la suite, on suppose que les calculs nous donneraient 2

ατ (τ 2 − 5τ  +  + 4) M =   mL3   ατ ( En quel point  A , c’est  a` dire pour quelle valeur de  τ   le moment de flex flexion ion est-il d’amplitude d’amplitude maxim maximale ale ? Conclure.

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

23

 

` ´ ´ ´ Exercice 10. Principe d’un systeme de recup eration d’energie : le yoyo* ` ´ ´ ´ Un systeme de recup eration d’energie pour monte-charge (quand il n’y a pas 2 monte-charges en ` l’un descendant, l’autre montant) est bas e´ sur le meme ˆ ` parallele, principe que celui du yoyo. Le systeme ´ ´ etant plus simple dans ce dernier cas, c’est celui que nous allon allons s  etudier en premier lieu ici. ´ ´ ` etrie peut varier, mais qui Ce systeme se compose principalement d’un solide inertiel  S 1  dont la geom peut ressembler ` ressembler  `a celle de la figure 16 figure  16.. G  est son centre de masse et z  son axe principal. (G, x 1 , y  1 , z  ) ´ ` lie´  a`  S 1 . L’operateur d’inertie de  S 1  en  G  est de la forme est donc un repere

−→

 I (G, S 1) =

−→ −→ −→

J  0   00 0    J  0 0   I  (→ −x ,→ −y ,→ −z )





1

 1

´  a`  m  = 0, 12 kg, et un moment d’inertie Dans le cas d’un yoyo en bois, on a une masse de  S 1  egale − 4 2 I   = 10 kg m . ´ autour du cylindre central, de rayon   r, du yoyo et se d eroule ´ Question 1   Une ficelle ficelle est enroul enroul´ee ´ de la ficelle autour de celui-ci lors de la descente du yoyo, figure 17 figure  17.. On supposera la partie superieure ´ au bati, ˆ et pour simplifier, on considerera ` ´ suivant la vertica attachee que la ficelle est toujours dirigee verticale le ´ ritt pa ` res mouvem emen entt du yoyo es estt dec ecri parr 2 pa para ram metre et s : un an angl gle e θ , et la posi positi tion on verti vertica cale le λ, OG y   . Le mouv OG =  = λ y  . ´ eration ´ ˆ et L’accel de la pesanteur est g y  . On note   ω z   le taux de rotation de   S 1  par rapport au b ati, V  (G/  ( G/bˆ bˆati) ati) = V  y  .

−→ −→

 − −→

− −→

−−→ − −→

−→

´ ˆ en fonction, entre autres, de   ω   et   V . 1a)   Donner Donner le torseur torseur cin´ cinematique de   S 1   par rapport au bati, Donner ensuite les expressions de  ω  et  V  en fonction de  θ  et  λ . ˆ puis celle de l’energie ´ ´ ´ cinetique 1b)   Donner l’expression l’expression du torseur cin´ cinetique de S 1  par rapport au bati, ˆ de  S 1  par rapport au bati. ˆ 1c)   Donner l’expression l’expression du torseur dynamique de S 1  par rapport au bati.

Question 2   Lors du mouvement mouvement du yo yoyo yo,, tout se passe comme si le yoyo roulait roulait sans glisser sur la ´ ligne verticale de la ficelle. On note  A  le point ou se d eroule la ficelle (point de contact entre le yoyo et la verticale de la ficelle). ficelle).

−→

2a)   Donner l’expression de V  (A,  ( A, S 1 /bˆati) ati). ´  ω  et  V   ? 2b)   Avec Avec ce roulement sans glissement, glissement, comment sont li´ lies ´ Question 3   On note T  la tension dans la ficelle (l’action de la ficelle sur le yoyo en  A  est une resultante ´ T  y  ). Au cours de la descente du yoyo, le frottement de l’air agit comme un moment ext erieur s’appliquant sur l’axe  (G,  ( G, z  ) . Il est proportionnel au taux de rotation et oppos e´ en signe : M   M   = kω z   (k  est une constante positive).

−→

−→  − −→

−→

−→

´ ´ 3a)   En  En  ecrivant le principe fondamental de la dynamique en resultante sur y  , donner l’expression de T . Avec la condition de roulement sans glissement de la question 2b), montrer que la tension peut ´ ´ s’ecrire  T    T   =  a + bω˙ , ou`  a  et  b  sont des constantes positives  a` determiner. ´ 3b)   Ecrire le principe fondamental fondamental de la dynami dynamique que en moment en G . Montrer que  ω  ω((t)  est la solution ´ ´ d’une  equation du type :  ω˙  + αω  +  αω +  + β  βT  T    = 0   ou`   α   et   β  sont des constantes positives  a` determiner, en particulier en fonction de  k .

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

24

 

´ ´ ´ edente ´ 3c)   La resolution de l’equation prec (avec une vitesse initiale nulle) donne



β    α ω (t) = a exp( t) α 1 + βb

−

−1



(on ne demande pas de la retrouver retrouver !). ` quel insta Donner l’expression de la tension  T .  A instant nt la valeur valeur de  T  est-elle maximale maximale ?  y1

 y1

 z G

G

 x1

´ ´ F IGURE  16 – Geom etrie du yoyo

O ficelle

 y

 y1

S 1  2r 

 

x1 θ

 A

G

 x

F IGURE  17 – Le yoyo en mouvement

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

25

 

´ eration ´ Exercice 11. Freinage et accel d’une motocyclette* ´   a` une motocyclette qui roule en ligne droite, sur un terrain parfaitement plat. Plus On s’interesse ´ ` ´ ement, ´ ´   a` la phase de freinage. La figure   18   presente le probleme, ainsi que la precis ecis´ on s’interesse ´ ´ L’ensemble pilote et moto sans les roues est suppose´ former un solide rigide 3, modelisation proposee. ´ infiniment de masse m , de centre centre de masse G. La suspension est supposee infi niment rigide, de fac¸ on  a` avoir des ´ eration ´ liaisons pivot parfaites entre le solide 3 et les roues 1 et 2, d’axes  (O  ( O1 , x )  et  (O  ( O2 , x ). L’accel de la pesanteur est g z  .

−→

− −→

−−→

−→

−→

  −−−→

−→

−→

O1 G  = H   =  H  y   + h z   et O1 O2  =  = L  L y ´ Les roues ont un rayon exterieur  R e . Le contact entre une roue et le sol 0 est suppos e´ ponctuel (aux points I 1  et  I 2 ), et le coefficient de frottement de Coulomb correspondant est note´  µ . On suppose qu’il y a roulement sans glissement glissement des roues sur le sol. ` Le systeme de freinage est monte´ entre le solide 3 et les roues. Il exerce un couple  C 1 x   en  O 1  sur la roue 1, et un couple  C 2 x   en O 2  sur la roue 2. `  ( x , y , z  )  est orthonorme´ direct Le repere direct..

−→ −→ −→

−→

−→

 z 



O



G 

h

 y  





 I  

  H 

I 

O 



 L

` gauche : le probl eme ` ´ e,  ´  a` droite : la modelisation ´ ´ F IGURE  18 –  A consider e, envisagee

mouvement ent de 3 par rapport rapport au sol 0 ? Donner son to torseur rseur ci cin nematique. ´ 1°)   Quel est le mouvem

−→

Dans toute la suite, suite, on notera V  y   la vitesse vitesse de 3 par rapport  a` 0. ` simplifie´ homogene `   equivalent, ´ ´ 2°)   Po Pour ur estimer l’inertie l’inertie d’une roue, on utilise un modele present e´ 19..   Donner l’expression de son moment d’inertie autour de son axe en fonction de la sur la figure   19 ´ ´ ´ geom etrie de la roue et de la masse volumique  equivalente  ρ eq  (on ne vous demande pas de recalculer ´ ´ les integrales correspondantes, mais de reutiliser les documents que vous avez!). Cette roue est-elle ´ ´ dynamiquement equilibr ee dynamiquement autour de son axe, axe, et pourquoi pourquoi ? ´ Dans toute la suite, on n eglig egligera era les effets des masses et des inerties des roues. ´ ´ donnes, ´ trouver l’expression des efforts tangensupposes 3°)   Les couples couples de de freinage freinage C 1  et  C 2   etant ´ au contact par le sol sur les roues 1 et 2. tiels  T 1 y   et  T 2 y   exerces

−→

−→

isolant l’ensemble l’ensemble de la moto, moto,  ecrire ´ le theor ´ eme ` de la r esultante ´ dynamique. En deduire ´ l’ex4°)   En isolant ´ erati ´ ´ el ´ eration) ´ pression de l’accel eration on (en fait sa dec Γ (G/0) G/0)  en fonction des efforts aux contacts, tangentiels (T 1 y   et  T 2 y  ) et normaux (N 1 z   et  N 2 z  ) en  I 1  et  I 2 .

−→

−→

−→

−→

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

−→

26

 

 x  

 R e  R i 

h

 z 

 y 

´ ´ F IGURE  19 – Mod´ Modelisation de la roue pour le calcul de l’inertie  equivalente ´ ´ eme ` 5°)   Ecrire le theor du moment moment dynamique en  G  applique´  a` la moto. ` pa ´ ltats ´ ede ´ ntes, 6°)   A part rtir ir des des resu esulta ts des questi questions ons pr´ prec edente s, don donner ner les expre expressi ssions ons des eff efforts orts normaux normaux N 1  et ´ au contact contact par le sol sur les roues 1 et 2, en foncti fonction, on, entre autres, des couples de freinage. freinage. N 2  exerces ´ ´ ` de la moto (valeurs de  H ,  h  et  L Dans toute la suite, pour une g eom etrie particuliere ` ˆ particuli eres), on utilisera les expressions suivantes qui pourraient  etre obtenues dans la

 2 N 1  = mg 3

−

question 5°:  1  2  2 (C 1  + C 2 )  et  N 2  = mg  + (C 1  + C 2 ) mg + 3 3Re 3Re

` 7°)   On imagine imagine mainte maintenan nantt le cas o`u   C 2   = 0   : on ne freine qu’avec la roue arri ere. Quelle est la ` ne glisse pas sur le sol? Quelle condition condit ion sur les efforts au contact contact  a` respecter pour que la roue arriere est alors la condition  a` respecter sur  C 1 ?

8°)   On imagine imagine mainte maintenant nant le le cas o`u C 1  = 0 : on ne freine qu’avec la roue avant. Quelle est la condition sur les eff efforts orts au contact contact  a` respecter respecter pour que la roue avant avant ne glisse pas sur le sol ? Quelle est alors la condition  a` respecter sur  C 2 ? condition ´ el ´ eration ´ ´ edents, ´ 9°)   Pour obtenir la dec la plus grande, quel est des deux cas prec le plus favorable favorable ? ´ eration, ´ ´ Le moteur, monte´ sur 3, exerce un 10°)   Lors d’une d’une phase d’acc d’acc´el les freins sont desserres. ´ eration ´ couple C  x   sur la seule roue 1. Donner l’expression de l’acc el Γ (G/0) G/0)  dans cette phase en ` partir de quelle valeur la motocyclet ´ fonction du couple  C .  A motocyclette te d ecoll ecolle-t-el e-t-elle le de la roue av avant ant ?

 − −→

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

 −→

27

 

3

´ Exerc Exercices ices d’applicat d’application ion de vibration vibration mecanique

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

28

   

´ ´ erom ´ ` Exercice 12.  Etude d’un accel etre* ´   a` un accel ´ erom ´ ` ´ ´ ˆ ´ e´ par le schema ´ On s’interesse etre piezoelectrique, qui peut   etre modelis elis´ de la ´ indeformable ´ ´ ´  20.. L’embase, supposee et solidaire de la structure dont on d esire mesurer l’accefigure 20 figure ´ ´ lerati eration, on, est soumise au deplacement de cette structure.  k  et  c  sont respectivement la raideur et l’amor´ ´ en materiau ´ ´ ´ tissement de la partie r ealis ealis´ ee piezoezo-´ electrique, valeur eur de la masse sismique sismique..  m  est la val ´ ´ On designe par  x  x((t)  et  y(  y (t)  les deplacements de la structure et de la masse sismique par rapport  a` ´ la position d’equilibre statique, et on pose  z  z =  =  y x. ´ ement ´ ´ ´ ´ ´ Un  Un  el piezoezo-´ electrique a la particularite´ de delivre elivrer r un signal signal  electrique proportionnel  a` l’effort

−

qui lui est applique. ´ Le but est de d eterminer ´ dans quelles conditions l’acc el ´ erom ´ etre ` mesure avec ´ e´ les vibrations ´ ´ fidelit vibrations de la structure structure  etudi ee. ´ ement ´ ´ ´ 1°)   Montrer que l’effort exerc exerc´e´ par la masse  m  sur l’el piezoezo-´ electrique est

f   =  k.z  + c.z˙ ´ ´ ee. ´ Pour connaˆ con naˆıtre ıtr e  f   f ((t)  il faut donc determiner auparavant  z(  z (t)  et sa deriv ´ ´ ´ ´ ee ´ par  z . Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme 2°)   Ecrire l’equation differentielle verifi

z¨ + 2ω 2 ω0 ˙z + ω02 z  =

√ 

−x¨

avec    =  = c/c  c/cc  o u`  c c  = 2 k.m  est l’amortissement critique. ´ d’un mouvement harmonique  x( 3°)   La structure structure est anim anim´ee  x (t) = X. sin( sin(ωt ωt)). Montrer que la solution forcee ´  z ´ sous la forme  z(  z((t)  peut s’ecrire  z (t) =  Z. sin( sin(ωt ωt φ). ´ Exprimer  tan( adimensionnelle  τ    tan(φ φ)  puis  Z/X  en fonction de la frequence  τ   = ω  ω/ω /ω0 . ` A  ω =  ω  = ω  ω 0 , que valent  φ  et  Z/  Z/X X?

−

´ ement ´ ´ ´ 4°)   Montrer que l’effort  f  applique´  a` l’el piezoezo-´ electrique est

f   =  m.ω 2 X.A. sin( sin(ωt ωt

− ψ)

´ Donner l’expression de  A  en fonction de  X   et  Z . Quelle est la methode pour calculer  ψ ? ´ eration ´ 5°)   Quelle est l’expression de l’acc´ l’accel Quelle e est  γ (  γ (t)  de la structure qu’on cherche  a` mesurer? Quell son amplitude? Quelle est l’amplitude de l’effort mesure´   f  ?   ? Quelle est l’amplification de l’amplitude ´ ´ aussi gain)? En s’aidant des figures   21 21   et  et   22 22,,  quelle est la frequence autour de laquelle le (appelee ` de l’acc ´ erati ´ capteur effectue une mesure fidele l’acc´el eration on de la structure ? considere ` deux accel ´ erom ´ etres ` B&K de type 4367 et 4370 dont les caract eristiques, ´ donnees ´ 6°)   On consid` par le fabricant, sont les suivantes :  = ω  ω 0 /2π   Gain pour f  =  f  =  f 0   Mass type   f 0  = Masse e sismi sismique que 4367 39 kHz 26 dB 5g 4370 26 kHz 27 dB 25 g

Sens Sensibilit ibilite´ (pC/ms−2 ) 2,1 10

Se Sens nsib ibili ilitte´ (mV/ms−2 ) 1,8 7,9

Ma Masse sse du capte capteur ur 13 g 52 g

´ Verifier que la sensibilite´ des capteurs est proportionnell proportionnelle e  a` la masse sismique. ´ Donner pour le premier capteur : le coefficient d’amortissement   , les bandes de frequence pour ` lesquelles la distorsion d’amplitude n’excede par 10%.

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

29

 

 y

masse sismique

m

k 

 z

c

embase

 x 

structure ` F IGURE  20 – Modele 4 !

!

=

=

0, 1

0, 15

3 !

!

!

2

=

=

=

0, 2

0, 25 0, 3

!

=

0, 5

!

=

1

1

0

√ 

2

1

2

3

F IGURE  21 –  A(  A (, τ  τ )) 180° !

=

!

120°

0, 05

=

0, 1

!

=

0, 15

!

=

0, 25

!

=

0, 35

!

=

0, 5

60°

 ! =  arctan(

0

1

2

3

 

2.". #

2

1 − #2 + 4."2 . #2

4

)

5

F IGURE  22 –  ψ(  ψ (, τ  τ ))

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

30

 

´ erom ´ ` ´ Exercice 13. Micro-accel etre MEMS resonnant* ´ ´ erom ´ ` On s’interesse ici  a` la conception de micro-acc el etres qui font partie de la famille des MEMS ˆ ´ et qui sont realis ´ ´ avec les (Micro Electro Mechanical Systems ), ), qui ont l’avantage d’ etre miniaturises es ˆ ´ es ´ que les circuits integr ´ es. ´ Ils sont donc d’un coˆut reduit, ´  a` condition d’etre ˆ memes proced produits en ` grandes quantites. ´ tres ´ ˆ e´ contenant le systeme ` ˆ  electronique ´ une puce de  3 mm  de cot de controle et La figure 23 figure  23  pr esente 4 3 ˆ ´ ´ erom ´ ` figure (a` droite )  presente un zoom l’accel etre (sensor )) de  400   µ m  de taille (a` gauche ). La meme (sensor  ´ erom ´ ` 5 .  La puce est placee ´ directement sur la structure ou le syst eme ` sur l’accel etre dont on cherche  a` connaˆıtre ıtre le l e mouvement mouveme nt ou l’acc el ´ eration. ´

´ ´ erom ´ ` ´ F IGURE  23 – Realisation d’un micro-accel etre et de sa partie mecanique ´ ´ ´ erom ´ ` `  `a 1 degre´ de liberte´ (accel ´ erom ´ ` La modelisation mecanique de cet accel etre par un systeme eme ` etre ´ au carter (la puce) par ´ ´ sur la figure 24 1 axe) est present ee figure 24.. On note  m  la masse sismique, qui est reli ee ´ des suspensions constituees de lames flexibles, de raideur   k  et de coefficient d’amortissement   c. On ´ erentiel ´ ´ note  x  la position absolue de la masse (par rapport au r ef galileen, donc),  y  la positi position on absolue ` la position de la masse par rapport  a` la puce.   f   est un effort du carter (la puce), et  z   =   x y   repere ´ ` ´ ´ ). ext´erieur, ext exerce´ sur la masse  m  par un systeme d’actionneurs  electromagn d’actionneurs  etiques (voir figure 23 figure  23).

−

masse sismique k, c

k, c

masse sismique k 

c

k 

c

 f(t)

K

C

y

m m

m  x

k, c

k, c

k 

carter (puce)

c

k 

c

carter (puce)

bras déformable de suspension

` ´ erom ´ ` ´ `  `a 1 degre´ de liberte´ (au centre), F IGURE  24 – Modeles de l’accel etre : schema (a` gauche), systeme eme ` ` ´ systeme type  equivalent type  (a` droite droite)) 3. M. A. Lemkin et al., 1996, A fully differential surface microma micromachined chined lateral acceleromet accelerometer, er, CICC, Atlanta ` N. Yazdi 4. d’ap d’aprres azdi et al, Microm Micromach achine ined d Inertia Inertiall Senso Sensors, rs,   Procee Proceedin dings gs of the IEEE  IEEE    86(8) :1640-165 :1640-1659, 9, 1998   doi: 10.1109/5.704269 5. Analog Device Devices, s, 1995, ADXL05-monolithic ADXL05-monolithic accelerometer with signal conditioning, Norwood, Norwood, MA, data sheet

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

31

 

 

`  a` 1 degre´ de liberte´ (de pulsation On rappelle l’extrait du formulaire suivant : pour un syst eme eme  fonction tion de trans transfert fert en propre  ω 0 , pourcentage d’amortissement ε , et masse  m ), sa fonc   1/m   1/m ´  d ´  d eplacement    est  H (  H (ω ) = de valeur maximale  H max max  = 2 2 2ω02 ε 1 2ε2 4ε2 ω 2 ω0 (ω0 ω2 )2 + 4ε atteinte pour  ω  = ω  =  ω 0 1 2ε2

 

−

√  −

√  −

´ 1°)   Donner l’expression l’expression de la raideur K  et du coefficient d’amortissement  C   equivalents. ´ du mouvement de la masse sismique et montrer qu’elle peut s’ ecrire ´ 2°)   Donner l’equation  m  m¨ z¨ + C   ˙z˙ + K z  =  = f   f  my¨.

 −  −

` le cas d’un accel ´ erom ´ ` Dans un premier temps, on considere etre capacitif (passif) pour lequel on a  f    f   = 0 . ´ ´ ´ On mesure la reponse permanente  z  dans le composant de fac¸ on  electronique (la reponse transitoire ´ e´ amortie depuis longtemps), et on cherche   a` le relier   a`   y¨   qui est la quantit e´ qu’on cherche   a` a   et ´ tiques atte attein indr dre. e. Un te tell comp compos osan antt a les les cara caract ct´eris eristiq ues suiva suivante ntes s : m  = 3  µ g = 3 10−9 kg, C   = 6, 8   µ Nm Nm−1 s, K   = 0, 17 N/ N /m.

×

3°)   Donner les expressions expressions de la pulsation propre  ω 0 , du pourcentage d’amortissement  ε  et de la pul´ ` sation propre amortie  ω D . Applications numeriques. Le systeme est-il fortement fortement ou faib faiblement lement amorti ? fait, le mouvement mouvement qu’on cherche cherche  a` detecter ´ (d’accel ´ eration ´ ` lent devant la pulsation 4°)   En fait,  y¨) est tres ´ erom ´ ` ´ ´ erom ´ ` propre de l’acc´ l’accel etre. On definit la sensibilite´  s  de l’accel etre comme le rappo rapport rt de l’amplitud l’amplitude e ´ eration ´ de   z   sur l’amplitude de   y¨. L’amplitude maximale de l’accel   y¨  qu’on cherche   a` atteindre est de 2 A  = 0, 1 m/s . On envisage alors deux cas de figure : ´ ´ eration ´ aussi   a0 . 4a)   Si l’acc´ l’accel de la puce est une constante,   y¨   =   a0 , son amplitude est   evidemment ` z . Don ´ Donner Don ner l’expr l’express ession ion de la sol soluti ution on parti particul culiiere Donner ner l’expr l’express ession ion de s. Applic Applicati ation on num num´erique erique. . Quelle mesurer ? sera la valeur maximale de  z  a` mesurer ´ figure 23,, donner 4b)   Si   y¨   =   a0 sin(  sin(ωt ωt)), avec   ω   ω0 , En utilisant la fonction de transfert rappel ee figure   23   ` mesurer ? l’expression de s . Quelle sera la valeur maximale de  z a mesurer

 

´ edentes ´ ´ ement ´ Au vu des faibles valeurs pr ec de  z , il est difficile de les mesurer pr ecis ecis´ avec la ´ erom ´ ` ˆ un technologie retenue pour la fabrication du micro-accel etre. On utilise alors plutot accun el ´ erom ´ effort etre `  f  sur resonnant ´ la masse (actif) dans lequel on trouve des electronique permettent d’appliquer ´actionneurs qui sismique, pilote´ par un circuit d’asservissement dont ´ eration ´ l’objectif est d’imposer un mouvement  z  = Z   =  Z  sin(ω  sin(ω1 t), quelle que soit l’accel  y¨ par ailleurs. ´ eration ´  a` mesurer, et on conserve On appelle toujours  A  A =  = 0, 1 m/s2 l’amplitude maximale de cette accel eration  − − 1 9 ˆ ´  C    = 6, 8   µ Nm Nm s,  K   = 0, 17 N/m. les memes caracteristiques :  m  m =  = 3   µ g = 3 10 kg,  C 

×

´ 5°)   Considerons tout d’abord le cas o`u  y (t) = 0  (pas de mouvement de la puce). Donner alors l’ex` pression de l’effort  f  d’asservissement impose, en fonction de  Z   et ω 1 .  f ((t)  que le systeme ` est-elle Donner ensuite l’expression de son amplitude   F . Pour quelle valeur de   ω1   cette derniere minimale minima le ? ´ ´ ´ edente, ´ 6°)   Independamment du resultat de la question pr ec on fixe la pulsation  ω 1  a`  ω 0  et l’amplitude ` maintenant le cas o u` la puce bouge. Donner alors l’expression de l’effort Z   a`   0, 1   µ m. On considere ` f  f ((t)  que le systeme d’asservissement doit imposer, et montrer qu’il peut se mettre sous la forme  f (  f (t) = F  cos(ω   cos(ω0 t) + my¨.

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

32

 

´ edent, ´ `  electronique ´ ´ ement ´ 7°)   Ayant capte´ le signal f (  f (t)  pr ec le systeme eme  est capable de mesurer precis ecis´ ´ ´ la valeur RMS (Root (Root Main Square ) du signal. La valeur RMS d’un signal  w de periode  w((t)  p eriodique  T  ´ ´ est notee  < w >  et est definie de la fac¸on su suivante ivante :

< w >=

    1 T 

  T 

w 2 (t)dt

0

´ ´ erom ´ ` On definit maintenant la sensibilit sensibilit´e´   s  de l’accel etre comme le rapport de la valeur RMS de   f   sur ´ ´ la valeur RMS de . Si l’acc el la puce   y ¨ Quelle sera la valeur maximaleeration de  f   a` de mesur mesurer er ? est une constante,   y¨   =   a0 , donner l’expression de   s.

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

33

 

´ Exercice 14.  Etude d’une corde vibrante* ´ Dans cet exercice, on s’int eresse aux vibrations d’une corde dans un instrument de musique soumise ´ ntes ´ ´  `a se ´ es ´ a` di diff ff´ere erente s condit condition ions s ini initia tiales les.. Elle Elle est de lon longue gueur ur l et  et de mass masse e lin lineique encastrree ee ` ses s ext xtrremit ρ, encast ´ sous une tension fixe   T 0 . Le deplacement transversal d’un point d’abscisse   x  de cette corde est not e´ v (x, t). ` le cours l’equation ´ ´ ´ ´ ´ transversale et la forme 1°)   Rappeler d’apres decrivant l’evolution de la deform ee ´ erale ´ gen de la solution solution v(  v (x, t).

Cas du piano

(

)

v  x , 0

v˙0

0

∂v ∂t (x, 0)

 

l

x e

= v˙0  pour  x e

−   2e ≤ x ≤ xe +   2e   et   ∂v∂t (x, 0) = 0  sinon.

F IGURE  25 – Piano `   t   = 0, la corde, initialement immobile et dans sa position d’ equilibre, ´ ´   a` l’aide d’un 2°)   A est excitee ´ autour marteau de largeur largeur  e l  dont l’effet est d’imposer une vitesse initiale  v˙0  sur cette partie centr ee ´ ´ ´ ´ Comment s’expriment les l’evolution de la deform ee. du point d’abscis d’abscisse se  x e  (cf. figure 25 figure  25)). En deduire amplitudes amplit udes des modes propres? De quoi est fonction le spectre sono sonore re de cette corde?



3°)   On cherche cherche  a` supprimer un harmonique dissonant qui correspond au mode  p =  p  = 7. Comment faut-il faire? 4°)   On choisi d’exciter d’exciter cette corde en la frappant en xe  =   2l . Donner les amplitudes des modes propres ´ pour  n  = 1 . . . 6. Faire l’application numerique avec  ρ  = 0, 062 kg/m,  l  = 0, 42 m,  T 0  = 8470 N,  e  = 5 mm et  v˙0  = 95 m/s. Clavecin

(

)

v  x , 0

v0

 x 

0

 xe

v (x, 0) =   2vl   x  pour  0 0

l =

l

2

≤ x ≤   2l   et v(  v (x, 0) =   2vl   (l − x)  pour   2l  ≤ x ≤ l 0

∂v ( 0) ∂t v x,

= 0 pour tout  x

F IGURE  26 – Clavecin

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

34

   

´ 5°)   On impose impose cette cette fois fois un d d´eplacement initial  v 0  au point d’abscisse  x e  =   2l  avec une vitesse initiale ˆ ´ ´   v (x, t). Comment  evoluent ´ 26)). Exprimer de meme la deform ee cette fois les nulle partout (voir figure  figure   26 amplitudes amplit udes modales? modales ? ´ 6°)   Faire l’application num numerique avec  v 0   = 1 mm en calculant les amplitudes des 6 premiers modes propres.

Harpe

(

)

v  x , 0

v0

 x 

 xe

0

v (x, 0) =   4lv   x(l 0 2

l =

2

l

− x) et   ∂v∂t v(x, 0)=0, pour tout x

F IGURE  27 – Harpe

pincement est est ici plus d d´elicat ´ et conduit aux conditions initiales present ´ ees ´ en figure 27 figure  27..  Com7°)   Le pincement ´ ´ ´  v( ment s’ecrit la deform ee  v (x, t)  dan  dans s ce cas ? ´ 8°)   Faire l’application num´ numerique sur les 6 premiers modes propres.

Bilan ´ ´ sonores de ces trois instruments? 9°)   Que pouvez pouvez vous en d´ deduire sur les qualites

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

35

 

Exercice 15. Vibrations longitudinales Barre simple ´ ´ 28a. a. Ses On   etudie les mouvements longitudinaux   u(x, t)   d’une barre en acier definie en figure   28 ´ caracteristiques sont les suivantes :   A   = 1 cm2 ,   E   E   = 210000 MPa,   ρ   = 7800 kg/m3 et   l   = 1 m. On la ´ soumet  a` differentes soumet conditions aux limites et initiales. ´ 1°)   Rappelez Rappelez la forme forme de l’´ l’equation que respecte  u(  u (x, t). Quelle est la forme forme de la solution solution? ? `  t <   0, on la maintient ` d’abord que la barre est totalement libre  a` ses extremit ´ es. ´  A 2°)   On consid considere ˆ `  a`   t   = 0. Determinez ´ immobile sous une effort normal   N 0   = 1 kN puis on la relache completement le ´ mouvement u pour les 6 premie premiers rs modes.  u((x, t)puis faites l’application numerique ´ e´ gauche (x   = 0) et on la soumet aux memes ˆ 3°)   On encastr encastre e la barre   a` son extremit conditions ´ ˆ ´ initiales. Determinez de meme  u(  u (x, t)  et faites l’application numerique. ´ e´ droi 4°)   On fixe fixe cett cette e foi ois s l’ex l’extr tr´emit droite te (x  = l parr un ress ressort ort de raid raideu eurr K . Exprime Exprimez z u(x, t) dans dans ce cas. cas.  =  l ) pa ´ Comment peut on determiner le nombre d’onde  k n ? Que se passe-t-il passe-t-il lorsque K  + (encastrement parfait) parf ait) ?

 → ∞  →

Colonne ´ d’un assemblage de deux barres de ´ ´ 28b. b. Elle est formee On   etudie la colonne definie en figure   28 longueur  l , de meme ˆ caracteristiq eristiques ´ ues que prec ´ edemment ´ mais de sections differentes. ´

5°)   Donnez les conditions aux aux limites requises pour exprimer les mouv mouvements ements longitudinaux v(  v (y, t). ´ ´ ´ ´ ´ 6°)   Ecrire l’equation que doit verifier le nombre d’onde  k   et  evaluer les frequences et les allures des premiers modes.

 y

v( y, t )

(

)

l

!, E , 2 A

l

 

u  x , t 

!, E , A

 x 

0

!, E , A  x 

l

F IGURE  28 – (a) Barre simple - (b) Colonne

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

36

 

Exercice 16. Amortisseur passif accord e´ de vibrations* ´ ´ ˆ On s’interesse au reglag eglage e de la liaison au sol d’une machine outil outil,, en vue de controler ses vibrations ` lors d’usinages de pi eces. La masse qui peut vibrer est  m  m =  = 500 kg, et on estime la valeur de la raideur de la liaison au sol (faisant intervenir la raideur du carter, du tacle et de la visserie)   a`   k   = 106 N/m,  29.. figure 29 figure ´ ´ verticale pour simplifier, due au balourd de 1°)   Sous une une charge charge ext exterieure  F   F    =   A sin( sin(ωt ωt)), supposee `  a` usiner et aux efforts de coupe, la machine vibre, et on note  B  l’amplitude de son deplacement ´ la piece ece  vertical. ´ Donner l’expression de  B  en fonction des donn ees. ´ Application numerique pour  A =  A  = 500 N  et  ω =  ω  = 1500 tr/ tr/min. ` 2°)   On ajoute ajoute un syst` systeme compose´ d’une masse   m1  et de deux ressorts  k 1  afin de limiter les vibra´ edentes. ´ tions prec On cherche  a` dimensionner  m 1  et  k 1  de fac¸ on  a` avoir une solution viable (masse et ´ pas trop importantes), vibrations de la masse ajoutee importantes), figure 30 figure 30.. ´ ement, ´ Plus precis ecis´ on essaie d’avoir un carter machine immobile (x(t) = 0) et on cherche le mouve´  m 1  sous la forme  x 1 (t) =  C  sin(ωt ment de la masse ajoutee  sin(ωt)). ´ et des caracteristiques ´ ´ de l’amortis 2a)   Donner l’expression de C  en   en fonction des donn ees cherchees l’amortis-seur  (m  ( m1 , k1 ). avoir ? 2b)   Quelles contraintes contraintes constructives constructives sur m 1  et  k 1  faut-il avoir cherche `a avoir une amplitude du mouvement de la masse 2c)   Pour le chargement de la question 1, on cherche ` ´  a`  1 cm. Choisir les valeurs de  m 1  et  k 1 . additionnelle, C , limitee ` ´ ´ edemment, ´ 3°)   Avec Avec le syst` systeme determin e´ prec on se place sous une autre condition de coupe, pour ω   = 800 tr/ tr/min, et on se demande alors quelles sont les valeurs des amplitudes du mouvement du ´ (pour une meme ˆ carter machine, et de la masse ajoutee valeur de  A ). La solution choisie est-elle est-elle encore viable viable ?

F 

F 

 x  m

m

k

 x 

k 

k

m1

k 1

 x 1 k 

k 1

F IGURE   29 – Centre d’usinage OKUMA MB46VA/VAE et sa ´ ´ 1D modelisation simplifiee

` F IGURE   30 – Systeme avec avec amortisseur dynamique

` 4°)   Pourquoi dit-on de ce syst` systeme qu’il est passif passif ? Pourquoi Pourquoi dit-on qu’il est accord accord´e´ ?

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

37

 

´ ´ Exercice 17. Vibrations transversales – Calcul par m ethodes approchees ´ Etude d’un triangle ´ ´ On propose de determiner les caracteristiques modales d’un triangle. Celui-ci est en fait une poutre ´ en deux endroits ´ en acier de longueur l , recourbee endroits,,  a`  x  x =  =   3l   et  x =  x  =   23l . On On  etudie donc les mouvements ´ transversaux   v (x, t)   de cette poutre dont les caracteristiques sont les suivantes :   E   E   = 210000 210000 MPa, 3 `  φ   = 1 cm et la longueur d’un cot ˆ e´ du triangle fait ρ  = 7800 kg/m . Sa section est circulaire de diam etre 15 cm cm.. ´ 1°)   Rappelez Rappelez la forme forme de l’´ l’equation que respecte  v(  v (x, t). Quelle est la forme forme de la solution? solution ? ´ 2°)   Donnez les conditions aux aux limites limites  a` respecter. En deduire l’expression du nombre d’onde  k . ´ ´ 3°)   Que vaut vaut la la fr fr´equence fondamentale ? Faites l’application numerique fondamentale? pour ce premie premierr mode. ´ 4°)   On applique maintenant la la m´ methode de Rayleigh-Ritz. On propose la fonction de forme du premier ˆ mode d’allure suivante : polynome de degre´ 2, valant 2 en 0 et  l , et -1.25 en   2l . ´ Calculer la frequence fondamentale. Comparez avec la solution exacte.

´ Passerelle pieton  ´etude ´ on leg ´ ere. ` e. Ce ´ ´ con ´ Cette ´ Cette etude concern concerne e une pas passer serell elle e pi´ pieton et er Cell llee-ci ci est est en fa fait it une une st struc ructu ture re reticul eticul´ ee consti stitu tu´ee ˆ ´ en nappes. On  ´ de barres et de cables organises On  etudie ses mouvements mouvements dans un plan vertical vertical.. Elle est 7

2

donc assimilable   a` une poutre continue de longueur   l   = 12 12..8 m, de raideur   EI  EI    = 1.125 125 10 N.m . Sa ´ masse lineique est  µ  µ =  = 78 78..125 kg/m. ´ 5°)   Exprimez les conditions conditions aux limites requises et en deduire les mouvements transversaux  v(  v (x, t). ` ´ ´  energ ´ ´ 6°)   Calcul des deux premi premi`eres frequences propres par methode ethode  etique : 1. En utilisant les formes exactes sinuso¨ıdales. ıdales. ´ de la deform ´ ´ statique : force ponctuelle au milieu pour mode 2. En utili utilisant sant les formes formes approch approch´ees ee 1 et couple ponctuel au milieu pour mode 2.

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

38

 

` Exercice 18. Suspension automobile : le syst eme  skyhook * ´ ´ On s’interesse ici   a` une modelisation simple d’une suspension automobile classique ou avec un ` ´ ` systeme actif appele´  skyhook   (litteralement “crochet dans le ciel”); ce dernier systeme est propose´ sur 6 ´ des vehicules haut de gamme, des engins militaires... figure 31 figure  31 .

F IGURE  31 – Maserati Coupe´ et blinde´ 8x8 de 33 tonnes ˆ ´ ee ´ grossierement ` ` ´ Une transmission classique peut   etre modelis par un systeme lineaire compose´ d’une masse   m, d’un ressort de raideur   k  et d’un amortisseur de coefficient   c  (tous prenant aussi en ´ par la pesanteur, ainsi qu’ a` sa base (par exemple, compte le comportement du pneumatique), sollicit ee ´ lors d’un franchissement d’obstacle, pour un v ehicule avanc¸ ant   a` vitesse constante   V , la roue   a` un 7 ´ eration ´ ´ de la pesanteur. deplacement vertical note´  x 0 (t)), figure 32 figure  32  a` gauche .  Enfin, on note  g  l’accel ` Le principe du systeme eme skyhook   skyhook  est   est de pouvoir interposer un amortisseur de coefficient  c1  avec une “r ef ´ eal erenc ´ le reste e” quide reste horizontale horizontalece (par exemple, e, un nuage le ciel. ciel...) quiele ˆfigure 32 remplacer dans ´erence”  a`  c2dans ` peut l’id l’amortisseur, quiexempl correspondrait le ..) mod de m laeme figure  32 au  au centre.  = 0  pour ` ´ veulent simuler ce En pratique, on ne peut pas s’accrocher   a` un nuage! Les systemes proposes ` comportement comportem ent ; ils utilisent utilisent un amortiss amortisseur eur variabl variable e pilote´ (systeme semi-actif) seul, ou avec un effort de ˆ  F c  pilote´ lui aussi (systeme ` controle actif), figure 32 figure  32  a` droite.

−mg

−mg

m

m k 

c1

−mg

c  x(t )

 x0(t )

k 

m c2

 x0(t )

 x(t )

k 

F c

 x(t )

 x0(t )

F IGURE  32 – Illustrati Illustration on de la sollicita sollicitation tion  a` la base et d’une suspension classique (a` gauche gauche), ), principe ´ ` (au centre) et realisation (a` droite) du systeme eme skyhook   skyhook  ` ´ ´ ` Des criteres de securit e´ demanderaient  a` ne pas trop amplifier la repons eponse e du systeme au voisinage ` ´ `  a` frequence ´ de confort demanderaient   a` amortir la reponse du systeme de   ω0 , alors que des crit eres ´ ee. ´ Si le confort est am elior ´ ´ le systeme ` ´ edent ´ elev e, prec ne doit pas trop influencer la tenue de route. On ` ´ se propose donc ici de regarder le comportement de ce syst eme dans certains scenarios de conduite. ´ ` de suspension decrit ´ Pour cela, on  etudie le modele sur la figure 33 figure  33  a` gauche. Si  c1  = 0, on retrouve ` ´  `a un amo la susp suspen ensi sion on cl clas assi siqu que, e, et le syst syst`eme skyhook   cor corre resp spon ond d dans dans le cas cas id´ ideal eal ` amortiss rtisseme ement nt c2  = 0. ´ 1°)   Isoler la masse masse m  et montrer que son  equation de mouvement vertical est de la forme  m x ¨ +  + c  cx˙  + ´ les expressions de  c  et  f ( kx kx =  = f   f ((t)  o u` vous preciserez  f (t). Rappeler les expressions de la pulsation propre  w 0  et du coefficient d’amortissement  ε  correspondants. ¨ 6. M. Honlinger et U. Glauch, Mobility Analysis of a Heavy Off-Road Vehicle Using a Controlled Suspension, Krauss-Maffei Wegmann GmbH & Co. KG, 1999. ´ ´ ´  7. J.-C. W Walrick alrick et al, Optimisation Optimisation numerique d’une suspension de vehicule en sollicitation sollicitation dynamique, M  dynamique, M ´  ecanique & Industries  7(5-6) :445-452, 2006  2006   doi:10.1051/me doi:10.1051/meca:2007002 ca:2007002

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

39

 

c1

−mg m k 

c2

 x(t )

 x0(t )

 x0(t )

a

a t 

 x0(t )

0

 

t 

0

T 

 

T 

` de suspension   etudi ´ ´ (a` gauche), route avec dos d’ane ˆ F IGURE   33 – Modele ee (au centre), et avec ondulation (a` droite)

y ´ 2°)   Si la rout route e   a` un profil de la forme   a sin( (y   est la sin(π π ), ou`   a   et   L   sont des longueurs donnees L ´ distance horizontale), et si le vehicule avance   a` vitesse constante   V , montrer que   x0   =   a sin( sin(ωt ωt))   en ´ donnant l’expression de  ω  en fonction des donnees.

´ Dans toute la suite, on prendra  x 0  =  a sin( vous utiliserez sin(ωt ωt)). Pour les applications numeriques, 2 les valeurs suivantes :  g  = 9, 81 m/s ,  m  = 400 kg,  k = N/m.  m =  k  = 26660 N/ ´ 3°)   Montrer que  f  peut se mettre sous la forme  f (  f (t) = mg mg +  + kaA  kaA((ω )sin( )sin(ωt ωt +  + Φ)  o u` vous preciserez l’expression de la fonction  A(  A (ω )  (on ne demande pas celle de  Φ).

−

´ ´ ˆ Dans un premier temps, on s’interesse au passage du vehicule sur une route en forme de “t ole ´ ´  uniquement (solution ´ s’int´eresse alors  a` la  solution forcee alors  ondulee”, figure  33  a` droite. On s’int figure 33 ` de l’equation ´ particuli ere du mouvement). ´ 4°)   On note X  l’amplitude du deplacement vertical  x  x((t)  autour de la valeur moyenne

−mg/k.

a)   Pour Pour la suspens suspension ion   skyhook   skyhook   avec   c2   = 0, montrer que   X   X   =   aH D (ω )   ou`   H D   est la fonction de ´ transfert trans fert en deplacement.  `a gauche, pour plusieurs b)   Pour la suspension classique (c1  = 0), le ratio X/a est trace´ sur la figure 34 figure 34 ` ˆ ´ ´ ´ ´ valeurs de ε, en meme temps que le ratio  X/a de la question precedente. Le compromis securit e/confort pour la suspension suspension classique classique conduit en gen ´ eral eral  ´  a` une valeur  ε =  ε  = 0.7. Comparez les deux suspensions sur ce cas de figure. ` de confort demande   a` ce que l’amplitude de l’acc el ´ eration ´ c)   Un critere verticale de la caisse du ´ ´ vehicule (masse   m) ne depasse jamais   1.2g . Pour la suspension skyhook  suspension  skyhook    avec   c2   = 0   et   ε   = 0.7, en ´ deduire une condition sur l’ondulation du sol,  a , maximale.

´ ˆ On s’interesse maintenant au franchissement d’un “dos d’ ane”, figure  33 au figure 33  au centre, pour lequel ´ x0 (t) = 0  sauf quand  t [0 [0,π/ω ,π/ω]]  ou`  x 0 (t) =  a sin( sin(ωt ωt)). On s’interesse alors  a` la solution alors  ` (solution gen ´ erale ´ ´ transitoire complete de l’equation du mouvement avec second membre), et si ´ ´ necessaire pour les applications numeriques, on prendra  ε =  ε  = 0, 7.

∈

5°)   Pour  t

≤ 0, quelles sont les val valeurs eurs de  x  et  x˙ ?

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

40

 

 1.2  1      a       /       X

π

skyhook (c2 = 0) ε = 0.7 skyhook (c2 = c1) ε = 0.7 classique ε = 0.5 classique ε = 0.7 classique ε = 1

 1.4

B (ω0 / ω) C

2

 0.8

 /2

π

 0.6

1

 0.4  0.2

0

 0  0

1

2

3

4

5

 /  0

ω ω

0

 /4

π

 /2

π

ω

3π /4

π

 t

´ ` ´ F IGURE  34 – Reponses de la suspension classique et du systeme eme skyhook   skyhook    (a` gauche),  evolution des ω0 fonctions B  et  C  ( a` droite) ω ´ ˆ 6°)   Donner la valeur valeur num´ numerique de   ω0  et de l’amortissement   c   pour   ε   = 0.7. Pour un dos d’ane de ´ ´ longueur  L =  L  = 10 cm  et une vitesse de vehicule de  V  =  V  = 10 km/ km/h, donner la valeur numerique de  ω .

t

∈

ω simplifier l’expr l’expressio ession n de la solution en d eplacement ´ pour En supposant ω0 1, on peut simplifier [0,π/ω [0,π/ω]]  en  x  x((t) x0 (t) = mg/k mg/k +  + a(ωt sin( sin(ωt ωt)) )). On utilisera cette expression dans toute la suite.

−



−

−

 33   a`  (figure 33 7°)   Rappeler Rappeler l’expressio l’expression n de l’action du ressort   k  et de l’amortisseur   c2  sur la masse   m  (figure ´ gauche). En isolant la roue suppos ee sans masse, donner l’expression de l’action  F  de la route sur la ´ de   x(t), donnez l’expression de roue en fonction, entre autres, de   x   et  x˙ . Avec l’expression proposee   c2 ´ F  sous la forme  F   F ((t) =   mg ka ka[[B (ωt ωt)) + C (ωt ωt)] )]  o u` vous preciserez les expressions de  B (ωt ωt))  et km C (ωt ωt)), le coefficient c 2  ne devant pas intervenir dans celles-ci.

√ 

−

´ ´ 8°)   On cherche  cherche  a` verifier si, au moins pendant le passage de l’obstacle, la roue de d ecolle pas, c’est` a-dire si  F   F ((t)  reste positif pour  t [0 [0,π/ω ,π/ω]].

∈

ω0 ` quel instant allures des fonction fonctions s   B (ωt ´ sur la figure figure   34  a` droite.  A a)   Les allures ωt))  et ω C (ωt ωt))  sont donnees F  F ((t)  prend-il sa valeur minimale minimale ? Quelle est l’ex l’expressi pression on de cette vale valeur ur minimale? ´ ´ b)   Ecrire la condition de non d ecollement de la roue dans le cas de la suspension skyhook  suspension  skyhook  avec   avec c2  = 0. ´ Pour que cela soit valable t [0 [0,π/ω ,π/ω]], en deduire une condition sur le franchissement de l’obstacle, ` ´ ´  a  et  ω . c’est-a-dire sur les  les  eventuelles quantites

∀∈

´ ´ c)   Ecrire la condition de non decollement de la roue dans le cas de la suspension classique ( c1   = 0) et pour  ω ω0 . ´ Pour que cela soit valable t [0 [0,π/ω ,π/ω]], en deduire une condition sur le franchissement de l’obstacle, ` ´ ´  a  et  ω . c’est-a-dire sur les  les  eventuelles quantites

 

∀∈

` de tenue de route pour  a  = 2 cm d)   Comparer les deux suspensions ci-dessus vis  vis  a` vis de ce crit ere et  L =  L  = 20 cm.

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

41

 

´ Exercice 19. Pot vibrant  electrodynamique* ´ ´ Pour determiner les caracteristiques vibratoires d’une structure (pulsation propre, amortissement...), ´ ode sou ´ est  ´electrodynamique, une une meth ethode souve vent nt uti utilis lis´ee est l’e l’excit xcitat atio ion n de la struc structu ture re par par pot pot vibr vibran antt (ou (ou exci excita tate teur ur ´ electrodynamique,  35 8 ) : figure 35 figure ´ du systeme `  — l’entree est l’effort exerce´ sur la structure structure,, ´ est la reponse ´ ´  — la sortie mesuree de la structure structure (par ex exemple emple en d eplacement). Le pot vibrant est constitue´ (figure 36 (figure  36  a` gauche) :  — d’un aimant permanent solidaire du carter du pot, ´ ¸ ant dans l’entrefer de l’aimant, le guidage en  — d’une bobine   electrique ´ (de masse   m2 ) se deplac ´ ´ translation  etant translation assure´ par des membranes membranes  elastiques (de raideur  k 2 ). ˆ rigide. La bobine  m 2  est liee ´ rigidement  L’excitateur est fixe´  a` un bati rigidement  a` la structu structure. re. ´ ´ est assimilee ´  a` un systeme `  a` 1 degre´ de liberte, ´ de raide Pour simplifier, la structure  etudi ee eme  raideur ur k , de ´ masse  m  et de coeffic coefficient ient d’amortissement d’amortissement  c  (figure  (figure 36  36  a` droite). On note  x(  x (t)  le deplacement vertical ´ de l’ensemble l’ensemble (bobine + structure). structure). On negligera la pesanteur devant les efforts mis en jeu. On suppose que l’effort exerc e´ par l’aimant sur la bobine est de la forme  f (  f (t) =  F 0 cos ωt  o u`  F 0   est ˆ ´ ee ´ par l’experimentateur. ´ une constante, et  ω  peut  peut  etre regl

´ et pot vibrant F IGURE  35 – structure instrument ee

 f(t)

k 2

pot vibrant

m2 m

structure étudiée

 x(t) k

c

´ F IGURE  36 – constitution d’un pot vibrant ( a` gauche) et modelisation de l’ensemble pot + structure ( a` droite)

´ ´ 1°)   Montrer Montrer que que l’l’equation du mouvement est de la forme  M   M ¨ x ¨ +  + C   C   ˙x˙  +  + K  Kx x =  = f   f   ou` vous preciserez les expressions de  M ,  K   et  C . ´ ´ ici est un syst eme ` ´ ´ ´ constitu´ ´ de barres en compression et de c ables ˆ 8. la struc structure ture  etudi etudi´ ee de tensegrit e´ (structure reticul ee constituee en tension), photographies de J. Averseng; LMGC, Univers Universit ite´ Montpellier 2.

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

42

 

2°)   Quand  m 2   =   k2   = 0  (pas de pot), rappeler l’expression de la pulsation propre de la structure  ω 0 , ´ et du pource pourcentage ntage d’amortissement d’amortissement  ε . Application numerique pour   m   = 1, 92 kg,  k   = 2, 97 105 N/m  et c  = 1, 5 Ns/ Ns/m. ´ 3°)   En presence du pot, on pose  α =  α  =

  m2   k2 ,  β  =  =  . m k

` 3a)   Donner l’expression l’expression de la pulsation propre du systeme (structure + pot), Ω0 , et de son pourcentage d’amortissement,  Σ . Donner en particulier l’expression des perturbations Ω0 et Σ en fonction de  α  et  β . ε ω0 ´ eral, ´ 3b)   En g en  α = F  F 2 /2 + (mA ( mA))2 3.6 10−3 µN. Pour  ¨ y  =  = a  a0 ,  <  ¨y >=  a 0  et  < f >=

 

   

≈

F 2 /2 + (ma ( ma0 )2 .

 

Exercices de dynamique et vibration me m ecanique

66

 

´ ements ` ´  Suspension automobile : le systeme  skyhook * El de corrige´ :  18.  18 .  Suspension 1°)   PDF(m) :  m x ¨   = c1 ˙x c2 (x˙  x˙ 0 ) k (x x0 ) mg  soit  m x ¨ +  + c  cx˙  +  + kx  kx   =   f ( f (t)  avec  c   =   c1  +  + c  c2 , f  f ((t) =  c 2 ˙x0  + kx 0 mg Pulsation propre  w 0  = k/m , coefficient d’amortissement  ε =  ε  = c/  c/(2 (2 km km)).

−

2°)   y  =  = V  V t

 − −

−

−

−

−

√ 

 

⇒ x0  =  a sin(( sin((πV/L πV/L)) t) ω

    

3°)   f  f ((t) = mg mg +  + k  ka a(sin ωt ωt +  +   c kω  cos ωt ωt)) = sin sin Φ = 1/A 1/A,  cosΦ = (c (c2 ω/k ω/k))/A).

 −

2

 −mg mg +  + kaA  kaA((ω )sin( )sin(ωt ωt +  + Φ)  avec  A   =

 

1 + (c ( c2 ω/k ω/k))2 (et

´ d’amplitude  F  4°)   Solution forc´ forcee  F    =  kaA  k aA

4a)   H D  =  X/  X/((F /k /k)) =  X/  X/((aA aA))  avec  c2  = 0,  A =  A  = 1  et  X    X   = aH D 4b)   ε  = 0.7 ´ ´ e) Pour  ω  0 , 7  (meilleure securit  ω =  =  ω 0 , suspension classique :  X/a 1, 2, Skyhook :  0, ´  elev ´ ee, ´ l’amplitude du systeme ` A fr equence equence  Skyhook est moindre (meilleur confort).

≈

´ eration ´ 4c)   Amplit Amplitude ude de l’acc l’acc´el our l’av l’avoi oirr quel quel que que soit soit ω , ilfaut ilfaut (ka/m X ω2 =  aω 2 H D (ω ) 1.2g . Pour ka/m)max )max H A   √ 1 2 1.2g , or  max H A  = 2ε 1−ε , donc a (m/k m/k)2 )2εε 1 ε 1.2g 0.176 m.

≤

2

√  −≤ ×

 ≤

 ≈

5°)   Pour  t

≤ 0, x0 = 0, f    f   = −mg  donc  x =  x  = −mg/k  et  x˙  = 0. 6°)   ω0  =√  k/m ≈ 8.16 rad/ rad/s c = 2ε km ≈ 4572 Ns/ Ns/m 10..7 ω  =  = πV/L  πV/L ≈ 87 87..3 rad/ rad/s,  ω/ω 0 ≈ 10

 

7°)   F kkcc2  = c2 (x˙  x˙ 0 ) k (x x0 ) On isole la roue : F kkcc2  + F   F   = 0 F   = F kkcc2 .   c2 1 F ( F (t) = mg ka[( ka [(ωt ωt sin ωt ωt)) + (ω ω cos ωt ωt))] km ω0

−

−

−

−

−

−

⇒ √ 

  −     −     B (ωt )

C (ωt )

  c ` 8a)   F  est mini quand  B +   est maxi c’est-a-dire quand  t =  B  + √  C  est  t  = π  π/ω /ω km   c alors B  B =  =  π ,  (ω  ( ω0 /ω /ω))C   = 2  et  F mini  =  mg ka ka[[π + √  2( 2(ω/ω ω/ω0 )] mini  = mg km 2

2

− 8b)   Pour  c2  = 0,  F mini mg/((kπ) kπ ) ≈ 4.68 cm mini  =  mg − kaπ  ≥ 0 ⇒ a ≤ mg/   c 8c)   Pour  c1  = 0,  F mini  =  mg − ka ka[[π + √  2( 2(ω/ω ω/ω0 )] = mg − ka[ ka [π + 4ε 4 ε(ω/ω 0 )] ≥ 0 mini  = mg km mg ≥ ka[ ka [π + 4ε 4 ε(ω/ω0 )] ≈ ka × 4ε(ω/ω 0 )87 )87..3 rad/ rad/s 8d)   a  = 2 cm. OK pour Skyhook. Pour la suspension classique, ω 4.92 km/ km/h.

  g  ≈ 21  ≤  4mg 21..5 rad/ rad/s. Or  ω  ω =  = πV/L  πV/L, donc  V   ≤ 4  εωg a Lπ ≈ εka ω0  = 4εω a 0

0

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

67

 

´ ements ´ El de corrige´ :  20.  20 .  VAL* 1°)   Effort exerc´ exerce´ par le ressort de gauche  k 1  sur la caisse  S  : :  F   F    =

−k1(x − x0)

` :  k = 2°)   Ressorts Ressorts et amortisseurs amortisseurs en pa parall rall`ele  k  = 2k1 ,  c =  c  = 2c1

√ 

√  ≈ 11 11..2 kN kN//(m (m//s)

3°)   ε  =  = c/c  c/cc ,  cc  = 2 km  d’  d’o ou`  c =  c  = 2ε km ω0  = k/m 3.04 rad/ rad/s

≈ ωD  =  ω 0 √ 1 − ε2 ≈ 2.9 rad/ rad/s ´ PFD(m) en resultante :  m  m¨ x ¨  = −k (x − x0 ) − c(x˙ −  x˙ 0 ), soit  m  m¨ x ¨ + kx + cx˙  =  = k  kx x0  + cx˙ 0

 

4a)   ε <  1  : amortissement faible ´ erale ´ ` ` Solution gen du systeme homogene :  e −εω t (A1 cos ωD t + A2 sin ωD t) 0

` du systeme ` 4b)   kx 0 + cx˙ 0  =  k  kA A sin ωt + cBω cos ωt  Solution particuliere force´ de la forme :  α cos( cos(ωt ωt + φ) − εω t ´ :  x Solution proposee (A1 cos ωD t + A2 sin ωD t) + A sin ωt  x((t) =  e  ω A 0.345 m Avec les conditions initiales,  A 1  = 0  et  A 2  = ω D 0

−

4c)   x1  =  x  x((t  =

v1  = x˙ (t  =

 π ) 2ω

 π ) 2ω

≈−

≈ A = 2 m

≈ 0.06 m/s

5°)   x0  =  A,  x˙ 0  = 0 −εω t Solution :  x (A1 cos ωD t + A2 sin ωD t) + A  x((t) =  e 0.006 m,  A 2  =   v  =  x 1 A Avec les conditions initiales :  A 1  = x 0

− ≈−

1

+εω0 A1 ωD

≈ 0.02 m

` methode ´ ´ 6°)   Premiere : numeriquement... ` ´ Deuxi`eme methode : condi Deuxi condition tion suffisante sur l’envelo l’enveloppe, ppe, pour avo avoir ir x

e−εω

0

t

 

A21  + A22  < δ , soit  t

≥  εω1

0

√ A +A   ≈ 0.8 s log δ 2 1

2 2

 |  −  A |   <

δ   : il suffit que

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

68

 

´ ements ´ elastique ´ ´ ero´ du pont de Tacoma* El de corrige´ :  23.  23 .  Couplage aero 1°)   f S S    =  SU/H 

 ≈  ≈ 0.95 Hz et  ωS   = 2πf SS   ≈ 6 rad/ rad/s

2°)   Pour  ε  ε =  = 0, flexion  f 1 ,  ω 1  = 2πf 1 ,  ω S /ω1  =  f S  7.3 d’o u`  H S  0.05 S  S /f 1 torsion f 0 ,  ω 0  = 2πf 0 ,  ω S /ω0  =  f S  4.75  d’  d’o ou`  H S  0 .1 S /f 0 S  ´ pour  ω   = 0,  H D   = 1  (bien plus grand), ce n’est pas le bon sc enario! (et l’amortissement va dans le

 ≈  ≈

 ≈  ≈

meme ˆ sens) 1 3°)   M   =   16 ρB 4 ω0 Aα˙  donc  c =  c  = c  c 0

4°)   Si c <  0,  ε <  0  et  α(  α (t) =

 

−  161 ρB 4ω0A e−εω

0

t

(A cos ωD t + B sin ωD t)

    

exponentielle croissante croissante !

N.B. Le pourcentage de changement de l’amplitude sur 1 cycle est   r   =   α(t  +  + T   T ))/α /α((t)  o u`   T   est la − εω T  ´ >  1 periode, donc  r =  r  = e  e 0

´ roˆˆıt. 5°)   A  croˆıt ıt rapidement rap idement en fonction fonc tion d de e  U , donc  c  d ecro ec ıt .   16 Cas critique :  c  c =  = 0, alors  A =  A  = A  A c  = ρB ω c0 4

0

6°)   Pour  U   U    = 15  m/s,  U/  U /(Bf 0 ) 6.3,  A c 0.38,  c 0 736  SI,  ε 0 5.2 10−4 Pour  U   U    = 19 m/s,  U/  U /(Bf 0 ) 8,  Ac 0.68,  c 0 1317 SI,  ε 0 9.3 10−4 c C’est compatible compatible avec un amortiss amortissement ement faib faible le ; av avec ec  ε 0   = 2  √  ,   ω0   = k I 

≈

≈

 ≈

 ≈

 ≈

 ≈

 ≈  ≈

0

0

2.8 105 SI.

k0 /I , on a  k 0   =   I ω02

 

 ≈

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

69

 

´ ements ´ El de corrige´ :  24.  24 .  Oscillations des gratte-ciel* 1°)   Amortissement Amortissement faibl faible e :   ε <   1,   x(t) =   e−εω t (A cos( cos(ω ωD t) +  B sin( sin(ω ωD t))   avec   ω0   = 2 c/ c/(2 (2 km km)),  ω D   = ω 0 1 ε .

√ 

0

√  −

2°)   Autre expression :  x cos(ω ωD t + φ)  x((t) =  X e−εω t cos( ´ Pourcentage de decroissance de l’amplitude sur 1 cycle :  r =  r  = (x(t) √  − 2πε/ 1−ε 1 e

 

k/m,   ε   =

0

2

− x(t + T T ))))/x /x((t) = 1 − e−εω T  = 0

−Avec ε  petit, r ≈ 1 − e−2πε ≈ 2πε 3°)   ε  =  = r/ (2π  ≈ ω0 ≈ 0, 97 rad/ rad/s.  r/(2 π ) ≈ 1.6 10−3 (faible), ω D   = 2π/T  ≈ 4°)   A  =  ≈ 0, 47 m/s2 = 4, 8% g  = ω  ω 02 X  ≈ ´ ´ 5a)   Raideur  equivalente amortissement  equivalent  k eq  = k  =  k +  + K , amortissement  C eeqq  =  c + C .

 

 

5b)   ω0  = keq /m /m =  = ω  ω 0 1 + K/k ´ Periode d’oscillation libre :  T 0  = 2π/ω0  =  T / 1 + K/k ε0  =  = C   C eeqq /2/ keq m = ε  =  ε(1 (1 + C/c C/c))/ 1 + K/k ´ Pourcentage de decroissance de l’amplitude par cycle :  r 0  = 2π ε0  =  r(1  r (1 + C/c C/c))/

 

6°)   PFD(M ) :  M   M (¨ (¨x + y¨) = PFD(m) :  m  m¨ x ¨  =

   

∗

−K y − C  ˙ y˙

 

1 + K/k

−kx − cx˙ + Ky Ky +  + C  ˙ y˙

7°)   M   = µm ω1  =  ω 0 K   = ω 02 M   =  ω 02 µm ε1  = 2 √ C  C  =  =  µ 3/2 mω0 KM  r1  = 2πε eq  = 2π(ε + µ/4) µ/4) r1 0, 2  ( a` compar comparer er  a`  r =  r  = 0.01).

 ⇒

 ⇒

√ 

 ≈

´ 8°)   PFD(M ) en resultante sur la verticale :  M g  =  T 0 cos θ T 0 ´ PFD(M ) en resultante sur l’horizontale :  T 0 sin θ T 0 θ  =  = M  M gθ = gθ  = F   F  θ y/L F   F   = (Mg/L Mg/L)) y

≈

⇒

≈

≈

       K 

 ⇒ K   = ω02M  ⇒  ⇒ L = g  =  g/ω /ω02   =  g(  g (T /(2 (2π π ))2 ≈ 11 11,, 5 m, √ µKM    = µ3km √   = ω 9°)   C   = = µKM  km =  ω 0 M  µ = 6, 95104 SI r1 ≈ π √ µ/2 µ/2 = 0, 0 , 179 √  10a)   Formulaire Formulaire 1 ddl :  (H   ( H D )max  = 1/(2 (2εε 1 − ε2 ≈ 1/(2 (2εε)/approx /approx31 31 ω1  =  ω 0

 

10b)   (H x )max  = 20  donc X    X   = (0 (0,, 5/(H D )max)( )(H  H x )max  = 0, 32 m  (avant  0,  0, 5 m). (H y )max  = 160  donc  Y    Y   = ((00, 5/(H D )max)( )(H  H y )max  = 2, 84 m . ´ ´ ´ On reduit donc l’amplitude l’amplitude des vibrations vibrations en plus d’amortir, d’amortir, mais il fau fautt prevoir du debattement pour la masse!

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

70

 

´ ements ` ´  Vibrophore et endurance endurance de pi` pieces de faible raideur* El de corrige´ :  25.  25 .  Vibrophore ` figure 52 (b) 1°)   Modele figure  52(b) PFD(mf ) :  m f u ¨f   = k1 uf  kg (uf  um ) PFD(m) :  m  m¨ u ¨m  = ka um kg (um uf ) + f  u mf    0 k  + kg kg 0 Sous la forme  M  ¨ ,  K   = 1 ,  F  . U  +  + K U   = F , avec U    U   = f  ,  M   M    =  F    = um 0   m kg   ka  + kg f 

−

−

 − −

 − −

    

−

  −

 

figure 53 donne  donne  k g 2a)   La figure 53

 ≈ 8 kN/ kN/0.4 mm = 20 kN/ kN /mm  kb  = 26 26..5 N/mm ` proche de  2 × 50 Hz  alimentation  electrique...) ´ 2b)   Ω ≈ 26. 26.5 rad/ rad/s,  f  ≈  ≈ 104 Hz (tres ´ 2c)   Pas d’amortissement, donc amplitude de la r´ reponse infinie...

3°)   Avec Avec amortissement PFD(mf ) :  m f u ¨f   = k1 uf  kg (uf  um ) c(u˙f  u   ˙m ) PFD(m) :  m  m¨ u ¨m  = ka um kg (um uf ) + f  c(u˙m  u˙f )  1 1   ˙  + d’o`u  M  ¨ U   + + C U   + K U   =  f  avec  C   C  =  =  c 1 1

−

−

 − −

 − −



−

−  −  −  − −  −



` de la figure 52 4°)   Modele figure  52((c) ` les mesures,  f  4a)   D’apres

` proche de  577 rad/  ≈  ≈ 92 Hz, Ω ≈ 578 rad/ rad/s, tres rad/s ` le  ≈ 109 Hz−78 Hz = 31 Hz ⇒ ε ≈ 0.019 4b)   D’apres les s me mesu sure res, s, F max max /9 ≈ 0.39 N , et ∆f  ≈ max ≈ 3.5 N, F max ` modele 1 ddl :  c  c =  = εc  εc c  avec  cc  = 2 (ka + kg )m  d’o`u  c ≈ 62 kN/ kN/(m (m//s). √  ` proche de  Ω ! 4c)   ε <  1  : amortissement faible.  Ω   = Ω 1 − ε2 tres

 

D

5°)   On sait que H Dmax  =

  1   = F/  (kU  a +kg ) 2ε 1 ε2

√  −

` 2 ddl 6°)   Modele Ω ΩD 577 rad/ rad/s  (idem 1 ddl), et  εΩ  ε Ω

≈  ≈

 ≈ 26 26..3  donc  F   F    = ((k ka  + kg )U/H Dmax ≈ 429 N

´ ≈ 12 12..9 s −1 d’o`u  ε ≈ 0.022  (15% d’ecart).

Exercices de dynamique et vibration m e´ canique

71

 

´ erences ´ Ref ´ ´ ´  Pierre Agati, Gerard Delville, and Yves Br emont. emont.    M  M ´  ecanique du solide . Sciences Sup. Dunod, 2 edition, 2003. ISBN 2-10-007945-X. ` Delannoy, Paul Rougee, ´ and Nicole Toupance.  Exercices et probl `  `  Jean Boistel de Belloy, Michele probl emes  ´  ´  ´  ` ´ ´ erale. ´ de m  m ´  ecanique : Torseurs, cin ´  cin ematique, cin etique  cin ´  . Ex Exerc ercice ices s et probl probl`emes de mecanique gen Vuibert, 1982. ISBN 9782711722082. Jean-Claude Bone, ˆ Jeannine Morel, and Michel Boucher Boucher..   M  M ´  ecani ecanique ´  que g ´  g en  en ´  ´  erale ´  : Cours et applications  `  ´  avec exercices et probl `  probl emes r esolus  r ´  . Sciences Sup. Dunod, 1994. ISBN 9782100020362. ´  ´  ement ´  ´  Roger Boudet and Alain Chauvin.   M  M ´  ecanique –  el  el ´  ements s de m  m ´  ecanique rationnelle : cours, exercices et  ´  . Hermes Science Publications, 1997. ISBN 2-86601-594-0. corrig ´  corrig  es  ` ´ ene ` ´  ´  ´  erale ´  `  ´  . El Claude Cheze and Hel Lange.   M  M ´  ecanique g en  en ´  : Cours, exercices et probl `  probl emes corrig es  corrig ´  El-lipses, 1998. ISBN 2729845178. ´  ements ´  ´  ´  Roland Cravero. Cravero.  El ´  El  de m ecanique classique et statique . Eyrolles, Eyrolles, 1988. ISBN 2212006071. 2212006071. ´  ´  erale  ´  Marcel Gaillard and Jean Claude Raffy. M  Raffy.  M ´  ecanique g en  g ´  en ´  . Eyrolles, 1990. ISBN 2212005024. Tomes I et II. ´ ´  M. G eradin and D. Rixen.  Rixen.   Th ´  Th eorie des vibrations : application   application  a`  la dynamique dynamique des structures . Collection Collection ´ Masson, 1996. ISBN 9782225851735. Physique fondamentale et appliquee. Herbert Charles P. Poole, and John L. Safko. Classical Safko.  Classical Mechanics . Pearson, 3 edition, 2001. ISBN Goldstein, 0201657023. ´  ` 1999. ISBN 9782746200340. Christian Lalanne. Vibrations Lalanne.  Vibrations et chocs m ´  m ecaniques  , volume 1. Hermes, L. Meirovitch. Elements Meirovitch.  Elements of Vibration Analysis . Electronic and electrical engineering series. McGraw-Hill, 1986. ISBN 9780071002714. ´ ´  ´ Jean Jacques Moreau.   M  M ´  ecanique ecaniq ue classique  classique . Enseig Enseignem nement ent Sup´ Superieur : Premier cycle et   Ecoles ´ d’Ingenieurs. Masson, 1971. ISBN 2-225-62139-X. ´  `  ´  ´ M. D. Pedro and P. Pahud.   M  M ´  ecanique vibratoire : syst `  syst emes discrets lin ´  lin eaires  . Mecanique (Lausanne). Presses polytechniques et universitaires romandes, 2003. ISBN 9782880742430. ´ es. `   M  ´  ´  erale  ´  J. P er es.  M ´  ecanique g en  g ´  en ´  . 4 edition, 1994. ´ ´ ´  nique `  `  Jose-Phi e-Philippe lippe Perez.   M  M ´  ecaniq eca ue : fo fonde ndemen ments ts et applic applicati ations ons – Avec vec 320 ex exerc ercice ices s et pro probl  bl emes  ´  r  r ´  esolus  . Dunod, 7 edition, 2014. ISBN 978-2 978-2100712 100712328. 328. ´  ´  erale  ´  Sylvie Pommier and Yves Berthaud.   M  M ´  ecanique g en  g ´  en ´  . Dunod, 2010. ISBN 978-2100513567. `  ´  ´  ´  ´  M. Roseau.   Vibrations des syst `  syst emes m ecaniques : m ethodes analytiques et applications . Ma Mass sson on,, 1984. ISBN 9782225802058. ´   M  ´  ´  erale  ´  ´ 1982. ISBN 27117 Paul Rougee. ee.  M ´  ecanique G en  G ´  en ´  . Vuibert Universite, 2711722074 22074.. ´  Francisque Salles and Claude Lesueur.  Les vibrations m ´  m ecaniques  , volume 1. Masson, 1972.

´ erences ´ N.B. Certaines ref sont un peu anciennes... Elles correspondent   a` des ouvrages que j’ai ´ ou leurs auteurs sont des collegues ` ´ utilises, que j’ai croises.