Poly Copie

 

R´ e epubl pu bliq ique ue Al Alg´ g´ e erienn ri enne e D´ e emocr mo crati atiqu que e et Pop Popula ulair ire e Minist`e ere re de l’Ens l’Enseignement eignement Sup´ e erieur rieur et de la Recherche Scientifiqu Scientifique e Universit´e Mohammed Seddik BENYAHIA - Jijel

Facult´ acul t´ e des Sciences Scien ces et de la Technologie echnolo gie D´ eparte epa rtement ment d’A d’Auto utomat matiqu iquee

Notes de cours :

Diagno Dia gnost stic ic des Sys Syst` t` e emes me s R´ealis´e par :

KHEBBACHE Hicham

Master 2 : Automatique et Syst` emes emes

Ann´ ee ee universitaire universi taire : 2018/201 2018 /2019 9

 

Avant propos

Ce cours est destin´e aux ´etudiants etudia nts de Master 2 en “Automati Automatique que et Syst`emes emes (AS)”, (AS) ”, ainsi qu’aux ´etudia etu diants nts sollic sol licit´ it´eess par des probl` pro bl`emes eme s de diagno dia gnosti sticc et d´etecti ete ction on de d´eefauts fa uts des syst`emes emes lin´eeaires ai res.. Il leur permettra de maitriser les concepts et les m´ ethodes ethodes de diagnostic des syst` emes emes afin de les appliquer a` des domain dom aines es aussi aus si vari´es es que l’´electri elec tricit´ cit´ee,, la m´ecaniq eca nique, ue, la p´etroch etr ochimi imie,.. e,.... etc. Les pr´eerequis constitu´ constit u´es es des connaissance conna issancess math´ematiques ematiqu es dispens´ dispe ns´ees ees durant les deux premi`eres eres ann´eees es d’un cursus universitaire dans la fili`ere ere “Sciences et Techniques (ST)” (ST) ” ou dans le cadre des classes pr´epara epa rato toir ires es au aux x ´ecoles eco les sup´ su p´erie er ieur ures, es, p ou ourr rront ont ˆeetre t re co comp mpl´ l´et´ et´es es pa parr lles es no noti tion onss bas b asiq ique uess des d es syst` sys t`emes em es asservis (continus et ´echantillonn´ echantillonn´es), es), du traitement des signaux stochastiques et de la notion de la robustesse en automatique.

 

Tab able le des des ma mati` ti`e eres res

Table des figures 1 G´en´ en´ e eral r alit it´ ´ es es et d´efini efi niti tion onss

 

5  

6

1.1 In Intr trodu oduct ctio ion n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Notions fondament fondamentales ales sur le diagnostic diagnostic de d´efauts efauts   . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

D´eefinitions finitions   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Modes de fonctionnement fonctionnement d’un syst` syst`eme eme   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Classification des des d´efauts efauts   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.11 1.4.

Selon Selon leur leur localisa localisation tion   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.2

Classification selon la mod´elisation elisation   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.3

Classification selon les caract´eristiques eristiques temporelles   . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Diff´erentes erentes ´etapes etap es du diagnostic diagno stic d’un syst`eme eme   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6

Crit`eres eres de performances d’un syst`eme eme de diagnostic   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 M´ ethodes etho des de diagnos di agnostic tic de d´efauts efauts

 

12

2.1 In Intr trodu oduct ctio ion n   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2

2.3

M´ethodes ethodes quantitatifs quantitatifs (` a base de connaissances)  connaissances)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1

M´ethodes ethodes mono-signal   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2

M´ethodes ethodes multi-signaux   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

M´ethodes ethodes qualitatifs (`a base bas e de donn´ don n´ees) ees)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.11 2.3.

Reconn Reconnais aissan sance ce de de forme formess (RdF) (RdF)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.2 2.3.3

R´eseaux eseaux de neurones artificiels (RNA)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Syst`emes emes d’inf´erence erence floue (SIF)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

 

Table des mati` mat i`eres ere s 2.3.4

Syst` emes emes experts   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Diagnostic `a base d’observateurs

 

18

3.1 In Intr trodu oduct ctio ion n   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Diagn Diagnos osti ticc `a l’aide de l’observateur de Luenberger   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.1

Synth` ese ese de l’observateur   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.2

Structuration de r´esidus esidus   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Diagn Diagnos osti ticc a` l’aide de l’observateur a` entr´ e ntr´ees ees inconnues i nconnues (Uknown Input Observer)  Observer)   . . 21 3.3.1

Synth` ese ese de l’observateur   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.2

Structuration de r´esidus esidus   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Diagn Diagnos osti ticc a` l’aide du filtre de Kalman   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4.1

Position du probl`eme  eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4.22 3.4.

Filtre Filtre de Kalman Kalman estima estimateu teurr   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.3

Filtre de de Kalman pr´ edicteur edicteur   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4.4

Propri´et´ et´es es statistiques du filtre de Kalman   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.5

Stabilit´ Stabilit´ e du filtre filtre de Kalman Kalman   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.66 3.4.

Filtre Filtre de Kalman Kalman station stationnair nairee   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4.77 3.4.

Applic Applicatio ation n au diagnos diagnostic tic   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 G´ en´ en´erat er atio ion n de r´ esid es idus us par pa r espa es pace ce de pari pa rit´ t´ e

 

31

4.1 In Intr trodu oduct ctio ion n   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Redond Redondanc ancee statiq statique ue   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 Redond Redondanc ancee dynami dynamique que   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3.11 4.3.

Auto-r Auto-redo edonda ndance nce   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.22 4.3.

InterInter-red redond ondanc ancee   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Diagnostic par identification param´ etrique etrique

 

40

5.1 In Intr trodu oduct ctio ion n   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2 Principe de diagnostic par estimation estimation param´etrique etrique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3

5.4

Identifiabilit´ Identifia bilit´e et isolabilit´ isolab ilit´e des de s param` pa ram`etres etres physiques   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3.1

Identifiabilit´ e   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.22 5.3.

Localis Localisati ation on logique logique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Algorithmes d’estimation d’estimation param´ param´etrique  etrique  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.4.1

M´ethode etho de des moindres moindr es carr´ car r´es es r´eecursifs cursi fs (MCR) (MC R)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4.2 5.4.3

M´ethode etho de des moindres moindr es carr´es es r´ecursifs ecursif s avec facteur d’oubli d’oub li consta constant nt (MCRFDC)   49 Algorithme Algor ithme des moindres carr´es es r´ ecursifs ecursi fs avec avec facteur d’oubli variable (MCRFDV)   50 – 3 –

 

6 Analyse des R´ esidus esidus

 

52

6.1 In Intr trodu oduct ctio ion n   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.2

Cas d´eterministe eterministe   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2.1

Fonction d’´evaluation evaluation   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2.22 6.2.

Fonctio onction n de seuil seuil   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2. 6.2.33 Reto Retour ur a` la normale   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.3 Cas stochas stochastiq tique ue   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.3.11 6.3.

Test de PagePage-Hin Hinkle kley y   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Annexe A S´ erie erie de TD N◦ 1

 

61

Annexe B S´ erie erie de TD N◦ 2

 

64

Annexe C S´ erie erie de TD N◦ 3

 

67

Annexe D S´ erie erie de TD N◦ 4

 

69

Annexe E S´ erie erie de TD N ◦ 5

 

72

R´ ef´ ef´erenc er ences es bi bibl blio iogr grap aphi hiqu ques es

 

74

 

Table des figures

1.1 Types des d´ efauts efauts selon selon leur localisation.  localisation.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

D´eefauts fauts additif et multiplicatif. multiplicatif.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3   Evolution E ´ volution temporelle d’un d´efaut efaut pour δ  pour  δ  =  = cte  cte..   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Diff´erentes erentes ´etapes etap es du diagnostic. diagno stic.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1

Classification des m´ethodes ethodes de diagnostic. diagnostic.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2

Architecture Architec ture g´en´ en´erale erale du diagno d iagnostic stic de d´efauts efaut s `a base bas e d dee m mod` od`eeles. les .   . . . . . . . . . . . 15

3.1

Principe Princ ipe de la g´en´ en´eration erati on de r´esidus esidus a` base d’observateur.   . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2

Structuration de r´esidus esidus a` l’aide de l’observateur de Luenberger.   . . . . . . . . . . . 21

3. 3.33

G´en´ en´erat er atio ion n de r´eesidu si duss `a l’aide de l’observateur a` entr´ees ees inconnue inc onnues. s.   . . . . . . . . . . 24

4.1

Le r´ esidu esidu directionnel correspondant.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. 4.22

G´en´ en´erat er atio ion n de r´eesidu si duss `a ll’aide ’aide de l’espace l’espac e de parit´e.  e.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1

M´ethodologie ethodologie de diagnostic via l’estimation param´etrique etrique en utilisant un mod`ele ele analytique.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2

Circuit Circui t ´electrique electr ique RC s´erie. erie.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3

Circuit Circui t ´electrique electr ique RLC s´erie. erie.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

A.1 Pendule simple avec un vecteur d’´etat x etat  x =  = (q,  q ˙))..   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

 

Chapitre 1

G´ en´ eralit´ es et d´ efinitions

1.1

In Intr trodu oduct ction ion

Avant d’aller d’al ler plus loin, il convient de d´efinir efinir ce qu’est un diagnostic, diagno stic, un d´eefaut, faut, une d´eefaillance, faill ance, une panne, un ´etat etat de fonctionnement normal,... etc., termes auxquels nous aurons souvent recours dans les prochains prochains chapitres. chapitres.

1.2 1.2.1

Notio Notions ns fondamen fondamentales tales sur le diagn diagnostic ostic de d´ e efauts fauts D´ e efinitions finitions

:   Le diagnostic est d´efini efini par l’ensemble d’actions visant `a ´evalu eva luer er un pro pr o c´ed´ ed´e •   Diagnostic :  (syst`eme) eme) et identifier la cause probable proba ble des d´efauts efauts (d´eefaillances) fail lances) a` l’aide d’un raisonnemen raisonnementt logique fond´e sur un ensemble d’informations provenant provenant d’une inspection, d’un contrˆole ole ou d’un test de son fonctionnement. Un syst` eme eme est dit diagnosticable s’il est susceptible d’ˆetre etre soumis a` un diagnostic, diagnostic, il doit alors ˆetre etre muni muni d’organes d’organes d’observ d’observation ation (capteurs) (capteurs) et d’un syst`eme eme d’analyse d’anal yse pour ´etudier etudie r les informatio infor mations ns fournies. fourn ies. efa f aut : Un changem •   D´e chan gement ent inatte ina ttendu ndu d’au d’a u moin m oinss u une ne propri´ pro pri´et´ et´e cara c aract´ ct´eristiq eri stique ue ou un param` par am`etre etr e du syst`eme, eme, qui peut d´egrader egrade r les performan perf ormances ces de celui-ci. celui-c i. e efai f aill llan ance ce :  Une interruption permanente, ou une d´et´ et´erioration erioration compl`ete ete d’un compo•   D´ sant ou d’un syst`eme eme et l’incapacit´ l’inca pacit´e ttotale otale de celui-ci celui-c i `a remplir une fonction sp´ eecifique. cifique. Une d´efaillance efaillance est une situation plus grave qu’un d´efaut. efaut. Lorsqu’un d´efaut efaut se produit dans un

– 6 –

 

Chap Ch apit itre re 1. G´en´eeral ralit it´´es e s et d´eefini finiti tion onss

Mod odul ule. e. Diag Diagno nost stic ic des des sy syst st``eme e mes

actionneur action neur par exemple, exemple, ce dernier dernier est encore utilisable, utilisable, mais il peut avoir avoir une r´eponse eponse plus lente ou devenir moins efficace. Par contre, lorsqu’une d´efaillance efaillance se produit, un actionneur totale tot alement ment diff´erent ere nt est n´ecessair eces sairee pour po ur pouvoi po uvoirr produi pro duire re l’effet l’eff et d´esir´ esir´e. e. ´ t d’un •  Panne :  Etat Eta d’u n syst` s yst`eme eme incapa inc apable ble d’assur d’a ssurer er le service ser vice sp´ecifi´ ecifi´e a` la suite d’une d´eefaillance. faill ance. En effet, une panne r´esulte esulte toujours toujou rs d’une d´efaillance, efaill ance, et donc d’un d´eefaut faut : D´efau ef autt =⇒  D´ efaill efa illanc ancee =⇒  Panne

egra g rada dati tion on :  Une perte de performances d’une des fonctions assur´ees ees par un ´equipement. equipement. •   D´e esi es idu :   Un signal indicateur d’anomalies fonctionnelles ou comportementales, obtenu a` •   R´ partir de la diff´erence erence entre les mesures et les calculs.

1.3

Modes de fonctionneme fonctionnement nt d d’un ’un syst` e eme me

Un syst`eme eme pr´esente esente g´en´ en´eralement eralem ent plusieurs plusieu rs modes mode s de fonctionneme fonct ionnement. nt. On peut observer des modes de plusieurs types parmi lesquels : :  C’est le mode o`u l’´eequipe qui pement ment ou le syst`eme eme indusind us•   Mode de fonctionnement nominal : C’est triel remplit sa mission dans les conditions de fonctionnement requises par le constructeur. Mo de de fo fonc ncti tion onnem nement ent d´ e egra g rad´ d´ e :: Correspond •   Mode  Correspond soit `a l’accomplissement partiel de la mission, soit a` l’accomplissement de celle-ci avec des performances moindre, en d’autres termes, il y a eu une d´egradation egrada tion dans le syst`eme eme mais pas de d´eefaillance. faill ance. Mod e de d´ efaillance efail lance :  Correspond `a des mauvais fonction fo nctionnements nements du syst`eme, eme, c’est-` c ’est-`a-dire a-dire •   Mode qu’il qu’ il y a eu d´efaill efa illanc ance, e, soit apr`es es d´egrada egr adatio tion, n, soi soitt d´efaill efa illanc ancee b brus rusque. que.

1.4

Classification d des es d d´ ´ e efauts fauts

1.4.1 1.4 .1

Selon Selon le leur ur localis localisat ation ion

Un d´ efaut efaut est un ´ev´ ev´ enement enement soudain soudain qui peut se produire dans n’importe quelle quelle partie du syst` eme. eme. Selon l’endroit o`u il se produit, il peut ˆetre etre class´ e comme un d´eefaut faut d’actionneur, un d´efaut efaut de capteur capteu r ou un d´efaut efaut de composants comp osants (voir Figure Figur e  1.1).  1.1 ).

•   D´efauts efa uts d’acti d’a ctionn onneur eurss :: Les  Les d´efauts efaut s d’action d’ actionneurs neurs agissent agisse nt au niveau de la l a partie p artie op´eerative rati ve et d´et´ et´erio er iore rent nt le sign si gnal al d’ent d’ entr´ r´ee ee du syst` sys t`eme. em e.   D´efauts efa uts de capteur cap teurss :  Ce type typ e de d´efauts efauts est la cause d’une mauvaise image de l’´eetat tat phy-

•

sique du syst`eme. eme. Un d´efaut efaut capteur capteu r partie p artiell prod p roduit uit un signal avec plus plu s ou o u moins m oins d’ad´eequation quati on

Master 2. Automatique et syst`emes

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KHEBBACHE Hicham

 

Chap Ch apit itre re 1. G´en´eeral ralit it´´es e s et d´eefini finiti tion onss

Mod odul ule. e. Diag Diagno nost stic ic des des sy syst st``eme e mes

Figure 1.1: Types 1.1:  Types des d´efauts efauts selon leur localisation. avec la valeur vraie de la variable `a mesurer. Un d´ efaut efaut capteur total produit une valeur qui n’est pas en rapport avec la grandeur `a mesurer. efauts efa uts compo com posant santss ou syst` sys t` emes emes :   Ce type de d´eefauts fa uts provient prov ient du syst`eme eme lui-mˆ lui- mˆeme eme ; •   D´ bien souvent les d´efauts efaut s n’apparte n’a ppartenant nant pas pa s `a un d´eefaut faut capteur capteu r ou actionneur action neur sont class´es es de mani` man i`ere ere arbitr arb itrair airee dans d ans cette cett e cat´ c at´egorie ego rie.. N´eanmoi ean moins, ns, un d´eefaut fa ut com compo posant sant r´esulte esu lte de la casse cas se ou de l’alt´eration erati on d’un composant comp osant du syst`eme eme r´eduisant eduisa nt les capacit´ capaci t´es es de celui-ci a` effectuer une tˆache. ache. 1.4.2

Classification Classification selon la mod´ elisation elisation

D’un D’u n point p oint de vue v ue mod´ mo d´elisat eli sation ion,, les le s d´efauts efa uts peuvent peu vent ˆetre etr e class´ cla ss´es es comme co mme additi add itifs fs ou o u multipl mult iplica icatif tifss comme le montre la Figure 1.2 Figure  1.2..

(a)   D´efaut (a) ef aut ad addit ditif  if 

 

(b) D´ (b)  D´efaut efau t multipl mult iplicat icatif  if 

Figure 1.2: D´ 1.2:  D´efauts efauts additif additi f et multiplicatif. multiplic atif.

•   D´ efauts efa uts additi add itifs fs :  Les d´efauts efauts additifs additi fs sont consid´er´ er´es es comme des signaux signau x externes externe s suppl´ementaires, ementaires, qui correspondent a` des changements constat´ consta t´es es ind´ependamment epend amment des entr´ees ees connues con nues (i.e. (i. e. ce sont consid´ con sid´er´ er´es es comme com me des entr´ees ees inconnues inco nnues). ). Ces d´efauts efa uts sont approp app ropri´ ri´es es pourr repr´esenter pou esenter des d´efauts efauts de composants comp osants dans le syst`eme eme a` commander. commander. efauts efauts multiplicati multipl icatifs fs :   Les d´efauts efauts multiplicatifs correspondent a` des changements de •   D´ Master 2. Automatique et syst`emes

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KHEBBACHE Hicham

 

Chap Ch apit itre re 1. G´en´eeral ralit it´´es e s et d´eefini finiti tion onss

Mod odul ule. e. Diag Diagno nost stic ic des des sy syst st``eme e mes

param` par am`etres etr es qui q ui affect a ffectent ent l’´ l ’´evolutio evolu tion n des de s entr´ ent r´ees ees et/ou et/ ou des d es ssort orties, ies, o`u l’amplitude l’ampl itude de ces d´eefauts fauts d´epend epen d des d es entr´ees ees connues. Notant que les d´efauts efauts d’actionneur d’acti onneurss eett de capteurs capteur s ssont ont les plus souvent multiplicatifs par nature. 1.4.3

Classification Classification selon les caract caract´ ´ eristiques eristiques temporelles

Ainsi, en fonction foncti on de leurs caract´eristiques eristi ques temporelle temp orelles, s, les d´efauts efauts peuvent ˆetre etre aussi class´eess ). comme graduels, abrupts ou intermitte intermittents nts (voir Figure 1.3 Figure 1.3).

(a)   D´eefaut (a) f aut gradu gra duel el

 

(b) D´ (b)  D´efau ef autt ab abrup ruptt

 

(c) D´ (c)  D´eefaut fa ut intermit inte rmittent tent

Figure 1.3:   Evolution E ´ volution temporelle d’un d´efaut efaut pour pour δ   δ  =  = cte  cte.. efa uts graduel gra duelss :  Ils repr´ rep r´esentent esent ent des changem chan gements ents param´ par am´etriqu etr iques es lents l ents qui r´esultent esul tent sou•  D´efauts vent en raison du vieillissement. Ils sont difficiles a` d´eetecter tecter du fait de leurs caract´eristiques eristi ques temporelle temp orelless lentes, le ntes, mais m ais ils ne n e sont so nt pas s´ev` ev`eres. eres. Cependant, Cepen dant, si ces ce s d´efauts efauts ne sont pas p as pris p ris en charge rapidement, ils peuvent conduire a` une situation grave. efauts efauts abrupts abrupt s :   Ils se produisent instantan´ ement ement souvent a` la suite d’un dommage •   D´ mat´eriel. eriel. Ces d´efauts efaut s peuvent ˆetre etre tr`es es s´ev` ev`eres, eres, car, s’ils affectent affecte nt les performanc perf ormances es et/ou la stabil sta bilit´ it´e du syst`eme eme boucl´ bo ucl´e, e, une r´eactio eac tion n rapide rap ide du syst`eme eme de comman com mande de est n´eecessai ce ssaire. re. efauts efa uts intermit inter mittents tents :  Ce sont des d´efauts efauts qui apparaissent et disparaissent `a plusieurs •   D´ repris rep rises. es. Ils repr´ rep r´esentent ese ntent ´egaleme ega lement nt un cas partic par ticuli ulier er de d´eefauts fa uts abrupt abr uptss avec ave c la propri´ pro pri´et´ et´e par par-ticuli`ere ere qu’ils reviennent revienn ent d’une d’ une fa¸con con al´eeatoir at oiree a` leurs le urs valeurs valeur s normales. nor males. Ces d´efauts efauts peuvent ˆetre etre caus´es es par un contact intermittent intermit tent ou un cˆablage ablag e parti partiellement ellement endommag´ endomm ag´e. e.

1.5

Diff´ e erentes rente s ´ e etapes tap es d du u di diagno agnosti sticc d’ d’un un ssyst` yst` e eme me

Le diagn di agnost ostic ic d’un d’ un syst` s yst`eme eme indu i ndustr striel iel n´ecessite eces site un cert c ertain ain nomb nombre re d’´ d ’´etape eta pess `a savoir : l’acquisition de donn´ d onn´ees, ees, l’´elabo ela borat ration ion d’indi d’i ndicat cateur eurss de d´efauts efa uts,, la d´etecti ete ction, on, la loc l ocali alisat sation ion et la l a prise pr ise de d´ecision eci sionss ). (voirr Figure 1.4 (voi Figure 1.4). ´ tape d’acquisition de donn´ E ees ees :  Il s’agit de l’extraction des informations n´ecessaires ecessaires a` •   Etape la mise en forme des caract´eristiques eristiques associ´ees ees aux fonctionnements normaux et anormaux, Master 2. Automatique et syst`emes

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Mod odul ule. e. Diag Diagno nost stic ic des des sy syst st``eme e mes

Figure 1.4: D 1.4:  Diff´ iff´erentes ere ntes ´etape eta pess du dia diagno gnosti stic. c. `a partir des moyens de mesures appropri´ees. ees. Cette ´etape etape implique donc a` savoir quels sont les signaux importants a` collecter pour r´epondre epondre au cahier des charges de surveillance, et de l’utilisation de capteurs permettant de mesurer ces signaux. ´ ape Etap e de g´ e en´ n´ e erat r atio ion n de r´ esid es idus us : La de deux uxi` i`eme eme ´etap et apee conce co ncern rnee la g´een´ n´erat er atio ion nd d’i ’ind ndic icat ateu eurs rs •   Et de d´efauts efa uts.. Un indica ind icateu teurr de d´efauts, efa uts, nomm´ nom m´e aussi aus si r´  r´esidu , repr´ rep r´esente ese nte un ´ecart eca rt entre les grangra ndeurs deu rs mesur´ mesu r´ees ees et estim´ est im´ees. ees. Il pe permet rmet `a partir de sa valeur de diff´erencier erencier un fonctionnement normal, d’un dysfonctionnement. Dans Da ns des conditions r´eelles eelles et en l’absence de d´efaut, efaut, ces indicateurs indica teurs ´evoluent evoluent dans un voisinage voisinag e de z´ero. ero. Un d´eefaut faut se traduira tradui ra par un ´eecart cart significatif  signifi catif  des r´esidus esidus de leurs l eurs valeurs nomina n ominales. les. ´ Etape e de d´ etection etecti on :  C’est l’´etape etap e qui permettre perm ettre de d´eecider cider si le syst`eme eme est soumis a` un •   Etap d´efaut efaut ou non. Il est a` noter qu’il ne suffit pas de tester la non nullit´e des r´esidus esidus pour pou r d´eecider cider de la pr´esence esence d’un d´efaut, efaut, car, en pratique, prati que, les grandeurs grand eurs mesur´ees ees sont toujours toujo urs entach´eees es de bruits bruit s et le syst`eme eme a` surveiller est toujours soumis `a des perturbations, de sorte que les r´eesidus si dus peuvent pe uvent ˆetres etr es non nuls en absence abs ence de d´efaut. efa ut. Par cons´ con s´eequent, qu ent, la d´eetectio tec tion n de d´eefauts fa uts fait le plus souvent appel appe l aaux ux tests statistiques statis tiques ou, tout simplement, simplem ent, est e st r´ealis´ ealis´eeee en v´eerifiant rifiant Master 2. Automatique et syst`emes

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le d´epassement epassem ent d’un seuil par les r´esidus. esidus. ´ de localisation :  Cette ´etape etape permet, a` partir par tir des r´esidus esid us d´etect´ ete ct´es es non nuls stasta •   Etape tistiquement, tistiqu ement, de localiser loca liser le d´efaut efaut et donc de d´eterminer etermi ner l’endroit l’endro it du syst`eme eme o`u se trouve l’anomalie l’ano malie (i.e. d´eterminer etermi ner le ou les composants comp osants d´efaillants), efaill ants), d’´evaluer evaluer son s on importance impo rtance et de de chercher sa cause ´eventuelle. eventuelle. La proc´edure edure de localisation n´ecessite ecessite donc l’utilisation d’un ensemble (ou vecteur) de r´esidus, esidus, qui doivent avoir des propri´ propr i´et´ et´es es permettant perm ettant de caract´eeriser riser de mani` man i`ere ere unique uni que chaque chaq ue d´efaut. efa ut. ´ Etape e de d e prise pr ise de d´ ecision ecisi on : C’e  C’est st la derni` der ni`ere ere ´eetape ta pe de la tˆaache che de diagnostic. Elle permet p ermet •   Etap de d´ecider ecider de la marche `a suivre, afin de conserver les performances du syst` eme eme surveill´ e. e. Cette ´etape etap e doit do it permett p ermettre, re, a` partir des information inform ationss fournies fourn ies par les ´eetapes tap es pr´ec´ ec´eedentes, dentes, de g´en´ en´erer erer les actions actio ns correct c orrectrices rices au syst`eme, eme, de sorte qu’il retourne retou rne au fonctionneme foncti onnement nt normal nor mal (apr``es (apr es un changemen changementt dans la consigne consigne et/ou la loi de commande), commande), ou qu’il mis en mode d´eegra g rad´ d´e ou arrˆ ar rˆet´ et´e, e, afi afin n de pr´eserve ese rverr son int´eegri g rit´ t´e et/o et /ou u son so n envir env iron onne neme ment. nt. En r´esum´ esum´ee,, quelle que soit la m´ethode etho de employ´ee, ee, la proc´ pro c´eedure dure de diagnostic diagno stic comprend compre nd deux prin pr incip cipal ales es ´eetap t apes, es, une ´eetap t apee de g´en´ en´erat er atio ion n de r´eesidu si duss et une un e ´etap et apee d’´evalua eval uati tion on de r´eesidu si dus. s.

1.6

Crit` e eres res de performances d’un syst` e eme me de diagnostic

D’une D’u ne mani` man i`ere ere g´en´ en´erale, era le, un syst`eme eme de diagno dia gnosti sticc n´ecessit eces sitee plusie plu sieurs urs crit` cri t`eres ere s de perfo pe rforma rmances nces parmi lesquels on site : etec et ecta tabi bili lit´ t´ e :   Repr´esente esente l’aptitude du syst` eme eme de diagnostic a` pouvoir d´eceler eceler la •   La d´ pr´eesenc s encee d’un d’ unee d´efai ef ailla llance nce ou d’un d’ un d´efau ef autt da dans ns le pro pr o c´ed´ ed´e. e.

•   L’i L ’iso sola labi bili lit´ t´ e :: Ind  Indique ique la capaci cap acit´ t´e du syst`eme eme de diag d iagnost nostic ic `a remonter directement a` l’origine du d´efau ef aut. t. sen sibili ilit´ t´ e :  D´ecrire ecr ire l’apti l’a ptitud tudee du syst`eme eme a` d´eetecter tecter des d´eefauts faut s d’une certaine certai ne ampli•   La sensib tude. Elle d´epend epend de la structure du syst` eme eme ainsi que du rapport de l’amplitude du bruit de mesure avec celle c elle du d´efaut. efaut . :  Cara •   La robustesse : Ca ract´ ct´erise er ise la ca capa pacit cit´´e du syst` sys t`eme em e a` d´etect et ecter er des de s d´efau ef auts ts ind´ in d´epend ep endam ammen mentt des erreurs erreur s de mod´elisation elisat ion et des d es pertur p erturbation bationss ext´ ex t´erieures. erieur es. L a rapidi rap idit´ t´ e de d´ etectio etec tion n :  C’est un imp´eratif erati f a` prendre en compte lorsque le diagnostic •   La do doit it ˆeetre t re ´eetab t abli litt en te temp mpss r´eel. eel .

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Chapitre 2

M´ etho ethode dess de di diag agno nost stic ic de d´ efau ef auts ts

2.1

In Intr trodu oduct ction ion

Les diff´erentes erentes m´ethodes etho des de diagnostic diagno stic ont pour principe princi pe de comparer compar er le fonctionneme fonct ionnement nt r´eel eel du sy syst st``eme em e a` une r´ef´ ef´erence, erence, afin d’illust d’ illustrer rer son so n fonctionne fonc tionnement ment normal nor mal ou o u son dysfonc d ysfonctionne tionnement. ment. Ces m´ethodes ethodes se distinguent par rapport au type d’informations disponibles pour d´ecrire ecrire le comportement dynamique dynamiq ue du syst`eme eme a` surveiller s urveiller.. En E n effet, e ffet, elles peuvent ˆetre etre classifi´ees ees en deux grandes grand es familles. famil les. Dans la premi`ere ere famille famill e de m´ethodes, etho des, nomm´ees ees :   m´ ethodes eth odes quanti qua ntitat tatifs  ifs , la redondance d’informations et la connaissance fournie par le mod`ele ele math´ematique ematique sont utilis´ees ees afin de caract´eriser eriser le mode mo de de d e fonction fo nctionnement nement ou l’´etat etat du syst` s yst`eeme, me, et de d e confirmer co nfirmer ou d’infir d’infirmer mer l’existence l’exist ence du d´efaut. efa ut. La deuxi` deu xi`eme eme famill fam illee de m´ethodes, etho des, appel´ app el´ees ees ´egalem ega lement ent :   m´ ethodes eth odes qualit qua litati atifs  fs , exploite les techniques technique s d’intellig d’ intelligence ence artificielle artifi cielle bas´ees ees sur l’analyse l’anal yse de donn´eees es ffournie ourniess par pa r des d es exp´ e xp´eeriences rienc es pass´ees ees sur le syst`eme, eme, permettant perm ettant ainsi de d´ecider ecider de son ´etat etat de fonctionneme foncti onnement. nt.  2.1.. Un panora pan orama ma g´en´ en´eral era l des diff´erentes ere ntes m´ethod eth odes es de diagno dia gnostic stic est pr´esent´ esent´e dans dan s la Figure Fig ure  2.1

2.2

M´ e ethodes tho des quantitati quantitatifs fs (` a base de co connaiss nnaissances) ances)

Le princip p rincipee des d es m´ethodes etho des a` base de connaissances consiste a` comparer co mparer le compor co mportement tement r´eel eel du du syst`eme eme avec le compo com porte rtement ment d’un d’u n mod` m od`ele ele de r´ef´ ef´erence ere nce,, ´eetabli ta bli en foncti fon ctionn onnement ement normal nor mal de celuicel uici. Ainsi, selon la consid´ c onsid´eration eratio n des mesures prises isol´eement ment le less unes une s des autres, autre s, ou la pr´ p r´esuppositio esupp osition n des relations math´ematiques ematiques les reliant, ces m´ethodes ethodes se r´epartissent epartissent en deux grandes classes. La premi` pre mi`ere ere classe cla sse est d´enomm´ eno mm´ee ee analyse ana lyse   mono-signal , tandis que la deuxi` eme eme est appel´ee ee analyse – 12 –

 

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Figure 2.1:  2.1:   Classification Classifica tion des m´ethodes etho des de diagnostic. diagno stic. multi-signaux    (ou redondance analytique). multi-signaux  2.2.1

M´ ethodes ethodes mono-signal

Les m´ ethodes ethodes mono-signal mono-signal se reposent reposent sur les technique techniquess de traitement traitement du signal. signal. Ainsi, Ainsi, dans le but d’extraire d’extra ire des information inform ationss r´ev´ ev´elatrices elatri ces de d´efauts, efaut s, ces m´ethodes etho des se basent sur l’´etude etude des signaux, pris isol´ement ement les uns des autres. 2.2.1.1

Redondance mat´ mat´ erielle erielle (ou physique)

La redondance physique consiste `a utiliser plusieurs actionneurs, capteurs, processeurs et logiciels pour mesurer et/ou contrˆoler oler une variable particuli` particuli` ere. ere. L’utilisati L’utilisation on du princi principe pe de vote sur les valeurs redondante redondantess permet de d´ ecider ecider l’existenc l’existencee ou non, des d´ eeviations viations par rapport a` un ´etat etat normal. norma l. Cette m´ethode etho de est tr`es es largement largem ent utilis´eeee dans l’industrie, l’indus trie, notamment notamm ent dans des installations critiques (comme l’a´eerospatiale rospatiale et le nucl´ eaire). eaire). Bien qu’elle est simple a` implanter et s’av`ere ere extrˆemement emement fiable, cependant, cepe ndant, cette approche appro che entra entraˆˆıne un coˆu utt important en instrumentation et permet p ermet l’augmentation de la probabilit´e de pannes, donc d’un besoin b esoin de maintenance su supp ppl´ l´ementa eme ntair ire. e. 2.2.1. 2.2 .1.2 2

Seui Seuilla llage ge

Afin de d´etecter etecter les d´efauts, efauts , les mesures doivent ˆetre etre compar´ees ees a` des seuils critiques d´efinis efinis par av avance. ance. Le fait de d´epasser epasser un seuil pr´esente esente des risques sur le fonctionnement du processus. Dans plusieurs syst` emes, emes, deux niveaux limites sont d´efinis efinis : le premier niveau permet p ermet seulement

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a` l’avertissement l’avertisse ment pr´ealable ealabl e de la pr´esence esence d’un d´efaut, efaut , tandis que dans le deuxi`eme eme niveau, des mesure mes uress d’urge d’u rgence nce sont d´eclench´ ecl ench´ees. ees. 2.2.1.3 2.2. 1.3

Analyse Analyse spectral spectrale e

Dans un ´etat etat de fonctionnement normal, certaines mesures ont un spectre typique de fr´equence equence ; toute d´eviation eviati on de celui-ci c elui-ci se traduit t raduit par une anomalie. anoma lie. Certains Certai ns types typ es de d e d´eefaillances fail lances peuvent mˆeme eme caract´ car act´eris´ eri s´ees ees par une signatu sign ature re sp´ s p´ecifique ecifi que dans dan s le spect sp ectre, re, ce qui q ui peut p eut ˆetre etr e tr`es es util u tilee pour p our l’is l’isola olatio tion n de d´efauts. efaut s. Cette C ette m´ethode etho de est bien adopt´ee ee pour p our l’analyse l’ana lyse des signaux signa ux ayant des oscillations oscill ations avec des p´eriod eri odes es longue lon guess (les ( les pressio pre ssions, ns, les d´ebits... ebit s...). ). Lorsque Lor sque les fr´equences eque nces repr´ rep r´esentati esent atives ves de d´eefauts fa uts sont connues, il est pr´ef´ ef´erable erabl e d’utiliser d’utili ser l’une des m´ethodes etho des suivantes : auto-corr´ auto- corr´eelation, lati on, densit´e spectrale des signaux, transform´ee ee de Fourier ou ondelettes. Dans le cas contraire, les fr´equences equences caract´ carac t´eristiques eristi ques et les valeurs moyennes des param`etres etres peuvent ˆeetre tre estim´ees ees en ligne par l’utilil’utili sation satio n des mod`eles eles param´etriques etriqu es de signaux. signau x. 2.2.1.4 2.2. 1.4

Approch Approches es statist statistique iquess

Les approches approches statistique statistiquess se basent basent sur l’hypoth` l’hypoth` ese ese de changemen changements ts rapides (et non pas sur l’amplitude) des caract´eristiques eristiques du signal ou des param`etres etres du mod`ele, ele, d’o`u la n´ecessite ecessite du calcul des param` param`etres etres statistiques statistiques (tels que la moyenne, moyenne, la variance, ariance, ...etc) ...etc) de certaines certaines variables ariables significatives signifi catives du processus, pro cessus, afin de d´etecter etecte r la pr´esence esence d’un d´eefaut. faut. 2.2.2

M´ ethodes ethodes multi-signaux

En se basant sur le concept de la redondance analytique, ces m´ethodes ethodes utilisent plus d’information que celles apport´ appo rt´eees es par les capteurs capteu rs physiques pour g´een´ n´erer erer les estim´ees ees de quelque quelquess grandeurs grand eurs du syst`eme. eme. Afin de remplir la fonction foncti on du diagnostic, diagno stic, ces variables estim´ees ees sont utilis´ees ees avec les mesu me sure ress pr´elev´ el ev´ees ees du syst` sy st`eme. em e. Pour Pou r proc pr oc´´eder ede r a` la synth`eese se d’un sch´ema ema de diagnostic diagn ostic a` base de mod`ele, ele, on doit d’abord d’ab ord avoir le mod`ele ele math´ematique ematiq ue le plus pr´eecis cis que possible poss ible du syst`eme eme a` .2). ). surveiller (voir Figure 2 Figure  2.2 2.2.2.1 2.2. 2.1

M´ ethodes etho des par p ar espace es pace de d e parit´ par it´ e (ou ´equations equati ons de redondance) redo ndance)

L’objectif L’ob jectif de la m´ethode etho de de diagnostic diagno stic par espace de parit´e est la v´erification erifica tion de la coh´eerence rence entre les relations relati ons math´ematiques ematiq ues du syst`eme eme `a surveiller et les mesures issues des capteurs et des entr´ees ees connues con nues (consi (co nsigne gnes, s, sig signal nal de comman com mande,. de,..). .). Cette Cet te appro app roche che a ´et´ et´e d´eevelopp´ velo pp´ee ee initial init ialement ement pou r le cas statique, pour statiqu e, ensuite elle ´et´ et´e g´en´ en´eralis´ eralis´eeee pour le cas des syst`emes emes dynamiques. dynami ques. Elle est applicable applic able ´egalement egalem ent pour pou r les syst`emes emes d´eterministes etermi nistes et stochastiques stocha stiques.. Une relation relati on de parit´e (ou Master 2. Automatique et syst`emes

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Figure 2.2: 2.2: Ar  Archit chitectu ecture re g´en´ en´erale era le du diagno dia gnostic stic de d´efauts efa uts a` base bas e d dee mo mod` d`eles. eles . de redondance redondance analytique) analytique) est une ´equation equation dans laquelle laquelle toutes les variables ariables sont connues. connues. La g´en´ en´eration erati on de telles relations relati ons permet per met d’engendrer d’enge ndrer des r´esidus. esidus. Si ces r´esidus esidus sont statistiqueme stati stiquement nt nuls, les mesures mesure s sont coh´erentes erentes par rapport rapp ort au mod`ele, ele, le syst`eme eme est d´eeclar´ clar´e sans d´eefaut. faut. Un r´esidu esidu non nul implique impliq ue l’existence l’exist ence d’un d´efaut. efaut. 2.2.2.2 2.2. 2.2

M´ ethodes etho des ` a base d’observateurs d’o bservateurs

Le principe princip e de base de ces m´ ethodes ethodes consiste `a estimer e stimer la sortie sorti e du syst`eme eme a` partir des variables mesur´´ees mesur ees (ou une partie de ces variables) variables) soit par un observateur observateur de Luenberger Luenberger ou a` ent entr´ r´ees ees inconnues (unknown input observer) dans le cadre d´eterministe, eterministe, soit par un filtre de Kalman dans le co conte ntext xtee sto s tocha chasti stiqu que. e. Les r´esidu esi duss sont s ont g´en´ en´eral er aleme ement nt g´en´ en´er´ er´es es en form fo rmant ant les le s d diff´ iff´eren er ence cess eentr ntree les l es sorso rties estim´ees ees et les sorties sortie s r´eelles. eelles. Ces r´esidus esidus doivent servir d’indicateur d’indic ateurss fiables fia bles du comporteme comp ortement nt du processus. La flexibilit´ e de ces approches r´eside eside dans le choix du gain des observateurs. 2.2.2.3 2.2. 2.3

M´ ethodes etho des par estimation estimat ion param´etrique etriqu e

Cette approche appro che consid`ere ere que l’influence l’influ ence de d´efauts efaut s se refl`ete ete sur les param`etres etres physiques et non pas uniquement, comme le cas des observateurs, sur les variables du syst` eme. eme. L’id´ee ee principale est d’estimer d’esti mer en temps r´eel eel des param`etres etres du proc´ pro c´eed´ d´e (e.g. masse, coefficient coeffi cient de viscosit´ viscosi t´e, e, ...etc.) ...etc .) en utilisa u tilisant nt les mesures mes ures d’entr´ d’ entr´ees/sorties. ees/sor ties. Le vecteur de d e r´esidus esidus est e st obtenu obt enu donc en e n fais faisant ant la diff´erence erence entre les grandeurs grande urs estim´ees ees et les valeurs nominales. nomina les. Autrement Autrem ent dit, d it, tout ´ecart ecart notable notabl e des param` par am`etres etr es estim´ est im´es es par rappo rap port rt aux valeurs valeur s nomina nom inales les est r´ev´ ev´elateur ela teur d’un d’u n d´eefaut. fa ut. Master 2. Automatique et syst`emes

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2.3

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M´ e ethodes thodes qualitat qualitatifs ifs (` a base de donn´e ees) es)

Contrairement Contrair ement aux m´ethodes etho des a` base de connaissances, celles a` base de donn´eees es reposent sur l’exploitati l’expl oitation on d’une base de connai c onnaissance ssance symbolique symboli que (bas´eeee ssur ur le savoir et l’exp´ l ’exp´erience erience d’op´eerateur rate ur humain ayant une parfaite parfa ite maˆ maˆıtrise du syst`eme eme `a surveiller) et n´ecessitent ecessitent l’existence d’un large ´eventail eventail de donn´ees ees historiques histor iques (base de connaissances connai ssances num´eriques) eriques ) corresp c orrespondant ondant aux divers modes mod es de fonctionneme fonctionnement nt de l’installati l’installation. on. L’objectif de ces approches approches est alors de construire construire un mod`ele ele a just´ jus t´e sur les donn´ don n´ees ees collec col lect´ t´ees, ees, et la princi pri ncipal palee difficult´ diffi cult´e va donc d onc ˆetre etr e de d´eefinir fini r non seulement seul ement la str structu ucture re approp app ropri´ ri´eeee du mod` mo d`ele, ele, mais mai s aussi a ussi le calage cal age approp app ropri´ ri´e entre e ntre ce mo mod` d`ele ele et le syst`eme. eme. Suivant Sui vant ce type d’approches, on retrouve l’ensemble des m´ethodes ethodes bas´eees es sur l’intelligence artificielle, ar tificielle, a` savoir : la reconnaissance de formes, les r´eseaux eseaux de neurones, les syst` emes emes d’inf´erence erence floue et les syst`emes eme s expert exp erts. s. 2.3.1 2.3. 1

Reconn Reconnaiss aissanc ance e de de forme formess (RdF) (RdF)

Cette approche consiste `a effectuer une classification automatique d’objet suivant sa ressemblance par rapport `a un objet ob jet de r´ef´ ef´eerence, re nce, c’est-` c’e st-`a-dire a-d ire,, de d e d´eecider cid er a` quelle classe d’objets connus, l’ l’ob obje jett obse ob serv´ rv´ee,, appe ap pel´ l´e ´eegal g alem ement ent   forme , doit ˆetre etre affecter. Dans un probl`eeme me de diagnostic, une classe est form´ee ee par l’ensemble d’observations caract´erisant erisant une situation ou un mode de fonctionnement de processus : par exemple, la classe C  classe  C 1  p  peu eutt ˆeetre tr e li´ l i´ee ee au fonct fo nctio ionne nneme ment nt no norm rmal al du pro pr o c´eed´ d´e, e, la classe  classe   C 2  po  pour ur le fonctionnem fonct ionnement ent d´egrad´ egrad´e et la classe   C 3   pour le fonctio f onctionnement nnement d´efaillant. efaill ant. Le diagnostic consiste `a associer toute nouvelle observation `a une classe, autrement dit, de d´ecider, ecider, apr`eess avoir observ´ obs erv´e un objet ob jet,, a` quelle quelle classe type celui-ci celui-ci ressemble ressemble la plus. Ce probl` probl`eeme me revient revient donc `a la d´etermination etermination des fronti` eres eres entre classes et l’affectation de chaque forme a` la classe qui lui convient. Le calcul c alcul de l’erreu l’ erreurr de classification classifi cation peut ˆetre etre choisi comme un crit` c rit`ere ere de d´ecision ecision pour pou r assigner une forme `a une classe et de d´eterminer etermi ner avec quelle qu elle confiance confian ce est effectu´eeee cette d´eecision. cision . 2.3.2

R´ eseaux eseaux de neurones neurones artifici artificiels els (RNA)

Un r´eseau eseau de neurone est un mod`ele ele de calcul dont la conception est sch´ ematiquement ematiquement inspir´ee ee du fonctionnent de vrais neurones humaines. En effet, un RNA est un syst` eme eme informatique constitu´ consti tu´e d’un nombre de processeurs pro cesseurs ´el´ el´ementaires ementair es (nœuds) interconnect´ intercon nect´es es entre eux qui traite l’information qui lui arrive `a partir des signaux ext´erieurs. erieurs. La synth` synth`eese se du RNA repose sur plusieurs ´etapes etapes : le choix du type de r´eseau, eseau, du type de neurones, du nombre de couches et des m´ethodes ethodes d’apprentissage. Pour le diagnostic `a base de r´eseaux eseaux de neurones, un nombre suffisant d’exemples de fonctionnement normal et d´efaillant efail lant doivent ˆetre etre dispos´ disp os´eess aafin fin de pouvoir pou voir les apprendre. appren dre. Pendant la phase Master 2. Automatique et syst`emes

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Chap Ch apit itre re 2. M´etho e thode dess de diag diagno nost stic ic de d´eefau fauts ts

Modu Module le.. Diag Diagno nost stic ic des des sy syst st``eemes mes

d’apprentissage d’appr entissage,, les nouveaux exemples exemple s sont pr´esent´ esent´es es au r´eeseau seau en entr´eeee avec les diagnostics diagn ostics correspondants `a la sortie. Ainsi, le r´eseau eseau s’auto-organise s’auto -organise en apprenant `a relier les exemples exemple s montr´eess aux diagnostics. Apr`es es l’apprentissage, le r´eeseau seau ne reconnaˆ reconnaˆıt pas seulement les exemples appris, mais ´egalement egalement des paradigmes leur ressemblant, ressemblant, a` qui correspond `a une certaine robustesse par rapport aux d´eformations eformations de signaux par le bruit. bruit . 2.3.3 2.3. 3

Syst` emes emes d’inf´ d’i nf´ erence erence floue flo ue (SIF)

La relation relation math´ math´ematique ematique qui existe existe entre entre un d´ efaut efaut et ses symptˆ symptomes oˆmes est la plus souvent difficile a` obte o btenir nir.. Toutefo Tout efois, is, l’exp´ l’ex p´erience eri ence d’op´ d’o p´erateur era teur humain, huma in, ayant une bonne bo nne maˆııtrise tr ise du syst`eme, eme, paraitt pr´ecieuse parai ecieuse dans la d´eterminatio etermi nation, n, sur base de leur observations, observatio ns, de l’´el´ el´eement ment d´efaillant efaill ant qui est `a l’origine d’un comportement qu’il est jug´e anormal. Ce type de savoir peut ˆeetre tre exprim´ e avec avec une liste de r` egles egles de la forme : SI (condition) (condition) ALORS (conclusion) (conclusion),, o`u la partie condition comporte les symptˆomes ome s observ´ obs erv´es es et la partie par tie conclus con clusion ion concer con cerne ne l’´el´ el´eement me nt d´efaill efa illant. ant. L’id´ L’i d´ee ee est alors de construire un dispositif, appel´e syst` eme eme d’inf´erences erences floues, capable d’imiter les prises de d´ecisio eci sions ns d’un d’u n op´erateu era teurr humain humai n `a partir de r`egles egles verbales traduisant ses connaissances relatives `a un processus processus donn´ donn´e. e. Les formalismes formalismes les plus utilis´ eess pour les SIF sont sont ceux de Mandan Mandanii et de Takagi-Sugeno. 2.3.4

Syst` emes emes experts

Un syst`eme eme expert exper t est un syst`eme eme informatiqu infor matiquee employ´e pour pou r r´esoudre esoudr e un probl`eeme me donn´e `a partir d’une analyse, analyse, d’une repr´esentation esentation des connaissance connaissancess et du raison raisonnemen nementt d’un ou de plusieurs sp´ecialistes ecialistes de ce probl`eme. eme. Il utilise notamment une information heuristique afin a fin de lier les symptˆomes omes aux d´efauts. efauts. A partir de l’ensemble des symptˆ omes omes existants, il d´eduit eduit toutes les conclusions possibles, ´elabore elabore de nouvelles hypoth`eses eses et approfondit son diagnostic en se servant servant des informatio infor mations ns suppl´ementaires ementair es collect´ collec t´ees ees sur le syst`eme eme a` surveiller. Les syst` emes emes experts sont compos´ comp os´es es de deux parties parti es ind´ependantes epend antes : une   base de connaissances   connaissances   et un  mo  moteu teurr d’i d’inf´ nf´erence  erence . La base de connaissanc connaissances es peut ˆetre etre subdivis´ subdivis´ ee ee en deux groupes : la   base de faits   faits   et la   base de  r`egles . La base de faits repr´esente esente l’´etat etat du syst`eme eme observ´e. e. La base de r`egles egles est un ensemble de r`egles egles logiques qui permettent de d´eduire eduire de nouveaux faits a` partir des  des   pr´emis em isse ses  s    (i.e. d’autres fa fait itss d´ej` ej a` ´etabli eta blis). s). Le moteur mot eur d’inf´ d’i nf´erence ere nce repr´ rep r´esente esent e l’or l ’organ ganee de d e r´esolut eso lution ion,, iill p perm ermet et la s´electio elec tion n de de r`egles egles dans la base de connaissance en fonction des faits ´etablis, etablis, la r´esolution esolution des conflits entre les r`egles egl es s´electio elec tionn´ nn´ees, ees, et l’ex´ecution ecut ion en indiqu ind iquant ant les condit con dition ionss de d´eeclenchem cle nchement ent et les cons´ con s´eequences que nces  jusqu’`a ce que le but recherch´ e (le diagnostic par exemple) soit atteint.

Master 2. Automatique et syst`emes

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Chapitre 3

Diagnosti Diagn osticc ` a base d’ob d’obser serv vate ateurs urs

3.1

In Intr trodu oduct ction ion

Le probl`eme eme de l’estimation l’estim ation de l’´etat etat d’un syst`eme eme est d’une importanc impo rtancee pratique prati que consid´erable, erable , que ce soit pour la mise en œuvre d’une loi de commande commande ou pour l’´ elaboration elaboration d’une strat´egie egie de diagnostic. L’observateur revient `a un mod` mo d`ele ele parall` par all`eele le au syst`eme eme avec une cont contre re r´eactio eac tion n qui pond`ere ere l’´ecart ecart de sortie. sortie . Le principe princi pe du diagnostic diagn ostic de d´efauts efaut s bas´e sur les observateurs observateur s est de reconstruire recons truire une partie ou l’ensembl l’ensemblee de sortie du syst` syst`eeme me a` partir des grandeurs accessibles du pr prooc´ed´ ed´e. e. Le Less r´eesid s idus us sont so nt g´en´ en´eral er alem ement ent g´en´ en´er´ er´es es en fo form rman antt les le s diff´ di ff´eren er ence cess (´event eve ntue uell llem ement ent filtr fil tr´´ees) ee s)  3.1). ). Dans ce qui suit, on s’int´ eresse eresse aux entre les sorties sortie s estim´ees ees et les sorties sortie s r´eelles eelles (voir Figure Figur e  3.1 approches approch es de diagnostic via l’observ l’observateur ateur de Luenberger, Luenberger, `a entr´ees ees inconnues inconnues,, et a` base du filtre de Kalman.

3.2 3.2 3.2.1

Di Diag agno nost stic ic a ` l’aide de l’observateur de Luenberger Synth` ese ese de l’observateur

Soitt le syst`eme Soi eme lin´eaire eai re d´ecrit ecr it par la repr´ rep r´esentati esent ation on d’´etat eta t suivante suivant e :

 

x˙ (t) =  Ax  Ax((t) + Bu Bu((t) + F xf  f ((t), x(0) = x =  x 0 y (t) =  C x(t) + F y f  f ((t)

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(3.1)

 

Chapitre 3. Diagnostic `a base d’observateurs

Modu odule. Diagnostic des syst`emes

Figure 3.1: Pr 3.1:  Prin inci cipe pe de la g´en´ en´erat er atio ion n de r´eesidu si duss a` base d’observateur. o`u   x(t)   ∈   Rn ,   y(t)   ∈   R p et   u(t)   ∈   Rm son sont, t, respective respectivemen ment, t, les vecteurs vecteurs : d’´ etat, etat, de sortie sortiess et d’ d’en entr tr´´eees es d du u ssys yst` t`eme, em e, et et f   f ((t)  ∈

q R f 

est un vecteur vecte ur inconnu inc onnu rep repr´ r´esentant esent ant l’e l’effet ffet de d´eefauts fa uts,, d distr istribu´ ibu´es es

via les matrices matrices constantes constantes connues connues  F x   et et F   F y . L’objectif L’ob jectif ici est de synth´etiser etiser un vecteur de r´esidus esidus  r  r((t) sur la base de ce mod`ele ele de sorte que ces r´esidus esidus soient nuls en ´etat etat normal norma l (i.e. r (i.e.  r((t) = 0 si f  si  f ((t) = 0) et diff´erents ere nts de z´eero ro en pr´eesence sen ce de d´efau ef auts ts (i (i.e .e..  r  r((t)   = 0 si f  si  f ((t)   = 0) Supposons que la paire (A, (A, C ) est observable, l’observateur d’´etat etat de Luenberger est donn´e comme suit :

   

xˆ˙ (t) =  Aˆ  A x ˆ(t) + Bu Bu((t) + L (y(t) −  ˆ y (t)) ,   x ˆ(0) (0) = x ˆ0

(3.2)

yˆ(t) =  C ˆ  C x ˆ(t)

o`u  L  L repr´  repr´esente esente la matrice matri ce de gain de l’observateur. l’obser vateur. Elle est calcul´eeee de telle sorte que l’´etat etat estim´e xˆ(t) te tend ndss vers ver s l’´etat et at r´eeel e l  x  x((t) du syst`eme eme quand qua nd t  t  → ∞, quels que soient les ´etats etats initiaux x initiaux  x(0) (0) et xˆ(0). La dynamique de l’erreur d’estimation sur l’´etat etat   ex (t) =   x(t)  −  ˆx(t) peut s’´ecrire ecrire de la fa¸ccon on suivante : ˆ˙ (t) e˙ x (t) = x˙ (t) −  x

(3.3)

=  Ax  Ax((t) + Bu Bu((t) + F x f  f ((t) − Ax ˆ(t) − Bu Bu((t) − Ly( Ly (t) − Lyˆ(t) En utilisant le fait que y que  y((t) =  Cx  C x(t) + F y f (t) et yˆ(t) =  C   C ˆ x ˆ(t), il vient : e˙ x (t) = (A − LC ) ex (t) + (F  ( F x − LF y ) f  f ((t)

(3.4)

En l’absence l’abse nce de d´efaut efaut (i.e.  f   f ((t) = 0), l’´equation equati on (3.4 3.4)) devient : e˙ x (t) = (A − LC ) ex (t). Afin de rendre ren dre lim ex (t) = 0 , la matrice de gain   L  est calcul´eeee d’une fa¸ccon on que la matrice ((A A − LC ) soit t→∞

Master 2. Automatique et syst`emes

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Chapitre 3. Diagnostic `a base d’observateurs

Modu odule. Diagnostic des syst`emes

stable. On s’int´ s ’int´eresse ere sse mainten mai ntenant ant `a la matric m atricee de transfer tr ansfertt reliant reli ant les d´efauts f  efauts  f ((t) `a l’erreur d’estimation de l’l’´´eta et at  e x (t). Supposons Supp osons que les conditions initiales sont nulles, la transform´ee ee de Laplace de (3.4 3.4)) peut pe ut ˆetre etr e ´ecrite ecr ite comme com me suit :

sex (s) = (A − LC ) ex (s) + (F  ( F x − LF y ) f (s)

(3.5)

ex (s) = [sI   − − (A − LC ))]]−1 (F x − LF y ) f (s)

(3.6)

Ce qui implique que :

On remarque que cette erreur est li´ee ee directement aux d´efauts efauts   f  f ((s). Alors, elle pourrait ˆetre etre util ut ilis´ is´ee ee po pour ur g´en´ en´eerer r er un vecteur vect eur de r´esid es idus. us. Cepend Cep endant ant,, l’´ecart eca rt   ex(t) ne peut pe ut ˆetre etr e expl exploit´ oit´e direct dir ecteement, tant que le vecteur d’´etat etat n’est pas compl`etement etement connu. Pour ´eeviter viter ce probl`eme, eme, on utilise l’erreurr d’estimation l’erreu d’estimation en sortie e sortie e y (t), elle ell e s’´ecrit ecr it : ey (s) =  y(  y (s) −  ˆ y (s) =  C x(s) + F y f (s) − C  C ˆ yˆ(s)

(3.7)

=  C ex (s) + F y f (s) (3.7), ), on trouve : En rempla¸cant cant (3.6 (3.6)) dans (3.7 ey (s) =  G f (s)f  f ((s)

(3.8)

o`u  G f (s) =  C   [sI  [sI   − − (A − LC ))]]−1 (F x − LF y ) + F y . 3.2.2

Structuration de r´ esidus esidus

D’ap D’ apr` r`eess (3.8 3.8), ), il est clair que l’´ecart e ecart  ey (t) eest st sensible sens ible aux d´efauts. efa uts. Donc, Don c, il peut pe ut ˆetre etr e explo ex ploit´ it´e p pour our construire constr uire un vecteur indicateur indica teur de d´efauts efauts (r´esidus). esidus). Consid´erons erons le vecteur de r´esidus esidus suivant : r (s) =  e y (s) =  Gf (s)f (s)

(3.9)

A partir de la formule de r de  r((s), on o n peut pe ut faci f acileme lement nt d´etecter ete cter les d´efauts efa uts,, c’est-` c’e st-`a-dire a-dire s’il y a des d es d´eefauts fauts ou non. Toutefois, outefo is, les ´el´ el´ements ements de la matrice matri ce   Gf (s) ´eetant tant non nuls nuls,, il est impossible impossible de localiser localiser ces d´efauts efa uts.. Donc, Don c, l’´equati equ ation on (3.9 3.9)) ne pe peut ut pas ˆetre etr e impl´ement´ eme nt´ee ee directe dir ectement. ment. Afin de r´esoudr eso udree ce probl` pro bl`eme, eme, le vecteur vecte ur de r´esidus esid us doit doi t ˆetre etr e sstru tructu ctur´ r´e een n util u tilisa isant nt une u ne matric mat ricee de param´ par am´etrisa etr isatio tion n  Q  Q((s) ), tel que : stable (voir Figure 3.2 Figure  3.2),

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Chapitre 3. Diagnostic `a base d’observateurs

Modu odule. Diagnostic des syst`emes

Figure 3.2: Str 3.2:  Structura ucturation tion de r´esidus esidus a` l’aide de l’observateur de Luenberger.

r(s) =  Q(  Q (s)ey (s) =  Q  Q((s)Gf (s)f (s)

(3.10)

o`u  Q  Q((s) doit v´erifier erifier la condition :  Q(  Q (s)Gf (s)   = 0. Afin d’assurer la localisation de d´efauts, efauts, la matrice Q matrice  Q((s) doit ˆeetre tre choisie de fa¸ccon on que que Q  Q((s)Gf (s) soit diagonale. Dans le cas o`u  G f (s) est inversible et son inverse est stable, le choix intuitif   Q( Q (s) = Gf (s)−1 , conduisant `a  r(  r (s) =  f   f ((s), p eu eutt ˆeetre t re co cons nsid id´´eer´ r ´e. e.

3.3

Diagnostic ` a l’aide de l’observateur l’observateur ` a entr entr´ ´ ees ees inconnues (Uknown Input Observer)

3.3.1

Synth` ese ese de l’observateur

Le princi principe pe de constru constructi ction on d’un d’un observ observate ateur ur `a entr´ ees ees inconnues consiste a` rendre rendre l’e l’erreu rreurr d’esti d’e stimat mation ion ind´eepend p endante ante des pe pertu rturba rbatio tions ns non mesura mes urable bles. s. Consid´ Con sid´erons ero ns le mod` mo d`ele ele d’´etat eta t llin´ in´eaire eai re suivant :

   

x˙ (t) =  Ax  Ax((t) + Bu Bu((t) + F x f  f ((t) + Dx d(t), x(0) = x =  x 0

(3.11)

y(t) =  C x(t) + F y f (t)

o`u  D x  repr´esente esente la matrice de distribution des perturbations d perturbations  d((t)  ∈

q R d.

L’objectif dans cette section est de concevoir un vecteur de r´esidus r esidus r((t) sur su r llaa base ba se de ce mod` m od`eele, le, tel que r que  r((t) soit so it insensib i nsensible le aux a ux entr´ees ees inconnues i nconnues  d(  d (t) et sensible aux d´eefauts fauts  f   f ((t). Le principe de base de l’observateur `a entr´ ees ees inconnues est l’emploi d’une transformation   T  T ,, telle que  que   z  =  T x  ∈   Rqf  soit l’estimation l’estim ation d’une combinaison combinai son lin´eaire eaire de l’´etat. etat. La m´ethode etho de consiste consist e

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Chapitre 3. Diagnostic `a base d’observateurs

Modu odule. Diagnostic des syst`emes

alors a` estimer la variable z variable  z   a` l’aide de l’observateur suivant :

 

z˙ (t) =  M z (t) + N u(t) + P y(t)

(3.12)

x ˆ(t) =  z  z((t) − Ly y (t)

o`u  M   M ,,  N   N ,,  P   P    et et L  L y  so  sont nt des matric mat rices es inconnu inc onnues es de dimensi dim ensions ons ad´eequate qu ates, s, qui vont ˆetre etr e d´eetermi te rmin´ n´ees ees de fa¸con con que l’erreur d’estimation   ex (t) = x ˆ(t)  −  x  x((t) converge asymptotiquement vers z´ eero ro (i.e. xˆ(t)  →  x  x((t) quand t quand  t  → ∞), malgr´e la pr´esence esence des perturbat pert urbations. ions. Cette erreur peut s’´ecrire ecrire comme suit : ex (t) =  z(  z (t) − Ly y (t) − x(t) (3.13)

=  z(  z (t) − (I   + + Ly C ) x(t) − Ly F y f  f ((t) =  z(  z (t) − Ex Ex((t) − Ly F y f  f ((t) o`u  E   E  =  = I   I  +  + Ly C . La dynamique de e de  e x (t) s’´ecrit ecri t donc don c : e˙ x (t) =z˙ (t) − E  ˙ x˙ (t) − Ly F y f    ˙(t) =M ex(t) + (M ( M E   + + P C   − EA)) x(t) + (N  ( N  − − EA  − EB ) u(t)

(3.14)

  ˙(t) − ED x d(t) + (M (M Ly F y  + P F y  − EF x ) f (t) − Ly F y f  f ( Si les conditions suivantes sont satisfaites :

     

M  est   est stable M E  +  + P C   =  EA  E A N   =  EB  E B

(3.15)

ED x  = 0

M Ly F y  + P F y  − EF x   =0

Ly F y   =  0

alors, la dynamique de l’erreur d’estimation devient sensible seulement qu’aux d´efauts efauts :   ˙(t) e˙ x(t) =  M ex (t) + (M ( M Ly F y  + P F y  − EF x ) f (t) − Ly F y f 

(3.16)

La r´eesol s olut utio ion n du syst` sy st`eme em e (3.15) 3.15) consiste, d’abord, a` calculer la matrice L matrice  Ly  qui assure la condition de d´ecoupla eco uplage ge des entr´ees ees inconnue inc onnuess :   ED x  = 0, avec  avec   E   =  I   I  +  + L  Ly C , d’o` u :   Ly C Dx   =   −Dx . Si la +



T 



pseudo-inverse de C de  C Dx , not´ no t´eeee (C Dx ) = (C Dx ) (C Dx )

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−1

(C Dx )T , existe, L existe,  L y  peu  p eutt ˆetre et re calc ca lcul´ ul´ee ee

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Chapitre 3. Diagnostic `a base d’observateurs

Modu odule. Diagnostic des syst`emes

de la mani`ere ere suivante :



+

T 



Ly   =  −Dx (  (C C Dx ) =  −Dx (C Dx ) (C Dx )

−1

(C Dx )T 

(3.17)

Une condition n´ecessaire ecessaire pour l’existence d’un tel observateur est donn´ee ee par la condition de rang suivante : rang (Dx ) =  q d  < p rang rang (C Dx ) = rang

 

(3.18)

o`u q d  repr´esente esente le nombre d’entr´ d ’entr´ees ees inconnues. inco nnues. Cette Cet te condition con dition signifie signifi e que pour p our pouvoir p ouvoir constru c onstruire ire un observateur `a entr´ees ees inconnues, in connues, le nombre no mbre de d e sorties sor ties p  p do  doit it ˆetre et re sup´ su p´erieu er ieurr aux au x entr´ ent r´ees ees inco in connu nnues es a` d´ecoupl eco upler. er. La synth`ese ese de l’o l’obser bservateur vateur pe peut ut ˆetre etr e r´esum´ esum´ee ee comme com me sui suitt : calculer  L y   a` partir de ((3.17 1. V´erifier erifier que : rang (Dx ) =  q d  < p, puis calculer L 3.17). ). 2. Calculer Calculer E   E  =  = I   I   + + Ly C   a` partir de L de  L y . 3. Calculer Calculer N   N    =  EB  E B   a` partir de E  de  E .. 4. Imposer que M  que  M    soit une matrice de Hurwitz. Hurwitz. Afin de faciliter les calculs, en faisant apparaitre explicitement explici tement les valeurs propres propr es d´esir´ esir´ees ees pour l’observateur, l’obse rvateur, M   M  p  peut eut ˆetre etre choisie comme une matrice diagonale. 5. Calculer Calculer la matrice matrice  P ,  P , telle que : P :  P C   =  EA  E A − M E . 3.3.2

Structuration de r´ esidus esidus

On calcul maintenant la matrice de transfert reliant les d´efauts  efauts   f (t) a` l’erreur d’estimation en sortie e sortie  e y (t). Supposons que H  que  H 1  =  = M  M Ly F y + P F y − EF x   et H  et  H 2  =  − Ly F y , la transform´ trans form´eeee de Laplace Laplac e 3.16)) peut s’exprimer par : de (3.16 sex (s) =  M ex (s) + H 1 f (s) + sH 2 f (s)

(3.19)

ex (s) = (sI   − M )−1 (H 1  + sH 2 ) f (s) − M )

(3.20)

Ce qui implique que :

L’erreur L’erre ur d’estimation d’estimation en sortie e sortie e y (t) s’´ecrit ecrit comme suit : ey (s) = yˆ(s) − y(s) =  C   (ˆ (xˆ(s) − x(s)) − F y f (s)

(3.21)

=  Ce  C e (s) − F  f (s) x

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y

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Chapitre 3. Diagnostic `a base d’observateurs

Modu odule. Diagnostic des syst`emes

A partir de (3.20 (3.20)) et (3.21 (3.21), ), il en r´esulte esulte que : 

ey (s) =  G f (s)f  f ((s)

(3.22)

o`u  G f (s) =  C   (sI  (sI   − − M ) M )−1 (H 1  + sH 2 ) − F y ,  H 1  = M  =  M Ly F y  + P F y  − EF x   et H  et  H 2  =  −Ly F y . 

Dans le but de faciliter la localisation de d´efauts, efauts, on utilise une matrice de transfert Q transfert  Q((s) stable, permettant de structurer le vecteur de r´esidus r esidus  r((s), de fa¸con con que : 



r (s) =  Q(  Q (s)ey (s) =  Q(  Q (s)Gf (s)f (s), Q(s)Gf (s)   =0

(3.23)

Figure 3.3: G´ 3.3:  G´een´ n ´erat er atio ion n de r´esid es idus us a` l’aide de l’observateur `a entr´ees ees inconnues inco nnues..

3.4 3.4 3.4.1

Di Diag agno nost stic ic a ` l’aide du filtre de Kalman Position du probl` eme eme

Consid´ Con sid´erons ero ns le syst`eme eme lin´eaire eai re sto stochast chastiqu iquee suivant :

 

x(k + 1) = Ax =  Ax((k ) + Bu Bu((k ) + w(k )

(3.24)

y(k ) =  C  Cx x(k) + v (k)

o`u  x  x((k)  ∈   Rn est le vecteur d’´etat, etat,  u(  u (k)  ∈   Rm est le vecteur d’entr´ees,  ees,   y(k )  ∈   R p est le vecteur de sorties,   w(k)  ∈   Rq et sorties, et   v (k )  ∈   R p sont, respectivement, des bruits affectant l’´etat etat et les mesures du sy syst st``eme. em e. Hypo Hy poth` th`ese es e 3. 3.1. 1.  On suppose que : Master 2. Automatique et syst`emes

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Chapitre 3. Diagnostic `a base d’observateurs

Modu odule. Diagnostic des syst`emes

1. La paire ((A, ete ctable. ble. A, C ) est d´etecta 2. Les propri´ pro pri´et´ et´es es statis sta tistiq tiques ues de l’´etat eta t initial init ial  x  x(0) (0) sont :





x ¯0  =  = E   E [[x(0)] (moyenne), (moyenne),   et et P   P 0  =  = E   E  (x(0) − ¯ x0 ) (x(0) − ¯ x0 )T   (variance)

3. Les signaux   w(k ) et   v (k) sont des bruits pseudo-blan pseudo-blancs cs gaussiens gaussiens centr´ centr´ eess de matrices matrices de covariance W  covariance  W    et et V   V    respectivement, c’est-`a-dire a-dire : E  E [[w(k)] = 0, 0,   et et E   E [[v (k )] = 0 (centr´es)







(3.25)



E  w(k )w(i)T  =  W δ ( δ (k − i) ,   et et E   E  v (k )v (i)T  =  V δ ( δ (k − i) (s (sta tati tion onna nair irees)

(3.2 (3.26) 6)

o`u  W   ≥  0,  0, V  V >  0, et δ  et  δ ((k − i) ; avec avec δ   δ  =  = 1 pour k pour  k  =  = i  i et  et  δ  =  δ  = 0 pour k pour  k   =  i  i.. 4. L’´etat etat initial initia l   x(0), le bruit de syst` eme  eme   w(k ) et le bruit de mesures  mesures   v (k ) sont mutuellement ind´ependants, epend ants, tels que :













et  E  w(k )v (i)T  = 0 (0)vv (k )T  = 0,   et E  E  x(0) (0)w w (k)T  = 0, E  x(0)

3.4.2 3.4. 2

(3.27)

Filtre Filtre de Kalman Kalman estimat estimateur eur

´ Etant donn´e le mod`ele ele dynamique dynamiq ue et connaissant conna issant les entr´ees ees et les sorties sortie s jusqu’`a l’instant actuel k , c-`a-d, Y  a-d,  Y ((k) =  { u(i), y(i) |i ≤  k }, l’ob l’objectif jectif est de chercher un estim´e lin´eaire eaire x ˆ (k |k ) de x de  x((k) qui est `a variance minimale, en d’autres termes, qui minimise la trace de la matrice de covariance



T 

P   (k ( k |k ) =  E  e (k |k ) e (k |k )



 de l’erreur d’estimation e d’estimation  e (k |k ) =  x (k ) −  ˆ x (k |k ).

Le filtre de Kalman estimateur  Kalman estimateur   est est un filtr fil tree r´eecur c ursi sif, f, qu quii est e st d´eter et ermi min´ n´e een nd deu eux x ´etap et apes es d´enom en omm´ m´ees ee s : pr´ pr´edic ed icti tion  on    et estimation  et estimation , en utilisant utilisa nt la relation relati on de d e r´ecurrence ecurre nce reliant r eliant l’estim´ l’esti m´e future fut ure x ˆ (k + 1 |k + 1 ) `a l’ l’es esti tim´ m´e `a l’ l’ins insta tant nt pr´ec´ ec´edente ede nte x ˆ (k |k ) et aux mesures collect´ collec t´ees ees a` l’instant l’instant k  k + 1 (i.e (i.e..  u (k  + 1) et y (k + 1)).   ´etap et apee 1

  ´etap et apee 2

Pr´eedict di ction ion

Estimtaion

x ˆ (k |k ) −−−−−−→ xˆ (k  + 1 |k ) −−−−−−→ x ˆ (k + 1 |k + 1 ) o`u x ˆ (k  + 1 |k ) est l’esti l’e stim´ m´e a  priori   priori    et x ˆ (k  + 1 |k + 1) 1 ) est l’estim´e a  posteriori . ´ pe de pr´ 3.4.2.1   Etape Eta edicti edi ction on ´ ant do Etant Et donn´ nn´e l’ l’es esti tim´ m´e x ˆ (k |k ) avec les mesures jusqu’`a l’instant  l’instant   k , l’i l’id´ d´ee ee de cet cette te ´etape eta pe con consist sistee a` pr pr´´eedir d iree l’l’´´etat et at  x (k + 1) en utilisant le mod`ele ele stochastique : x ˆ (k + 1 |k ) =  Aˆ  A x ˆ (k |k ) + Bu Bu((k) Master 2. Automatique et syst`emes

– 25 –

(3.28) KHEBBACHE Hicham

 

Chapitre 3. Diagnostic `a base d’observateurs

Modu odule. Diagnostic des syst`emes

avec yˆ (k + 1 |k ) =  C ˆ ˆ (k + 1 |k ).  C x A l’instant   k , l’erreur d’estimation   e (k |k ) =   x (k)  −  ˆx (k |k ) ´etai et aitt cara ca ract ct´´eris er is´´ee ee par pa r   P   (k ( k |k ) =



T 

E  e (k |k ) e (k |k )



. Ainsi, `a l’instant l’instant   k   + 1, l’erreur de pr´ediction ediction   e (k  + 1 |k ) =   x (k + 1)   −

xˆ (k + 1 |k ) ser seraa ca cara ract´ ct´eris´ er is´ee ee pa parr : P   (k ( k + 1 |k ) =  E  e (k + 1 |k ) e (k + 1 |k )T 



T 

=  AP   (k ( k |k ) A + W 



(3.29)

´ 3.4.2.2   Etape d’estimation (Recalage) Cette ´etape etap e consiste consist e a` ´etabli eta blirr les l es rela r elatio tions ns reli r eliant ant l’estim´ l’e stim´e `a  posteriori   posteriori    x ˆ (k + 1 |k + 1) a` l’ l’es esti tim´ m´e `a   priori   priori   xˆ (k  + 1 |k ), en utilisant les mesures a` l’instant   k  + 1. Donc, on cherche un estimateur lin´eaire, eaire, permettant le recalage de la pr´ediction ediction avec l’innovation via un gain de filtre : C ˆ x ˆ (k + 1 |k )) x ˆ (k + 1 |k  + 1) = x ˆ (k + 1 |k ) +   K e (k  + 1) (y (k + 1) − C  Gain du filtre

(3.30)

Innovation  γ (k+1)

       

 

Terme de correction

D´efinissons efinissons l’erreur d’estimation `a  posteriori   posteriori    e (k  + 1 |k + 1) avec sa covariance   P   (k ( k + 1 |k + 1), telle que : e (k  + 1 |k  + 1) = x =  x (k + 1) −  ˆ x (k + 1 |k + 1 )

(3.31)

= (I   − − K e (k  + 1)C  1) C ) (x (k + 1) −  ˆ x (k + 1 |k )) − K e (k + 1)v 1) v (k + 1) et P   (k ( k + 1 |k + 1) =E  =E  e (k + 1 |k + 1 ) e(k  + 1 |k + 1 )T 





= (I   − 1) C ) P   (k ( k + 1 |k ) (I  − 1) C )T  + K e (k + 1)V 1) V K eT  (  (k k + 1) − K e (k + 1)C   − K e (k  + 1)C  =P   (k ( k + 1 |k ) − K e (k + 1)C 1) C P   (k ( k + 1 |k ) − P   (k ( k + 1 |k ) C T K eT  (  (k k + 1)





 (k k + 1) + K e (k + 1) C P   (k ( k + 1 |k ) C T  + V  K eT  ( (3.32)

Le gain de Kalman K  Kalman  K e (k + 1) est d´etermi ete rmin´ n´e en minimi min imisant sant le crit` cri t`ere ere  J    J   =  trace (P   (k ( k + 1 |k + 1)) : ∂J    =  −2P   (k ( k + 1 |k ) C T  + 2K  2K e (k  + 1) C P   (k ( k + 1 |k ) C T  + V  ∂K e (k  + 1)





 

(3.33)

Ce qui nous donne :



( k + 1 |k ) C T  + V  K e (k + 1) = P  =  P   (k ( k + 1 |k ) C T  C P   (k Master 2. Automatique et syst`emes

– 26 –



−1

(3.34)

KHEBBACHE Hicham

 

Chapitre 3. Diagnostic `a base d’observateurs

Modu odule. Diagnostic des syst`emes

En rempla¸cant cant (3.34 (3.34)) dans (3.32 (3.32), ), on obtient : P   (k ( k + 1 |k + 1) = (I  (I   − 1) C ) P   (k ( k  + 1 |k ) − K e (k + 1)C 

(3.35)

Pour une application applic ation en temps r´eel eel des r´ecurrences ecurre nces pr´ec´ ec´edentes, edentes, le filtre de Kalman Kalma n peut ˆetre etre impl´ imp l´ement´ ement´e selon selo n l’a l’algo lgorit rithme hme suivant : Algorithme 1 : Filtre :  Filtre de Kalman estimateur. 1. Initialisation Initialisation -x ˆ (0 |0) = x ¯0  est la pr´ediction edictio n initiale. initia le. -  P  (0  P  (0 |0 ) =  P 0  est la covariance covariance de l’erreur de pr´eediction diction initiale. 2. Pour chaque chaq ue instant i nstant d’´ echantillonnage echantillo nnage   k >  0  faire : —   Pr´edi ed ict ctio ion n x ˆ (k + 1 |k ) =  Aˆ  A x ˆ (k |k ) + Bu Bu((k ) P   (k ( k + 1 |k ) =  AP   (k ( k |k ) AT  + W 

—   Estimation



K e (k + 1) = P  =  P   (k ( k + 1 |k ) C T  C P   (k ( k + 1 |k ) C T  + V 



−1

xˆ (k + 1 |k + 1) = x ˆ (k + 1 |k ) + K e (k + 1) 1) (y (k + 1) − C  C ˆ x ˆ (k + 1 |k )) P   (k ( k + 1 |k + 1) = P  =  P   (k ( k + 1 |k ) − K e (k  + 1)C 1) C P   (k ( k + 1 |k ) 3. Fin pour. 3.4.3

Filtre de Kalman Kalman pr´ edicteur edicteur

L’objectif L’ob jectif ici est de chercher un estim´e llin´ in´eaire eaire x ˆ (k |k − 1) de  de   x(k ) qui minimise la trace de la matrice de covariance P  covariance  P  (  (k k |k − 1 ) de l’erreur de pr´ediction e ediction  e (k |k − 1 ) =  x (k) −  ˆ x (k |k − 1 ). Le filtre de Kalman pr Kalman  pr´ ´eedic d icte teur  ur    est un filtre r´ecursif, ecursif , qui est d´eetermin´ termi n´e directement, direct ement, en utilisant utilis ant la relation de r´ecurrence ecurrence reliant x ˆ (k + 1 |k ) a` l’estim´ l’e stim´e a` l’i l’inst nstant ant pr´eec´ c´eedente dent e x ˆ (k |k − 1) et aux mesure mes uress ccoll ollect´ ect´ees ees a` l’instant k l’instant  k  (i.e.  (i.e.   u(k ) et et y  y((k )).   Pr´ P r´eedicti di ction on

ˆ (k + 1 |k ) x ˆ (k |k − 1 ) −−−−−−→ x directe

L’algorithme d’impl´ ementation ementation correspondant corresp ondant se donne sous la forme : Master 2. Automatique et syst`emes

– 27 –

KHEBBACHE Hicham

 

Chapitre 3. Diagnostic `a base d’observateurs

Modu odule. Diagnostic des syst`emes

Algorithme 2 : Filtre :  Filtre de Kalman pr´edicteur. edict eur. 1. Initialisation Initialisation -x ¯0  est la pr´ediction edictio n initiale. initia le. -  P 0  est la covariance covariance de l’erreur de pr´ediction ediction initiale. 2. Pour chaque chaq ue instant i nstant d’´ echantillonnage echantillo nnage   k >  0  faire : —   Pr´edi ed ict ctio ion n x ˆ (k + 1 |k ) =  Aˆ  A x ˆ (k |k − 1 ) + Bu Bu((k) + K  p (k + 1) 1) (y(k) − C  C ˆ xˆ (k |k − 1 ))



 



Innovation   γ (k)

( k |k − 1 ) C T  + V  K  p (k  + 1) = AK  =  AK e (k) =  AP   (k ( k |k − 1 ) C T  C P   (k



−1

 

P   (k ( k + 1 |k ) =  AP   (k ( k |k − 1 ) AT  − K  p (k + 1)C 1) C P   (k ( k |k − 1 ) AT  + W  3. Fin pour. Remarque 3.1.   Le filtre de Kalman   pr´ pr´eedic d icte teur  ur    p peut eut ˆetre etre obtenu a` partir du filtre de Kalman estimateur , en rempla¸cant cant les ´eequations quatio ns d’estimation d’estim ation dans celles de pr´eediction. dicti on. 3.4.4

Propri´ et´ et´ es es statistiques s tatistiques du filtre de Kalman

1. Le filtre de Kalman est un estimateur non biais´e, e, c.-`a-d. E  a-d. E [[e (k |k )] = 0 et E  et  E [[e (k + 1 |k )] = 0. 2. Les erreurs de pr´ediction ediction   e (k − 1 |k ) et d’estimation   e (k |k ) sont des s´equences eque nces al´eeatoir at oires es gaussiennes. 3. A partir de ((3.29 3.29)) et (3.35 (3.35), ), il est clair que : P   (k ( k |k )  < P   (k ( k |k   − 1)  ⇒  E  e (k |k ) eT  (k |k ) < E  e (k |k   − 1) eT  (k |k − 1 )



 



Donc, la prise en compte de la mesure   y(k) dans l’estimation x ˆ (k |k ) am´elio el iore re la quali qua lit´ t´e de la pr´edicti edi ction on xˆ (k |k − 1 ). 4. La s´equence equence d’innovation   γ ( γ (k ) =  y (k) − C ˆ C x ˆ (k |k − 1) est un bruit blanc gaussien ayant les propri´et´es :









si  k   =  i  C P   (k ( k |k − 1 ) C T  + V   V   et E  et  E  γ ( γ (k ) γ (i)T  = 0 si k E  E [[γ ( γ (k )] = 0, 0, E  γ ( γ (k ) γ (k )T  =  CP 

3.4.5

Stabilit´ Stabilit´ e du filtre de Kalman

Le filtre fil tre de Kalman K alman est stable si pour p our des conditi c onditions ons initiales initia les donn´ d onn´eees es et pour p our des entr´ees ees born´ b orn´eees, es, l’estimateur x ˆ (k + 1 |k + 1) 1 ) et le pr´edicteur edicteur xˆ (k  + 1 |k ) restent res tent born´ bo rn´ees. s. Master 2. Automatique et syst`emes

– 28 –

KHEBBACHE Hicham

 

Chapitre 3. Diagnostic `a base d’observateurs

Modu odule. Diagnostic des syst`emes

Afin de r´ eduire eduire la complexit complexit´´e temporelle temporelle du filtre de Kalman, une ver version sion stationnaire stationnaire peut ˆetre etre utilis´eeee avec un temps d’ex´ecution ecutio n plus rapide. rapide . Pour cela, les conditions condit ions de stabilit´ stabil it´e suivantes doivent ˆetre etre satisfaites satisfa ites avant de passer p asser `a l’impl´ l’im pl´ementat eme ntation ion en temps tem ps r´eel eel : 1. La paire (A, (A, C ) est d´etectable etecta ble (observable). (obser vable). 2. La paire (A, (A, H ) est stabilisable stabilisable (commandable (commandable), ), o` u la l a matr m atrice ice carr´ car r´ee H  ee  H  est  est choisie telle que : H H T  =  W   W .. En r´egime egime permanent per manent (lorsque (lorsq ue   k   → ∞) et sous ces deux conditions de stabilit´e, e, il en r´esulte esulte que : lim P   (k ( k  + 1 |k ) =  P ∞ ,

k→∞

 (k k  + 1) = K  =  K e∞  (Estimateur)  (Estimateur),, lim K e (

k→∞

 (k k + 1) = K  =  K   pp∞  (  (Pr´ Pr´edic ed icte teur ur)). lim K  p (

k→∞

o`u  P ∞ ,  K e∞   et et   K  p∞   sont des matrices constantes.

3.4.6 3.4. 6

Filtre Filtre de Kalman Kalman station stationnair naire e

La satisfaction satisfaction de toutes les conditions conditions ci-dessus ci-dessus permet la synth` synth` eese se d’un filtre de Kalman stationnaire. D’abord, il faut calculer la matrice de covariance P  covariance  P ∞  en r´eesol s olvant vant l’´equa eq uati tion on alg´ al g´ebri eb riqu quee de Riccati discr`ete ete (DARE) suivante :



P ∞  = AP   =  AP ∞ AT  − AP ∞C T  C P ∞ C T  + V 



−1

C P ∞ AT  + W 

 

(3.36)

Une fois cette matrice matrice est calcul´ ee, ee, on passe au calcul calcul du gain constant constant du filtre estimateur  estimateur  K e∞ ou pr´edic ed icte teur ur   K  p∞   :



K e∞  =  = P   P ∞ C T  C P ∞ C T  + V 





−1

K  p∞  =  = AP   AP ∞ C T  C P ∞ C T  + V 



−1

(3.37) (3.38)

Par la suite, l’impl´ementation ementation des deux filtres de Kalman Ka lman stationnaires statio nnaires estimateur   estimateur    et pr et  pr´ ´eedic d icte teur  ur    se fait comme suit : Algorithme 3 :  :   Filtre de Kalman stationnaire. 1. Initialisation Initialisation -x ¯0  est la pr´ediction edictio n initiale. initia le. -  P 0  est la covariance covariance de l’erreur de pr´ediction ediction initiale. 2. Pour chaque chaq ue instant i nstant d’´ echantillonnage echantillo nnage   k >  0  faire : Master 2. Automatique et syst`emes

– 29 –

KHEBBACHE Hicham

 

Chapitre 3. Diagnostic `a base d’observateurs

Modu odule. Diagnostic des syst`emes

—  Filtre estimateur x ˆ (k + 1 |k + 1) = A =  Aˆ xˆ (k |k ) + Bu Bu((k ) + K e∞ (y(k + 1) − C   (A (Ax ˆ (k |k ) + Bu (k)))

 



 

γ (k+1)

—   Filtre Fil tre pr´ edicteu edi cteurr xˆ (k  + 1 |k ) =  Aˆ  A x ˆ (k |k − 1 ) + Bu Bu((k ) + K  p∞ (y (k ) − C  C ˆ x ˆ (k |k − 1 ))

 



γ (k)

 

3. Fin pour. 3.4.7 3.4. 7

Applica Applicatio tion n au diagnos diagnostic tic

On consid` cons id`ere ere maintena mai ntenant nt le syst`eme eme lin´eaire eai re sto stochast chastique ique d´eefaill fa illant ant sui suivant vant :

x(k + 1) = Ax =  Ax((k ) + Bu Bu((k ) + w(k) + F xf  f ((k ) (3.39)



y (k) =  C x(k ) + v (k ) + F y f (k )

o`u  f   f ((t)  ∈

q R f 

est le vecteur de d e d´efauts. efauts . Afin de surveiller sur veiller le l e syst`eme, eme, on o n utilise util ise l’erreur l’ erreur d’estimation d’estim ation

en sortie (i.e. la s´equence equence d’innovation) comme un signal indicateur indica teur de d´efaut efaut (r´eesidu) sidu) : r(k ) =  γ (k) =  y(  y (k ) − C  C ˆ x ˆ (k |k   − 1)

(3.40)



En absence abse nce de d´efaut, efa ut, le vecteur vecte ur de r´eesidus si dus r  r((k ) suit une distribution gaussienne r gaussienne  r((k)  ∼  N  r (k ) ,



0, C P   (k ( k |k − 1 ) C T  + V   (voir propri´ propr i´et´ et´e 4 du filtre de Kalman). Kalman ). L’apparitio L’appa rition n d’un d´eefaut faut provoque un changement de la moyenne (qui devienne non nulle), de la matrice matr ice de covariance covariance ou mˆeme eme rend le r´esidu esid u nonn on-bla blanc nc (color´ (co lor´ee)) ou non-ga non -gaussi ussien. en. Cette Cet te modific mo dificati ation on peut pe ut ˆetre etr e d´eetect´ tec t´ee ee en uti utilisa lisant nt des d es algorithmes algor ithmes de d´etection etectio n de changement bas´es es sur l’analyse l’anal yse des propri´ propr i´et´ et´es es statistiques statis tiques du signal r´esidu esidu (pour (po ur plus de d´etail, etail, voir la section sectio n  6.3  du chapitre 6). La localisation localisation de d´ efauts efauts avec le filtre de Kalman est plus d´ eelicate licate par rapport aux autres approches a` base d’observateurs (Luenberger et `a entr´ ees ees inconnues). En effet, la construction d’un bancc de filtres ban filt res de d´etectio ete ction, n, d´edi´ edi´e a` chaque chaqu e d´efaut efa ut suspect´ susp ect´e, e, perme pe rmetta ttant nt de v´erifier eri fier la coh´eerence re nce des filtres filtre s avec les observations observation s r´eelles, eelles, peut r´esoudre esoudre ce probl` p robl`eme. eme. Cependant, Cepen dant, cette solution soluti on peut entraaˆıner des co entr coˆ uts u ˆt s ´elev´ el ev´es es de ca calc lcul ul..

Master 2. Automatique et syst`emes

– 30 –

KHEBBACHE Hicham

 

Chapitre 4

G´ en´ erati at ion de r´ esidus du s pa parr espace ac e de pari ar it´ e

4.1

In Intr trodu oduct ction ion

L’objectif L’ob jectif de la m´ethode etho de de diagnostic diagno stic par espace de parit´e est la v´erification erifica tion de la coh´eerence rence des mod`eles eles du proc´ed´ ed´e avec les mesures issues des capteurs et des entr´ ees ees connues. En effet, cette approche consiste `a r´ealiser ealiser une redondance analytique entre les entr´ ees ees et les sorties du syst`eme eme et cela ind´ependamment epen damment des ´etats etats du syst`eme, eme, ce qui permet perm et de comparer compa rer les information infor mationss fournies fourn ies par plusieurs plu sieurs capteurs ca pteurs avec celles cell es correspond corres pondant ant aux variables calcul´ ca lcul´ees ees `a part p artir ir des mod` mo d`eeles les dynami dyn amiques ques,, Cett C ettee ccomp ompara araiso ison n se s e ttrad raduit uit par la g´en´ en´eratio era tion n de d e var variab iables les d’´ecart eca rt appel´ app el´eees es r´eesidus. si dus. Lorsque le processus est en ´etat etat de fonctionnement normal, ces r´esidus esidus sont nuls ; leur d´eviation eviation par rapport `a la valeur z´ero, ero, indique l’apparition d’un d´efaut. efaut. Il existe deux types de relations de redondance redonda nce analytique analytique : statique   : elle repr´esente esente l’ensemble de relations alg´ebriques ebriques entre les mesures •   Redondance statique   issues des diff´erents erents capteurs. capteur s.

•   Redondance dynamique  : dynamique  : c’est l’ensemble d’´equations equati ons diff´erentielles erentiell es ou r´ecurrentes ecurre ntes entre les mesures mesu res et les entr´ees ees du syst`eme. eme.

4.2

Red Redond ondanc ance e sta statiq tique ue

Danss un syst`eme Dan eme physique physi que,, les variables varia bles mesur´ mesu r´ees ees sont g´een´ n´eralem era lement ent li´ees ees par un ensemble ens emble de relations alg´ a lg´ebriques. ebriques. L’objective L’ob jective de la redondance statique est de trouver les relations existantes entree les entr le s mesure mes uress fourn fo urnies ies par les diff´ d iff´erents ere nts capteu ca pteurs rs en e n utili ut ilisant sant le mod` m od`eele le math´ mat h´eematiq ma tique ue du d u syst` sys t`eme eme – 31 –

 

Chapitre 4. G´en´ en´ eration eration de r´esidus esidus par espace de parit´e

Module. Diagnostic des syst` emes emes

de mesure, qui s’´ecrit ecrit de la mani`ere ere suivante : y(k ) =  C  Cx x(k) + F y f  f ((k)

(4.1)

o`u   y(k)  ∈   R p est le vecteur de mesures,   C   ∈   R p  x   n est la matrice d’observation,  d’observation,   x(k)  ∈   Rn est le vecte vec teur ur d’´etat et at du syst` sys t`eme, em e,   f (k )  ∈   Rqf  est le vecteur de d´efauts, efauts, et  et   F y   ∈   R p  x   qf  est la matrice de distributio distri bution n des d´efauts efauts de capteurs. ca pteurs. Pour d´etecter ete cter la pr´esence esen ce de d´efauts efa uts,, on cherche cherch e `a ´etablir etablir des relations de redondance analytique entre les mesures  mesures   y (k ), qui sont ind´ependantes epend antes des ´etats etats inconnus   x(k ), mais qui restent sensibles au aux x d´efau ef auts ts f   f ((k). Pour ce fait, il faut que :  rang (C )  < p. Par cons´equent, equent, il est possible poss ible de d e trouver tro uver une matrice matrice de projection (de parit´ parit´ee))   W  W    de dimension ( p ( p − rang (C ) , p) orthogonale `a   C  C    (i.e. W C  = C  = 0), permettant permettant d’avoir d’avoir des relations relations ind´ ependantes ependantes en fonction fonction des mesures. mesures. En projetant l’´equation equati on de mesure dans l’espace l’espa ce de parit´e, e, c’est-`a-dire a-dire en multipliant les deux cˆot´es es de (4.1 4.1)) par W  W ,, on obtient :

qf 

r (k ) =  W y (k ) =  W C x(k) + W F y f (k ) =

V i f i (k )

(4.2)

           0

i=1

V   = =0 0

o`u   r (k ) est le vecteur vecteur de parit´ parit´e de dimension dimension   p  −  rang  rang((C )),,   V i   est le   i`eme vecteur colonne de la matrice   V  matrice V    =  W F y   =  0. La d´etection etection des d´efauts efauts de capteurs s’effectue selon la valeur du vecteur de r´eesid s idus us   r(k). En absence de d´efaut, efaut, ce vecteur est nul (i.e.  (i.e.   r(k) = 0). En cas de pr´eesence sence d’un d´efaut  f i (k ), le vecteur r vecteur  r((k ) s’oriente vers la direction de V  de  V i  corr  correspo espondant ndant au vecteur d´eefaillant. faill ant. Exemple 4.1 : Cons :  Consid´ id´erons ero ns l’´equatio equa tion n de mesure mesu re suivante suivant e :

           y1 (k )

1

0 1 0

y2 (k ) = 1 x(k) + 0 0 1

y3 (k )

On a :   p   =   q ff    = 3,  3,   C   C   = 1 1 1

1

T 

1 0 0

     f 1 (k )

f 2 (k )

f 3 (k )

et et rang  rang (C ) = 1. Donc, l’espace de parit´ parit´e est de dimension dimension

 p − rang (C ) = 2. Une matrice  matrice   W  W  p  peut eut ˆetre etre choisie en cherchant cherchant deux vecteurs orthogonaux a`   C . Parmi les solutions existantes, on choisit :

W  W    =

 

1   −1 0

Master 2. Automatique et syst`emes

0

1   −1

– 32 –

  KHEBBACHE Hicham

 

Chapitre 4. G´en´ en´ eration eration de r´esidus esidus par espace de parit´e

Module. Diagnostic des syst` emes emes

Donc, on obtient les deux r´esidus esidus ind´ependants epen dants : r1 (k ) =  y 1 (k) − y2 (k) r2 (k ) =  y 2 (k) − y3 (k) Le vecteur vecte ur de r´eesidus si dus  r(  r (k ) peut s’´ecrire ecrire encore sous la forme :

r (k) =

        r1 (k )

=

1   −1 0

r2 (k )

=

0

0

       

1   −1

1   −1

−1 0

1

0 1 0 0 0 1 1 0 0

  

f 1 (k )

   

  

f 1 (k )

f 2 (k )

f 3 (k )

f 2 (k )

f 3 (k )

ou de mˆeme, em e, 0

1

r (k) = −1 f 1 (  (k k) + 0 f 2 (  (k k) +

−1 f 3 (  (k k)

                V  1

V  2

1

V  3

L’interp L’int erpr´ r´etatio eta tion n g´eom´ eom´etrique etr ique de ces relati rel ations ons de redond red ondanc ancee anal a nalyti ytique que (RRA) (RR A) est appel´ app el´ee ee r´eesidu sid u directionnel. Ce type de r´esidu esidu est employ´ e afin d’effectuer la localisation de d´efauts. efauts. Il est con¸ccu u de fa¸con con que, en r´eponse eponse a` un d´efaut efa ut donn´ don n´e, e, le vecteur vecte ur de r´esidus esid us   r(k) soit orient´e suivant une direction direct ion bien pr´ecise ecise dans l’espace l’espac e de d e parit´ pa rit´e. e. Dans D ans cet exemple, exemple , ll’espace ’espace de parit´ p arit´e est es t un espace de dimension 2 (voir Figure 4.1 Figure  4.1). ). Le vecteur de r´esidus esidus se d´eeplacera placer a suivant une direct direction ion sp´ecifique ecifique a` chacune chac une des d´efauts efa uts..

Figure 4.1: 4.1: Le  Le r´esidu esidu directionnel directi onnel corres correspond pondant. ant. Dans le cas o` u la matrice   C   C   est de rang plein colonne (i.e.   rang (C ) =   n < p), les lignes de

Master 2. Automatique et syst`emes

– 33 –

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Chapitre 4. G´en´ en´ eration eration de r´esidus esidus par espace de parit´e

Module. Diagnostic des syst` emes emes

 forment une base de l’espace de parit´ par it´e de dimension  dimension   p − n. Une fa¸con con simple de d´eterminer etermin er la W  W  forment matric mat ricee de parit´ par it´e   W  e st de r´earran ear ranger ger l’´equati equ ation on (4.1 4.1). ). En absence de d´efaut efaut (lorsque  (lorsque   f  W    est f ((k) = 0), la relation (4.1 (4.1)) pe peut ut ˆetre etr e exprim´ expr im´eeee de la mani` man i`ere ere sui suivante vante :

               yn (k )

C n

=

x(k)

y p−n (k )

C  p−n

y¯(k)

¯ C 

(4.3)

o`u   C n   est une matrice matri ce carr´eeee inversible compos´ comp os´eeee de   n   lignes lign es ind´ependantes epen dantes de   C , et   C  p−n   est la matrice obtenue `a l’aide de de   p − n  lignes restantes de la matrice  matrice   C . Afin d’obtenir une relation ind´ependante epen dante du vecteur d’´etat etat inconnu, permettant perm ettant au mˆeme eme temps de v´erifier erifier la coh´eerence rence des mesure mes ures, s, l’´equatio equa tion n (4.3 ( 4.3)) est reformul´ refor mul´eeee de la fa¸con con suivante : y p−n (k ) =  C   pp−n C n−1  yn (k )

(4.4)

     x(k)

Ce qui conduit `a :



− C  p−n C n−1  yn (k ) + y p−n (k ) = −C  p−n C n−1   I  p−n



 

yn (k )

 

=  W   W ¯ y¯(k) =  r  r((k ) = 0

(4.5)

y p−n (k )



¯   (i.e. W  ¯  = o`u la matrice matri ce de parit´e  W   W    = −C  p−n C n−1   I  p−n ∈ R( p−n) x   p est orthogonale `a  C  (i.e.  W  C    = 0). Exemple 4.2 : Soit :  Soit l’´equation equati on de mesure suivante :

    

y (k ) =

−1

4

1

0

   

x (k )

1   −1 0 3 C 

On a : rang :  rang (C ) = 2. Supposons que la matrice   C  ne C  ne subit pas un changement d’ordre des lignes ¯   =  C  (i.e.  C   C    et y¯ (k ) =  y (k)). Donc, on obtient C  obtient  C n  =

      −1 4

 et  C  p  p−n  =

    1   −1

.

0 3 1 0 Les deux relations de redondance analytique (RRAs) sont donn´eees es comme suit :

y (k) = −C  p−n C n−1   I  p−n y (k) =

 Master 2. Automatique et syst`emes

 – 34 –

−1 3   −4 3

3

0

0   −4

 

y (k ) = 0

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Chapitre 4. G´en´ en´ eration eration de r´esidus esidus par espace de parit´e

Module. Diagnostic des syst` emes emes

ou sous la forme alg´ebrique ebrique suivante suivante : 3 y2 (k) − 4y3 (k ) = 0 −y1 (k ) + 3y 3y1 (k ) + 3y 3 y2 (k) − 4y4 (k ) = 0 Avantt l’occurrence Avan l’o ccurrence de d´efauts, efauts, ces deux relations de redondance analytique sont satisfaites (ils sont nulles), ce qui indique qu’il y a une coh´erence erence des mesures. Cette coh´eerence rence sera disparaˆ disparaˆıt et ces ce s RRAs RR As n’ont n’ ont plus pl us v´erifi´ er ifi´ees ees en pr´esenc ese ncee d’un d’ un d´efau ef aut. t. Il est `a noter que la n´ecessit´ ecessit´e d’avoir le nombre des ´eetats tats inf´erieur erieur au nombre des mesures du syst` sy st`eeme m e (i (i.e .e..  n < p), rend la redondance statique un peu restreinte. Afin de relaxer cette contrainte, on prend en consid´eration eratio n la l a dynamiq d ynamique ue du syst`eme, eme, c’est-`a-dire, a-dire , l’´evolution evolutio n temporelle temp orelle des mesures mesu res et des entr´ ees ees de commande. Donc, on parle de la redondance dynamique (ou temporelle).

4.3

Red Redond ondanc ance e dyn dynami amique que

La redondance dynamique est une extension de la redondance statique dans le cas d’utilisation d’un d’u n mod` mo d`ele ele dynami dyn amique que du syst`eme eme ´etudi´ etu di´e. e. L’id´eeee ici est de trouver tro uver des relati rel ations ons entre entr e les l es mesures mesu res fournies fourn ies par les diff´erents erents capteurs capteu rs et les entr´ees ees du syst`eme eme aux diff´erents erents instants (voir Figure 4.2). ). Consid´ Con sid´erons ero ns le syst`eme eme lin´eaire eai re discre dis crett d´efaill efa illant ant suivant : 4.2

 

x(k + 1) = Ax =  Ax((k ) + Bu Bu((k ) + F x f  f ((k)

(4.6)

y (k ) =  C x(k ) + F y f (k )

o`u   x(k)   ∈   Rn ,   y(k )   ∈   R p et et   u(k)   ∈   Rm et et   f (t)   ∈   Rqf  sont, respectivement, les vecteurs : d’´etat, etat, de mesures, mesures , d’entr´ees ees de commande, comman de, et de d´efauts efauts ;   F x  ∈   Rn  x  q f  est la matrice de distribution des d´efauts efaut s d’actionneur d’act ionneurs. s. L’objectif L’ob jectif est de construire constr uire un g´een´ n´erateur erateu r de r´esidus esidus capable capabl e d’effect d’effectuer, uer, a` la fois, la d´etection etection et la localisation des d´efauts efauts de capteurs et/ou d’actionneurs.

Figure 4.2: G´ 4.2:  G´een´ n´erat er atio ion n de r´esid es idus us a` l’aide l ’aide de l’espac l ’espacee de parit´e. e.

Master 2. Automatique et syst`emes

– 35 –

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Chapitre 4. G´en´ en´ eration eration de r´esidus esidus par espace de parit´e

Module. Diagnostic des syst` emes emes

Consid´ Con sid´erons ero ns une fenˆetre etr e tempo tem porel relle le [k, k + l[ de taille   l, pour laquelle laquel le l’´etat etat   x(k  +  + l pe ut ˆetre etr e  l)) peut exprim´ exp rim´e en foncti fon ction on de l’´etat eta t a` l’instant k l’instant  k (i.e.  (i.e. x varia bless d’entr´ d’ entr´ees ees connu c onnues, es, et des d es d´efauts efa uts  x((k)), des variable ´eventuels eventu els aux instant ins tantss   k   `a  k +  k  + l − 1 (i.e. u (i.e.  u((k ) jusqu’`a  u  u((k + l − 1) et f  et  f ((k ) jusqu’`a  f   f ((k + l − 1)) de la mani` man i`ere ere suivante suivant e : l

l l−i

l

x(k + l) =  A x(k) +

 i=1

A

l−i

Bu((k + i − 1) + Bu

 i=1

A

F x f  f ((k + i − 1)

(4.7)

Par cons´equent, equent, le vecteur de mesures sur cette fenˆeetre tre d’observation (i.e.  (i.e.   y (k ) jusqu’`a   y (k  +  + l  l)) )) peut s’´ecrire ecrire sous la forme matricielle compacte suivante suivante : y (k, k  + l) =  H o (  (ll) x(k) + H u (  (ll) u(k, k + l) + H f   (ll) f (k, k + l) f  (

  

y(k ) y(k + 1)

  

      

u(k ) u(k + 1)

  

  

f (k )

f  f ((k + 1)

  

(4.8)

  

C  CA

  

 f ((k, k + l) = f   u (k, k + l) = u(k + 2) ,  f  avec y avec  y((k, k + l) = y(k + 2) ,  u( f ((k + 2) ,  H o (l) = C A2 ,

H u (l) =

   

0

. y (k + l)

CB C AB .. .

0  

 

0

 

···   0

0

 

···   0

0

CB   ...  

0 ...   . . .

. u(k + l)

et et H   H ff  (l) =

   

F y

 

C F x

 

C AF x .. .

   

. f (k  + l) 0

 

F y

 

···   0 ···   0

. C Al 0 0

.

C F x   F y   ... ...   . . .

C Al−1 F x   C Al−2 F x   · · ·   C F x   F y

C Al−1 B C Al−2 B   · · ·   C B   0

   

Le vecteur de r´esidus esidus peut ˆetre etre exprim´e en fonction fonct ion des entr´ees ees et des sorties sortie s du syst`eme eme selon la relation suivante :





r (k, k + l) =  W  y(k, k + l) − H u (  (ll) u(k, k + l) =  W H f   (ll) f  f ((k, k + l) f  (

(4.9)

o`u   W  W    repr´ r epr´esente esente la matrice matri ce de parit´e, e, qui doit ˆetre etre orthogonal ortho gonalee a`   H o (l) (i.e.  (i.e.   W H o (  (ll) = 0). Afin d’assurer d’assu rer la d´etection etectio n de d e d´efauts, efauts , il faut que la condition condit ion :  W H f   (ll)   = 0 soit satisfaite. f  ( On distingue deux types de r´esidus esidus correspondant corresp ondant chacun a` une redondance analytique particuli`ere ere : l’auto-redondance et l’inter-redondance. 4.3.1 4.3. 1

Auto-re Auto-redon dondan dance ce

L’´ecritu ecr iture re de l’´equatio equa tion n (4.9) 4.9) pour chaqu chaquee capteu capteurr permet permet l’o l’obte btent ntion ion des relatio relations ns d’auto d’auto-redondance. redonda nce. En effet, pour un capteur capteur donn´ donn´e, e, on ne conserve conserve que les relations relations ind´ ependantes ependantes Master 2. Automatique et syst`emes

– 36 –

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Chapitre 4. G´en´ en´ eration eration de r´esidus esidus par espace de parit´e

Module. Diagnostic des syst` emes emes

permettant d’exprimer une partie de l’´etat. etat. Pour j Pour  j  variant de 1 `a  p (4.9)) peut pe ut s’´ecrire ecr ire :  p,, la relation (4.9 y j (k, k + l j ) =  H oj  (  (ll j ) x(k) + H uj  (  (ll j ) u(k, k + l j ) + H f   (ll j ) f  f ((k, k + l j ) fj   (

avec H  avec  H oj (l j ) =

  

C  j C  j A

C  j A2 ,  H uj (l j ) = .. .

C  j Alj

et H  et  H ff j  (l j ) =

   

  

F y

  

0 C  j B

 

C  j AB .. .

 

  

0

 

···   0

0

0

 

···   0

0

C  j B     ...

(4.10)

0 ...   . . .

C  j Alj −1 B C  j Alj −2 B   · · ·   C  j B   0

 

0

C  j F x

 

F y

C  j AF x .. .

   

 

···   0

0

 

···   0

0

   

.

C  j F x   F y   ...   . . . ...

C  j Alj −1 F x   C  j Alj −2 F x   · · ·   C  j F x   F y

o`u   C  j   re repr´ pr´esente ese nte la   j `eme ligne de la matrice   C , qui corresponde au capteur   j . Soit   n j   l’indice d’observabilit´ d’obse rvabilit´e de la paire (A, C  j ), alors la fenˆetre etre temporelle pour chaque capteur j capteur  j   comporte n comporte  n j   = l j  + 1 lignes. En effet, la matrice   H oj (n j  − 1)

T 

=



C  jT   

T 

(C  j A)

  

T  C  A2  j

···





nj −1 T 

C  j A

T 

,

dite matrice matri ce d’observabilit´ d’obser vabilit´e r´eduite eduite (relative (rela tive au au   j `eme capteur) est de dimension (n (n j , n) et de rang maximum   n j . Les colonnes de cette matrice d´efinissent maximum efinissent l’espace d’observabilit´ d’observabilit´e du capteur   j . La somme des espaces d’observabilit´ d’obse rvabilit´e associ´ asso ci´es es a` chacun des capteurs (i.e. de 1 a`   p) d´efinit efin it l’e l’espac spacee d’observabilit´ d’obse rvabilit´e du syst`eme. eme. Afin d’avoir de la redondance, redond ance, une ligne suppl´ementaire ementaire est a jout´eeee a`  (n con que : n j  − 1) de fa¸con H oj  ( y j (k, k + n j ) =  H oj  (  (n n j ) x(k) + H uj  (  (n n j ) u(k, k + n j ) + H f   (n n j ) f  f ((k, k + n j ) fj   (

(4.11)

L’id´ee ee donc est de trouver un vecteur ligne  W   jj  qui satisfait les deux conditions suivantes : W  j H oj  (  (n n j ) = 0,   et et W   W  j j H f   (n n j )   =0 fj   (

(4.12)

Donc, la relation d’auto-redondance peut s’´ecrire ecrire comme suit :





r j (k ) =  W  j y (k, k + n j ) − H uj  (  (n n j ) u(k, k + n j ) =  W  j j H f   (n n j ) f (k, k + n j ) fj   (

(4.13)

etat inconnu Notons que l’´equation equati on d’auto-re d’a uto-redonda dondance nce (4.13 ( 4.13)) est obtenue sans avoir besoin de l’´etat x(k). La d´etectio ete ction n de d e d´efaut efa ut se fait fai t selon selo n la valeur du r´esidu esid u  r j (k ). Cette valeur est ´egale egale a` z´ero er o (au (a u bruit bru it de mesure mesu re pr´es) es) en ´etat eta t de foncti fon ctionn onnement ement normal nor mal (sans (sa ns d´efaut) efa ut),, et diff´erent ere nt de z´eero ro apr`es es Master 2. Automatique et syst`emes

– 37 –

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Chapitre 4. G´en´ en´ eration eration de r´esidus esidus par espace de parit´e

Module. Diagnostic des syst` emes emes

l’apparitio l’appa rition n d’un d´efaut. efaut . 4.3.2 4.3. 2

In Inter ter-re -redon dondan dance ce

Danss ce cas, Dan cas, la forme forme de calcul calcul des r´ esidus esidus se fait en rel relian iantt les informa information tionss prove provenan nantt de plusieurs capteurs. Les relations d’inter-redondance sont obtenues donc en consid´ erant erant les   n j   ( j varie de 1 `a  p  p)) relations ind´ ependantes ependantes qui corresponds a` (4.10), 4.10), c.-`a-d. a-d. :

   

y1 (k, k + n1  − 1) .. .

   

   

H o (n1  − 1) .. .

   

   

         

   

H u (n1  − 1) .. .

u(k, k  + n1 − 1) .. .

y j (k, k + n j  − 1) = H oj (n j  − 1) x(k) + H uj (n j  − 1) .. .. .. . . .

u(k, k + n j  − 1) .. .

y p (k, k + n p − 1)

u(k, k  + n p − 1)

1

H op (n p − 1)

  

H ff   (n1  − 1) .. . 1

+ H ff j  (n j  − 1) .. . H ff p  (n p − 1)

1

H up (n p − 1)

    

f (k, k + n1  − 1) .. . f (k, k + n j  − 1) .. .

(4.14)

f (k, k  + n p − 1)

 p

Le syst` sy st`eme em e r´eesul s ulta tant nt (4.14 4.14)) se compose de N  de  N    relations relati ons ind´ependantes, epen dantes, avec N  avec N    =



n j . Pour un

 j =1

vecteur d’´etat etat de dimension dimensi on n  n,, on peut trouver N  trouver  N  − n  relatio  relations ns d’inter-red d’ inter-redondan ondance ce in ind´ d´eependantes. pen dantes. Ces relations sont obtenues par ´elimination elimination du vecteur d’´etat. etat. Cela revient a` chercher une matrice  qui v´erifie erifie les conditions condit ions suivantes : W  W  qui H o (n1  − 1) .. . 1

  

H f  f  (n1  − 1) .. . 1

  

  

  

=0 et W   W  H f  W  H oj (n j  − 1) = 0,   et fj  (n j  − 1)  .. .. . . H op (n p − 1)

Master 2. Automatique et syst`emes

H f  fp   (n p  − 1)

– 38 –

(4.15)

KHEBBACHE Hicham

 

Chapitre 4. G´en´ en´ eration eration de r´esidus esidus par espace de parit´e

Module. Diagnostic des syst` emes emes

Donc, les relations relati ons d’inter-redonda d’inter-r edondance nce peuvent p euvent ˆetre etre ´ecrites ecrite s comme co mme suit :

r(k) =  W 

      

  

y1 (k, k  + n1 − 1) .. .

  

H u (n1  − 1) .. . 1

    

y j (k, k  + n j  − 1) − H uj (n j  − 1) .. .. . . y p (k, k  + n p − 1) H up (n p − 1)

H ff   (n1  − 1) .. . 1

=  W  H ff j  (n j  − 1) .. .

      

H ff p  (n p − 1)

Master 2. Automatique et syst`emes

   

f (k, k  + n1 − 1) .. . f (k, k + n j  − 1) .. .

u(k, k + n1  − 1) .. .

u(k, k  + n j  − 1) .. . u(k, k + n p − 1)

  

(4.16)

f  f ((k, k  + n p − 1)

– 39 –

KHEBBACHE Hicham

 

Chapitre 5

Diagnost Diag nostic ic par identi identificat fication ion para param´ m´ e etrique trique

5.1

In Intr trodu oduct ction ion

Contrairement aux approches de diagnostic `a base observateurs et par espace de parit´e, e, d´ej` ej`a ´etudi´ etudi´ees ees aux chapitres chapitre s 3 et 4, qui sont bien adapt´ees ees pour les d´eefauts fauts de capteurs capteu rs et d’actionneur d’acti onneurs, s, la m´ethode etho de de diagnostic diagno stic par estimation estima tion param´etrique etrique est mieux adapt´eeee pour les d´eefauts faut s internes du proc´ pro c´ed´ ed´e ((ou ou d´efauts efa uts compo com posant sants). s). L’id´ee ee princi pri ncipal palee de d e cette ce tte appro app roche che eest st qu’un qu’u n d´eefaut fa ut se ttrad raduit uit par la variation d’un (ou plusieurs) param`etre(s) etre(s) caract´eristique(s) eristique(s) du syst` eme, eme, constituant ainsi la signature de ce d´efaut. efaut. En effet, le diagnostic de d´efauts efauts revient `a r´ealiser ealiser une estimation des param`etres etres d’un mod`ele ele de fonctionneme foncti onnement nt normal, no rmal, dont la simple variation param´etrique etriqu e est es t une u ne ind icatio indica tion n de d e llaa pr´ p r´esence ese nce d’un d’u n d´efaut. efa ut. Le suivi suiv i de d e l’´ l ’´evoluti evol ution on de ses param` par am`etres etr es caract´ car act´eristi eri stiques ques est donc un excellent moyen pour r´ealiser ealiser sa surveillance. Cette m´ethode ethode repose essentiellement essentiellement sur deux de ux ´eel´ l ´emen em ents ts : ele d’observation d’obser vation (mod` (mo d`ele ele de connaissance connai ssance ou de repr´esentation esentati on en vue de l’es•   avoir un mod`ele timation timati on param´etrique) etriqu e) avec une structure struct ure donn´eee. e.

•   avoir dans da ns la mesure les relations relat ions reliant les param`etres etres du mod` m od`eele le aux param`etres etres physiques.

5.2

Principe de diagnostic par estimation param param´ ´ e etrique trique

Le diagnostic a` base de l’estimati l’es timation on param´ par am´etrique etriqu e repose rep ose sur le principe prin cipe selon lequel l equel les l es d´efauts efauts du syst` sy st`eme em e peu euven ventt ˆetre et re asso as soci ci´´es es `a de dess pa para ram` m`eetre t ress sp´eecifi c ifique quess du mod` mo d`ele el e math´ ma th´eemat m atiq ique ue d’un d’ un syst` sys t`eme eme

– 40 –

 

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Module. Module. Diagnos Diagnostic tic des syst` syst` emes emes

donn´ don n´e g´en´ en´eralem era lement ent par la relati rel ation on entr´ee-sort ee-s ortie ie suivante suivant e : y (t) =  H   (x (x (t) , u (t) , e (t) , θ)

(5.1)

o`u   y(t), ),   x(t), ),   u(t), ),   e(t) et et   θ   repr´esentent, esentent, respectivement, resp ectivement, le vecteur de sorties, sorti es, le vecteur d’´etat, etat, le vecteur vect eur d’entr´ees, ees, les bruits b ruits et les l es erreurs er reurs de mod´ mo d´elisation, elisat ion, et les le s param` pa ram`etres etres non mesurables mesura bles du syst`eme, eme, qui sont suscepti s usceptibles bles de changer. cha nger. Donc, il est ´evident evident qu’il faut avoir un u n mod` mo d`eele le dynamique dynami que pr´ecis ecis du syst`eme eme afin d’appl d’a pplique iquerr les l es algo a lgorit rithmes hmes d’esti d’e stimat mation ion param´ par am´etrique etr ique.. Un U n syst` s yst`eme eme peut pe ut ˆetre etr e repr´ rep r´esent´ esent´e dans d ans le domain dom ainee ttemp empore orell via v ia un mod` mo d`ele ele cont continu inu sous sou s fform ormee des d es ´equatio equa tions ns diff´erentie ere ntielles lles,, ou via un mod`ele ele discret en utilisant utilisa nt des ´equations equatio ns aux diff´erences. erences . Les param`etres etres du mod`eele le   θi sont exprim´eess en fonction des coefficients physiques du syst` eme  eme   pi , dont les changements de ces coefficients indiquent l’existence d’un d´efaut efaut dans les composants de celui-ci. Par cons´eequent, quent, ces param`etres etres (analytiques (anal ytiques   θi   et physiques   pi ) doivent ˆetre etre estim´ es. es. Dans ce cas, il faut avoir des grandeurs grand eurs (entr´ees/sorties) ees/sor ties) mesurables mesura bles qui permettent per mettent d’estimer d’estim er les diff´erents erents param`etres. etres. Prenons Prenon s par exemple le mod`ele ele dynamique dynami que lin´eaire eaire suivant : y (t) + a1 ˙y (t) + · · · + an y(n) (t) =  b0 u(t) + b1 ˙u(t) + · · · + bm u(m) (t) Le Less pa para ram` m`etre et ress du mod` mo d`eele, le ,



. θ  = a1 · · · an ..b0 · · · bm



(5.2)

T 

(5.3)

repr´ rep r´esent´ esent´eess par le vecteur vecte ur   θ, sont d´ efinis efinis comme des relations relations de plusieurs plusieurs coefficients coefficients physiques physiques du syst`eme eme (i.e. (i. e.   θ   =   h ( p)),  p)), par exemple : longueur, masse, vitesse, coefficient de traˆ traˆın´ee, ee, viscosit´e, e, r´esistances, esistan ces, capacit´ capaci t´es...etc. es...et c. Les d´efauts efaut s qui deviennent devienn ent visibles visible s dans ces constantes consta ntes physiques, peuvent pe uvent ˆetre etr e ´egalem ega lement ent exprim´ expr im´es es dans dan s les param` par am`etres etr es du mod` mo d`eele le de pro process cessus. us. Si les param` par am`etres etr es physiques physi ques du syst`eme eme   p, indicatifs de d´efauts, efauts, ne sont pas directement mesurables, une tentative peut ˆetre etre faite pour d´etecter etecte r leurs changements via les changements dans les param`etres etres du mod`eele le θ. G´en´ en´eralem era lement, ent, la proc´ pro c´edure edu re de diagno dia gnosti sticc via vi a l’est l ’estima imatio tion n param´ pa ram´etrique etr ique s’effect s’eff ectue ue selo s elon n lles es ´etape eta pess suivantes : ´ blissem 1.   Eta Etabli ssement ent d’un d’u n mod` m od`ele ele math´ mat h´ematiq ema tique ue du syst`eme eme en ´eetat ta t de d e fonc f onctio tionne nnement ment normal nor mal,, y (t) =  H   (u (u (t) , θ)

(5.4)

etres physiques 2. D´eeterminatio termi nation n de la relation relat ion entre les param`etres etres du mod`eele le   θi  et les param`etres du syst` sy st`eme em e  p i ,  = h θ  =  h ( p  p)) Master 2. Automatique et syst`emes

– 41 –

(5.5) KHEBBACHE Hicham

 

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ainsi que la relation relation inverse inverse correspondan correspondante, te,  p =  p  = h  h −1 (θ )

(5.6)

3. Estimation Estima tion des param`etres etres du mod`eele le   θi   en utilisant les mesures de   y(t) et   u(t) par une proc´ pro c´edure edur e d’est d ’estima imatio tion n appr a ppropr opri´ i´eeee (m´ethod eth odee des d es moindr moi ndres es carr´ car r´es es par exemple exem ple), ), θˆ (t) =  g (y (1) ,...,y (t) , u (1) ,...,u (t))

(5.7)

4. Calcul des param` p aram`etres etres physiques estim´es es via vi a la relation relati on inverse, i nverse,  pˆ (t) =  h

−1

  θˆ (t)

 

(5.8)

5. D´eetermination termination des variations des coefficients physiques ∆ pi   =  pˆi  −  p i   par rapport aux param`etres etr es nomina nom inaux ux p  p i  en utilisant les relations inverses (5.6 (5.6)) et (5.8 (5.8). ). 6. D´eetecti te ction on de d´efauts efa uts a` l’aide des m´ethodes etho des statistiques statis tiques de d´ecision. ecision . 7. Localisati Loca lisation on de d´efauts. efaut s. Cet algorithme algor ithme de diagnostic diagno stic peut ˆetre etre r´esum´ esum´e dans la Figure Figur e  5.1.  5.1 .

Figure 5.1: 5.1: M´  M´ethodolog etho dologie ie de diagnostic diagno stic via l’estimation l’esti mation param´etrique etrique en utilisant utilis ant un mod`ele ele analytique.

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Cependant, cette m´ethodologie ethodologie exige l’existence des relations inverses (5.6 (5.6)) et (5.8 (5.8), ), ce qui la rendre applicable `a une classe limit´eeee des syst`emes emes dynamiques. dynami ques.

5.3 5.3.1

Identi Identifiabi fiabilit´ lit´e et is isolab olabili ilit´ t´ e des p param` aram`e etres tre s physi physiques ques Identifiabilit´ e

Afin de fixer l’id´ l’i d´eeee d’identi d’id entifiab fiabili ilit´ t´e, e, on consid` con sid`ere ere un exemple exem ple tr`es es simple sim ple repr´ rep r´esent´ esent´e par un circui cir cuitt ´electr ele ctriqu iquee RC s´erie eri e (voir Figure Fig ure  5.2  5.2)) :

Figure 5.2: Ci 5.2:  Circ rcui uitt ´elect el ectri rique que RC s´erie er ie.. Supposons que la capacit´e est n’est pas charg´ ee ee initialement, donc, les ´eequations quations physiques correspondant sont donn´ees ees comme suit : u (t) =  Ri (t) + s (t) i (t) =  C 

(5.9)

ds (t) dt

 

(5.10)

, a1  =  RC   RC    et b et  b0   = 1

(5.11)

A partir de (5.9 (5.9)) et (5.10 (5.10), ), on obtient :

a1

a1

ds (t)   + s (t) =  b0 u (t)  ⇒  s (t) = − dsdt(t)   u(t) dt

b0

                            U 

θ

a1

di (t) du (t)   + i (t) =  b1   ⇒  i (t) = − didt(t) dt dt

du(t) dt

a1 b1

a1  =  RC   RC    et b et  b1  =  = C   C 

 

(5.12)

U 

θ

Le choix ch oix des variable varia bless entr´ ent r´ee-sort ee-s ortie ie mesu m esur´ r´ees ees (u (t) , s (t)) permet de conduire a` la relation (5.11 (5.11), ), qui lie un vecteur de param`etres etres physiques  physiques   p   = R C 

T 

avec un seul param`etre etre analytique  analytique   a1 .

Donc, il est impossible de calculer les deux grandeurs physiques R physiques  R et  et C   C  `  `a p partir artir d’un seul param`etre etre a1 . Mainte Ma intenant nant,, en consid´ con sid´erant era nt le couple cou ple entr´ee-sort ee-s ortie ie (u ( u (t) , i (t)), on a : θ :  θ1  =  = a  a1  =  = RC   RC   et θ et  θ2  =  = b  b1  = et   C   =  θ 2 . Ce qui C . Alors, grˆace ace `a (5.12), 5.12), il est possible d’estimer les deux grandeurs   R  =  θ 1 /θ2   et  expliquee q expliqu que ue le choix des variables entr´ees-sorties ees-sor ties est donc d´eeterminant termin ant pour garantir garanti r l’identifiabilit´ l’identifi abilit´e Master 2. Automatique et syst`emes

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des param`etres etres physiques. La question la plus importante dans da ns ce choix est de savoir quels sont les param`etres etres physiques calculables a` partir parti r des param`etres etres analytiques. analy tiques. Cependant, Cepe ndant, le manque d’une m´ethode etho de g´en´ en´erale erale limite lim ite la r´esoluti esol ution on de ce probl` pro bl`eme. eme.

5.3.2 5.3. 2

Localisat Localisation ion logique logique

La localisa lo calisation tion de d´efauts efaut s n’exige n’exi ge pas la connaissa con naissance nce de la valeur exacte du param` par am`etre etre physique. p hysique. Elle importe simplement de savoir quel est le param`etre etre physique d´efaillant. efaillant. On O n n’a pas besoin de chercher les relations inverses (5.6 (5.6)) et (5.8 (5.8). ). Cette approche a pproche de localisation lo calisation repose sur l’hypoth`ese ese (r´ealiste) ealist e) que plusieurs plusieu rs d´efauts efaut s ne se produisent pro duisent pas en mˆeme eme temps. Pour cela, on emploi les relations reliant les param`etres etres analytiques aux param`etres etres physiques. La structure du d´efaut efaut en termes de param`etres etres analytiques permet une reconnaissance logique du pa para ram` m`eetre t re physiq phy sique ue d´ d ´efai ef ailla llant. nt. Afin d’illustrer cette approche, on consid`ere ere l’exemple du circuit RLC s´ erie erie (voir Figure 5.3 Figure  5.3)) :

Figure 5.3:  5.3:   Circu Cir cuit it ´elect el ectri rique que RLC s´erie er ie.. La relation qui lie la tension du condensateur  s  s((t) a` la tension globale u globale  u((t) est la suivante : a1 2 a2 d s 2(t)  + a1 ds (t)  + s (t) =  b0 u (t)  ⇒  s (t) = − dsdt(t)   − d s(t)   u(t) dt dt dt

  

2

2

 U 

          a2

(5.13)

b0 θ

5.13)) fait apparaˆıtre ıtre trois param`etres etres physiques o`u   a1   =   RC ,   a2   =   LC   LC   et   b0   = 1. La relation ((5.13  p1  =  = R  R,,  p 2  =  = L  L et  et p  p 3  = C   =  C ,, et deux param`etres etres analytiques analy tiques :  θ 1  =  = RC   RC    et θ et  θ 2  =  = LC   LC .. Donc, la relation (5.5 5.5)) n’est pas inversible par rapport aux param` para m` etres etres physiques (i.e. la relation relatio n inverse (5.6 ( 5.6)) n’existe pas dans ce cas). Le tableau d’incidence de la structure peut s’´ ecrire ecrire sous la forme : θ1   R 1 θ2   0 Master 2. Automatique et syst`emes

L 0 1

– 44 –

C  1 1 KHEBBACHE Hicham

 

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Les colonnes co lonnes de ce tableau table au forment fo rment les l es signatur sig natures es th´eoriques eoriqu es des de s d´efauts efaut s physiques. physiqu es. Tant qu’elles qu’el les p ourront ront ˆetre etr e local lo calis´ is´es es a` partir des sont diff´erentes, erentes, les ´ecarts ecarts sur les param`etres etres physiques ∆ pi   pour ´ecarts eca rts consta con stat´ t´eess sur les param` par am`etres etr es analyti ana lytique quess ∆θi . Dans le cas o` u les diff´erentes erentes signatures signat ures par rapport rapp ort aux d´eefauts faut s ssur ur les param`etres etres physiques sont distinctes (comme dans cet exemple), on parlera alors d’une identifiabilit´ e structurelle.

5.4 5.4.1 5.4. 1

Algorithmes d’estimation p param´ aram´ e etrique trique M´ ethode etho de des moindres moind res carr´es es r´ ecursifs ecurs ifs (MCR)

La plupart plupar t des sch´emas emas de diagnostic diagno stic via l’estimation l’estim ation param´etrique etriqu e utilise u tilisent nt les le s m´ethodes etho des des moind mo indre ress ccar arr´ r´ees. s . Mo M o d´eliso eli sons ns le syst` sy st`eeme m e (5.1 ( 5.1)) sous la forme :

 

 

y (k) =  G z −1 ; θ u (k) + H  z −1 ; θ e (k )

(5.14)

o`u   y(t)  ∈   R p ,   u(t)  ∈   Rm ,   e(k) est un bruit blanc avec une moyenne nulle et une covariance   R(θ),

   

G z −1 ; θ  et  H  z −1 ; θ  sont des filtres avec des dimensions appropri´ees, z s,  z −1 repr re pr´´eesent s entee l’op l’ op´´erat er ateu eurr de d´ecala eca lage ge vers ver s l’a l ’arr rri` i`ere er e :  z −1 [u(k)] =  u(  u (k − 1) et θ et  θ  ∈

n R

est le vecteur vecte ur des param` par am`etres etr es du mod` mo d`ele. ele.

L’´equa eq uati tion on (5.14 5.14)) d´ecrit ecr it un mod` mo d`ele el e lin´ li n´eeair a iree g´en´ en´eral er al,, qui pa parr un cho choix ix appr ap prop opri´ ri´e des matr ma tric ices es G  G,, ele peut ˆetre etre mis en formes plus famili`eres. eres. Un mod`ele ele ARMAX par am`etres etr es   θi , ce mod`ele H  H    et des param` (auto(au to-r´ r´egressi egr essive ve a` moyenne moyenn e a just´ jus t´eeee avec entr´ee ee exog` exo g`ene) ene ) est obtenu obt enu si :

       

G z −1 ; θ =

  C  z −1   B z −1 −1 , R (θ) =  λ 2 , H  z ; θ = − 1 − 1 A (z ) A (z )

avec, A z −1 = 1 + a1 z −1 + · · · + an z −nA B

    z −1

A

=  b1

z −1

+ · · · + bnB

z −nB

C  z −1 = 1 + c1 z −1 + · · · + cnC z −nC  Le vecteur de param`etres etres est choisi comme suit :



θ  = a1 · · · anA   b1 · · · bnB   c1 · · · cnC 



T 

(5.15)

Le mod`ele ele ARMAX se donne de la mani`ere ere suivante : A z −1 y (k ) =  B z −1 u (k) + C  z −1 e (k)

  Master 2. Automatique et syst`emes

  – 45 –

(5.16)

  KHEBBACHE Hicham

 

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Module. Module. Diagnos Diagnostic tic des syst` syst` emes emes

ou sous forme d’´equations equati ons aux diff´erences erences : y (k ) + a1 y (k − 1) + · · · + anA y (k − nA ) =b1 u (k − 1) + · · · + bnB y (k − nB )

(5.17)

+ e (k) + c1 e (k − 1) + · · · + cnC  e (k − nC ) o`u  y (k) et et   u(k ) sont des signaux scalaires. Si en plus  plus   nC   = 0, un mod`ele ele ARX (auto-r´ (auto -r´egressive egress ive avec entr´eeee exog`ene) ene) est obtenu sous la forme :

 

 

A z −1 y (k ) =  B z −1 u (k) + e (k)

(5.18)

Cette Cet te str struct ucture ure peut pe ut ˆetre etr e consid´ con sid´er´ er´ee ee comme com me une r´egressi egr ession on lin´eaire. eai re. En effet, effe t, le mod` mo d`ele ele (5.18) 5.18) peut ˆetre et re re refo formu rmul´ l´e de la mani` ma ni`ere er e su suivant ivantee : y (k ) =  φ T  (k) θ + e (k)

(5.19)

avec,



θ  = a1 · · · anA   b1 · · · bnB et,





T 

(5.20)



T 

φ(k) = −y(k − 1) · · · − y(k − nA )  u  u((k − 1) · · · u(k − nB )

   

(5.21)

ele ARMA (auto-r´ (auto -r´egressive egress ive a` moyenne Ainsi, dans le cas o` u   nB  = 0 (i.e.  (i.e.   B z −1  = 0), un mod`ele a just´ee) ee) est obtenu par :

 

A z −1 y (k ) =  C  z −1 e (k)

(5.22)

5.19)) avec, ou encore sous la forme de la r´egression egressi on lin´eaire eaire (5.19



θ  = a1 · · · anA   c1 · · · cnC 



T 

(5.23)

et,



φ(k ) = −y (k − 1) · · · − y (k − nA )  e  e((k − 1) · · · e(k − nC )



T 

(5.24)

Remarque 5.1.   Il est important impo rtant de noter que le mod`ele ele lin´eaire eaire stochastique stocha stique d´efini efini par (3.24) 3.24) :

n o`u   w (k )  ∈   R

 

 p et  et   v (k)  ∈   R

x(k + 1) = A =  A (θ) x(k ) + B (θ) u(k ) + w (k) y (k ) =  C   (θ (θ) x(k ) + v (k )

sont des bruits blancs centr´ eess avec de matrices de covariance covariance   W  W    et  et   V 

Master 2. Automatique et syst`emes

– 46 –

KHEBBACHE Hicham

 

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Module. Module. Diagnos Diagnostic tic des syst` syst` emes emes

d´efinis, efinis, respectivement, resp ectivement, par (3.26)-( 3.26)-(3.27 3.27)) :



T 

E  w (k ) w(i)





T 

=  W δ kk,i,i , E  v (k ) v (i)





T 

=  V δ kk,i,i  et  et E   E  w (k ) v (i)



=0

p eut ˆeetre t re tr tran ansf sfor orm´ m´e sous so us la fo form rmee g´en´ en´eral er alee (5.14 5.14), ), si les conditions suivantes sont satisfaites :

   

G z −1 ; θ =  C   (θ (θ) [zI   − − A (θ )]−1 B (θ) H  z −1 ; θ =  I  +  + C   (θ (θ ) [zI  −  − A (θ)]−1 K   (θ (θ ) R (θ) =  C   (θ (θ) P   (θ ( θ) C T  (θ) + V 

o`u  K   (θ (θ) rrepr´ epr´esente esente le gain g ain de Kalman K alman,,



K (θ) =  A(  A(θ )P  P ((θ)C T (θ) C (θ)P ( P (θ)C T (θ) + V 



−1

et P  et  P  (  (θθ) est une matrice d´efinie efinie positive solution de l’´equation equation de Ricatti,

 

P  P ((θ) =  A  A((θ)P  P ((θ)AT (θ) − A(θ )P  P ((θ)C T (θ) C (θ)P ( P (θ)C T (θ) + V 

 

K (θ )

−1

  

C (θ)P ( P (θ)AT (θ) + W 

Consid´ Con sid´erons ero ns maintena mai ntenant nt le mod` mo d`ele ele ARMA ARM A donn´ don n´e par (5.19) 5.19) et (5.23 (5.23)-( )-(5.24 5.24)) (ou le mod`ele ele ARX 5.21)), )), l’estimation du vecteur de param`etres etres au sens des moindres carr´eess (MC) do donn´ nn´e pa parr (5.20)-( 5.20)-(5.21 se donne sous la forme :





θˆ (k) = ΦT  (k ) Φ (k )  k T 

=

T 

T 



o`u Φ( Φ(k k ) = φ (1) · · · φ (k )

T 

ΦT  (k ) Y   (k ) −1

 

 k

φ (i) φ (i)





i=1



, et et Y   Y ((k) = y(1) · · · y(k )

(5.25)

φ (i) y (i)

  

i=1



−1

T 

.

5.25)) peut p eut ˆetre etr e ccalc alcul´ ul´eeee d’une d’u ne mani` man i`ere ere r´ecursive. ecur sive. Introd Intr oduis uisons ons la notati not ation on sui suivante vante : L’expression ((5.25



−1

 k

P   (k ( k) =



φ (i) φT  (i)

i=1

(5.26)

et utilisant le fait que : P −1 (k) =  P −1 (k − 1) + φ (k ) φT  (k )

Master 2. Automatique et syst`emes

– 47 –

(5.27)

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Chapit Cha pitre re 5. Diagnos Diagnostic tic par ident identific ificati ation on param´ param´ etriqu etriquee Il vient :

 



k−1

θˆ (k ) =  P   (k ( k)

φ (i) y (i)

i=1

−1

=  P   (k ( k) P 

Module. Module. Diagnos Diagnostic tic des syst` syst` emes emes



+ φ (k ) y (k )



(5.28)

(k − 1) ˆ θ (k − 1) + φ (k) y (k )

=  θˆ (k − 1) + P   (k ( k) φ (k ) y (k ) − φT  (k ) ˆ θ (k − 1) ou encore,





θˆ (k ) =  θˆ (k − 1) + K   (k (k ) ε (k )

(5.29a)

K   (k (k ) =  P   (k ( k) φ (k )



(5.29b)



ε (k ) = y (k) − φ (k) ˆ θ (k − 1) T 

 

(5.29c)

Le terme   ε(k) est interpr´et´ et´e comme une erreur de pr´eediction dicti on a   priori , puisque, puisque , il repr´esente esente l’erreur l’err eur entre la sortie sorti e mesur´ me sur´eee y e  y((k ) et la pr´ediction edicti on yˆ (k |k − 1 ) =  φ T  (k ) ˆ θ (k − 1) calc ca lcul´ ul´ee ee a` partir de  θˆ(k − 1) (non  θˆ(k)). Si l’erreur ε l’erreur  ε((k) est petite, l’estimation  θˆ(k − 1) est bonne et ne devrait pas ˆetre etre modifi´ modi fi´eeee beaucoup. bea ucoup. Le vecteur   K (k ) dans (5.29b (5.29b)) doit doi t ˆetre etr e interpr´ inte rpr´et´ et´e comm commee un facteur fac teur de pond´eration eration (ou de gain) montrant combien la valeur valeur de ε de  ε((k ) va modi mo difie fierr les le s diff´ di ff´erent er entss ´el´ el´eement m entss du vecteur vecte ur de para p aram` m`etres. etr es. Il est a` noter que le calcul de   θˆ(k ) n´ecessite ecessite la connaissance de   P ( P (k ), alors que l’on dispose cal cul pr´ec´ ec´eedent de nt eexig xigee alor a lorss de d e r´ealise eal iserr une u ne inverseulement de P  de  P −1 (k) (voir (voi r l’´equati equ ation on (5.27)). 5.27)). Le calcul sion matricielle `a chaque pas d’´echantillonnage, echantillonnage, ce qui n’est pas souhaitable. Afin de r´esoudre esoudre ce probl`eme, eme, le lemme d’inversion matricielle matri cielle suivant est e st employ´e : −1

A

=  B

−1

  BC T C B + C  C   ⇒  A =  A  = B  B  − 1 + C BC T  T 

 

(5.30)

ecrire dans une forme plus o`u 1 + C BC T  est un scalaire. Par cons´ equent, equent, la relation (5.27) 5.27) peut s’´ecrire utile, donnant une loi d’ajustement sous la forme : P   (k ( k ) =  P   (k ( k − 1) −

 P   P  (  (k k − 1) φ (k) φT  (k ) P   (k ( k − 1) 1 + φT  (k) P   (k ( k − 1) φ (k)

 

(5.31)

5.31), ), il y a une inversion scalaire (le terme 1 +  φ T  (k ) P   (k ( k − 1) φ (k ) est un Notons que dans ((5.31 scalaire) scalai re) au lieu d’une inversion inversion matriciel matricielle. le. En utilisant (5.31 (5.31), ), l’´equatio equa tion n (5.29b 5.29b)) devient : K   (k (k ) =  P   (k ( k − 1) φ (k) −

 P  (  P  (k k − 1) φ (k ) φT  (k ) P   (k ( k − 1) φ (k )

1 + φT  (k) P   (k ( k − 1) φ (k)   P   (k ( k − 1) φ (k ) = 1 + φT  (k ) P   (k ( k − 1) φ (k ) Master 2. Automatique et syst`emes

– 48 –

(5.32)

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Chapit Cha pitre re 5. Diagnos Diagnostic tic par ident identific ificati ation on param´ param´ etriqu etriquee

Module. Module. Diagnos Diagnostic tic des syst` syst` emes emes

L’algorithme L’algo rithme des moindres moindres carr´ eess r´ ecursifs ecursifs s’exprime s’exprime alors en utilisant utilisant les equations equations (5.32), 5.32), (5.29c 5.29c), ), (5.29a 5.29a)) et (5.31 (5.31), ), c’est-`a-dire a-dire : K   (k (k ) =

  P   (k ( k − 1) φ (k ) 1 + φT  (k) P   (k ( k − 1) φ (k)

ε (k ) = y (k ) − φT  (k ) ˆ θ (k − 1)



θˆ (k ) =  θˆ (k − 1) + K   (k (k ) ε (k )



P   (k ( k ) =  P   (k ( k − 1) − K   (k (k) φT  (k ) P   (k ( k − 1) La mise en œuvre de cet algorithme algorithme d’estimation d’estimation n´ecessite ecessite encore la connaissanc connaissancee des valeurs initiales  θˆ(0) et P  et  P (0). (0). Dans le cas o` u l’on ne dispose d’aucune information `a priori, on peut adopter une initialisation initialisation de la forme :  ˆ θ(0) = 0 et P  et  P (0) (0) = αI  =  αI ,, avec α avec  α =  = 100 ou 1000 par exemple. Le facteur α  interpr`ete ete en quelque sorte notre ignorance sur la valeur initiale du vecteur de param`etres. etres. Comme il est bien connu, l’estimation r´esultante esultante minimise le crit`ere ere quadratique suivant suivant : k

J k (  (θθ) =



ε (i)2

(5.33)

i=1

Notons que ce crit`ere ere apporte la mˆeme eme importance aux nouvelles mesures qu’aux anciennes. Ce qui peut provoquer une lente convergence d’estimation, notamment pour les param` para m` etres etres qui sont susceptibles de varier au cours du temps suite `a l’apparitio l’app arition n d’un d´eefaut. faut . Une solution solutio n de ce probl`eme eme est la modification modification de l’algorithme l’algorithme des moindres moindres carr´ carr´eess r´ ecursifs ecursifs en utilis utilisant ant un facteur facteur d’oubli d’oubli 0  < λ <  1 . 5.4.2 5.4. 2

M´ ethode etho de des moindres moi ndres carr´ ca rr´ es es r´ ecursifs ecursi fs avec facteur d’oubli d’oubl i constant cons tant (MCRFDC) (MCRFD C)

Dans ce cas, l’approche consiste `a modifier modi fier le crit`ere ere a` minimiser. La nouvelle fonction du coˆut ut s’ s’´´eecri c ritt :

k

J k (  (θθ) =



λk−i ε (i)2

(5.34)

i=1

avait  λ =  = 1. Maintenant le facteur La fonction du coˆu utt ut util ilis is´´eeee pr´ pr´ec´ ec´eedem d emme ment nt (v (voi oirr ´equa eq uati tion on (5.33)) 5.33)) avait λ d’oubli λ d’oubli  λ est  est un nombre un peu moins que 1 (par exemple 0.99 ou 0.95). Cela signifie que les mesures obtenues obt enues pr´ec´ ec´edemment ede mment sont pr´ealabl eal ablement ement actual act ualis´ is´ees ees avec l’augm l’a ugmenta entatio tion n de k de  k.. Plus la valeur de λ  est petit pe tite, e, plus plu s ll’in ’infor format mation ion dans dan s les l es donn´ don n´ees ees pr´ec´ ec´edentes ede ntes sera ser a rrapi apidem dement ent oubli´ oub li´eee. e. Pour le crit` cri t`ere ere 5.34), ), la m´ethode etho de des moindres moindr es carr´es es r´ecursifs ecursif s avec facteur facteu r d’oubli d’oubl i peut s’´ecrire ecrire : modi mo difi´ fi´e (5.34

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– 49 –

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Chapit Cha pitre re 5. Diagnos Diagnostic tic par ident identific ificati ation on param´ param´ etriqu etriquee

K   (k (k ) =

Module. Module. Diagnos Diagnostic tic des syst` syst` emes emes

  P   (k ( k − 1) φ (k ) λ + φT  (k ) P   (k ( k − 1) φ (k )





ε (k ) = y (k ) − φ (k ) ˆ θ (k − 1) T 

θˆ (k ) =  θˆ (k − 1) + K   (k (k ) ε (k )

(5.35)

 1 T  P   (k ( k ) = λ P   (k ( k − 1) − K   (k (k ) φ (k ) P   (k ( k − 1)





Le facteur d’oubli λ d’oubli  λ  permet d’apporter plus d’importance aux mesures r´ecentes ecentes qu’aux mesures anciennes. Pour le choix de la valeur de   λ, les exp´ eriences eriences avec cet algorithme montrent qu’une diminution de la valeur du facteur d’oubli m`ene ene a` deux effets : 1. Les estim´eess des param`etres etres convergent convergent vers leurs valeurs vraies plus rapidement, diminuant ainsi, le retard d’alarme de d´efauts. efauts. 2. L’estimation L’estimation dans ce cas devient devient plus sensible aux bruits. bruits. En effet, si λ si λ    1 (beaucoup moins de 1), les estim´es es peuvent mˆeme eme osciller oscill er autour autou r de leurs valeurs r´eelles. eelles. Une fa¸con con de r´esoudre esoudre ce probl`eme eme est l’utilisation d’un facteur d’oubli variant variant dans le temps. 5.4.3 5.4. 3

Algorithme Algor ithme des moindres moindre s carr´ es es r´ ecursifs ecurs ifs avec facteur facteu r d’oubli variable (MCRFDV)

Dans cette m´ethode, etho de, la constante consta nte   λ  dans (5.35 (5.35)) est remplac´ee ee par une variable  variable  λ(k). Un choix appropri´ appro pri´e de sa valeur est donn´e par la r`egle egle d’ajustem d’a justement ent suivante [1] : λ (k ) = ∆ − Γε2 (k )

(5.36)

o`u 0   <   ∆   <  1 et Γ   >  0 sont sont deux facteurs facteurs de r´eglage eglage avec des valeurs constante constantes. s. En pratique, pratique, afin d’avoir un oubli exponentiel continu et d’´eviter eviter au mˆeme eme temps le probl`eme eme d’explosion de covariance   P  P ((k ), le pa param` ram`etre etre ∆ est choisi d’ˆetre etre proche de 1, et le facteur f acteur Γ est con¸cu cu pour po ur ˆetre etr e un grand nombre, disons 1000. Ainsi, afin d’´ eviter eviter que le facteur facteur d’oubli d’oubli soit assez grand ou assez petit pe tit (mˆeme eme n´egatif ega tif ), une limite lim ite sup´erieur eri euree et une autre aut re inf´erieur eri euree sont a jout´ jou t´eees es :

λ (k) =

 

si  λ (k )  < λmin λmin ,   si λ

(5.37)

si   λ (k)  > λmax λmax ,   si 

G´een´ n´eeral r alem ement ent,, le para pa ram` m`eetre t re   λmax   es estt d´eefini fi ni d’ˆ d’ˆeetre t re ´egal eg alee a` 1, et   λmin   est d´efini efini comme un petit nombre, nomb re, disons disons 0.2.

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Chapit Cha pitre re 5. Diagnos Diagnostic tic par ident identific ificati ation on param´ param´ etriqu etriquee

Module. Module. Diagnos Diagnostic tic des syst` syst` emes emes

L’algorithme d’estimation r´esultant esultant se donne sous la forme :





ε (k ) = y (k ) − φ (k ) ˆ θ (k − 1) T 

λ (k ) = ∆ − Γε2 (k ) , λmin  ≤  λ (k )  ≤  λ max   P   (k ( k − 1) φ (k ) T  λ (k ) + φ (k ) P   (k ( k 1) φ (k ) − θˆ (k ) =  θˆ (k − 1) + K   (k (k ) ε (k )

K   (k (k ) =

P   (k ( k) =

(5.38)

  1 P   (k ( k − 1) − K   (k (k ) φT  (k ) P   (k ( k − 1) λ (k )





Cet algorithme algor ithme est appropri´ appro pri´e pour pou r le suivi des ´eventuelles eventuelles variations param´etriques etriqu es du syst`eme. eme. En effet, lorsque l’erreur de pr´ediction  ediction   ε(k ) accroˆıtre ıtre brusquement, brusqu ement,   λ(k ) diminuera rapidement, afin d’adapter le changement, en fournissant un grand oubli exponentiel. Quand ε Quand  ε((k ) tend vers z´ero, ero, le facteur d’oubli d’oubli   λ(k ) s’approche de la constante ∆, afin d’assurer un oubli exponentiel faible mais continu.

Master 2. Automatique et syst`emes

– 51 –

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Chapitre 6

Analy Ana lyse se des des R´ e esidu siduss

6.1

In Intr trodu oduct ction ion

Apr`eess la g´en´ en´eratio era tion n des r´esidus esid us en utilis uti lisant ant l’une l’un e des m´ethod eth odes es ´eetudi´ tu di´ees ees dans dan s les chapitr chap itres es 3, 4 et 5, on arrive maintenant a` l’´etape etap e d’analyse d’anal yse (ou d’´evaluation) evaluation ) de ces r´esidus. esidus. Cette ´etape etap e n’est pas facile `a r´ealiser, ealise r, car il faut, dans un contexte soumis aux al´eeas as de fonctionneme foncti onnement nt du syst`eme eme et aux perturbations de l’environnement, d´ecider ecider d’une fa¸ccon on binaire et avec certitude s’il y a d´efaut efaut ou non. L’examen des r´esidus esidus r´esultants esultants doit conduire a` d´ecider ecider si le syst`eme eme se trouve dans un ´etat eta t normal nor mal ou d´efaill efa illant. ant. Nous Nou s sommes som mes donc don c amen´ ame n´eess a` choisir cho isir parmi deux hypoth`eeses ses : :  Les r´esidus esidus sont symptomatique symptom atiquess d’un ´etat etat de fonctionnement foncti onnement normal norma l du syst`eme. eme. •   Hyp0 : Les

•   Hyp1 : Les :  Les r´esidus esid us sont symptom symp tomati atiques ques d’un d’u n ´etat eta t de d e fonc f onctio tionne nnement ment d´efaill efa illant ant du syst`eme. eme. L’´evaluation evaluation des r´esidus esidus se compose comp ose de deux ´etages etage s : le choix de la m´ethode etho de d’´evaluation, evaluation , et la s´election electio n du seuil. Le choix de la m´ethode etho de d’´evaluation evaluation des r´esidus esidus joue un rˆoole le tr`es es import imp ortant ant dans le diagnostic de d´efauts, efauts, puisqu’elle influe directement sur les performances de la proc´edure edure de d´etection etection de ces d´efauts. efauts. Principalement, il existe deux groupes de m´ethodes ethodes fondamentales pour l’´evaluation evaluation des r´esidus. esidus. Le premier groupe group e est destin´e aux syst`emes emes d´eeterministes termin istes en employant les strat´egies egies d’´evaluation evaluation de la norme des r´esidus, esidus, alors que le deuxi`eme eme groupe group e est adopt´e pour pou r syst` emes emes stochastiques en se basant sur des approches statistiques.

– 52 –

 

Chapitre 6. Analyse des R´esidus

6.2

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

Cas d´ e eterministe terministe

Le but bu t de cette cet te part p artie ie est es t de trouver tro uver une m´ethod eth odee d’´evaluatio evalua tion n des de s r´esidus esid us pour p our le cas c as d´etermi ete rminis niste, te, qui d´etermi ete rminer neraa si un d´efaut efa ut est pr´esent. esent . Les valeurs valeur s des r´eesidus sid us doivent doi vent refl´eter eter l’effet l’eff et de d´efauts efa uts.. En effet, elles doivent ˆetre etre proches pro ches de z´ero ero en l’absence l’abse nce de d´eefaut, faut, et diff´erentes erentes de z´ero ero dans le cas contraire. contrair e. Les L es deux d eux hypoth`eses eses avec leurs leur s conditio co nditions ns assoc a ssoci´ i´ees ees sur le vecteur vect eur de r´esidus esidus sont les suivantes : H 0 (0  (0,, t) : absence de d´efaut efaut

r (t) = 0

 

(6.1)

H 1 (  (f  f  j , t j ) : occurrence occu rrence de d´efaut f  efaut  f  j  depuis l’instant t l’instant  t j   r (t)  = 0, t  ≥  t j o`u   r (t)  est une norme nor me approp app ropri´ ri´eeee du r´esidu. esid u. 6.2.1

Fonction d’´ evaluation evaluation

Afin d’´evaluer evaluer les r´esidus, esidus, on utilise utilis e souvent so uvent une fonction foncti on de test t est ϕ  ϕ (r (t)) (ϕ (r (k ))), qui permet de fournir une mesure (norme) de l’´ ecart ecart du r´esidu esidu par rapport a` z´eero. ro. Les fonctions tests les plus utilis´ uti lis´ees ees sont :

•   La valeur absolue : ϕ (r j (  (tt)) =  | r j (  (tt)| ,   cas continu

(6.2)

ϕ (r j  (  (k k )) =  | r j (  (k k )| ,   cas discret

•   L’approximation de la norme  norme   L2  sur un intervalle   [t, t + T  T ]]   :

ϕ (r j (  (tt)) =

   ˆ      t+T 

1 T 

 (τ  τ ))|2 dτ ,   cas continu |r j (

t

ϕ (r j (  (k k )) =

 1 N 

(6.3)

k+N 

 (ii)|2 , |r j (

 

cas discret discret

i=k

•   La racine moyenne quadratique (RMS) :

ϕ (r j  (  (tt)) =

   ˆ       1 T 

T 

 (τ  τ ))|2 dτ ,   cas continu |r j  (

0

ϕ (r j (  (k k)) =

Master 2. Automatique et syst`emes

 1 N 

(6.4)

N 

 (ii)|2 , |r j (

 

cas discret

i=1

– 53 –

KHEBBACHE Hicham

 

Chapitre 6. Analyse des R´esidus 6.2.2 6.2 .2

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

Fonct onction ion de se seui uill

La prochain pro chainee ´etape eta pe de l’´evaluatio evalua tion n des r´esidus esid us consis con siste te a` d´eterminer eterminer une fonction de seuil Φ (t) (Φ (k )) pour l’´evaluation evaluation de la fonction de test t est   ϕ (r (t)) (ϕ (r (k ))). Cette fonction de seuil devrait avoir les deux propri´ pro pri´et´ et´es es sui suivantes vantes : Ab sence ce de d´ efaut efa ut : •   Absen

∀t  ≥  0  0,, f   (t (t) = 0 :   ϕ (r (t))  ≤  Φ (t) ,   cas continu  0,, f   (k ( k) = 0 :   ϕ (r (k ))  ≤  Φ (k ) ,   cas discret discret ∀k  ≥  0

•  P Pr´ r´ esen es ence ce de d´ efau ef autt :  0,, f   (t (t)   = 0 :   ϕ (r (t)) )) >  > Φ  Φ (t) ,   cas continu ∀t  ≥  0  0,, f   (k ( k)   = 0 :   ϕ (r (k )) )) >  > Φ  Φ (k ) ,   cas discret discret ∀k  ≥  0

Dans le cas id´eal eal (i.e. ( i.e. en absence des entr´ ees ees et des perturbations), p erturbations), le seuil Φ (t) ((Φ Φ (k )) p eut ˆetre et re choisi constant et aussi proche pro che de z´ero, ero, en tenant compte des valeurs pratiques des bruits dans les r´esidus. esid us. Dans Dan s llee ccas as g´en´ en´eral, era l, il faut fau t pren p rendre dre en consid´ con sid´eratio era tion n les l es effets effe ts des entr´ees, ees, des pertu pe rturba rbatio tions ns et des bruits de mesures. Avec l’une des fonctions tests t ests mentionn´ees ees dans (6.2 6.2)-( )-(6.4 6.4), ), le seuil doit ˆetre et re d´eter et ermi min´ n´e de te tell sort so rtee que qu e : Φ j (  (tt)  ≥

 

sup

(ϕ (r j (  (tt))) ,

 

cas continu

f (t)=0, u(t),d(t) Φ  Φ j (t  (t) (ϕ (r j (  (k k )) )) >  > Φ  Φ j (  (k k))  ⇒  H ( j ) =  H 1 . Le passage `a la normal nor malee se fait fai t g´en´ en´eeraleme ra lement nt avecc une ave un e hyst´ hys t´eer´ r´eesis s is   γ   γ   de fa¸con c on que :  :   ϕ (r j (  (tt)) ))   < γ Φ j (  (tt) (ϕ (r j (  (k k)) )) <  < γ Φ j (  (k k ))   ⇒   H ( j ) =   H 0 . Un choix choi x commun com mun d’hyst´ d’hys t´er´ er´esis esis est   γ   ⊂   [0. [0.5, 0.8]. Il est ´evident evident que les tests de simulation simulation ou dans l’environnement r´eel, eel, sont n´ecessaires ecessaires av avant ant de pouvoir faire un choix judicieux du seuil variable Master 2. Automatique et syst`emes

– 54 –

KHEBBACHE Hicham

 

Chapitre 6. Analyse des R´esidus

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

Φ (t) ((Φ Φ (k )) et de l’hy l’ hyst´ st´er´ er´esis es is  γ .  γ . Cela conduit `a deux algorithmes pour la d´etection etection de changement dans le cas d´eterministe, eterministe, Algorithme 1 : Test :  Test face `a un seuil variable continu. ´ ant donn´ Etant Et do nn´e :  u  un n r´esid es idu u  r j (t) dans les conditions normales de fonctionnement, 6.4), 1. D´eeterminer terminer une fonction test ϕ test  ϕ (r j (t)) selon (6.2 (6.2)) jusqu’`a (6.4), 2. D´eeterminer terminer une fonction de seuil Φ j  (  (tt) qui v´erifie erifie la condition condit ion (6.5), 6.5), Initialiser : H  :  H ( j ) =  H 0 , —   Faire : 1. Calculer Calculer ϕ  ϕ (r j (t)) et Φ j (  (tt), 2. Si Si H   H ( j ) =  H 0 ,  ∀ j  j   : Si ϕ Si  ϕ (r j (t)) )) >  > Φ  Φ j (  (tt) placer l’hypoth` l’hypot h`ese ese a`  H ( j ) =  H 1 , Sinon ( j )

Si ϕ Si  ϕ (r j (t)) )) <  < γ Φ j (  (tt) pour   ∀ j  j pla  placer cer l’hypo l’hy poth` th`ese ese a`  H 

=  H 0 ,

Fin Si —   Fin. Algorithme 2 : Test :  Test face `a un seuil variable discret. ´ antt do Et Etan donn nn´ ´ e :  un  unee s´eque eq uenc ncee du r´esid es idu u  r j  (1) ,...,r j  (  (k k) dans les conditions normales de fonctionnement, 6.4), ), 1. D´eeterminer terminer une fonction test ϕ test  ϕ (r j (k)) selon (6.2 (6.2)) jusqu’`a (6.4 2. D´eeterminer terminer une fonction de seuil Φ j  (  (k k) qui v´erifie erifie la condition condit ion (6.5 6.5), ), Initialiser : H  :  H ( j ) =  H 0 , —   Pour chaque instant insta nt d’´ echantillonnage echantillo nnage   k >  0  faire : 1. Calculer Calculer ϕ  ϕ (r j (k)) et Φ j (  (k k ), 2. Si Si H   H ( j ) =  H 0 ,  ∀ j  j   : Si ϕ Si  ϕ (r j (k )) )) >  > Φ  Φ j (  (k k ) placer l’hypoth` l’hypo th`eese se a`  H ( j ) =  H 1 , Sinon Si ϕ Si  ϕ (r j (k )) )) <  < γ Φ j  (  (k k) pour  ∀ j  j pla  placer cer l’hypoth` l’hyp oth`eese se a`  H ( j ) =  H 0 , Fin Si —   Fin pour.

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– 55 –

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Chapitre 6. Analyse des R´esidus

6.3

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

Ca Cass st stoc ocha hast stiq ique ue

Dans le cas stochastique, stocha stique, on consid`ere ere que les r´esidus esidus sont des variables al´eeatoires atoi res suivant une loi de probab pro babili ilit´ t´e  p  p.. De mani`ere ere g´en´ en´erale, erale, un changement de fonctionnem fonct ionnement ent va se traduit tradu it par une modification de la loi de probabilit´e du r´esidu esidu (par ( par exemple : passage d’une distribution normale, `a une distribution exponentielle) exp onentielle) ou par un changement des caract´eristiques eristiques statiques de cette loi (par exemple exemple : variation ariation de moyenne, moyenne, de variance, ariance, ou les deux param`etres etres `a la fois). Dans ce qui suit, on s’int´ s ’int´eresse eresse au test de Page-Hinkle Pag e-Hinkley y. 6.3.1 6.3. 1

Test de PagePage-Hink Hinkley ley

Cette m´ethode etho de permet perm et de tester la valeur moyenne du r´eesidu sidu sur une fenˆeetre tre de d´eetection tectio n par rapport a` un seuil seu il pr´ed´ ed´efini. efin i. Une formulat for mulation ion du probl` pro bl`eme eme de d´eetecti te ction on de d´eefaut fa ut est la suivante suivant e : Nous voulons savoir `a tout instant   k , si le syst` syst`eme eme est a` l’´etat eta t normal nor mal (hypoth` (hyp oth`eese se   H 0 ) ou non (h (hyp ypot oth` h`eese s e  H 1 ). Dans ce cas, il faut ´etudier etudie r le r´esidu, esidu, c’est-`a-dire a-d ire la s´equence eque nce  r (1) , r (2) ,....,r (k ) de celui-ci. On peut donc ´ecrire ecrire : H 0  :   r (i)  ∈  p0  ;

1  ≤  i  ≤  k

H 1  :   r (i)  ∈  p0  ;

1  ≤  i  ≤  k 0 − 1

(6.6)

r (i)  ∈  p1  ;   k0  ≤  i  ≤  k o`u   k0   repr´esente esente l’instant de changement (i.e. l’instant o`u le syst` eme eme passe d’un fonctionnement rep r´eesente se nte la densi de nsit´ t´e de prob pr obab abil ilit´ it´e normal a` un fonctionnem fonct ionnement ent d´efaillant) efaill ant) suppos´ supp os´e inconnu,   p0   repr´  celle a  ap pr`es  s    changement. changeme nt. Suppos Su pposons ons que les ´echantillons echantillon s des observations avant  observations  avant    changement, et et   p1  celle du r´eesid s idu u  r  r((i) sont ind´ependants, ependants, donc, on obtient : k

 p (r (1) ,...,r (k ) |H 0 ) =

 

 p0 (  (rr (i))

i=1

k0 −1

 p (r (1) ,...,r (k ) |H 1 ) =

(6.7)

k

 p0 (  (rr (i)) +

i=1



 p1 (  (rr (i))

i=k0

Le rapport de vraisemblance peut s’´ ecrire ecrire donc : k

Λ (r (1) ,...,r (k )) =



i=k0

 p1 (  (rr (i))  p0 (  (rr (i))

 

(6.8)

Maintena nt, si on consid`ere Maintenant, ere le probl`eme eme de de   saut de moyenne   moyenne   (`a variance inchang´eee) e) d’un pro2 2 cessus   gaussien , c.-`a-d. cessus a-d.   p0   =   N  µ0 , σ   et   p1   =   N  µ1 , σ , les deux hypoth`eeses ses   H 0   et   H 1   sont

 

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 

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Chapitre 6. Analyse des R´esidus

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

traduites tradu ites de la mani`ere ere suivante : —   H 0  : Le syst`eme eme est a` l’´etat etat normal, norma l, le r´esidu esidu pr´esente esente une distri distribution bution gaussienne gaussi enne de variance connue   σ 2 et de moyenne  connue moyenne   µ0  (choisie le plus souvent avec une valeur nulle) jusqu’`a l’instant k. —   H 1  : Le syst`eme eme est a` l’´etat etat normal, norma l, le r´esidu esidu pr´esente esente une distri distribution bution gaussienne gaussi enne de variance connue   σ 2 et de moyenne  connue moyenne   µ0   jusqu’`a l’instant   k0  − 1, et le syst` eme eme est a` l’´eetat tat anormal, anorma l, le r´esidu esidu pr´esente esente une distribution distri bution gaussienne gaussie nne de variance σ variance  σ 2 et d’une moyenne µ moyenne  µ 1   (µ1   =  µ 0 ) de l’instant k l’instant  k 0   `a   k. L’´equat equ atio ion n (6.8) 6.8) devient : k

Λ (r (1) ,...,r (k )) =

      

i=k0

 1 exp − 2 (r (i) − µ1 )2 − (r (i) − µ0 )2 2σ

= exp

d’o` u la log-vraisemblance :

−

 1 2σ 2

k

  

(6.9)

(r (i) − µ1 )2 − (r (i) − µ0 )2

i=k0

  µ1  − µ0 l n Λ (r (r (1) ,...,r (k )) = σ2

k



i=k0

 µ 1  + µ0 r (i) − 2



 

(6.10)

De fa¸con con `a mettre l’accent sur le changement ´eventuel eventuel par rapport a` la moyenne initiale   µ0 , il est commode d’introduire les notions suivantes : si (r  (r (i)) = ln

k k  j S    =

 

 p 1 (  (rr (i))   b  υ  = r (i) − µ0  −  p0 (  (rr (i)) σ 2

 i= j

 b si (  (rr (i)) = σ

k

i= j



 υ r (i) − µ0  − 2

(6.11)



= ln ln Λ (r ( r (1) ,...,r (k))

o`u  υ  =  = µ  µ 1  − µ0  est l’amplitude de changement (saut) de moyenne,  b  =   συ  est le rapport signal-surl’instant  j   a`  k).  k ). bruit, s bruit,  s i  est le i le  i `eme ´el´ el´ement eme nt de la somme som me commuta com mutative tive  S  jk  (de l’instant j La d´etection etection de saut de moyenne a lieu lorsque lo rsque : gk   = max S  jk  =  S 1k  −   min S  j1  > λ

 

1≤ j ≤k

1≤ j ≤k

(6.12)

o`u  g k  est la fonction foncti on de d´ecision ecision et et λ  λ  est  es t un se seui uill pr´ed´ ed´efini efi ni.. L’instant L’insta nt d’arrˆeett (ou d’alarme) d’alar me) k  k a  se donne comme suit :



 j

ka  = min {k  : g  :  g k  > λ}  = min k  : : S   S 1k  > λ + min S 1 Master 2. Automatique et syst`emes

– 57 –

1≤ j ≤k



 

(6.13)

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Chapitre 6. Analyse des R´esidus

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

laquelle  peut ut ˆetre etr e estim´ es tim´ee ee comm c ommee l’ins l’ instant tant de temp t empss  ˆk0  pour laquelle L’instant L’insta nt d’occ d ’occurrenc urrencee de d e d´efaut k efaut  k 0  pe p ente du n´egative egative au positive). S 1k   atteinte sa valeur minimum (ou lorsque cette fonction change sa pente Elle est formell f ormellement ement exprim´ e xprim´ee ee par pa r : kˆ0   = arg arg min min S  j1 1≤ j ≤ka

 

(6.14)

L’algorithme de d´etection etection de changement correspondant corr espondant est d´ecrit ecrit comme suit : Algorithme 3 : Test :  Test de Page-Hinkley avec un saut de moyenne connu. ´ ant donn´ Etant Et do nn´e : 1. une s´equence eque nce du r´esidu esid u  r j  (1) ,...,r j  (  (k k) de variance σ variance  σ 2 avec une moyenne  moyenne   µ0  en ´eetat ta t normal nor mal,, et une moyenne µ moyenne  µ 1  e  en n ´eetat t at d´efai ef aill llan ant, t, 2. un seuil λ seuil  λ,, Pour chaque instant insta nt d’´ echantillonnage echantillo nnage   k >  0   faire : —   Calculer : 1. le saut de moyenn moyennee  υ  =  = µ  µ 1 − µ0 , 2. le rapport signal-sur-b signal-sur-bruit ruit b  b  =   συ , ), 3. la fonction fo nction de d´ecision ecision  g k  par (6.12 (6.12), —   D´e ecid c ider er d’ : 1. accepter accepte r l’hypot l ’hypoth` h`ese H  ese  H 0 , si g si  g k   ≤ λ,  λ , 2. accepter accepte r l’hypot l ’hypoth` h`ese H  ese  H 1 , si g si  g k   > λ, emettr e une alarme alarm e a` l’instant k l’instant  k a  d´efini efi ni pa parr (6.13 6.13), ), •   ´emettre 6.14). ). •  fournir une estimation de l’instant d’occurrence du changement  ˆk0  d´efini efi ni par pa r (6.14 Fin pour. Dans le cas o`u le saut de moyenne attendu υ attendu  υ  est inconnu (en valeur alg´ebrique), ebriqu e), une possi possibilit´ bilit´e est : 1. de d´efinir efin ir a  priori   priori    un un saut  saut minimum   d’amplitude υ d’amplitude  υ m ; 2. d’utiliser deux tests en parall`ele ele :

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Chapitre 6. Analyse des R´esidus

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

une  augmentation   : •   l’un pour une augmentation  U  (0)  (0) = 0 k

U   (k ( k) =

 i=1



(6.15)



(6.16)

 υ m r (i) − µ0  − ;   k  ≥  1 2

m (k) = 1m nk U   ( j ( j)) ≤ ji≤ avec alarme alarm e (d´etection) etecti on) si U  si  U   (k ( k ) − m (k)  >  ¯λ.

•  l’autre pour une diminution  une  diminution   : T  (0)   (0) = 0 k

T   (k ( k) =



r (i) − µ0 +

i=1

 υ m ;   k  ≥  1 2

M   (k ( k ) = max max T   ( j ( j)) 1≤ j ≤k

avec alarme alarm e (d´etection) etecti on) si M  si  M   (k ( k ) − T   (k ( k)  >  ¯λ. ¯  est directement Notons que le seuil   λ direct ement li´e a` la notion de la probabilit´ probabilit´ e de fausse alarme, et de ¯  pour ´eviter non d´etection. etectio n. Une augmentation augmenta tion de   λ eviter les fausses alarmes, peut entraˆ entraˆıner un retard a` la d´eetect t ectio ion. n. La d´etection etecti on de d´efaut efaut se produit pro duit lorsque lorsqu e les quantit´eess   U   (k ( k )  −  m (k) ou   M   (k ( k )  −  T   (k ( k) sont sup´erieur eri eures es au seuil seui l  ¯λ. L’instant L’ instant d’occurre d’o ccurrence nce de d e d´efaut k efaut  k 0  correspond au dernier minimum de U  de  U ((k ) ¯   est `a fixer par apprentissag ou maximum de   T ( T (k). La valeur de   λ apprentissage. e. La valeur initiale initiale peut ˆeetre tre calcul´eeee par l’expression l’expr ession  [2  [ 2]  : ¯  = 2hσ/υm λ

 

(6.17)

o`u  h  h =  = 2 pour les distributions normales (gaussiennes) et  σ  est l’´ecart-typ ecar t-typee du sig signal nal de r´eesidu. sid u. L’algorithme de Page-Hinkley correspondant se donne do nne de la mani`ere ere suivante : Algorithme 4 : Test :  Test de Page-Hinkley avec un saut de moyenne inconnu. ´ ant donn´ Etant Et do nn´e : 1. une s´equence eque nce du r´esidu esi du r  r j  (1) ,...,r j  (  (k k) de variance σ variance  σ 2 et de moyenne µ moyenne  µ 0  en ´eetat ta t normal nor mal,, 2. un saut minimum minimum d’amplitude d’amplitude υ  υ m , Initialiser : ), 1. le seuil  seuil   λ ¯  par (6.17 (6.17), 2.   U (0) (0) = 0 et T  et  T (0) (0) = 0,

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Chapitre 6. Analyse des R´esidus

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

Pour chaque instant insta nt d’´ echantillonnage echantillo nnage   k >  0   faire : —   Calculer : ), 1.   U (k ) et et m  m((k ) par (6.15 (6.15), 2.   T ( T (k) et et   M ( M (k) par (6.16 (6.16), ), —   D´e ecid c ider er d’ : 1. accepter accepte r l’hypot l ’hypoth` h`ese H  ese  H 0 , si U  si  U   (k ( k ) − m (k )  ≤  ¯λ  et  T   T  (  (k k ) − M   (k ( k )  ≤  ¯λ, 2. accepter accepte r l’hypot l ’hypoth` h`ese H  ese  H 1 , si U  si  U   (k ( k ) − m (k )  >  ¯λ  ou  T   T  (  (k k) − M   (k (k )  >  ¯λ, emettr e une alarme alarm e a` l’instant : •   ´emettre

 





ka  = min k  : U   (k ( k) − m (k)  >  ¯λ ∪ T   (k ( k ) − M   (k ( k )  >  ¯λ

•  fournir une estimation de l’instant d’occurrence du changement   kˆ0  qui correspond au dernier minimum de U  de  U ((k ) ou maximum de T  de  T ((k ). Fin pour.

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Annexe A

S´ erie erie de TD N◦1

Exercice 1. Con 1.  Consi sid´ d´eron er onss le syst` sys t`eme em e lin´ li n´eeair a iree suivant sui vant :

    

  

x˙ 1 (t)

x˙ 2 (t)

=

   

y (t) = 1 0

x1 (t)

0

1

−2   −3

              

x1 (t)

x1 (t)

x2 (t)

+

f 1 (t)

f 2 (t)

+ f 3 (t)

x2 (t)

f 1 (t)

o`u ( ) =  est le vecteur vecte ur d’´etat eta t du syst`eme, eme , ( ) = est le vecteur de d´eefauts fauts et ( ) 2  x t  f  t  y t f  (t) x2 (t) f 3 (t) est la sortie sorti e mesur´eee. e.

 

1. En imposant les deux pˆoles oles :  :   λ1   =  λ 2   =  − 5, construire l’observateur de Luenberger correspondant. 2. D´eeterminer terminer la fonction de transfert reliant le r´esidu  esidu   r(s) =   y(s)  −  ˆy(s) au vecteur de d´efauts efauts f (s) sous la forme : r (s) =  G 1 (  (ss) f 1 (s) + G2 (  (ss) f 2 (s) + G3 (  (ss) f 3 (s) Exercice 2. So 2.  Soit it le syst`eme eme d´ecrit ecr it par la repr´ rep r´esentati esent ation on d’´etat eta t suivante suivant e :

61

 

Annexe A. S´erie erie de TD N◦ 1

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

    

x˙ (t) =

y (t) =

             −8   −2

x(t) +

2   −1

1 0

5

u(t)

0

x(t) + f (t)

0 1 1. Quel est le degr´ d egr´e (l’ordr (l ’ordre) e) du syst` s yst`eme eme ?

2. On suppose que le gain de l’observateur   L   est une matrice diagonale. D´eeduire duire le nombre des ´el´ements nt s de  L  L.. 3. Donner le polynˆome ome caract´eristique eristi que de cet c et observateur o bservateur  p  p((s) en foncti fon ction on des ´el´ el´eements me nts de L de  L.. 4. Calculer Calcul er les ´el´ el´ements ements de la matrice matri ce L  L  en utilisant un placement de pˆoles oles : λ :  λ 1,2  =  −20. 5. Donner la repr´esentation esentatio n d’´ d ’´etat etat de cet observateur. observateu r. 6. Donner la matrice de transfert   Gf (s) reliant le vecteur d’erreurs   ey (s) au vecteur de d´eefauts fauts f (s). 7. D´eeduire duire la table de signatures signat ures associ´ asso ci´eeee a` cette matrice G matrice  G f (s). 8. En utilisant cette table de signatures, signatures, es-ce qu’on peut localiser localiser l’origine l’origine des d´ efauts efauts ? Si non, quelle choix doit avoir la matrice de structuration Q structuration  Q((s), afin d’obtenir une structure structure localisante localisante ? 9. D´eeduire duire l’expression l’expre ssion du vecteur de r´esidus r esidus  r((s) en fonction fonct ion du vecteur vecte ur de d e d´efauts efaut s  f   f ((s), ainsi que la table de signatures correspondante. Exercice 3. Consi 3.  Consid´ d´erons erons un pendule pend ule simple comme illustr´ illust r´e dans d ans la Figure Figur e A.1  A.1..  O`u q  est  est la position angulaire du pendule par rapport `a la verticale, et u et  u  repr´  re pr´esente esent e le couple cou ple exer exerc´ c´e sur ce syst`eme. eme . En appliquant le principe fondamental de la dynamique par rapport `a la rotation, nous montrerons que l’´equation equati on diff´erentielle erentiell e de d e mouvement m ouvement est de la forme : J ¨ J qq  ¨  + + mg sin( sin(q  q ) =  u o`u   m   est la masse du pendule,  pendule,   J  est J  est le moment d’inertie par rapport `a l’axe de rotation,  rotation,     est la distance distan ce du centre de gravit´e `a l’axe de rotation, et g et  g  est  es t l’ l’ac acc´ c´el´ el´erat er atio ion n du duee a` la gravi gr avit´ t´e. e. 1. Si on choisit les variables d’´etat etat tels que : x :  x 1  =  = q   q  et  et  x 2  = q ˙, do donn nner er le mod` mo d`ele el e d’´etat et at no non n li lin´ n´eair ea iree correspondant. 2. La fonc fonctio tion n sin sin (z ) pe peut ut ˆeetre t re lin´ li n´eeari a ris´ s´ee ee au po point int 0 pa parr  z  z,, et au point π point  π//4 par z par  z cos( cos(π/ π/4) 4).. D D´´edui ed uire re le less de deux ux mod` mo d`eles el es d’´eetat t at lin´ li n´eeari a ris´ s´es. es . 3. En utilisant le fait que   y   =   sin( sin(q ), ), donner les deux mod`eles eles d’´etat etat lin´earis´ earis´es es sous la forme matricielle. On donne : J  :  J    = 0.25kgm2 ,  g  = 9.8m/s2 et  et   =  = 0.5m.

Master 2. Automatique et systemes

62

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Annexe A. S´erie erie de TD N◦ 1

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

Figure A.1: A.1: Pendule  Pendule simple avec un vecteur d’´etat etat  x  = (q,  q ˙)).. 4. Pour surveiller sur veiller ce syst` s yst`eme, eme, on va servir d’un d’u n observateur obser vateur de Luenberge Lue nberger. r. Donner Don ner sa repr´ r epr´esentation esentati on d’´etat.

 

5. Sachant Sachant que le gain de l’observ l’observateur ateur L  L  est de la forme L forme  L  = l1   l2 avec un placement de pˆoles oles : λ :  λ 1,2  =  − 10.

   

T 

, calc ca lcul uler er les ´el´ el´eements me nts de L de  L

T 

6. Supposons Supposons que que  F x  =

0 0

0 1 le less d´efau ef auts ts au aux x r´eesidu si dus. s.

 

et et F   F y   = 1 0

T 

, d´eterminer etermi ner la matrice m atrice de transfe t ransfert rt G  G f (s) reliant

7. Donner la table de signatures des d´efauts. efauts. Ces d´efauts efauts sont-ils localisables ?

Master 2. Automatique et systemes

– 63 –

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Annexe B

S´ erie erie de TD N◦2

Exercice 1. En 1.  En suivant la mˆeme eme d´emarche emarche du cours (voir section  3.3),  3.3 ), concevoir concevoir un observateur observateur `a entr´ees ees inconnue inc onnuess pour po ur le syst`eme eme suivant (´equatio equa tion n de mesure mesu re pertu pe rturb´ rb´ee) ee) :

 

x˙ (t) =  Ax  Ax((t) + Bu Bu((t) + F x f  f ((t) + Dx d(t) y(t) =  C x(t) + F y f (t) + Dy d(t)

Exercice 2. So 2.  Soit it le syst`eme eme d´ecrit ecr it par la repr´ rep r´esentati esent ation on d’´etat eta t suivante suivant e :

     

    

0   −1

0

 

  

 

 

0 0 0

0

   1

f ((t) + 0 d(t) x˙ (t) = 50   −5   −1 x(t) + 1 u(t) + 0 1 0 f  0

2   −1

1 0 0

  

0 0 0

0

  

  

1 0 0

0

y(t) = 0 1 0 x(t) + 0 0 0 f (t) 0 0 1

0 0 1

1. On cherche `a concevoir un observateur `a entr´ees ees inconnues. inconnues . V´eerifier rifier la condition condit ion d’appl d’applicatio ication n de cet observateur. 2. Calculer Calculer les matrices matrices L  L y ,  E   E    et et   N . 3. Choisissons Choisis sons les valeurs valeur s propres pro pres d´esir´ esir´ees ees de d e l’observateur l’o bservateur comme :  λ 1  =  −5, λ 5,  λ 2  =  −6 et λ et  λ 3  =  −7, et supposons que la matrice de Hurwitz M  Hurwitz  M  est  est diagonale, trouver la matrice  P .  P .

– 64 –

 

Annexe B. S´erie erie de TD N◦ 2

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

4. Donner la repr´esentation esentatio n d’´etat etat de l’observateur l’obse rvateur r´esultant. esulta nt. 5. Calculer Calculer la matrice de de transfert transfert G  G f (s) qui lie le vecteur vecteur d’erreurs e d’erreurs ey (s) avec le l e vecteur de d´eefauts fauts f (s). 6. D´eeduire duire l’expression l’expr ession du vecteur de r´esidus esidus  r(  r (s) en fonction du vecteur de d´efauts f  efauts  f ((s). 7. Choisir une matrice de param´etrisation Q etrisation  Q((s) permettant d’obtenir une structure localisante. 8. D´eeduire du ire l’e l’expr xpressi ession on du g´en´ en´erateu era teurr de r´esidus esid us r´esulta esu ltant nt avec la table tab le de sig signat nature uress associ´ asso ci´ee. ee. Exercice 3. Co 3.  Cons nsid´ id´eron er onss le mod` mo d`ele el e d’´eetat t at lin´ li n´eeair a iree su suivant ivant :

                 

x˙ (t) =  Ax  Ax((t) + Bu Bu((t) + F xf  f ((t)

y (t) =  C x(t)

  

0   −1

0

1

  

1 0 0

  

  

0 1 0

o`u  A  A =  = 100   −10   −1 ,  B  = 0 ,  C    C   = 0 1 0 et F  et  F x  = 1 0 0 . 0

2   −1

0

0 0 1

0 0 1

A partir parti r de cette repr´esentation, esentati on, on peut ´etablir etabli r trois mod`eles eles ´eequivalents quivalents comme suit : ¯x f ¯i (t) + F x f i (t) x˙ (t) =  Ax  Ax((t) + Bu Bu((t) +  F  i i

y(t) =  C x(t)

le  i `eme ´el´ el´emen em entt du vecte vec teur ur de d´efau ef auts ts   f (t), et  f ¯i (t) est un vecteur o`u   f i (t), ), i  i  = 1, .. ..., ., dim f (t)  est le i co comp mpos´ os´e de dess ´eel´ l´ement em entss rest re stan ants ts..

¯x ,  i  = 1, ..., 1. Donner F  Donner  F xi   et  F  ..., dim f  f ((t) . i

Pou r chaq Pour ch aqu’u u’un n des d es mo m o d`eeles le s p pr´ r´ec´ ec´edents ede nts,, on o n cher ch erche che a` synth´eetiser tiser un observateur a` entr´ees ees inconnu inc onnues, es,   ¯ (sen sibilit´ ilit´e). e). ecouplage), tout en maintenant l’effet de f i (t) (sensib qui permet per met d’´eliminer elimine r l’effet l ’effet de de f   f i (t) (d´ecouplage), 2. Pour chaque mod` mo d`ele ele obtenu, v´erifier erifier la condition d’application de l’observateur `a entr´ees ees inconinco nnues correspondant. 3. Calculer Calculer les matrices matrices L  L yi ,  E i   et et N   N i . 4. Pour Pour chaqu chaquee observ observateu ateurr a` entr´ees ees inconnues, inconnues , on choisit les mˆemes emes pˆoles le s d´esir es ir´´es es :   λ1   =   −5, λ2   =   −6 et  et   λ3   =   −7. Supposons que  que   M i  sont des matrices de Hurwitz diagonales, trouver les matrices P  matrices  P i  correspondants. 5. Donner la repr´esentation esentatio n d’´ d ’´etat etat des observateurs observateur s `a entr´ e ntr´ees ee s iinco nconnu nnues es r´esul es ulta tants nts.. 6. Pour chaque cha que syst` sy st`eme, eme, ´etablir etabli r la matri matrice ce de transfert trans fert G  G f i (s) reliant les vecteurs de r´esidus r esidus  r i (s) = eyi (s) aaux ux vecteurs vect eurs partiels parti els de d´efauts efauts  f ¯i (s). Donner l’expression de chaque vecteur de r´eesidus. sidus.

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Annexe B. S´erie erie de TD N◦ 2

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

7. Donner la table de signatures signat ures globale globa le reliant tous les g´een´ n´erateurs erate urs de r´esidus r esidus  r i (t) avec le vecteur de d´efau ef auts ts  f  Qu’est-ce que vous remarquez remarquez ?  f ((t). Qu’est-ce 8. L’impl´ ementation ementation simultan´ ee ee de ces observateurs permet p ermet d’obtenir un banc d’observateurs avec un sch´ema ema de surveill sur veillanc ancee nomm´ nom m´e : “sch´ema ema par observate obse rvateur ur g´en´ en´eralis´ era lis´e (Genera (Gen eralise lised d Observer Obse rver Scheme)”. Ce sch´ema ema permet p ermet de d e faire fair e quoi ? Est-ce Est-c e qu’il existe e xiste d’autre d’ autress structures struct ures ayant le mˆeme eme objectif ? Si oui, ´etablir etablir les tables de signatures associ´ees. ees.

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Annexe C

S´ erie erie de TD N◦3

Exercice 1.  1.   Consi Con sid´ d´eron er onss l’´ l’´equa eq uati tion on d’´eetat t at : x(k + 1) = Ax =  Ax((k) + w (k ) o`u la matrice matri ce d’´etat etat   A  est une matrice d’identit´ e de dimension 2, 2 , et  et   w(k ) est un bruit de syst`eme eme avec une matrice de covariance Q covariance  Q  =  = σ  σ x2 I d   (I d  est la matrice matric e d’identit´ee). ). Le syst`eme eme est observ´ obs erv´e par p ar l’´equatio equa tion n de mesure mesu re suivante suivant e : y(k) =  x 1 (k) + x2 (k) + v (k) o`u   x1 (k ) et  et   x2 (k) sont les composantes du vecteur d’´etat  etat   x(k), et  et   v (k ) est un bruit de mesure de variance R variance  R  =  = σ  σ 2 . y

 

Les conditions initiales sont : P  :  P  (0  (0 |0 ) =  I d   et x ˆ (0 |0 ) = 0 0

T 

.

1. Donner l’express l’expression ion du gain de Kalman K  Kalman  K (1) (1) a` l’instant 1 en fonction de σ de  σ x2   et σ et  σ y2 . 2. Donner Don ner l’´etat eta t estim´ esti m´e xˆ (1 |1) de de x (1) a` l’instant 1 en fonction de  K  (1) et de la mesure y mesure  y (1).  x(1)  K (1) Exercice 2. 2.   On veut estimer deux positions cibles en utilisant une seule mesure. Ces positions





x1 (k) et  et   x2 (k ) forment le vecteur d’´etat etat :   x(k) = x1 (k)   x2 (k )

T 

avec un bru bruit it de syst`eme eme ´egale ega le

`a z´ero. ero. La variable de mesure  mesure   y(k) est affect´ee ee par un bruit  bruit   v (k ) avec une moyenne nulle et une variance R variance  R.. Sa forme se donne comme dans l’exercice l’exerc ice pr´eec´ c´eedent. dent. Afin de simplifier les calculs, nous consid´ erons erons le cas d’une cible immobile : x(k  + 1) = x =  x((k ) =  x

– 67 –

 

Annexe C. S´erie erie de TD N◦ 3

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

 

Les conditions initiales sont : P  :  P  (0  (0 |0 ) =  I d ,  R  = 0.1, y 1,  y  = 2.9 (mesure) et x ˆ (0 |0 ) = 0 0  R = 1. Donner la matrice d’´etat A etat  A  et la matrice d’observation C  d’observation  C ..

T 

.

2. Calculer Calculer le gain de Kalman. Kalman. 3. Calculer Calculer la matrice de covarianc covariancee de l’erreur d’estimation. d’estimation. 4. Donner une estimation du vecteur d’´ etat x etat  x((k). ´ nt donn´ Exercice 3.  Eta Etant d onn´e une ´equatio equa tion n d’´ d ’´etat eta t de dimensi dim ension on 1 (l’´etat eta t est un sca scalai laire) re) : x(k + 1) = x =  x((k)





Cet ´etat etat est observ´e par deux mesures mesure s   y(k ) = y1 (k )   y2 (k )

    



v (k) = v1 (k )   v2 (k ) σ12   0

0   σ22 D  =  = σ  σ 12 +

T 

T 

T 

, qui sont infect´ infect´eees es par un bruit

. Le bruit de mesure est caract´eris´ eris´e par une matrice de covariance covariance :   R   =

. Les conditions initiales sont :   P   (0 (0 |0) = 1 et x ˆ (0 |0 ) = 0. D´eefinissons finisso ns la quantit´e : σ22 + σ12 σ22 .

1. Donner l’express l’expression ion du gain de Kalman K  Kalman  K (1) (1) a` l’instant 1 en fonction de σ de  σ 1 ,  σ 2   et D et  D..

2. Donner l’estim´e xˆ (1 |1) de x de  x(1) (1) a` l’instant 1 en fonction des mesures y mesures  y 1 (1), (1), y  y 2 (1), (1), σ  σ 1 ,  σ 2   et D et  D.. 3. Poson Posonss   σ 2 = fonction de σ de  σ .

  σ12 σ22 , σ12 +σ22

cal calcul culer er la co cov variance ariance de l’erreu l’erreurr d’esti d’estimat mation ion   P   (1 (1 |1 ) a` l’instant 1 en

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Annexe D

S´ erie erie de TD N◦4

(4.8). ). Exercice 1. D´ 1.  D´emontrer emontrer les relations relat ions (4.7) 4.7) et (4.8 Exercice 2. Soit 2.  Soit le syst`eme eme de mesure suivant :

  

  

y1 ( k )

y2 ( k )

  

         

1 2

=

y3 ( k )

y4 ( k )

1. Donner le rang de la matrice C  matrice  C ..

    

1 0 0

1 0

x1 (k )

1 1

x2 (k )

0 0 1

+

1 1 0

2 0

1 0 1

  

f 1 (k )

f 2 (k )

f 3 (k )

2. Combien Combien de relations de redondance statiques statiques existent-elle existent-elless ? 3. Construire la matrice ma trice de parit´e W   W .. 4. Trouver les ´equations equations de redondance statiques. Exercice 3. Con 3.  Consid´ sid´erons erons l’´equation equati on de mesure ci-dessous ci-desso us :

   

   

y1 (k )

y2 (k )

   

1 0 8 1 1 1

y3 (k ) = 1 0 1

y4 (k )

1 8 1

8 0 8 y5 (k ) 1. Donner les dimensi dimensions ons n  n,,  p  et  q ff  .

     

   

1 0 0 0 0

x1 (k)

  

0 0 1 0 0

x2 (k) + 0 0 0 0 1 x3 (k)

0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

      

   

f 1 (k)

f 2 (k)

f 3 (k)

f 4 (k)

f 5 (k)

– 69 –

 

Annexe D. S´erie erie de TD N◦ 4

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

et  C  p 2. A partir de la matrice matrice d’observation d’observation C  matrices  C n   et C   C ,, construire les deux matrices C   p−n , de telles sorte con stitu´ u´ee ee a` partir les lignes restantes de ee inversible et   C  p−n  est constit que   C n  est une matrice carr´ee que C . ¯   = 3. En absence de d´efaut, efaut, donner la matrice  C  =

    C n

et le vecteur y¯(k) =

C  p−n

 

yn (k )

 

. Qu’est-ce

y p−n (k )

que vous vous remarquez? remarquez ? ¯  (i.e. W  ¯  = 4. Calculer la matrice de parit´ par it´e W   W  orthogonale  orthogonale `a  C  (i.e. C   W  C    = 0). 5. D´eeduire duire les ´equations equati ons de redondance redon dance statiques. statiq ues. 6. Qu’est-ce Qu’est-ce que vous remarquez remarquez concernant concernant le capteur capteur de mesure y mesure y 1 ? Exercice 4. So 4.  Soit it le syst`eme eme lin´eaire eai re suivant :

           

0.1

x1 (k + 1)

x2 (k + 1) =

=

0 0

x3 (k + 1)

y1 (k )

               0

0 .5 0

  

  

0   −1

0

x1 (k )

0

x2 (k ) + 1

0 .1

x3 (k )

x1 (k )

1 1 0

x2 (k )

0

        u1 (k )

1

u2 (k )

1

0 1 1

y2 (k )

x3 (k )

A) Auto-redond Auto-redondance ance

 (n n1  − 1) par rapport au cap1. Donner Donner le rang rang  n 1  de la matric mat ricee d’obse d’o bservabil rvabilit´ it´e r´eduite edui te H   H o  ( 1

teur y teur  y 1 . 2. Afin d’obtenir d’obtenir de la redondance, redondance, a jouter une ligne suppl´ ementaire ementaire `a cette matrice pour avoir H  avoir  H o  (  (n n1 ), et exprimer par la suite la relation (4.11 ( 4.11)) pour la mesure y mesure  y 1 . 1

3. D´eeduire dui re l’´equatio equa tion n d’auto d’a uto-re -redon dondan dance ce r  r 1 (k ) sur le premier capteur  capteur   y1 . 4. Refaire la mˆeme eme chose (i.e. les questions 1,2 et 3) pour le deuxi`eme eme capteur  y 2 . 5. D´eeduire duire le vecteur d’auto-redondance  r(  r (k ). 6. Supposo Supposons ns que  que   f y ,   f y ,   f u   et et   f u  sont, respectivement, les d´eefauts fauts sur le capteur  capteur   y1 , le 1

2

1

2

´ capteur y capteur  y 2 , l’actionneur u l’actionneur  u 1   et l’actionneur  l’actionneur   u2 .  Etablir la table de signatures des d´efauts. efauts. Ces d´efauts efauts sont-ils localisables ? 7. En r´egime egime permanent (i.e. lorsque  lorsque   k   → ∞), donner la table d’orientation du vecteur de parit´e en fonction foncti on des quatre d´efauts. efaut s. Peut-on maintenant maintena nt localiser lo caliser ces d´eefauts fauts ? 8. D´eeduire duire le r´esidu esidu directionnel correspondant et tracer dans le plan (r ,   r ) (l’espace de 1

2

parit´ee)) les diff´erentes erentes directions, direct ions, susceptibles suscepti bles d’ˆetre etre occup´ occu p´eees es par ce vecteur en fonction fonct ion des d´efau ef auts. ts.

Master 2. Automatique et syst`emes

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Annexe D. S´erie erie de TD N◦ 4

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

B) Inter-redondance 1. En tenant tenant compte compte des rangs  rangs   n1   et et   n2   des matrices matric es d’observabilit´ d’obse rvabilit´e r´eduites eduites par rapport rapp ort aux capteurs capteurs y  y 1   et et y  y 2 , donner d onner toutes les relat relations ions ind´ependantes epend antes qui r´esultent esultent a` partir de (4.14 4.14). ). 2. Combien Combien de relations d’inter-re d’inter-redondan dondance ce on peut p eut trouver trouver dans ce cas ?



3. On veut maintenant maintena nt ´eliminer elimin er le vecteur d’´etat etat   x(k) = x1 (k)   x2 (k )   x3 (k)



T 

, ´ecri ec rire re la

relation qui lie ce vecteur avec celui de mesures contenant les sorties   y1   et   y2   (ici les ent en tr´eees e s   u1   et   u2   n’interviens pas dans les calculs). Reformuler `a nouveau les relations ind´ependantes epend antes obtenues o btenues dans la question qu estion 1. ´ 4.   Etabli Etablir r la (les) relation(s) relation(s) d’inter-re d’inter-redondan dondance. ce. Qu’est-ce que vous remarquez remarquez ? ´ 5.   Ecrire le vecteur de r´esidus esidus global englobant toutes les relations de redondance. Donner la table de signatures signatures correspondante. correspondante. Cette nouvelle nouvelle structure est-elle est-elle localisante localisante ? 6. D´eeduire duire la nouvelle n ouvelle table d’orientation d’orie ntation du vecteur vect eur de parit´ p arit´e en r´egime egime permanent perm anent avec le r´esidu esidu directionnel direct ionnel correspon corre spondant dant en e n fonctio f onction n des de s qu quatre atre d´eefauts. fauts .

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Annexe E

S´ erie erie de TD N◦5

Exercice 1. On 1.  On veut estimer la valeur des param`etres etres d’un syst` eme eme par l’analyse de sa r´eponse eponse impulsionnell impuls ionnellee en utilisant utilisa nt la l a m´ethode etho de des moindres moindr es carr´es es simples puis r´ecursifs. ecursif s.  (s)  = Consid´erons erons un syst`eme eme lin´eaire eaire dont sa fonction foncti on de transfert trans fert est donn´eeee par :   Y   U (s)

  1 . s+a

Le relev´e de la r´eponse epo nse impulsionnelle impulsi onnelle a donn´e les mesures suivantes : t   1 y (t) 0.70

2 0.43

3 0.32

4 0.19

5 0.15

1. Donner l’expression de la r´eponse eponse impulsionnelle y impulsionnelle  y th (t) de ce syst`eme. eme. Est-elle Est-ell e lin´eaire eaire par rappo port rt au param` par am`etre etr e  a ? Proposer Prop oser une m´ethode etho de de lin´eearisation. arisa tion. 2. Calculer Calcul er la l a valeur estim´ee ee de d e ce param`etre etre (i.e. a ˆ) en utilisant utilisa nt la m´ethode etho de des moindres moindr es carr´eess simples. 3. D´eeduire du ire la valeur estim´ est im´ee ee yˆ(t) calcul´ cal cul´ee ee aux po points ints d’´echantill echant illonn onnage age.. 4. Calculer Calculer la valeur du crit` crit`ere ere quadratique quadratique   J   (θ ( θ). Qu’est-ce que vous remarquez concernant la qualit´e de l’estimation l’esti mation de yˆ ? 5. Maintenant, Maintena nt, on o n utilise u tilise la m´ethode etho de des moindres moindr es carr´es es r´ecursifs ecursi fs pour pou r la d´eetermination termi nation de a ˆ. Donner la dimension dimensi on du r´egresseur egress eur φ  φ,, de la matrice d’observation Φ, et de la matrice P  matrice  P    intervenant dans le processus proc essus it´eratif. erati f. 6.   Ecrire E ´ crir e les le s ´equations equati ons r´ecursifs ecursi fs permett p ermettant ant de d e calculer ca lculer la valeur de d e ˆa. 7. Supposons Supposons que que  P   P (0) (0) = 100I  100I   et  θˆ(0) = 0, calculer les valeurs r´ecursifs ecursifs de a ˆ  et d´eeduire duire celles de yˆ.

– 72 –

 

Annexe E. S´erie erie de TD N◦ 5

Mo dule. Diagnostic des syst`emes

8. D´eeterminer termi ner la valeur du crit`ere ere quadratique quadra tique J  esultats obtenus avec ceux du  J k (θ). Comparer les r´esultats cas pr´ec´ ec´eedent. dent. Qu’est-ce Qu’est- ce que vous remarquez remar quez ? Exercice 2. Le 2.  Le syst` s yst`eme eme lin´eaire eai re du premie pre mierr ordre ord re : y (k) + a1 y (k − 1) =  b1 u (k − 1) est donn´e avec les mesures suivantes : k   0 u(k ) 0 y(k ) 0

1 1 1 .1

2 -1 -0.2

3 1 0 .1

4 1 0.9

5 1 1

6 -1 0.1

7 -1 -1.1

8 0 -0.8

9 0 -0.1

10 0 0

1. Estimer Estime r les param`etres etres  a 1   et et b  b 1  en utilisant utilisa nt la m´ethode etho de des moindres moindr es carr´es. es. ´ 2.   Evaluer la s´equence equence du bruit  e  e((k ), sa valeur moyenne, ainsi que son ´ecart-type. ecart-type. 3. Proposer un algorithme d’estimation par les moindres carr´eess r´ecursifs ecursifs permettant de calculer a ˆ1 (k) et ˆ et  ˆb1 (k ) du syst`eme eme ci-dessus. ci-dess us. 4. On suppose que P  que  P (0) (0) = 1000I  1000I   et  θˆ(0) = 0, appliquer appliqu er l’algorithme l’algo rithme propos´ prop os´e afi afin n de d´eeterminer termi ner les es esti tim´ m´eess de  a 1   et et b  b 1 . Conclure Co nclure sur les l es r´esultats esultat s obtenus. ob tenus. Exercice 3. Les 3.  Les r´esultats esultats d’un essai obtenu par injection d’une SBPA SBPA a` l’ l’en entr tr´´ee ee d’un d’ un sy syst` st`eme em e r´eel ee l sont donn´es es par p ar le tableau t ableau suivant : k   0 u(k ) -1 y(k ) 0

1 -1 -1.24

2 1 -0.32

3 -1 1.50

4 1 -2.37

On veut identifier ce syst`eme eme par le mod`ele ele :  y(  y (k) =  a y (k − 1) + b u(k − 1), 1) , et on d´eesire si re d´eter et ermi mine nerr les param`etres etres de ce mod`ele ele par l’algorithm l’alg orithmee des moindres moindr es carr´es es r´ecursifs ecursi fs avec facteur facteu r d’oubli. d’oubl i. 1. Donner les ´equations equati ons des d es deux deu x algorit al gorithmes hmes des d es moindres mo indres carr´eess r´ecursifs ecursif s avec facteur fa cteur d’oubli d’oubl i (i.e. (i. e. MCRFDC et MCRFDV). 2. En initialisant le vecteur de param`etres etres `a 0.1, le gain  gain   P (0) P (0) = 10 I , et supposons que :  :   λ  = 0.9, ∆ = 0.9 et Γ = 1000. Calculer les estim´ees ees des param`etres etres en utilisant ces deux algorithmes aux instants 1, 2, 3 et 4. Commenter les r´esultats esultats obtenus.

Master 2. Automatique et syst`emes

– 73 –

KHEBBACHE Hicham

 

R´ e ef´ f´ eren er ence cess bi bibl blio iogr grap aphi hiqu ques es

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