Polinomios
March 22, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Polinomios
Ecuación de segundo grado
FACTOR COMÚN
Procedimiento: 1° Paso: Buscamos el f ctor común (que debe ser el mayor posible) 2° Paso: Se expresa el polinomio d do como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común. Ejemplos: 2 2
4a
1)
2)
b 2ab
Factor comun
2ab(2a b) 3 xby 9 xa
Factor comun
3 x (by 3a)
FACTOR COMÚN POR GRUPOS
Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos. Procedimiento 1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común, se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos. 2° Paso: Debe quedar un paréntesis común. 3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común. Ejemplos: 2 xy 2 a mb 2 xy 2b ma
Agrupo
2 xy a ma mb 2 xy b 2
1)
2
Factor tor Comú Comú n Fac a ( 2 xxyy m) b( m 2 xy 2 )
2
Factor Comú Comú n Factor
( 2 xy 2 m)( a b) Factor Comú n por Grupos
( x 2 ax ) (bx ab)
2)
Factor comun
x ( x a ) b( x a )
Factor comun ( x a )( x b) Factor Comun por Grupo
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Recuerdo: “Cuadrado de un Binomio” - 1-
(x+y)2
x
2
2 xy y 2
Procedimiento: 1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante. Y calculo sus raíces cuadradas, cuadradas, dichas raíces serán las las bases. 2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado, 3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases. OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES: Si el doble producto que figura en el ” rinomio Binomio tendrán las dos el mismo signo. Si el doble producto que figura en el ” rinomio Binomio tendrán signos opuestos. Ejemplos: 1)
dado” es
positivo, entonces las bases del Cuadrado del
dado” es
negativo, entonces las bases del Cuadrado del
4 x 2 12 xz 9 z 2
2 9 z 3z Es un Trinomio Cuadrado Perfecto 2.2 x.3z 12 xz Entonces: 4 x 2 12 xz 9 z 2 = (2 x + 3z) 2 o( 2 x 3z ) 2 4 x 2 2 x
2)
4 x 6
1 16
x3
4 x 2 x 1 1 Es un Trinomio Cuadrado Perfecto 16 4 1 2.2 x 3 . x 3 4 6
3
Entonces: 4 x 6
1 16
1
1
4
4
x 3 = ( 2 x 3 + ) 2 o( 2 x 3 ) 2
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO Recuerdo: “Cubo de un Binomio” 3
x y
Procedimiento:
3
x
1°Paso: Se reconocen los cubos perfectos
- 2-
3x
2
y 3xy
2
3
y
Y calculo sus raíces cúbicas, cúbicas, dichas raíces serán llas as bases. 2° Paso: Luego calculo: el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado, 3° Paso: Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo f actorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases. OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE: Ejemplos: Las bases1)que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.
8a 3 36a 2b 54ab 2 27b 3
3 3 27b 3b Es un Cuatrinomio Cubo Perfecto 2 2 3. ( 2a ) . ( 3b) 36a b 3. ( 2a ). ( 3b) 2 54ab 2 Entonces: 8a 3 36a 2b 54ab 2 27b 3 = ( 2a - 3b) 3 3
2) 1 8
8a 3 2a
x
3
3 4
x
2
3
x
1
2
8 2 3 1 1 1 2 3 2 Es un Cuatrinomio Cubo Perfecto 3. ( x ) . ( 1) x 2 4 1 3 3. x. ( 1)2 x 2 2 3
1
x
3
1
Entonces:
x
1 8
x
3
3 4
x
2
3 2
x
1
1= (
2
x
- 1) 3
DIFERENCIA DEdeCUADRADOS Recuerdo: Producto Binomios Conjugados
( x y )( x y) x 2 y 2
Procedimiento: 1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos. 2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno) 3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases. Ejemplos: 1)
- 3-
9 x 2 25 y 2 9 x 2 3x 25 y 2
2 2 Entonces: 9 x 25 y (3x 5 y )(3x 5 y ) 5 y
2) 4
6
9 x 4 9
4
2
z y x
6
2 3
3
x 4 2 2 Entonces ces: x 6 z 4 y 2 x 3 z 2 y x 3 z 2 y Enton
2
3
9
z y z y 4
2
3
DIVISIBILIDAD Este caso consiste en hallar los divisores del polinomio dado. Esto lo efectuamos mediante la siguiente propiedad.
“Si un número a es raíz de un polinomio P(x), dicho polinomio es divisible por (x -a), es decir que, al dividir P(x) por (x-a), (x-a), el resto de la división es cero” cero” Por el teorema del resto tenemos que: P(a)=0 En símbolos: P(x)(x-a) 0 C(x)
Entonces: P x)= x-a)C x) Este tipo de división la podemos realizar con
Cálculo de las raíces de un polinomio: Para calcular la raíces de un polinomio en el cual figura una sola incógnita, elevada a una potencia, podemos calcular su raíz igualando a cero y resolviendo esa ecuación. Cuando tenemos un polinomio de grado dos, donde aparece la incógnita dos veces v eces (una elevada al cuadrado y otra con exponente 1, podemos calcular sus raíces aplicando aplicando la resolvente. En este caso hay que tener en cuenta que los alumnos ya saben factorizar un polinomio de este tipo. Entonces:
Si
P( x )
ax
2
bx
c,
y sean x1 , x2 raices de P( x)
entonces podemos escribir a P( x ) como: P( x )
a ( x x1 )( x x2 )
Ahora si nos encontramos con un polinomio de grado mayor que dos, y la incógnita aparece más de una vez, podemos calcular sus raíces mediante el Teorema de Gauss, que si bien no nos asegura exactamente cuáles son sus raíces, nos da un número finito de raíces posibles. Teorema de Gauss: Este teorema nos parece conveniente explicarlo a través de un ejemplo, ya que el teorema enunciado en forma general nos parece demasiado complicado para que los alumnos puedan entenderlo.
- 4-
Si tenemos por ejemplo P ( x ) = 2 x 3 - 3x 2 - 8 x - 3 Divisores Divi sores del té rmin rmino independient independiente, e, (-3): Divisores Divi sores del coeficient coeficientee principal, principal, (2):
1,
1,
3
2
Entonces las posibles raices de P(x) son: x1
1, x2
1 2
x3 3, x4
,
3 2
Ahora debemos verifiar cuales son las raices de P ( x ) P ( 1) P (
2. ( 1) 3 3. ( 1) 2
1
1
) 2. ( ) 2 2
P ( 3)
3
2.33 3.32
1
3. ( ) 2
8. ( 1) 3 0 x1 2
1
8. ( ) 3 0 x2 2
8.3 3 0 x3
Entonces podemos escribir a P(x) como: P ( x )
2x
3
3x
Ejemplos: x
3
2
3 es raiz
1
8 x 3 2( x 1)( x )( x 3) 2
64
Calculo una raiz de P(x) x
3
x
3
64 0 64
3
x
=
x
= 4 Raiz de P(x)
Ento En tonc nce es: es decir x 3 C( x )
64 x 3
divisi sibl ble e por por ( x - 4), 4), 64 es divi 64 = ( x - 4) C ( x )
es el cociente de dividir
Aplico Ruffini para calcular x
4
3
0
0
- 64
4
16
64
1
4
16
0
3
64 por ( x - 4)
C( x )
0 x 2 0 x 64
1
C( x )
x
x
2
( ) 0 Entonce Ento nces: s:
4 x 16
R x
x
3
64 ( x 4)( x 4 x 16 1 6) 2
2)
- 5-
1 es raiz
1 2
es raiz
x
2
x
6
Busco una raiz de P(x) x
2
x
1, 2
x
1, 2
x
60 ( 1)
1
2
4.1. ( 6)
2.1 1
25
2
Entonces: x
2
x
1
x
6
3, x2
2
( x 3)( x 2)
COMBINACIÓN DE LOS CASOS DE FACTOREO Ejercicio N° 1: Factoriza la siguiente expresión 20 5 3 3 x b 5x b 9 Factor Comun 5 x 3b(
4
2
x b
9
2
1) 4
2
Diferencia de cuadrados 9 x 2 2 5 x 3b xb 1 xb 1 3 3 Ejercicio N° 2: Factoriza la siguiente expresión 3 2 a a a 1
2
b
2
3 xb,
Agrupo los terminos
a
3
a 2 a 1 Saco factor comun en cada grupo
2
a
(a - 1) + (-1)(a - 1) Factor Comun por Grupos
(a - 1)( a 2 1)
Diferencia de Cuadrados
a - 1a 1a 1
Multiplic Multiplico, o, los factores con igual base
(a 1) 2 ( a 1) Ejercicio N° 3: Factoriza la siguiente expresión
- 6-
1 1
x
3
- x 2 y - 2 x 2 y 2 + 2 xy 3 + xy 4 - y 5 Agrupo terminos
x
3
xy
- x 2 y + -2 x 2 y 2 + 2 xy 3 +
4
- y5
Saco factor comun en cada grupo
x
2
( x y ) 2 xy 2 ( x y ) y 4 ( x y )
x y Saco factor comun ( - ) ( x y )( x 2 2 xy 2 y 4 )
Trinomio Cuadrado Perfecto
( x y )( x y ) 2 CÁLCULOS:
Trinomio Cuadrado Perfecto (Calculos) x
2
2 xy 2 y 4
x 4 2 2 2 4 2 y y x 2 xy y ( x y ) 2 xy 2 x
2
Ejercicio N° 4: Factoriza la siguiente expresión Una forma de resolverlo:
4 x 3 2 x 2 4 x 2 Factor Comun (2)
2( 2 x 3 x 2 2 x 1) Factor comun por grupos
2 x 2 (2 x 1) (2 x 1)
2(2 x 1)( x 2 1) Diferencia de cuadrados 2(2 x 1)( x 1)( x 1) Otra forma de resolverlo:
- 7-
4 x 3 2 x 2 4 x 2 Factor Comun (2)
2( 2 x 3 x 2 2 x 1)
Divisibi Divisibilidad lidad (T.Gauss)
2( 2 x 2 x 1)( x 1)
Resolvente o Gauss
1 2. ( 2) x 1 x ( x 1) 2
1 4 x 1 x ( x 1) 2 CÁLCULOS:
Divisibilidad (calculos) 3
2 x x
2
2 x 1
1 T.G .Gaauss Posibles Raices: 3
2
2( 1) ( 1) 2( 1) 1
1,
2
0
( 1) es raiz 3
2 x x
2
es decir
2 x x 2 x 1 = ( x 1) C ( x )
C ( x)
2 x 1 es 3
divi di vissible ible po porr ( x +1),
2
es eell co coci cien ente te de de di divi vidi dirr
3
2x x
2
2x 1
por ( x + 1)
Aplico Ruffini para calcular C( x ) 3 2 2 x x 2 x 1 - 2 -1 2 1
-1
2
-1
-1
-2
1
1
0
C( x )
2 x 2 x 1
R ( x )
0
Entonces: 2 x 3 x 2 2 x 1 ( x 1)( 2 x 2 x 1)
- 8-
Resolvente:2 x x 1 2 -1 1 4. ( 2).1 1 2 x x x = 2 1 2 x x 1 1, 2 2. ( 2) 2 -1 9 1 x x1 , x2 1 1, 2 = 2 4 2
Ejercicio N° 5: Factoriza la siguiente expresión
4 x 4 4 x 2 y 2 4 x 3 y 4 xy 3 y 2 x 2 y 4 Factor Comun por Grupos
4 x 2 ( x 2 - y 2 ) - 4 xy ( x 2 - y 2 ) + y 2 ( x 2 - y 2 ) Factor comun ( x 2 - y 2 )
( x 2 - y 2 )(4 x 2 - 4 xy + y 2 )
Difere Dif erenci nciaa de Cuadr Cuadrado adoss Trino Trinomi mio o Cu Cuadr adrado ado Perf Perfect ecto o ((x x - y)(x + y)(2x - y) 2 CÁLCULOS: Trinomio Cuadrado Perfecto
2 2 2 2 y y 4 x - 4 x y + y ( 2 x y ) 2.2 x. y 4 xy 4 x 2 = 2x
Para recordar: En el momento de factorizar una expresión debemos tener en cuenta que:
Primero nos fijamos si hay factor común en todos los términos, en caso de haber, lo extraemos. Luego Consideramos la cantidad de términos: Si hay dos términos puede ser que sea “Diferencia de Cuadrados” o puede ser que podamos utilizar el caso “Divisibilidad”. “Divisibilidad”. Si hay tres términos puede ser “Trinomio Cuadrado Perfecto” o puede ser que podamos aplicar “Divisibilidad” “Divisibilidad” Si hay cu tro términos puede ser que sea un “ Cuatrinomio Cubo Perfecto” podemos intentar “Factor Común por Grupos” o utilizar “Divisibilidad”. “Divisibilidad”.
Esto en realidad lo recordaríamos más o menos al finalizar o comenzar el primer ejercicio) Ejercitación La siguiente ejercitación es para que los alumnos realicen de tarea y luego haríamos la corrección en el pizarrón, haríamos pasar a los alumnos para que los realicen, y así participar de la clase y poder marcarles lo errores en forma oral, para que todos escuchen y no vuelvan a cometer esos errores. En el ejercicio N° 1 se puede aplicar
Factor Común por Grupos Diferencia de Cuadrados Divisibilidad - 9-
En el ejercicio N° 2 se puede aplicar Factor Común Factor Común por Grupos Diferencia de Cuadrados En el ejercicio N° 3 se puede aplicar Factor Común Cuatrinomio Cubo Perfecto En el ejercicio N° 4 se puede aplicar Factor Común
Trinomio Cuadrado En el ejercicio N°Perfecto 5 se puede aplicar Factor Común Factor Común por Grupos Divisibilidad En el ejercicio N° 6 se puede aplicar Factor Común Factor Común por Grupos Diferencia de Cuadrados En el ejercicio N° 7 se puede aplicar Factor Común Diferencia de Cuadrados Factorizar los siguientes polinomios
1) x 5 2) 3) 4) 5)
1 2 1 5 1 9 3 2
x 3a 2
a3x2
1 8
a 7b 4 x a2 x4 y2 x 8
a3 y2
9
1 2
ax 2
ax 3 y 2
9 3
a5
a 5b 3 x 2
10 2
3x 7 2
a3x2
2
x6
3 2
6) 4a 8a 16a 7) 3 x 9 y 7 12 x 7 y 9
27
1 8
ay 2
a 3b 2 x 3
20 1 2 2 x y 9
x3
3
3x 2
3 2
27 40
abx 4
x
4
32 a
MODO DE EVALUACIÓN En cuanto a la forma de evaluación del tema, la realizaría realizaríamos mos mediante un examen. Dicho examen lo tomaríamos al finalizar el tema, dejando una clase intermedia, entre la última clase y el examen. Con esta clase intermedia le daríamos a los alumnos la posibilidad de consultar sobre alguna inquietud que haya quedado sobre el tema dado. Claro que no le dedicaríamos una clase completa sino, algunos minutos o media hora, según las dudas que hayan surgido en los alumnos.
La evaluación o examen consistiría en la resolución de 5 ejercicios (ya que nos pareció la cantidad más apropiada), cuyos ejercicios estarían distribuidos de la siguiente manera: El primer ejercicio para aplicar “Cuatrinomio Cubo Perfecto” Perfecto” El segundo ejercicio para aplicar “Diferencia de Cuadrados” Cuadrados”
- 10 -
El tercer, cuarto y quinto ejercicio para aplicar diversos casos de factoreo, en un mismo ejercicio, en general dos o tres casos en el mismo. MODELO DE EXÁMEN
Nombre y Apellido:..................................... Apellido:..................................... Factorizar hasta su mínima expresión, justificando cada paso que realices re alices Realizar todos los cálculos en la hoja. 9
3
1)
x
2)
36 81
2
x
4 2
2
2
x y z
27
64
27
x
16
100 x 2
2
3) xy 150xy 1875x 3
4) ab 5) 1)
x
3
3 x
9
x
12 125 5a 3
15x
27
2
2
24 x 12
27
4
SOLUCIÓN DEL EXÁMEN
x
64 16 Caso Aplicado: Cuatrinomio Cubo Perfecto x
27 3 3 64 4 9 2 2 3 3. x . x 4 4 2 27 3 x 3. x. 4 16 3 x 3
Entonces: Enton ces: x
36 2)
81
3
2
9
2
x
4 2
x y z
es un Cuatrinomio Cubo Perfecto
3 x x 4 64 16 27
2
27
100 x
3
2
Caso Aplicado: Diferencia de Cuadrados 36 81
2
2
x y z
100 x
2
2
6 9
xyz
Bases
10 x
Entonces: Enton ces:
36 81
2
2
x y z
2
6 6 100 x xyz 10 x xyz 10 x 9 9 2
3) xy2 150 xy 1875x
- 11 -
xy 2 150 xy 1875x Factor Comun
3 x ( y 2 50 y 625) Factorizacion mediante el
calculo de las raices (resolvente) 2
3x 3x(y - 25):( Resolvente y - 25) = 3x(y - 25) Calculos y
2
50 y
625
Busco una raiz de P(x) y 2
50 y
x1,2
x1,2
625 0
50
ab
3
4.1. ( 625)
2.1 50
0
2
Entonces: y
4)
( 50)
2
2
x1
50 y
25, x2
625 ( x
125a
25)( x 25)
( x 25)
2
-5 es raiz aiz de b 3 + 125 enton ntoncces es divi divissible ible por (x + 5).
a (b 125) 3
Divisibilidad
Divisibilidad:
Factor Comun
25
(b 3 + 125) ( x 5) C ( x )
Aplico Ruffini, para calcular C(x C(x)) donde C(x) es el cociente de dividir
(b 2 5b 25)( x 5)
b
3
+ 125 por (x + +5 5)
b3
1
2 0b 0b 125 0 0 125
5
5
- 25 -125
1
5
- 25
C( x)
R ( x )
0
x
2
0
5x 25
Divisibilidad : x
3
5x 2 8 x 4
3
2
1 5.1 8.1 4 1 5 8 4 0 3 2 Entonces: x 5x 8 x 4 es divisible por ( x - 1), es decir x 3 5x 2 8 x 4 = ( x - 1)C ( x )
C( x)
- 12 -
es el cociente de dividir x 5x 8 x 4 por ( x - 1) 3
2
Aplico Ruffini para calcular C ( x )
6)
- 13 -
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