POLINOMIOS. Operaciones (Con Soluciones)

 

POLINOMIOS

1

Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta? a) x 3 − 5x 2 + 7 : ( x + 3 ) ; b) 7x 3 −   19x 2 − 91x + 105 : ( x − 5 ) ; c) x 8 − 1 : ( x − 1) .

Solución: = x 2 − 8 x + 24 ; r(x) = −65; b) c(x) = 7 x 2 + 14 x − 21 ; r(x) = 0 ⇒ exacta; c) c(x) = x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ; r(x) = 0 ⇒ exacta . a) c(x)

2

Realiza las siguientes divisiones: a) x 3 b) x

4

  − 3x 2 + 6x −2 −

x

3

+

 

8x + 4 : x

Solución: a) c(x) = x − 4    b) c(x) 3

=

x

2

: x2

 

−2 

2

−

+ x −1 x+2

= 11 x − 6 r(x) = 6 x + 8

r(x)

Dados los polinomios px)! "x) # $x) esc$itos más aba%o! calcula: a) px) & "x)' b) px) ( "x)' c) px) & "x) ( $x)' d) px) ( "x) ( $x). p(x)

= 4x 3 − 9x + 8 ;

q(x)

=  5x 3 + 3 ;

r(x)

= 2x 3 − x 2 + 1 .

Solución: = 9 x 3 − 9 x + 11 11;; b) p(x) − q(x) = − x 3 − 9 x + 5; c) p(x) + q(x) − r(x) = 7 x 3 + x 2 − 9 x + 10; d) p(x) − q(x) − r(x) = −3 x 3 + x 2 − 9 x + 4. a) p(x) + q(x)

4

Dados los polinomios px) # "x) esc$itos más aba%o! calcula: a) px) & "x)' b) "x) ( px)' c) px)"x). p(x)

= 5x 3 − 3x 2 + 7x − 1  ;

q(x)

= 3x 3 + 3x 2 + 3x + 1 .

Solución: = 8 x 3 + 10 x; b) q(x) − p(x) = −2 x 3 − 6 x 2 − 4 x − 2; c) p(x)·q(x) = 15 x 6 + 6 x5 + 27 x 4 + 14 x3 + 15 x 2 + 4 x − 1. a) p(x) + q(x)

5

Dados los polinomios px) # "x) esc$itos más aba%o! calcula: a) px) & "x)' b) px) ( "x)' c) px)"x). p(x)

  = 5x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 2x + 1;

q(x)

= x 4 − x 2 − 2.

Página * de +

 

Solución: = 6 x 4 + 4 x 3 + 2 x 2 + 2 x − 1; b) p(x) − q(x) = 4 x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 3; c) p(x)·q(x) = 5 x 8 + 4 x 7 − 2 x 6 − 2 x 5 − 12 x 4 − 10 x 3 − 7 x 2 − 4 x − 2. a) p(x) + q(x)

6

Dados los polinomios polinomios px)! "x) # $x) esc$itos más aba%o! calcula: a) px) & "x)' b) px) ( "x)' c) px) ( "x) & $x)' d) px) & "x) ( $x). p(x)

= 2x 4 + x 2 − 2 ;

q(x)

=  2x 4 − x 2 + 4 ;

r(x)

= 3x 4 + 15.

Solución:

= 4 x 2 + 2; b) p(x) − q(x) = 2 x 2 − 6; c) p(x) − q(x) + r(x) = 3 x 4 + 2 x 2 + 9; d) p(x) + q(x) − r(x) = −3 x 4 + 4 x 2 − 13. a) p(x) + q(x)

7

Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta? a) 2x 5

+

x4

−

x3

+

x2

−

x + 1 : ( x + 1) ; b) x  3

−

18x 2

+

51x + 182 : ( x − 13) ;

c) x 5

+

x2

−

7 : ( x + 2 ).

Solución: = 2 x 4 − x 3 + x − 2 ; r(x) = 3; b) c(x) = x 2 − 5 x− 14 ; r(x) = 0 ⇒ exacta; c) c(x) = x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 − 7 x + 14 ; r(x) = −35. a) c(x)

8

Realiza las siguientes divisiones: a) x 3 −  5x 2 + x − 1 : ( 2x − 1) b) x 6 + x 2  − 3 : x 2 + 1

Solución: a)

c(x)

=

 b)

c(x)

=

x

2

−

9x

−

5

 

2 4 8 x4 − x2 + 2  

r(x) r(x)

=−

= −5

13 8

Continuamos con más e%e$citaci,n

1

Calcula: 3

5    3 a) a + b   ; 3    5 2 1   1   b)  − h + m   ; 2     4 c) ( 17m − 5h)( 17m +

)

5h .

Solución: Página - de +

 

27

a)

9

a3 +

a 2 b+ 5 ab 2 +

125

125 5 1 2 1 1 b) h − hm+ m 2 ; 16 4 4

27

b3 ;

c) 17 m 2 − 5 h 2 .

2

Calcula: 3   1 3    1 x + !   x − !  ; 4   2 4    2 b) ( 7 − 3 )( 7 + 3 ); c) ( − 5h + 3m) ( − 5h − 3m). a)

Solución: 1

a)

9

x2 −

4

16

y2;

2

−9z ; c) 25 h 2 − 9 m 2 . b) 7

3

Calcula:     

a)

3 2

       

m − 5h  

3 2

     

m + 5h  ;

2

b)

3 x 4 !      7 − 5     3 c) ( 5h + 2 ) .

;

Solución: a) b)

3

m

4 9

49

2

x

2

c) 12 125 5h 4

− 25 h2 ; −

3

24 35

xy+

16 25

2

y ;

2 2 3 + 15 150 0 h z+ 60 hz + 8 z .

Calcula el cuad$ado del siguiente t$inomio utilizando las identidades notables # con la definici,n ( x −  ! +  ) 2 de potencia # comp$ueba "ue se obtiene el mismo $esultado:

Solución: ( ( x− y) + z) 2 = ( x− y ) 2 + 2( x− y ) z+ z 2 = x 2 − 2 xy+ y 2 + 2 xz− 2 yz+  z 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy+ 2 xz− 2 yz ( x− y+ z) ( x− y + z) = x 2 − xy+ xz− yx+ y 2 − yz+ zx− zy+ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy+ 2 xz− 2 yz 5

Calcula: 3 2     a) 3a − b   ; 3     2 3 11     b)  x + !   ; 3    7 c)    12    7

− 7h       − 12  − 7h    .    7   Página  de +

 

Solución: a) 27 a 9

b)

− 18 a 2b+ 2 ab 2 − 22

x2 +

49 144

c) −

6

3

49

xy+

7

121 9

8 27

b3 ;

y2;

z 2 + 49 h 2 .

Calcula:  2 a    9 −

a)

b)

(

29 

3

2

b

4

     

− 4 )(

; 29 

+ 4 );

3

    1 c)  h − 3      3

.

Solución: a)

4 81

a2 −

b) 29 z c)

1 27

2

1 3

ab +

9 16

b2;

− 16;

h 3 − h 2 + 9 h− 27.

Calcula: 7

(2x 2 − ! +  −  " ) 2  + ( 3x − ! ) 3 Solución: 4 x 4 + y 2 + z 2 + t 2 − 4 x 2 y+ 4 x 2 z− 4 x 2 t − 2 yz+ 2 yt− 2 zt+ 27 x 3 − 27 x 2 y+ 9 xy 2 − y 3

= 8

4x

4

=

+ y 2 + z 2 + t 2 − 31x 2 y+ 4 x 2 z− 4  x 2 t − 2 yz+ 2 yt− 2 zt+ 27 x 3 + 9 xy 2 − y 3

Calcula: + 7h) 2 ; 15  − 8h)(

a)( 6 b)

(

15 

+ 8h);

3

 7   c)  x + 3!    3  

.

Solución: a) 36 z 2 + 84 zh+ 49 h 2 ; b) 15 z c)

1

243 27

2

− 64 h 2 ;

x

3

+ 7 x 2 y+ 63 xy 2 + 27 y 3 .

/acto$iza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus $a0ces: a) x 3

+ 4x 2 − 20x − 48; b) 7x 3 − 15x 2 + 58x − 8; c) x 3 − 6x 2 − 61x + 210.

Solución:   a) (x + 2)(x − 4)(x + 6) ;

Raíces: a) -6 -2 4

b) (7 x − 1)(x 2 − 2 x + 8) ;

b)

1 7

 

c) (x − 3)(x + 7)(x − 10).

c) -7 3 1! Página 1 de +

 

2

/acto$iza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus $a0ces: a) x 3

− 5x 2 + 11x − 28; b) 3x 4 + 16x 3 − 37x 2 − 14x; c) 3x 3 − 22x 2 − 47x + 18.

Solución: a) (x −  4)(x 2 − x + 7) ;

Raíces: a) 4

b) x(3 x + 1)(x − 2)(x + 7) ;

b) -7

1

−

 ! 2

c) -2

"

/acto$iza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus $a0ces:

a) x 3

− 4x 2 − 103x − 182; − 7x 2 − 16x + 112; − 4x 2 + 9x − 10.

b) x 3 c) x 3

Solución: a) (x + 7)(x + 2)(x − 13) ; Raíces: a) -7 -2 13 4

1 3

3 3

c) (3 x − 1)(x − 9)(x + 2).

b) (x −  4)(x + 4)(x − 7) ;

b) -4 4 7

c) (x − 2)(x 2 − 2 x + 5).

c) 2

/acto$iza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus $a0ces:

+ 5x 2 − 28x − 15; + 5x 2 − 29x − 105; − 7x 2 − 7x + 8.

a) 2x 3 b) x 3 c) x 3

Solución: a) (2 x + 1)(x − 3)(x + 5) ;

−

Raíces: a) -5 5

1

3

2

b) (x +  7)(x − 5)(x + 3) ;

b) -7 -3 5

c) (x + 8)(x 2 − x + 1).

c) -8

/acto$iza los siguientes polinomios e indica sus $a0ces: a) x 4 − 3x  3 + x 2 + 4 b) x 5

+

3x 4

+

 

4x 3

c) x 6

+

6x 5

+

14x 4 

+

4x 2

+

+

3x + 1

18x 3

+

17x 2

+

12x + 4

Solución: a) x 2

(

x 1( x

)

2)

− Raíces:+a) 2+#doble) 6

2

b) x 2

 

 

(

b) -1 #$%i&le)

1 ( x 1)

3

 

c) x 2

1 ( x 1)

+   ) c)+ -1 #doble)   -2 #doble) ( + ) +

2

(x

2)

2

+

2bt3n un polinomio cu#as $a0ces sean: a) * $a0z doble)! (* $a0z t$iple) b) ( $a0z simple)! 4 $a0z t$iple)! * $a0z doble) Solución: a) ( x − 1) 2 ( x+ 1) 3 = x 5 + x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 + x + 1  b) x 3 ( x + 3 ) ( x − 1) 2

7

= 

x6 + x5 − 5 x 4 + 3 x3

2bt3n un polinomio cu#as $a0ces sean: a) 4 $a0z doble)! (* $a0z t$iple) b) 4 $a0z simple)! * $a0z t$iple)! - $a0z doble) Solución: a) x 2 ( x + 1) 3

=

x 5  + 3 x  4 + 3 x 3 + x 2

3 2  b) x( x− 1) ( x− 2) = x 6 − 7 x 5 + 19 x 4 − 25 x 3 + 16 x 2 − 4 x

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8

/acto$iza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus $a0ces: a) x 4

− 4x 3 − 20x 2 + 48x; b) 8x 3 + 17x 2 + 18x + 2; c) x 3 + 5x 2 − 138x − 792. Solución: a) x(x − 2)(x + 4)(x − 6) ; Raíces: a) -4 ! 2 6

b)

b) (8 x + 1)(x 2 + 2 x + 2) ; −

1 8

 

c) (x + 11)(x − 12)(x + 6)

c) -11 -6 12

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