Polinomios de Chebyshev

 

NOMBRE: MARTINEZ HERNANDEZ JOSE MARTIN BOLETA: 2010301704

POLINOMIOS DE CHEBYSHEV. En matemática en sí Conoce Como polinomios de Chebyshev , en honor a un Chebyshev Pafnuty , una una Sucesión de polinomios ortogonales que están relacionados al estilo de la fórmula de De Moivre y que se definen recursivamente Con Sencillez, de cómo los Números de Fibonacci o los de Lucas . Normalmente sí distingue Entre los polinomios de Chebyshev de imprimación Tipo Que se indica COMO T nn   y los polinomios de Chebyshev de Segundo Tipo Que se Indican MEDIANTE U n . Se EE.UU. la letra T debido un las transliteraciones Alternativas del Nombre de Chebyshev Como Tchebyshef oTschebyscheff . Los polinomios de Chebyshev T n  o U n  hijo de grado n y la Sucesión de los polinomios de Chebyshev de cualquier tipo de compón una sucesión polinómica . Los polinomios de Chebyshev hijo Importantes en la Teoría de la Aproximación PORQUE Las Raíces de los polinomios de imprimación Tipo, also Llamadas Nodos de Chebyshev , SE USAN COMO Nodos en la interpolación . La interpolación polinómica resultante minimización de El Problema del Fenómeno de Runge y SE ACERCA al Polinomio de Mejor Aproximación DE UNA FUNCIÓN continua Bajo la norma. Esta Aproximación lleva directamente al Método de la cuadratura de Clenshaw-Curtis.  Clenshaw-Curtis.  En el Estudio de ecuaciones diferenciales surgen las  Ecuaciones diferenciales de Chebyshev  las Chebyshev 

como

una

solución

y

Para Los polinomios de imprimación y Segundo Tipo, respectivamente. Estás hijo Ecuaciones Casos Especiales de la Ecuación diferencial de Sturm-Liouville .

 

DEFINICIÓN. Los polinomios de Chebyshev del manual Tipo sí definen MEDIANTE la Relación de recurrencia

Un EJEMPLO de FUNCIÓN generatriz de T n es

Los polinomios de Chebyshev de Segundo Tipo sí definen MEDIANTE la Relación de recurrencia

Un EJEMPLO de FUNCIÓN generatriz de U n es

DEFINICIÓN TRIGONOMÉTRICA. Los polinomios de Chebyshev de imprimación Tipo sí pueden MEDIANTE Definir la Identidad trigonométrica :

Dónde:

Párrafo n = 0, 1, 2, 3, ..., Mientras Que los polinomios de Segundo Tipo satisfacen:

 

Qué es estructuralmente Bastante similar al Núcleo de Dirichlet . Que cos ( nx ) es un n º-grado del polinomio de cos ( x ) se puede ver al observar que cos ( nx ) es la parte real de un lado de la fórmula de De Moivre , y la parte real de la otra parte es un polinomio en cos ( x ) y sin ( x ), en el que todos los poderes del pecado ( x ) son aún y por lo tanto reemplazables a través de la identidad cos ² ( ) + sen ² ( ) = 1. x 

x 

Esta identidad es extremadamente útil en combinación con la fórmula de generación recurrente en cuanto que permite calcular el coseno de cualquier múltiplo entero de un ángulo exclusivamente en términos del coseno del ángulo base. La evaluación de los dos primeros polinomios de Chebyshev:

Y:

una forma directa puede determinar que:

y así sucesivamente. Para trivial comprobar si los resultados parecen razonables, la suma de los coeficientes en ambos lados del signo igual (es decir, el establecimiento de igual a cero theta, para lo cual el coseno es la unidad), y ve que 1 = 2 - 1 en la expresión anterior y 1 = 4 - 3 en el segundo. Un corolario inmediato es la identidad de la composición (o la "propiedad de anidamiento") Escrito de forma explícita

(Sin olvidar que los cosenos hiperbólico inverso de x , y - x se diferencian por la constante π). De

un razonamiento similar al anterior, se puede desarrollar

 

una forma cerrada de la generación de fórmula para los polinomios de Chebyshev de la primera clase:

que, junto con la fórmula de De Moivre :

Se obtiene:

Que, por supuesto, es mucho más conveniente para determinar el coseno de N veces un ángulo dado que es el arranque a través de rondas casi N del cálculo recursivo generador. Por último, si se sustituye cos (θ)con x , que alternativamente se puede escribir:

MUTUA DE RECURRENCIA. De manera equivalente, las dos secuencias se puede definir a la vez de un par de ecuaciones de recurrencia mutua:

Estos se pueden derivar de las fórmulas trigonométricas, por ejemplo, si , a continuación,

 

  (Estas dos ecuaciones y las ecuaciones trigonométricas tomar una forma más sencilla si, como algunas de las obras, siguen la convención alternativa de denotar nuestra U n  (el polinomio de grado n) con U n + 1en su lugar.) ORTOGONALIDAD. Tanto el T n  y la U n  forman una secuencia de polinomios ortogonales . Los polinomios de la primera clase son ortogonales con respecto respe cto al peso

en el intervalo [-1,1], es decir, tenemos:

Esto puede ser demostrado al permitir que x =   cos (θ) y el uso de la identidad T n   (cos (θ)) = cos (nθ). Del mismo modo, los polinomios de segundo tipo son ortogonales con respecto al peso

en el intervalo [-1,1], es decir, tenemos:

(Que, cuando se normalizó para formar una medida de probabilidad , es la distribución de Wigner semicírculo ). MINIMAL

-NORMA.

Para cualquier 1,

, entre los polinomios de grado n con coeficiente principal es la de que el valor máximo absoluto en el intervalo [-

1,1] es mínima. Este valor absoluto es máxima

y | f ( x ) | alcanza este

 

máximo exactamente n + 1 veces: en - 1 y 1 y los otros n - 1 puntos extrémales de f . RELACIÓN ENTRE LOS POLINOMIOS DE CHEBYSHEV DE LA PRIMERA Y SEGUNDA CLASE. Los polinomios de Chebyshev de la primera y segunda clase están estrechamente relacionados por las siguientes ecuaciones

La relación de recurrencia de la derivada de los polinomios de Chebyshev se puede derivar de estas relaciones

Esta relación se utiliza en el método de Chebyshev espectrales de resolución de ecuaciones diferenciales. OTRAS PROPIEDADES. Los polinomios de Chebyshev son un caso especial de la ultraspherical odepolinomios Jacobi . Gegenbauer , que a su vez son un caso especial de los polinomios Para cada entero no negativo n , T n  ( x ) y U n  ( x ) son polinomios de grado n . Ellos son pares o impares las funciones de x , como n es par o impar, de modo que cuando se escribe como los polinomios de x , que sólo tiene grado par o impar respectivamente términos. El coeficiente principal de T n  es 2 n - 1 , si EJEMPLOS:

, pero uno si 0 = n .

 

  Esta imagen muestra los polinomios primeros Chebyshev de la primera clase en el dominio de -1 ¼ < x