Polino - Metodos Numericos
Short Description
Download Polino - Metodos Numericos...
Description
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
Alumno: Rojas Polino José.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 1
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Contenido INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 4 1.
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VALOR .............................................................. 5
2.
TEOREMA DE BOLZANO (TB) ................................................................................... 10
3.
MÉTODO DE BISECCIÓN ............................................................................................ 11
4.
Método de Regula Falsi o Método de Falsa Posición ...................................................... 16
5.
MÉTODO DE LA SECANTE ......................................................................................... 20
6. MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS ............................................................................................................................ 23 7.
MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON .............................................................................. 27
8.
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN DOS VARIABLES ............................... 30 8.1.
Algoritmo del Punto Fijo en dos variables : ........................................................... 30
8.2.
Algoritmo de Newton – Rapson ( N.R ) en dos variables :.................................... 35
9.
METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES ............................. 40 9.1.
METODO DE CROUT - DOOLITLE ........................................................................... 40
9.2.
METODO DE CHOLESKY .......................................................................................... 43
10.
MÉTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ............... 47
11.
MÉTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ......... 55
12.
SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ........................ 65
12.1.
METODO DE JACOBI ............................................................................................. 65
12.2.
METODO DE GAUSS- SEIDEL ............................................................................... 74
13.
INTERPOLACIÓN ......................................................................................................... 88
13.1.
INTERPOLACIÓN DIRECTA LINEAL .................................................................. 88
13.2.
INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL ................................................................ 93
13.2.1.
Interpolación de Stirling ............................................................................... 93
13.2.2. Interpolación de Bessel ................................................................................ 94 PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 2
UNMSM 13.2.3. 13.3.
14.
MÉTODOS NUMÉRICOS
Interpolación de Everett............................................................................... 94
INTERPOLACIÓN INVERSA.................................................................................. 97
13.3.1.
Interpolación Inversa No Lineal ( IINL ) ...................................................... 97
13.3.2.
Interpolación Inversa No Lineal de tercer orden ............................................ 99
INTEGRACIÓN NUMERICA ........................................................................................ 110
14.1.
Para intervalos Simples ..................................................................................... 110
14.1.1.
Método del trapecio .................................................................................... 110
14.1.2.
Método de Simpson de 1/3 ........................................................................ 110
14.1.3.
Método de Simpson de 3/8 ........................................................................ 111
14.2.
Integración Numérica para intervalos compuestos ........................................ 114
14.2.1.
Método del trapecio compuesto ................................................................ 114
14.2.2.
Método de Simpson de 1/3 compuesta. .................................................... 114
14.2.3.
Método de Simpson de 3/8 compuesta. .................................................... 117
15.
EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R) ............................................................. 119
16.
INTEGRACION DE ROMBERG ................................................................................... 131
17. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALOR INICIAL...................................................................................................................... 137 18.
DIFERENCIA NUMERICA ........................................................................................... 149
18.1.
Para Newton Progresivo ( NP ) ............................................................................ 150
18.2.
Para Newton Regresivo ( NR ) ............................................................................ 151
19.
PREDICTOR – CORRECTOR....................................................................................... 156
20.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR .......................................... 158
CONCLUSIONES .................................................................................................................... 161
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 3
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTRODUCCIÓN En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.
Para una mejor organización y búsqueda rápida de cada tema se ha implementados con un índice al principio del trabajo para su fácil ubicación de los temas ya que el texto completo se encuentra enumerada de principio a fin, además en el final se ha considerado incluir problemas resueltos de los diferentes temas estudiados.
Como los algoritmos de los métodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de texto sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación (personales) de los métodos directos (que son mas difíciles de programar). El lenguaje de programación idóneo para tal fin será matlab 6.0
Damos desde ya los agradecimientos a todas aquellas personas que dieron su apoyo para completar el trabajo tanto en ideas, criticas para su mejoramiento sin importar la magnitud de la ayuda han sido de gran ayuda y esperando aun recibir su aportes para la continua superación en los próximos trabajos que se han de mostrar.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 4
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
1. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VALOR 1.1.
Definición de cifras significativas
Son valores o números diferentes de cero. El cero no será considerado cifra significativa si está en el extremo. Ejemplo
El cero no será considerado cifra significativa si está en el extremo. Pero el si el cero está entre los números diferentes de cero, entonces es cifra significativa.
1.2.
Descomposición polinómica de un número.
Todo valor o número se le puede expresar como una descomposición de potencia de 10. Ejemplo 1.2.1.
Ejemplo 1.2.2.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 5
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 1.2.3.
1.3.
Orden de la descomposición polinómica {
}
Ejemplo 1.3.1. {
}
entonces
Ejemplo 1.3.2. {
}
entonces
Ejemplo 1.3.3. {
1.4.
}
entonces
Error absoluto
Es la diferencia entre un valor de exacto y una de sus aproximaciones. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. DEFINICION DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTAS: Se define por la siguiente relación: Donde: es el orden de la descomposición polinómica. número de cifras significativas exactas. DEFINICION DE CIFRAS DECIMALES EXACTAS: Se define por la siguiente relación: Donde: numero de cifras decimales exactas. PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 6
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 1.4.1.
Sea
Para
Error Absoluto ( |
{
) |
}
Entonces
Cifra significativa exacta
Entonces tiene dos cifras significativas exactas.
Cifras decimales exactas
Entonces tiene 2 cifras decimales exactas
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 7
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Para
Error Absoluto ( |
) |
{
}
Entonces
Cifra significativa exacta
Entonces tiene dos cifras significativas exactas.
Cifras decimales exactas
Entonces tiene 2 cifras decimales exactas
Para
Error Absoluto (
) |
|
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 8
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
{
}
Entonces
Cifra significativa exacta
Entonces tiene cuatro cifras significativas exactas.
Cifras decimales exactas
Entonces tiene cuatro cifras decimales exactas.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 9
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
2. TEOREMA DE BOLZANO (TB) Sea la ecuación no lineal ( ) Donde ( ) es función no trascendente (trigonométrica, exponencial, logarítmica o polinomial), definida y continua en Si
( ) ( )
〈
entonces existe la raíz o solución
〉 tal que
( )
Ejemplo 2.1. ( ) Por Teorema de Bolzano localizamos el intervalo donde exista la raíz. Es evidente que ( ) sigue siendo continua en
〈
Como
( ) ( )
entonces
〈
〉
〉 tal que
( )
Observación: Es evidente que si
( ) ( )
entonces
o
es la raíz de la ecuación.
El teorema de Bolzano nos garantiza mostrar que existirá por lo menos una raíz si es que cumple los requisitos. El intervalo apropiado a usar se recomienda que sea distanciado a 1 o menor, como lo fue en este 〉 del ejemplo 2.1. caso del intervalo 〈
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 10
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
3. MÉTODO DE BISECCIÓN Dado la ecuación no lineal ( ) tal que existe la raíz por T.B. El método de bisección consiste en hallar el promedio simple de cada intervalo
La idea es encontrar el valor que se aproxime o sea igual a la raíz
de la ecuación ( )
Algoritmo de bisección: ( )
P-1.-
Dado la ecuación
P-2.-
Generar la sucesión {
P-3. –
Hallar Si
(
(
) (
) (
tal que existe la raíz }
por T.B.
mediante la siguiente relación
)
)
entonces hacer Es decir, que tome el valor de Y que tome el valor de
Si
(
) (
)
entonces hacer Es decir, que tome el valor de Y que tome el valor de
Si
P-4. -
(
) (
)
entonces hacer Es decir, que sea la raíz de ( )
Dejar de iterarse |
para el caso de cifras Significativas exactas (
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 11
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 3.1. ( ) a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈
〉
b) Por Bisección hallaremos la solución con dos cifras significativas exactas ( Se dejará de iterar si Entonces
|
|
|
|
|
|
Si es verdadera entonces
).
es solución con dos cifras significativas exactas.
Iteración inicial Entonces (
) ( )
( ) (
)
( )( )
Entonces { Entonces
,
Primera iteración Entonces |
|
(
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
)
Pág. 12
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Se sigue iterando (
) (
)
(
) (
)
( )( )
Entonces { Entonces
,
Segunda iteración Entonces |
|
(
)
Se sigue iterando (
) (
)
(
) (
)
( )( )
Entonces { Entonces
,
Tercera iteración Entonces |
|
(
)
Se sigue iterando (
) (
)
(
) (
)
( )( )
Entonces { Entonces
,
Cuarta iteración Entonces |
|
(
)
Se sigue iterando (
) (
)
(
) (
)
( )( )
Entonces {
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 13
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS Entonces
,
Quinta iteración Entonces |
|
(
)
Se sigue iterando (
) (
)
(
) (
)
( )( )
Entonces {
Entonces
,
Sexta iteración Entonces |
|
(
)
Se sigue iterando (
) (
)
(
) (
)
( )( )
Entonces {
Entonces
,
Sexta iteración Entonces |
Entonces
|
(
)
es raíz con dos cifras significativas
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 14
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Relación válida sólo para Bisección Dado la ecuación
( )
tal que existe la raíz
por T.B.
Conociendo: El intervalo inicial
de la Bisección.
el orden de la descomposición polinómica de numero de cifras significativas exacta de .
.
Entonces esta fórmula:
Donde
numero entero menor, indicando la cantidad de iteraciones
Ejemplo 3.2. Tomando el ejemplo 3.1., comprobando el número de iteraciones que se requiere dado su número de cifras significativas exactas( ), es el siguiente:
( ) ( )
Entonces
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 15
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
4. Método de Regula Falsi o Método de Falsa Posición Es un método similar al método de bisección en la que en vez de hallar el promedio simple de dos intervalos El método de R.F. determina el promedio ponderado de los intervalos
Algoritmo del método de R.F. P-1.P-2.-
( )
Dado la ecuación Generar la {
}
tal que existe la raíz mediante la relación
( ( P-3. –
(
Hallar Si
(
) (
) (
por T.B.
) )
( ) ( )
)
)
entonces hacer Es decir, que tome el valor de Y que tome el valor de
Si
(
) (
)
entonces hacer Es decir, que tome el valor de Y que tome el valor de
Si
P-4. -
(
) (
)
entonces hacer Es decir, que sea la raíz de ( )
Dejar de iterarse |
para el caso de cifras Significativas exactas (
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2. PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 16
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 4.1. ( ) a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈
〉
b) Por RF hallaremos la solución con dos cifras significativas exactas ( | | Se dejará de iterar si Entonces
|
|
|
|
Si es verdadera entonces
).
es solución con dos cifras significativas exactas.
Iteración inicial (
(
) ( )
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
)
( ) ( )
Entonces
( )( )
Entonces { Entonces
,
Primera iteración (
) (
)
( (
) )
( )
( ( )
|
|
(
) )
Entonces
(
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
)
Pág. 17
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Se sigue iterando ( ) ( )
(
) (
)
( )( )
Entonces {
Entonces
,
Primera iteración (
) (
)
( (
) )
( )
( ( )
|
)
(
Entonces
)
|
(
)
Se sigue iterando (
) ( )
(
) (
)
( )( )
Entonces {
Entonces
,
Tercera iteración (
) (
)
( (
) )
|
( )
( ( )
(
) )
Entonces
|
(
)
Se sigue iterando (
) ( )
(
) (
)
( )( )
Entonces {
Entonces
,
Cuarta iteración (
) (
)
( (
|
) )
( )
( ( )
(
) )
Entonces
|
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
(
)
Pág. 18
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Se sigue iterando (
) ( )
(
) (
)
( )( )
Entonces { Entonces
,
Quinta iteración (
) (
( (
)
|
Entonces
) )
( )
( ( )
(
) )
Entonces
|
(
)
es raíz con dos cifras significativas
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 19
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
5. MÉTODO DE LA SECANTE Algoritmo del método de la secante. P-1.P-2.-
( )
Dado la ecuación Generar la {
}
tal que existe la raíz mediante la relación
( ( P-3. -
por T.B.
) )
( )
(
Dejar de iterarse |
)
para el caso de cifras Significativas exactas | para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2.
Ejemplo 5.1. ( ) a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈
〉
b) Por la secante hallaremos la solución con dos cifras significativas exactas ( | | Se dejará de iterar si Entonces
|
|
|
|
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
).
Pág. 20
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Si es verdadera entonces
es solución con dos cifras significativas exactas.
Sea
Entonces
,
Segunda iteración (
) (
)
( (
) )
( ) ( )
( ) ( )
|
Entonces
|
(
)
Tercera iteración (
) (
)
( (
) )
(
) (
|
( ) ) ( )
Entonces
|
(
)
Cuarta iteración (
) (
)
( (
) )
(
) (
|
( )
) (
Entonces
)
|
(
)
Quinta iteración (
) (
)
( (
) )
(
) (
)
( (
) )
Entonces |
|
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
(
)
Pág. 21
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Sexta iteración (
) (
( (
)
) )
(
) (
)
( (
) )
Entonces |
|
(
)
Séptima iteración (
) (
)
( (
) )
(
) (
)
( (
) )
Entonces |
Entonces
|
(
)
es raíz con dos cifras significativas
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 22
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
6. MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS Algoritmo: P-1.P-2.-
( )
Dado la ecuación De
( )
despejar
tal que existe la raíz
por T.B.
de diferentes formas y obtener una ecuación de la siguiente forma: ( ) Donde
Generar la {
}
( ) es llamado punto fijo.
mediante la relación ( ) Donde
Tomando como valor
arbitrario tal que
¿Condición de convergencia ? Existe { a)
b)
}
si se cumple lo siguiente:
( ) ( ) tal que | ( ) | ; es llamado constante de Lipschitz { |
P-3. -
Dejar de iterarse |
〈
〉
( )|
|
( )| }
para el caso de cifras Significativas exactas (
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2 en
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 23
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 6.1.
( )
( )
a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈
〉
b) Por punto fijo verificamos convergencia {
De ( 1 )
( ) Entonces ( )
Análisis para
( )
,
( )
,
( )
( )
( ) ( )
Primera condición ¿ ( )
?
( ) no cumple la primer condición Entonces
{
}
con
Entonces
{
}
con
( )
Análisis para
Primera condición ¿ ( )
( )
?
( ) no cumple la primer condición
( )
Análisis para
Primera condición ¿ ( )
,
( )
?
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 24
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )|
Segunda condición ¿ | Si
( ) (
)|
|
(
)| (
{|
)| |
(
〉?
⁄
( )
entonces
|
〈 ,
{
)| }
}
( )|
entonces |
{
}
( )
con
c) Obtener una solución con dos cifras significativa exacta( n = 2 ) Se deja de iterar si
Con
( )
|
|
|
|
Con
su relación de recurrencia :
( )
entonces
⁄
Sea
Iteración inicial ⁄
⁄
Entonces |
|
(
)
Primera iteración ⁄
|
|
Entonces (
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
)
Pág. 25
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Segunda iteración ⁄
|
Entonces
|
(
)
(
)
Tercera iteración ⁄
|
Entonces
|
Cuarta iteración ⁄
|
Entonces
Entonces
|
(
)
es raíz con dos cifras significativas
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 26
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
7. MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON El Método de Newton - Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación ( ) , ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de ( ) y se necesita una aproximación inicial muy cercana a la raíz. Se requiere que
( ) sea doblemente continua y diferenciable en
.
Algoritmo: P-1.P-2.-
( )
Dado la ecuación Generar la {
}
tal que existe la raíz
por T.B.
mediante la relación
( ) ( )
Convergencia de N-R. Existe {
}
si
Esto significa que
P-3. -
|
) ( )( (
)
)
|
y
( )
( )(
)
está muy cercano a la raíz.
Dejar de iterarse |
(
para el caso de cifras Significativas exactas (
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2 en
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 27
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 7.1.
( )
( )
a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈
b) Verificar su convergencia por N.R. Si ( ) entonces Veremos si ( )
(
( )(
)
)
(
)
es válido o no. ( )(
Veremos si ( )
( )
〉
)
entonces
no es válido para iterar.
es válido o no ( )(
)
entonces |
( )
es válido para iterar. ( )(
) |
( )
(
) {
}
por N.R.
c) En la iteración ¿ Cuantas cifras significativas exactas tiene la solución ? ( ) ( ) Con y con ( ) , ( ( (
) )
) (
)
Escogeremos para dos cifras significativas exactas ( n = 2 ) Se deja de iterar si
|
|
|
|
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Con
Pág. 28
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Iteración inicial ( (
) )
( ) ( )
Entonces |
|
(
)
Primera Iteración ( (
) )
( (
) )
Entonces |
|
(
)
Segunda Iteración ( (
) )
( (
) )
Entonces |
|
(
)
Segunda Iteración ( (
) )
( (
) )
Entonces | Entonces
|
(
)
es solución con dos cifras significativas exactas.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 29
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
8. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN DOS VARIABLES Dado el Sistema: (
)
(
)
…(1) ,
tal que
8.1. P-1.-
Algoritmo del Punto Fijo en dos variables :
De ( 1 ) despejar
e
respectivamente para obtener una relación de la siguiente forma. ( (
P-2.-
…(2)
) )
De ( 2 ) generar la sucesión: {
}
{
}
Mediante la siguiente relación de recurrencia: (
) ,
(
) Donde
P-3. -
Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas ( |
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 30
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
para el caso de cifras Significativas exactas ( |
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2 en
Condición de convergencia del punto fijo: {
} |
{
|(
)
|
} |(
Si se cumple lo siguiente: )
y
|
|(
)
|
|(
)
Donde (
)
(
)
Ejemplo 8.1.1.
( (
) )
a) Por Teorema de Bolzano localizar el punto inicial (
(i)
(ii)
Primero formamos de (1) la forma ( ) De (2) se obtiene ( ) De ( ) en (1) se obtiene
( ) ( )
).
( )
Aplico Teorema de Bolzano para intervalos de longitud 1.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 31
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
〈
(iii)
〉
De (ii) igual para intervalo de longitud 0.1
〈 Sea Luego de ( ) :
{
b) ( (
) )
〉
entonces
}
{
}
se tiene se tiene
( (
entonces entonces
| |
|( |(
)
|
|(
)
|
|(
|
| |
|( |( |
) )
(
)
|
|(
)
|
|(
) )
)
| (
) ) )
| (
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 32
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Por lo tanto f y g cumplen la condición de convergencia. c) Por punto fijo obtener una solución con dos cifras significativas exactas ( Se dejará de iterar si:
Entonces
| |
| |
con con
|
|
con
| |
).
| | |
|
) es solución con dos cifras significativas exactas.
Si es verdadera entonces ( Teniendo :
entonces entonces con (
)
(
) (
) (
|
Entonces )
Entonces
|
|
(
|
(
)
( ) (
(
)
(
)
Entonces
|
)
)
Entonces
| |
(
) (
|
)
(
(
)
) (
)
Entonces
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 33
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS (
|
|
|
|
(
)
)
(
( )
|
|
|
|
)
|
|
|
|
)
(
)
)
(
)
Entonces
)
)
)
(
)
Entonces
|
(
)
Entonces
| |
(
)
(
Por lo tanto (
)
Entonces
( (
|
(
)
(
)
)
Entonces
( (
(
(
Entonces
(
)
)
) (
(
Entonces
(
)
(
)
) es raíz con dos cifras significativas exacta.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 34
UNMSM
8.2.
MÉTODOS NUMÉRICOS
Algoritmo de Newton – Rapson ( N.R ) en dos variables :
P-1.-
P-2.-
,
Dado el sistema siguiente tal que tal que (
)
(
)
por T.B.
Generar la sucesión: {
}
{
}
Mediante la siguiente relación de recurrencia:
|
|
|
(
)
(
)
|
|
|
|
|
(
)
(
)
Donde (
P-3. -
)
(
)
(
)
(
)
Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas ( |
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 35
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
para el caso de cifras Significativas exactas ( |
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2 en Condición de convergencia del NR: {
}
{
}
Si se cumple : (
)
|(
|
)
Ejemplo 8.2.1. ( (
) )
Por Teorema de Bolzano localizar el punto inicial ( (i)
Primero formamos de (1) la forma De (2) se obtiene De ( ) en (1)
(ii)
se obtiene
( ) ( )
). ( ) ( )
( )
Aplico Teorema de Bolzano para intervalos de longitud 1.
〈
〉
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 36
UNMSM
(iii)
MÉTODOS NUMÉRICOS
De (ii) igual para intervalo de longitud 0.1
〈 Sea Luego de ( ) :
〉
entonces Entonces el punto inicial es (
{
a)
}
{
)
(
)
}
Verificando su convergencia por Newton Raphson (
(
)
|
|
| (
)
)
|
(
(
)
)
Entonces Por lo tanto
{
}
(
)
{
}
Sea lo siguiente:
| |
| (
)
(
)
|
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 37
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
|
| (
|
|
|
|
|
|
)
(
)
(
)
(
)
|
| (
|
(
)
|
(
)
)
(
)
b) Por este método, una solución con dos cifras significativas exactas ( n = 2 ). Se dejará de iterar si:
Entonces
| |
| |
con con
|
|
con
Si es verdadera entonces (
(
)
(
| |
| | |
|
) es solución con dos cifras significativas exactas.
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 38
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS Entonces
(
)
Entonces
(
|
|
(
)
|
|
(
)
)
(
)
Entonces
(
)
Entonces
Por lo tanto (
|
|
(
)
|
|
(
)
)
(
)
(
) es raíz con dos cifras significativas exacta.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 39
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
9. METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES 9.1.
METODO DE CROUT - DOOLITLE
Consiste en factorizar una matriz cuadrada “A” en un producto “LU”. Esto es:
Donde: A: es la matriz a factorizar. L : es una matriz triangular inferior, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se llama “L” porque viene de la palabra inglesa “low”, que significa “bajo”.
U : es una matriz triangular superior, cuyos elementos se hallan por el método de la eliminación gaussiana. Se llama “U” porque viene de la palabra inglesa “up”, que significa “arriba”.
Ejemplo 9.1.1. [
]
Se factoriza como el producto de dos matrices triangulares.
[
]
[
] [
]
Se tiene un sistema de 9 ecuaciones con 12 variables, entonces existe infinitas soluciones. Se fijará tres variables. Sea
[
]
[
] [
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
]
Pág. 40
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Primera columna: Entonces Entonces Entonces
Segunda columna: Entonces Entonces Entonces
Tercera columna: Entonces Entonces Entonces [
]
[
] [
]
Para un sistema lineal de la forma:
Donde A se factoriza de la forma:
L: Matriz Triangular Inferior U: Matriz Triangular Superior Sea: (
)
Ejemplo 9.1.2. Calculando
[
] tal que
con
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
[
]
y
[
]
Pág. 41
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Se sabe (
) (
Sea
[
la cual
)
]
Entonces [
] [
]
[
Entonces
]
Entonces
Entonces [
] [
]
[
Entonces
]
Entonces
[
]
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 42
UNMSM 9.2.
MÉTODOS NUMÉRICOS
METODO DE CHOLESKY
Primera versión También para resolver el sistema 1) 2)
para aplicar cholesky se debe cumplir lo siguiente:
es simétrico, es decir debe cumplir sea definida positiva.
Ejemplo 9.2.1. Desarrolle: [
][
]
[
]
Dado : [
]
entonces
Viendo si es definida positiva: entonces [
]
[
entonces ]
entonces
Por lo tanto A es positiva, entonces se puede aplicar cholesky.
Se factoriza como el producto de dos matrices triangulares.
[
]
[
] [
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
]
Pág. 43
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Primera columna: (
Segunda columna:
)
Entonces Entonces
(
)
(
)
Entonces
Entonces Entonces
Tercera columna:
(
)
(
)
(
[
)
√
Entonces
]
[
] [
]
√
Calculando
[
√
] tal que
con
[
] y
[
]
Se sabe (
) (
Sea
[
la cual
)
]
Entonces [
] [
]
[
Entonces
]
√
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
√
Entonces
√
Pág. 44
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS √
[
] [
]
√
[
√
Entonces Entonces
] √
Entonces
[
]
Segunda versión cuando
Para la solución del sistema hacer transformar.
no es simétrica. Pero hacia
se le puede
Ejemplo 9.2.2. Para la solución del sistema:
[
][
]
[
]
En donde A no es simétrica. Se le puede hacer transformar en pasos elementales de Matriz. [
]
( (
[
Entonces la nueva matriz es
[
) ) ]
]
con
[
]
Siendo A simétrica y positiva
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 45
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
[
][
]
[
]
Es idéntico al ejemplo 9.2.1. Obtiene esta expresión, en la que
El desarrollo, para hallar
[
[
] se mantiene igual:
], es la misma en la versión 1, obteniendo [
[
] es solución de [
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
]
][
[
]
]
[
]
Pág. 46
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
10. MÉTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea el sistema de ecuaciones de la forma:
(
)(
)
(
)
ALGORITMO TRIDIAGONAL: P-1:
Del sistema Sea ̅
, expresarlo como
̅ { }
, C es constante arbitraria /
De la Ec. (1) despejar ̅ De la Ec. (2) despejar ̅ De la Ec. (3) despejar ̅ …………. De la Ec. (n-1) despejar ̅ De la Ec. (n) despejar ̅ Pero como no existe ̅
se hace lo siguiente:
̅ Tal que: Se tiene ̂
( ( ̅ ̅
)
̅ donde R: vector residual
̅ )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 47
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Si Si
es solución de es solución de
P-2: Del sistema llegando a lo siguiente:
expresarlo como
̅
y sea ̅
̅ (
Tal que: Se tiene ̂
) ( ̅
̅
̅
donde S: vector residual ̅ )
Si Si
es solución de es solución de …….. ( ) …….. ( )
Se tiene: ()
, se procede como P-2,
( )
(
)
(
) 0
Se busca una relación: Tal que:
(
)
⁄
Ejemplo 10.1. Sea el sistema: ( ( ( (
) ) ) )
( ( ( (
) ̅̅̅ ) ̅̅̅ ) )
Paso 1 Sea el sistema: ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
̅̅̅ ̅̅̅
Pág. 48
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
̅̅̅
Sea
constante arbitraria.
En ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ̅̅̅
,
En ( 4 ) Como No existe
̅̅̅
̅̅̅
,
se hace lo siguiente: Tal que r es valor residual.
Entonces
Paso 2 Del sistema Sea tal que
̅
entonces ̿̿̿
{ }
̿̿̿
( ( ( (
) ̿̿̿ ) ̿̿̿ ) )
De ( 1 ) , ( 2 ) , y ( 3 ) se consigue ̿̿̿
,
En ( 4 ) Como No existe ̿
̿̿̿ ̿̿̿̿ ̿
̿̿̿ ̿̿̿ ̿̿̿ ̿ ̿
̿̿̿
̿̿̿
,
se hace lo siguiente:
̿
Tal que t es valor residual.
Del paso 1 se obtiene:
̂
(
Del paso 2 se obtiene:
̂
(
)
Entonces
con )
con
La solución es: ̂
̂
(
(
)
(
)
) Entonces
,
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
,
,
Pág. 49
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 10.2. Resolver:
2 2 ̅
Del sistema ̅
̅
2 ̅
……… (1) ̅
̅
2 ̅
̅
̅ Sea ̅
….….. (2) ̅
……… (3)
̅
……… (4)
{ }
,
̅
̅
De (1): De (2): De (3): ̅
0 ̅
De la ec. (4) despejo ̅ , pero como no existe ̅ ̅
̅ ( ̅
̂
̅ ) ̅
(
) ̅
Del sistema Sea ̅
̅ ̿
̿ ̿ ̿
, en , en ̿
,
̿
( ̅
̅
̿
̿
̿
̿
̿
en
Observación: Si ̂
, luego se procede como P-2
̿
̿
̅
cambiar el valor inicial de ̅ )
(
̿
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 50
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ̂
Se busca una solución
̂
𝑥
Verificando:
⁄
⁄
Tal que:
𝑥
𝑥
𝑥
2 2(
)
(
)
(
)
Ejemplo 2 (Solución de sistemas lineales en Tribanda) Sea
en Tribanda. ( ) ( ) ( ) ( )
Algoritmo del sistema Tridiagonal Solución: ̅
Del sistema ( )
̅
( ) ̅
( ) ̅
̅ ̅ ̅
̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 51
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ( )
Sea ̅
̅
̅
̅
̅
{ }
, C vector arbitrario talque ̅
Entonces:
De (1) despejo ̅ :
( ) ̅
̅ ̅
De (2) despejo ̅ : ( ) ̅
̅
̅ ̅
De (3) despejo ̅ : ( ) ̅
̅
̅ ̅
De (4) despejar ̅ ; pero ( ) ̅
̅
( ̅
̂
Y se tiene que:
( ) ( ) ( )
̿
̅
̅
̿
Ahora expresarlo como ( )
̅ :
̅ )
(
)
es un vector nulo.
̿
̿ ̿
̿ ̿ ̿
̿
̿ ̿
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 52
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS { }
Sea ̿ ̿
sea
De (1) despejar ̿ : ( ) ̿
̿ ̿
De (2) despejar ̿ : ( ) ̿
̿
̿ ̿
De (3) despejar ̿ : ( )
̂
̿
( ̿
̿
̿
̿
̿ )
De (4) despejar ̿ , pero ( ) ̿
̿ ̿
(
)
̿ entonces:
̿
Entonces: ̂ [
]
[
̂
[
]
]
[
[
]
]
Comprobación: PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 53
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
-46+24+13 -22+13=-9
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 54
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
11. MÉTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Ejemplo 11.1. Dado el sistema
se tiene lo siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Paso 1 Del sistema original
( )
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
( )
̅̅̅
̅̅̅
( )
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
( ) ( ) ̅̅̅
Sea
̅
expresando en la forma
̅̅̅
De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 )
( Uno de ellos debe ser diferente de cero y el otro debe ser cero )
se obtiene ̅̅̅
De ( 4 ) como NO existe ̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅
De ( 5 ) como NO existe ̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
,
̅̅̅
,
̅̅̅
se hace lo siguiente ̅̅̅
entonces
se hace lo siguiente
̅̅̅
entonces Entonces
Se tiene
̂
(
[
]
[ ]
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 55
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Paso 2
primera solución homogénea
Del sistema original ̿
expresando en la forma
( )
̿̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿̿ ̿̿̿̿
( )
̿̿̿
̿̿̿
( )
̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿
( ) ( )
̿̿̿
Sea
̿̿̿
De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 )
( dos números cualesquiera )
̿̿̿
se obtiene
De ( 4 ) como NO existe ̿̿̿
̿̿̿̿
De ( 5 ) como NO existe ̿̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿ ̿̿̿
̿̿̿
,
,
̿̿̿
se hace lo siguiente ̿̿̿
̿̿̿
entonces
se hace lo siguiente
̿̿̿
entonces Entonces
Se tiene
̂
Paso 3
(
[
]
[
]
)
segunda solución homogénea
Del sistema original ̿ ̅
expresando en la forma
( ) ( )
̿̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿̿ ̅̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿̿ ̅̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 56
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ( )
̿̿̿ ̅̅̅
( )
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿̿ ̅̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿̿ ̅̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿̿ ̅̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
( )
̿̿̿ ̅̅̅
Sea
̿̿̿ ̅̅̅
De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 )
̿̿̿ ̅̅̅
se obtiene
De ( 4 ) como NO existe ̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿̿ ̅̅̅̅
De ( 5 ) como NO existe ̿̿̿̿ ̅̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
,
̿̿̿ ̅̅̅
,
se hace lo siguiente
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
entonces
se hace lo siguiente
̿̿̿ ̅̅̅
entonces Entonces
Se tiene
̂
(
[
]
[
]
)
Paso 4 [
]
[
[ ]
[
]
[
]
]
[
] Entonces
̂
La solución (
)
( (
̂
̂
)
(
)
)
Es decir
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 57
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 11.2. Dado el sistema
resolver el siguiente sistema pentadiagonal
2
+ 3 +
=
3
+ 2
+4
+
+ 4
+
+4
+4 2
8
EC(1)
= 15
EC(2)
+2
= 13
EC(2)
+2
+
= 19
EC(4)
+
+7
= 15
EC(5)
PASO DEL ALGORITMO P-1: Expresar el sistema como A.
=b
2
+ 3
+
3
+ 2
+4
+
+ 4
+
+4
+4 2 Sea
=0
=1
Ec(1)
= 15
Ec(2)
+ 2
= 13
Ec(3)
+2
+
= 19
Ec(4)
+
+7
= 15
Ec(5)
cte arbitrario
De Ec(1) despejar
=5 pues
0 + 3(1) +
De Ec(2) despejar
=8
= 7 Pues
0 + 2(1) +4(8) +
De Ec(3) despejar
= 15
= 16
Pues De Ec(4) despejar
= 8
0 + 4(1) + 5 + 4( 7) + 2 ; como
+ 4
+ 2
= 13
, hacemos lo sgte. : +
= 19 +
1 + 4(5) + 2( 7) + 16 = 19 +
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
= 45
Pág. 58
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
De la Ec(5) despejar
; como
2
+
hacemos
+7
= 15 +
2(5) + ( 7) +7(16) = 15 +
R=
[
],
como R
;
= 100
A. ̂ = b + R
Se tiene:
̂=
= [
ó [
]
)
̂ =(
]
P-2: Primera solución homogénea del sistema A.x = b, expresarlo como A. ̿=
Sea
̿ = 10
2̿̿̿ + 3̿̿̿ + ̿̿̿
= 0
Ec(1)
3̿̿̿ + 2̿̿̿ + 4̿̿̿ + ̿̿̿
= 0
Ec(2)
̿̿̿ + 4̿̿̿ + ̿̿̿ + 4̿̿̿ + 2̿̿̿
= 0
Ec(3)
̿̿̿+ 4̿̿̿ + 2̿̿̿ + ̿̿̿
= 0
Ec(4)
2̿̿̿ + ̿̿̿ + 7̿̿̿
= 0
Ec(5)
̿̿̿= 20
De Ec(1) despejar ̿̿̿; pues De Ec(2) despejar ̿̿̿; Pues De Ec(3) despejar ̿̿̿;
̿̿̿ = 80 2(10) + 3(29) + ̿̿̿ = 0 ̿̿̿= 250 3(10) +2(20) + 4( 8) + ̿̿̿= 0 ̿̿̿=
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 59
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS pues 10 + 4(20) + ( 80) + 4(250) + 2̿̿̿ =0
De Ec(4) despejar ̿̿̿; como
̿̿̿ hacemos
̿̿̿ + 4̿̿̿ + 2̿̿̿ + ̿̿̿ = 0 + 20 + 4( 80) + 2(250) + ( 505) = 0 + De Ec(5) despejar ̿̿̿; como
;
= 1445
̿̿̿ hacemos
2̿̿̿ + ̿̿̿ + 7̿̿̿ = 0 + 2(
)+ (250) + 7(
)=0+
S=
̂ [
[
]
]
P-3: Segunda solución homogénea del sistema A.x = b expresar A. ̅̿= 0 ̅̅̅ + 3̿̿̿ ̅̅̅ + ̿̿̿ ̅̅̅ 2̿̿̿
= 0
Ec(1)
̿̿̿ + 2̅̅̅ ̿̿̿ + 4̅̅̅ ̿̿̿ + ̅̅̅ ̿̿̿ 3̅̅̅
= 0
Ec(2)
= 0
Ec(3)
̿̿̿ + 4̅̅̅ ̿̿̿ + 2̿̿̿ ̅̅̅ ̅̅̅ + ̿̿̿ ̅̅̅ = 0
Ec(4)
̿̿̿ ̅̅̅+ 4̿̿̿ ̅̅̅ + ̿̿̿ ̅̅̅ + 4 ̿̿̿ ̅̅̅ + 2̿̿̿ ̅̅̅
̅̅̅ + 2̿̿̿ Sea
̿̿̿= 20 ̅̅̅
De Ec(1)
̿̿̿ ̅̅̅ + 7̿̿̿ ̅̅̅ = 0
Ec(5)
̿̿̿= 10 ̅̅̅
̅̅̅; despejar ̿̿̿
̿̿̿=
Pues 2(20) + 3(10) + ̿̿̿ = 0 ̅̅̅ De Ec(2) despejar ̿̿̿
̿̿̿ =
̿̿̿ + 2̅̅̅ ̿̿̿ + 4̅̅̅ ̿̿̿ + ̅̅̅ ̿̿̿ = 0 3̅̅̅ 3(20) + 2(10) + 4(
) + ̿̿̿ = 0
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 60
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ̿̿̿ ̅̅̅
De Ec(3) despejar
̿̿̿ = 395
̿̿̿ + 4̅̅̅ ̿̿̿ + ̿̿̿ ̿̿̿ + 2̅̅̅ ̿̿̿ = 0 ̅̅̅ ̅̅̅ + 4̅̅̅ 20 + 4(10) + (
̅̅̅ como De Ec(4) despejar ̿̿̿
̅̅̅= 0 ) + 4(200) + 2̿̿̿
̿̿̿ ̅̅̅, hacemos
̿̿̿ + 4̅̅̅ ̿̿̿ +2̅̅̅ ̿̿̿ + ̅̅̅ ̿̿̿ = 0 + ̅̅̅ 10 + 4(
= 1925
) 2(200) + 395 = 0 +
̅̅̅; como De Ec(5) despejar ̿̿̿
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ + ̅̅̅ ̿̿̿ +7̅̅̅ ̿̿̿ = 0 + 2̅̅̅
= -2705
̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿ ̅̅̅ ̂
̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿ ̅̅̅ ̅̅̅ ] [ ̿̿̿
[
]
[
]
[
]
A.̂ = + T P-4: Y se llega a lo siguiente A. ̂ = b + R A.̂ = 0 + S A.̂ = 0 + T
R–
–
+
=0 =R
R= [
]
S=[
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
]
Pág. 61
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
[
]+ [
]= [
1445 + 1925
=
2705
= 100
x = ̂
x=
= [
]
]
T=[
;
= 0.025992507
; ̂
+ 0.025992507 [
]
]
= 0.003865364 ̂
+ 0.003865364 [
]
[
]
X= [ Comprobación : 2
+3
]
[
]
Ec(1) +
=8
0.6744647 + 4.67551134 + 2.65002396 = 8 8 Y tambien cumple tod
=
8
l
u i
Cumple!!!
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 62
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
NORMA DE UNA MATRIZ La Norma de una matriz
es un número real tal que satisface las siguientes condiciones
( 𝑖 ) ‖𝐴‖ ≥ ( 𝑖𝑖) ‖𝐴‖ 𝑠𝑖 𝐴 (𝑖𝑖𝑖) ‖𝜏𝐴‖ |𝜏|‖𝐴‖ 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ‖ 𝐴‖ (𝑖𝑣) ‖𝐴 𝐵‖ ‖𝐴‖ ‖𝐵‖ ( 𝑣) ‖𝐴𝐵‖ ‖𝐴‖‖𝐵‖
‖𝐴‖
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 |
|
Principales Normas
-Norma “m” o Norma ‖ ‖
{ ∑|
| ∑|
|
∑|
| }
‖ ‖
{ ∑|
| ∑|
|
∑|
| }
-Norma “l”,
-Norma “k”, ‖ ‖
√∑ |
|
Ejemplo 1:
[
Sea
]
‖ ‖
{ |
‖ ‖
{|
|
)
(
‖ ‖
√(
|
|
}
| |
)
}
|
{ {
} }
√
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 63
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
{ | | | |
‖ ‖
Para el vector X = [
]
‖ ‖
| |
‖ ‖
√| |
| | | |
| |
| }
|
| |
Ejemplo 2: Sea X = (
) { |
‖ ‖ ‖ ‖
|
‖ ‖
√(
|
| |
)
| }
| | (
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 64
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
12. SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 12.1.
METODO DE JACOBI
Dado el sistema
Ec.(1)
a11x1 + a12x2 + …………………………………………………….. + a1mxm = b1
Ec.(2)
a21X1 + a22X2 + …………………………………………………….. + a2mXm = b2
Ec.(3)
a31X1 + a32X2 + …………………………………………………….. + a3mXm = b3
. .
. . am1X1 + am2X2 + …………………………………………………….. + ammXm = b. m . . . . . . .
Ec.(m)
.
.
.
.
. . .
Donde:
𝑎 A=[
𝑎𝑚
⋯
𝑎
𝑏
𝑚
⋯ 𝑎𝑚𝑚
]
b=
𝑥
y si aii ≠ 0
𝑏
X=
𝑥𝑚
Despejamos X de la ecuación 1 obteniendo un sistema equivalente de la forma: X = β + αX De la siguiente manera.
Despejamos
X1 = X2 = . . .
. . .
. . .
Xm =
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 65
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Dandole forma:
(
; con
)
⋯
[
]
⋯ Con todo esto se puede expresar en la siguiente forma X = β + αX
X
[
=
]
β
[
+
]
αX
⋯
[
] [
]
⋯ El Sistema sugiere Jacobi la siguiente relación de recurrencia
X (k+1) = β + αX (k) , De la relación se obtiene la sucesión generalmente
X (0)=0
Obs.
{
}
k = 0, 1, 2, … … … tomando como valor inicial arbitrario, que
ó X (0) = β ó
β=1
X (k+1) = ( X1(k+1) , X2(k+1), … … … … … … … … … … … … … , Xm(k+1) )t X (0) = ( X1(0) , X2(0),… … … … … … … … … … … … … …, Xm (0) ) t
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 66
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
ALGORITMO DE JACOBI: P-1
Dado el Sistema Expresarlo en el sistema equivalente X = β + αX
P-2 Tomando como solución inicial X (0) arbitrario generar la sucesión { X (k) } → X (*) mediante la relación de recurrencia: X (k+1) = β + αX (k) P-3
,
k = 0, 1, 2,…
Dejar de iterar si
‖
( )
(
)
‖
( )‖
‖ caso contrario ir al P-2
CONVERGENCIA DE JACOBI {
( )
}
( )
Si ‖ ‖
Observación Para que se cumpla esa condición es necesario que A del sistema original | | ≥ ∑| | de su fila y de su columna diagonalmente dominante, es decir
sea
Ejemplo 12.1.1. Sea el sistema siguiente:
( ) ( ) ( ) (a)
Por JACOBI verificando su convergencia
Obs. Para que se cumpla ‖ ‖ diagonalmente dominante. De
Con
¿
{
}
es necesario que del sistema
Si ‖ ‖
? , A sea
(1) → X1: (2) → X2: (3) → X3:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 67
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Entonces
[
‖
‖
]
‖
[
]
[
{
‖
‖
|
]
|
|
| |
|
{
‖
[
|
]
| |
|
|
}
|
} {
(b)
}
Por el Método Jacobi Hallar una solución con (
Si
‖ (
)
‖
) ( )
( )
‖
( )‖
entonces
(
( )
=
Obs. Se toma como valor inicial arbitrario
( )
Sea K=0
es solución con
=
Sea
(
)
( )
)
( )
[
]
[
] [
]
[
]
(
K=1
Sea
(
)
)
[
]
( )
( )
[
]
[
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
] [
]
[
]
Pág. 68
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
( )
‖
‖
K=2
( )
‖[
)
]‖
( )
)
( )
( )
‖
( ) ( )‖
]
] ‖
[
]
[
] [
]
[
(
‖
[
(
( )‖
Sea
(
‖ [
‖
)
‖
‖ [
]
)
]
] ‖ (
‖[
Entonces
[
)
]‖
( )
es solución con
NOTACION MATRICIAL DEL METODO DE JACOBI Sea el sistema Donde:
A =[
La matriz A se le puede descomponer en la forma
]
A=D + L +U
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
, donde
Pág. 69
UNMSM
𝑎 𝐷
[
𝑎
MÉTODOS NUMÉRICOS
⋯ ⋯
] 𝑎𝑚𝑚
Matriz Diagonal
Así el sistema
𝐿
𝑎
⋯
𝑎
[ 𝑎𝑚
] 𝑎𝑚(𝑚
𝑈
[
𝑎 ⋯ 𝑎 ⋯
)
Matriz Triangular inferior
Matriz Triangular superior
se le puede expresar como:
( D + L + U )X = b DX + ( L + U ) X = b DX = b – ( L + U ) X X = D-1b – D-1( L + U ) X X = D-1b + [-D-1(L + U)] X
→
Si el método de Jacobi es
X = β + αX
β = D-1b
α = -D-1( L + U )
^
Matricialmente es: → X = D-1b – D-1( L + U ) X Su relación de recurrencia es X (k+1) = D-1b – D-1 (L + U) X (k) ,
k=0, 1, 2 …
Solución Matricial de Jacobi Del sistema
tal que
(
Entonces
⏟
)
⏟
(
)
Desarrollo del ejemplo anterior
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 70
𝑚 𝑚
]
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
[
[
]
[
]
[
]
[
] [ ]
)
[ ]
]
[ ]
con
⏟
Entonces
[
]
[
⏟
⏟
(
] [
[
[
]
[
]
] [
]
[
Entonces
]
Entonces
[
]
]
[
]
Ejemplo 12.1.2. Sea el siguiente sistema Ec (1) 20x1 + 5x3 =2 Ec (2) x1 + 20x2 + 2x3 = 4 Ec (3) x1 + 9x2 + 20x3 = 6
Por Jacobi verificar su convergencia
CONVERGENCIA DE JACOBI {
}
( )
Si ‖ ‖
…………….. (i)
Observación Para que se cumpla (i)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 71
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Es necesario que A del sistema original
sea diagonalmente dominante, es decir
|
| ≥ ∑|
| de su fila y de su columna
Así:
≥
de su fila
≥
de su columna
≥
de su fila
≥
de su columna
Igual para a33 x1 =
+ 0
+
0 -
x2 =
-
+
0 -
x3 =
-
-
x = β
+ αx
+
= [
α= [ ‖ ‖
máx.{ 0 + 0 + |
‖ ‖
máx.{ 0.25 , 0.15, 0.5 }
| ,|
0
]
] |+0+ |
| , |
| + |
| +0}
‖ ‖ {
}
( )
por jacobi
Por jacobi obtener una solución con ( ) Si la relación de jacobi es
( )
Para k = 0 Interacción inicial (
)
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 72
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Observación
Sea
es arbitraria
=
=
=
+
β
+
α *
=
Para k = 1 Primera iteración
=
=
=β+α
+
Donde = 0.1 +
= 0.1 + (0)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.25)(0.3) = 0.025\ = 0.2 +
= 0.2 + (-0.05)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.1)(0.3) = 0.165 = 0.205
Para k = 2 Segunda iteración
=β+α
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 73
UNMSM
=
=
MÉTODOS NUMÉRICOS
+
=
β
α*
k =3 =β+α
Tercera iteración
=
=
+
β
=
α*
Verificamos si se llego a la solución
=
= = ( )
( )
12.2.
= 0.03289625 < = con
METODO DE GAUSS- SEIDEL
También determina la solución del sistema De la relación matricial del sistema (
iterativamente. :
) (
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
(
)
( )
Pág. 74
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
De ( ) se obtiene la relación matricial de G-S , siguiente: (
)
(
(
)
)
(
( )
)
Observación: (
*Si
) {
*La relación ( ) se puede obtener al igual que Jacobi del sistema despejar la variable , para obtener la Matriz .
, de la ecuación
Algoritmo del método de Gauss-Seidel: Paso1: Dado el sistema
obtener su sistema ( )
Paso 2: Para un punto inicial arbitrario siguiente relación: (
)
(
Paso 3: Dejar de iterar si ‖
( )
( ( )
) )
.
generar la sucesión {
(
‖
)
(
)
( )
}
( )
mediante la
( )
; caso contrario ir al paso 2.
Observación: En la convergencia del método de Gauss-Seidel también se cumple que: ‖ ‖
entonces
{
( )
}
( )
Ejercicios resueltos: 1) Dados:
(
)
(
),
( )
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 75
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Resuelva el sistema Ax = b por el método de Gauss-Seidel.
Solución: Utilizando Gauss-Seidel: (
)
(
)
( )
(
)
( )
Operando obtenemos la secuencia: ( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
Claramente converge a la solución exacta (
) .
La tasa de convergencia del método de Gauss-Seidel viene dada por la norma de: ( Cuyas normas son: ‖ ‖
)
[
= 0.454
y
] ‖ ‖
= 0.4.
2) Considere el siguiente sistema de ecuaciones: [
]
[ ]
¿Puede resolver este sistema por el método de Gauss-Seidel? ¿Por qué? Si lo puede hacer, haga solo dos iteraciones a partir de la solución nula y determine la tasa numérica de convergencia. Además calcula la tasa exacta de convergencia. ¿Cuántas iteraciones necesitará para alcanzar un error absoluto de .
Solución: El método de Gauss-Seidel es aplicable porque por que la matriz es simétrica definida positiva. Dos iteraciones conducen a:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 76
UNMSM ( ) ( )
( (
( )
MÉTODOS NUMÉRICOS
) )
(
)
Y la tasa de convergencia numérica la podemos calcular como (en norma infinito) ( )
‖
‖
( )
Que se parece poco a la tasa de convergencia exacta: ( (
)
)
NOTA: Calculando con más iteraciones nos acercamos a la tasa teórica, por ejemplo: (
‖
)
‖
( )
Para alcanzar (en norma infinito) un error absoluto menor que iteraciones.
se requieren 13
Ejemplo 12.2.1. Sea el sistema:
Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia. Hallar su solución con Solución:
Analizar su divergencia [
]
[
]
Luego: (
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 77
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
[
][
]
[
]
[
{
‖ ‖
]
}
{
Entonces
( )
}
( )
Hallar su solución con
[
De
(
][ ]
)
[
(
[
)
]
( )
]
( ) ( )
Sea
[
( )
]
[ ]
( )
( )
( )
[
]
( )
( ) ( )
[
( ) ( )
( )
]
[
]
[
][
( )
]
[
][ ]
( )
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 78
UNMSM ( )
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[
]
[
]
( )
: 1era Iteración ( ) ( ) ( )
( )
[
( )
[
( )
]
( )
]
[
]
[
( )
][
( )
]
[
][
]
( )
( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )
[
( )
]
[
]
( )
: 2da Iteración
( )
[
( )
( )
]
( ) ( )
[
( ) ( )
( )
]
[
]
[
][
( )
]
[
][
]
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 79
UNMSM
( )
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
[
( )
( )
]
( ) ( ) ( )
( )
[
]
: 3era Iteración ( )
[
( )
]
( )
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
( )
[
][
( )
]
[
][
]
( )
( ) ( ) ( )
( )
‖
[
( )‖
( )
‖
]
( )‖
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 80
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 12.2.2. Sea el sistema:
Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia Hallar su solución con Solución: Analizar su divergencia [
]
[
]
Luego: (
)
[
][
‖ ‖
{
]
[
]
}
{
entonces
( )
}
( )
Hallar su solución con
[
De
(
)
][ ]
[
(
[
)
]
]
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
( )
Pág. 81
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
Sea
( )
[
( )
]
[ ]
( ) ( )
[
( )
( )
]
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
[
][
( )
( )
]
[
][ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
: 1era Iteración ( )
[
( )
( )
]
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
[
][
( )
( )
]
[
][
]
( )
( ) ( )
(
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 82
UNMSM
( )
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
)
( )
( )
[
]
: 2da Iteración ( )
( )
[
( )
]
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
[
][
( )
( )
]
[
][
]
( )
( )
( )
(
( )
( )
‖
(
[
)
]
( )‖
( )
‖
)
( )‖
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 83
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 12.2.3. Sea el sistema:
Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia Hallar su solución con Solución: Analizar su divergencia [
]
[
]
Luego: (
)
[
][
]
[
]
[
‖ ‖
{ {X
]
}
(k)}
X*
Hallar su solución con
[
De
(
)
][ ]
[
(
[
)
]
]
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 84
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( ) ( )
Sea
[
( )
]
[ ]
( )
( )
[
( )
( )
]
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
[
][
( )
( )
]
[
][ ]
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
[
( )
]
[
]
( )
: 1era Iteración ( )
[
( )
]
( )
( ) ( )
[
( ) ( )
( )
]
[
]
[
][
( )
]
[
][
]
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 85
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
[
( )
]
[
]
( )
: 2da Iteración ( )
[
( )
( )
]
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
[
][
( )
( )
[
( )
]
[
][
]
( )
( ) ( )
( )
]
( ) ( ) ( )
( )
[
]
: 3era Iteración ( )
[
( )
]
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 86
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
[
][
( )
( )
]
[
][
]
( )
( ) ( ) ( )
( )
‖
[
( )‖
( )
‖
]
( )‖
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 87
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
13. INTERPOLACIÓN Supongamos que se conoce f0 , f1, f2, …….fn valores correspondientes a X0, X1, X2, ….., Xn valores independientes de una variable independiente X.( X0
View more...
Comments
