Poligonal Cerrada

TOPOGRAFÍA UNIDAD 1 PRINC PRI NCIPI IPIOS OS BÁS BÁSICO ICOS S PLANIMETRÍA MEDICIONE MEDIC IONES S ANGU ANGULARES LARES ESTACIÓN EST ACIÓN TO TOT TAL POLIGONAL CERRADA COORDE COO RDENA NAD DAS UTM

POLIGONALES • Definición • Tip Tipos os de Po Poli ligon gonal ales es • Cálculo y Ajuste de Poligonales

Cerradas C

 B

 

N Az



A (1000,1000,100)

D

POLIGONALES Una poligonal es una serie de líneas consecutivas cuyas longitudes y direcciones se determinan a partir de mediciones en campo. Las poligonales se usan para establecer puntos de control y puntos de apoyo para el levantamiento de detalles, replanteo de proyectos y para el control en la ejecución de obras.

PUNTO DE CONTROL

VÉRTICES DE LA POLIGONAL Los vértices de las poligonales se materializan en campo mediante hitos de concreto.

VÉRTICES DE LA POLIGONAL

TIPOS DE POLIGONALES Las poligonales pueden ser cerradas o abiertas. Sólo las poligonales cerradas permiten obtener un control sobre la precisión obtenida. Las poligonales abiertas se usan normalmente para propósitos exploratorios.

Poligonal cerrada

Poligonal abierta

POLIGONALES CERRADAS • Son aquellas que se inician y finalizan en el mismo vértice o en vértices diferentes

pero de coordenadas conocidas. • Proporcionan comprobaciones de los ángulos y de las distancias medidas. • Se emplean en levantamientos de control, levantamientos de detalles o replanteos de obras.

C

 B

Una poligonal cerrada queda definida por: • Sus lados



• Sus ángulos interiores



N Az

D

• Las coordenadas de un vértice, que pueden ser arbitrarias o verdaderas • El azimut del lado de partida



.

A (1000,1000,100) Poligonal cerrada

CÁLCULO Y AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS Solucionar una poligonal consiste en el cálculo de las coordenadas rectangulares de cada vértice.

Procedimiento: 1. Cálculo y compensación del error de cierre angular. 2. Cálculo de azimutes de los lados de la poligonal. 3. Cálculo de las proyecciones de los lados. 4. Cálculo del error de cierre lineal. 5. Compensación del error lineal. 6. Cálculo de las coordenadas de los vértices.

 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 1. ERROR DE CIERRE ANGULAR: Una vez establecidos los vértices de la poligonal se procede a medir sus ángulos internos y las distancias de cada lado. Debido a errores instrumentales y operacionales no siempre la suma de los ángulos medidos coincide con la suma geométrica. El error angular (e ) esta dado por la diferencia entre el valor medido en campo y el valor teórico.

n

eα =  αi − 180º (n − 2) i =1

i:

ángulo interno poligonal

n : número de vértices o lados de la poligonal

 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 1.ERROR DE CIERRE ANGULAR (continuación): Se debe verificar que el error angular sea menor que la tolerancia angular: a: aproximación del equipo

Tolerancia = a n

n : número de vértices o lados

La tolerancia se determina a partir de la teoría de propagación de errores: f = i=a+b+….+n

 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS Por ejemplo, si el equipo utilizado en la medición angular tiene una precisión de 20”, se asume que el error repartido en cada vértice es 20”. Por tanto el error admisible (tolerancia) se considera igual a:

Si e es mayor que la tolerancia se procede a medir nuevamente los ángulos de la poligonal. Si e es menor que la tolerancia se procede alajuste angular ; repartiendo el error  entre todos los ángulos, asumiendo que el error es independiente de la magnitud del ángulo medido. C : corrección angular

e C α  = α n

e : error angular  n: número de vértices

 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 2. CÁLCULO DE AZIMUTES: Los azimutes de los de lados una poligonal se pueden calcular a partir de un azimut conocido y de los ángulos medidos.  Azimut

Datos:

N

BC =

 BC = ?

 Azimut  AB =   AB  Angulo en B = 

El azimut de BC =   será : BC

 A

  =   − 

  AB

BC

 

B

C

 BC B

  AB

AB

B

siendo

 B = 180  −   luego

  =   +   − 180 BC

AB

 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 2. CÁLCULO DE AZIMUTES (continuación): Generalizando el cálculo de azimut, tenemos la siguiente ecuación aplicable a poligonales etiquetadas en sentido anti-horario. ϕi = azimut del lado

ϕi = ϕi−1 +  i

± 180º

ϕi-1 = acimut anterior 

i = ángulo interno en el vértice

 Aplicando los siguientes criterios: Si  (ϕi−1+  i ) < 180º  Si se suma 180º (ϕi−1 +  i ) ≥   180º  Si se resta 180º se resta 540º (los azimuts son menores a 360º) (ϕi−1 +  i ) ≥ 540º 

 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 3.CÁLCULO DE LAS PROYECCIONES DE LOS LADOS: Las proyecciones de los lados de la poligonal se calculan en función de los azimuts y distancias de los lados, aplicando las siguientes ecuaciones:

C ProyEBC(-)

ProyECD(-)

N



ProyNCD(-)

D

ProyNBC(+)



ProyN = Distanc x Cos(Az) ProyE = Distanc x Sen(Az)



ProyNDA(-)

 ProyEDA(+)

B ProyN AB(+)

A

ProyE AB(+)

E

 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 4. CÁLCULO DEL ERROR DE CIERRE LINEAL: La suma de proyecciones sobre el eje Este-Oeste debe ser igual a cero. De manera similar la suma de proyecciones sobre el eje Norte-Sur debe ser igual a cero.

C ProyEBC(-)

ProyECD(-)

N



ProyNCD(-)

D

ProyNBC(+)

 

ProyNDA(-)

 ProyEDA(+)

B ProyN AB(+)

A

ProyE AB(+)

E

Pero esto no se cumple debido a los errores instrumentales y operacionales en la medición de distancias. Por lo tanto se tendrán errores en las proyecciones Este y Norte: n

eEste =  Proy Este i=1 n

eNorte =  Proy Norte i=1

 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 4. CÁLCULO DEL ERROR DE CIERRE LINEAL (continuación): El error de cierre lineal será: D

eL

=

2

2

Este

Norte

e +e

 A’ eNorte eEste

Y la precisión lineal de la poligonal estaría dada por:

Precisión = 1 Perímetro eL

 A

 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 5. COMPENSACIÓN DEL ERROR DE CIERRE LINEAL: Determinado el error lineal se verifica que éste sea menor a la tolerancia lineal especificada por las normas, condiciones topográficas y precisión de los equipos. El método de compensación depende de la precisión lograda por los instrumentos y procedimientos empleados en la medición.  Algunos de los métodos de compensación utilizados son: el método de la brújula, el del tránsito, el de Crandall, el de los mínimos cuadrados, etc.  Actualmente los equipos han igualado la precisión obtenida en la medición de distancias con la precisión obtenida en la medición angular, lo que hace al método de la brújula el método más adecuado para la compensación del error lineal, no sólo por  asumir esta condición sino por la sencillez de los cálculos involucrados.

 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 5. COMPENSACIÓN DEL ERROR DE CIERRE LINEAL (continuación): Método de la Brújula: Método propuesto por Nathaniel Bowditch (1800) y es el más utilizado en los trabajos normales de topografía. El método asume que : • Los ángulos y distancias se miden con igual precisión. • El error ocurre en proporción directa a la distancia • Las proyecciones se corrigen proporcionalmente a la longitud de los lados.

CNorte = (−eNorte )

CEste = (−eEste )

Lado Perímetro

Lado Perímetro

 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 6. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE LOS VÉRTICES: Las coordenadas de los nuevos vértices se determinan sumando a las coordenadas del vértice anterior las proyecciones corregidas. Es recomendable trabajar de manera tabulada:

Lado Distanc.

med

correg

 Az ProyN ProyE CNorte CEste ProyNcor  ProyEcor  r 

E

N

r 

Corr_Poligon al_ UPC.xls

Perim

i

eNorte eEste

Proy N = Distanc x Cos(Az)

CNorte = (−eNorte )

ProyE = Distanc x Sen(Az)

CEste = (−eEste )

Lado Perímetro

Lado Perímetro

ProyN

corr 

=ProyN +CNorte

ProyEcorr =ProyE +CEste

 AJ USTE DE POLIGONALES CERRADAS

CORRECCION DE POLIGINAL - ESTACIONES EN SENTIDO ANTI HORARIO Ubicación:

Fundo Sta. María - Huachipa

Fecha:

19/04/2004

Wild T1 - aprox 20"

Equipo:

Levantado por: Manuel Sánchez

Coordenada de A (X,Y) =

Calculado por:

Revisado:

 corregido

 Angulo Interno (  )

 Azimut

Azimut de AB Proyecciones

Correciones

(º'")=

Proyecc. Corregidas

Vertice

Lado

Distancia (m)

grad

min

seg

grad

min

seg

 Azimut( º ' " )

ProyN

ProyE

 A B C D E

 AB BC CD DE EA

380.390 326.855 278.120 252.200 386.262

90 112 64 205 66

43 34 54 3 43

15 50 58 21 41

90 112 64 205 66 0 0

43 34 54 3 43 0 0

14 49 57 20 40 0 0

144 º 29 ' 48 '' 77 º 4 ' 37 '' 321 º 59 ' 34 '' 347 º 2 ' 54 '' 233 º 46 ' 34 '' 53 º 46 ' 34 '' 233 º 46 ' 34 ''

-309.669 73.099 219.140 245.784 -228.258 0.000 0.000

220.912 318.576 -171.255 -56.525 -311.603 0.000 0.000

-0.022 -0.019 -0.016 -0.015 -0.023 0.000 0.000

-0.024 -0.021 -0.018 -0.016 -0.025 0.000 0.000

-309.691 73.079 219.124 245.769 -228.281 0.000 0.000

220.887 318.555 -171.273 -56.542 -311.628 0.000 0.000

1623.827

540

0

5

540

0

0

0.095

0.104

-0.095

-0.104

0.000

0.000

Perimetro

Numero de Vertices = Error Angular ( " ) = Error Admisible ( " ) = +/Correccion Angular ( " ) =

5 5 45

Exceso

-1 Restar a cadaang ulo Restar a cada angulo

eN

eE

eLineal =

0.141

Precisión =

1 11500

 Area =

14.10 Ha

CNORTE

CESTE

ProyNcorr 

Proy Ecorr 

X=2000

Y=1000

144º

29'

48''

Coordenadas V ertice

X 2220.887 2539.442 2368.169 2311.628 2000.000 2000.000 2000.000 2220.887

Y 690.309 763.388 982.512 1228.281 1000.000 1000.000 1000.000 690.309

Vertice

B C D E  A

B

 AREAS DE POLIGONALES CERRADAS Método de Coordenadas: Conociendo las coordenadas de cada uno de los vértices de la poligonal se puede calcular su área mediante sumas y restas de figuras conocidas. N B C

1  A = 2

 A

D

n

 y (x i

i+1

− x i−1 )

i =1

E

E

 A =

(y A + y B ) (y + y  ) (y + y  ) (y + y  ) (y + y  ) (x   B − x A )+  B C  (x C  − x B )+ C  D (x  D − xC )−  A  E  (x  E  − x A )−  E  D (x  D − x  E  ) 2 2 2 2 2

 AREAS DE POLIGONALES CERRADAS Método de Coordenadas: También puede usar la fórmula determinante de Gauss:

Norte

Este

 A

Y A

X A

B

YB

XB

C

YC

XC

D

YD

XD

E

YE

XE

 A

Y A

X A

N B C

 A

D

E

E

Donde:

2A =

-



= y A xB + yBxC +....... + yEx A



= x A yB + xByC +...... + xEy A

RELLENO DE UNA POLIGONAL Consiste en obtener las coordenadas de puntos pertenecientes a un terreno o construcción. Dependiendo de las características de la zona de trabajo las poligonales pueden ser interiores, exteriores o coincidentes con los vértices del terreno en estudio.

C

B

Poligonal exterior 

NM D

Az

A  (1000,1000,100)

RELLENO DE UNA POLIGONAL

Poligonal coincidente con los vértices del terreno.

C

 D

Nos permite determinar el perímetro y área del terreno. Se efectúa un relleno interior para obtener las curvas de nivel.



NM

  A (1000,1000,100)

B