Polarizacion Magnetica de La Materia

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ´ CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIER´IA DE MINAS GEOLOG´IA Y CIVIL ´ PROFESIONAL DE ESCUELA DE FORMACION ´ INGENIERIA CIVIL

II TRABAJO SEMESTRAL ´ MAGNETICA ´ POLARIZACION DE LA MATERIA Curso F´ISICA III (FS - 242) Docente Lic. Jaime H. Bustamante Rodr´ıguez Estudiantes ´s Gonzales, Jimmy Evert 1. Arone ´l 2. Cuya Ogosi, Sau ´ mez Chucho ´ n, Esteban 2. Go ˜ aupa Huarcaya, Wilmer 3. Ircan 4. Tello Antonio, Cristhian Ayacucho - Per´ u 2013

Contenido 1

Introducción

2

Mecanismos de magnetización de la materia. 2.1 Campo debido a un material imanado. El vector magnetización. . . . 2.2 Vector campo magnetizante (H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Susceptibilidad y permeabilidad magnéticas . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Medios polarizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Mecanismos de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Corrientes de polarización magnética . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Potencial magnético escalar. Formalismo de polos magnéticos

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6 7 8 9 10 10 11 13

Comportamiento magnético de los materiales 3.1 Sustancias Paramagnéticas. . . . . . . . . . . . . . 3.2 Sustancias Diamagnéticas. . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Ecuación de Langevin del diamagnetismo 3.3 Sustancias Ferromagnéticas. . . . . . . . . . . . . .

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15 15 15 16 18

3

2

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1

Introducción

Los medios materiales, naturales y artificiales, son muy diversos y también lo son las respuestas de los mismos al campo electromagnético. Un esquema simple de clasificación de dicha respuesta agrupa a los medios más comunes en las grandes familias de los dieléctricos, los medios magnéticos y los conductores, aunque, normalmente, un material determinado presenta al mismo tiempo, en mayor o menor grado, propiedades de conducción y polarización eléctrica y magnética. El estudio de los mecanismos por los cuales un medio responde al campo electromagnético es muy complejo y está encuadrado en el dominio del estado solido y la teoría cinética o, más concretamente, en el de las propiedades electromagnéticas de la materia.

Figura 1.1: Esquema de un medio conductor y polarizable En la Figura 1.1 se representa una instantánea simplificada de un medio denso, parte de cuyas moléculas han perdido a un electrón quedando cargadas positivamente. Una forma conveniente de modelar a este tipo de medios es mediante la partición de sus cargas en dos sistemas que en adelante se denominarán de cargas de conducción, o libres, y de cargas de polarización, o ligadas, aunque, como se verá, ninguna de éstas acepciones es totalmente apropiada. Las cargas de conducción son las de los electrones libres más las excedentes de las moléculas ionizadas. Parte de ellas, como en los conductores sólidos, o todas ellas, como en los gases ionizados, puede ser transportada a través del medio a distancias microscópicas. Al resto de las cargas del medio se les define como de polarización. Este último sistema es neutro a nivel molecular y sus cargas sólo se

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mueven dentro de distancias microscópicas. En la práctica, la anterior forma de partición de las cargas es hasta cierto punto ambigua pero facilita la modelación de los medios. No puede considerarse que las cargas de polarización sean las polarizables y las de conducción las no polarizables. De hecho, una onda monocromática linealmente polarizada, de frecuencia ω y amplitud ~E, provoca una oscilación lineal de los electrones de conducción cuya amplitud es ~ro = e~Eo /(mω2 ) . Para campos moderados y frecuencias no excesivamente altas ~ro puede ser comparable al radio de Bohr. Este movimiento genera una polarización eléctrica oscilante y una corriente de polarización equivalente. De forma análoga, una onda monocromática circularmente polarizada haría girar a dichos electrones con un radio de la misma magnitud ro creando una corriente solenoidal y una polarización magnética equivalente. Por último, no cabe decir que las cargas de conducción sean las que conducen, porque parte de ellas pueden estar tan ligadas como las de polarización y, además, cuando el campo oscila a una frecuencia elevada, las cargas de conducción libres están también confinadas dentro de regiones microscópicas. Hasta ahora se ha supuesto que las densidades microscópicas describen las posiciones y las velocidades de todas y cada una de las cargas contenidas en el medio. Esto no es totalmente necesario puesto que parte de ellas pueden no ser significativas en cuanto a la generación de campo microscópico. Cada carga aporta en principio una contribución al campo que en el caso estático, sin contar con el espín, es monopolar eléctrica y, en general, contiene términos variables con el tiempo, en particular el de radiación. No obstante, cuando la materia posee una organización interna a nivel molecular, las aportaciones de cargas próximas, iguales y de signo contrario, se cancelan parcialmente con lo que a nivel macroscópico sólo son notables las contribuciones de tipo multipolar. Aunque una demostración más rigurosa queda fuera de nuestro alcance [Jackson, Robinson, Landau y Lifchitz MC], veremos que las únicas que es necesario considerar en la práctica son las contribuciones dipolares eléctrica y magnética, las cuales son proporcionales a la densidad de dipolos y pueden ser ignoradas en medios poco densos. Aunque, como ya se ha dicho, la respuesta de un medio es siempre mixta, se dice que, bajo ciertas circunstancias, un medio es conductor, dieléctrico o magnético, si en su respuesta predomina la conducción, la polarización eléctrica o la polarización magnética. Los representantes más característicos de los conductores son los metales, los cuales presentan una alta conductividad, lo que dificulta grandemente la penetración de los campos eléctricos en su interior. Por esta razón son apenas polarizables eléctricamente y poseen una constante dieléctrica próxima a la del vacío εo . Los campos magnéticos de baja frecuencia penetran en los conductores, pero son apantallados a frecuencias suficientemente elevadas, por lo que pueden polarizarse magnéticamente en mayor o menor grado; aquellos que no poseen momentos magnéticos en ausencia de campo externo responden débilmente como diamagnéticos y los que si los poseen lo hacen de forma algo más significativa, como paramagnéticos, o muy fuertemente como los ferromagnéticos1 es fundamentalmente dieléctrica, adquieren un momento dipolar apreciable, ε 6= εo y un momento magnético débil, µ ' µo . Los dieléctricos prácticamente ideales se conocen como ais1 En los medios paramagnéticos el campo aplicado ordena a los momentos magnéticos orbitales y en los ferromagnéticos a los de espín. El efecto diamagnético es universal aunque suele quedar enmascarado por el paramagnético, de signo contrario, o el ferromagnético. Solo es notable en átomos en los que las capas electrónicas están cerradas y, como consecuencia, las contribuciones paramagnéticas se cancelan.

Introducción

lantes dada su escasa capacidad de conducir electricidad. La respuesta de un gas no ionizado a la presencia de un campo electromagnético aplicado es debida a su polarización eléctrica; es, por lo tanto, un dieléctrico. En condiciones normales, la aportación del medio al campo total es pequeña pero medible. Cuando este gas se ioniza, de forma que una de cada 105 o 106 moléculas ha perdido a uno de sus electrones, su comportamiento varía substancialmente al convertirse en lo que se conoce como un plasma. En la naturaleza y en el laboratorio se encuentran frecuentemente plasmas poco densos, con una distancia media entre particularizas (d gg1A) muy superior a las dimensiones moleculares, que pueden ser representados mediante el modelo simple cuyo esquema se indica en la Figura 1.2 Dicho plasma estaría constituido por electrones libres, de carga −e, iones positivos, de carga +e moléculas neutras; en el lenguaje de uso común en la teoría de plasmas se diría que lo componen fluidos de electrones, iones y neutros. Aparte de las cargas netas de los iones y las de los electrones libres, el resto de las mismas no contribuyen apreciablemente a la respuesta electromagnética del plasma puesto que éste es de baja densidad. En este caso las ecuaciones microscópicas de Maxwell pueden deducirse de unas densidades en las que sólo se tenga en cuenta a las cargas electrónicas libres y a las netas de los iones, todas ellas representadas como puntuales2 .

Figura 1.2: Esquema de la composición de un plasma En esta parte se proponen dos versiones macroscópicas equivalentes de las ecuaciones de Maxwell. En la primera, todas aquellas cargas cuya aportación al campo macroscópico es significativa están descritas por medio de las densidades totales de carga y corriente. Esta versión es la 3.18, postulada en la primera parte, ρT ∇ · ~E = εo ∇ ∧ ~E =

∂~B ∂t

(1.1)

(1.2)

∇ · ~B = 0

(1.3)

∂~E ∇ ∧ ~B = µo (~jT + εo ) ∂t

(1.4)

escrita en este lugar con la notación ρ −→ ρT y ~j −→ ~jT . La ecuación de continuidad correspondi2 Esto no quiere decir que el fluido de neutros juegue un papel pasivo dado que puede tener una influencia importante en el movimiento del medio

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ente se escribirá de la forma ∂ρT (1.5) ∇ · ~jT + ∂t Esta primera versión de las ecuaciones de Maxwell es apropiada para el estudio de los plasmas, o medios conductores simples, en los que la polarización tiene una influencia inapreciable sobre el campo. En caso contrario es preferible el uso de otra versión en la que estas aportaciones aparecen de forma explícita. La segunda versión, que es la más utilizada, se deduce de la primera desglosando las cargas y las corrientes totales en los términos ρT = ρ + ρP , ~jT = ~j + ~j pol = ~j + ~jP + ~jM

(1.6)

donde ρ es la densidad de carga de conducción, ρP la polarización, j la densidad de corriente de conducción y ~j pol la densidad de corriente total de las cargas de polarización que, a su vez, se desglosa en ~jP , la de polarización dieléctrica, y ~jM, la de magnetización o de polarización magnética. Sus expresiones en función de las densidades de polarización son ρP = −∇ · ~P

(1.7)

~ ~j pol = ~jP , ~jP = ∂P , ~jM = ∇ ∧ M ~ (1.8) ∂t La relación entre estas densidades macroscópicas y las microscópicas no son triviales. Mientras que, en principio, cada carga produce individualmente campos eléctricos y magnéticos que se suman microscópicamente en el punto de observación, las densidades y campos macroscópicos resultan de llevar a cabo algún tipo de promedio. Así, pues, una molécula neutra tiene una carga total nula y, por lo tanto, la densidad macroscópica de carga, tomada como el promedio sobre un número N de moléculas, es nula. Ésto no nos permite afirmar que el campo producido por esta densidad de carga es asimismo nulo porque cada molécula tiene, en general, momentos multipolares no nulos que macroscópicamente producen campos no nulos. Los promedios sobre las fuentes deberán hacerse sobre los momentos multipolares de las cargas, incluidos los monopolares en el caso de moléculas ionizadas. En lo que sigue asumiremos que, si nos limitamos a cargas que se mueven a velocidades no relativistas (v  c), sólo es necesario tener en cuenta la contribución a los campos de los momentos monopolares y dipolares.

2

Mecanismos de magnetización de la materia.

Al estudiar cómo las corrientes eléctricas producen campos magnéticos, hemos supuesto que los conductores están rodeados por el vacío. Pero las bobinas de transformadores motores, generadores y electroimanes casi siempre tienen núcleos de hierro para aumentar la intensidad del campo magnético y confinarlo en las regiones deseadas. Los imanes permanentes, las cintas magnéticas para grabar y los discos de ordenador dependen de manera directa de las propiedades magnéticas de los materiales; Cuando se almacena información en el disco duro de un ordenador (o en un disquete), en realidad se está estableciendo una distribución de imanes permanentes microscópicos en el disco. Los átomos de los que está compuesta la materia tienen momentos magnéticos debido al movimiento de sus electrones (a su momento angular). Además cada electrón tiene un momento magnético intrínseco asociado a su spin. El momento magnético neto de un átomo depende de la distribución de electrones del mismo. Cuando un material se sitúa en un campo magnético intenso, (p.e. en el interior de un solenoide), los momentos magnéticos (permanentes o inducidos) dentro del material tienden a alinearse en la dirección del campo aplicado, y decimos entonces que la materia se ha magnetizado.

Figura 2.1: A diferencia del caso de los dipolos eléctricos, la alineación de los dipolos magnéticos en un campo externo tiende aumentar el campo. La razón de esto está en la diferencia entre las líneas de campo de un dipolo eléctrico y uno magnético (ver figura). A grandes distancias las líneas de campo son similares, sin embargo, entre las cargas del dipolo eléctrico, las líneas de campo son opuestas al momento dipolar eléctrico, mientras que dentro de la espira de corriente, las líneas

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de campo magnético tienen el mismo sentido que el momento dipolar magnético. La imanación de un material se describe por su vector magnetización, que se define como el momento dipolar magnético neto por unidad de volumen del material: ~ = d~m M dV cuyas unidades serán, evidentemente A · m2 /m3 = A/m.

2.1

(2.1)

Campo debido a un material imanado. El vector magnetización.

Consideremos una sustancia en forma de cilindro que está magnetizada uniformemente en dirección paralela al eje. La magnetización se ha conseguido, al introducir el cilindro en un solenoide por el que circula una intensidad I. Podemos obtener una explicación elemental de las propiedades magnéticas de la materia utilizando un modelo sencillo debido a Ampère. Este modelo supone que estas propiedades se deben a corrientes circulares microscópicas dentro del material imanado. Consideremos una sustancia en forma de cilindro que está magnetizada uniformemente en dirección paralela al eje. La magnetización se ha conseguido, al introducir el cilindro en un solenoide por el que circula una intensidad I. Podemos obtener una explicación elemental de las propiedades magnéticas de la materia utilizando un modelo sencillo debido a Ampère. Este modelo supone que estas propiedades se deben a corrientes circulares microscópicas dentro del material imanado.

Figura 2.2: La figura muestra las corrientes circulares atómicas en el cilindro, alineadas con sus momentos magnéticos atómicos a lo largo del eje del cilindro. Si el material es homogéneo la corriente neta en cualquier punto dentro del material es nulo a causa de la cancelación de las corrientes circulares vecinas. Sin embargo, como no existe cancelación en la superficie del material, el resultado de estas corrientes circulares es una corriente sobre la superficie del material. La corriente superficial o corriente amperiana, es semejante a la corriente real en los arrollamientos de un solenoide. En la Figura 2.3 se muestra una pequeña sección del cilindro de longitud dl, sección A y volumen V = Adl. Si di es la corriente amperiana elemental sobre la superficie del disco, la magnitud del momento dipolar dm del disco es la misma que la de una corriente circular de área A que transporta una corriente di: dm = Adi. La imanación M del disco será (en módulo): M=

dm Adi di = = dV Adl dl

(2.2)

Mecanismos de magnetización de la materia.

Figura 2.3: Así, la magnitud del vector magnetización es la corriente amperiana por unidad de longitud a lo largo del material imantado. Debe hacerse hincapié en que la corriente de magnetización no está compuesta por electrones que fluyen libremente sobre la superficie de la sustancia, como la que se puede medir con un amperímetro. En lugar de ello, se trata de un efecto debido a la orientación de corrientes elementales localizadas que están asociadas con el movimiento electrónico de los átomos y que, juntas, desde un punto de vista magnético, equivalen a una corriente efectiva.

2.2

Vector campo magnetizante (H).

Aunque una sustancia magnetizada tiene ciertas corrientes de magnetización efectivas en su superficie (y en su volumen, si la magnetización no es uniforme), estas corrientes están ?congeladas?, ya que se deben a electrones ligados a átomos o moléculas y no son libres de circular a través de la sustancia. Por otro lado, en ciertas sustancias como los metales, hay cargas eléctricas capaces de moverse por la sustancia. Con el fin de diferenciar las corrientes eléctricas debidas a cargas libres de las producidas por la magnetización, llamaremos a las primeras corrientes libres o de conducción (Ilibres ) y a las segundas corrientes de magnetización (Imagnetiz. ). Consideremos nuevamente un cuerpo cilíndrico situado dentro de un solenoide largo que lleva una corriente I, que produce un campo magnético dentro del cilindro que lo magnetiza y que da lugar en él a una corriente de magnetización en la misma dirección que I. Según hemos visto, la corriente superficial de magnetización por unidad de longitud es precisamente M. Si el solenoide tiene n vueltas por unidad de longitud, el sistema solenoide ? cilindro magnetizado es equivalente a un solo solenoide que llevase una corriente por unidad de longitud igual a nI + M. Esta corriente efectiva da lugar a un campo magnético resultante B paralelo al eje del cilindro. Este campo será: B = µ0 (nI + M) ⇒

B − M = nI µ0

(2.3)

Esta expresión relaciona la corriente de conducción o corriente libre por unidad de longitud, nI, en la superficie del cilindro, con el campo magnético B en el medio y su magnetización M. El resultado anterior sugiere la introducción de un nuevo campo, conocido como Campo Magnetizante

9

Figura 2.4: H definido por: ~ ~ = B −M ~ H µ0

(2.4)

cuyas dimensiones son de corriente por unidad de longitud (A/m). De la ecuación anterior obtenemos que: ~B = µ0 (H ~ + M) ~

(2.5)

Esta ecuación nos indica que el campo magnético en el interior de un material magnetizado puede tener dos contribuciones, una caracterizada por el campo magnetizante que se debe a las corrientes libres, y otra caracterizada por el vector magnetización debida a las corrientes de magnetización. Se cumplirá que: I c

~B · d~l = µ0 (Ilibre + Imagnetiz. )

(2.6)

con lo que utilizando la ecuación (1.5) e identificando términos, I

~ · d~l = Ilibre H

(2.7)

~ · d~l = Imagnetiz. M

(2.8)

c

I c

2.3

Susceptibilidad y permeabilidad magnéticas

Para determinar las propiedades magnéticas de una sustancia deberemos conocer la relación entre ~ Sin embargo, por razones de tipo el campo magnético resultante ~B y el vector magnetización M. ~ Para práctico se adopta el convenio de relacionar la magnetización con el campo magnetizante H. materiales lineales homogéneos e isótropos, esta relación puede escribirse de la forma: ~ = χm H ~ M

(2.9)

Mecanismos de magnetización de la materia.

La magnitud χm es la Susceptibilidad Magnética del material, que es una cantidad adimensional que expresa la respuesta de un medio a un campo magnético externo y está relacionada con propiedades de los átomos y moléculas del medio. Podemos utilizar ésta ecuación para relacionar ~B y H: ~ ~B = µ0 (H ~ + M) ~ = µ0 (H ~ + χm H) ~ = µ0 (1 + χ0 )H ~

(2.10)

~B = µH ~

(2.11)

donde µ = µ = µ0 (1 + χm ) es la permeabilidad del medio y se expresa en las mismas unidades que µ0 (mkgC−2 ). Esto nos indica que para los medios lineales hay también una relación de proporcionalidad entre al campo magnético y el magnetizante. La permeabilidad relativa se define como µr =

µ = (1 + χm ) µ0

(2.12)

y es un número adimensional. I

Si recordamos que

c

~ · d~l = Ilibre sustituimos la relación entre el campo magnético y el campo =H

magnetizante obtenemos que: I

~ · d~l = displaystyle =H

c

I

= c

I ~B ~ · d~l = µIlire · d~l = Ilibre ⇒ = H µ c

(2.13)

expresión, esta última, que constituye el teorema de Ampére para medios materiales. Podemos llegar a la conclusión de que el efecto de la materia magnetizada sobre el campo magnético total se engloba en la sustitución de µ por µ0 . Para el estudio del magnetismo en la materia se pueden tener en cuenta sólo las corrientes libres (de forma análoga a como se hacía en el magnetismo del vacío) siempre que en las ecuaciones se trabaje con la permeabilidad magnética de los medios. ~ = χm H. ~ Evidentemente esto sólo es válido en los materiales que cumplen que M

2.4 2.4.1

Medios polarizables

Mecanismos de polarización

La respuesta de los medios materiales frente a la aplicación de un campo magnético es más variada que la respuesta dieléctrica. La mayoría de los materiales responden muy débilmente, por lo que se les suele denominar materiales no magnéticos, mientras que otros, los ferromagnéticos, responden de forma notable y no linealmente. Los materiales no magnéticos se dividen en diamagnéticos y paramagnéticos. Los primeros responden adquiriendo un momento dipolar magnético en la dirección del campo aplicado pero en sentido contrario, mientras que los paramagnéticos se polarizan en el mismo sentido de dicho campo.

11

El mecanismo de polarización diamagnética tiene carácter universal, si bien aparece enmascarado por otros contrarios y más potentes en los materiales para y ferromagnéticos. En un material diamagnético el establecimiento de un campo magnético acelera o retarda el giro de los electrones orbitales, según la ley de Lenz, de forma que el campo magnético inducido se opone al aplicado. Como los materiales dieléctricos, que disminuyen o expulsan al campo eléctrico E de su interior, los diamagnéticos expulsan al campo magnético B . Este efecto se pone de manifiesto en sustancias con estructuras electrónicas simétricas, no polares y, como el de polarización por deformación, es independiente de la temperatura. Los materiales paramagnéticos poseen momento dipolar permanente de forma que el establecimiento de un campo magnético induce en estos dipolos un movimiento de precesión. Los choques intermoleculares tienden a distribuir los dipolos con orientaciones al azar, mientras la energía de interacción del dipolo con el campo favorece la orientación de los dipolos con proyección en el sentido del campo. El momento dipolar medio resultante en la dirección del campo crece con éste y se satura cuando la energía de interacción de los dipolos con el campo se hace mucho mayor que la energía térmica. Los mecanismos de polarización ferromagnética son más complejos y esencialmente no lineales. En este tipo de materiales, los momentos de espín se ordenan espontáneamente debido a la existencia de un fuerte campo interno, denominado campo de Weiss. La polarización de los medios materiales la describiremos por el vector macroscópico imanación, o magnetización, ~ = d~m = n(~m) M dv

(2.14)

~ es, donde (~m) es el momento magnético medio de las moléculas y n la densidad de moléculas. M pues, la densidad de momento dipolar magnético del medio.

2.4.2

Corrientes de polarización magnética

Sólo recordaremos que la corriente ~jM es solenoidal y, por lo tanto, el potencial que produce admite un desarrollo multipolar cuyo primer término no nulo es el dipolar magnético. La contribución de un elemento de volumen del material magnetizado al potencial magnético será d~AM =

~ ∧ ~R 0 µo µo M ~ ∧ ∇0 ( 1 )dv0 M dv = 4π R3 4π R

que, haciendo uso de la expresión 0 ~ ~ ~ ∧ ∇0 ( 1 ) = ∇ ∧ M − ∇0 ∧ ( M ) ∇ ∧ ( f~a) = f ∇ ∧~a + ∇ f ∧~a ⇒ M R R R

e integrando sobre v0 , nos da ~AM = µo 4π

Z v0

~ 0 µo ∇0 ∧ M dv = R 4π

Z v0

∇0 ∧ (

~ M )dv0 R

La segunda integral puede transformarse en integral de superficie haciendo uso del teorema

Mecanismos de magnetización de la materia.

Z

∇ ∧~adv = −displaystyle

V

Z

~a ∧ d~s

S

donde S es la superficie que contiene a V , por lo que podemos escribir ~jM (~r0 ) 0 µo ~jsM~r0 0 ~AM (~r) = µo dv + ds (2.15) 4π V 0 R 4π S0 R donde se han definido las densidades de corriente de magnetización, de volumen y superficiales Z

Z

~jM = ∇ ∧ M ~

(2.16)

~jsM = M ~ ∧~n

(2.17)

Esto permite representar a un material magnetizado por el conjunto de las corrientes de magnetización. Como en el caso de los dieléctricos, puede demostrarse que la expresión obtenida para la contribución al potencial vector en un punto externo es válida también para un punto interior. La corriente ~j pol no es estacionaria, por lo que el primer término del desarrollo multipolar, ~Am (~r), que se anulaba por ser las corrientes estacionarias, corresponde a la aportación de las corrientes de polarización dieléctrica.

Figura 2.5: Corrientes de polarización magnética Podemos visualizar intuitivamente la aparición de estas corrientes analizando el esquema de la Figura 2.5. Supongamos al material uniformemente magnetizado y dividámoslo en elementos de volumen ∆v iguales. Su momento dipolar sería ∆M = M∆V . Podemos imaginar al material compuesto por espiras elementales equivalentes, recorridas por una intensidad M ∆s ∆s Si el material está magnetizado uniformemente, las corrientes de espiras contiguas se compensarán, quedando sólo la contribución a la corriente superficial. Si los dipolos contiguos no fuesen idénticos, la compensación no sería total y aparecería una corriente de volumen. ∆I =

13

2.4.3

Potencial magnético escalar. Formalismo de polos magnéticos

Por ser solenoidal, ~B no es derivable de un verdadero potencial escalar. A continuación veremos, sin embargo, que es posible dividir al campo producido por una distribución de dipolos en dos ~ y la segunda derivable de un potencial escalar partes, la primera de las cuales es proporcional a M UM . Este potencial es producido por distribuciones equivalentes de polos magnéticos. El campo puede expresarse de la forma ~BM = ∇ ∧ ~AM = − µo ∇ ∧ [displaystyle 4π ~BM = − µo displaystyle 4π donde se ha escrito Haciendo uso de

Z V0

1 → − B M (~r0 ) ∧ ∇( )dv0 ] R

~ r0 ) ∧ ∇( 1 )]dv0 ∇ ∧ [M(~ R

Z V0

(2.18) (2.19)

~R 1 3 = −∇( ). r R ∇ ∧ (~a ∧~b) = ~b(∇ ·~a) + (∇ ·~b)~a − (~acdot~b)

~ r0 ) y ~b = ∇( 1 ), se obtiene donde tomaremos ~a = M(~ R ~ r0 )∇2 ( 1 )dv0 + µo displaystyle ~BM (~r) = − µo displaystyle M(~ 0 4π R 4π | {zV } | ~α Z

2

Substituyendo ∇

Z

1 → − ( M (~r0 ) · ∇)∇( )dv0 R {z } ~β

V0

1 → − ) = −4πδ( R ) en ~α, tenemos ~α = µo ~BM (~r), y, teniendo en cuenta que R ∇(~a ·~b) = (~a · ∇)~b + (~b · ∇)~a +~a ∧ (∇ ∧~b) +~b ∧ (∇ ∧~a) | {z } | {z } | {z } =0 =0 =0

donde ~a y ~b toman los mismos valores que en la expresión anterior y se han anulado no sólo los ~ r0 ) aparece a la derecha del operador∇, sino también el ∇ ∧ (∇( 1 )) = ~0. Luego términos donde M(~ r − → − Z → M· R 0 ~β = −µ ∇[ 1 dv ] o 4π V 0 R3 por lo que escribiremos → − B M (~r) = ~B1 + ~B2 = µo ~BM (~r) − µo ∇UM~r)

(2.20) → − Es decir, B M (~r) puede descomponerse en dos términos: uno proporcional a la imanación y otro derivable de un potencial escalar que tiene la misma estructura dipolar. → − M (~r) · ~R 0 dv (2.21) 3 0 V R Si, además de existir medios magnetizados, existieran corrientes de conducción, habría que sumar → − a B M campo producido por éstas. UM (~r) = displaystyle

1 4π

Z

displaystyle

Mecanismos de magnetización de la materia.

Aplicando ahora a UM un tratamiento análogo al aplicado a VP obtenemos UM (~r) = displaystyle

1 4π

Z V0

displaystyle

ρM 0 1 dv + displaystyle R 4π

Z S0

displaystyle

ρsM 0 dv R

(2.22)

donde → − ρM = −∇ · M

(2.23)

y → − ρsM = M ·~n

(2.24) → − UM es un pseudopotencial de B . con la misma estructura que el potencial electrostático, pero vere→ − mos que es un verdadero potencial escalar para H , campo que definiremos en la próxima sección. ρM y ρsM son densidades de volumen y superficie de polos magnéticos. No debemos confundir → − estos polos magnéticos, que en realidad son polos o fuentes escalares de H con los monopolos → − postulados en las teorías de gran unificación y que serían fuentes de B . Insistimos en que estos monopolos, que habrían sido creados en grandes cantidades en las primeras etapas del universo, durante la Gran Explosión (Big-Bang), y que, teniendo dimensiones atómicas serían billones de veces más pesados que un protón, son tan escasos, si es que existen, que no obligan a modificar → − la expresión ∇ · B = 0. El formalismo de polos magnéticos es de utilidad práctica, puesto que permite aplicar los mismos métodos a los problemas magnéticos que a los eléctricos. Según se muestra en la Figura 2.6, el cálculo del campo magnético producido por una corriente I que recorre un carrete arrollado a un material magnético, podría tratarse según las dos alternati→ − vas siguientes, en las que suponemos que M = cte:

Figura 2.6: Formalismo de polos magnéticos En ambas alternativas, habrá que calcular por separado la contribución del carrete, como si estuviera en el vacío. La contribución del material magnetizado se calcula substituyendo al núcleo magnetizado, en (a), por un conjunto de corrientes superficiales y, en (b), por dos superficies de → − polos magnéticos, Sur (−) y Norte (+), y añadiendo, dentro del material, el término µo M . Para que podamos resolver el problema, nos hace falta conocer la ecuación constitutiva que expresa cómo se magnetiza el medio en función del campo aplicado.

3

Comportamiento magnético de los materiales

El comportamiento magnético de las sustancias es muy diverso, en función de la magnetización que adquieren al ser sometidas a un campo magnético, se pueden clasificar en sustancias paramagnéticas, diamagnéticas y ferromagnéticas. A continuación explicamos las principales características de las mismas.

3.1

Sustancias Paramagnéticas.

Estas sustancias se caracterizan porque sus átomos (o moléculas) tienen un momento magnético no nulo en ausencia de campo aplicado. Sin embargo, la interacción magnética de unas moléculas con otras es muy débil de forma que la orientación del momento magnético de cada una de ellas es independiente del momento de las restantes. Así, en ausencia de campo aplicado, los momentos magnéticos se distribuyen al azar siendo el momento magnético neto de un elemento de volumen nulo, no estando la sustancia imantada. Se magnetizan en el mismo sentido que el campo aplicado y, por tanto, su susceptibilidad magnética es positiva. El paramagnetismo tiene su origen en la orientación de los momentos dipolares magnéticos atómicos con el campo aplicado. Dado que la orientación de los dipolos se ve contrarrestada por la agitación térmica, la susceptibilidad magnética de una sustancia paramagnética es una función de la temperatura. Esta función constituye la Ley de Curie?Weiss: χm =

Cte (T − TC )

(3.1)

donde T es la temperatura absoluta y TC es una temperatura característica del material denominada temperatura de Curie. Así, la susceptibilidad de los materiales paramagnéticos disminuye con la temperatura.

3.2

Sustancias Diamagnéticas.

En algunos materiales el momento total de todas las espiras de corriente atómicas es nulo cuando no hay campo magnético. Pero incluso estos materiales tienen efectos magnéticos debido a que un campo externo altera el movimiento de los electrones dentro de los átomos.

Comportamiento magnético de los materiales

El efecto del campo magnético en el movimiento electrónico de un átomo es equivalente a una corriente adicional inducida en el átomo que produce un momento dipolar orientado en dirección opuesta a la del campo magnético. Como este efecto es independiente de la orientación del átomo y es el mismo para todos los átomos, llegamos a la conclusión de que las sustancias diamagnéticas adquieren una magnetización opuesta al campo aplicado independientemente de la temperatura. Por tanto la susceptibilidad de los materiales diamagnéticos es negativa. El Diamagnetismo aparece en todas las sustancias pero en el caso de los materiales paramagnéticos (o ferromagnéticos) está compensado por el paramagnetismo.

Figura 3.1: Susceptibilidades magnéticas de diversas sustancias a temperatura ambiente

3.2.1

Ecuación de Langevin del diamagnetismo

El diamagnetismo está asociado a la tendencia de las cargas eléctricas a apantallar parcialmente el interior de un cuerpo con respecto a un campo magnético externo. La ley de Lenz explicita como al cambiar el flujo magnético a través de un circuito eléctrico, se induce en éste una corriente que se opone al cambio de flujo. En un superconductor o en una órbita electrónica dentro de un átomo la corriente inducida persiste mientras el campo está presente. El campo magnético producido por la corriente inducida se opone al campo externo. El momento magnético asociado a esa corriente es un momento diamagnético. El origen físico del diamagnetismo puede entenderse a partir de la imagen clásica de un átomo formado por electrones girando alrededor del núcleo en órbitas determinadas. Consideremos el caso más simple de un objeto de carga q y masa m unido a un punto fijo por un hilo de longitud r y donde la fuerza centrípeta es igual a mv20 /r. Se aplica un campo magnético homogéneo~B ⊥ ~B se induce un campo eléctrico ~E correspondiente I dΦ = Edl. al cambio de flujo por la órbita del objeto cargado: dt Si ~B aumenta hacia abajo: dB = 2πrE dt r dB =⇒ E = e dy =⇒ πr2

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Este campo ejerce una fuerza qE sobre el objeto cargado dando lugar a un cambio de velocidad dv qr dB = qE = dt 2 dt qr ⇒ ∆v = ∆B 2m Al variar la inducción magnética de 0 a B la velocidad del objeto cargado varía en ∆v = qrB/2m . Si ∆v  uo la fuerza centrípeta final será m

mv20 2mv0 ∆v m(v0 + ∆v)2 ≈ + r r r

(3.2)

Por su parte el campo magnético ejerce una fuerza sobre el objeto cargado: q(v0 + ∆v)B = q(v0 + ∆v)

2m∆v 2mv0 ∆v ≈ qr r

(3.3)

Las dos fuerzas se anulan entre sí y por tanto la tensión en el hilo no varía, sino que mantiene su valor F0 . Esto es válido para cualquier tipo de fuerza de unión entre el objeto y el punto fijo. Aplicamos los resultados al sistema que nos interesa el de un electrón girando alrededor del núcleo en una órbita circular de radio r. La atracción de Coulomb reemplaza a la tensión en la cuerda y el cambio en la frecuencia angular de giro es igual a ∆ω =

∆v eB = r 2m

(3.4)

y se denomina frecuencia de Larmor. Al aplicar un campo magnético el radio de la órbita del electrón no cambia, sólo se superpone a su frecuencia angular la frecuencia de Larmor dada por (2.4). Este resultado, conocido como teorema de Larmor, se puede generalizar para átomos con Z electrones e inducciones magnéticas ~B que no son perpendiculares al plano de la órbita. La frecuencia de Larmor es por tanto la frecuencia de precesión de los electrones alrededor de ~B. Si la corriente electrónica media alrededor del núcleo es inicialmente cero, el campo magnético originará una corriente media finita cuyo momento magnético se opone al campo aplicado, es decir, la precesión de Larmor de Z electrones equivale a una corriente I = (carga) × (revoluciones por unidad de tiempo) I = (Ze)(

1 eB ) eπ 2m

(3.5)

El momento magnético de un bucle de corriente I y de área S viene dado por~µ = I~S y particularizando para nuestro caso donde conocemos I y el área del bucle es πρ2

µ=−

Ze2 B 2 hρ i 4m

(3.6)

con hρ2 i = hx2 i + hy2 i. El cuadrado medio de la distancia de los electrones al núcleo es hr2 i = hx2 i + hy2 i + hz2 i y para una 3 distribución de carga con simetría esférica hx2 i = hy2 i = hz2 i ⇒ hr2 i = hρ2 i 2

Comportamiento magnético de los materiales

Figura 3.2: y siendo N el número de átomos por unidad de volumen, la susceptibilidad magnética se deduce de (2.6)

χ=

µ0 NZe2 2 µ0 Nµ =− hr i B 6m

(3.7)

dado que χ ≡ M/H = µ0 M/Bext. . El cálculo de la susceptibilidad diamagnética de un átomo aislado se reduce por tanto al cálculo de hr2 i para una distribución de electrones dentro del átomo que vendrá dado por la mecánica cuántica. El resultado de Langevin es una descripción aproximada de la contribución diamagnética en los sólidos y justifica la existencia de materiales con una susceptibilidad negativa e independiente de la temperatura acorde con los resultados experimentales.

3.3

Sustancias Ferromagnéticas.

Estas sustancias (hierro, cobalto, níquel, Gadolinio, ferritas y cromitas) se caracterizan por estar formadas por iones o moléculas con un momento magnético resultante no nulo. Ahora bien, a diferencia de las sustancias paramagnéticas, en las ferromagnéticas dichos momentos están acoplados entre sí por interacciones muy fuertes, de forma que sus orientaciones no son aleatorias sino que guardan un cierto orden, incluso en ausencia de campo externo. Así, una porción de sustancia ferromagnética puede tener un momento magnético no nulo en ausencia de campo externo (dominios magnéticos). El tamaño de un dominio es normalmente microscópico. Dentro del

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dominio, todos los momentos están alineados, pero (en ausencia de campo externo) la orientación varía de un dominio a otro de forma que el momento magnético de un trozo macroscópico de material es cero en su estado normal. En la figura se muestra un ejemplo de estructura de dominios magnéticos.

Figura 3.3: Cuando no se aplica un campo magnético externo, los límites de los dominios se desplazan y al mismo tiempo la alineación dentro de un domino puede variar de modo que exista un momento magnético neto en la dirección del campo aplicado. Puesto que el grado de alineación es grande, incluso en el caso de un campo externo pequeño, el campo magnético resultante en el interior del material suele ser frecuentemente mucho mayor que el campo externo. Los imanes permanentes son materiales ferromagnéticos cuya estructura de dominios hace que presente magnetización en ausencia de campo aplicado. Estas sustancias tienen una temperatura crítica por encima de la cual la estructura de dominios desaparece y se convierten en paramagnéticos. ~ y la magnetización M ~ En los materiales ferromagnéticos la relación entre el campo magnetizante H ~ no es lineal. La permeabilidad magnética relativa puede tomar una amplia (por tanto entre ~B y H) gama de valores en función del campo magnetizante. En muchos casos se alcanzan valores del ~ = χm H ~ y ~B = µH ~ pierden su sentido. De manera formal orden de 104 . Por tanto, las expresiones M podemos utilizarlas considerando que para las sustancias ferromagnéticas, la susceptibilidad y la permeabilidad magnética no son constantes sino funciones bastantes complicadas del campo magnetizante. χm = χm (H) ; µ = µ(H)

(3.8)

~ yM ~ Para estudiar la relación entre H ferromagnética, inicialmente desimantada, sometida a un campo magnetizante creciente. La curva M(H) que se obtiene experimentalmente es de la forma indicada en la figura que recibe en nombre de curva de primera imanación. Para valores bajo de H, la magnetización crece muy rápidamente. Sin embargo, a partir del punto P la pendiente de la curva decrece, de forma que para valores altos de H la magnetización alcanza un límite llamado Magnetización de saturación.

Comportamiento magnético de los materiales

Figura 3.4:

Si una vez alcanzada la magnetización de saturación se disminuye el campo magnetizante, la magnetización disminuye. Sin embargo, se observa que para cada valor de H, la magnetización toma valores superiores a los obtenidos por la primera imanación. Concretamente, para un valor nulo del campo magnetizante la muestra conserva una magnetización denominada magnetización remanente MR .

Figura 3.5: La magnetización M se anula únicamente bajo un campo externo, cuyo sentido es inverso al campo H que produjo la magnetización. A este campo HC se le denomina campo coercitivo y es una medida de la resistencia del material a desimanarse. Una alta magnetización remanente y una gran coercitividad son deseables en los medios magnéticos de almacenamiento de datos de alta densidad. Igualmente ocurre para los materiales de imanes permanentes (de esta forma el

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imán o los datos no serán destruidos por campos accidentales). Si continuamos aumentando el campo magnetizante en este sentido se alcanzará la saturación de inversión. Si la muestra se somete a un campo H que varía alternativamente entre +H5 y −H5 ; al cabo de cierto número de oscilaciones la curva M(H) realiza un ciclo denominado ciclo de histéresis. Por tanto la magnetización de un material depende de la historia previa del material. El área incluida en la curva de histéresis es proporcional a la energía disipada (por calentamiento) en el proceso irreversible de magnetización y desmagnetización. Si el efecto de histéresis es pequeño, el área encerrada en el ciclo es pequeña lo que indica que las pérdidas de energía son pequeñas y el material se denomina magnéticamente blando (el hierro dulce por ejemplo. En caso contrario (ciclo de histéresis con área grande) el material será magnéticamente duro. En la tabla se muestran los valores máximos de µ0 MS (campo de saturación) y de µr para algunos materiales ferromagnéticos,

Figura 3.6:

Bibliografía [1] Bernardo García Olmedo. Fundamentos de Electromagnetismo. 29 de septiembre de 2005. [2] S. Burbano de Ercilla. Física General. 32a Edición. [3] S. Linares. Electromagnetismo y Semiconductores. Universidad Politécnica de Valencia. [4] Colección Ingeniería. Problemas de Campos Electromagnéticos. Universidad Pontificia Comillas. [5] Antonio Sanchis Sabater. Fundamentos Físicos para Ingenieros. Universidad Politécnica de Valencia. [6] Miguel Aguilar Gutiérrez. Campos Elétricos y Magnéticos. Consejo Superior de Investigaciones Científicas.