Planteo Nuevo

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO x2

Planteo de Ecuaciones

**) (x + 3) (x + 2) = + 5x + 6 (identidades) Problema: Es toda cuestión en la que se pide calcular una o varias cantidades llamadas incógnitas, que junto con otras cantidades conocidas llamadas datos, deben satisfacer a las condiciones que especifica el enunciado.

5RMP7E01

DEFINICIONES PREVIAS Ecuación: Es una igualdad de dos expresiones algebraicas que sólo se verifica para algunos valores de las letras, llamadas INCÓGNITAS. Ejemplo:

Cuando estas condiciones pueden expresarse mediante símbolos algebraicos se trata de Problemas Algebraicos. MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA

3x + 4 = 7 + 2x, tiene la incógnita “x”, se comprueba que x=3 Ejemplo: x2 + x – 6 = 0

El procedimiento para resolver un problema mediante el uso de una ecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se requiere una práctica considerable y para esto se sugiere el siguiente esquema: 1º Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que queda perfectamente clara la situación que se plantea

Factorizando, obtenemos que: x 2 + x – 6 = 0; igual a :

2º Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas

(x + 3) (x – 2) = 0 De donde:

3º Planteo del problema: se elige la incógnita por una letra “x” por ejemplo y se efectúan con ello y con los datos, las operaciones que indique el enunciado.

i) x + 3 = 0  x = –3 ii) x – 2 = 0  x=2 Los valores numéricos x = –3 y x = 2, que hacen que los miembros de la ecuación tomen el mismo valor numérico, se llaman soluciones o raíces de la ecuación.

4º Resolución de la ecuación: Dicha ecuación se resuelve según las reglas que se enunciaron.

*)

a) 6 años d) 20 años

b) 8 años e) N.a.

x = cociente 10 x Al cociente lo dividimos por 3. 10  x     10   x Nuevo cociente 3 30

*** Suma de los cocientes es 600

Sea “x” el número de años que ahorran cada persona -

Ahorro total de cada persona = 500x Capital con ahorro de la primera persona = 20 000 + 500x Capital con ahorro de la segunda persona = 7500 + 500x

x x   600 10 30

Damos común denominador en el primer miembro. 3x  x  600 30

4x = 600  30  x = 4500 CLAVE. “D”

Según enunciado del problema El capital con ahorro de la primera es doble del capital con ahorro de la segunda 20 000 + 500x = 2 [ 7500 + 500x ] 20 000 + 500 x = 2 . 7500 + 2 . 500x 20 000 + 500x = 15 000 + 1000x 5000 = 500x  x = 10 años

02. Encontrar un número tal que dividiéndolo por 10 y a ese cociente dividiéndolo por 3; la suma de estos cocientes es 600. a) 450 d) 4 500

b) 3 500 e) N.a.

*

03. Juan dice a Pedro: Dame S/. 18 000 y así tendré doble dinero que tú y Pedro le contesta, más justo es que tú me des S/. 15000 y así tendremos los dos igual cantidad. ¿Cuánto tenía Pedro?? a) S/. 48 000 c) S/. 84 000 e) N.a.

CLAVE “C”

Sea el número = x Del enunciado del problema: PROBLEMAS RESUELTOS

**

c) 10 años

Solución:

Solución:

Identidad: Es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica para todos los valores de las letras. Ejemplos:

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 01. Una persona tiene S/. 20 000 y otra S/. 7 500 cada una ahorra anualmente S/. 500 ¿Dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda?

c) 40 000

Solución: Sea: x = dinero que tenía Juan y = dinero que tenía Pedro *

Cuando Juan dice a Pedro: dame S/. 18000 y así tendré doble dinero que tú. Lo que tenía Juan Lo que le queda a Pedro x + 18 000 = 2(y - 18 000)

De donde: x = 2y – 54 000 ...... (I)

Número dividido por 10

(m  n)2  m2  2mn  n2

5RMP7E01

¡Tenemos la Fórmula !

5RMP7E01

b) S/. 114 000 d) S/. 96 000

¡ Tenemos la Fórmula !

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ** Cuando Pedro le contesta, más justo es que tú me des S/. 15000 y así tendremos los dos igual cantidad (y - 18000) + 15000 = (x + 18000) - 15000 y – 3000 = x + 3000  x = y – 6000 .... (II)

CLAVE “A” 04. El producto de dos números naturales consecutivos es “P”, unidades más que el siguiente consecutivo. Encontrar el menor.

d)

P 3

a) 10 d) 25

x(x + 30) =

b) 15 e) 30

c) 20

c)

2P

e) N.a.

Solución:

Costo total # de cuadernos

a = # menor (a + 1) = # mayor

Si hubiera comprado 30 cuadernos más con la misma cantidad de dinero. O sea por S/. 6000, el precio de cada cuaderno sería:

Solución:

Del enunciado del problema: El producto de dos números naturales consecutivos es “P” unidades más que el siguiente consecutivo. Veamos:

S / .6000 .... () (x  30)

Si al comprar 30 cuadernos más, el precio de c/cuaderno costaría 180 soles más barato. Luego, se plantea la siguiente ecuación: S / 6000 S / 6000   S / .180 x (x  30)

a(a + 1) – P = (a + 2) a2 + a – P = a + 2 a2 = P + 2  a P2 CLAVE “B” 05. Se ha comprado por S/. 6000 cierto número de cuadernos, si se hubiera comprado 30 más, con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado

¡Tenemos la Fórmula !

c) 30

07. Hallar un número cuyo cuadrado, disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8. a) 13 d) 3

b) 10 e) N.a.

Sea: El número pedido = x El cuadrado del número = x 2 Luego, planteamos la siguiente ecuación, según el enunciado del problema. Veamos: x 2 – 119 = 10 [x – 8] x 2 – 119 = 10x – 80

De donde: x . p = 400

x 2 – 10 – 39 = 0,

.... ()

pero como faltaron dos a dicha excursión lo que quedan son (x - 2) amigos, tienen que pagar c/u 10 dólares o sea: (p + 10) Luego: (x - 2) (p + 10) = 400

.... ()

Igualando () y (), obtenemos:

x x

– 13 +3

De donde: i) x – 13 = y

x+3=0

 x = 13

y

x = –3

 El número pedido es 13.

x . p = x . p + 10x – 2p – 20 2p = 10x – 20;

CLAVE “A”

Sacamos mitad a c/término p = 5x – 10 p = 5(x – 2) .... ()

5RMP7E01

c) 7

Solución

Sea: x = # de amigos p = lo que tiene que pagar cada uno

1 1  6000    180 ;  x (x  30) 

Damos común denominador en el corchete.

b) 20 e) N.a.

Reemplazamos () en (): 5RMP7E01

CLAVE “A”

06. Varios amigos alquilaron un ómnibus por $ 400 para una excursión, a pagar por parte iguales, pero faltaron dos de ellos y cada uno de los que asistieron tuvieron que pagar $ 10 más. ¿Cuántos fueron a la excursión? a) 10 d) 50

Precio de c/ cuaderno =

 x = 10 (# de amigos)

 x = 20 cuadernos

Pr ecio de cada S / .6000  ..... () cuaderno x

Pr ecio de Costo total S / .6000   c / cuaderno # de cuadernos (x  30)

Sea los 2 números consecutivos:

6000(30) 180

por comparación de términos obtenemos:

Siendo: Precio de c/cuaderno =

x [5(x – 2)] = 400 x(x - 2) = 80 x(x - 2) = 10 (8)

x(x + 30) = 1000 x(x + 30) = 20(50)

Solución:

X = # de cuadernos que se han comprado por S/. 60000

2y – 54000 = y – 6000  y = 48000

b) P  2

 (x  30)  x  6000   180  x(x  30) 

Sea:

Igualamos (I) y (II):

a) P  2

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

180 soles más barato. Calcular el número de cuadernos

08. Al preguntar una madre de su hija cuánto había gastado de los 40 soles que le dio. Ella respondió “Si no hubiera comprado un chocolate, que me costó 10

¡ Tenemos la Fórmula !

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO soles, tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que hubiera gastado. ¿Cuánto gastó? a) 15 soles d) 30 soles

b) 20 soles e) N.a.

c) 25 soles

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Monedas de S / .10 10(3p  5)  convertida a S / .25 25

Solución Sea: x = # de relojes x = precio de cada reloj en soles

Del enunciado, del problema obtenemos: 3(3 + x) = 5(5 – x) 8x = 16  x =2

Monedas de S / 20 20(p  3)  convertida a S / .25 25

Solución:

CLAVE C”

Para su mejor entendimiento hacemos el siguiente gráfico: (Compra de un 10 soles chocolate) Lo vuelve a gastar S/.40 S/. 30

(30 - x) soles

(Tan sólo hubiera gastado)

Siendo, el costo total de los relojes = x . x = x 2 Por dato: x 2 = 5625

Del enunciado, si al cambiarlo en monedas de 25 soles el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 soles.

x =  5625 x =  75

5(p  1) 10(3p  5) 20(p  3) = 2[(p + 1)]   25 25 25

De donde solo se acepta:

5p  5  30p  50  20p  60  2(p  1) 25

(Lo que no se gasto)

 Se han comprado 75 relojes

55p + 15 = 50p + 50 5p = 35  p=7

CLAVE “B” Del enunciado del problema: Tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que hubiera gastado 3 x  (30  x)  10 5

Lo que no gastó si no hubiera comprado chocolate Lo que no gastó en total De donde: 

5x = 3[40 – x] 8x = 120 x = 15

10. Los ahorros de un niños consta de: (p + 1), (3p – 5) y (p + 3) monedas de 5, 10 y 20 soles respectivamente. ¿A cuánto asciende sus ahorros, si al cambiarlo en monedas de 25 soles el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 soles? a) 900 soles d) 400 soles

b) 455 soles e) 360 soles

c) 345 soles

Ahorro en monedas de 5 soles = 5(p + 1)

Luego lo que gastó es: 10 soles del chocolate + x lo que vuelve a gastar.

Ahorro en monedas de 10 soles = 10(3p – 5)

 Lo que gastó = 10 + 15 = 25 soles

Ahorro monedas de 20 soles = 20(p + 3)

09. Se compra cierto número de relojes por S/. 5625, sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de un reloj en soles. ¿Cuántos relojes se han comprado? a) 70 D) 85 5RMP7E01

b) 75 e) 65

c) 80

Para cambiar dichas monedas a monedas de 25 soles nos bastará dividir cada ahorro en monedas entre 25, veamos: Monedas de S / .5 5(p  1)  convertidas aS / .25 25

¡Tenemos la Fórmula !

a) 30 lts d) 60 lts

5(p + 1) + 10(3p – 5) + 20(p + 3) = 5(8) + 10(16) + 20(10) = 400

Donde: El primer recipiente tendrá: (80 + x) lts El segundo recipiente tendrá: (150 + x) lts Del enunciado, obtenemos: (80 + x) =

CLAVE: “D” 11. Si al numerador de la fracción 3/5 se le suma un número y al denominador se le resta el mismo número se obtiene otra fracción equivalente a la recíproca de la fracción dada. Calcular el número b) 1 e) –6

240 + 3x = 300 + 2x 3x – 2x = 300 – 240  x = 60 Luego, a cada recipiente se le añade: 60 lts CLAVE “D” 13. Hallar dos números cuya suma sea 60 y el cociente de sus recíprocas es 3. (Dar como respuesta el quíntuplo del mayor aumentado en 8)

Sea el número = x

5RMP7E01

2 (150 + x) 3

C) 2

Solución:

Fracción inicial =

c) 50 lts

Solución:

 Sus ahorros ascienden a 400 soles

a) 3 d) –5

b) 40 lts e) 80 lts

Sea: x = # de litros de agua que se añade a cada recipiente

Entonces sus ahorros ascienden a:

Solución: Del enunciado del problema, obtenemos:

12. Dos recipientes contienen 80 y 150 litros de agua y se les añade la misma cantidad de agua a cada una. ¿Cuál debe ser esta cantidad para que el contenido del primer recipiente sea los 2/3 del segundo?

3 5 ; recíproca de la fracción = 5 3

a) 83 d) 323

¡ Tenemos la Fórmula !

b) 233 e) N.a.

c) 332

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

 Incógnita: 233

Solución

Sean: Del enunciado, obtenemos:

Sean los dos números “a” y “b” Del enunciado, plateamos las siguientes ecuaciones: i) ii)

a + b = 60 .... (suma de los dos números) 1    a   3 ...... (Cociente de sus recípro cos de dichos números) 1    b

En esta última expresión, hacemos producto de extremos y medios. 1   a 3 1   b

b  3  b = 3a a

14. El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en su 2/5, en sus 3/10 y en 40; suma 200 años. ¿Cuántos años tengo? a) 30 años d) 60 años

b) 50 años e) 40 años

c) 35 años

Sea: mi edad =x Doble de mi edad = 2x

32x = 160(10) x = (5) (10)

 a = 15

Luego, calculamos el valor de la incógnita: INCÓGNITA: Quíntuplo del # mayor, aumentado en 8. : 5(45) + 8

 Pablo tendrá: y – 12  Pedro tendrá: x + 12

–

10,

damos

De donde:

Pedro = x  Pedro tendrá: x – le dá

15. Dividir el número 1000 en dos partes tales que si de los 5/6 de la primera se resta 1/4 de la segunda, se obtiene 10. Calcular la segunda parte.

16. Pedro y Pablo tienen cada uno cierto número de soles, si Pablo da 12 soles a Pedro; tendrán ambos igual cantidad, si por el contrario, Pedro da 3/5 de su dinero a Pablo, El número de soles de este queda aumentado en los 3/8. ¿Cuántos soles tiene cada uno?

b) 240 e) 890

c) 670

Solución: Sea:

¡Tenemos la Fórmula !

x = primera parte y = segunda parte x + y = 1000 ...... (I)

a) 30 y 84 d) 64 y 40 Solución: 5RMP7E01

b) 60 y 84 e) Ninguna

3 x 5

3 x, 5

Pablo = y  Pablo tendrá: y +

y = 760 (segunda parte) CLAVE “D”

a) 420 d) 750

.... (I)

**) Si por lo contrario, Pedro da 3/5 de su dinero a Pablo, el # de soles de este queda aumentado en sus 3/8

2(5y)  3(y) 2 . 5(1000)  12(10)  12 12 13y 9880  12 12 9880 y  760 13



y – 12 = x + 12  y = x + 24

común

CLAVE “B”

b = 3(15)

Como se observará de los números hallados el mayor es 45.

Pedro = x

5  5 1  5 5  x  y    x  y   (1000)  10 6  6 4  6 6

 x = 50 años (edad que tengo)

Pablo = y le da 12 soles

denominador a toda la ecuación.

20x  5x  4x  3x  160 10

 b = 45

(I)

5 1 5 y  y  (1000) 6 4 6

damos común denominador en el primer miembro.

Ahora, reemplazamos el valor de “a” en “”

 5  6

Multiplicamos  x  a cada término de la ecuación

Restamos miembro a miembro (III) y (II)

1 2 3 2x  x  x  x  160 2 5 10

........ ()

*) Si Pablo da 12 soles a Pedro, ambos tendrán la misma cantidad.

5 5 5 x  y  (1000) ...... (III) 6 6 6

1 2 3 2x  x  x  x  40  200 2 5 10

60 a= 4

5 1 x  y  10 ........ (II) 6 4

Solución:

del enunciado, obtenemos la siguiente ecuación:

Reemplazamos () en (i): a + 3a = 60 4a = 60

5RMP7E01

x = # de soles de Pedro y = # de soles de Pablo

CLAVE “B”

c) 40 y 64

3 x 5

De donde: y

3 3 xy y 5 8

3 3 x  y  8x = 5y ..... (II) 5 8

Reemplazamos (I) en (II): 8x = 5(x + 24) 8x = 5x + 120 3x = 120  x = 40 (Dinero de Pedro en soles)

¡ Tenemos la Fórmula !

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Reemplazamos el valor de “x” en (I): y = 40 + 24  y = 64 (Dinero de Pablo en soles) Luego, el número de soles de cada uno es: Pedro = 40 soles Pablo = 64 soles CLAVE “C” 17. Un número entero consta de tres dígitos. El dígito de las centenas es la suma de los otros dos, y el quíntuplo del las unidades es igual a la suma de las decenas y del de las centenas. ¿Hállese este número sabiendo que si se invierten los dígitos resulta disminuido en 594? a) 369 d) 963 Solución:

b) 639 e) Ninguna

c) 936

Unidades Decenas Centenas planteamos

Reemplazamos (i) en (I) (d + u) – u = 6  d=6

Sacamos onceava a cada términos

El valor de “d” hallado, lo reemplazamos en (II):

Reemplazamos (I) en (II): 3u = 2(15 - u) 3u = 30 – 2u 5u = 30  u=6

Luego el número de tres dígitos: cdu  963 CLAVE “D”

b) 69 e) 36

c) 96

Solución:

las

siguientes

Sea: du = número de dos dígitos

iii) cdu  udc  594 Los términos del primer miembro de la ecuación (iii), los descomponemos polinómicamente, veamos: (100c + 10d + u) – (100u + 10d + c) = 594 99c – 99u = 594 99(c – u) = 594  c – u = 6 ......(I)

planteamos

i)

d + u = 15  d = 15 – u

ii)

ud 

Reemplazamos (i) en (ii): ¡Tenemos la Fórmula !

.... (II)

Espacio - Velocidad  tiempo De donde: e = (v - 10)  3,5

3v = (v –10) 

23 (10 u + d) = (10d  u) 32

Luego, reemplazamos el valor de “v” en (I):

20. ¿Cuál es la edad actual de un Padre que duplica la de su hijo y hace 24 años su edad 10 veces que la de su hijo?

c N

a) 27 años d) 63 años

b) 48 años e) 45 años

Espacio = velocidad  tiempo

Solución

e = v  3 ... (I)

Edad del Padre = P Edad del hijo = H Edades hace 24 años Edad del Padre = P – 24

5RMP7E01

c) 54 años

Sea: Edades actuales:

Sabemos que:

320u + 32d = 230d + 23u 297u = 198d;

MN

CLAVE “A”

Tiempo 3 horas

De donde:

km  3hr hr  210Km  e= e e  70

c) 160 Km

v = Velocidad Uniforme (v=cte)

M

35 10

30V = 35v – 350 350 = 5v  v = 70 km/hr

19. Un tren va de la ciudad “M” a la ciudad “N” en 3 horas de viajando a una velocidad uniforme. En el viaje de regreso el tren va a 10 km/h, más despacio y la jornada toma media hora más ¿Cuál es la distancia de la ciudad “M” a la ciudad “N”?

..... (I)

.... (II)

v  3 = (v – 10)  3,5

CLAVE “C”

b) 345 Km e) N.a.

N

Sabemos que:

Luego, el número de dos cifras: du = 96

siguientes

descomponiendo

e

M

Solución: las

23 du 32

De la ecuación (ii), polinómicamente, obtenemos:

Tiempo 3,5 horas

Ahora reemplazamos el valor de “u” en (I): d = 15 - 6  d=9

a) 210 Km d) 180 Km

Del enunciado, ecuaciones:

i) c = d + u ii) 5u = d + c

5RMP7E01

 3 u = 2d

2u = 6 u=3 El valor de “u” hallado, lo reemplazamos en (I) c–3=6  c=9

a) 39 d) 63

cdu

(v - 10)

sacamos novena a cada término 33u = 22d,

18. La suma de los dos dígitos de un número entero es 15. Si se invierte el orden de los dígitos se obtiene otro número igual al primero multiplicado por 23/32. ¿Hállese el número?

Sea el número de tres dígitos:

Del enunciado, ecuaciones:

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

5u = d + (d + u) 4u = 2d  2u = d ..... (II)

¡ Tenemos la Fórmula !

P = 2H ... (I)

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Edad del hijo = H – 24 P – 24= 10(H – 24) P – 24 = 10H – 240 P = 10H – 216 ....... (II) Igualamos las ecuaciones (I) y (II): 2H = 10H – 216 216 = 8 H H = 27 años (Edad del hijo) Luego, reemplazamos el valor de “H” en (I): P = 2(27)  P = 54 años (Edad del Padre)

Nuestro lenguaje está lleno de expresiones que en algunos casos pueden ser medidos (en costo de un libro, el número de personas en una reunión, la altura de una persona, etc.) y otras que no pueden ser medidas (la alegría de un estudiante, la habilidad de una persona, al heroísmo de un soldado, etc.) En este tema nos ocuparemos de aquellas expresiones que sí podemos representar matemáticamente:  Traducir al lenguaje matemático (forma simbólica) cada uno de los siguientes enunciados:  El triple de un número, aumentado en su mitad. …………………………………………………… 

CLAVE “C”

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO …………………………………………………… PRACTICA DE CLASE 



"a es 7 veces más que "b" ……………………………………………………



"a" es 7 más que "b" ……………………………………………………



Dos números están en relación de 3 es a 5 ……………………………………………………

El triple de un número aumentado en su mitad ……………………………………………………



“M” excede a “N” en “X” ……………………………………………………

El cuadrado de un número, aumentado en cinco. ……………………………………………………



El exceso de "M" sobre "N" es "Z" ……………………………………………………

El cuadrado de un número aumentado en cinco. ……………………………………………………



"a" es excedido por "b" en 20 unidades ……………………………………………………

La suma de los cubos de dos números ……………………………………………………



Un número excede a 20 tanto como 110 excede a dicho número. ……………………………………………………

OTRO MÉTODO: 

También, se puede trabajar con una sola variable, veamos: 

Padre : 2x Edades actuales   .....( ) hijo : x

Edades hace 24 años

Padre : 2x  24  Hijo : x  24





El cubo de la suma de dos números. ……………………………………………………



La suma de dos números consecutivos es 99 ……………………………………………………



Lo suma de tres números pares consecutivos es 36. ……………………………………………………



La suma de tres números impares consecutivos es 45. ……………………………………………………



Gastó la tercera parte de lo que no gastó. ……………………………………………………



Juan resuelve las tres séptimas partes de lo que no resuelve de un examen. ……………………………………………………

Ahora, planteamos la siguiente ecuación: (2x – 24) = 10(x - 24) 2x – 24 = 10x – 240 216 = 8x

 Un número es menor en 42 que el cuadrado de su consecutivo. ……………………………………………

 x = 27 Reemplazamos el valor de “x” en () Edades actuales Padre: 2x = 2(27) = 54 años Hijo: x = 27 años Planteo, una ecuación es traducir al lenguaje matemático (forma simbólica) lo expresado en un lenguaje común (verbal) ISAAC NEWTON 5RMP7E01

"a" es 7 veces "b" ……………………………………………………



a) 2 d) 7

b) 6 e) 4

c) 5

02. Al gastar el señor Pérez tantas veces 5 céntimos de sol. Como soles tenía en su bolsillo, le quedó 38 soles. ¿Cuántos soles le hubiera quedado si hubiera regalado tantas veces 50 céntimos como la mitad del número de soles que tenía? a) 38 d) 25

b) 37,5 e) 20

c) 3

03. En un tiro al blanco se disparan 25 litros pagando 0,40 soles por tiro que no da en el blanco y recibiendo 11 n soles por cada blanco que se haga. Si se sabe que el tirado pagó 10 soles. Calcule el número de blancos que hizo. a) 10 d) 18

b) 5 e) 3

c) 0

04. Dos decenas de litros cuestan tantos soles como libros dan por S/. 2880. ¿Cuánto cuesta cada libro? a) S/. 16 d) S/. 12

b) S/. 20 e) S/. 8

c) S/. 9

05. Un grupo de palomas se aproxima a un grupo de postes, si en cada poste se posan 3 palomas resultarían 2 postes sobrantes, en cambio, si en cada poste se posan 2 palomas haría falta 2 postes más. I. Hay 24 palomas II. Hay 12 postes III. Si hubiesen 4 postes menos, en cada poste habrían 4 palomas a) Sólo I d) I y II

El número de varones es la quinta parte del total de reunidos.

¡Tenemos la Fórmula !

01. Dividir 90 en dos partes tales que 3 veces más la parte mayor excede a 200 tanto como 11 veces la parte menor es excedido por 300. Indique cuántas veces más es la parte mayor que 10.

5RMP7E01

¡ Tenemos la Fórmula !

b) Sólo II e) I y III

c) sólo III

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 06. Se ha calculado el promedio del paso de un grupo de chicos, se une David al grupo, que pesa 39 kg, y el promedio se transforma en 51 kg. Más tarde se une Pablo, que pesa 61 kg. y el promedio pasa ser 52 kg. ¿Cuál era el promedio ante de que llegaran David y Pablo? a) 50 kg d) 48.5 kg

b) 49 kg e) 51.5 kg

c) 52.5 kg

07. Una persona compra 3 bicicletas y paga en total “p” soles; la tercera cuesta “q” soles menos que la primera y la segunda juntas; y la primera cuesta “R” soles más que la segunda, ¿Cuál es el precio de la segunda bicicleta? P  Q  2R a) 4 P  Q  2R d) 4

P  Q  2R b) 3 P  Q  2R c) 3

P  Q  2R c) 4

b) S/. 270 e) S/. 70

c) S/. 90

09. En la fecha inaugural de un torneo interclubes de fulbito, los capitanes de equipo intercambian banderines y ser estrecharon la mano; un espectador advirtió que la diferencia entre el número de banderines intercambiados y el número de apretones de mano fue de 120. ¿Cuántos clubes participaron? a) 16 d) 14

b) 15 el 12

c) 13

10. Descomponer el número 8 en dos partes tales que dividiendo una entre la otra se obtiene 3 de cociente y 4 de resto. Hallar la mitad de la diferencia entre las dos partes.

5RMP7E01

b) 13 e) 26

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

a) 13 d) 10

b) 21 e) 14

c) 9

13. Una almacén debe vender todo su stock de televisores para cubrir algunos gastos de emergencia. Si vende cada televisor a su precio normal se ganará S/. 4000; pero si se vende cada televisor en S/. 90 menos, perdería S/. 2300 ¿Cuántos televisores posee? a) 120 d) 60

b) 100 e) 75

c) 70

14. Dos cirios de la misma altura y calidad se consumen de la siguiente forma: el primero en 40` y el segundo en 30`y en forma constante. El segundo se enciende 4`después que el primero. ¿después de qué tiempo de encendido el primero las alturas de ambos serán iguales? a) 16` 6) 18` c) 12` d) 14` e) 20` 15. Cuando un comerciante compra cuadernos le regalan 2 por cada 7 y cuando los vende regala 1 por cada 8 ¿Cuántos cuadernos compró si vendió 700? a) 650 d) 800

¡Tenemos la Fórmula !

b) 850 e) 900

16. Si te doy dos de mis canicas, la relación de mis canicas a las tuyas será de 1 a 3; pero si tú me das una canica, tendremos igual cantidad ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene por raíces el número de caninas cada uno? a) x2 - 8x +15 c) x2 - 12x - 35 e) x2 - 12x +35

b) x2 - 10x +21 d) x2 - 10x +24

c) 18

12. Se desea pagar una deuda con monedas de S/. 5 y S/. 12 (en total 15); en el momento del pago se intercambio el número de monedas por equivocación pagándose S/. 3 demás. ¿Cuántas monedas de S/. 2 se entregó? b) 7 e) 6

EJERCICIOS DE AUTO EVALUACIÓN

c) 11

11. Un número de cuatro cifras termina en 4. En él mismos e verifica que si la cifra de las unidades se coloca delante de las otras tres manteniéndose el orden de éstas, el número obtenido supera al anterior en 1638. Hallar la suma de cifras de dicho número.

a) 8 d) 5

08. Se reparte una cantidad entre 3 personas de tal manera que cada uno recibe el doble del anterior. Por error se entrega las partes en orden inverso y uno recibe 270 soles menos ¿Cuál fue la menor de los partes? a) S/. 180 d) S/. 45

a) 14 d) 37

c) 750

17. Los pesos de un padre y su hijo son entre sí como 19 es a 7, los pesos de una madre y su hija es como 13 es a 7. Si los pesos de los varones excede al de las demás en 30 kilos; halle la suma de cifras del resultado de sumar los 4 pesos, si ninguno de ellos es mayor que 100. a) 7 d) 12

b) 5 e) 10

c) 13

18. Halle el número entero que está entre 12 y 96, de modo que sea tantas vece más que 16 como 96 es tantas veces dicho número. a) 28 d) 45

b) 35 e) 48

c) 39

19. Al finalizar el juego de ping - pong Carmen comenta a María: Si te hubiera dado tres puntos menos de ventaja, te habría ganado con una diferencia de seis puntos. Si maría anotó 10 puntos (sin contar con la ventaja dada) y el juego de ping pong es hasta los 21 puntos, ¿cuántos de ventaja dio Carmen a María? a) 35 b) 5 c) 8 d) 9 e) 10 20. Un hacendado piensa: Si vendo mis ovejas a S/. 200 cada una podré comprar un automóvil y tener S/. 900 de sobra. Pero si las vendo a S/. 180, comparando el automóvil me sobraría sólo S/. 60. Halle la cantidad de ovejas del hacendado. a) 42 d) 100

5RMP7E01

b) 30 e) 450

c) 90

01. Un comerciante gastó S/. 171 en igual número de cuaderno y borradores. Si cada borrador costó un sol y cada cuaderno S/. 2 entonces el total de artículos comprados es: a) 100 d) 104

b) 114 e) 120

c) 86

02. Una cantidad de $ 1350 se ha pagado con billetes de 100 y 50 dólares. ¿Cuántos billetes de 100 dólares se han dado, si los billetes de 50 dólares son 6 más que los de 100 dólares? a) 7 d) 4

b) 6 e) 3

c) 5

03. A una reunión asistieron 200 personas. María bailó con 7 muchachos; Olga con ocho; Anita con nueve y así sucesivamente hasta llegar a Carola que bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos habían en dicha reunión? a) 113 d) 103

b) 115 e) 93

c) 105

04. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores S/. 250. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno S/. 300 ¿Cuántos era los trabajadores inicialmente? a) 5 b) 6 c) 8 d) 7 e) 4 05. La diferencia de 2 números más 60 unidades es igual al cuádruple del número menor, menos 50 unidades. Hallar la suma de los números, si el mayor es el triple del menor. a) 120 d) 210

b) 180 e) 160

c) 220

06. En un corral hay liebres y gallinas. Si comparamos el doble del número de cabezas con el número de patas. Éste excede a aquel en 16. ¿Cuántas liebres son?

¡ Tenemos la Fórmula !

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO a) 3 d) 6

b) 16 e) 7

c) 8

07. Un padre va con sus hijos al cine y al sacra entradas de a 3 soles observa que le falta dinero para tres de ellos y tiene de a S/. 1.50 así entran todos y le sobra S/. 3 ¿Cuántos eran los hijos? a) 6 d) 8

b) 7 e) 9

b) S/. 6,4 e) S/. 8,4

b) 120 e) 63

b) 98 e) 25

c) 52

13. Si tengo S/. 1024 y además se sabe que tengo tantas monedas como el valor en soles de cada moneda, ¿Cuántas monedas tengo? a) 19 d) 28

c) S/. 17

09. A cierto número para se le suma los dos números pares que le preceden y los dos impares que lo siguen, obteniéndose en total 968 unidades. El producto de los dígitos del número par en referencia es: a) 162 d) 150

a) 34 m d) 87

c) 5

08. Se sabe que una naranja y una manzana cuestan 80 céntimos de sol entre los dos. Sabiendo que 6 naranjas cuestan tanto como 4 manzanas. ¿Cuánto cuestan 15 manzanas? a) S/. 6 d) S/. 7,20

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

largo disminuye en 8 metros el área del terreno no varia. ¿Cuál es el perímetro del terreno?

c) 36

b) 31 e) 18

c) 32

14. Yo tengo el cuádruple de lo que tú tienes. Si tuvieras 5 soles más de lo que tienes, yo tendría dos veces más de lo que tú tendrías. ¿En cuánto se diferencian nuestras cantidades? a) 40 d) 35

b) 45 e) 50

c) 30

15. Se ha comprado cierto número de lapiceros por S/.100. Si el precio por unidad hubiese sido S/.1 menos se tendría 5 lapiceros mas por el mismo dinero. ¿Cuántos lapiceros se compró? a) 15 b) 18 c) 10 d) 20 e) 16

01

CLAVES DE AUTOEVALUACIÓN B 06 C 11 C

02

A

07

B

12

C

03

D

08

D

13

C

04

B

09

C

14

B

05

C

10

D

15

D

10. Una persona quiere comprar 450 pelotas o por el mismo dinero 50 polos y 50 short. Si al final compró el mismo número de objetos de cada clase, hallar el número de short y polos comprados al final. a) 80 d) 90

b) 60 e) 120

c) 100

11. Si al cuadrado de la cantidad que tengo, le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/. 120. ¿Cuánto tengo? a) 110 d) 36

b) 90 e) 16

c) 12

12. En un terreno de forma rectangular el largo excede en 6 metros de ancho. Si el ancho se duplica y el 5RMP7E01

¡Tenemos la Fórmula !

5RMP7E01

¡ Tenemos la Fórmula !