Planteo de Ecuaciones
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Planteo desde el primer paso. Simple y sencillo....
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TEMA: PLANTEO DE ECUACIONES OBJETIVO
%receden &res números son %ro%orcionales a ! ' y 5 res%ectivamente El doble del cuadrado de un número El cuadrado del doble de un número "a cuar cuarta ta %art %arte e de un número número!! dismin disminuid uido o en dos "a tercer %arte de un número sumada con su quinta %arte El a %or b de n excede a un número en 8 "o que me (alta %ara tener 8 es tanto como el doble de que me sobra %ara ser 2)
Desarrollar y utilizar en forma adecuada la notación y el vocabulario para poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y l a vida diaria y sus si tuaciones problemáticas.
PROCEDIMIENTO Para el correcto planteo de una ecuación es necesario tomar en cuenta los siguientes pasos: 1. Lectura detallada del enunciado. 2. Identicación de la(s i ncógnita(s y dados proporcionados. !elacion ionar ar las incógnit incógnitas as y los datos" datos" este paso paso ser#a ser#a el plante planteo o de la 3. !elac ecuación. $ericar los resultados. 4. $ericar
EJEMPLOS DE APLICACIÓN: %allar un n&mero" sabiendo 'ue aumentado en ) e'uivale al triple de su valor.
E#$%es!" &e%'(l
Re$%ese")(c!" M()e*+)c(
De ? del ? de los? veces
Mul)$lc(c!"
Por ? es a ? razó razón n ? rela relaci ción ón?? proporcional" proporcional" entre si
D&s!"
1+cede? 1+ceso? mayor? menor.
Res)(
1n ? tanto e'uivalente.
?
como
?
Veces más ;veces mayor
ENUNCIADO
es
@?
•
Resoluc!":
*ea el n&mero: + + , ) - + !esolviendo: ) - /+ 0 - +. n&mero es 0. ∴ . 1l n&mero
2. 1l e+ceso del doble de un n&mero sobre ) es igual al triple del n&mero disminuido en 2. 34uál es el n&mero5
*ea 6+6 el n&mero 1l e+ceso del doble del n&mero sobre ) es: /+ 7 ) 1l triple del n&mero disminuido en 2 es: (+ 7 2 • Luego" seg&n el enunciado • /+ 7 ) - (+ 7 2 !esolviendo: /+ 7 ) - + 7 2 / - +. n&mero es /. /. ∴ . 1l n&mero *e tienen dos n&meros" el mayor e+cede al menor en 8 unidades. *i al 3. menor se le aumenta sus 9" resultar#a lo mismo 'ue la mitad del mayor •
I,u(l-(-
•
Una vez mas
VERBAL
Un número dos dos veces más que otro numero Un numero es dos veces otro numero Una cantidad aumentada en 20 Un número disminuido en 60 El exceso de un número sobre 50 es 10 “x” excede a “y” en 8 El doble de un número aumentado en El doble de un número! aumentado en “a” es cuadro veces “b” "a relaci#n que $ay entre 2 números es 2 a 5 "a suma de tres números consecutivos es 18 "a suma de un numero im%ar con sus dos números %ares que le
Resoluc!":
FORMA SIMBÓLICA
Resoluc!": !ecuerda 'ue: *i ; e+cede a < en 8" entonces: . ; , < - 8.
•
•
*ean los n&meros: = >enor - + = >ayor - + , 8 *eg&n el enunciado
3 + sus = 4
(#menor )
3
+
x
4
# mayor
x
=
x
•
2
+ 15 2
•
!esolviendo + , + - /(+ , 8 A+ - /+ , 2 8+ - 2 . + - B. Luego los n&mero son:
•
/. *i se multiplica el menor y el mayor de los tres n&meros pares consecutivos" se obtiene un n&mero 'ue es 0B unidades menos 'ue el producto del mayor y el segundo de los tres mencionados. %alla dicos n&meros.
# menor = 6 # mayor = 6 + 15 = 21
Resoluc!": 4omo los n&meros pares consecutivos se van generando de / en /" entonces serán:
•
.
4. •
•
%allar dos n&meros sabiendo 'ue uno e+cede al otro en ) unidades y 'ue el menor es 8 unidades menos 'ue el doble del mayor
x
Resoluc!": 4omo nos dicen 'ue uno de los n&meros e+cede al oto en )" entonces = >enor - + = >ayor - + , ) Del enunciado # menor
=
35 menos que el doble del # mayo r
x
=
2( x + 8) − 35
x + 2
2do #
x + 4
;
# mayor ( 3er # )
!esolviendo:
actual" se obtiene la edad 'ue tendrá dentro de 8 aFos 34uál es su edad5
n&mero menor. menor. %allar el mayor de los tres n&meros.
Resoluc!": *ean los tres n&meros enteros consecutivos: ( x + 1)
;
menor
0. *i al triple de la edad 'ue ten#a Eared ace 2 aFos" se le resta su edad
. La suma de tres n&meros enteros consecutivos es A unidades más 'ue el
#
Luego dicos n&meros son ? B y ).
.
;
+/ , + - + / , B+ , ) 7 0B )) - /+ - +.
Cinalmente los n&meros son # menor = 19 # mayor = 27
x
Del acuerdo a los datos: + (+ , - (+ , (+ , / 7 0B
!esolviendo: + - /+ , B 7 8
# menor ( 1er # )
0 - +.
•
Del acuerdo a los datos del problema + , (+ , , (+ , / + , A !esolviendo: + , - + , A /+ - . + - //. 1ntonces = >ayor - // , / - /.
;
# int ermedio
( x + 2)
#
mayor
Resoluc!":
*ea G+6 la edad actual de Eared 1ntonces: *u edad ace 2 aFos era: (+ 7 2 *u edad dentro de 8 aFos será: (+ , 8 *eg&n datos: (+ 7 2 7 + - + , 8 !esolviendo: + 7 2 7 + - + , 8 + - 8.
64
Por lo tanto la edad actual actual de Eared es 8 8 aFos . • . EesseH dice: GastJ los /9A de lo 'ue ten#a y *9. /2 más" 'uedándome con la 'uinta parte de lo 'ue ten#a y *9. B más.6 34uánto ten#a >ilagros5 •
Resoluc!":
•
*ea G+6 el dinero 'ue ten#a EesseH
•
*i gasta los /9A de lo 'ue ten#a y *9. /2 más" le 'uedan:
2 x − x + 20 = x − 7
2 7
x
− 20 =
5 7
x
− 20 ... (I
•
La 'uinta parte de lo 'ue ten#a y *9. B más es: 1 5
•
x
5
x
− 20 =
1 5
x
+ 16
!esolviendo: /8+ 7 A22 A22 - A+ , 8B2 )+ - /B2 . + - A2. Luego . EesseH ten#a ten#a A2 soles.
*ea G+6 el total de páginas. *eg&n datos: 1l er d#a lee B páginas" entonces le falta leer (+ B páginas x − 64
+
4 7
x
= x
!esolviendo: >4> (? A - / , A(+ 7 B , /+ - /+ , A+ 7 ) , /+ - /+ )0B - /+ . ) - +. Por lo tanto La novela tiene ) páginas. La edad edad de Euan aument aumentada ada en ) es es /A 34uál 34uál es la edad edad de Euan5 Euan5 !pta. *ea + su edad
/.
1l doble doble de un n&mero n&mero disminu disminuido ido en A2 es es ). 34uál 34uál es el n&mero5 n&mero5 !pta.
.
1l triple triple de la suma suma de un n&mero n&mero con con B es ) 34uál 34uál es el el n&mero5 n&mero5 !pta.
.
1l n&mero n&mero de ombre ombres s es 8 veces veces el n&mero n&mero de muNere muNeres" s" si !pta.
8.
1l n&mero n&mero de ombres ombres es 8 veces veces más 'ue el n&mero n&mero de muNeres" muNeres" si en total total ay / personas entre ombres y muNeres" 34uántos ombres ay5 !pta.
B.
1l e+ceso de 8 sobre sobre ) es igual al e+ceso de G;6 sobre /. 34uánto vale G;65 !pta.
A.
1l dinero dinero 'ue tengo tengo aumentado aumentado en su mitad mitad es 8 34uánto 34uánto tengo5 tengo5 !pta.
3 1l /do d#a lee
3
PROBLEMAS PROPUESTOS
0. Kn estudiant estudiante e lee B página página de la novela novela G4ien G4ien aFos de de soledad6" soledad6" y al d#a siguiente lee 9 de lo 'ue le falta? si todav#a le 'uedan por leer los 9A del total de páginas" 34uántas páginas tiene dica novela5
Resoluc!":
x − 64
.
+ 16
... (II De acuerd acuerdo o al enunci enunciado ado del probl problema ema"" las e+presi e+presione ones s (I y (II (II son e'uivalentes" o sea: 7
•
+
páginas 4 7
x
M todav#a le 'uedan por leer leer páginas. *e deduce 'ue: Lo 'ue lee el primer d#a" más lo 'ue lee el segundo y más lo 'ue le 'uedan por leer" será igual al total de páginas. 1ntonces:
). ;l reti retira rars rse e person personas as de una reun reunió ión n se obse observ rva a 'ue 'ue Jsta Jsta 'ued 'ueda a disminuida en sus /90 partes. 34uántas 'uedaron5 !pta. 0.
; ildder ildder le preguntan preguntan la ora ora y responde: responde: GOuedan GOuedan del del d#a 0 oras menos menos 'ue las ya transcurridas6. 3OuJ ora es5
!pta. 2. 3OuJ n&mero es a'uel cuyo e+ceso sobre A e'uivale a la diferencia entre los 98 del n&mero y se+ta parte del mismo5 !pta.
*9. 2 menos 'ue el Nueves y el sábado *9. 2 más 'ue el viernes. *i en los B d#as e ganado *9. 0 34uánto ganJ el miJrcoles5 !pta.
. 1l n&mero de ombres es 8 veces el n&mero de muNeres" si en total ay / personas" entre ombres y muNeres 34uántas muNeres ay5 !pta.
0. oventa soles se reparten entre tres ermanos proporcionalmente a sus edades 'ue son como 8" y ? si se repartiera e'uitativamente" 34uánto más recibir#a el menor5 !pta. /2. *ubiendo la escalera de tres en tres" Rillary da B pasos más 'ue subiendo de cinco en cinco. 34uántos peldaFos tiene la escalera5 !pta.
/. ;l retirarse personas de una reunión se observa 'ue Jsta 'ueda
2 9 disminuida en sus !pta.
partes. 34uántas 'uedaron5
. ; ildder le preguntan la ora y responde: GOuedan del d#a 0 oras menos 'ue las ya transcurridas6. 3OuJ ora es5 !pta. . 3OuJ n&mero es a'uel cuyo e+ceso sobre A e'uivale a la diferencia entre los 3
/. 4omprJ el cuádruple del n&mero de caballos 'ue de vacas. *i ubiera comprado 8 caballos más y 8 vacas mas tendr#a el triple de n&mero de caballos 'ue el de vacas. 34uántos caballos y cuántas vacas comprJ5 !pta.
5
del n&mero y se+ta parte del mismo5 !pta. 8. oventa soles se reparten entre tres ermanos proporcionalmente a sus edades 'ue son como 8" y ? si se repartiera e'uitativamente" 34uánto más recibir#a el menor5 !pta. B. Doce es e+cedido por ) en la misma medida 'ue el n&mero es e+cedido por su triple. %allar el e+ceso de /2 sobre el n&mero. !pta.
A. Qen#a *9. )8" gastJ cierta suma y lo 'ue me 'ueda es el cuádruplo de lo 'ue gastJ 34uánto gastJ5 !pta.
). 1l martes ganJ el doble de lo 'ue ganJ el lunes" el miJrcoles el doble de lo 'ue ganJ el martes" el Nueves el doble de lo 'ue ganJ el miJrcoles? el viernes
//. 4alcular cuatro n&meros consecutivos tales 'ue la tercera parte de la suma de los mayores sea 2 unidades menos 'ue la suma de los dos primeros. !pta.
/. ;l preguntar un padre a su iNo cuanto ab#a gastado de los 82 soles 'ue le dio" Jste respondió: G%e gastado las 9 partes de lo 'ue no gastJ6. 34uánto gastó5 !pta.
/. ;L comprar /2 naranNas" me sobra *9. )2" pero al ad'uirir / naranNas" me faltar#an *9. /2 34uánto cuesta cada naranNa5 !pta.
a 2 A2
El es)u-o -e l( *()e*+)c( es co*o el Nlo ue co*e"( $o% l( *o-es)( 5 )e%*"( $o% l( *(,"6ce"c(7. JIMM8. 9UEVARA JULCA “
PROBLEMAS PARA LA CASA .
/.
8 $eces la suma de un n&mero con es igual a 2. allar el n&mero. a b / d e A 1. E /. E 1l a / d 8
.
.
2. 3. 4. .
D C B A
0. D . C e ori'inar! (evan"ar "odas es"as co(mnas4 a) 1400 b) 1435 c) 1365 ") 1200 32# A ' a&ambre "e 82 cm se &e ace 5 cores, e& :rosor "e &a s%erra es 2m# ¿C!n"o mide cada "rozo de a(am$re) a) 12cm b) 10 c) 15 ") 13 e) 11 33# 'a var%&&a "e acero "e 96cm se &e ace 3 cores, "o'"e ca"a rozo !e se ob%e'e es e& "ob&e "e& a'er%or, s% e& :rosor "e &a s%erra es "e 2cm# ¿e( "rozo ma7or mide)4 a ) 4 2 cm b) 40 c ) 48 ") 60 e) 50 34# $' ' mar%mo'%o, a& mome'o "e& sa&"o, se orma 'a &ar:a co&a "e am%&%ares y am%:os; s% &os esosos "emora' e' sa&"ar 1,5 m%'os y e& %emo oa& e' &os sa&"os e "e 1 ora y 12 m%'os# ¿A c!n"os sa(daron)4 a) 42 b) 49 c) 48 ") 30 e) 40 M?TODO DE LAS D-/ERENC-AS: 35# =% ve'"o a =# 30 ca"a &%bro, :a'ar@a =# 350; ero s% &os ve'"o a =#25 so&o :a'ar@a =#200# ¿C!n"os (i$ros "en'o) a) 30 b) 24 c) 30 ") 40 e) 5 36# ' a"re va a& c%'e co' ss %Cos y a& sacar e'ra"as "e =#15 observa !e &e a&a "%'ero ara 2 "e e&&os, e'o'ces %e'e !e sacar e'ra"as "e =#10 as@ e'ra' o"os y a+' &e sobra' =#5# á'os era' &os %Cos a) 7 b) 6 c) 5 ") 4 e) 3 37# ' :ro "e a&omas se arox%ma a ' :ro "e oses# =% e' ca"a ose se osa' 4 a&omas res&ar@a' 3 oses sobra'es, e' camb%o s% e' ca"a ose se osa' 3 a&omas ar@a' a&a 3 oses más# á'as so' &as a&omas a) 21 b) 36 c) 42 ") 72 e) 84
38# ' roesor "%sr%bye a &os a&m'os co&oca'"o 6 a&m'os or carea# =% b%cara 2 a&m'os e' ca"a carea se 'eces%ar@a' 10 careas más# á'as careas se %ba' a %&%zar %'%c%a&me'e a) 4 b) 5 c) 6 ") 7 e) 9 39# =% se ve'"e ca"a coma a I270 se :a'ar@a I 1340; ero s% se ve'"e a I 210 ca"a 'a se :a'ar@a I 920 ¿C!n"as chom#as son) a) 7 b) 8 c) 9 ") 10 e) 5 40# =% ve'"o a =#7 c"# e&oa :a'o =#12, ero s% &as ve'"%era a =# 5 er"er@a =#6# ¿C!n"as #e(o"as vende) a) 7 b) 6 c) 9 ") 11 e) 13 41# =% ve'"emos &a%ceros a =#4 c 'o :a'amos =#18, ero s% ve'"emos c &a%cero e' =# 2 er"emos#4# ¿c!n"os se vendi0) a) 8 b) 20 c) 11 ") 9 e) 12 42# a:a'"o =#250 a ca"a 'o "e m%s em&ea"os me a&a"a =# 360; e' camb%o s% &es a:ara so&o =# 200 me sobrar@a =#140# ¿E( número de em#(eados es) a) 8 b) 12 c) 10 ") 16 e) 6 43# e ha$9a an"es de (a #rimera hora4 a) 57 b) 48 c) 64 ") 60 e) 32 51# $' 'a v%s%a a& zoo&>:%co G%&&ary &&evo &áa'os !e "%sr%byo a res mo'os, a& r%mero &e "%o &a m%a" "e &o !e &&evo más me"%o &áa'o ,a& se:'"o &a m%a" "e& reso más me"%o &áa'o ,a& ercero &a m%a" "e& 'evo reso más me"%o &áa'o s% "%sr%byo o"os &os &áa'os #e& '+mero "e &áa'os !e rec%b%> e& se:'"o mo'o es# a) 1 b) 5 c)4 ") 2 e) 8 52# ex%se ' sa'o !e ace e& m%&a:ro "e "&%car e& "%'ero; ero co' &a co'"%c%>' !e "eCe 8 so&es "e &%mos'a# =% a& cabo "e res m%&a:ros Hare" sa&%> s%' "%'ero# ¿C!n"o dinero "vo a( in'resar) a) 8 so&es b) 9 c) 7 ") 10 e) 14
1#
2#
.%s %e'e 20 bo&as e're roCas y az&es; %er"e 4 "e ca"a co&or, !e"a'"o 3 bo&as az&es or ca"a roCa# ¿C!n"as $o(as ro8as "en9a) a) 14 b) 7 c) 12 ") 11 e) 13
3#
os soc%os se reare' e& be'e%c %o "e ' 'e:oc%o, &a are "e& r%mero es s%ee veces &a "e& se:'"o, &a "%ere'c%a e're &as "os ares es =#75 234 ¿C!( es (a #ar"e ma7or) a) 8773 b) 12539 c) 8577 ") 4377
4#
' maesro :a'a e& "ob&e "e &o !e :a'a ' a&ba%& y e& r%&e "e &o !e erc%be s ay"a'e# $'re &os res C'os rec%be' =#3300#¿C!n"o 'ana e( maes"ro) a) 600 b) 1200 c) 1800 ") 2400
5#
a'"o Fosa 'ac%> -ar@a e'@a 30 aos, ambas e"a"es sma' oy 28 aos más "e $&sa, !e %e'e 50 aos# ¿, edad "iene Ma"i(de >e naci0 cando Rosa "en9a ** a@os) a) 16 b) 13 c) 14 ") 15 e) 12 .a cara are "e &a sma "e "os '+meros es 23 y e& r%&e "e s "%ere'c%a es 48# ¿e( ma7or es) a) 36 b) 48 c) 54 ") 38 e) 72
;ROsoros; "e'ro "e ca"a caCa az& ay 3 caCas ver"es y 12 >soros# ¿C!n"os 20s2oros ha7 en "o"a()4 a) 156 b) 188 c) 468 ") 480 e) 492
;ROe) a) 6 0 b) 70 c) 1 00 " ) 14 0 e ) 20 0
8#
ess "e comrar 15 &%bros "e& m%smo rec%o me sobra =#38 y me a&a =#47 ara comrar oro# ¿C!n"o "enia) a) 2312 b) 1418 c) 1313 ") 1829
9#
á'os "@as 'eces%ará ' %'or ara %'ar 840 ve'a'as, s% rabaCa 8 oras "%ar%as y %'a 3 ve'a'as e' 'a ora a) 20 "@as b) 35 c) 20 ") 45 e) 40
10# ' @o reare carame&os e're 8 sobr%'os "á'"o&e 7 a ca"a 'o y !e"á'"o&e 3, s% b%era s%"o 9 sobr%'os# ¿C!n"o (e >edar9an) a) 4 b) 5 c) 3 ") 2 e) 1 11# =e ve'"e e& &%ro "e a&coo& ro =#8, 50, se eca a:a asa !e 125 &%ros "e &a mezc&a va&:a so&o =#850# ¿Se desea sa$er c!n"os (i"ros de a'a se a're'0) a) 35 b) 55 c) 30 ") 25 e) 24 12# 'a &aa &&e'a "e :a&&eas esa 960 :r, &a m%sma &aa co' &a m%a" "e& co'e'%"o esa 560 :r# ¿C!( es e( #eso de (a (a"a)
a) 170
b) 200
c) 160
") 24
e) 800
13# $' ' erre'o "e orma ca"ra"a se a' acomo"a"o 196 s%&&a s e' %:a& '+mero "e %&as y co&m'as, s% se "ec%"e e&%m%'ar 2 %&as y 2 co&m'as co'serva'"o &a m%sma orma "e& erre'o# ¿C!n"as si((as >edan) a) 110 b) 140 c) 144 ") 190 e) 168 14# ' ao co'sme 1 &%ro "e :aso&%'a e' 10 Dm# or ca"a ora se &e cae 2 &%ros; va a 80 Gm y %e'e 40 &%ros "e :aso&%'a# ¿C!n"os Bm avanza) a) 250Gm b) 100 c) 240 ") 20 e) 300 15# Morma e'@a !e ve'"er 1200 ma'za'as a =#6 &a "oce'a, ero &as ve'"e e' res ormas, 400 "e e&&as a =#5 &a "ece'a, oras 300 a =#4 &a "oce'a y e& reso a =#7 &a "ece'a# ¿C!n"o 'ana o #ierde) b) N 50 c) O 50 ") O100 e) N100 16# $' ' a"%or%o &os a&m'os esá' se'a"os e' careas &ar:as "e 9 erso'as ca"a 'a# =% se b%era' se'a"os e' careas &ar:as "e so&o 8 erso'as o"os ocar@a' 2 careas más# ¿C!n"os a(mnos ha7 en e( adi"orio) a) 124 b) 104 c) 144 ") 154 e) 184 17# =e co'raa a ' em&ea"o or e& %emo "e ' ao, acor"a'"o a:are I700 más ' e&ev%sor, ero a& cm&%r &os #s%ee meses se &e "es%"e a:á'"o&e I 250 más e& e&ev%sor# E( #recio de( "e(evisor: a) 480 b) 380 c) 350 ") 450 e) 420 18# ara :a'ar =# 28 e' 'a r%a "e ' ca"ro s% %c%ero' 90 bo&eos, se ve'"%ero' so&o 75 bo&eos co' 'a r"%"a "e =#17# ¿C!( es e( va(or de( cadro) a) 270 b) 262 c) 224 ") 242 e) 263 19# ar&os comr> 514 &%bros or =#4626, ve'"%> 'a are or =#3600 :a'a'"o =#3 e' ca"a 'o y ora are or =#912 er"%e'"o =#1 e' ca"a &%bro# ¿A c0mo vendi0 (os res"an"es si 'an0 S34**) a) 8 b) 9 c) 10 ") 12 e) 13 20# ' comerc%a'e comr> 180 vasos "e =#5 c, rome var%os "e e&&os y ve'"e &os resa'es a =#8 c, &o:ra'"o ' be'e%c%o "e =#300# ¿C!n"os vasos rom#i0) a) 10 b) 20 c) 30 ") 40 e) 60 21# $'re 8 erso'as %e'e' !e a:ar or ares %:a&es =# 2000, ero como a&:'os "e e&&os 'o e"e' acer&a, ca"a 'o "e &os resa'es %e'e' !e a:ar =# 150 más ara ca'ce&ar &a "e"a# ¿C!n"as #ersonas no #a'aron) a) 7 b) 5 c) 3 ") 1 e) 2 22# 300 em&ea"os "ebe' cobrar =# 25200 ero a&:'os se re%ra'; e& reso cobra e'o'ces =#140 ca"a 'o# ¿C!n"os se re"iran) a) 100 b) 110 c) 108 ") 120 e) 101 23# á'"o se %zo &a "%sr%bc%>' "e a:a e' 'a c%"a"e&a, correso'"e a c" ab%a'e 60 &%ros"@a, oy ame'o &a ob&ac%>' e' 400 ab%a'es, y correso'"e 20 &%ros me'os# ¿ ac"a(men"e "ienen) a) 1500 b) 1300 c) 1200 ") 1400 24# á'as bo&sas "e arroz e'"rá 'a caCa !e se comr> a =#264, s% a& ve'"er 15 "e esas bo&sas or =#150 se er"%> =#1 e' ca"a 'a
a) 20
b) 24
c) 28
") 32
e) 36
25# ' :a'a"ero ve'"%> 60 cabezas "e :a'a"o e're vacas y er'eras, rec%b%e'"o &a sma "e =#21600, ero como 'eces%aba =#25000 vo !e acer 'a &e'a com&eme'ar%a a &as m%smas erso'as# a&c&a !e s% ve'"e 8 vacas &e sobrará =#200, ero s% ve'"e 20 er'eras &e a&ará' =#400# ¿C!n"as vacas 7 "erneras se vendi0 inicia(men"e) a) 28; 32 b) 18; 42 c) 32; 28 ") 42; 18 26# ' cr%a"or comr> c%ero '+mero "e caba&&os or =#114000; ve'"%> 'a are or =#80000 a =#3200 c, :a'a'"o e' esa oerac%>' =#5000#¿C!n"os Ca$a((os com#r0) a) 35 b) 38 c) 40 ") 48 e) 25 27# ' >m'%bs, &&e:a a& ara"ero %'a& co' 53 asaCeros y co' =#195 e' oa&; s% e& asaCe cesa =#3, 00 y e' ca"a ara"ero or ca"a asaCero !e baCa sbe' 3# ¿Con c!n"os #asa8eros #ar"i0 inicia(men"e) a) 11 b) 10 c) 44 ") 19 e) 29 28# $' 'a :ra'Ca se %e'e avos, :a&&%'as y aos# =%' co'ar &as :a&&%'as e'emos 5 aves, s%' co'ar &os avos e'emos 7 aves y s%' co'ar &os aos e'emos 4 aves, (e'o e( número de aves es: a) 8 b) 7 c) 6 ") 9 e) 10 29# e"ro a"!%ere 910 %bras, ab%'"ose&e re:a&a"o 'o or ca"a "oce'a !e comra, s% a:o =#5 or ca"a &%bro# ¿A c0mo de$er! vender cada e8em#(ar si >iere 'anar S34566 7 ,( a s vez >iere re'a(ar % (i$ros #or cada docena >e venda) a) 20 b) 15 c) 18 ") 10 e) 16 30# or ca"a "oce'a "e ca"er'o !e comro me re:a&a' ' ca"er'o y or ca"a c%e'o !e ve'"o re:a&o 4 ca"er'os ¿C!n"os cadernos de$o com#rar si >iero vender *666 cadernos)4 a) 920 b) 940 c) 960 ") 970 e) 980 31# ' comerc%a'e a"!%r%> 703 'ara'Cas a =#20 y =#15 &a "oce'a, a:a'"o or o"o =#1020# =e sabe !e or ca"a 3 "oce'as !e comra &e re:a&a' 1 'ara'Ca# ¿C!n"as docenas com#r0 a menor #recio) a) 20 b) 24 c) 26 ") 32 e) 17 32# ara e& s%:%e'e '+mero* care'a y caro b%&&o'es, resc%e'os c%'ce'a y c%'co m%& resc%e'os m%&&o'es, s%ee m%& ococ%e'os se%s# e &as s%:%e'es a%rmac%o'es* are "e 'a e&a "e 20 meros "e &ar:o y &e:o 'eces%a'"o ora are %:a& comr> &os 23 "e &o !e !e"aba# á'os meros a comra"o A)8 B)12 )16 )18 $)14 11# 'a e'e co'%e'e 48 &%ros "e a:a# =e re%ra' 38 "e& co'e'%"o, &e:o &os 23 "e& reso y or +&%mo &os 35 "e& 'evo reso# á'os &%ros !e"a' A)6 B)4 )12 )20 $)8 12# $' ' :ro "e 20 '%os y '%as, &a m%a" "e &os '%os y &a s%ma are "e &as '%as %e'e' b%c%c&ea# á'os 'o %e'e' b%c%c&ea A)15 B)12 )9 )5 $)10
RE;ASO 1#
'a erso'a !e e'@a c%era ca'%"a" "e "%'ero, comr> 16 e&oas, ca"a 'a a& m%smo rec%o, y &e sobr> =#70# =% ara comrar 2 e&oas más &e a&&> =#100# á'o "%'ero &e a&&> ara comrar 22 e&oas# a) =#1430 b) =#85 c) =#1870 ") =#440 e) =#540
2#
=e "esea a:ar 'a "e"a co' mo'e"as "e =#5 y =2, em&ea'"o e' oa& 14 mo'e"as y e' e& mome'o "e a:ar se %'ercamb%a or e!%vocac%>' e& '+mero "e mo'eas "e ca"a %o, or &o ca& se a:> =#6 más# á'as mo'e"as "e "os so&es se e're:> a) 2 b) 4 c) 5 ") 6 e) 8
3#
'a erso'a a:> 'a "e"a co' mo'e"as "e =#5 y b%&&ees "e =#20# .a ca'%"a" "e "%'ero !e a:> co' &os b%&&ees es e& cá"r&o "e &o !e a:> co' &as mo'e"as, y e& '+mero "e mo'e"as más e& '+mero "e b%&&ees es 12# e cá'o era &a "e"a a) =#300 b) =#120 c) =#150 ") =#180 e) s#123
4#
=% recorr@ 25 "e ' cam%'o, ! racc%>' "e &o !e recorr@ es e& exceso "e &o !e 'o recorr@ sobre &o !e recorr@ A)13 B)12 )14 )15 $)16
5#
' :ao es erse:%"o or ' erro# $& :ao &&eva 90 sa&os "e ve'aCa y "a 5 sa&os m%e'ras !e e& erro "a 4 y a"emás 7 sa&os "e& :ao e!%va&es a 5 sa&os "e& erro# á'os sa&os "ará e& erro ara a&ca'zar a& :ao A)400 B)500 )600 )750 $)800
6#
racc%>' "e 23 "e &os 54 "e 30 es 12 "e &os 23 "e 8 A)425 B)875 )935
7#
Pas &os 23 "e &o !e 'o :as, &e:o recer> 13 "e &o !e 'o recero y e':o e'o'ces =# 28# á'o me !e"ar@a &e:o "e er"er 14 "e &o !e 'o &o:r recerar A)=#20 B)24 )25 )26 $)18
8#
$' cá'as "%ec%s%s avos es mayor 12 !e 14 A)1
9#
á'o &e "ebemos !%ar a &os 23 "e &os 57 "e &os 65 "e &os 34 "e 21 ara !e sea mayor a &a m%a" "e 13 "e 25 "e 34 "e 40
B)2
)4
)475
)8
$)1375
$)6
13# Je rec%b%"o &os 23 "e &a m%a" "e &a !%'a are "e 720, &o ca& rerese'a 12 "e &a ercera are "e &o !e e'@a %'%c%a&me'e# á'o e'@a %'%c%a&me'e A)644 B)460 )288 )522 $)366 14# e 'a %sc%'a se saca' 40 &%ros "e a:a# =% ab@a' &os 23 y !e"a' 35, cá'os &%ros se 'eces%a' ara erm%'ar "e &&e'ar&a A)360 B)240 )600 )320 $)180 15# $' 'a re'%>' &os 23 "e &os co'crre'es so' mCeres y &os 35 "e &os varo'es so' casa"os, e' a'o !e &os oros 6 so' so&eros# $& '+mero "e erso'as !e as%s%ero' a &a re'%>' es* A)45 B)36 )30 )25 $)15 16# ' coer e' &a r%mera ara"a "e s recorr%"o "escar:a &os 23 "e &as caCas !e &&eva e' s cam%>'# ess "escar:a 5 caCas e' s se:'"a ara"a, !e"á'"o&e &a cara are "e s car:a or%:%'a&# $& '+mero "e caCas !e &&evaba a'es "e s r%mera ara"a es* A)12 B)24 )36 )48 $)60 17# o' 58 "e &%ros se e"e' &&e'as &os 518 "e 'a boe&&a# a'"o a&e' 53 &%ros ara &&e'ar &a boe&&a, ! are "e &a boe&&a esará &&e'a A)79 B)917 )537 )727 $)617 18# v%á%cos or 4 "@as# $& r%mer "@a :as> &a !%'a are, e& se:'"o "@a :as> 18 "e& reso, e& ercer "@a :as> &os 53 "e& r%mer "@a, e& caro "@a e& "ob&e "e& se:'"o "@a y a+' &e !e"> =# 30# á& e &a ca'%"a" e're:a"a A)=#100 B)150 )300 )90 $)180 20# A& &avarse 'a e&a, se observa !e se e'co:e 13 "e s &o':%" y as@ m%smo se es%ra 15 "e s a'co# á'os meros "ebe comrarse ara !e "ess "e &ava"a se "%so':a "e 240 cm 2, sab%e'"o !e e& a'co or%:%'a& es "e 60 cm A)1 B)2 )3 )4 $)5
21# A& "eCar caer a& se&o 'a e&oa ca"a vez !e reboa se e&eva a 'a a&ra %:a& a &os 25 "e &a a&ra a'er%or# =% "ess "e 3 reboes a&ca'za 'a a&ra "e 16cm, "e ! a&ra cay> %'%c%a&me'e A)350cm B)250 )400 )150 $)200 22# Ha' va a& merca"o y :asa 25 "e &o !e 'o :asa, &e:o %er"e 14 "e &o !e 'o %er"e# =% a& %'a& &e !e"> =# 32, cá'o e'@a %'%c%a&me'e A)=#42 B)50 )64 )72 $)56 23# ' C:a"or %e'e =# 216 y e' res Ce:os sces%vos aesa a ca"a 'o 12 "e &o !e %e'e y %er"e 13 "e &o !e aos># á'o er"%> e' oa& A)=#81 B)86 )91 )100 $)96 /RACC-ONES -1#
2#
'a %sc%'a e"e ser &&e'a"a or ' cao QAR e' 5 oras y or 'o QBR e' 4 oras# $' cá'o %emo se o"rá &&e'ar &a %sc%'a, s% esa'"o vac@a, se abre' &as "os &&aves a& m%smo %emo A)209 B)1520 )154 )415 $)9 ' "e>s%o e"e ser &&e'a"o or ' cao e' 2 oras, or oro e' 4 oras y ' cao "e "esa:Ke e"e vac%ar o"o e& co'e'%"o, s% ese esv%era &&e'o e' 3 oras# $' cá'o %emo se o"rá &&e'ar e& "e>s%o, s% esa'"o vac@o, se abre' &os res caos a& m%smo %emo# A) 2 15m%' B) 1 20m%' ) 1 15m%' ) 2 12m%' $) 2 24m%'
3#
ee e"e acer 13 "e 'a obra e' 30 "@as, Beo e"e acer 14 "e &a m%sma obra e' 18 "@as y ar&os e"e acer 15 "e "%ca obra e' 24 "@as# =% &os res rabaCa' C'os, e' cá'os "@as ará' 16 "e "%ca obra A)4 B)5 )6 )7 $)8
4#
' cao &&e'a ' esa'!e e' 20, oro e' 8 y ' "esa:Ke e"e vac%ar&o e' 10# =% a &as 8 oras se abre' &os "os caos y rec%' a &as 10 oras se abre e& "esa:Ke, a ! ora se &&e'ará e& esa'!e A) 11 30m%' B) 16 40m%' ) 14 40m%' ) 18 30m%' $) 18 40m%'
5#
os :r%os A y B &&e'a' C'os ' esa'!e e' 30# =% e& :r%o B ese "e "esa:Ke se ar"ar@a e' &&e'ar e& esa'!e 60# $' cá'as oras &&e'ar@a A e& esa'!e, esa'"o se vac@o A)40 B)36 )48 )45 $)50
6#
' "e>s%o co'%e'e 10 &%ros "e :aseosa, 18 &%ros "e &ece y 42 &%ros "e v%'o# =% exraemos 14 &%ros "e &a mezc&a, cá'os &%ros "e :aseosa !e"a' e' e& "e>s%o A)2 B)4 )6 )8 $)10
7#
' a'!e e"e ser &&e'a"o e' 20 or ' :r%o QAR# $se a'!e %e'e ' :r%o "e vac%a"o QBR co&oca"o a me"%a a&ra, e& ca& e"e vac%ar s are e' 15# $sa'"o ab%ero e& :r%o QBR, se abre e& :r%o A, a& cabo "e ! %emo se &&e'ará e& a'!e A)40 B)45 )60 )35 $)80
8#
A&eCa'"ro e"e acer 'a obra e' 15 "@as y s e'amora"a e"e acer &a m%sma obra e' 10 "@as# A&eCa'"ro em%eza a rabaCar e' &a obra y "ess "e 5 "@as se %'corora s e'amora"a# A &os cá'os "@as "e %'corora"a s e'amora"a se co'c&%rá &a obra
A)2 9#
B)3
)4
)5
$)6
=e &&e'a ' rec%%e'e "e 24 &%ros co' 15 &%ros "e a&coo& y e& reso co' a:a# =e exrae &a ercera are "e &a mezc&a y se reem&aza co' a:a, &e:o se exrae &a cara are "e &a mezc&a y se reem&aza co' a:a, %'a&me'e se exrae &a !%'a are y se reem&aza or a:a# á'o "e a&coo& !e"a e' e& rec%%e'e A)4. B)5. )6. )7. $)8.
10# 'a caer@a &&e'a 'a %sc%'a e' 4 y ora &a e"e vac%ar e' 6# $' ! %emo e"e &&e'arse &a %sc%'a, s% &a caer@a "e vac%a"o se abre 1 ora "ess A)7 B)9 )10 )11 $)13 11# e &os res caos !e &ye' a ' esa'!e, 'o "e e&&os &o e"e &&e'ar so&o e' 36, oro e' 30 y e& +&%mo e' 20# Abr%e'"o &os res caos a &a vez, e' cá'o %emo se &&e'ará &as 23 ares "e& esa'!e A)3 B)6 )5 )8 $)4 12# s%o se exrae e' ca"a ora, &a ercera are "e s co'e'%"o me'os 10 &%ros# =% "ess "e 3 oras !e"a' 70 &%ros "e a:a e' e& "e>s%o, cá'os &%ros ab@a %'%c%a&me'e A)190 B)135 )205 )240 $)165 ;RO/4 J-MM= GUEFARA JULCA
;LANTEO DE ECUAC-ONES
SOBRA =TENGO −Q
/orma Fer$a(
/orma Ma"em!"ica 24
$& 24 or 3 "e &a m%a" "e ' 'mero, ame'a"o e' &a "os veces más "%co '+mero es 140
3
x
1 2
A − B A + B
$& exceso "e A sobre B es a s sma como 7 es a 9
A'a %e'e 5 so&es más !e -ar@a y esa %e'e 4 más !e Fosa
Ja&&ar "os '+meros roorc%o'a&es a 2 y 3# s% s sma es 35
H.I*1H .I%1
ca'"o Hare" e'@a "os veces más !e "os
P re se n te
C u tu ro
> e la n y
! e s o lu c ió n :
Pasado
P re se n te
aby
5#
\%'y &e "%ce a Ga%sDa* ]-% e"a" es e& "ob&e "e &a ya y ace 8 aos &a "%ere'c%a "e 'esras e"a"es era 10 aos]# e"a" %e'e Ga%sDa
C u tu ro
Pasad o
P re s e n te
C u tu ro
Z in y
4 D r is t i a n
RatiusTa
2#
Ho' %e'e e& "ob&e "e &a e"a" !e e'@a ace 22 aos# Ja&&ar &a e"a" !e e'"rá Ho' "e'ro "e 5 aos# Pasado
P re se n te
6#
Hor:e &e "%ce a $"er* ]-% e"a" es e& r%&e !e &a ya y "e'ro "e 11 aos ambas e"a"es smara' 46]# á& es &a e"a" "e $"er
C u tu ro
E o n
3#
Pa sad o
Jace 10 aos Fa+& e'@a &a ercera are "e &a e"a" !e e'"rá "e'ro "e 20 aos# á& es &a e"a" "e Fa+&
Pasad o
P re s e n te
P re se n te
C u tu ro
E o r g e 1der
C u tu ro
!a&l
7#
4#
.a sma "e &as e"a"es "e Paby y -e&a'y es %:a& a 56, y -e&a'y %e'e 8 aos más !e Paby# á& será &a e"a" "e -e&a'y "e'ro "e 15 aos
Pabr%e& "%ce* ]=% a& r%&e "e m% e"a" &e ame'o 4, obe'"r &o !e me a& a ara e'er 100 aos]#!e e"a" %e'e Pabr%e&#
D a to s :
! e s o lu c i ó n :
1 d a d d e a b r ie l -
;ARA EL ;LANTEO DE UNA ECUAC-ON ES -M;ORTANTE TENER EN CUENTA LA COMA E8em#(o *: 1 l t rip l e d e u n n & m e r o " a u m e n t a d o e n 8
8#
To e':o e& "ob&e "e &a e"a" !e + e'@as ca'"o yo e'@a &a e"a" !e + %e'es, y ca'"o + e':as &a e"a" !e yo e':o, &a "%ere'c%a, "e 'esras e"a"es será 8# e"a" e':o
Pa sad o
P re se n te
C u tu ro
M o
1 l t rip le
.+ , 8 de un n&m ero aum entado en 8
.(+ , 8
omo observamos &as "os rases e''c%a"as so' semeCa'es &o !e &as "%ere'c%a es &a ]coma] "e &a r%mera rase# E8em#(o %:
Q & 1 l c u a d r a d o d e u n n & m e r o " d is m in u i d o e n ) +
/
1 l c u a d r a d o d e u n n & m e r o d is m i n u i d o e n )
L )
(+ L )/
omo observamos &as "os rases e''c%a"as so' semeCa'es, &o !e &as "%ere'c%a es &a ]coma] "e &a r%mera rase# 9#
->'%ca e'@a 32 aos ca'"o "%o a &z a s %Ca aro&%'a y aca&me'e %e'e e& r%&e "e &a e"a" "e s %Ca# á'os aos e'"rá aro&%'a "e'ro "e 15 aos P a sad o
P re se n te
C u tu ro
> ó n i ca 4arolina
# ;(an"ea 7 rese(ve (as si'ien"es ecaciones* a# á& es e& '+mero !e sma"o a& "ob&e "e s %'me"%ao a'er%or es %:a& a& cá"r&o "e& s%:%e'e Feso&c%>'* =ea S e& '+mero* S O 2 ( xN1 ) 4 ( xN2 )# b# á& es e& '+mero cyo r%&e; ame'a"o e' 1 sea %:a& a 22 Feso&c%>'* =ea S e& '+mero* 3 ( xO1 ) 22
10# .a e"a" "e =er:%o es e& r%&e "e .c%a'o y "e'ro "e 5 aos ambas e"a"es smará' 46 aos# á'os aos %e'e e' &a aca&%"a" .c%a'o
Pasado *e rgio L u c ia n o
P re s e n te
c# $& "ob&e "e ' '+mero, ame'a"o e' 11 es 27# á& es e& '+mero Feso&c%>'* 2x O 11 27
C u tu ro
"# Ja&&ar ' '+mero, cyo cá"r&o, "%sm%'%"o e' 200 es %:a& a& '+mero ame'a"o e' 1000# Feso&c%>'*
=ea x e& '+mero 4 (x N 280) x O 1000 e# ' '+mero es me'or !e 60 e' &a m%sma me"%"a !e es mayor !e 50# á'as veces mayor es e& '+mero co' reseco a 11 Feso&c%>'* S N 60 x U 80
respuesta en blanco ten#a respuestas correctas. 34uántas incorrectas contesto
2# 3#
# 'a macea &&e'a "e %erra esa 4 800 :ramos, &a %erra co'e'%"a esa 3 veces más !e &a macea# á'o esa &a macea Feso&c%>'* - O < 800
; ' "e mCeres a ombres es "e 3 a 4; e' ' mome'o "a"o se re%ra' 6 "amas y &&e:a' 3 ombres co' &a !e &a re&ac%>' es aora "e 3 a 5# '"%car cá'as mCeres "ebe' &&e:ar ara !e &a re&ac%>' sea "e 1 a 1#
6#
'a "%me's%>' "e& recá':&o exce"e a &a ora e' 2 meros# =% ambas "%me's%o'es se "%sm%'ye' e' 5 meros e& área se "%sm%'ye e' 115 m2# Ja&&ar e& área %'a&#
7#
$' ' erre'o "e orma reca':&ar e& &ar:o exce"e e' 6 meros a& a'co; s% e& a'co se "&%ca y e& &ar:o "%sm%'ye e' 8 meros e& área "e& erre'o 'o var@a# á& es e& er@mero "e& erre'o
:# o' 950 ma'za'as se a' eco res mo'o'c%os# $' e& r%mero e'ra' 'a ercera are más !e e& se:'"o, y e' ese &a cara are "e &os !e e'ra' e' e& ercero# á'as ma'za'as se em&earo' ca"a mo'o'c%o Feso&c%>'*
⏟
4 3 x + 12 x = 960 x + ⏟ ⏟
19 x =960 x =50
ra# 200;150;600
# # Je :asa"o &as 34 ares "e &o !e 'o :asE# á'o :as> $' 'a e'rev%sa a ' amb&a'e se a%rma !e como oy ve'"%> ca"a carame&o e' 10 so&es más !e ayer, ve'"%> 10 carame&os me'os !e ayer# A"emás oy ve'"%> a'os carame&os como so&es cobr> or ca"a 'o# Feseco a &a ve'a "e ayer# á'o :a'> o er"%> oy "@a
1n una prueba de 2 preguntas cada respuesta correcta vale puntos" la incorrecta (. *i un estudiante obtuvo )/ puntos y observó por cada
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