Planteo de Ecuaciones

WALTER MONROY P.

JOHN MAMANI M. PLANTEO DE ECUACIONES I

Planteo de Ecuaciones CAPÍTULO XIV PLANTEO DE ECUACIONES

TRADUCCIÓN E INTERPRETACIÓN

Un aspecto importante en las ciencias (Matemáticas, físicas, ingenierías, etc) es el de intentar sintetizar un problema cotidiano a un modelo matemático haciendo uso de ecuaciones, la cual ayudaría a resolver, interpretar y predecir resultados relacionados con el problema. Este tema nos ayudara a traducir problemas cotidianos simples a un lenguaje matemático, utilizando para ello ecuaciones y a partir de ellas resolverlas. LENGUAJE LITERAL (ENUNCIADO)

LENGUAJE MATEMÁTICO (ECUACIÓN)

TRADUCIR

Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebraicas, en las que intervienen cantidades constantes y cantidades variables llamadas incógnitas. Ejemplos 5x  4 7  0 2x  1 2

2

x  3x  8  5x  8 x  x  3y  4  0   5 x  7 y  10  0

2

CRITERIOS PARA PLANTEAR: 1. 2. 3. 4.

Leer y comprender el enunciado. Extraer los datos. Elegir la(s) variable(s) y representarla. Relacionar los datos a través de una igualdad lógica (ecuación). 5. Resolver la ecuación obteniendo el valor de la variable o incógnita. Academia SERUNA

FORMA LITERAL

FORMA SIMBOLICA

Un número, aumentado en su mitad

x x 2

El doble de un número

2x

El triple de “x”, más 8

3x  8

El triple, de “x” más 8

3( x  8)

3x  5

El triple de “x” menos 5 Mitad de un número

x ; ( x  1)

Lo que le falta para 50

50  x

Por cada 5 mujeres hay 7 hombres.

M 5  H 7

“A” excede a “B” en 7

A B  7

“A” es excedido por “B” en 7

B A  7

“M” es a “N” como 2 es a 3

M 2  N 3

“A” es 7 veces “B”

A  7B

“A” es 7 veces más que “B”

A  8B

Dos números relación de 3 a 5

están

El doble de un número es disminuido en 70 y resulta 48. ¿Cuál es el número? a) 34 b) 56 c) 70 d) 10 e) 59

Resolución Sea: Número = N Por dato del problema: 2N  70  48 2N  118 N  59

x/2

Dos número consecutivos

en

El exceso de “M” sobre “N” es “Z” Suma de dos números al cuadrado Suma de los cuadrados de dos números Inverso de un número 5 menos 4 veces un numero

x 3  y 5 MNZ

( x  y) 2

x y

2 2

PROBLEMA 02

El triple de la suma de un número con 6 es 48. ¿Cuál es el número? a) 34 b) 16 c) 14 d) 10 e) 12

Resolución Sea: Número = N Por dato del problema: 3(N  6)  48 3N  18  48 N  10

5  4x

373

PROBLEMA 04

El exceso de 8 veces un número sobre 60, equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número ¿calcular dicho número? a) 6 b) 8 c) 10 d) 7 e) 9

Resolución Sea “x” el número. 8 x  60  60  7 x 15 x  120 x8

PROBLEMA 05

Aurora recibió tres dólares, tuvo entonces tres veces más de lo que hubiera tenido si hubiera perdido lo recibido ¿Cuánto tenia al comienzo? a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7

Resolución Dinero “x”

PROBLEMA 03

El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de "A" sobre 2. ¿Cuánto vale "A"? a) 4 b) 6 c) 7 d) 10 e) 9

Resolución

1/x

7 A2 A9

PROBLEMA 01

Por dato del problema: 15  8  A  2

374

x  3  4( x  3) x  3  4 x  12 3 x  15 x5

PROBLEMA 06

Hallar un número cuyo cuádruple excede en 270 a su suma con 90 a) 120 b) 150 c) 160 d) 170 e) 180

Academia

SERUNA

WALTER MONROY P.

Resolución

13. ¿Cuál es el número cuyo cuádruple excede a 46 tanto como su doble excede a 18? a) 17 b) 14 c) 15 d) 12 e) 11

Resolución

Sea “x” el número, del enunciado 4 x  270  x  90 5 x  360 x  120

# de personas “x” x  14  x 

2 x 9

2 x  14 9 2 x  126 x  63

PROBLEMA 07

Al retirarse 14 personas de una reunión se observa que esta quedo disminuida en sus 2/9. ¿Cuántos quedaron? a) 49 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80

JOHN MAMANI M.

14. El exceso del triple de un número sobre 52 equivale al exceso de 240 sobre el número. ¿Cuál es el número? a) 75 b) 71 c) 69 d) 70 e) 73

Quedaron: 63–14=49

¡Comprueba lo que sabes!

15. El triple del exceso de un número sobre 20 equivale al cuádruple del exceso del mismo número sobre 30. Hallar el mencionado número. a) 60 b) 57 c) 50 d) 64 e) 59

01. Un número aumentado en 53 es igual a 71, encuentra dicho número a) 36 b) 18 c) 36 d) 14 e) 6

07. Hallar un número que disminuido en sus 5/8 nos da 240 a) 600 b) 530 c) 800 d) 640 e) 960

02. El triple de un número, aumentado en 8 es igual a 23. Halla el número. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

08. El cuádruplo de un número aumentado en 16 es igual a 96. Hallar dicho número. a) 40 b) 10 c) 20 d) 60 e) 30

03. El triple de un número, aumentado en 9 es igual a 21. Halla el número. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

09. El doble de un número es igual a la mitad de la suma del número con 90. Hallar el número. a) 15 b) 45 c) 30 d) 60 e) 80

04. El triple de un número disminuido en 7 es igual a 24. Halla el número. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

10. La suma de dos números es 60 y la diferencia de los mismos es 18. Hallar el número mayor. a) 21 b) 16 c) 29 d) 18 e) 39

05. El cuádruplo de un número aumentado en 16 es igual a 96. Hallar dicho número. a) 40 b) 10 c) 20 d) 60 e) 43

11. ¿Cuál es el número que excede a 49 tanto como es excedido por 87? a) 66 b) 67 c) 68 d) 69 e) 70

19. El cuádruplo de la tercera parte de un número, aumentado en su novena parte es igual a 13. Indicar el triple de dicho número. a) 21 b) 24 c) 27 d) 30 e) 33

06. ¿Cuál es el número que excede a 84 tanto como es excedido por 260? a) 172 b) 160 c) 140 d) 136 e) 194

12. Hallar un número, tal que su doble excede a 60 tanto como su triple excede a 96? a) 42 b) 38 c) 40 d) 36 e) 34

20. Disminuyendo el doble de un número de 25, se obtiene 1. ¿Cuál es el número? a) 15 b) 12 c) 16 d) 13 e) 14

Academia SERUNA

375

16. El exceso del triple de un número sobre 42 equivale al exceso de 286 sobre el número. ¿Cuál es el número? a) 80 b) 92 c) 83 d) 72 e) 82 17. ¿Qué número es aquel, cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre los 2/5 y 1/8 del número a) 160 b) 300 c) 320 d) 480 e) 360 18. Si al cuadrado de la cantidad que tengo le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/. 24 soles. ¿Cuánto tengo? a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 7

376

21. Preguntando a un alumno por su nota en un examen responde: si cuadruplico mi nota y resto 40 tendría lo que me hace falta para obtener 20. ¿Qué nota tiene? a) 12 b) 14 c) 17 d) 16 e) 15 22. Una yuca pesa 8 Kg. Más media yuca. ¿Cuánto pesa yuca y media? a) 16 b) 32 c) 24 d) 48 e) 12 23. Si ganara s/. 880 tendría 9 veces lo que me quedaría si perdiera s/. 40. ¿Cuánto tengo? a) 120 b) 400 c) 260 d) 155 e) 180 24. Dos números están en la relación de 4 a 3. La mitad del mayor excede a la tercera parte del menor en 5. Encontrar el mayor. a) 16 b) 12 c) 8 d) 20 e) 24 25. Si al numerador y denominador de la fracción 3/5 se le suma una misma cantidad, se obtiene la fracción 5/7. ¿Cuál es esa cantidad? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 26. El denominador de una fracción excede al duplo del numerador en 1. Si al numerador se resta 4, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción. a) 4/9 b) 12/19 c) 13/27 d) 7/9 e) 4/13 27. Un número excede al cuadrado más próximo en 29 unidades y es excedido por el siguiente cuadrado en 18 unidades. Hallar la suma de cifras del número. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 28. Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy tres pasos más que subiendo 5 en 5 escalones ¿Cuántos escalones tienen la escalera? Academia

SERUNA

WALTER MONROY P. a) 90 d) 40

b) 80 e) 50

c) 60

a) 4 d) 8

b) 9 e) 2

c) 10

PLANTEO DE ECUACIONES II

29. Al subir un edificio de 2 en 2, Pedro da 8 pasos más que al subir de 3 en 3 peldaños. ¿Cuántos peldaños tiene en total la escalera del edificio? a) 24 b) 36 c) 48 d) 56 e) 72

37. ¿Qué número es aquel, cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre los 2/5 y 1/8 del número? a) 220 b) 320 c) 540 d) 480 e) 370

30. Halle un numero entero se le agrega dos ceros a la derecha, dicho número aumenta en 78111 unidades. El número mencionado es a) 789 b) 689 c) 589 d) 879 e) 987

38. La diferencia de dos números más 80 unidades es igual al cuádruple del número menor, menos 60 unidades. Hallar el número mayor, si el mayor es el triple del menor. a) 210 b) 220 c) 140 d) 440 e) 380

31. Si a un numero se le agrega 2 ceros a la derecha, dicho número aumenta en 2475 unidades. La suma de las cifras del número inicial era: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

39. Un número es tal, que multiplicado por 3, por 5 y por 7 da tres números cuyo producto es 840000 ¿Cuál es el numero? a) 12 b) 20 c) 25 d) 15 e) 14

32. Al multiplicar por 36 un número, este aumenta en 175 unidades ¿Cuál es el número? a) 15 b) 5 c) 10 d) 8 e) 55

40. Un número es tal que multiplicado por 2, por 3 y por 4 da 3 números cuyo producto es 81000 ¿Cuál es el numero? a) 19 b) 15 c) 25 d) 20 e) 10

33. Si al cuadrado de la cantidad que tengo, le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/. 288, ¿Cuánto tengo? a) 17 b) 18 c) 20 d) 14 e) 21

41. Hallar un número cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8. a) 13 b) 10 c) 7 d) 3 e) 8

34. El dinero que tiene Carlos, aumentado en sus 7/12 es igual a 760. ¿Cuánto tenia Paco? a) 232 b) 220 c) 540 d) 480 e) 380

42. Si un número aumentado en 8 se multiplica por el mismo número disminuido en 3, resulta el cuadrado del número más 76. ¿Cuál es el número? a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28

35. Si al cuadrado de la cantidad que tengo, le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/. 120. ¿Cuánto tengo? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 36. La suma, el producto y la diferencia de dos números son entre sí como: 5; 12 y 1. Hallar el menor. Academia SERUNA

JOHN MAMANI M.

43. Si se sabe que 140 excede al doble de un número en tanto como el triple de dicho número excede a su tercera parte, halle los dos tercios de dicho número. a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

377

378

Academia

SERUNA