Planteo de Ecuaciones Sencico
January 21, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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O D A R G R E M I R P E D S E N O I C A U C E
A C I T Á M E T A M S E N O I C A C I F I D E
3 1 0 2
2013
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO EN LOS REALES La ecuación lineal de primer grado en una variable es aquella que adopta la forma canónica:
a, b
:
ax + b = 0 y cuya solución es: x
/ a b
a
0
DISCUSIÓN: Respecto a la solución de la ecuación, se debe tener en cuenta lo siguiente:
1º
La ecuación es compatibl compatible e determinada, (finitas soluciones) Si: a 0 b
2º
La ecuación es compatibl compatible e indeterminada, (infi (infinitas nitas soluciones soluciones)) Si: a = 0 b = 0
3º
La ecuación es incompatible, inconsistente (ecuación absurda) Si: a = 0 b / b 0
1
2013
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Compré el cuádruple del número de clavos que tarugos, si hubiera comprado 5 clavos más y 5 tarugos más, el número de clavos sería 2 veces mayor que el número de tarugos. ¿Cuántos clavos compré?
Resolución Del primer párrafo encontramos: clavos: 4x tarugos : x Del segundo obtenemos: clavos: 4x + párrafo 5 tarugos: x + 5 clavos sería 2 veces mayor que tarugos
3 4x + 5 = 3(x+5) 4x + 5 = 3x + 15 x = 10 clavos comprados son: 4(10) = 40
2. En cada día, de lunes a jueves, gané $6 más que lo que gané el día anterior. Si el jueves gané el cuádruplo de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané el miércoles?
Resolución De la información obtenemos que: Lunes : x Martes: x+6 Miércoles: x + 12 Jueves: x + 18 Además lo del jueves es el cuádruple del lunes; Es decir: x + 18 = 4x 3x = 18 x=6 El miércoles gané: 6 + 12 = S/. 18
3. El largo de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión aumentara 4 m, el área aumentaría al doble. Hallar las dimensiones de la sala.
Resolución Haciendo el esquema de una sala, para la primera condición, tenemos: x x+4 A1 = x (x + 4) Si las dimensiones aumentaran en 4 m tendríamos: x+4 2
2013
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
x+8 A2=(x+4 )(x+8) Del dato tenemos que: A2 = 2A1
(x + 4) (x + 8) = 2x (x + 4) x + 8 = 2x x=8
dimensiones 8 m y 12 m.
4. En un aula los alumnos de edificaciones I, están agrupados en bancas de 6 alumnos por banca. Si se les coloca en bancas de 4 alumnos por banca se necesitarían 3 bancas más. Cuántos alumnos hay en el aula?
Resolución Sea N el número de alumnos en el e l aula y “x” el número de bancas. bancas. Al agruparlos de 6 en 6 tenemos: N = 6x Al agruparlos de 4 en 4 tenemos: N = 4(x+3) Como son iguales entonces 6x = 4x + 12 2x = 12 x=6 Finalmente N = 6.6 = 36 alumnos
5. Con 950 ladrillos se han hecho tres tabiques. En el primero entran una tercera parte más que el segundo, y en este la cuarta parte de los que entran en el tercero. ¿Cuántos ladrillos se emplearon en cada tabique?
Resolución Si la cantidad de ladrillos en el segundo tabique consideramos como 3x, entonces la tercera parte será x; por lo tanto: Segundo tabique: 3x Primer tabique: 3x+ x = 4x Los ladrillos del segundo tabique son la cuarta parte de los del tercer tabique; esto quiere decir también que lo que hay en el tercero es el cuádruple de lo que hay en el segundo; es decir: 4(3x) = 12x.
Gráficamente
12x
4x 3x 1º 3
2º
3º
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
2013
Sumando todos los ladrillos debemos tener 950. 4x + 3x + 12x = 950 19x = 950 x = 50 Primer tabique : 200 Segundo tabique : 150 Tercer tabique : 600 Se tiene tres números tales que el segundo es 4/5 del primero, el tercero 6. es ¾ del segundo y el producto de los tres números es 3840. Hallar el menor.
Resolución Sea N1, N2 y N3 los tres números 4
N 2
N 3
5
3 4
N 1
N 2
N 2
4
N 1 N 3 N 2
5
3
4
De esta proporcionalidad obtenemos que: N2 = 4K N1 = 5k N3 = 3K El producto es 3840 (5K) (4K) (3K) = 3840 60K3 = 3840 K3 = 64 K=4 el menor es N3 = 3 (4) = 12
7. Se reparte 3000 soles entre 4 obreros de construcción de tal manera que a la primera le corresponda 400 soles más que a la segunda; a ésta, 4/5 de lo que le corresponde a la tercera; y ésta 100 soles más de lo que le corresponde a la cuarta. ¿Cuánto recibió la segunda persona? Resolución Al repartir los S/. 3000 entre 4 personas y empezando el análisis entre la 2da y 3era persona, luego entre la 1era y la 2da y finalmente entre la 3era y la 4ta tendremos P1 = 4k + 400 P2 = 4K 3000 P3 = 5K P4 = 5k – 100
4k+400+4k+5k+5k– 4k+400+4k+5k+5k –100 = 3000 18k = 2700 k = 150 La segunda persona recibió: 4(150) = S/. 600
4
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO
8. De un tonel de 140 litros se extrae tanto como 4 veces no se extrae, de lo que queda se extrae tanto como no se extrae. ¿Cuánto queda en el tonel?
Resolución Graficando un tonel e interpretando la primera condición, tenemos: 4x
4x + x = 140 5x 140 x ==28
x
140 Ha quedado 28 litros Graficando en un tonel lo que a quedado e interpretando la segunda condición, tenemos:
Y
y + y = 28 y = 14
y
Queda en el tonel 14 litros.
RPTA.: C
9. Julio es asesor de una constructora y gana el primer mes 7 x soles, el segundo mes le duplicaron el sueldo, el tercer mes le pagan el triple del sueldo inicial, al cuarto mes lo despiden pagándole lo del primer mes. ¿Cuánto ganó en los 4 meses? A) (49)x D) 7x+1
B) (35)x E) 14x
C) (35)4x
RESOLUCIÓN 7x 2 7x 3 7x 7x 7 7x 7x 1 RPTA.: D 1ºmes 2º me mes
3º m me es
10. Si el recíproco, del inverso de lo que gasta tantatucure en comprar pernos de madera disminuido en cinco; es disminuido en el opuesto aditivo del número disminuido en cinco, resulta 30. Halle Ha lle el número. A) 5 D) 20
B) 10 E) 25
C) 15
RESOLUCIÓN Sea “x” el número. número.
x 5 x
5
1
1
x 5 30
5+x
5
= 30
2x
10 2x
= 30 = 40
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO
x
= 20 RPTA.: D
11. El largo de una pared en forma de rectángulo es el doble de un número, mas tres y el ancho es el exceso de cinco sobre el duplo del número. ¿Cuál es la máxima área de la pared? A) 18 µ² D) 12 µ²
B) 16 µ² E) 10 µ²
C) 14 µ²
RESOLUCIÓN 5
2x
2x + 3 A(x) A(x) A(x) A(x) A(x) A(x)
= = = = = =
(2x+3)(52x) 10x 4x² + 15 6x 4x² + 4x + 15 (4x² 4x+1 1) + 15 ((2x1)² 1) + 15 (2x1)² + 16
El máximo valor del área es 16 µ². 1 Para x 2 RPTA.: B
12. El gasto en cemento nos da un número que excede al cuadrado más próximo en 30 unidades y es excedido por el siguiente cuadrado en 29 unidades. Indique la suma de las cifras del número. A) 14
B) 16
D) 20
E) 22
C) 18
RESOLUCIÓN Sea “x” el número. número. k² ............. x ................ (k+1)² 30 x k² (k+1)² x k²+2k+1x 2k + 1 De (I) 2k + 1 2k + 1 k 6
29 = = = =
30 ............... ...................(I) ....(I) 29 ............... ..................(II) ...(II) 29 29 + (x k²)
= 29 + 30 = 59 = 29
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO
En (I) x 29²= 30 x = 871 Se pide: 8 + 7 + 1 = 16 RPTA.: B
13. Se ha comprado cierto número de barras de acero por 200 soles. Si el precio por ejemplar hubiese sido dos soles menos, se tendría 5 barras más por el mismo dinero. ¿Cuántos barras se compro? A) 30 B) 28 C) 25 D) 23 E) 20 RESOLUCIÓN Sea “x” el número de barras compradas. Uno cuesta:
200 x
Sea: (x + 5) barras que se tendrá Uno costaría:
Condición:
200 x
200
5
200
2
x x 5 100 100 1 x x 5 100(x+5) = 100x = x(x+5) 100x + 500 100x = x (x+5) 500 = x(x+5) 500 = 20(25) x = 20
RPTA.: E
14. Se tienen 600 accesorios para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de obreros. Si se retiran 5 obreros, los restantes reciben 4 accesorios más. ¿Cuántos obreros habían inicialmente? A) 20 D) 28
B) 23 E) 30
C) 25
RESOLUCIÓN Sea “x” el número de obreros c/u:
600 x
600 x 5 600 600 Condición: 4 x 5 x 600 600 4 x 5 x
Si se retiran 5, c / u :
600x 7
600x + 3000 =4(x)(x5)
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO
3000
= 4x (x5)
750 750 x
= x(x5) =30(305) = 30 RPTA.: E
15. Si tuviera lo que no tengo, más la tercera parte de lo que tengo, 5
tendría
6
de lo que tengo, pero si tuviera 10 soles más de lo que no
tengo tendría A) 40 D) 20
5 6
de lo que tengo. ¿Cuánto no tengo?
B) 35 E) 15
RESOLUCIÓN x : tengo
C) 30
y : no tengo
x 5 x x.......(I) y 3 6 2 5 10 y x......(II) 6 De(I)) y (II De(I II)) se tiene tiene : y
x 10 3 y 15
x 30 RPTA.: E
16. Una persona compró accesorios para la construccion a los precios de 48 y 42 soles, pero no recuerda cuántos, solamente recuerda que gastó S/.1542 y que el número de objetos de S/.48 era impar y no llegaba a diez. ¿Cuántos objetos compró? A) 19
B) 17
D) 36
E) 40
C) 51
RESOLUCIÓN x : # accesorios de S/. 48 y : # accesorios de S/. 42 48x + 42y 8x + 7y y
8
= 1542 = 257
impar x 10 x : im 257 8x 7 x :1 :1, , 3 ,5 ,5, , 7 , 9
Evaluando
para x = 5
Se pide:
x + y = 36
y = 31 RPTA.: D
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO
17. Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy 4 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? A) 50 D) 80
B) 60 E) 90
C) 70
RESOLUCIÓN 5 4 esc 5 4 esc
“x” escalones
# pasos :
“x” escalones
x
# pasos:
4
x
5
Condición: En el primero se dan 4 pasos más que en el segundo. x x 4 45
5x
4x = 80 x = 80 escalones RPTA.: D
18. En un enchapado de cerámica, Gaste los
3 5
de lo que no gasté y aún
me quedan 60 dólares más de los que gasté. ¿Cuánto tenía? A) $ 250 D) $ 190
B) $ 240 E) $ 150
C) $ 200
RESOLUCIÓN :
No gasté
:x
Tenía
:
5
3 5 3
x
x
x
= 60 +
5x x
= 300 + 3x = 150
Tenía 9
3
Gasté
5
x
8x
5
x
: 8 150 $.240 5
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO
RPTA.: B
19. Dos Cirios de igual altura se encienden simultáneamente, el primero se consume en 4 horas y el segundo en 3 horas. Si cada cirio se quemó en forma constante, cuántas horas después de haber encendido los cirios, la altura del primero es el doble de la del segundo? A) 1 h D) 2,4 h
B) 1,8 h E) 3 h
C) 2 h
RESOLUCIÓN d L VI V t 4 L VII 3 I
II
L – 2x
L – x
L 2x x
t
d v
t
L 2x L x L L 4 3
L L L 2x L x 3 4 4(L 2x) = 3(L x) 4L 8x = 3L 3x L = 5x 5x x 4x 12 5x 5x 5 3 3 24 t 2, 4 h 10 t
RPTA.: D
20. Una losa de concreto de 30 cm por 100 cm, se va a agrandar para formar otra losa de área doble; para ello se añade una tira de igual ancho en sus bordes. Si ha sobrado un pedazo de dicha tira, indique, ¿cuál es su área, si tiene la forma de un cuadrado? A) 36 cm² B) 64 cm² C) 81 cm² E) 144 cm² 10
D) 100 cm²
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO
RESOLUCIÓN 100 + 2x
30 + 2x 30
100
x x
Ao = (30)(100) AF = 2Ao (100+2x)(30+2x) 4x² + 2x(130) + 3000 4x² + 2x (130) 3000 x² + 65x 750 (x + 75) (x 10) x = 75
=2(3000) = 6000 =0 =0 =0
x = 10
Luego se pide:
A = (10)² cm² A = 100 cm² RPTA.: D
21. La inscripción como socio de una nueva constructora cuesta 840 soles para las 12 semanas de la temporada de verano. Si un socio ingresa después de comenzada la temporada, sus derechos se fijan proporcionalmente. ¿Cuántas semanas después de iniciada la temporada ingresaron 3 socios simultáneamente si pagaron juntos 1680 soles? A) 7 D) 4
B) 6 E) 3
C) 5
RESOLUCIÓN 12 semanas cuestan 840 840
1 semana cuesta:
x semanas cuestan: x 12
12
840
840 los 3 socios pagan: 3 x 1680 12 210x = 1680
11
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
2013
x=8 (se les cobró por 8 semanas), luego ya habían transcurrido: 12 8 = 4 semanas RPTA.: D
12
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