Plano Inclinado

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PLANO INCLINADO (FUERZAS y MOVIMIENTO) MOVIMIENTO) ¿Cómo Resolver Problemas de Fuerzas? Procedimiento

A la hora de enfrentarte a cualquier tipo de problema, siempre es deseable que lo hagas con una cierta metodología que te permita afrontarlo con éxito. En concreto, en los problemas de dinámica te recomendamos el siguiente procedimiento que ilustraremos con el ejemplo de un cuerpo que cae sobre un plano inclinado por la acción de su peso: 1. Identifica los cuerpos que intervienen en el problema. En nuestro caso, el cuerpo que deseamos estudiar es un libro. Para cada cuerpo, lleva a cabo los siguientes pasos: 2. Realiza un diagrama vectorial en el que queden representadas únicamente las fuerzas que afectan directamente a dicho cuerpo. Dibújalas en forma de flecha suponiendo que el punto de aplicación es su centro geométrico. Este diagrama recibe el nombre de diagrama de cuerpo libre. Para el caso que nos ocupa, podemos identificar dos fuerzas en el libro (peso y normal), por tanto:

3. Establece un sistema de referencia adecuado al tipo de movimiento que realice cada cuerpo y a continuación descomponemos cada fuerza en sus componentes cartesianas, tal y como estudiamos en el apartado de descomposición de fuerzas. Tras este punto, todas las fuerzas se encontrarán sobre los ejes del sistema.

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4. Calcula la fuerza resultante de las fuerzas que intervienen en cada eje. De esta forma, tendremos dos fuerzas ellas:

A continuación aplica la segunda ley de Newton para cada una de

A efectos de obtener únicamente los módulos (valores) de fuerza y aceleración del movimiento de cada cuerpo, podemos emplear directamente las siguientes expresiones:

Ten en cuenta que si deseas utilizarlas, las fuerzas resultantes y las aceleraciones siguen alguno de los criterios de signos establecidos en el apartado Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos. Para terminar nuestro ejemplo del libro, en este caso se cumple que:

Si queremos estudiar únicamente los valores de fuerzas y aceleración, obviando los vectores, observamos que: 









se orienta hacia el semieje positivo, luego su valor será +N se orienta hacia el semieje negativo, luego su valor será -P y se orienta hacia el semieje negativo, luego su valor será -P x es 0, ya que no se mueve ni hacia arriba ni hacia abajo sobre el eje y. se orienta hacia el semieje negativo ya que el cuerpo se mueve deslizándose sobre el eje x, por tanto su valor será -a x.

Tras estas deducciones:

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Acción del Peso en un Plano Inclinado Si apoyamos un libro sobre un plano inclinado y comienza a deslizar, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la fuerza normal ( ), su peso ( ) y la fuerza de rozamiento ( ). Para calcular la fuerza resultante, deberemos sumarlas. Como hemos visto con anterioridad, sumar fuerzas es más sencillo si todas tienen la misma dirección o sus direcciones forman un ángulo de 90º y en nuestro caso, P no lo cumple. Por esta razón, podemos descomponer el peso en dos fuerzas, y , tal y como estudiamos en el apartado de descomposición de fuerzas. Una vez que hagamos esto, si hacemos un giro a nuestro sistema de referencia, podrás comprobar que nuestro cuerpo en el plano inclinado que se desliza por la acción de su peso es equivalente al mismo caso en el que el cuerpo se encuentra en un plano horizontal y nosotros lo empujamos con una fuerza equivalente a

.

Cuando un cuerpo se desliza por un plano inclinado por la acción de su peso, la f uerza resultante (ΣF) tiene la dirección y sentido de la pendiente del plano y su módulo se obtiene: ∑F = Px – FR

Además se cumple que: Px – FR = m a N = Py Px = P sin(α) Py = P cos(α)

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Demostración

El módulo de la fuerza resultante de sumar todas las fuerzas, es equivalente al módulo de la resultante de sumar las fuerzas que intervienen en el eje x (ΣF x) y las que intervienen en el eje y (ΣF y). ∑F = ∑Fx + ∑Fy

Para determinar cada una de ellas, vamos a estudiar las fuerzas de cada eje. Eje X

Aplicando lo estudiado en el apartado de suma de fuerzas concurrentes, obtenemos que: ∑Fx = Px − FR

Además, sabemos por el Principio Fundamental que: Px – FR = m a Eje Y

En este eje, nos encontramos que ∑Fy = N − Py

y por el principio de Inercia: ∑Fy = N – Py = m a

Como no se mueve verticalmente (solo lo hace horizontalmente) su aceleración en este eje es a=0, por lo que obtenemos que:

Resultante Total Si sustituimos los valores de ΣF x y ΣFy, obtenemos que: ∑F = ∑Fx + 0 ∑F = Px − FR

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2018 - GUIA FÍSICA – PROF. RICARDO BILBAO Ejemplo:

Un transportista empuja una caja de masa m sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Recibe una llamada en su móvil y suelta la caja, la cual comienza a descender por la pendiente por la acción de su peso. Calcular la aceleración de la caja en su huída, si no existe rozamiento. Datos

Masa = m kg α= 30º

a=? Resolución

Sabemos que en el caso de un cuerpo que se desliza por un plano inclinado, su fuerza resultante es: ∑F = Px − FR Dado que no existe fuerza de rozamiento, entonces: ∑F = Px = P ⋅sin(α) Sabiendo que el peso lo podemos obtener por medio de la siguiente expresión: P = m⋅g = m⋅9,8 N Entonces: ∑F = P⋅sin(α) ⇒ ∑F = 9.8⋅m⋅sin(α)⇒ ∑F = 5⋅m N Teniendo en cuenta que: ∑F = m⋅a ⇒ a = ∑F / m ⇒ a = 5⋅m / m⇒ a = 5 m/s2

Fuerzas en Planos Inclinados Si a un cuerpo le aplicamos una fuerza paralela a su vector velocidad, que además sea constante en módulo, dirección y sentido, conseguiremos que este experimente un movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.). Si además, el cuerpo estaba en reposo, el movimiento se producirá en la dirección y sentido de dicha fuerza. Movimientos en un Plano Inclinado Cuando un cuerpo se desliza por un plano inclinado, con un ángulo de inclinación α, mediante un m.r.u.a. descendiendo o ascendiendo, el sistema de referencia más útil que podemos utilizar es aquel en el que hacemos coincidir el eje x con la trayectoria en línea recta que sigue el cuerpo sobre el plano. Al hacer esto, conseguimos que el cuerpo: Se mueva a lo largo del eje X, por lo que dado que se trata de un m.r.u.a, su aceleración a lo largo de este eje será a x = a. No se mueva a lo largo del eje Y, por lo que su aceleración será a y = 0. 



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Por tanto, si aplicamos la segunda ley de Newton en cada eje se cumple que: ∑Fx = m⋅a ⋮ ∑Fy = 0

Si trabajas únicamente con los módulos, al calcular la fuerza resultante, recuerda que debes seguir alguno de los criterios de signos que estudiamos en el apartado Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos Ejemplo

Una caja de 2 kg comienza a ascender un plano inclinado de 30º con la horizontal con una velocidad inicial de 4 m/s. A medida que asciende va frenándose hasta que comienza a descender. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0.25, calcular: a) La aceleración con que sube la caja. b) La aceleración con la que desciende. Datos α = 30º

v0 = 4 m/s m = 2 kg μ = 0.25 Parte a)

En primer lugar, vamos a estudiar las fuerzas que intervienen en la caja durante su ascenso: Como el cuerpo asciende por el plano, tenemos que tener en cuenta la fuerza de rozamiento (FR), que por definición tiene sentido contrario al movimiento. Por otro lado, el cuerpo tendrá su peso (P), que puede descomponerse en dos fuerzas P x y Py que coinciden con el eje de coordenadas. La fuerza normal (N). 





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Aplicando el principio fundamental o segunda ley de Newton a la resultante de cada uno de los ejes por separado, obtenemos que:

Si utilizamos únicamente sus módulos y tenemos en cuenta el primero de los criterios de signos estudiados en el apartado de Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos, obtenemos que:

Como solo se mueve a lo largo del eje x de nuestro sistema de referencia, a y = 0 y ax = a:

Sustituyendo la fuerza normal obtenida en la segunda ecuación dentro de la primera ecuación, obtenemos que:

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Durante la subida la velocidad es positiva porque el cuerpo se mueve en el sentido del semieje x positivo, sin embargo la aceleración es negativa (el vector se orienta hacia el semieje x negativo) y provoca que vaya decrementándose hasta detenerse. Parte b)

Cuando el cuerpo comienza a descender actúan las mismas fuerzas que en la subida, sin embargo, dado que el movimiento es pendiente abajo, la fuerza de rozamiento cambia de sentido:

Como solo se mueve a lo largo del eje x de nuestro sistema de referencia, a y = 0 y ax = a:

Sustituyendo la fuerza normal obtenida en la segunda ecuación dentro de la primera ecuación, obtenemos que:

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En este caso, la velocidad será negativa porque la caja se mueve en el sentido del semieje negativo, y la aceleración sigue siendo negativa, provocando que la velocidad vaya aumentando su valor en ese sentido.

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1

Dado el esquema de la figura, calcular la aceleración de ambas masas sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético es 0.1. Datos

mA = 7 kg mB = 5 kg μ = 0.1

aA = ? aB = ?

Resolución

Consideraciones previas La cuerda es inextensible y de masa despreciable. La polea tiene masa despreciable. Como no conocemos el sentido del movimiento, SIEMPRE tendremos que suponer alguno.   

Aleatoriamente elegiremos que el cuerpo B (la pesa) consigue tirar del cuerpo A (caja) pendiente arriba. Una vez establecidas las consideraciones anteriores, vamos a estudiar las fuerzas que intervienen en los cuerpos anteriores (diagrama de cuerpo libre).

Masa A (Caja)

Las fuerzas que intervienen en la caja durante su ascenso: Como hemos supuesto que el cuerpo asciende por el plano, tenemos que tener en cuenta la fuerza de rozamiento (F R), que por definición tiene sentido contrario al movimiento. Por otro lado, el cuerpo tendrá su peso (P), que puede descomponerse en dos fuerzas P x y Py que coinciden con el eje de coordenadas. La fuerza normal (N). 





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La tensión de la cuerda (T BA) que empuja a la caja pendiente arriba.

Aplicando el principio fundamental o segunda ley de Newton, sobre las resultantes de cada eje:

Si trabajamos únicamente con los módulos, daremos valor negativo a las fuerzas que se orientan hacia su semieje negativo y positivo a las que se orienten hacia el semieje positivo, tal y como establece el criterio de signos según los ejes cartesianos que vimos en el apartado Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos.

Dado que la caja únicamente se mueve a lo largo del eje x, a Ay=0 y aAx=aA

Sustituyendo el valor de N en la primera ecuación, obtenemos que: [1] Masa B (Pesa)

Las fuerzas que intervienen en la pesa durante su descenso: El peso (P) del cuerpo. La Tensión de la cuerda (T AB) que evita que el cuerpo caiga libremente por la acción de su peso. Sabiendo en este caso que únicamente el movimiento y las fuerzas se producen a lo largo del eje y (aBx=0, aBy=aB), si aplicamos la misma metodología que en el cuerpo anterior:  

Dado que la cuerda tiene masa despreciable y es inextensible, se cumple que T AB=TBA. Por tanto, sustituyendo la ecuación [2], en la ecuación [1], obtenemos que:

Dado que la cuerda es inextensible y sin masa, el módulo de la aceleración del cuerpo A es el mismo que el módulo de la aceleración del cuerpo B, sin embargo mientras que Aa se orienta hacia el semieje x positivo, aB lo hace hacia el negativo, por lo que aplicando el criterio de signos: aA=-aB.

Por último, si sustituimos los valores para calcular aA, obtenemos que: 10

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A todos los efectos, la intensidad del valor de la aceleración de los cuerpos es el mismo, sin embargo el valor negativo de la aceleración del cuerpo B nos indica que su sentido es el del semieje negativo de sus sistemas de referencia. Ejercicio 2

En un plano inclinado de 30º se encuentra un bloque de piedra de 100 Kg en reposo sujetado por un muelle cuya constante elástica es 2500 N/m. Suponiendo que no existe rozamiento determinar la elongación del muelle. Datos

m=100 Kg k=2500 N/m α=30º Δx = ? Resolución

En primer lugar, vamos a estudiar las fuerzas que intervienen en el bloque situado sobre el plano inclinado El cuerpo tendrá su peso (P), que puede descomponerse en dos fuerzas P x y P y que coinciden con los ejes de coordenadas. La fuerza normal (N). La fuerza elástica (F e) que ejerce el muelle sobre el bloque. 

  

Si aplicamos el principio fundamental o segunda ley de Newton sobre las fuerzas que intervienen en el eje x:

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Si utilizamos únicamente sus módulos y tenemos en cuenta el primero de los criterios de signos estudiados en el apartado de Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos, y que a x  es 0 ya que se encuentra en reposo, obtenemos que:

Aplicando la definición del módulo de la fuerza elástica y del peso:

Ejercicio 3

Sabiendo que la fuerza normal de un cuerpo que se encuentra en un plano inclinado de 40 º es de 150 N. ¿Cuál es su masa? Datos α = 40º

g = 9.8 m/s2 N= 150 N Resolución

El módulo de la fuerza normal en un plano inclinado se obtiene por medio de la siguiente expresión: N = m ⋅ g ⋅ cos(α) Sustituyendo los valores que conocemos:

Ejercicio 4

Un camión de 2.5 toneladas, se encuentra sobre una carretera con 15ª de inclinación. ¿Cuál es el valor de la fuerza normal? Datos m = 2.5 T = 2500 kg A = 15º g=9.8 m/s2 12

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Resolución La fuerza normal de un cuerpo en un plano inclinado se calcula por medio de la siguiente expresión:

Ejercicio 5

Una caja de 250 kg se encuentra situada sobre una pendiente que forma 15º con la horizontal. Determinar: a) ¿Cuánto debe vale la fuerza de rozamiento para que la caja no se deslice por la pendiente? b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento de dicha superficie? Datos α = 15º

m = 250 kg FR = ?? μ = ?? Resolución

a) Tal y como vimos en el apartado de la acción del peso en planos inclinados, si estudiamos las fuerzas que intervienen en la caja situada sobre el plano inclinado podemos ver que las fuerzas que determinan la velocidad de la caja son la componente x del peso de la caja (P x) y la fuerza de rozamiento (FR).

Si observamos bien la figura podemos darnos cuenta de que la caja no se moverá siempre y cuando la fuerza Pxy FR sean iguales ya que en este caso ambas se anularán. Al no existir una fuerza en el eje x la caja quedará inmóvil en medio del plano inclinado. Por tanto: FR = Px ⇒ FR = P⋅sin α ⇒ FR = m⋅g⋅sin α ⇒ FR = 250 kg ⋅ 9. 13

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Ejercicio 6

Calcula el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento y por la fuerza peso en el caso de que desplacemos a lo largo de dos metros un bloque de 200 Kg sobre una superficie con  μ = 0.15 en los siguientes casos a)-El bloque se encuentra en una superficie horizontal b)-El bloque se encuentra en un plano inclinado con ángulo de inclinación de 25º Datos  μ = 0.15; m =

200 Kg

1.- Partimos de la situación de la figura, en la que hemos hecho una representación de las fuerzas que

intervienen en el problema y hemos supuesto un sentido para el movimiento

La fuerza de rozamiento se opone al desplazamiento, por lo que podemos decir que forma un ángulo de 180º ó π rad con este. Su módulo viene determina do por:

Donde hemos aplicado

Además, g = 9.81 m/s2. Con lo anterior nos queda

Como puedes ver, el signo del trabajo es negativo, oponiéndose al movimiento y por ello también es llamado trabajo resistente. Por otro lado, la fuerza peso forma un ángulo de 90º o π/2 rad con el desplazamiento y por tanto, el trabajo desarrollado por esta será nulo ( cos(π/2) = 0).

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2018 - GUIA FÍSICA – PROF. RICARDO BILBAO 2.- Comenzamos, una vez más, por realizar un diagrama de fuerzas para visualizar adecuadamente la

situación.

El enunciado del problema nos dice que se produce un desplazamiento de dos metros. En este caso, ese desplazamiento se produce a lo largo del plano inclinado y supondremos que hacia la derecha, tal y como se representó en la figura. Por otro lado, en esta ocasión para el cálculo de la normal hemos de tener en cuenta el ángulo de inclinación del plano, de 25º o 0.436 rad. N = Py = P⋅cos(β) = m⋅g⋅cos(0,436) = 1778,17 N Donde hemos aplicado β = α'  por ser sus lados perpendiculares. A partir de aquí podemos calcular la fuerza de rozamiento, que en este caso viene dada por Fr = μ⋅N = 0,15⋅1778,17 = 266,72 N Quedando finalmente el trabajo como

Por otro lado, la fuerza peso en este caso si que realiza un trabajo, ya que su componente  x  se encuentra en la misma dirección y sentido del movimiento. Px = P⋅sin(β) = m⋅g⋅sin(0.436) = 829,17 N

Ejercicio 7

Un trineo se desliza 100 m por una colina que forma un ángulo de 30° con la horizontal. Parte del reposo y llega a la base de la colina con una velocidad de 20 m/seg. ¿Qué fracción de su energía mecánica se ha perdido por rozamiento? a) 20% b) 40% c) 50% d) 60%

e) 80% f) ninguna de las anteriores. 15

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Resolución

Planteemos el esquema del trineo descendiendo por el plano inclinado. Ahí mismo tenemos los tips para encarar este problema por el lado de la variación de energía. Teniéndolos en cuenta planteamos la expresión de la energía mecánica en A y en B:

El porcentaje de energía que se conserva en el trayecto lo obtenemos mediante el cociente entre la energía en B y la energía en A, multiplicado todo por 100. Veamos:

Entonces, el porcentaje de energía que se perdió se calcula como el 100% menos el porcentaje conservado: E (perdida) = 100% - E (conservada) = 100% - 40% = 60% Luego, la respuesta correcta es la: d) 60% Ejercicio 8:

Un esquiador de 80 kg se deja caer por una colina de 30 m de altura, partiendo con una velocidad inicial de 6 m/seg. No se impulsa con los bastones y se puede despreciar el rozamiento con la nieve y con el aire. a) ¿Cuál es la energía mecánica inicial del esquiador? ¿Cambia este valor a lo largo del recorrido? Justifique su respuesta analizando las fuerzas que actúan sobre el esquiador. b) ¿Con qué velocidad llega el esquiador al pie de la colina? c) ¿Qué debería hacer el esquiador para llegar al pie de la colina con una velocidad de 30 m/seg? Justifique su respuesta sobre la base de consideraciones dinámicas y energéticas (dé valores numéricos). d) ¿Y si quisiera llegar con una velocidad de 15 m/seg? 16

2018 - GUIA FÍSICA – PROF. RICARDO BILBAO Resolución

Vamos a representar al esquiador descendiendo por la colina de la siguiente manera:

Pasemos a resolver el ejercicio. Comenzamos con ideas de trabajo y de energía mecánica. a)- Demos la energía mecánica inicial del esquiador. Para ello vamos a llamar h a la altura vertical de la cual parte el amigo. Comenzamos proponiendo la expresión genérica y de a poquito la vamos a ir especializando:

Vamos a responder ahora a la pregunta sobre si esta energía cambia a lo largo del descenso. Para ello, como nos dicen, vamos a enumerar las fuerzas que actúan sobre el esquiador: peso y normal (el rozamiento se desprecia en este problema). El peso es una fuerza conservativa, con lo cual no influye para que la energía no se conserve, mientras que la normal no es conservativa, pero a lo largo del recorrido no realiza trabajo porque es perpendicular a la trayectoria punto a punto, luego tampoco termina influyendo. La energía mecánica se conserva entonces, a lo largo de todo el movimiento, y entonces no cambia de valor, es una constante. b) Ahora nos piden la velocidad del esquiador cuando termina de descender los 30 m de altura de la colina. Vamos a plantear la conservación de la energía igualando la expresión al final del recorrido con la del principio:

Omitimos el término potencial final, porque en esa situación el esquiador ya tocó suelo y allí estamos a altura cero. Entonces, solamente tenemos energía cinética en el instante final. Ahora vamos a evaluar la ecuación y a despejar la velocidad final: 17

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Despejamos:

c)- Veamos qué podría haber hecho el esquiador para llegar hasta abajo con una velocidad de 30 m/seg. Es decir, se quiere que llegue abajo con una velocidad mayor de la que lo hace. Una respuesta inteligente sería generarse energía cinética extra a medida que desciende, mediante algún artilugio. Claro que ya dejará de ser una constante la energía mecánica total. Un artilugio posible y valedero tiene que ver con que al principio nos aclaraban que el esquiador no se impulsaba con los bastones. Si lo hiciera estaría generándose más velocidad y más energía cinética. Veamos qué trabajo extra (obviamente correspondiente a una fuerza no conservativa) debería hacer si la velocidad final se quiere que sea de 30 m/seg:

d)- Ahora nos plantean qué podría haber hecho para llegar con una velocidad de 15 m/seg, es decir, con una velocidad menor. Y, evidentemente ahora tiene que hacer durante el viaje, una fuerza que lo impulse hacia atrás y que lo vaya frenando. Lo más usual sería cruzar los esquíes (no demasiado para no frenarse completamente) y de esta manera la parte lateral empieza a rozar con la nieve, y este rozamiento le disminuirá la velocidad. Veamos cuánto debe valer el trabajo de este rozamiento para que la velocidad final del esquiador sea la indicada:

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