Plano de Aula

 

  UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA - CAMPUS ITAQUI CURSO DE MATEMÁTICA-LICENCIA MATEMÁTICA-LICENCIATURA TURA PLANO DE AULA Ponto Sorteado: 10. Lógica matemática: Conectivos lógicos. Tabelas Verdade. Análises de argumentos.  Candidata: Graziela Carrazzoni dos Santos  Data: 06/12/2018 

TEMA Conectivos Lógicos

OBJETIVO(S) - Objetivo Geral: Reconhecer conectivos lógicos usados na lógica matemática, mais especificamente aos conectivos lógicos proposicionais. - Objetivos específicos: Definir e apresentar conectivos lógicos;     Traduzir proposições em linguagem corrente para a linguagem lógica proposicional e vice-versa;   Conhecer o processo de formalização. f ormalização.

RECURSOS METODOLÓGICOS - Materiais permanentes; - Projetor, computador; - Folhas impressas;

DIDÁTICA E PRÁXIS PEDAGÓGICA 1º momento: Serão brevemente relembrados as definições que são pré-requisitos para esta aula, como: proposições, proposições simples e compostas, valores lógicos l ógicos das proposições. Proposição  –  todo   todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Proposição simples  –   aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Proposição composta –  aquela  aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. Valor lógico  –  Chama-se   Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade (V) se a proposição é verdadeira e a falsidade (F) se a proposição é falsa. 2º momento: Serão entregues folhas impressas aos estudantes contendo o conteúdo que será abordado. Assim, estes poderão acompanhar a explicação da professora no quadro e a  projeção de slides. slides.

 

Conectivos Lógicos Definição: Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas proposições a  partir de outras. Por exemplo, nas seguintes proposições proposições compostas: P : O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. Q : O triângulo ABC é retângulo ou é isósceles. R : Não está chovendo. S : Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática. T : O triângulo tri ângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo. Inicialmente o foco será dado ao chamado cálculo proposicional ; por essa razão, os conectivos utilizados são conhecidos por sentenciais ou proposiciona  proposicionais is. Os conectivos utilizados em lógica matemática são:   Conjunção: "e", "".



É o resultado da combinação de duas proposições ligadas pela palavra e, que será substituída pelo símbolo  . A conjunção também pode ser expressa por palavras como:   mas, todavia, contudo, no entanto, visto que, enquanto, além disso, embora.

Exemplo: Maria foi ao cinema e Marta ao teatro. Tradução: c = Maria foi ao cinema. t = Marta foi ao teatro. Simbolicamente: c  t. O valor lógico da conjunção de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:  p V V F

q V F V

 p  q V F F

F

F

F

  Disjunção: "ou", "  ".



É o resultado da combinação de duas proposições ligadas pela palavra ou, que será substituída pelo símbolo .  Na linguagem coloquial, a palavra ou  pode ser empregada em dois sentidos, inclusivo ou exclusivo. Tomando-se as seguintes proposições: A : Paulo é matemático ou físico. B : João é paulistano ou gaúcho. Em A, pode ocorrer de Paulo ser matemático e físico, trata-se do ou inclusivo. Em B, não é  possível que João João seja pau paulistano listano e gaúc gaúcho ho ao mesmo te tempo, mpo, trata-se do ou exclusivo.  No cálculo proposicional, proposicional, somente somente o ou inclusivo será abordado.

 

Exemplo: Maria foi ao cinema ou ao teatro. Tradução: c : Maria foi ao cinema. t : Maria foi ao teatro. Simbolicamente, temos: c ∨ t. O valor lógico da disjunção de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:  p V V F F

q V F V F

 p  q V V V F

  Condicional ou implicação: "  ".

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Duas proposições formam uma condicional quando for possível colocá-las na seguinte forma: Se (proposição 1), então (proposição 2).   a proposição 1 é chamada de antecedente, e a proposição 2 de consequente;   o símbolo utilizado para ligar as duas proposições de uma condicional é →. Exemplo: Se todos os homens são mortais e Sócrates é um homem, então Sócrates é mortal.  Nesse caso, caso, a consequente consequente depende logicamente da aantecedente. ntecedente. Tradução: h : Todos os homens são mortais. s : Sócrates é um homem. m : Sócrates é mortal. Simbolicamente, temos: (h ∧ s) → m. O valor lógico da condicional de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:  p V V F F

q V F V F

 p  q V F V V

  Bicondicional: "  ".



Toda proposição composta, formada por duas proposições, que pode ser colocada na forma: (proposição 1) se, e somente se, (proposição 2) é chamada de bicondicional e seu conectivo de ligação é representado pelo símbolo ↔. A proposição bicondicional pode ser entendida como uma conjunção de dois condicionais, ou seja, dado p ↔ q, temos p → q e q → p. Exemplo: Só ganharás o dinheiro se completares o trabalho. Tal proposição é equivalente a: Ganharás o dinheiro se, e somente se, completares o trabalho. Tradução: Ganharás o doinheiro. td==Completares trabalho. Simbolicamente, temos: d ↔ t.

 

O valor lógico da bicondicional de duas proposições é definido pela seguinte tabelaverdade:  p V V F F

q V F V F

 p  q V F F V

   Negação: "não", "não", “”, “”. 



Este conectivo não liga duas proposições, mas simplesmente nega a afirmação da  proposição que o precede. Em virtude disso, é um conectivo unário, enquanto os anteriores são conectivos binários, pois ligam duas proposições. Se o valor-verdade de uma  proposição é (V), ( V), quando acompanhado acompanhado do conectivo de negação, passará a ser (F) e vicevice versa. O símbolo utilizado para esse conectivo é ¬ ou ~, colocado antes da letra que traduz a  proposição. Exemplo: Luís não recebeu o seu pagamento na data prevista. Tradução:  p = Luís recebeu recebeu o seu pagamento na data prevista. Simbolicamente, temos: ¬ p. O valor lógico da negação de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:  p V F

 q F V



OBSERVAÇÃO: O processo de formalização consiste em converter um conjunto de  proposições interligadas em uma estrutura composta de letras proposicionais, conectivos lógicos e símbolos de pontuação. Em geral, para evitar ambiguidades nas proposições compostas, é necessário estabelecer uma pontuação adequada. Essa pontuação segue aquelas utilizadas nas expressões algébricas com as seguintes regras:   Cada parênteses aberto deve ser fechado; os internos à expressão precedem aos mais externos. 

      



A ordem(de prioridade dos conectivos é: negação ) conjunção e disjunção ( e ) condicional e bicondicional ( e )

Exemplo: Se tomarmos café ou comermos algo, chegaremos atrasados à conferência, mas, se isso for um problema, é melhor despedirmo-nos agora. Tradução: t = tomarmos café; c = comermos algo; a = chegaremos atrasados à conferência;  p = isso é um problema; d = é melhor despedirmo-nos Simbolicamente, temos: ((t ∨ cagora. → a) ∧ (p → d)). 3º momento: Serão entregues aos estudantes atividades impressas que poderão ser

 

resolvidas individualmente ou em grupos, com o propósito de retomar as definições apresentadass na aula e auxiliar na compreensão do conteúdo. apresentada Atividades 1)  Sejam as proposições p : Está frio e q : Está chovendo. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: R: Não está frio.  a)  ~ p frio.   b)   p  q R: Está frio e está chovendo.  chovendo.  chovendo.  c)   p  q R: Está frio ou está chovendo.  frio.  d)  q  q R: Está chovendo se e somente se está frio.  e)   p  ~q fr io, então não está chovendo.  R: Se está frio, chovendo.  f)   p  ~q R: Está frio ou não está chovendo. g)  ~ p  ~ q R: Não está frio e não está chovendo. chovendo.   h)   p  ~ q R: Está frio se e somente se não está chovendo. chovendo.   frio.   i)   p  ~ q  p R: Se está frio e não está chovendo, então está frio. 2)  Sejam as proposições p : Suely é rica e q : Suely é feliz. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a)   b)  c)  d) 

Suely é pobre, mas feliz. Suely é rica ou infeliz. Suely é pobre e infeliz. Suely é pobre ou rica, mas é infeliz.

R:  p  q.  q.    q   R: p V  q R:  p   q  q   R: ( p  p)    q

3)  Traduza para a linguagem simbólica da lógica as seguintes proposições matemáticas: a)  x é maior que 5 e menor que 7 ou x não é igual a 6. R: Consideremos p: x > 5; q: x < 7 e r: x = 6. Traduzindo para a linguagem simbólica teremos: (p  q)   r    b)  Se x é menor que 5 e maior que 3, então x é igual a 4. R: Consideremos p: x < 5; q: x > 7 e r: x = 4. Traduzindo para a linguagem simbólica teremos: p  q  r   c)  x é maior que 1 ou x é menor que 1 e maior que 0. R: Consideremos p: x > 1; q: x < 1 e r: x > 0. Traduzindo para a linguagem simbólica teremos: teremos: p  (q  r) 4º momento: Neste momento as atividades serão corrigidas no quadro a fim de amenizar  possíveis dúvidas. dúvidas.

AVALIAÇÃO DO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGE APRENDIZAGEM M  A apreciação de desempenho se efetivará a partir da observação do envolvimento dos estudantes na aula, ou seja, serão observados o interesse e a participação. E também serão observadas as estratégias utilizadas pelos estudantes nas resoluções das atividades  propostas.

REFERÊNCIAS BISPO, C. A.. São F.; CASTANHEIRA, L. B.; Learning, FILHO, O.2011. M. S. Introdução à Lógica Matemática Paulo: Editora Cengage FILHO, E. A. Iniciação à Lógica Matemática . São Paulo: Nobel. 2002.