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MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

Apuntes del curso de planificación de minas

Recopilación realizada por el profesor : Jose Delgado Vega

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Recopilación por el profesor: M.Sc. Ing. Javier Enrrique Sotelo Montes

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CAPITULO I 1.1

INTRODUCCIÓN GENERAL A LA PLANIFICACIÓN MINERA

Generalidades

CAPITULO II DELINEAMIENTOS CONCEPTUALES DE LA PLANIFICACION DE MINAS 2.1.- Introducción 2.2.- Planificación 2.3.- Planificación minera 2.3.1.-Escenarios de Planificación 2.3.2.-Niveles de Planificación 2.3.3.-Horizontes de Planificación 2.4.-La misión empresarial en minería 2.4.1 Maximización de la Recuperación del Yacimiento 2.4.2 Maximización de la permanencia en el Negocio Minero 2.4.3 Maximización del Valor Presente Neto CAPITULO III VARIABLES IMPORTANTES QUE CONDICIONAN LA EXPLOTACION DE MINAS A CIELO ABIERTO. 3.1.-Introducción 3.2.-El modelo de bloque : 3.2.2.-Información básica del modelo de bloque 3.2.3.-Información de sondajes 3.2.4.-Información de las muestras 3.2.5 .-Información Assays 3.2.6 .-Interpretación del modelo geológico 3.3.-Parámetro básico de diseño 3.3.1.-Razón estéril mineral 3.3.2.- Geometria de la excavación. 3.3.3.- Angulo de talud

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3.3.3.1.-Variables de las cuales depende el ángulo de talud:

3.3.4.- Altura de banco 3.3.5.-Quebradura 3.3.6.- Ancho de los bancos

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3.3.7.-Rampas y accesos 3.3.8.- Proyeccion de la pila de material quebrado 3.3.9.-Diferentes leyes de corte 3.3.10.-Diseño de pit final 3.3.11.-Diseño de accesos 3.3.11.1.-Ancho de accesos. 3.3.11.2.-Diseño de accesos en espiral por delante del talud 3.3.11.3.-Diseño de una pista en espiral por detrás del talud

CAPITULO IV CONTROL DE OPERACIONES MINERAS Y CALCULODE NECESIDAD DE EQUIPOS 4.1.-Indice de operaciones (ASARCO) 4.1.1.-Disponibilidad Física:

4.1.2-Índice de Mantenimiento:

4.1.3.-Índice de Utilización:

4.1.4.-Aprovechamiento:

4.1.5.-Factor Operacional: 4.1.6.-Rendimiento: 4.1.7.-Rendimiento Efectivo: 4.2 Cálculos de necesidades de equipos en mina a cielo abierto

4.2.1.-Palas Mecánicas 4.2.1.1.-Ritmo de produccion 4.2.1.2.-Velocidad de maniobra de la pala ( vm )

4.2.1.4.-Rendimiento horario ( rh ) 4.2.1.5.-Rendimiento por turno ( rt ) 4.2.2.-Camiones 4.2.2.1.- Determinacion de la productividad de los camiones (p)

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4.2.1.3.-Carga horaria para una pala ( qh )

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4.2.2.2.-Tiempo de Ciclo Camiones 4.2.2.3.- Calculo de los tiempos 4.2.3.-Perforacion 4.2.4.-Tronadura CAPITULO V .- DISEÑO DEL LIMITE FINAL

5.1.- Diseño manual 5.2.- Diseños computacionales optimizantes 5.3.-Desarrollo general del proceso de diseño 5.3.1.-Definición de leyes de bloques 5.3.2.-métodos de asignación de leyes 5.3.2.1.-El modelo de la distancia ponderada (clásico) 5.3.2.2.- Métodos Geoestadísticos.(Anexo 1) 5.4.-Estimación de la ley de corte crítica, para el diseño de una explotación a cielo abierto. 5.4.1.-Metodos de beneficio nulo 5.4.1.1.-Determinacion de leyes de corte con categorizacion de costos de explotacion 5.4.1.1.1.-Ejemplo de aplicación 5.4.1.2.-Leyes de corte en funcion de la ecuación caracteristica de la mina 5.4.2.- Política de leyes de corte considerando el costo de oportunidad 5.4.2.1.- Descripción del modelo de lane 5.4.2.2.-Formulación matemática del modelo. 5.4.2.3.-Leyes de corte económicas limitantes 5.4.2.4.- Leyes de corte de equilibrio 5.4.2.5.- Leyes de corte optima 5.5.-Curvas tonelaje v/s ley.

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5.6.-Manejo de información gráfica.

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CAPITULO VI.- PLANEAMIENTO DE LA PRODUCCIÓN 6.1.-Introducción 6.2.-Determinación de la secuencia de explotación 6.3.-Gráfico de agotamiento de mineral -Serrucho- . 6.3.1.-Información necesaria para confeccionar el serrucho. 6.3.2.-Confección del serrucho. 6.3.4.-Información entregada por el serrucho. 6.3.5.-Plan de producción. 6.3.6.-Información necesaria para confeccionar el plan de producción. 6.3.7.-Información entregada por el plan de producción. 6.4.- Influencia de una estrategia de leyes de corte 6.5.-Definición del valor económico de un bloque 6.6.-Métodos de definición para los límites económicos de una explotación a cielo abierto 6.6.1.-Descripción conceptual del algoritmo del cono móvil optimizante 6.6.2.-Método de Lerchs-Grossman 6.6.3.-Método de la relación estéril/ mineral v/ s ley media

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6.7.-Secuencia de explotación

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CAPITULO VII DISEÑOS ESPECIALES 7.1. Diseño de botadero 7.1.1.- Tipos de botaderos 7.1.2.- Factores relevantes en la planificación de botaderos 7.1.3.-Cubicación de botaderos 7.1.4.- Secuencia de llenado 7.1.5.-Construccion de botaderos 7.1.6.-Diseño de botaderos. 7.1.7.-Disposición de botaderos en laderas. 7.1.8.-Disposición de botaderos en quebradas. 7.1.9.-Disposición de botaderos en pilas o tortas. 7.1.10.-Colapso en los bordes del botadero. 7.1.11.-Mantenimiento de botaderos. 7.1.12.-Presión ejercida sobre el terreno por el botadero. 7.1.13.-Operación en botaderos. 7.1.14.-Cálculo del volumen a utilizar por el botadero y costo de utilización. 7.1.15.-Costo de una tonelada de estéril enviada a botadero. 7.2.--Explotación a cielo abierto en yacimientos tabulares 7.2.1.-Yacimientos tipo manto 7.2.2.-Manto inclinado 7.2.3.-Topografía horizontal: 7.2.4.-Yacimientos tipo veta 7.3.-Explotación a cielo abierto en yacimientos con cuerpos satélites

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7.4.-Explotación a cielo abierto en yacimientos calicheros

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CAPITULO VIII INVERSIONES Y VIDA ECONÓMICA DE LOS EQUIPOS Y REEMPLAZO CAPITULO IX CONSIDERACIONES DEL MODELO GEO MINERO METALURGICO

ANEXO I GEOESTADISTICA

ANEXO II TRONADURA

ANEXO III EJEMPLOS DE CALCULOS

ANEXO IV MODELO GEO METALURGICO

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ANEXO V PLANIFICACION ESTRATEGICA

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Alejandro Vásquez, Benjamín Galdames, René Le-Feaux apunte preliminar diseño y operaciones de minas a cielo abierto

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Calder, Peter. Programa Internacional de especialización en Tecnología de la Minería. Pontificia Universidad Católica de Chile y Queen´s University of Canada. Agosto 1997

-

Hugo Urrutia Apuntes de clase universidad de Antofagasta

-

Claudio Reygada Apuntes de clase

-

Hustrualid – Kuchta. Open Pit Mine planning and design. Vol. 1.

-

Lane, Kenneth. Choosing the optimum cut-off grade. Quaterly of the Colorado School of Mines. Vol. 59, 1964.

-

Lane, Kenneth. “The economic definition of ore”. Cut off grades in theory and practice. Minning journal books limited, London England.

-

Miranda, Esteban E. y Miranda, Esteban F. Optimización del valor presente neto de los negocios mineros. Pontificia Universidad Católica de Chile.

-

David Armstrong. Definición de los parámetros de Planificación.

-

Jeff Whittle. Optimización de rajos abiertos.

-

Howard L. Hartman. “SME mining engineering handbook”

-

M. Bustillo / C. Lopez J. Manual de evaluación y diseño de explotaciones mineras.

-

Marco Alfaro . “ Aplicación de la teoría de variables regionalizadas”

-

Carlos Lopez J. Manual de voladura de rocas.

-

Eduardo Contreras. Planificación de botaderos de Lastre.

-

Informe de operaciones unitarias, Soquimich. Periódico, Antofagasta, Chile 1999.

-

Hidalgo, Osvaldo. Optimización de parámetros operacionales para el desarrollo de manchas en Mina Pedro de Valdivia. Trabajo de Titulación 1986. Universidad de Antofagasta. Departamento de Minas.

.-

David M. geostatistical ore reserve estimation

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Marcos Alfaro curso : geostadistica lineal universidad de Antofagasta

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Claudio Pacheco “aplicación practica de la geoestadistica a un yacimiento simulado”

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CAPITULO I: 1.1

INTRODUCCION GENERAL A LA PLANIFICACION MINERA

Generalidades

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En la actualidad el negocio minero requiere de instrumentos que permitan mejorar las rentabilidades del negocio, debido a esto la planificación estratégica a mostrado a las compañías mineras y en general ser una poderosa herramienta que entrega altos retornos en el largo plazo. Para entender de mejor manera en que consiste esta herramienta de administración, se explicara el termino Planeación, que es básicamente abarcar las definiciones de las metas de una organización, el establecimiento de una estrategia en general para lograr esas metas y el desarrollo de una jerarquía amplia de los planes para integrar y coordinar las actividades. Por lo tanto se relaciona con los fines ( que debe hacerse) así también como los medios (como debe hacerse). Una forma simple de clasificar los planes es por su envergadura que puede ser estratégico versus operacionales y son asociados a un marco temporal ya sea de corto, mediano y largo plazo. Para diferenciar de mejor manera los planes estratégico de los operacionales es por que difieren en tiempos y en alcances. Donde los planes operacionales tienden a cubrir periodos mas cortos, tales como planes mensuales, semanales y diarios de una organización, pero a su vez los planes estratégicos tiende a proyectarse en periodos mas largos usualmente cinco años o mas, además estos cumplen un área mas amplia y que posee menos detalle, en cambio los planes operacionales tiene un alcance mas estrecho y limitada. La planificación minera de largo plazo es una importante herramienta que permite mejorar el negocio minero, cuyo producto es realizar un programa de producción que indique e través del tiempo, el origen de los tonelajes y las leyes a extraer de la mina. Por eso la planificación de largo plazo adquiere ribetes de suma importancia, ya que constituye la base de la rentabilidad de la empresa minera. En la Figura 1.1, se presenta en forma esquemática y secuencial, las etapas utilizadas en un programa de planificación tradicional . Con el objeto de ilustrar los aspectos metodológicos inherentes al proceso de planificación de una mina a cielo abierto, se presenta a continuación una breve descripción de cada una de las actividades involucradas en el estudio.

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Topográfico Modelo de Bloque (Archivo Tridimensional de Recursos)

Código de Leyes de Cu Recuperación.

Modelo Económico

Generación de Pits Anidados (Whittle Four – X)

Ley de Corte Algoritmo de Lerchs-

Análisis y Establecimiento de Criterios para selección de Pit final

Determinación de Pit Final

Estrategia de Consumo de Reservas y Diseño de Expansiones

Plan Minero Preliminar (Whittle)

Análisis de Sensibilidad y Riesgo (Whittle)

Estrategia de Leyes de Corte

Requerimientos de Equipos Mina

Evaluación Económica

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Programa de Producción Optimizado

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Modelo de Bloque Es un modelamiento tridimensional que consiste en discretizar virtualmente el yacimiento en cientos de paralelepípedos (bloques), con características que van de acuerdo al sistema de explotación a utilizar, la cual permite representar características y propiedades del yacimiento. Confección del Modelo de Económico El propósito de esta etapa es asignar un valor económico a cada uno de los bloques que conforman el archivo tridimensional de recursos. En el procedimiento de valorización, es preciso definir una estructura de precios y costos relevantes conjuntamente con una ley de corte crítica de diseño, la cual permitira separar lo que es lastre y lo que es mineral. Generación de Pit anidados y Determinación de Pit Final Para la generación de un pit se utiliza el algoritmo heuristico de Lerchs – Grossman, , cono flotante , cuya técnica consiste básicamente de una rutina que analiza los bloques de mineral del inventario de recursos y determina la conveniencia económica de extraer cada uno de ellos con su respectiva sobrecarga. Para este propósito el algoritmo se posiciona en cada bloque de valor económico positivo y genera un cono invertido, donde la superficie lateral del cono representa el ángulo de talud de la zona en cuestión. Si el beneficio neto del cono (suma algebraica del valor de todos los bloques dentro de él) es mayor o igual a un valor preestablecido, entonces éste se extrae, en caso contrario, se sigue el análisis con el resto de los bloques con interés económico. Utilizando este procedimiento, y exigiendo al cono un beneficio marginal nulo, se obtiene un pit (cono) que representa la envolvente económica final del depósito, en el que han sido extraídos todos aquellos conos cuyo beneficio neto es mayor o igual a cero. Utilizando esta misma técnica se puede realizar la generación de pit anidados, donde cada sucesivo contorno esta hecho para el precio del producto, ligeramente mas alto que el anterior. Esto es realizado dentro de un rango de precios, desde el más bajo al más alto que se desea considerar. Esta técnica es la forma de sensibilizar el trabajo de selección de pit final. Estrategias de consumo de Reservas y Diseño de Expansiones Se denomina estrategia de consumo de reservas o secuencia de explotación, a la manera en que se extrae el mineral del rajo hasta el logro del pit final. Para este efecto, es común que el pit final sea fraccionado en sucesivos pits intermedios denominados fases o expansiones. Hasta ahora no existe un procedimiento que permita establecer una secuencia óptima; sólo existen maneras aproximadas de hacerlo. Una técnica que produce buenos resultados en la construcción de una estrategia de consumo de reservas, es utilizar el mismo algoritmo usado en la determinación de pit final, pero sobre un modelo económico al cual se le ha descontado un valor al beneficio de cada uno de los bloques presentes en él. Obviamente la topografía obtenida debe estar contenida dentro del pit final. De esta forma, es posible construir expansiones o pits intermedios que tengan una envolvente que al ser de un valor decreciente en el tiempo, favorecen al valor presente de la operación, ya que generalmente la primera expansión obedece a un descuento mayor, la segunda a uno menor, y así sucesivamente. Este último proceder es el que se utiliza durante el desarrollo del caso de estudio. Programa de Producción Preliminar

Estrategia de Leyes de Corte Usualmente, para estudios de esta naturaleza, se utiliza la metodología de Kenneth F. Lane para determinar el vector de leyes de corte económicas a aplicar en el plan de producción, condición que puede maximizar la rentabilidad del negocio minero.

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Como el objetivo de la mayoría de las empresas es maximizar el valor presente de la operación, se ha decidido trabajar con el Algoritmo de K. Lane para la determinación de una política de leyes de corte, ya que al incluír el concepto de Costo de Oportunidad, se obtiene un vector de leyes decreciente en el tiempo lo que beneficia el V.A.N. del proyecto. Para su aplicación este algoritmo requiere conocer el valor presente de la operación durante el transcurso de la vida de la mina, por lo cual se requiere de un plan minero preliminar que sirva de referencia a esta rutina optimizante.

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Programa de Producción Optimizado Una vez que se dispone de la estrategia de leyes de corte, se debe confeccionar un nuevo plan, el cual debiera introducir las mejoras en la ley que el algoritmo sugiere. Sin embargo, es necesario considerar las restricciones operativas presentes en la faena, lo que en algunos casos no permite alcanzar los resultados entregados por Lane. Requerimiento de Equipos Mina Una vez construídas las fotos de la mina según el plan de producción optimizado, se procede a la medición de distancias y distribución económica de materiales. Esto junto a los índices operacionales, los rendimientos de los equipos y sus productividades, y en el caso de los camiones, las distancias medias de transporte, velocidades y rendimientos. Evaluación Económica

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El plan es evaluado en el horizonte definido por la vida de la mina. Los flujos de caja anuales contemplan ingresos por ventas, inversiones en equipos e infraestructura y gastos de operación. Por último se realiza un análisis de sensibilidad sobre las variables más influyentes en el rendimiento económico del plan.

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CAPITULO II DELINEAMIENTOS CONCEPTUALES DE LA PLANIFICACION DE MINAS 2.1.-Introducción Todo sistema moderno de administración de empresas, se sustenta en base a la relación funcional de diferentes subsistemas identificables al interior de éstas. Dichos subconjuntos constituyentes del universo Gestión Empresarial, pueden individualizarse a través de los subsistemas: Valores y Misión Empresarial, Decisiones, Planificación, Organización, Dirección y Control. En el subsistema Planificación de una empresa minera, es donde se precisan los resultados deseados y se programan las actividades a realizar con sus tiempos y recursos asociados, con el propósito de concretar la misión. Particular importancia en el ámbito minero, constituye todo el proceso de generación de planes mineros de producción, en atención a que las definiciones del tonelaje a tratar, como el de sus leyes asociadas, establecen el rendimiento económico del negocio. La estructura del presente capítulo expone en primer término, una breve descripción del contexto administrativo, donde se desarrolla el proceso de planificación. Mediante un enfoque sistémico de la administración, se caracterizan conceptualmente los subsistemas que constituyen el gran sistema administrativo. Tras esta introducción se caracteriza la Planificación Conceptual Minera, tema central de estos delineamientos, a través de las interrelaciones de sus variables: ritmo de producción, método de explotación, secuencias de producción, leyes de corte y planes mineros. Finalmente, se desarrollan con más extensión los aspectos de leyes de corte y generación de planes mineros de producción. Adicionalmente se ha introducido un análisis conceptual, en torno al impacto en el proceso de planificación, que producen diferentes misiones empresariales, que actualmente coexisten en empresas mineras, y una reflexión final de aspectos que se han denominado "ocultos" y que de alguna manera atentan contra un proceso de planificación exitoso. 2.2.- Planificación La administración se puede concebir como un desarrollo racional, mediante el cual los recursos humanos, físicos y financieros son orientados hacia la materialización de un objetivo previamente definido. Dicho de otro modo, es investigar (para generar opciones), elegir (una de ellas) y preparar las tareas pertinentes para materializar aquello que se desea realizar. Este desarrollo se traduce en un proceso constituido por un conjunto de tareas tales como planificar, organizar, dirigir y controlar, que son encausadas hacia un óptimo rendimiento, conforme a una filosofía ligada a la satisfacción de los diferentes actores involucrados.

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Un enfoque sistémico en torno a la administración, se conceptualiza mediante una manera integrada de estructurar las actividades del estamento directivo. Dichas actividades o tareas se pueden ilustrar mediante el esquema funcional mostrado en la Figura 2.1

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Figura 2.1 Esquema funcional Una breve descripción de cada una de estas funciones (o subsistemas), del esquema conceptual anterior, se expone a continuación: Subsistema de Valores, es el marco de referencia y guía de acción, que da sentido a todas las decisiones y actividades de cada día. Los valores condicionan las finalidades y los objetivos hacia donde debieran converger todos los esfuerzos particulares. Subsistema de Decisiones, está presente en cada una de las tareas del administrador y se puede caracterizar todo el sistema, como una vasta red de información – decisión - acción. La decisión es la llave de todo el edificio de la administración, en atención a que su rol central consiste en convertir la información en acción. Subsistema de Planificación, es el encargado de obtener una priorización de los objetivos, sus programas de actividades, sus presupuestos, estimando las necesidades y las restricciones tanto internas como externas. El presente capítulo centra la reflexión en torno a la problemática de planificación al interior de una empresa minera. Subsistema de Organización, facilita la integración de las partes constituyentes del medio interno y externo, en una estructura apropiada. Es aquí donde se prevee los reagrupamientos de funciones y el establecimiento de las relaciones internas en función de los objetivos a realizar. Subsistema de Dirección, esta estrechamente ligado a la ejecución eficaz de las tareas, centrando su accionar en los procesos sociales de funcionamiento empresarial, destacando los aspectos de liderazgo, trabajo de equipos, motivaciones, creatividad, y otros.

La importancia que adquiere la función de planificar, es que sin ella los administradores no pueden saber como organizar el recurso humano, y material; puede que no tengan ni siquiera la idea clara de qué es lo que se necesita organizar. Sin un plan, no se puede dirigir con confianza o esperar que otros nos sigan. Y sin un plan, los administradores y sus seguidores tienen muy pocas probabilidades de lograr sus metas o de saber cuándo y dónde se están desviando de su camino. Es al interior de este marco conceptual expuesto que se desarrollan los presentes delineamientos de la Planificación de Minas. La empresa minera, al igual que las empresas de otros sectores productivos, estructura su

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Subsistema de Control, mediante la ayuda de información sistematizada es posible realizar comparaciones entre lo realizado y los objetivos previstos en la planificación. La retroalimentación permite diseñar ajustes y cambios en las funciones anteriores.

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administración mediante las funciones anteriormente señaladas. En consecuencia, la reflexión sobre la planificación de minas se insertará en este esquema funcional. 2.3.-Planificación Minera Tal como se señalara anteriormente, es el proceso de planificación, el que permite identificar y pronosticar el que hacer, de modo de alcanzar los objetivos de la empresa, junto con los presupuestos, los planes de venta, los programas de inversión, las estimaciones de recursos y otros. Para el caso de una empresa minera, es la planificación la encargada de definir el plan minero de producción: Dicho plan identifica el origen, la cantidad y la calidad de material a beneficiar, como también las estrategias, tiempos, y recursos requeridos para la materialización de lo programado. Esta planificación minera debe reunir atributos de alta relevancia que es necesario asimilar, aceptar, y considerar en cada una de sus tareas constitutivas, tales atributos son: Æ COHERENCIA Æ SISTEMICO Æ DINAMICO El sistema de planificación minero debe ser COHERENTE, en el sentido de asegurar una plena y permanente armonía entre la estrategia de producción de corto, mediano, largo plazo y la misión empresarial. Como consecuencia de lo anterior, los planes mineros deben constituir el camino base para acceder al objetivo del negocio, aceptando todas las restricciones técnicas y económicas que imponga el mercado, o que definan los propietarios de la empresa o finalmente las condiciones naturales del yacimiento. El sistema de planificación minero debe ser SISTEMICO, en el sentido de aceptar que la obtención del plan minero de producción, es el resultado de variadas iteraciones y continuas retroalimentaciones que deben verificarse producto de los aportes que hagan los distintos sistemas constituyentes de la empresa. Es decir, el proceso de planificación debe entenderse como un proceso integrador y no como una actividad técnica específica que responde exclusivamente a la problemática del área mina. El sistema de planificación minero debe ser además DINAMICO, en el sentido de reconocer que esta tarea está soportada por las mejores estimaciones de las variables relevantes, para el mediano y largo plazo, por lo tanto resulta natural e imprescindible que la planificación esté sujeta a constantes revisiones en la medida que se disponga de mayor información. Es indudable que cambios en los precios de los productos finales repercuten necesariamente los planes mineros de producción, por ejemplo, si se trata de una empresa que persigue la maximización del rendimiento económico de su operación, la reacción lógica frente a un aumento del precio, será aumentar la producción. Cambios en los costos, en los avances tecnológicos, en las restricciones de mercado, en las restricciones de disponibilidad de recursos, entre otros, implicarán revisión y modificación de los planes mineros de producción. En la planificación minera coexisten distintos aspectos que tienen relación con el tipo de problema y la realidad particular de la empresa en que se insertan. Dichos aspectos, además de coexistir, están interrelacionados y son los siguientes:

El análisis de cada uno de ellos y su importancia en el proceso de planificación es lo que se abordará en el presente texto.

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Escenarios de Planificación Niveles de Planificación Horizontes de Planificación

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2.3.1.-Escenarios de Planificación Bajo este concepto se entenderá la caracterización del ambiente en que la planificación se debe desarrollar, el cual obedece al tipo de proyecto en el cual se inserta esta actividad. Así los escenarios identificables son básicamente dos: Escenario de Proyectos Nuevos: Esta situación se verifica cuando la planificación corresponde a nuevos yacimientos para los cuales hay que desarrollar toda la estrategia en función de las restricciones técnicas y financieras; a proyectos de innovación que significan, la introducción de alguna tecnología o criterio completamente nuevo para la empresa, y a proyectos de ampliación, en los cuales se liberan restricciones operativas y debe encontrarse un nuevo nivel productivo que mejore la posición competitiva de la empresa. Escenario de Faenas en Operación: en este caso normalmente existe una estrategia de planificación, y corresponde por ejemplo a definir cuerpos y/o sectores de reemplazo, políticas de reemplazo de equipos, de exploración y otros. En general, este escenario ofrece un marco menos flexible a la planificación, sin embargo es posible afirmar, que para todas aquellas empresas mineras que cuentan con restricciones en sus capacidades de tratamiento, al interior de sus funciones productivas (cuya planificación se inserta en este escenario), la planificación minera cumple el papel de definir el rendimiento económico global de la gestión empresarial. 2.3.2.- Niveles de Planificación Una manera estructurada de enfocar la planificación minera es la incorporación de los Niveles de Planificación, definidos éstos en una primera instancia como planificación CONCEPTUAL y en una etapa siguiente, como planificación OPERACIONAL. La Planificación Conceptual corresponde al delineamiento estratégico, que de manera coherente con la misión y las restricciones existentes, permite analizar y acceder adecuadamente a las grandes definiciones del negocio minero, tales como método de explotación, ritmos de producción, situación final de la explotación, entre los de mayor relevancia. En este nivel de planificación se busca responder el qué hacer con el recurso geológico de tal modo de lograr los objetivos de la empresa y por ende enmarcarse dentro de la misión definida por ésta. El logro de los objetivos, implica un proceso iterativo, ideas preliminares, a nivel de perfil, son analizadas y un posterior proceso de evaluación conduce a rechazar algunas y a desarrollar otras, para finalmente optar por una o dos opciones para un análisis posterior más detallado. La principal característica de esta fase de planificación minera radica en que es aquí donde se define la rentabilidad gruesa del proyecto. De hecho, las diferentes ideas vertidas tienen un grado de dispersión, en términos de rentabilidad, que es considerable y que debe ir disminuyendo en la medida que avanza la ingeniería, de lo cual se deduce que, por lo general resulta muy conveniente gastar más tiempo en el desarrollo de buenos conceptos, que avanzar con una idea que no ha sido confrontada con otras opciones.

El producto de esta fase corresponde a la definición de macro decisiones que son controlables por el planificador y que tienen una incidencia en el objetivo planteado. Si dicho objetivo dice relación con los beneficios actualizados de la operación, entonces las variables fundamentales a definir corresponden a un grupo interrelacionados de variables decisionales que a continuación se describen:

El tamaño de una operación minera no sólo queda definido por la magnitud de la mina, éste también depende de los procesos posteriores. El análisis del tamaño óptimo para cada una de las instalaciones, necesariamente debe analizarse desde una perspectiva global teniendo presente las inversiones, costos de operación y características de la curva Tonelaje-Ley del yacimiento. En diversas ocasiones es la disponibilidad de fondos la restricción principal, y en ese caso el problema se reduce a encontrar el tamaño óptimo económico-técnico de cada etapa productiva bajo tal restricción.

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Tamaño de la Operación

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Método de Explotación El método a elegir deberá presentar las mejores ventajas para el objetivo planteado. Por lo general los aspectos técnicos que controlan esta decisión han sido ampliamente difundidos, no así los factores económicos que son los de mayor relevancia en esta etapa de planificación. La decisión de mayor importancia a este respecto es si la mina deberá ser subterránea o rajo abierto, o eventualmente cuando será conveniente permutar una inicial explotación a cielo abierto por una subterránea terminal. Límites Finales El límite de explotación es aquella frontera que define hasta donde es conveniente extender una operación minera. Para el caso de una mina a rajo abierto, este límite se conoce como rajo final, y en una mina subterránea, se le denomina usualmente envolvente final. La definición de este límite es atemporal, en el sentido de que es conveniente extraer cualquier tonelada que cubra su costo marginal independiente del tiempo en que se extrae. Secuencia de Explotación A partir de una situación inicial, es necesario conocer cual es el mejor camino para llegar al límite final. La definición de esta secuencia implica un fuerte impacto en el valor presente del negocio, y su búsqueda es una tarea compleja que requiere de un análisis individual de opciones. La idea es ir consumiendo el depósito de manera tal que responda a los objetivos planteados en la misión definida por la empresa, cumpliendo las restricciones propias de toda explotación minera, tales como geomecánicas, operacionales, legales, entre otras. Estrategia de Leyes de Corte Una vez establecido el tamaño del complejo minero, el límite final y la secuencia de explotación, existe una variable de decisión que afecta directamente al tiempo requerido para consumir el depósito; dicha variable es la Ley de Corte, que en esencia permite discriminar económicamente entre mineral y estéril. Una ley de corte alta implica que la proporción de mineral del depósito es baja y por lo tanto, la vida de la mina se reduce y viceversa. Entre estos dos extremos, existe una estrategia que conlleva a una maximización del beneficio actualizado. Si el modelo matemático que resuelve esta incógnita está bien formulado, la estrategia óptima por lo general, significa leyes de corte decrecientes en el tiempo, este vector en definitiva permite conocer la cantidad (tonelaje) y calidad (ley) de las reservas mineras o extraíbles.

Planes Mineros de Producción Bajo este concepto se debe cuantificar las necesidades de recursos humanos, físicos y financieros, que permitan materializar las metas de producción en el tiempo. También aquí se desarrollan los trabajos que permiten recomendar la estrategia de alimentación a planta, si la empresa en cuestión, tiene posibilidades de producción entre varios sectores o entre diferentes yacimientos.

La Planificación Operacional por su parte es el conjunto de tareas que, define las soluciones de corto plazo, al generar las proposiciones que optimizan en forma permanente el concepto del negocio minero diseñado en la fase anterior. Como aspectos relevantes de esta actividad están las constantes optimizaciones que son factibles de incorporar a toda explotación minera tales como, equipos más eficientes, optimización de infraestructura de servicios,

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Todas las variables decisionales anteriormente descritas no son independientes, sino que por el contrario tienen una relación funcional entre ellas y para su optimización es necesario recurrir a un análisis circula. Allí se tiene además las distintas fuentes de información necesarias para establecer el escenario en donde se desarrollará este proceso de planificación. La información geológica, geotécnica, y metalúrgica constituyen una entrada esencial para el análisis de cualquier proyecto minero; el cual además se ve influenciado por una serie de variables exógenas, tales como el precio de venta del producto.

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cambios en métodos constructivos, incorporación de materiales con nueva tecnología, software más poderosos y otras. En general, en este nivel de planificación se insertan los esfuerzos que el planificador hace permanentemente por introducir modificaciones en las distintas operaciones unitarias y de apoyo, existentes en toda explotación minera, con el fin de mejorar eficiencias y costos. Lo importante de entender es que toda la actividad que en este contexto se desarrolla, está inserta en la estructuración dada al proyecto en su fase previa de planificación conceptual, y que en consecuencia, no es esperable un cambio que afecte significativamente el nivel de rentabilidad del proyecto. Esquemáticamente, la diferencia entre ambos niveles de planificación, es bosquejada en la Figura 2.2

Figure 2.2 Como se puede apreciar, las macro decisiones tomadas durante la planificación conceptual definen en forma gruesa la rentabilidad del negocio. Sin embargo, una vez que ya nos encontramos en una planificación operativa las decisiones pasan a ser menos influyentes en la rentabilidad. 2.3.3.-Horizontes de Planificación

La planificación de Largo Plazo es básicamente una planificación conceptual donde se establece la estrategia global de la empresa, para un horizonte superior a 5 años y que muchas veces va hasta el agotamiento del yacimiento. Otra de sus características es que la flexibilidad que presenta para la toma de decisiones es alta, vale decir es posible introducir cambios estructurales en la concepción del negocio. Desde un punto de vista estrictamente económico el concepto de largo plazo, tiene implícito el cambio, es decir, en el caso extremo nada es fijo y permanente. De acuerdo a lo anterior, en el proceso de planificación de Largo Plazo debieran liberarse gran parte de las restricciones que se verifican en el Corto y Mediano Plazo Como Mediano Plazo se entiende comúnmente aquella actividad de planificación cuyo horizonte abarca de uno a cinco años, dependiendo del tamaño de la operación y/o las políticas de la empresa. Esta actividad se inserta en la planificación de largo plazo, en el contexto de lograr cumplir con la estrategia allí delineada, siendo la base de la estimación y evaluación económica de la empresa, puesto que las decisiones que se adopten para este horizonte,

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Bajo este concepto se entenderá lo que tradicionalmente se denomina Planificación de Largo, Mediano y Corto Plazo, hitos que históricamente han estado asociados a períodos.

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tendrán una flexibilidad a los cambios limitada. Es así como es común entender el Corto Plazo, como aquella actividad de planificación cuyo horizonte es un año o menos, por lo que su detalle y concepción está fuertemente condicionado por la realidad contingente de la faena o proyecto, y corresponde a un detalle de todas las actividades que se desarrollan en el año. Es frecuente que la revisión de estos planes sea trimestralmente. Evidentemente el marco de referencia de esta planificación lo constituye el Mediano Plazo. 2.4.- La misión empresarial en minería La misión empresarial, la cual forma parte integral del sistema de administración racional de una empresa, se constituye como la base que guía todos los esfuerzos para el logro de los objetivos delineados al interior de ésta. Tal logro de objetivos se obtiene mediante una relación funcional entre la misión empresarial y los demás subsistemas involucrados, es decir, decisión, planificación, organización, dirección y control. Al estar claramente definida la misión u objetivo de la empresa, y además los criterios de planificación fusionados con tal función objetivo, entonces es posible intuir que, los planes mineros desarrollados estarán concebidos de modo tal de cumplir con la misión empresarial. "CUANDO NO EXISTE UNA MISION, TODOS LOS CAMINOS SIRVEN" De acuerdo a distintas misiones, en distintas empresas e incluso al interior de una misma empresa, es obvio que se planificará con criterios económicos diferentes, lo cual redundará en planes mineros diferentes. Dentro del negocio minero, la gestión de planificación se ha desarrollado fundamentalmente en base a tres misiones empresariales típicas, las cuales se detallan a continuación: 2.4.1.- Maximización de la Recuperación del Yacimiento Esta misión induce a beneficiar todo material, que al menos pague sus costos marginales de tratamiento. El impacto de esta misión dentro del proceso de planificación minera, se traduce en los siguientes conceptos: Mineral es todo material cuyo costo marginal de tratamiento es menor o igual a su ingreso marginal. Tal definición permite definir una ley de corte fija en el tiempo. El raciocinio utilizado en la definición de mineral, no incluye consideraciones que permitan mejorar el rendimiento económico del negocio, al considerar y valorizar las restricciones de capacidad, como un costo de oportunidad. Las secuencias de explotación, privilegian aspectos operacionales de producción y extraen el máximo de material desde diferentes sectores con leyes mayores o iguales a la ley de corte establecida. 2.4.2.-Maximización de la permanencia en el Negocio Minero

Mineral es todo material cuyo costo marginal de producción es menor o igual que el Costo de Corte prefijado. También es posible razonar a través de una ley de corte, pero cuyo beneficio marginal es positivo y fijado con anterioridad por la unidad de planificación. Esta metodología, basada centralmente en los costos de producción, no considera la pérdida en que se incurre en aquellos escenarios en que el precio del producto en cuestión se sitúa muy por encima del Costo de Corte prefijado.

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En tal misión, tras un análisis de perspectivas de costos de productores competitivos, se define un nivel mínimo que aceptará la operación productiva. En base a este costo, es factible discriminar entre mineral y estéril; a dicho costo, se le denomina Costo de Corte. En consecuencia, esta misión genera el siguiente supuesto dentro del proceso de planificación minera:

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La metodología, además, no considera el concepto valor del dinero en el tiempo en la definición de mineral: por lo tanto, no pondera económicamente el obtener flujos monetarios en distintos tiempos. 2.4.3.-Maximización del Valor Presente Neto Esta misión estructura la planificación minera tras una meta de intentar lograr el mejor rendimiento económico actualizado del negocio minero. Tal rendimiento económico se obtiene cuando la planificación minera envía a proceso el mejor material, y deja en stock o in situ el material que hace disminuir la renta actualizada del negocio. La definición del mejor material y por lo tanto, lo que es mineral, está asociado a un Costo de Oportunidad, el cual es equivalente a reconocer el valor del dinero al interior del proceso de planificación minera. Al definir que un material va a proceso, no basta con constatar que su renta marginal sea positiva, además es necesario probar que su renta es superior al costo de postergar el resto del yacimiento, por un tiempo equivalente al que demanda el tratamiento del material en análisis. De acuerdo a los conceptos antes enunciados para la presente misión, tendremos que mineral es todo material que tras su proceso de beneficio, hace incrementar el valor presente de los flujos monetarios del negocio en cuestión.

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De lo anunciado resulta evidente la importancia de la misión, puesto que ésta por sí sola guiará todo el proceso de planificación. Es importante destacar sí, que sólo la última misión se fundamenta en una racionalidad económica más rigurosa y consistente con la misión empresarial observada en otros rubros de la economía, además es la que actualmente motiva a la mayoría de las empresas del rubro minero.

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CAPITULO III VARIABLES IMPORTANTES QUE CONDICIONAN LA EXPLOTACION DE MINAS A CIELO ABIERTO. 3.1.-Introducción Una mina a tajo abierto es una excavación superficial, cuyo objetivo es la extracción de mineral económico. Para alcanzar este tipo de mineral, usualmente es necesario excavar además, grandes cantidades de roca estéril. La selección de los parámetros de diseño, las condiciones de este mineral y la extracción de estéril, son decisiones bastante complejas desde el punto de vista de la ingeniería, ya que implica una considerable importancia en el ámbito económico. El proceso de diseño consiste en dos fases: Crear un esquema o una serie de esquemas alternativos, y Evaluar y seleccionar el mejor de estos esquemas Las etapas de la primera fase, son las siguientes: exploración, etapa conceptual y etapa de diseño. La etapa de exploración, la cual es la primera parte del proceso, consiste en la construcción de un modelo de yacimiento, incluyendo información topográfico, geológica y geotécnica. Posteriormente, se encuentra la etapa conceptual durante la cual se evalúan una serie de requisitos, y se considera el tipo de transporte que se utilizará para trasladar el mineral y el material estéril. A menudo, se estudiarán varios sistemas alternativos. La ubicación y el tamaño de las plantas de trabajo, resultan ser puntos extremadamente importantes para el proceso del diseño final. El tamaño de la planta procesadora, chancadores, etc., determinarán la capacidad de producción de la mina. La capacidad de producción, juega un rol más importante en la dictación del flujo de fondos que puede afectar toda la estrategia económica para la propiedad. La información de costos unitarios en todos los aspectos de la operación, estaría incluida en esta etapa, así como las proyecciones del valor y la demanda de mercado de mineral económico a producir. La etapa de diseño continúa independientemente, y este es un procedimiento iterativo. Inicialmente, se llevaría a cabo una optimización de los límites económicos del proceso de excavación basados en el aprovechamiento máximo, utilizando el modelo de yacimiento desarrollado durante la etapa de exploración. Luego, se deberá realizar una secuencia minera para los diversos sistemas de transporte y niveles de producción. Deberán desarrollarse los requisitos de equipamiento para cada una de las opciones, además de un análisis de flujo de fondos de todo el proceso. La ubicación de los límites económicos del proceso de excavación dependen de cierta forma de los aspectos del flujo de fondos. Por lo tanto, será necesario evaluar otros aspectos económicos que no sean aquéllos inicialmente considerados para determinar la susceptibilidad del flujo de fondos en la ubicación exacta de los límites de excavación. Asimismo, para cada sistema de transporte, capacidad de producción, etc. a considerar, se deberá crear un diseño completo que incluya un programa, selección de equipamiento y flujos de fondos, a fin de determinar finalmente la alternativa por la cual se deberá optar.

-

Ubicación. Forma. Tamaño. Topografía superficial. Profundidad del cuerpo mineral. Tipo de mineral. Complejidad y calidad de la mineralización. Distribución de la calidad de la mineralización (selectividad).

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La elección de un método de explotación de un yacimiento mineral se basa principalmente en una decisión económica (Costos, beneficio, inversiones, flujos de caja, etc.). Esta decisión está relacionada con múltiples factores propios del yacimiento tales como:

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-

Características del macizo rocoso. Calidad de la información de reservas. Inversiones asociadas.

Esta información provendrá de una campaña de exploración debidamente desarrollada. Además, y no menos importante, la elección dependerá de las políticas, necesidades y recursos que disponga la empresa interesada en realizar dicha explotación. Es por ello que cada yacimiento es potencialmente sensible a ser explotado por cualquier método minero, de los cuales serán descartados los que no representen un buen negocio para la empresa interesada. Una vez definido el método más apropiado podremos pensar si el proyecto minero proseguirá su curso hacia la explotación y para efectos de nuestro propósito asumiremos que esta etapa ya ha sido salvada y que definitivamente explotaremos yacimientos por el método de Rajo Abierto (Cielo Abierto u Open Pit, como se conoce comúnmente el mismo método en otros países, donde recibe distintos nombres). La explotación de un yacimiento por el método de rajo abierto, requiere de datos iniciales, provenientes de campañas de exploración (Sondajes), los cuales serán procesados de modo de obtener un modelo de bloques (Krigeage, Ivor, etc.). Este modelo de bloques consiste en una matriz tridimensional de bloques de dimensiones definidas por su largo, ancho (ambos iguales por lo general) y alto, este último valor corresponderá a la altura de los bancos del futuro rajo. Dicha altura será definida principalmente en función de las características del yacimiento y la elección de los equipos de explotación. La altura del banco a su vez define en la estimación de reservas la altura que tendrán los compósitos en la campaña de sondajes. Cada uno de los bloques podrá guardar información relevante de datos como: -

Tipo de Roca (geomecánica, estructuras y litología). Leyes (tanto del mineral principal como de sus sub - productos). Datos económicos (costos de extracción, de proceso, de venta y/o beneficio económico asociado). Recuperaciones metalúrgicas. Etcétera.

Una vez disponible la información entramos a la etapa de diseño, la cual nos entregará como resultado los límites económicos de nuestra explotación denominado Pit final, a lo cual podemos agregar los límites de las distintas etapas de la explotación llamadas Fases, las cuales nos definen la secuencia de explotación del yacimiento. Debemos notar que muchos de los datos utilizados para el diseño del rajo, son estimaciones basadas en estudios y recopilación estadística de otras explotaciones, además de los datos sujetos a corrección por la aparición de nuevas tecnologías (influyentes en los costos), nuevas reservas (futuras expansiones) y condiciones del mercado (Precio del metal, leyes nacionales, regulaciones ambientales, políticas nacionales e internacionales, etc.), por lo que difícilmente podemos decir que nuestro rajo se comportará tal cual lo hemos planteado en la etapa inicial del diseño. En otras palabras debemos decir que el diseño final de un rajo con seguridad será modificado al ir incorporando información fresca en las bases de datos.

Esta planificación comprende tres etapas paralelas y que cada una abarca las actividades de explotación para períodos de tiempo distintos, hablamos entonces de Planificación de Corto, Mediano y Largo Plazo. En estas etapas se planifican las actividades a realizar en función de la explotación misma del rajo, políticas de la Compañía (necesidades, recursos, intereses, etc.), influencia de agentes internos (problemas climáticos, recursos humanos, etc.) y externos a la empresa (mercado, regulaciones, normativas, etc.). Dependiendo de cada explotación la planificación de corto, mediano y largo plazo abarcará períodos distintos (Corto plazo: día, semana, mes, trimestre, semestre. Mediano plazo: trimestre, semestre, año, bi anual, tri anual. Largo plazo: anual, bi anual, 10 años, etc.).

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Disponiendo de los límites económicos del rajo final y las fases de explotación, es decir la secuencia de extracción de materiales, debemos definir el Cómo vamos a extraer las reservas, por lo que debemos entrar en una etapa de planificación de la explotación.

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Como todo proyecto, la explotación de un yacimiento deberá ser evaluada técnica y económicamente, dentro de un período o vida del yacimiento. Esta vida del yacimiento dependerá principalmente de las cantidades de reservas mineables, ritmo de explotación requerido o producción de la faena y de las necesidades, políticas, recursos o intereses de la empresa. Para la correcta evaluación del proyecto, debemos contar con los datos necesarios para el desarrollo de los estudios, los cuales provendrán de fuentes de información técnica fidedignas, tales como la operación de otros yacimientos de similares características, tecnología, procesos productivos involucrados y la experiencia de los encargados de evaluar dicho proyecto. Dentro de los procesos productivos se encuentran por ejemplo: Perforación. Tronadura. Carguío y Transporte. Sistemas de manejo de materiales. Servicios de apoyo. Dentro de los otros procesos que participan de la producción (no menos importantes) se encuentran: -

Exploraciones (paralelas a la operación). Proceso físico-químico del mineral (Conminación, flotación, fundición, aglomeración, lixiviación, electro obtención, etc.). Venta del producto (transporte, seguros, impuestos, etc.).

Debemos notar que existen actividades paralelas a estas que participan directamente con las distintas operaciones y que forman parte del proceso mismo y de sus costos asociados como por ejemplo: -

Geología. Mantención de equipos, maquinarias e instalaciones. Depreciación de los equipos. Suministros de energía e insumos. Recursos humanos y administración. Seguridad, higiene y prevención de riesgos. Medio ambiente. Contabilidad y finanzas. Control de calidad. Etcétera.

Cada uno de estos procesos o actividades ligadas a ellos, significa un costo dentro del desarrollo de la explotación. Estos costos serán los que definirán si un bloque con ley mayor que cero será considerado como Mineral, Mineral de baja ley o simplemente Estéril, ya que obtener el fino asociado a ese bloque significará un costo y por ende un beneficio económico para el proyecto.

3.2.-El modelo de bloque: Como hemos dicho un modelo de bloque es una discretizacion de un volumen , por medio de un conjunto de figura geométrica , por lo general compuesta de un sola estructura base que es un paralelepípedo y que se repite ,hasta ocupar todo el espacio que se quiere estudiar ,además de dimensiones predefinida .

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El modelo de explotación a cielo abierto obedece a un modelo de explotación utilizado para distribuciones minerales ubicadas cerca de la superficie y generalmente emplazadas en grandes extensiones de terreno. Su desarrollo consiste en la formación de un anfiteatro que va alcanzando su mineral a través de rampas y bancos que permitan el buen funcionamiento de las operaciones mineras.

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Para la evaluación del proyecto se construyo un modelo de bloque con una geometría con características que van de acuerdo al sistema de explotación a utilizar. Las principales características del modelo , por ejemplo son las siguientes: Elemento de interés Tamaño de la Bloque . Números de bloques

: Cobre : 15 *15 *15 m. : 228 en dirección Este. 190 en dirección Norte. 56 en elevación. Coordenadas Origen : 22.550 Norte 6700 Sur 1200 Cota mínima Orientación del modelo (Azimut) : 0°

Figura 3.1 modelo de bloque Una de las preguntas básicas que nace es ¿De que depende las dimensiones del modelo de bloque? , a) Características del deposito b) Continuidad espacial c) Pasta a explotar. d) Selectividad El modelo de bloque condicionara las unidades básicas de explotación, como así mismo toda la información que quedara establecida en función de los bloques presentes. 3.2.2.- Información básica del modelo de bloque La información básica de un modelo de bloque es la siguiente :

La escala de los planos esta en función del detalle que de el se desee y para que trabajo , por lo general en la mina se emplean plano 1:500

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1.-La información topográfica

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3.2 modelo topográfico del distrito 3.2.3.-Información de sondajes La tabla 3.2 muestra la información básica de los sondajes , ella es el nombre alfanumérico del collarín , además la localización referida a un sistema local o UTM y el largo del sondaje .En la figura 3.3 se muestra una distribución de sondajes

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Figura 3.3. Disposición de sondajes

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Tabla 3.1 :Base de datos de los sondajes

3.2.4.-Información de las muestras Atendiendo un protocolo de muestreo, cada muestra debe ser identificada y analizada por los elementos a estudiar , estos quedan definido por la pasta principal o por una secundaria que pueda presentar interés económico , además se pueden establecer las litologías o cualquier otra información.

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Figura 3.4.-Distribución espacial de las muestras

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3.1.5 .-Información Assays Este archivo sintetiza todos los resultados , análisis químicos , evaluación cualitativa etc , la tabla 3.2 muestra un ejemplo , en ellas esta el nombre del sondaje .el comienzo y el fin del sondaje , los resultados de de todos los tramos estudiadas .

Tabla 3.2 Archivo Assay 3.2.6 .-Interpretación del modelo geológico La figura 3.5 muestra la interacción de la etapa de definición de los cuerpos geológicos partiendo de los sondajes y los datos topográficos , podemos generar secciones donde en base a ellas podemos “crear “ un solidó , que representa la mineralización y en su disposición espacial , sus medidas y orientaciones . De la misma manera podemos construir modelos para las litologías , para las alteraciones ,para elementos de interés y también para algunas variables geomecanicas .

La figura 3.6 muestra la representación del modelo 3D , con los actuales sistemas computacionales se puede tener una buena representación espacial el cuerpo . el cual puede ser observado en la posición deseada por el observar .

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Figura 3.5 Secuencia de construcción de un solidó

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Figura 3.6 Modelo 3D

3.3.-Parámetro básicos de diseño Dentro de los parámetros básicos que es necesario para una planificación de una mina a cielo abierto , están los siguientes : 3.3.1.-Razón estéril mineral

Figura 3.7 Esquematización de la razón lastre mineral La razón lastre-mineral puede ser determinada por diversos criterios, uno de estos corresponde a un criterio de estabilidad y seguridad, en el cual la relación lastre-mineral se encuentra en función del ángulo de talud.

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Razón existente entre la cantidad de material estéril que se retira de una mina a cielo abierto con respecto a la cantidad de mineral útil aprovechable que puede alcanzarce. Esta razón puede ser variable a la largo de la vida útil de la mina. Ej.: remoción de material estéril para llegar a la zona mineralizada en una etapa de pre-producción, también etapas de expansión etc. Los resultados de un diseño de rajo determinarán las toneladas de lastre y de mineral que contiene el rajo. La razón lastre - mineral para el diseño, arrojará la razón de despeje promedio para ese rajo. Este se diferencia de la razón de despeje de equilibrio o razón límite económica que se utilizara para diseñar el rajo.(figura 3.7 )

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Otro criterio corresponde a un criterio económico a través del cual se determina una razón límite económica, dada por la siguiente relación: RDE = (A –B)/C Donde A = ingreso por tonelada de mineral B = costo de producción por tonelada de mineral (incluidos todos los costos hasta el punto de venta, excluido el despeje) C = costo de stripping o despeje por tonelada de lastre En ciertos estudios, se incluye un requerimiento de utilidad mínima en la fórmula. RDE = (A – (B+D))/C Donde: D = utilidad mínima por tonelada de mineral

Figura 3.8 Razón lastre mineral Valores críticos para la razón lastre-mineral: (2:1 o 3:1), puede estimarse como un valor razonable. (5:1 a 7:1), puede estimarse como un valor crítico, el cual puede determinar el cierre del yacimiento o el cambio del método de explotación.

Debido a que la excavación realizada se lleva a cabo en un medio rocoso, se esta produciendo un desequilibrio en el sistema, por lo cual es deseable una excavación circular o elíptica debido a que los esfuerzos de tracción y compresión que aparecen tienden a ser nulos o a contrarrestarse uno con otros.

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3.3.2.- Geometria de la excavación.

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Figura 3.9 Esquema mina cielo abierto

Haciendo un análisis de esfuerzos utilizando un sistema idealizado cuyas deformaciones se encuentran gobernadas por un sistema de ecuaciones de compatibilidad y aprovechando las funciones de Airy como soluciones a dichos sistemas, se puede observar lo siguiente: Los esfuerzos se hacen máximos en aquellos lugares donde el radio de la excavación es menor. Los esfuerzos se hacen mínimos en aquellos lugares donde el radio de excavación es mayor. Es recomendable tener radios de curvatura lo menos cerrado posible. Para aliviar los esfuerzos es recomendable por lo tanto realizar una expansión en una línea , en el lugar donde se pretende disminuir los esfuerzos. Como consecuencia de los máximos esfuerzos de compresión, tracción y cizalle, se producen algunos efectos como: el agrietamiento en la periferia, problemas de derrame, volcamientos de bancos (toppling), deslizamiento de cuñas y deformación por relajación de la roca. 3.3.3.- Angulo de talud El talud de la pared del rajo constituye uno de los principales elementos que afectan el tamaño y forma de éste. El ángulo de talud corresponde al ángulo que forman las paredes del yacimiento con respecto aun eje horizontal imaginario este ángulo varia entre 35 y 55 grados dependiendo de la profundidad que se alcance en la explotación. El talud del rajo ayuda a determinar la cantidad de lastre que se debe mover con el objeto de explotar el mineral. El talud del rajo se expresa, normalmente en grados desde el plano horizontal.

La correcta evaluación del talud arrojará los taludes que permitan que las paredes del rajo permanezcan estables. Las paredes del rajo se deben dejar lo más paradas posible, con el objeto de minimizar la razón de despeje. El análisis de taludes del rajo determina el ángulo que se utilizará entre los caminos del rajo. El talud global del rajo utilizado para el diseño debe ser más bajo, con el propósito de dar cabida al sistema de caminos en el rajo final. El ángulo de talud se clasifica en dos tipos:

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La pared de un rajo necesita permanecer estable en tanto se esté llevando a cabo una actividad de explotación en esta área. La estabilidad de las paredes del rajo debe ser objeto de un análisis lo más cuidadoso posible. Los factores claves en la evaluación del ángulo de talud más adecuado son la resistencia de la roca, las fallas, los planos de falla, la presencia de agua y otros datos geológicos;. Se puede determinar un talud promedio global y simple para el rajo (por ejemplo 45º), pero un estudio más detallado podría demostrar que las características físicas del depósito hacen que el talud del rajo cambie de acuerdo con el tipo de roca, localización del sector, cota u orientación dentro del rajo.

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Angulo de Trabajo o cara del banco: Angulo que tienen los bancos en producción, determinado por las labores de tronadura y el ritmo de explotación diario, con el objeto de mantener la seguridad y rentabilidad del método. Angulo Final: Se pretende alcanzar una vez finalizada la explotación. Angulo Interrumpa Es el angulo que forma la linea que pasa por todas las “pata” de los bancos y la horizontal Se observa una relación entre el ángulo de talud y la razón estéril mineral. A mayor ángulo de talud, menor razón estéril mineral y a mayor ángulo de talud, menor razón estéril mineral

3.3.3.1.-Variables de las cuales depende el ángulo de talud:

Figura 3.10 Esquema de los ángulos

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Factores geológicos ( diaclasas, clivajes, fallas). Factores geotécnicos ( cohesión, ángulo de fricción, resistencia a la compresión y tracción, densidad, etc) Factores relacionadas con las aguas subterráneas ( porosidad, índice de huecos, presión de poros ,etc) Factores geométricos ( altura y ancho de los bancos, etc) Factores de tronadura ( quebradura, precorte, efecto sismo, etc)

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Cuanto más coherente y más bajo sea el banco, más vertical puede ser la cara del mismo y, por el contrario, cuanto más suelto y alto, más tendido será el banco; es función, pues, de las características estructurales y resistentes de los materiales y deberá ser determinado geomecánicamente. Otro factor que puede obligar a inclinar la cara de banco es el buen efecto que sobre las tronaduras ejerce el disparo con barrenos inclinados. Pero, en conjunto, puede afirmarse, con respecto a los taludes de cara de banco, la posibilidad de operar con dos, uno inclinado que puede coincidir con el ángulo de la cara del banco de trabajo y otro, más vertical, igual al ángulo final de la cara de banco, especialmente si en las últimas tronaduras se utilizan barrenos de contorno para mejorar la estabilidad de los macizos residuales y/o se unen varios bancos. Es habitual y recomendable utilizar, durante el trabajo en roca media, ángulos de cara de banco entre 60° y 75° y, al final, dejados casi verticales, incluso uniendo varios bancos para poder disponer de bermas de seguridad más prácticas. Esto último dependerá del plan de restauración previsto. La determinación del ángulo de talud busca encontrar un número que represente la estabilidad del talud, lo cual se conoce como factor de seguridad y que tiene los siguientes valores críticos: Factor de seguridad igual a 1.0, indica indiferencia. Factor de seguridad menor que 1.0, indica problemas de estabilidad y posibles colapsos. Factor de seguridad mayor que 1.0, corresponde a un valor óptimo de seguridad. Uno de los métodos utilizados para la determinación del factor de seguridad corresponde al método de las cuñas, donde este factor se puede representar en la siguiente ecuación: Fs = C + n * tag W * sen Donde: C : cohesión. n : esfuerzo normal a la cuña. W : peso de la cuña. : ángulo de fricción

B N

Plano falla único R

w sen

H

C

w cos

L

A

Figura 3.11 Los esfuerzos presentes en un talud

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W

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3.3.4.- Altura de banco La altura de banco es la distancia vertical entre cada uno de los niveles horizontales del rajo. A menos que las condiciones geológicas especifiquen lo contrario, todos los bancos deben tener la misma altura. Ésta dependerá de las características físicas del depósito; el grado de selectividad requerida en la separación de minera y lastre con el equipo de carguío; el índice de producción; el tamaño y el tipo de equipamiento para lograr los requerimientos de producción; y las condiciones climáticas. La altura de los bancos es igual a la altura del modelo de bloque o en su efecto a un múltiplo de este. La altura de banco debe fijarse lo más alto que sea posible, dentro de los límites del tamaño y tipo de equipamiento seleccionado para la producción deseada. El banco no debe presentar una altura tal que implique problemas de seguridad por caída de bancos de material tronado y sin tronar o de placas congeladas en invierno. La altura del banco en las minas de rajo abierto oscila, normalmente, entre los 15 metros en las grandes minas de cobre e, incluso, 1 metro en otros yacimientos como los de uranio. La altura de banco tiene importancia la disposición estructural o morfológica del yacimiento, el control de la dilución durante la extracción, el alcance de los equipos, etc. La selección de alturas de banco grandes, presenta las siguientes ventajas: Mayor rendimiento de la perforación, al reducirse los tiempos muertos de cambio de posición. Mejora de los rendimientos de los equipos de carga, al reducirse los tiempos muertos por cambio de tajo, así como por desplazamientos del equipo dentro del mismo. Menor número de bancos y, por tanto, mayor concentración y eficiencia de la maquinaria. Infraestructura de accesos más económica por menor número de bancos. Por el contrario. las ventajas de alturas pequeñas son las siguientes: Mejores condiciones de seguridad para el personal y maquinaria pues el alcance de las maquinas de carga permiten un mejor saneo y limpieza de los frentes cuando es necesario El control de las desviaciones de los barrenos es más efectivo para de martillo en cabeza. Mayor control sobre la fragmentación de la roca en la tronadura. Mayor rapidez en la ejecución de rampas de acceso entre bancos. Menores niveles de vibraciones y onda aérea, al ser las cargas operantes más pequeñas. Mejores condiciones para la restauración y tratamiento de los taludes finales. La selección de la altura óptima es el resultado de un análisis técnico económico apoyado en estudios geológico y geotécnicos que incluyen el aspecto de seguridad de las operaciones, así como los estudios de recuperación de los terrenos afectados por las actividades mineras cuando se llega a la situación final. 3.3.5.-Quebradura Zona de inestabilidad que produce la tronadura de la última corrida de tiros sobre la futura cara libre de un banco que va entrar en explotación. La Quebradura condiciona las operaciones de carguío y transporte debido a la variación que se produce en el ancho del banco.Esta se puede calcular de lasiguiente manera Q =Hb*Fq

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Q=Quebradura metros Hb=Altura del banco Fq =Factor de quebradura ( tanto es a uno )

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3.3.6.- Ancho de los bancos Toda mina a cielo abierto requiere vías de acceso y de salida para camiones, transito de palas a distintos frentes de extracción en general para el desplazamiento de vehículos menores. El ancho de Banco queda definido por los siguientes factores: Comportamiento del parámetro quebradura, Técnicas de tronadura amortiguada empleadas y normas de seguridad impuestas en la mina ( vías de doble transito y ancho de berma y derrame). Se define como anchura mínima de banco de trabajo la suma de los espacios necesarios para el movimiento de la maquinaria que trabaja en ellos simultáneamente. Siempre es necesario considerar una distancia de seguridad del orden de los 5 mts hasta el borde del banco.

Figura 3.12 Diseño tipico de ancho de operación de un banco 3.3.7.-Rampas y accesos Las pistas son los caminos por los cuales se realiza el transporte habitual de materiales de la explotación, es decir, por los que circulan las unidades de acarreo. También existen rampas que se utilizan exclusivamente como acceso a los rajos de los equipos que realizan el arranque y su servicio esporádico. Ambas tienen distinto tratamiento y diseño, pues mientras que por las primeras la circulación puede ser continua en los dos sentidos y a marcha rápida, la utilización de las segundas es mínima y a velocidad mucho más lenta. En éstas últimas, la pendiente debe recomendarse por razones de seguridad pues, aunque la lubricación de los mecanismos de las máquinas que van a circular por ellas permita fuertes inclinaciones, en ningún caso debe sobrepasarse el 20%, sobre todo teniendo en cuenta que, en ocasiones, también circularán por ellas vehículos de mantenimiento y reparación. Con relación a su anchura, ésta debe superar, por lo menos, en dos metros el ancho de vía de la unidad más ancha que vaya a circular por ellas. Respecto a las pistas y rampas de transporte, en su diseño hay que considerar, en relación con las unidades de transporte que se utilicen, una sede de parámetros que, sin perder el ritmo de operación, las hagan seguras.

La altura o separación entre bermas, así como su anchura son función de las características geotécnicas del macizo de explotación que conjuntamente con el resto de los parámetros que intervienen en el diseño de la mina conducen a la obtención de un factor de seguridad que garantice la estabilidad del, talud general y seguridad de los trabajos. En el caso que una berma se utilice para la circulación de su anchura debe cumplir con lo establecido para las pistas.

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Las bermas, se utilizan como áreas de protección, al detener y almacenar los materiales que puedan desprenderse de los frentes de los bancos superiores, y también como plataformas de acceso o, incluso transporte, en el talud de una excavación.

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Figura 3.13 Esquema de un banco Cuando en las explotaciones se produzcan, con frecuencia, desprendimientos de los taludes y sea necesario trabajar en los niveles inferiores, o cuando se vayan a abandonar las minas, pueden construirse banquetas de material suelto -a modo de cordones o muros- para la protección en las propias bermas y para que retengan el material caído desde una cierta altura. Tabla 3.3: Dimensiones recomendadas para la construcción de banquetas Altura Banco (mts) 15 30 45

de

Zona Impacto (mts)

de

Altura banqueta (mts)

3.5 4.5 5

1.5 2 3

de

Anchura de banqueta (mts) 4 5.5 8

Anchura mínima de berma(mts) 7.5 10 13

3.3.8.- Proyeccion de la pila de material quebrado Esta variable condiciona el tipo de equipo de carguío a utilizar en el desarrollo de mina ( cargadores frontales y palas electromecánicas), y corresponde a la geometría que tiene la pila de material fragmentado por tronadura En este sentido se pueden distinguir tres tipos de pilas de proyección: La pila apretada: Es consecuencia de los tiempos de retardo utilizados y generalmente contiene bolones preformados. Pila extendida: Compuesta por una zona que tiene una altura optima de trabajo y una zona de reapilamiento. Pila normal : Proyección optima según los requerimientos de carguío de palas o cargador.

Es el criterio usado en minería para discriminar entre mineral y estéril en un yacimiento minero. El material cuya ley es menor que la Ley de Corte, se clasifica como lastre y es, dependiendo del tipo de minería, dejado in-situ o llevado a botaderos. Cuando es superior a la Ley de Corte, se clasifica como mineral, y es enviado a tratamiento para su recuperación y eventual venta. La ley de corte se puede clasificar como: Ley de corte económica

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3.3.9.-Diferentes leyes de corte

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Es aquella Ley de Corte que tiene relación con la ley que maximiza el beneficio neto, y está en función de algunos factores, tales como: precio del elemento, costos de recuperación, producción anual, y la vida del yacimiento. Debido a esto la Ley de Corte es variable en el tiempo, afectando directamente las reservas del yacimiento. Ley de compensación o equilibrio Es la ley para la cual el ingreso se balancea, exactamente con los costos de extracción, tratamiento y comercialización. Ley de corte geológica Es el valor de referencia, que se usa para cuantificar la magnitud de los recursos minerales (recursos geológicas) conque cuenta un yacimiento. Estos recursos pueden en parte no ser explotables, ya sea por problemas de método de explotación o por problemas de índole económico.

Ley de corte de planificación Se utiliza para decidir que mineral es económicamente explotable dentro de las reservas geológicas. Los factores técnicos que considera para su análisis son fundamentalmente la capacidad de producción y los procesos que se aplican al mineral para obtener el producto final. Los factores económicos son los costos de producción y los precios de ventas de los productos. La ley de corte de planificación involucra un lapso de tiempo u horizonte de planificación, dentro del cuál adopta valores configurando una política de leyes de corte, entre las que se puede mencionar: Ley de Corte Constante. Ley de Corte Decreciente. Ley de corte de extracción Corresponde a la ley de corte de explotación en el momento mismo de extraer el mineral de la mina, asociándose a un costo marginal por estar ya realizando el desarrollo mina. El cálculo de corte depende del punto de la decisión de corte en la vida de la mina. Al momento de decidir si explotar un bloque más al final de la vida de la mina, los únicos costos empleados serían los costos de operación en efectivo y una utilidad mínima para reflejar los costos de oportunidad de utilizar el dinero en alguna otra parte. En el caso de una decisión de explotar un año más, el costo sería los costos de operación en efectivo, más el capital de reposición necesario, más todos los costos generales y administrativos en los que se incurriría.

También se deben incorporar los costos fijos o generales también en el cálculo. Se deben incluir los costos administrativos y generales para la mina, molienda y personal de oficinas administrativas. Hasta que no se haya determinado el tamaño del rajo y desarrollado los costos fijos, sólo será posible estimar los costos a utilizar en el cálculo.

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Para una mina que se encuentra en la etapa de planificación, los costos que se utilizarán son más complejos y deben ser objetos de una cuidadosa consideración. Se deben utilizar todos los costos directos de explotación procesamiento y mercado. En la fase de explotación, ésta incluiría los costos de perforación, tronadura, carguío y transpone. Los costos de procesamiento cubrirían los costos de chancado, transporte por correa, molienda y concentración. Dependiendo de la forma final del producto, los costos de mercadeo podrían incluir el manejo de concentrado, fundición, refinamiento y transporte. También se incluirían los costos directos adicionales por derechos de patentes e impuestos.

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3.3.10.-Diseño de pit final Como primer paso para la planificación de corto o largo plazo, se deben determinar los limites del rajo abierto. Los límites permiten definir la cantidad de mineral explotable, el contenido de metal y la cantidad de lastre involucrada que se tiene que mover durante el transcurso de la operación. El tamaño, la geometría y la ubicación del pit final son importantes, en la planificación de áreas de tranques de relaves, botaderos, caminos de acceso, plantas de concentración y todas las demás instalaciones de superficie. El conocimiento que se obtiene a partir del diseño del pit final sirve, además, para guiar futuros trabajos de exploración. En el diseño del pit final, el ingeniero asignará valores a los parámetros físicos y económicos descritos en la sección anterior. El limite de pit final representará el lindero máximo de todo el materia! que cumple con estos criterios. El material contenido en el rajo cumplirá dos objetivos. 1. No se deberá explotar un bloque a menos que éste pueda solventar todos los costos relacionados con su explotación, procesamiento y mercadeo y de despeje del lastre situado sobre el bloque. 2. Para la conservación de los recursos, se incluirán en el rajo todos los bloques que cumplan con este primer objetivo. El resultado de estos objetivos es el diseño que permitirá maximizar la utilidad total del rajo, sobre la base de los parámetros físicos y económicos empleados. A medida que estos parámetros vayan cambiando en el futuro, también lo hará el diseño del rajo. Dado que los valores de los parámetros no son conocidos únicamente al momento del diseño, el ingeniero podría diseñar el rajo para un rango de valores, a fin de determinar los factores más importantes y su efecto en el límite de pit final. 3.3.11.-Diseño de accesos Las minas a tajo abierto requieren a lo menos una vía de transporte y, en algunas ocasiones, más de una, dependiendo de la configuración del yacimiento a minar a mayor profundidad. El diseño de un camino adecuado es un aspecto importante para el diseño de una mina, ya que al mejorar el diseño de ésta, aumentará considerablemente su grado de productividad y, por lo tanto, los costos generales de operación se verán finalmente reducidos. Existen dos consideraciones importantes para la construcción de vías de transporte. Estas consisten en el diseño de superficie y de ubicación del camino. El punto de entrada a la mina para una vía de transporte, es un aspecto de diseño importante. La selección de este punto de entrada afectará los siguientes aspectos económicos y operacionales: a) b) c) d) e)

El levantamiento vertical del material para salir de la mina. El trayecto que realiza el camión hasta la chancadora, los botaderos de estéril,etc. La secuencia de extracción tanto para la roca mineralizada como para la estéril. Determinación de los límites de la mina. Las reservas o recursos económicamente minables, etc.

Usualmente, la ubicación del límite de excavación final se estima al principio usando técnicas de modelamiento económicas las cuales no justifican la presencia del camino. Estos diseños generan una continua tendencia ascendente, la cual, posteriormente, deberá ser sobrepuesta por el camino. Se puede diseñar un camino dentro de una variedad de formas. La capacidad de diseñar y evaluar toda una gama de diseños para caminos, desde el punto de vista económico, resulta ser uno de los aspectos más interesantes y desafiantes dentro de lo que es el diseño de minas a tajo abierto.

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Al diseñar la ubicación definitiva de la vía de transporte, se consideran el punto de entrada a la mina, la calidad del camino, y el radio mínimo de curvaturas. Asimismo, se deberán considerar un diseño espiral rodeando la mina, un camino a un solo lado de ella con un relieve bastante informe, o una mezcla de estos dos métodos. Esto se determina, en gran parte, por el tamaño y orientación del yacimiento. Es recomendable establecer la vía de transporte definitiva con la mayor premura posible. Esto evitará la necesidad de construir numerosos caminos temporales y, por lo tanto, reducir el costo total de construcción.

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Las consideraciones de diseño importantes para las características de superficie en las vías de transporte, incluyen: ancho, pendiente y zanjas para drenaje, la selección de base y materiales para alisamiento o acabado, superelevación de curvas, y el diseño de bermas y veredas, como aspectos de seguridad. Estas características de diseño para vías de transporte se determinan en gran parte por el tiempo de duración del camino y el tipo de equipo o máquina que se trasladará por él. Las pistas o rampas constituyen uno de los aspectos más importantes del diseño y planificación de una mina a cielo abierto. Su trazado debe incluirse en el diseño en las etapas más tempranas del proceso de planificación, debido a que afectan significativamente a los ángulos de talud y éstos, en consecuencia, la razón estéril/mineral de la explotación o a las reservas recuperables. Los accesos son en ocasiones difíciles de incluir en rajos diseñados a través de algoritmos implementados computacionalmente, por lo que, algunas veces quedan fuera de las evaluaciones económicas iniciales. Los rajos pueden diseñarse sin considerar los accesos, sin embargo, la experiencia indica que después de que un rajo es diseñado económicamente, si los accesos no están incluidos, los cambios necesarios para incluirlos en una configuración real son frecuentemente drásticos, tanto en términos de tonelaje como en la forma del pit final. En el diseño geométrico de un acceso deben definirse las alineaciones (trazado en planta) y las razantes. Esto debe hacerse de acuerdo con criterios básicos de funcionamiento, entre los que destacan: Distancia de visibilidad de paradas. Radio de giro en curva. Transiciones recta curva El diseño de accesos, tanto desde el punto de vista geométrico como desde el estructural, debe hacerse en función de las características de los camiones que van a circular, dichas características son: Peso total en carga Capacidad de carga Distribución de cargas Presiones de inflado. Presión de contacto y geometría de la huella Características geométricas (longitud, radio de giro y anchura) Velocidades.

Punto de salida del acceso, que dependerá de la localización de la planta de tratamiento y/o escombreras para el vertido del estéril. Número de pistas de acceso. Las vías de acceso alternativas aumentan la flexibilidad de la operación pero, por el contrario, pueden complicar el diseño, aumentar la razón de explotación, etc. Pistas internas o externas al pit de explotación. Pistas temporales o semipermanentes. Pisas con trazado en espiral, en zig-zag o mixtas. Numero de carriles en pistas principales o auxiliares. Pendientes medias y por tramos, tanto favorables como desfavorables, para el transporte. Sentido del tráfico, etc.

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Algunas consideraciones que deben hacerse en el momento de proyectar los caminos de acarreo en una explotación minera son las siguientes:

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3.3.11.1.-Ancho de accesos. El ancho de los accesos es función de las dimensiones de los camiones, de manera que sea suficiente para la operación de transporte se desarrolle con continuidad y en condiciones de seguridad. En cuanto al número de pistas en que ha de subdividirse el ancho total, generalmente se diseñan los accesos con dos pistas, de forma tal de optimizar el espacio disponible. Una formula empírica que es aplicad con frecuencia para dimensionar el ancho de accesos es la siguiente: A= a * (0.5+ 1.5N) Donde A : ancho total del acceso a: Ancho del vehículo de mayor dimensión. N: numero de pistas. Es necesario considerar, que tanto a la derecha como a la izquierda del vehículo, debe dejarse una separación de seguridad equivalente a la mitad del ancho de éste. En los tramos en curva hay que considerar que los camiones necesitan un ancho mayor que en recta, pues las ruedas traseras no siguen exactamente la trayectoria de las delanteras, debido a la rigidez del chasis, por lo tanto es necesario disponer de un sobreancho, que es función del radio de la curva y la longitud del camión. Una forma utilizada corrientemente para calcular el sobreancho necesario es la ecuación de Voshell: F = ( 2 * [R- (R2 – L2)1/2] * 5.8) / (R)1/2 F: Sobreancho R: radio de la curva. L: distancia entre ejes del camión. La pendiente transversal de la pista es un factor de diseño importante para garantizar una adecuada evacuación de aguas producto de la explotación. Dicha pendiente oscilará entre un mínimo para que la evacuación del agua sea efectiva y un máximo compatible con la conducción cómoda y segura de los vehículos. El valor de esta pendiente será función de las característica de la superficie de rodadura y de la pendiente longitudinal del acceso. 1.

Superficie con reducida resistencia a la rodadura.

Para i > 5% p= 2% Para i 5% p=3% 2.

Superficie con elevada resistencia a la rodadura

3.3.11.2.-Diseño de accesos en espiral por delante del talud En este primer caso se considera un pit constituido por cuatro bancos de 10 m de altura, 60° de ángulo de cara de talud y distancia horizontal entre crestas proyectadas de 20 m. La pista a diseñar debe tener una anchura de 25 m y una pendiente del 10%, situandose en el talud norte del rajo.

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Para i > 5% p= 3% Para i 5% p=4%

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Paso 1. El diseño de la pista comenzará por el fondo de la explotación. Se elegirá el punto donde la rampa encontrará a la primera línea de cresta punto A, ya partir de ahí ascenderá hacia la superficie hacia el Oeste y descenderá hacia el fondo hacia el Este. Paso 2 Se determinan los puntos donde la rampa encuentra 3 las sucesivas crestas. Dado que H = 10 m y que la pendiente de la pista G = 10%, la distancia horizontal L que recorrerá el volquete entre niveles será: L = (100 x H) / G (%) = (100 x 10) /10 = 100 m El punto B, en el banco siguiente, se encontrará trazando un arco de circunferencia de radio igual a 100 m y con centro en A. Los punto C y D se determinan de forma análoga Paso 3. Los puntos marcados en las líneas de cresta indican los lugares donde se añadirán los segmentos para representar la rampa. Como ésta forma un cierto ángulo con las citadas líneas, la anchura medida en dirección perpendicular será ligeramente superior a la real, ya que: = arc sen (20/100) = 11 ,54° y APa= APt/cos = 1,02 x Apt = 1,02 x 25= 25,52m Para fines prácticos, el error que resulta es muy pequeño, considerándosele una diferencia despreciable, por lo que: AP = AP a

AP t

Los segmentos de longitud AP se dibujarán perpendicularmente a las líneas de cresta en los puntos A, S, C y D. Además, desde los extremos de los segmentos se trazarán otros paralelos a las crestas, por ejemplo el a-a' Paso 4. El segmento a-a’ es rectilíneo y se dirige hacia el Oeste del pit Conforme la pista asciende y se aproxima hacia el talud lateral en curva se debe contemplar una transición suave con la línea de cresta original. El proyectista actuará con cierta flexibilidad a la hora de representar las nuevas líneas de cresta, según suceda dicha transición Paso 5 Se suprimen las líneas de cresta del diseño original por las nuevas, que incorporan el trazado de la pista Paso 6 La pista se termina de representar desde la cresta del primer banco más Superficial hasta el fondo de la explotación.

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Como puede observarse, el pit se ha estrechado en el fondo al haberse incorporado la pista por el interior del talud, afectando, en este caso, al volumen de reservas recuperables.

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Figura 3.14 Tipos de rampa

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Figura 3.15 diseño rampa

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figura 3.16 :confeccion de rampas 3.3.11.3.-Diseño de una pista en espiral por detrás del talud En este caso, donde se parte de un diseño de pit y se pretende proyectar una pista exterior a uno de los taludes finales, será preciso efectuar un movimiento de material adicional. Para los mismos cuatro bancos y parámetros geométricos anteriores se procede de la siguiente forma Paso 1. El proceso de diseño comienza eligiendo el punto de la cresta del banco más alto, a partir del cual se construirá la pista y la dirección de la misma. Tal decisión dependerá de la localización de la planta de tratamiento y/o escombrera exterior. Se puede ver el lugar elegido para el comienzo de pista, punto A Con centro en el punto anterior y en los sucesivos, se dibujan arcos de circunferencia de longitud L hasta cortar a las sucesivas líneas de cresta en sentido descendente, puntos B, C y D. Paso 2. Desde cada uno de los puntos de intersección obtenidos se dibujan segmentos perpendiculares a las líneas de cresta y longitud APa (anchura aparente de la pista). Desde los extremos de estos segmentos se inicia el dibujo de las nuevas líneas de cresta, paralelas a las correspondientes a las de los bancos existentes y en el mismo sentido de la rampa Paso 3. Comenzando por el banco inferior se conecta la nueva línea de cresta con la existente en el diseño del pit, mediante un arco de curva suave .

Paso 5 Se eliminan las líneas de cresta sobrantes del diseño original . Paso 6. Se dibujan las líneas de pie de banco y pista. prolongándose esta última

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Paso 4 Tras dibujar las líneas de cresta concéntricas a las inferiores, se prolongan paralelamente a los bancos de rumbo rectilíneo en dirección E-O.

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hasta el fondo del pit.

Figure 3.17 Diseño de rampa

Figura 3.18 Confección de rampas

Una breve descripción de los metodos de fallas mas comunes en una mina cielo abierto son los siguientes a) Método de deslizamiento planar , este deslizamiento se produce a lo largo de un plano , y da hacia la cara libre del banco figura 3.19

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3.3.12.-Modo de fallas más comunes en los rajos

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Figura 3.19 deslizamiento planar b)Deslizamiento por cuña:Este tipo de deslizamiento se produce al haber una intercepción de dos planso de fallas ,figura 3.20

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Figura 3.20 Deslizamiento tipo cuña

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c) Deslizamiento Arco circular :este tipo de deslizamiento es típico en materiales sedimentarios o de baja compactación ,figura 3.21

Figura 3.21 Deslizamiento arco circular d) Deslizamiento tipo volteo: este tipo de deslizamiento se produce al existir una familia de estructura de igual características de rumbo y manteo y esta quedan expuesta por las caras del banco . como se puede apreciar en la figura 3.22

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Figura 3.22 Deslizamiento tipo volteo

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Por los general un rajo puede ser zonificado en función de los tipos de fallas que potencialmente se pondrían encontrar al avanzar la explotación figura 3.23

Figura 3.23 Zonificacion de tipos de fallas

En un estudio de proyecto Rajo Abierto, los parámetros que intervienen en él pueden definirse en tres grandes grupos: Parámetros de Estabilidad. Parámetros Operacionales.

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Parámetros Económicos.

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CAPITULO IV CONTROL DE OPERACIONES MINERAS Y CALCULO DE NECESIDAD DE EQUIPOS 4.1.-Indices de operación. (ASARCO) De modo genérico y en función de su representatividad y contenido, estos índices operacionales mineros se pueden clasificar en cuatro grandes grupos: 1)

Índices Mecánicos: Los que informan sobre la disponibilidad física de equipos e instalaciones y sus rendimientos o producciones

por unidad de tiempo. 2)

Índices de Insumos: Los que señalan magnitudes de los elementos consumidos para lograr una unidad de producto comercial o el rendimiento del insumo expresado en unidades de producto por unidad de elemento consumido (ejemplo

Kg.explosivo/ tonelada, ton-Km/ lt combustible). 3)

Índices Mineros: Los que muestran las relaciones y/ o proporciones que toma la materia prima mineral y sus leyes al fluir por

las

distintas etapas del proceso de extracción y beneficio (ejemplo razón estéril/mineral).

4)

Índices de Resultados: Los que indican logros planeados y reales para el período reportado (por ejemplo ton Cu fino/mes). Limitándonos a nuestro tema, solo abordaremos los índices mecánicos, los cuales provienen de la

información obtenida por un sistema desarrollado y aplicado, a objeto de lograr la optimización de los siguientes aspectos relacionados con equipos e instalaciones: -

Uso, funcionamiento y operación.

-

Mantención electromecánica.

-

Reemplazo oportuno y adecuado.

La optimización debe entenderse como máxima disponibilidad operativa y rendimiento al mínimo costo

A continuación definiremos los parámetros a utilizar en la obtención de los índices, estos parámetros dicen relación con la distribución temporal de la máquina en cada tarea en un período dado.

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de inversión, operación y mantención.

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Tiempo Cronológico o Calendario (TCR): Son las horas correspondientes al tiempo calendario natural como días, meses, años, etc., y se divide en dos

tiempos que corresponden a: I

Tiempo Hábil.

II

Tiempo Inhábil.

Tiempo Hábil u Horas Hábiles (HH): Son las horas en que la faena está en actividad productiva y/ o en tareas de mantención de sus elementos de producción y/ o infraestructura, en estas horas cada instalación o unidad está en: -

Operación.

-

Reserva.

-

Mantención.

Tiempo Inhábil u Horas Inhábiles (HIN): Son las horas en que la faena suspende sus actividades productivas y/o mantención de sus elementos y o infraestructura por razones como: -

Paralizaciones programadas: Domingos, festivos, vacaciones colectivas, colaciones etc..

-

Imprevistos: Originadas y obligadas por causas naturales como lluvias, temblores, nieve, etc., u otras

ajenas al control de la faena como la falta de energía eléctrica, atrasos en la llegada del transporte de personal, ausentismo colectivo por epidemias. Cuando en horas o tiempo programado como inhábil un equipo o instalación es operado y/ o sometido a mantención

y/ o reparación, el tiempo real es computado como tiempo hábil y clasificado en una de sus tres

condiciones. Tiempo de Operación u Horas de Operación (HOP): Son las horas en que la unidad o instalación se encuentra entregada a su(s) operador(es), en condiciones electromecánicas de cumplir su objetivo o función de diseño y con una tarea o cometido asignado. Este tiempo se divide en: -

Tiempo Efectivo.

-

Tiempo de Pérdida Operacional.

Tiempo Efectivo u Horas Efectivas (HEF): Son las horas en que la unidad de equipo o instalación está funcionando y cumpliendo su objetivo de

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diseño.

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Tiempo de Pérdida Operacional u Horas de Pérdidas (HPE): Son las horas en que la unidad de equipo o instalación, estando en condiciones electromecánicas de cumplir su objetivo de diseño, a cargo de su(s) operador(es) y con una tarea asignada, no puede realizarla por motivos ajenos a

su funcionamiento intrínseco, como son los traslados, esperas de equipo complementario y en general

por razones originadas en la coordinación de las operaciones. Tiempo de Reserva u Horas de Reserva (HRE): Son las horas hábiles en que la unidad de equipo o instalación, estando en condiciones electromecánicas de cumplir su función u objetivo de diseño, no lo realiza por motivos originados en una o más de las siguientes razones: Š Falta de operador (si es en la hora de colación se toma como tiempo inhábil, si el equipo sigue funcionando y hay cambio de operador se considera tiempo de operación). Š Falta de capacidad prevista de equipo complementario o accesorio. Š No requerirlo el programa o plan de trabajo. Š No permitirlo el área donde debería cumplir su función. Tiempo de Mantenimiento u Horas de Mantención (HMT): Son las horas hábiles comprendidas desde el momento que la unidad de equipo o instalación no es operable en su función objetiva o de diseño por defecto o falla en sus sistemas electro-mecánicos o por haber sido entregada a reparación y /o mantención, hasta que ha terminado dicha mantención y/ o reparación y el equipo está en su área de trabajo o estacionamiento en condiciones físicas de operación normal. El tiempo de mantención se divide en: -

Esperas de personal y/ o equipos de apoyo y/ o repuestos.

-

Traslados hacia y desde talleres o estación de mantención o reparación.

-

Tiempo real de mantención y/ o reparación.

-

Movimientos y/ o esperas de estos en lugares de reparación y/ o mantención.

TIEMPO CRONOLÓGICO (TCR) TIEMPO HÁBIL (HH) horas operacionales

HORAS DE RESERVA (HRE)

HORAS DE MANTENCIÓN (HMT)

HORAS DE PÉRDIDAS OPERACIONALES (HPE) Figura 4.1 Distribución del tiempo

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(HOP) HORAS OPERACIONALES EFECTIVAS (HEF)

TIEMPO INHÁBIL (HI)

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Igualdades: TCR = HH + HIN HH = HOP + HRE + HMT HOP = HEF + HPE Ahora veremos la utilización de estos parámetros temporales en la definición de los índices mecánicos. Índices Operacionales 4.1.1.-Disponibilidad Física: Es la fracción del total de horas hábiles, expresada en porcentaje, en la cual el equipo se encuentra en condiciones físicas de cumplir su objetivo de diseño. DF = (HOP + HRE) x 100 % HH Este indicador es directamente proporcional a la calidad del equipo y a la eficiencia de su mantención y/ o reparación, e inversamente proporcional a su antigüedad y a las condiciones adversas existentes en su operación y/ o manejo. 4.1.2-Índice de Mantenimiento: Es el tiempo en horas que el equipo es operado por cada hora invertida en su mantención y /o reparación. IM = HOP / HMT = (HEF + HPE) / HMT El valor de este índice es proporcional a la calidad del equipo controlado y a la eficiencia de su mantención y/ o reparación, e inversamente proporcional a su antigüedad y a las condiciones adversas en su operación o manejo.

4.1.3.-Índice de Utilización: Es la fracción del tiempo, expresada en porcentaje, en la cual el equipo es operado por cada hora en que este está en condiciones de cumplir su objetivo de diseño o físicamente disponible.

Es directamente proporcional a la demanda o necesidad de la operación de utilizar el equipo, e inversamente proporcional a su disponibilidad física y a su rendimiento.

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UT = (HOP x 100) / (HOP + HRE) %

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4.1.4.-Aprovechamiento: Es la fracción del total de horas hábiles, expresada en porcentaje, en que el equipo físicamente disponible es operado en su función de diseño incluyendo sus pérdidas operacionales. A = HOP x 100 / HH % = DF x UT / 100 % Es directamente proporcional a la demanda o necesidad de la operación de utilizar el equipo, dentro del límite impuesto por la disponibilidad física del mismo, e inversamente proporcional al rendimiento del equipo. 4.1.5.-Factor Operacional: Es la fracción de tiempo, expresada en porcentaje, en que el equipo realiza efectivamente su función de diseño por cada hora en que es operado. FO = HEF x 100 / HOP %

Es inversamente proporcional al tiempo de pérdida operacional. 4.1.6.-Rendimiento: Es el promedio de unidades de producción realizadas por el equipo por cada unidad de tiempo de operación. R = UNIDADES DE PRODUCCIÓN PROMEDIO UNIDAD DE TIEMPO DE OPERACIÓN Es directamente proporcional a la velocidad de producción del equipo e inversamente proporcional al tiempo de pérdida operacional.

4.1.7.-Rendimiento Efectivo: operación. R

=

UNIDADES DE PRODUCCIÓN PROMEDIO

UNIDAD DE TIEMPO EFECTIVO DE OPERACIÓN

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Es el promedio de unidades de producción realizadas por el equipo en cada unidad de tiempo Efectivo de

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Teóricamente este valor debería ser el de diseño para el equipo, pero es alterado por las características físicas de donde se aplica su función, el medio ambiente, condiciones físicas del equipo y por las técnicas de su utilización. Con estos índices podemos llevar un control en el transcurso de la vida de cualquier equipo, debemos tener en claro que por sí solos cada índice no representa una herramienta útil para dar solución a problemas o detectar causas de problemas, sino que en conjunto deberán analizarse para poder enfocar cualquier tipo de investigación al respecto, y el éxito de ello dependerá directamente de la calidad de la información obtenida para el cálculo de cada uno de ellos, es decir solo nos serán de utilidad si es que han sido medidos con claridad, comprobablidad, constancia y responsabilidad, es la única manera para que la implementación de este sistema de control en una faena tenga buenos resultados.

4.2 Cálculos de necesidades de equipos en mina a cielo abierto Definida la vida útil de la explotación y los movimientos de materiales a realizar durante ese tiempo, tenemos determinado el ritmo de explotación de la mina y con ello el rendimiento exigido por nuestra faena, por lo tanto tenemos nuestro punto de partida para la definición de las actividades a realizar para cumplir con dicho rendimiento. 4.2.1.-Palas Mecánicas Los factores que afectan el rendimiento de las palas mecánicas son: Altura de trabajo de los bancos de explotación Ritmo de explotación que se llevara en el interior de la mina Granulometría, peso especifico, espacio de maniobra envergadura de proyecto.

Hb Lo

Figura 4.2.- Altura de la pila HB = Altura del banco Lo = Altura del material quebrado

Lo = 1.8 CD + 18 (Pies)

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Lo = HB+ ( 3 a 5 mts)

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Donde CD = Capacidad de cuchara del equipo de carguio (Pala) Luego al despejar CD = L o - 18 1.8

Yd 3

Figura 4.3.- Grafico de relación cargador altura Otro criterio es el mostrado en la figura 6.2 , tanto para palas como para cargadores frontales. Ahora la capacidad de la cuchara teorico es: CD Teórico = CD * DLL Donde DLL = Delta de llenado ó grado de relleno cuchara pala, los cuales puede tener los siguientes valores : 0.9 - 0.8 granulometría Buena 0.7 - 0.6 granulometría Regular < 0.5.0 granulometría mala

Sea :

Tc Tvc TD Tc

= Tiempo de carguio = Tiempo de viaje con carga = Tiempo de carguio = Tiempo de viaje vacío Tiempo ciclo trabajo pala = Tc + Tvc+ TD + Tw

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4.2.1.1.-Ritmo de produccion

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El tiempo de ciclo es el tiempo que demora una pala en cargar su cuchara, viajar con ella hacia un equipo ( camión) y retorna al punto de carguío. Si el tiempo de ciclo es muy grande implica una disminución de la productividad y lo contrario si el tiempo de ciclo es corto. Algunos de los factores que condicionan el ritmo de producción son : Destreza operador Angulo de giro de la pala Altura optima pila después de la tronadura Acceso pila de material

OBSERVACION: Existen dos metodologías para evaluar el tiempo de ciclo : Método practico ( toma de tiempo) Método teórico ( James y Russell)

4.2.1.2.-Velocidad de maniobra de la pala ( vm )

VM = 3.600 * Kg Tc

[ BALDADAS HRS

]

Donde VM = Velocidad de maniobra de la pala [ Baladas / Hr] Kg = Factor de giro de la pala: < 1.0 Cuando ángulo giro >90 = 1.0 Cuando ángulo giro =90 >1.0 Cuando ángulo giro >90 La velocidad de maniobra corresponde al ritmo de trabajo que lleva una pala mecánica por hora efectiva. Esta velocidad es sensible al tiempo de ciclo de trabajo de la pala y al ángulo de giro. 4.2.1.3.-Carga horaria para una pala ( qh )

Donde Vc = Volumen cuchara en mt3 VM = Velocidad de maniobra para [ Baldadas / Hra]

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QH = VM * Vc[ mt3 / Hr ]

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Despejando de la ecuación anterior de velocidad de maniobra, se tiene: QH = 3600 * Kg * Vc T ciclo

4.2.1.4.-Rendimiento horario ( rh )

RH = QH * De [ Tons/ Hra. ] Donde De = Densidad Esponjada [ Tons/ mt3 ] 4.2.1.5.-Rendimiento por turno ( rt ) RT = RH * N * ƒ r * ƒ d [ Ton/ turno] Donde RH = Rendimiento horario N = Numero de horas / turno ( 8- 12 hrs). ƒt = Factor de utilización turno o horas efectivas de trabajo de un turno descontando los tiempos de entrada , salida y colación. ƒd = Factor de disponibilidad o horas de disponibilidad de un equipo descontando horas de mantención programación y panas inesperadas.

4.2.2.-Camiones Características : a. Marca existentes en la minería nacional: Minas a Cielo Abierto de bajo perfil ( HB = 5-10 mts) Camiones de 0 a 100 tons Minas a Cielo Abierto de gran perfil ( HB= 10 - 12 mts) Camiones de 120 a 240 tons Marcas :

- Euclid - Wabco - Terex

- Caterpillar - Lectra Hauld

Ancho del camión Îancho del Banco Largo del camión Î espacio de maniobra Altura del camión ÎVisibilidad de la huella Camiones pueden transitar por terrenos escarpados con pendientes de 2% a 12% Facilidad de desplazamiento por zonas curvas

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b. Geometría de los camiones

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Por el tamaño de la tolva del camión, no interesa en mayor grado la granulometría del material a transportar ( estéril o mineral) Luz del camión con respecto al piso ( 50-80 cm) Angulo de giro de la tolva del camión ( 45-50 grado) Desventajas de los Camiones: 1. Mantenimiento de huellas; regadío constante, diseño de huellas, limpieza constante de huellas, problemas de seguridad. 2. Consumo de Neumáticos ( 6-8 meses de vida útil) 3. Exige diseño de rampa para pasar de un Banco a otro 4. Eventual adiestramiento del operador y del equipo de mantención

4.2.2.1.- Determinacion de la productividad de los camiones (p)

P = 3600- Cm Tciclo

( ton/hr)

Donde Cm = Capacidad del camión ponderada por un grado de relleno

La capacidad real del camión estará dada por: Cm= Cm* * DLL

Donde : Cm* = Capacidad de relleno del camión (ejemplo 120 tons) DLL = Grado de relleno que depende de la granulometria (resultado de la tronadura) 0.90 -0.75 para granulometría buena 0.75 -0.60 para granulometría regular Cm = Capacidad Real.

En forma paralela para lo definido en tiempo de ciclo para palas; se tiene Tiempo de ciclo = Tciclo = Tc + Tvc + TD + Tv v ( seg )

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4.2.2.2.-Tiempo de Ciclo Camiones

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Este Tiempo de ciclo tiene el carácter de variable aleatoria y depende de: Velocidad de transito con carga ( 20-40 Km/hr) Velocidad de transito vacío ( 40-50 Km/hr) Perfil de la mina: longitudes de los tramos pendientes de los tramos. Peso especifico del material Condiciones de trafico y transito En otras palabras, el Tciclo para camiones se puede definir; Tcilo : Tiempo carguio + tiempo viaje cargado a los puntos de descarga ( Chancado, Botadero, Stock) + retorno vacío a la pala + maniobra en la pala y en la descarga Observación: Tiempo de ciclo de los camiones admite un estudio estadístico, es posible en algunas operaciones a cielo abierto se observe en el carguio un tiempo de espera, este tiempo dependerá de la asignación dinámica de camiones a palas 4.2.2.3.- Calculo de los tiempos 1 Tiempo de Carguío (TC ) Depende de: Tiempo ciclo trabajo de la pala ( Tciclo pala) Número de ciclo a ejecutar por la pala para cargar un camión (Nc) TC

= Tciclo pala * Nc

Pero Nc = Capacidad del camión ( ton) Capacidad cuchara pala ( ton)

2.-Tiempo de viaje con carga: V

= Distancia Tiempo

Î

Tiempo = Distancia Velocidad

Tvc = D1 + D2 + ….................+ Dn V1 V2 Di Vi

( seg )

Donde: Vi = Velocidad con carga para cada tramo del perfil de transporte.

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Tvc =

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3 Tiempo de viaje vacío ( Tvv) Tvv =

Di ( seg) Vi *

Donde Vi * = Velocidad sin carga para cada tramo del perfil de transporte. 4 Tiempo de Descarga (TD) TD = (TD * + Taculatamiento) (seg ) Donde: TD * =

Tiempo neto de descarga

5 Otros Tiempos Tiempos de Espera Tiempo por condiciones de trafico

OBSERVACIONES: Este tiempo ciclo estimado de la forma indicada es valido tanto para el transporte de mineral como estéril. A este tiempo de ciclo debe sumarse un tiempo por condiciones de trafico y transito. Tanto en el carguío como en la descarga, se debe considerar los respectivos tiempos de espera y aculatamiento.

4.2.3.-Perforacion En el caso de la perforación tendremos que diseñar la malla de perforación, la cual podrá estar definida como un global en el caso de no discriminar sectores específicos de la explotación, o podrá definirse una malla particular para cada caso existente (mineral, estéril, sectores conflictivos, pre corte, bancos dobles, etc.). Recordemos que sobre la base del tipo de roca a perforar determinaremos el tipo de perforación más adecuada.

1.-

Diámetro de perforación.

2.-

Burden.

3.-

Espaciamiento entre tiros.

4.-

Disposición espacial relativa de los tiros.

5.-

Ángulo de inclinación de los tiros.

6.-

Largo de perforación (altura de banco + pasadura).

Definido el diámetro deberá determinarse (bajo criterios teóricos y/o empíricos) el burden y espaciamiento. Además debemos determinar la disposición espacial de los tiros, con lo cual quedará definida nuestra malla de perforación.

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Cualquiera sea la situación necesitamos definir:

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Definido lo anterior más la longitud de los tiros, se podrá determinar el tonelaje a mover involucrado en la operación de perforación, siendo: Tt

= Tonelaje a remover por cada tiro (toneladas)

B

= Burden (metros)

E

= Espaciamiento (metros)

H

= Altura de Banco (metros)

P

= Pasadura (metros) = Densidad de la Roca (toneladas/m3)

Tmb = Tonelaje a remover por metro barrenado (toneladas) Tap

= Tonelaje a remover por área sometida a Perforación (toneladas)

T

= Tonelaje total por período (toneladas)

Tenemos que: Tt = B x E x H x

(ton)

Con lo cual podremos obtener índices como: Tmb = Tt / (H + P) (ton/mb) Tap = Tt / (B x E) (ton/m2) con lo cual podremos tener una aproximación de: Número de tiros necesarios por período, para cumplir con el programa de explotación de la mina (tiros o perforaciones): Nt = T / Tt (tiros) Metros barrenados requeridos por período, para cumplir con el ritmo de explotación de la mina (metros barrenados): Mbt = T / Tmb (mb) Área sometida a la perforación por período (metros cuadrados): Asp = T / Tap (m2) Para calcular el rendimiento de un equipo de perforación tendremos que determinar: =

Disponibilidad física del equipo de perforación (%).

UTp =

Utilización del equipo de perforación (%).

FOp

=

Factor operacional del equipo de perforación (%).

FR

=

Factor de Roca (%), que castiga la velocidad de perforación en función de la dificultad operacional

que impone la roca.

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DFp

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TDp =

Turnos a trabajar por día en perforación (turnos/día).

HTp =

Horas trabajadas por turno en perforación (horas).

VP

Velocidad de perforación instantánea del equipo (mb/hora), determinada por catálogo.

=

Con estos datos se procede al cálculo del rendimiento del equipo de la siguiente manera: Velocidad real de Perforación: VPr = VP x FR x DFp x UTp x FOp x 10-8 (mb/hra) Rendimiento por Turno: MbT = VPr x HTp (mb/turno) Rendimiento por Día: MbD = MbT x TDp (mb/día) Definiendo los días a trabajar por período en perforación como DPp, se tiene que el número de equipos requeridos para cumplir con la producción es: Nº Equipos = Mbt / (MbD x DPp) Resultado con el cual se realizará un análisis criterioso que permita definir un número entero de equipos para la operación (lo que incluye a los equipos de reserva). Dependiendo del equipo a utilizar tendrá que realizarse el dimensionamiento de equipos auxiliares de perforación necesarios (compresores, remolcadores, grupos electrógenos, etc.). 4.2.4.-Tronadura En el caso de la tronadura tendremos que definir la envergadura de nuestra tronadura, es decir la cantidad de tonelaje a remover por tronadura y la frecuencia con que esta tarea será realizada.

TT

=

Tonelaje total a remover por tronada (toneladas)

T

=

Tonelaje total a remover por período (toneladas)

de lo cual podremos calcular nuestra frecuencia de tronaduras como: FT = T / TT (tron/período) o puede darse el caso que tengamos definido primero la frecuencia de tronaduras y debamos calcular el tonelaje a remover por tronada como:

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Para esto definiremos:

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TT = FT / T (ton/tron) Con TT definido, debemos determinar las características de nuestra tronadura, lo cual se logra conociendo: Φ

=

Diámetro del tiro (metros).Φ

L

=

Longitud total del tiro perforado (metros).

Tac

=

Taco (metros).

Lce

=

Longitud de la columna explosiva (metros).

Vce

=

Volumen de la columna explosiva (metros cúbicos).

Dce

=

Densidad equivalente del explosivo a utilizar en la columna referida a ANFO normal (Gramos/m3).

Cex

=

Carga explosiva por tiro (gramos)

FCt

=

Factor de carga del tiro (gramos por tonelada ligado a un tiro)

Con esto obtenemos: Lce = L - Tac (m) Vce = Φ x (Φ/2)2 x Lce (m3) Cex = Vce x Dce (gr) FCt = Cex / Tt (gr/ton) Con esto tenemos el factor de carga de un tiro particular, el cual no necesariamente representa el factor de carga total de material a tronar (FCT), ya que dentro de un mismo volumen a remover en el polvorazo (tronadura) pueden existir tiros con mayor o menor factor de carga individual, por lo que para definir el factor de carga de la tronada, será necesario sumar los valores de las “cargas individuales” de cada tiro y dividirlas por el tonelaje total a remover en la tronada. FCT = (ΦCexi) / TT (grs/ton)

Teniendo el valor del factor de carga, se puede estimar las cantidades totales de explosivos a utilizar por período y con ello determinar las características del suministro de explosivos (cantidades, frecuencia, almacenamiento, etc.). Otro aspecto importante que deberá considerarse en el diseño de tronaduras, es la cantidad y características de los accesorios de tronadura y el diseño del amarre, con lo cual quedará totalmente definida la operación unitaria. Esto necesidades de la operación. Dentro de algunas consideraciones especiales para tronadura secundaria, se puede mencionar la necesidad de definir las características del material que será considerado como sobre tamaño (colpas o bolones) y la frecuencia de aparición de estas, sobre la base de estudios en terreno o experiencias de otras faenas. Este punto es relevante cuando dicha frecuencia es alta, ya que la tronadura secundaria incrementa los costos globales de tronadura.

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último estará sujeto a las condiciones en que se realicen las tareas de tronadura, pudiendo variar en función de las

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CAPITULO V .- DISEÑO DEL LIMITE FINAL El límite final de una operación a rajo abierto, que en jerga técnica se conoce como pit final, corresponde a la envolvente que encierra el material que es económicamente conveniente extraer. Tradicionalmente el criterio utilizado para obtener dicha pared, es extraer material hasta el punto en que los ingresos marginales de extraer mineral se equilibran con los costos marginales de remoción de lastre. El criterio anterior ha sido utilizado tanto en la metodología manual, como en las técnicas computacionales que requieren de un modelo de bloques conjuntamente con rutinas optimizantes.

A pesar de que el criterio de igualar los ingresos marginales con los costos marginales es universalmente aceptado para problemas de esta naturaleza, en minería a rajo abierto el concepto de costo marginal tiene una connotación distinta. En efecto, el hecho que el recurso minero o yacimiento pueda ser explotado a futuro mediante un método subterráneo, necesariamente involucra introducir al cálculo, un costo alternativo por una eventual explotación subterránea. Así se asegura que la envolvente final obtenida, efectivamente sea la frontera entre un open pit y un método subterráneo. Por otra parte, el hecho que sea necesario remover primeramente lastre para despejar mineral, significa considerar un costo de oportunidad adicional, que implica inmovilizar el dinero invertido en el descarpe. En algunos casos, también es necesario adicionar otro costo alternativo por concepto de activos que pueden tener un uso diferente. La siguiente figura ilustra la situación de considerar una expansión marginal como un proyecto cualquiera en que se exige un VPN 5.1.- Diseño manual El método manual de diseño de rajos demanda una considerable cantidad de tiempo y juicio de parte del ingeniero. El método usual de diseño manual comienza con los tres tipos de secciones verticales 1. Secciones transversales espaciadas a intervalos regulares, paralelas unas con otras, y normales al eje longitudinal del cuerpo mineralizado. Estas permitirán definir la mayor parte del rajo y pueden enumerarse a partir de 1 0 hasta, quizás, 30, dependiendo del tamaño y forma del depósito y de la información disponible. 2. Una sección longitudinal a lo largo del eje longitudinal del cuerpo mineralizado, con el propósito de ayudar a definir los límites de rajo en los extremos del cuerpo mineralizado. 3. mineralizado.

Secciones radiales para ayudar a definir los límites del rajo en los extremos del cuerpo

Cada una de las secciones debe mostrar las leyes de mineral, la topografía de superficie, la geología (si fuera necesaria para establecer los límites del rajo), los controles estructurales (si fueran necesarios para establecer los límites del rajo) y cualquier otra información que permita limitar el pit (por ejemplo, los linderos de la propiedad).

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La razón de stripping se utiliza para determinar los límites del rajo en cada una de las secciones. Los límites, del rajo se colocan en cada una de las secciones, utilizando independientemente el ángulo de talud adecuado para el rajo.

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Figura 5.1.-Definicion de secciones Los límites del rajo se ubican, en la sección en un punto donde la ley del mineral pueda solventar la remoción del lastre situado sobre éste. Cuando se haya trazado una línea para el límite de rajo en la sección, se calcula la ley del mineral a lo largo de la línea y se miden las longitudes del mineral y del lastre. Se calcula la razón lastre-mineral, y se le compara con la razón de despeje de equilibrio para la ley de mineral ubicada a lo largo del límite del rajo. Si la razón de despeje o stripping calculada fuera menor que la razón de stripping permisible, se expande el límite del rajo. Si la razón de stripping calculada fuera mayor, se reduce o contrae el límite del rajo. Este proceso continúa en la sección, hasta que se establece el límite de rajo en un punto donde las razones de stripping de equilibrio y calculadas son iguales. Si se modificara la ley del mineral a medida que se moviera la línea de límite de rajo, también cambiaría la razón de stripping de equilibrio a utilizar.

Los límites de pit se establecen en la sección longitudinal de la misma manera que se hace con las mismas curvas de razones de stripping. No obstante, los límites de pit para la sección radial se manejan con una curva de razón de stripping diferente. La sección radial representa una porción angosta del pit en la base, y una porción mucho más ancha en el intercepto superficial. En el caso de las secciones radiales, las razones de stripping permisibles deben ser ajustadas hacia abajo, antes que se pueda establecer el límite de pit. El siguiente paso en el diseño manual consiste en la transferencia de los límites de pit de cada una de las secciones a un solo plano de planta del depósito. Se transfieren la elevación y la ubicación del fondo del rajo y los interceptos de la superficie de cada una de las secciones. De producirse un cambio de talud de rajo en una sección, también se transfiere su posición.

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Figura 5.2.- Razones de despeje para diferentes leyes de mineral y precios de metal.

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El plano de planta resultante mostrará un patrón bastante irregular de la elevación y geometría del fondo del rajo y de los interceptos de superficie. El fondo debe ser suavizado manualmente, a fin de adaptar la información de las secciones. Comenzando con el fondo de pit suavizado, el ingeniero desarrollará la geometría para cada banco situado en el punto medio, entre la pata del banco y la cresta. El ingeniero expande manualmente el rajo a partir del fondo, utilizando para ello los siguientes criterios: 1. adyacentes.

Es probable que sea necesario promediar las razones de stripping de equilibrio para las secciones

2. Se deben respetar los taludes permisibles. Si se diseña el sistema de caminos al mismo tiempo, se utiliza el ángulo de interrampa. Si el diseño preliminar no mostrara los caminos, la geometría para los puntos medios de los bancos se basará en el talud global más bajo que permita los caminos. 3. Se deberán evitar los posibles patrones de inestabilidad en el rajo. Estos incluirían todos los pandeos presentes en el rajo. 4.

Los patrones geométricos sencillos en cada uno de los bancos hacen que el diseño sea más fácil.

Una vez desarrollado el plano del rajo, se deberán revisar los resultados, a objeto de determinar si se han cumplido las razones de stripping de equilibrio. En el plano del rajo, se puede dividir el pit en sectores y, luego, proceder a revisar la razón lastre/mineral en cada uno de los sectores. Las dos formas de revisión de las razones lastre/mineral, son las siguientes: 1. Se pueden volver a transferir los límites de pit desde los planos de planta a las secciones y, luego, se puede calcular la razón de stripping a partir de las secciones. 2. Se pueden transferir las geometrías de los bancos a cada uno de los planos de bancos individuales. Las longitudes de lastre y mineral se miden a lo largo de la geometría de banco para cada sector. Los resultados para cada uno de los bancos se combinan para calcular la razón de stripping para ese sector. La ley de mineral para el sector es el promedio ponderado (por longitud) de la ley del mineral a lo largo del límite de pit para cada banco.

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Las reservas totales para el pit y la razón de stripping promedio se determinan, acumulando los valores de cada uno de los bancos. En cada banco, se miden las toneladas de mineral por sobre la ley de corte de equilibrio y, se calcula la ley promedio del mineral. También se miden las toneladas de lastre. El total de toneladas de mineral y el total de toneladas de lastre en cada banco, dan como resultado la razón de stripping promedio para el rajo.

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5.2.- Diseños computacionales optimizantes Como pudo apreciarse, el diseño manual de un rajo exige del ingeniero de planificación una participación directa con el diseño y aumenta el conocimiento del ingeniero en lo que al depósito se refiere. Sin embargo, cabe señalar que el procedimiento es engorroso y es difícil de utilizar en depósitos grandes o complejos. Debido a lo extenso del procedimiento, el número de alternativas que se pueden examinar es limitado. A medida que se recopila más información y si se modifica cualesquiera de los parámetros de diseño, podría ser necesario repetir el proceso completo. Otra de las desventajas del método de diseñó manual está en que el rajo puede estar bien diseñado en cada una de las secciones, pero, cuando las secciones están unidas y el rajo está suavizado, el resultado podría no arrojar el mejor pit global. El crecimiento del uso de computadores ha permitido a los ingenieros manejar mayores cantidades de información y de examinar una mayor cantidad de alternativas de pit que las disponibles con los métodos manuales. El computador ha demostrado ser una excelente herramienta para almacenar, recuperar, procesar y desplegar información de proyectos mineros. Se han desarrollado aplicaciones computacionales que permiten liberar al ingeniero de toda la sobrecarga que implica el diseño de rajos. Los esfuerzos en materia computacional pueden dividirse en dos grupos: 1.Métodos asistidas por computadores. Los cálculos son realizados por el computador bajo supervisión directa del ingeniero. El computador no realiza todo el diseño, sino que sólo ejecuta el trabajo de cálculo, siendo el ingeniero el que controla el proceso. A modo de ejemplo, se podría citar la técnica bidimensional de LerchsGrossman y el diseño tridimensional que utiliza un método de expansión de pits incremental. 2. Métodos automatizados. Estos son capaces de diseñar el pit final para un determinado conjunto de limitantes económicas y físicas sin ninguna intervención por parte del ingeniero. Una de las categorías de métodos automatizados contiene las técnicas matemáticas óptimas que utilizan la programación lineal, la programación dinámica o los flujos de redes. Una segunda categoría posee los métodos heurísticos, tales como el método de conos flotantes que produce un pit aceptable, pero no necesariamente uno óptimo. A medida que bajen los costos por concepto de procesamiento computacional, se dispondrá de mejores métodos automatizados. Otra característica que diferencia los tipos de métodos computarizados, es el uso de un bloque, ya sea, completo o parcial, para explotación. En un método de bloque íntegro, cada uno de los bloques es explotado ya sea como una unidad o bien se le deja intacto; en el método de bloques parciales, se puede explotar una porción de cada bloque. Cada uno de los tipos tiene ciertas ventajas: 1. Precisión: Con el uso de bloques parciales, es posible calcular el tonelaje de pequeños volúmenes con bastante exactitud. Mediante el empleo de un método de bloques completos, el tonelaje global del pit puede ser exacto, pero, la precisión es menor cuando se trata de volúmenes más pequeños. 2. Limitaciones físicas: Los taludes de rajo deseados y las geometrías de pit se aproximan mediante bloques explotados. El uso de bloques completos puede dar como resultado paredes de rajo que son inaceptables en función de las operaciones y en materia de estabilidad de taludes. Algunas técnicas de bloques íntegros pueden suponer que el tamaño del bloque es una función del talud del rajo y, algunos otros pueden no permitir la variación del talud en el rajo. Para un pit final diseñado mediante la utilización de bloques enteros, generalmente se hace necesaria la suavización.

Para el diseño de los límites explotables, se deben asignar valores a los parámetros físicos y económicos de cada bloque, así el límite del pit estará representado por el conjunto de bloques que cumpla con el criterio utilizado. En este aspecto, uno de los criterios más usados es el económico, el cual busca maximizar los beneficios de las reservas explotables, de acuerdo a las características técnicas que presente el yacimiento. El material contenido en él o los pits debe cumplir con el siguiente objetivo; no se debe explotar un bloque a menos que éste pueda solventar todos

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3. Costo: Utilizados en forma adecuada, los métodos de bloques enteros han demostrado ser, generalmente, menos costosos en función de costos computacionales que las metodologías de bloques parciales. Como resultado de lo anterior, es posible analizar varias configuraciones de rajos con un método de bloques íntegros, a objeto de obtener una buena base para un análisis de bloques parciales más detallado.

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los costos relacionados con su explotación, procesamiento y comercialización, además del costo del despeje del lastre situado sobre el bloque. Sea cual sea el valor que se le asigne al bloque, este procederá de los valores correspondientes a las leyes medias, por lo que el factor base en la definición es el contenido mineral o ley del bloque, el cual está influenciado a la vez, por el tamaño de éste. En este sentido, uno de los criterios utilizados para definir el tamaño del bloque, es que éste debe ser similar al tamaño de selección, es decir un bloque no debe ser tan pequeño como para ser imposible su explotación en forma separada, ni tan grande como para que las leyes sean suavizadas artificialmente. Es indiscutible que un tamaño de bloque apropiado trae como ventaja la disminución de tiempo requerido para generar la optimización. La mayor restricción para el tamaño del bloque viene determinada por la cantidad de datos existentes para estimar la ley en el bloque. Podemos afirmar por lo tanto, cuanto menor sea el tamaño del bloque, mayor es el error en la estimación de la ley y, consecuentemente, menor será la validez del modelo de beneficios que se aplicará en la optimización. Como regla general, las dimensiones de los bloques debe limitarse al tamaño de la red de sondajes para no alterar el proceso de estimación de leyes. 5.3.-Desarrollo general del proceso de diseño 5.3.1.-Definición de leyes de bloques Los modelos de bloques son ampliamente utilizados en yacimientos metálicos de tipo masivo. Presentan la ventaja de adaptarse muy bien a los métodos de diseño automático de los limites óptimos de los rajos. En estos modelos, mediante un método sistemático de direccionamiento se puede almacenar la información disponible en determinado momento e incrementar este almacenamiento a través del tiempo. Los usos de un modelo de bloques pueden ser diversos, pero se tiene que tener claro que resultaría muy difícil construir un modelo simple que satisfaga todas las necesidades. Un modelo de bloques consiste en una discretización en base a paralelepípedos iguales o con bloques paralelepipédicos con una o dos dimensiones variables. Normalmente, en el caso del método de explotación a cielo abierto, la dimensión vertical de los bloques se hace coincidir con la altura de banco. En general los modelos de bloque permiten a los planificadores de mina, seleccionar en forma efectiva el modelo mas conveniente de extraer el mineral tanto física como económicamente. En los bloques se puede direccionar (almacenar) diferentes tipos de información, como por ejemplo:

Para operaciones pequeñas, en cuerpos mineralizados homogéneos, puede bastar con modelos generados manualmente, pero para operaciones de gran escala se requerirá de métodos de manejo de datos y generación de información mas sofisticados, como un sistema computarizado. Al decidir usar un modelo de bloques, se tiene que considerar los diferentes atributos que pueden ser modelados. Cualquier ítem puede ser seleccionado, dependiendo de cada interés particular. Cada tipo de datos puede requerir diferente formato así como capacidad de almacenamiento por lo que debe planificarse Cuidadosamente la definición de los parámetros. La idea global de modelado de un cuerpo mineralizado está centrada en la división del cuerpo en pequeñas unidades suficientes para producir una adecuada descripción de la realidad. Se debe tener presente que lo que es interesante para un caso puede ser totalmente inútil para otro. De aquí surge el problema respecto del tamaño y forma de bloque mas adecuados.

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Información Mineralógica Información Geológica Información Estadística Información de Producción Información Económica Información Metalúrgica

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Un bloque puede ser definido como el menor volumen básico de material al cual es posible asignar ley, tonelaje y valores geológicos. Algunos parámetros que pueden ser considerados al momento de la determinación de este tamaño básico son: A.- variabilidad de las leyes. En grandes depósitos tipo Pórfidos la distribución del mineral dentro de una estructura de venilla puede enmascarar la verdadera variabilidad de la ley, si se ha elegido bloques muy pequeños. La macroestructura de variación de leyes puede no ser reconocida hasta no considerar un determinado espaciamiento mínimo de muestreo, y resultará inútil el intentar modelar bloques cada vez mas pequeños. B.- Continuidad Geológica de las Mineralizaciones. Algunos depósitos no solo presentan un fracturamiento a pequeña escala, sino que también presentan zonas de tallas y planos de debilidad mayores. Si se quiere conseguir el mejor ajuste posible a los datos disponibles se debe tener presente esta situación al decidir el tamaño de bloque. Debido a la flexibilidad de los bloques pequeños, normalmente, se podrá preparar una mejor secuencia de explotación. C.- Capacidades de equipos- Tiempo- espacio. Aunque en las primeras etapas de la planificación de una mina seguramente los equipos de producción aun no han sido seleccionados, siempre se podrá hacer una adecuada estimación respecto de cual seria el tamaño mas probable de palas, camiones y perforadoras. A partir de esta información, se puede hacer alguna predicción de capacidades básicas de producción referentes a requerimientos de Equipos- Tiempos -Espacios. 5.3.2.-métodos de asignación de leyes La definición de asignación de leyes de bloques, puede ser desarrollada a través de funciones de extensión, cuyo objetivo es estimar y asignar un valor de ley para bloques sin información a partir de bloques que contienen información de ley. Entre las principales funciones utilizadas en modelos de bloques se encuentran: A.- El modelo de la distancia ponderada (clásico) B.- Métodos Geoestadísticos. 5.3.2.1.-El modelo de la distancia ponderada (clásico)

El objetivo del método de la distancia ponderada consiste en asignar un valor a un bloque mediante la combinación lineal de los valores asociados a los puntos próximos. Es decir se consigue dar mayor peso a los valores más próximos del punto de estimación, y menor peso a los más alejados de éste. La fórmula general de estimación es: (Gi / di ) G=

( 1/ di m )

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El método del inverso de la distancia aplica un factor de ponderación a cada muestra que rodea el punto central de un bloque mineralizado. En principio se adopta la hipótesis de que el peso de un dato aislado corresponde a una función inversa de la distancia que está relacionada con el control especifico de la mineralización. Si esta función es conocida podría extenderse valores de diversas variables a áreas no investigadas o muestreadas. Dicho factor de ponderación es el inverso de la distancia entre cada muestra y el centro del bloque, elevado a una potencia n, que suele tomar un valor entre 1 y 3 (3>n>l). Es intuitivo suponer que la influencia potencial de un valor sobre un punto decrece cuando el valor se aleja de dicho punto, el atributo estimado cambiará como una función inversa de la distancia. En otras Palabras, se consigue dar mayor peso a los valores más próximos y menor peso a los mas alejados del punto de estimación. Sólo las muestras que entran dentro de una determinada zona de búsqueda son ponderadas de la citada forma. Puesto que el método es laborioso y repetitivo, la presencia de un ordenador simplifica notablemente su elaboración

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Donde: Gi di m

: : :

Valores conocidos de un atributo (ley). Distancias desde los valores conocidos al punto de estimación. Exponente de la distancia considerada.

De lo anterior se puede inferir que conforme aumenta el valor del exponente, se da mas peso a las muestras más cercanas al punto de estimación. En general los métodos clásicos presentan los siguientes problemas: Son empíricos Demasiado geométricos No consideran la estructura del fenómeno mineralizado. Por estructura entenderemos lo siguiente: i) la continuidad de las leyes: existen casos desfavorables en los cuales las leyes son erráticas y otros más favorables en los cuales las leyes son regulares. ii) la posible presencia de anisotropías, es decir direcciones en las cuales la variación de leyes es privilegiada Los métodos tradicionales de estimación no proporcionan el error asociado a la estimación; entregan un único valor, por ejemplo z = 1.2% Cu. Sea z, la ley verdadera desconocida de S. Seria interesante poder escribir una ecuación del tipo: ZS = zs ± error La magnitud del error nos cuantificaría la calidad de la estimación zs y nos indicarla la necesidad eventual de hacer más sondajes. En general estos métodos presentan un fenómeno conocido como "sesgo condicional", el cual se traduce en la práctica por una sobreestimación de las leves altas y una sub-estimación de las leyes bajas. 5.3.2.2.- Métodos Geoestadísticos.

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Por la importancia de los métodos geoestadistico estos se trataran en al Anexo 1 mas completamente

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5.4.-Estimación de la ley de corte crítica, para el diseño de una explotación a cielo abierto. 5.4.1.-Metodos de beneficio nulo 5.4.1.1.-Determinacion de leyes de corte con categorizacion de costos de explotacion La definición de los límites económicos de explotación de un rajo, se basará en un modelo económico de beneficio nulo al extraer la última expansión marginal. Esquemáticamente lo podemos ver en la siguiente figura:

E1 E2

M1 M2 B=I-C B: I: C:

Última expansión marginal

Beneficio neto esperado de la última expansión marginal Ingresos por venta del producto Costos para obtener el producto

Sabemos que la extracción de M1 nos ha reportado beneficios mayores que cero, la pregunta es: ¿La extracción de M2 nos reportará un beneficio mayor que cero?. Si así fuese significaría que M2 por sí solo permite la extracción de su estéril asociado E2, así como M1 logró pagar los costos asociados a la extracción de E1. El asunto ahora es evaluar si vale la pena extraer la lonja adicional o la que llamamos la última expansión marginal. Teniendo en cuenta lo anterior y recurriendo al formulismo se tiene que:

B1 = I1 - C1 > 0 con lo que aseguramos que efectivamente el rajo se explotará inicialmente con esos límites

Debemos comprobar ahora si es conveniente realizar o no la expansión marginal, entonces si:

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B2 = I2 - C2 > 0 se asegura que la última expansión marginal se explotará ampliándose los límites iniciales del rajo

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B2 = I2 - C2 < 0 se asegura que la última expansión marginal NO se explotará y el límite de la explotación queda definido por la explotación de M1

Este modelo permitirá obtener las líneas finales de nuestro rajo en una zona tal que el estéril es pagado única y exclusivamente por el mineral sin que se produzcan pérdidas ni ganancias, en función de las variables y costos estimados para la futura explotación. Bajo el concepto de Beneficio nulo (o que el ingreso que se perciba al explotar un cierto tonelaje de mineral sea igual al costo asociado a ello), el balance para una tonelada de mineral (UT) que se encuentre expuesta, es decir sin estéril asociado, es el siguiente: Ingresos por Venta = Costos de obtención UT * CEI * R * P = UT * CM + UT * CP + UT * (CEI * R * CR) CEI * R * (P - CR) = CM + CP CEI R P CR CM CP

: : : : : :

Contenido de la Especie de interés en el mineral (o Ley en unidades convenientes). Recuperación Total Metalúrgica. Precio de venta de la unidad de la especie de interés. Costo de Refinería. Costo de Extracción del mineral en la Mina. Costo Proceso del mineral.

Esta expresión da origen a la siguiente fórmula para la determinación de la ley de corte crítica: Ley de Corte Crítica = (CM + CP) / (RM x (P - FyR)) Debemos tomar en cuenta que tanto el costo mina como el costo planta varían durante la vida de la explotación, ya que la distancia de transporte tanto para el mineral como para el estéril son variables y el tratamiento del mineral en la planta varía dependiendo de las características del mineral que es alimentado, las cuales pueden variar dependiendo de la profundidad en la cual nos encontremos explotando, por lo que en ambos casos se debe ocupar la mejor estimación posible en función del criterio y experiencia del encargado de realizar el diseño del rajo. La expresión inicial para la Ley de Corte Crítica puede expresarse de la siguiente manera al incluir las unidades y en el costo mina considerar el costo de capital:

En esta expresión se considerarán como Costos de CATEGORÍA I, a los costos en US$/Ton de material movido relacionados con la extracción del mineral, es decir los costos Mina, que incluyen los siguientes procesos: * Como Costos Directos (CM): Perforación. Tronadura. Carguío. Transporte.

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Ley de Corte (%) = ((CM + CC) + CP) x 100 / (2204.6 x RM/100 x (P - FyR))

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Servicios de apoyo Mina. Administración. * Además se maneja como un Costo a la Depreciación (CC). La suma de estos valores CM + CC conforma la CATEGORÍA I. Se considera como Costos de CATEGORÍA II, los relacionados con el proceso del mineral (CP) y se expresa en unidades de US$/Ton de Mineral tratado. Además se incluyen costos administrativos (en las mismas unidades). Cabe notar que la depreciación de las instalaciones de la planta está incluida dentro del costo de proceso. Se considera como Costos de CATEGORÍA III, los relacionados con la venta del producto (FyR), en el cual se incluyen el transporte, seguros, créditos, refinería, etc. y se expresa en unidades de US$/lbCu. De este modo podemos resumir la expresión de Ley de Corte Crítica como:

Ley de Corte Crítica % =

(CATEGORÍA I + CATEGORÍA II) x 100 2204.6 x RM/100 x (PRECIO - CATEGORÍA III)

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La sensibilidad del valor obtenido dependerá directamente de la variabilidad del mercado (precio del metal de interés y en cierta medida el precio de los insumos), ya que en cuanto a costos por lo general se cuenta con una estructura definida por la experiencia en otras explotaciones y las estadísticas mineras (considerando cierta estabilidad en el precio de los insumos y recursos), y acerca de la recuperación metalúrgica podemos decir que es muy poco variable por ser un producto de estudios definidos.

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5.4.1.1.1.-Ejemplo de aplicación CATEGORÍA I: 1) Costo directo Mina: Costo de Perforación Costo de Tronadura Costo de Carguío Costo de Transporte Costo de Servicios Costo de Administración Mina Prevención de Riesgos, Recursos Humanos, Administración, Servicios Médicos, etcétera TOTAL COSTO DIRECTO MINA 2)

Depreciación de los equipos mineros TOTAL CATEGORÍA I

US$/Ton Mat. US$/Ton Mat. US$/Ton Mat. US$/Ton Mat. US$/Ton Mat. US$/Ton Mat.

0.89

US$/Ton Mat.

0.50

US$/Ton Mat.

1.39

US$/Ton Mat.

4.40

US$/Ton Min.

Costo Gerencia General: Costo Administración Central

0.90

US$/Ton Min.

TOTAL CATEGORÍA II

5.30

US$/Ton Min.

CATEGORÍA II: 1) Costo tratamiento del Mineral: Costo Procesamiento de Mineral 2)

0.04 0.07 0.11 0.28 0.18 0.21

CATEGORÍA III: 1) Costo transporte, puerto, créditos, seguros, tratamiento por fusión y/o refino, etcétera: TOTAL CATEGORÍA III 0.38 US$/lb Cu Recuperación Metalúrgica : 90 % Precio del Metal : 1.10 US$/lb Cu Ley Crítica % =

de

Corte

(CATEGORÍA I + CATEGORÍA II) x 100 2204.6 x RM/100 x (PRECIO - CATEGORÍA III)

= 0.47 %

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Para el caso anterior podemos observar que para un mismo modelo de costos y condiciones metalúrgicas se obtienen los siguientes resultados para distintos precios del metal:

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TABLA EJEMPLO Precio Metal US$/lb Cu 1.25 1.20 1.15 1.10 1.05 1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65

Ley de Corte Crítica % 0.39 0.41 0.44 0.47 0.50 0.54 0.59 0.65 0.72 0.80 0.91 1.05 1.25

Para cada uno de estos precios se considerará como recurso explotable o Mineral todo aquel material que tenga una ley igual o superior al de la ley de corte crítica correspondiente, por lo cual se tiene que a un mejor precio se hace rentable o beneficioso la extracción y procesamiento de una mayor cantidad de recursos. Esto tiene directa relación con la vida útil de la mina. Esta variación se traduce en una variación de los recursos explotables por el proyecto, por lo que resulta muy importante la estimación del modelo económico para el diseño de una explotación a rajo abierto, por la notable sensibilidad del recurso ante la variación del precio del producto. Debemos considerar que aún no tenemos la información referente al tipo de yacimiento y a la distribución de las leyes en él, por lo que es necesario realizar una inventario de reservas, el cual nos permitirá definir el grado de sensibilidad del diseño en función de los indicadores económicos del modelo.

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Este inventario de reservas da origen a las curvas de Tonelaje v/s Ley (de corte y media) y la variación de recursos explotables se puede determinar del análisis de dichas curvas, las que se describen a continuación.

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5.4.1.2.-Leyes de corte en funcion de la ecuación caracteristica de la mina Estudio de Costo Mina Considerando costos variables a largo plazo, tenemos: Costo total mina, en función de la tonelada mineral húmeda. CM (US$/T.M.H.) x Tm = a*Tm + b*TL + d*Tm CM (US$/T.M.H.) = a + b TL + d Tm

1/Tm

(Ec 1)

(Ec 2)

CM = (a + d) + b * R

(Ec. 3)

Donde: a = Costos unitarios de explotación de 1 tonelada húmeda de mineral en (US$/T.M.H.) b = Costos unitarios de extracción de 1 tonelada métrica húmeda de estéril, (en US$/T.M.H estéril) d = Costos unitarios generales (US$/T.M.H. mineral), que se considerará variable a largo plazo. Tm = Toneladas métricas húmedas de mineral, extraídas de la mina. TL = Toneladas métricas de lastre extraídas de la mina. R = Razón lastre a mineral extraído (razón de remoción). C.M = Costo unitario mina en (US$/T.M.H), cargado al mineral.

Costo total en función de la libra de cobre fino contenido y recuperada. CM (US$/lb.Cu) * Wo(T.M.S.Cu) . F(lbs/T.M.) = a * Tm + b * TL + d * Tm CM . (Tm * Lm * H * r) * F = a * Tm + b * TL + d * Tm (Ec. 4) CM = (a + d) + Rb (US$/Lb Cu.) F.Lm.H.r Donde: F = Factor de conversión de 1 T.M. en libras = 2204,621 (lbs) H = Factor de humedad (contenido neto de sólido); en tanto por uno. r = Recuperación o extracción de fino en el mineral, en tanto por uno. Lm = Ley mineral. 4.3.2 Costos Unitarios de Proceso Planta A largo plazo los costos son variables: Costos en función de la T.M.H. de mineral procesado. (Ec. 5)

Costos en función de la T.M.S. de cobre fino obtenido; Fino (T.M.S.) Gastos : G (US$) = (B +

) * Tm

Si Cp

Entonces:

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(US$/T.M.S.Cu).

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Cp (US$/T.M.H) = Gasto (US$/T.M.H.) Tm

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Cp . Fino (B + ) * Tm Cp . (Tm.Lm.rT.H) = (B + ) * Tm CP = B+ (US$/T.M.S Cu) H.rT.Lm

(Ec. 6)

Costos en función de la libra de producto contenida de mineral. CP =

B+ FrT Lm.H

(US$/lb Cu*)

Ec. Nª 7

Donde: Gastos = US$ totales gastados en cierto período Tm = Toneladas métricas húmedas de mineral procesado de minas en el período considerado para gastos. B+ = Costos unitarios (US$/T.M.H.), variables y fijos producidos por procesar una tonelada de mineral (a largo plazo, se considerará variable). Relación entre diferentes productos y leyes.

A.

Fino total contenido, del mineral extraído de la mina. Fino total = Tm * Lm * rT * H

Donde: Tm = Toneladas métricas húmedas de mineral, extraídas de la mina. rT = Recuperación total, resultante de todos los procesos, a que está sometido el mineral (lixiviación, electrólisis, Fundición, etc.) Lm = Ley total de mineral (contenido de mineral en la mina). H = Factor correctivo por humedad (contenido real, seco de mineral).

B. Fino contenido en un producto ya procesado en una de las plantas: Fino Total = Wx * hx * rx * Lx Donde:

El producto total final obtenido, será igual al mismo en ambos casos. Fino a recuperar de un producto procesado = Fino a recuperar de un mineral extraído de la mina. Wx * Lx * rx * hx = Tm * Lm * rT * H Wx * Lx * rx * hx = Tm * Lm * rT * H Wx = rT * Lm * H * Tm rx Lx hx

(T.M.H.Producto)

75

(Ec. 8)

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Wx = Toneladas de producto húmedo semi-elaborado (por ejemplo en lixiviación: toneladas de cemento o precipitado). rT = Recuperación total = rL * rE * rF (Recup. lixiviación x recup. refinación x recup. fundición). rx = Recuperación total probable que puede resultar de los procesos restantes o subsiguientes del producto obtenido, como ser electro-obtención y fundición. hx = Factor de humedad contenida en el producto. Lx = Ley del producto

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Finalmente si se quiere obtener un producto semielaborado (como cemento de cobre) las fórmulas de costo mina y procesos serán: CM(US$/T.M.S) Prod. Gastos (US$) = Tm (a + d) + b * TL Gastos (US$) = CM * Wx * hx

igualando tenemos: CM . Wx . hx = Tm (a+d) + b * TL CM ( rT * Lm * H * Tm) hx = Tm (a + d) + b * TL Rx Lx hx CM = (a + d) + Rb H .* rT * Lm rx Lx Considerando TL = R (Razón Lastre a mineral) Tm Por tanto: CM (US$/T.M.S.) Prod = ( a + d) + Rb H * Lm * rT

(Lx * rx)

Esta misma ecuación, en función de una libra de producto, sería: CM (US$/Lb.Prod) = (a+d) + Rb (Lx * rx) F*H*Lm*rT donde : F = 2204,621 (lbs/ton), factor de conversión de tons. a libras Análogamente, el costo unitario de proceso planta será: CP(US$/T.M.S)Prod = ( B + ) (Lx * rx) H*rT*Lm

O también: Cp (US$/Ib.Prod) =

(Lx * rx) (B + ) F*H*rT*Lm

Entonces: Lx = L Lix ; Ley del precipitado rx = rE * rF. Recuperaciones a obtener en los procesos restantes, electrorefinación y fundición. Recordando que: rT = r Lix * rE * rF

entonces:

76

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Un caso particular, en el presente trabajo, el producto a obtener y vender es precipitado, producto de lixiviación.

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Costos Mina CM(US$/T.M.S.Precipitado) =

(a+d) + Rb * Lx H * Lm * r Lix

(Ec. 9)

Costos Planta Cp(US$/T.M.S.Precipitado) =

B+ * Lx H*Lm*rLix

(Ec. 10)

Costos Administración general empresa, comercialización y otros. Gastos Financieros Estos costos se cargan al producto obtenido, si la meta es Cte. C . AD = GASTOS (US$) T.M.S.Producto C . AD =

(Ec. 11)

G Wx * hx

Si la meta de producción es variable, copando la capacidad de planta, entonces este rubro variará con la ley. C.AD (US$) TMS

= G(US$/T.M.H.) min * Lx H*Lm*rLix

(Ec. 12)

p

4.3.5. Costos Fletes a centros de compra y ventas. CF= f * K (US$/T.M.S.Prod) CF= f * K (US$/Lb Prod) F

(Ec. 13) (Ec. 14)

Donde: f = (US$/T.M.Km) K = distancia en Km F = Factor de conversión de T M. a Lbs Ecuación total de costos. La adición de todas las expresiones parciales de costos, nos determina nuestra ecuación total de tal forma que: CT = C.Mina + C.Planta + C.Administrativos + C.Fletes.

C.T. = [(a+d) + Rb (rLix HLm )

+

(B + ) + G(US$/TMH)min] x Lx + (f*K) (US$/TMS Prod) (rLix*H*Lm) (rLix*H*Lm) (Ec. 15)

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Substituyendo, obtendremos nuestra expresión literal de costo total, entonces:

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+ G(US$/TMH)min] x Lx + (f*K) (US$/TMS Prod) C.T. = [( a+d) + Rb + (B + ) (F*rLix HLm ) (F*rLix*H*Lm) (F*rLix*H*Lm) F (Ec. 16) El criterio de la ecuación característica permite determinar una política de leyes de corte, en función de curvas iso razón lastre mineral figura

5.4.2.- Política de leyes de corte considerando el costo de oportunidad La planificación de explotación minera, por lo general contempla una serie de actividades secuenciales, que parten desde una estimación de reservas hasta llegar al establecimiento de un plan minero. Una vez que se dispone de un inventario tridimensional de reservas, se debe establecer los límites económicos finales de la explotación, los cuales definen una envolvente final que determine los contornos, hasta donde es conveniente extender la operación minera.

Cuando el tamaño del depósito está determinado y se ha definido la envolvente final y la secuencia de explotación, existe una variable de decisión que dice relación con el tiempo requerido para consumir el depósito; dicha variable es la ley de corte que define como mineral a aquel material que al momento de ser extraído incrementa el beneficio neto actualizado de la operación. Esta definición incorpora el tiempo en la decisión, pues un material puede ser clasificado como lastre bajo una determinada secuencia; sin embargo al cambiar la secuencia; y por ende el tiempo en que es extraído, puede que su categorización también cambie.

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Conocido los límites finales de la explotación, es necesario establecer cual es la mejor estrategia para alcanzar este límite. La obtención de esta secuencia tiene un fuerte impacto en el valor presente del negocio y su búsqueda es un asunto complejo que requiere un análisis individual de alternativas. La idea es ir consumiendo el depósito de manera tal que se logre un incremento en el valor presente por cada unidad consumida.

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Los costos que debe cubrir la ley del material para ser clasificado como mineral, son los costos marginales directos más el costo de oportunidad que significa postergar el resto del yacimiento, en el tiempo que toma procesar dicho material. El costo de oportunidad disminuye a medida que se consume el depósito, por lo cual la política de leyes de corte varía con el tiempo, significando leyes decrecientes en el horizonte de explotación. Una metodología que permite optimizar la ley de corte de un depósito previamente acotado y que considere el costo de oportunidad mencionado, es la propuesta por K. F. Lane. 5.4.2.1.- Descripción del modelo de lane El propósito de este modelo es satisfacer la necesidad de contar con un medio que muestre los cambios producidos en ciertas variables críticas, particularmente debe ser capaz de calcular los efectos de los cambios en la ley de corte, en el flujo de caja de la operación minera. En su trabajo, Lane considera básicamente 3 aspectos: Distribución tonelaje - ley Etapas en el proceso: mina - tratamiento - mercado Economía del complejo minero. Además el material disponible para la explotación, debe presentar las relaciones existentes entre las leyes de corte y la ley media del material (curva tonelaje ley) que se encuentran sobre la ley de corte para cualquier fracción del depósito. La etapa mina debe ser considerada como el conjunto de operaciones que se realizan para acceder y extraer el material mineralizado. Aquí los costos son expresados en unidades monetarias por tonelada de material. La etapa de tratamiento debe entenderse como todas aquellas operaciones que trabajan directamente con el mineral, desde la preparación del mineral, hasta la obtención del concentrado o producto intermedio. Los costos del concentrado en unidades monetarias por tonelada y la capacidad máxima esta determinada por el flujo de mineral que las instalaciones puedan manejar. La etapa de mercado, comprende aquellas operaciones de fusión, refinación y comercialización del producto final. Los costos incurridos son por unidad de producto y la capacidad está impuesta por la refinería o las ventas. Hay que identificar tres elementos, relacionados a las tres etapas del proceso minero. TABLA : ETAPAS DEL PROCESO MINERO Etapa Proceso Mina Concentrador Mercado

Elemento Material Mineral Producto Final

Mineral: Comúnmente llamado componente de proceso. Esta relacionado con todas las etapas por donde circula el mineral hasta convertirse en producto intermedio. Producto:Llamado componente de mercado, ya que es el producto final que se comercializa. Como se trata de definir la ley de corte óptima, se debe elegir algún criterio económico que permita medir cual es la mejor de un conjunto que sea posible de definir de acuerdo a las restricciones de capacidad impuestas.

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Material:Comúnmente llamado componente minero, esta referido a las etapas de desarrollo y explotación.

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Según Lane, el criterio económico más aceptable esta entre los siguientes: Beneficios máximos totales. Beneficios máximos actualizados. Beneficios máximos inmediatos. De los criterios anteriores, son el beneficio máximo actualizado el que entrega el óptimo económico es por lo tanto el mejor criterio económico a utilizar, dejando de lado cualquier consideración. Al suponer tres etapas y que cada una de ellas limita por si sola la capacidad productiva de la operación, se está en el caso más simple, en que una etapa completa su capacidad de tratamiento y los 2 restantes aún tienen holgura. En tal caso, se podrá obtener cual es la ley de corte que optimizase el beneficio al estar aquella etapa limitando el proceso, estas leyes reciben el nombre de leyes económicas limitantes. TABLA: ETAPAS LIMITANTES. Etapa Limitante Mina Concentrador Mercado

Maximizar Unidad Extraída Unidad Tratada Unidad Vendida

El método además considera tres leyes que equilibran la operación de dos etapas a la vez, vale decir: Equilibrio Operación Mina - Concentrador. Equilibrio Mina - Refinería. Equilibrio Concentrador - Refinería. Estas leyes denominadas leyes de equilibrio, son las que equilibran las capacidades limitantes de cada par de etapas. Son independientes de la economía y directamente determinada por la distribución de la ley del cuerpo en estudio. Entre las seis leyes definidas y obtenidas se encuentran la ley de corte del yacimiento, que será aquella que, tomando en cuenta las capacidades limitantes, permita al complejo minero obtener un beneficio máximo. Se evidencia que la elección de la ley de corte, es una decisión de mucha trascendencia económica, y no debe ser tomada de fórmulas simples que desconozcan cada una de las etapas del proceso productivo. En efecto, la ley de corte óptima está influenciada por la economía del valor presente, que considera el valor del dinero en el tiempo, las capacidades de las etapas, que se puedan definir en la operación minera y la distribución, magnitud y duración de las reservas del yacimiento.

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Al respecto Lane, demostró la necesidad de concebir una ley de corte variable y decreciente en el tiempo, concluyendo que la definición de una ley de corte es una tarea compleja que involucra considerar, una estrategia de consumo de reservas, y que es preciso contar con un criterio económico para la elección de dicha ley siendo más adecuado maximizar los beneficios netos actualizados de la operación.

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5.4.2.2.-

Formulación matemática del modelo. El modelo considera básicamente 3 etapas o procesos: A.- Mina B.- Concentrador C.- Mercado o Refinería

Cada una de estas etapas poseen capacidades máximas dadas y costos unitarios constantes en el tiempo, se tienen además costos fijos y totales, precios de venta de producto final y una recuperación metalúrgica global. TABLA: VARIABLES ASOCIADAS AL MODELO MINERO. ETAPA

MATERIAL

CAPACIDAD

COSTOS UNITARIOS

M C R

m c r

MAXIMA

Mina Concentrador Refinería Otros Factores:

Mineral Concentrado Producto f : y : s :

Costos Fijos. Recuperación. Venta Productos.

La definición de cada una de estas se verán a continuación en detalle: M: Capacidad máxima de producción de material por período. Recordando que se entiende por material tanto el estéril como la mena dentro del depósito minero. C: Producción máxima de mineral por período. Recordando que se entiende por mineral como el material enviado al concentrador. R:

Máxima cantidad de producto final a comercializar por período de operación.

m: Costo mina por unidad explotada. Se entiende que son los costos unitarios que provienen de la explotación del material, sin importar si es estéril o mineral. Para el caso de minería a cielo abierto los costos unitarios de extracción son aquellos originados de las operaciones básicas de método que son la perforación, tronadura, carguío, transporte, muestreo minero, etc. En el caso de la minería subterránea incluye todos aquellos costos ocasionados en crear accesos a más material dentro del depósito tales como: profundización de piques, cierto tipo de muestras, labores de ventilación, construcción de galerías, etc. En sí implica todos aquellos costos de desarrollo. c: Costos de proceso, costos por unidad de mineral. Los costos unitarios incluyen todos los costos adicionales incurridos por el mineral. Para la minería a rajo abierto incluye el chancado, molienda, flotación/lixiviación, muestreo de control, etc., también considera el transporte de mineral si es llevado más allá del estéril. En minería subterránea sin embargo, los costos del mineral incluyen los costos de perforación, tronadura, arrastre de mineral, carguío y transporte.

f: Costos fijos por período. Los costos fijos incluyen aquellos costos producidos por la venta, administración, mantención de caminos y edificios, que son independientes de los niveles de producción. Existen también otros costos de tipo económicos, como depreciaciones, seguros etc.

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r: Costo de venta, costo por unidad de producto. Los costos unitarios del producto, incluyen aquellos costos en que se ha incurrido en las etapas de producto y venta, tales como fundición, electro-obtención, dotación, embalaje, seguros, etc.

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s: Precio de venta por unidad de producto. Este precio es una cifra total, siempre y cuando incluya a todos los cargos por venta al costo por unidad del producto. Si no son así estos deben ser deducidos del precio de venta del producto. y: Recuperación metalúrgica del proceso. La recuperación es una cifra total para el concentrado y la refinería. Es el producto mineral final, como una proporción del contenido de este en la alimentación. Con el objeto de explorar la influencia de la ley de corte en la economía de la operación se deben considerar algunas ecuaciones básicas como las de costo total e ingresos a partir de las cuales se deduce la fórmula para el valor presente, y de estas últimas se obtienen las leyes de corte óptimas de límite económico para cada unidad productora. Costo Total: Tc = m * Qm + C * Qc + r Qr + f * t

(3.6.1)

Renta o Ingreso Bruto: R = s * Qr

(3.6.2)

Por lo tanto la expresión de beneficio "B" esta dado por: B = R - Tc = ( s - r) * Qr - c * Qc - m * Qm - f * t

(3.6.3)

Donde: B t Qm Qc Qr

= = = = =

Beneficio económico durante el período t. Período en el cual se hace la evaluación. Cantidad de material a extraer en el período t. Cant. de material clasificado como mineral y que es tratado en el período t. Cantidad de producto obtenido en el período t.

Como el objetivo es maximizar el valor presente de los beneficios generados por la operación. Se requiere de una expresión que permite calcular dicho valor presente debido a la explotación de la porción Qm en el período t. Sea V, el valor presente máximo de los beneficios futuros generados por la explotación del yacimiento completo, W el valor presente máximo posible de los futuros beneficios generados por la extracción del material posterior a Qm (actualizado al fin del período t) descuento utilizado.

V = B + W (1 + d) t

(3.6.4)

En que d es la tasa de interés considerada. Desarrollando la expresión anterior se tiene:

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La ley de corte aplicable a Qm debe ser tal que el valor presente del beneficio que la explotación de Qm más el valor presente de W sea máximo.

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B

+ W = V (1 + d)t

(3.65)

Aplicando la expresión binomial al término (1 + d)t se obtiene el siguiente arreglo: (1 + d)t = 1 + t * d + t * (t - 1) d2 + t * (t - 1) * (t - 2)d3 +... 2! 3!

(3.6.6)

Para t pequeño, se puede aproximar a: ( 1 + d) t

1 + t * d

(3.6.7)

Reemplazando este arreglo en la ecuación anterior se tiene: W + B = V (1 + t * d) ó v = V - W = B - V * t * d

(3.6.8) (3.6.9)

v : Corresponde a la expresión del incremento al valor presente debido a la exploración del siguiente Qm. Reemplazando (3.6.3) en (3.6.9), se tiene: v = (s - r) + Qr - c * Qc - m * Qm - (f + d * V) * t

(3.6.10)

Donde el término d*V puede ser considerado como el costo de oportunidad de extraer leyes bajas, cuando aún es posible extraer leyes altas. Luego se busca maximizar, además del beneficio periódico, el beneficio total. De la expresión (3.6.10) se deben hacer 2 importantes observaciones: La ecuación involucra un valor V, que es desconocido. De hecho este es el valor presente máximo de los beneficios futuros de la operación, el cual sólo se puede conocer su magnitud cuando se ha seleccionado la ley de corte óptima. En la práctica se hacen estimaciones sucesivas de V. Esta expresión es validada si V depende de las reservas, pero no del tiempo. Esto equivale a asumir precios y costos constantes. En condiciones de inestabilidad, el valor presente de las reservas pueden cambiar con el tiempo y toda la teoría puede llegar a ser más compleja. 5.4.2.3.-Leyes de corte económicas limitantes

a.- MINA LIMITA OPERACION. Si la mina define el ritmo de explotación, el período t está dador por: t

= Qm M

(3.6.11)

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Considerando la expresión (3.6.3) que ha de ser máxima se ha de obtener una estrategia óptima de operación para unos recursos finitos, y con la expresión (3.6.10), que relaciona los flujos de caja con las leyes de corte es posible encontrar una expresión para determinar una ley de corte óptima cuando la operación esté limitada por sólo una etapa, se deben identificar tres situaciones de las cuales se derivan tres leyes de corte llamadas leyes de corte económicas limitantes.

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y reemplazando esta expresión en (3.6.10), se obtiene vm = (s - r) * Qr - c * Qc - [m + (f + d * V) / M] * Qm

(3.6.12)

Además ; Qr = Qc * g * y

(3.6.13)

Donde g corresponde a la ley media Así, reemplazando (3.6.13) en (3.6.12) se obtiene: vm = (s - r) * Qc * g * y - c * Qc - [m + (f + d * V) / M] * Qm

(3.6.14)

Para encontrar la ley de corte económica limitable que maximice los beneficios, con la restricción indicada (mina), debemos obtener la primera derivada con respecto a g de la expresión (3.6.14) d vm = [(s - r) * g * y - c ] * dQc - [m + (f + d * V) ] * dQm dg dg M

(3.6.15) dg

Dado un Qm, la ley de corte sólo afecta a Qc, por lo que la expresión a maximizar es: dQm = 0 dg d vm = [(s - r) * g * y - c ] * dQc dg dg

(3.6.16)

El menor valor aceptable de g es aquel que hace. d vm = 0 dg De esta manera la ley de corte económica óptima dada por la mina es: gm

= c (s - r) * y

(3.6.17)

Donde: gm : Es la ley que da el máximo aporte al valor presente en el caso que la mina defina el ritmo de extracción.

La fórmula para gm fue calculada en el punto de equilibrio económico. Este es efectivamente el mismo concepto de equilibrio económico que es usado en las otras determinaciones de leyes de corte; el material mineralizado debería ser clasificado como mena toda vez que su valor implícito (s - r)* y * gm excede el costo de procesamiento adicional c. Hay dos características importantes en la fórmula para gm: Primero, significa que el valor implícito del material mineralizado necesita sólo cubrir el costo de tratamiento (después de la debida rebaja del costo de mercado - refinería r). Los costos de tiempo no son relevantes

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En otras palabras gm es igual al costo variable de tratamiento por unidad de mena tratada, dividido por el precio neto de producción recuperado por unidad de producto mineral.

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ni tampoco lo es el costo de desarrollo y explotación. Esto es así porque la fórmula ha sido derivada sobre la suposición que la decisión ya ha sido tomada para continuar operando más allá del horizonte actual. Si no fuera tomada la decisión de esta manera, se aplican consideraciones diferentes. Segundo, no involucra ninguna referencia a los valores presentes. Esto significa que una mina limitada por su capacidad de explotación o de desarrollo, debería ser operada sobre una base táctica más bien que sobre una estrategia. b.- CONCENTRADOR LIMITA OPERACION Si el concentrador define el ritmo de explotación, el período t esta dador por: t =

Qc C

(3.6.18)

Y reemplazando esta expresión en (3.6.10) y considerando (3.6.13), se obtiene: vc = (s - r) * Qc * g * y - c * Qc - m * Qm - (f + d * V) * Qm C

(3.6.19)

Para encontrar la ley de corte económica limitante que maximice los beneficios con la restricción indicada (concentrador), debemos obtener la primera derivada con respecto a g de la expresión (5,19) d vc = [(s - r) * g * y - c - (f + d * V)] * dQc - m * dQm dg c dg dg

(3.6.20)

Al igual que en el análisis de la mina como limitante, tenemos: d Qm = 0 dg Luego la expresión a maximizar dada por el concentrador es: d vc = [(s - r) * g * y - c - (f + d * V)] * dQc dg c dg

(3.6.21)

De esta manera la ley de corte económica óptima dada por el concentrador es: gc =

c + (f + d * V) C (s - r) * y

(3.6.22)

La fórmula para gc (3.6.22) es diferente de cualquier otra fórmula tradicional debido a la presencia del término dV el que pueda ser muy importante. Nótese que la ley de corte disminuye a medida de que V*d disminuye que es lo que sucede cuando una mina se hace más vieja.

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gc es igual al costo variable de tratamiento más el costo fijo unitario todo dividido por el precio neto del producto recuperado. Nótese que a esta ley el valor neto recuperable exactamente cubre el costo variable de tratamiento más el costo fijo unitario, o sea, esta ley es también una ley de equilibrio económico.

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Sin el término costo de oportunidad (d * V) la fórmula daría un valor menor que es probablemente similar a aquellas derivadas de los análisis de ley de corte tradicional que no toman en cuenta la maximización continua de valor presente neto. c.- MERCADO LIMITA LA OPERACION Si el mercado define el ritmo de explotación, el período t esta dado por: t =

Qr R

(3.6.23)

Y reemplazando esta expresión en (3.6.10) y considerando (3.6.13), se obtiene: vr = (s - r) * g * Qc - c * Qc - m * Qm - (f + d * V) * y * g * Qc R

(3.6.24)

Para encontrar la ley de corte económica limitante que maximize los beneficios con la restricción indicada (mercado), debemos obtener la primera derivada con respecto a g de la expresión (3.6.24). dvr = [(s - r) y * g - c - (f + d * V) * y * g] * dQc - m * dQc dg R dg dg

(3.6.25)

Al igual que en los desarrollos anteriores la ley de corte económica óptima dada por el mercado es: gr =

c [(s - r) - (f + V * d)] * y R

(3.6.26)

gr es igual al costo variable unitario de tratamiento dividido por el producto de la recuperación por el precio neto unitario del producto menos los costos fijos unitarios. Nótese que a esta ley el valor neto recuperable descontando el costo fijo unitario exactamente cubre el costo variable de tratamiento, o sea, es una ley de equilibrio económico. Estas tres leyes de corte económico dependen directamente de los precios, costos y capacidades, pero sólo, indirectamente del valor presente V y de la distribución de leyes del yacimiento. Por lo tanto son estables, en el sentido que varían poco durante la vida del yacimiento, por ejemplo gm no varía nada dado que no esta en función de V.

Generalmente, ninguna de las 3 leyes anteriormente mencionadas puede ser la ley de corte económica a emplear. Debido a que la capacidad de operación no está sólo por una etapa necesariamente, sino que, puede estar limitada por dos y especialmente por las tres. Además las leyes de corte económicas fueron deducidas asiendo referencia a costos, precios y capacidades y no considerando como varían las leyes en el yacimiento que se está explotando. Por esto se deben determinar leyes de corte de equilibrio las cuales son independientes de los factores económicos y dependiente de la distribución del yacimiento y por lo tanto pueden permanecer constantes o

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5.4.2.4.- Leyes de corte de equilibrio

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variar ampliamente durante la vida del yacimiento. Estas son leyes de corte que hacen que cada par de etapas están en conjunto trabajando a su máxima capacidad. Considerando las relaciones de capacidad entre las distintas etapas, obtendremos las leyes de corte de equilibrio siguientes: gmc = grc = = gmr

razón mena razón producto razón producto

: :

: material = material = mena =

C/M R/C M/R

El material mineralizado consistirá de un rango de leyes el cual, en la práctica, habrá sido estimado por un proceso de muestreo.

Una distribución de ley puede ser constituida para este material muestreado calculando las proporciones que exceden un rango de límites de ley. El resultado es un gráfico llamado Distribución Acumulativa de ley que tiene la forma ilustrada en la próxima figura. Obviamente 100% del material excede una ley de corte cero pero la proporción declina continuamente cuando el límite de ley aumenta a partir de este valor. FIGURA : DISTRIBUCION ACUMULATIVA DE LEY PARA LA RAZON TRATAMIENTO - EXPLOTACION

1.0

Mineral tratado por unidad de material mineralizado o minado

Razón C/M Cap. tratamiento / Cap. Explotación

Corte del Balanceo Físico gmc

Ley

Una mina a rajo abierto tiene una capacidad máxima para mover material impuesta por el tamaño de su flota de camiones y el número de palas y perforadoras. Designaremos a esta capacidad máxima de la mina como M unidades de material mineralizado por año.

Retornando al gráfico de la Distribución Acumulativa de ley, porque este declina continuamente, debe haber un punto a lo largo de su longitud en el cual el porcentaje de material mineralizado sobre la correspondiente ley, exactamente igual razón C/M. La ley en este punto, es llamada la “Ley de Corte de balanceado físico mina/planta tratamiento”, denotada gmc porque al operar a este corte mantiene estas dos componentes simultáneamente a capacidad máxima; esto es, cuando la mina mueve M unidades de material por año, ella los convierte en C unidades de mena por año.

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Similarmente, la planta de tratamiento tiene una capacidad máxima para el manejo y tratamiento de la mena. Designaremos a esta capacidad máxima de la planta como C unidades de mena por año. Entonces, por tanto estas dos componentes la MINA y la PLANTA se balancearán cuando la cantidad de mena resultante de una cantidad dada de material mineralizado está en la razón de C/M; en otras palabras, cuando la relación mena: material es igual C/M.

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Esto se muestra en la figura anterior. En consecuencia, la proporción dada por C/M representa la cantidad de mena tratada proveniente de una unidad de material mineralizado minado. Los resultados de la misma muestra permiten el cálculo, no solamente de las proporciones de material mineralizado sobre un rango de límites de ley, sino también los contenidos de mineral recuperable de estas proporciones. Este gráfico toma una forma similar al anterior, y es como en la siguiente figura.

FIGURA : DISTRIBUCION ACUMULATIVA DE LEY PARA LA RAZON MERCADO - EXPLOTACION

1..0

Producto mineral Recuperado por unidad de material mineralizado

Razón R/M Cap. Mercado / Cap. Explotación

Corte del Balanceo Físico

Ley

gmr

De nuevo el gráfico declina continuamente porque dentro de una cantidad dada de material mineralizado, mientras más alto es el límite de ley menos producto mineral lo excede (el contenido de mineral total no debería ser confundido con el contenido de mineral promedio, el último aumentará cuando el límite de ley aumenta). Si la capacidad del mercado es R unidades de producto mineral vendible por año, entonces las dos componentes el MERCADO y la MINA se balancearán cuando el mineral recuperable por unidad de material mineralizado explotado sea igual a la relación R/M. Esto ocurre con la “ley de corte de balanceado físico mina/mercado”, denotada gmr, que es también mostrado en la Figura anterior.

FIGURA: DISTRIBUCION ACUMULATIVA DE LEY PARA LA RAZON MERCADO - TRATAMIENTO

1.0

Producto mineral recuperable por unidad de mena

Corte del Balanceo Físico

gcr

88

Ley

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Razón R/C Cap. mercado / Cap. tratamiento

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El gráfico de la relación del producto mineral vendible a la proporción de mena es efectivamente un gráfico de leyes de cabeza promedio. La diferencia es la incorporación de un factor de recuperación. En este caso, como se mencionó en el párrafo previo, el gráfico aumenta continuamente. Cuando el gráfico alcanza la razón R/C, las dos componentes la PLANTA y el MERCADO están balanceadas y la correspondiente ley a la cual esto ocurre es la “Ley de Corte de balanceado físico planta tratamiento/mercado”. Denotada gcr. Por tanto las capacidades existentes del sistema minero limitan el rango de selección de las posibles leyes de corte para el balanceado físico y de aquí efectivamente estas capacidades describen la elección. Las leyes de corte de equilibrio actualmente tienen 2 elementos, el estratégico y el táctico, entendiéndose por estratégico al nivel promedio que logre un equilibrio al largo plazo y tácticos son los cambios que semana a semana o mes a mes sean necesarios para tomar las decisiones a corto plazo respecto del material mineralizado disponible para la explotación. Por lo tanto una función de la planificación de minas es desarrollar planes que consideren tales variaciones de corto plazo en el interés de una conducción eficiente de la misma. Pero los cuerpos mineralizados no son siempre tratables de esa forma, de aquí entonces se obtienen que las leyes de equilibrio son parámetros dinámicos dependientes de la distribución mineral del yacimiento

5.4.2.5.- Leyes de corte optima La ley de Corte Optima se determina de alguna de las seis leyes determinadas anteriormente, o sea las tres de límite económico y las tres de equilibrio. Para poder analizar en mejor forma el estudio del óptimo, se debe revisar cada par de etapas en forma individual, las que se componen de la siguiente manera: Mina - Concentrador Mina - Refinería Concentrador - Refinería Designaremos por: Gmc Gmr Grc

a.-

: : :

ETAPA :

Ley de Corte Optima Mina - Concentrador Ley de Corte Optima Mina - Refinería Ley de Corte Optima Concentrador - Refinería

MINA - CONCENTRADOR

En el ítem correspondiente a las Leyes de Corte de límite económico, se obtuvieron expresiones para el aumento de valor vm (3.6.12) y vc (3.6.19), en función de distintas capacidades de producción y Leyes de Cortes.

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Al variar la Ley de Corte, también lo hacen Qm y Qc, en consecuencia vm y vc toman nuevos valores. Para Leyes de Cortes bajas vm es mayor que vc, y en caso contrario, cuando existen Leyes de Cortes altas, vm es más pequeño que vc.

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Si se representan gráficamente ambas curvas (vm y vc), se encuentran tres puntos singulares, que son: gm gc gmc:

: Ley de Corte Económica dada por la mina. : Ley de Corte Económica dada por el concentrador Intersección de ambas curvas (ley de Corte en Equilibrio)

Pueden darse tres casos, los que se ilustran en las figuras siguientes:

Incremento del valor presente

vm

FIGURA: Equilibrio Mina Concentrador

vc

gm

gc

gmc

Ley de corte

FIGURA: Concentrador limita la operación Incremento del valor presente

vm

vc

gmc

gc

Ley de corte

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gm

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Incremento del valor presente

FIGURA : Mina limita la operación

vc

vm

gmc

gm

gc

Ley de corte

Por lo observado en las figuras anteriores, se puede decir que: Si gmc < gm, entonces Gmc = gm. La mina es cuello de botella. Si gmc > gc, entonces Gmc = gc. El concentrador es cuello de botella. En otro caso Gmc = gmc Existe equilibrio

B.- ETAPA: MINA - REFINERiA Se calcula vm (2.12) y vr (3.6.24) para diferenciar Leyes de Corte, y de modo similar al caso anterior se tiene que: Si gmr < gm, entonces Gmr = gm. La mina es cuello de botella Si gmr > gr, entoncesGmr = gmr. La refinería es cuello de botella En otro caso Gmr = gmr Existe equilibrio C.- ETAPA: CONCENTRADOR - REFINERIA Se calcula vc (3.6.19) y vr (3.6.24), para diferentes Leyes de Corte y de modo similar a los casos anteriores se tiene que: Si grc < gr, entonces Gmc = gr. La refinería es cuello de botella. Si grc > gc, entonces Grc = gr. El concentrador es cuello de botella. En otro caso Grc = grc Existe equilibrio.

La ley de corte óptima efectiva global, para todo el complejo minero (limitado por las tres componentes) es ahora una de las tres, Gmc, Gmr y Gcr, la que maximizará la utilidad descontada total del inventario mineralizado. La posición puede de nuevo ilustrarse gráficamente.

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En resumen, para cada distinto par de componentes, la ley de corte óptima para ese par es la ley de balanceado físico a los límites superior e inferior definidos por las dos leyes de corte económico de esas componentes.

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FIGURA: LEY DE CORTE OPTIMA

Incremento del valor presente

vm vc

vr

gm gcr

gmc

gmr

gr gc

El aumento más grande en el valor presente que puede lograrse a cualquier ley de corte, teniendo en cuenta las restricciones de capacidad, del complejo total, es actualmente lo menor de vm, vr y vc .

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La ley de corte óptima efectiva global siempre ocurre en el valor intermedio de Gmc, Gmr y Gcr. El enunciado matemático es: La Ley de Corte Optima Efectiva Global Gmcr es igual al valor intermedio de los tres valores inter-etapas (Gmc, Gmr, Gcr).

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5.5.-Curvas tonelaje v/s ley. Teniendo los datos de las reservas del yacimiento se puede obtener una curva de Tonelaje v/s la Ley de corte y la Ley media. Esto se logra a través del inventariado de reservas del yacimiento que se encuentran bajo una ley de corte determinada y calculando la ley media de todos los recursos cuya ley es superior o igual a la ley de corte determinada obteniéndose dos curvas en un mismo gráfico.

% Como ejemplo en la figura se puede apreciar que para una ley de corte de 0.3 % de Cu existen aproximadamente 5.500.000.000 toneladas de mineral con una ley media de 0.4 % de Cu. El mismo tratamiento se tendrá que realizar una vez definido el pit final y las fases de explotación, por lo que teniendo los límites de cada fase se obtendrán las curvas correspondientes a las reservas mineras involucradas.

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De la Tabla Ejemplo vista anteriormente, considerando una alimentación a planta de 80.000 toneladas al día (360 días al año), con un 90 % de recuperación metalúrgica y junto con la curva tonelaje v/s ley obtenidas, se puede observar la variación de los recursos explotables (minables) como se ilustra en los siguientes ejemplos:

93

Como podemos observar la forma de la curva tonelaje v/s ley nos determina la sensibilidad de nuestro yacimiento respecto a la variación de la ley de corte, ya que su pendiente determina la cantidad de recursos que quedan fuera de la explotación al producirse una variación de la ley de corte.

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El ejemplo anterior ilustra los cambios que pueden surgir en el diseño y explotación de un rajo frente a las variaciones del modelo económico. En este ejemplo no se incluye la tasa de descuento, la cual haría que los valores finales de los ingresos sean menores en función del tiempo que tome la explotación del yacimiento. EJEMPLO DE APLICACIÓN: Una empresa minera explota su yacimiento, según lo muestra la siguiente curva de Movimiento Mina v/s Leyes de Corte y Media, para el período correspondiente (reservas inventariadas para el período de producción definido). Además se ilustra el comportamiento de la relación E/M operacional para dicho período:

La siguiente tabla muestra el esquema del movimiento mina ante la variación de las capacidades de recepción de mineral por parte de la planta (3ª columna). En ella se asume que la mina no varía su producción, por lo que tendrá que buscar la mejor asignación de materiales para satisfacer la alimentación a planta.

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Se puede apreciar que a mayor ley de envío a planta la relación E/M operacional aumenta, debido a que en el momento de decidir el destino de los camiones, la mayor parte se destinará a acopios (con mineral de leyes superiores a la ley de corte crítica e inferiores a la ley de corte de envío a planta) y sólo se destinarán a procesos el mineral con leyes sobre la ley de corte óptima o de envío a planta. El material que se envía a botaderos corresponde al mineral con ley inferior a la ley de corte crítica. En el caso de que la planta requiera mayor producción sin aumentar la producción de la mina y además los recursos disponibles (cuya ley sea superior a la ley de corte crítica dentro del inventario de reservas del período) no son los suficientes, tendremos que evaluar una nueva ley de corte sobre los materiales estériles disponibles en la mina. Esta nueva ley de corte deberá considerar que el material pueda pagar los costos asociados a su manejo posterior y procesamiento, ya que si fue extraído de la mina como estéril quiere decir que existe mineral que pagó la extracción de este material (al diseñar la mina). Debido a ello se evaluará si dicho material contiene la cantidad suficiente de metal fino, que permita satisfacer la capacidad de la planta y además obtener un beneficio extra con su proceso.

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(CATEGORÍA I + CATEGORÍA II) x 100 2204.6 x RM/100 x (PRECIO - CATEGORÍA III)

= 0.60 %

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Ley de Corte Crítica % =

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CASO Nº1: El material será enviado directamente a la Planta destinando equipos cargados hacia ella, es decir con una reasignación de tareas: En este caso debemos considerar la variación de costos que podría sufrir el destinar este material a la planta de procesos. Si observamos la estructura de los costos este material fue perforado, tronado, cargado y será transportado a la planta en vez de los botaderos, por lo que habría que determinar si esa variación en el destino genera o no una variación del costo del transporte. En el caso que fuese igual a cero dicha variación, nuestra ley de corte sobre el estéril será: Ley Marginal % =

de

Corte

(d Costo transporte) + CATEGORÍA II) x 100 2204.6 x RM/100 x (PRECIO - CATEGORÍA %

= 0.47

III) CASO Nº2: El material será enviado a acopio para su posterior procesamiento (en un tiempo no definido), por lo que debe pagar su costo de remanipulación del material (Carguío y Transporte correspondientes). En este caso debemos considerar todos los costos asociados a la manipulación extra del material. Lo más probable es que se le asocien costos relacionados con el carguío extra, que puede ser diferente al costo del carguío en la mina (por ejemplo una pala en la mina y un cargador en el acopio). Obviamente también se debe incluir el costo de transporte que puede ser distinto (por los perfiles de transporte) y en el caso que se requiera asistencia de equipos auxiliares para la mantención de los accesos o de los acopios mismos tendremos que incluir el costo asociado a ello en la evaluación. También puede suceder que la malla de perforación en el estéril sea diferente a la del mineral, generando una granulometría mayor en este material que deseo evaluar, por lo que también debería incorporarse el costo asociado a la reducción secundaria (si es necesario). En este caso resulta fundamental el tener acopios bien definidos (rangos de leyes), ya que no se podría aplicar esta evaluación si no sabemos donde se encuentran los recursos. Para nuestro ejemplo incluiremos solamente los costos de carguío y transporte, y se asumirán que son los mismos que en el caso base, quedando lo siguiente: Ley de Marginal % =

Corte

(Cc* + Ct* + CATEGORÍA II) x 100 2204.6 x RM/100 x (PRECIO - CATEGORÍA III)

= 0.51 %

5.6.-Manejo de información gráfica. Por lo general se dispone de gráficos representativos de nuestro yacimiento y del movimiento de la mina, lo cual permite obtener información operacional interesante y una visualización de las características de nuestro yacimiento en explotación. Por ejemplo: Ton/día

Tcop

Lcc

Lcop

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Ley

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Tcc

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En este caso se tiene que la faena está trabajando a un ritmo de Tcop toneladas al día de mineral con una ley de envío a planta de Lcop. Es decir todo el mineral que está siendo sacado de la mina con una ley menor de que Lcop y mayor que Lcc está siendo enviado a un acopio especial para dicho mineral, ya que no es estéril y solo se envía a planta lo que tenga ley superior o igual a Lcop. Supongamos ahora que se amplía la capacidad de la planta y se requiere enviar más mineral a proceso. Nuestro gráfico podría quedar de las siguientes formas: CASO Nº1 Ton/día

Tcc

T Tcop

Lcc

L

Lcop

Ley

En este caso la mina enviará mineral con la nueva Ley L (que será la ley de envío a planta), ya que ésta aumentó su capacidad. Si observamos en la fórmula de la ley de corte óptima propuesta por Lane, cuando la planta limita la operación, vemos que al aumentar la capacidad de la planta, necesariamente bajará la ley de corte óptima, lo que se cumple en este caso. La mina enviará mineral a la planta que antes se dirigía a acopios de mineral y todo el mineral con leyes entre Lcc y L se enviará a estos acopios.

CASO Nº2 Ton/día T TCV

Tcop

L LCV

Lcc

Lcop

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Ley

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Tcc

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En este caso la mina no necesariamente enviará mineral con la nueva Ley L, ya que ésta ley está bajo la ley de corte crítica, y a pesar de que la planta aumentó su capacidad, no podemos enviar estéril a proceso. Si observamos bien existe una ley Lcv la cual representa la ley de un material que si bien salió de la mina como estéril permite pagar sus costos variables (proceso), por lo cual si es enviado a planta generará un beneficio extra a la explotación. Por esto sólo será enviado a planta el mineral que tenga una ley sobre la ley de corte crítica más el estéril que tenga ley suficiente como para pagar su proceso. Si la planta aún queda con una capacidad ociosa tendríamos que pensar en comprar mineral para copar su capacidad o seleccionar mineral de otros sectores (botaderos) o simplemente dejarla con esta capacidad ociosa, pero no podemos pensar en enviar a la planta material estéril que no pague su proceso.

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CAPITULO VI. PLANEAMIENTO DE LA PRODUCCION 6.1.-Introducción La proyección y descripción de la secuencia de agotamiento de un pit es la función principal de la planificación de la producción. Esta constituye uno de los pasos más importantes del proceso de diseño de una mina a cielo abierto, ya que la factibilidad operacional y los flujos de caja están directamente relacionados con la recuperación de mineral y el movimiento de estéril a través del tiempo. El proceso de planificación de la producción, es la tarea más lenta del diseño de minas de largo plazo. A medida que transcurre la explotación de la mina, se va adquiriendo información nueva y con frecuencia cambian los parámetros básicos involucrados en el proceso de diseño. Estos parámetros incluyen los niveles de producción de la mina, los precios de los productos, los costos de explotación y de procesamiento, sistema de manipulación de materiales, limitaciones geotécnicas del diseño, entre otros aspectos. El objetivo de la planificación de la producción apunta a maximizar el valor presente neto del negocio y el retorno de la inversión que es posible obtener a partir de la explotación minera. Además el desarrollo de un programa estratégico de producción, es función de una serie de factores, dentro de los cuales se incluyen: Ubicación y distribución del mineral con respecto a la topografía y elevación. Mineralogía y distribución de tonelaje – ley. Costos directos de explotación, proceso y comercialización. Costos indirectos. Factores limitantes del mercado y capital. Condiciones políticas, ambientales, etc. La determinación de un óptimo programa de producción, involucra definir el orden de extracción o secuencia de explotación y una estrategia de leyes de corte variable en el tiempo, que esté inserta en los límites establecidos por variables operacionales, económicas y comerciales. 6.2.-Determinación de la secuencia de explotación El diseño de la secuencia de extracción tiene una influencia determinante en el beneficio económico de la explotación. La determinación de ésta, involucra parámetros tales como la razón de stripping o despeje asociado con la recuperación mineral, la ley y la ubicación física con respecto a su disponibilidad en el tiempo, además de los costos asociados a la explotación y su influencia en la estrategia de optimización de la inversión. El diseño de fases puede desarrollarse a través de una aproximación manual o bien en forma analítica, mediante técnicas computacionales. Los métodos manuales constituyen sólo una estimación y por lo tanto, no será tan exacto como la técnica computacional.

En esta etapa la intervención de las técnicas de planificación es fundamental, pues en muchos proyectos se trata de un proceso iterativo en el que es preciso conjugar muchas variables y objetivos . Normalmente los planificadores realizan una serie de diseños de fases intermedias de explotación. Idealmente están realizados para períodos de tiempo, por años, para los primeros años y, luego quizás para períodos de varios años hasta el agotamiento de las reservas. Al principio, puede ser útil elaborar un esquema de minería como una secuencia que sea de tantos arios como etapas o fases a desarrollar. Las fases parciales son unos tanteos o diseños

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La definición, de la secuencia óptima de explotación de una mina es, frecuentemente, un problema complejo en el que intervienen factores de índole técnica y económica. Una vez definidos los límites de la explotación, es preciso pasar a establecer el orden o la secuencia de extracción, tanto del estéril como del mineral debido al gran numero de alterativas que pueden elaborarse, se hace necesario, en la mayoría de los casos utilizar ordenadores para llegar a encontrar 1a mejor solución.

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preliminares para relacionar la geometría de los pits mineros con la geometría de la masa de mineral en el depósito. Se consigue así un buen soporte con el que poder trabajar más detalladamente en períodos de tiempo más cortos. Normalmente hay una gran cantidad de estéril o mineral de baja ley sobre el mineral, que debe extraerse para poderlo explotar. Desgraciadamente, no es siempre una cuestión simple la eliminación de este estéril. En consecuencia, el planificador necesita elaborar un diseño de explotación de cada fase para estimar los ratios o razones estéril/mineral. Normalmente se comienza fijando un tonelaje aproximado de mineral para ser explotado en cada fase y luego, utilizando los criterios de diseño de taludes y fondos de corta, se determina el estéril que debe moverse para extraer este mineral. Es importante representar, al menos, una pista de transporte en cada fase, para garantizar que permite la salida de un volumen suficiente de material. Las fases necesitan tener diseños amplios para que los equipos trabajen eficientemente. La anchura práctica no es una dimensión fija, pero debe estar relacionada con el tamaño de los equipos y con el número de unidades utilizadas en una etapa o frente de trabajo. Por ejemplo, si hubiera dos excavadoras trabajando a la vez en el desmonte, debería existir la suficiente anchura para poder perforar en el banco. lo mismo que para realizar el transporte y todo lo que sea necesario mientras está siendo explotado el banco. Una vez que las fases están diseñadas y evaluadas, el planificador puede determinar. aproximadamente, el movimiento de material necesario para proporcionar un suministro continuo de mineral con una preparación de la corta razonable. en términos de mineral descubierto. Cuando se fija el ritmo anual de producción, entonces puede volver atrás y diseñar los planos correspondientes a periodos anuales evaluando los resultados. Puede ser necesario pasar por este proceso dos o tres veces antes de que se desarrolle un plan de explotación adecuado. Incluso entonces después de cada etapa, un planificador puede ver cosas que probablemente cambiaría si volviera a hacerlo de nuevo. Este proceso puede llevar un tiempo considerable especialmente cuando los volúmenes de materiales de cada plan deben equilibrarse con la capacidad de los equipos de extracciónEl desarrollo de estas fases también permite determinar el volumen de desmonte previo necesario y dimensionar más exactamente la flota actual de equipos Normalmente se desarrolla un gráfico que muestra las relaciones de tiempo a través de las fases con un movimiento de tonelaje total y una razón estéril / mineral. Sobre tal gráfico el planificador puede ver lo que tiene que hacer para facilitar y ajustar la producción. No es normal trabajar con un solo ratio o razón de estéril durante toda la vida de la mina, pero dentro de algunos periodos, incluso la razón Estéril /Mineral de producción será mantenida. Ajustando la producción de esta forma se evita la necesidad de comprar nuevos equipos o reducir éstos en determinados periodos; también así disminuyen los problemas de necesidad de mano de obra. Cuando una mina trabaja con varios equipos de carga grandes, aparecen ciertas combinaciones que son mejores desde el punto de vista de utilización de máquinas y mano de obra. Esto puede afectar la razón Estéril /Mineral de explotación o indicar cuando una operación debería dirigirse hacia una cierta razón Estéril /Mineral. Es importante realizar la transición desde los planes por fase a los planes anuales tan pronto como los diseños por fase sean suficientes para establecer toda la secuencia. Los planes anuales facilitan la definición de los objetivos de producción, así como la definición en el espacio de las cantidades de material que deben ser movidas, permitiendo, además, efectuar mejores evaluaciones económicas que con las fases que abarcan períodos más amplios. También los planes anuales ofrecen una mejor definición de las relaciones entre fases y la explotación en la operación mínera completa, mostrando los frentes de trabajo y pistas de transporte. A continuación se describen algunos criterios para definir secuencias de explotación posibles: A. Explotación con Razón descendente.

Como inconvenientes principales plantea que los gastos de explotación son máximos durante los primeros años de vida de la mina, al ser el movimiento de estéril muy alto, y coincidir con el período de mayor interés de capital invertido y necesidad rápida de devolución de éste.

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Esta alternativa requiere que, en cada nivel, se extraiga todo el estéril existente en el pit, hasta el límite del pit, junto con el mineral asociado. Las ventajas que presenta, son la disponibilidad de espacio para el trabajo de los equipos, la accesibilidad al mineral del banco siguiente, la concentración de equipos trabajando en el mismo nivel, la escasa dilución del mineral con el estéril y por último la necesidad de un menor número de equipos mineros en las últimas etapas de explotación del yacimiento.

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Figura 6.1.- Esquema razón estéril mineral descendente B. Explotación con razón Estéril /Mineral creciente. Esta alternativa supone mover, en cada etapa, el mínimo estéril necesario para descubrir el mineral. Los taludes de trabajo se mantienen prácticamente paralelos a los taludes finales de la corta diseñada, siendo preciso extraer cada vez que se profundiza una mayor cantidad de estéril. Con esta secuencia se consigue obtener el máximo beneficio en los primeros años de explotación y reducir el riesgo de la inversión que supone el movimiento de estéril para descubrir mineral de períodos futuros Este planteamiento es muy frecuente cuando el ratio límite económico o economía de la explotación cambia en cortos periodos de tiempo. El inconveniente principal de este método es que es impracticable trabajar en diversos bancos superficiales simultáneamente para conseguir una producción regular. También hay que tener en cuenta la necesidad paulatina de incrementar la flota de equipos destinados al estéril al ir aumentando la razón de stripping.

Figura 6.2.- Esquema razón estéril mineral creciente

En esta alternativa el objetivo es mover materiales en cada período que den lugar a una razón de stripping similar a la razón media global. El talud de trabajo en el estéril comienza muy tendido, pero se va verticalizando conforme se profundiza la explotación hasta coincidir, prácticamente, con el talud final del pit proyectado. Este método presenta ciertas ventajas e inconvenientes, ya que supone una solución de compromiso entre los dos planteamientos anteriores, que son secuencias extremas. La fllota de maquinaria y la plantilla de personal, en este caso, se mantiene constante durante toca a vida de la mina.

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C. Explotación con razón Estéril/Mineral constante

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Figura 6.3.- Esquema razón estéril mineral constante

D.

Explotación compensada

En la actualidad, la mejor secuencia de desmonte de un yacimiento suele ser aquella en la que al comienzo y al final de la vida de la mina los ratios son bajos.

Figura 6.4.- Esquema compensado La estimación de los costos necesarios para la determinación de la secuencia de extracción, pueden dividirse en tres categorías:

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Las ventajas que presenta este tipo de secuencia son: Rápida capitalización de la empresa durante los primeros años de vida del proyecto. Los equipos mineros y la mano de obra pueden ser sustituidos en cada fase, aumentando sus capacidades y ajustándolos a los ritmos de producción. En el último período de explotación puede irse reduciendo el número de máquinas y la plantilla de personal. Posibilidad de explotar en distintas zonas simultáneamente, permitiendo así una mayor flexibilidad en la planificación. El número de frentes de extracción de estéril y mineral no es necesariamente grande. En un gran yacimiento. las fases de desmonte y extracción son suficientemente grandes como para proporcionar unas buenas condiciones de trabajo.

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Costos por tonelada de material explotado. Costos por toneladas de mineral tratado. Costos por toneladas de producto elaborado. Los costos por toneladas de material explotado incluyen los costos directos mina por tonelada extraída, para las operaciones de perforación, tronadura, carguío, transporte, apoyo de equipos auxiliares y para las funciones administrativas y generales de la mina. También se incluyen el costo por tonelada de los gastos de capital y reposición para los equipos móviles de la mina, relacionados con el material total explotado. Debido a que el equipamiento móvil de explotación se consume aproximadamente en proporción directa con la cantidad de material manipulado por los equipos. El valor del mineral en un corte o rebanada incremental tiene que ser lo suficiente como para solventar todos los costos directos de operación y los gastos iniciales de reposición de los equipos de la mina, si no se incluyen la de depreciación, se incorporarán áreas con índice de stripping de equilibrio mucho más alto en la fase mina, dando como resultado una sobre estimación del valor neto del mineral obtenido a partir de aquellas áreas con índice de stripping altos de la fase. Otra área de recopilación de costos, es la determinación de los costos por tonelada de mineral tratado e incluye los gastos aplicados al mineral, una vez que éste abandona el área mina. Estos costos no se relacionan con la cantidad total de material removido desde la mina, si no que sólo son aplicables al tonelaje de mineral que será tratado en la planta, los costos aplicados son: Costos extraordinarios relacionados con el transporte del mineral hasta las plantas de tratamiento. Los costos de chancado y molienda. Costos del proceso de recuperación de mineral. Costos generales destinados a cubrir gastos administrativos. Otra categoría de costos está en relación con los gastos de comercialización de los productos obtenidos del proceso, estos deben cubrir las sumas gastadas en el manejo y transporte del producto del proceso a la etapa de refinación, como así también el pago de patentes y/o impuestos que se relacionen con los ingresos brutos. Para determinar la cantidad de producto comerciable, se tiene que estimar las recuperaciones para los procesos, estás deben estar basadas en los resultados de las plantas pilotos o bien en las recuperaciones obtenidas en minas con procesos y minerales similares. En la selección de los parámetros económicos que determinan el tamaño de las primeras fases, el objetivo es establecer una fase que contenga reservas de mineral para un período tal, que dicho intervalo corresponda al período de amortización y por ende, es importante ubicar el mineral con el mayor valor neto durante la secuencia inicial de explotación.

6.3.-Gráfico de agotamiento de mineral -Serrucho- .

Para un proyecto que ha sido evaluado y se ha aprobado un nivel de desarrollo minero, los movimientos globales de mineral son fijos, por lo que el desarrollo del “Serrucho“ solo ayuda a conocer la distribución de equipos a través de las distintas expansiones y con ello la programación del movimiento parcial de cada una. Si se está evaluando la factibilidad de un proyecto el punto de partida es la situación de la mina a la fecha adoptada como inicio del estudio, considerando a partir de este punto, los remanentes de material de cada expansión y

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El gráfico de agotamiento de mineral, conocido comúnmente con el nombre de “serrucho”, es una manera de representar los movimientos de materiales en el yacimiento periodo a periodo, los que permiten asegurar la extracción continua de mineral desde el rajo. Ésta forma de representar los movimientos no es otra cosa que llevar al papel el desarrollo parcial de la secuencia de explotación de las expansiones que se ha definido según los rajos anidados.

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la dotación de los equipos a dicha fecha. De acuerdo a esto se comienza a desarrollar la secuencia aumentando los ritmos, si el proyecto lo requiere, generando un nuevo calendario de inversiones futuras.

6.3.1.-Información necesaria para confeccionar el serrucho. La confección del serrucho requiere de la siguiente información: • Secuencia de explotación por mineral. • Evaluación o cubicación de todas las expansiones a la topografía del rajo y sus entornos definida como situación inicial. • Ley de corte por periodos. • Definición de exposición. • Requerimiento de meses de mineral expuesto. • Perfil de alimentación a planta. • Equipos de carguío disponibles. • Ritmo de producción de los distintos equipos de carguío. • Cantidad máxima de equipos a operar en condiciones definidas de espacio. • Restricciones dadas por ubicación de instalaciones dentro del rajo, por ejemplo, chancadores, correas; y las fechas definidas para su movimiento. 6.3.2.-Confección del serrucho.

La forma de programar el consumo de las reservas debe hacerse expansión por expansión según la secuencia de explotación ya establecida. Estando en una situación de mina operativa o mina nueva, el planificador debe definir una fecha a partir de la cual deba alimentar a la planta el mineral exigido. Para cumplir con los meses de mineral expuesto mínimos definidos por la compañía, el planificador debe preguntarse ¿Cuando abrir la expansión que por secuencia está definida?. Dicha fecha de apertura debe obtenerse calculando el tiempo necesario para remover el lastre contenido en ella sobre su banco de exposición, tiempo definido por el número de equipos de carguío empleados en ella y las productividades de los mismos. El planificador debe conjugar simultáneamente los equipos disponibles en múltiples expansiones para un mismo periodo, tratando de no adquirir innecesariamente más de ellos. Paralelamente debe preocuparse de restricciones como lo son: el número de equipos por expansión dado el banco que se explote (por su tamaño), el desfase en bancos que entre expansiones de un mismo sector se deba llevar para

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El gráfico de agotamiento de mineral, posee en el eje de las ordenadas (Y) una división, la cual define al material mineral (arriba) y al material lastre (abajo). En la abcisa (X) se despliegan los periodos, generalmente en unidades de meses, producto de la información de meses de mineral expuesto que se requiere analizar.

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asegurar una operación segura, las fechas de reubicación de instalaciones como chancadores y correas, y de esto último, el tiempo necesario para preparar los nuevos sectores, la ley de corte de los periodos la cual modifica los tonelajes a remover como mineral y lastre; como las más significativas. Una metodología sencilla de utilizar para confeccionar el gráfico de agotamiento de mineral es situarse en la fecha de exposición de una expansión y retroceder, generalmente mes a mes, rebajando de la cubicación el tonelaje que cargan los equipos, tonelajes definidos por la cantidad y productividad de éstos. Cuando la expansión haya removido todo el lastre contenido sobre el banco de exposición en ella, se encontrará la fecha de su apertura. Luego, la fecha de exposición de la siguiente expansión establecida por la secuencia estará dada por los meses de mineral que la expansión antes expuesta aporta. Estos meses son calculados dividiendo el tonelaje de mineral de la expansión y la alimentación a planta mensual exigida. Se debe cuidar siempre mantener los meses de mineral expuesto mínimos establecidos. Una vez definido esta fecha de exposición se desarrolla el procedimiento antes explicado para definir la fecha de la apertura de la nueva expansión, y así sucesivamente una expansión tras otra hasta completarlas.

6.3.4.-Información entregada por el serrucho. • • • • • •

De la generación del gráfico se obtienen aspectos importantes que vale la pena resaltar, como es: La fecha de llegada a mineral de cada expansión. Meses de mineral expuesto. Los ritmos de movimientos de cada expansión por periodos. Los requerimientos de equipos por expansión y total mina, periodo a periodo. La fecha de apertura de cada expansión. Los ritmos de movimientos anuales.

6.3.5.-Plan de producción. El plan de producción corresponde a la programación de la explotación, donde se identifica la cantidad, calidad y origen de los materiales a remover en un determinado periodo de tiempo durante la vida del rajo explotado. Además se definen los equipos utilizados por expansión periodo a periodo. El plan de producción puede realizarse dentro de la planificación para diferentes horizontes de tiempo, 5, 10, 20 años, como largo plazo y para 1 semana o 3 meses para un corto plazo. Por lo general el plan de producción se confecciona usando como guía el gráfico de agotamiento de mineral, ya que éste señala las expansiones explotadas por periodos, los equipos que en ellas trabajan, las fechas que cada expansión deben ser abiertas y en que fechas deben exponer mineral para mantener los meses de mineral expuesto mínimos. No obstante lo anterior, la tenencia del “serrucho” no es imprescindible, y el plan de producción puede confeccionarse sin él. 6.3.6.-Información necesaria para confeccionar el plan de producción. Gráfico de agotamiento de mineral. (deseable) Cubicaciones por expansiones con tipos de materiales, tonelajes, leyes asociadas y recuperaciones Topografía de la mina al inicio del periodo de análisis. Perfil de movimientos de mineral por periodos. Ley de corte por periodo. Cantidad máxima de equipos a operar en condiciones definidas de espacio. Productividades de cada equipo (modelo) de carguío por periodo. Disponibilidad de equipos al inicio del plan.

En general la confección de un plan de producción debe realizarse siguiendo la secuencia establecida en el gráfico de agotamiento de mineral, tratando de obtener las mejores leyes periodo a periodo, y suavizando éstas decreciente mente a medida que la explotación avance. Debe cumplirse la alimentación a planta y los ritmos programados de movimientos.

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• • por bancos. • • • • • •

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F Y2002

P L A N D E P R O D U C C IÓ N P L A N IF T O T AL:

1 0 .0 8 2

E X P A N S IO N

495

395

FEL

70000

102800

20000

W7 AG O T ADA AJU S T E : (C u a lq u ie ra )

W8

N 10

1 .0 0 0

0 .9 0 0 1 .1 0 3 8 1 .1 0 4

3 .8 6 3 2 3 .8 6 3

1 .4 0 5

1 .0 0 0

1 .4 0 5

1 .0 0 0

1 .8 8 6

1 .8 8 6

0 .4 4 0

2 .3 7 4

0 .5 6 0

2 .3 7 4

0 .5 6 0

4 6 ,5 3 7 ,5 0 0

3 0 7 ,6 2 2 ,0 0 0

4 6 ,5 3 7 ,5 0 0

3 0 ,2 9 5 ,0 0 0 0 .9 4 1 .0 4 1 .3 2 1 .4 0 2 .0 2 2 .3 9 1 .9 7 1 .0 5 0 .6 6 0 .6 6 0 .3 7 0 .2 1 0 .2 4 0 .1 1

BANCO 2830 2815 2800 2785 2770 2755 2740 2725 2710 2695 2680 2665 2650 2635

TON 2 8 ,2 0 1 ,3 7 0 1 ,1 5 0 ,7 4 5 3 ,5 4 7 ,6 8 7 3 ,2 6 2 ,3 1 2 3 ,1 4 3 ,2 5 0 3 ,0 9 5 ,6 2 5 2 ,5 0 0 ,3 1 2 2 ,1 9 0 ,7 5 0 2 ,0 9 5 ,5 0 0 1 ,7 3 8 ,3 1 2 1 ,5 0 0 ,1 8 7 1 ,1 4 3 ,0 0 0 1 ,1 1 9 ,1 8 7 9 7 6 ,3 1 2 7 3 8 ,1 8 7

T O T AL 1 3 ,7 3 8 ,4 9 3 5 9 3 ,9 9 3 1 ,7 3 8 ,3 1 2 1 ,4 0 4 ,9 3 7 1 ,3 0 9 ,6 8 7 1 ,0 2 3 ,9 3 8 7 3 8 ,1 8 8 7 3 8 ,1 8 8 1 ,0 2 3 ,9 3 7 1 ,0 4 7 ,7 5 0 9 0 4 ,8 7 5 8 3 3 ,4 3 7 9 2 8 ,6 8 7 7 8 5 ,8 1 2 6 6 6 ,7 5 0

4 3 ,1 8 9 ,7 7 8 0 .5 2 0 .4 5 0 .7 5 0 .6 8 0 .7 2 0 .7 8

2935 2920 2905 2890 2875 2860

4 3 ,1 8 9 ,7 7 8 6 ,4 9 0 ,5 5 3 8 ,3 8 8 ,9 3 7 7 ,8 3 0 ,1 8 7 7 ,7 1 1 ,1 2 5 7 ,4 5 2 ,9 3 7 5 ,3 1 6 ,0 3 7

2 6 ,4 5 1 ,1 8 1 4 ,2 8 2 ,6 1 9 5 ,7 7 7 ,0 6 2 4 ,4 7 4 ,8 7 5 4 ,5 9 3 ,9 3 7 4 ,3 3 3 ,5 0 0 2 ,9 8 9 ,1 8 8

3010 2995 2980 2965 2950 2935 2920 2905 2890 2875 2860 2845 2830

6 4 ,6 9 6 ,9 8 0 1 4 9 ,3 1 4 7 ,3 3 7 ,8 1 3 7 ,0 1 0 ,8 1 3 6 ,3 0 6 ,5 6 3 5 ,8 6 4 ,6 2 5 5 ,7 9 4 ,6 8 7 5 ,5 4 0 ,6 2 5 5 ,8 2 5 ,2 5 0 4 ,9 0 6 ,3 1 2 4 ,5 6 7 ,1 2 5 4 ,2 8 0 ,8 1 2 3 ,9 8 8 ,5 0 0 3 ,1 2 4 ,5 4 1

3175 3160 3145 3130 3115 3100 3085 3070 3055

8 1 ,6 5 7 ,4 4 5 4 ,0 8 3 ,3 6 5 1 0 ,1 9 6 ,8 1 3 1 0 ,7 1 5 ,0 6 3 1 1 ,2 7 5 ,3 1 3 1 1 ,9 5 4 ,2 5 0 1 1 ,2 7 3 ,4 3 8 1 1 ,0 1 5 ,6 2 5 1 0 ,7 3 4 ,3 7 5 4 0 9 ,2 0 5

9 7 .1 4 1 3 1 .4 2 1 2 2 .1 4

5 7 ,5 8 3 ,9 3 9 2 ,6 1 9 ,3 7 5

N º D IA S :

3 0 7 ,6 2 2 ,0 0 0

L e y d e C o rte

365 1 .0 % C u t

4 6 ,5 3 7 ,5 0 0

C o lu m n a

62

1 .6 7 9

0 .8 6 6

M IN E R A L

TON PROG .

6 4 ,6 9 6 ,9 8 0

0 .4 4 0

T o n .A c u m A p o rte

N 11

2 .0 1 0

1 .0 0 0 0 .7 5 1 6

8 4 2 ,8 0 0

7 6 .5 6 6 0 .1 6 4 0 .2 1 6 .3 8 1 .7 7 1 .0 9 0 .8 9 8 1 ,6 5 7 ,4 4 5

2 3 9 .5 4

STOCK

PLANT A %CuT 1 3 ,7 3 8 ,4 9 3 5 9 3 ,9 9 3 1 ,7 3 8 ,3 1 2 1 ,4 0 4 ,9 3 7 1 ,3 0 9 ,6 8 7 1 ,0 2 3 ,9 3 8 7 3 8 ,1 8 8 7 3 8 ,1 8 8 1 ,0 2 3 ,9 3 7 1 ,0 4 7 ,7 5 0 9 0 4 ,8 7 5 8 3 3 ,4 3 7 9 2 8 ,6 8 7 7 8 5 ,8 1 2 6 6 6 ,7 5 0

%CuS

As

1 .7 8 2 1 .5 9 2 1 .6 2 8 1 .6 1 2 1 .6 3 0 1 .5 7 1 1 .4 3 2 1 .3 0 1 1 .6 9 0 2 .0 1 1 2 .2 5 0 2 .3 2 1 2 .0 8 9 2 .2 0 2 1 .7 9 3

0 .8 8 4 0 .8 8 1 0 .8 8 3 0 .8 8 4 0 .8 8 8 0 .8 8 5 0 .8 8 8 0 .8 8 8 0 .8 8 4 0 .8 8 3 0 .8 8 1 0 .8 8 3 0 .8 8 2 0 .8 8 3 0 .8 8 2

2 6 ,4 5 1 ,1 8 1 4 ,2 8 2 ,6 1 9 5 ,7 7 7 ,0 6 2 4 ,4 7 4 ,8 7 5 4 ,5 9 3 ,9 3 7 4 ,3 3 3 ,5 0 0 2 ,9 8 9 ,1 8 8

1 .6 3 6 1 .6 7 6 1 .6 4 9 1 .6 4 9 1 .6 0 8 1 .5 8 1 1 .6 5 4

0 .8 5 5 0 .8 4 4 0 .8 4 9 0 .8 5 5 0 .8 5 9 0 .8 6 3 0 .8 6 5

6 ,1 7 9 ,7 6 1

6 ,1 7 9 ,7 6 1

1 .6 5 1

0 .8 7 7

7 1 ,4 3 8 4 7 ,6 2 5 4 7 ,6 2 5

7 1 ,4 3 8 4 7 ,6 2 5 4 7 ,6 2 5

1 .1 5 7 2 .4 0 4 1 .6 9 3

0 .8 4 2 0 .8 7 9 0 .8 7 9

7 1 ,4 3 8 9 5 ,2 5 0 1 1 9 ,0 6 3 6 1 9 ,1 2 5 1 ,5 4 7 ,8 1 2 1 ,9 0 5 ,0 0 0 1 ,6 5 5 ,3 8 6

7 1 ,4 3 8 9 5 ,2 5 0 1 1 9 ,0 6 3 6 1 9 ,1 2 5 1 ,5 4 7 ,8 1 2 1 ,9 0 5 ,0 0 0 1 ,6 5 5 ,3 8 6

1 .4 1 6 1 .2 6 2 1 .2 0 0 1 .3 3 1 1 .6 3 2 1 .6 8 7 1 .8 0 9

0 .8 9 4 0 .8 7 9 0 .8 7 7 0 .8 7 2 0 .8 7 1 0 .8 8 1 0 .8 8 2

4 6 ,8 7 5

4 6 ,8 7 5

1 .0 8 5

0 .8 0 6

4 6 ,8 7 5

4 6 ,8 7 5

1 .0 8 5

0 .8 0 6

6.3.7.-Información entregada por el plan de producción. Del plan de producción se obtienen aspectos como: Los movimientos por tipo de material y por periodos. La ley de alimentación a planta por periodos Finos por periodos Los equipos por periodos. Meses reales de mineral expuesto por expansión. La fecha de apertura y de llegada a mineral de cada expansión. Los bancos comprometidos por periodos de cada expansión.

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• • • • • • •

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6.4.- Influencia de una estrategia de leyes de corte La maximización de las utilidades de la explotación esta directamente relacionada con la determinación de una estrategia de leyes de corte óptima que se desarrollará de una fase a la siguiente para un índice de producción de prueba definido. Para la determinación de esta estrategia se puede utilizar las leyes de corte iguales o menores, que la ley de corte para una fase particular. Si se intentará utilizar una ley de corte mayor, la forma física de la fase ya no sería valida, por cuando la ubicación de los limites del rajo dependerá de los ingresos de una cantidad específica de mineral que ya no estará disponible. Es decir los anteriores bloques de mineral de baja ley pasarán a ser ahora, lastre de ingreso negativo. En una situación donde sea necesario remover la roca de baja ley a fin de exponer el mineral, se puede utilizar una ley de corte más baja, con el objetivo de determinar si se va a procesar ese material de baja ley, esta ley de corte menor se conoce como ley de corte interna y se determina, ignorando el costo de explotación en el cálculo de leyes de corte de equilibrio. La ley de corte óptima comenzará, generalmente, en un nivel ligeramente más alto que la ley de corte de equilibrio y con el tiempo se irá reduciendo para igualar la ley interna de corte de equilibrio. El nivel de producción óptimo se puede determinar sobre bases estrictamente económicas; pero en algunos casos, los limites serán establecidos por limitaciones operativas, técnicas y comerciales. Un método para determinar la estrategia de leyes de corte óptima puede realizarse gráficamente, variando la producción y la ley de corte en una serie de combinaciones. Otro método optimizante más rígido, es el de K.F. Lane, que considera las limitantes impuestas en la operación por parte de la mina, la planta y la refinería o mercado, mediante el uso de curvas tonelaje - ley para cada una de las fases, combinando estas con las diferentes categorías de costos. Este método permite determinar una estrategia de leyes de corte óptima sobre la base de maximizar los valores presentes netos continuos, para un determinado conjunto de parámetros de producción de la mina, planta y refinería (comercialización).

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El método de Lane permite al planificador probar más alternativas y realizar un análisis de sensibilidad sobre la base de precios, recuperaciones y otros parámetros de costos.

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6.5.-Definición del valor económico de un bloque El cálculo correcto de los valores de los bloques es esencial para cualquier optimización. Si están equívocos los valores de los bloques, también lo estará la geometría del pit optimizado. Para propósitos de estimación, existen dos reglas que se deben seguir al momento de calcular el valor de un bloque. A:

Calcular el valor del bloque sobre el supuesto que éste ha sido descubierto y que será explotado.

No se debe hacer ninguna consideración de despeje o stripping supuestas, debido a que ésta se desprende de la optimización realizada. Si se asume una razón de stripping al momento de calcular los valores de los bloques, se estará prejuzgando el resultado de la optimización. De igual modo, no se debe considerar un corte de equilibrio preconcebido. El uso de una ley de corte de equilibrio puede ser útil en el diseño manual de pits; pero es inadecuado para el diseño de pits optimizados pues induce a errores en la optimización. B: Incluir cualquier costo que se detendría si se paraliza la explotación. Esto debido a que, cuando el programa de optimización, se encuentra adicionando un bloque a la geometría del pit, éste esta extendiendo efectivamente la vida útil de la mina. Éste, por lo tanto debe solventar todos los costos involucrados en la extensión de la vida útil de la mina. Los costos principales no recuperables, tales como el costo de construir caminos de acceso, etc., no deben incluirse en los costos utilizados en la optimización. Si el valor del pit optimizado fuera menor a los costos principales no recuperables, entonces, no se deberá proseguir con la explotación de la mina. Desde el punto de vista económico, cada bloque se puede caracterizar por los siguientes parámetros: 1.- Valor económico de la mineralización presente en el bloque(I). 2.- Costos directos atribuibles a cada bloque (C.D). (perforación, tronadura, carguío, transporte, tratamiento,etc.) También existen costos indirectos que son función del tiempo, que no se pueden asignar a los bloques individuables (C.I.). Así entonces el valor económico del bloque estará dado por la expresión siguiente: VEB = I - C.D. El objetivo de la optimización del diseño de la explotación será maximizar el valor económico de los bloques Función Objetivo = Max

(veb)

1.- Maximizar el valor total de explotación 2.- Maximizar el valor por tonelada de producto vendible 3.- Maximizar la vida útil de la mina 4.- Maximizar el contenido mineral dentro de la explotación 5.- Otros.

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No obstante, existen diversos criterios de optimización, pudiendo citarse:

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ALGORITMOS OPTIMIZANTES Uno de los criterios más utilizados en la optimización de yacimientos explotados a cielo abierto, corresponde al criterio económico, que busca maximizar el valor económico de los bloques, y en base a este criterio se centran los algoritmos que se citan a continuación: A.- METODOS PSEUDO-OPTIMIZANTES O HEURISTICOS. Estos algoritmos están basados en la experiencia desarrollada, la cual demuestra que funcionan en forma satisfactoria, a pesar de no estar demostrado matemáticamente.

6.6.-Métodos de definición para los límites económicos de una explotación a cielo abierto Dentro de las actividades a desarrollar en el diseño de una explotación a rajo abierto, se encuentra la que dice relación con definir los límites físicos de dicha explotación, ya que ante la presencia de un yacimiento podemos pensar en extraer todo el mineral o extraer solamente lo que más nos convenga. Esta última proposición es la que finalmente tendrá que prevalecer, ya que es la razón por la cual se explota un recurso, y es esta conveniencia la que nos introduce el concepto de optimizar la explotación de nuestro yacimiento, optimización que se traduce en cuidadosos análisis económicos y operacionales que permanentemente van en busca de ese mejor aprovechamiento global de los recursos. Es así como surgen variados métodos para definir cuales serán los límites económicos de un rajo, que sin duda cada uno aporta un concepto útil y que en muchos casos se combinan para generar otro método. 6.6.1.-Descripción conceptual del algoritmo del cono móvil optimizante La teoría de los conos flotantes para determinar los límites económicos del Rajo, data de los años 60. La técnica consiste en una rutina que pregunta por la conveniencia de extraer un bloque y su respectiva sobrecarga. Para esto el algoritmo tradicional se posiciona sobre cada bloque de valor económico positivo del modelo de bloques y genera un cono invertido, donde la superficie lateral del cono representa el ángulo de talud. Si el beneficio neto del cono es mayor o igual que un beneficio deseado dicho cono se extrae, de lo contrario se deja en su lugar.

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En el siguiente esquema se presenta un perfil de un modelo de bloques sometido al algoritmo del cono móvil optimizante, donde cada bloque está definido por un valor económico, es decir lo que significa económicamente su extracción. Es así que los bloques con valor negativo representan a los bloques de estéril con su costo de extracción asociado (-10) y los bloques de mineral son representados por el beneficio global que reporta su extracción (Beneficio Global = Ingresos - Costos = 810 - 10 = 800).

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En el ejemplo anterior podemos observar que el extraer el bloque de valor positivo (+800) y sus 15 bloques de estéril asociado (-10 cada uno), genera un beneficio final de +650, correspondiente al beneficio de extraer dicho bloque con su sobre carga asociada. Bondades del cono móvil optimizante. El cono móvil optimizante tiene esa denominación ya que es una versión mejorada de la tradicional rutina del cono flotante. El creador fue el ingeniero Marc Lemieux, quién detectó una serie de deficiencias y mermas económicas producidas por el método convencional de conos flotantes y en 1979 publicó el artículo “Moving Cone Optimizing Algorythm”, en Computer Methods for the 80’s in the Mineral Industry, de A. Weiss. El nuevo algoritmo fue probado en Climax Molybdenum Co. y como resultado se obtuvo diseños muy superiores en el aspecto económico, que aquellos obtenidos con el algoritmo convencional. Las principales mejoras de la rutina del cono móvil optimizante con respecto al método tradicional fueron: i)

Secuencias de extracción de Conos:

Esta radica en la secuencia con que son analizados los bloques del modelo. - 10 - 10

- 10 - 10 70 (1)

- 10 - 10 90 (2) 10 (3)

- 10 - 10 - 10

- 10 - 10

- 10

En la figura se puede apreciar el beneficio que reporta la extracción de cada bloque. Los bloques con beneficio positivo ya se les ha descontado lo que cuesta extraer dicho bloque o costo mina (-10).

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- 10

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Si el primer cono se construye en el bloque (1) y suponiendo un ángulo de talud , entonces dicho bloque no puede ser extraído (Beneficio = -10). Al no ser factible la extracción del bloque (1), el segundo cono se construye en el bloque (2), donde el beneficio neto del cono es de +10, siendo en consecuencia ventajosa su extracción, quedando la figura de la siguiente forma:

- 10

- 10 - 10

- 10 70

(1)

- 10 10 (3)

Continuando con la secuencia, el tercer cono se construye en el bloque (3), resultando un beneficio de +30.

De este análisis se concluye que los tres bloques con valor económico mayor que cero son extraídos con un beneficio económico de +40, sin embargo un correcto análisis debiera obtener un pit con valor de +60, dejando en su lugar el bloque (3) con su respectiva sobrecarga, como podemos ver en la figura siguiente: - 10 - 10 - 10 10 (3)

De lo anterior se desprende que la incorrecta secuencia con que se analizan los conos, produce pérdidas económicas cuya magnitud, obviamente, depende de la complejidad de la mineralización, de la variabilidad de las leyes, etc. El problema antes descrito es resuelto por el nuevo algoritmo introduciendo el concepto del “cono negativo”, algoritmo que consiste en extraer todos los bloques con beneficio positivo, para posteriormente devolverlos al rajo con su respectiva sobrecarga y así analizar la conveniencia de extraerlos o bien eliminarlos. En el ejemplo presentado anteriormente, se aprecia que al devolver el bloque (3) con su respectiva sobrecarga, se produce un beneficio económico pues se libera un valor de +20, esto indica que dicho bloque al no extraerse en su condición más favorable debe ser eliminado del análisis. En la práctica la técnica del cono negativo presenta deficiencias similares a las obtenidas mediante lo que se podría llamar el cono positivo, sin embargo un análisis simultáneo de ambas técnicas (cono positivo y negativo) produce resultados satisfactorios. Esta simultaneidad es la que se realiza en la etapa 1 del algoritmo de Lemieux. Conos con sobrecarga relacionada:

Este es el principal aporte del método del cono móvil optimizante, consiste en analizar conos que tengan sobrecarga compartida, por ejemplo: - 10

- 10 - 10

- 10 - 10 70 (1)

- 10 - 10 70 (2)

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- 10 - 10

- 10

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ii)

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Los bloques (1) y (2) tienen un beneficio de +70 (incluido el costo mina). Al analizar conos individualmente, se aprecia que no es conveniente la extracción de dichos bloques, pues cada caso el beneficio neto del cono es -10. - 10 - 10 70

- 10

B = -10

(2)

- 10

B = -10 70 (1)

No obstante si se analiza en su conjunto se ve que es ventajosa su extracción, pues esta trae consigo un beneficio de +40.

B = +40

6.6.2.-Método de Lerchs-Grossman El método bidimensional de Lerchs-Grossman permitirá diseñar, en una sección vertical, la geometría del pit que arroja la máxima utilidad neta. El método resulta atractivo por cuanto elimina el procesos de prueba y error de diseñar manualmente el rajo en cada una de las secciones. La metodología es conveniente, además para el procesamiento computacional. Al igual que el método manual, el método de Lerchs-Grossman diseña el rajo en secciones verticales. Los resultados pueden continuar siendo transferidos a una plano de plantas del rajo y ser suavizados y revisados en forma manual. Aún cuando el pit es óptimo en cada una de las secciones, es probable que el pit final resultante del proceso de suavizamiento no lo sea.

0

1

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$5

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$ 13

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$ 21

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$ 10

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$9

Figura Nº1

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El ejemplo de la figura Nº1 representa una sección vertical por medio de un modelo de bloques del depósito. Cada cubo representa el valor neto de un bloque, si éste fuera explotado y procesado de forma independiente. En la figura los bloques de valor neto positivo se han pintado. Además se ha establecido el tamaño del bloque de forma tal que el método en el perfil del pit se mueva hacia arriba o hacia abajo solamente cada un bloque (máximo), a medida que se mueva hacia los costados.

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Paso Nº1: Sume los valores de cada columna de bloques e ingrese estos números en los bloques correspondientes en la figura Nº2. Este es el valor superior de cada bloque en dicha figura y representa el valor acumulativo del material desde cada uno de los bloques hasta superficie. Paso Nº2: Comience con el bloque superior de la columna izquierda y repase cada columna. Coloque una flecha en el bloque, apuntando hacia el valor más alto en: 1.El bloque a la izquierda y arriba. 2.El bloque a la izquierda. 3.El bloque a la izquierda y debajo. Calcule el valor inferior del bloque, sumando el valor superior con el valor inferior del bloque hacia el cual apunta la flecha. El valor inferior del bloque representa el valor neto del material del bloque. Los bloques de la columna y los bloques en el perfil del pit a la izquierda del bloque. Los bloques marcados con una X no se pueden explotar, a menos que se sumen más columnas al modelo. Paso Nº3:

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Busque el valor máximo total de la fila superior. Este es el retorno neto total del pit óptimo. Para el ejemplo, el pit óptimo tendría un valor de US$ 13. Vuelva a trazar las flechas, a fin de obtener la geometría del rajo. La figura Nº3 nos muestra la geometría del pit en la sección. Cabe señalar que aunque el bloque de la fila 6, en la columna 6, tiene el valor neto más alto del depósito, éste no se encuentra en el rajo, ya que explotarlo reduciría el valor total del rajo (beneficio).

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1)

Método Bidimensional de Lerchs-Grossman

Existen dos variantes recientes de este método, una de ellas (Johnson, Sharp, 1971) utiliza el método bidimensional tanto a lo largo de las secciones como a través de éstas en un intento por unirlas. El otro método (Koenigsberg, 1982) emplea una idea similar, pero trabaja en ambas direcciones al mismo tiempo. Ambos métodos están restringidos a los taludes que son definidos por las proporciones de los bloques y ninguno respeta incluso estos taludes a 45º con respecto a la sección. Este último punto queda mejor ilustrado ejecutando los programas en un modelo que contenga solamente un bloque de mineral (muy valioso). El pit resultante tiene forma de diamante en vez de circular, con taludes correctos en las direcciones E-W y N-S, pero bastante empinado entremedio.

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En 1965, Lerchs y Grossman propusieron dos métodos diferentes para la optimización de rajos abiertos en un mismo documento. Uno de estos métodos trabaja en una sección simple a la vez. Este sólo maneja taludes que están un bloque arriba o abajo y un bloque transversal, de modo que es necesario seleccionar las proporciones de los bloques de manera tal de crear los taludes requeridos (modificar dimensionalmente el modelo de bloques). Este método es fácil de programar y es confiable en lo que hace, pero dado que las secciones son optimizadas en forma independiente, no hay ninguna garantía de que sea posible unir secciones sucesivas en una forma factible. En consecuencia por lo general se hace necesario una cantidad considerable de ajustes manuales para producir un diseño detallado. El resultado final es errático e improbable de ser verdaderamente óptimo.

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2)

Lerchs-Grossman Tridimensional y Flujos de Redes

El segundo de los métodos representados por Lerchs y Grossman (1965) se basó en un método de la teoría de gráficos (grafos), y Johnson (1968) publicó un método de flujos de redes para optimizar un rajo. Ambos garantizan encontrar el óptimo en tres dimensiones, sin importar cual sean las proporciones de los bloques. Naturalmente ambos entregan el mismo resultado. Los dos son difíciles de programar para un ambiente de producción, donde existen grandes cantidades de bloques. No obstante, esto se ha logrado y en la actualidad existen programas disponibles que pueden ser ejecutados en cualquier computador tipo PC en adelante. La mayoría de estos programas utilizan el método de Lerchs-Grossman. Debido a que estos programas garantizan encontrar el subconjunto de bloques con el máximo valor absoluto acatando las limitaciones de taludes, las alteraciones a la geometría del rajo causada por pequeños cambios en los taludes o valores de los bloques son indicadas confiablemente como efectos de tales cambios. Esto ha permitido la apertura del campo del análisis de sensibilidad real, donde los efectos de los cambios de talud, precio y costos pueden ser medidos en forma precisa. Con los demás métodos, sólo es posible el trabajo de sensibilidad más tosco. Lo anterior ha conducido al desarrollo de programas que automatizan algunos aspectos del análisis de sensibilidad, llegando a un punto tal que es posible plotear fácilmente los gráficos del valor presente neto en función, del tonelaje total del pit. 6.6.3.-Método de la relación estéril/ mineral v/ s ley media Tomando como base la ecuación de beneficio: B=I-C y asumiendo un beneficio nulo: B=0 I=C se tiene que: CEI * R * P = ((1 + F * E/M) * (CM + CC) + CP) * FS + CEI * R * CR CEI * R * (P - CR) = ((1 + F * E/M) * (CM + CC) + CP) * FS CEI R P CR E/M F

: : : : : :

CM CC CP FS

: : : :

Contenido de la Especie de interés en el mineral (o Ley en unidades convenientes). Recuperación Total Metalúrgica. Precio de venta de la unidad de la especie de interés. Costo de Refinería Relación de Estéril y Mineral. Incremento de la razón E/M por movimientos extras de material (Rampas, accesos, etc.), (F > 1). Costo de la Mina del material movido Costo de Capital Mina. Costo Proceso del mineral. Factor de seguridad, que incrementa los costos de obtención del producto (FS > 1)

En nuestro caso (Cobre sulfurado), se tiene la siguiente expresión para una tonelada métrica de mineral TM*(L/100)*2204.6 lb/Ton*(RM/100)*P= ((1+1.15*E/M)*TM*(CM+CC)+CP*1Ton M)*FS+... ......+TM*(L/100)*2204.6 lb/Ton*(RM/100)*FyR TM*(L/100)*2204.6 lb/Ton*(RM/100)*(P-FyR)=((1+1.15*E/M)*TM*(CM+CC)+CP*TM)*FS Donde:

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(TM):

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L RM P FyR E/M CM CC CP FS

: : : : : : : : :

Ley media Cu % Recuperación Total Metalúrgica en % Precio de venta en US$/lbCu Costo de fundición y refinería en US$/lbCu Relación de Estéril y Mineral (adimensional Ton/ Ton) Costo de la Mina en US$/Ton de material movido Costo de Capital en US$/Ton de material movido Costo de la Planta de procesamiento de minerales en US$/Ton de Mineral Factor de seguridad, que incrementa los costos de obtención del producto (FS > 1)

También es bueno mencionar que el proceso dependerá del mineral a tratar y por ello hay costos que en algunos casos desaparecen, aparecen, o son reemplazados por los correspondientes al mineral en estudio (calizas, óxidos, gravas, Oro, Zinc, etc.). En el caso del factor de seguridad, queda a criterio del encargado del diseño y por lo general este factor incrementa los costos de un 10 a un 40 %, según la calidad de la información disponible. Dentro de la ecuación, aparece un factor 1.15 que incrementa la razón Estéril / Mineral, esto debido a que en nuestro pit no podemos generar un agujero sin construir accesos hacia él, por lo que se considera un aumento en la razón E/M (es decir aumenta el movimiento de estéril) por concepto de construcción de rampas y accesos. Este valor puede variar según el criterio de los encargados del diseño. A partir de la expresión anterior podemos obtener una relación entre la ley media y los costos por categoría, y podremos observar que se obtiene la misma expresión que permite determinar la Ley de corte crítica para el yacimiento (dejando como FS = 1, considerando el movimiento de una tonelada de mineral sin estéril asociado, es decir relación E/M = 0) y agregando otros costos de administración, depreciación de equipos (mina), venta del producto, etc. Prosiguiendo con el manejo de las expresiones podemos obtener una expresión de la razón E/M en función de la Ley Media, lo que queda como sigue:

TM*(L/100)*2204.6 lb/Ton*(RM/100)*(P-FyR)=((1+1.15*E/M)*TM*(CM+CC)+CP*TM)*FS

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E/M=(({(TM*(L/100)*2204.6 lb/Ton*(RM/100)*{P-FyR})/FS-CP*TM}/(CM+CC)*TM)-1)/1.15

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6.7.-Secuencia de explotación Se denomina secuencia de explotación o estrategia de consumo de reservas, a la forma en que se extraen los materiales desde el rajo, durante el período comprendido entre el inicio de la explotación hasta el final de ella (pit final). La extracción del material se realiza en sucesivos rajos intermedios, los que reciben el nombre de Fases o Expansiones. La secuencia de extracción de las distintas fases tiene una estrecha relación con la distribución de las variables geológicas, geomecánicas, metalúrgicas y económicas del yacimiento. En la actualidad existen mecanismos aproximados que nos ayudan a obtener una secuencia de extracción de los materiales desde el yacimiento. Una técnica muy utilizada se basa en maximizar la recuperación del metal fino del yacimiento y consiste en diseñar rajos intermedios al pit final utilizando la misma metodología de diseño del pit final introduciendo variaciones de precio de venta del producto final (metal), con esto se obtiene una secuencia de rajos más pequeños (pudiendo generarse como fase Nº1 la explotación de dos o más rajos pequeños), en que este o estos rajos tiene o tienen asociado el precio de venta del producto (PVP) más bajo (cada bloque tiene una mayor exigencia para ser extraído), hasta llegar al PVP pronosticado para el largo plazo, el cual corresponde al que originó el rajo final. Esta metodología tiene el problema de que los precios altos hacen mover la dirección de la mina hacia sectores de mejor ley aún cuando estos tengan una mayor sobrecarga, ya que el costo de mover los estériles asociados al mineral permanece constante.

Baja ley

Alta ley

Otra metodología, también utilizada, se basa en generar rajos para diferentes leyes críticas de diseño, por lo tanto el rajo de menor tamaño tiene asociada una ley de diseño mayor, y el rajo final tendrá la ley de diseño más baja y corresponderá a la ley crítica de diseño. Esta metodología privilegia las leyes altas sin considerar la razón Estéril/ Mineral asociada a esas leyes (similar al caso anterior). Una metodología utilizada últimamente se basa en la estrategia de exigir descuentos decrecientes en el beneficio de los bloques, por lo tanto las primeras corridas de conos están afectadas por descuentos más altos que los posteriores. Esto permite estructurar una estrategia de beneficios decrecientes, luego se tendrán fases intermedias con una envolvente iso - beneficio decreciente en el tiempo.

Alta ley

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Baja ley

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Todas estas metodologías permiten favorecer el valor presente de la operación, es decir optimizan el VAN al término de la explotación del yacimiento extrayendo los mejores cuerpos minerales del yacimiento en las primeras fases de la explotación (desde el punto de vista económico), garantizando la salida de las mejores reservas económicas primero dándole una secuencia de extracción con menor riesgo para el inversionista Las fases de explotación se pueden visualizar esquemáticamente en las siguientes figuras:

Fase 3 Fase 1

Pit Final

Fase 1

Fase 3 Pit Final

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Fase 4

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DEFINICIÓN DE LAS FASES A PARTIR DE LA VARIACIÓN DEL PRECIO DE VENTA Dentro de la expresión de la relación E/M v/s Ley media, podemos definir variaciones del precio del producto, lo cual nos hará variar la función mencionada, generando las siguientes rectas: ZONA 1

ZONA 2

ZONA 3

ZONA 4

Razón E/M

SE EXTRAE PF

NO SE EXTRAE PF-F2-F1

NO SE EXTRAE F2-F1 SE EXTRAE PF-F2 NO SE EXTRAE F1

E/MPF E/MF2 E/MF1

SE EXTRAE F1

Ley de Corte*

Ley Media %

LPF

LF2

LF1

En Pit Final para una Ley media de LPF %, se podrá extraer una cantidad de material que cumpla con que el valor de la relación E/M sea menor o igual a E/MPF En Fase 2 para una Ley media de LF2 %, se podrá extraer una cantidad de material que cumpla con que el valor de la relación E/M sea menor o igual a E/MF2 En Fase 1 para una Ley media de LF1 %, se podrá extraer una cantidad de material que cumpla con que el valor de la relación E/M sea menor o igual a E/MF1 Se puede observar que el par ordenado (Ley Mediai, E/Mi), obtenido en el análisis del modelo de bloques, puede caer en distintas zonas, como por ejemplo:

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Zona 1: La porción evaluada no podrá ser extraída. Zona 2: La porción evaluada solo podrá ser extraída si estamos evaluando a pit final. Zona 3: La porción evaluada solo podrá ser extraída si estamos evaluando a pit final o en fase 2. Zona 4: La porción evaluada podrá ser extraída en cualquier caso.

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CAPITULO VII DISEÑOS ESPECIALES 7.1. Diseño de botadero La tendencia actual en minería apunta notoriamente a la explotación de yacimientos mediante el método de rajo abierto, lo que se explica por el menor costo de explotación y mejores productividades que presenta la minería de superficie con respecto a la subterránea. El desarrollo tecnológico y la incorporación de mayores y más eficientes equipos, sumado a la creciente competencia de empresas que proporcionan servicios en la misma faena, ha logrado una baja significativa en los costos operacionales de los rajos permitiendo así explotar yacimientos de leyes cada vez más bajas. Sí bien el objetivo principal de una mina a rajo abierto es cumplir con una determinada tasa de producción de mineral, conveniente es recordar que las razones de estéril a mineral trabajadas normalmente son mayores a la unidad, por lo cual las cantidades de estéril a remover superan varias veces a las de mineral requiriendo de una gran capacidad de áreas de botaderos Partiendo de la base que es necesario mover el material quebrado tan pronto como se va generando a fin de permitir la próxima tronada, y considerando además que hay que depositado para mantener el ciclo continuo, se hace indispensable planificar el lugar en donde se va acumular el lastre removido, de una manera eficiente, se a un bajo costo, con una secuencia y un diseño predeterminado. Es así como el botadero nace en respuesta a la necesidad de ubicar el estéril fuera de la incidencia del rajo, durante un tiempo determinado y procurar que su ubicación definitiva pueda solventar la capacidad requerida a lo largo del tiempo de Bajo esta perspectiva, el diseño y construcción de un botadero forma parte importante de la ingeniería de planificación mina. Un botadero generalmente está constituido por material estéril proveniente de la explotación del rajo durante su vida operativa, pero en faenas de alta cordillera puede contener materiales como morrenas, nieve y hielo, que constituyen una fuente adicional de inestabilidad. El diseño, planificación y construcción de un botadero debe considerar aspectos técnico-económicos tales como condiciones climáticas, hidrología de la costos involucrados y posibles cambios tecnológicos, o cambios en las condiciones de mercado, ya que dependiendo de la ley de los materiales depositados éstos pudieran ser retratados en algún momento, mediante nuevos procesos, generando recursos económicos atractivos. Hoy día, además, es necesario evaluar el impacto ambiental que construcción provocaría, respondiendo al concepto de calidad total. 7.1.1.- Tipos de botaderos Los botaderos se agrupan básicamente según su forma de construcción, es decir, por la manera y evolución en el tiempo de como el material es depositado. Los tipos más frecuentes son:

De avance por volteo: Son los más usados en la minería nacional, ya que permiten aprovechar las diferencias de cotas que se registran en la alta cordillera. También son conocidos como botaderos de ladera por su ubicación física en los cerros.

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De relleno: Corresponde a una depositación del material aprovechando los accidentes geográficos naturales que se encuentran en la cercanía de la operación minera. Los equipos de transporte llegan con la carga de estéril y descargan de tal manera de ir llenando las depresiones del terreno, tales como quebradas, cavidades, grietas de gran tamaño y hundimiento de cerros producto de subsidencia o fenómenos naturales.

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Desde el punto de vista económico es uno de los más conveniente, ya que, su construcción propiamente tal no requiere de grandes maquinarias, pero a su vez presenta un problema de estabilidad cuando las diferencias de alturas entre la pata y el borde superior del botadero son muy elevadas. De terrazas o tortas: Estos botaderos se constituyen básicamente en respuesta a la necesidad de depositar el lastre en topografías regularmente planas. Su operación es más compleja que los anteriores pues requiere generar terrazas de lastre, emparejar los pisos con equipos de apoyo (bulldozer, motoniveladoras u otro) y construir rampas para que los camiones suban a depositar lastre en los pisos o capas superiores de la torta. De avance por volteo con generación de muros: Es el resultado de combinar un botadero de avance por volteo con el de generación de terrazas o tortas. Con este botadero mixto se logra en muchos casos disminuir los costos de transporte, ya que se aprovecha la accidentabilidad topográfica del sector y luego se levantan capas o terrazas, utilizando la tendencia del equipo de movimiento de tierra para ir generando la elevación de muros. 7.1.2.- Factores relevantes en la planificación de botaderos En la planificación y construcción de un botadero deben considerarse aspectos técnicos, económicos y sociales. A. Consideraciones técnicas Contempla especialmente aquellos aspectos cuantificables que requieren de cálculos y de un estudio detallado respecto de las posibilidades técnicas de la ejecución, estabilidad y condiciones de abandono de un botadero. Entre ellos tenemos: Capacidad requerida: Es uno de los factores más importante a considerar en el diseño y construcción de un botadero de manera que el área escogida tenga la capacidad total requerida para el depósito de materiales a lo largo del tiempo. El volumen final y la secuencia de vaciado del material a depositar viene dado por el Plan Minero previamente elaborado. Al respecto, es necesario distinguir entre el material estéril y el mineralizado, ya que este último puede ser sometido a proceso o bien a un retratamiento, por lo cual es recomendable dejarlos en lugares diferentes. Ubicación del botadero: La ubicación definitiva del material estéril removido de la mina debe realizarse en áreas desmineralizadas, a las cuales no se pretenda dar ningún otro de manera que sirvan como lugar de depositación permanente. En forma eventual, por condiciones económicas, se pueden posicionar botaderos en áreas de explotación futura, pensado en el remanejo de ellos. Además, normalmente resulta mucho más ventajoso una depositación única y definitiva, pues involucra sólo un costo de movimiento, amortizable en un período largo de tiempo, que una ubicación temporal con varios ciclos de movimiento de material.

Reprocesamiento de materiales: Los significativos avances tecnológicos en Hidrometalurgía, no resulta desproporcionado pensar en el retratamiento mediante lixiviación del material depositado en el botadero. El costo de considerar el mineralizado como lastre es mayor que el acumular stocks exclusivos para este tipo de material. Por esto las faenas mineras mantienen stocks de mineralizados que en algún momento son usados, generalmente al final de la vida útil del yacimiento. Para pensar en un reprocesamiento de estos materiales, acumulados artificialmente, se debe analizar la granulometría y las características del material, los espesores de las capas a tratar, las condiciones del piso (permeabilidad, pendiente, ~etc.), la posible ubicación de las instalaciones pertinentes la facilidad de recuperar las soluciones evitando contaminar y otras variables que obligan a un estudio más detallado.

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Terrenos de Fundación: El terreno en que se apoyen los botaderos debe ser naturalmente estable y en lo posible topográficamente no muy accidentados. En ocasiones es favorable la presencia de accidentes topográficos, pues algunos tipos de botaderos son ubicados en laderas de cerros o en quebradas secas.

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Estabilidad del botadero: Es el aspecto técnico más relevante y más rigurosamente estudiado, pues de el depende la permanencia y seguridad del botadero a lo largo del tiempo.Variables que deben ser analizadas en profundidad son el tipo y granulometría del material, las propiedades geomecánicas de la roca, la posición del nivel freático, la altura máxima de levantamiento y ángulos de talud del botadero, la predicción de deslizamientos superficiales y/o profundos, las posibles erosiones eólicas y meteorológicas, las socavaciones fluviales y las condiciones del entorno. La altura máxima del botadero debe ser materia de un detallado estudio geomecánico para evitar deslizamientos y quebraduras progresivas de las plataformas de depositación en las zonas próximas a las crestas. En el proyecto de un botadero es indispensable considerar las medidas a adoptar una vez finalizada la etapa de llenado, ante eventuales exigencias de utilización posterior, implicadas en la concesión o en las reglamentaciones ambientales. Hidrología del área: Los efectos del agua en los botaderos son muy importantes por ello es fundamental conocer el comportamiento hidrológico de la zona de depositación del material y a su vez evaluar los cambios que produciría la construcción del botadero en el entorno hidrológico. Se debe tener clara la posición del nivel freático con respecto al botadero ya que afecta la estabilidad debido a presiones intersticiales. Además, conocer los datos pluviométricos y las características de la cuenca receptora a fin de darle oportuna evacuación de las aguas para no inducir problemas de erosión y estabilidad. Los botaderos no son estructuras diseñadas para la retención de aguas, relaves o lodos, por tanto debe evitarse el embalse de líquidos tras ellos y el establecimiento accidental de mantos freáticos en su interior. Para salvar esta situación se realizan obras de deyección, como zanjas de absorción de lluvias y/o nieves y conductos de desagüe. En terrenos llanos impermeables la base de apoyo debe conformarse con una pendiente mínima de un 4 % para el normal escurrimiento de las aguas hacia el exterior.

B. Consideraciones económicas En este punto se incluyen aquellos factores de tipo económico que inciden directamente en los costos de operación. Los botaderos deben disponerse en terrenos de bajo costo, tanto del punto de vista del valor del terreno mismo como de los posibles costos en que se debe incurrir para dejarlos aptos para la depositación y del potencial mineral que pueda cubrir el estéril, por ello es necesario tener reconocido muy claramente los límites del yacimiento y de la propiedad minera. El costo de transporte y de colocación del material en el botadero es muy significativo en los gastos operativos. Por esta razón se toma una necesidad económica planificar el botadero en una zona ubicada lo más cercana a los límites finales del rajo, pero fuera de la incidencia del mismo a fin de salvaguardar la estabilidad, y en lo posible a una cota similar o inferior al lugar de extracción, con el objetivo de minimizar el costo de transporte, tanto por el acarreo mismo, como por la no construcción de nuevos caminos y vías de accesos hacia los lugares de acopio.

C. Consideraciones sociales Se refieren al cuidado y mantención del medio ambiente, antes, durante y después de la colocación del material en el botadero, tomando en cuenta aspectos de seguridad y protección del entorno y los ecosistemas.

Impacto ambiental: El impacto ambiental que provoca un emplazamiento de botaderos, va desde un simple desvío de aguas o formación de presas hasta una contaminación de las aguas y del aire del sector, llevando con ello un peligro de higiene ambiental. Es necesario efectuar un análisis del impacto ambiental que producirá la construcción del botadero, y si es posible cuantificar el daño y evaluarlo si él existiese, para saber si es controlable en el corto plazo. Debe evitarse

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Seguridad: Es necesario tener presente que el botadero permanecerá en el lugar una vez terminada la explotación del yacimiento, es por ello que, su estabilidad también debe perdurar en el tiempo, sin provocar deterioros en los cauces fluviales y/o presas temporales, ni producir derrames no controlados que puedan generar daño a sectores poblados y obras civiles, como caminos, tendido eléctrico y otros de similar importancia.

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el deterioro del entorno paisajístico y el daño a la flora y fauna local. Más aún cuando hoy, en el mercado mundial se esta introduciendo fuertemente el concepto de calidad total. que trae exigencias ambientales cada vez más altas. Es recomendable la no ubicación de botaderos en cauces o zonas de riberas que pudieran en algún momento interrumpir el normal escurrimiento de las aguas al constituirse en presas o diques accidentales, con todo el peligro que esto conlleva. 7.1.3.-Cubicación de botaderos Todo botadero que supere los 20 m de altura, o bien que su capacidad sea superior a 30.000 m3, deberá ser objeto de una evaluación técnica detallada. Ubicada la zona de nuevo botadero se procede a la estimación de su capacidad y del cambio que su construcción generará en el sector en cuestión. Es necesario definir las áreas de vaciado considerando la envolvente del pit final, generada por un plan de largo plazo vigente, a fin de evitar en un futuro las pérdidas de tiempo y los costos de una posterior remoción de un material deficientemente depositado debido a una mala planificación. Normalmente se establecen distancias de protección superiores a 500 m. Las áreas de vaciado deben elegirse de modo que la distancia y las diferencias de cota entre el punto de vaciado y el rajo sean las menores posibles. Los límites del botadero deben respetar condiciones naturales que puedan estar presente, como cauces de ríos, y restricciones físicas impuestas por edificaciones, pertenencias mineras, caminos permanentes, líneas férreas, tendidos eléctricos, embalses y ducterías importantes. Normalmente, los daños producidos en obras de ingeniería anexas no compensa el espacio y los costos generados por su destrucción. El proceso de cubicación de un botadero contempla dos etapas: un cálculo preliminar, para verificar si los sectores disponibles poseen la capacidad requerida, y una cubicación más precisa, discretizando el botadero en pequeños volúmenes de dimensiones preestablecidas, denominados módulos, que además permitirán planificar la secuencia de llenado. Para calcular la capacidad real de un botadero y el espacio que ocupará en un período de tiempo, lo primero es ubicar el punto desde donde comenzará el vaciado del material estéril para luego simular su distribución en el tiempo a fin de determinar su crecimiento real. Se pueden distinguir módulos radiales y cúbicos. Los primeros corresponden a subdivisiones radiales, de un radio de influencia horizontal dado, realizadas a partir del punto de vaciado, considerando como centro de circunferencia. Esta división, así definida en superficie, es proyectada a las cotas inferiores y límites del botadero empleando el ángulo de reposo natural de los materiales comprometidos. Por su parte, los módulos cúbicos son unidades de volumen con dimensiones superficiales cuadradas o rectangulares. La determinación de las áreas encerradas por la intersección de las curvas involucradas para cada cota se efectúa mediante digitalización o uso de planímetro. Luego se procede a la cubicación del volumen de material por curvas de nivel (plantas), ya que resulta más cómodo que el uso de perfiles transversales, mediante alguno de estos dos métodos:

Método del Cono Truncado: Esta técnica se utiliza cuando las áreas involucradas poseen una relación de 1:4, es decir, cuando el valor de un área respecto de su sucesora es cuatro veces mayor. El cálculo se realiza considerando que el volumen encerrado por dos áreas consecutivas corresponde al de una pirámide truncada. En esta situación el método produce un error de estimación muy grande, perjudicando con esto el resultado de la cubicación final. Por tal razón, muchas veces se utiliza un calculo mixto. Con la sumatoria de los volúmenes parciales de los distintos sectores se logra la cubicación total del botadero proyectado. El tonelaje se obtiene empleando la densidad esponjada compactada del material a depositar.

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Método Tradicional: Consiste en calcular el volumen multiplicando la semisuma de las áreas de dos plantas consecutivas por la diferencia de cotas que existe entre ellas.

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7.1.4.- Secuencia de llenado Un conocimiento detallado del plan minero de explotación del rajo es fundamental para establecer la metodología más conveniente de llenado del botadero. Las “fotos” de los diferentes estados de la mina indicarán los tonelajes y lugares de procedencia de los estériles en los distintos períodos. Debe determinarse un punto común de salida del rajo para los diferentes sectores de la mina, de manera que cumpla la condición de ser lugar de tránsito obligado para todo material extraído de dicha área. Frecuente es encontrar más de un punto común de salida para cada sector con el fin de aprovechar varios botaderos a diferentes cotas y en diferentes ubicaciones dentro de la zona trabajada, con el objetivo de disminuir el transporte con mucha pendiente y en largas distancias. Este punto común puede ser estático o dinámico. Un punto dinámico significa que avanza de acuerdo a los rajos intermedios, es decir, se desplaza en el tiempo con armonía respecto de las expansiones definidas para un determinado plan de explotación. El desarrollo de la explotación establecerá la dinámica de los botaderos, determinando sus límites de avance en función de los volúmenes previstos en la planificación de la operación, definiendo así, las superficies ocupadas por cada una de las etapas de la explotación. Este avance de los botaderos, que determina la variabilidad de las distancias de transporte a través del tiempo, se define mediante módulos de llenado. A cada módulo, cubicado en base a las curvas de nivel, se le determina su baricentro por la ponderación de la distancia con respecto a cada uno de los tonelajes depositados en él. Para simular la secuencia de llenado se ubica en el plano un punto común de salida a todos los módulos de cada botadero ("punto de origen"), desde donde se trazan arcos circunferenciales hasta cortar los límites laterales del botadero, formando franjas horizontales que conforman la superficie del módulo, cuyo radio es común para cada punto del módulo. Incrementándose así, la distancia de transporte de estéril, desde el punto de origen hasta la cresta del módulo, en tramos iguales al crecer o avanzar el botadero. De esta manera, a partir de la topografía inicial se van estableciendo las diferentes fases de llenado hasta llegar a la situación final del botadero. La distancia horizontal se mide directamente del plano, una vez definidos el punto de salida del rajo y el baricentro del módulo, como la distancia que los separa siguiendo rutas de transporte definidas con anterioridad. La diferencia de cota entre el punto común de salida del rajo y la cota de avance del módulo y la distancia horizontal respectiva permiten calcular los ciclos de transporte considerando los tiempos fijos y variables a partir de las velocidades asignadas a las unidades de transporte cargadas y vacías, en plano y en pendiente, subiendo o bajando, adicionando los tiempos de carga, de descarga y de maniobras. A partir del costo horario y la capacidad del equipo de transporte es posible determinar el costo de transporte de los diferentes módulos. Por ende, es el costo de transporte de cada módulo el indicador que define la secuencia económica de llenado. Se espera que los módulos avancen en forma homogénea, manteniendo siempre la misma distancia al punto de origen, pero si ocurriera que un sector del módulo ya ha llegado a su dimensión máxima, entonces, se debe indicar la prohibición de vaciar en ese sector del módulo limitando las áreas de vaciado. Una vez completada la capacidad del módulo, recién se pasa a llenar el siguiente, llevando así un vaciado ordenado y un control mejorado de los botaderos.

La construcción de los botaderos debe estar relacionada con la planificación mina a fin de mantener un estrecho vínculo entre lo realmente extraído y lo depositado. No debe olvidarse que las operaciones mineras son en gran medida movimientos de material estéril, y que la economía de la operación depende en buena parte de un manejo y almacenamiento adecuado del lastre. Debe estudiarse el almacenamiento de estéril en condiciones óptimas, sin descuidar factores primordiales como recuperación de aguas y el control de la polución ambiental o de efluentes contaminantes.

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7.1.5.-Construcción de botaderos

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La depositación voluntaria de material estéril constituye una estructura compleja y heterogénea cuyas condiciones varían a lo largo del tiempo, es por ello que resulta necesario controlar la evolución distintos factores comprometidos en ella. Un punto de gran importancia es el relacionado con el traslado del material estéril hacia el lugar de depositación. El transporte de estéril debe tener un costo lo más bajo posible, para ello los botaderos deben quedar cercanos a la faena en cuestión, tratando en lo posible mantener la horizontalidad, evitando con esto un mayor consumo de energía lo que obviamente reduce los costos en el transporte de estéril. Cabe mencionar que los caminos hacia botaderos debieran ser realizados en material de relleno; puesto que su modificación será mínima y así se evita el transporte de ese material hasta los botaderos. Generalmente, en los caminos principales de acarreo se contemplan cunetas de drenaje para canalizar las aguas, además de vías de escape en determinados puntos del recorrido para controlar camiones fuera de control. Estas vías deben tener peraltes y curvas de transición adecuados, para evitar derrames de material desde la tolva del camión. El diseño de los caminos y accesos a los botaderos depende principalmente de las dimensiones y características del equipo a emplear. Se debe contar con bermas cuyas dimensiones sean apropiadas para el tránsito, manteniendo la continuidad del ciclo y ofreciendo condiciones seguras. Así, por ejemplo, el ancho de bermas y de rampas se puede estimar, considerando dos vías, igual a cuatro veces el ancho del equipo de transporte. La concepción de las rampas y su estimación requiere de un desarrollo más especializado, primando en ello aspectos de tipo económico, puesto que es necesario analizar su ubicación, la pendiente a trazar, el número de descansos contemplados, las vías de escape posibles y las condiciones de operación. El método de formación del botadero tiene gran importancia sobre la homogeneidad y la estabilidad del mismo, predominando, según los casos la estratificación horizontal y la paralela al talud. Para el vertido del material existen diversas modalidades. En el caso de minas chilenas es usual encontrar el vertido directo desde camión, maniobra altamente riesgosa. El vaciado directo desde camión o desde correa transportadora, sólo es recomendable en botaderos de tamaño pequeño y cuando no exista peligro de socavación en la pata del mismo. Se puede controlar este riesgo mediante la implementación de un cordón de seguridad (camellón), evitando sobrepasar la altura máxima del botadero establecida según estudios geomecánicos (generalmente menor a 80 m) y utilizando equipos de apoyo. La distancia mínima de descarga a observar es de 3 m, medidos desde el borde de la plataforma, para que luego los bulldozer sean los encargados de vertir el material hacia la ladera del botadero. Incluso puede ser necesario compactar el material con el objetivo de mejorar la estabilidad. En la construcción de botaderos debe prevenirse posibles accidentes producto de las siguientes causas:

Estos accidentes suelen aumentar en caso de mal tiempo, vientos fuertes, escasa visibilidad, siendo conveniente reducir o suspender los ciclos de vaciados en épocas de firmes precipitaciones, que pudieran en algún momento provocar movimientos anormales y una pérdida en la estabilidad del botadero. Además, se recomienda no excavar zanjas recolectoras a menos de 3 m de la pata del botadero, pues se corre el riesgo de socavación en la pata y su posterior derrame. Al proyectar un botadero se debe pensar en su eventual abandono, por ello se deben tener previstas las medidas a tomar una vez finalizado el vertido de lastre.

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Deslizamientos por la ladera de bulldozer, motoniveladoras e incluso, algunas veces, camiones. Caída de bolones sobre personal que transite por la pata del botadero. Interrupción de caminos debido a derrames. Hundimientos de los bordes. Capas de nieves intercaladas que facilitan deslizamientos. Choques de los equipos por malas maniobras en la plataforma.

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La condición es que un botadero no debe dar lugar a problemas de inestabilidad o contaminación una vez finalizada su vida útil, asegurar un respeto de los valores paisajísticos y establecer la reutilización del terreno para otros proyectos (agrícolas, urbanos u otros). En los países desarrollados el tratamiento mínimo habitual consiste en un recubrimiento vegetal, con espesores no inferiores a 40 cms., debiendo ensayarse y justificarse las especies que aseguren un crecimiento adecuado y espontáneo en las laderas. Cuando la estabilidad del botadero pueda verse afectada por saturación accidental deberá asegurarse el mantenimiento en el largo plazo de los sistemas de drenaje, haciéndolos registrables o a lo menos visitables en el momento que se requiera. 7.1.6.-Diseño de botaderos. El material estéril extraído de la mina, debe ser dispuesto en lugares específicos y adecuados para este fin, por lo que tendremos que definir las características de estos lugares. Un buen lugar para un botadero lo constituirá el sector que cumpla de mejor manera todas las exigencias para su habilitación, tanto técnicas como económicas, de las cuales podemos mencionar las siguientes: -

La distancia entre el punto de carga de los camiones en la mina y el lugar de descarga del material estéril (o botadero) debe ser la mínima posible, por una razón económica, ya que el rendimiento de los equipos de transporte es afectado por esta distancia.

D1

D2 Ton/hraTransporte = f (1/D)

El lugar donde se depositarán los escombros o estéril debe ser geológica y geomecánicamente apto para ello, ya que la gran cantidad de material a depositar puede generar siniestros geomecánicos en el sector mismo (hundimiento) o en sectores aledaños (distribución de esfuerzos).

Botaderos

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-

Fallas

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Napa Subterránea

-

El sector elegido debe carecer de importancia económica en el presente y en un futuro, es decir hay que comprobar la inexistencia de recursos utilizables en el sector (por ejemplo un yacimiento con bajo interés económico hoy, pero que puede ser interesante en el futuro, o una reserva importante de

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agua, etc.).

Yacimiento

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La utilización del sector elegido no debe significar un daño ambiental real o potencial, lo cual se garantizaría con un adecuado estudio al respecto.

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-

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7.1.7.-Disposición de botaderos en laderas. Comúnmente se disponen los residuos minerales en las laderas de los cerros circundantes a la explotación, más que nada por razones de simplicidad en la descarga, mantención y estabilidad, además que se encuentra disponible un mayor espacio para la actividad y ésta se puede realizar de una manera más uniforme.

Curvas de

Botaderos

Altura máxima, según la experiencia y los estudios geomecánicos

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Ángulo final de reposo del material (con factor de seguridad)

Ángulo de talud del botadero = 30º - 40º

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7.1.8.-Disposición de botaderos en quebradas. La disposición de material estéril en quebradas solo podrá realizarse en casos que esta actividad no revista un riesgo real o potencial, lo cual se lograría con un adecuado estudio del sector, teniendo precaución con los cauces de aguas que pudiesen ser afectados.

7.1.9.-Disposición de botaderos en pilas o tortas.

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Existen casos en que no se dispone de laderas cercanas en que se puedan depositar los materiales estériles, por lo que se debe recurrir a la construcción de pilas o tortas de acopio. En este caso debe considerarse la construcción o habilitación permanente de accesos sobre la pila misma, a diferencia de la disposición en laderas en que parte de los accesos se habilitan en los mismos cerros.

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7.1.10.-Colapso en los bordes del botadero. Los colapsos en las caras de material compacto, como en el caso de los bancos construidos en roca, se producen en función de las estructuras presentes y por lo general son predecibles, ya que la mayor parte de las veces dichas estructuras son debidamente mapeadas y tienen algún grado de presencia en la superficie, por lo que se puede estimar, prevenir y controlar la ocurrencia de un evento de inestabilidad.

Puntos que definen la cuña

Para el caso de los depósitos de material no compacto o suelto, se pueden apreciar ciertos indicios de inestabilidad en superficie, pero lamentablemente no siempre se puede determinar el volumen afectado por dicha inestabilidad, debido a que la cara por la cual de deslizaría el material inestable no es recta sino curva.

Grieta

?

En algunas ocasiones puede apreciarse en el talud algún indicio de la inestabilidad y de ese modo estimar la curva de deslizamiento, e incluso evitarlo con algún tipo de acción. Este indicio por lo general luce como un levantamiento de la superficie del talud. Grieta

Probable curva

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Abultamiento

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7.1.11.-Mantenimiento de botaderos. Para evitar la situación descrita anteriormente, debemos atacar el punto crítico del asunto, la compactación, ya que así podemos lograr que nuestro material suelto llegue a ser lo más parecido posible a un material compacto, consiguiendo una mejor estabilidad global. La compactación se puede realizarse de distintas maneras, en función de los recursos con que se disponga, pero generalmente se recurre al apoyo de equipos como los Bulldozers y wheeldozers, no siendo muy común observar rodillos compactadores en estos sectores aunque la presencia de estos sería de gran utilidad. Debemos tomar en cuenta que la densidad con que llega y se deposita el material es de 1,92 ton/ m3 (para una densidad in situ de 2,7 ton/ m3), una buena compactación o mantención de un botadero tendría que permitir alcanzar densidades de 2 a 2,1 ton/ m3, es decir un incremento del 9% respecto a la densidad con que llega al depósito o un 78% del valor de la densidad in situ. Debemos notar que esto depende de la granulometría, el grado de esponjamiento con la cual llega el material a los botaderos y obviamente de la calidad de la mantención del depósito. Puede que la densidad en los niveles inferiores del depósito sea mayor por la presión que ejerce la pila de material dispuesto encima de este nivel, por lo que se podría esperar un comportamiento decreciente de la densidad en función de la altura. Otro punto importante que debemos destacar es que a pesar de que no se pueda lograr la máxima compactación con los equipos en comparación a la compactación lograda por la presión de los miles de toneladas sobre una capa de este mismo botadero, es de suma importancia lograr uniformidad en la compactación realizada por los equipos, ya que mientras más homogéneo sea el comportamiento de la densidad por niveles dentro del depósito, más seguro se torna la operación sobre el botadero y se garantiza así la estabilidad general de la pila de material. Si existiesen discontinuidades dentro del depósito, lo más probable es que si ocurriese una falla, o un problema ese sería el punto por donde se manifestaría dicha situación, independiente de que sea o no la causa de ello. Por ejemplo, si un sector se encuentra mal compactado y ocurre un evento sísmico de proporciones, lo más probable es que si hay algún tipo de colapso o daño en la pila de material, éste daño tendría relación al sector antes mencionado sin ser este el causante del evento sísmico.

Nivel de Compactación Máxima

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Zonas sujetas a menor compactación

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Problemas de homogeneidad

7.1.12.-Presión ejercida sobre el terreno por el botadero. Dentro de los efectos que produce la presencia de un gran volumen de material en un lugar donde antes este no existía, 7está el efecto de la presión sobre el terreno. Es por ello que dentro de las consideraciones para la selección de un lugar para la disposición de este material se debe incluir un estudio detallado de las condiciones del sector, para definir si el terreno será capaz de soportar sin problemas la disposición del estéril. Es importante destacar que ha habido casos en que al encontrarse los botaderos muy cercanos a la explotación de la mina, se han detectado algunas anomalías en él rajo (o en minas subterráneas) producto de la presión ejercida por los depósitos de estéril.

Botadero

7.1.13.-Operación en botaderos.

Para ello no basta con la operación solitaria y cuidadosa del operador del camión que descargará, sino que se requiere la operación conjunta de otros equipos de apoyo como los bulldozers y/o wheeldozers, los cuales procederán a realizar su acomodamiento y a la construirán la cuneta de seguridad una vez descargado el material.

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Básicamente la descarga se realiza en las cercanías del borde del botadero, teniendo en cuenta que debe existir una distancia prudente para evitar accidentes durante y después de la operación.

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Descarga hacia el talud del botadero

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Cuneta o Berma

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Descarga sobre el botadero.

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7.1.14.-Cálculo del volumen a utilizar por el botadero y costo de utilización. El cálculo del volumen a utilizar en los botaderos, se realiza con el fin de estimar el espacio físico necesario para la adecuada disposición del material estéril, de modo que podamos definir el lugar o lugares donde se dispondrán dicho material. En función de la necesidad y considerando los aspectos económicos involucrados (costos en el transporte, distancia, discriminación entre estéril con leyes de fino interesantes (es decir potencialmente explotables), tipo de material (oxidado; sulfurado; suelo; etc.) y su potencial uso futuro o su potencial efecto sobre el medio ambiente, características de los sectores disponibles para el depósito de estéril, proceso del mineral principal extraído, etc., se obtendrá como resultado la disponibilidad y ubicación de los sectores para la disposición de estos materiales. Teniendo en cuenta lo anterior, cada sector habilitado para la disposición de materiales tendrá un costo asociado, es decir cada tonelada de material a depositar, con sus características propias costará una cierta cantidad de dinero, por lo que este cálculo es de suma importancia en el momento de evaluar un proyecto de explotación a rajo abierto. Cada bloque de estéril, dentro de la explotación, tendrá asociado un costo de extracción extra por concepto de manejo fuera de la mina, lo cual determinará una planificación especial de su disposición fuera de la explotación. Pueden existir varios tipos de botaderos o acopios, como por ejemplo: -

Botaderos de sulfuros con baja ley (potencialmente lixiviables), en el caso de tener un proceso de flotación o lixiviación de sulfuros de alta ley y que no considere el tratamiento de material de baja

ley. el

Botaderos de óxidos con alta ley (potencialmente lixiviables o comercializables), en el caso de que proceso principal sea de flotación de sulfuros y no se contemple la lixiviación de óxidos.

-

Botaderos de sulfuros con alta ley (potencialmente lixiviables), en el caso de tener un proceso de lixiviación de óxidos y que no considere el tratamiento de material sulfurado.

-

Botaderos de material tipo suelo o material orgánico, para futuras restauraciones ambientales.

-

Botaderos de materiales distintos al mineral principalmente tratado, como carbonatos, arcillas,

gravas,

arenas, etc., que de una u otra manera pueden tener interés económico. -

Botaderos de mineral cuyo tratamiento se posponga en el tiempo, por dar preferencias a los que aportan mejores beneficios actuales en el proyecto (acopios).

-

Botaderos de material con un proceso asociado distinto al mineral principal.

Esto nos indica la necesidad de definir con anticipación los tipos de materiales involucrados en la explotación de una mina a rajo abierto, ya sea como mineral a tratar durante el proyecto como el material estéril o no considerado en el proceso de beneficio definido, ya que la mejor forma de obtener un máximo beneficio es pensar en Otro punto interesante a considerar es que el lugar donde se van a depositar los distintos materiales debe ser apto para ello y no debe significar un problema más que resolver, es decir si estoy pensando en la disposición de un material que en el futuro será lixiviado con ácido sulfúrico (u otro), debo buscar un lugar técnica y económicamente adecuado para ello, donde desde ya o en el futuro pueda implementar el sistema de lixiviación, independientemente

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todo, es decir ordenar los recursos, de modo que siempre exista la posibilidad de aprovechar uno o más recursos.

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de que efectivamente se haga. Esta actitud es el reflejo de la conciencia actual en la minería, adquirida sobre la base de la experiencia de muchos años, la que se puede traducir en “Pensar en lo impensable”. Teniendo en claro todo lo anterior, se puede proceder a calcular el espacio o volumen necesario para depositar los materiales involucrados en la explotación, y el cálculo se puede expresar como: VX = TX /

(m3)

X

VX :

Volumen necesario para depositar el Material X en metros cúbicos.

TX :

Tonelaje del Material X in situ (en la mina).

X

:

Densidad compactada final del Material X en el botadero en toneladas por metro cúbico.

Una vez calculado el volumen necesario, debemos identificar los sectores donde podrán ser depositados los distintos materiales teniendo en cuenta las consideraciones antes descritas y simulando la geometría posible del depósito, de modo que se tenga una aproximación de la forma y los límites del botadero y así poder calcular su capacidad. Para cubicar y visualizar gráficamente los futuros botaderos debemos disponer de la información suficiente de los sectores que serán habilitados para ello, como por ejemplo la pendiente del sector, el ángulo de reposo del material (con el cual va a quedar finalmente el material en forma segura), altura de los depósitos, áreas y las figuras típicas que se formarían en función de estos datos, luego hacer los cálculos geométricos correspondientes de volúmenes y finalmente llevarlos a un plano donde serán representados. Forma posible del Material a depositar

Evaluación del Sector

Disposición final

Cálculo de disponibilidad del sector 138

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Figuras geométricas representativas del depósito

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En el caso de que se requiera cubicar el estado de los botaderos operativos debemos recurrir a técnicas topográficas de cubicación en terreno, realizando inicialmente un levantamiento topográfico y luego evaluar el estado actual del botadero, de modo que se pueda llevar un control de alimentación o crecimiento del depósito.

Levantamiento Topográfico

Estimación del volumen o del crecimiento respecto a mediciones anteriores Separación de unidades y cálculo de geometrías 7.1.15.-Costo de una tonelada de estéril enviada a botadero. Teniendo en cuenta que el material estéril no tiene relevancia económica, desde el punto de vista del beneficio que reporta, sí lo tiene desde el punto de vista de los costos que involucra su extracción y disposición. El valor que posee un bloque de estéril involucra: tendrá -

Costo de extracción desde la mina, en función de las operaciones unitarias asociadas y las distancias que que recorrer ese material sobre el equipo de transporte. Costo asociado a un nuevo manejo del material (en el caso de ser requerido, por ejemplo suelos, acopios de mineral que posteriormente serán procesados, etc.).

se

Costo de mantención de los depósitos (generalmente se asume como parte del costo de servicios mina donde incluyen los costos de los equipos, mano de obra, etc.)

-

Costo asociado a restauración de depósitos (en el caso de imprevistos, lo cual se asume generalmente como

Independientemente del ítem donde se consideren dichos costos debemos notar que la utilización de estos recursos está asociada a la extracción, disposición y manejo adecuado del estéril o material de acopios y por lo tanto forman parte de la gestión en un proyecto de explotación a rajo abierto, principalmente por los volúmenes involucrados en dicha actividad.

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imprevistos de la operación).

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Si no consideramos lo anterior puede llevarnos al punto de tener que revalorizar los bloques de estéril o

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material que no es considerado como procesable, y con ello rehacer el diseño de nuestra explotación.

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7.2.--Explotación a cielo abierto en yacimientos tabulares No necesariamente explotaremos rajos en cuerpos o yacimientos masivos, que aunque su geometría por lo general muestra cierta tendencia en una dirección, siempre la relación entre el largo del rajo y su propio ancho es pequeña (1 a 2). En el caso que se tengan yacimientos con distintas geometrías, se pueden observar algunas características, que detallaremos a continuación. En general definir la extracción o no del mineral sigue siendo un problema económico, basado en los modelos de costos disponibles y en la política de definición de leyes de corte y relación estéril y mineral, la geometría será la que analizaremos suponiendo que en cada caso la explotación es económicamente factible. 7.2.1.-Yacimientos tipo manto Ante la presencia de un cuerpo mineral con características de Manto Único, se analizarán dos posibilidades, las cuales pueden resumir los diferentes casos posibles en este tipo de yacimiento, estos son: Manto Horizontal y Manto Inclinado. Manto horizontal En este caso se tiene que la principal característica que definirá nuestra explotación es la Topografía, ya que si se tiene un yacimiento con una potencia constante (aproximadamente), las condiciones de explotación quedan sujetas a la distribución de leyes y al contorno de la superficie. La secuencia de explotación se definirá en función de la distribución de leyes del yacimiento. Suponiendo que la distribución de leyes es constante (lo cual suele suceder en estos casos), el problema queda sujeto solamente a las condiciones topográficas. Por ejemplo: Se tiene un yacimiento con una distribución de leyes uniforme en la horizontal y en la vertical, una potencia constante y económicamente viable, con la siguiente topografía:

Se puede observar que la elección del punto de inicio de la explotación se puede elegir en cualquier lugar (para el caso da lo mismo), lo más probable es que se elija en el sector en que la superficie esté más cerca del cuerpo. Pre-stripping Fase

Expansiones

Se puede observar que la relación E/ M posterior a la explotación de la fase 1 puede considerarse constante, lo cual junto con el hecho de que se tenga un yacimiento con un límite inferior definido hace suponer que la dotación de equipos necesaria para la explotación permanecerá constante y solo variaría con el hecho de que la distancia de recorrido a la planta vaya variando en el tiempo. La etapa de pre producción dejará a la fase 1 con una relación E /M menor que la de las próximas expansiones, y para mantener una relación E/ M constante puede ser compensado de la siguiente forma:

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Expansiones

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Expansiones

Pre-stripping Fase

Expansiones

De este modo se puede mantener la relación E/ M constante y se puede ir regulando en función de los requerimientos de la faena. En resumen la explotación de un yacimiento de estas características resulta mucho más manejable que otros casos.

En el caso que la topografía no sea la descrita anteriormente, se pude observar lo siguiente:

En este caso se optará por iniciar la explotación en los sectores de menor profundidad.

Expansiones

Expansiones Fase

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Pre-stripping

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O también puede darse lo siguiente:

Expansiones Fase

Pre-stripping

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En este caso la explotación de las tajadas adicionales estará sujeta a las condiciones de la relación E /M y al modelo económico. Puede darse el caso que realizar las expansiones laterales (de la izquierda) sea menos atractivo que realizar la explotación del manto en otros sectores, por lo que podría darse el siguiente caso, en el cual quedaría un sector temporalmente sin explotar (o potencialmente explotable por métodos subterráneos):

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7.2.2.-Manto inclinado En este caso se tiene que la principal característica que definirá nuestra explotación es el manteo, ya que si se tiene un yacimiento con una potencia constante (aproximadamente), las condiciones de explotación quedan sujetas a la distribución de leyes y no tanto al contorno de la superficie, ya que el manto debiera aflorar en algún punto de la superficie, a menos que se encuentre truncado por alguna estructura geológica, lo cual agregaría una dificultad extra. La secuencia de explotación se definirá en función de la distribución de leyes del yacimiento. Nuevamente suponiendo que la distribución de leyes es constante y que el cuerpo no se encuentra truncado, el problema queda sujeto solamente a las condiciones de manteo. Por ejemplo: Se tiene un yacimiento con una distribución de leyes uniforme, una potencia constante y económicamente viable, con la siguiente topografía y condiciones de manteo:

Se puede observar que la secuencia de explotación queda dada por el siguiente esquema:

Pre-stripping

En este caso la etapa de pre producción podría estar ausente, o también podría utilizarse para despejar material estéril mientras se construyen las instalaciones de la planta. La fase La explotación del rajo avanzará mientras pueda sostener la relación E/ M acorde a las restricciones económicas y operacionales de la faena. Se puede observar que dependiendo de la Topografía se observarán variaciones en la secuencia de la explotación y obviamente en los límites del pit final.

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Expansiones

Fase 1

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TOPOGRAFÍA DESFAVORABLE:

Expansiones

Fase 1 Pre-stripping

TOPOGRAFÍA FAVORABLE:

Fase 1 Expansiones

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Pre-stripping

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7.2.3.-Topografía horizontal:

Pre-stripping

Fase 1

Expansiones

Consultores

Ante la presencia de un cuerpo mineral con características de un conjunto de mantos, se analizarán dos posibilidades, las cuales pueden resumir los diferentes casos posibles en este tipo de yacimiento, estos son: sistema de Mantos Horizontales y sistema de Mantos Inclinados.

146

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SISTEMA DE MANTOS HORIZONTALES En este caso es similar al del manto horizontal, sólo que se tendrá que considerar los materiales que se encuentren entre un manto y otro de modo que la explotación cumpla con los requerimientos de movimiento de materiales. Básicamente la potencia o las características de este material son las que definirán en gran medida las características de la explotación. Para el análisis se supondrá un yacimiento con una distribución de leyes uniforme en la horizontal y en la vertical, con potencias constantes y económicamente viable, con la siguiente topografía:

Como en el caso de manto único la elección del punto de inicio de la explotación se puede elegir en cualquier lugar (para el caso da lo mismo), lo más probable es que se elija en el sector en que la superficie esté más cerca del cuerpo.

Expansion

Fase 2

Pre-stripping

Fase

Fase 2

Expansion

Se puede observar que la relación E/ M posterior a la explotación de la fase 2 puede considerarse constante, lo cual junto con el hecho de que se tenga un yacimiento con dos límites inferiores definidos hace suponer que la explotación será similar al caso de un manto único, sólo que en este caso deberá programarse la explotación del manto inferior ya sea paralelamente al superior o posterior a este.

Fase 2

Pre-stripping

Fase

Fase 2

Expansion

Al extraer la pre producción se puede observar que el yacimiento puede mantener una relación E/ M relativamente constante excepto para la fase 1. Se puede optar por diversas configuraciones de explotación para mantener una relación E/ M constante.

147

Consultores

Expansion

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Expansion

Expansion

Pre-stripping

Fase

Pre-stripping

Expansion

Fase

Expansion

En el caso que la topografía no sea la descrita anteriormente, se pude observar lo siguiente:

En este caso se optará por iniciar la explotación en los sectores de menor profundidad.

Expansiones

Expansiones

Consultores

Pre-stripping

Fase

148

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O también puede darse lo siguiente:

Expansiones Fase

Pre-stripping

En este caso la explotación de las tajadas adicionales estará sujeta a las condiciones de la relación E/ M y al modelo económico. Puede darse el caso que realizar las expansiones laterales (de la izquierda) sea menos atractivo que realizar la explotación del manto en otros sectores, por lo que podría darse el siguiente caso, en el cual quedaría un sector temporalmente sin explotar (o potencialmente explotable por métodos subterráneos):

SISTEMAS DE MANTOS INCLINADOS

Consultores

En este caso se tienen condiciones similares a los casos vistos anteriormente (combinación de ellos) destacándose las siguientes posibles configuraciones para la explotación de mantos. Consideremos un yacimiento con una distribución de leyes uniforme, potencias constantes y económicamente viable, con la siguiente topografía y condiciones de manteo:

149

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Se puede observar que la secuencia de explotación queda dada por el siguiente esquema:

Pre-stripping

Fase 1

Expansiones

En este caso la etapa de pre producción podría estar ausente, o también podría utilizarse para despejar material estéril mientras se construyen las instalaciones de la planta. La fase La explotación del rajo avanzará mientras pueda sostener la relación E/ M acorde a las restricciones económicas y operacionales de la faena. Se puede observar que dependiendo de la Topografía se observarán variaciones en la secuencia de la explotación y obviamente en los límites del pit final. TOPOGRAFÍA DESFAVORABLE:

Expansiones

Pre-stripping Fase 1

Consultores

Expansiones

150

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TOPOGRAFÍA FAVORABLE:

Pre-stripping Expansiones

Fase 1 Expansiones

TOPOGRAFÍA HORIZONTAL:

Pre-strippingFase 1

Expansiones

7.2.4.-Yacimientos tipo veta

VETA VERTICAL En este caso se tiene que la principal característica que definirá nuestra explotación es la Topografía, ya que si se tiene una veta con una potencia constante (aproximadamente), las condiciones de explotación quedan sujetas a la distribución de leyes y al contorno de la superficie. La secuencia de explotación se definirá en función de la distribución de leyes del yacimiento. Suponiendo que la distribución de leyes es constante (lo cual también suele suceder en estos casos), el problema queda sujeto solamente a las condiciones topográficas. Por ejemplo: Se tiene un yacimiento con una distribución de leyes uniforme en la vertical y en la horizontal, una potencia constante y económicamente viable, con la siguiente topografía:

151

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Ante la presencia de un cuerpo mineral con características de Veta Única, se analizarán dos posibilidades, las cuales pueden resumir los diferentes casos posibles en este tipo de yacimiento, estos son: Veta Vertical y Veta Inclinada.

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Se puede observar que la elección del punto de inicio de la explotación se definirá en el punto donde la veta aflora. La etapa de pre producción puede no existir o formar parte de movimiento de estéril y acopio de mineral mientras se instala la planta.

Fase

Pre-stripping

Expansiones

Se puede observar que la relación E/ M posterior a la explotación de la fase 1 es creciente a medida que se profundiza la explotación, lo cual junto con el hecho de que se tenga un yacimiento con un límite inferior indefinido hace suponer que la dotación de equipos necesaria para la explotación irá aumentando inevitablemente. En la explotación de un yacimiento de estas características resulta mucho más claro que la profundidad del rajo dependerá del modelo económico y quedará definida por el punto en que la explotación subterránea sea más atractiva. En el caso que la topografía sea diferente a la descrita anteriormente, se pude observar lo siguiente:

Fase

Expansiones

152

Consultores

Pre-stripping

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En este caso la relación E/ M se hace más significativa que en el caso anterior. O también puede darse lo siguiente:

Fase

Pre-stripping

Expansiones

En este caso la explotación de las tajadas adicionales estará sujeta a las condiciones de la relación E/ M y al modelo económico.

Otros casos: Pre-stripping

Fase

En el caso de un yacimiento tipo veta única inclinada, se tienen situaciones similares a las descritas anteriormente, pudiendo generarse alternativas de explotación combinando lo descrito para mantos inclinados.

153

Consultores

Expansiones

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TOPOGRAFÍA DESFAVORABLE:

Pre-stripping Fase 1

Expansiones

Fase 1

Pre-stripping

Expansiones

Consultores

TOPOGRAFÍA FAVORABLE:

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TOPOGRAFÍA HORIZONTAL:

Fase 1

Pre-stripping

Expansiones

SISTEMAS DE VETAS Ante la presencia de un cuerpo mineral con características de sistemas de Vetas, se analizarán dos posibilidades, las cuales pueden resumir los diferentes casos posibles en este tipo de yacimiento, estos son: Sistema de Vetas Verticales y Sistemas de Vetas Inclinadas. Destaquemos que cuando hablamos de sistemas de vetas nos referimos a vetas de potencia suficiente como para ser explotadas por rajo abierto y no a sistemas de vetas que en conjunto podrían formar un solo cuerpo mineral (vetillas o sistema de vetas angostas). SISTEMA DE VETAS VERTICALES En este caso se tienen configuraciones similares a los casos de veta vertical. Supondrá un yacimiento con una distribución de leyes uniforme en la vertical y en la horizontal, una potencia constante y económicamente viable, con la siguiente topografía:

Fase Pre-stripping

Se puede observar que la elección del punto de inicio de la explotación se definirá en el punto donde la veta aflora. La etapa de pre producción puede no existir o formar parte de movimiento de estéril y acopio de mineral mientras se instala la planta. Se puede observar que la forma del fondo del pit dependerá de la distancia que exista entre las vetas, si ésta es relativamente pequeña (para la explotación) el fondo será plano y nivelado, en cambio si la distancia es significativa el fondo del pit adquirirá la forma que minimice la extracción de material estéril (entre las vetas) cumpliendo con las dimensiones operacionales exigidas.

155

Consultores

Expansiones

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En el caso que la topografía sea diferente a la descrita anteriormente, se pude observar lo siguiente:

Pre-stripping

Fase

Expansiones

O también puede darse lo siguiente:

Pre-stripping

Fase

Expansiones

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En este caso la explotación de las tajadas adicionales estará sujeta a las condiciones de la relación E/ M y al modelo económico.

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Otros casos: Pre-stripping

Fase

Expansiones

En el caso de un yacimiento tipo sistemas de vetas inclinadas, se tiene situaciones similares a las descritas anteriormente, pudiendo generarse alternativas de explotación combinando lo descrito para sistemas de mantos inclinados. TOPOGRAFÍA DESFAVORABLE:

Pre-stripping Fase 1

Consultores

Expansiones

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TOPOGRAFÍA FAVORABLE:

Pre-stripping

Fase 1

Expansiones

TOPOGRAFÍA HORIZONTAL:

Pre-stripping

Fase 1

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Expansiones

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7.3.-Explotación a cielo abierto en yacimientos con cuerpos satélites En estos casos se tienen diversas alternativas y la secuencia de explotación dependerá de la calidad y características de los cuerpos (distribución espacial, tonelaje y leyes). Plantearemos dos casos conteniendo tres ejemplos para una misma distribución espacial con una topografía dada. Caso Nº1: Cuerpos con similares leyes.

Expansi Fa 1

Preti i

Probablemente el cuerpo que se encuentra más profundo no pueda ser extraído en las mismas condiciones que los otros (mercado del producto y modelos económicos).

Caso Nº2: Cuerpos con distintas características de Leyes en profundidad.

Preti i

F 1

F 1

Alta Ley Ley intermedia Baja Ley

Consultores

Expansi

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Principalmente se debe evaluar técnica y económicamente la alternativa de iniciar la explotación por uno u otro cuerpo. Nuevamente puede que el cuerpo más profundo (que en este caso es de menor ley) no sea rentable su extracción.

F 1

Prei i

Baja Ley Ley intermedia Alta Ley

Expans i

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En este caso se puede observar que el yacimiento podría ser explotado casi en su totalidad, debido a la distribución espacial de los cuerpos.

160

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7.4.-Explotación a cielo abierto en yacimientos calicheros Dentro de la explotación de minas no podemos dejar de lado la explotación de yacimientos no metálicos, ya que en el norte de nuestro país se realizan operaciones muy interesantes referidas a este tema, como lo son las faenas de extracción de caliche y la explotación del Salar de Atacama, ambas en la segunda región. El caliche, se encuentra situado en capas tipo manto de espesor y ley variables, cubiertas por otra capa de sobrecarga también de espesor variable, la cual debe ser removida (a modo de prestripping) dejando al descubierto el material de interés.

Caliche

Sobrecarga

La remoción de la capa superficial se realiza mecánicamente, a menos que la dureza o compactación de ella requiera el uso de explosivos para su remoción, pero generalmente al tratarse de un tipo de suelo, más que de roca, el uso del bulldozer es suficiente. Posteriormente el wheeldozer realiza algunas pasadas por la zona, de modo que el piso quede lo suficientemente parejo para permitir el acceso y operación de los equipos de perforación.

La perforación se realiza principalmente con equipos pequeños, perforadoras DTH con perforaciones de gr./ton, lo cual es bastante curioso. El explosivo principal es el ANFO.

161

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diámetro 3,5”, y con mallas de perforación variables, lo cual hace que los factores de carga varíen entre 180 y 330

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Los bancos alcanzan alturas de 1.5 a 6 metros, dependiendo del espesor de la capa calichera, lo que hace que en esta explotación se realice la operación en forma muy singular.

El carguío se realiza con cargadores frontales y el transporte en camiones, dependiendo de las capacidades de

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operación de la faena. En faena podemos observar camiones de 85 toneladas.

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CAPITULO VIII INVERSIONES Y VIDA ECONÓMICA DE LOS EQUIPOS Y REEMPLAZO Definida totalmente la flota de equipos hay que definir nuestro calendario de inversiones, en función de la vida económica de los equipos y la vida útil de nuestra faena, ya que esto nos permitirá estimar el momento en que nuestros equipos serán reemplazados o si se les realizará un over-haul para prolongar la vida útil de estos. Las inversiones en equipos (compra o reparaciones generales de gran envergadura) aparecen materializadas en los flujos de caja del proyecto, en el período inmediatamente anterior al período en que se requiere el equipo en la operación, principalmente para programar los flujos de capitales necesarios para dicha inversión. Debemos tomar en cuenta que dependiendo de la duración del período tendremos que programar la inversión en los equipos en función del tiempo que se requiere para realizar la compra y disponer del equipo en la faena, tomando en cuenta la disponibilidad de los equipos por el fabricante, el tiempo de traslado desde la fábrica hasta la faena, la marcha blanca del equipo y todos los procesos involucrados con dicha adquisición y posterior inicio de operaciones, lo cual puede ser equivalente a 6, 8 o 12 o más meses, por lo que si no se ve previamente y definen estos plazos es posible caer en el error de programar la compra de uno o más equipos y estimar equivocadamente el inicio de su operación, lo cual puede causar problemas en la producción de la explotación al no contar con los rendimientos exigidos para dicho período. El reemplazo de un equipo debe seguir un procedimiento similar, con la diferencia que durante la operación del equipo inicial, debemos hacer un seguimiento detallado del comportamiento de los costos y rendimientos del equipo, para poder definir el momento en que el equipo debe ser reemplazado. Los principales factores que influyen en la decisión son: Costos Mantención Preventiva (CMP), Costos Mantención Correctiva (CMC), Costo Mantención Global (CMG), Costo Operacional del equipo (COE) y

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Rendimiento operacional del equipo (ROE).

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US$/hra CMP + CMC CMG

CMP

CMC VEc

Vida Equipo (horas)

VEc

Vida Equipo (horas)

VEc

Vida Equipo (horas)

ton/hra ROE

US$/ton

COE

Debemos considerar que ante la aparición de una nueva tecnología la vida económica de un equipo puede disminuir, es decir que a pesar de que el equipo tenga capacidad para continuar su operación a un nivel de costos aceptable, puede que la adquisición de la nueva tecnología resulte más conveniente económicamente para la empresa, por lo que se tendrá que evaluar el reemplazo del equipo.

PROGRAMA DE INVERSIONES El programa de inversiones tiene como objetivo principal permitir un ordenamiento de las salidas de dinero por concepto de inversiones, de modo que sepamos o tengamos la noción de cuales serán nuestros futuros flujos de realizarse. Principalmente las inversiones se realizan en equipos, infraestructura, desarrollos o preparación de la explotación, como por ejemplo:

164

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inversiones, cuanto significará, cómo se realizará, cuando se harán efectivos y las razones por las cuales deberán

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- Pre-stripping o apertura de la mina. - Equipos mina - planta. - Instalaciones. El pre-stripping será realizado al principio de la explotación, por lo que habrá que pagar o disponer de los montos de dinero para invertir en esta operación antes de comenzar a producir, por ello es que se considera como una inversión. Igual cosa sucede con las instalaciones, la diferencia es que a medida que surgen necesidades de infraestructura habrá que realizar otras inversiones durante el proyecto relacionadas con infraestructura, ya sea por reparación de las existentes, o ampliación de estas. En el caso de los equipos mina y planta se tiene un desgaste asociado a la operación, por lo que dependiendo de la duración del proyecto tendrán que alguna vez ser cambiados o sometidos a una reparación general (over haul), después de un período de funcionamiento conocido como vida útil de los equipos. En función de ello se tendrá que programar las inversiones en equipos tomando en cuenta los siguientes puntos: - Valor del equipo actualizado al momento de realizar la inversión o re inversión. - Vida útil del equipo en horas (o en unidades apropiadas). - Vida económica del equipo en horas cronológicas. - Valor del Over Haul para el equipo. - Vida útil del equipo después del Over Haul. - Tasa de descuento. Ejemplo : Supongamos que el equipo X cumple con lo siguiente: - Valor: US$ 1.800.000. - Vida útil: 25.000 horas horómetro. - Vida económica: 18.000 horas horómetro. - Plazo de entrega en faena: 6 meses. - Tasa de descuento: 10 %. - Utilización: 80 %. - Disponibilidad Física: 80 %. - Factor operacional: 50 min /60 min. - Días trabajados al año: 350 días. - Valor Over Haul: 30 % del valor inicial del equipo. - Vida útil después del over haul: 7.000 horas. Entonces : - Inversión año cero: US$ 1.800.000. - Vida útil cronológica: 46.875 horas, 1.953 días, 5 años y 7 meses.

165

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- Horas trabajadas al día: 24 horas.

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- Vida económica cronológica: 33.750 horas, 1.406 días, 4 años. - Vida útil cronológica después de over haul: 13.125 horas, 547 días, 1 año y 6 meses. - Re inversión:

año 3 (a fines del primer semestre) de US$ 1.800.000 si se compra. US$ 540.000 si se repara.

Año 0 1 Equipo X1 -1.800.000 -1.800.000 Actualizado -1.800.000

Año 4 1 Equipo X 2 Over Haul Equipo X1 -1.800.000 - 540.000 -2.340.000 -1.598.252

Año 6 Fin Equipo X1

Año 8 Over Haul Equipo X2

Año 10 Fin Equipo X2

0

-540.000

0

0

-540.000

0

0

-251.914

0

TOTAL

-4.680.000 Actualizado -3.650.166

ANÁLISIS Y SELECCIÓN DE LA OFERTA DE UN EQUIPO O FLOTA. La selección de un equipo o flota como la elección del proveedor, son decisiones sumamente relevantes, ya que la alternativa elegida puede ser la correcta (por ejemplo entre un camión y correa transportadora, o entre una pala hidráulica o cargadores, etc.), pero la selección de nuestro proveedor desde la Marca del equipo hasta el distribuidor en nuestro país puede llevar a que no sea conveniente para la empresa la adquisición de ese equipo. El análisis deberá pasar por distintos puntos, que según sea la importancia para el comprador y sus intenciones, serán ponderados para la selección del equipo específico en función de algún indicador común (US$/ton, US$/período, etc.). 1.

Especificación técnica:

Deben cumplirse las especificaciones técnicas requeridas, de las cuales hay algunas que no son transables, es decir si un equipo no las tiene queda automáticamente descartado, por ejemplo las dimensiones (para una mina subterránea no puedo meter un equipo más grande que la galería), pero otras son negociables, por ejemplo si un equipo no tiene radio - cassette puede que no sea importante en la decisión de adquirirlo con respecto a otro que si la tiene. 2.

Garantía:

Es muy importante tener en cuenta la garantía ofrecida por el fabricante y el distribuidor de los equipos, saber responsabilidad de cada una de las partes (Fabricante, Distribuidor y Comprador). 3.

Plazo de Entrega:

166

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específicamente cuanto dura y que aspectos abarca (motor 1 año, Chasis 6 meses, por ejemplo), y el grado de

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Es claro que debemos saber cuanto demorará la llegada del equipo a la faena una vez hecha la adquisición, ya que si el dimensionamiento del equipo y el proyecto que involucra su utilización, tienen un plazo definido para su puesta en marcha, por lo que debo saber muy bien Donde, Cuando y Cómo voy a recibir el equipo. 4.

Servicio Posventa:

Un aspecto muy importante dice relación con la calidad del servicio posventa del que voy a disponer para el equipo seleccionado, del cual tendré que saber o considerar: a)

Calidad y Cantidad de Recursos humanos y materiales con que dispone el servicio técnico (metros cuadrados instalados, talleres, oficinas, sucursales en el resto del país, ingenieros especializados, técnicos, etc.).

b)

Factor de Repuestos, si la administración de ellos la asume uno, el proveedor o es compartida.

c)

Atención o dedicación de tiempo a la supervisión de los equipos en faena (en el armado, puesta en marcha, operación, reparación, etc.) y cuanto dura cada una de estas etapas y quien se responsabiliza de ellas. 5.

Precio:

El precio no es un factor muy decisivo, pero no deja de ser importante para algunos compradores por el monto de inversiones a realizar en el momento de la compra. El factor realmente importante es el Costo del equipo. 6.

Costos:

Los costos son los que permiten evaluar el desempeño del equipo y de la operación de él, los costos a considerar serán: -

Costos de operación (basados en información puedo negociar garantías en cuanto a costos de operación bases).

-

Costos de mantención (lo mismo, y debo dimensionar el stock de repuestos)

-

Costos de capital (vidas útiles y precio).

-

Costos de oportunidad (cuanto gano o pierdo por tenerlo antes o después). 7.

Políticas de la Empresa:

Puede que la empresa prefiera tener equipos de la misma marca, para disponer de un solo paquete de servicios y garantías, o elegir un equipo X de una marca e inmediatamente elegir otro equipo Y de la misma marca por la compatibilidad de repuestos (por ejemplo, dimensiono un cargador para la mina y elijo el wheeldozer de tal modo que referencia al cargador). Puede ocurrir lo contrario, que una empresa grande prefiera diversificar marcas, lo cual hará que los distribuidores se esfuercen por demostrar que son los mejores logrando mejoras y compromisos en beneficio de la empresa.

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sus características técnicas sean similares, es decir no dimensiono minuciosamente el wheeldozer sino que tomo como

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Una vez definido el grado de importancia que se le otorgará a cada punto, se evalúa cada oferta, y se van descartando los que no cumplen con las mínimas exigencias, para luego comenzar a negociar con los elegidos, esta negociación pasa por cada punto (es como una corrección a cada oferta), y luego se vé cual es la más conveniente para la empresa. Tengamos en cuenta lo siguiente: " No siempre lo más caro es lo mejor, ni lo más barato es lo más conveniente o económico, debemos ser nosotros

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los que asignemos el valor real del equipo para las intenciones que se tengan con él "

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ANEXO I

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GEOESTADISTICA 1.

INTRODUCCION

1.1

DEFINICION E HISTORIA.

La geoestadística es una disciplina relativamente nueva que se ha desarrollado y consolidado en los últimos treinta años como una ciencia predictiva, con una sólida base teórica y un decidido énfasis en aplicaciones a casos de la vida real, como por ejemplo a la estimación de reservas de minerales. La geoestadística existe únicamente como respuesta a necesidades prácticas concretas (y esta es la base de su éxito). Con esta filosofía, la Geoestadística nació por inspiración de un ingeniero de minas sudafricano, Daniel Krige, (Krige 1951; Krige, 1957), se desarrolló por más de quince años casi exclusivamente en el campo minero, y se mantiene aún como una ciencia aplicada. En un esfuerzo por generar un modelo teórico, fue la escuela matemática francesa la que consolidó sus bases en lo que hoy se conoce como la teoría de las variables regionalizadas ( George Matheron, 1962). Esta concepción teórica nace de la necesidad de diferenciar datos numéricos, aparentemente del mismo tipo, pero cuya posición espacial, los hace distintos para análisis geológicos. Esto ha originado una nueva definición de la geoestadística; la aplicación de la teoría de las variables regionalizadas al reconocimiento y estimación de un fenómeno natural. 1.2.

CAMPO DE APLICACION

El campo de aplicación más importante de la geoestadística es, sin duda, la minería. Sin embargo, el formalismo teórico que la sustenta es de un carácter más general, permitiendo que esta teoría se aplique a muchos campos distintos al ámbito minero, como son la gravimetría, hidrogeología, reconocimiento forestal, ecología, etc. Ejemplos importantes de aplicación son: En la predicción de leyes de mena globales (de todo un depósito) o locales (por ejemplo, predicciones de la ley de mena de la semana entrante o de un cierto sector del yacimiento). En la aplicación de sus contenidos temáticos durante las distintas fases de la exploración, particularmente en la decisión de dónde y cuánto muestrear (planificación minera).

1.3

IMPORTANCIA DE LA GEOESTADISTICA EN LA MINERIA

La Geoestadística considera que cualquier punto de un depósito está espacialmente relacionado con sus vecinos y cuanto más cerca mucho mayor es la correlación. Basado en esta hipótesis, la geoestadística se convierte en una avanzada herramienta para la estimación de

170

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En la determinación de las mezclas óptimas de mineral para su envío a la planta.

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reservas, resolviendo en gran medida las dudas planteadas por otras técnicas. La base teórica de la geoestadística permite cuantificar los conceptos geológicos de: Area de influencia ( rango) Erraticidad del depósito en estudio ( efecto pepita) Zonas de alta, regular y baja mineralización ( anisotropía) Estimación, inferencia o interpolación de valores a zonas donde no se tiene información, minimizando el error posible. Error de estimación para cada punto o bloque estimado, lo cual permite conocer los límites de confiabilidad de la estimación.( Ninguna otra técnica permite conocer estos valores punto a punto). Optimización del muestreo para reducir el error de estimación, y por consiguiente tener un gran ahorro económico para futuras campañas de muestreo en el mismo depósito. Gráfica de toda esta información, lo que representa una valiosa ayuda en la toma de decisiones. La Geoestadística no resuelve todos los problemas en la estimación de recursos minerales, puede considerarse como una herramienta que bien usada puede dar muy buenos resultados. Un punto que se debe enfatizar es que cualquiera sea el método de estimación que se use, siempre el resultado conlleva algún error y la Geoestadística no es inmune a esta situación. No se debe olvidar que el objetivo principal de una estimación de reservas consiste en tratar de representar los resultados de los análisis de los datos del muestreo a todos los puntos del depósito que interesa, y por lo tanto, obtener el dato de ley y tonelaje que más se ajuste a la realidad.

Consultores

La siguiente figura N° 1 representa en forma esquemática la función de la Geoestadística:

171

172

Consultores

EXPECTACION CONDICIONAL

KRIGING INDICADOR

KRIGING LOGNORMAL

KRIGING DISYUNTIVO

NO LINEAL

KRIGING ORDINARIO

LINEAL

ESTACIONARIO

LINEAL

GEOESTADISTICA UNIVARIABLE

KRIGING UNIVERSAL

NO ESTACIONARIO

NO LINEAL

COKRIGING INDICADOR

COKRIGING

LINEAL

ESTACIONARIO

GEOESTADISTICA MULTIVARIABLE

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2.

VARIABLES REGIONALIZADAS

2.1

DEFINICION

La Geoestadística establece que la distribución estadística de la diferencia en el valor de una variable (ley) entre pares de puntos (muestras) es similar a lo largo del yacimiento y que depende de la distancia y orientación entre los pares de puntos. Este concepto, denominado concepto de estacionariedad, es el punto de partida de la Geoestadística y, aunque no siempre se cumple, muy frecuentemente se asume. Así pues, si bien la Estadística clásica considera sólo la magnitud de los datos y no toma en cuenta ningún aspecto relacionado con la posición del dato, la Geoestadística considera no sólo el valor del punto, sino también la posición de ese punto dentro del cuerpo mineralizado y su relación con otras muestras. Desde un punto de vista práctico, estacionariedad implica la decisión de trabajar con muestras localizadas en una determinada área, en forma conjunta y derivar estadísticas e inferir parámetros de la función aleatoria de ellas. Si una función aleatoria es estacionaria, entonces los descriptores univariables (como por ejemplo la media, o la mediana) son independientes de las coordenadas de la muestra. De la misma manera, parámetros como la covarianza o el correlograma son independientes de la ubicación de cada una de las variables, y dependientes de su separación. Una regionalización es el desplazamiento en el espacio (o en el tiempo) de un cierto fenómeno que puede caracterizarse por magnitudes. Una variable puede considerarse "Regionalizada" si está distribuida en el espacio y si tiene (o muestra) algún grado de correlación espacial. La ley de mena, espesor de una formación y la cota (altitud) de la superficie de la tierra, son ejemplos de variables regionalizadas. En realidad, casi todas las variables que se encuentran en las ciencias de la tierra pueden ser consideradas como variables regionalizadas. Una variable regionalizada es una función Z(x), que representa el valor, según su ubicación en el espacio, de una variable asociada a un fenómeno natural. Pero esta función Z(x) no se comporta como las funciones matemáticas clásicas, debido que es muy desordenada en su variación espacial. (ver Fig. N° 2) FIGURA N° 2 COMPORTAMIENTO IDEAL

z(x)

x

Lo ideal matemáticamente

x

Una variable regionalizada se presenta bajo dos aspectos aparentemente contradictorios: Un aspecto aleatorio a otro. Un aspecto estructural

: gran irregularidad y variaciones imprevisibles de un punto : particular a cada regionalización.

173

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z(x)

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2.2

NOTACIÓN CONDENSADA.

Antes de estudiar ejemplos de variables regionalizadas se menciona que en geoestadística se utiliza la notación condensada: un punto del espacio se representa por la letra x; la ley en este punto se representa por Z(x). En consecuencia, se pueden anotar: Z(x) Z(x,y) Z(x,y,z) 2.3

para una variable regionalizada en un problema unidimensional. (1-D) para una variable regionalizada en un problema bidimensional. (2-D) para una variable regionalizada en un problema tridimensional. (3-D)

CAMPO Y SOPORTE.

Se llama campo a la zona en la cual se estudia la variable regionalizada. El soporte es el volumen de la muestra (que puede ser el volumen que se saca para medir ley). Se usa para indicar el tamaño, la forma y orientación de la muestra, es decir el volumen y la geometría de la muestra. (ver Fig. N° 3) El punto x¯es el centro de gravedad del soporte. FIGURA N° 3 SOPORTE

x

Testigo cilíndrico

Se usará Z(x) para representar la ley del volumen de muestra localizado en el punto x. Nota: en el estudio de una variable regionalizada no es conveniente mezclar soportes diferentes. OBJETIVOS DE LA TEORÍA. La teoría de las variables regionalizadas se propone dos objetivos principales: A. B.

En el plano teórico, expresar las características estructurales de una variable regionalizada mediante una forma matemática adecuada. En el plano práctico, resolver el problema de la estimación de una variable

174

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2.4

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regionalizada, a partir de un muestreo fragmentario. A.

Características Estructurales Se entiende por características estructurales:

A.1. Continuidad de las leyes: Diferenciar y caracterizar la regularidad de un yacimiento en casos tales como en la Fig. N° 4 FIGURA N° 4 CONTINUIDAD DE LAS LEYES Z1(x)

Yacimiento 1

x Z2(x)

Yacimiento 2

x

A.2. Anisotropía: Detectar direcciones privilegiadas de la mineralización (ver Fig. N°5) FIGURA N° 5 ANISOTROPIA Anisotropía

Hay una dirección privilegiada de la veta

Problema de Estimación

Se entiende por resolver el problema de estimación, el determinar de manera satisfactoria una estimación de una variable regionalizada a partir de un conjunto de muestras, asignando errores a las estimaciones (globales y locales).

(Ec. 1)

175

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B.

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Los dos objetivos están relacionados: el error de estimación depende de las características estructurales (continuidad, anisotropías) y se tendrá un error mayor si la variable regionalizada es más irregular y discontinua en su variación espacial. Para alcanzar estos objetivos es necesario introducir un modelo matemático. 3.2.1. MODELO MATEMATICO Para alcanzar los objetivos propuestos por la geoestadística es necesario disponer de un modelo matemático. La geoestadística utiliza una cierta interpretación probabilística de la variable regionalizada, mediante el modelo de las funciones aleatorias. En estadística clásica, se consideran los valores muestreados como realizaciones independientes de una misma variable aleatoria, es decir, que se suponen independientes unas de otras, y obedecen a la misma ley de probabilidad. Se busca entonces modelar la distribución de probabilidad de los valores y estimar sus parámetros. Sin embargo, cuando los datos están ubicados en el espacio geográfico, las hipótesis de la estadística clásica son raramente aceptables. Por lo tanto se debe definir el concepto de variable regionalizada, que se trata simplemente de una función definida en todo punto del espacio geográfico y que representa numéricamente el fenómeno regionalizado estudiado. Una variable regionalizada posee las siguientes características, contradictorias en apariencia: 1) localmente, es muy irregular, o errática, y requiere un modelamiento probabilístico; 2) globalmente, presenta cierta estructura en el espacio (zonas de altos valores o “ricas” / zonas “pobres”), lo que sugiere una cierta interpretación funcional. FIGURA N°6: Aspectos local y global de una variable regionalizada 14

30

12

25

10

20

z(x)

zona pobre

8

15

6

10

4

5

2

0

20

local

40

0

zona rica 0

176

200

global

400

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z(x)

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Los modelos geoestadísticos consideran el valor z(x) de la variable regionalizada en un punto x del campo D como una realización de una variable aleatoria Z(x). Las variables aleatorias Z(x) así definidas no son independientes. Por el contrario, están correlacionadas, y son precisamente sus correlaciones las que reflejarán la “estructura” del fenómeno regionalizado, y en especial su grado de continuidad y regularidad espacial. Así en geoestadística probabilística, se interpreta la variable regionalizada como una realización de una función aleatoria. Llamamos funciones aleatorias a un grupo de variables aleatorias distribuidas en el espacio, cada una identificada por su correspondiente coordenada espacial, y cuya dependencia entre sí está gobernada por un mecanismo probabilistico. Es decir, una función aleatoria es una función Z(x) que asigna a cada punto x del espacio un valor que depende del azar. Al hacer un experimento sobre una función aleatoria se obtiene un a función ordinaria z(x) llamada realización de la función aleatoria Z(x). La hipótesis constitutiva de la geoestadística consiste en afirmar que la variable regionalizada en estudio es la realización de un acierta función aleatoria. Lo anterior equivale a decir que las leyes de nuestro yacimiento se generaron a partir de un proceso o experimento muy complejo. Este enfoque permite tomar en cuenta los aspectos erráticos y estructurados de la variable regionalizada: 1) localmente, en el punto x, Z(x) es una variable aleatoria (de donde proviene el aspecto errático); 2) para todo conjunto de puntos x1, x2,… xk, las variables aleatorias Z(x1), Z(x2),… Z(xk) no son, en general, independientes, sino que están ligadas por unas correlaciones que cuantifican la “semejanza” entre los valores que toman (de donde proviene el aspecto estructurado). En geoestadística lineal, se usan sólo los dos primeros momentos (Los momentos de una función aleatoria son parámetros descriptivos de su ley espacial, bastantes simples, como para ser, a menudo, fáciles de calcular.) de la función aleatoria. Entregan una descripción elemental de la ley espacial, y son suficientes para resolver la mayor parte de los problemas encontrados en la práctica. 3.2.2. CONTINUIDAD ESPACIAL.

Se presentan a continuación algunas funciones básicas utilizadas para describir la medida de la continuidad espacial entre dos variables:

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En geoestadística se entiende por medida de la continuidad espacial al análisis de covariogramas, variogramas y correlogramas.

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3.2.1. Covariograma

(Ec. 2) Donde N(h) es el número de parejas (z(xi), z(xi + h)) de datos a una distancia h dada. m-h es la media de los valores izquierdos (si existen) de las parejas de datos a distancia h, definida por: (Ec.3)

Análogamente,

(Ec. 4) Define la media de los valores derechos (si existen) de las parejas de datos a distancia h. 3.2.2. Correlograma

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(Ec. 5)

178

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donde C(h) es la covarianza, s-h y s+h pares a distancia h.

son las varianzas correspondientes a cada lado de los

(Ec. 7)

3.2.3. Variograma

(Ec. 6)

Es una representación gráfica de la interdependencia direccional de las leyes de las muestras.

(Ec. 7) (Ec. 8)

3.3. RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES DE MEDIDA DE LA CONTINUIDAD ESPACIAL

Una función aleatoria es estacionaria de segundo orden si la variable aleatoria z(x0) admite una esperanza matemática independiente del punto de apoyo x0: m = E { Z (x)}

(Ec. 9)

179

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Las relaciones entre las funciones con que se caracteriza a la continuidad espacial se cumple si los datos son considerados como estacionarios. El carácter estacionario implica la homogeneidad de Z(x) en el espacio y significa que el fenómeno representado Z(x) se repite indefinidamente en el espacio.

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y si para todo vector h la covarianza está dada por: C(h) = E { Z(x0) Z(x0+h) }

(Ec. 10)

existe y es independiente de x0. La covarianza da una visión elemental del “acoplamiento” que existe entre Z(x1) y Z(x2). Es una forma bilineal, donde la varianza es la forma cuadrática asociada. Pero esta hipótesis supone la existencia de una varianza a priori finita C(o), es decir C(0) = E { [Z(x)]2 }

(Ec.11)

que es la varianza de la variable aleatoria Z(x0). Es así como los autores de Africa del Sur (D.G. Krige..) a partir del enorme archivo de datos del Yacimiento de Oro de Rand, calcularon la varianza de estas muestras en paneles más y más grandes, finalmente en todo el conjunto del Yacimiento de Rand se pudo concluir con certeza que no existe en este caso una varianza a priori finita. Luego se debió reemplazar la hipótesis estacionaria de segundo orden por una hipótesis más débil, pero de significación análoga:

Hipótesis Intrínseca: Aún en el caso en que la varianza a priori C(o) no existe (es infinita) puede suceder que los incrementos: Z (x0+h) - Z(x0) tengan una varianza finita. Diremos entonces que la función aleatoria Z(x) verifica la hipótesis intrínseca si, para todo vector h, el incremento Z (x0+h) Z(x0) verifica las hipótesis: Hipótesis Intrínseca

E [ Z(x+h) - Z(x) ] = m (h)

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(Ec. 12)

180

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Luego la función g (h) :

(Ec. 13) Se llama semivariograma o función intrínseca. Una función aleatoria que verifica la hipótesis intrínseca constituye lo que se llama esquema intrínseco, caracterizado por su semivariograma. Si Z(x) verifica la hipótesis estacionaria de segundo orden, el variograma y covariograma estarán relacionados:

E [ z(x+h) - z(x) ]

= E [ z(x+h)] - E[ z(x) ] = 0

E {[ z(x+h) - z(x) ]2} = E { [ z(x+h)]2 + [ z(x) ]2 - 2[ z(x+h) z(x)] } = E{ [z(x+h) ]2 } + E{ [ z(x) ]2 } - 2E [ z(x+h) z(x)] 2γ (h) = 2C(0) - 2C(h), luego se tiene

γ (h) = [σ2 - C(h)]

(Ec. 14)

La relación entre el semivariograma y el covariograma cuando las condiciones de estacionaridad de segundo orden se cumplen está dada por:

γ (h) =

σ2 - C(h) (Ec. 15)

donde s2 es la varianza de los datos, C(h) es el covariograma.

γ (h) = σ2 [ 1- ρ(h)] (Ec. 16)

181

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La relación entre el semivariograma y el correlograma queda dada por:

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FIGURA N° 3.8

2

σ

Co

γ(h)

γ(h)

Co h

FIGURA N° 3.9 γ(h)

σ2 γ(h)

En general se cumple:

2

σ =/ 0 ρ(0) =1 =/ 0

2

C(h)= σ −γ(h)

γ(0) = 0

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h

182

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4.

VARIOGRAMA

4.1

DEFINICION

Puesto que la Estadística clásica considera las muestras como aleatorias y completamente independientes entre sí, mientras que la Geoestadística asume una correlación entre ellas, una forma de expresar dicha correlación es a través de una función denominada variograma o semivariograma El Variograma es considerado un elemento esencial en el análisis espacial de datos. Básicamente, el Variograma es una herramienta matemática que intenta capturar el nivel de continuidad de una función aleatoria. David (1978) define el Variograma como una función que mide el grado de similitud (correlación) o dependencia entre dos pares de muestras separadas a una distancia h, en una dirección establecida. (ver Fig. N°10) FIGURA N° 10 VARIOGRAMA

x+ h

x

Esta función define, por tanto, la correlación espacial entre los valores muestreados. El variograma o semivariograma se obtiene calculando, para cada distancia de separación entre las muestras (lag) en una determinada dirección, la diferencia al cuadrado de los valores de dichas muestras. La definición teórica de la función semivariograma g (h) es:

γ (h) = (1/2) E [ z(x+h) - z(x)]

2

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(Ec. 17)

183

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Y en la práctica se usa el algoritmo siguiente:

γ (h) = (1/2)

Promedio

{

2

(diferencias) de leyes en datos que están a la distancia h

} (Ec. 18)

Propiedades del Variograma: El variograma es simétrico: Se anula en el origen: Es positivo o nulo:

(h) ( h). (0) 0. (h) 0.

La gran ventaja del variograma es que incorpora parámetros estructurales tales como: Continuidad o falta de continuidad de la mineralización se refleja en la razón del incremento del g (h) para valores pequeños de h. Zona de influencia conocido como alcance y que representa la distancia en la cual influye el valor de una muestra sobre las muestras vecinas. Anisotropía es una medida de los cambios laterales en la mineralización. Correlacion es conocido como meseta y representada en el gráfico por la altura máxima que alcanza. También es la variación que existe entre las muestras separadas a cierta distancia dentro de un depósito mineral.

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La velocidad del incremento de g(h) con el lag es un reflejo de la velocidad a la cual la influencia de una muestra disminuye con la distancia, y nos da una definición adecuada de la denominada zona de influencia. La distancia en la que g(h) se hace constante corresponde al punto en el que la covarianza cov(h) entre muestras adyacentes disminuye hasta cero. Esta distancia define el límite de la zona de influencia de una muestra.

184

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4.2.

CONSTRUCCION DE UN VARIOGRAMA

Antes de construir el variograma asociado a una variable regionalizada es conveniente efectuar un análisis de los datos. Entre otras cosas hay que examinar: • • • • • •

Soporte de la variable: ¿ está bien definido? Método de muestreo. Implantación y orientación de sondeos. Técnicas de análisis: ¿existen errores de cuarteo, de análisis? Crítica general del reconocimiento. ¿es sistemático, existen sesgos? Homogeneidad: no mezclar zonas heterogéneas.

La siguiente figura N° 11 muestra el papel del variograma como herramienta en el análisis espacial de datos.

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En la práctica, la construcción de un Variograma se puede lograr en una, dos o tres dimensiones (en otras palabras, en una línea, una superficie o un volumen).

185

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MESETA

RANGOS

SOPORTE

a1

ESTRUCTURAS

RANGO

a2

186 MUESTRAS

VARIOGRAMA

PUNTO

VARIOGRAMA RELATIVO

VARIOGRAMA CRUZADO

VARIOGRAMA RESIDUAL

VARIOGRAMA INDICADOR

VARIOGRAMA SIMPLE

TIPOS

REGULAR

EFECTO PEPITA

a1

VARIOGRAMA CRUZADO

VARIABLE 2

VARIABLE 1

{

{

VER.

HOR.

ALEATORIO

ESTRATIFICADO

MULTIVARIABLE

GEOESTADISTICO

ANALISIS

UNIVARIABLE

GEOESTADISTICO

ANALISIS

CORREGIONALIZACION

ELIPTICO

ANISOTROPIAS

CONTINUOS

CONTINUIDAD CERCA DEL ORIGEN

a2

ZONA DE INFLUENCIA

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4.2.1.1. COMPORTAMIENTO DEL VARIOGRAMA PARA DISTANCIAS PEQUEÑAS Se estudiará el comportamiento de la función g(h), para distancias pequeñas. Se analizará cuatro casos en la siguiente figura N° 12

FIGURA N° 12 VARIOGRAMAS PARA DISTANCIAS PEQUEÑAS • Caso 1: Leyes muy regulares y continuas. Z(x) es una función muy regular, su interpretación en un variograma es en forma parabólica en el origen.

Ley

0

γ(h)

x x+h

0

x

h

• Caso 2: Leyes un poco irregulares. En este caso la interpretación a través un variograma genera un comportamiento lineal en el origen. →

Ley

0

x

→ h

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0

γ(h)

187

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Caso 3: Leyes con microvariaciones. Su interpretación a través de un variograma genera un efecto pepita, es decir existe una discontinuidad aparente.

II

Ley

→

γ(h)

Co

0

0

x

• Caso 4:

d

→ h

Leyes con Irregularidad total. (sin ninguna relación)

Ley II

0

x

→ h

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0

→

γ(h)

188

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4.2.1.2.

COMPORTAMIENTO DEL VARIOGRAMA PARA DISTANCIAS GRANDES

Se estudiará el comportamiento de la función g(h), para distancias grandes. Se analizará tres casos en la Fig. N° 13

FIGURA N° 13 VARIOGRAMAS PARA DISTANCIAS GRANDES • Caso 1:

Leyes con crecimiento (decrecimiento) progresivo.

→

Ley

γ(h)

0

0

x

→ h

• Caso 2: Leyes con pseudo-periodicidades . En el caso que exista periodicidad no se observa una tendencia clara del variograma a escala de observación que se tenga. Normalmente entre lo que podría llamarse un ciclo, se observa la formación de una dispersión que frecuentemente se conoce como efecto hoyo.

→

γ(h) Ley

→ h 0

x

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0

189

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• Caso 3:

Fenómeno estacionario (sin pseudo periodicidades y tendencias).

→

γ(h) Ley

0

0

x

a

→ h

4.2.2. CONSTRUCCION DE UN VARIOGRAMA PARA UNA MALLA REGULAR BIDIMENSIONAL. Se usará una malla regular (ver fig. N° 14) para una mejor visión gráfica. FIGURA N° 14 MALLA REGULAR BIDIMENSIONAL.

θ

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Se sabe que el semivariograma depende de “h” que ahora toma un carácter vectorial en dos dimensiones. (ver fig. N° 15)

190

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FIGURA N° 15 DIAGRAMA VECTORIAL En este caso h es un vector h = (hx, hy) h = (h, )

coordenadas cartesianas coordenadas polares

hy

h θ hx

La práctica demuestra que para estudiar la estructura basta con calcular el variograma g (h) en cuatro direcciones. Por ejemplo: q = 0°, q = 45°, q = 90°, y q = 135°. 4.2.3 CONSTRUCCION DE UN VARIOGRAMA PARA UNA MALLA IRREGULAR BIDIMENSIONAL. En la figura N° 16 puede verse la localización irregular de los datos.

Para calcular el variograma a una distancia h=(hx, hy) lo más probable es que no se encuentre ningún o muy pocos pares de datos que estén exactamente a esa distancia. El método de los sectores puede solucionar este problema.

191

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FIGURA N° 16 MALLA IRREGULAR BIDIMENSIONAL.

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Método de los sectores. Este método se basa en la aproximación siguiente, determinada por los elementos de la ilustración que se muestra en la figura N° 17: Dos puntos se considerarán a la distancia h si una vez fijado el primero, el segundo cae en la zona achurada de la figura. FIGURA N° 17

FIGURA DE BUSQUEDA

h1 = h2 = h

B

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A

192

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En ella se ha procedido como sigue: 1.

Se fija un punto A en uno de los datos de la malla irregular, respecto del cual se va identificar la distancia h. 2. Con vértice en A, se definen los parámetros de construcción de la figura de búsqueda (sector achurado) en donde se identifica:

• Un ancho de Banda (máximum bandwidth) • Un ángulo de tolerancia ( q ) • Una tolerancia en distancia (e). 3. Una vez establecido el sector achurado o lag, se determina la pareja asociada a AB, donde B es un dato del lag a la distancia h de A.

4.

Al pasar por cada uno de los datos se realiza el procedimiento anterior para determinar el número de parejas asociados a distintas distancias h (identificados por los lag en la fig. N° 3.18).

FIGURA N° 3.18 FIGURA DE BUSQUEDA A DISTINTOS LAG

Y

Maximun bandwidth lag Tolerancia

lag 4

lag 3

lag de espaciamiento

lag 2 lag 1

Dirección

X

Nota: Estas figuras de búsquedas se realizan en las direcciones principales de estudio. Este método tiene problemas, ya que pueden caer más de un dato en la zona achurada; en este caso se considera la media de los datos.

193

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lag 0

Tolerancia Angular

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4.2.4 ANÁLISIS DE LAS CARACTERÍSTICAS DEL VARIOGRAMA. El Variograma es un gráfico en dos dimensiones donde el eje horizontal representa la distancia entre pares de muestras y el eje vertical representa el variograma de los datos analizados en una dirección dada, como se observa en la figura N° 19: FIGURA N° 19 ELEMENTOS DEL VARIOGRAMA

γ(h) MESETA = CO

C

{

CO

0

h

a

El rango o alcance es la distancia h a la cual el variograma alcanza la meseta. El efecto pepita es identificado por Co , valor determinado por la proyección de la trayectoria del variograma, hasta cortar el eje vertical. Si Co > 0 entonces, existe una concentración de microvariaciones y/o a errores en la manipulación, preparación o análisis químico de la muestra. El efecto pepita incrementa la varianza total del variograma. El alcance “a” proporciona una medida de la zona de relación entre muestras (ver Fig. N° 20) a distancia h £ a (correlacionadas), donde: Una distancia mayor al rango o alcance indica que las muestras se consideran independientes. Una distancia menor al rango o alcance indica muestras correlacionadas entre sí. DIAGRAMA DE RELACION ENTRE MUESTRAS

Datos Independencia

Relación x0

x0-a a

Independencia x0+a a

194

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FIGURA N° 20

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4.3

AJUSTE DEL VARIOGRAMA

Como se verá posteriormente, la estimación de la variable en un punto a través del Krigeage necesita de la utilización del semivariograma, pero no en la forma del semivariograma experimental, pues éste posee numerosas zonas donde no existen valores concretos (únicamente existen valores definidos en aquellos lugares donde se ha realizado el muestreo). Por tanto, puede resultar necesario definir el valor de la variable en puntos donde el semivariograma experimental no ofrece información suficiente. Para ello, es necesario construir un modelo que sí nos permita obtener dicha información. Ahora bien, la pregunta que surge es: ¿qué modelos pueden utilizarse?. A continuación se va a intentar resolver esta pregunta de la forma más sencilla posible. La información más interesante que debería considerarse a la hora de intentar resolver el problema de la estimación de una variable es la descripción de cómo se ha producido el fenómeno. En determinadas situaciones, los procesos físicos o químicos que generan el conjunto de datos pueden ser conocidos con suficiente detalle como para avanzar una descripción completa del perfil a partir de unos únicos valores. En dichas situaciones, aplicar modelos determinísticos sería lo más apropiado. Sin embargo, desgraciadamente son pocos los procesos naturales cuyas pautas de comportamiento son tan bien conocidas como para poder utilizar este tipo de modelos. La mayor parte de estos procesos son, en realidad, el resultado final de una combinación de variables cuyas complejas interacciones impiden describir el fenómeno cuantitativamente. En las Ciencias de la Tierra es necesario admitir la existencia de incertidumbre en el comportamiento del fenómeno entre los puntos muestreados, por lo que es imprescindible acudir a los modelos de funciones aleatorias, que permiten resolver esta problemática planteada. Por esta razón, los estudios de estimación geoestadística se basan en modelos probabilísticos que reconocen estas incertidumbres. En los modelos probabilísticos, el conjunto de datos se muestra como el resultado de la actuación de procesos aleatorios.

Aunque el ajuste de un modelo a un semivariograma experimental es la forma más común de aproximación al esquema de continuidad espacial, no es la única ni necesariamente la mejor. Existen numerosas situaciones en las que la selección del modelo adecuado se debe basar principalmente en aproximaciones cualitativas. La experiencia con conjuntos de datos semejantes puede constituir una guía más óptima que el simple esquema mostrado por unas pocas y solitarias muestras. Más aún, la posible existencia de un semivariograma aparentemente sin posibilidad de modelización no debe obviar este proceso, pues, muchas veces, problemas como un número insuficiente de muestras, errores en el muestreo, valores erráticos, etc., pueden enmascarar el esquema real de continuidad espacial. En resumen, la selección del modelo a aplicar es un cuidadoso proceso en el que se deben considerar todos los aspectos involucrados.

195

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Una variable aleatoria es aquella cuyos valores se generan aleatoriamente de acuerdo con un mecanismo probabilístico. El ejemplo clásico de este tipo de variables aleatorias sería el resultado de tirar un dado, cuyas realizaciones se reparten aleatoriamente entre las seis posibilidades existentes en el dado. De igual forma, se puede definir una función aleatoria como un conjunto de variables aleatorias que tienen alguna localización espacial y cuya dependencia, una de otra, viene determinada por algún mecanismo probabilístico. Este tipo de funciones aleatorias son las que utiliza la Geoestadística.

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Tal como se ha indicado, existe un grupo de modelos que constituyen la base más frecuente a la hora de optar por el modelo más adecuado al semivariograma experimental, todos ellos cumpliendo la condición matemática anteriormente citada. Aunque este cumplimiento pueda parecer, en principio, una restricción, no lo es tanto, pues la combinación de los diferentes modelos genera otros que también cumplen dicha condición, por lo que el abanico final es lo suficientemente amplio como para satisfacer las necesidades requeridas. En otras palabras, cualquier modelo, o combinación de modelos, de los que a continuación se van a citar, permite ajustar todos los semivariogramas que puedan aparecer en el estudio de las variables de carácter minero. El ajuste del variograma teórico debe representar fielmente los aspectos que considera importantes el variograma experimental (ver Fig. 21). Es el variograma teórico el que será utilizado en los cálculos posteriores. Se distinguen dos tipos de variogramas: Calculado a partir de los datos. Ecuación que se ajusta al variograma experimental

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Variograma Experimental : Variograma Teórico :

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FIGURA N° 21

GRAFICA DE AJUSTE DEL VARIOGRAMA

γ(h ) Variograma experimental Variograma teórico

⎪h⎪ El variograma teórico debe respetar al variograma experimental, sobre todo en los primeros puntos, ya que son los más confiables. Para tener un buen ajuste es necesario considerar una cierta vecindad restringida de manera de no considerar demasiadas muestras para estimar la ley del bloque. Los modelos a considerar se pueden agrupar en dos grandes categorías: (a) los que alcanzan una meseta (modelos de transición) y (b) los que no alcanzan una meseta.

Previamente hay que hacer constar que, teóricamente, el valor del semivariograma para una distancia cero debería ser cero. Sin embargo, muchas veces esto no sucede, generando lo que se denomina efecto pepita (Co) (el nombre hace mención a la aparición, mas o menos errática, de pepitas de oro en algunos yacimientos auríferos). Sus causas pueden ser muy variadas: errores de muestreo, fluctuaciones de la variable a una escala menor que la de observación, etc. Dado que su presencia es bastante común, hay que acostumbrarse a trabajar con ella, lo que no necesariamente significa un menoscabo en la utilidad y exactitud de la técnica de estimación.

197

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En el primer grupo se incluyen aquellos modelos en los que la curva asciende de forma continuada hasta alcanzar un nivel, denominado meseta. La distancia a la que alcanzan la meseta se denomina alcance o rango. Entre estos modelos, los más característicos son el exponencíal y el esférico o Matheron. En el segundo grupo están los que van incrementándose a medida que la distancia aumenta, sin llegar a alcanzar una meseta. Los más representativos son el lineal y el de Wijsian. A continuación se van a describir todos ellos, centrándose, especialmente, en el denominado esférico o Matheron, que es el que presenta un mayor número de aplicaciones en minería.

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1) Modelo exponencial Este modelo va ascendiendo lentamente hasta alcanzar la meseta a un valor constante. Existen dos posibles esquemas: Formery y Gaussiano. El primero tiene la expresión: g(h) = C [1 - exp(-[h/a])] + Co Done C es el valor comprendido entre el efecto pepita (Co) y la meseta, h la distancia y a representa el alcance o rango. En este esquema la tangente en el origen intercepta la meseta a un valor de a/3. Por su parte, el esquema Gaussiano posee la siguiente expresión: g(h) = C [1 - exp(-[h2/a2])] + Co en este caso, la tangente en el origen intercepta la meseta a un valor de a/ 3.

2) Modelo esférico o Matheron El modelo esférico o Matheron es el que mejor se suele ajustar cuando se trata de variables mineras ( ley o espesor). El modelo esférico presenta una curva del semivariograma que aumenta rápidamente para bajos valores del lag para, posteriormente, ascender más lentamente hasta alcanzar una zona plana a valores del lag altos. Una tangente a la curva, dibujada a partir de los dos o tres primeros puntos, define un par de valores en el eje X (g(h)) que se denominan Co y C. Esta tangente, a su vez, intersecta la prolongación de la zona plana a 2a/ 3, siendo a el punto, en el eje Y (lags), donde el semivariograma alcanza la zona plana. La distancia entre la curva y la zona plana para lags inferiores a "a" representa la covarianza entre las muestras. Más allá de a, la covarianza es cero y, por tanto, no hay relación entre las muestras tomadas a esas distancias. g(h) = Co + C [1.5(h/a) - 0,5(h/a)3] para h < a g(h) = Co + C para h > a Donde Co es el efecto pepita, Co +C es el valor de la meseta, a es el alcance o rango y h es el valor del correspondiente lag. Co +C viene a representar el equivalente geoestadístico de la varianza del conjunto de datos. Si el semivariograma muestra fluctuaciones aleatorias alrededor de una línea horizontal, entonces se tiene lo que se denomina efecto pepita puro, siendo mejor, en este caso, llevar a cabo la evaluación del yacimiento por cualquiera de los métodos clásicos comentados anteriormente. No obstante, la presencia del efecto pepita puro no implica necesariamente una ausencia de continuidad en la estructura del semivariograma sino que puede ser debido, por ejemplo, a una red de muestreo con distancias muy grandes entre muestras.

Este modelo se presenta cuando, al representar V*(h) frente a los lags, se obtiene una línea recta. El modelo presenta la ecuación: g(h) = p.h + k

198

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3) Modelo lineal

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donde p es la pendiente de la recta, h el lag y k la intersección en el eje X (g(h)) Este modelo suele estar presente en algunos yacimientos de hierro (Annels, 1991).

4) Modelo de Wijsían En este modelo, al igual que en el anterior, g(h) se incrementa más allá del valor de la varianza de los datos. En una primera observación, parece ser semejante al modelo lineal, pero si se representan los valores de g(h) frente al logaritmo de h, entonces se obtiene una línea recta. Tiene la expresión: g(h) = 3

[Ln(h/L) +3/2]

Donde es el coeficiente de dispersión absoluta, una medida de la variación espacial, y L se define como el espesor equivalente. Ambos coeficientes pueden determinarse calculando los valores de g(h) para dos lags, con lo que se obtiene dos ecuaciones con dos incognitas. Este tipo de modelo tiene una aplicación más restringida aún que el lineal, estando presente únicamente en algunos yacimientos hidrotermales, principalmente de estaño, y utilizando como variable el espesor del cuerpo mineralizado. Algunas particularidades respecto a los modelos de variogramas Existen situaciones en las que, si bien no es posible el ajuste inmediato de un tipo concreto de modelo, no hay razones para rechazar la posibilidad de buscar una continuidad espacial. Entre las muchas posibilidades existentes, Anneis (1991) pone de manifiesto algunas muy características, como son: a) b) c) d) e)

Semivariogramas con tendencias. Semivariogramas con efecto agujero. Semivariogramas compuestos. Semivariogramas con estructuras anidadas. Anisotropia.

Una asunción que se hace en la Geoestadística es que no existen tendencias dentro del yacimiento que puedan causar una ruptura en el concepto de estacionariedad. La ruptura (o cambio en la tendencia de la meseta), se produce en una distancia claramente superior al alcance, por lo que no tiene una mayor incidencia en la estimación local de los bloques definidos para el yacimiento, pues las dimensiones del área de búsqueda (alcance) son menores que la distancia representada por el punto donde se produce la ruptura. Cuando este tipo de comportamientos dominan el semivariograma, es decir, la ruptura se produce a distancias próximas al alcance, con lo que se rompe el concepto de estacionariedad, es necesario utilizar una técnica que se denomina Krigeage universal (Journel y Huijbregts, 1978), en lugar del Krigeage ordinario que se aplica en las situaciones de estacionariedad.

199

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a) SEMIVARÍOGRAMAS CON TENDENCIAS

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b) SEMIVARIOGRAMAS CON EFECTO AGUJERO O EFECTO HOYO Este efecto puede reconocerse cuando alternan áreas con alta ley y áreas con baja ley. El resultado es una pseudoperiodicidad reflejada en una oscilación del semivariograma alrededor de una aparente-meseta. c)

SEMÍVARIOGRAMAS COMPUESTOS

Cuando la prolongación de la línea que une los dos o tres primeros puntos del semivariograma corta la meseta a una distancia mucho menor que la correspondiente al alcance general del semivariograma, es muy probable que la situación corresponda a una mezcla de dos semivariogramas esféricos. El modelo compuesto tendría, pues, la siguiente forma: g(h) = Co + C1 [3h/2a1 - (h/ a1)3/2] + C2 [3h/2 a2 - (h/a2)3/2] Así es posible calcular el valor de g(h) para cualquier distancia, teniendo en cuenta las tres partes que definen el semivariograma. Este tipo de estructuras pueden ser causadas, por ejemplo, por la presencia de zonas mineralizadas más ricas dentro de una matriz de mineralización dispersa. También son comunes en yacimientos aluviales de oro, reflejando el alcance más corto los canales individuales y el más largo la anchura total de la zona de interés económico. e) ESTRUCTURAS ANIDADAS

Una estructura de rango largo puede estar sobreimpuesta con una estructura de rango corto. El uso de modelos anidados provee suficiente flexibilidad para tomar en cuenta ambas estructuras. Es de tener en cuenta que la sobre-sofisticación de por sí generalmente no produce beneficios. Cada una de las estructuras modeladas debe ser explicada por la geología del depósito o los fenómenos físicos involucrados. Por ejemplo, cierto mineral puede presentar regionalizaciones de distinto rango, correspondiente a distintas etapas en la mineralización. Tal caso podría ser modelado con tal vez el mismo tipo de función (esférica, por ejemplo), de distintos rangos.

200

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En aplicaciones reales es común encontrar que los variogramas experimentales se pueden modelar con más de una estructura teórica. Por ejemplo, el variograma típico no parte de cero, sino que muestra una discontinuidad en el origen (efecto pepita). Por ello, la primera estructura del modelo considerará un valor en el origen, Co . Además, el variograma suele mostrar distintos tipos de correlación espacial a distintas distancias.

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d) MODELAMIENTO DE LA ANISOTROPÍA El comportamiento de los variogramas experimentales en distintas direcciones puede ser la clave para entender y caracterizar la variable regionalizada. Hay dos modelos básicos de anisotropía: • Anisotropía Geométrica. • Anisotropía Zonal

1. ANISOTROPÍA GEOMETRICA Si los variogramas en las direcciones principales presentan un mismo valor de meseta, pero alcances distintos para diferentes direcciones como lo muestra la figura N° 22, hablamos entonces de Anisotropía Geométrica: FIGURA N° 22

ANISOTROPÍA GEOMETRICA

γ(h) c d ir

o

2

d ir

1

a2

⎪h⎪

a1

Estos tipos de variograma se pueden reducir a un variograma isótropo mediante una transformación lineal de las coordenadas.

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Luego la elipse de anisotropía geométrica (rosa de alcances) queda gráficamente en la Fig. 23 como:

201

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FIGURA N° 23

ELIPSE DE ANISOTROPÍA GEOMETRICA

y

y’

x’ a2

a1

ϕ

x

Donde los alcances a1 y a2 corresponden a los valores de las longitudes de los semiejes de la elipse.En el caso isótropo los alcances son iguales y, por tanto, la figura se convierte en un circulo. Sea el factor de anisotropía k=( a1/a2) > 1, donde k es la razón del alcance mayor al menor. Las fórmulas de transformación de coordenadas nos muestran que:

Donde la dirección 1.

(Ec. 20) es el ángulo formado entre el eje x y el eje x’ de la elipse. g1 es el variograma de

2. ANISOTROPÍA ZONAL

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Se habla de Anisotropía Zonal cuando los variogramas de la zona en estudio presentan distinto valor de meseta y distinto alcance para diferentes direcciones, como lo muestra la Fig. N° 24

202

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FIGURA N° 24

ANISOTROPÍA ZONAL

→

γ(h ) dir 1

c1

dir 2

c2 a2

γ(h1 ) →

γ(h2 ) →

⎪h⎪

a1

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o

→

203

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5. VALIDACION CRUZADA 5.1.

DEFINICION

Es una técnica simple, cuyo objetivo consiste en determinar el modelo del variograma obtenido con los datos muestrales que mejor los representa. Se trata de elegir el mejor entre dos o más modelos alternativos disponibles y así usar con mayor certidumbre dicho modelo en un krigeage. La idea es estimar Zv, en cada ubicación donde exista una muestra en un bloque o zona V (ver Fig. N° 25). Ignorando el valor de la muestra existente en ese punto, se estima Zv a partir de las muestras colindantes dentro de la zona de interés, utilizando el modelo del variograma y el krigeage. Una vez estimada esa muestra, la siguiente se estima restituyendo el valor original anterior. Se repite el proceso tantas veces como muestras hayan. Al final se conoce en cada punto de la zona de interés, un valor observado y un valor estimado, pudiéndose establecer, a continuación, una relación entre ambos tipos de valores, lo que da una medida de los errores cometidos. Como el Krigeage utiliza el semivariograma, variando los valores de éste se podrá buscar la opción que genere una menor diferencia entre los valores estimados y los reales. Este proceso iterativo permitirá definir qué parámetros del semivariograma (los citados efecto pepita, meseta y alcance) son los más adecuados para la óptima modelización. La mejor situación sería que todos los puntos estuviesen situados en la bisectriz del cuadrante, lo que indicaría que el valor real (Z) y el estimado (Z’) son semejantes. Todo lo que se separe de dicha bisectriz indica error en la estimación. Algunos especialistas han cuestionado la validez y utilidad del método, principalmente porque no es suficientemente sensitivo como para detectar ventajas menores de un modelo de variograma comparado con otro. (clark, 1986, Davis, 1987, Isaaks and Srivastava, 1989). Además, el análisis se realiza utilizando las muestras, lo que no permite obtener una conclusión definitiva acerca de toda el área A. En particular, si las muestras no son representativas del área, re-estimar con buena precisión estas muestras no implica que el modelo de variograma permita una buena estimación del resto del depósito.

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Sin embargo, la técnica es útil como una indicación general de las bondades (o los posibles problemas) asociados con el modelo de variograma escogido. Además, los datos estadísticos recogidos permiten entender mejor los resultados del estudio geoestadístico, y por ello se debe poner a la validación cruzada como una técnica más del análisis exploratorio de los datos. También permite detectar los problemas mas serios durante el proceso de estimación, como son problemas computacionales, errores groseros, etc. En general, la validación cruzada es un ejercicio que debe ser tomado como un ensayo general, antes de llevar a cabo la estimación total del área.

204

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FIGURA N° 25 BLOQUE O ZONA V

z(xi) V

5.2.

CÁLCULOS DE LOS ESTADISTICOS

Para determinar la calidad del modelo de variograma empleado y del plan de krigeage empleado, es necesario calcular algunos estadísticos: A = (1/N) i B = (1/N) ( i / Z’v) C = (1/N) [ ( Z’v - Zv) /

]2 (Ec. 21)

Donde: • • • •

Zv es el valor observado Z’v es el valor estimado i = Z’v - Zv = error de estimación 2 varianza del error

Si el modelo de variograma está correcto, se deberían cumplir las relaciones siguientes: A B C

0 0 1

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Con los datos obtenidos por medio de esta técnica se construye una gráfica como la que se muestra en la fig. N° 26; se prueba si existe una buena relación entre los datos observados y los estimados. (Coeficiente de correlación).

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FIGURA N° 26 DATOS OBSERVADOS v/s DATOS ESTIMADOS

zv

∧

zv

Los datos estadísticos recogidos permiten entender mejor los resultados del estudio geoestadístico y por ello se debe poner a la validación cruzada como una técnica más del análisis exploratorio de los datos.

5.3.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA VALIDACION CRUZADA

5.3.1 VENTAJAS •

Es útil como indicación general de las bondades( o los posibles problemas) asociados con el modelo de variograma escogido.

•

Permite detectar los problemas más serios durante el proceso de estimación, como problemas computacionales, errores groseros.

•

No es suficientemente sensitivo como para detectar ventajas menores de un modelo de variograma comparado con otro.

•

El análisis se realiza al utilizar las muestras, lo que no permite obtener una conclusión definitiva acerca de toda el área. • Al tener una malla aleatoria estratificada( o malla regular). Al remover un punto, siempre queda mal estimado, no se puede discriminar entre 2 modelos.

•

Si las muestras no son representativas del área, re-estimar con buena precisión estas muestras no implica que el modelo de variograma permita una buena estimación del resto del depósito.

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5.3.2. DESVENTAJAS

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En cualquier caso, constituye el método más común y utilizado para testificar la bondad del ajuste del semivariograma. 5.4. CONSIDERACIONES SOBRE EL ÁREA DE BÚSQUEDA Cuando se describió el método de estimación del inverso de la distancia, se hizo mención a las características que debía presentar el área de búsqueda, es decir, cómo se definía la zona de captura de los puntos que entraban a formar parte de la estimación. En el Krigeage, es necesario volver a incidir en este tema, si cabe con mayor profundidad. Para guiar la discusión, se puede centrar el problema en las siguientes cuestiones: a) Forma del área de búsqueda b) Número de muestras a capturar c) Relevancia de las muestras 5.4.1

FORMA DEL ÁREA DE BÚSQUEDA

La morfología del área de búsqueda suele ser, normalmente, una elipse centrada en el punto que va a ser estimado. Su orientación viene dictada por la anisotropía del esquema de continuidad espacial, con el eje mayor de la elipse en la dirección de máxima continuidad. Si no existe dicha anisotropía, la elipse se convierte en un círculo y la cuestión de la orientación deja de ser, obviamente, relevante. Todo lo mencionado es para dos dimensiones, por lo que si la estimación se produjese en tres dimensiones, habría que cambiar, evidentemente, la elipse por un elipsoide o el círculo por una esfera. 5.4.2

NÚMERO DE MUESTRAS A CAPTURAR

El siguiente paso seria definir el tamaño de la elipse, es decir, cuántos puntos de estimación deben incluirse en ella. La respuesta más simple establecería que tendría que incluir algunas muestras, viniendo este aspecto condicionado por la morfología de la malla de muestreo. En la práctica se intenta conseguir que la elipse incluya, al menos, de 6 a 12 puntos de estimación. En mallas irregulares de muestreo, la longitud de la elipse debe ser ligeramente mayor que la distancia media de muestreo, viniendo ésta definida, de forma muy general, por:

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DMM = (St/n)1/2 donde: DMM = Distancia media de muestreo. St = Area total cubierta por las muestras. n = Número demuestras.

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La cuestión todavía no ha sido resuelta del todo, pues quedan algunos aspectos que comentar. En primer lugar, cuantas más muestras se incluyan, mayor será el número de operaciones que debe llevar a cabo el sistema de ecuaciones y mayor será el suavizado en la estimación. En segundo lugar, si se incluyen muestras cada vez más y más lejanas la estacionariedad puede no ser asumida, con lo que la estimación queda en entredicho. El primer aspecto queda minimizado. En cuanto al segundo, genera que conceptos básicos como el carácter de mejor estimador insesgado del Krigeage no se cumplan, por lo que es necesario intentar llegar a un compromiso en cuanto al tamaño de la elipse. Es regla común utilizar, como semi-eje de la elipse, un valor próximo al alcance del semivariograma en la dirección considerada. De esta forma se asegura el mantenimiento de la estacionariedad y se cumple la correcta estimación. No obstante, el ampliar este valor no excesivamente, cuando el número de muestras es insuficiente, mejora el proceso de estimación (Isaaks y Srivastava, 1989). 5.4.3 RELEVANCIA DE LAS MUESTRAS

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Esta cuestión incide en dos aspectos. Por una parte, la posible presencia de agrupamientos de muestras, que queda resuelta. Por el diseño del propio sistema de ecuaciones de Krigeage, que toma en cuenta y pondera este fenómeno. Por otro lado, el segundo aspecto hace mención a la importancia de las diferentes muestras para su inclusión en la estimación, por ejemplo en cuanto a su pertenencia a la misma población que el punto a estimar. Esta cuestión es casi imposible de asegurar, y menos de verificar, por lo que la decisión debe venir acompañada de una información de tipo cualitativo. En otras palabras, el estudio geológico completo de toda la información presente es el mejor camino para definir qué muestras son relevantes y qué muestras no lo son, pudiendo ser estas últimas apartadas del proceso de estimación. Este problema, en yacimientos de baja complejidad geológica puede no ser tal, incrementándose según aumenta la dificultad de la interpretación geológica.

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6.

ERROR DE ESTIMACION

El error de estimación es entendido como la diferencia entre el valor real y el valor estimado de un punto o bloque.

Error de Estimación

Valor estimado (conocido)

Valor real (desconocido)

(Ec. 22) Por otra parte, la estimación Z’v de un bloque se efectúa en términos de los valores observados Z(xi) de puntos colindantes mediante la expresión:

Ν ∧ z v = ∑ αi z (xi)

αi = pesos o ponderaciones

i=1

(Ec. 23) En que los ai verifican la condición de insesgado:

α1 + α2 + α3 +.............+ αN = 1 Las ponderaciones i serán más altos para valores y serán más bajos en puntos más lejanos.

(Ec. 24) z (xi) en puntos xi más cercanos al bloque

Se asume entonces que el error , es una magnitud aleatoria, es decir, una variable aleatoria. Esta magnitud aleatoria tiene una cierta ley de probabilidad caracterizada por una esperanza matemática m , y una varianza 2. Luego la ley de probabilidad del error es la ley normal o de Gauss (ver fig. N° 27)

209

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es desconocido, la cual se En la ecuación 22, como Zv es desconocido, entonces renuncia en conocerlo en signo y magnitud. Sin embargo, se puede caracterizar probabilísticamente el error , al utilizar un modelo matemático.

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FIGURA N° 27 LEY NORMAL O DE GAUSS

Las siguientes áreas de la Ley de Gauss:

68%

6.1.

95%

99.7%

CALCULO DE LA VARIANZA DE ESTIMACION

La varianza de estimación se refiere a la varianza del error entendido como la diferencia entre el valor real y el valor estimado de un punto o bloque, se supone que los errores tienen esperanza nula.

En la práctica se utiliza un riesgo de equivocación del 5%. En otras palabras si los 2 errores tienen distribución normal de esperanza cero y varianza

-2

2

con 95% de confianza, o bien

210

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(Ec. 25)

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Zv = Z’v +/- 2 En todo caso la expresión teórica del valor zv desconocido está dada por: Zv = (1/v) ∫z(x) dx

(Ec.26)

Al reemplazar en la ecuación 25 queda Ν

σ2ε = Ε [ ∑ α z (x ) - (1/v) ∫ z(x) dx]2 i i i=1 v (Ec. 27) Al resolver el binomio se obtiene: 2

σε =

Ν

2 ∑ αi i=1

(1/v) ∫ γ(xi,x) dx - (1/v ) ∫ ∫ γ(x,y) dx dy - ∑ ∑ αi αj γ( xi,xj) vv i=1 j=1

que es la expresión fundamental del cálculo de • • • • • •

Ν Ν

2

2

(Ec. 28)

. Donde:

N xi v (h) i

es el número de datos son las coordenadas de los datos es la geometría y el tamaño del bloque o zona v es el variograma es el peso o ponderación que se asigna a la participación de Z(xi) en el cálculo de Z’v x(ó y) es un punto variable dentro del bloque

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Nota: Para el cálculo de la expresión fundamental, se supone que se conoce el modelo del variograma.

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Significados de los términos en la expresión de a. El término xi, xj

2

:

(xi,xj): Representa el valor de

(h), siendo h el vector que une los puntos xj

h xi

b. El término (1/v) ∫ (xi,x) dx : Representa el valor medio teórico de la función (h), ( h el vector que une los puntos xi, xj ) siendo x un punto cualquiera variable dentro de la zona v.

x

xi

v

En la práctica la integral anterior se calcula por discretización de v en k puntos:

x xi

entonces, la aproximación es: (1/v) ∫

(xi,x) dx

(1/k)

(hj).

(Ec. 29)

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v

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Se recomienda un número mínimo de puntos dentro de v, de manera de obtener una precisión aceptable: • Si v es bidimensional: k 36 puntos. • Si v es tridimensional: k 64 puntos. c. El término (1/v2) ∫∫ (x,y) dxdy: Representa el valor medio de la función (h), ( h el vector que une los puntos x con y) entre puntos variando dentro de v.

h

y

x v También se calcula por discretización de v en k puntos:

hij x

y

v

Entonces, la aproximación es: (1/v2) ∫∫ (x,y)dxdy (1/k)2 ∫∫ (hij)

(Ec. 30)

2

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, los ponderadores i son obtenidos dependiendo del lugar de Observación: Para obtener el ubicación de las muestras que participan en la estimación. ¿Existe otra ponderación de los datos que nos proporcione un error menor? 2 Para poder lograr los pesos adecuados, de manera de minimizar la varianza del error es necesario de introducir el método del krigeage.

213

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7

KRIGEAGE

7.1.

DEFINICION

El Krigeage es una herramienta geoestadística cuyo objetivo es encontrar los pesos de los ponderadores ai de manera que minimicen la varianza de estimación de acuerdo a la geometría del depósito y al carácter de la mineralización. El krigeage es una técnica utilizada en la evaluación de yacimientos para estimar el valor de una variable regionalizada en un punto (o en un bloque, como se verá posteriormente), a partir de unos factores de ponderación que trabajan de forma semejante a como lo hacen en el inverso de la distancia. Ese valor se caracteriza por ser el mejor estimador lineal ínsesgado de la variable. El mejor, porque los factores de ponderación se determinan de forma tal, que la varianza de la estimación es mínima; lineal, porque es una combinación lineal de la información; e insesgado porque, en promedio, el error es nulo, es decir, no hay sesgo en los errores (considerando como error la diferencia entre el valor real y el estimado). Por todo ello, junto con la información asociada que ofrece en relación al error que se comete en la estimación, el Krigeage se puede considerar, en general, como un método óptimo de estimación, estando su utilización ampliamente desarrollada en todo tipo de yacimientos, especialmente en aquellos que poseen un alto valor (oro y diamantes). Dado que el alto número de cálculos matemáticos que necesita el Krigeage ya está resuelto con el uso de la informática, quizás el único problema que presenta es la mayor complejidad conceptual frente a los métodos clásicos. De lo contrario, probablemente se habría convertido en el único método de estimación viable para la mayor parte de los yacimientos a escala mundial. Entonces, desde un punto de vista práctico, el Krigeage tiene la importancia de evitar errores sistemáticos, bien sea sobrestimado o subestimado el valor calculado. En términos generales, el Krigeage asignará bajos pesos a las muestras más lejanas, y altos a las más cercanas, pero esta regla intuitiva falla a veces en situaciones tal como:

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• Transferencia de la influencia o el Efecto de pantalla Las muestras más cercanas al bloque tienden a anular la influencia de las muestras más lejanas. La consecuencia práctica de esta propiedad es que algunas muestras tendrán ponderaciones negativas del Krigeage.

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7.2.

PROPIEDADES DEL KRIGEAGE

Hay muchas propiedades buenas asociadas con el estimador Krigeage, además de dos obvias como el insesgamiento y la varianza mínima de estimación. Algunas de éstas son las siguientes: •

El Krigeage calcula la varianza de Krigeage para cada punto o bloque. • Es un interpolador exacto. En otras palabras, el Krigeage estimará todos los puntos de datos conocidos exactamente, es decir no hay error. • El Krigeage tiene un efecto desagrupador ( Desclustering effect) de datos durante la estimación. Esto es muy útil cuando los datos usados para estimar la ley están muy agrupados e irregulares. • El Krigeage tiene un efecto selectivo, lo que permite seleccionar las muestras más cercanas.

7.3.

ECUACIONES DEL KRIGEAGE

Para obtener las ecuaciones del krigeage hay que minimizar la expresión de σ2ε =

Ν

2 ∑ αi • (1/v) ∫v γ(xi,x) dx - (1/v2) ∫v∫v γ(x,y) dx dy i=1

2

.

Ν Ν

∑ ∑ αi αj γ( xi,xj)

i=1 j=1

(Ec. 31) pero los i, deben verificar la condición de insesgamiento: i=1 El método clásico para minimizar la expresión 2 (igualar a cero las derivadas parciales de 2 respecto de 1, 2, ......., N) no asegura que la suma de los i sea 1. En este caso, hay que utilizar el método de Lagrange. En el caso del Krigeage hay que considerar la expresión: 2

- 2 ( 1 + 2 + 3 + ….. + n -1)

Por lo general, el parámetro m carece de significación física. Al realizar N+1, derivaciones sostiene el sistema de ecuaciones siguiente:

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A=

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α1γ(x1, x1) + α2γ(x1, x2) + ............+ αΝγ(x1, xN) + μ = (1/v) ∫vγ(x1, x)dx α1γ(x2, x1) + α2γ(x2, x2) + ............+ αΝγ(x2, xN) + μ = (1/v) ∫vγ(x2, x)dx

α1γ(xN, x1) + α2γ(xN, x2) + ............+ αΝγ(xN, xN) + μ = (1/v) ∫vγ(xN, x)dx α1

+

α2

+..............+

αΝ

=

1

que es un sistema lineal de N + 1 ecuaciones con N + 1 incógnitas ( a1, a2, ......., aN, m), lo cual siempre tendrá soluciones. Se demuestra que la expresión de se2 se simplifica, obteniéndose: Ν

σ2ε = ∑ α • (1/v) ∫ γ(x ,x) dx + μ - (1/v) ∫ ∫ γ(x,y) dx dy v i v v i i=1

(Ec. 32) 7.3.1. KRIGEAGE PUNTUAL En algunas ocasiones, en vez de estimar la ley media de un bloque V, interesa estimar la ley en un punto X0. Como se ha comentado anteriormente, el krigeage opera a través de la utilización de unos factores de ponderación. Estos factores de ponderación, para obtener el valor de la variable, se calculan a partir de un sistema de ecuaciones, denominadas ecuaciones de krigeage, en las que las incógnitas para resolver el sistema se obtienen a partir del semivariograma modelizado.

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Ecuaciones a considerar:

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α1γ(x1, x1) + α2γ(x1, x2) + ............+ αΝγ(x1, xN) + μ = γ(x1, x0) α1γ(x2, x1) + α2γ(x2, x2) + ............+ αΝγ(x2, xN) + μ = γ(x2, x0)

α1γ(xN, x1) + α2γ(xN, x2) + ............+ αΝγ(xN, xN) + μ = γ(xN, x0) α1

+

α2

+..............+

αΝ 2

Se demuestra que la expresión de

=

1

se simplifica, obteniéndose:

Ν

σ2ε = ∑ α γ(x ,x ) + μ i 0 i i=1

(Ec. 33) El krigeage puntual tiene la propiedad de ser un interpolador exacto (ver Fig. N° 28) en el sentido de que si se desea estimar la ley en un punto conocido, el krigeage proporciona la ley del 2 dato, con una varianza = 0. Se dice que el krigeage puntual pasa por los puntos ( esta propiedad no la tienen los otros interpoladores): FIGURA N° 28

INTERPOLADOR EXACTO

Interpolador de Krigeage Interpolador de minímos cuadrados

x2

x

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x1

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7.3.2. KRIGEAGE DE BLOQUES Otro tipo de krigeage más frecuentemente utilizado en la evaluación de yacimientos es el krigeage de bloques, que opera de forma similar a como lo hace el puntual, pero con la diferencia de que el valor obtenido se le asigna a un bloque y no a un punto. Dentro del modelo de función aleatoria descrito anteriormente, el valor medio de una función aleatoria en una zona determinada (bloque) es, simplemente, la media aritmética de todas las variables puntuales aleatorias incluidas dentro de esa zona. Esta capacidad del Krigeage de llevarse a cabo sobre un área y no sólo sobre un punto, es una característica propia y única de este método de estimación, no compartida por otros métodos. Aunque la forma de operar puede trasladarse a métodos como el inverso de la distancia, los resultados no son muy consistentes (Isaaks y Srivastava, 1989). Para determinar el valor del bloque, se lleva a cabo una discretización del área en un conjunto de puntos (2x2, 3x3, etc.), obteniéndose, a continuación, la media entre los diferentes valores. Un ejemplo de la importancia de los computadores en el desarrollo de la geoestadística es que, para calcular, por ejemplo, el valor de un sólo bloque con una discretización de 10 x l0, sería necesario resolver cien sistemas de ecuaciones, cada una de ellos con, por ejemplo, 11 ecuaciones (suponiendo una estimación a partir de diez valores). Y esto sólo para un bloque, siendo frecuente, normalmente, dividir el yacimiento en centenares de bloques. Todo ello llevaría a la resolución de decenas o centenares de miles de ecuaciones, hecho absolutamente inviable si no fuese por la ayuda de la informática. Por último, hay que hacer constar que los valores que se obtienen con el Krigeage (tanto puntual como de bloques) llevan aparejados los correspondientes valores de la varianza de la estimación (varianza del krígeage), lo que permite hacer un estudio de la bondad de la estimación. Estos valores de la varianza del krigeage pueden, posteriormente, ser interpelados y obtener mapas en la que se puede analizar qué zonas presentan una mayor exactitud en la estimación, cuales poseen una mayor probabilidad de error, etc., lo que suele ser muy necesario a la hora de establecer los planes de producción minera. Cuando se aplica el krigeage sobre un bloque V debería considerar todos los datos disponibles ( krigeage completo). Sin embargo, esta situación implica cálculos muy largos. Por esta razón se recomienda restringir la vecindad de estimación que puede ser una esfera o círculo, o bien un elipsoide o elipse (3D y 2D).

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La práctica recomienda que una vecindad contenga un promedio del orden de 8 muestras, los resultados que se obtienen serán muy buenos. (ver Fig. N° 29)

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FIGURA N° 29

VECINDAD DE ESTIMACION

V

7.3.4. KRIGEAGE INDICADOR El Krigeage indicador es una de las innumerables variaciones que la Geoestadística presenta para la evaluación de yacimientos, utilizándose, cada vez más, en el análisis de las reservas, especialmente en explotaciones de alto valor (oro). Es un método no paramétrico en el que los valores obtenidos son convertidos a 0 y 1, dependiendo de su relación con una determinada ley de corte. Permite estimar la proporción de un bloque bajo estudio que tiene un determinado porcentaje de probabilidad de encontrarse por encima de la citada ley de corte. La mejor forma de observar su funcionamiento es con un ejemplo. Se tiene un bloque mineralizado que ha sido evaluado por sondeos situados en sus cuatro esquinas. El valor asignado al bloque será, si el espesor es constante, la media aritmética de las cuatro esquinas. Pueden existir dos situaciones como las siguientes: Bloque A: 6%, 5%, 6% y 6% - ley media = 5,75% Bloque B: 1%, 2%, 1% y 19% - ley media = 5,75%

Considérese ahora que la mineralización y el estéril son materiales con ley superior e inferior, respectivamente, a una determinada ley mínima de corte (5%), por lo que se les asigna un valor 1 al primer caso y cero al segundo. Entonces se tendría que, para el bloque A, todos los sondeos entrarían en la categoría de mineralización y se le podría asignar, al bloque, un indicador medio de 1. Por el contrario, para el bloque B, sólo un sondeo entraría en la categoría de mineralización, por lo que recibiría un indicador medio de 0,25. En este caso (bloque B), aunque la ley media sugiere que todo el bloque es mineralización, el indicador medio nos afirma que tan sólo el 25% del bloque se puede considerar como mineralización. Este efecto debe ser tomado en cuenta en todos aquellos estudios que generen cálculos de reservas, pues su no consideración puede producir, como en el caso del ejemplo, una sobreestimación de los tonelajes de la mineralización.

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Si la ley mínima de corte es, por ejemplo, del 5%, está claro que ambos bloques son explotables, independientemente de que la asignación de explotabilidad del bloque B sea casi totalmente dependiente de un único valor (19%), lo que no se refleja directamente en el resultado.

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La expresión matemática para una variable de este tipo sería I(x,z), correspondiente a una ley z(x) de una muestra en un punto x y con una ley de corte z. De tal forma que: 1, si Z(X) > z I(X,Z) = 0, si Z(X) < z Una vez que las leyes, o cualquier otra variable a estudiar, han sido transformadas de esta manera, se puede intentar construir un semivariograma experimental y ajustarle un modelo matemático de los existentes. Para el caso de] modelo esférico, la ecuación sería: (h,z) = I0 + I [1.5(h/a) - 0,5(h/a)3] (h,z) = I0 + I

para h < a para h > a

Donde I0 e I son equivalentes a C0 y C, en un semivariograma normal. Una vez que el semivariograma de indicadores está modelizado, se puede llevar a cabo un krígeage de bloques, que recibiría el nombre de ktigeage indicador. El valor que saliese para cada bloque vendría a representar el porcentaje recuperable de mineralización que tiene ese bloque para una determinada ley de corte. Los resultados pueden ser comparados con los valores obtenidos en un Krigeage de bloques normal, con otros Krigeages indicadores para otras leyes de corte, etc., con el fin de obtener estrategias de explotación. 7.8. EL COKRIGEAGE El Co-Krigeage constituye, al igual que el Krigeage indicador, otra de las aplicaciones del Krigeage a la estimación de variables. Hasta el momento, el krigeaje utilizaba, como parámetros para realizar la estimación, los valores de una variable. Sin embargo, suele ser frecuente, en minería, conocer no sólo una variable sino varias de ellas, que, usualmente, están relacionadas entre sí (pAg y Pb/Zn). Por tanto, resulta interesante utilizar la información suministrada por una de las variables para calcular la otra, siempre y cuando, obviamente, exista una relación entre ambas. Este proceso se denomina, en Geoestadística, Co-Krigeage. El Co-Krigeage pues, se define como un método de estimación que minimiza la varianza de la estimación utilizando la correlación entre varias variables, estando los estimados obtenidos tanto a partir de las variables secundarias como de la principal. La utilidad de la variable secundaria muchas veces se ve incrementada por el hecho de que la variable principal pueda encontrarse submuestreada en algunas zonas del yacimiento. El valor estimado de una variable por Co-Krigeage viene definido por la siguiente expresión:

donde: U0 ui vj

= Valor del estimado en el punto 0 = Los datos de la variable principal en n puntos = Los datos de la variable secundaria en m puntos

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Uo = ai ui + bj vj

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ai y bj = Los factores de ponderación a determinar para resolver los sistemas de ecuaciones. Como se puede observar, el aspecto de la expresión es muy similar a la que correspondería para el Krigeage. De hecho, el desarrollo del sistema de ecuaciones del correaje es idéntico al correspondiente para el Krigeage. Por tanto, prácticamente todo lo expuesto para un método (ktigeaje) es válido para el otro (co-krígeage), en relación a los modelos de funciones aleatorias, cálculo del semivariograma, áreas de búsqueda, etc.

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Unicamente merece la pena comentar que existen ciertas situaciones en las que este método no mejora los resultados que se obtendrían utilizando simplemente el krígeage. Cuando los modelos de semivariogramas son muy similares entre sí, y las variables principal y secundaria están igualmente maestreadas en todos los puntos, los resultados con un método y otro son, prácticamente, semejantes.

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ANEXO II

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Geometalurgia Introducción En la actualidad la industria minera que enfrenta distintos factores adversos como yacimientos con leyes cada vez menores, bajos precios de metales como cobre y oro, etc., resulta indispensable optimizar el proceso productivo para hacer frente a esta situación. De este modo, los estudios geológico-metalúrgicos, es decir, la determinación y cuantificación de las características petrográficas y mineralógicas, tanto de las rocas como de los minerales, que tienen incidencia en los procesos de beneficio de menas, favorecen la optimización de los procesos metalúrgicos en un yacimiento, en sus distintas etapas; evaluación, explotación, etc. Para lograr optimizar el proceso productivo en la industria minera, es necesario efectuar un trabajo multidisciplinario, en el que interactúen de forma coordinada geólogos y metalurgistas, los primeros al interiorizarse de mejor manera de todo el proceso productivo de un yacimiento y del negocio minero en su totalidad, y los segundos en el sentido de comprender que un determinado mineral es mucho más complejo que una fórmula química, y que su complejidad va en directa relación con los procesos naturales que le dieron origen. De esta manera la geometalurgia se vislumbra como un desafío, pero a la vez como una poderosa herramienta para enfrentar de mejor forma el gran desafío de la industria mineral actual, optimizar el proceso productivo. Definición de estudio geometalúrgico

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Un estudio geometalúrgico puede desarrollarse en distintas etapas del desarrollo de un yacimiento; como parte de la etapa de diseño e implementación del proceso metalúrgico a utilizarse, esto en la etapa de factibilidad y evaluación del yacimiento. También puede utilizarse de forma posterior a esto, cuando se ha subdivido el yacimiento en macrozonas o unidades geometalúrgicas y se desea analizar el comportamiento de una o más de ellas. Un estudio geometalúrgico tradicional consiste en la determinación de las distintas variables geológicas (litología, alteración y mineralización) que afectan el proceso de beneficio del mineral, traduciéndose generalmente en un modelo de distribución de unidades geometalúrgicas (Brockway y Franquesa, 1997).

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Caracterización Geometalúrgica Muestreo

-

Modelo Geometalúrgico

-

LARGO PLAZO Parámetros de Diseño Evaluación Técnica Económica o Perfil o Diseño o Detalle CORTO PLAZO Parámetros de Operación Recomendaciones Operacionales Planificación de Corto Plazo

Modelo Geológico

Diagrama de flujo con las principales actividades e implicancias de un Modelo Geometalúrgico. Una unidad geometalúrgica es un dominio geológico y metalúrgico relativamente homogéneo que presenta un contenido medio característico de las distintas variables geológicas y metalúrgicas que lo diferencia de otras unidades. Según Brockway y Franquesa (1997), un estudio geometalúgico debe considerar las siguientes actividades principales:

De este modo un Modelo Geometalúrgico se traduce en una representación espacial de la distribución y geometría de distintos parámetros que en definitiva representan el comportamiento de distintas unidades geológicas frente a cierto proceso de beneficio de minerales, bajo ciertos estándares de conminución, lixiviación, concentración, etc. De este modo se pretenderá caracterizar unidades geológicas que sean representativas del yacimiento. Las muestras pueden ser obtenidas de: - Sondajes

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2.1 Muestreo 2.2 Análisis químicos 2.3 Análisis mineralógicos

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-

Labores o frente de extracción

-

Túneles de exploración

Estas muestras deben ser caracterizadas de tres formas: - Caracterización Físico Química o La que puede incluir determinación de pH, análisis químico para determinación de ley de CuT, Au, Fe, Mo, etc, además de subproductos e impurezas. -

Caracterización mineralógica o Que considera análisis de Rayos X, Microsonda electrónica, etc., determinación y análisis composicional y textural de menas y gangas.

-

Determinación de Índice de Trabajo o Work Index (Wi) o Puede desarrollarse a través de una o más pruebas de molinos o de barras de Bond.

-

Caracterización Metalúrgica o Consiste en generar pruebas metalúrgicas a escala de laboratorio o semiindustrial, las cuales se desarrollan bajo ciertos estándares protocolizados, en lo posible deben ser escalables.

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Todas las actividades anteriormente mencionadas, generan una serie de datos, que corresponden a muestras que tienen ciertos parámetros (ley, consumo de ácido, dureza, etc), los cuales pueden ser ubicados espacialmente en el yacimiento, lo que a su vez permite generar un modelo de distribución susceptible de ser representado gráficamente o Modelo Geometalúrgico

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UNIDAD 9 Wi 14-16 kWh/Tc

Fig.3a3a Fig.

RecCuT < 70%

MODELO GEOMETALÚRGICO 12 Unidades Geometalúrgicas

Fig. 3b

Fig. 3c

Representación gráfica de Modelo ¿Por que realizar modelos predictivos geológico-metalúrgicos? ¾ Previene variaciones importantes en el flujo de caja, ya que por medio de un modelo geometalúrgico se obtiene una poderosa herramienta, que permite extrapolar resultados en (2001). ¾ Permite disminuir y controlar de mucho mejor forma la variabilidad del yacimiento.

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zonas de distintos volúmenes sin una alta densidad de muestras metalúrgicas Holmgren

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¾ Facilita el logro de tratamientos de mineral más homogéneos, lo que lógicamente permite asegurar y comprometer mayores volúmenes de producción de mejor calidad. Esto último impacta favorablemente al posibilitar ahorros significativos en insumos metalúrgicos Holmgren (antes citado). ¾ Por medio del modelamiento geometalúrgico es posible mitigar y minimizar el impacto ambiental producto de los procesos de beneficio de mineral, debido a que se optimiza la utilización de reactantes. ¾ Permite el tratamiento de material de baja ley como yacimientos artificiales de leyes marginales (lixiviación en botaderos). ¾ Fomenta la colaboración multidisciplinaria dentro del proceso productivo minero (geología, metalurgia, operaciones mina, etc). Geometalurgia en el negocio minero El estudio geometalúrgico puede realizarse en las distintas etapas del desarrollo de un proyecto (yacimiento) minero de tal modo que puede abordar uno o más de los siguientes tópicos: Planificación de largo plazo: en este sentido el estudio geometalúrgico se orienta a la etapa de ingeniería de prefactibilidad, de diseño y de valorización de reservas. Planificación de corto plazo: se pueden utilizar parámetros geometalúrgicos en el control operacional de un yacimiento, es decir, en el trabajo de geología de producción o geología de corto plazo (mapeo de pozos de tronadura, mapeo de bancos, etc). De acuerdo a lo anterior es posible aplicar la geometalurgia en distintas etapas de diseño en la evolución de un yacimiento:

Ingeniería conceptual: en esta etapa se establecen los parámetros de diseño del proceso metalúrgico de beneficio elegido. Además de determinarse el porcentaje de extracción de cobre y el consumo de ácido, se intenta pronosticar la ocurrencia de problemas tales como la posible disolución de impurezas y su posterior depositación, además de los parámetros de diseño principales del proceso de beneficio.

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Ingeniería de perfil: durante la cual se determina el proceso metalúrgico mediante el cual se beneficiará la mena de interés. En esta etapa es de sumo interés determinar, por ejemplo, los porcentajes de extracción de cobre y el consumo de ácido.

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Ingeniería básica y de detalle y puesta en marcha: en esta etapa se afinan los parámetros de diseño determinados en las etapas anteriores, además de implementar y poner en marcha la planta de operaciones. En las etapas anteriormente mencionadas se busca realizar y evaluar la factibilidad técnico económica del proyecto, así como también sus parámetros de diseño. Para lograr determinar la factibilidad técnico económica de un yacimiento resulta indispensable la implementación de pruebas metalúrgicas en las distintas etapas del desarrollo de un proyecto minero. En este sentido es posible diferenciar tres tipos principales de pruebas metalúrgicas para por ejemplo el caso de lixiviación ácida de menas oxidadas:

1. Prueba de lixiviación para la valorización de reservas: esta prueba tiene por misión, realizar una caracterización de testigos y la determinación de los porcentajes de recuperación de cobre y del consumo de ácido. Estos parámetros son intersectados posteriormente con el modelo geológico para generar un modelo geometalúrgico. En esta prueba es de vital importancia estandarizar, protocolizar y validar debidamente el proceso de muestreo, de modo de minimizar el porcentaje de error durante el mismo. 2. Pruebas de lixiviación para establecer parámetros de diseño: con ella se persigue determinar y pronosticar los porcentajes de recuperación de cobre y los consumos de ácido a nivel de ingeniería de perfil. En esta prueba resulta aceptable un error de hasta aproximadamente 30% en la evaluación económica. 3. Prueba de lixiviación de pronóstico de la recuperación de cobre: en esta prueba se pretende predecir la recuperación de cobre durante la operación del yacimiento. Esto se realiza mediante la recolección de muestras en las operaciones diarias con muestras provenientes de la frente de explotación. Debido a la mayor disponibilidad de material, esta prueba tiene un porcentaje de error relativamente menor. Sin embargo, las pruebas metalúrgicas mencionadas anteriormente deben cumplir con una serie de requisitos en cuanto a granulometría, representatividad de la muestra obtenida, protocolos y metodologías analíticas, etc. Entre estas bases generales para las pruebas pueden mencionarse las siguientes: Los análisis químicos de muestras sólidas se realizarán con muestras de una granulometría 100% menor a 100# Ty. La granulometría de las muestras destinadas a análisis mineralógico debe ser 100% menos de La recolección de las muestras debe estar de acuerdo con el porcentaje de error admitido para cada tipo de prueba metalúrgica. Todas las metodologías analíticas deben estar sujetas a protocolos estandarizados y validados.

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10# Ty.

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ANEXO V

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______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

419

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

420

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

421

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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422

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

423

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

424

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

425

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

426

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

427

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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428

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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429

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

430

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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431

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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432

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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433

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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434

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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435

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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436

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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437

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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438

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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439

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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440

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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441

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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442

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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443

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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444

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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445

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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446

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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447

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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448

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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449

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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450

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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451

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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452

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

453

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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454

Consultores

______________________________________________________________________

Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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455

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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456

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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457

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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458

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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459

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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460

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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461

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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466

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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467

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

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468

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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469

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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471

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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475

Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Consultores

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

MAESTRÍA INTERNACIONAL EN INGENIERÍA DE MINAS

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

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Planificacion Minera de Superficie y Subterránea

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