Placas Delgadas Diferencias Finitas

MACI Vol. 5 (2015)

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS A LA DETERMINACIÓN DE CARGAS CRÍTICAS DE I NESTABILIDAD POR CORTE DE PLACAS DELGADAS. Eduardo Totter,  Silvia Raichm chman an y Aní ba  bal Mirasso Grupo de Mat  Mat emáti emática ca Avanzada, Facult  Facult ad ad de Ingeni Ingenier í  í a, a, Uni Univers versiidad Naci Naciona onal  l  de  de Cuyo. Mendoza, Argenti Argentina. na. et ott er  er @ fi  fing.uncu.edu.ar  ng.uncu.edu.ar , sra  sraiichman chman@ @ fi  fing.unc ng.uncu.edu. u.edu.ar, ar, aem aemiirasso rasso@ @ fi  fing.uncu.edu.ar ng.uncu.edu.ar

Resumen: La determinación de cargas cr íti íticas de inestabilidad de placas p lanas delgadas, constituye un problema que encuentra gran ap licación en diversas ramas de la ingenier ía tales como la ingenier ía civil, mecán ica, aeronáutica y naval. Con el ob jeto de investigar su compor tamiento y aplicabilidad, en e l presente traba jo, se emp lea e l Mé todo de Diferencias Finitas para la determinación de las cargas de inestabilidad por cor te puro en una placa de acero de  pequeño espesor constante y relación de aspecto igual a uno. Se analiza la inf luencia sobre los resultados numér icos obtenidos de la d iscretización espacial u tilizada. Se tienen en cuenta para esto, dos condiciones de borde de la p laca como son la correspondiente a las cuatro ar istas simplemente apoy apoyada adass y las mismas perfectamen te empotradas. Se  presentan conclusiones generales relativas al traba jo desarrollado, a par ti tir de la comparac ión de los resultados obtenidos con valores de cargas cr íti  bliograf ía especializada. íticas publicados en la bi b Palabras claves: ines nest  t abili abilidad, dad, pl  pl acas, a cas, cor t e, e, d if   if  erenc erenciias as fi  fin nit as as

1. I NTRO  NTRODUCC DUCCIÓN IÓN En la actualidad, se encuentra ampliamente difundida la utilización de placas planas de pequeño espesor en la construcción de estructuras y dispositivos diversos. Este ti po  po estructural, que comunmente se utiliza como par te integrante de grandes maqu inar ias, vigas de acero de gran a ltura, estructuras componen tes de naves y transpor tes aeronáuticos, mar íti ítimos y f luviales, en tre otros, en los últimos años se ha comenzado a utilizar como s istema de d isi pac  pación de energía en estructuras sismorresistentes y en sistemas estructurales diseñados para sopor tar acc iones dinámicas debidas al viento atmosfér ico. Los mism smos os se encue encuenntran sometidos a una de terminada distr i buc  bución de acc iones externas que los solicitan t t i i t generando de es a manera un campo de ens ones n ernas sobre las placas, espec íf ico para cada caso. De acuerdo a lo mencionado, un aspec to clave a considerar en el estudio y análisis de prob lemas relativos a  placas de pequeño espesor lo constituye la posi b  bilidad cier ta de apar ición de fenómenos de inestabilidad elástica der ivados precisamente de los grandes va lores de esbe ltez que las mismas poseen. Es as í  que la íticas de inestabilidad, es dec ir las cargas m ínimas a par ti tir de las cuales se determinación de cargas cr íti  produce el  pandeo de la placa ba jo una determinada conf iguración de acciones exter iores, es de impor tancia fundamental para asegurar e l adecuado compor tamiento de la estructura analizada [1]. La evaluación de las cargas de b ifurcación mencionadas requiere la resolución de un mode lo ma temático constituido por ecuaciones diferenciales de cuar to orden. D iversos métodos tanto numér icos como semianalíticos permiten, a par ti tir de su adecuada u tilización al caso en es tudio, ha llar la solución buscada, [2]. En este traba jo se investigan las posi b  bilidades de ap licación del Método de Diferencias Finitas [3] al  problema plantead eado, o, co cons nsiderando un estado de cor te puro sobre la placa. La discre tización de la ecuación tir de l cual se ob tiene la carga cr íti ítica diferencial condu  conduce ce a un prob problema de valores y vec tores propios, a par ti de pandeo por cor te. La solución obtenida se compara con resu ltados publicados en la bi b  bliograf ía especializad zadaa par paraa dos dos ti pos  pos de condicione oness de bord borde, e, es tableciendo de esta manera cr it iter ios de utilización del método pro propue puessto para diversas discretizaciones espaciales de la placa.

2. GENERALIDADES  es pequeño en Se considera una placa de acero p lana, rectangular de ancho a y altura b, cuyo espesor t  es relación a l resto de sus dimensiones, de acuerdo a lo indicado en la  Fi gura 1. Para el caso en es tudio  l a  placa se encuen tra sometida a un es tado de solicitación de cor te puro en e l p lano de la m isma, distr i bu  buido en forma uniforme sobre la longitud de sus cua tro ar istas, tal como puede observarse en d icha f igura, donde  N  zy y N  yz , representan las fuerzas de cor te por unidad de longitud, actuantes en las ar istas mencionadas.

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Figura 1: Conf iguración de cargas ex ternas sobre la placa y su geome tr ía

Las ecuaciones para de terminar las cargas correspond ientes al punto de bifurcac ión para la placa con  presión lateral nula y sometida a carga en su prop io p lano, pueden obtenerse a par tir de la ap licación del cr iter io de equili br io adyacente o por med io de l cr iter io de mínima energía po tencial total, [1]. En e l caso de un estado de carga de cor te puro, uniformemente distr i buida, la ecuación mencionada es la siguiente: (1) Donde w  representa el  desplazamiento de los puntos de la placa en la direcc ión normal al plano de la misma,  D es la r igidez f lexional de la placa, dada por , E es e l  módulo de e lasticidad longitudinal del mater ial y es el módul o de Poisson.

3. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS AL PROBLEMA PRESENTADO Con el ob jeto de obtener la forma d iscreta de la ecuac ión diferencial (1), se procede a sus tituir las der ivadas parc iales por sus respec tivas aproximaciones numér icas, considerando pasos y y z , en las direcciones  y y  z , respectivamente. En el  presente estudio, se consideran las siguientes aproximaciones, donde los subíndices i, j indican la posición del punto considerado en la discre tización espacial de la placa : (2) (3)

(4) Por otro lado, a par tir de la der ivada pr imera:

(5) Se deduce la siguiente aproximación para la der ivada segunda cruzada :

(6)

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Reemplazando las ecuaciones (2), (3), (4) y (6) en (1), y cons iderando y= z, se ob tiene:

(7)

La expresión (7), ap licada sucesivamente en cada uno de los nodos de la discretización bidimensional de la  placa, conduce a la siguiente ecuación matr icial: (8) Donde la matr iz representa los efectos lineales de la r igidez, en tanto que la matr iz está asociada a los cambios en la r igidez debido a la no linealidad cinemática. La resolución del problema de valores y vec tores propios dado en (8) perm ite ha llar la menor carga de cor te que produce e l fenómeno de inestabilidad por pandeo de la placa en es tudio.

4. R ESULTADOS OBTENIDOS Se analiza una placa de acero con re lación de aspecto unitar ia,

, t =1 cm, a=b=300cm. La tensión de cor te cr ítica de inestabilidad de referenc ia [4], [5], se encuen tra dada por : (9) siendo k s un coef iciente que var ía para las distintas condiciones de borde y en es te está caso, adop ta valores de k s=9.34 para la placa con cuatro bordes simplemente apoyados ( SA-SA-SA-SA) y k s=14.58 para la  placa con cuatro bordes empotrados (E-E-E-E). De es ta manera se ob tiene un va lor de tensión cr ítica de inestabilidad en el pr imer caso y de en e l segundo. La Tabla 1 indica los valores obtenidos a par tir de la aplicación del método propuesto en e l  presente traba jo, para distintas discretizaciones empleadas: [kg/cm2]

[%]

rel =

[kg/cm2]

SA-SA-SA-SA

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

181.71 187.39 191.89 193.82 194.79 195.34 195.68 195.90 196.06 196.17

Tabla 1: Valores de

[%]

rel =

E-E-E-E

7.75 4.86 2.58 1.60 1.10 0.83 0.66 0.54 0.46 0.41

251.56 274.88 290.61 297.80 301.50 303.63 304.95 305.83 306.43 306.87

18.18 10.60 5.49 3.15 1.94 1.25 0.82 0.54 0.34 0.20

y su correspond iente error relativo

En  l os gráf icos de la Figura 2 es pos i ble observar la evolución de los errores re lativos y la convergencia de los valores hallados de tensión cr ítica hacia los valores de referenc ia menc ionados.

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   ]    2   m   c    /   g    k    [   a   c    i    t    í   r   c   n    ó    i   s   n   e    T

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325

20

300

200

   ] 15    %    [   o   v    i    t 10   a    l   e   r   r 5   o   r   r    E

175

0

275

E-E-E-E

250

SA-SA-SA-SA

225

0

20

ny

40

E-E-E-E SA-SA-SA-SA

0

60

10

20

ny

30

40

50

Figura 2: Tensiones cr íticas de pandeo y errores re lativos en ambas cond ic iones de borde

La evolución de los errores re lativos en términos de las diversas discretizaciones utilizadas, es posi ble hallar la a par tir de analizar los resultados obtenidos realizando una aproximación por mínimos cuadrados potencial del tipo rel=kn ym. En dicha expresión k   es una cons tante y m es el  exponente de la función  potencial. La Tabla 2 muestra los valores que toma dicho exponente para diversos rangos de n y analizados. Rango de ny 5-50 10-50 15-50 20-50 25-50 30-50

m

m

SA-SA-SA-SA

E-E-E-E

1.374 1.560 1.540 1.493 1.439 1.383

1.964 2.411 2.686 2.949 3.237 3.573

Tabla 2: Valores de m para diversos rangos de n y

5. CONCLUSIONES GENERALES A par tir de una adecuada se lección de las aproximaciones numér icas de las der ivadas parciales  presentes en la ecuación diferencial  que gobierna el problema tratado, es posi ble emplear el método de Diferencias Finitas para la de terminación de cargas cr íticas de inestabilidad por cor te en placas delgadas. El procedimiento utilizado, br inda excelentes resultados ya que permite obtener adecuados va lores de dicha carga con valores relativamente pequeños de intervalos de discretización. Las diversas condiciones de borde ana lizadas, muestran diferencias apreciables en los exponentes que def inen la función potencial utilizada en una aprox imación por mínimos cuadrados, lo cual indica la tendencia y evolución de d ichos errores a med ida que crece e l  número de intervalos de discretizac ión utilizados.

AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen a la Secretar ía de Ciencia, Técnica y Posgrado de la Universidad Nacional de Cuyo por el f inanciamiento de los Proyectos de Investigación Bianuales 2013-2015 nro. 06 /B324 y B027.

R EFERENCIAS [1] D.O. BRUSH,B.O.ALMROTH, Buck ling o f   bars, pl at es and shell  s, Mc Graw H ill, Kogakusha (1975). [2] J. K . PAIK AND A.K.THAYAMBALLI, U ltimat e limit  st at e desi gn o f   st eel -pl at ed st ruct ures, John Wiley and Sons, 2006. [3] J. D. H OFFMAN,  Numer ical  met hods f  or eng ineers and scienti st  s, CRC Press, 2001. [4] M.M. A LINIA, AND M. DASTFAN,  Behaviour o f  t hin st eel  pl at e shear wall  s regard ing  f  rame members, Journa l of Construccional Steel Research, 62 (2006), pp.730-738. [5] R. D. Z IEMIAN, Guide t o S ta  bilit  y desi gn cr it er ia f  or met al  st ruct ures, 6th Edition, John Wiley & Sons. INC., (2010).

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