Placas 3

PL ACAS CI RCUL RCUL ARES

1.- INTRODUCCIO I NTRODUCCION. N.

Sí la Placa es circular es conveniente expresar las ecuaciones básicas deducidas anteriormente en un sistema coordenado polar. La ecuación de equilibrio de una Placa circular puede obtenerse bien realizando una transformación de coordenadas del sistema cartesiano al polar de la ecuación obtenida en el apartado correspondiente del capítulo anterior o establecer el equilibrio directamente sobre un elemento diferencial referido al sistema polar.

El primer método precisa de un desarrollo matemático de transformación del sistema de referencia (X,Y,Z) a (r, ϕ, z) determinando las relaciones entre las derivadas de la función w función w(x,y) (x,y) respecto a x a x e  e y  y con  con las de w de w(r, (r, ϕ) respecto a r  a r  y  y ϕ . El segundo necesita de las expresiones de los esfuerzos, momentos y cortantes referidos al sistema polar (r, ϕ, z) y de las relaciones de equilibrio adecuadas de forma análoga al proceso realizado en el sistema cartesiano. De cualquier manera la obtención de una solución exacta para placas circulares  bajo carga y condiciones condiciones de borde cualquiera, cualquiera, y por tanto no simétricas, simétricas, es, igual que en las placas rectangulares, re ctangulares, tedioso, complejo y muy a menudo imposible. 2.- ECUACION DIFERENCIAL DE PLACAS CIRCULARES.

Puesto que x es función de r y ϕ, la derivada de w de w(r, (r, ϕ) respecto a x se transforma en derivadas respecto a r y ϕ :

Análisis de Estructuras

∂ w(r,ϕ ) ∂ w ∂ r  ∂ w ∂ ϕ = + ∂ x ∂ r  ∂ x ∂ ϕ ∂ x

∂ r  = cos ϕ ∂ x

2

∂ w(r,ϕ ) ∂ w ∂ r  ∂ w ∂ ϕ = + ∂ y ∂ r  ∂ y ∂ ϕ ∂ y

∂ϕ 1 = -  senϕ ∂ x r 

con lo que:

∂ w(r,ϕ ) ∂w 1 ∂w = cos ϕ -  senϕ ∂ x ∂ r  r  ∂ϕ

∂w(r,ϕ ) ∂w 1 ∂w = senϕ + cosϕ ∂ y ∂r  r  ∂ϕ

  ∂ w     ∂w 1 ∂ w   ∂ 2 w ∂   ∂ 1 ∂            cos sen cos sen = = − − ϕ ϕ ϕ ϕ        2 ∂ r  r  ∂ ϕ    ∂ r  r  ∂ ϕ   ∂ x ∂ x  ∂ x         ∂ w     ∂w 1 ∂ w   ∂ 2 w ∂   ∂ 1 ∂            = = + + sen cos sen cos ϕ ϕ ϕ ϕ          2  y  y r  r  r  r  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ y              ∂w 1 ∂ w   ∂2w ∂  ∂ w     ∂ 1 ∂         =    = + − sen cos cos sen ϕ ϕ ϕ ϕ       ∂ x ∂ y ∂ y  ∂ x     ∂ r  r  ∂ ϕ    ∂ r  r  ∂ ϕ     Por lo tanto se obtienen las siguientes expresiones: 2 ∂2 w = 2 ϕ ∂2 w + 1 2ϕ ∂ w + 1 2 ∂w cos  sen  sen ϕ ∂r  ∂ r 2 r 2 ∂ x2 ∂ ϕ 2 r 

2w 1 1 ∂w ∂ -  sen2ϕ +  sen2ϕ r  ∂r ∂ϕ r 2 ∂ϕ

 Placas Circulares

3 

∂ 2 w = 2 ϕ ∂ 2 w + 1 2 ϕ ∂ 2 w + 1 2 ϕ ∂w + 1 sen2ϕ ∂ 2 w - 1  sen2ϕ ∂w  sen cos cos 2 2 2 2 r  ∂r  r  ∂r ∂ϕ r 2 ∂ϕ ∂ r  r  ∂ y ∂ϕ ∂ 2 w = 1 sen2ϕ ∂ 2 w - 1  sen2ϕ ∂ 2 w - 1 cos 2ϕ ∂w - 1  sen2ϕ ∂w + 1 cos 2ϕ ∂ 2 w ∂ x∂ y 2 ∂ϕ 2r  ∂r  r  ∂r ∂ϕ ∂ r 2 2 r 2 ∂ ϕ 2 r 2 El operador de Laplace se transforma en términos de coordenadas polares en: 2 1 ∂2 1 ∂ ∂ ∆= 2 + 2 2 + ∂ r  r  ∂ ϕ r  ∂r 

y la ecuación diferencial de la placa queda:

  ∂ 2 1 ∂2 1 ∂    ∂ 2 1 ∂2 1 ∂        w(r , ϕ ) = q(r , ϕ ) ∆ ∆ w(r , ϕ ) =  2 + 2 2 + + + 2 2  2 r  ∂ r   r  ∂ r    D  ∂ r  r  ∂ ϕ   ∂ r  r  ∂ ϕ     Los esfuerzos internos, momentos y cortantes, tienen en el sistema coordenado  polar las siguientes expresiones:

 ∂ 2 w   1 ∂ 2 w 1 ∂ w     + ν  2 2 +  M r  = − D  2 r  ∂ r     ∂ r   r  ∂ ϕ  

 M ϕ

 ∂ 2 w 1 ∂ 2 w 1 ∂ w = − D  ν 2 + 2 2 +  r  ∂ r   ∂ r  r  ∂ ϕ

 1 ∂ 2 w 1 ∂ w      M r ϕ = −(1 − ν ) D   r  ∂ r ∂ ϕ − r 2 ∂ ϕ       ∂ ∂ ∆ w Qϕ = - D ∆ w Q r = - D ∂r  ∂ϕ ∂ 1 − ν ∂  1 ∂ 2 w 1 ∂ w      ∆w+ − 2 V r  = − D   r  ∂ ϕ  r  ∂ r ∂ ϕ r  ∂ ϕ      ∂ r  V ϕ

1 ∂ 1 ∂2w 1 ∂ w   ∂     = − D  ∆ w + (1 − ν )  − 2 ∂ r  r  ∂ r ∂ ϕ r  ∂ ϕ    r  ∂ ϕ  

2.1. Equilibrio de un elemento diferencial.

En la figura se muestran los esfuerzos que actúan sobre las caras de una rebanada diferencial de placa circular. El equilibrio de fuerzas y de momentos permite llegar

Análisis de Estructuras

4

a la ecuación diferencial de equilibrio de la placa que evidentemente coincide con la obtenida por la transformación del sistema coordenado de referencia.

3. PLACAS CIRCULARES CON CARGA DE REVOLUCION.

Sí la placa circular considerada tiene carga y condiciones de borde con simetría de revolución, la flecha es sólo función de r . Todas las secciones rz son de simetría y  por lo tanto la respuesta estructural es la misma para todas ellas.

En estas situaciones las ecuaciones en derivadas parciales definidas en el apartado anterior se transforman en otras en derivadas totales y las derivadas respecto a ϕ se anulan. El operador Laplaciano toma ahora la forma: 2 1 d  d  ∆= 2 + d r  r  dr 

y la ecuación diferencial de la Placa queda en la forma: 4 3 2 d  w 2 d  w 1 d  w 1 dw q(r) + = ∆ ∆ w(r) = 4 + 3 2 2 3 r  d r  r  d r  d r  r  dr   D

 Placas Circulares

5 

Los esfuerzos que actúan en el plano medio vienen dados por:

 d 2 w  ν d w     d 2 w 1 d w        M r  = − D   M ϕ = − D ν  M r ϕ = 0  d r 2 + r  d r     d r 2 + r  d r             d 3 w 1 d 2 w 1 d w     Qr  = V r  = − D  Qϕ = V ϕ = 0  d r 3 + r  d r 2 − r 2 d r        El esfuerzo cortante puede también expresarse en forma más compacta como: Qr  = − D

d   1 d 

  d w    r    = V r      d r   r  d r   d r   

4. PLACA CIRCULAR UNIFORMEMENTE CARGADA.

Si una placa circular de radio a soporta una carga uniforme sobre toda sus superficie de intensidad q , el esfuerzo cortante Q a una distancia r   genérica del centro de la placa viene dado por:

2 π r Q = π r  q 2 

Q= q r / 2

y por tanto: q r  2

= − D

d   1 d 

  d w    r      d r   r  d r   d r     

Una primera integración de esta ecuación proporciona:

  d w   q r 2  r    = + C 1   r  d r   d r    4 D

1 d 

Análisis de Estructuras

6

donde C1  es una constante de integración que se determina posteriormente en función de las condiciones de contorno de la placa. Multiplicando los dos miembros por  r  e integrando de nuevo se obtiene: dw dr 

=

q r 3 16D

+

C 1 r  C 2 + 2 r 

una nueva integración conduce a: 2

q r 4

r  C  r  w(r) = + 1 + C 2 Ln + C 3 64 D 4 a Las constantes de integración C1 , C2 y C 3 se determinan para cada condición de  borde. 4.1. Borde Empotrado.

Si el borde está empotrado la flecha y el giro en el mismo, r=a, deben ser nulos. Por simetría también el giro en el centro de la placa, r=0 , debe ser nulo. Tres condiciones que debe satisfacer la función w(r) y sus derivadas que nos permiten determinar las tres constantes de integración.

GIRO en r=a

 q r 3 C 1 r 2 C 2    d w      = 0 =  + +       2 r      d r   (r = a )  16 D (r = a )

GIRO en r=0

 q r 3 C 1 r 2 C 2    d w      = 0 =  + +       2 r      d r   (r =0 )  16 D ( r = 0 )

de estas dos ecuaciones se obtiene: C 2 = 0

C 1 = -

q a2 8D

Por tanto la flecha w(r) queda como: w(r) =

q r 4 64D

-

q a 2 r 2

y como en r=a la flecha debe ser nula:

32D

+ C 3

 Placas Circulares

w(r = a) = 0

7 

C 3 =

q a4 64D

luego la flecha de la placa vale: w(r) =

q 64D

(a 2 − r 2 ) 2

La flecha máxima se produce en el centro de la placa r=0 y vale 4

w max = q a  / 64 D Los momentos flectores Mr  y Mϕ vienen dados para cada posición r por:  M r  =

q 16

[a 2 (1 + ν ) − r 2 (3 + ν )]

 M ϕ

=

q 16

[a 2 (1 + ν ) − r 2 (1 + 3 ν )]

En el contorno r=a se tiene:

( M r  )(r =a ) = −

q a2

 ν

( M  )(r =a ) = − ϕ

8

q a2 8

y en el centro r=0

( M r  )(r =0 ) = −

q a2 16

(1 + ν ) = ( M ϕ )(r =0 )

4.2. Borde Simplemente Apoyado.

Si el borde está simplemente apoyado la flecha y el momento en el mismo, r=a, deben ser nulos. Por simetría el giro en el centro de la placa, r=0 , debe ser nulo. Tres condiciones que debe satisfacer la función w(r) y sus derivadas que nos  permiten determinar las tres constantes de integración. GIRO en r=0

MOMENTO en r=a

 q r 3 C 1 r 2 C 2    d w      = 0 =  + +       2 r      d r   (r =0 )  16 D ( r = 0 )  d 2 w ν d w     ( M r  )(r =a ) = 0 = − D  2 +    d r  r  d r   (r =a )

Análisis de Estructuras

8

Estas dos ecuaciones proporcionan los siguientes valores de las constantes de integración: C 2 = 0

C 1 = -

q a 2 3 + ν 8D 1 + ν

Por tanto la flecha w(r) queda como: w(r) =

q r 4

-

q a 2 3 + ν

64D 32D 1 + ν

2 r  + C 3

y como en r=a la flecha debe ser nula C 3 =

q a 4 5 + ν 64D 1 + ν

la flecha w(r) toma la forma: w(r ) =

− r 2 )  5 + ν 2 2   a − r     64 D 1 +  ν    

q a2

La flecha máxima se produce en el centro de la placa y vale: w max =

q a 4 5 + ν 64D 1 + ν

Los momentos flectores Mr  y Mϕ vienen ahora dados por:  M r  =

q 16

(3 + ν ) ( a 2 − r 2 )

 M r  =

q 16

[a 2 (3 + ν ) − r 2 ( 1 + 3 ν )]

El momento máximo se produce en el centro de la placa, r=0 y vale:  M r = M ϕ =

(3 + ν  ) 16 

q a2

 Placas Circulares

9 

5. PLACA CIRCULAR CON AGUJERO CIRCULAR EN EL CENTRO. 5.1. Momentos exteriores actuando sobre los bordes.

Sea una placa circular de radio a con un agujero en el centro también circular de radio b sometida a dos momentos uniformemente repartidos M1 y M2 a lo largo de los contornos interior y exterior respectivamente.

El cortante en una sección  a > r > b  se anula al no existir fuerzas verticales actuando sobre la placa , Q (r) = 0  . Esta circunstancia nos proporciona la ecuación diferencial siguiente: 0=

d   1 d 

  d w    r     d r   r  d r   d r     

Integrando dos veces esta ecuación se obtiene:

dw dr 

=-

C 1 r  C 2 2 r 

y una tercera integración da la flecha w(r): 2 r  C 1 r  w(r) = - C 2 Ln + C 3 4 a

en función de tres constantes de integración que hay que determinar considerando las condiciones de contorno.

Análisis de Estructuras

10

Sí la placa está simplemente apoyada en su borde exterior, se imponen las siguientes condiciones: w(r  ) r = a = 0  M r (r) r = a = M 2  M r (r) r = b = M 1 las condiciones de momento se traducen en:

 C 1 (1 + ν ) − C 2 (1 − ν ) = M  1  b2 2

 C 1 (1 + ν ) − C 2 (1 − ν ) = M  2  a2 2

 D 

de donde:

 D 

− b 2  M 1 ) C 1 = (1 + ν ) D (a 2 − b 2 ) 2 a 2  M 2

C 2

=

a 2 b 2 ( M 2 − M 1 )

(1 − ν ) D (a 2 − b 2 )

La condición de w(r) = 0 para r = a nos proporciona:

− b 2  M 1 ) C 3 = 2 (1 + ν ) D (a 2 − b 2 ) a 2 a 2  M 2

Por tanto la flecha w(r) de la placa viene dada por:

( − r 

w(r ) = a

2

2

− b 2  M 1 ) a 2 b 2 ( M 2 − M 1 ) r  ) −  Ln a 2 (1 + ν ) D (a 2 − b 2 ) (1 − ν ) D (a 2 − b 2 ) a 2  M 2

El giro en cualquier punto de la placa viene dado por:

− b 2  M 1 ) 1 a 2 b 2 ( M 2 − M 1 ) = −r  − 2 2 d r  (1 + ν ) D (a − b ) r  (1 − ν ) D (a 2 − b 2 ) a 2  M 2

d  w

Sí el giro está impedido en r=a  el momento M2  que se obtiene anulando la relación anterior, coincide con el de empotramiento cuando actua un momento M 1 en el borde interior. Si el giro está impedido en r=b  el momento M1  obtenido anulando la relación de giro coincide con el de empotramiento cuando el borde interior tiene unas condiciones de apoyo equivalentes a una deslizadera vertical estando el borde exterior, simplemente apoyado y bajo la acción de un momento M2. Si M2 es igual a cero las relaciones anteriores se simplifican obteniendo:

( − r  )

w(r ) = − a

2

2

b 2  M 1

( − b2 )

2 (1 + ν ) D a 2

+

a 2 b 2  M 1

(1 − ν ) D (a 2 − b 2 )

 Ln

r  a

 Placas Circulares

d  w d r 

= r 

b 2  M 1

(1 + ν ) D (a − b 2

2

)

+

1

11 

a 2 b 2  M 1

( − b2 )

r  (1 − ν ) D a 2

5.2. Carga vertical uniforme sobre el borde interior.

Sea la placa de la figura sometida a una fuerza vertical descendente uniformemente repartida a lo largo del contorno interior (equivalente a un esfuerzo cortante inducido)

El cortante en un circulo de radio r comprendido entre a y b viene dado por: 2 Q0 π b = 2 Q Q0 b r 

=

πr,

Q = Q  0   b / r

d   1 d 

  d w    r     d r   r  d r   d r     

integrando:

  d w   Q0 b  r   = r  Ln r  + C 1 r  d r    d r     D   d 

dw

=

Q0 br 

(2 Ln

r 

- 1) +

C 1 r  C 2 + 2 r 

dr  4D a 2 Q0 b r 2 r  r  C 1 r  w= ( Ln - 1) + + C 2 Ln + C 3 4D a 4 a Para calcular las constantes de integración C i es necesario imponer a  w(r)  las condiciones de contorno. Sí la placa considerada esta simplemente apoyada en su contorno exterior  r = a  entonces:

Análisis de Estructuras

12

 d 2 w ν d w     = 0 − D  2 +    d r  r  d r   r =a

(w(r )) r =a = 0 y libre en su contorno interior  r = b:

 d 2 w ν d w     = 0 − D  2 +    d r  r  d r   r =0 Tres condiciones que debe satisfacer  w(r) y que permiten determinar las constantes de integración. C  1

=

Q b 0 2 D

  2 b 2 b 1 − ν       Ln −  a 2 − b 2 a 1 + ν       =

C  3

C  2

Q a 2 b   1 1 − ν 0 1 + 4 D  2 1 + ν

 

=

Q b 1 + ν a 2 b 2 b 0  Ln 2 D 1 − ν a 2 − b 2 a

b2 b   − 2 2  Ln   a   a −b

 

Sustituyendo estas constantes en la expresión anterior, se obtiene la función que representa la flecha w(r) de la placa.

  2 b 2 b 1 − ν     + w= ( Ln - 1) +  Ln − 2 2  4D a 8 D  a − b a 1 + ν     2 Q0 b 1 + ν a 2 b 2 b r  Q0 a b   1 1 − ν b2 b   1 +  Ln Ln +  Ln   + − 2 D 1 − ν a 2 − b 2 a a 4 D   2 1 + ν a 2 − b 2 a     Q0 b r 2

Q0 b r 2

r 

El giro en el borde r=b viene dado por: 2

Q0 b  d w        = 4 D d  r     r =b

 2b2 b 2 b   a 2 1 + ν     + 2 2  Ln 1 + 2 2 Ln − a 1 + ν a − b a   b 1 − ν      2 

Para b muy pequeño en el límite, b  L n b/a  tiende a cero y la flecha w(r) puede escribirse como: w( r ) =

Q0 b 4 D

 3 + ν r  2 2 2 a r  r   Ln ( ) − +  2 (1 + ν )  a 

 Placas Circulares

13 

valor que coincide con la flecha de una placa circular de radio a  simplemente apoyada en su borde exterior bajo una carga puntual Q0 en el centro. Es decir un agujero muy pequeño en el centro de una placa circular no modifica su respuesta estructural. Un caso práctico especialmente interesante surge de combinar los dos casos anteriormente presentados. La situación de la figura se puede simular mediante una placa circular que compatibiliza el movimiento vertical, por medio de una reacción Q , con un elemento vertical que es infinitamente rígido al giro.

 d w     d w     +    =0           d r    M   r =b   d r   Q  r =b

a 2 b 2  M 

(

 D (1 − ν ) a 2 Q b2 4 D

 1 + 1 − ν  2 − b )  b 1 + ν

 +   2 a   b

 2b2 b 2 b   a 2 1 + ν     + 2 2  Ln 1 + 2 2 Ln − =0   a 1 + ν a − b a   b 1 − ν   

de donde se obtiene la relación entre M y Q siguiente:  M  =

bQ

 a2 2 (1 + ν ) b2 

  a 2   a2 a    − − + + 1 1 2 1  Ln ( ) ( )  ν  ν    b 2   2 b   b      + 1 − ν  

Análisis de Estructuras

14

conocidos Q y M(Q) se obtiene la flecha w(r) de la placa en las condiciones expuestas sumando las expresiones de wM y wQ.

5.3. Placa anular bajo carga uniforme.

Siguiendo una técnica de superposición similar a la del apartado anterior y para unas condiciones de contorno de borde exterior simplemente apoyado, podemos determinar la flecha cuando sobre una placa anular, r ext =a y r int =b, actua una carga uniforme q.

En una placa circular de radio r=a simplemente apoyada en su borde exterior el momento y cortante en una sección r=b vienen dados para una carga uniforme qb q  por: (Q ) r =b = ( M r  ) r =b = (3 + ν ) a 2 − b 2 2 16

(

)

La superposición de la solución de la placa circular completa con la anular cargada con -M  y -Q en el rango a >r> b, satisface en r=b las condiciones de borde libre  M =0 y Q=0. Por lo tanto la solución de la flecha para una placa anular a>r> b se obtiene sumando las soluciones siguientes: w(r) = w o (r  )(a ≥ r ≥ b) + w M (r) + wQ (r)

 Placas Circulares

15 

EJEMPLO Nº 1

En la placa circular de radio 5 m. de la figura sometida a una carga puntual de 10 T. en el centro E=2 . 106 T/m2 t=0,3 m.  = 0 SE PIDE: Determinar la flecha w(r) : a) Cuando el perimetro exterior de la placa está simplemente apoyado.  b) Cuando el perimetro exterior de la placa está empotrado.

SOLUCION El cortante en una sección r  viene dado por: Q(r) = P/2 π r

 P  2 π r 

= D

 1 d    d w    r     d r   r  d r    d r      d 

Integrando 3 veces esta ecuación diferencial ordinaria se obtiene una solución del tipo:

w( r ) =

 1 r 2  Ln r + C  r 2 + C   Ln r  + C     1 2 3   2 π  D  4    P 

determinando las tres constantes de integración imponiendo las condiciones de borde. BORDE EXTERIOR a) SIMPLEMENTE APOYADO 2 a  La + C 1 a 2 + C 2 La + C 3 = 0 4

w(r  )r =a = 0

 d w      =0    d r   r =0

lim r →0

( M r  ) r = a = 0

 r  Ln r  + r  + 2 C  r  + C 2  = 0    1 4 r      2

C 2

=0

 Ln a 3 a  ν  a Ln a   = 0 2 C  2 C  a + + + + +    1 1  2 4 a   2 4   

 L a 3 + ν C 1 = 4 8 (1 + ν  )

2 a (3 + ν  ) C 3 = 8 (1 + ν  )

Análisis de Estructuras

w( r ) =

16

 2 r  2 2 3 + ν  r   Ln a + (a − r  ) 2 (1 + ν ) 8 π  D    P 

 

w(r ) = 0,000085 r 2  Ln

+ 1,33 (25 − r 2 ) 5  r 

La flecha máxima se produce en el centro y vale 0,0028 m.  b) EMPOTRADO 2 a  La w(r  )r =a = 0 + C 1 a 2 + C 2 La + C 3 = 0 4  d w    r  Ln r  + r  + 2 C  r  + C 2  = 0    0 lim =   r →0  1   d  r  2 4 r         r =0

 d w        = 0 d  r     r =a

 a Ln a + a + 2 C  a  = 0  1   2 4      La 1 C 1 = 4 8

2

a C 3 = 8

 2 r  a 2 − r 2  w( r ) = r   Ln a + 2  8 π  D   r    w( r ) = 0,000085 r 2  Ln + 0,5 (25 − r 2 ) 5    P 

La flecha máxima se produce en el centro de la placa y vale: w max = 0,0011 m.

C 2

C 2

=0

=0

 Placas Circulares

17 

EJEMPLO Nº 2

En la placa circular de la figura SE PIDE determinar 1. la flecha q0 2. los esfuerzos 3. las reacciones.

1,5 a a

a

1,5 a

SOLUCION F

q0

q0 M a

a

1,5 a

q0

r dϕ

dr

r

dF  = q0 dr  r d ϕ r =1,5 a

 F  =

∫ = q

r  a

dM  = dF  r  = q0 dr  r d ϕ ( r − a)

2π 0

r  dr 

∫  d 

ϕ

0

= q0

 r 2  1,5 a 2 π [ϕ ] 0 = q0   2   a

5 a2 8

2π

=

5 q0 π a 2 4

Esta fuerza está repartida en toda la circunferencia de radio a por lo que la fuerza por unidad de longitud viene dada por :  F  5 = q0 a  f  = 2π a 8

Análisis de Estructuras

r =1,5 a

 M  =

∫ = q

2π

0

∫ d 

r  (r − a ) dr 

ϕ

r  a

= q0

0

18

 r 3 r 2 a  1,5 a 2 π [ϕ ] 0 = q0  −  3 2   a

4a

3

2π

24

=

q0 π a

3

3

Este momento está repartido en toda la circunferencia de radio a por lo que el momento por unidad de longitud viene dado por:  M  1 = q0 a 2 m= 2π a 6

5 q0 a /8

q0

q0 a2 /6 a

En estas condiciones:

q0 π r 2

q0

−

Qr

− − −

q0 r 2 4 D q0 r 4 16 D

q0 r 4 64 D

+ Qr  2 π r  = 0

q0 r  2 D

=

+ C 1

r 2 4

2

+ C 2 = r 

q0 r  2

 r  dw(r )       dr  r  dr    dr   

 r  dw(r )   + C 1 =    r  dr    dr    + C 1

−

d   1 d 

1 d 

r 2

Qr  =

dw(r )

− −

dr 

+ C 2 L r + C 3 = w(r )

q0 r 3 4 D q0 r 3 16 D

+ C 1 r  =

 r  dw(r )      dr    dr    d 

r 

1

dw(r )

2

r 

dr 

+ C 1 + C 2 =

w(r ) = −

q0 r 4 64 D

+ C 1′ r 2 + C 2 L r + C 3

Las constantes C’1, C2 y C3 se determinan en función de las condiciones de contorno:

 dw(r )  =0  dr   r = 0

→

C 2

=0

 Placas Circulares

[w(r )] r = a = 0 [ M r (r )] r = a = −

q0 a 2

→

6

C 1

w(r ) = −

=

→

64 D

+

q0 a 2 2 r  96  D

w(r ) = −

+

q0 a 4 64  D

q0 a 4 192 D

 d 2 w(r )  q  2  = − 0 [9 r 2 − a 2 ]  dr   48 D

r  dr 

=−

Qr  =

r  =  f  − Qr  =

que coincide con:

−

8

 R

2

( si  ν

2

+

q0 a 2

= q0 π

q0 a 4 192  D

3 r 4 − 2 a 2 r 2 − a 4 ] [ 192 D

q0 a

q0

=

4

192 D

 3 a  2     2  

ϕa

Qr  =

 R

=0

=−

q0 a 3 24 D

 M r  =  M r  =

  r  = 0 = 0)   r  = a 

9 q0 a 8

ϕ0

  r  = 0 = 0)   r  = a 

 r  = 0 r  = a 

q0 r 

5 q0 a

=

 r  = 0   r  = a   ( si ν

[3 r  − a ] 48 D 2

=−

a

96  D

2

3 r 4 − 2 a 2 r 2 − a 4 ] [ 192 D

 dw(r ) = − q 0 r  [ 3 r 2 − a 2 ]  dr   48 D

q0

−

q0 a 2

q0

w(r  = 0 ) =

1 dw(r )

64  D

+ C 1 a 2 + C 3

 D 

=

C 3

96  D

=−

q0 a 4

 d 2 w(r ) 3 q0 a 2 q0 a 2 ′ 2  D C  =− +  1=− 16 6  dr 2  r = a

= 0)

( si ν

q0 a 2

q0 r 4

0

19 

 M ϕ  M ϕ

q0 a 2

−

=

48 q0 a 2 6

q0 a

=−

48 q0 a 2 24

Qr  = 0 q0 a

−

2

= r  2π a =

9 q0 π a 2 4

2

Análisis de Estructuras

1

0,3584 0,3852

0,3333

0,4144

0,4375 0,4437

20

0,4199 0,3504

0,2172

0,3399

0

-0,0361

-1 -1

-0,5625 -0,7056  -0,8281 -0,9801 -0,9216

-0,4096 -0,2601 -0,1296

-2

-0,7961

-1,5696 -2,3001

-3 -2,9696 -4

-3,5625 -4,0656

-5 -5

-4,9401

-4,7616 -4,4681

-6 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

 Figura 1. Flecha x q0 /64 D:Simplemente Apoyada, Empotrada yCon voladizo

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